高二数学下单元测试题二
高二数学(下)单元测试题答案
高二数学（下）单元测试题答案(一) 9.1—9.4 空间的直线与平面1．C 2. B 3. C 4. A 5. D 6. D. 7. C 8. D 9. D10. A 11. B12. A 解析:连AB l ，AC ，B l C ，BD ．由于BD l 在平面ABCD 内的射影为BD ， 1..BD AC BD AC ⊥∴⊥同理： 1111,,BD B C BD AB ⊥⊥∴1BD ⊥平面AB l C ．故P∈平面AB l C 时，AP ⊥BD l ．而平面1AB C 平面,111C B B BCC =⋅故A 对．13. ②③ 14. (1)异面直线 (2)相交直线 (3)平行直线425 17. 证明： ∵△ABC 与△A′B ′c ′不全等,∴至少有一组对应边不相等，不妨设,//,AB A B AB A B ''''=/ 又,AB A B AA '''=∴⋅/与BB ′必交于一点O ．,//,O AA AC A C '''∈ O ∴∈面AA ′C ′C ，同理0∈面BB ′C ′C ．∴点O 在面AA ′C ′C 和面BB ′C ′C 的交线上，即0∈CC ′, ∴AA ′、BB ′、CC ′交于同一点O.18．证明：在线段AD 上取点H ，使,AH HD λ:=⋅则//,//HF SA HE ⋅//.HE AB ∴平面SAB ，HF∥平面SAB ．又,HE HF H φ==/ ∴平面HEF∥平面SAB ，∴EF∥平面SAB ．19. (1)见解析 解析: (1)证明：取AD 中点G ，连结A l G 、EG ，则1111//,AB A B E G ABE G ∴为平行四边形，则111////,B E AG FD B F D F ∴、、、四点共面，且B 1EDF 是平行四边形，又11,DF B B EDF ==∴是菱形． (2)过C 作CP ∥DE 交AD 于P ，连结A l P ，则∠A l CP 为异面直线A l C 和DE 所成的角或其补角．在△A l CP 中， 1,AC =,2CP a =1,2A P a =由余弦定理得1arccos 15ACP ∠=20. (1)(2)见解析(3)2x =MN取最小值为2解析: (1)证明：如图所示，过点M 作MR ⊥AD ，垂足为R ，则MR ⊥面ABCD ，连结RN ，则RN ⊥AD ．过M 、N 分别作⊥MQ 1,,D D NP CD ⊥垂足分别为Q 、P ，连结PQ ， 1,MD ND = ////,MQ RD NP MNPQ ∴∴为平行四边形，//.MN PQ ∴又⊂PQ 平面//,11MN C CDD ∴面CDD l C l ．(2),AD RN ⊥ ∴由三垂线定理知.AD MN ⊥22222222(3)11)(1)(1)(22222MN MR RNBN x x x =+=+-=+-=-+ ∴当x =时，MN 21. MN 和PQ 是异面直线．证明： 证法一：．(反证法)假设MN 与PQ 共面于β，则点,N Q b M N P Q b N Q βββ∈⎫∈⇒⊂⎬∈⎭、、、、，、,,,O P c O c P c βββ∈∈⎫⇒⊂⎬∈∈⎭同理,a β⊂ ∴a 、b 、c 共面，与已知a 、b 、C 不共面矛盾，故MN 与PQ 为异面直线·证法二:故平面MON 内一点Q 与平面外一点P 的连结PQ 与平面内不过Q 点的直线MN 是异面直线·22. (1)(2)见解析(3)当2x a =时，BM 最小为.2a 解析: (1)证明：∵SA ⊥平面ABCD ， ,,SA AD SA AB ∴⊥⊥SAB SAD ∆∆∴.是直角三角形，又,CD AD CD SD ⊥∴⊥ (三垂线定理)，故△SDC 是直角三角形．在Rt △SAD 中，,SD ==在Rt△SDC 中， ,SC ==在Rt△SAB 中，.SB =在直角梯形ABCD 中， .BC == 222,SC BC SB ∴+=故△ SCB 是直角三角形．(2)证明： //,//CD AB CD ∴ 平面ABNM ，又CD ⊂平面SCD ，且平面SCD ∩平面,//,//,ABNM MN CD MN AB MN =∴∴又<MN ABNM AB CD ∴<,为梯形， ⊥∴⊥⊥AB AD AB SA AB ,, 平面,,SAD AB AM ∴⊥故四边形ABNM 为直角梯形．(3)在△SAM 中， 45,,,o ASM SA a SM x ∠===由余弦定理得222222cos45.o AM x a ax x a =+-=+在Rt △BAM 中，BM ===∴当2x =时，min .BM a =即当x 时，BM .（二）9.5—9.8 空间向量·夹角与距离1．B 2. B 3. C 4. D 5. A 6. D 7. C 8. D 9.B10. C 11.B 12.D13. 90o 14. 45o 15. (0o ,30o] 16. 0,{|(4,6,2),}.k k k k R =--∈c c 17. 122221121,,333333333PG BG AG =+-=-++=++⋅ i j k i j k i j k 18. (1)45o , 24(2)7PA = 解析:(1)过P 作PO ⊥平面ABC 于O ，由于,PAB PAC ∠=∠故0在∠CAB 的平分线上．设PA 与平面ABC 所成角为,θ则cos cos60cos 45.cos cos 452o o o PAB OAB θθ∠===∴⋅=∠即：PA 与平面ABC 所成角为45o．(2)若O 在BC 上，则1520,,77BO CO AO ==== 24.cos 7AO PA θ∴==即： 247PA =时，P 在平面ABC 内的射影在BC 边上．19. (1) 31(0,(2),(3)arccos 24CD AD BC π=-〈〉=-20. (1)答案见解析解析: (1)证明：连BD ，∵PD ⊥平面ABCD ，且DB ⊥ MN ，依三垂线定理，PB ⊥MN ．若E 为C l C 中点，PE ⊥侧面BCC l B l ，BE 为斜线PB 在侧面BCC l B l 上的射影．111,,,Rt BCE Rt B BN EBC NB B BNB CEB ∆∆∠=∠∠=∠ ≌且1190,90,,o o EBC CEB EBC BNB BE B N ∠+∠=∴∠+∠=∴⊥由三垂线定理11,,PB B N MN B N N PB ⊥=∴⊥ 又平面B 1MN ，又PB ⊂平面PAB ， ∴平面PAB 上平面B l MN ．(2)由(1)知BE ⊥B l N ，设交点为Q ，∵MB ⊥平面BB l N ，BQ 为MQ 在B 1 BN 中的射影，BQ ⊥B l N ，由三垂线定理得： 1,MQ B N ⊥ ∴∠BQM 为二面角M-B 1 N-B 的平面角．设AB=1，则BC=1，NBQ ∠=在Rt △BNQ 中， cos BQ BN =⋅∠在Rt △ MBQ 中， tan sin MB MQB MQB BQ ∠==∴∠=故二面角M-B l N-B 的正弦值为321: (1)答案见解析(2)cos ,0MN AB <>= (3).2MN = 解析: (1)证明：如图所示，以BA、BC BE 、为单位正交基 底建立空间直角坐标系，则A(1，0，O)、D(1，1，O)、E(0，0，1)、B ．(0，0，O)．设.AN AE DM DB λ==::则MN MD DA AN BD DA AEλλ=++=++(1,1,0)(0,1,0)(1,0,1)(0,1,)λλλλ=+-+-=-01,10,0,λλλ<<∴-==// 且MN 的横坐标为0,∴MN平行于yBz 平面，即MN∥平面EBC ． (2)(1,0,0),(0,1,)(1,0,0)0,AB MN AB λλ=-∴⋅=-⋅-= ,cos ,0.MN AB MN AB ∴⊥∴<>=(3)由(1)知，||MN === ∴当12λ=时，MN长度最小，最小值为222. (1)arctan (2)证明见解析解析: (1)如图所示，连结BP,∵AB_L 平面BCC l B l ,AP 与平面BCC l B l 所成的角就是.APB ∠114,4, CP CC CP ==∴=在Rt△PBC 中，∠PCB 为直角，4,1,BC CP BP ==∴=在Rt △ABP 中，∠APB 为直角，tan arctan 1717AP APB APB BP ∠==∴∠= 即直线AP 与平面BCC l B l 所成的角为 (2)连结A l C l 、B l D l ，∵四边形A l B l C l D l 是正方形， .111C A O D ⊥∴又∵AA l ⊥底面.,111111O D AA D C B A ⊥∴11111,AA A C A D O=∴⊥ 平面A l ACC l ．由于AP ⊂平面.(),111AP D ACC A ⊥∴∵平面D l AP 的斜线D 1O 在这个平面内的射影是D l H ，∴D 1H ⊥AP(3)连结BC l ，在平面BCC l B l 中，过点P 作PQ ⊥BC l 于点Q ．∵AB ⊥平面BCC l B l ，PQ ⊂平面BCC 1 B 1，∴PQ ⊥AB,∴PQ ⊥平面ABC l D l ,∴PQ 就是点P 到平面ABD l 的距离．在Rt△C l PQ 中， 11190,45,3,o o C QP PC Q PC ∠=∠==pQ ∴=即点P 到平面ABD l(三)9.9----9.10 简单多面体与球1．A 2. C 3. D 4. C 5. B 6. A 7. C 8. B9. D 10. D 11. A 12. C36π 15.2π 16. ① ④ 17. 38， 6 0o . 解析:取BC 的中点E ，则A l C=1,,,A B AB AC BE EC ==故有1,A E BC ⊥BC ∴⊥平面AEA 1故∠A l EA即为所求二面角的平面角，又16,AA AE ==11114tan 2A BC A E S AEA ∆∴=∴=⨯=∠= 160,o AEA ∴∠=即：这个截面面积为,38与底面ABC 所成的角为60o ． 18. (1),2AOB π∠=(2)3解析; (1)如图所示，连结A0、B0、C0， 2.2AOB R ππ∠== (2)过A 、B 、C 的截面是△ABC 的外接圆，四面体0ABC 是顶点为0、侧面都是等腰直角三角形的正棱锥．设0′为截面圆圆心，则23AB BC CA O A '=====OO '==即O19. (1) 2a (2)90o 解析: (1)如图所示，取BC 中点D ，连结B l D 、AD ． ∵△ABC 是边长为a 的正三角形， ,.AD BC AD ∴⊥=∵侧面BCC l B l ⊥底面ABC 且面BCC l B l ∩面ABC=BC, AD ⊂面ABC ．∴AD ⊥面BCC 1B l ．故AD 的长就是AA l 到侧面BCC l B l 的距离．又知,AD =∴侧棱A l A 到侧面B l BCC l .(2)过B l 作B l D l ⊥BC ，D l 为垂足，与(1)中的推导相同，可知B l D l ⊥平面ABC ，∴侧棱B 1B在底面ABC 上的射影在BC 上，∴∠B l BC 是侧棱B l B 与底面ABC 成的角．由已知么B l BC=60o ，又侧面BCC l B l 是菱形，∴B l B=CB ，∴△B l BC 是等边三角形，∴D l 为BC 中点，D 与D l 重合，于是AD 是AB l 在底面上的射影．又BC ⊥AD 1．∴BC ⊥ AB 1，即AB l 与BC 所成的角为90o ． 20. 22.+解析:将侧面展开,化归为平面几何问题．将正三棱锥z 沿侧棱SA 剪开，然后将其侧面展开在一个平面上，如图所示．连结AA ′，设AA ′与SB 交于M ，交SC 于N 点．显然△AMN 的周长,l AM MN NA AA ''=++≥也就是说当)(,,'NA NA MN AM在一条直线上时，对应的截面三角形周长最短，则AA ′的长就是截面△AMN 周长的最小值． 1,SA SA '== 45,135,o o ASB BSC CSA ASA ''∠=∠=∠=∴∠=AA '∴==∴△AMN 周长最小值为.22+ 21. r 315解析：如图所示，球未取出水面高PC=h ，球取出后圆锥内水面高度PH=x ，轴截面ABP 为正三角形，OC=r ,PC=3r ,,AC =以AB 为底面直径的圆锥的体积为V =圆锥23314)33,.33r r V r πππ⋅==球球取出后，水面 降到EF ，水的体积21(),3V EH PH π=⋅水tan 30,,o EH PH x PH x ⋅⋅==又PH=321),39x V x ππ=⋅=水于是有3333343,15,39x r r x r πππ+=∴=即.153r x = 22． (2)N 点坐标为N 点到AB 、AP 的距离分别为l 解析： (1)建立如图所示的空间直角坐标系，则A 、B 、C 、D 、P 、E 的坐标分别为(0,0,0),0)A B C 、、1(0,1,0),(0,0,2).(0,,1),2D PE 、从而,0),AC = 2).PB =- 设AC PB 与的夹角为,θ则cosAC PBAC PBθ⋅===∣∣∣⋅∣∴AC与PB所成角的余弦值为.73(2)由于N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为(x，0，z)，则1(,,1).2NE x z=--由NE⊥面PAC可得，NE APNE AC⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即1(,,1)(0,0,2)021(,,1)02x zx z⎧--⋅=⎪⎪⎨⎪--⋅=⎪⎩化简得1012z-=⎧⎪⎨+=⎪⎩.61xz⎧=⎪∴⎨⎪=⎩即N点的坐标为(6从而N点到AB、AP的距离分别为l，6⋅(四) 10.1----10.4排列、组合和二项式定理1．C 2. C 3. D 4. A 5. D 6. D 7. B 8. A9. B 10. C 11. B 12. D13. 32 14. 54 15. 192 16. 36(729)17. (1)20个(2)1 0个解析: (1)先取十位数，有4种取法，再取个位数，有5种取法，由分步计数原理，共有5 × 4=20个不同数。
高中数学第二册(下B)立体几何单元测试题-旧人教[原创
上杭二中2006—2007学年第二学期三月份月考高二数学试题（考试时间：120分钟 满分：150分）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．过空间三个不同的点可以确定的平面的个数是 （ C ） A ． 1个 B ．无数个 C ． 1个或无数个 D ．无法确定2．两条异面直线是指 （ D ）A ．分别位于两个不同平面内的两条直线；B ．空间内不相交的两条直线；C ．某一平面内的一条直线与这个平面外的一条直线；D ．空间中两条既不平行也不相交的直线。
3．在空间中，有下列命题：①有两组对边相等的四边形是平行四边形。
②四边相等的四边形是菱形。
③平行于同一条直线的两条直线平行。
④连结空间四边形各边中点得到的四边形一定是平行四边形。
上述命题中，真命题的个数是（ B ）个A ． 1B ． 2C ． 3D ． 4 4．三棱锥P —ABC 中，若PA ⊥平面ABC ，∠ACB ＝90°，那么在三棱锥的侧面和底面中，直角三角形的个数为 （ A ） A ．4个 B ． 3个C ． 2个D ． 1个5．已知P 是矩形ABCD 所在平面外一点，PA ⊥平面 ABCD ，则下列各式中，可能不成立的是（ B ）A ．0=⋅AB PAB ．0=⋅BD PCC ．0=⋅AB PD D ．0=⋅CD PA6．点P 在正方形ABCD 所在平面外，PD ⊥平面 ABCD ，PD ＝AD ，则PA 与BD 所成的角为（ C ）A ． 30°B ． 45°C ． 60°D ．90°7．在△ABC 中，∠ACB ＝90°，点P 是平面ABC 外一点，PA ＝PB ＝PC ，AC ＝12，P 到平面ABC 的距离为8，则P 到BC 的距离为 （ C ）A ． 6B ． 8C ． 10D ． 128．一棱锥被平行于底面的平面所截，若截面面积与底面面积之比为1：2，则此棱锥的高被分成的两段（自上而下）之比为 （ D ） A ．2:1 B ．1：4 C ．)12(:1+ D ．)12(:1- 9．在北纬60°圈上有A 、B 两地，它们的纬线圈上的劣弧长等于R 2π（R 为地球半径），则这两点的球面距离是 （ A ）A ．R 3πB ．4arcsinπ⋅R C ．4arcsin2π⋅R D ． 2R10．自二面角内一点，到两个面的距离分别为22和4 ，到棱的距离为24，则此二面角的度数为 ( D )A ． 60°B ． 75°C ． 165°D ．75°和165°11．（理科）直平行六面体的底面是菱形，一个底面面积为4，两个对角面面积分别为5和6，那么它的体积为 （ C ）A ．302B ．30C ．152D ． 154（文科）已知一个正四面体的顶点是一个正方体的顶点，那么正方体的表面积是正四面体的表面积的（ C ）倍A ．22 B ． 36C ． 3D ．2612．（理科）长方体一个顶点上的三条棱长分别是3、4、5，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是（ C ）A ． π220B ．π225C ．π50D ． π200（文科）设三棱锥的三个侧面两两互相垂直，且侧棱长均为32，那么其外接球的面积为（ C ） A ． π12 B ．π32 C ．π36 D ． π48 二．填空题（本大题4小题，每小题4分，共16分）13．已知直线a ∥平面α，且距离为1，则到直线a 和平面α距离都为54的点的轨迹为是 ．[两条平行直线]14．已知平行六面体1111D C B A ABCD -中，11===AA AD AB ，且BAD ∠＝AD A 1∠＝AB A 1∠＝θ，则1AC ＝ ．[θcos 63+]15．下面是关于四棱柱的四个命题：①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱1DEB 1BAFD 1 C A 1CB C D A BC D 1111 E O②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱 ③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱其中，真命题的编号是 [②④]（写出所有正确结论的编号）．16．有六根细木条，其中较长的两根木条长分别为3，2，其余四根长均为1，若用它们搭成一个三棱锥，则其中两条较长的棱所在直线所成的角的余弦值为 。
人教A版新课标高中数学必修二第二章单元测试题(含答案)
