2015年广州一模文科数学(精美word)

试卷类型：A2015年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（文科）2015.3本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟.注意事项：参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集{}1,2,3,4,5U =,集合{}3,4,5M =,{}1,2,5N =,则集合{}1,2可以表示为【】A ．M NB ．()NM C U C ．()MN C U D ．()()N C M C U U 2．已知向量()3,4a =，若5λ=a ，则实数λ的值为【】A ．15B ．1C ．15±D ．1±3.若某市8所中学参加中学生合唱比赛的得分用茎叶图表示（如图1），其中茎为十位数，叶为个位数，则这组数据的中位数是【】A.91B.91.5C.92D.92.54．已知i 为虚数单位，复数i z a b =+(),a b ∈R 的虚部b 记作Im ()z ，则Im 11i ⎛⎫=⎪+⎝⎭【】A ．12-B ．1-C ．12D ．15.设抛物线:C 24y x =上一点P 到y 轴的距离为4，则点P 到抛物线C 的焦点的距离是【】A ．4B ．5C ．6D ．76.已知△ABC 的三边,,a b c 所对的角分别为,,A B C ,且sin sin 2BAab=,则cos B 的值为【】A.2B.12C.12-D.2-7.已知数列{}n a 为等比数列，若4610a a +=，则()713392a a a a a ++的值为【】A.10B.20C.100D.2008.若直线3y x =上存在点(),x y 满足约束条件40,280,,x y x y x m ++≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩则实数m 的取值范围是【】A.[)1,-+∞ B.()1,-+∞C.(],1-∞- D.(),1-∞-9.已知某锥体的正视图和侧视图如图2，其体积为3，则该锥体的俯视图可以是【】图2A. B. C. D.10．已知圆O 的圆心为坐标原点，半径为1，直线:(l y kx t k =+为常数，0)t ≠与圆O 相交于,M N 两点，记△MON 的面积为S ，则函数()S f t =的奇偶性为【】A ．偶函数B ．奇函数C ．既不是偶函数，也不是奇函数D ．奇偶性与k 的取值有关二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．（一）必做题（11～13题）11.函数()()ln 2f x x =-的定义域为.12.已知e 为自然对数的底数，则曲线2y =e x在点()1,2e 处的切线斜率为.13.已知函数()11f x x =+，点O 为坐标原点,点()(),(n A n f n n ∈N *)，向量()0,1=i ，n θ是向量n OA 与i 的夹角，则201512122015cos cos cos sin sin sin θθθθθθ+++的值为.（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14.（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 和2C 的参数方程分别为cos sin ,(cos sin x y θθθθθ=+⎧⎨=-⎩为参数)和2,(x t t y t =-⎧⎨=⎩为参数)．以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线1C 与2C 的交点的极坐标．．．为.15.（几何证明选讲选做题）如图3，BC 是圆O 的一条弦，延长BC 至点E ，使得22BC CE ==，过E 作圆O 的切线，A 为切点，BAC ∠的平分线AD 交BC 于点D ，则DE 的长为.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）已知函数()sin cos 6f x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）若α是第一象限角，且435f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求tan 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.17．（本小题满分12分）从广州某高校男生中随机抽取100名学生，测得他们的身高(单位:cm)情况如表1:表1（1）求,,a b c 的值；（2）按表1的身高组别进行分层抽样,从这100名学生中抽取20名担任广州国际马拉松志愿者,再从身高不低于175cm 的志愿者中随机选出2名担任迎宾工作,求这2名担任迎宾工作的志愿者中至少有1名的身高不低于180cm 的概率.18.（本小题满分14分）如图4，在边长为4的菱形ABCD 中，60DAB ︒∠=，点E ，F 分别是边CD ，CB 的中点，AC EF O = ．沿EF 将△CEF 翻折到△PEF ，连接PA,PB,PD ，得到如图5的五棱锥P ABFED -，且PB =.（1）求证：BD ⊥平面POA ；（2）求四棱锥P BFED -的体积.分组频数频率[)160,16550.05[)165,170a c [)170,175350.35[)175,180b 0.20[]180,185100.10合计1001.0019.（本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =,()()1112n n n n nS n S ++-+=,n ∈N *.（1）求2a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）是否存在正整数k ，使k a ，2k S ，4k a 成等比数列?