同济高数期中考试卷2(上册)
2020-2021上海同济初级中学小学二年级数学上期中试卷附答案
2020-2021上海同济初级中学小学二年级数学上期中试卷附答案一、选择题1．张老师有20支铅笔准备分给8个小朋友，如果每人分3支，那张老师还要再买（）支铅笔。
A. 24B. 11C. 42．一根彩带，对折2次后长5米，这根彩带原来长（）米。
A. 7B. 10C. 203．要计算4个5相加的和是多少，列式错误的是（）。
A. 5×4B. 5+5+5+5C. 4+54．钟面上9时整，时针和分针组成的角是（）A. 锐角B. 钝角C. 直角5．下面的角中，（）比直角小。
A. B. C.6．下面的算式中（）的得数比10大。
A. 8+7-9B. 45－40+7C. 17－9－27．一个加数是7，和是85，另一个加数是（）。
’A. 72B. 78C. 828．下列算式的结果最接近60的是（）。
A. 46+9B. 66-7C. 63-69．公共汽车站相邻两站之间的路程约是500（）。
A. 米B. 千米C. 厘米10．小月家离顺峰山公园大约（）。
A. 600米B. 399米C. 1千米11．一张长方形纸片，剪掉一个角，还剩（）个角。
A. 3个B. 5个C. 3个，4个或5个12．用一根皮尺量一条线段的长度，这条线段长（）。
A. 62厘米B. 60厘米C. 72厘米D. 52厘米二、填空题13．，5个能换________个。
14．在横线上填上相同的数。
________×________=________+________15．有________个锐角，有________个钝角。
16．直角的一半是________度，至少再增加________度就是一个钝角。
（填整数）17．35比________多20，________比35多20。
18．口算。
7+9=________ 28-8=________ 35+6=________ 35-8=________33+4=________ 45+40=________ 87-50=________ 75-50=________62-2=________ 15+8=________ 56+3=________ 72-50=________100-20=________ 68+20=________ 99-8=________ 90-40+25=________19．72米-66米-5米=________米=________厘米20．算一算52厘米-30厘米=________厘米 7厘米+8厘米=________厘米1米-30厘米=________厘米 1米-50厘米=________厘米21米+59米=________米 81厘米-23厘米=________厘米三、解答题21．认一认，写出下面角的各部分的名称。
上海同济大学第二附属中学2020-2021年上册期中初三化学试题(含答案)
上海同济大学第二附属中学2020-2021年上册期中化学试题(含答案)一、选择题（培优题较难）1．逻辑推理是一种重要的化学思维方法，下列推理合理的是（）A．在同一化合物中，金属元素显正价，则非金属元素一定显负价B．化学变化伴随着能量变化则有能量变化的一定是化学变化C．单质含有一种元素，则含有一种元素的纯净物一定是单质D．催化剂的质量在反应前后不变，则在反应前后质量不变的物质一定是该反应的催化剂2．下列各图中和分别表示不同元素的原子，则其中表示化合物的是( )A．B．C．D．3．化学是在分子、原子的层次上研究物质的性质、组成、结构与变化规律的科学。
下图是某化学反应的微观示意图，下列说法正确的是A．反应前后分子的个数不变B．生成物有三种C．反应前后汞原子和氧原子的个数不变D．是保持氧气化学性质的最小粒子4．以下是四种微粒的结构示意图，下列有关各微粒的说法中，错误的是A．①的化学性质比较稳定B．③④属于同种元素C．④是一种阴离子D．②容易得到电子5．如图是四种粒子的结构示意图，下列有关说法正确的是（）A．④表示的粒子属于金属元素B．①表示的粒子在化学反应中易失电子C．①②③④表示四种不同元素D．②④所表示的粒子化学性质相似6．下图是某化学反应过程的微观示意图，下列有关说法正确的是A．反应前后分子的个数不变B．生成物有三种C．反应前后汞原子和氧原子的个数不变D．汞和氧气都由分子构成7．下列事实不能作为相应观点的证据的是( )A．尘土飞扬，说明分子是运动的B．电解水得到氢气和氧气，说明分子是可分的C．气体被压缩后体积发生了较大变化，说明气体分子间距较大D．将两个干净平整的铅柱紧压在一起会结合起来，说明分子间存在引力8．下列关于CO2的实验室制法及性质实验的说法不正确的是（）A、制CO2的药品B、发生装置C、收集装置D、比较CO2与空气的密度A．A B．B C．C D．D9．四种物质在一定的条件下充分混合反应，测得反应前后各物质的质量分数如图所示．则有关说法中不正确的（ ）A ．丁一定是化合物B ．乙可能是这个反应的催化剂C ．生成的甲、丙两物质的质量比为8: 1D ．参加反应的丁的质量一定等于生成甲和丙的质量之和10．某纯净物3g 在氧气中完全燃烧，生成8.8g 二氧化碳和5.4g 水。
同济二附中高三数学第一学期期中考试试题
同济二附中2007-2008学年度高三数学第一学期期中考试试题满分：150分，完成时间：120分钟．一、填空题（每小题4分，共44分）1、已知函数=+=-)(,12)(1x f x f x 则其反函数____ ．2、设集合=⋂<--=<≤-=N M x x x N x x M 集合则,}032|{}22|{2 ．3、函数()1log 1)(22--=x x x f 的定义域是_______________．4、双曲线14322=-x y 的渐近线方程是 . 5、4326lim 32+++∞→n n n = ．6、已知数列1，4,,21a a 成等差数列，4,,,,1321b b b 成等比数列，则221b a a +的值为 ．7、抛物线x ay =2的准线方程是x =2，则a 的值为 _.8、设二次函数5)(2++=ax x x f 对于任意t 都有)4()(t f t f --=，且在闭区间［m ，0］上有最大值5，最小值1，则m 的取值范围是 ． 9、下列四个命题：①满足zz 1=的复数只有i ±±,1；密封线内不要题答②若a ，b 是两个相等的实数，则i b a b a )()(++-是纯虚数； ③复数R z ∈的充要条件是z z =； ④复数范围内总有22z z =．其中正确的命题序号是 ．10、三角形ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为c b a 、、，若a cb c a +=+222且2:)13(:+=c a ，则角C 的大小为 ． 11、黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第n 个图案中有白色地面砖____________块． 二、选择题（每小题4分，共16分）12、31sin =x 是31arcsin =x 的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件 13、函数11y x=-的图象是（ ）14、从5名演员中选3人参加表演，其中甲在乙前表演的概率为 （ ）A ．101 B ．103 C ．201 D ．20315、若α是锐角，316sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-πα,则αcos 的值等于（ ）A.6162- B. 6162+ C. 4132+ D. 3132- 三、解答题 （共90分）16、（本题共12分）已知函数||)(x a x f =的图象经过点（1，3），解不等式3)2(>xf ．17、（本题共14分）已知函数44()cos 2sin cos sin f x x x x x =-- （I ）求()f x 的最小正周期；（II ）若x ∈⎡⎣⎢⎤⎦⎥02，π，求()f x 的最大值和最小值． 18、（本题共 14 分）已知椭圆C 的焦点F 1（－22，0）和F 2（22，0），长轴长为6，设直线2+=x y 交椭圆C 于A 、B 两点，求线段AB 的中点坐标．19、（本题共 14 分）已知数列{}n x 中，51,x x 是方程012log 8log 222=+-x x 的两根，等差数列{}n y 满足n n x y 2log =，且其公差为负数， （1）求数列{}n y 的通项公式； （2）证明：数列{}n x 为等比数列；（3）设数列{}n x 的前n 项和为n S ，若对一切正整数n ，a S n <恒成立，求实数a 的取值范围.20、（本题共 18 分）某渔业公司年初用98万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用12万元，以后每年都增加4万元，每年捕鱼收益50万元． （I ）问第几年开始获利？（II ）若干年后，有两种处理方案：第一种是当年平均获利最大时，以26万元出售该渔船；第二种是当总纯收入获利最大时，以8万元出售该渔船．问哪种方案合算？21、（本题共18分）设()x f 是定义在[-1，1]上的奇函数，当x ∈(]1,0时，()342x tx x f -= (t 为常数) (1)求()x f 的表达式；(2)当60≤<t 时, 用定义证明)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-66,66t t 上单调递增.； (3)当6>t 时，是否存在t 使()x f 的图象的最高点落在直线12=y 上.若存在，求出t 的值，若不存在，说明理由.同济二附中2007学年第一学期期中考试高三年级数学学科试题满分：150分，完成时间：120分钟． 命题人：卜荣利 审核人：王桂杰一、填空题（每小题4分，共44分）1、已知函数=+=-)(,12)(1x f x f x 则其反函数__)1(log 2-x ___ ．