第一轮 第23课 解直角三角形的应用
沪科版数学九年级上册23.2《解直角三角形及其应用》(第3课时)教学设计
沪科版数学九年级上册23.2《解直角三角形及其应用》（第3课时）教学设计一. 教材分析《解直角三角形及其应用》是沪科版数学九年级上册第23.2节的内容，主要介绍了解直角三角形的知识。
本节内容是在学生已经掌握了锐角三角函数和直角三角形的性质的基础上进行学习的，对于学生来说，这部分内容相对较难，需要学生有一定的抽象思维能力。
教材通过具体的例题和练习题，帮助学生理解和掌握解直角三角形的方法和应用。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于锐角三角函数和直角三角形的性质有一定的了解。
但是，解直角三角形这部分内容相对较抽象，需要学生具备较强的逻辑思维能力和空间想象能力。
在教学过程中，需要关注学生的学习情况，对于理解有困难的学生，要给予耐心的指导和帮助。
三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生理解和掌握解直角三角形的方法和应用。
2.过程与方法目标：通过自主学习和合作交流，培养学生的抽象思维能力和空间想象能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：解直角三角形的方法和应用。
2.难点：对解直角三角形的理解和应用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过设置具体的问题情境，引导学生主动探究和解决问题。
2.合作学习法：学生进行小组讨论和合作交流，共同解决问题。
3.引导发现法：教师引导学生自主学习，发现和总结解直角三角形的方法和规律。
六. 教学准备1.教学课件：制作精美的教学课件，帮助学生直观地理解和掌握解直角三角形的方法。
2.练习题：准备适量的练习题，巩固学生的学习效果。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一个实际的直角三角形问题，引导学生思考如何解决这个问题，从而引出本节课的主题——解直角三角形。
2.呈现（10分钟）教师通过讲解和示范，向学生介绍解直角三角形的方法和步骤，并通过具体的例题进行讲解，让学生理解和掌握解直角三角形的方法。
沪科9年级数学上册第23章 解直角三角形1 解直角三角形
“有斜求对乘正弦”的意思是：在一个直角三角形中，
对一个锐角而言，如果已知斜边长，要求该锐角的对边
长，那么就用斜边长乘该锐角的正弦，其他口诀的意思
可类推.
知2－练
例2 [母题 教材 P125 练习 T1]根据下列条件，解直角三角形： (1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝20，c＝20 2 ； (2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝2 3，b＝2. 解题秘方：紧扣“直角三角形的边角关系”选择 合适的表达式求解.
第二十三章 解直角三角形
23．2 解直角三角形及其应用
第1课时 解直角三角形
学习目标
1 课时讲解 解直角三角形的定义
直角三角形中的边角关系
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
知识点 1 解直角三角形的定义
知1－讲
解直角三角形 在直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即
三条边和两个锐角. 在直角三角形中，除直角外，由已 知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形.
解直角三角形
定义 条件
解直角 依据 三角形
三边之间的关系 锐角之间的关系 边角之间的关系
知2－练
(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝20，c＝20 2 ； 解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
则sin A＝ac＝20202＝ 22， ∴∠A＝45°. ∴∠B＝90°－∠A＝90°－45°＝45°. ∴ b＝a＝20.
(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝2 3，b＝2. 解：在Rt△ABC中，∠C＝90°， ∵ a＝2 3，b＝2，∴ c＝ a2＋b2＝ 12＋4＝4.
知识点 2 直角三角形中的边角关系
知2－讲
1. 直角三角形中的边角关系
2015中考数学复习课件 第23课时 解直角三角形的应用
图 23－6
考点聚焦
归类探究
回归教材
第23课时┃ 解直角三角形的应用
解：如图，分别过点 B，C 作 BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分 别为 E，F.
由题意可知 BE＝CF＝20 米，BC＝EF＝6 米，∠D＝30°. BE 1 20 1 在 Rt△ABE 中，i＝AE＝ ，即AE＝ ， 2.5 2.5 ∴AE＝50 米． CF 20 3 在 Rt△CDF 中，tan30°＝ ，即 ＝ ， DF DF 3 20×3 ∴DF＝ ≈34.64 米． 3 ∴AD＝AE＋EF＋FD＝50＋6＋34.64≈90.6(米).角形的应用
回 归 教 材
热气球测楼高 教材母题——人教版九下 P75 例 4 热气球的探测器显示， 从热气球看一栋楼顶部的仰角为 30°，看这栋楼底部的俯角为 60°，热气球与楼的水平距 离为 120 m，这栋楼有多高(结果取整数)?
图 23－1
考点聚焦
归类探究
回归教材
第23课时┃ 解直角三角形的应用
解：过点 B 作 BE⊥DC 于点 E.因为 BA⊥AF，DF ⊥AF， 所以四边形 ABEF 为矩形， BE＝AF＝2.7 米． 在 CE CE Rt△BEC 中，∠CBE＝30°，根据 tan30°＝ BE ＝ ， 2.7 解得 CE＝1.53 米．同理可求得 DE＝2.7 米，DC＝DE －CE＝2.7－1.53≈1.2(米)． 答：塑像 CD 的高度约为 1.2 米．
第23课时 解直角三角形的应用
第23课时┃ 解直角三角形的应用
考 点 聚 焦
考点 解直角三角形的应用常用知识 1．仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方 的角叫做仰角． 2．俯角：视线在水平线下方的角叫做俯角． 3．坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡 度(或坡比)，记作i＝________ h∶l ． 4．坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α. i＝tanα，坡度越大，α角越大，坡面越陡． 5．方位角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于 90°的角叫做方向角．
解直角三角形的应用ppt课件
在Rt△ABE中，
∵=
= ,
∴ = 3 = 3 × 23 = 69(m)
在Rt△DCF中，同理可得 =
=
.