若存在，求k 的值；若不存在，请说明理由.20.（本小题满分14分）已知椭圆1C 的中心在坐标原点，两焦点分别为双曲线222:12x C y -=的顶点，直线0+=x与椭圆1C 交于A ，B 两点，且点A 的坐标为(1)，点P 是椭圆1C 上异于点A ,B 的任意一点，点Q 满足0AQ AP ⋅= ，0BQ BP ⋅=，且A ，B ，Q 三点不共线.(1)求椭圆1C 的方程；(2)求点Q 的轨迹方程；(3)求ABQ ∆面积的最大值及此时点Q 的坐标.21.（本小题满分14分）已知t 为常数，且01t <<，函数()()1102t g x x x x -⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小值和函数()h x =的最小值都是函数()32f x x ax bx =-++(,a b ∈R )的零点.（1）用含a 的式子表示b ，并求出a 的取值范围；（2）求函数()f x 在区间[]1,2上的最大值和最小值.2015年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（文科）试题参考答案及评分标准一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共5小题，每小题5分，满分20分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．11.()2,+∞12.2e13.2015201614.4π⎫⎪⎭15.说明:第14题答案可以是2,4k k ππ⎫+∈⎪⎭Z .三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）（本小题主要考查三角函数图象的周期性、同角三角函数的基本关系、三角恒等变换等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）（1）解：()sin cos f x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭sin cos cos sin cos 66x x x ππ=-+…………………………1分31sin cos x x =+…………………………2分sin coscos sin 66x x ππ=+…………………………3分sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.…………………………4分∴函数()f x 的最小正周期为2π.…………………………5分（2）解：∵4f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴4sin ππα⎛⎫++=⎪⎝⎭.…………………………6分∴4sin 25πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭.∴4cos 5α=.…………………………7分题号12345678910答案BDBABCCACA∵α是第一象限角，∴3sin 5α==.…………………………8分∴sin 3tan cos 4ααα==.…………………………9分∴tan tan4tan 41tan tan 4παπαπα-⎛⎫-=⎪⎝⎭+⋅…………………………10分3143114-=+⨯…………………………11分17=-.…………………………12分17.（本小题满分12分）（本小题主要考查古典概型、分层抽样等基础知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及数据处理能力与应用意识）（1）解:由0.050.350.200.10 1.00c ++++=，得0.30c =.…………………………1分由0.30100a=，得30a =，…………………………2分由5303510100b ++++=，得20b =.…………………………3分（2）解：依据分层抽样的方法，抽取的20名志愿者中身高在区间[)175,180上的有0.20204⨯=名，记为,,,A B C D ；…………………………………………5分而身高在区间[)180,185上的有0.10202⨯=名，记为,E F .……………………7分记“这2名担任迎宾工作的志愿者中至少有1名的身高不低于180cm ”为事件M ，从身高不低于175cm 的志愿者中随机选出2名担任迎宾工作，共有15种不同取法：{,},{,},{,},{,},{,}A B A C A D A E A F ，{,},{,},{,},{,}B C B D B E B F ，{,},{,},{,}C D C E C F ，{,},{,}D E D F ，{,}E F ．…………………………9分事件M 包含的基本事件有9种：{,},{,}A E A F ，{,},{,}B E B F ，{,},{,}C E C F {,},{,}DE DF ，{,}E F ．…………………………11分∴()P M =93155=为所求．…………………………12分18．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力）（1）证明：∵点E ，F 分别是边CD ，CB 的中点，∴BD ∥EF .…………………………1分∵菱形ABCD 的对角线互相垂直，∴BD AC ⊥.…………………………2分∴EF AC ⊥.…………………………3分∴EF AO ⊥，EF PO ⊥.…………………………4分∵AO ⊂平面POA ，PO ⊂平面POA ，AO PO O = ，∴EF ⊥平面POA .…………………………5分∴BD ⊥平面POA .…………………………6分（2）解：设AO BD H = ，连接BO ，∵60DAB ︒∠=，∴△ABD 为等边三角形.…………………………7分∴4BD =，2BH =，HA =，HO PO ==.……………………8分在R t △BHO 中，BO =…………………………9分在△PBO 中，22210+==BO PO PB ，…………………………10分∴PO BO ⊥.