2、设集合=⋂<--=<≤-=N M x x x N x x M 集合则,}032|{}22|{2{}21|<<-x x．3、函数()1log 1)(22--=x x x f 的定义域是___()()+∞⋃,22,1____________．4、双曲线14322=-x y 的渐近线方程是 x y 23±= .5、4326lim 32+++∞→n n n = 0 ．6、已知数列1，4,,21a a 成等差数列，4,,,,1321b b b 成等比数列，则221b a a +的值为 . 25．7、抛物线2x ay =的准线方程是2x =，则a 的值为 8_.密封线内不要题答8、设二次函数5)(2++=ax x x f 对于任意t 都有)4()(t f t f --=，且在闭区间［m ，0］上有最大值5，最小值1，则m 的取值范围是 24-≤≤-m ． 9、下列四个命题：①满足zz 1=的复数只有i ±±,1；②若a ，b 是两个相等的实数，则i b a b a )()(++-是纯虚数；③复数R z ∈的充要条件是z z =；④复数范围内总有22z z =．其中正确的命题序号是 ③ ．10、三角形ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为c b a 、、，若ac b c a +=+222且2:)13(:+=c a ，则角C 的大小为 ．11、黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第n 个图案中有白色地面砖___42n + _________块．二、选择题（每小题4分，共16分）12、31sin =x 是31arcsin =x 的（ B ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件13、函数11y x=-的图象是（ A ）14、从5名演员中选3人参加表演，其中甲在乙前表演的概率为 （ D ）A ． 101B ． 103C ． 201D ． 20315、若α是锐角，316sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-πα,则αcos 的值等于（ A ）A.6162- B. 6162+ C. 4132+ D. 3132-三、解答题 （共90分） 16、（本题共12分）已知函数||)(x a x f =的图象经过点（1，3），解不等式3)2(>xf ． 解：由题意有a=3 ∴f(x)=3|x|由333)2(|2|>>x xf 即即1|2|>x1|2|>xx<0 ∴ 或 x>0 1|2|->x即0 < x < 2或－2 < x < 0∴不等式3)2(>xf 的解集为)20()02(，，⋃-17、（本题共14分）已知函数44()cos 2sin cos sin f x x x x x =-- （I ）求f x ()的最小正周期． （II ）若x ∈⎡⎣⎢⎤⎦⎥02，π，求f x ()的最大值，最小值解：44()cos 2sin cos sin f x x x x x =--()()2222cos sin cos sin sin 2cos 2sin 2x x x x x x x=+--=-（I ）的最小正周期为π （II ） 02≤≤x ππππ()f x ∴的最大值为1，最小值为-218、（本题共 14 分）已知椭圆C 的焦点F 1（－22，0）和F 2（22，0），长轴长为6，设直线2+=x y 交椭圆C 于A 、B 两点，求线段AB 的中点坐标．解：22,3==c a189222=-=-=∴c a b于是椭圆C 的方程为1922=+y x 将2+=x y 代入椭圆方程中，得02736102=++x x 设()()2211,,,y x B y x A ，则512,592,518212121=+-=+-=+y y x x x x 所以线段AB 的中点坐标是⎪⎭⎫ ⎝⎛-51,5919、（本题共 14 分）已知数列{}n x 中，51,x x 是方程012log 8log 222=+-x x 的两根，等差数列{}n y 满足n n x y 2log =，且其公差为负数，（1）求数列{}n y 的通项公式； （2）证明：数列{}n x 为等比数列；（3）设数列{}n x 的前n 项和为n S ，若对一切正整数n ，a S n <恒成立，求实数a 的取值范围.略解(1) n y x y x y n -=====7,2log ,6log 525121设{}n x 的公比为)0(>q q .易证（2）2122761==--+n n n n x x ，(3)12821112821121126<⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n n S 128lim =∞→n n S ，故所求a 的取值范围为128≥a .20、（本题共 18 分）某渔业公司年初用98万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用12万元，以后每年都增加4万元，每年捕鱼收益50万元． （I ）问第几年开始获利？（II ）若干年后，有两种处理方案：第一种是当年平均获利最大时，以26万元出售该渔船；第二种是当总纯收入获利最大时，以8万元出售该渔船．问哪种方案合算？解：（I ）由题设知每年费用是以12为首项，4为公差的等差数列，设纯收入与年数的关系为f n () ()()5012168498f n n n ∴=-++++-⎡⎤⎣⎦…获利即为()0f n > ，即解之得： 即2.217.1n << 又n N ∈， ∴当3n =时即第3年开始获利（II ）（1）年平均收入当且仅当n =7时取“＝”（万元）即年平均收益，总收益为万元，此时n =7 （2）∴当总收益为1028110+=万元，此时10n =比较两种方案，总收益均为110万元，但第一种方案需7年，第二种方案需10年，故选择第一种．21、（本题共18分）设()x f 是定义在[-1，1]上的奇函数，当x ∈(]1,0时，()342x tx x f -= (t 为常数)． (1)求()x f 的表达式；(2)当60≤<t 时, 用定义证明)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-66,66t t 上单调递增.； (3)当6>t 时，是否存在t 使()x f 的图象的最高点落在直线12=y 上.若存在，求出t 的值，若不存在，说明理由. 略解(1) ()342x tx x f -=；(2) 证明略；66tx =时，)(x f 有最大值t t 692； )(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡66,0t 上单调递增.(用定义或导数均可)(3) 当6>t 时，166>t，由（2）得)(x f 在[]1,1-上单调递增， 令12)1(=f ，存在8=t ，满足条件.。
上海市同济大学第二附属中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题
上海市同济大学第二附属中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题6．在正方体111ABCD A B C D -角的大小是.7．在空间四边形ABCD 中，8．在三棱锥-P ABC 中，点O 是点P 在底面则O 是ABC 的心．12．如图，在三棱柱ABCCC分别是线段AC，1点（不包括端点），锐二面角二、单选题13．给出下面四个命题：①三个不同的点确定一个平面；②一条直线和一个点确定一个平面；③空间两两相交的三条直线确定一个平面；④两条平行直线确定一个平面．A ．MN 与1CC 垂直C ．MN 与DC 平行16．在棱长为12的正方体内有一个正四面体，该四面体外接球的球心与正方体的中心重合，且该四面体可以在正方体内任意转动，则该四面体的棱长的最大值为（A ．23B ．46三、解答题17．如图，在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面,90ABC BAC ∠=︒，,D E 分别是棱,AB BC 的中点，1,2AB AC PA ===.(1)求证：//DE 平面PAC ；(2)求直线AE 与平面PBC 所成角的大小.18．亭子是一种中国传统建筑，多建于园林，人们在欣赏美景的同时也能在亭子里休息､避雨､乘凉（如图1）.假设我们把亭子看成由一个圆锥1P O -与一个圆柱1OO 构成的几何体Ω（如图2）.一般地，设圆锥1P O -中母线PB 与圆柱1OO 底面半径OE 所成角的大小为α，当3545α<< 时，方能满足建筑要求.已知圆锥高为1.5米，底面半径为2.5米，圆柱高为3米，底面半径为2米.(1)求几何体Ω的表面积；(2)如图2，设E 为圆柱底面半圆弧CD 的三等分点，判断该亭子是否满足建筑要求.19．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,,E F 分别为1,AD CC 的中点.(1)已知点G 满足14DD DG = ，求证,,,B E G F 四点共面；(2)求点1C 到平面BEF 的距离.20．如图，AB 是圆柱的底面直径且2,AB PA =是圆柱的母线且2PA =，点C 是圆柱底面圆周上的点.(1)求证：BC ⊥平面PAC ；(2)当三棱锥-P ABC 体积最大时，求三棱锥-P ABC 的表面积；(1)求证：M为线段BC中点；(2)求证：平面SAD⊥平面SCD(3)在棱SC上是否存在点N，使得平面在，说明理由.。
同济大一高数期中复习题
② 5n n 1! ；
n1 2n!
解：un1
5n1
n
2!
2n!
5n 2
n
0 1，级数收敛．
un
2n 2! 5n n 1! 2n 12n 2 第2页/共25页
③ 3n n! ；
nn
n 1
解： un1 un
3n1 n 1! nn
n 1 n1
3n n!
