2014年北京市春季普通高中会考数学试题(含答案)
北京市重点中学2013-2014学年高二春季自主会考数学含答案
2014年春季普通高中会考数 学 试 卷第一部分 选择题（每小题3分，共60分）在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的．1．如果集合{}1,3A =，{}1,4B =，那么集合AB 等于A ．∅B ．{}1C ．{}3,4D ．{}1,3,4 2．已知向量(2,1)=a ，(2,3)=-b ，那么3-a b 等于A ．4,0（）B ．4,6（）C ．8,0（）D ．8,6（）3．已知函数2,0,()2,0,x x x f x x ⎧<⎪=⎨≥⎪⎩那么(1)f 等于A ．1B ．2C ． 3D ．4 4．如果直线1l ：230x y ++=与直线2l ：10mx y --=垂直，那么m 的值为A ．2B ．12C ．2-D ．12- 5．不等式20x x +>的解集为A ．{}0x x >B ．{}1x x <-C ．{}10x x -<<D ．{}10x x x <->或 6．在等比数列{}n a 中，已知11a =，22a =，那么前5项和5S 等于A ．5B ．15C ．16D ．317．要得到函数πsin()3y x =+的图象，只要将函数sin y x =的图象 A ．向左平移π6个单位 B ．向右平移π6个单位C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位8．在函数sin y x =，2y x =， 3x y =，3log y x =中为偶函数的是A ．sin y x =B ．2y x =C ．3x y =D ．3log y x = 9．5πcos3的值为A ．BC ．12-D ．1210．某机构为调查中学生对“北京国际园林博览会”的了解程度，计划从某校初一年级160名学生和高一年级480名学生中抽取部分学生进行问卷调查．如果用分层抽样的方法抽取一个容量为32的样本，那么应抽取初一年级学生的人数为A ．8B ．16C ．24D ．32 11．在△ABC 中，如果 2a =，4b =，60C =，那么c 等于A ．B ．C ． D12．如果0m >，那么4m m+的最小值为A ． 8B ．4C ．D ．213．盒子里装有标着数字1，2，3，4的大小、材质完全相同的4张卡片，从盒子里随机地抽出2张卡片，抽到的卡片上数字之积为奇数的概率是A ．16 B ．13 C ．12 D ．2314．已知函数()1(0,1)xf x a a a =->≠在[1,2]上的最大值是3，那么a 等于A ．14B ．C ． 2D ．415．已知l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是A ．若l α⊥，m α⊂，则l m ⊥B ．若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥C ．若l ∥α，m α⊂，则l ∥mD ．若l ∥α，m ∥α，则l ∥m16．当实数,x y 满足条件 20,0,240x y y x y -≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩时，目标函数z x y =+的最大值是A ．1B ．2C ． 3D ．417．如图，先将边长为a 的正方形铁皮的四个角各截去一个 边长为(0)2ax x <<的小正方形，然后沿虚线折成一个 无盖的长方体盒子．设长方体盒子的体积是y ，则y 关于x 的函数关系式为A ．2(2)y x a x =-B ．2()y x a x =-C ．2(2)y a x x =-D ．2()y a x x =-18．已知一个样本容量为100的样本数据的频率分布直方图如图所示，则样本数据落在[2,10)内的样 本频数为A ．8B ．32C ．40D ．4819．一个几何体的三视图如右图所示，该几何体的体积是A ．16πB ．16C ．163πD ．163主(正)视图44左（侧）视图4俯视图4•20．在矩形ABCD 中，1AD =，E 为CD 的中点. 若1AC BE ⋅=-，则AB 的长为A ．1B ．2C ．3D ．4第二部分 非选择题（共40分）一、填空题（共4个小题，每小题3分，共12分）21．计算121log 43-⎛⎫+ ⎪⎝⎭的结果为 ．22．坐标原点到直线l ：20x y --=的距离为 ．23．某程序框图如右图所示，该程序运行后输出的S 的值为 ．24．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若20142014a =，20142014S =，则1a = ；公差d = ．二、解答题（共4个小题，共28分）25．（本小题满分7分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形．（Ⅰ）证明：BC ∥平面PAD ； （Ⅱ）证明：平面PAC ⊥平面PBD ．26．（本小题满分7分）已知函数2()2sin cos 2cos f x x x x =-． （Ⅰ）求π()12f ； （Ⅱ）求()f x 的最大值和单调递增区间．27．（本小题满分7分）已知圆C ：222440x y x y +-+-=，直线l 与圆C 相交于A ，B 两点．（Ⅰ）若直线l 过点()4,0M ，且AB =，求直线l 的方程；（Ⅱ）若直线l 的斜率为1，且以弦AB 为直径的圆经过原点，求直线l 的方程．28．（本小题满分7分）设二次函数()2f x ax bx c =++在[]2,2-上的最大值、最小值分别是M ，m ，集合(){}A x f x x ==．（Ⅰ）若{}1,2A =，且()02f =，求M 和m 的值；（Ⅱ）若{}2A =，且1a ≥，记()g a M m =+，求()g a 的最小值．2014年春季普通高中会考数学试卷答案及评分标准第一部分选择题（每小题3分，共60分）第二部分非选择题（共40分）二、解答题（共4个小题，共28分）25.（本小题满分7分）（Ⅰ）证明：因为底面ABCD是正方形，BC AD．所以//又因为BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，BC平面PAD．……………3分所以//（Ⅱ）证明：因为底面ABCD是正方形，所以AC⊥BD．因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥AC．又PDÇBD=D，所以AC⊥平面PBD．又因为AC⊂平面PAC，所以平面PAC⊥平面PBD．……………7分26．（本小题满分7分）解： （Ⅰ）因为()f x sin 2cos 21x x =--，所以πππ()sin cos 11266f =--= ……………3分 （Ⅱ）()f x =sin 2(1cos 2)x x -+sin 2cos 21x x =--π)14x =--当πsin(2)14x -=时，函数()f x1．令πππ2π22π242k x k -≤-≤+，得π3πππ(88k x k k -≤≤+∈Z)．所以函数()f x 的单调递增区间是π3π[π,π](88k k k -+∈Z)．……………7分27.（本小题满分7分）解：（Ⅰ）由题设知直线l 的斜率存在，设其方程为(4)y k x =-，即40kx y k --=.圆C ：222440x y x y +-+-=，即22(1)(2)9x y -++=， 圆心()1,2C -，半径为3.由AB =l2=，2=，即23k -=，整理得25120k k -=， 解得，0k =或125k =. 所以直线l 的方程为0y =或125480x y --=. ……………3分（Ⅱ）由直线l 的斜率为1，设直线l 的方程为y x b =+.由222440x y x y y x b⎧+-+-=⎨=+⎩ ， 得2222(1)440x b x b b ++++-=.令224(1)8(44)0b b b ∆=+-+->，解得33b --<<-+（1） 设1122(,),(,)A x y B x y ，则12(1)x x b +=-+，212442b b x x +-=. 以AB 为直径的圆过原点90AOB OA OB ︒⇔∠=⇔⊥⇔0OA OB ⋅= ⇔12120x x y y +=1212()()0x x x b x b ⇔+++=212122()0x x b x x b ⇔+++=.代入得2340b b +-=， 解得1b =或4b =-，满足（1）.故直线l 的方程为1y x =+或4y x =-. ………………………………7分 28.（本小题满分7分）解：（Ⅰ）由(0)2f =，可知2c =.又{}1,2A =，故1,2是方程2(1)0ax b x c +-+=的两实根.所以11212b aca -⎧+=⎪⎪⎨⎪⨯=⎪⎩，解得12a b =⎧⎨=-⎩. 于是22()22(1)1f x x x x =-+=-+. 在[2,2]-上，当1x =时，(1)1m f ==；当2x =-时，(2)10M f =-=.…3分 （Ⅱ）由题意知，方程2(1)0ax b x c +-+=有两相等实根122x x ==，所以12222b aca -⎧+=⎪⎪⎨⎪⨯=⎪⎩，解得144b a c a =-⎧⎨=⎩. 于是2()(14)4f x ax a x a =+-+. 其对称轴方程为411222a x a a -==-，由1a ≥，得132[,2)22a -∈. 在[2,2]-上， 241414181()()(14)()42224a a a a m f a a a a a a a----==+-+=； 2(2)(2)(14)(2)4162M f a a a a =-=-+--+=-.811()1621644a g a M m a a a a-=+=-+=-. 由()g a 在[1,)+∞上为增函数，得()g a 的最小值为163(1)1644g =-=. ……7分。
2014年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学试题(文科)解析版
2014年高考北京卷数学（文）卷解析（精编版）第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共8小题.每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项.1. 若集合A={}0,1,2,4，B={}1,2,3，则A B ⋂=（ ） A.{}0,1,2,3,4 B.{}0,4 C .{}1,2 D.{}3 【答案】C【解析】{}{}{}2,13,2,14,2,1,0== B A . 2. 下列函数中，定义域是R 且为增函数的是（ ） A.x y e -= B.3y x = C.ln y x = D.y x = 【答案】B【解析】对于选项A ，在R 上是减函数；选项C 的定义域为(0,)+∞；选项D ，在(,0)-∞上是减函数，故选B.【考点】本小题主要考查函数的单调性，属基础题，难度不大.3.已知向量()2,4a = ，()1,1b =-，则2a b -= （ ）A.()5,7B.()5,9C.()3,7D.()3,9 【答案】A【解析】2a －b =()()()7,51,14,22=--.4.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ） A.1 B.3 C.7 D.15开始输出结束是否【答案】C【解析】7222210=++=S .5.设a 、b 是实数，则“a b >”是“22a b >”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】D【解析】当0<⋅b a 时，由b a >推不出22b a >，反之也不成立.6.已知函数()26log f x x x=-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是（ ） A.()0,1 B.()1,2 C.()2,4 D.()4,+∞ 【答案】C【解析】因为(2)410f =->，3(4)202f =-<，所以由根的存在性定理可知：选C. 【考点】本小题主要考查函数的零点知识，正确理解零点定义及根的存在性定理是解答好本类题目的关键.7.已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠= ，则m 的最大值为（ ）A.7B.6C.5D.4 【答案】B【解析】由图可知当圆C 上存在点P 使O =∠90APB ，即圆C 与以AB 为直径的圆有公共点，∴143122+≤+≤-m m ，解之得64≤≤m .8.加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率p 与加工时间t （单位：分钟）满足的函数关系2p at bt c =++（a 、b 、c 是常数），下图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ）A.3.50分钟B.3.75分钟C.4.00分钟D.4.25分钟O5430.80.70.5t p【答案】B【解析】由题意得⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=c b a c b a c b a 5255.04168.0397.0，解之得⎪⎩⎪⎨⎧-==-=25.12.0c b a ，∴220.2 1.520.2(t 3.75)0.8125p t t =-+-=--+，即当75.3=t 时，P 有最大值.第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6题，每小题5分，共30分. 9.若()()12x i i i x R +=-+∈，则x = . 【答案】2【解析】∵()i xi i i x 211+-=+-=+，∴2=x . 10.设双曲线C 的两个焦点为()2,0-，()2,0，一个顶点式()1,0，则C 的方程为 . 【答案】122=-y x【解析】由题意设双曲线方程1222=-by x ，又∵()2221=+b ，∴12=b即双曲线方程为122=-y x .11.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为 .俯视图侧（左）视图正（主）视图11122【答案】 22【解析】三棱锥的直观图如图所示，并且ABC PB 面⊥，2=PB ，2,2===BC AC AB ，222222=+=PA ，()62222=+=PC .12.在ABC ∆中，1a =，2b =，1cos 4C =，则c = ；sin A = .【答案】2、815 【解析】由余弦定理得24112241cos 2222=⨯⨯⨯-+=-+=C ab b a c ，即2=c ； 872221442cos 222=⨯⨯-+=-+=bc a c b A ，∴815871sin 2=⎪⎭⎫⎝⎛-=A .13.若x 、y 满足11010y x y x y ≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，则3z x y =+的最小值为 .【答案】1【解析】可行域如图，当目标函数线x y z 3+=过可行域内A 点时，z 有最小值，联立⎩⎨⎧=-+=011y x y ，解之得()1,0A ，11103min =⨯+⨯=Z .14.