…………………………11分∵PO EF ⊥，EF BO O = ，EF ⊂平面BFED ，BO ⊂平面BFED ，∴PO ⊥平面BFED .…………………………12分梯形BFED 的面积为()12S EF BD HO =+⋅=，………………………13分∴四棱锥P BFED -的体积11333V S PO =⋅=⨯.………………14分19．（本小题满分14分）（本小题主要考查等差数列、等比数列等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力和创新意识）（1）解：∵11a =,()()1112n n n n nS n S ++-+=,∴2112212S S ⨯-==.…………………………1分∴21112123S S a =+=+=.…………………………2分∴2212a S a =-=.…………………………3分（2）解法1:由()()1112n n n n nS n S ++-+=,得1112n n S S n n +-=+.……………………4分∴数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为111S =,公差为12的等差数列.∴()()1111122n S n n n =+-=+.…………………………5分∴()12n n n S +=.…………………………6分当2n ≥时,1n n n a S S -=-…………………………7分()()1122n n n n+-=-n =.…………………………8分而11=a 适合上式，∴n a n =.…………………………9分解法2:由()()1112n n n n nS n S ++-+=,得()()112n n n n n n S S S ++--=，∴()11n n n n na S ++-=．①…………………………4分当2n ≥时，()()1112n n n n n a S ----=，②①-②得()()()()1111122n n n n n n n n na n a S S +-+-----=-，∴1n n na na n +-=．…………………………5分∴11n n a a +-=．…………………………６分∴数列{}n a 从第２项开始是以22a =为首项,公差为1的等差数列.………７分∴()22n a n n =+-=.…………………………８分而11=a 适合上式，∴n a n =.…………………………9分（3）解：由(2)知n a n =,()12n n n S +=.假设存在正整数k ,使k a ,2k S ,4k a 成等比数列,则224k k k S a a =⋅.…………………………10分即()222142k k k k +⎡⎤=⋅⎢⎥⎣⎦.…………………………11分∵k 为正整数,∴()2214k +=.得212k +=或212k +=-,…………………………12分解得12k =或32k =-,与k 为正整数矛盾.…………………………13分∴不存在正整数k ,使k a ,2k S ,4k a 成等比数列.…………………………14分20.（本小题满分14分）（本小题主要考查椭圆的方程、双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）（1）解法1：∵双曲线222:12x C y -=的顶点为1(0)F ,20)F ,…………1分∴椭圆1C 两焦点分别为1(0)F ,20)F .设椭圆1C 方程为12222=+by a x ()0a b >>，∵椭圆1C 过点A (1)，∴1224a AF AF =+=，得2a =.………………………2分∴2222b a =-=.………………………3分∴椭圆1C 的方程为22142x y +=.………………………4分解法2:∵双曲线222:12x C y -=的顶点为1(0)F ,20)F ,…………………1分∴椭圆1C 两焦点分别为1(0)F ,20)F .设椭圆1C 方程为12222=+by a x ()0a b >>，∵椭圆1C 过点A (1)，∴22211a b+=.①………………………2分.∵222a b =+,②………………………3分由①②解得24a =,22b =.∴椭圆1C 的方程为22142x y +=.………………………4分（2）解法1：设点),(y x Q ，点),(11y x P ，由A (1)及椭圆1C 关于原点对称可得B 1)-，∴(1)AQ x y =+-，11(1)AP x y =+-，(1)BQ x y =-+，11(1)BP x y =-+.由0AQ AP ⋅=,得11((1)(1)0x x y y +++--=，……………………5分即11((1)(1)x x y y ++=---.①同理,由0BQ BP ⋅=,得11((1)(1)x x y y -=-++.②……………6分①⨯②得222211(2)(2)(1)(1)x x y y --=--.③………………………7分由于点P 在椭圆1C 上,则2211142x y +=，得221142x y =-,代入③式得2222112(1)(2)(1)(1)y x y y ---=--.当2110y -≠时，有2225x y +=，当2110y -=，则点(1)P -或P ,此时点Q对应的坐标分别为或(1)-，其坐标也满足方程2225x y +=.………………………8分当点P 与点A 重合时，即点P (1)，由②得3y =-，解方程组2225,3,x y y ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩得点Q的坐标为)1-或,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.∴点Q 的轨迹方程为2225x y +=,除去四个点)1-,,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,(),2,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.