3
1 1 /
nn
n
3 e
1
4a 5b a
b
．
i jk
解：① a b 3, 2, 11, 1, 2 3 2 1 3, 7, 5 ．
1 1 2
② ∵ 4a 5b 43, 2, 1 51, 1, 2 17,3,6，
a b 3,2,1 1, 1,2 2,3, 3 ．
i jk
∴ 4a 5b a b 17 3 6 27,63, 45．
1 1 1
所求的平面的方程为 x 1 2 y 2 3z 1 0 ，即
x 2y 3z 8 0 ．
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7．求过点
M0
1,1,1
且平行于直线
L0
:
2x 5x
y z 1 0 3y z 7
, 0
的直线的
对称式方程．
i jk
解： s0 n1 n2 2 1 1 = 2, 7, 11 ，取
，级数发散．
④
5n
．
n1 n 2n
解： un1 un
5n1
n 1 2n1
n 2n 5n
5n
n
5
2n 1 2
1
，级数发散．
8．判断下列级数收敛性，若收敛，问是条件收敛还是绝对收敛？
2020-2021上海同济初级中学高三数学上期中试卷附答案
2020-2021上海同济初级中学高三数学上期中试卷附答案一、选择题1．若不等式组0220y x y x y x y a ⎧⎪+⎪⎨-⎪⎪+⎩…„…„表示的平面区域是一个三角形，则实数a 的取值范围是（ ）A ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．(]0,1C ．41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．(]40,1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭U2．已知{}n a 为等差数列，若20191<-a a ，且数列{}n a 的前n 项和n S 有最大值，则n S 的最小正值为( ) A ．1SB ．19SC ．20SD ．37S3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，19a =，95495S S -=-，则n S 取最大值时的n 为 A ．4B ．5C ．6D ．4或54．在ABC V 中，4ABC π∠=，AB =3BC =，则sin BAC ∠=（ ）A．10B．5CD5．已知A 、B 两地的距离为10 km,B 、C 两地的距离为20 km,现测得∠ABC=120°，则A 、C 两地的距离为 （ ） A ．10 kmBkmC．D．6．在等差数列{}n a 中，351024a a a ++=，则此数列的前13项的和等于（ ） A ．16B ．26C ．8D ．137．已知AB AC ⊥u u u v u u u v ，1AB t=u u uv ，AC t =u u u v ，若P 点是ABC V 所在平面内一点，且4AB AC AP AB AC=+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，则·PB PC u u u v u u u v 的最大值等于（ ）. A ．13B ．15C ．19D ．218．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ， 2cos 22A b cc+=，则ABC ∆的形状为 A ．直角三角形 B ．等腰三角形或直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．正三角形9．,x y 满足约束条件362000x y x y x y -≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩,若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为12，则23a b+的最小值为 ( ) A ．256B ．25C ．253D ．510．在ABC V 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若(cos )sin (cos )sin a c B B b c A A -⋅⋅=-⋅⋅，则ABC V 的形状为（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形11．若函数1()(2)2f x x x x =+>-在x a =处取最小值，则a 等于（ ） A ．3B ．13+C ．12+D ．412．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若sin 23sin 0b A a B +=，3b c =，则ca的值为（ ）A ．1B ．33C ．55D ．77二、填空题13．若直线2y x =上存在点(,)x y 满足约束条件30230x y x y x m +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则实数m 的取值范围为_______．14．等差数列{}n a 中，1351,14,a a a =+=其前n 项和100n S =，则n=＿＿ 15．已知数列的前项和，则_______．16．若两个正实数,x y 满足141x y +=，且不等式234y x m m +<-有解，则实数m 的取值范围是____________ . 17．已知数列是各项均不为的等差数列，为其前项和，且满足()221n n a S n *-=∈N．若不等式()()11181nn n n a nλ++-+⋅-≤对任意的n *∈N 恒成立，则实数的取值范围是 ．18．某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B 两类产品,甲种设备每天能生产A 类产品5件和B 类产品10件,乙种设备每天能生产A 类产品6件和B 类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元,设备乙每天的租赁费为300元,现该公司至少要生产A 类产品50件,B 类产品140件,所需租赁费最少为__________元．19．设a ∈R ，若x ＞0时均有[(a －1)x －1]( x 2－ax －1)≥0，则a ＝__________． 20．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，已知,,a b c 成等比数列，且22a c ac bc -=-，则sin cb B的值为________. 三、解答题21．在等比数列{}n b 中，公比为()01q q <<，13511111,,,,,,50322082b b b ∈⎧⎫⎨⎬⎩⎭.（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）设()31n n c n b =-，求数列{}n c 的前n 项和n T .22．在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c ，已知cos2A ﹣3cos （B+C ）=1． （1）求角A 的大小； （2）若△ABC 的面积S=5，b=5，求sinBsinC 的值．23．各项均为整数的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，11a =-，2a ，3a ，41S +成等比数列．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列{(1)}nn a -•的前2n 项和2n T ．24．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ()3cos 23cos a C b c A =(Ⅰ)求角A 的大小；(Ⅱ)若2a =，求ABC V 面积的最大值．25．数列{}n a 中，11a = ，当2n ≥时，其前n 项和n S 满足21()2n n n S a S =⋅-．（1）求n S 的表达式； (2)设n b ＝21nS n +,求数列{}n b 的前n 项和n T ． 26．已知函数()[)22,1,x x af x x x++=∈+∞．（1）当12a =时，求函数()f x 的最小值； （2）若对任意[)1,x ∈+∞，()0f x >恒成立，试求实数a 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题解析：D 【解析】 【分析】要确定不等式组0220y x y x y x y a⎧⎪+⎪⎨-⎪⎪+⎩…„…„表示的平面区域是否一个三角形，我们可以先画出0220y x y x y ⎧⎪+⎨⎪-⎩…„…，再对a 值进行分类讨论，找出满足条件的实数a 的取值范围． 【详解】不等式组0220y x y x y ⎧⎪+⎨⎪-⎩…„…表示的平面区域如图中阴影部分所示．由22x y x y =⎧⎨+=⎩得22,33A ⎛⎫⎪⎝⎭，由022y x y =⎧⎨+=⎩得()10B ,． 若原不等式组0220y x y x y x y a⎧⎪+⎪⎨-⎪⎪+⎩…„…„表示的平面区域是一个三角形，则直线x y a +=中a 的取值范围是(]40,1,3a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭U 故选：D 【点睛】平面区域的形状问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，然后结合分类讨论的思想，针对图象分析满足条件的参数的取值范围．解析：D 【解析】 【分析】由已知条件判断出公差0d <，对20191<-a a 进行化简，运用等差数列的性质进行判断，求出结果. 【详解】已知{}n a 为等差数列，若20191<-a a ，则2019190a a a +<， 由数列{}n a 的前n 项和n S 有最大值，可得0d <，19193712029000,,0,370a a a a a S <=∴+<>>， 31208190a a a a ∴+=+<，380S <，则n S 的最小正值为37S 故选D 【点睛】本题考查了等差数列的性质运用，需要掌握等差数列的各公式并能熟练运用等差数列的性质进行解题，本题属于中档题，需要掌握解题方法.3．B解析：B 【解析】由{}n a 为等差数列，所以95532495S S a a d -=-==-，即2d =-， 由19a =，所以211n a n =-+， 令2110n a n =-+<，即112n >， 所以n S 取最大值时的n 为5， 故选B ．4．C解析：C 【解析】试题分析：由余弦定理得22923cos5,4b b π=+-⋅==.由正弦定理得3sin sin4BAC π=∠，解得sin 10BAC ∠=. 考点：解三角形.解析：D 【解析】 【分析】直接利用余弦定理求出A ，C 两地的距离即可． 【详解】因为A ，B 两地的距离为10km ，B ，C 两地的距离为20km ，现测得∠ABC ＝120°， 则A ，C 两地的距离为：AC 2＝AB 2+CB 2﹣2AB •BC cos ∠ABC ＝102+202﹣2110202⎛⎫⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭700．所以AC ＝km ． 故选D ． 【点睛】本题考查余弦定理的实际应用，考查计算能力．6．D解析：D 【解析】 【详解】试题分析：∵351024a a a ++=，∴410224a a +=，∴4102a a +=，∴1134101313()13()1322a a a a S ++===，故选D. 考点：等差数列的通项公式、前n 项和公式.7．A解析：A 【解析】以A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则1(,0)B t，(0,)C t ，10)4(0,1)(1,4)AP =+=u u u r （，，即14)P （，，所以114)PB t=--u u u r （，，14)PC t =--u u u r （，，因此PB PC ⋅u u u r u u u r11416t t =--+117(4)t t =-+，因为144t t +≥=，所以PB PC ⋅u u u r u u u r 的最大值等于13，当14t t =，即12t =时取等号．考点：1、平面向量数量积；2、基本不等式．8．A解析：A 【解析】 【分析】先根据二倍角公式化简，再根据正弦定理化角，最后根据角的关系判断选择. 【详解】 因为2cos22A b c c+=，所以1cosA 22b cc ++=,() ccosA b,sinCcosA sinB sin A C ,sinAcosC 0===+=,因此cosC 0C 2π==，,选A.【点睛】本题考查二倍角公式以及正弦定理，考查基本分析转化能力，属基础题.9．A解析：A 【解析】 【分析】先画不等式组表示的平面区域，由图可得目标函数(0,0)z ax by a b =+>>何时取最大值，进而找到a b ，之间的关系式236,a b +=然后可得23123()(23)6a b a b a b+=++，化简变形用基本不等式即可求解。
同济大学高等数学期中考试试题及解答
学
y 2
z x (1,1) 2 f 1 (1,0) f 2 (1,0) 1 0 3 f1 (1,0) 2 f 2 (1,0) 0 z y (1,1)
dy 2( x 2 2 x 6) 即得 dx x2 4 y (0) 0 x 2 2x 6 dx x2 4 x C 2
n 1 (2 x 3,2 y,2 z ) (1,1,1) (1,2,2) ， n 2 (2,2,1)
.