高二周末检测题一、选择题1．下面四个命题：①分别在两个平面内的两直线是异面直线；②若两个平面平行，则其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面； ③如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行； ④如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行． 其中正确的命题是( )A ．①②B ．②④C ．①③D ．②③ 2 .垂直于同一条直线的两条直线一定 ( )A 、平行B 、相交C 、异面D 、以上都有可能 3．若三个平面两两相交，有三条交线，则下列命题中正确的是( )A ．三条交线为异面直线B ．三条交线两两平行C ．三条交线交于一点D ．三条交线两两平行或交于一点4. 在空间四边形ABCD 各边AB BC CD DA 、、、上分别取E F G H 、、、四点，如果与EF GH 、 能相交于点P ，那么 （ ）A 、点P 必在直线AC 上B 、点P 必在直线BD 上C 、点P 必在平面BCD 内 D 、点P 必在平面ABC 外5．若平面α⊥平面β，α∩β＝l ，且点P ∈α，P ∉l ，则下列命题中的假命题是( )A ．过点P 且垂直于α的直线平行于βB ．过点P 且垂直于l 的直线在α内C ．过点P 且垂直于β的直线在α内D ．过点P 且垂直于l 的平面垂直于β 6．设a ，b 为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，下列命题中为真命题的是( )A ．若a ，b 与α所成的角相等，则a ∥bB ．若a ∥α，b ∥β，α∥β，则a ∥bC ．若a ⊂α，b ⊂β，a ∥b ，则α∥βD ．若a ⊥α，b ⊥β，α⊥β，则a ⊥b 7．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是线段A 1B 1，B 1C 1上的不与端点重合的动点，如果A 1E ＝B 1F ，有下面四个结论：①EF ⊥AA 1； ②EF ∥AC ； ③EF 与AC 异面； ④EF ∥平面ABCD . 其中一定正确的有( )A ．①②B ．②③C ．②④D ．①④8．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，P A ⊥面ABC ，AB ＝AC ，D 是BC的中点，则图中直角三角形的个数是( ) A ．5 B ．8 C ．10D ．69．如右图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 是底面ABCD的中心，M 、N 分别是棱DD 1、D 1C 1的中点，则直线OM ( ) A ．与AC 、MN 均垂直相交 B ．与AC 垂直，与MN 不垂直 C ．与MN 垂直，与AC 不垂直D ．与AC 、MN 均不垂直10、如图:直三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V ，点P 、Q 分别在侧棱AA 1 和 CC 1上，AP=C 1Q ，则四棱锥B —APQC 的体积为( ) A 、2V B 、3V C 、4V D 、5V11．(2009·海南、宁夏高考)如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点 E 、F ，且EF ＝12，则下列结论错误的是( )A ．AC ⊥BEB ．EF ∥平面ABCDC ．三棱锥A —BEF 的体积为定值D ．△AEF 的面积与△BEF 的面积相等12．将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A －BD －C ，有如下四个结论：①AC ⊥BD ；②△ACD 是等边三角形；③AB 与平面BCD 成60°的角；④AB 与CD 所成的角是60°. 其中正确结论的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4 二、填空题13、已知PA 垂直平行四边形ABCD 所在平面，若PC BD ，平行则四边形ABCD 一定是 .14．已知三棱锥D －ABC 的三个侧面与底面全等，且AB ＝AC ＝3，BC ＝2，则以BC 为棱，以面BCD 与面BCA 为面的二面角的平面角大小为 .15．如下图所示，以等腰直角三角形ABC 斜边BC 上的高AD 为折痕．Q PC'B'A'C BA使△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面，则：(1)BD与CD的关系为________．(2)∠BAC＝________.16．在正方体ABCD—A′B′C′D′中，过对角线BD′的一个平面交AA′于E，交CC′于F，则①四边形BFD′E一定是平行四边形．②四边形BFD′E有可能是正方形．③四边形BFD′E在底面ABCD内的投影一定是正方形．④平面BFD′E有可能垂直于平面BB′D.以上结论正确的为__________．(写出所有正确结论的编号)三、解答题17、如图，在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，点E、F分别是AB、BD的中点．求证：(1)直线EF∥面ACD.(2)平面EFC⊥平面BCD.18．如图所示，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC＝22，M为BC的中点．(1)证明：AM⊥PM；(2)求二面角P－AM－D的大小．19．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC与△A1B1C1都为正三角形且AA1⊥面ABC，F、F1分别是AC，A1C1的中点．求证：(1)平面AB1F1∥平面C1BF；(2)平面AB1F1⊥平面ACC1A1.20．如图，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC＝BC＝EB＝2DC＝2，∠ACB＝120°，P，Q分别为AE，AB的中点．(1)证明：PQ∥平面ACD；(2)求AD与平面ABE所成角的正弦值．21．如图，△ABC中，AC＝BC＝22AB，ABED是边长为1的正方形，平面ABED⊥底面ABC，若G，F分别是EC，BD的中点．(1)求证：GF∥底面ABC；(2)求证：AC⊥平面EBC；(3)求几何体ADEBC的体积V.高二周末检测题答一、选择题 1-5 BDDAB 6-10 DDBAB 11-12 DC 二、填空题13、菱形 14、90° 15、(1)BD ⊥CD (2)60° 16、①③④ 三、解答题17、证明：(1)∵E 、F 分别是AB 、BD 的中点，∴EF ∥AD .又AD ⊂平面ACD ，EF ⊄平面ACD ， ∴直线EF ∥面ACD .(2)在△ABD 中，∵AD ⊥BD ，EF ∥AD ， ∴EF ⊥BD .在△BCD 中，∵CD ＝CB ，F 为BD 的中点，∴CF ⊥BD . ∵CF ∩EF ＝F ，∴BD ⊥平面EFC ， 又∵BD ⊂平面BCD ， ∴平面EFC ⊥平面BCD .18、[解析] (1)证明：如图所示，取CD 的中点E ，连接PE ，EM ，EA ， ∵△PCD 为正三角形，∴PE ⊥CD ，PE ＝PD sin ∠PDE ＝2sin60°＝ 3. ∵平面PCD ⊥平面ABCD ，∴PE ⊥平面ABCD ，而AM ⊂平面ABCD ，∴PE ⊥AM . ∵四边形ABCD 是矩形，∴△ADE ，△ECM ，△ABM 均为直角三角形，由勾股定理可求得EM ＝3，AM ＝6，AE ＝3， ∴EM 2＋AM 2＝AE 2.∴AM ⊥EM .又PE ∩EM ＝E ，∴AM ⊥平面PEM ，∴AM ⊥PM . (2)解：由(1)可知EM ⊥AM ，PM ⊥AM ， ∴∠PME 是二面角P －AM －D 的平面角． ∴tan ∠PME ＝PEEM＝33＝1，∴∠PME ＝45°.∴二面角P －AM －D 的大小为45°.19[分析] 本题可以根据面面平行和面面垂直的判定定理和性质定理，寻找使结论成立的充分条件． [证明] (1)在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中， ∵F 、F 1分别是AC 、A 1C 1的中点， ∴B 1F 1∥BF ，AF 1∥C 1F .又∵B1F1∩AF1＝F1，C1F∩BF＝F，∴平面AB1F1∥平面C1BF.(2)在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，∴B1F1⊥AA1.又B1F1⊥A1C1，A1C1∩AA1＝A1，∴B1F1⊥平面ACC1A1，而B1F1⊂平面AB1F1，∴平面AB1F1⊥平面ACC1A1.20.(1)证明：因为P，Q分别为AE，AB的中点，所以PQ∥EB.又DC∥EB，因此PQ∥DC，又PQ⊄平面ACD，从而PQ∥平面ACD.(2)如图，连接CQ，DP，因为Q为AB的中点，且AC＝BC，所以CQ⊥AB.因为DC⊥平面ABC，EB∥DC，所以EB⊥平面ABC，因此CQ⊥EB.故CQ⊥平面ABE.由(1)有PQ∥DC，又PQ＝12EB＝DC，所以四边形CQPD为平行四边形，故DP∥CQ，因此DP⊥平面ABE，∠DAP为AD和平面ABE所成的角，在Rt△DP A中，AD＝5，DP＝1，sin∠DAP＝5 5，因此AD和平面ABE所成角的正弦值为5 5.21[分析] (1)转化为证明GF平行于平面ABC内的直线AC；(2)转化为证明AC垂直于平面EBC内的两条相交直线BC和BE；(3)几何体ADEBC是四棱锥C－ABED.[解] (1)证明：连接AE，如下图所示．∵ADEB 为正方形，∴AE ∩BD ＝F ，且F 是AE 的中点， 又G 是EC 的中点，∴GF ∥AC ，又AC ⊂平面ABC ，GF ⊄平面ABC ， ∴GF ∥平面ABC .(2)证明：∵ADEB 为正方形，∴EB ⊥AB ，又∵平面ABED ⊥平面ABC ，平面ABED ∩平面ABC ＝AB ，EB ⊂平面ABED ， ∴BE ⊥平面ABC ，∴BE ⊥AC . 又∵AC ＝BC ＝22AB ， ∴CA 2＋CB 2＝AB 2， ∴AC ⊥BC .又∵BC ∩BE ＝B ，∴AC ⊥平面BCE . (3)取AB 的中点H ，连GH ，∵BC ＝AC ＝22AB ＝22， ∴CH ⊥AB ，且CH ＝12，又平面ABED ⊥平面ABC∴GH ⊥平面ABCD ，∴V ＝13×1×12＝16.。
(必考题)高中数学选修二第二单元《一元函数的导数及其应用》测试题(包含答案解析)(2)
一、选择题1．已知函数222,0()11,0x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若()f x ax ≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．222,1⎡⎤-⎣⎦B ．(],1-∞C ．()222,0-D ．222,0⎡⎤-⎣⎦2．已知函数()f x 与()f x '的图象如图所示，则函数()()x f x g x e=（其中e 为自然对数的底数）的单调递减区间为（ ）A ．()0,4B ．()4,1,43⎛⎫-∞⋃⎪⎝⎭ C ．40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()0,1，()4,+∞3．已知a R ∈，0b ≠，若x b =是函数()()()2f x x b x ax b =-++的极小值点，则实数b 的取值范围为（ ）A ．1b <且0b ≠B ．1b >C ．2b <且0b ≠D ．2b >4．已知函数2()f x x a =-+，2()x g x x e ，若对于任意的2[1,1]x ∈-，存在唯一的112[,]2x ∈-，使得12()()f x g x =，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（e ，4）B ．（e 14+，4] C ．（e 14+，4） D ．（14，4] 5．对任意的0a b t <<<，都有ln ln b a a b <，则t 的最大值为（ ） A ．1B ．eC ．2eD ．1e6．函数()f x x =，2()=g x x 在[0,1]的平均变化率分别记为12,m m ，则下面结论正确的是 A ．12m m = B ．12m m C ．21m m D ．12m m ，的大小无法确定7．已知()1()2ln 0f x a x x a x ⎛⎫-⎪⎝⎭=->在[1)+∞，上为单调递增函数，则a 的取值范围为（ ）A ．[0)+∞，B ．(0)+∞，C ．(1)+∞，D ．[1)+∞，8．已知函数f (x )(x ∈R )满足(1)1f =，且()f x 的导数f ′(x )>12，则不等式1()22x f x <+的解集（ ） A ．(－∞，1) B ．(1，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)D ．(－1，1)9．已知()3216132m f x x x x =-++在()1,1-单调递减，则m 的取值范围为（ ） A ．[33]-，B ．（-3,3）C ．[55]-，D ．(-5,5)10．设函数()'f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，当0x >时，()()ln 'x x f x f x ⋅<-，则使得()()240x f x ->成立的x 的取值范围是（ ）A ．()()2,00,2-⋃B ．()(),22,-∞-⋃+∞C ．()()2,02,-⋃+∞D ．()(),20,2-∞-⋃11．已知函数()cos ln f x x x =-+，则()1f '的值为（ ） A ．sin11- B ．1sin1- C ．1sin1+ D ．1sin1--12．已知函数()ln f x x x =，则()f x （ ） A ．在()0,∞+上递增 B ．在()0,∞+上递减 C ．在10,e ⎛⎫⎪⎝⎭上递增 D ．在10,e ⎛⎫⎪⎝⎭上递减 二、填空题13．已知曲线()32351f x x x x =+-+，过点()1,0的直线l 与曲线()y f x =相切于点P ，则点P 的横坐标为______________.14．已知()'f x 是定义在R 上的函数()f x 的导函数，且()()0f x f x +'>，则()2ln 2a f =，()1b ef =，()0c f =的大小关系为_____15．已知函数()xf x a x e =-有3个零点，则实数a 的取值范围为_______________.16．sin ),()sin cos ,(0)a x dx f x x x x x a ==+≤≤，则()f x 的最大值为_____________.17．已知32()26f x x x m =-++（m 为常数）在[]22-,上有最小值3，那么此函数在[]22-,上的最大值为______.18．若曲线21()ln 2f x x a x =-在点(1,(1))f 处的切线与直线310x y ++=垂直，则常数a =___.19．已知函数()f x 的导函数为'()f x ，且满足关系式2()3(2)ln f x xf 'x x =++，则'(2)f =______．20．已知()()'1ln f f x x x x=+，则()'1f =__________．三、解答题21．已知函数()3()ln f x x a x a R =-∈.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()()18g x f x x =-在区间[]1,e 上是增函数，求实数a 的取值范围. 22．已知函数()e x f x ax =，a 为非零常数. （1）求()f x 单调递减区间；（2）讨论方程()()21f x x =+的根的个数. 23．已知函数()xaf x x e =+，其中a R ∈，e 是自然对数的底数. （1）当1a =-时，求函数() f x 在区间[0,)+∞的零点个数；（2）若()2xe f x <对任意[1,)x ∈-+∞恒成立，求实数a 的取值范围.24．已知函数()()ln xf x xe a x x =-+.（1）当0a >时，求()f x 的最小值； （2）若对任意0x >恒有不等式()1f x ≥成立. ①求实数a 的值；②证明：()22ln 2sin xx e x x x >++.25．已知函数()()ln f x x x ax =+，()()g x f x '=.（1）若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与直线410x y +-=平行，求实数a 的值；（2）当13a =-时，求()g x 在[]1,2上的最大值. 26．已知函数211()ln (,0)22f x x a x a R a =--∈≠. （1）当2a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）求函数()f x 的单调区间；（3）若对任意的[1,)x ∈+∞，都有()0f x ≥成立，求a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】作出函数()f x 的图象，利用数形结合的思想判断a 的范围，找出临界点即相切时a 的取值，进而得出a 的范围． 【详解】作出()f x 的图象，如图，由图象可知： 要使()f x ax 恒成立，只需函数()g x ax =的图象恒在图象()f x 的下方， 可得1a ，设()g x ax =与函数2()22(0)f x x x x =++相切于点(),(0)P m n m <， 由()f x 的导数为22x +，可得切线的斜率为22m +， 即有22a m =+，222am m m =++， 解得2m =-，222a =-由图象可得222a -，综上可得a 的范围是[22-1]． 故选：A 【点睛】解决此类问题的关键是作出函数图象，根据数形结合的思想处理问题，本题关键找出相切时刻这一临界位置，利用直线与抛物线相切即可求解.2．D解析：D 【分析】利用图象求得不等式()()0f x f x '-<的解集，求得()()()xf x f xg x e'-'=，解不等式()0g x '<即可得出函数()g x 的单调递减区间.【详解】由图象可知，不等式()()0f x f x '-<的解集为()()0,14,+∞，因为()()xf xg x e=，所以，()()()()()()2x xxx f x e f x e f x f x g x e e ''--'==，解不等式()0g x '<，可得()()0f x f x '-<，解得()()0,14,x ∈+∞，因此，函数()g x 的单调递减区间为()0,1，()4,+∞. 故选：D. 【点睛】易错点睛：本题考查利用导数求解函数的单调递减区间，通过解不等式()0g x '<得到()()0,14,x ∈+∞，但需要注意的是，函数()g x 的两个单调递减区间不能取并集，而应分开表示.3．B解析：B 【分析】由x b =既是()f x 的极小值点，又是零点，且()f x 的最高次项系数为1，因此可设2()()()f x x b x m =-+，这样可求得1m =-，然后求出()'f x ，求得()'f x 的两个零点，一个零点是b ，另一个零点2x 必是极大值点，由2b x >可得b 的范围． 【详解】因为()0f b =，x b =是函数()f x 的极小值点，结合三次函数的图象可设2()()()f x x b x m =-+，又2()()()f x x b x ax b =-++，令0x =得22b m b =-，1m =-，即2()(1)()f x x x b =--，22()3(42)2f x x b x b b '=-+++()(32)x b x b =---，由()0f x '=得1x b =，223b x +=， x b =是极小值点，则23b +是极大值点，23b b +>，所以1b >． 