顾客请一位工艺师把A 、B 两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这 项任务，每件原料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都 完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下：工序 时间 原料粗加工精加工原料A9 15原料B6 21则最短交货期为 工作日. 【答案】42【解析】因为第一件进行粗加工时，工艺师什么都不能做，所以最短交货期为6152142++=天.【考点】本小题以实际问题为背景，主要考查逻辑推理能力，考查分析问题与解决问题的能力.15.已知{}n a 是等差数列，满足13a =，412a =，数列{}n b 满足14b =，420b =，且{}n n b a -是等比数列.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n b 的前n 项和.【解析】⑴ 设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意得41123333a a d --=== 所以()()11312n a a n d n n =+-== ，，． 设等比数列{}n n b a -的公比为q ，由题意得·· 344112012843b a q b a --===--，解得2q =． 所以()11112n n n n b a b a q ---=-=． 从而()13212n n b n n -=+= ，， ⑵ 由⑴知()13212n n b n n -=+= ，，．数列{}3n 的前n 项和为()312n n +，数列{}12n -的前n 项和为1212112n n -=--×． 所以，数列{}n b 的前n 项和为()31212n n n ++-．16. 函数()3sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的部分图象如图所示. （1）写出()f x 的最小正周期及图中0x 、0y 的值； （2）求()f x 在区间,212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.Oy xy 0x 0【解析】⑴ ()f x 的最小正周期为π07π6x =． 03y =⑵ 因为ππ212x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，，所以π5π2066x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，．于是当π206x +=，即π12x =-时，()f x 取得最大值0；当ππ262x +=-，即π3x =-时，()f x 取得最小值3-．17. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，AB BC ⊥，12AA AC ==，1BC =。
最新春季北京市会考数学试卷(含答案)
2014年北京市春季普通高中会考数学试卷一．在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的。
1.已知集合{}{}0,1,3,0,1,2A B ==，那么A B 等于（ ）A. {}0,1B. {}0,1,2C. {}3D. {}0,1,2,32.如果0m >，那么4m m+的最小值为（ ）A. 2B.C. 4D. 83.不等式20x x +>的解集为（ ） A. {}0x x > B. {}1x x <- C. {}10x x -<< D. {}10x x x <->或 4已知点(3,4)A 是角a 终边上的一点，那么sin a 等于（ ） A. 34 B. 43 C. 35 D. 455过点(1,0)且与直线220x y --=平行的直线的方程是（ ）A. 210x y --=B. 210x y -+=C. 220x y +-=D. 210x y +-=6.在等比数列{}n a 中，234,8a a ==，那么1234a a a a +++等于（ ）A. 30B. 28C. 24D. 157.函数()2sin 3cos3f x x x =+的最小正周期为（ ）A. πB. 2πC. 3πD. 6π 8.盒子里装有大小完全相同且分别标有数字1,2,3,4的四个小球，从盒子里随机摸出两个小球，那么事件“摸出的小球上标有的数字之和为5”的概率是（ ） A. 16 B. 13 C. 12 D. 239.某程序框图如下图所示，该程序运行后输出n 的值是（ ）A. 13B. 40C. 121D. 36410.函数1,lg ,cos ,x y e y x y x y x -====中，奇函数是（ ）A. cos y x =B. x y e =C. lg y x =D. 1y x -=11.已知函数2,0()2,0x x f x x x ⎧>⎨-<⎩，如果0()4f x =，那么实数0x 的值为（ ）A. 2B. 0C. 2或2-D. 1或2-12.已知平面向量(1,2),(2,)a b x =-=，且0a b ∙=，那么b 等于（ ）A. B. C. 20 D. 513.已知某三棱锥的三视图如右图所示，那么三棱锥的体积是（ ） A.13B. 1C. 32D. 92 18.国际能源署研究发现，在2000年开始的未来三十年内，非水利的可再生能源的年发电量将比其他任何燃料的年发电量增长都要快，其年平均增长率可达6%，设2013年某地区非水利的可再生能源年发电量为a 度，那么经过12年后，该地区非水利的可再生能源年发电量度数约为（ ） （61.06=A. 2aB. 3aC. 4aD. 6a19.设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，给出下列四个命题： ①如果//,m n αα⊂，那么//m n ；②如果,m m αβ⊥⊥，那么//αβ；③如果,m αβα⊥⊥，那么//m β；④如果,,m m n αβαβ⊥=⊥，那么n β⊥。
2014年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学试题(文科)解析版
2014 年高考北京卷数学（文）卷解析（精编版）第一部分（选择题共40 分）一、选择题共8 小题.每小题 5 分，共40 分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项.1. 若集合A={0,1, 2, 4}，B={1, 2, 3}，则A ⋂B =（）A. {0,1, 2, 3, 4}B. {0, 4}C.{1, 2}D.{3}【答案】C【解析】 A B ={0,1,2,4} {1,2,3}={1,2}.2.下列函数中，定义域是R 且为增函数的是（）A.y =e-xB.y =x3C.y = ln xD.y =x【答案】B【解析】对于选项A，在R 上是减函数；选项C 的定义域为(0, +∞) ；选项D，在(-∞, 0) 上是减函数，故选B.【考点】本小题主要考查函数的单调性，属基础题，难度不大.3.已知向量a =(2, 4)，b =(-1,1)，则2a -b =（）B. (5, 9)C. (3, 7)D. (3, 9)A. (5, 7)【答案】A【解析】2a－b= 2(2,4)-(-1,1)=(5,7).4.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（）A.1B. 3C. 7D.15【答案】C【解析】 S = 20 + 21 + 22 = 7 .5.设a 、b 是实数，则“a >b ”是“a2 >b2 ”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】当a ⋅b < 0时，由a >b 推不出a2 >b2 ，反之也不成立.6.已知函数 f (x )=6- logx 2x ，在下列区间中，包含f (x )零点的区间是（）A. (0,1)B. (1, 2)C. (2, 4)D. (4, +∞)【答案】C【解析】因为f (2) = 4 -1 > 0 ，f (4) =3- 2 < 0 ，所以由根的存在性定理可知：选C.2【考点】本小题主要考查函数的零点知识，正确理解零点定义及根的存在性定理是解答好本类题目的关键.7.已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1和两点A(-m,0)，B(m,0)(m>0)，若圆C上存在点P ，使得∠APB = 90 ，则m 的最大值为（）A. 7B. 6C. 5D. 432 + 42⎩ ⎩【答案】B【解析】由图可知当圆 C 上存在点 P 使∠APB = 90O，即圆 C 与以 AB 为直径的圆有公共点，∴ m -1 ≤ ≤ m + 1，解之得 4 ≤ m ≤ 6.PA (- m ,0)B (m ,0)8.加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率p 与加工时间t （单位：分钟）满足的函数关系 p = at 2 + bt + c （ a 、b 、 c 是常数），下图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（）A. 3.50分钟B. 3.75分钟C. 4.00 分钟D. 4.25 分钟【答案】B⎧0.7 = 9a + 3b + c ⎪⎧a = -0.2⎪【解析】由题意得 ⎨0.8 = 16a + 4b + c ，解之得 ⎨b = 1.5 ，⎪0.5 = 25a + 5b + c ⎪c = -2∴ p = -0.2t 2+ 1.5t - 2 = -0.2(t - 3.75)2+ 0.8125 ，即当t = 3.75时， P 有最大值.2 2 22+ 222 22+ ( 2)26 第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题共 6 题，每小题 5 分，共 30 分.9.若(x + i )i = -1+ 2i (x ∈ R )，则 x = . 【答案】2【解析】∵ (x + i )i = -1 + xi = -1 + 2i ，∴ x = 2. 10. 设双曲线 C 的两个焦点为 (- 为.【答案】 x 2- y 2= 12, 0)， ( 2, 0)， 一个顶点式 (1, 0) ， 则 C 的方程【解析】由题意设双曲线方程 x 2- y 2 b 2 = 1，又∵1 + b 2 = ( )2 ，∴b 2 = 1即双曲线方程为x 2 - y 2 = 1. 11.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为.【答案】 2【解析】三棱锥的直观图如图所示，并且 PB ⊥ 面ABC ，PB = 2 ，AB = 2, AC = BC = ，PA = = 2 ， PC = = .21 - ⎛ 7 ⎫2 ⎝ 8 ⎭⎪ 15 ⎨ ⎩⎩12.在∆ABC 中， a = 1， b = 2 ， cos C = 1，则c =； sin A =.4【答案】2、8【解析】由余弦定理得c 2= a 2+ b 2- 2ab cos C = 1 + 4 - 2 ⨯ 2 ⨯1⨯ 1= 2 ，即c = 2；4cos A =b 2 +c 2 - a 2 2bc = 4 + 4 - 1 = 2 ⨯ 2 ⨯ 2 7 ，∴ sin A = = . 8 8⎧ y ≤ 1 13.若 x 、 y 满足 ⎪x - y -1 ≤ 0 ，则 z = ⎪ x + y -1 ≥ 03x + y 的最小值为.【答案】1【解析】可行域如图，当目标函数线 z = y +3x 过可行域内 A 点时， z 有最小值，联立⎧ y = 1⎨x + y - 1 = 0 ，解之得 A (0,1)， Z min = ⨯ 0 + 1⨯1 = 1. PBC A15314.顾客请一位工艺师把 A 、B 两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这项任务，每件原料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下：则最短交货期为 工作日.【答案】42【解析 】因为第 一件进行粗 加工时， 工艺师 什么都 不能做， 所以最短 交货期为6 +15 + 21 = 42天.【考点】本小题以实际问题为背景，主要考查逻辑推理能力，考查分析问题与解决问题的能 力. 15.已知{a n }是等差数列，满足 a 1 = 3， a 4 = 12 ，数列{b n }满足 b 1 = 4 ， b 4 = 20 ，且{b n - a n }是等比数列.（1）求数列{a n }和{b n }的通项公式； （2）求数列{b n }的前 n 项和.Ay = 1x - y -1 = 0x + y -1 = 0y = - 3x工序时间原料粗加工精加工原料 A 9 15 原料 B621{【解析】⑴ 设等差数列{a }的公差为 d ，由题意得 d = a 4 - a 1 = 12 - 3= 3n3 3所以 a n = a 1 + (n -1)d = 3n (n = 1，2 ， )． 设等比数列{b n - a n }的公比为 q ，由题意得·· q 3 = b 4 - a 4 = 20 -12= 8 ，解得q = 2 ．b 1 - a 1 4 - 3所以b - a = (b - a )q n -1 = 2n -1 ．nn11从而b n = 3n + 2n -1 (n = 1 ，2 ， ) ⑵ 由⑴知b n = 3n + 2 (n = 1 ，2 ， )． n -13n -11 - 2nn数列{3n }的前 n 项和为 n (n + 1)，数列 2 2 }的前 n 项和为1× 1 - 2 = 2- 1． 所以，数列{b }的前 n 项和为 3n (n + 1) + 2n - 1．n216. 函数 f (x ) = 3sin ⎛2x +π⎫的部分图象如图所示. 6 ⎪ ⎝⎭（1）写出 f (x )的最小正周期及图中 x 0 、 y 0 的值；⎡ π π⎤（2）求 f (x )在区间 ⎢⎣- 2 , - 12 ⎥⎦上的最大值和最小值.【解析】⑴f (x )的最小正周期为 πx = 7π ． 06y3 0⑵ 因为 x ∈ ⎡- π，- π ⎤ ，所以2x + π ∈ ⎡- 5π ，0⎤ ．⎣⎢ 212 ⎥⎦ 6 ⎢⎣ 6 ⎥⎦ 于是当 2x + π = 0 ，即 x = - π时， f (x )取得最大值 0；6 12 当 2x + π = - π ，即 x = - π时， f (x )取得最小值 -3．6 2 317. 如图，在三棱柱 ABC - A 1B 1C 1 中，侧棱垂直于底面， AB ⊥ BC ， AA 1 = AC = 2 ，BC = 1。
2014年普通高等学校招生全国统一考试数学(北京卷)理 (2)