切线的方向向量为: 切线方程： 法平面方程：
l n 1 n 2 (6,5,2)
u x y e 在 (1,1,1) 点函数值增加最快的方向为 3、ห้องสมุดไป่ตู้
z
k (2,3,1), k 0
2 2
二. （本题 10 分） 求曲线
x 2 y 2 z 2 3x 0 2x 2 y z 1 0
在点 (1,1,1) 的切线与法平面方程，并分
别求出坐标原点到该法平面以及切线的距离. 解
2 的方程为
2 3
z2
同
( x 2) y 2 2 a b
2 2
大
得到
旋转所成曲面与平面 z 1 所围成的立体. 解
( Ax
i 1
n
i
By i Cz i D) 0 因此有
成立
I d d 2 zdz
0 0
2
1
1
济 同
Ax B y C z D 0
n
(1 4 ) 2 d
2
Fx G u （或 x Fu x Gu
同济大学高等数学(上)期中考试试卷2
同济大学高等数学（上）期中考试试卷2一.选择题（每小题4分）1.以下条件中（ ）不是函数)(x f 在0x 处连续的充分条件. （A ）)(lim)(lim 0000x f x f x x x x -→+→= （B ）)()(lim 00x f x f x x =→（C ）)(0x f '存在（D ）)(x f 在0x 可微2.以下条件中（ ）是函数)(x f 在0x 处有导数的必要且充分条件. （A ）)(x f 在0x 处连续（B ）)(x f 在0x 处可微分 （C ）xx x f x x f x ∆∆∆∆)()(lim000--+→存在（D ）)(lim 0x f x x '→存在3.1=x 是函数x x x f πsin 1)(-=的（ ）间断点.（A ）可去 （B ）跳跃 （C ）无穷 （D ）振荡4.设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续并在开区间),(b a 内可导，如果在),(b a 内0)(>'x f ，那么必有（ ）.（A ）在],[b a 上0)(>x f（B ）在],[b a 上)(x f 单调增加 （C ）在],[b a 上)(x f 单调减少（D ）在],[b a 上)(x f 是凸的5.设函数x x x x f sin )23()(2+-=，则方程0)(='x f 在),0(π内根的个数为（ ）.（A ）0个 （B ）至多1个 （C ） 2个 （D ） 至少3个二.求下列极限（每题5分） 1.axax bx sin )1(ln lim+→（0>a ）.2.x d cx xb ax x cos sin lim++∞→（0≠c ）.3.xe x a x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-∞→1lim （0≠a ）.4.210sin lim x x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛→. 三.求下列函数的导数（每题6分）1.)ln(tan cos 2tan ln x x x y -⎪⎭⎫ ⎝⎛=,求y '.2.设)(x F 是可导的单调函数，满足0)(≠'x F ，0)0(=F .方程)()()(y F x F xy F +=确定了隐函数)(x y y =，求0=x dxdy.3.设)(x y y =是参数方程⎪⎩⎪⎨⎧=+=t y t x arctan 1ln 2确定的函数，求22dx y d .4.设函数⎩⎨⎧≤>+=00)ln()(x a x e x x f x（0>a ），问a 取何值时)0(f '存在？.四.（8分）证明：当0>x 时有ex x e ≥，且仅当e x =时成立等式.五.（8分）假定足球门宽度为4米，在距离右门柱6米处一球员沿垂直于底线的方向带球前进，问：他在离底线几米的地方将获得最大的射门张角？六.（10分）设函数)(x f 在区间],[b a 上连续，在区间),(b a 内有二阶导数.如果)()(b f a f =且存在),(b a c ∈使得)()(a f c f >，证明在),(b a 内至少有一点ξ，使得0)(<''ξf .七.（10分）已知函数)(x f y =为一指数函数与一幂函数之积，满足： （1）)(lim =+∞→x f x ，+∞=-∞→)(lim x f x ；（2）)(x f y =在),(+∞-∞内的图形只有一条水平切线与一个拐点. 试写出)(x f 的表达式.。
上海市同济大学第二附属中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷
上海市同济大学第二附属中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷一、填空题1．在空间中，如果两条直线没有交点，那么这两条直线的位置关系是.2．半径为2的球的表面积为.3．已知长方体1111ABCD A B C D -的棱11AD AA ==，2AB =，则异面直线BD 与11B C 所成角的余弦值为．4．在四面体P ABC -中，若底面ABC 的一个法向量为()1,1,0n = ，且()2,2,1CP =- ，则顶点P 到底面ABC 的距离为．5．已知一圆锥侧面展开图是一半径为2的半圆，则该圆锥的侧面积为.6．如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形OA B C '''，且//OA B C '''，24OA B C '''==，2A B ''=，则该平面图形的面积为.7．三棱锥P ABC -中，三条侧棱PA PB PC ==，则顶点P 在平面ABC 内的射影O 是ABC V 的．（填“内心”、“外心”、“重心”、“垂心”）8．在空间四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，若四边形对角线2==AC BD ，对角线AC 与BD 所成的角为π3，则FH =．9．如图，在圆柱O 1O 2内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O 1O 2的体积为V 1,球O 的体积为V 2，则12V V 的值是10．已知二面角AB αβ--为30°，P 是半平面α内一点，点P 到平面β的距离是1，则点P 在平面β内的投影到AB 的距离是．11．如图是底面半径为3的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S 滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了4周，则圆锥的母线长为12．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，点P 在正方形ABCD 的边界及其内部运动.平面区域W 由所有满足14A P ≤≤P 组成，则四面体1P A BC -的体积的取值范围.二、单选题13．已知直线l 和平面α，则“l 垂直于α内的两条直线”是“l α⊥”的（）．A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件14．把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比为1:4，母线（原圆锥母线在圆台中的部分）长为12，则原圆锥的母线长为（）A ．16B ．18C ．20D ．2215．m n 、为空间中两条直线，αβ、为空间中两个不同平面，下列命题中正确的个数为（）①二面角的范围是[)0,π；②经过3个点有且只有一个平面；③若m n 、为两条异面直线，,,//m n m αββ⊂⊂，则//n α．④若m n 、为两条异面直线，且//,//,//,//m n m n ααββ，则//αβ．A ．0B ．1C ．2D ．316．《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”.如图，在堑堵111ABC A B C -中，AC BC ⊥，且12AA AB ==.下列说法错误．．的是（）A ．四棱锥11B A ACC -为“阳马”B ．四面体11AC CB 为“鳖臑”C ．四棱锥11B A ACC -体积的最大值为23D ．过A 点作1AE A B ⊥于点E ，过E 点作1EF A B ⊥于点F ，则1A B ⊥面AEF三、解答题17．如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M N P 、、分别是1111C D CC AA 、、的中点．(1)证明：//MN 平面11ABB A ．(2)求异面直线1PD 与MN 所成角的大小．（结果用反三角表示）18．如图，已知PA ＝AC ＝PC ＝AB ＝a ，PA AB ⊥，AC AB ⊥，M 为AC 的中点．(1)求证：PM ⊥平面ABC ；(2)求直线PB 与平面ABC 所成角的大小．19．现需要设计一个仓库，由上、下两部分组成，上部的形状是正四棱锥1111P A B C D -，下部的形状是正四棱柱1111ABCD A B C D -(如图所示)，并要求正四棱柱的高1O O 是正四棱锥的高1PO 的4倍.(1)若m 6AB =，12m PO =，则仓库的容积是多少？(2)若正四棱锥的侧棱长为6m ，当1PO 为多少时，下部的正四棱柱侧面积最大，最大面积是多少？20．如图，AB 是圆柱的底面直径，2AB =，PA 是圆柱的母线且2PA =，点C 是圆柱底面圆周上的点．(1)求圆柱的表面积；(2)证明：平面PBC ⊥平面PAC ；(3)若1AC =，D 是PB 的中点，点E 在线段PA 上，求CE ED +的最小值．21．已知点P 是边长为2的菱形ABCD 所在平面外一点，且点P 在底面ABCD 上的射影是AC 与BD 的交点O ，已知60BAD ∠=︒，PDB △是等边三角形.(1)求证：AC PD ⊥；(2)求点D 到平面PBC 的距离；(3)若点E 是线段AD 上的动点，问：点E 在何处时，直线PE 与平面PBC 所成的角最大？求出最大角的正弦值，并说明点E 此时所在的位置.。
上海市高二数学上学期期中试题(含解析)
的最大值为 。
（2）由向量的夹角公式，
可得 ，
令 ，则 ，且 ，
可得 在 上单调递增，
所以 ，即 。
取值范围为
【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的坐标运算，以及平面向量的夹角公式的应用，同时结合函数的单调性是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题。
19.在平面上，给定非零向量 ，对任意向量 ，定义 .