∴ = 2.5 = 2.5 × 23 = 57.5(m)
∴ = + + = 69 + 6 + 57.5 = 132.5(m)
在Rt△ABE中，由勾股定理可得
∴ = 2 + 2 = 692 + 232 ≈ 72.7(m)
故坝底AD的长度为132.5m，斜坡AB的长度为72.7m.
例2 如图,在山坡上种树，要求株距(相邻
两树间的水平距离)是5.5米,测得斜坡的坡
角是30°,求斜坡上相邻两树间的坡面距
离是多少米?(结果精确到0.01m）
(2)坡面与水平面的夹角 叫坡角
2.坡度与坡角 的关系
h
i tan
l
显然，坡度越大，坡角
就越大，坡面就越
水库
五、课后作业
1、课本60练习1,2
2.习题2.5 1-12
B
C
30°
(
5.5
A
解：由题意得
AC=5.5m，∠A=30°,
∠C=90°
在Rt △ ABC中, C 90
AC 5.5
3
cos A
AB AB
2
11 3
AB
6.35 m
3
∴相邻两颗树之间的坡面距离约为6.35m。
三、课堂练习
1.如图，在东西方向的海岸线上有A，B两个港口，甲货船
沪科版数学九年级上册23.2《解直角三角形及其应用》教学设计3
沪科版数学九年级上册23.2《解直角三角形及其应用》教学设计3一. 教材分析《解直角三角形及其应用》是沪科版数学九年级上册第23.2节的内容。
本节课主要让学生掌握直角三角形的性质，学会运用勾股定理和锐角三角函数解决实际问题。
教材通过引入直角三角形的边长关系和三角函数的概念，使学生能够理解直角三角形在实际生活中的应用，培养学生的数学应用意识。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了三角形的性质、勾股定理等知识，对直角三角形有一定的了解。
但是，学生对直角三角形的应用可能还不够深入，需要通过实例分析和练习来提高。
此外，学生可能对锐角三角函数的概念和应用还不够熟悉，需要通过引导和讲解来帮助他们理解和掌握。
三. 教学目标1.理解直角三角形的性质，掌握勾股定理和锐角三角函数的概念。
2.学会运用勾股定理和锐角三角函数解决实际问题，提高学生的数学应用能力。
3.培养学生的逻辑思维能力和团队合作能力。
四. 教学重难点1.教学重点：直角三角形的性质，勾股定理和锐角三角函数的概念及应用。
2.教学难点：勾股定理的证明和锐角三角函数的运用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入直角三角形的性质和应用，激发学生的学习兴趣。
2.启发式教学法：引导学生思考和探索直角三角形的性质，培养学生的逻辑思维能力。
3.小组合作学习：让学生在小组内讨论和解决问题，提高学生的团队合作能力。
4.巩固练习：通过适量练习，使学生掌握勾股定理和锐角三角函数的应用。
六. 教学准备1.教学课件：制作精美的课件，展示直角三角形的性质和应用。
2.教学素材：准备相关的实际问题，用于引导学生解决实际问题。
3.练习题：准备适量的练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一个直角三角形，引导学生回顾直角三角形的性质。
然后，提出问题：“你能用勾股定理解决直角三角形的问题吗？”让学生思考并回答。
2.呈现（15分钟）展示教材中的实例，引导学生分析直角三角形的性质和应用。
23.2 解直角三角形及其应用 教学课件
P
A
B
1、解直角三角形的关键是找到与已知和未知相关联
的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过 作辅助线构筑直角三角形（作某边上的高是常用的辅 助线）；当问题以一个实际问题的形式给出时，要善 于读懂题意，把实际问题化归为直角三角形中的边角 关系。 2、一些解直角三角形的问题往往与其他知识联系， 所以在复习时要形成知识结构，要把解直角三角形作 为一种工具，能在解决各种数学问题时合理运用。
制作人：安徽省固镇县任桥职业中学 张殿驹
趣味游戏
今天我们和同学们先做个小小的文字游戏：请 大家用“视”来组词，请同学们踊跃发言！ 什么是仰视？什么是俯视？
在进行测量时，从下向上看，视线与水平线 的夹角叫做仰角； 从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
视线高度AB=1000 m，从飞 机上测得地面着陆点C
的俯角为α=18 º ，求 飞机到着陆点的距离AC 的值（精确到1 m）。 α
2.如图，沿AC方向开山修 路，为了加快施工进度， 要小山另一侧的E处同时 施工。如果从AC上取一 点B，使∠ABD=140°， BD=520m,∠D=50°，那 么开挖点E离点D多远， 才能使A，C，E正好在一 条直线上？（精确到1m)
1、如图，AB表示我所站立的位置离地面的高度，CD表 示对面教学楼的玻璃幕墙的最顶端离地面的距离，BD表 示两栋教学楼之间的水平距离。已知AB=12 m，BD =30 m，从A看C的仰角为18 º ，求CD高(精确到1m)。
2、如图，AB表示我所站立的位置离地面的高度， CD表示对面花园里雕塑顶端离地面的高度，BD表 示两栋教学楼之间的水平距离。已知AB=12 m， BD =18 m，从A看C的俯角为20 º ，求CD高(精确 到1m)。
23.2 解直角三角形及其应用
23．2 解直角三角形及其应用第1课时 解直角三角形教学目标【知识与技能】在理解解直角三角形的含义、直角三角形五个元素之间关系的基础上，会运用勾股定理、直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形． 【过程与方法】通过综合运用勾股定理、直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．【情感、态度与价值观】在探究学习的过程中，培养学生合作交流的意识，使学生认识到数与形相结合的意义与作用，体会到学好数学知识的作用．重点难点 【重点】直角三角形的解法． 【难点】灵活运用勾股定理、直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形． 教学过程 一、复习回顾师：你还记得勾股定理的内容吗？ 生：记得．学生叙述勾股定理的内容．