故选：B ． 【点睛】本题考查导数与极值点的关系，解题关键是结合零点与极值点，设出函数表达式，然后再求极值点，由极小值点大于极大值点可得所求范围．4．B解析：B 【分析】结合导数和二次函数的性质可求出()f x 和()g x 的值域，结合已知条件可得[0e 4[]a ⊆-,，1)4a -，从而可求出实数a 的取值范围. 【详解】解：g （x ）=x 2e x 的导函数为g ′（x ）=2xe x +x 2e x =x （x +2）e x ，当0x =时，()0g x '=， 由[)1,0x ∈-时，()0g x '<，(]0,1x ∈时，()0g x '>，可得g （x ）在[–1，0]上单调递减，在（0，1]上单调递增，故g （x ）在[–1，1]上的最小值为g （0）=0，最大值为g （1）=e ， 所以对于任意的2[1,1]x ∈-，2()[0,e]g x ∈．因为2y x a =-+开口向下，对称轴为y 轴，又10202--<-，所以当0x =时，max ()f x a =，当2x =时，min ()4f x a =-， 则函数2()f x x a =-+在[12-，2]上的值域为[a –4，a ]，且函数f （x ）在11[,]22-，图象关于y 轴对称，在（12，2]上，函数()f x 单调递减．由题意，得[0e 4[]a ⊆-,，1)4a -， 可得a –4≤0<e <14a -，解得e 14+<a ≤4．故选:B ． 【点睛】本题考查了利用导数求函数的最值，考查了二次函数的性质，属于中档题.本题的难点是12()()f x g x =这一条件的转化.5．B解析：B 【分析】令ln xy x=，问题转化为函数在(0,)t 递增，求出函数的导数，求出函数的单调区间，从而求出t 的最大值即可． 【详解】0a b t <<<，ln ln b a a b <，∴ln ln a ba b<，()a b <， 令ln xy x=，则函数在(0,)t 递增， 故21ln 0xy x -'=>， 解得：0x e <<，所以(0,)t 是(0,)e 的子集， 可得0t e <≤，故t 的最大值是e ，故选：B ． 【点睛】利用单调性求参数的范围的常见方法：① 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间,a b 上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; ② 利用导数转化为不等式()'0f x ≤或()'0f x ≥恒成立问题求参数范围．6．A解析：A 【解析】因为1m =1,21010m -=-=1,所以12m m =，选A. 7．D解析：D 【分析】首先求导，由题意转化为在[1,)x ∈+∞，220ax x a -+≥恒成立，即221xa x ≥+在[1,)+∞上恒成立.再利用基本不等式求出221xx +的最大值即可. 【详解】222()ax x af x x-+'=，(0)a > 因为()f x 在[1,)+∞上为单调递增，等价于220ax x a -+≥恒成立. 即221xa x ≥+在[1,)+∞上恒成立. 因为222111x x x x x x=≤=++，当1x =时，取“=”， 所以1a ≥，即a 的范围为[1,)+∞. 故选：D 【点睛】本题主要考查利用导数的单调区间求参数的问题，同时考查了学生的转化思想，属于中档题.8．A解析：A 【分析】 根据f ′(x )>12，构造函数 ()()122x g x f x =-- ，又()()1111022=--=g f ，然后将不等式1()22x f x <+，转化为1()022--<x f x ，利用单调性的定义求解. 【详解】 因为f ′(x )>12， 所以()102f x '-> 所以()()()()()110222x g x f x g x f x g x =--⇒=->⇒'' 在R 上递增， 又()()1111022=--=g f ， 所以不等式1()22x f x <+，即为1()022--<x f x ， 即为：()()1g x g <， 所以1x <， 故选：A 【点睛】本题主要考查函数的单调性与导数以及单调性的应用，还考查了构造转化求解问题的能力，属于中档题.9．C解析：C 【分析】依题意得，(1,1)x ∈-时，2()60f x x mx '=+-恒成立，得到(1)0(1)0f f '-⎧⎨'⎩，解之即可．【详解】 解：()3216132mf x x x x -+=+，()26f x x x m '∴=-+，要使函数()f x 在()1,1-单调递减， 则()0f x '≤在()1,1x ∈-上恒成立， 即260x mx -+≤在()1,1x ∈-上恒成立，则：()()1010f f ⎧-≤⎪⎨≤''⎪⎩，即：160160m m --≤⎧⎨+-≤⎩，解得：55m -≤≤则m 的取值范围为：[]55-，. 故选：C .本题考查利用导数研究函数的单调性，依题意得到(1)0(1)0f f '-⎧⎨'⎩是关键，考查化归思想与运算能力，属于中档题．10．D解析：D 【分析】构造函数()ln (),g x xf x = 根据()g x '的符号判断函数单调性，结合函数单调性的特点，得当0x >时，f （x ）<0, 当0x <时，f （x ）>0,再解不等式即可. 【详解】构造函数()ln (),g x xf x =则()()()()ln ()ln f x f x x xf x g x xf x xx+''=+'=，已知当0x >时，()()ln 'x x f x f x ⋅<-，所以在x>0时，()g x '<0，即g （x ）在（0，+∞）上是减函数，因为y=lnx 在（0，+∞）上是增函数，所以f （x ）在（0，+∞）上是减函数 已知()()f x x R ∈是奇函数，所以f （x ）在（-∞，0）上也是减函数，f （0）=0， 故当0x >时，f （x ）<0, 当0x <时，f （x ）>0,由()()240x f x ->得224040()0()0x x f x f x ⎧⎧->-<⎨⎨><⎩⎩或 ，解得x<-2或0<x<2 故选D. 【点睛】本题考查了函数的导数与函数的单调性的关系，考查了奇函数，以及不等式的解法，关键是构造函数，根据函数单调性分析f （x ）＞0与f （x ）＜0的解集.11．C解析：C 【分析】根据导数的运算法则先求出函数的导数()f x '的解析式，再把1x =代入()f x '的解析式运算求得结果． 【详解】∵函数()cos ln f x x x =-+，∴()1sin f x x x'=+， ∴()1sin11f ='+，故选C. 【点睛】本题主要考查求函数的导数，导数的加减法则的应用，属于基础题．12．D解析：D确定函数的定义域，求导函数，根据导函数的正负确定函数的单调性. 【详解】函数的定义域为（0，+∞） 求导函数，可得f′（x ）=1+lnx 令f′（x ）=1+lnx=0，可得x=1e, ∴0＜x ＜1e 时，f′（x ）＜0，x ＞1e时，f′（x ）＞0 ∴在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减, 在1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递增 故选D ． 【点睛】这个题目考查了导数在函数的单调性中的应用，判断函数的单调性常用的方法是：求导，根据导函数的正负得到函数的单调区间.导函数为正的区间是增区间，导函数为负的区间是减区间.二、填空题13．0或或【分析】设切点的坐标由求出切线方程把代入切线方程可求得切点坐标【详解】设的坐标为过点的切线方程为代入点的坐标有整理为解得或或故答案为：0或或【点睛】本题考查导数的几何意义求函数图象的切线方程要解析：0或1-或53【分析】设切点P 的坐标，由P 求出切线方程，把(1,0)代入切线方程可求得切点坐标． 【详解】设P 的坐标为()32,351m m m m +-+，2()9101f x x x +'=-，过点P 的切线方程为()()3223519101()m m m m x y m m +-+=+---，代入点()1,0的坐标有()()()32235191011mm m mm m --+-+=+--，整理为323250m m m --=，解得0m =或1m =-或53m =， 故答案为：0或1-或53. 【点睛】本题考查导数的几何意义．求函数图象的切线方程要分两种情况：（1）函数()y f x =图象在点00(,)P x y 处的切线方程，求出导函数，得出切线方程000()()y y f x x x '-=-；（2）函数()y f x =图象过点00(,)P x y 处的切线方程：设切线坐标11(,)x y ，求出切线方程为111()()y y f x x x '-=-，代入00(,)x y 求得11,x y ，从而得切线方程．14．【分析】令则可以判断出在上单调递增再由根据单调性即可比较大小【详解】令则因为对于恒成立所以所以在上单调递增因为所以所以故答案为：【点睛】关键点点睛：本题的关键是构造函数利用导数判断出在上单调递增更关 解析：c a b <<【分析】令()()xg x f x e =，则()()()0xg x e f x f x ''=+>⎡⎤⎣⎦，可以判断出()()xg x f x e =在R上单调递增，再由()ln 2a g =，()1b g =，()0c g =根据单调性即可比较大小. 【详解】令()()xg x f x e =，则()()()()()xxxg x f x e f x e e f x f x '''=+=+⎡⎤⎣⎦，因为()()0f x f x +'>对于x ∈R 恒成立， 所以()()()0xg x e f x f x ''=+>⎡⎤⎣⎦，所以()()xg x f x e =在R 上单调递增，()()()ln22ln 2ln 2ln 2a f e f g ===，()()()1111b ef e f g ===， ()()()0000c f e f g ===，因为0ln 21<<，所以()()()0ln 21g g g <<，所以c a b <<， 故答案为：c a b << 【点睛】关键点点睛：本题的关键是构造函数()()xg x f x e =，利用导数判断出()g x 在R 上单调递增，更关键的一点要能够得出()ln 2a g =，()1b g =，()0c g =，根据单调性即可比较大小.15．【分析】对参数的取值分类讨论特别地考虑当时利用导数的几何意义求得相切状态时参数的临界值即可数形结合求得参数范围【详解】函数有3个零点也即的图象有3个交点当时没有零点故舍去；当时故此时也没有零点故舍去 解析：a e >【分析】对参数a 的取值分类讨论，特别地考虑当0a >时，利用导数的几何意义，求得相切状态时参数a 的临界值，即可数形结合求得参数范围. 【详解】函数()f x 有3个零点，也即,xy e y a x ==的图象有3个交点.当0a =时，()xf x e =没有零点，故舍去；当0a <时，0xa x e ≤<，故此时()f x 也没有零点，故舍去；当0a >时，画出,xy e y a x ==的函数图象，如下所示：数形结合可知，当a 大于,(0)y ax x =>与xy e =相切时切线的斜率即可.不妨设此时切线斜率为k ，切点为(),m n ，又xy e '=，则mm n e k e m m===，解得1m =，故可得k e =.即,(0)y ax x =>与xy e =相切时切线的斜率为1， 故要满足题意，只需a e >. 故答案为：a e >. 【点睛】本题考查由函数零点个数求参数范围，以及导数的几何意义，涉及数形结合的数学思想，属综合中档题.16．【分析】根据定积分的几何意义以及定积分性质求得再求得利用导数分析函数单调性即可求得最大值【详解】令则又即故为半径为的半圆面积故；又是奇函数根据定积分性质则故则故当时单调递增；当时单调递减故故答案为：解析：2π 【分析】 根据定积分的几何意义以及定积分性质，求得a ，再求得f x ，利用导数分析函数单调性，即可求得最大值. 【详解】令m =，)n x dx =，则a m n =+，又y =222x y +=，故m 的半圆面积，故212m ππ=⨯=；又y sinx =是奇函数，根据定积分性质，则0n =.故a π=.则()(),0f x xsinx cosx x π=+≤≤，()f x xcosx ='，故当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0f x，()f x 单调递增；当,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0f x，()f x 单调递减.故()22max f x f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭. 故答案为：2π 【点睛】本题考查利用定积分的几何意义求定积分，以及定积分的性质，涉及利用导数求函数的最大值，属综合中档题.17．43【分析】先求导数判断函数单调性和极值结合（为常数）在上有最小值3求出的值再根据单调性和极值求出函数的最大值【详解】令解得或当时单调递减当时单调递增当时单调递减所以在时有极小值也是上的最小值即函数解析：43. 【分析】先求导数，判断函数单调性和极值，结合32()26f x x x m =-++（m 为常数）在[]22-,上有最小值3，求出m 的值，再根据单调性和极值求出函数的最大值. 【详解】32()26f x x x m =-++， 2()6126(2)f x x x x x '∴=-+=--,令 ()0f x '=，解得 0x =或2x =，当20x -<<时，()0,()f x f x '<单调递减，当02x <<时，()0,()f x f x '>单调递增，当2x >时，()0,()f x f x '<单调递减，所以()f x 在0x =时有极小值，也是[]22-,上的最小值， 即(0)3f m ==，函数在[]22-,上的最大值在2x =-或2x =时取得， 3232(2)2(2)6(2)343;(2)2262311f f -=-⨯-+⨯-+==-⨯+⨯+=，∴函数在[]22-,上的最大值为43.故答案为：43 【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最值，属于中档题.18．-2【分析】利用导数的几何意义求得在点处的切线斜率为再根据两直线的位置关系即可求解【详解】由题意函数可得所以即在点处的切线斜率为又由在点处的切线与直线垂直所以解得【点睛】本题主要考查了利用导数的几何解析：-2 【分析】利用导数的几何意义，求得在点(1,(1))f 处的切线斜率为1k a =-，再根据两直线的位置关系，即可求解． 【详解】由题意，函数21()ln 2f x x a x =-，可得()af x x x'=-，所以(1)1f a '=-， 即在点(1,(1))f 处的切线斜率为1k a =-，又由在点(1,(1))f 处的切线与直线310x y ++=垂直，所以1(1)()13a -⨯-=-， 解得2a =-． 【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解参数问题，其中解答中利用导数的几何意义求得切线的斜率，再根据两直线的位置关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．19．【分析】对两边求导可得：将代入即可求得问题得解【详解】对两边求导可得：将代入上式可得：解得：【点睛】本题主要考查了导数的计算及赋值思想考查计算能力属于中档题解析：94- 【分析】对2()3(2)ln f x xf 'x x =++两边求导可得：1()23(2)f x f 'xx '=++，将2x =代入即可求得9(2)4f '=-，问题得解． 【详解】对2()3(2)ln f x xf 'x x =++两边求导可得：1()23(2)f x f 'xx '=++，将2x =代入上式可得：1(2)223(2)2f f ''=⨯++ 解得：9(2)4f '=- 【点睛】本题主要考查了导数的计算及赋值思想，考查计算能力，属于中档题．20．【解析】【分析】首先求得导函数利用赋值法令求解即可【详解】由函数的解析式可得利用赋值法令得解得【点睛】本题主要考查导数的运算法则方程思想的应用等知识意在考查学生的转化能力和计算求解能力解析：12【解析】 【分析】首先求得导函数，利用赋值法，令1x =求解()'1f 即可. 【详解】由函数的解析式可得()()2'11ln f f x x x'=+-，利用赋值法，令1x =，得()()11'1f f ='-，解得()1'12f =． 【点睛】本题主要考查导数的运算法则，方程思想的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题21．（1）若0a ≤时，函数在()0,∞+上单调递增；若0a >时，函数在⎛ ⎝上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增；（2）(,-∞-.【分析】（1）先求导，根据导数和函数的单调性的关系，分类讨论即可求出；（2）对()g x 求导得3318()x x a g x x--'=，由()g x 在区间[]1,e 上是增函数，可得[]1,x e ∈时，3318a x x ≤-恒成立，令3()318h x x x =-，[]1,x e ∈，利用导数求出()h x 的最小值，即可求得a 的取值范围. 【详解】解：（1）函数()f x 的定义域为()0,∞+，()323()30a x af x x x x x-'=-=>，①若0a ≤时，()0f x '>，此时函数在()0,∞+上单调递增；②若0a >时，令()0f x '>，可得x >()0f x '<，可得0x <<，所以函数在⎛ ⎝上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增.（2）32318()()18318a x x ag x f x x x x--''=-=--=，若函数()()18g x f x x =-在区间[]1,e 上是增函数， 又当[]1,x e ∈时，3318a x x ≤-恒成立，令3()318h x x x =-，[]1,x e ∈，则()22()91892h x x x '=-=-，令()0h x '>x e <<，可得函数()h x 的增区间为)e ，减区间为(，所以min ()h x h ===-有a ≤-，故实数a 的取值范围为(,-∞-. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数的导数的应用，函数的最值，构造法的应用，解题的关键是根据单调性确定3318a x x ≤-恒成立，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题. 22．（1）当0a >时，()f x 的单调递减区间为(,1)-∞-，当0a <时，()f x 的单调递减区间为(1,)-+∞；（2）当0a >时，原方程有且仅有一个解；当0a <时，原方程有两个解. 