………………………9分解法2：设点),(y x Q ，点),(11y x P ，由A (1)及椭圆1C 关于原点对称可得B 1)-，∵0AQ AP ⋅= ，0BQ BP ⋅=，∴AQ AP ⊥，BQ BP ⊥.1=-(1x ≠，① (5)分1=-(1x ≠.②……………………6分①⨯②得12222111122y y x x --⨯=--.(*)………………………7分∵点P 在椭圆1C 上,∴2211142x y +=，得221122x y =-,代入(*)式得2212211112122x y x x --⨯=--，即2211122y x --⨯=-,化简得2225x y +=.若点(1)P -或P ,此时点Q对应的坐标分别为或(1)-，其坐标也满足方程2225x y +=.………………………8分当点P 与点A 重合时，即点P (1)，由②得3y =-，解方程组2225,3,x y y ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩得点Q的坐标为)1-或2,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.∴点Q 的轨迹方程为2225x y +=,除去四个点)1-,,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,(),2,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.………………………9分(3)解法１：点Q (),x y 到直线:AB 0x =.△ABQ的面积为S =分x =+=.………………………11分而222(2)42y x x =⨯⨯≤+（当且仅当2x =时等号成立）∴S =2=.……12分当且仅当2x =,等号成立.由22225,x x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩解得2,2,x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩或2,2.x y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩………………………13分∴△ABQ的面积最大值为2,此时,点Q的坐标为22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭.…14分解法２：由于AB =，故当点Q 到直线AB 的距离最大时，△ABQ 的面积最大．………………………10分设与直线AB 平行的直线为0x m++=，由220,25,x m x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩消去x ，得225250y c ++-=，由()223220250m m ∆=--=，解得2m =±．………………………11分若2m =，则2y =-，2x =-；若2m =-，则2y =，2x =．…12分故当点Q 的坐标为,22⎛⎫⎪⎪⎝⎭或,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭时，△ABQ的面积最大，其值为15222S AB =⨯=．………………………14分21.（本小题满分14分）（本小题主要考查函数的最值、函数的导数、函数的零点与单调性等知识，考查数形结合、化归与转化、分类与讨论的数学思想方法，以及运算求解能力、抽象概括能力与创新意识）（1）解:由于01t <<，0x >，则()11122t g x x x -⎛⎫=+≥⨯ ⎪⎝⎭当且仅当1tx x-=，即x =()min g x =⎡⎤⎣⎦.…………………1分()h x ==，当1x =时，()min h x =⎡⎤⎣⎦.………………………2分∵01t <<，∴1<<01<<.由于()32f x x ax bx =-++()2x x ax b =-++，结合题意，可知，方程20x ax b -++=，………………………3分a+=，b =-.………………………4分∴2222a b =+=-.∴2112b a =-.………………………5分而方程20x ax b -++=的一个根在区间(上，另一个根在区间()0,1上.令()2x x ax b ϕ=-++，则()()00,110,20.b a b b ϕϕϕ⎧=<⎪⎪=-++>⎨⎪=-++<⎪⎩………………………6分即222110,21110,21210.2a a a a ⎧-<⎪⎪⎪-++->⎨⎪⎪-++-<⎪⎩解得02,a a a a ⎧<>⎪<<⎨⎪≠⎩………………………7分2a <<.………………………8分∴2112b a =-2a <<.求a 的取值范围的其它解法：另法1：由a =，得22a =+………………………6分∵01t <<，∴224a <<．………………………７分∵a =0>，2a <<．………………………8分另法2：设()t ϕ=01t <<，则()0t ϕ'==，………………………6分故函数()t ϕ在区间()0,1上单调递减．∴())2t ϕ∈．………………………７分2a <<．………………………8分（2）解：由（1）得()322112f x x ax a x ⎛⎫=-++-⎪⎝⎭，则()2213212f x x ax a '=-++-.………………………9分2a <<，∴二次函数()2213212f x x ax a '=-++-的开口向下，对称轴233a x =<.故函数()f x '在区间[]1,2上单调递减.………………………10分又()()221113212022f a a a '=-++-=--<，………………………11分∴当[]1,2x ∈时，()()10f x f ''≤<.∴函数()f x 在区间[]1,2上单调递减.………………………12分∴函数()f x 的最大值为()2112f a a =-，最小值为()2246f a a =-+-.………………………14分。