师：直角三角形的两个锐角之间有什么关系呢？ 生：两锐角互余．师：直角三角形中，30°的角所对的直角边与斜边有什么关系？ 生：30°的角所对的直角边等于斜边的一半． 师：很好！二、共同探究，获取新知 1．概念．师：由sin A ＝ac ，你能得到哪些公式？生甲：a ＝c ·sin A . 生乙：c ＝a sin A.师：我们还学习了余弦函数和正切函数，也能得到这些式子的变形．这些公式有一个共同的特点，就是式子的右端至少有一条边，为什么会是这样的呢？学生思考．生：因为左边的也是边，根据右边边与角的关系计算出来的应是长度．师：对！解三角形就是由已知的一些边或角求另一些边和角，我们现在看看解直角三角形的概念．教师板书：在直角三角形中，由已知的边角关系，求出未知的边与角，叫做解直角三角形． 2．练习教师多媒体课件出示：(1)如图(1)和(2)，根据图中的数据解直角三角形；师：图(1)中是已知一角和一条直角边解直角三角形的类型，你怎样解决这个问题呢？ 生1：根据cos 60°＝AC AB ，得到AB ＝ACcos 60°，然后把AC 边的长和60°角的余弦值代入，求出AB 边的长，再用勾股定理求出BC 边的长，∠B 的度数根据直角三角形两锐角互余即可得到．生2：先用直角三角形两锐角互余得到∠B 为30°，然后根据30°的角所对的直角边等于斜边的一半，求出AB 的值，再由sin 60°＝BC AB得到BC ＝AB ·sin 60°，从而得到BC 边的长．师：你们回答得都对！还有没有其他的方法了？生3：可以求出AB 后用AB 的值和∠B 的余弦求BC 的长． 生4：可以在求出AB 后不用三角函数，用勾股定理求出BC .师：同学们说出这几种做法都是对的．下面请同学们看图(2)，并解这个直角三角形． 学生思考，计算．师：这两个题目中已经给出了图形，现在我们再看几道题．教师多媒体课件出示课本第124页例1. 师：你怎样解答这道题呢？先做什么？ 生：先画出图形．师：很好！现在请同学们画出大致图形． 学生画图．教师找一生说说解这个直角三角形的思路，然后让同学们自己做，最后集体订正． 解： ∠A ＝90°－42°6′＝47°54′. 由cos B ＝ac，得a ＝c cos B ＝287.4×0.7420≈213.3. 由sin B ＝bc得b ＝c sin B ＝287.4×0.670 4≈192.7.教师多媒体课件出示课本第125页例2.师：这道题是已知了三角形的两条边和一个角，求三角形的面积．要先怎样？ 学生思考．生：先画出图形．师：对，题中没有已知图形时，一般都要自己画出图形．然后呢？你能给出解这道题的思路吗？生1：先计算AB边上的高，以AB为底，AB边上的高为三角形的高，根据三角形的面积公式，就能计算出这个三角形的面积了．生2：还可以先计算AC边上的高，然后用三角形的面积公式计算这个三角形的面积．师：很好！我们现在讨论以AB为底时求三角形面积的方法，怎样求AB边上的高呢？教师找一生回答，然后集体订正．解：如图，作AB上的高CD.在Rt△ACD中，CD＝AC·sin A＝b sin A，∴S△ABC＝12AB·CD＝12bc sin A.当∠A＝55°，b＝20 cm，c＝30 cm时，有S△ABC＝12bc sin A＝12×20×30×sin 55°＝12×20×30×0.819 2≈245.8(cm2)．三、课堂小结师：本节课，我们学习了什么内容？学生回答．师：你还有什么不懂的地方吗？学生提问，教师解答．第2课时解直角三角形的应用(1)教学目标【知识与技能】使学生掌握仰角、俯角的概念，并学会正确地运用这些概念和解直角三角形的知识解决一些实际问题．【过程与方法】让学生体验方程思想和数形结合思想在解直角三角形中的用途．【情感、态度与价值观】使学生感知本节课与现实生活的密切联系，进一步认识到将数学知识运用于实践的意义．重点难点【重点】将实际问题转化为解直角三角形问题．【难点】将实际问题中的数量关系如何转化为直角三角形中元素间的关系求解．教学过程一、创设情境，导入新知教师多媒体课件出示：操场上有一根旗杆，老师让小明去测量旗杆的高度，小明站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为34°，并已知目高为1米．然后他很快就算出旗杆的高度了．师：请同学们思考这个问题，想想他是如何计算的．学生思考，讨论．师：如果我们把已知的条件转化为三角形的一些元素，你能不能算出？生：能．师：很好！现在请同学们想想已知了或容易算出哪些量，需要求的是什么量？生：已知了一个直角梯形的一条底边，一条腰长，并且容易算出它的一个内角，求它的另一底．师：对，那你知道小明是怎么算的吗？学生思考，交流．生：先把各个顶点用字母标出，然后作辅助线，构造直角三角形．教师找一生板演，并让他解释自己的思路．二、共同探究，获取新知1．讲解．师：在实际生活中，解直角三角形有着广泛的应用，例如我们通常遇到的视线、水平线、铅垂线就构成了直角三角形．教师在黑板上作图．师：当我们测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角；在水平线以下的角叫做俯角．注意：(1)仰角和俯角必须是视线与水平线所夹的角，而不是与铅垂线所夹的角；(2)仰角和俯角都是锐角．师：我们自己测量角时用什么工具啊？生：量角器．量：测量仰角、俯角也有专门的工具，是测角仪．2．练习新知．教师多媒体课件出示：(1)如图，∠C＝∠DEB＝90°，FB∥AC，从A看D的仰角是________；从B看D的俯角是________；从A看B的________角是________；从D看B的________是________；从B 看A的______角是________．师：你能根据仰角和俯角的概念回答这些问题吗？ 生：能．教师找一生回答，然后集体订正得到：从A 看D 的仰角是∠2，从B 看D 的俯角是∠FBD ，从A 看B 的仰角是∠BAC ，从D 看B 的仰角是∠3，从B 看A 的俯角是∠1.教师多媒体课件出示：(2)如图，线段AB 、CD 分别表示甲、乙两幢楼的高，AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，从甲楼顶部A 处测得乙楼顶部C 的仰角α＝30°，测得乙楼底部D 的俯角β＝60°.已知甲楼的高AB ＝24米，求乙楼的高CD .