【详解】由题意，直线 恒经过定点 ，
由直线的斜率公式，可得 ，
要使直线 与线段 有公共点，
则满足 或 ，
又由 ，且 ，所以 。
故答案为：
【点睛】本题主要考查了直线的斜率公式，以及直线的倾斜角与斜率的关系的应用，着重考查了数形结合思想，以及推理与计算能力，属于基础题。
， ．若在 轴上存在一点 ，使 最小，则点 的坐标为________．
将方程中的 分别换为 ，以及将 换成 ，比较所得方程与原方程，看相同与否，再将方程中的 换为 ，比较所得方程与原方程是否相同，最后得到结果.
【详解】将方程中的 换为 ，方程变为 ，与原方程相同，故最新 轴对称；
将方程中的 换为 ，方程变为 ，与原方程相同，故最新 轴对称；
将方程中的 换为 ，方程变为 ，与原方程不同，故不最新直线 对称；
由 ，所以是正确的。
故选：C。
【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算公式及其运算律的应用，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式和运算律是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。
所表示的曲线的对称性是（）
A.最新 轴对称B.最新 轴对称
C.最新 轴对称D.最新原点对称
【答案】D
【解析】
【分析】
同济大学高等数学2011第二学期期中考试
参考答案
一、 1．由 lim f ( x) = f (0) ，得 lim
x →0
ea sin x − 1 a sin x a = lim = = 1 ，故 a = 2 ． x →0 x →0 2 2x 2x
4 x2 + 2 + x2 − 2 ~ 2 ，所以 x 2 + 2 − x 2 − 2 x
2．当 x → ∞ 时， x 2 + 2 − x 2 − 2 = 是比
(二)高等数学(上)期中考试试卷(II)
试
一、填空题
题
⎧ e a sin x − 1 , x ≠ 0, ⎪ 1．设函数 f ( x) = ⎨ 2 x 在 x = 0 处连续，则常数 a = ⎪ 1 , x=0 ⎩
2．当 x → ∞ 时， x 2 + 2 − x 2 − 2 是比
．
1 x2
的无穷小．
1 低阶的无穷小． x2
3．由所给条件知 lim
x →0
f ( x) f ( x) f ( x) − f (0) = 1． = 1 ，从而 f (0) = lim ⋅ x = 0 ，因此 f ′(0) = lim x →0 x →0 x x x
a a ⎡ ⎤ 1 x x ⎛ x⎞ ⎛ ⎞ − + a ⎢ ⎥ 1． f (0 ) = e , f (0 ) = lim ，因此 a = 2 ． 1 lim 1 e + = + = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + → 0 x → 0+ ⎝ x ⎢⎝ a ⎠ ⎥ a⎠ ⎣ ⎦ dy 1 1 x 2． ． = ⋅ [ − sin(arctan x)] ⋅ =− 2 d x cos(arctan x) 1+ x 1 + x2 f ( x) − f (0) f (− x) − f (0) + f ( x) − f (− x) 2 f ′(0) x −x 3． lim = lim = = 1． x → 0 g ( x ) − g (0) x→0 g ( x) − g (0) g ′(0) x Δy 1 1 1 = d x = ln(1 + ax) + C ． 4．因为 y′ = lim ，因此 y = ∫ Δx → 0 Δx 1 + ax 1 + ax a 三、 1 1− x − ln(1 + x) x 1． lim = lim 1 + x = lim = 1． x →0 x →0 x → 0 (1 + x ) sin x 1 − cos x sin x
上海市同济大学第二附属中学2024届高三上学期期中数学试题
上海市同济大学第二附属中学2024届高三上学期期中数学
试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题
三、解答题
17．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥面ABCD ，AB AD ⊥，//AD BC ，点,E F 分别为,PA PD 的中点，2AB BC ==，4AD PA ==.
(1)证明：直线//EF 平面PBC ；(2)求二面角F CD B --的余弦值.
18．已知等差数列{}n a 满足：1583,115,,0a a a n n =-=∈>N .(1)求数列{}n a 的通项公式及前n 项和为n S ；(2)求()10
i
2i 1i 12a -=+∑.
四、未知
19．如图，某市在两条直线公路OA OB 、上修建地铁站A 和,120B AOB ∠=︒，为了方便市民出行，要求公园O 到AB 的距离为1km .设BAO θ∠=.
(1)试求AB 的长度l 关于θ的函数关系式；
(2)问当θ取何值时，才能使AB 的长度最短，并求其最短距离.
五、解答题。
2020-2021上海 同济大学第二附属中学九年级数学上期中模拟试题含答案
2020-2021上海 同济大学第二附属中学九年级数学上期中模拟试题含答案一、选择题1．如图，将矩形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转到矩形 AB′C′D′的位置，旋转角为α(0°＜α＜90°)．若∠1＝112°，则∠α的大小是( )A ．68°B ．20°C ．28°D ．22°2．下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（ ） A ． B ． C ．D ．3．如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点(－1，0)，对称轴为直线l.则下列结论：①abc ＞0；②a －b ＋c ＝0；③2a ＋c ＜0；④a ＋b ＜0.其中所有正确的结论是( )A ．①③B ．②③C ．②④D ．②③④4．如图，AD 、BC 是⊙O 的两条互相垂直的直径，点P 从点O 出发，沿O→C→D→O 的路线匀速运动．设∠APB=y （单位：度），那么y 与点P 运动的时间x （单位：秒）的关系图是（ ）A ．AB ．BC ．CD ．D 5．已知实数0a <，则下列事件是随机事件的是（ ）A ．0a ≥B ．10a +>C ．10a -<D ．210a +< 6．某宾馆共有80间客房．宾馆负责人根据经验作出预测：今年7月份，每天的房间空闲数y （间）与定价x （元/间）之间满足y ＝14x ﹣42（x ≥168）．若宾馆每天的日常运营成本为5000元，有客人入住的房间，宾馆每天每间另外还需支出28元的各种费用，宾馆想要获得最大利润，同时也想让客人得到实惠，应将房间定价确定为（ ）A ．252元/间B ．256元/间C ．258元/间D ．260元/间7．若关于x 的方程240kx x -+=有实数根，则k 的取值范围是( )A ．k 16≤B ．1k 16≤C ．k 16≤且k 0≠D ．1k 16≤且k 0≠ 8．若关于x 的一元二次方程ax 2+bx ﹣1＝0（a ≠0）有一根为x ＝2019，则一元二次方程a （x ﹣1）2+b （x ﹣1）＝1必有一根为（ ） A ．12019 B ．2020 C ．2019 D ．20189．如图，是两条互相垂直的街道，且A 到B ,C 的距离都是7 km ,现甲从B 地走向A 地，乙从A 地走向C 地，若两人同时出发且速度都是4km /h ，则两人之间的距离为5km 时，是甲出发后（ ）A ．1hB ．0.75hC ．1.2h 或0.75hD ．1h 或0.75h10．解一元二次方程 x 2﹣8x ﹣5＝0，用配方法可变形为（ ）A ．（x +4）2＝11B ．（x ﹣4）2＝11C ．（x +4）2＝21D ．（x ﹣4）2＝2111．如图，一个游戏转盘中，红、黄、蓝三个扇形的圆心角度数分别为60︒，90︒，210︒．让转盘自由转动，指针停止后落在黄色区域的概率是( )A ．16B ．14C ．13D ．71212．100个大小相同的球，用1至100编号，任意摸出一个球，则摸出的编号是质数的概率是 （ ）A ．120B ．19100C ．14D ．以上都不对二、填空题13．已知圆锥的底面圆半径为3cm ，高为4cm ，则圆锥的侧面积是________cm 2.14．如图，二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象经过（﹣1，0）（3，0）两点，给出的下列6个结论：①ab ＜0；②方程ax 2+bx+c ＝0的根为x 1＝﹣1，x 2＝3；③4a+2b+c ＜0；④当x ＞1时，y 随x 值的增大而增大；⑤当y ＞0时，﹣1＜x ＜3；⑥3a+2c ＜0．其中不正确的有_____．15．有4根细木棒，长度分别为2cm 、3cm 、4cm 、5cm ，从中任选3根，恰好能搭成一个三角形的概率是__________．