2014年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学(理科)第一部分(选择题共40分)一、选择题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1.(2014北京,理1)已知集合A={x|x 2-2x=0},B={0,1,2},则A ∩B=( ). A .{0} B .{0,1} C .{0,2}D .{0,1,2}答案:C解析:解x 2-2x=0,得x=0,x=2,故A={0,2},所以A ∩B={0,2},故选C . 2.(2014北京,理2)下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是( ). A .y=√x +1 B .y=(x-1)2C .y=2-xD .y=log 0.5(x+1)答案:A解析:A 项,y=√x +1为(-1,+∞)上的增函数,故在(0,+∞)上递增;B 项,y=(x-1)2在(-∞,1)上递减,在(1,+∞)上递增;C 项,y=2-x =(12)x 为R 上的减函数;D 项,y=log 0.5(x+1)为(-1,+∞)上的减函数. 故选A .3.(2014北京,理3)曲线{x =-1+cosθ,y =2+sinθ(θ为参数)的对称中心( ).A .在直线y=2x 上B .在直线y=-2x 上C .在直线y=x-1上D .在直线y=x+1上 答案:B 解析:由已知得{cosθ=x +1,sinθ=y -2,消参得(x+1)2+(y-2)2=1. 所以其对称中心为(-1,2). 显然该点在直线y=-2x 上.故选B .4.(2014北京,理4)当m=7,n=3时,执行如图所示的程序框图,输出的S 值为( ). A .7 B .42 C .210 D .840答案:C解析:开始:m=7,n=3.计算:k=7,S=1.第一次循环,此时m-n+1=7-3+1=5,显然k<5不成立,所以S=1×7=7,k=7-1=6.第二次循环,6<5不成立,所以S=7×6=42,k=6-1=5.第三次循环,5<5不成立,所以S=42×5=210,k=5-1=4.显然4<5成立,输出S的值,即输出210,故选C.5.(2014北京,理5)设{a n}是公比为q的等比数列,则“q>1”是“{a n}为递增数列”的().A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案:D解析:等比数列{a n}为递增数列的充要条件为{a1>0,q>1或{a1<0,0<q<1.故“q>1”是“{a n}为递增数列”的既不充分也不必要条件.故选D.6.(2014北京,理6)若x,y满足{x+y-2≥0,kx-y+2≥0,y≥0,且z=y-x的最小值为-4,则k的值为().A.2B.-2C.12D.-12答案:D 解析:如图,作出{x+y-2≥0,y≥0所表示的平面区域,作出目标函数取得最小值-4时对应的直线y-x=-4,即x-y-4=0.显然z的几何意义为目标函数对应直线x-y+z=0在x轴上的截距的相反数,故该直线与x轴的交点(4,0)必为可行域的顶点,又kx-y+2=0恒过点(0,2),故k=2-00-4=-12.故选D.7.(2014北京,理7)在空间直角坐标系Oxyz中,已知A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D(1,1,√2).若S1,S2,S3分别是三棱锥D-ABC在xOy,yOz,zOx坐标平面上的正投影图形的面积,则().A.S1=S2=S3B.S2=S1且S2≠S3C.S3=S1且S3≠S2D.S3=S2且S3≠S1答案:D解析:三棱锥的各顶点在xOy坐标平面上的正投影分别为A1(2,0,0),B1(2,2,0),C1(0,2,0),D1(1,1,0).显然D1点为A1C1的中点,如图(1),正投影为Rt△A1B1C1,其面积S1=12×2×2=2.三棱锥的各顶点在yOz坐标平面上的正投影分别为A2(0,0,0),B2(0,2,0),C2(0,2,0),D2(0,1,√2).显然B2,C2重合,如图(2),正投影为△A2B2D2,其面积S2=12×2×√2=√2.三棱锥的各顶点在zOx坐标平面上的正投影分别为A3(2,0,0),B3(2,0,0),C3(0,0,0),D3(1,0,√2),由图(3)可知,正投影为△A3D3C3,其面积S3=12×2×√2=√2.综上,S2=S3,S3≠S1.故选D.图(1)图(2)图(3)8.(2014北京,理8)学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级,依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙,且其中至少有一门成绩高于乙,则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好,并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生,那么这组学生最多有( ). A .2人 B .3人C .4人D .5人答案:B解析:用A,B,C 分别表示优秀、及格和不及格.显然,语文成绩得A 的学生最多只有一人,语文成绩得B 的也最多只有1人,得C 的也最多只有1人,所以这组学生的成绩为(AC),(BB),(CA)满足条件,故学生最多为3人.第二部分(非选择题共110分)二、填空题共6小题,每小题5分,共30分. 9.(2014北京,理9)复数(1+i 1-i)2= .答案:-1解析:1+i 1-i=(1+i )2(1-i )(1+i )=2i 2=i,所以(1+i 1-i)2=i 2=-1. 10.(2014北京,理10)已知向量a ,b 满足|a |=1,b =(2,1),且λa +b =0(λ∈R ),则|λ|= . 答案:√5解析:|b |=√22+12=√5,由λa +b =0,得b =-λa ,故|b |=|-λa |=|λ||a |,所以|λ|=|b ||a |=√51=√5.11.(2014北京,理11)设双曲线C 经过点(2,2),且与y 24-x 2=1具有相同渐近线,则C 的方程为 ;渐近线方程为 .答案:x 23−y 212=1 y=±2x 解析:双曲线y 24-x 2=1的渐近线方程为y=±2x.设与双曲线y 24-x 2=1有共同渐近线的方程为y 24-x 2=λ,又(2,2)在双曲线上,故224-22=λ,解得λ=-3.故所求双曲线方程为y 24-x 2=-3,即x 23−y 212=1.所求双曲线的渐近线方程为y=±2x.12.(2014北京,理12)若等差数列{a n }满足a 7+a 8+a 9>0,a 7+a 10<0,则当n= 时,{a n }的前n 项和最大. 答案:8解析:由等差数列的性质可得a 7+a 8+a 9=3a 8>0,即a 8>0;而a 7+a 10=a 8+a 9<0,故a 9<0.所以数列{a n }的前8项和最大.13.(2014北京,理13)把5件不同产品摆成一排.若产品A 与产品B 相邻,且产品A 与产品C 不相邻,则不同的摆法有 种. 答案:36解析:产品A,B 相邻时,不同的摆法有A 22A 44=48种.而A,B 相邻,A,C 也相邻时的摆法为A 在中间,C,B 在A 的两侧,不同的摆法共有A 22A 33=12(种).故产品A 与产品B 相邻,且产品A 与产品C 不相邻的不同摆法有48-12=36(种).14.(2014北京,理14)设函数f (x )=A sin(ωx+φ)(A ,ω,φ是常数,A>0,ω>0).若f (x )在区间[π6,π2]上具有单调性,且f (π2)=f (2π3)=-f (π6),则f (x )的最小正周期为 . 答案:π解析:由f(x)在区间[π6,π2]上具有单调性,且f(π2)=-f(π6)知,f(x)有对称中心(π3,0),由f(π2)=f(23π)知f(x)有对称轴x=12(π2+23π)=712π.记f(x)的最小正周期为T,则12T≥π2−π6,即T≥23π.故712π-π3=π4=T4,解得T=π.三、解答题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.15.(本小题13分)(2014北京,理15)如图,在△ABC中,∠B=π3,AB=8,点D在BC边上,且CD=2,cos∠ADC=17.(1)求sin∠BAD;(2)求BD,AC的长.分析:(1)先利用三角形中角之间的关系可得∠BAD=∠ADC-∠B,然后即可利用两角差的正弦公式求解;(2)在△ABD 中,根据正弦定理,结合(1)即可求得BD,然后在△ABC中,直接利用余弦定理求AC即可.解:(1)在△ADC中,因为cos∠ADC=17,所以sin∠ADC=4√37.所以sin∠BAD=sin(∠ADC-∠B)=sin∠ADC cos B-cos∠ADC sin B=4√37×12−17×√32=3√314.(2)在△ABD中,由正弦定理得BD=AB·sin∠BADsin∠ADB =8×3√3144√37=3.在△ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos B=82+52-2×8×5×12=49.所以AC=7.16.(本小题13分)(2014):(1)从上述比赛中随机选择一场,求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率;(2)从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场,求李明的投篮命中率一场超过0.6,一场不超过0.6的概率;(3)记x为表中10个命中次数的平均数.从上述比赛中随机选择一场,记X为李明在这场比赛中的命中次数.比较EX与x的大小.(只需写出结论)分析:(1)先根据统计表格求出投篮命中率,确定投篮命中率超过0.6的场数,然后除以总场数10即可得所求;(2)先根据统计表格分别求出主场、客场的投篮命中率超过0.6的概率,然后根据主场、客场将所求事件分为两个互斥事件,即可利用相互独立事件同时成立的概率求解;(3)根据数学期望的计算公式即可得到EX与x的大小关系.解:(1)根据投篮统计数据,在10场比赛中,李明投篮命中率超过0.6的场次有5场,分别是主场2,主场3,主场5,客场2,客场4.所以在随机选择的一场比赛中,李明的投篮命中率超过0.6的概率是0.5.(2)设事件A 为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”,事件B 为“在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”,事件C 为“在随机选择的一个主场和一个客场中,李明的投篮命中率一场超过0.6,一场不超过0.6”,则C=A B ∪A B ,A ,B 独立.根据投篮统计数据,P (A )=35,P (B )=25.P (C )=P (A B )+P (A B )=35×35+25×25=1325.所以,在随机选择的一个主场和一个客场中,李明的投篮命中率一场超过0.6,一场不超过0.6的概率为1325. (3)EX=x .17.(本小题14分)(2014北京,理17)如图,正方形AMDE 的边长为2,B ,C 分别为AM ,MD 的中点.在五棱锥P-ABCDE 中,F 为棱PE 的中点,平面ABF 与棱PD ,PC 分别交于点G ,H. (1)求证:AB ∥FG ;(2)若PA ⊥底面ABCDE ,且PA=AE ,求直线BC 与平面ABF 所成角的大小,并求线段PH 的长.分析:(1)首先利用AM ∥ED 得到AB ∥平面PDE ,然后利用直线和平面平行的性质定理证明结论;(2)首先根据几何体的结构特征建立空间直角坐标系,求出相关点的坐标,然后求出直线BC 的方向向量和平面ABF 的法向量,利用这两个向量的夹角表示所求,再根据H 在PC 上,设出H 的坐标,然后利用平面ABF 的法向量与AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 垂直确定参数取值,进而求出H 点的坐标,最后利用坐标公式求得线段长度.(1)证明:在正方形AMDE 中,因为B 是AM 的中点,所以AB ∥DE.又因为AB ⊄平面PDE ,所以AB ∥平面PDE. 因为AB ⊂平面ABF ,且平面ABF ∩平面PDE=FG , 所以AB ∥FG.(2)解:因为PA ⊥底面ABCDE ,所以PA ⊥AB ,PA ⊥AE.如图建立空间直角坐标系A-xyz ,则A (0,0,0),B (1,0,0),C (2,1,0),P (0,0,2),F (0,1,1),BC⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,0). 设平面ABF 的法向量为n =(x ,y ,z ),则{n ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{x =0,y +z =0.令z=1,则y=-1.所以n =(0,-1,1). 设直线BC 与平面ABF 所成角为α,则 sin α=|cos <n ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|n ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|n ||BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗||=12. 因此直线BC 与平面ABF 所成角的大小为π6. 设点H 的坐标为(u ,v ,w ).因为点H 在棱PC 上,所以可设PH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPC⃗⃗⃗⃗⃗ (0<λ<1), 即(u ,v ,w-2)=λ(2,1,-2), 所以u=2λ,v=λ,w=2-2λ.因为n 是平面ABF 的法向量,所以n ·AH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即(0,-1,1)·(2λ,λ,2-2λ)=0,解得λ=23,所以点H 的坐标为(43,23,23). 所以PH=√(43)2+(23)2+(-43)2=2.18.(本小题13分)(2014北京,理18)已知函数f (x )=x cos x-sin x ,x ∈[0,π2]. (1)求证:f (x )≤0; (2)若a<sinxx<b 对x ∈(0,π2)恒成立,求a 的最大值与b 的最小值.分析:(1)先求出导函数f'(x ),利用导函数在(0,π2)上的符号判断f (x )在[0,π2]上的单调性,并求出其最大值,即可证得结论;(2)根据x>0,将不等式转化为整式不等式,进而转化为g (x )=sin x-cx (x ∈(0,π2))与0的大小关系,注意对参数c 的取值要分c ≤0,c ≥1和0<c<1三种情况进行分类讨论,然后利用边界值求出a 的最大值与b 的最小值. (1)证明:由f (x )=x cos x-sin x 得f'(x )=cos x-x sin x-cos x=-x sin x. 因为在区间(0,π2)上f'(x )=-x sin x<0, 所以f (x )在区间[0,π2]上单调递减. 从而f (x )≤f (0)=0. (2)解:当x>0时,“sinx x >a”等价于“sin x-ax>0”;“sinxx<b”等价于“sin x-bx<0”. 令g (x )=sin x-cx ,则g'(x )=cos x-c. 当c ≤0时,g (x )>0对任意x ∈(0,π2)恒成立. 