学生看题思考．师：这道题也需要我们把它转化为解直角三角形来解决，但现在还没有直角三角形呢，你怎样求？生：因为AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，所以过A 作AE ∥BD ，即有AE ⊥BD ，得到 Rt △ACE 和Rt △ADE ，确定仰角和俯角．已知AB ＝24米，可知DE ＝24米，可求出AE ，进而求出CE .教师作图．师：然后怎样做呢？老师找两生板演，其余同学在下面做，然后集体订正． 解：在Rt △AEC 中，∠AEC ＝90°，∠EAC ＝α＝30°. ∵tan α＝CE AE ＝CE 83，∴CE ＝83tan α＝83×tan 30°＝83×33＝8(米)． ∴CD ＝CE ＋DE ＝24＋8＝32(米)． 三、例题讲解教师多媒体课件出示课本第126页例3. 解：在Rt △ACD 中，∠ACD ＝52°，CD ＝EB ＝8 m. 由tan ∠ACD ＝ADCD，得AD ＝CD ·tan ∠ACD ＝8×tan 52°＝8×1.279 9≈10.2(m)． 由DB ＝CE ＝16 m 得AB ＝AD ＋DB ＝10.2＋1.6＝11.8(m)． 答：树高AB 为11.8 m.教师多媒体课件出示课本第127页例4. 解：设AB 1＝x m.在Rt △AC 1B 1中，由∠AC 1B 1＝45°， 得C 1B 1＝AB 1.在Rt △AD 1B 1中，由∠AD 1B 1＝30°，得tan∠AD1B1＝AB1D1B1＝AB1D1C1＋C1B1，即33＝x50＋x.解方程，得x＝25(3＋1)≈68.∴AB＝AB1＋B1B≈68＋1＝69(m)．答：电视塔的高度为69 m.四、课堂小结师：本节课，我们学习了什么内容？学生回答．师：你还有什么不懂的地方吗？学生提问，教师解答．第3课时解直角三角形的应用(2)教学目标【知识与技能】会运用解直角三角形的知识解决与坡度、坡角等有关的实际问题．【过程与方法】逐步培养学生分析问题、解决问题的能力，渗透数形结合的思想方法．【情感、态度与价值观】使学生感知本节课与现实生活的密切联系，进一步认识到将数学知识运用于实践的意义．重点难点【重点】解决有关坡度的实际问题．【难点】理解坡度的概念和有关术语．教学过程一、创设情境，导入新知师：在现实生活中，经常会有建筑大坝、修地基等，它们的截面上底和下底不是同样宽的，侧面是有斜坡的，且倾斜程度是不一样的，这些在设计图纸上都要注明，以便施工时遵循．教师多媒体课件出示：已知一个大坝的横截面是梯形，坝顶宽6 m，坝高23 m，斜坡AB的坡度i＝1∶3，斜坡CD的坡度i＝1∶2.5，求斜坡AB的坡面角α，坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1 m)．学生思考．二、新课讲授1．回忆旧知识．师：我们先来回忆一下坡度与坡角的概念．学生看课本．老师作图：师：坡面的铅直高度h 和水平长度l 的比叫做坡面的坡度或坡比，通常用小写字母i 表示，坡面与水平面的夹角叫做坡角或倾斜角，一般用α表示．坡度与坡角的关系是：坡度越大，坡角越大．2．例题讲解．教师多媒体课件出示课本第127页例5.分析：这船继续向东航行是否安全，取决于灯塔C 到AB 航线的距离是否大于10 n mile. 解：过点C 作CD ⊥AB 于点D ，设CD ＝x n mile. 在Rt △ACD 中，AD ＝CD tan ∠CAD ＝xtan 30°.在Rt △BCD 中，BD ＝CD tan ∠CBD ＝xtan 60°.由AB ＝AD －BD ，得AB ＝x tan 30°－x tan 60°＝20，即x 33－x3＝20，解方程，得x ＝103>10.答：这船继续向东航行是安全的． 教师多媒体课件出示课本第129页例6. 解：过点C 作CD ⊥AD 于点F ，得 CF ＝BE ，EF ＝BC ，∠A ＝α，∠D ＝β. ∵BE ＝5.8 m ，BE AE ＝11.6，CF DF ＝12.5， ∴AE ＝1.6×5.8＝9.28(m)，DF ＝2.5×5.8＝14.5(m)． ∴AD ＝AE ＋FE ＋DF ＝9.28＋9.8＋14.5≈33.6(m)． 由tan α＝i ＝11.6，tan β＝i ′＝12.5，得α≈32°，β≈21°.答：铁路路基下底宽为33.6 m ，斜坡的坡角分别为32°和21°. 三、课堂小结师：本节课，我们学习了什么内容？ 学生回答．师：你们还有什么不懂的地方吗？ 学生提问，教师解答．。
第23课 解直角三角形的应用
如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4 m，那么相邻两树间的坡
面距离为( A )
A．5 m
B．6 m
C．7 m
D．8 m
5．如图，一渔船自西向东追赶鱼群，在A处测得某无名小岛C在北偏东 60°方向上，前进2海里到达B点，此时测得无名小岛C在东北方向上．已 知无名小岛周围2.5海里内有暗礁，问渔船继续追赶鱼群有无触礁危险？ (参考数据： 2 ≈1.414, 3 ≈1.732)
解：(1)由题意得，四边形CDBG，HBFE为矩形， ∴GB＝CD＝1.7，HB＝EF＝1.5，∴GH＝0.2， 在Rt△AHE中，tan∠AEH＝ AH ，
HE
则AH＝HE·tan∠AEH≈1.9a， ∴AG＝AH－GH＝1.9a－0.2， 在Rt△ACG中，∠ACG＝45°， ∴CG＝AG＝1.9a－0.2，∴BD＝1.9a－0.2， 答：小亮与塔底中心的距离BD为(1.9a－0.2)米； (2)由题意得，1.9a－0.2＋a＝52， 解得：a＝18， 则AG＝1.9a－0.2＝34， ∴AB＝AG＋GB＝35.7， 答：慈氏塔的高度AB为35.7米．
PPT课程 解直角三角形的应用
主讲老师:
1．某坡面的坡度是 3 ∶1，则坡角α是____6_0___度．
2. (2019·枣庄)如图，小明为了测量校园里旗杆AB的高度，将测角仪CD竖 直放在距旗杆底部B点6 m的位置，在D处测得旗杆顶端A的仰角为53°，若 测角仪的高度是1.5 m，则旗杆AB的高度约为___9_._5___m．(精确到0.1m， 参考数据：sin 53°≈0.80，cos 53°≈0.60，tan 53°≈1.33)
解：作CD⊥AB于点D.