【分析】（1）求导，对a 分类讨论，利用()0f x '<可解得结果；（2）转化为函数2(1)()e xx g x x +=与y a =的图象的交点的个数，利用导数可求得结果.【详解】（1）()(1)e x x xf x ae axe a x '=+=+，由()0f x '=得1x =-，①若0a >时，由()0f x '<得1x <-，所以()f x 的单调递减区间为(,1)-∞-； ②若0a <时，由()0f x '<得1x >-，所以()f x 的单调递减区间为(1,)-+∞.综上所述，当0a >时，()f x 的单调递减区间为(,1)-∞-；当0a <时，()f x 的单调递减区间为(1,)-+∞.（2）因为方程2()(1)f x x =+等价于2(1)e x x a x +=，令2(1)()e xx g x x +=，所以方程()()21f x x =+的根的个数等于函数2(1)()exx g x x +=与y a=的图象的交点的个数，因为()2222(1)12(1)(1)()()()ex x x x x x x x xe x e xe g x xe x +++-++=-'=， 由()0g x '=，得1x =-，当(,1)x ∈-∞-，时，()0g x '>，()g x 在(,1)-∞-上单调递增； 当()()1,00,x ∈-+∞时，()0g x '<，所以()g x 在()1,0-，()0,∞+上单调递减，又()10g -=，所以当(,1)x ∈-∞-时，()(),0g x ∈-∞； 当()1,0x ∈-时，()(),0g x ∈-∞； 当()0,x ∈+∞时，()()0,g x ∈+∞.所以，当0a >时，原方程有且仅有一个解； 当0a <时，原方程有两个解. 【点睛】方法点睛：讨论函数零点(或方程根)的个数的常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，可得方程根的个数；（2）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解23．（1）1个；（2）2122e e a --+<.【分析】（1）求导得到函数的单调性，再利用零点存在性定理得解（2）分离参变量，不等式恒成立转化为求函数的最值得解 【详解】（1）()x f x x e -=-，0x ≥，()10xf x e '-=+>故()f x 在[0,)+∞递增，又(0)1f =-，1(1)10f e -=->(0)(1)0f f <，故()f x 在(0,1)上存在唯一零点因此()f x 在区间[0,)+∞的零点个数是1个； （2）1x ∀≥-，2x xe x ae-+<恒成立，即1x ∀≥-，2e 2x x a xe <-恒成立 令2()2xx e g x xe =-，1x ≥-，则min ()a g x <()()1x x g x e x e '=--，令()1x h x e x =--，1x ≥-()1x h x e '=-，[1,0)x ∈-时，()0h x '<，0x >时，()0h x '>故()h x 在[1,0)-递减，(0,)+∞递增，因此()(0)0h x h ≥= 所以，()0g x '≥，故 ()g x 在[1,)-+∞递增 故21min 2()(1)2e e g x g --+=-=，因此2122e e a --+<. 【点睛】不等式恒成立问题解决思路：一般参变分离、转化为最值问题. 24．（1）ln a a a -；（2）①1；②证明见解析. 【分析】（1）求出函数()f x 的定义域，对函数求导，令0x xe a -=，构造()xg x xe =，利用导数研究函数的单调性与实根个数，进而得出()f x 的单调性和最值；（2）①当0a ≤时，()f x 单调递增，()f x 值域为R ，不适合题意；当0a >时，构造()()ln 0a a a a a ϕ=->，求导得出函数的最大值，可得实数a 的值；②由①可知ln 1x xe x x --≥，因此只需证：22ln 2sin x x x x +>+，只需证2222sin x x x x +>-+，即222sin x x x -+>，按1x >和01x <≤分别证明即可．【详解】 （1）法一：()f x 的定义域为()0,∞+，由题意()()()11x xa xe a f x x e x x x ⎛⎫-⎛⎫'=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令0x xe a -=，得x a xe =， 令()xg x xe =，()()10x x x g x e xe x e '=+=+>，所以()g x 在()0,x ∈+∞上为增函数，且()00g =， 所以x a xe =有唯一实根， 即()0f x '=有唯一实根，设为0x ， 即00xa x e =，所以()f x 在()00,x 上为减函数，在()0,x +∞上为增函数， 所以()()()00000min ln ln xf x f x x e a x x a a a ==-+=-.法二：()()()()ln ln ln 0xe x xf x x a x x e a x x x +=-+=-+>.设ln t x x =+，则t R ∈.记()()tt e at t R ϕ=-∈.故()f x 最小值即为()t ϕ最小值.()()0t t e a a ϕ'=->，当(),ln t a =-∞时，()0t ϕ'<，()t ϕ单调递减， 当()ln ,t a ∈+∞时，()0t ϕ'>，()t ϕ单调递增， 所以()()ln min ln ln ln af x a ea a a a a ϕ==-=-，所以()f x 的最小值为ln a a a -.（2）①当0a ≤时，()f x 单调递增，()f x 值域为R ，不适合题意， 当0a >时，由（1）可知()min ln f x a a a =-， 设()()ln 0a a a a a ϕ=->， 所以()ln a a ϕ'=-，当()0,1a ∈时，()0a ϕ'>，()a ϕ单调递增， 当()1,a ∈+∞时，()0a ϕ'<，()a ϕ单调递减， 所以()()max 11a ϕϕ==，即ln 1a a a -≤. 由已知，()1f x ≥恒成立，所以ln 1a a a -≥， 所以ln 1a a a -=， 所以1a =.②由①可知ln 1x xe x x --≥，因此只需证：22ln 2sin x x x x +>+， 又因为ln 1≤-x x ，只需证2222sin x x x x +>-+，即222sin x x x -+>，当1x >时，2222sin x x x -+>≥结论成立，当(]0,1x ∈时，设()222sin g x x x x =-+-，()212cos g x x x '=--，当(]0,1x ∈时，()g x '显然单调递增.()()112cos10g x g ''≤=-<，故()g x 单调递减， ()()122sin10g x g ≥=->，即222sin x x x -+>. 综上结论成立. 【点睛】方法点睛：本题考查导数研究函数的最值，导数解决恒成立问题以及导数证明不等式，导数对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于或小于等于常数问题,可以求函数最值的方法, 一般通过变量分离，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题：()f x m >恒成立min ()f x m ⇔>；()f x m <恒成立max ()f x m ⇔<.25．（1）52a =-；（2）()max 3ln 2=g x .【分析】（1）求出函数的导数，求得()1f '的值，由题意可得124a +=-，从而可求出a 的值；（2）先求出()2ln 13g x x x =-+，然后对函数求导，通过列表判断函数的极值，得到函数只有极大值，从而可得其最大值 【详解】解：（1）由()()ln f x x x ax =+，得()ln 21f x x ax '=++，所以()112f a '=+， 因为曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与直线410x y +-=平行， 所以()14f '=-得124a +=-，解得52a =-. （2）()2ln 13g x x x =-+，()123g x x '=-， ∵12x ≤≤，∴1112x≤≤∴()max ln 22g x g ⎛⎫==⎪⎝⎭.【点睛】此题考查了导数的几何意义的应用，考查利用导数求函数的最值，考查计算能力，属于基础题26．（1）10x y +-=；（2）答案见解析；（3）()(],00,1-∞. 【分析】（1）当2a =时，求出函数的导数，利用导数的几何意义即可求曲线()y f x =在点()1,()f x 处的切线方程；（2）求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系即可求函数()f x 的单调区间； （3）根据函数的单调性求出函数的最小值即可实数a 的取值范围．【详解】解：（1）2a =时，211()2ln 22f x x x =--，(1)0f =， 2'()f x x x=- ，'(1)1f =- 曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程10x y +-=（2）2'()(0)a x a f x x x x x -=-=>①当0a <时，2'()0x a f x x-=>恒成立，函数()f x 的递增区间为()0,∞+②当0a >时，令'()0f x =，解得x =x =所以函数()f x 的递增区间为+∞，递减区间为 （3）对任意的[1,)x ∈+∞，使()0f x ≥成立，只需任意的[1,)x ∈+∞，min ()0f x ≥ ①当0a <时，()f x 在[1,)+∞上是增函数，所以只需(1)0f ≥ 而11(1)ln1022f a =--= 所以0a <满足题意；②当01a <≤时，01<≤，()f x 在[1,)+∞上是增函数，所以只需(1)0f ≥ 而11(1)ln1022f a =--= 所以01a <≤满足题意；③当1a >1>，()f x 在上是减函数，)+∞上是增函数，所以只需0f ≥即可 而(1)0f f <= 从而1a >不满足题意；综合①②③实数a 的取值范围为()(],00,1-∞.【点睛】 本题主要考查函数切线的求解，以及函数单调性和函数最值的求解，综合考查函数的导数的应用，属于中档题．。
12级高二数学单元测试题及答案
高二数学单元测试题命题人:廖学军 审题人:郑严一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,∠BAB 1=45︒,∠DAD 1=60︒,∠B 1AD 1的余弦值为( )6B.6342. 已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1,则DA 1与AC 的距离为( )A.2B.2C.3D.以上答案均不对3. 在北纬45︒圈上有甲、已两地，甲地位于东径120︒，乙地位于西径150︒，则地球（半径为R ）表面上甲、乙两地的最短距离为( ) A.R π B.R 2πC.R 23π D.R 3π4. 已知球O 半径为1，A 、B 、C 三点都在球面上，A 、B 两点和A 、C 两点的球面距离都是4π，B 、C 两点的球面距离是3π，则二面角B C O A --的大小是( )A.4πB.3πC.2πD.23π5. (理)用0、1、2、3、4这五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的五位数的个数是( ) A ．48 B ．36 C ．28 D ．125.(文)把4名男生和4名女生排成一排，女生要排在一起，不同排法的种数为( )A.A 88B.A 55A 44C.A 44A 44D.A 586. (理)将写有1,2,3,4,5的5张卡片分别放入标有1,2,3,4,5的5个盒子内,每个盒子里放且只放1张卡片.那么2号卡片不在2号盒内且4号卡片不在4号盒内的放法数等于( ) A.42 B.72 C.78 D.120 6.(文)5名运动员争夺3项比赛冠军（每项比赛无并列冠军），那么获得冠军的可能种数为( ) A.35 B 53 C 35A D.35C7. (理)现有6人分乘两辆不同的出租车,每辆车最多乘4人,则不同的乘车方案数为( ) A.70 B.60 C.50 D.407.(文)某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个节目插入节目单中，那么不同的插法种数为( ) A.504 B.210 C.336 D.1208. (理)过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有( ) A.18对 B.24对 C.30对 D.36对8.(文)在由数字1,2,3,4,5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有( )A.56个B.57个C.58个D.60个9. (理)将半径都为１的４个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为( )A.3+B.2+3C.4+3D.3+9.(文)如图，四棱锥P-ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，ABCD 为正方形，且PD ＝AB ＝1，G 为ΔABC 的重心，则PG 与底面所成的角为( ) A ．4πB ．17342arccosC ．322arctanD ．33arcsin10. (理)三人相互传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过5次传球后，球仍回到甲手中，则不同的传球方法的种数是( ) A.6 B.8 C.10 D.1610.(文)过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有( ) A.18对 B.24对 C.30对 D.36对 二、填空题：（每小题5分，共20分）11. 从0，1，2，3，4，5中任取3个数字，组成没有重复数字的三位数，其中能被5整除的三位数共有_____________个.（用数字作答）12. 已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是____. 13. 某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分(如图)，现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有____________种．(以数字作答) 14. 下面是关于三棱锥的四个命题： ①底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥．②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥． ③底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥．④侧棱与底面所成的角相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥． 其中，真命题的编号是_____________．（写出所有真命题的编号）CA高二数学单元测试题答题卷姓名__________ 学号__________三、解答题：（每小题15分，共30分）15.ΔABC和ΔDBC所在平面互相垂直,且AB=BC=BD,∠CBA=∠DBC=120 ,求: (1)AD的连线和平面BCD所成的角;(2)AD的连线与直线BC所成的角;(3)二面角A-BD-C的大小.16. 如图，在直棱柱111C B A ABC-中，底面是等腰直角三角形，90A C B ∠=，侧棱21=AA ，ED 、分别是1CC 与B A 1的中点，点E 在平面ABD 上的射影是ABD ∆的重心G ．（Ⅰ）求B A 1与平面ABD 所成角的大小(结果用反三角函数值表示)； （Ⅱ）求点1A 到平面AED 的距离．AB C A 1B 1C 1D EG高二数学单元测试题(教师)命题人:廖学军 审题人:郑严一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,∠BAB 1=45︒,∠DAD 1=60︒,∠B 1AD 1的余弦值为()D6B.6342. 已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1,则DA 1与AC 的距离为()CA.2B.2C.3D.以上答案均不对3. 在北纬45︒圈上有甲、已两地，甲地位于东径120︒，乙地位于西径150︒，则地球（半径为R ）表面上甲、乙两地的最短距离为()D A.R π B.R 2πC.R 23π D.R 3π4. 已知球O 半径为1，A 、B 、C 三点都在球面上，A 、B 两点和A 、C 两点的球面距离都是4π，B 、C 两点的球面距离是3π，则二面角B C O A --的大小是()CA.4πB.3πC.2πD.23π5. (理)用0、1、2、3、4这五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的五位数的个数是()A ．48B ．36C ．28D ．12C5.(文)把4名男生和4名女生排成一排，女生要排在一起，不同排法的种数为()BA.A 88B.A 55A 44C.A 44A 44D.A 586. (理)将写有1,2,3,4,5的5张卡片分别放入标有1,2,3,4,5的5个盒子内,每个盒子里放且只放1张卡片.那么2号卡片不在2号盒内且4号卡片不在4号盒内的放法数等于()C A.42 B.72 C.78 D.1206.(文)5名运动员争夺3项比赛冠军（每项比赛无并列冠军），那么获得冠军的可能种数为()AA.35 B 53 C 35A D.35C7. (理)现有6人分乘两辆不同的出租车,每辆车最多乘4人,则不同的乘车方案数为()C A.70 B.60 C.50 D.407.(文)某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个节目插入节目单中，那么不同的插法种数为()A A.504 B.210 C.336 D.1208. (理)过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有()D A.18对 B.24对 C.30对 D.36对8.(文)在由数字1,2,3,4,5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有()CA.56个B.57个C.58个D.60个9. (理)将半径都为１的４个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为()CA.3+B.2+3C.4+3D.3+解：显然4个钢球两两相切且每个钢球与四面体也相切时，这个正四面体的高最小。
宿松二中高二数学理科单元测试题第二章推理与证明综合检测.