当c ≥1时,因为对任意x ∈(0,π2),g'(x )=cos x-c<0, 所以g (x )在区间[0,π2]上单调递减. 从而g (x )<g (0)=0对任意x ∈(0,π2)恒成立. 当0<c<1时,存在唯一的x 0∈(0,π2)使得g'(x 0)=cos x 0-c=0.g (x )与g'(x )在区间(0,π2)上的情况如下:因为g (x )在区间[0,x 0]上是增函数, 所以g (x 0)>g (0)=0.进一步,“g (x )>0对任意x ∈(0,π2)恒成立”当且仅当g (π2)=1-π2c ≥0,即0<c ≤2π.综上所述,当且仅当c ≤2π时,g (x )>0对任意x ∈(0,π2)恒成立;当且仅当c ≥1时,g (x )<0对任意x ∈(0,π2)恒成立. 所以,若a<sinxx<b 对任意x ∈(0,π2)恒成立,则a 的最大值为2π,b 的最小值为1.19.(本小题14分)(2014北京,理19)已知椭圆C :x 2+2y 2=4. (1)求椭圆C 的离心率;(2)设O 为原点,若点A 在椭圆C 上,点B 在直线y=2上,且OA ⊥OB ,试判断直线AB 与圆x 2+y 2=2的位置关系,并证明你的结论.分析:(1)先把方程化为标准方程,分别求出a ,c ,即可求得离心率e ;(2)分别设出A ,B 两点的坐标,先利用OA ⊥OB 求出两点坐标之间的关系,然后根据A ,B 两点横坐标是否相等分类,分别求出原点O 到直线AB 的距离,将其与圆的半径√2进行比较,即可判断直线与圆的位置关系. 解:(1)由题意,椭圆C 的标准方程为x 24+y 22=1. 所以a 2=4,b 2=2,从而c 2=a 2-b 2=2.因此a=2,c=√2. 故椭圆C 的离心率e=c a=√22.(2)直线AB 与圆x 2+y 2=2相切.证明如下:设点A ,B 的坐标分别为(x 0,y 0),(t ,2),其中x 0≠0.因为OA ⊥OB ,所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即tx 0+2y 0=0,解得t=-2y0x 0. 当x 0=t 时,y 0=-t 22,代入椭圆C 的方程,得t=±√2,故直线AB 的方程为x=±√2,圆心O 到直线AB 的距离d=√2,此时直线AB 与圆x 2+y 2=2相切. 当x 0≠t 时,直线AB 的方程为y-2=y 0-2x 0-t(x-t ), 即(y 0-2)x-(x 0-t )y+2x 0-ty 0=0. 圆心O 到直线AB 的距离d=00√(y 0-2)2+(x 0-t )2.又x 02+2y 02=4,t=-2y 0x 0, 故d=|2x 0+2y 02x |√x 02+y 02+4y 02x 02+4=|4+x 02x |√x 04+8x 02+162x 02=√2.此时直线AB 与圆x 2+y 2=2相切.20.(本小题13分)(2014北京,理20)对于数对序列P :(a 1,b 1),(a 2,b 2),…,(a n ,b n ),记T 1(P )=a 1+b 1,T k (P )=b k +max{T k-1(P ),a 1+a 2+…+a k }(2≤k ≤n ),其中max{T k-1(P ),a 1+a 2+…+a k }表示T k-1(P )和a 1+a 2+…+a k 两个数中最大的数. (1)对于数对序列P :(2,5),(4,1),求T 1(P ),T 2(P )的值;(2)记m 为a ,b ,c ,d 四个数中最小的数,对于由两个数对(a ,b ),(c ,d )组成的数对序列P :(a ,b ),(c ,d )和P':(c ,d ),(a ,b ),试分别对m=a 和m=d 两种情况比较T 2(P )和T 2(P')的大小;(3)在由五个数对(11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)组成的所有数对序列中,写出一个数对序列P 使T 5(P )最小,并写出T 5(P )的值.(只需写出结论)分析:(1)直接根据定义式即可求出T 1(P )和T 2(P )的值;(2)先根据定义式分别写出T 2(P )和T 2(P'),然后根据a ,b ,c ,d 中最小数的不同比较对应两个代数式的大小,即可求得T 2(P )和T 2(P')的大小关系;(3)先比较已知数据大小,然后根据定义式写出使T 5(P )最小的数对序列,依次求出T 1(P ),T 2(P ),T 3(P ),T 4(P ),T 5(P )即可. 解:(1)T 1(P )=2+5=7,T 2(P )=1+max{T 1(P ),2+4}=1+max{7,6}=8. (2)T 2(P )=max{a+b+d ,a+c+d }, T 2(P')=max{c+d+b ,c+a+b }.当m=a 时,T 2(P')=max{c+d+b ,c+a+b }=c+d+b.因为a+b+d ≤c+b+d ,且a+c+d ≤c+b+d ,所以T 2(P )≤T 2(P'). 当m=d 时,T 2(P')=max{c+d+b ,c+a+b }=c+a+b.因为a+b+d ≤c+a+b ,且a+c+d ≤c+a+b ,所以T 2(P )≤T 2(P'). 所以无论m=a 还是m=d ,T 2(P )≤T 2(P')都成立.(3)数对序列P :(4,6),(11,11),(16,11),(11,8),(5,2)的T 5(P )值最小, T 1(P )=10,T 2(P )=26,T 3(P )=42,T 4(P )=50,T 5(P )=52.。
2014年普通高等学校招生全国统一考试北京卷文科数学及答案
2014年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数 学（文史类）本试卷共6页，150分。
考试时长120分钟，。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的4个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.若集合{}0,1,2,4A =，{}1,2,3B =，则AB =（ ）A.{}0,1,2,3,4B.{}0,4C.{}1,2D.{}3 2.下列函数中，定义域是R 且为增函数的是（ ）A.xy e -= B.y x = C.ln y x = D.y x = 3.已知向量()2,4a =，()1,1b =-，则2a b -=（ ）A.()5,7B.()5,9C.()3,7D.()3,9 4.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）A.1B.3C.7D.15输出5.设a 、b 是实数，则“a b >”是“22a b >”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不必要条件C.充分必要条件D.既不充分 不必要条件 6.已知函数()26log f x x x=-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是（ ）A.()0,1B.()1,2C.()2,4D.()4,+∞ 7.已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=，则m 的最大值为（ ）A.7B.6C.5D.4 8.加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.咋特定条件下，可食用率p 与加工时间t （单位：分钟）学 科网满足的函数关系2p at bt c =++（a 、b 、c 是常数），下图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ） A.3.50分钟 B.3.75分钟 C.4.00分钟 D.4.25分钟第2部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2014年春季北京市会考数学试卷(含答案)
2014年北京市春季普通高中会考数学试卷一．在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的。
1.已知集合{}{}0,1,3,0,1,2A B ==，那么A B U 等于（ ）A. {}0,1B. {}0,1,2C. {}3D. {}0,1,2,32.如果0m >，那么4m m+的最小值为（ ）A. 2B.C. 4D. 83.不等式20x x +>的解集为（ ） A. {}0x x > B. {}1x x <- C. {}10x x -<< D. {}10x x x <->或 4已知点(3,4)A 是角a 终边上的一点，那么sin a 等于（ ） A. 34 B. 43 C. 35 D. 455过点(1,0)且与直线220x y --=平行的直线的方程是（ ）A. 210x y --=B. 210x y -+=C. 220x y +-=D. 210x y +-=6.在等比数列{}n a 中，234,8a a ==，那么1234a a a a +++等于（ ）A. 30B. 28C. 24D. 157.函数()2sin 3cos3f x x x =+的最小正周期为（ ）A. πB. 2πC. 3πD. 6π 8.盒子里装有大小完全相同且分别标有数字1,2,3,4的四个小球，从盒子里随机摸出两个小球，那么事件“摸出的小球上标有的数字之和为5”的概率是（ ） A.16 B. 13 C. 12 D. 239.某程序框图如下图所示，该程序运行后输出n 的值是（ ）A. 13B. 40C. 121D. 36410.函数1,lg ,cos ,x y e y x y x y x -====中，奇函数是（ ）A. cos y x =B. x y e =C. lg y x =D. 1y x -=11.已知函数2,0()2,0x x f x x x ⎧>⎨-<⎩，如果0()4f x =，那么实数0x 的值为（ ）A. 2B. 0C. 2或2-D. 1或2- 12.已知平面向量(1,2),(2,)a b x =-=r r ，且0a b •=r r ，那么b r 等于（ ）A. 25B. 5C. 20D. 513.已知某三棱锥的三视图如右图所示，那么三棱锥的体积是（ ）A.13B. 1C. 32D. 92 18.国际能源署研究发现，在2000年开始的未来三十年内，非水利的可再生能源的年发电量将比其他任何燃料的年发电量增长都要快，其年平均增长率可达6%，设2013年某地区非水利的可再生能源年发电量为a 度，那么经过12年后，该地区非水利的可再生能源年发电量度数约为（ ） （61.062=）A. 2aB. 3aC. 4aD. 6a19.设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，给出下列四个命题： ①如果//,m n αα⊂，那么//m n ；②如果,m m αβ⊥⊥，那么//αβ；③如果,m αβα⊥⊥，那么//m β；④如果,,m m n αβαβ⊥=⊥I ，那么n β⊥。
2014年北京市普通高中数学会考考试说明题型示例_(自动保存的)
北京市高中数学毕业会考说明题型示例一．选择题1、 已知集合A={}|(1)0x x x -=，那么下列结论正确的是（ ） .0.1.1.0A A B A C A D A∈∉-∈∉ 2、设集合M={1，2，3，4，5}，集合N={2，4，6}，集合T={4，5，6}，则（M∩T ）∪N 是（ ） A.{2，4，5，6} B.{4，5，6} C.{1，2，3，4，5，6} D.{2，4，6}3. 已知全集I={1，2，3，4，5，6}，A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6}，那么C I （A∩B ）等于（ ） A.{3，4} B.{1，2，5，6} C.{1，2，3，4，5，6} D. Ø4. 设集合M={－2，0，2}，N={0}，那么下列结论正确的是（ ） A ．N 为空集 B.N ∈M C.N M D.M N5. 函数y= 16-x 2x的定义域是（ ）A.[－4,0）∪（0,4]B.[－4,4]C.(－∞,－4]∪[4,+∞） D[－4,0）∪[4,+∞） 6. 已知函数f(x)=log 3(8x+1),那么f(1)等于( ) A.2 B. log 310 C. 1D. 07. 如果f(x)=x － 1x ,那么对任意不为零的实数x 恒成立的是( )A. f(x)=f(－x)B. f(x)=f(1x )C. f(x)= － f(1x )D. f(x) ·f(1x )=08．设集合A={}{},,,0,1a b c B =，那么从A 到B 的映射共有（ ） A. 6个 B. 7个 C. 8个 D. 9个 9. 函数f(x)=x｜x ｜的图象大致是（ ）10. 下列函数中，与函数y= x(0x ≥)有相同图象的一个是（ ）A ．y=x 2B. y=2D. y= x 2x11. 在同一坐标系中，函数y=2x 与y=(12)x的图象之间的关系是( ) A. 关于y 轴对称 B.关于x 轴对称 C. 关于原点对称. D. 关于直线y x =对称12. 下列函数中，在区间（0，+∞）上是增函数的是（ ） A.y=－x 2 B.y= x 2－2 C.y=(12 )x D.y=log 21x13. 函数y=)(log 21x -是（ ）A. 区间（－∞，0）上的增函数B.区间（－∞，0）上的减函数C. 区间（0，+∞）上的增函数D.区间（0，+∞）上的减函数 14. 下列函数中为偶函数的是（ ）A.f(x)=x 2+x －1 B. f(x)=x ∣x ∣ C. f(x)=lg 1+x 1-x D. f(x)=2x +2-x215. 函数y=｜｜x 31log (x ∈R 且x≠0)为( )A. 奇函数，且在（－∞，0）上是减函数 B 奇函数，且在（－∞，0）上是增函数C ． 偶函数，且在（0，+∞）上是减函数 D. 偶函数，且在（0，+∞）上是增函数 16. 如果函数f(x)=（12）∣x ∣(x ∈R), 那么函数f(x)是（ ）A.是奇函数，且在（－∞，0）上是增函数B. 是偶函数，且在（－∞，0）上是减函数C. 是奇函数，且在（0，+∞）上是增函数D. 是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数 17. 设函数()(0)xf x aa -=>，且(2)4f =,那么( ).(1)(2).(1)(2).(2)(2).(3)A f f B f f C f f D f f ->-><-->-18. 已知函数f(x)=(m －1)x 2+(m －2)x+(m 2－7m+12)是偶函数，那么m 的值是（ ）A.1B. 2C. 3D. 4 19. 如果函数xy a =-的图象过点13,8⎛⎫- ⎪⎝⎭,那么a 的值为( )11.2.2..22A B C D --20. 实数2732–3log 22·log 218+lg4+2lg5的值为（ ）A.2B.5C.10D.20 21. 235log 25log 4log 9⋅⋅的值为（ ） A. 6 B. 8 C. 15 D. 3022. 设a=log 0.56.7,b=log 24.3,c=log 25.6,那么a,b,c 的大小关系为（ ）A.b<c<aB.a<c<bC.a<b<cD.c<b<a23. 设log a 23 <1(0<a<1)，那么a 的取值范围是（ ） A.(23 ,1) B.(0,1) C.(0,23 ) D.(0,23 ]24.如果函数()log (1)a f x x a =>在区间[],2a a 上的最大值是最小值的3倍，那么a 的值为（ ）...2.3A B C D25. 某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售时，每天可销售100件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润。