在Rt△ACD中，AD＝
第23课时 解直角三角形的应用
图23-15
∵坡面 BC 的坡度为 1∶1,新坡面的坡度为 1∶ 3, ∴BD=CD=6,AD=6 3,∴AB=AD-BD=6 3-6<8, ∴文化墙 PM 不需要拆除.
第 23 课时
解直角三角形的应用
课堂考点探究
[方法模型] 解直角三角形的应用的基本图形 ①不同地点看同一点(如图 23-7①); ②同一地点看不同点(如图 23-7②);
图 23-7 ③利用反射构造相似(如图 23-8).
图 23-8
课堂考点探究
探究二 利用直角三角形解决方向角问题
又∵∠BAC=45° ,BC⊥AC,∴∠ABC=45° ,∵∠BDE=60° ,DE⊥BC,∴∠DBE=90° -∠BDE=90° -60° =30° ,
∴∠ABD=∠ABC-∠DBE=45° -30° =15° ,∠BAD=∠BAC-∠DAF=45° -30° =15° , ∴∠ABD=∠BAD,∴AD=BD=200 米,
【命题角度】 (1)利用直角三角形解决方向角问题;
(2)通过作辅助线把实际问题转化为直角三角形问题.
课堂考点探究
探究三 利用直角三角形解决坡度问题
【命题角度】
(1)利用直角三角形解决坡度问题;
(2)通过作辅助线把涉及坡度的实际问题转化为直角三角形问题.
例 3 一个房门前的台阶高出地面 1.2 米,台阶拆除后,换成供轮椅行走的斜坡,数据如图 23-13 所示,判断正误: (1)斜坡 AB 的坡度是 10° ;
图 23-14
课堂考点探究
解:如图所示,过点 D 作 DF⊥AC,垂足为 F,∵坡面 AD 的坡度 i=1∶ 3,且 AD=200 米,
23第一轮 第23课 解直角三角形的应用
1， 3
解得AD＝6米，
∵坡面BC的坡度为1∶1，CD＝6米，
∴BD＝6米，∴AB＝AD－BD＝(6 3－6)米， 又∵PB＝8米，∴PA＝PB－AB＝8－(6 3 －6)＝14－6 3
≈14－6×1.732≈3.6米>3米，∴该文化墙PM不需要拆除．
三、中考实战
A组
8．(2019·广州)如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度
部小于3米时应折除，天桥改造后， 该文化墙PM是否需要拆除？请说明理由．
解：(1)∵新坡面坡角为α，新坡面的坡度为1∶ 3 ，
∴tanα＝ 1 3 ，∴α＝30°； 33
(2)该文化墙PM不需要拆除，理由：作CD⊥AB于点D，则CD＝6米，
∵新坡面的坡度为1∶
3 ，∴
3 tan CAD CD 6 AD AD
5．(2019·天津)如图，海面上一艘船由西向东航行，在A 处测得正东方向上一座灯塔的最高点C的仰角为31 °， 再向东继续航行30 m到达B处，测得该灯塔的最高点C的仰角为 45°，根据测得的数据，计算这座灯塔的高度CD(结果取整数)． (参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60.)
河面宽度，小明在南岸B处测得对岸A处一棵柳树位于北偏东 60°方向，他以每秒1.5米的速度沿着河岸向东步行40秒后到达 C处，此时测得柳树位于北偏东30°方向，试计算此段河面的 宽度．
解：如图，作AD⊥BC于D.
由题意可知：BC＝1.5×40＝60(米)，
∠ABD＝30°，∠ACD＝60°，
∴∠BAC＝∠ACD－∠ABC＝30°，
2.(2018·大庆)如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方 向，与灯塔P的距离为80海里的A处，它沿正南方向航行一段时 间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向的B处，求此时轮船所 在的B处与灯塔P的距离．
2022秋九年级数学上册 第23章 解直角三角形23.2 解直角三角形及其应用 1解直角三角形及方位
sinAa 5 2, c 52 2
∴∠A＝45°， ∴∠B＝90°－∠A＝90°－45°＝45°.
知1－讲
总结
知1－讲
本题运用数形结合思想和定义法解题，已知一直角边和
斜边解直角三角形的一般步骤是：
(1)根据a＝ c2 b2 或b＝ c2 a2求出另一直角边；
知2－练
3 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，P 是BC边上的动点，则AP的长不可能是( )
A．3.5 B．4.2
C．5.8 D．7
知3－讲
知识点 3 已知一边及一锐角的函数值解直角三角形
【例5】(中考·常德)如图，在△ABC中，AD是BC边上 的高，AE是BC边上的中线，∠C＝45°，sin B ＝ 1 ，AD＝1.