宿松二中高二数学理科单元测试题 选修2-2第二章 推理与证明综合检测时间120分钟，满分150分。
2013-1-5一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．锐角三角形的面积等于底乘高的一半； 直角三角形的面积等于底乘高的一半； 钝角三角形的面积等于底乘高的一半； 所以，凡是三角形的面积都等于底乘高的一半． 以上推理运用的推理规则是( ) A ．三段论推理 B ．假言推理 C ．关系推理 D ．完全归纳推理 [答案] D[解析] 所有三角形按角分，只有锐角三角形、Rt 三角形和钝角三角形三种情形，上述推理穷尽了所有的可能情形，故为完全归纳推理．2．数列1,3,6,10,15，…的递推公式可能是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋n (n ∈N *) B.⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a n ＝a n －1＋n (n ∈N *，n ≥2) C.⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋(n －1)(n ∈N *) D.⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a n ＝a n －1＋(n －1)(n ∈N *，n ≥2) [答案] B[解析] 记数列为{a n }，由已知观察规律：a 2比a 1多2，a 3比a 2多3，a 4比a 3多4，…，可知当n ≥2时，a n 比a n －1多n ，可得递推关系⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a n －a n －1＝n (n ≥2，n ∈N *)．3．有一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”，结论显然是错误的，因为( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．不是以上错误 [答案] C[解析] 大小前提都正确，其推理形式错误．故应选C.4．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n ＋3)＝(n ＋3)(n ＋4)2(n ∈N *)时，验证n ＝1，左边应取的项是( )A ．1B ．1＋2C ．1＋2＋3D ．1＋2＋3＋4 [答案] D[解析] 当n ＝1时，左＝1＋2＋…＋(1＋3)＝1＋2＋…＋4，故应选D.5．在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )⊗(x ＋a )＜1对任意实数x 都成立，则( )A ．－1＜a ＜1B ．0＜a ＜2C ．－12＜a ＜32D ．－32＜a ＜12[答案] C[解析] 类比题目所给运算的形式，得到不等式(x －a )⊗(x ＋a )<1的简化形式，再求其恒成立时a 的取值范围．(x －a )⊗(x ＋a )<1⇔(x －a )(1－x －a )<1 即x 2－x －a 2＋a ＋1>0 不等式恒成立的充要条件是 Δ＝1－4(－a 2＋a ＋1)<0 即4a 2－4a －3<0 解得－12<a <32.故应选C.6．已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n 2，则( )A ．f (n )中共有n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13B ．f (n )中共有n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14C ．f (n )中共有n 2－n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13D ．f (n )中共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14[答案] D[解析] 项数为n 2－(n －1)＝n 2－n ＋1，故应选D. 7．已知a ＋b ＋c ＝0，则ab ＋bc ＋ca 的值( ) A ．大于0 B ．小于0 C ．不小于0 D ．不大于0 [答案] D[解析] 解法1：∵a ＋b ＋c ＝0， ∴a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ＝0， ∴ab ＋ac ＋bc ＝－a 2＋b 2＋c 22≤0.解法2：令c ＝0，若b ＝0，则ab ＋bc ＋ac ＝0，否则a 、b 异号，∴ab ＋bc ＋ac ＝ab ＜0，排除A 、B 、C ，选D.8．已知c ＞1，a ＝c ＋1－c ，b ＝c －c －1，则正确的结论是( ) A ．a ＞b B ．a ＜b C ．a ＝b D ．a 、b 大小不定 [答案] B[解析] a ＝c ＋1－c ＝1c ＋1＋c ，b ＝c －c －1＝1c ＋c －1，因为c ＋1>c >0，c >c －1>0， 所以c ＋1＋c >c ＋c －1>0，所以a <b .9．若凸k 边形的内角和为f (k )，则凸(k ＋1)边形的内角和f (k ＋1)(k ≥3且k ∈N *)等于( )A ．f (k )＋π2B ．f (k )＋πC ．f (k )＋32πD ．f (k )＋2π [答案] B[解析] 由凸k 边形到凸(k ＋1)边形，增加了一个三角形，故f (k ＋1)＝f (k )＋π. 10．若sin A a ＝cos B b ＝cos C c ，则△ABC 是( )A ．等边三角形B ．有一个内角是30°的直角三角形C ．等腰直角三角形D ．有一个内角是30°的等腰三角形 [答案] C[解析] ∵sin A a ＝cos B b ＝cos Cc ，由正弦定理得，sin A a ＝sin B b ＝sin C c ，∴sin B b ＝cos B b ＝cos C c ＝sin Cc ， ∴sin B ＝cos B ，sin C ＝cos C ，∴∠B ＝∠C ＝45°， ∴△ABC 是等腰直角三角形．11．若a ＞0，b ＞0，则p ＝(ab )a ＋b2与q ＝a b ·b a 的大小关系是( )A ．p ≥qB ．p ≤qC ．p ＞qD ．p ＜q [答案] A若a ＞b ，则a b ＞1，a －b ＞0，∴pq ＞1；若0＜a ＜b ，则0＜a b ＜1，a －b ＜0，∴pq ＞1；若a ＝b ，则pq＝1，∴p ≥q .12．设函数f (x )定义如下表，数列{x n }满足x 0＝5，且对任意的自然数均有x n ＋1＝f (x n )，则x 2011＝( )A.1 B ．2 C ．4 D ．5 [答案] C[解析] x 1＝f (x 0)＝f (5)＝2，x 2＝f (2)＝1，x 3＝f (1)＝4，x 4＝f (4)＝5，x 5＝f (5)＝2，…，数列{x n }是周期为4的数列，所以x 2011＝x 3＝4，故应选C.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上) 13．半径为r 的圆的面积S (r )＝πr 2，周长C (r )＝2πr ，若将r 看作(0，＋∞)上的变量，则(πr 2)′＝2πr .①①式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．对于半径为R 的球，若将R 看作(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于①式的式子：______________________________，你所写的式子可用语言叙述为__________________________．[答案] ⎝⎛⎭⎫43πR 3′＝4πR 2；球的体积函数的导数等于球的表面积函数． 14．已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，用数学归纳法证明f (2n )>n 2时，f (2k ＋1)－f (2k )＝________.[答案]12k＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1 [解析] f (2k ＋1)＝1＋12＋13＋…＋12k ＋1f (2k )＝1＋12＋13＋…＋12kf (2k ＋1)－f (2k )＝12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1.15．观察①sin 210°＋cos 240°＋sin10°cos40°＝34；②sin 26°＋cos 236°＋sin6°cos36°＝34.两式的结构特点可提出一个猜想的等式为________________．[答案] sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin αcos(30°＋α)＝34[解析] 观察40°－10°＝30°，36°－6°＝30°， 由此猜想：sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin αcos(30°＋α)＝34.可以证明此结论是正确的，证明如下： sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin α·cos(30°＋α) ＝1－cos2α2＋1＋cos(60°＋2α)2＋12[sin(30°＋2α)－sin30°]＝1＋12[cos(60°＋2α)－cos2α]＋12sin(30°＋2α)－12＝1＋12[－2sin(30°＋2α)sin30°]＋12sin(30°＋2α)－12＝34－12sin(30°＋2α)＋12sin(30°＋2α)＝34. 16．设P 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a 、b ∈P ，都有a ＋b 、a －b 、ab 、ab∈P (除数b ≠0)，则称P 是一个数域．例如有理数集Q 是数域；数集F ＝{a ＋b 2|a ，b ∈Q }也是数域．有下列命题：①整数集是数域；②若有理数集Q ⊆M ，则数集M 必为数域； ③数域必为无限集； ④存在无穷多个数域．其中正确命题的序号是________．(把你认为正确命题的序号都填上) [答案] ③④[解析] 考查阅读理解、分析等学习能力． ①整数a ＝2，b ＝4，ab不是整数；②如将有理数集Q ，添上元素2，得到数集M ，则取a ＝3，b ＝2，a ＋b ∉M ； ③由数域P 的定义知，若a ∈P ，b ∈P (P 中至少含有两个元素)，则有a ＋b ∈P ，从而a ＋2b ，a ＋3b ，…，a ＋nb ∈P ，∴P 中必含有无穷多个元素，∴③对．④设x 是一个非完全平方正整数(x >1)，a ，b ∈Q ，则由数域定义知，F ＝{a ＋b x |a 、b ∈Q }必是数域，这样的数域F 有无穷多个．三、解答题(本大题共6个小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分) ABC 的三个内角C B A ,,成等差数列，求证：cb ac b b a ++=+++311 17证明：要证原式，只要证3,1a b c a b c c aa b b c a b b c+++++=+=++++即即只要证2221,bc c a abab b ac bc +++=+++而02222,60,A C B B b a c ac +===+- 222222222221bc c a ab bc c a ab bc c a abab b ac bc ab a c ac ac bc ab a c bc+++++++++∴===+++++-+++++18．(本题满分12分) 已知,a b c >> 求证：114.a b b c a c+≥--- 17证明：a c a c a b b c a b b ca b b c a b b c---+--+-+=+----224b c a b a b b c --=++≥+--，()a b c >> 1144,.a c a c a b b c a b b c a c--∴+≥∴+≥----- 19．(本题满分12分)如图，长方体1111D C B A ABCD -中，底面1111D C B A 是正方形，O 是BD 的中点，E 是棱1AA 上任意一点。
高中数学选修2-3第二章概率单元测试试题2
选修2-3第二章概率质量检测(二)时间：120分钟总分：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)1．某射手射击所得环数ξ的分布列如下：已知ξA．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.82．若X的分布列为则D(X)等于(A．0.8 B．0.25 C．0.4 D．0.23．已知某人每天早晨乘坐的某一班次公共汽车准时到站的概率为35，则他在3天乘车中，此班次公共汽车至少有2天准时到站的概率为()A.36125 B.54125 C.81125 D.271254．设随机变量X～N(μ，σ2)，且P(X<c)＝P(X>c)，则c的值为()A．0 B．1 C．μ D.μ25．将三颗骰子各掷一次，记事件A ＝“三个点数都不同”，B ＝“至少出现一个6点”，则条件概率P (A |B )，P (B |A )分别是( )A.6091，12B.12，6091C.518，6091D.91216，12 6.箱中装有标号为1,2,3,4,5,6且大小相同的6个球．从箱中一次摸出两个球，记下号码后放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖．现有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是( )A.16625B.96625C.624625D.4625 7．已知X 的分布列为且Y ＝aX ＋3，E (Y )＝73，则a 为( )A ．－1B ．－12C ．－13D ．－148．已知变量x 服从正态分布N (4，σ2)，且P (x >2)＝0.6，则P (x >6)＝( )A ．0.4B ．0.3C ．0.2D ．0.19．设由“0”，“1”组成的三位数组中，若用A 表示“第二位数字为‘0’的事件”，用B 表示“第一位数字为‘0’的事件”，则P (A |B )等于( )A.25B.34C.12D.1810．把10个骰子全部投出，设出现6点的骰子的个数为X ，则P (X ≤2)＝( )A ．C 210×⎝⎛⎭⎪⎫162×⎝ ⎛⎭⎪⎫568 B ．C 110×16×⎝ ⎛⎭⎪⎫569＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5610C ．C 110×16×⎝ ⎛⎭⎪⎫569＋C 210×162×⎝ ⎛⎭⎪⎫568D ．以上都不对 11．已知随机变量X ～B (6,0.4)，则当η＝－2X ＋1时，D (η)＝( ) A ．－1.88 B ．－2.88 C ．5.76 D ．6.76 12．节日期间，某种鲜花的进价是每束2.5元，售价是每束5元，节后对没售出的鲜花以每束1.6元处理．据前5年节日期间这种鲜花销售情况得需求量ξ(单位：束)的统计如下表，若进这种鲜花500束在今年节日期间销售，则期望利润是( )A.706D ．720元第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)13．加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为170，169，168，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为________．14.已知正态总体的数据落在区间(－3，－1)内的概率和落在区间(3,5)内的概率相等，那么这个正态总体的数学期望为________．15．如果一个随机变量ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫15，12，则使得P (ξ＝k )取得最大值的k 的值为________．16．某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N (1 000,502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为________．三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(10分)设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．(1)求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率；(2)记ξ表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求ξ的分布列及期望．18．(12分)某同学参加3门课程的考试．假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为45，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p ，q (p >q )，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立．记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为(1)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；(2)求p，q的值；(3)求数学期望E(ξ)．19.(12分)一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片．(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；(2)X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X的分布列与数学期望．(注：若三个数a，b，c满足a≤b≤c，则称b为这三个数的中位数．)20.