2016届高三数学理科一轮复习学案第10篇正态分布

第六十七课时正态分布课前预习案考纲要求1.了解正态分布与正态曲线的概念，掌握正态分布的对称性；2.能根据正态分布的性质求正态随机变量在特定区间上的概率．基础知识梳理1．正态曲线正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线，其函数表达式为f(x)＝12π·σe－x －μ22σ2，x∈R(其中μ，σ为参数，且σ>0，－∞<μ<＋∞)．2．正态曲线的性质(1)曲线在x轴的，并且关于直线对称．(2)曲线在时处于最高点，并由此处向左右两边延伸时，曲线逐渐降低，呈现“中间高，两边低”的形状．(3)曲线的形状由参数σ确定，σ越，曲线越“矮胖”；σ越，曲线越“高瘦”．3．正态变量在三个特定区间内取值的概率值(1)P(μ－σ<X<μ＋σ)＝68.3%；(2)P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝95.4%；(3)P(μ－3σ<X<μ＋3σ)＝99.7%.注意：通常认为服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值，并简称为3σ原则．正态总体几乎总取值于区间(μ－3σ，μ＋3σ)之内，而在此区间以外取值的概率只有0.003，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生．预习自测1．已知ξ～N(0，σ2)且P(－2≤ξ≤0)＝0.4，则P(ξ>2)＝______________________________.2．若X～N(0,1)，且P(X<1.54)＝0.938 2，则P(|X|<1.54)＝________.3．设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f(x)的图象，且f(x)＝18πe－x－28，则这个正态总体的平均数与标准差分别是( )A．10与8 B．10与2 C．8与10 D．2与104． 设随机变量X 服从正态分布N (2,9)，若P (X >c ＋1)＝P (X <c －1)，则c 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．45． (2011年高考湖北卷)已知随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2)，且P (ξ<4)＝0.8，则P (0<ξ<2)等于( )A ．0.6B ．0.4C ．0.3D ．0.2第六十七课时 正态分布（课堂探究案）典型例题考点1 正态曲线的性质【典例1】若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为142π.(1)求该正态分布的概率密度函数的解析式； (2)求正态总体在(－4,4)的概率．【变式1】设两个正态分布N (μ1，σ21)(σ1>0)和N (μ2，σ22)(σ2>0)的密度函 数图象如图所示，则有 ( )A ．μ1<μ2，σ1<σ2B ．μ1<μ2，σ1>σ2C ．μ1>μ2，σ1<σ2D ．μ1>μ2，σ1>σ2考点2 服从正态分布的概率计算【典例2】某地区数学考试的成绩X 服从正态分布，其密度曲线如图所示．(1)求总体随机变量的期望和方差； (2)求成绩X 位于区间(52,68)的概率．【变式2】(1)在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N (1，σ2) (σ>0)．若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，则ξ在(2，＋∞)上取值的概率为________．(2)若X ～N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，19，则X 落在(－∞，－1]∪[1，＋∞)内的概率为________．考点3 正态分布的应用【典例3】已知电灯泡的使用寿命X ～N (1 500,1002)(单位：h)．(1)购买一个灯泡，求它的使用寿命不小于1 400小时的概率；(2)这种灯泡中，使用寿命最长的占0.15%，这部分灯泡的使用寿命至少为多少小时？【变式3】在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从正态分布，即ξ～N(100,100)，已知满分为150分．(1)试求考试成绩ξ位于区间(80,120)内的概率；(2)若这次考试共有2 000名考生参加，试估计这次考试及格(不小于90分)的人数．当堂检测1．已知三个正态分布密度函数f i(x)＝12πσi(x∈R，i＝1,2,3)的图象如图所示，则( )A．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2>σ3B．μ1>μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3C．μ1＝μ2<μ3，σ1<σ2＝σ3D．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ32．