运用正切的定义求出其对边；当已知一锐角和其对边 时，运用正弦的定义求出斜边，运用勾股定理求出其 邻边．
知2－练
1 根据下面条件，解直角三角形： (1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝30，∠B＝80°； (2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝10，∠A＝40°.
2 (杭州)在直角三角形ABC中，已知∠C＝90°，∠A ＝40°，BC＝3，则AC等于( ) A．3sin 40° B．3sin 50° C．3tan 40° D．3tan 50°
(3)利用∠B＝90°－∠A求出∠B的度数.
知1－讲
【例2】 在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝5，c＝ 5 2 ，解
这个直角三角形． 导引：先画出Rt△ABC，标注已知量，根据勾股定理求
出另一条直角边，然后根据正弦(或余弦)的定义 求出∠A的度数，再利用∠B＝90°－∠A求出∠B 的度数．
2022年中考数学人教版一轮复习课件：第23课 解直角三角形的应用
(1)求∠ABC 的度数； (2)测温时规定枪身端点 A 与额头距离范围为 3～5 cm.在图② 中，若测得∠BMN＝68.6°，小红与测温员之间距离为 50 cm. 问此时枪身端点 A 与小红额头的距离是否在规定范围内？并 说明理由．(结果保留小数点后一位) (参考数据：sin 66.4°≈0.92，cos 66.4°≈0.40，sin 23.6°≈ 0.40， 2≈1.414)
∴BD＝tanA3D0°，
∵BC＝BD－CD＝AD3 －AD＝60(m)， 3
∴AD＝30( 3＋1)≈82(m)，
答：此段河面的宽度约 82 m.
A组 8．(2021·十堰)如图，小明利用一个锐角是 30°的三角板测操场旗
杆的高度，已知他与旗杆之间的水平距离 BC 为 15 m，AB 为 1.5 m(即小明的眼睛与地面的距离)，那么旗杆的高度是( D )
A．15
3＋32
m
B．5 3 m
C．15 3 m
D．5
3＋32 m
9．(2021·临沂)如图，在某小区内拐角处的一段道路上，有一儿 童在 C 处玩耍，一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的 A 处 驶来．已知 CM＝3 m，CO＝5 m，DO＝3 m，∠AOD＝70°， 汽车从 A 处前行多少米才能发现 C 处的儿童(结果保留整数)? (参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75； sin 70°≈0.94，cos 70°≈0.34，tan 70°≈2.75)
13．(2021·江西)如图①所示是疫情期间测温员用“额温枪”对小红 测温时的实景图，图②是其侧面示意图，其中枪柄 BC 与手臂 MC 始终在同一直线上，枪身 BA 与额头保持垂直，量得胳膊 MN＝28 cm，MB＝42 cm，肘关节 M 与枪身端点 A 之间的水 平宽度为 25.3 cm(即 MP 的长度)，枪身 BA＝8.5 cm.
第一轮 第23课 解直角三角形的应用
二、核心例题 考点 1 仰角、俯角
4. (例 1)(2017· 衡阳)如图，为了测量来雁塔的高度，在 E 处用高为 1.5 米的测角仪 AE，测得塔顶 C 的仰角为 30° ，再向塔身前进 10 米，又测得塔顶 C 的仰角为 60° ，求来雁塔的高度．
知识要点
核心例题
3. 如图，水库的拦水坝的横截面是一个梯形，坝顶 BC＝6 米，坝 高 BE＝9 米， 斜坡 AB 的坡角为 45° ， 斜坡 CD 的坡度为 1∶ 3， 求坡 CD 的坡角及坝底 AD 的长．
知识要点
核心例题
中考实践
过点 C 作 CF⊥AD 于点 F. 1 在 Rt△CFD 中，tan∠D＝ 3 ∴DF＝9 3 在 Rt△AEB 中，AE＝BE＝9 ∴AD＝9＋6＋9 3＝15＋9 3
知识要点
核心例题
中考实践
解：在 Rt△AOC 中 AO tan34°＝OC＝0.67 ∴AO＝5×0.67≈3.35 在 Rt△BOC 中，∠BCO＝45° ∴BO＝OC＝5 ∴AB＝5－3.35≈1.7
知识要点 核心例题 中考实践
考点 2 方位角 6. (2017· 天津)如图，一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东 64° 方向，距离灯塔 120 海里的 A 处，它沿正南方 向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东 45°
知识要点 核心例题 中考实践
谢谢！
知识要点
核心例题
中考实践
解：设 BC 为 x 米． BC 在 Rt△ACB 中，tan50°＝AB＝1.2 x ∴AB＝1.2 在 Rt△DEB 中，DB∶EB＝1∶1 x ∴x＋2＝1.2＋4 x＝24 ∴BC 为 24 米．
知识要点 核心例题 中考实践
第23课时 解直角三角形的应用
图23－4
第23课时┃ 解直角三角形的应用
探究二 利用直角三角形解决航海问题 命题角度： 1. 利用直角三角形解决方位角问题； 2. 将实际问题转化为直角三角形问题． 例 2 [2013· 烟台] 如图 23－6，一艘海上巡逻船在 A 地巡航， 这时接到 B 地海上指挥中心紧急通知： 在指挥中心北偏西 60°方 向的 C 地，有一艘渔船遇险，要求马上前去救援．此时 C 地位于 A 地北偏西 30°方向上，A 地位于 B 地北 偏西 75°方向上，A，B 两地之间的距离 为 12 海里．求 A、C 两地之间的距离． (参考数据： 2≈1.41， 3≈1.73， 6≈ 图23－6 2.45，结果精确到 0.1 海里)
考点聚焦
归类探究
回归教材
第23课时┃ 解直角三角形的应用
解
过点 B 作 BD⊥CA，交 CA 的延长线于点 D.