(12分)一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；(2)用X 表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X 的分布列，期望E (X )及方差D (X )．21.(12分)某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为23和35.现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B .设甲、乙两组的研发相互独立．(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品A 研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B 研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列和数学期望．22.(12分)设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4，各人是否需使用设备相互独立．(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率；(2)X 表示同一工作日需使用设备的人数，求X 的数学期望．答案1．B ∵E (ξ)＝7x ＋8×0.1＋9×0.3＋10y ＝7(0.6－y )＋10y ＋3.5＝7.7＋3y ，∴7.7＋3y ＝8.9，∴y ＝0.4.2．B 由题意知0.5＋a ＝1，E (X )＝0×0.5＋a ＝a ＝0.5，所以D (X )＝0.25.3．C 设此班次公共汽车准时到站的天数为随机变量X ，则此班次公共汽车至少有2天准时到站的概率为P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝C 23⎝⎛⎭⎪⎫352×25＋C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫353＝81125.4．C 因为P (X <c )＝P (X >c )，由正态曲线的对称性知μ＝c . 5．A 由题意得事件A 包含的基本事件个数为6×5×4＝120，事件B 包含的基本事件个数为63－53＝91，在B 发生的条件下A 发生包含的基本事件个数为C 13A 25＝60，在A 发生的条件下B 发生包含的基本事件个数为C 13A 25＝60，所以P (A |B )＝6091，P (B |A )＝60120＝12.故正确答案为A.6．B 若摸出的两球中含有4，必获奖，有5种情形；若摸出的两球是2,6，也能获奖．故获奖的情形共6种，获奖的概率为6C 26＝25.现有4人参与摸奖，恰有3人获奖的概率是C 34⎝⎛⎭⎪⎫253×35＝96625. 7．C E (X )＝1×16＋2×23＋3×16＝2， 由Y ＝aX ＋3，得E (Y )＝aE (X )＋3. 所以73＝2a ＋3，解得a ＝－13.8．A 因为P (x >2)＝0.6，所以P (x <2)＝1－0.6＝0.4.因为N (4，σ2)，所以此正态曲线关于x ＝4对称，所以P (x >6)＝P (x <2)＝0.4.故选A.9．C 因为P (B )＝1×2×22×2×2＝12，P (A ∩B )＝1×1×22×2×2＝14，所以P (A |B )＝P (A ∩B )P (B )＝12.10．DP (X ≤2)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝C 010×⎝⎛⎭⎪⎫160×⎝ ⎛⎭⎪⎫5610＋C 110×16×⎝ ⎛⎭⎪⎫569＋C 210×⎝ ⎛⎭⎪⎫162×⎝ ⎛⎭⎪⎫568.11．C 由已知D (X )＝6×0.4×0.6＝1.44，则D (η)＝4D (X )＝4×1.44＝5.76.12．A 节日期间这种鲜花需求量的均值E (ξ)＝200×0.20＋300×0.35＋400×0.30＋500×0.15＝340(束)．设利润为η，则η＝5ξ＋1.6(500－ξ)－500×2.5＝3.4ξ－450，则E (η)＝E (3.4ξ－450)＝3.4E (ξ)－450＝3.4×340－450＝706(元)．13.370解析：加工出来的零件的合格品率为 ⎝⎛⎭⎪⎫1－170×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－169×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－168＝6770，所以次品率为1－6770＝370. 14．1解析：区间(－3，－1)和区间(3,5)关于x ＝1对称(－1的对称点是3，－3的对称点是5)，所以正态分布的数学期望就是1.15．7,8解析：P (ξ＝k )＝C k 15⎝ ⎛⎭⎪⎫1215，则只需C k 15最大即可，此时k ＝7,8. 16.38解析：设元件1,2,3的使用寿命超过1 000小时的事件分别记为A ，B ，C ，显然P (A )＝P (B )＝P (C )＝12，所以该部件的使用寿命超过1 000的事件为(A B ＋A B ＋AB )C .所以该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫12×12＋12×12＋12×12×12＝38. 17．解：(1)由题可得，至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率为p ＝1－(1－0.5)(1－0.6)＝0.8.(2)ξ可能的取值有0,1,2,3， p (ξ＝0)＝(1－0.8)3＝0.008，p (ξ＝1)＝C 13(1－0.8)20.8＝0.096， p (ξ＝2)＝C 23(1－0.8)10.82＝0.384，p (ξ＝3)＝0.83＝0.512. 故ξ的分布列为ξ18．解：记事件A i 表示“该生第i 门课程取得优秀成绩”，i ＝1,2,3. 由题意知P (A 1)＝45，P (A 2)＝p ，P (A 3)＝q .(1)由于事件“该生至少有1门课程取得优秀成绩”与事件“ξ＝0”是对立的，所以该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率是1－P (ξ＝0)＝1－6125＝119125.(2)由题意知P (ξ＝0)＝P (A 1A 2A 3)＝15(1－p )(1－q )＝6125， P (ξ＝3)＝P (A 1A 2A 3)＝45pq ＝24125. 整理得pq ＝625，p ＋q ＝1. 由p >q ，可得p ＝35，q ＝25.(3)由题意知a ＝P (ξ＝1)＝P (A 1A 2A 3)＋P (A 1A 2A 3)＋P (A 1A 2A 3)＝45(1－p )(1－q )＋15p (1－q )＋15(1－p )q ＝37125，b ＝P (ξ＝2)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝1)－P (ξ＝3)＝58125.所以E (ξ)＝0×P (ξ＝0)＋1×P (ξ＝1)＋2×P (ξ＝2)＋3×P (ξ＝3)＝95.19.解：(1)由古典概型中的概率计算公式知所求概率为P ＝C 34＋C 33C 39＝584.(2)X 的所有可能值为1,2,3，且P (X ＝1)＝C 24C 15＋C 34C 39＝1742，P (X ＝2)＝C 13C 14C 12＋C 23C 16＋C 33C 39＝4384， P (X ＝3)＝C 22C 17C 39＝112，故X 的分布列为从而E (X )＝1×1742＋2×4384＋3×112＝4728.20．解：(1)设A 1表示事件“日销售量不低于100个”，A 2表示事件“日销售量低于50个”，B 表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另一天销售量低于50个”．因此P (A 1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6， P (A 2)＝0.003×50＝0.15， P (B )＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108. (2)X 可能取的值为0,1,2,3，相应的概率为P (X ＝0)＝C 03·(1－0.6)3＝0.064，P (X ＝1)＝C 13·0.6(1－0.6)2＝0.288，P (X ＝2)＝C 23·0.62(1－0.6)＝0.432，P (X ＝3)＝C 33·0.63＝0.216.分布列为因为X ～B ，方差D (X )＝3×0.6×(1－0.6)＝0.72.21.解：记E ＝{甲组研发新产品成功}，F ＝{乙组研发新产品成功}．由题设知P (E )＝23，P (E )＝13，P (F )＝35，P (F )＝25，且事件E 与F ，E 与F ，E 与F ，E 与F 都相互独立．(1)记H ＝{至少有一种新产品研发成功}，则H ＝E F ，于是P (H )＝P (E )P (F )＝13×25＝215，故所求的概率为P (H )＝1－P (H )＝1－215＝1315.(2)设企业可获利润为X (万元)，则X 的可能取值为0,100,120,220.因P (X ＝0)＝P (E F )＝13×25＝215，P (X ＝100)＝P (E F )＝13×35＝315，P (X ＝120)＝P (E F )＝23×25＝415，P (X ＝220)＝P (EF )＝23×35＝615，故所求的分布列为数学期望为E (X )＝0×215＋100×315＋120×415＋220×615＝300＋480＋1 32015＝2 10015＝140.22．解：记A i 表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i 人需使用设备，i ＝0,1,2，B 表示事件：甲需使用设备，C 表示事件：丁需使用设备，D 表示事件：同一工作日至少3人需使用设备．(1)D ＝A 1·B ·C ＋A 2·B ＋A 2·B ·C .P (B )＝0.6，P (C )＝0.4，P (A i )＝C i 2×0.52，i ＝0,1,2，所以P (D )＝P (A 1·B ·C ＋A 2·B ＋A 2·B ·C )＝P (A 1·B ·C )＋P (A 2·B )＋P (A 2·B ·C )＝P (A 1)P (B )P (C )＋P (A 2)P (B )＋P (A 2)P (B )P (C ) ＝0.31.(2)X 的可能取值为0,1,2,3,4，其分布列为 P (X ＝0)＝P (B ·A 0·C )＝P (B )P (A 0)P (C )＝(1－0.6)×0.52×(1－0.4)＝0.06，P (X ＝1)＝P (B ·A 0·C ＋B ·A 0·C ＋B ·A 1·C )＝P (B )P (A 0)P (C )＋P (B )P (A 0)P (C )＋P (B )P (A 1)P (C )＝0.6×0.52×(1－0.4)＋(1－0.6)×0.52×0.4＋(1－0.6)×2×0.52×(1－0.4)＝0.25，P(X＝4)＝P(A2·B·C)＝P(A2)P(B)P(C)＝0.52×0.6×0.4＝0.06，P(X＝3)＝P(D)－P(X＝4)＝0.25，P(X＝2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝3)－P(X＝4)＝1－0.06－0.25－0.25－0.06＝0.38，数学期望E(X)＝0×P(X＝0)＋1×P(X＝1)＋2×P(X＝2)＋3×P(X ＝3)＋4×P(X＝4)＝0.25＋2×0.38＋3×0.25＋4×0.06＝2.。
高二数学第二次单元测试卷
高二数学单元测试卷（时量：１００分钟 满分：１００分）班次：__________________ 姓名：__________________一、选择题（本大题共10小题,每小题4分,满分40分．每小题有四个选项，其中只有一项符合题目要求的）1.△ABC 中，若c=ab b a ++22，则角C 的度数是( B )A.60°B.120°C.60°或120°D.45°2.在等比数列中，112a =，12q =，132n a =，则项数n 为（ C ）A. 3B. 4C. 5D. 6 3.命题2222:0(,),:0(,)p a b a b R q a b a b R +<∈+≥∈.下列结论正确的是（A ） A ""q p ∨为真 B ""q p ∧为真 C ""p ⌝为假 D ""q ⌝为真 4.已知两个命题:223:,32:x x x q x x p ==+则p 是q 的(D ) A 充分不必要条件 B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件5.已知0x >，函数4y x x=+的最小值是（ B ）A ．5B ．4C ．8D ．66．不等式21≥-x x 的解集为 ( B )A. ),1[+∞-B. )0,1[-C. ]1,(--∞D. ),0(]1,(+∞--∞7．ABC ∆中，若︒===60,2,1B c a ，则ABC ∆的面积为（ B ） A ．21B ．23 C.1D.38.设a ＞1＞b ＞－1,则下列不等式中恒成立的是 ( C )A ．b a 11<B ．b a 11> C ．a ＞b 2 D ．a 2＞2b9．数列{a n }满足*111,21()n n a a a n N +==+∈，那么4a 的值为（ C ）10.设,x y 满足约束条件12x y y x y +≤⎧⎪≤⎨⎪≥-⎩,则3z x y =+的最大值为（ C ）A ． 5 B. 3 C. 7 D. -8二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分）11．已知等差数列{a n }满足56a a +=28，则其前10项之和为 140 ． 12．命题：01,2=+-∈∃x x R x 的否定是 2.01,2≠+-∈∀x x R x13．数列{}n a 的前n 项和2321,n S n n =-+则它的通项公式是 14．椭圆22221x ya b += (0)a b >> 的长轴为12A A ，点B 是椭圆短轴的一个端点，且12120A BA ∠= ，则离心率e 等于____ 5.36_____. 15. 若双曲线 4422=-y x 的焦点是21,F F 过1F 的直线交左支于A 、B ，若|AB|=5，则△AF 2B 的周长是 10．18—————————————————————————————————————————————————————————————————————————————— 1、请把选择题的答案写在下面的表格里：11、____________________________ 12、___________________________13、____________________________ 14、____________________________15、____________________________三、解答题（本大题共3小题，满分40分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．⊿ABC 中，c b a ,,分别是,,,C B A ∠∠∠的对边，已知c b a ,,成等比数列，且bc ac c a -=-22，求A ∠的大小及cBb sin 的值。
(人教版)高中数学必修二(全册)单元测试卷汇总
（人教版）高中数学必修二（全册）单元测试卷汇总、阶段通关训练（一）（60分钟 100分）一、选择题（每小题5分，共3。
分）1・已知某几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是□ □便視囲A. 长方体 C.匹棱锥【解析】选A.该几何体是长方体，如图所示» 入城商中目字必零二01 ：酚俭1王训停 爺人椒版為中教学宕偌2!； &馈通关训号 信，奴薮版快9E 必偌二好：阶段遑关训澤 司：人馭艇苣中数猝偌二桂測：跻蜀■美训遂 琼人板版毫中gtl 修二窗I ；樓埃蜃量怦估 S 人会版毎中數⑴ C 2） Word 版言眾忻 Word 版合解忻 W 。