设随机变量X～N(0，σ2)，且P(－2≤X≤0)＝0.4，则P(0≤X≤2)的值是( )A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.63．已知随机变量X服从正态分布N(3,1)，且P(2≤X≤4)＝0.6826，则P(X>4)等于( )A．0.158 8 B．0.158 5 C．0.158 6 D．0.158 74．已知随机变量ξ～N(3,22)，若ξ＝2η＋3，则D(η)等于( )A．0 B．1 C．2 D．4课后拓展案A组全员必做题1.某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其概率密度函数为f(x)＝12π·10e－ (x∈R)，则下列命题不正确的是( )A．该市这次考试的数学平均成绩为80分B．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同C．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同D．该市这次考试的数学成绩标准差为102． 设随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，函数f (x )＝x 2＋4x ＋ξ没有零点的概率是12，则μ等于( )A ．1B ．2C ．4D ．不能确定3． 随机变量ξ服从正态分布N (1，σ2)，已知P (ξ<0)＝0.3，则P (ξ<2)＝________. 4.某中学2 000名考生的高考数学成绩近似服从正态分布N (120,100)，则此校数学成绩在140分以上的考生人数约为________．(注：正态总体N (μ，σ2)在区间(μ－2σ，μ＋2σ)内取值的概率约为0.9544)．5.在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N (1，σ2)(σ＞0)．若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，则ξ在(0,2)内取值的概率为________．6.商场经营的某种包装大米的质量(单位：kg)服从正态分布X ～N (10,0.12)，任选一袋这种大米，质量在9.8～10.2 kg 的概率是________．B 组提高选做题1.汽车耗油量对汽车的销售有着非常重要的影响，各个汽车制造企业积极采用新技术降低耗油量，某汽车制造公司为调查某种型号的汽车的耗油情况，共抽查了1 200名车主，据统计该种型号的汽车的平均耗油为百公里8.0升，并且汽车的耗油量ξ服从正态分布N (8，σ2)，已知耗油量ξ∈[7,9]的概率为0.7，那么耗油量大于9升的汽车大约有________辆．2．工厂制造的某机械零件尺寸X 服从正态分布N ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，19，问在一次正常的试验中，取1 000个零件时，不属于区间(3,5)这个尺寸范围的零件大约有多少个？3．在某市组织的一次数学竞赛中全体参赛学生的成绩近似服从正态分布N (60,100)，已知成绩在90分以上(含90分)的学生有13人． 求此次参加竞赛的学生总数共有多少人？参考答案预习自测1．0.1 解析 ∵P (0≤ξ≤2)＝P (－2≤ξ≤0)＝0.4，∴P (ξ>2)＝12(1－2×0.4)＝0.1.2． 0.876 4 解析 由正态曲线的对称性知P (X ≥1.54)＝P (X ≤－1.54)．又P (X ≥1.54)＝1－P (X <1.54)＝1－0.938 2＝0.061 8 ∴P (X ≤－1.54)＝0.061 8， ∴P (|X |<1.54)＝P (－1.54<X <1.54) ＝P (X <1.54)－P (X ≤－1.54) ＝0.938 2－0.061 8＝0.876 4. 3． B 由18πe －x －28＝12π·σe －x －μ22σ2，可知σ＝2，μ＝10.4． B ∵μ＝2，由正态分布的定义知其函数图象关于x ＝2对称，于是c ＋1＋c －12＝2，∴c＝2.5． C ∵P (ξ<4)＝0.8，∴P (ξ>4)＝0.2，由题意知图象的对称轴为直线x ＝2，P (ξ<0)＝P (ξ>4)＝0.2， ∴P (0<ξ<4)＝1－P (ξ<0)－P (ξ>4)＝0.6. ∴P (0<ξ<2)＝12P (0<ξ<4)＝0.3.典型例题【典例1】解 (1)由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图象关于y 轴对称，即μ＝0.由12πσ＝12π·4，得σ＝4， 故该正态分布的概率密度函数的解析式是f (x )＝，x ∈R .(2)P (－4<X <4)＝P (0－4<X <0＋4) ＝P (μ－σ<X <μ＋σ)＝0.6826.【变式1】A 根据正态分布N (μ，σ2)函数的性质：正态分布曲线是一条关于直线x ＝μ对称，在x ＝μ处取得最大值的连续钟形曲线；σ越大，曲线的最高点越低且较平缓；反过来，σ越小，曲线的最高点越高且较陡峭，故选A. 【典例2】解 (1)从给出的密度曲线图可知，该正态曲线关于x ＝60对称，最大值为142π，∴μ＝60，142π＝1σ2π，解得σ＝4.