北京市重点中学2013-2014学年高二春季自主会考-数学-Word版含答案
AC
BE
1
，则
AB
的长为
A． 1
B． 2
C． 3
D． 4
第二部分 非选择题（共 40 分）
一、填空题（共 4 个小题，每小题 3 分，共 12 分）
21
．
计
算
的
1 3
1 Biblioteka log24结
果
为
．
22 ． 坐 标 原 点 到 直 线 l ：
x y 2 0 的距离为
．
开
i=始0，
SS==0S
+ii= ii+≥2 否
等实根 x1 x2 2 ，所以
， 2
2
2 2
1
c a
a
b
解
得
. b 1 4a
c 4a
于是
. f (x) ax2 (1 4a)x 4a
其 对 称 轴 方 程 为 x 4a 1 2 1 ， 由 a 1， 得
2a
2a
. 2 1 [3 , 2) 2a 2
在
上 [2, 2]
，
； m
令 ，解得 . 4(b 1)2 8(b2 4b 4) 0
3 3 2 b 3 3 2
（1）
设 ，则 A(x1, y1), B(x2, y2 )
， . x1 x2 (b 1)
x1x2
b2
4b 2
4
以 AB 为直径的圆过原点
AOB 90 OA OB
OAOB 0
x1x2 y1 y2 0
是6 ? 输 出结S 束
23．某程序框图如右图所示，该程序运行后输
出的 S 的值
为
．
24 ． 已 知 是 Sn 等 差 数 列 的 {an} 前 n 项 和 ， 若
北京市2014年中考数学真题试题(含扫描答案)
2014年北京市高级中等学校招生考试数学试卷考生须知1．本试卷共6页，共五道大题，25道小题，满分120分．考试时间120分钟．2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号．3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回．一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．2的相反数是A．2 B．2-C．12-D．122．据报道，某小区居民李先生改进用水设备，在十年内帮助他居住小区的居民累计节水300 000吨．将300 000用科学记数法表示应为A．60.310⨯B．5310⨯C．6310⨯D．43010⨯3．如图，有6张扑克处于，从中随机抽取一张，点数为偶数的概率是A．16B．14C．13D．124．右图是几何体的三视图，该几何体是A.圆锥B．圆柱C．正三棱柱D．正三棱锥5．某篮球队12名队员的年龄如下表所示：年龄（岁）18 19 20 21人数 5 4 1 2则这A．18，19 B．19，19 C．18，19.5D．19，19.56．园林队在某公园进行绿化，中间休息了一段时间．已知绿化面积S（单位：平方米）与工作时间t（单位：小时）的函数关系的图象如图所示，则休息后园林队每小时绿化面积为xyOxyABCOOE DCBAA ．40平方米B ．50平方米C ．80平方米D ．100平方米7．如图．O e 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足是E ，22.5A ∠=︒，4OC =，CD 的长为A ．22B ．4C ．42D ．88．已知点A 为某封闭图形边界上一定点，动点P 从点A 出发，沿其边界顺时针匀速运动一周．设点P 运动的时间为x ，线段AP 的长为y ．表示y 与x 的函数关系的图象大致如右图所示，则该封闭图形可能是AADCBAA二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．分解因式：429______________ax ay -=．10．在某一时刻，测得一根高为1.8m 的竹竿的影长为3m ，同时测得一根旗杆的影长为25m ，那么这根旗杆的高度为 m ．11．如图，在平面直角坐标系xOy 中，正方形OABC 的边长为2．写出一个函数(0)ky k x =≠，使它的图象与正方形OABC 有公共点，这个函数的表达式为 ．12．在平面直角坐标系xOy 中，对于点()P x y ，，我们把点(11)P y x '-++，叫做点P 的伴随点，已知点1A 的伴随点为2A ，点2A 的伴随点为3A ，点3A 的伴随点为4A ，…，这样依次得到点1A ，2A ，3A ，…，n A ，….若点1A 的坐标为（3，1），则点3A 的坐标为 ，点2014A 的坐标为 ；若点1A 的坐标为（a ，b ），对于任意的正整数n ，点n A 均在x 轴上方，则a ，b 应满足的条件为 .三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．如图，点B 在线段AD 上，BC DE ∥，AB ED =，BC DB =. 求证：A E ∠=∠.14．计算：11(6π)()3tan30|3|5--︒+--︒+-.15．解不等式1211232x x --≤，并把它的解集在数轴上表示出来. -4-34-2-112316．已知3x y -=，求代数式2(1)2(2)x x y y x +-+-的值. 17．已知关于x 的方程2(2)20(0)mx m x m -++=≠. （1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m 的值.18．列方程或方程组解应用题：小马自驾私家车从A 地到B 地，驾驶原来的燃油汽车所需油费108元，驾驶新购买的纯电动车所需电费27元，已知每行驶1千米，原来的燃油汽车所需的油费比新购买的纯电动汽车所需的电费多0.54元，求新购买的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费.四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．如图，在ABCD Y 中，AE 平分BAD ∠，交BC 于点E ，BF 平分ABC ∠，交AD 于点F ，AE 与BF 交于点P ，连接EF ，PD . （1）求证：四边形ABEF 是菱形；（2）若4AB =，6AD =，60ABC ∠=︒，求tan ADP ∠的值.20．根据某研究院公布的2009~2013年我国成年国民阅读调查报告的部分相关数据，绘制的统计图表如下：年份年人均阅读图书数量（本）ECBADF PECBAD下载并打印阅读1.0%手机阅读15.6%电子阅读器阅读2.4%网络在线阅读15.0%图书阅读m %根据以上信息解答下列问题： （1）直接写出扇形统计图中m 的值；（2）从2009到2013年，成年国民年人均阅读图书的数量每年增长的幅度近似相等，估算2014年成年国民年人均阅读图书的数量约为 本；（3）2013年某小区倾向图书阅读的成年国民有990人，若该小区2014年与2013年成年国民的人数基本持平，估算2014年该小区成年国民阅读图书的总数量约为 本.21．如图，AB 是O e 的直径，C 是»AB 的中点，O e 的切线BD 交AC 的延长线于点D ，E是OB 的中点，CE 的延长线交切线BD 于点F ，AF 交O e 于点H ，连接BH . （1）求证：AC CD =； （2）若2OB =，求BH 的长.OHEF CD22．阅读下面材料：小腾遇到这样一个问题：如图1，在ABC △中，点D 在线段BC 上，75BAD ∠=︒，30CAD ∠=︒，2AD =，2BD DC =，求AC 的长．2009 3.88 2010 4.12 2011 4.35 20124.56 20134.78图3ABCDEE图2图1AB CD D CB A小腾发现，过点C 作CE AB ∥，交AD 的延长线于点E ，通过构造ACE △，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．请回答：ACE ∠的度数为 ，AC 的长为 ． 参考小腾思考问题的方法，解决问题：如图3，在四边形ABCD 中，90BAC ∠=︒，30CAD ∠=︒，75ADC ∠=︒，AC 与BD 交于点E ，2AE =，2BE ED =，求BC 的长．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y x mx n =++经过点A （0，2-），B （3，4）．（1）求抛物线的表达式及对称轴；（2）设点B 关于原点的对称点为C ，点D 是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在A ，B 之间的部分为图象G （包含A ，B 两点）．若直线CD 与图象G 有公共点，结合函数图像，求点D 纵坐标t 的取值范围．xy–1–2–3–41234–1–2–3–41234524．在正方形ABCD 外侧作直线AP ，点B 关于直线AP 的对称点为E ，连接BE DE ，，其中DE 交直线AP 于点F ． （1）依题意补全图1；（2）若20PAB ∠=︒，求ADF ∠的度数；（3）如图2，若4590PAB ︒<∠<︒，用等式表示线段AB FE FD ，，之间的数量关系，并证明．图 1PD CBAA BCDP图 225．对某一个函数给出如下定义：若存在实数0M >，对于任意的函数值y ，都满足M y M -≤≤，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M 中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，下图中的函数是有界函数，其边界值是1．（1）分别判断函数1y x =()0x >和()142y x x =+-<≤是不是有界函数？若是有界函数，求其边界值；（2）若函数1y x =-+()a x b b a ≤≤>，的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，求b 的取值范围； （3）将函数()210y x x m m =-≤≤≥，的图象向下平移m 个单位，得到的函数的边界值是t ，当m 在什么范围时，满足314t ≤≤？。
2014年春季北京市新课程会考答案12.6
2014年北京市春季普通高中会考历史试卷答案及评分参考第一部分选择题 (共50分)第二部分非选择题 (共50分)一、本题共16分1．表现：实行集体领导,公职人员由选举产生,议员代表按比例分配,任期有限制。
（6分）2．原则：主权在民和分权制衡。
（2分）意义:维护了美国的民主共和制度，有效地防止了独裁专制。
（4分）3．文献：《中国人民政治协商会议共同纲领》。
（2分）地位：具有临时宪法的性质。
（2分）二、本题共18分1．特点：打破坊市界限，出现夜市，出现瓦肆等娱乐场所，城市的商业功能增强。
（6分）2．因素：西北部煤炭资源丰富，工业革命实现了机器生产，工厂制确立。
（6分）3．趋势：生产总值逐渐增长。
（2分）原因：改革开放的深化，社会主义市场经济体制的推动，中国加入世界贸易组织。
（答出两点即可得分）（4分）三、本题共16分1．主张：孔子“仁者爱人”、“己所不欲,勿施于人”等。
（2分）苏格拉底“有思想力的人是万物的尺度”、“美德即知识”等。
（2分）2．主题一：启蒙运动与人文主义的发展关键词：伏尔泰、孟德斯鸠、《社会契约论》添加的关键词：卢梭主题二：戊戌变法与中国的思想解放关键词：康有为、《变法通议》、《新学伪经考》添加的关键词：梁启超主题三：新文化运动与中国思想解放关键词：胡适、《新青年》、《狂人日记》添加的关键词：陈独秀或鲁迅等（提炼主题准确得2分；关键词正确、全面得3分，每个词1分；添加关键词正确得1分。
）3. 主张：反对僵化迷信，提倡思想解放，实事求是。
（2分）认识：南方谈话，推动了社会主义市场经济体制建立。
一国两制，实现了香港、澳门的回归。
和平与发展是时代的主题，促进了中国外交出现新局面。
社会主义的本质是发展生产力，促进了经济的发展，提高了人民生活水平。
“三个面向”，科教兴国，推动了我国教育获得巨大发展。
（4分）（理论正确得2分，事例对应正确得2分。
）。
北京市春季普通高中会考数学试题及答案
2010年北京市春季普通高中会考（新课程）一、选择题1. 已知全集为R ，集合{|1}A x x =≥，那么集合A R ð等于A. {|1}x x >B. {|1}x x >-C. {|1}x x <D. {|1}x x <-2. 已知函数()f x 是R 上的奇函数，且(1)1f =，那么(1)f -等于A. 1-B. 0C. 1D. 23. 已知直线l 经过坐标原点，且与直线220x y --=平行，那么直线l 的方程是 A. 20x y += B. 20x y +=C. 20x y -=D. 20x y -=4. 已知向量(2,8)=a ，(4,2)=-b ，且1()2=+c a b ，那么向量c 等于 A. (1,5)-B. (2,10)-C. (6,6)--D. (3,3)--5. 已知点(2,0)A -，(0,)B b ，如果直线AB 的倾斜角为45︒，那么实数b 等于A. 3B. 2C. 1D. 06. 已知函数sin y x =在区间M 上是增函数，那么区间M 可以是A. (0,2π)B. 3π(0,)2C. (0,π)D.π(0,)27. 已知4sin 5α=，且π(,π)2α∈，那么cos α等于 A. 34-B.34C. 35-D.358. 在数列{}n a 中，如果12a =，*11()n n a a n +=-∈N ，那么5a 等于A. 4-B. 3-C. 2-D. 1-9. 为做好家电下乡工作，质检部门计划对300台Ⅰ型电视机和500台Ⅱ型电视机进行检测.如果采用分层抽样的方法抽取一个容量为16的样本，那么应抽取Ⅰ型电视机的台数为 A. 3B. 5C. 6D. 1010. 已知0a >，那么1a a+的最小值是 A. 4B.3 C.2 D. 111.函数12y x =的图象大致是A B C D 12. 一个空间几何体的三视图如右图 所示，该几何体的体积为A.13 B. 23C. 43D. 8313. 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，如果11a =-，22a =，那么4S 等于A. 6B. 5C. 4D. 314. 已知圆M 经过点(1, 2)，且圆心为(2, 0)，那么圆M 的方程为A. 22(2)5x y -+= B. 22(2)5x y ++= C. 22(2)3x y -+=D. 22(2)3x y ++=15. 已知lg3a =，lg 2b =，1lg2c =，那么a ，b ，c 的大小关系为 A. c b a >>B. c a b >>C. a c b >>D. a b c >>16. 如果等差数列{}n a 的公差为2，且124, , a a a 成等比数列，那么1a 等于A. 2B. 1C. 1-D. 2-17. 