招版含解忻 （AS ） Word 板合樹ff （B 卷）WordB.圆性 D.四棱台正視图悟视图2.以钝角三角形旳较小边所在的直线为轴，其他两边旋转一周所得到的几何体是（）A .两个圆锥拼桜而成的组合体B.一个圖台C.一个圆锥D . 一个圆锥挖去一个同底的小圆维【解析】选D.如图以AB为轴所得的几何体是一个大圆锥挖去一个同底的小圆锥.3.已知AAB攏边长为2a的正三角形，那么△ABCE勺平面直观图△ A'B‘ C'的面积为（）D.\Ga~【鮮析】选C.直观图面积S与原图面积S具有关系：S' Mfs.因为S 好芸12a）所以S …c 三•X\/3a'=^a .4- 4 4【补偿训练】某三角形的直观图是斜边长为2的等腰直角三角形，如图所示，则原三信形的面积是【解析】根据宜观图和原图形的关系可知原图形的面积为X 2vl X 2二2卮 答案：2^24. 某三梭锥的三视图如图所示，则该三検锥的体积是【解析】选B .由三视图可判断该三棱锥底面为等腰直角三角形，三 棱锥旳高为 2. RI V=x x 1 x 1 x 2=.^【补偿洲练】已知正三棱镣V-ABC 的正视图、侧视图和帽视图如图所 示，则该正三枝锥侧视图的面积是A.B. C. D.1A.v39B.6\,r 3D.6俯视C.即3【解析】选D .如图，根据三视图间的关系可得BCM3,所以侧视图 中VA 二\|铲一任X ? X 2妁七整，所以三橙锥侧视图面积S- 海=x 2V 3X 2\顶二6,故选 D.5.（2016 •蚌瑋高二检测）若一个回锥的侧面展开图是面积为 2工的半圆面,则该圆锥的体积为B.V3 X C .拓x【解析】选A.设园锥的母线长为I,底面半径为r,由题意|7苗2 = 211,vnl = 2TTT ,解得'所以圆锥的高为 h=\F —尸=寸3 , V= * r 2h= r x 12x r = L . 6.(2016 •雅安高二检测）设正方体的全面积为 24,邪么其内切球的体积是A .扼KB.兀32 D.—【解析】 选B.正方体的全面积为24,所以，设正方体的棱长为a.6 宀 24, a 二2,正方体的内切球的直径就是正方体的校长，所以球的半径为1,内切球旳体积：V = 7t . ID RC乙 第*已回刮寻詠回王曲＞=s '哥USS 甲'里蛔国皿【果到】&&価91实逐刘t ¥豈我到国丑屬T 風濕&一天喔宰邕€好日-6肝里N 二縛：毒虽•*+£，W=M*£Axl X >t=S rft凰峯4 Z^A^Ax^ x=A '風刘"坦 NN 八一醇E3HI 诳乙 弟学段皿期一旧耳闻1/峯'皓也乎书屋絶三零净【爆蜴】醇車回1/溟【四'（国⑰）国隴三阳财回廿必日（脈玛二堆※困• 9L0S1-8LL :孝晶U=x 韧 N 刮’壽」三三）阜尚‘X 興覃毋号密祺［菓到】 麹*辛矣廚留丄壬至藏乌去廖犯讪目丄竺羽诲同争宙【睾里區墙】^实些阳号屛醇斟濯施*09实邊回回淮即回通士互士 .乙屿％邊国基’9L 实雙団驚勢N（G&详‘&9鲤W 辱）谴乏帯 '二=M 媛苴'務nD所以AQ=\吃，A O=R^/6.所以S丼二4兀F<=24T.答案：24 x10•圖台的底面半径分别为1和2,母线长为3,则此圖台的体积为【解析】圆台的高h= 732 - （2 - I）2 =2 <1 ,所以体积71 2 aV=y(R+Rr4-r )h=^^i(. 答案：學三、解答题（共4小题，共50分）11.（12分）如區几何体上半部分是母线长为5,底面圆半径为3的圆锥，下半部分是下底面圆半径为2,母线长为2的圆台，计算该几何体的表面枳和体枳【韻析】圖锥侧面积为S = X rl=15r ,圖台的侧面积为缶冗(r+r ' )1二10冗，圖台的底面宜积为订’』牝，所以表面积为:S=S+S+S s=15i +10兀+4H=29X;圆锥的体积V-xr2hi=12x ,圆台的体积V：= r h2（r ：+rr , +「’ 2）=^y^r ,所以体积为：V=V+U=12i------ X .312.(12分)如图是一个几何体的正视图和俯视图(1)试判断该几何体是什么几何体？(2)画出其侧视图，并求该平面图形的面积.(3)求出该几何体的体积.【解析】(1)由该几何体的正视图和俯视图可知该几何体是一个正六棱锥.(2)该几何体的側视图如图.其中AB=AC AD^BC,且BC的长是俯视图正六边形对边的距离，即BC=v3a, AD是正六棱锥的高，即AD十3a,所以该平面图形的面积(3)没这个正六棱锥的底面积是S,体积为V,则S=6< —a=—a\4 2所以V=x三歯x JJa=a°.13.（13分）如图所示，在四边形ABC畔，Z DAB=90 , ZADCF35 ,AB二5 CD二不臣，AD二2求四边形ABC说AD旋转一周所成几何体的表面积及体积.【鮮析】S 表面二S SOFB +S Bo ma +S 四部面=it x 5~+ i x (2+5) x 5+ r X 2X 2V2=(4 克+60) x .V=V H&-V B*=z (4-r if z+Fj )h- x h148=I (25+10+4) X 4- Jt X 4X 2. x .14.(13分)(2016 ,湖北实验中学高一检测 )如图，△ ABC中，ZACB=90 , Z ABC=30* , BC%3 在三角形内挖去一个半圆(圆心。
高二下学期数学测试卷二(解析版)
高二下学期数学测试卷二答案一、单选题1.设函数)(x f 的导数为)('x f ，且)1(2)('2xf x x f +=，则=)1('f （）A.0B.4C.2- D.2解析：)1(22)(''f x x f +=，令1=x 得2)1()1(22)1('''-=⇒+=f f f ，故选C 2.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若31510=S S ，则=515S S（）A.97B.43 C.32 D.31解析：由题意10155105,,S S S S S --成等比数列，又551032S S S -=-，所以9797943151551555151015=⇒=⇒=-=-S S S S S S S S S ，故选A3.已知数列{}n a 的通项公式为⎩⎨⎧>≤--=-7,7,3)3(6n a n n a a n n ，若{}n a 单调递增，则实数a 的取值范围为（）A.)6,3( B.)2,1( C.)3,1( D.)3,2(解析：由题意323)3(7132<<⇒⎪⎩⎪⎨⎧<-->>-a aa a a ，故选D 4.某同学进行投篮训练，在甲、乙、丙三个不同位置投中的概率分别为32,21,p ，该同学站在这三个不同的位置各投篮一次，恰好投中两次的概率为83，则p 的值为（）A.41 B.31 C.32 D.43解析：恰好投中两次的概率为41833221)1(32211(321(21=⇒=⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯p p p p 故选A5.欲登上第10级楼梯，如果规定每步只能跨上一级或两级，则不同的走法共有（）A.34种B.55种C.89种D.144种解析：按走两级的步数分六类：第一类：0步走两级的，有1010C 种不同走法；第二类：仅1步走两级的，有19C 种不同走法；第三类：仅2步走两级的，有28C 种不同走法；第四类：仅3步走两级的，有37C 种不同走法；第五类：仅4步走两级的，有46C 种不同走法；第六类：仅5步走两级的，有55C 种不同走法；根据分类加法计数原理一共有895546372819010=+++++C C C C C C 种不同走法，故选C6.已知数列{}n a 满足161=a ，n n a n a n )2(2)1(1+=++，则{}n a 的前100项和为（）A.102225⨯ B.103225⨯ C.104225⨯ D.105225⨯解析：122)2(2)1(11+⨯=+⇒+=+++n a n a a n a n n n n n ，所以⎭⎬⎫⎩⎨⎧+1n a n 是以821=a 为首项，2为公比的等比数列，所以2212)1(2281++-⋅+=⇒=⨯=+n n n n nn a n a ，设其前n 项和为n S ，则25432)1(242322+⋅+++⨯+⨯+⨯=n n n S --------------------------------------------①32542)1(223222++⋅++⋅++⨯+⨯=n n n n n S -----------------------------------------②①—②得3144325432)1(21)21(222)1(22222+-++⋅+---+=⋅+-++++⨯=-n n n n n n n S 32+⋅=⇒n n n S ，所以1051031002252100⨯=⨯=S ，故选D7.已知19.0+=e a ，1029=b ，)9.0ln(3e c =，则c b a ,,的大小关系为（）A.b c a >> B.a b c >> C.c a b >> D.cb a >>解析：19.0+=ea ，29.0+=b ，39.0ln +=c 令)0(1)2()1()(≥--=+-+=x x e x e x f xx，易知0)(≥x f 恒成立，当且仅当0=x 时等号成立，所以0)0()9.0(=>f f ，即ba >令1ln )3(ln )2()(--=+-+=x x x x x g )10(≤<x ，易知0111)('<-=-=xx x x g ，)(x g 在]1,0(上递减，所以0)1()9.0(=>g g ，即c b >所以c b a >>，故选D8.若关于x 的不等式22322a ax x e x-≥-+恒成立，则a 的取值范围为（）A.],(e -∞ B.),[+∞e C.]1,(-∞ D.),1[+∞解：令322)(22-+-+=a ax x e x f x，则0)(≥x f 恒成立，a x e x f x222)('-+=，易知)('x f 在R 上递增，且-∞→x 时，-∞→)('x f ，+∞→x 时，+∞→)('x f ，所以)('x f 存在唯一零点0x ，即00x ea x +=----------------------------------------------------------①当),(0x x -∞∈时，0)('<x f ，)(x f 递减，当),(0+∞∈x x 时，0)('>x f ，)(x f 递增，所以0322)()(20200min 0≥-+-+==a ax x e x f x f x ----------------------------------------②将①代入②得00320200≥⇒≥-+x e ex x ，所以100≥+=x e a x ，即a 的取值范围为),1[+∞，故选D二、多选题9.已知数列{}n a ，下列结论正确的有（）A.若21=a ，11++=+n a a n n ，则21120=aB.若11=a ，231+=+n n a a ，则534=aC.若13+=nn S ，则数列{}n a 为等比数列D.若11=a ，nn n a a a +=+221，则515=a 解析：（1）2)202(19220322)()()(19202312120+⨯+=++++=-++-+-+= a a a a a a a a 211=，A 正确；)1(312311+=+⇒+=++n n n n a a a a ，所以{}1+n a 是以211=+a 首项，3为公比的等比数列，所以53321434=⇒⨯=+a a ，B 正确；当2≥n 时，1--=n n n S S a 11321313--⨯=--+=n n n，又1=n 时，311==S a ，所以⎩⎨⎧≥⨯==-2,321,41n n a n n ，所以{}n a 不为等比数列，C 错误；2112212211+=+=⇒+=++n n n n n n n a a a a a a a ，所以⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1是以111=a 为首项，21为公差的等差数列，所以3132141155=⇒=⨯+=a a ，D 错误；故选AB 10.某社区派出E D C B A ,,,,五名志愿者到甲乙丙丁四个路口协助交通工作，每名志愿者只能到一个路口工作，则下列说法中正确的是（）A.若每个路口至少分派1名志愿者，有不同的分派方案共240种B.若丙路口不安排志愿者，其余三个路口至少安排一个志愿者，有不同的分派方案共180种C.若每个路口至少派1名志愿者，且志愿者A 必须到甲路口，有不同分派方案共60种D.若每个路口至少派1名志愿者，且志愿者B A ,不安排到甲路口，有不同分派方案共126种解析：每个路口至少分派1名志愿者，有2404425=A C 种不同的分派方案，A 正确；丙路口不安排志愿者，其余三个路口至少安排一个志愿者，有15033222224153335=+A A C C C A C 种不同的分派方案，B 错误；若每个路口至少派1名志愿者，且志愿者A 必须到甲路口，有6033143324=+A C A C 种不同的分派方案，C 正确；若每个路口至少派1名志愿者，且志愿者B A ,不安排到甲路口，有1263323332413=+A C A C C 种不同的分派方案，D 正确；故选ACD 11.已知函数2)3()(-=x x x f ，若)()()(c f b f a f ==，其中c b a >>，则（）A.21<<c B.2>+c b C.6=++c b a D.40<<abc 解析：)3)(1(3)3(3)3()(2'--=-+-=x x x x x x f ，当),3()1,(+∞-∞∈ x 时，0)('>x f )(x f 递增，当)3,1(∈x 时，0)('<x f ，)(x f 递减，4)1(=f ，0)3(=f ，所以)(x f 图像如图所示，令t c f b f a f ===)()()(，则40<<t ，4310<<<<<<c b c ，A 错误；又))()(()(c x b x a x t x f ---=-即))()(()3(2c x b x a x t x x ---=--即tx x x -+-9623abc x ca bc ab x c b a x -+++++-=)()(23，对照系数得6=++c b a ，C 正确；)4,0(∈=t abc ，D 正确；因为)4,3(∈a ，所以)3,2(6∈-=+a c b ，B 正确故选BCD12.已知函数x e x f x-=)(和x x x g ln )(-=，存在直线m y =与两条曲线)(x f y =和=y )(x g 共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标分别为321,,x x x ，则（）A.1>m B.23ln x x = C.21ln x x = D.2312x x x =+解析：1)('-=xe xf ，)0(111)('>-=-=x xx x x g ，当)0,(-∞∈x 时，0)('<x f ，)(x f 递减，当),0(+∞∈x 时，0)('>x f ，)(x f递增；当)1,0(∈x 时，0)('<x g ，)(x g 递减，当),1(+∞∈x 时，0)('<x g ，)(x g 递增；且1)()(min min ==x g x f ，)(x f 和)(x g 图像如图所示曲线)(x f y =和=y )(x g 共有三个不同的交点，所以1>m ，A 正确；由)(ln )()()(22222223x x x x e g e e x ex f x g x g =-=-===，又22x e x ≠，所以23x e x =，B错误；由)(ln ln ln )()()(22ln 222212x f x e x x x g x f x f x =-=-===，又22ln x x ≠，所以21ln x x =，C 正确；2222312ln 2x x m m x ex x x x =++-=+=+，D 正确故选ACD 三、填空题13.已知7个人排成一排拍照，其中甲乙丙三人两两不相邻，甲、丁两人必须相邻，则满足要求的排队方法数为解析：将甲、丁捆在一起与甲乙丙丁之外的3个人排列有4422A A 种不同排法，再将乙丙插空有4个空可以插，有24A 种插法，所以一共有4422A A 57624=A 种不同排法14.若过点),1(m P 有3条直线与函数xxe x f =)(的图像相切，则实数m 的取值范围为解析：设切点为),(000xe x x ，则xe x xf )1()('+=，切线方程为)()1(00000x x e x e x y x x -+=-其过点),1(m P ，所以000)1()1()1(020000x x x e x x m x e x ex m ++-=⇒-+=-有三个不同的根令xe x x xf )1()(2++-=，则xe x x x x xf )2)(1()1()(2'+--=++-=，所以当)2,(--∞∈x 和),1(+∞∈x 时，0)('<x f ，)(x f 递减，当)1,2(-∈x 时，0)('>x f ，)(x f 递增，25)2(ef -=-，e f =)1(，-∞→x 时，0)(→x f ，+∞→x 时，-∞→)(x f ，所以)(x f 图像如图所示，所以实数m 的取值范围为)0,5(2e -15.数列{}n a 满足231=a ，121+-=+n n n a a a ，则2321111a a a +++ 的整数部分为解析：由0)1(12121≥-=-⇒+-=++n n n n n n a a a a a a ，所以{}n a 不减，所以21637324>=>a a 又nn n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a 111)1(111)1(111121--=-=-⇒-=-⇒+-=+++111111---=⇒+n n n a a a ，所以)2,1(1121111111242412321∈--=---=+++a a a a a a 所以2321111a a a +++ 的整数部分为116.已知1>a ，若对于任意的),31[+∞∈x ，不等式a aex x x x ln 13ln 31+≤+-恒成立，则a 的最小值为解析：x x x ae ae x x a ae x x x ln 13ln 31ln 13ln 31+≤+⇔+≤+-，设)1(ln 1)(≥+=x x xx f 则)()3(x ae f x f ≤，又0111)(22'≥-=+-=xx x x x f ，所以)(x f 在),1[+∞上递增当),31[+∞∈x 且1>a 时，13≥x ，1≥x ae ，所以x xe x a ae x 33≥⇒≤对),31[+∞∈x 恒成立，令31(3)(≥=x e x x g x ，xe x x g )1(3)('-=，当)1,31[∈x 时，0)('>x g ，)(x g 递增，当),1(+∞∈x 时，0)('<x g ，)(x g 递减，所以e g x g 3)1()(max ==，所以a 的最小值为e3四、解答题17.（1）6个相同的小球，放入3个不同的盒子里，每个盒子至少放1个，有多少种不同的方法？（2）6个不同的小球，放入3个不同的盒子里，每个盒子至少放1个，有多少种不同的方法？解析：（1）（隔板法）6个相同的小球，放入3个不同的盒子里，每个盒子至少放1个，有1025=C 种不同的方法（2）2223214116++=++=++=，先分组再分配，分3类：第一类：三个盒子分别放1个，1个，4个，有903346=A C 种不同的方法第二类：三个盒子分别放1个，2个，3个，有36033332516=A C C C 种不同的方法第三类：三个盒子分别放2个，2个，2个，有90222426=C C C 种不同的方法所以一共有5409036090=++种不同的方法18.已知一个袋内有4只不同的红球，6只不同的白球（1）若取一只红球记2分，取一只白球记1分，从中任取5只球，使总分不小于7分的取法有多少种？（2）在（1）条件下，当总分为8时，将抽出的球排成一排，仅有两个红球相邻的排法种数是多少？解析：（1）总分不小于7分有三种情况，分三类：第一类：2个红球，3个白球，有3624C C 种不同的取法第二类：3个红球，2个白球，有2634C C 种不同的取法第三类：4个红球，1个白球，有1644C C 种不同的取法所以总分不小于7分的取法有3624C C +2634C C +1644C C 186=种（2）当总分为8时，取出的是3个红球，2个白球，有2634C C 种不同取法，将它们排排成一排，仅有两个红球相邻，有232322A A A 种不同的排法，根据分步乘法计数原理一共有2634C C 232322A A A 4320=种不同的排法19.