集合与简易逻辑——高中数学基础知识与典型例题

数学基础知识与典型例题
有两相)(,2121x x x x <有两相等a
b x x 221-
==无实根
有意义的
①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真. （否命题⇔逆命题.）②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真.（原命题⇔逆否命题.）
4.反证法是中学数学的重要方法。

会用反证法证明一些代数命题。

充分条件与必要条件
答案见下一页
数学基础知识与典型例题(第一章集合与简易逻辑)答案
例1选A;
例2填{(2，1)} 注:方程组解的集合应是点集.
例3解:∵{}9A B = ,∴9A ∈.⑴若219a -=,则5a =,此时{}{}4,9,25,9,0,4A B =-=-,
{}9,4A B =- ,与已知矛盾,舍去.⑵若2
9a =,则3a =±①当3
a =时,{}{}4,5,9,2,2,9A B =-=--.B 中有两个元素均为2-,与集合中元素的互异性矛盾,应舍去.②当3a =-时,{}{}4,7,9,9,8,4A B =--=-,符合题意.综上所述,3a =-.
[点评]本题考查集合元素基本特征──确定性、互异性、无序性，切入点是分类讨论思想，由于集合中元素用字母表示，检验必不可少。

例4C 例5C 例6①∉,②Ü,③Ü,④
例7填2 例8C 例9∅
例10解：∵M={y|y =x 2+1，x ∈R}={y |y ≥1}，N={y|y =x +1，x ∈R}={y|y ∈R}∴ M∩N=M={y|y ≥1} 注：在集合运算之前，首先要识别集合，即认清集合中元素的特征。

M 、N 均为数集，不能误认为是点集，从而解方程组。

其次要化简集合。

实际上，从函数角度看，本题中的M ，N 分别是二次函数和一次函数的值域。

一般地，集合{y |y =f (x )，x ∈A}应看成是函数y =f (x )的值域，通过求函数值域化简集合。

此集合与集合{（x ，y ）|y=x 2+1，x ∈R}是有本质差异的，后者是点集，表示抛物线y =x 2+1上的所有点，属于图形范畴。

集合中元素特征与代表元素的字母无关，例如{y|y ≥1}={x |x ≥1}。

例11填∅注：点集与数集的交集是φ.
例12埴∅,R
例13解：∵C U A = {1，2，6，7，8} ,C U B = {1，2，3，5，6},
∴(C U A)∩(C U B) = {1，2，6} ,(C U A)∪(C U B) = {1，2，3，5，6，7，8},
A ∪
B = {3,4,5,7,8},A∩B = {4},∴
C U (A ∪B) = {1,2,6} ,C U (A∩B) = {1,2,3,5,6,7,8} 例145,6a b ==-;
例15原不等式的解集是{}37|<<-x x 例16 53|332
2x R x x ⎧⎫∈-<-<⎨⎬⎩
⎭
≤或
≤ 例17分析：关键是去掉绝对值.方法1：原不等式等价于430
4304321(43)21
x x x x x x --<⎧⎧⎨
⎨
->+-->+⎩⎩≥或,即3344123x x x x ⎧
<⎧⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪><⎩⎪⎩
≥或，∴x >2或x <31，∴原不等式的解集为{x | x >2或x <31}.方法2：(整体换元转化法)分析：把右边看成常数c ，就同)0(>>+c c b ax 一样∵|4x -3|>2x +1⇒4x -3>2x +1或4x -3<-(2x +1) ⇒ x >2 或x <
31，∴原不等式的解集为{x | x >2或x <3
1}. 例18分析：关键是去掉绝对值.
方法1：零点分段讨论法（利用绝对值的代数定义）
①当1-<x 时，01,03<+<-x x ∴1)1()3(<++--x x ∴4<1φ∈⇒x
②当13x -<≤时∴1)1()3(<+---x x ⇒21>x ，∴}32
1
|{<<x x ③当3x ≥时∴1)1()3(<+--x x ⇒-4<1R x ∈⇒∴{|3}x x ≥
综上,原不等式的解集为}2
1
|{>x x
也可以这样写：
解：原不等式等价于①⎩⎨
⎧<++---<1
)1()3(1x x x 或②⎩⎨
⎧<+---<≤-1
)1()3(31x x x 或 ③⎩⎨
⎧<+--≥1
)1()3(3x x x ，解①的
解集为φ，②的解集为{x |
21<x <3}，③的解集为{x |x ≥3},∴原不等式的解集为{x |x >2
1
}. 方法2：数形结合:从形的方面考虑，不等式|x -3|-|x +1|<1表示数轴上到3和-1两点的距离之差小于1的点
∴原不等式的解集为{x |x >
2
1
}. 例19答：{x |x ≤0或1<x <2}
例20解：要原方程有两个负实根，必须:12122(1)0000k x x x x +≠⎧⎪∆≥⎪⇔⎨+<⎪⎪>⎩⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-<>-<>≤≤--≠⇔⎪⎪⎪⎩
⎪⎪
⎪⎨⎧>+-<+-
≤-+≠+13
210121
0)1(2230)1(24020
12k k k k k k k k k k k k k 或或. 13
2
12<<-<<-⇔k k 或∴实数k 的取值范围是{k|-2<k<-1或32<k<1}.
例21解：逆命题：若 x = 3 且 y = 2 则 x + y = 5（真）
否命题：若 x + y ≠ 5 则 x ≠ 3且y ≠2（真） 逆否命题：若 x ≠ 3 或y ≠2 则 x + y ≠5（假）
例22答:真 解：逆否：a = 2且 b = 3，则a+b = 5，成立，所以此命题为真. 例23答:若a 、b 都不为0，则ab ≠0
例24解：假设x <1且y <1，由不等式同向相加的性质x +y <2与已知x +y ≥2矛盾, ∴ 假设不成立∴ x 、y 中至少有一个不小于1
[注]反证法的理论依据是：欲证“若p 则q”为真，先证“若p 则非q”为假，因在条件p 下，q 与非q 是对立事件（不能同时成立，但必有一个成立），所以当“若p 则非q”为假时，“若p 则q”一定为真。

例25解：函数x
c y =在R 上单调递减.10<<⇔c
不等式|2|1
|2| 1.x x c R y x x c +->⇔=+-R 的解集为函数在上恒大于。