盒中装有大小形状都相同的5个小球，分别标以号码1,2,3,4,5，从中随机取出一个小球，其号码为偶数的概率是 A.15B.25C.35D.4518. 已知函数2,0,()1,0.x x f x x x -⎧⎪=⎨-<⎪⎩≥如果01()2f x =，那么0x 等于A. 1或2-B. 1-或2C. 1或2D. 1-或2-19. 已知点(2,0)A -，(2,0)B ，如果直线340x y m -+=上有且只有一个点P 使得0PA PB ⋅=u u u r u u u r，那么实数m 等于A. 4±B. 5±C. 8±D. 10±20. 某种放射性物质的质量(kg)M 随时间t （年）的变化规律是0.0010e t M M -=，其中0M为该物质的初始质量.如果计算中ln 2取0.693，那么这种放射性物质的半衰期．．．（质量变为初始质量的一半所需要的时间）约为A. 347年B. 693年C. 1386年D. 2772年第二部分 非选择题（共40分）一、填空题（共4个小题，每小题3分，共12分）21. 如果向量(4,2)=-a ，(,1)x =b ，且a ，b 共线，那么实数x = . 22. 在冬季征兵过程中，对甲、乙两组青年进行体检，得到如图所示的身高数据（单位：cm ）的茎叶图，那么甲组青年的平均身高是 cm .若从乙组青年中随机选出一人，他的身高恰为179 cm 的概率为 .23. 化简πsin()2cos(π)αα+=- .24. 阅读下面的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为 .二、解答题（共3个小题，共28分） 25.（本小题满分9分）如图，四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ， 底面ABCD 是正方形，且PD AB ==2. （Ⅰ）求PB 的长；（Ⅱ）求证：AC ⊥平面PBD . 26．（本小题满分9分）在△ABC 中，π6A =，π5π,26B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2BC =.（Ⅰ）若2π3B =，求sin C ；（Ⅱ）求证：5π4sin 6AB B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（Ⅲ）求BA BC ⋅u u u r u u u r 的取值范围.27.（本小题满分10分）已知函数2()1f x ax bx =+-，其中(0,4)a ∈，b ∈R ． （Ⅰ）当1a =时，解不等式()()3f x f x x +-<；（Ⅱ）设0b <，当1,0x a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，3(),0f x a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求a ，b 的值；（Ⅲ）若函数()f x 恰有一个零点0(1,2)x ∈，求a b -的取值范围．。
北京市春季普通高中会考数学试卷含解析
2016年北京市春季普通高中会考数学试卷一、在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的•1 .函数y=3sinx+2的最小正周期是（）A. 1B. 2C.nD. 2 n2 .已知集合A={1, 2} , B={1, m 3}，如果A H B=A那么实数m等于（）A. - 1 B . 0 C. 2 D. 43. 如果向量.1,-，:;二、4壬| ,那么等于（）A.（9, 8）B. （- 7,- 4）C.（7, 4）D. （- 9,- 8）4. 在同一直角坐标系xOy中，函数y=cosx与y=- cosx的图象之间的关系是（）A.关于x轴对称B•关于y轴对称C.关于直线y=x对称2D.关于直线y=- x对称5. 执行如图所示的程序框图.当输入-2时，输出的y值为（）A.- 2 B . 0 C. 2 D.±26. 已知直线I经过点P （2, 1），且与直线2x- y+2=0平行，那么直线I的方程是（）A. 2x - y - 3=0B. x+2y - 4=0C. 2x - y - 4=0D. x- 2y- 4=07. 某市共有初中学生270000人，其中初一年级，初二年级，初三年级学生人数分别为99000, 90000, 81000,为了解该市学生参加“开放性科学实验活动”的意向，现采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为3000的样本，那么应该抽取初三年级的人数为（）A. 800 B . 900 C. 1000 D. 11008. 在△ ABC中，/ C=60 , AC=2 BC=3 那么AB等于（）A. 「B. ；C.二D. . 79. 口袋中装有大小、材质都相同的6个小球，其中有3个红球、2个黄球和1个白球，从中随机摸出1个球，那么摸到红球或白球的概率是（）A.二B.二C.二D.E 3 E 310. 如果正方形ABCD勺边长为1,那么等于（）A. 1B. 「C. 一D. 211. 2015年9月3日，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利70周年大会在北京天安门广场隆重举行，大会中的阅兵活动向全世界展示了我军威武文明之师的良好形象，展示了科技强军的伟大成就以及维护世界和平的坚定决心，在阅兵活动的训练工作中，不仅使用了北斗导航、电子沙盘、仿真系统、激光测距机、迈速表和高清摄像头等新技术装备，还通过管理中心对每天产生的大数据进行存储、分析、有效保证了阅兵活动的顺利进行，假如训练过程过程中第一天产生的数据量为a,其后每天产生的数据量都是前一天的q （q> 1）倍，那么训练n天产生的总数据量为（）12. 已知.....那么 cos (-2a)等于( )A..B.: C. ： D.:13. 在函数①y=x 「餐②y=2x ；③y=log 2X :④y=tanx 中，图象经过点(1,1)的函数的序号 是( ) A.① B.② C.③ D.④14. log 42 - log 48 等于( ) A.- 2 B . - 1 C . 1 D. 215. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是正方形，那么该几何体的表面积是()1 1 ]A. 32B. 24C.； 三D.-16.如果 a > b >0,且 a+b=1，那么在不等式①—-1 ；②丄—;@ — ;④—中，b b s b a ab4一定成立的不等式的序号是( )A.① BP C.③ D.④17. 在正方体ABC - A 1B 1C 1D 中，E ，F ，G 分别是A 1B 1, BC , BB 的中点，给出下列四个推 断： ① FG//平面 AADD; ②EF//平面BCD ; ③FG//平面BGD ; ④平面EFG/平面BGD 其中推断正确的序号是( ) A.①③ B.①④ C •②③ D.②④18 .已知圆O 的方程为x 2+y 2=4,圆Q 的方程为(x - a ) 2+y 2=1，如果这两个圆有且只有一个 公共点，那么a 的所有取值构成的集合是( ) A. {1 , - 1} B. {3 , - 3} C. {1 , - 1, 3,- 3} D. {5，- 5, 3,- 3}19. 在直角坐标系xQy 中，已知点A(4, 2)和(0, b)满足|BQ|=|BA|，那么b 的值为( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 20. 已知函数 f (x ) =a x ,其中 a >0,且 a ^ 1,如果以 P (X 1, f (X 1)) , Q(X 2, f (X 2)) 为端点的线段的中点在y 轴上，那么f (X 1) ?f (X 2)等于( A. 1 B. a C. 2 D. a 2 21. 已知点A (0, 1)，动点P (x , y )的坐标满足y w |x|，那么|PA|的最小值是( )A. ：B.」C.丄D. 1 22.已知函数二K一^一，关于f (x )的性质，有以下四个推断：x +1A. aqn - 1B. aq nC.0 (] - f 1) D!_q. 一q①f ( x)的定义域是(-X, +x)；②f ( x)的值域是壬③f ( x)是奇函数；④f (x)是区间(0, 2)上的增函数.其中推断正确的个数是(A. 1B. 2C. 3D. 423•为应对我国人口老龄化问题，某研究院设计了延迟退休方案，第一步：2017年女干部和女工人退休年龄统一规定为55岁；第二步：从2018年开始，女性退休年龄每3年延迟1 岁，至2045年时，退休年龄统一规定为65岁，小明的母亲是出生于1964年的女干部，据此方案，她退休的年份是( )A. 2019B. 2020C. 2021D. 202224. 已知函数f (x) =asinx+bcosx，其中a€R, b€R,如果对任意x €R，都有f (x)工2，那么在不等式①-4v a+b v4;②-4v a- b v4;③a2+b2v 2;④a 2+b2v4中，一定成立的不等式的序号是( )A.① BP C.③ D.④25. 我国古代数学名着《续古摘奇算法》(杨辉)一书中有关于三阶幻方的问题：将1, 2, 3, 4, 5, 6，7，8, 9分别填入3X3的方格中，使得每一行，每一列及对角线上的三个数的和都相等(如图所示)，我们规定：只要两个幻方的对应位置(如每行第一列的方格)中的数字不全相同，就称为不同的幻方，那么所有不同的三阶幻方的个数是( )(I) tan 0 = _____________ ；(U)求：二… 一)的值.27.如图，在三棱柱ABC- ABC中，BB丄平面ABC / ABC=90 , AB=2 BC=?=1 D是棱A1B1上一点.(I)证明：BCL AD(U)求三棱锥B- ACD勺体积.28 .已知直线I : x+y=1与y轴交于点P,圆0的方程为x2+y2=r2(r > 0).(I)如果直线l与圆O相切，那么r= _______________ ;(将结果直接填写在答题卡的相应位置上)(U)如果直线l与圆O交于A, B两点，且，求r的值.一29. 数列｛a n｝满足「.讨一一「，n=1, 2, 3,…，｛a n｝的前n项和记为S.%+1(I) 当a1=2 时，a2= ____________ ;(U)数列｛a n｝是否可能为等比数列证明你的推断；3- 1 1(川)如果a1^0,证明：.a n+l11巧30. 已知函数f (x) =2ax2+bx- a+1,其中a CR, b€R.(I)当a=b=1时，f (x)的零点为__________________ ;a(U)当：..时，如果存在x°€R,使得f (x°)v 0,试求a的取值范围；J(川)如果对于任意x €[ - 1, 1]，都有f (x)>0成立，试求a+b的最大值.2016年北京市春季普通高中会考数学试卷参考答案与试题解析一、在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的.1 .函数y=3sinx+2的最小正周期是( )A. 1B. 2C.nD. 2 n【考点】三角函数的周期性及其求法.【分析】由条件利用函数y=Asin (①x+©)的周期为二，求得结果.【解答】解：函数y=3sinx+2的最小正周期为2 n , 故选：D.2 .已知集合A={1, 2} , B={1, m 3}，如果A H B=A那么实数m等于( )A. - 1 B . 0 C. 2 D. 4【考点】集合的包含关系判断及应用.【分析】由A H B=A得出A?B,即可得出m【解答】解：：A H B=A•- A={1, 2} , B={1, m 3},••• m=2故选C.3. 如果向量> u. " , h一、說，那么等于- ：■ I ( )A.( 9, 8)B. (- 7,- 4)C.( 7, 4)D. (- 9,- 8)【考点】平面向量的坐标运算.【分析】根据向量的坐标的运算法则计算即可.【解答】解：向量…二-，:-- ■_,则于.：.1= (1, 2)- 2 (4, 3) = (1, 2)-( 8, 6) = (1-8, 2-6) = (-7,- 4),故选：B.4. 在同一直角坐标系xOy中，函数y=cosx与y=- cosx的图象之间的关系是( )A.关于x轴对称B•关于y轴对称C.关于直线y=x对称2D.关于直线y=- x对称【考点】余弦函数的图象.【分析】根据当自变量相同时，它们的函数值相反，可得它们的图象关于x轴对称.【解答】解：由于当自变量相同时，它们的函数值相反，故它们的图象关于x轴对称，故选：A.5. 执行如图所示的程序框图.当输入-2时，输出的y值为( )A.- 2 B . 0 C. 2 D.±2【考点】程序框图.【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出输出的结果. 【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；x= - 2, x>0,否；y=-(- 2) =2,输出y的值为2.故选：C.6•已知直线I 经过点P （2, 1），且与直线2x - y+2=0平行，那么直线I 的方程是（ ） A. 2x - y - 3=0 B . x+2y - 4=0 C. 2x - y - 4=0 D . x - 2y - 4=0 【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系.【分析】设所求的方程为x - y+c=0,代点可得关于c 的方程，解之代入可得. 【解答】解：由题意可设所求的方程为 2x - y+c=0, 代入已知点（2, 1）,可得4 - 1+c=0,即c=- 3, 故所求直线的方程为：2x - y - 3=0, 故选：A. 7. 某市共有初中学生270000人，其中初一年级，初二年级，初三年级学生人数分别为 99000, 90000, 81000,为了解该市学生参加“开放性科学实验活动”的意向，现采用分层 抽样的方法从中抽取一个容量为 3000的样本，那么应该抽取初三年级的人数为（ ） A. 800 B . 900 C . 1000 D. 1100 【考点】分层抽样方法.【分析】先求出每个个体被抽到的概率，用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率等于该 层应抽取的个体数.则抽取初三年级的人数应为 81000X =900人，故选：B.8. 在△ ABC 中，/ C=60 , AC=2 BC=3 那么 AB 等于（ ）A.二B. 一 C •.二 D. - 【考点】余弦定理.【分析】由已知及余弦定理即可求值得解. 【解答】解：I/ C=60 , AC=2 BC=3 •••由余弦定理可得：AB=匚匚丨宀「-.-门-厂=•,=二.故选：C.9. 口袋中装有大小、材质都相同的 6个小球，其中有3个红球、2个黄球和1个白球，从 中随机摸出1个球，那么摸到红球或白球的概率是（ ） A.B.C.D.【考点】古典概型及其概率计算公式.【分析】根据题意，易得口袋中有6个球，其中红球和白球共有4个，由古典概型公式，计 算可得答案.【解答】解：根据题意，口袋中有6个球，其中3个红球、2个黄球和1个白球， 则红球和白球共有4个，故从中随机摸出1个球，那么摸到红球或白球的概率是 ='; 故选D.10. 