16．如图，AD 为ABC V 的外接圆O e 的直径，如果50BAD ∠=︒，那么ACB =∠__________．17．在一个不透明的口袋中装有3个红球，1个白球，他们除了颜色外，其余均相同，若把它们搅匀后从中任意摸一个球，则摸到白球的可能性是 _________.18．一元二次方程()22x x x -=-的根是_____.19．若关于 x 的一元二次方程2x 2-x+m=0 有两个相等的实数根，则 m 的值为__________．20．如图所示，AB 是⊙O 的直径，弦CD AB ⊥于H ，30,23A CD ︒∠==，则⊙O 的半径是_______．三、解答题21．已知△ABC 是⊙O 的内接三角形，∠BAC 的平分线交⊙O 于点D ．（I ）如图①，若BC 是⊙O 的直径，BC ＝4，求BD 的长；（Ⅱ）如图②，若∠ABC 的平分线交AD 于点E ，求证：DE ＝DB ．22．某商家在购进一款产品时，由于运输成本及产品成本的提高，该产品第x 天的成本y （元/件）与x（天）之间的关系如图所示，并连续 60 天均以 80 元/件的价格出售，第x 天该产品的销售量z（件）与x（天）满足关系式z＝x+15．（1）第 25 天，该商家的成本是元，获得的利润是元；（2）设第x 天该商家出售该产品的利润为w 元．①求w 与x 之间的函数关系式；②求出第几天的利润最大，最大利润是多少？23．2021年我省开始实施“ 3+1+2”高考新方案，其中语文、数学、外语三门为统考科目（必考），物理和历史两个科目中任选 1门，另外在思想政治、地理、化学、生物四门科目中任选 2门，共计6门科目，总分750 分，假设小丽在选择科目时不考虑主观性．（1）小丽选到物理的概率为；（2）请用“画树状图”或“列表”的方法分析小丽在思想政治、地理、化学、生物四门科目中任选 2门选到化学、生物的概率．24．甲乙两人在玩转盘游戏时，把转盘A、B分别分成4等份、3等份，并在每一份内标上数字，如图所示．游戏规定，转动两个转盘停止后，指针所指的两个数字之和为奇数时，甲获胜；为偶数时，乙获胜．（1）用列表法（或画树状图）求甲获胜的概率；（2）你认为这个游戏规则对双方公平吗？请简要说明理由．25．如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝12cm，点D从点A出发沿边AB以2cm/s的速度向点B移动，移动过程中始终保持DE∥BC，DF∥AC（点E、F分别在AC、BC上）．设点D移动的时间为t秒．（1）试判断四边形DFCE的形状，并说明理由；（2）当t为何值时，四边形DFCE的面积等于20cm2？（3）如图2，以点F为圆心，FC的长为半径作⊙F，在运动过程中，当⊙F与四边形DFCE只有1个公共点时，请直接写出t的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】试题解析：∵四边形ABCD为矩形，∴∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°，∵矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α，∴∠BAB′=α，∠B′AD′=∠BAD=90°，∠D′=∠D=90°，∵∠2=∠1=112°，而∠ABD=∠D′=90°，∴∠3=180°-∠2=68°，∴∠BAB′=90°-68°=22°，即∠α=22°．故选D ．2．B解析：B【解析】由中心对称图形的定义：“把一个图形绕一个点旋转180°后，能够与自身完全重合，这样的图形叫做中心对称图形”分析可知，上述图形中，A 、C 、D 都不是中心对称图形，只有B 是中心对称图形.故选B.3．D解析：D【解析】【分析】【详解】试题分析：①∵二次函数图象的开口向下，∴a ＜0，∵二次函数图象的对称轴在y 轴右侧， ∴﹣2b a＞0， ∴b ＞0，∵二次函数的图象与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，∴c ＞0，∴abc ＜0，故①错误；②∵抛物线y=ax 2+bx+c 经过点（﹣1，0），∴a ﹣b+c=0，故②正确；③∵a ﹣b+c=0，∴b=a+c ．由图可知，x=2时，y ＜0，即4a+2b+c ＜0，∴4a+2（a+c ）+c ＜0，∴6a+3c ＜0，∴2a+c ＜0，故③正确；④∵a ﹣b+c=0，∴c=b ﹣a ．由图可知，x=2时，y ＜0，即4a+2b+c ＜0，∴4a+2b+b ﹣a ＜0，∴3a+3b ＜0，∴a+b ＜0，故④正确．故选D ．考点：二次函数图象与系数的关系．4．B解析：B【解析】试题分析：（1）当点P 沿O→C 运动时，当点P 在点O 的位置时，y=90°，当点P 在点C 的位置时，∵OA=OC ，∴y=45°，∴y 由90°逐渐减小到45°；（2）当点P 沿C→D 运动时，根据圆周角定理，可得y≡90°÷2=45°；（3）当点P 沿D→O 运动时，当点P 在点D 的位置时，y=45°，当点P 在点0的位置时，y=90°，∴y 由45°逐渐增加到90°．故选B ．考点：动点问题的函数图象．5．B解析：B【解析】【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．【详解】解：A 、∵任何数的绝对值都是非负数，∴0a ≥是必然事件，不符合题意；B 、∵0a <，∴1a +的值可能大于零，可能小于零，可能等于零是随机事件，符合题意；C 、∵0a <，∴a-1＜-1＜0是必然事件，故C 不符合题意；D 、∵21a +>0,∴210a +<是不可能事件，故D 不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．6．B解析：B【解析】【分析】根据：总利润=每个房间的利润×入住房间的数量-每日的运营成本，列出函数关系式，配方成顶点式后依据二次函数性质可得最值情况．【详解】设每天的利润为W 元，根据题意，得：W=（x-28）（80-y ）-5000()128804245000x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎡⎤-⎢⎥⎣⎦⎭ 2112984164x x =-+- ()2125882254x =--+， ∵当x=258时，12584222.54y =⨯-=，不是整数， ∴x=258舍去，∴当x=256或x=260时，函数取得最大值，最大值为8224元，又∵想让客人得到实惠，∴x=260（舍去）∴宾馆应将房间定价确定为256元时，才能获得最大利润，最大利润为8224元． 故选：B ．【点睛】本题考查二次函数的实际应用，利用数学知识解决实际问题，解题的关键是建立函数模型，利用配方法求最值．7．B解析：B【解析】【分析】当0k =时，代入方程验证即可，当0k ≠时，根据方程的判别式△≥0可得关于k 的不等式，解不等式即得k 的取值范围，问题即得解决.【详解】解：当0k =时，40x -+=，此时4x =，有实数根；当0k ≠时，∵方程240kx x -+=有实数根，∴△2(1)440k =--⨯⨯…，解得：116k …，此时116k …且0k ≠； 综上，116k …．故选B. 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟知一元二次方程的根的判别式与根的关系是解题的关键.8．B解析：B【解析】【分析】对于一元二次方程a （x-1）2+b （x-1）-1=0，设t=x-1得到at 2+bt-1=0，利用at 2+bt-1=0有一个根为t=2019得到x-1=2019，从而可判断一元二次方程a （x-1）2+b （x-1）=1必有一根为x=2020．【详解】对于一元二次方程a （x-1）2+b （x-1）-1=0，设t=x-1，所以at 2+bt-1=0，而关于x 的一元二次方程ax 2+bx-1=0（a≠0）有一根为x=2019，所以at 2+bt-1=0有一个根为t=2019，则x-1=2019，解得x=2020，所以一元二次方程a （x-1）2+b （x-1）=1必有一根为x=2020．故选B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．9．D解析：D【解析】【分析】据题画出图形如图，设走了x 小时，则BF =AG =4x ，AF =7－4x ，根据勾股定理列出方程，解方程即得答案.【详解】解：如图，设走了x 小时，根据题意可知：BF =AG =4x ，则AF =7－4x ，根据勾股定理，得()()2274425x x -+=，即24730x x -+=.解得：11x =，234x =.故选D.【点睛】本题考查了勾股定理的应用和一元二次方程的解法，弄清题意，根据勾股定理列出方程是解题的关键.10．D解析：D【解析】【分析】移项后两边配上一次项系数一半的平方即可得．【详解】解：∵x 2-8x=5，∴x 2-8x+16=5+16，即（x-4）2=21，故选D ．