∴f (x )＝142π，x ∈[0,100]，∴总体随机变量的期望是μ＝60，方差是σ2＝16. (2)成绩X 位于区间(52,68)的概率为P (μ－2σ<X <μ＋2σ)＝0.9544.【变式2】（1）0.1【解析】由正态分布的特征易得P (ξ>2)＝12×[1－2P (0<ξ<1)]＝12×(1－0.8)＝0.1.（2）【答案】0.0026 【解析】∵μ＝0，σ＝13，∴P (X ≤－1或x ≥1)＝1－P (－1<X <1)＝1－P (μ－3σ<X <μ＋3σ) ＝1－0.9974=0.0026【典例3】(1)P (X ≥1 400)＝1－P (X <1 400)＝1－1－PX2＝＝0.841 3.(2)设这部分灯泡的使用寿命至少为x 0小时， 则x 0>1 500，则P (X ≥x 0)＝0.15%.P (X －1 500≥x 0－1 500)＝1－P X －1 500|<x 0－2＝0.15%，P (|X －1 500|<x 0－1 500)＝1－0.3%＝0.997，所以x 0－1 500＝300，x 0＝1 800(小时)．【变式3】(1)由ξ～N (100,100)知μ＝100，σ＝10. ∴P (80<ξ<120)＝P (100－2σ<ξ<100＋2σ)＝0.9544， 即考试成绩位于区间(80,120)内的概率为0.9544. (2)P (90<ξ<110)＝P (100－10<ξ<100＋10)＝0.6826， ∴P (ξ>110)＝12(1－0.6826)＝0.158 7，∴P (ξ≥90)＝0.6826＋0.158 7＝0.841 3. ∴及格人数为2 000×0.841 3≈1 683(人)． 当堂检测1．D 解析 正态分布密度函数f 2(x )和f 3(x )的图象都是关于同一条直线对称，所以其平均数相同，故μ2＝μ3，又f 2(x )的对称轴的横坐标值比f 1(x )的对称轴的横坐标值大，故有μ1<μ2＝μ3.又σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“瘦高”，由图象可知，正态分布密度函数f 1(x )和f 2(x )的图象一样“瘦高”，φ3(x )明显“矮胖”，从而可知σ1＝σ2<σ3.2． B 解析 正态曲线关于直线x ＝0对称，∵P (－2≤X ≤0)＝0.4，∴P (0≤X ≤2)＝0.4. 3．D 解析 由于X 服从正态分布N (3,1)，故正态分布曲线的对称轴为x ＝3.所以P (X >4)＝P (X <2)， 故P (X >4)＝1－PX2＝0.158 7.4． B 解析 由ξ＝2η＋3，得D (ξ)＝4D (η)，而D (ξ)＝σ2＝4，∴D (η)＝1.A 组全员必做题1.B 解析 由密度函数知，均值(期望)μ＝80，标准差σ＝10，又曲线关于直线x ＝80对称，故分数在100分以上的人数与分数在60分以下的人数相同，所以B 是错误的． 2．C 解析 根据题意，函数f (x )＝x 2＋4x ＋ξ没有零点时，Δ＝16－4ξ<0，即ξ>4，根据正态曲线的对称性，当函数f (x )＝x 2＋4x ＋ξ没有零点的概率是12时，μ＝4.3． 0.7解析 由题意可知，正态分布的图象关于直线x ＝1对称，所以P (ξ<2)＝P (ξ<0)＋P (0<ξ<1)＋P (1<ξ<2)，又P (0<ξ<1)＝P (1<ξ<2)＝0.2，所以P (ξ<2)＝0.7.4.46解析 因为标准差是10，故在区间(120－20,120＋20)之外的概率是1－0.9544，数学成绩在140分以上的概率是＝0.0228，故数学成绩在140分以上的人数为 2 000×0.022846≈46.5.0.8解析 ∵ξ服从正态分布N (1，σ2)，∴ξ在(0,1)与(1,2)内取值的概率相同均为0.4. ∴ξ在(0,2)内取值的概率为0.4＋0.4＝0.8.6.0.9544解析 P (9.8<X <10.2)＝P (10－0.2<X <10＋0.2)＝0.9544.B 组提高选做题1.180解析 由题意可知ξ～N (8，σ2)，故正态曲线以μ＝8为对称轴，又因为P (7≤ξ≤9)＝0.7，故P (7≤ξ≤9)＝2P (8≤ξ≤9)＝0.7，所以P (8≤ξ≤9)＝0.35，而P (ξ≥8)＝0.5，所以P (ξ>9)＝0.15，故耗油量大于9升的汽车大约有1 200×0.15＝180(辆)． 2．解 ∵X ～N ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，19，∴μ＝4，σ＝13. ∴不属于区间(3,5)的概率为P (X ≤3)＋P (X ≥5)＝1－P (3<X <5)＝1－P (4－1<X <4＋1) ＝1－P (μ－3σ<X <μ＋3σ) ＝1－0.9974＝0.0026.∴1 000×0.0026≈3.(个).即不属于区间(3,5)这个尺寸范围的零件大约有3个． 3．解 设学生的得分情况为随机变量X ，X ～N (60,100)．则μ＝60，σ＝10.P (30<X <90)＝P (60－3×10<X <60＋3×10)＝0.9974.∴P (X ≥90)＝12[1－P (30<X <90)]＝0.001 3，∴学生总数为＝10 000(人)．。