由题意，得∠ACB＝60°－30°＝30°， ∠ABC＝75°－60°＝15°， ∴∠DAB＝∠DBA＝45°. 在 Rt△ADB 中，AB＝12，∠BAD＝45°， ∴BD＝AD＝ABcos45°＝6 在 Rt△BCD 中，CD＝ ∴AC＝6 6－ 6 2. 6. BD ＝6 tan30°
∴AB＝EF＝CD－CE＋DF＝3.2－1＋1.33＝3.53≈3.5(公里).
考点聚焦Βιβλιοθήκη 归类探究回归教材2≈6.2(海里)．
答：A、C 两地之间的距离约为 6.2 海里．
考点聚焦
归类探究
回归教材
第23课时┃ 解直角三角形的应用
探究三 利用直角三角形解决坡度问题 命题角度： 1. 利用直角三角形解决坡度问题； 2. 将实际问题转化为直角三角形问题．
例 3 [2013· 广安] 如图 23－7， 广安市防洪指挥部发现渠 江边一处长 400 米，高 8 米，背水坡的坡角为 45°的防洪大 堤(横断面为梯形 ABCD)急需加固．经调查论证，防洪指挥 部专家组制定的加 固方案是：背水坡面用土石加固， 并使上底加宽 2 米，加固后，背 图23－7 水坡 EF 的坡比 i＝1∶2.
第23课 解直角三角形应用
第23课解直角三角形应用
佚名
【期刊名称】《中学数学研究（下半月）》
【年(卷),期】2014(000)001
【摘要】一、核心概念，内容定位直角三角形的边角关系，坡度、坡角、仰角、俯角等实际问题中涉及的相关概念二、经典再现。
突出主题
【总页数】4页(P34-36,67)
【正文语种】中文
【中图分类】O123.1
【相关文献】
1.数学思想在初中数学应用题中的渗透——“解直角三角形在观测问题中的应用”教学案例及评析 [J], 李波; 黄汉军; 吴志勇; 刘小妹
2.例谈模型构造法在解直角三角形中的应用 [J], 陈志惠
3.数学建模在初中数学教学中的实践应用
——以"解直角三角形的应用"为例 [J], 朱玉杰
4.解直角三角形应用题的教学研究 [J], 贝平
5.基于问题解决的初中数学教学设计——以“解直角三角形的应用”教学为例 [J], 易颖;吴晓勤
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D. 30 3海里
知识要点
核心例题
中考实践
考点 3 坡角、坡度 8. (例 3)(2017·海南)为做好防汛工作，防汛指挥部决定对某水库的
水坝进行加高加固，专家提供的方案是：水坝加高 2 米(即 CD ＝2 米)，背水坡 DE 的坡度 i＝1∶1(即 DB∶EB＝1∶1)，如图 所示，已知 AE＝4 米，∠EAC＝130°，求水坝原来的高度 BC.(参 考数据：sin 50°≈0.77，cos 50°≈0.64，tan 50°≈1.2)
∴AB＝15 3＋15
在 Rt△BCF 中
BF＝12BC＝125 3＋125
知识要点
核心例题
中考实践
谢谢！
知识要点
核心例题
中考实践
7. (例 2)(2017·玉林)如图，一般轮船在 A 处测得灯塔 P 位于其北偏
东 60°方向上，轮船沿正东方向航行 30 海里到达 B 处后，此时
测得灯塔 P 位于其北偏东 30°方向上，此时轮船与灯塔 P 的距
离是( B )
A. 15 3海里
B. 30 海里
C. 45 海里
知识要点
核心例题
中考实践
5. (2017·吉林)如图，一枚运载火箭从距雷达站 C 处 5 km 地面 O 处 发射，当火箭到达点 A，B 时，在雷达站 C 处测得点 A，B 的仰 角分别为 34°，45°，其中点 O，A，B 在同一条直线上，求 A， B 两点间的距离．(结果精确到 0.1 km)(参考：sin 34°＝0.56，tan 34°＝0.67)
1.5 米的测角仪 AE，测得塔顶 C 的仰角为 30°，再向塔身前进 10 米，又测得塔顶 C 的仰角为 60°，求来雁塔的高度．
知识要点
核心例题
中考实践
解：∵∠1＋∠2＝∠3
∴∠1＝30°
∴∠1＝∠2
∴AB＝BC＝10
在
Rt△CBD
中
sin60°＝CBDC＝
3 2
∴CD＝5 3 ∴高度为：5 3＋23
知识要点
核心例题
中考实践
解：过点 C 作 CE⊥AB 于点 E 设 CE 为 x km 在 Rt△BEC 中，∠B＝45° ∴BE＝EC＝x 在 Rt△AEC 中，tan30°＝EACE ∴AE＝ 3x ∴ 3x＋x＝10 x＝5( 3＋1) ∴EC＝5( 3＋1)
知识要点
核心例题
中考实践
三、中考实战
A组 12. (2017·泰州)小明沿着坡度 i 为 1∶ 3的直路向上走了 50 m，则
小明沿垂直方向升高了___2_5____m.
知识要点
核心例题
中考实践
B组 13. (2017·深圳)如图，学校环保社成员想测量斜坡 CD 旁一棵树 AB
的高度，他们先在点 C 处测得树顶 B 的仰角为 60°，然后在坡 顶 D 测得树顶 B 的仰角为 30°，已知斜坡 CD 的长度为 20 m， DE 的长为 10 m，则树 AB 的高度是( B )
在 Rt△ACE 中，∠B＝45°，∴x＝50 3＋50
∴AE＝CE＝x
在 Rt△ABE 中，tan30°＝ABEE，
∴x＋x100＝
1 3
知识要点
核心例题
中考实践
11. (2017·宿迁)如图所示，飞机在一定高度上沿水平直线飞行，先 在点 A 处测得正前方小岛 C 的俯角为 30°，面向小岛方向继续 飞行 10 km 到达 B 处，发现小岛在其正后方，此时测得小岛的 俯角为 45°，如果小岛高度忽略不计，求飞机飞行的高度(结果 保留根号)．
核心例题
中考实践
(2)坡角的正切值叫坡度，记作 i＝tan α＝BACC. ①当 i＝1∶ 3，则 α＝________； ②当 i＝ 3∶1，则 α＝________； ③当 i＝1∶1，则 α＝________； ④当 BC＝2，AC＝6，则 i＝________.