【点睛】本题考查的知识点是解一元二次方程的能力，解题关键是熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法．11．B解析：B【解析】【分析】求出黄区域圆心角在整个圆中所占的比例，这个比例即为所求的概率．【详解】 ∵黄扇形区域的圆心角为90°，所以黄区域所占的面积比例为901=3604， 即转动圆盘一次，指针停在黄区域的概率是14， 故选B ．【点睛】本题将概率的求解设置于转动转盘游戏中，考查学生对简单几何概型的掌握情况，既避免了单纯依靠公式机械计算的做法，又体现了数学知识在现实生活、甚至娱乐中的运用，体现了数学学科的基础性．用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．12．C解析：C【解析】解答：在1到100这100个数中，是质数的是：2，3 ，5，7，11，13，17，19，23，29，31 ，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97，共25个，所以摸出的编号是质数的概率是2511004=，故选C．点睛: 本题关键是清楚1到100这一范围内有几个质数，特别注意的是1既不是质数，又不是合数.二、填空题13．15π【解析】【分析】设圆锥母线长为l根据勾股定理求出母线长再根据圆锥侧面积公式即可得出答案【详解】设圆锥母线长为l∵r=3h=4∴母线l=∴S侧=×2πr×5=×2π×3×5=15π故答案为15π解析：15π【解析】【分析】设圆锥母线长为l，根据勾股定理求出母线长，再根据圆锥侧面积公式即可得出答案.【详解】设圆锥母线长为l，∵r=3，h=4，∴母线5=，∴S侧=12×2πr×5=12×2π×3×5=15π，故答案为15π.【点睛】本题考查了圆锥的侧面积，熟知圆锥的母线长、底面半径、圆锥的高以及圆锥的侧面积公式是解题的关键.14．⑤【解析】【分析】①由图象可知a>0b<0则问题可解；②根据图象与x轴交点问题可解；③由图象可知当x=2时对应的点在x轴下方x=2时函数值为负；④由图象可知抛物线对称轴为直线x=1当x>1时y随x值解析：⑤【解析】【分析】①由图象可知，a>0,b<0,则问题可解；②根据图象与x轴交点，问题可解；③由图象可知，当x=2时，对应的点在x轴下方，x=2时，函数值为负；④由图象可知，抛物线对称轴为直线x=1，当x>1时，y随x值的增大而增大；⑤由图象可知，当y>0时，对应x>3或x<-1；⑥根据对称轴找到ab之间关系，再代入a﹣b+c＝0，问题可解．综上即可得出结论．【详解】解：①∵抛物线开口向上，对称轴在y 轴右侧，与y 轴交于负半轴，∴a ＞0，﹣2b a ＞0，c ＜0， ∴b ＜0，∴ab ＜0，说法①正确；②二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象经过（﹣1，0）（3，0）两点，∴方程ax 2+bx+c ＝0的根为x 1＝﹣1，x 2＝3，说法②正确；③∵当x ＝2时，函数y ＜0，∴4a+2b+c ＜0，说法③正确；④∵抛物线与x 轴交于（﹣1，0）、（3，0）两点，∴抛物线的对称轴为直线x ＝1，∵图象开口向上，∴当x ＞1时，y 随x 值的增大而增大，说法④正确；⑤∵抛物线与x 轴交于（﹣1，0）、（3，0）两点，且图象开口向上，∴当y ＜0时，﹣1＜x ＜3，说法⑤错误；⑥∵当x ＝﹣1时，y ＝0，∴a ﹣b+c ＝0，∴抛物线的对称轴为直线x ＝1＝﹣2b a， ∴b ＝﹣2a ，∴3a+c ＝0，∵c ＜0，∴3a+2c ＜0，说法⑥正确．故答案为⑤．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系、抛物线与x 轴的交点以及二次函数图象上点的坐标特征，解答关键是根据二次函数性质结合函数图象解答问题． 15．【解析】【分析】根据题意使用列举法可得从有4根细木棒中任取3根的总共情况数目以及能搭成一个三角形的情况数目根据概率的计算方法计算可得答案【详解】根据题意从有4根细木棒中任取3根有234；345；23 解析：34【解析】【分析】根据题意，使用列举法可得从有4根细木棒中任取3根的总共情况数目以及能搭成一个三角形的情况数目，根据概率的计算方法，计算可得答案．【详解】根据题意，从有4根细木棒中任取3根，有2、3、4；3、4、5；2、3、5；2、4、5，共4种取法，而能搭成一个三角形的有2、3、4；3、4、5，2、4、5，三种，得P=3 4 .故其概率为：34．【点睛】本题考查概率的计算方法，使用列举法解题时，注意按一定顺序，做到不重不漏．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．16．40°【解析】【分析】连接BD如图根据圆周角定理得到∠ABD=90°则利用互余计算出∠D=40°然后再利用圆周角定理得到∠ACB的度数【详解】连接BD 如图∵AD为△ABC的外接圆⊙O的直径∴∠ABD解析：40°．【解析】【分析】连接BD，如图，根据圆周角定理得到∠ABD=90°，则利用互余计算出∠D=40°，然后再利用圆周角定理得到∠ACB的度数．【详解】连接BD，如图，∵AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，∴∠ABD=90°，∴∠D=90°-∠BAD=90°-50°=40°，∴∠ACB=∠D=40°．故答案为40°．【点睛】本题考查了圆周角定理．熟练掌握并运用圆周角定理是解决本题的关键.17．【解析】【分析】先求出袋子中球的总个数及白球的个数再根据概率公式解答即可【详解】∵在一个不透明的口袋中装有3个红球1个白球共4个球∴任意摸出1个球摸到白球的概率是【点睛】本题考查了概率公式解题的关键解析：1 4【解析】【分析】先求出袋子中球的总个数及白球的个数，再根据概率公式解答即可．【详解】∵在一个不透明的口袋中装有3个红球、1个白球，共4个球，∴任意摸出1个球，摸到白球的概率是1 4 .【点睛】本题考查了概率公式，解题的关键是熟练的掌握概率公式的知识点.18．x1=1x2=2【解析】【分析】整体移项后利用因式分解法进行求解即可得【详解】x(x-2)-(x-2)=0x-1=0或x-2=0所以x1=1x2=2故答案为x1=1x2=2【点睛】本题考查了解一元二解析：x1=1, x2=2.【解析】【分析】整体移项后，利用因式分解法进行求解即可得.【详解】x(x-2)-(x-2)=0，()()120x x--=，x-1=0或x-2=0，所以x1=1，x2=2，故答案为x1=1，x2=2.【点睛】本题考查了解一元二次方程——因式分解法，根据方程的特点熟练选择恰当的方法进行求解是关键.19．【解析】【分析】根据关于x的一元二次方程2x2-x+m=0有两个相等的实数根结合根的判别式公式得到关于m的一元一次方程解之即可【详解】根据题意得：△=1-4×2m=0整理得：1-8m=0解得：m=故解析：1 8【解析】【分析】根据“关于x的一元二次方程2x2-x+m=0有两个相等的实数根”，结合根的判别式公式，得到关于m的一元一次方程，解之即可．【详解】根据题意得：△=1-4×2m=0，整理得：1-8m=0，解得：m=18，故答案为：18．本题考查了根的判别式，正确掌握根的判别式公式是解题的关键．20．2【解析】【分析】连接BC 由圆周角定理和垂径定理得出由直角三角形的性质得出得出求出即可【详解】解：连接BC 如图所示：∵AB 是⊙O 的直径弦于H 在中即⊙O 的半径是2；故答案为：2【点睛】考查的是垂径定理解析：2【解析】【分析】连接BC ，由圆周角定理和垂径定理得出190,32ACB CH DH CD ︒∠====，由直角三角形的性质得出223,323,2AC CH AC BC AB BC =====，得出2,4BC AB ==，求出2OA =即可．【详解】解：连接BC ，如图所示：∵AB 是⊙O 的直径，弦CD AB ⊥于H ，19032ACB CH DH CD ∴∠︒＝，＝＝＝ 30A ∠︒Q ＝，223AC CH ∴＝＝，在Rt ABC ∆中，30A ∠︒＝，3232AC BC AB BC ∴＝＝，＝，24BC AB ∴＝，＝，2OA ∴＝，即⊙O 的半径是2；故答案为：2【点睛】考查的是垂径定理、圆周角定理、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键．三、解答题21．（I ）BD ＝2；（II ）见解析.【解析】（I ）连接OD ，易证△DOB 是等腰直角三角形，由勾股定理即可求出BD 的长；（II ）由角平分线的定义结合（1）的结论即可得出∠CBD +∠CBE ＝∠BAE +∠ABE ，再根据三角形外角的性质即可得出∠EBD ＝∠DEB ，由此即可证出BD ＝DE ．【详解】解：（I ）连接OD ，∵BC 是⊙O 的直径，∴∠BAC ＝90°，∵∠BAC 的平分线交⊙O 于点D ，∴∠BAD ＝∠CAD ＝45°，∴∠BOD ＝90°，∵BC ＝4，∴BO ＝OD ＝2， ∴222222BD =+=；（II ）证明：∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE ＝∠CBE ．