如果正方形ABCD 勺边长为1,那么汀等于（ ）A. 1B. —C. 一D. 2【考点】平面向量数量积的运算.【解答】解：每个个体被抽到的概率等于3000 =1270000^0，【分析】求出二• 1的模长和夹角，代入数量积公式计算.【解答】解：•••正方形ABCD勺边长为1,二丨胡=1 , |「|= 一，/ BAC=-,•••，・.|=| .】|?| ：「|?cos ：=「故选：A.11. 2015年9月3日，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利70周年大会在北京天安门广场隆重举行，大会中的阅兵活动向全世界展示了我军威武文明之师的良好形象，展示了科技强军的伟大成就以及维护世界和平的坚定决心，在阅兵活动的训练工作中，不仅使用了北斗导航、电子沙盘、仿真系统、激光测距机、迈速表和高清摄像头等新技术装备，还通过管理中心对每天产生的大数据进行存储、分析、有效保证了阅兵活动的顺利进行，假如训练过程过程中第一天产生的数据量为a,其后每天产生的数据量都是前一天的q（q> 1）倍，那么训练n天产生的总数据量为（）A. aq n-1B. aq nC.D. 八]_ q ] _ q【考点】等比数列的前n项和.【分析】由已知得训练n天产生的总数据量为S=a+aq+a6+…+aq n"，由此能求出结果.【解答】解：•••训练过程中第一天产生的数据量为a,其后每天产生的数据量都是前一天的q （q> 1）倍，•••那么训练n天产生的总数据量为：2 n—1S=a+aq+aq+…+aq一一 -：.故选：D.12 .已知“；："_€，那么cos （—2 a ）等于（）A. B. C. D.2 2 2 2【考点】二倍角的余弦.【分析】利用诱导公式，二倍角的余弦函数公式即可求值得解.【解答】解：：-:,2 1 2 1• cos （—2 a ）=cos2 a =2COS a —1=2X（）- 1 =—.故选：B.13. 在函数①y=x —餐②y=2x；③y=log 2X:④y=tanx中，图象经过点（1, 1）的函数的序号是（）A.①B.②C.③D.④【考点】函数的图象.【分析】把点（1, 1）代入各个选项检验，可得结论.【解答】解：把点（1, 1）代入各个选项检验，可得只有y=x—1的图象经过点（1, 1）, 故选：A.14. log 42 —log 48 等于（）A.- 2 B . —1 C . 1 D. 2【考点】对数的运算性质.【分析】根据对数的运算法则计算即可.【解答】解：log 42 —log48=log4 =log44-1=- 1,故选：B.15•某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是正方形，那么该几何体的表面积是（）A. 32B. 24C. —:D.」夕厂【考点】由三视图求面积、体积.【分析】由几何体的三视图得出原几何体一个底面为正方形的长方体，结合图中数据求出它的表面积.【解答】解：由三视图可知，该几何体是一个底面为正方形的长方体，长方体的底面正方形的对角线长为2,长方体的高是3;所以，底面正方形的边长为*订二_,=7，该长方体的表面积为2X . - :，+4X 3X 一=4+12「.故选：C.16. 如果a> b>0，且a+b=1，那么在不等式①T ' --;②：③+丄「亠：④:中,b be b a ac Q一定成立的不等式的序号是（）A.① BP C.③ D.④【考点】不等式的基本性质.【分析】通过特殊值判断①②，通过通分判断③，通过基本不等式的性质判断④.【解答】解：如果a>b>0,且a+b=1，那么①—■■■■ ^.，②丄"二丄，令a=0.8，b=0.2，显然不成立，故①②错误；③+「「，故;，错误；④仁a+b>2 丄，故］，故④正确，故选：D.17. 在正方体ABC—A1B1C1D中，E，F，G分别是A1B1，BC, BB的中点，给出下列四个推断：①FG//平面AADD; ②EF//平面BCD;③FG//平面BGD ; ④平面EFG/平面BGD其中推断正确的序号是（）A.①③B.①④C•②③ D.②④【考点】平面与平面平行的判定；直线与平面平行的判定.【分析】由FG// BC, BG// AD,得FG// AD,从而FG//平面BCD, FG//平面AADD;由EF//A i C, A i G与平面BCD相交，从而EF与平面BCD相交，进而平面EFG与平面BCD相交.【解答】解：•••在正方体ABCD- A i B i C i D中，E, F, G分别是A1B1, B i C i, BB的中点，••• FG// BG,v BC// AD,：FG// AD,••• FG?平面AADD, AD?平面AADD,：FG//平面AADD,故①正确；••• EF//AQ, A i C与平面BCD相交，二EF与平面BCD相交，故②错误；••• E, F, G分别是AB, BC, BB的中点，••• FG// BC,：FG?平面BCD, BC?平面BCD,••• FG//平面BCD，故③正确；••• EF与平面BCD相交，二平面EFG与平面BCD相交，故④错误. 故选：A.I8 .已知圆O的方程为x2+y2=4,圆Q的方程为(x - a) 2+y2=I，如果这两个圆有且只有一个公共点，那么a的所有取值构成的集合是( )A. {I , - i}B. {3 , - 3}C. {I , - I, 3,- 3}D. {5，- 5, 3,- 3}【考点】圆与圆的位置关系及其判定.【分析】两个圆有且只有一个公共点，两个圆内切或外切，分别求出a,即可得出结论.【解答】解：•••两个圆有且只有一个公共点，•••两个圆内切或外切，内切时，|a|=i ,外切时，|a|=3 ,•••实数a的取值集合是{I , - I, 3,- 3}.故选：C.19. 在直角坐标系xQy中，已知点A(4, 2)和(0, b)满足|BQ|=|BA|，那么b的值为( )A. 3B. 4C. 5D. 6【考点】两点间距离公式的应用.【分析】根据两点间的距离公式表示|BQ|=|BA|，即可求出b的值.【解答】解：•••点 A (4, 2) 和 B (0, b)满足|BQ|=|BA| ,•••b2=42+ (2-b) 2,二b=5.故选：C.20. 已知函数f (x) =a x,其中a>0,且a^I,如果以P (x i, f (xj) , Q(X2, f (X2)) 为端点的线段的中点在y轴上，那么f (x i) ?f (X2)等于(A. iB. aC. 2D. a2【考点】指数函数的图象与性质.【分析】由已知可得x i+X2=0,进而根据指数的运算性质，可得答案.【解答】解::以P (x i, f (x i)), Q (X2, f (X2))为端点的线段的中点在y轴上，•'•X i+X2=0, 又：f (x) =a x,• f (x i) ?f (X2) =a xi+a x2=a xi+x2=a0=i,故选：A.21. 已知点A (0, i)，动点P (x, y)的坐标满足y w|x|，那么|PA|的最小值是( )A. B.送C.适D. i2 2 2【考点】二元一次不等式(组)与平面区域.【分析】作出平面区域，根据图形找出PA的最小值.【解答】解：作出平面区域如图，贝U |PA|的最小值为A (0, 1)至U直线x - y=0的距离故选：B.22•已知函数■-"，关于f (x)的性质，有以下四个推断：h +1①f (x)的定义域是(-X, +x)；②f( x)的值域是.一..；③f ( x)是奇函数；④f (x)是区间(0, 2)上的增函数.其中推断正确的个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 4【考点】函数的定义域及其求法；函数的值域；函数奇偶性的判断.【分析】根据f (x)的表达式求出其定义域，判断①正确；根据基本不等式的性质求出(X)的值域，判断②正确；根据奇偶性的定义，判断③正确；根据函数的单调性，判断④ 错误. 【解答】解：①•••函数■'■■,:，X +1 ••• f (x)的定义域是(-X, +X)，故①正确；1②f ( x) =「，x > 0 时：f (x)^ -x v0 时：f (x)>-.，故f (x)的值域是」.，故②正确；③f (- x) =- f (x)，f (x)是奇函数，故③正确；1 - X2④由f'( x)= : ，(J+l)令f'( x) > 0，解得：-1 v x v 1，令f'( x )v 0，解得：x > 1 或x v- 1，••• f (x)在区间(0, 2) 上先增后减，故④错误；故选：C.23. 为应对我国人口老龄化问题，某研究院设计了延迟退休方案，第一步：2017年女干部和女工人退休年龄统一规定为55岁；第二步：从2018年开始，女性退休年龄每3年延迟1 岁，至2045年时，退休年龄统一规定为65岁，小明的母亲是出生于1964年的女干部，据此方案，她退休的年份是( )A. 2019B. 2020C. 2021D. 2022【考点】函数的值.【分析】按原来的退休政策，她应该于：1964+55=2019年退休，再据此方案，能求出她退休的年份.【解答】解：•••小明的母亲是出生于1964年的女干部，•••按原来的退休政策，她应该于：1964+55=2019年退休，•••从2018年开始，女性退休年龄每3年延迟1岁，•••据此方案，她退休的年份是2020年.故选：B.24. 已知函数f (x) =asinx+bcosx，其中a€R, b€R,如果对任意x €R，都有f (x)工2，那么在不等式①-4v a+b v4;②-4v a- b v4;③a2+b2v 2;④a 2+b2v4中，一定成立的不等式的序号是( )A.① BP C.③ D.④【考点】两角和与差的正弦函数.【分析】需要分类讨论，当a=0时，和当a M0时，函数f (x) =asinx+bcosx= .f + ilsin(x+ 9 )，其中tan 9 =，然后比较计算即可.【解答】解：当a=0时，f (x) =bcosx，•••x €R，都有f (x)工2，•|b| v 1，•••- 1 v a+b v 1，- 1 v a- b v 1，a2+b2v 1，当a^0 时，函数 f (x) =asinx+bcosx= J / + in (x+9 )，其中tan 9 ='，•x €R，都有 f (x)工2，.牛二v2，即卩a2+b2v4，综上所示，只有④一定成立，故选：D.25. 我国古代数学名着《续古摘奇算法》(杨辉)一书中有关于三阶幻方的问题：将1, 2, 3, 4, 5, 6，7，8, 9分别填入3X3的方格中，使得每一行，每一列及对角线上的三个数的和都相等(如图所示)，我们规定：只要两个幻方的对应位置(如每行第一列的方格)中( )【考点】计数原理的应用.【分析】列举所有排法，即可得出结论.【解答】解：三阶幻方，是最简单的幻方，由1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.其中有8种排法4 9 2、3 5 7、8 1 6 ; 2 7 6、9 5 1、4 3 8 ; 2 9 4、7 5 3、6 1 8 ; 4 3 8、9 5 1、2 7 6 ; 8 1 6、3 5 7、4 9 2 ; 6 1 8、75 3、2 9 4 ;67 2、1 5 9、8 3 4 ; 8 3 4、15 9、67 2 .故选：B.二.解答题(每小题5分，共25分)26. 已知■■—匕 | ,且tan 0 =(U)求ii- . ■:的值.o【考点】三角函数的化简求值.【分析】(I)由条件利用同角三角函数的基本关系，求得cos 0的值，可得tan 0的值.(U)由条件利用两角和的余弦公式，求得加二、= \的值.【解答】解：(I)：：'匚；p 匚」，且j',A cos 0 = —| -二门’T = —W •••;-」: I.故答案为：-,.4■: 一 ' =cos 0 cos-1- sin 0 sin 二=- ：.-——O O 5 7 E 7 乙丄U27. 如图，在三棱柱ABC- ABC中，BB丄平面ABC / ABC=90，AB=2 BC=?=1 D是棱A i B i上一点.(I)证明：BCL AD；(U)求三棱锥B- ACD勺体积.【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系.【分析】(I)根据线面垂直的性质定理证明BCL平面ABBA i，即可证明：BCLAD；(U)利用转化法结合三棱锥的体积公式即可求三棱锥B-ACD勺体积.【解答】证明：(I)在三棱柱ABC- A1B1G中，BB L平面ABC / ABC=90，•BC L AB：BB L平面ABC BZ?平面ABC•BB L BC：BB G AB=B•BC L平面ABBA i，：AD?平面ABBA，•BC L AD(n)v BC L平面ABBA!,•BC是三棱锥C- ABD的高，则V-AC=VC-ABE=S^ABD?BC=AB?BB?BC= X 2X 1=，1 J £J £ 1即:'i .1 ;.28 .已知直线I : x+y=1与y轴交于点P，圆0的方程为x2+y2=r2(r > 0).(I)如果直线I与圆O相切，那么r=.手;(将结果直接填写在答题卡的相应位置上)(U)如果直线I与圆0交于A, B两点，且三一」，求r的值.【考点】直线与圆的位置关系.【分析】(I)如果直线I与圆0相切，圆心到直线的距离d=r;(n)如果直线I与圆0交于A, B两点，且-^—_4,分类讨论，利用相交弦定理、勾股定理求r的值. 【解答】解：(1)圆心到直线的距离d= ' = L「…(n)设|PA|=x，则|PB|=2x .圆心到直线的距离d=；.①点P在圆内，|AB|=3x，则x?2x= (r - 1) (r+1 ),「.x2= (r2- 1),J••.r= (r2- 1) +，二r= ?；E 2②点P 在圆外，贝U x?2x= (1-r) (r+1 ),.・.x2=[ (1 - r2)，d(1-r2) +:」r=「•••r的值为」或：…5故答案为：:.宫29. 数列｛a n｝满足n=1, 2, 3,…，｛a n｝的前n项和记为S.a n+1(I)当a1=2 时，a2= ______ ;(n)数列｛a n｝是否可能为等比数列证明你的推断；3- i 3- 1(川)如果a1^0,证明：-------------- -11 a l a n+l【考点】数列递推式；数列的求和.【分析】(I)当a1=2时，代入计算，可得a2；(n)利用反证法判断数列｛a n｝不可能为等比数列; (川)利用数学归纳法进行证明.2 【解答】解：(I)当a1=2时，(n)设公比为q,贝U21• +1=,• q=1，此时a n=0,矛盾•数列｛a n｝不可能为等比数列;aL (川)n=1时，左边=a i ,右边=一 =a i ,成立; n=k+1 时，左边=S+a k+i =''+a k+i =a l ak+l a l 2~右边二二］二旷-=一"=「 _*严=七: •••左边二右边, 故答案为：.30. 已知函数 f (x ) =2ax 2+bx - a+1,其中 a CR, b€R.(I )当a=b=1时，f (x )的零点为 0,_ :(U)当：.“时，如果存在x °€R,使得f (x °)v 0,试求a 的取值范围；(川)如果对于任意x €［ - 1,1］，都有f (x )>0成立，试求a+b 的最大值.【考点】函数零点的判定定理；二次函数的性质.