知识要点
核心例题
中考实践
3. 如图，水库的拦水坝的横截面是一个梯形，坝顶 BC＝6 米，坝 高 BE＝9 米，斜坡 AB 的坡角为 45°，斜坡 CD 的坡度为 1∶ 3， 求坡 CD 的坡角及坝底 AD 的长．
知识要点
核心例题
中考实践
(1)过点 C 作 CF⊥AB 于点 F
∵tan∠CAB＝
1 3Leabharlann ∴∠CAB＝30°知识要点
核心例题
中考实践
(2)在 Rt△BCF 中，tan∠CBF＝1
∴CF＝BF＝6
在
Rt△ACF
中，tan∠CAF＝
1 3
∴AF＝6 3 ∴AB＝6 3－6＜8
∴不需要拆
知识要点
核心例题
知识要点
核心例题
中考实践
解：在 Rt△AOC 中
tan34°＝OAOC＝0.67
∴AO＝5×0.67≈3.35
在 Rt△BOC 中，∠BCO＝45°
∴BO＝OC＝5
∴AB＝5－3.35≈1.7
知识要点
核心例题
中考实践
考点 2 方位角 6. (2017·天津)如图，一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东
64°方向，距离灯塔 120 海里的 A 处，它沿正南方 向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东 45° 方向上的 B 处，则 AB＝__1_6_1____.(结果取整数，参考数据：sin 64°≈0.90，cos 64°≈0.44，tan 64°≈2.05， 2取 1.41)
知识要点
核心例题
中考实践
过点 C 作 CF⊥AD 于点 F.
在
Rt△CFD
中，tan∠D＝
1 3
∴DF＝9 3
在 Rt△AEB 中，AE＝BE＝9
∴AD＝9＋6＋9 3＝15＋9 3
知识要点
核心例题
中考实践
二、核心例题 考点 1 仰角、俯角 4. (例 1)(2017·衡阳)如图，为了测量来雁塔的高度，在 E 处用高为
PPT课程 第23课 解直角三角形的应用 主讲老师:
一、知识要点 1. 仰角与俯角
(1)抬头看时，视线与水平线的夹角叫仰角，图 中人眼看点 A 的仰角＝________°； (2)低头看时，视线与水平线的夹角叫俯角，图 中人眼看点 B 的俯角＝________°.
知识要点
核心例题
中考实践
对应练习 1. (2017·南通)热气球的探测器显示，从热气球 A 看一栋楼顶部 B
的仰角 α 为 45°，看这栋楼底部 C 的俯角 β 为 60°，热气球与楼 的水平距离为 100 m，求这栋楼的高度(结果保留根号)．
知识要点
核心例题
中考实践
解：在 Rt△ADB 中，∠BAD＝45 ∴AD＝BD＝100 在 Rt△ADC 中 tan60°＝ADDC＝ 3 ∴DC＝100 3 ∴BC＝100＋100 3
知识要点
核心例题
中考实践
2. 方位角 (1)点 A 在 O 的________方向上； (2)点 B 在 O 的________方向上； (3)点 C 在 O 的________方向上．
知识要点
核心例题
中考实践
2. (2017·成都)科技改变生活，手机导航极大方便了人 们的出行，如图，小明一家自驾到古镇 C 游玩，到 达 A 地后，导航显示车辆应沿北偏西 60°方向行驶 4 千米至 B 地，再沿北偏东 45°方向行驶一段距离到 达古镇 C，小明发现古镇 C 恰好在 A 地的正北方向， 求 B，C 两地的距离．
知识要点
核心例题
中考实践
解：设 BC 为 x 米． 在 Rt△ACB 中，tan50°＝BACB＝1.2 ∴AB＝1x.2 在 Rt△DEB 中，DB∶EB＝1∶1 ∴x＋2＝1x.2＋4 x＝24 ∴BC 为 24 米．
知识要点
核心例题
中考实践
9. (2016·济宁)某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为 6 米，坡面 BC 的坡度为 1∶1，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定 降低坡度，使新坡面的坡度为 1∶ 3. (1)求新坡面的坡角∠CAB； (2)原天桥底部正前方 8 米处(PB 的长)的 文化墙 PM 是否需要拆除？请说明理由．
知识要点
核心例题
中考实践
过点 A 作 AE⊥BC 于点 E，过点 B 作 BF 垂直水平线于点 F. AB＝4×8＝32 ∵AB∥CF ∴∠ABC＝30° ∴在 Rt△AEB 中 AE＝15，BE＝15 3
知识要点
核心例题
中考实践
在 Rt△ACE 中，
∠ACE＝75°－30°＝45°
∴AE＝CE＝15°
中考实践
考点 4 锐角三角函数的综合 10. (2017·宜宾)如图，为了测量某条河的宽度，现在河边的一岸边
任意取一点 A，又在河的另一岸边取两点 B、C，测得∠α＝30°， ∠β＝45°，量得 BC 长为 100 米．求河的宽度(结果保留根号)．
知识要点
核心例题
中考实践
过点 A 作 AE⊥BC 于点 E，设 AE 长为 x 米．
知识要点
核心例题
中考实践
解：过 B 作 BE⊥AC 于点 E
在
Rt△ABE
中
sin60°＝BAEB＝
3 2
∴BE＝2 3
在
Rt△BEC
中
cos45°＝
2 2
∴BC＝2 6
知识要点
核心例题
中考实践
3. 坡角、坡度 如图，AB 是一个斜坡，
(1)坡面 AB 与水平线 AC 的夹角 α 叫坡角．
知识要点
知识要点
核心例题
中考实践
A. 20 3 m B. 30 m C. 30 3 m D. 40 m
知识要点
核心例题
中考实践