∵∠BAD ＝∠CBD ，∴∠CBD +∠CBE ＝∠BAE +∠ABE ．又∵∠DEB ＝BAE +∠ABE ，∴∠EBD ＝∠DEB ，∴BD ＝DE ．【点睛】本题考查了三角形外接圆与外心、垂径定理、圆周角定理以及角平分线的定义，熟练掌握和圆有关的性质是解题的关键．22．（1）35，1800；（2）①250750(020)551050(2060)x x w x x x +<≤⎧=⎨-++<≤⎩；②第27或28天的利润最大，最大为1806元．【解析】【分析】（1）根据已知条件可知第25天时的成本为35元，此时的销售量为40，则可求得第25天的利润．（2）①利用每件利润×总销量＝总利润，分当0＜x≤20时与20＜x≤60时，分别列出函数关系式；②利用一次函数及二次函数的性质即可解答．【详解】解：（1）由图象可知，此时的销售量为z ＝25＋15＝40（件），设直线BC 的关系为y ＝kx ＋b ，将B （20,30）、C （60,70）代入得：20306070k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：k=1，b=10， ∴y ＝x ＋10，∴第 25 天，该商家的成本是y=25+10=35（元）则第25天的利润为：（80−35）×40＝1800（元）； 故答案为：35，1800；（2）①当0＜x≤20时，(8030)(15)50750w x x =-+=+；当20＜x≤60时，2[80(10)](15)551050w x x x x =-++=-++， ∴ 250750(020)551050(2060)x x w x x x +<≤⎧=⎨-++<≤⎩②当0＜x≤20时，∵50＞0，w 随x 的增大而增大，∴当x=20时，w=50×20+750=1750（元）， 当20＜x≤60时，2551050w x x =-++，∵-1＜0，抛物线开口向下，对称轴为552x =， 当x=27与x=28时，227552*********w =-+⨯+=（元）∵1806＞1750，∴第27或28天的利润最大，最大为1806元．【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题，常利用函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．根据每天的利润＝一件的利润×销售件数，建立函数关系式，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．23．（1）12；（2）16 【解析】【分析】（1）由题意可知小丽只有两种可选择：物理或历史，即可求解；（2）从所有等可能结果中找到同时包含生物和化学的结果数，再根据概率公式计算可得．【详解】（1）因为小丽只有两种可选择：物理或历史，所以小丽选到物理的概率为12（2）设思想政治为 A ， 地理为 B ， 化学为 C ， 生物为 D ，画出树状图如下：共有 12 种等可能情况，选中化学、生物的有2 种，∴P（选中化学、生物）=212=16.【点睛】本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，写出所有的可能性，求出相应的概率．24．(1) 12；（2）公平，理由见解析【解析】【分析】本题考查了概率问题中的公平性问题，解决本题的关键是计算出各种情况的概率，然后比较即可．【详解】方法一画树状图：由上图可知，所有等可能的结果共有12种，指针所指的两个数字之和为奇数的结果有6种．∴P（和为奇数）= 12．方法二列表如下：由上表可知，所有等可能的结果共有12种，指针所指的两个数字之和为奇数的结果有6种．∴P（和为奇数）= 12；（2）∵P（和为奇数）= 12，∴P（和为偶数）=12，∴这个游戏规则对双方是公平的．【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．25．（1）平行四边形，理由见解析；（2）1秒或5秒；（3）12﹣62＜t＜6【解析】【分析】（1）由两组对边平行的四边形是平行四边形可证四边形DFCE是平行四边形；（2）设点D出t秒后四边形DFCE的面积为20cm2，利用BD×CF＝四边形DFCE的面积，列方程解答即可；（3）如图2中，当点D在⊙F上时，⊙F与四边形DECF有两个公共点，求出此时t的值，根据图象即可解决问题．【详解】解：（1）∵DE∥BC，DF∥AC，∴四边形DFCE是平行四边形；（2）如图1中，设点D出发t秒后四边形DFCE的面积为20cm2，根据题意得，DE＝AD＝2t，BD＝12﹣2t，CF＝DE＝2t，又∵BD×CF＝四边形DFCE的面积，∴2t（12﹣2t）＝20，t2﹣6t+5＝0，（t﹣1）（t﹣5）＝0，解得t1＝1，t2＝5；答：点D出发1秒或5秒后四边形DFCE的面积为20cm2；（3）如图2中，当点D在⊙F上时，⊙F与四边形DECF有两个公共点，在Rt△DFB中，∵∠B＝90°，AD＝DF＝CF＝2t，BD＝BF＝12﹣2t，∴2t2（12﹣2t），∴t＝12﹣2，由图象可知，当12﹣2＜t＜6时，⊙F与四边形DFCE有1个公共点．【点睛】本题考查圆综合题，考查了圆的有关知识，平行四边形的判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，属于中考常考题型．。
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同济大学高等数学（上）期中考试试卷2
一.选择题（每小题4分）
1.以下条件中（ ）不是函数)(x f 在0x 处连续的充分条件. （A ）)
(lim )(lim 00
00x f x f x x x x -→+→= （B ）)
()(lim 00x f x f x x =→
（C ）)(0x f '存在
（D ）)(x f 在0x 可微
2.以下条件中（ ）是函数)(x f 在0x 处有导数的必要且充分条件. （A ）)(x f 在0x 处连续
（B ）)(x f 在0x 处可微分
（C ）x x x f x x f x ∆∆∆∆)
()(lim
000--+→存在 （D ）)
(lim 0x f x x '→存在
3.1=x 是函数
x x x f πsin 1
)(-=
的（ ）间断点. （A ）可去
（B ）跳跃
（C ）无穷
（D ）振荡
4.设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续并在开区间),(b a 内可导，如果在),(b a 内
0)(>'x f ，那么必有（ ）.
（A ）在],[b a 上0)(>x f
（B ）在],[b a 上)(x f 单调增加 （C ）在],[b a 上)(x f 单调减少
（D ）在],[b a 上)(x f 是凸的
5.设函数
x x x x f sin )23()(2+-=，则方程0)(='x f 在),0(π内根的个数为（ ）.
（A ）0个 （B ）至多1个 （C ） 2个
（D ） 至少3个
二.求下列极限（每题5分）
1.ax ax b x sin )1(ln lim
0+→（0>a ）.
2.x d cx x
b ax x cos sin lim
++∞→（0≠c ）. 3.
x e x a x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→1lim （0≠a ）.
4.
2
1
0sin lim x x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛→. 三.求下列函数的导数（每题6分）
1.)
ln(tan cos 2tan ln x x x y -⎪⎭⎫ ⎝⎛
=,求y '.
2.设)(x F 是可导的单调函数，满足0)(≠'x F ，0)0(=F .方程
)()()(y F x F xy F +=
确定了隐函数)(x y y =，求0=x dx dy
.
3.设)(x y y =是参数方程⎪⎩
⎪⎨
⎧=+=t y t x arctan 1ln 2
确定的函数，求22dx y d .
4.设函数⎩⎨⎧≤>+=00)
ln()(x a x e x x f x
（0>a ），问a 取何值时)0(f '存在？. 四.（8分）证明：当0>x 时有e
x x e ≥，且仅当e x =时成立等式.
五.（8分）假定足球门宽度为4米，在距离右门柱6米处一球员沿垂直于底线的方向带球前进，问：他在离底线几米的地方将获得最大的射门张角？
六.（10分）设函数)(x f 在区间],[b a 上连续，在区间),(b a 内有二阶导数.如果
)()(b f a f =且存在),(b a c ∈使得)()(a f c f >，证明在),(b a 内至少有一点ξ，使得0)(<''ξf .
七.（10分）已知函数)(x f y =为一指数函数与一幂函数之积，满足： （1）
)(lim =+∞
→x f x ，
+∞
=-∞
→)(lim x f x ；
（2）)(x f y =在),(+∞-∞内的图形只有一条水平切线与一个拐点. 试写出)(x f 的表达式.。