【分析】(I )令f (x ) =0解出；(II )根据f ( x )的函数类型和图象开口讨论，只需 f min ( x )V 0即可；(III )对函数类型，开口方向，单调性进行讨论，令 f min ( x )>0列出不等式，根据不等 式的性质得出a+b 的范围.2 1【解答】解：(I ) a=b=1 时，f (x ) =2x +x ，令 f (x ) =0,解得 x=0 或 x=-=.°. f (x )的 零点为0,-..(II ) 当 b=时，f (x ) =2ax 2+^x - a+1, 1 J4 匚 v① 当 a=0时，f (x ) =-.'；+1, f (x )为 R 上的增函数，f (- .|) =0,二当 x o V- |时，f (x o ) v 0,符合题意；② 当a v 0时，f (x )的图象开口向下，显然存在 x °€R ，使得f (x °)v 0,符合题意；1 1 9③ 当a >0时，f (x )的图象开口向上，对称轴为 x= - _, f min (x ) =f (-L )=1 - a -=a, _ a 假设n=k 时，结论成立，则 S=—31 a k4-la fc+l + a j a l a k+2 ak+la i a k+l 6 • a l k+l 巧+1令 1 - a - v 0,解得 a 或 0v a v .9土 S 3综上，a 的取值范围是(-K , ) U( ', +x ).(III )①若 a=0, f (x ) =bx+1,当b=0时，f (x ) =1，符合题意，此时，a+b=0,当 b >0 时，f (x )在［-1, 1］上是增函数，：f min (x ) =f (- 1) =-b+1>0,A b < 1,此时， a+b=b < 1.当 b v 0 时，f (x )在［-1, 1］上是减函数，.・f min (x ) =f (1) =b+1>0,A- 1< b v 0,此 时 a+b=b v 0.1 即 4a -b W0 时，f (x )在［-1, 1］上是增函数，f m (x ) =f (- 1) =a -b+1>0, 当-—>1 即卩4a+b w0 时，f (x )在［-1, 1］上是减函数，f min (x ) =f (1)=a+b+1>0,： -a -b < 1.f4a+b<0-ab< l 得"N>0当-1 v v 1 即-4a v b v 4a 时，f (x )在［-1, 1］上先减后增，f min (x ) =f (- D =k 2 k 2-—-a+1> 0,••二 +a < 1, 8a 8a由—4a v b v 4a 得 b 2 v 16a 2,： 3a < 1,二0 H 二.二 a+b v 5a w 三③ 若a v 0, f (x )图象开口向下，对称轴为x=-.,L当- <-1 即 4a -b 》0 时，f (x )在［-1, 1］上是减函数，f min (x ) =f (1) =a+b+1>0, •: a+b >- 1.4a - b^O由得-g w a v 0,又I b < 4a ,： a+b < 5a v 0. a<0 "当- >1 即 4a+b > 0 时，f (x )在［-1, 1］上是增函数，f min (x ) =f (- 1) =a - b+1> 0,②若a >0,f (x )图象开口向上，对称轴为x =-「 当-.<- 4 土:b - a < 1.4a - b=Co 由 * b l aWl 得*a+真一. € 「 丄 3 1 4” ，，二 a +b v N -- 0：a- b>- 1,(4a+b>0由■" r 亠i 得-—w a v 0,又T b w a+1,.°. a+b w 2a+1 v 1. |a<0 「当-1 v- v 1即4a v b v- 4a时，f (x)在［-1, 1］上先增后减，4磴f (1) =a+b+1》0. f (- 1) =a- b+1》0,两式相加得-1 w a v 0,.「. b w a+1,—a+b w2a+1 v 1.综上，a+b的最大值为.2016年4月12日。
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2014年北京市春季普通高中会考数 学 试 卷第一部分 选择题（每小题3分，共60分）在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的.1．已知集合{}0,1,3A =，{}0,1,2B =，那么AB 等于A ．{}0,1B ．{}0,1,2C ．{}3D ．{}0,1,2,32．如果0m >，那么4m m+的最小值为 A ．2B ．C ．4D ． 83．不等式2+0x x >的解集为A ．{}0x x >B ．{}1x x <-C ．{}10x x -<<D ．{}10x x x <->或4．已知点(3,4)A 是角α终边上的一点，那么sin α等于A ．43B ．43C ．53D ．455．过点(1,0)且与直线220x y --=平行的直线的方程是A ．210x y --=B ．210x y -+=C ．220x y +-=D ．210x y +-=6．在等比数列{}n a 中，24a =，38a =，那么1234a a a a +++等于A ．30B ．28C ．24D ．157．函数()2sin3cos3f x x x =⋅的最小正周期为A ．πB ．2π C ．3π D ．6π 8．盒子里装有大小完全相同且分别标有数字1,2,3,4的四个小球，从盒子里随机摸出两个小 球，那么事件“摸出的小球上标有的数字之和为5”的概率是 A ．16B ．13C ．12D ．239．某程序框图如下图所示，该程序运行后输出n 的值是A ．13B ．40C ．121D ．36410．在函数e xy =，lg y x =，cos y x =, 1y x -=中，奇函数是A ． cos y x =B ． e xy =C ． lg y x =D ． 1y x -=11．已知函数2,0,()2,0.x x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩如果0()4f x =，那么实数0x 的值为A ．2B ．0C ．2或2-D ．1或2-12．已知平面向量(1,2)=-a ，(2,)x =b ，且0⋅a b =，那么b 等于A ．B ．C ． 20D ． 513．已知某三棱锥的三视图如右图所示，那么该三棱锥的体积是A ．13 C ．32B ．1 D ．9214．当x ，y 满足条件20,0,240x y y x y ≥≥≤-⎧⎪⎨⎪+-⎩时，目标函数z x y =+的最大值是A ．3B ．2C ．1D ．015．在边长为2的正方形ABCD 内随机取一点P ,那么点P 到顶点A 的距离大于1的概率是A ．16π B ．116π-C ．4π D ．14π-16．在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，且1,60a b B ===︒，那么c 等于A ．1B ．2C ．3D ．417．函数()25ln f x x x =-+的零点所在的区间是A ．(1,2)B ．(2,3)C ．()3,4D ．()4,518．国际能源署研究发现，在2000年开始的未来三十年内，非水利的可再生能源的年发电量将比其它任何燃料的年发电量增长都要快，其年平均增长率可达6% .设2013年某地区非水利的可再生能源的年发电量为a 度，那么经过12年后，该地区非水利的可再生能源的A ．2aB ．3aC ．4aD ．6a19．设m ,n 是两条不同的直线，βα,是两个不同的平面，给出下列四个命题：① 如果m //α，α⊂n ，那么n m //； ② 如果βα⊥⊥m m ,，那么βα//； ③ 如果,,αβα⊥⊥m 那么β//m ；④ 如果,,αβαβm m n ^=^I ,那么β⊥n ． 其中正确的命题是 A ．①B ．②C ．③D ．④20．如图，在圆O 中，已知弦4AB =，弦6AC =，那么AO BC ⋅的值为A ．10 B．CD ． 10-第二部分 非选择题（共40分）一、填空题（共4个小题，每小题3分，共12分） 21.计算cos43cos13sin43sin13︒︒+︒︒的值等于 .22. 校园歌手大奖赛中,甲、乙两组同学（每组5人）的成绩用茎叶图表示如下图所示．如果用s 甲，s 乙分别表示两组同学演唱成绩的标准差，那么s 甲 s 乙（填, , <>=）.23. 已知点A 的坐标为(2,1)，点B 的坐标为(3,3)，且2AC AB =，那么点C 的坐标为 .24.已知数列{}n a 满足11(1)2n n n a n a ++=--（n *∈N ）,且17a a =，那么1234a a a a ++++56a a += .二、解答题（共4个小题，共28分） 25.（本小题满分7分）已知函数()cos π)f x x x =-.（Ⅰ）求π()3f 的值；（Ⅱ）求函数()f x 在区间ππ[,]22-上的最大值和最小值．4 2 6 4 9 18 8 9 99 8 7 甲 乙26.（本小题满分7分）如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，F E ,分别为棱AB AD , 的中点．（Ⅰ）求证：EF ∥平面11D CB ； （Ⅱ）求证：平面11C CAA ⊥平面11D CB ．27.（本小题满分7分）已知圆222:()C x a y r -+=与直线1y x =-交于A ，B 两点，点P 为线段AB 的中点，O 为坐标原点．（Ⅰ）如果直线OP 的斜率为13，求实数a 的值；（Ⅱ）如果AB ，且OA OB ⊥，求圆C 的方程．28.（本小题满分7分）已知函数2()2f x x ax =--，且函数(2)f x +是偶函数． （Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）设函数()y g x =，集合{()0}M x g x x =-=，{(())0}N x g g x x =-=．(ⅰ) 证明M N ⊆；(ⅱ) 如果()()g x f x =，集合{(())0,2}P x g g x x x ≤且=-=，那么集合P 中的元素个数为 ．2014年北京市春季普通高中会考数学试卷答案及评分参考[说明]1. 第一部分选择题，机读阅卷.2. 第二部分包括填空题和解答题.为了阅卷方便，解答题中的推导步骤写得较为详细，考生只要写明主要过程即可.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.第一部分 选择题 (共60分)选择题（每小题3分，共60分）第二部分 非选择题 (共40分)一、填空题（每小题3分，共12分）21.22. > 23. (4,5) 24. 1-二、解答题（共4个小题，共28分） 25.（本小题满分7分）已知函数()cos π)f x x x =-．（Ⅰ）求π()3f 的值；（Ⅱ）求函数()f x 在区间ππ[,]22-上的最大值和最小值．（Ⅰ）解：π1()32f =2=. …………………………3分 （Ⅱ）解：()cos f x x x =12(cos )2x x =π2s i n ()6x =+. 因为 ππ[,]22x ∈-，所以 ππ2π363x ≤≤-+.所以 πsin()16x ≤+.从而 π2sin()26x ≤+.所以 当ππ62x +=，即π3x =时，()f x 的最大值为2；当ππ63x +=-，即π2x =-时，()f x 的最小值为 ……………7分26.（本小题满分7分）如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，F E ,分别为棱AB AD , 的中点． （Ⅰ）求证：EF ∥平面11D CB ；（Ⅱ）求证：平面11C CAA ⊥平面11D CB ． （Ⅰ）证明：连结BD .在正方体1AC 中，11//D B BD . 因为 E ，F 分别为棱AD ，AB 的中点， 所以 BD EF //. 所以 11//D B EF .又因为 11B D ⊂平面11CB D ，⊄EF 平面11D CB ，所以 EF ∥平面11D CB . ……………3分 （Ⅱ）证明：在正方体1AC 中，1AA ⊥平面1111D C B A .又因为11B D ⊂平面1111D C B A ， 所以 1AA ⊥11D B .又在正方形1111D C B A 中，1111D B C A ⊥， 且1111AA A C A =，所以 11D B ⊥平面11C CAA . 又因为 11B D ⊂平面11D CB ，所以 平面11C CAA ⊥平面11D CB ． ………………7分 27.（本小题满分7分）已知圆222:()C x a y r -+=与直线1y x =-交于A ，B 两点，点P 为线段AB 的中点，O 为坐标原点.（Ⅰ）如果直线OP 的斜率为13，求实数a 的值；（Ⅱ）如果AB =OA OB ⊥，求圆C 的方程. （Ⅰ）解：由已知，直线OP 的方程为13y x =，与1y x =-联立解得 31(,)22P . 由垂径定理可得 AB CP ⊥. 所以 1AB CP k k ⋅=-. 又因为 (,0)C a ,所以 121132a ⨯=--.解得 2a =. ……………………………………3分 （Ⅱ）解：设11(,)A x y ，22(,)B x y .由方程组222(),1x a y r y x ⎧-+=⎨=-⎩得 22222(1)10x a x a r -++-+=.2284840r a a ∆=-+->.所以 1222121,1.2x x a a r x x +=+⎧⎪⎨-+⋅=⎪⎩因为AB ==11221,1,y x y x =-=-所以== ①又因为 OA OB ⊥，所以 12120x x y y +=，即1212(1)(1)0x x x x +--=.化简得 12122()1x x x x =+-. ② 将②代入①得=所以 2(1)2(1)80a a +-+-=. 解得 3a =或3a =-. 由②得 221a a r -+=.所以 当3a =时，27r =；当3a =-时，213r =.经检验，圆C 的方程为22(3)7x y -+=或22(+3)13x y +=. ………………7分 28.（本小题满分7分）已知函数2()2f x x ax =--，且函数(2)f x +是偶函数. （Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）设函数()y g x =，集合{()0}M x g x x =-=，{(())0}N x g g x x =-=.(ⅰ) 证明M N ⊆；(ⅱ) 如果()()g x f x =，集合{(())0,2}P x g g x x x =-=且≤，那么集合P 中的元素个数为 . （Ⅰ）解：因为 函数(2)f x +是偶函数，所以 (2)(2)f x f x -+=+对任意的实数x 恒成立. 令2x =，得到(0)(4)f f =.因为2()2f x x ax =--，所以 (0)2f =-，(4)1642f a =--. 所以 21642a -=--. 解得：4a =.经检验，当4a =时，(2)(2)f x f x -+=+对任意的实数x 恒成立.所以 实数a 的值为4. ………………2分 （Ⅱ）(ⅰ) 证明：①当M =∅时，易得M N ⊆.②当M ≠∅时，对任意x M ∈，()0g x x -=，即()g x x =.所以 (())()g g x g x x ==，即(())0g g x x -=. 所以 x N ∈. 所以M N ⊆. 综上所述，M N ⊆.(ⅱ) 集合P 中的元素个数为 5 . ………………7分。