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足623532+=+S a a （1）若数列{}n S 为递减数列，求1a 的取值范围（2）若11=a ，在数列{}n a 的第n 项与第1+n 项之间插入首项为1，公比为2的等比数列的前n 项，形成新数列{}n b ，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，求95T 解析：（1）设{}n a 公差为d ，则26105)2(2)(3111-=⇒++=+++d d a d a d a 所以n a n n n na S n )1()2(2)1(121++-=-⨯-+=，因为{}n S 为递减数列，所以2232111<⇒<+a a ，即1a 的取值范围为)2,(-∞（2）若11=a ，则32)2()1(1+-=-⨯-+=n n a n ，根据题意{}n b 为第一组为1,1，其和为11+a ；第二组为12,2,1-，其和为1221222-+=++a a ；第三组为2102,2,2,3-，……，其和为1233-+a ，第n 组为1102,,2,2,32-+-n k ，其和为12-+n n a 其中前n 组有2)3(321+=+++++n n n n 项，当12=n 时，9021512=⨯所以8421)]12()12()12()12[(123213122195++++-+-+-+-+++++= a a a a T805015]1221)21(2[)2(2121311312=+---+-⨯⨯+⨯=20.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足21=a ，6341+=++n n n S a a （1）求数列{}n a 的通项公式（2）求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧++n a n n n )1(2的前n 项和nT 解析：（1）因为6341+=++n n n S a a ，所以634112+=++++n n n S a a ，两式作差得n n n n n n a a a a a a 43432112=⇒=-+++++，所以{}n a 的奇数项和偶数项分别是以4为公比的等比数列，所以当n 为奇数时，nn n a a 241211=⨯=-+；当n 为偶数时，nn n a a 24122=⨯=-所以nn a 2=（2）2)1(121[22)1(2)1(21+⋅+-⋅=⋅++=++n n n n n n n n n a n n n 所以]2)1(121231221221211[21422+⋅+-⋅++⨯-⨯+⨯-⨯=n n n n n T nn n n 2)1(11]2)1(121[21⋅+-=⋅+-=+21.已知函数xa x x x f +=ln )(，2ln ln 2)(---=x x xe x g x（1）若直线x y =是曲线)(x f y =的一条切线，求a 的值（2）若对于任意的),0(1+∞∈x ，都存在),0(2+∞∈x ，使得)()(21x g x f ≥成立，求实数a 的取值范围解析：（1）设直线x y =与曲线)(x f y =切于都能ln ,(0000x ax x x +，2'1ln )(x a x x f -+=所以切线方程为))(1(ln ln 0200000x x x ax x a x x y --+=--所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-+=-+0)1(ln ln 11ln 2000000200x a x x x a x x x a x ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==20ea e x （2）)0)(12(111)1(2)('>-+=--+=x xe xx x e x x g x x，设)0(12)(>-=x xe x h x 易知)(x h 在),0(+∞上递增，且0121)41(41<-=e h ，012)1(>-=e h ，所以)(x h 在),0(+∞上存在唯一零点)1,41(0∈x ，即00121200x e ex x x =⇒=00ln 2ln x x -=+⇒，当),0(0x x ∈时，0)(<x h ，即0)('<x g ，)(x g 递减，当),(0+∞∈x x 时，0)(>x h ，即0)('>x g ，)(x g 递增，所以12ln 2ln 12ln ln 2)()(0000min 0=-+=---==x x ex x g x g x 所以对任意),0(+∞∈x ，1ln )(≥+=xax x x f 即x x x a ln 2-≥恒成立，设x x x x F ln )(2-=，则x x x x F --=ln 21)('，当)1,0(∈x 时，01>-x ，0ln 2<x x ，所以0)('>x F ，)(x F 递增，当),1(+∞∈x 时，01<-x ，0ln 2>x x ，所以0)('<x F ，)(x F 递减，所以1)1()(max ==F x F ，所以实数a 的取值范围为),1[+∞22.已知函数22)1()2()(++-=x a e x x f x（1）若0=a ①求)(x f 的极值②设))(()(n m n f m f ≠=，证明：3<+n m （2）证明：当e a ≥时，)(x f 有唯一的极小值点0x ，且203)(23e x f e -<<-解析：（1）①若0=a ，则xe x xf 2)2()(-=，xx xe x e x ex f 222')32()2(2)(-=-+=当23,(-∞∈x 时，0)('<x f ，)(x f 递减，当),23(+∞∈x 时，0)('>x f ，)(x f 递增，所以当23=x 时，)(x f 有极小值32123(e f -=，无极大值②由①知)(x f 在)23,(-∞上递减，),23(+∞上递增，因为)()(n f m f =，不妨设n m <<23，设)23)(3()()(>--=x x f x f x F ，则xx ex e x x f x f x F ---+-=-+=32''')3)3(2()32()3()()(0))(32(32>--=-x x e e x ，所以)(x F 在),23(+∞上递增，所以0)23()(=>F n F ，即)3()(n f n f ->，又)()(n f m f =，所以)3()(n f m f ->由n m <<23知233,23<-<n m ，而)(x f 在23,(-∞上递减，所以33<+⇒-<n m n m （2）证明：当e a ≥时，)1(2)32()(2'++-=x a ex x f x，设)()('x f x g =，则a e x x g x 2)44()(2'+-=，设)()('x g x h =，则x e x x h 2')12(4)(-=，当21,(-∞∈x 时，0)('<x h ，)(x h 递减，当),21(+∞∈x 时，0)('>x h ，)(x h 递增，022)21()(≥-=>e a h x h 即0)('≥x g ，所以)()('x f x g =在R 上递增，又044)21('>-≥-=-ee e af ，05)1(2'<-=-e f ，所以)('x f 在R 上存在唯一零点0x ，即0)1(2)32(0200=++-x a e x x 1)32(0200+--=⇒x e x a x ，当),(0x x -∞∈时，0)('<x f ，)(x f 递减，当),(0+∞∈x x 时，0)('>x f ，)(x f 递增，所以)(x f 有唯一的极小值点0x ，且)1,21(0--∈x =++---=++-=200202020200)1(1)32()2()1()2()(00x x e x ex x a ex x f x x x 02020)2123(x e x x +--=设)1,21(,2123()(22--∈+--=x e x x x x ϕ，则0]165)41[(2)(22'<---=x e x x ϕ，所以)(x ϕ在)1,21(--上递减，又e 23)21(-=-ϕ，23)1(e -=-ϕ，所以203)(23ex f e -<<-。
高二数学下册(必修三)导数 单元测试卷及答案解析
高二数学下册（必修三）导数 单元测试卷及答案解析一 、单选题（本大题共8小题，共40分）1.（5分）函数f(x)在x =4处的切线方程为y =3x +5，则f(4)+f ′(4)=( )A. 10B. 20C. 30D. 402.（5分）设a 为实数，函数f (x )=x 3+ax 2+(a −2)x 的导函数是f ′(x)，且f ′(x)是偶函数，则曲线y =f (x )在原点处的切线方程为( )A. y =−2xB. y =3xC. y =−3xD. y =−4x3.（5分）若函数f(x)=x 2+lnx 的图像在(a,f(a))处的切线与直线2x +6y −5=0垂直，则a 的值为( )A. 1B. 2或14C. 2D. 1或124.（5分）已知函数f (x )={&ln (x +1),−1<x ⩽14 x 2+14,x >14 ，且关于x 的方程f (x )−kx =0恰有2个实数解，则实数k 的取值范围是( )A. [1,54] B. [54,+∞)C. [4ln 54,1]D. [4ln 54,1]⋃[54,+∞)5.（5分）曲线y =13x 3 在x =1处切线的倾斜角为( )A. 1B. −π4C. π4D.5π46.（5分） 若曲线f(x)=x 4−4x 在点A 处的切线平行于x 轴，则点A 的坐标为( )A. (-1,2)B. (1,-3)C. (1,0)D. (1,5)7.（5分）曲线f(x)=e x lnx 在x =1处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( )A. e4B. e2C. eD. 2e8.（5分）曲线f(x)=x 2+3x 在点A(1,4)处的切线斜率为( )A. 2B. 5C. 6D. 11二 、多选题（本大题共5小题，共25分） 9.（5分）下列命题中是真命题有()A. 若f′(x0)=0，则x0是函数f(x)的极值点B. 函数y=f(x)的切线与函数可以有两个公共点C. 函数y=f(x)在x=1处的切线方程为2x−y=0，则f′(1)=2D. 若函数f(x)的导数f′(x)<1，且f(1)=2，则不等式f(x)>x+1的解集是(−∞,1)10.（5分）若函数y=f(x)的图象上存在两点，使得函数图象在这两点处的切线互相垂直，则称函数y=f(x)具有“T性质”.则下列函数中具有“T性质”的是()A. y=xe x B. y=cosx+1 C. y=1x3D. y=ln2log2x11.（5分）已知函数f(x)=x+√2x图象上的一条切线与g(x)=x的图象交于点M，与直线x=0交于点N，则下列结论不正确的有()A. 函数f(x)的最小值为2√2B. 函数的值域为(−∞,−2√24]C. |MN|2的最小值为16−8√2D. 函数f(x)图象上任一点的切线倾斜角的所在范围为[0,π4]12.（5分）已知曲线上存在两条斜率为3的不同切线，且切点的横坐标都大于零，则实数a可能的取值()A. 196B. 3 C. 103D. 9213.（5分）设函数f(x)=x−ln|x|x，则下列选项中正确的是()A. f(x)为奇函数B. 函数y=f(x)−1有两个零点C. 函数y=f(x)+f(2x)的图象关于点(0,2)对称D. 过原点与函数f(x)相切的直线有且只有一条三、填空题（本大题共5小题，共25分）14.（5分）已知倾斜角为45°的直线l与曲线y=lnx−2x+1相切，则直线l的方程是 ______.15.（5分）已知曲线C：y=x3−3x2+2x，直线l过(0,0)与曲线C相切，则直线l的方程是______ ．16.（5分）函数f(x)={1−2x,x⩾012x2+2x,x<0，函数g(x)=k(x−2)，若方程f(x)=g(x)恰有三个实数解，则实数k的取值范围为__________.17.（5分）函数f(x)=√4x+1，则函数f(x)在x=2处切线的斜率为 ______.18.（5分）某物体作直线运动，其位移S与时间t的运动规律为S=t+2√t(t的单位为秒，S的单位为米)，则它在第4秒末的瞬时速度应该为______米/秒．四、解答题（本大题共5小题，共60分）19.（12分）已知函数f(x)=x3+x−16．(1)求曲线y=f(x)在点(2,−6)处的切线方程；(2)直线l为曲线y=f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．20.（12分）在抛物线C：y=ax2(a>0)上取两点A(m1,n1),B(m2,n2)，且m2−m1=4，过点A，B分别作抛物线C的切线，两切线交于点P(1,−3).(1)求抛物线C的方程；(2)设直线l交抛物线C于M，N两点，记直线OM，ON(其中O为坐标原点)的斜率分别为k OM,k ON，且k OM.k ON=−2，若ΔOMN的面积为2√3，求直线l的方程.21.（12分）已知函数f(x)=(x+a)lnx，g(x)=x 2e x.已知曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线2x−y=0平行．(1)求a的值；(2)证明：方程f(x)=g(x)在(1,2)内有且只有一个实根．22.（12分）设f(x)=ae x+1ae x+b(a>0)(I)设曲线y=f(x)在点(2,f(2))的切线方程为y=32x；求a，b的值．(II)求f(x)在[0,+∞)上的最小值．23.（12分）已知曲线y=13x3+43，(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程；(3)求斜率为4的曲线的切线方程．参考答案与解析1.【答案】B;【解析】解：∵函数f(x)在x=4处的切线方程为y=3x+5，∴f′(4)=3，又f(4)=3×4+5=17，∴f(4)+f′(4)=17+3=20.故选：B.由已知可得f′(4)，在切线方程中取x=4求得f(4)，则答案可求．此题主要考查对数的几何意义及其应用，是基础题．2.【答案】A;【解析】此题主要考查导数的几何意义，函数的奇偶性，直线的点斜式方程，属于基础题.求导函数f′(x)，由f′(x)是偶函数求出a的值，然后根据导数的几何意义求切线方程.解：由f(x)=x3+ax2+(a−2)x，得，f′(x)=3x2+2ax+(a−2)，又∵f′(x)是偶函数，∴2a=0，即a=0，∴f′(x)=3x2−2，∴曲线y=f(x)在原点处的切线斜率为−2，曲线y=f(x)在原点处的切线方程为y=−2x，故选A.3.【答案】D;【解析】解：函数f(x)=x2+lnx的导数为f′(x)=2x+1x，在(a,f(a))处的切线的斜率为2a+1a，由切线与直线2x+6y−5=0垂直，可得−13(2a+1a)=−1，解得a=1或12，故选：D．求得f(x)的导数，由导数的几何意义可得切线的斜率，再由两直线垂直的条件，解方程可得所求值．此题主要考查导数的运用：求切线的斜率，以及两直线垂直的条件，考查方程思想和运算能力，属于基础题．4.【答案】C;【解析】此题主要考查了方程的根与函数的图象之间的关系应用及学生的作图能力，同时考查了导数的几何意义的应用，属于中档题．方程f(x)=kx恰有两个不同实数根，等价于y=f(x)与y=kx有2个交点，又k表示直线y= kx的斜率，求出k的取值范围．解：画出函数f(x)图象，可求得函数f(x)=ln(x+1)(−1<x⩽14)图象在点O(0,0)处的切线方程为y=x，过点O(0,0)且与函数f(x)=x2+14(x>14)图象相切的直线方程也为y=x，即得直线y=x为函数f(x)图象的切线，且有两个切点，切点为O(0,0)和A(12,12 )，关于x的方程f(x)−kx=0恰有2个实数解当且仅当直线y=kx函数f(x)图象有两个公共点，由图可知当且仅当k OB⩽k⩽k OA时符合题意，又k OA=1，k OB=ln(14+1)14=4ln54，则求得4ln54⩽k⩽1.故选C.5.【答案】C;【解析】解：∵y =13x 3，∴y ′=x 2，设曲线y =13x 3 在x =1处切线的倾斜角为α，根据导数的几何意义可知，切线的斜率k =y ′|x=1=12=1=tan α， ∴α=π4，即倾斜角为π4． 故选C ．欲求在x =1处的切线倾斜角，先根据导数的几何意义可知k =y ′|x=1，再结合正切函数的值求出角α的值即可．该题考查了导数的几何意义，以及利用正切函数的性质可求倾斜角，本题属于容易题．6.【答案】B;【解析】解：f(x)=x 4−4x 的导数为f ′(x)=4x 3−4， 设切点为A(m,n)，则n =m 4−4m ， 可得切线的斜率为k =4m 3−4=0， 解得m =1，n =−3.即A(1,−3)． 故选：B ．求得函数的导数，设出切点A(m,n)，代入函数式，求得切线的斜率，令它为0，解得m ，n ，进而得到切点A 的坐标．该题考查导数的运用：求切线的斜率，考查导数的几何意义，设出切点和正确求导是解答该题的关键，属于基础题．7.【答案】B; 【解析】此题主要考查导数的几何意义及三角形面积公式，属于基础题，先求出曲线f(x)=e x lnx 在x =1处的切线方程，再其求与坐标轴的交点即可求得三角形面积;解：f ′(x)=e xlnx +e x x，则f ′(1)=e ，f(1)=0，∴曲线f(x)=e x lnx 在x =1处的切线方程为y =e(x −1)，令x=0，得y=−e，令y=0，得x=1，∴切线与坐标轴围成的三角形面积为S=12×e×1=e2.故选B.8.【答案】B;【解析】解：函数的导数为f′(x)=2x+3，所以函数在A(1,4)处的切线斜率k=f′(1)=2+3=5．故选：B．求曲线在点处得切线的斜率，就是求曲线在该点处得导数值．该题考查了导数的几何意义．导数的几何意义是指函数y=f(x)在点x0处的导数是曲线y= f(x)在点P(x0,y0)处的切线的斜率．它把函数的导数与曲线的切线联系在一起，使导数成为函数知识与解析几何知识交汇的一个重要载体．9.【答案】BCD;【解析】此题主要考查极值的概念，导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性，利用单调性求解不等式，属于中档题．由题意结合知识点，逐个选项分析即可.解：选项A，若f′(x0)=0，x0不一定是函数f(x)的极值点，例如函数f(x)=x3，f′(0)=0，但x=0不是极值点，故错误；选项B，函数y=f(x)的切线与函数可以有两个公共点，例如函数f(x)=x3−3x，在x=1处的切线为y=−2与函数还有一个公共点为(−2,−2)，故正确；选项C，因为函数y=f(x)在x=1处的切线方程为2x−y=0，所以f′(1)=2，故正确. 选项D，令g(x)=f(x)−x−1，因为函数f(x)的导数f′(x)<1，则g′(x)=f′(x)−1<0，所以函数g(x)=f(x)−x−1在R上单调递减，又g(1)=f(1)−2=0，由不等式f(x) > x+1得g(x) > 0=g(1)，得x 1，所以不等式f(x) > x+1的解集是(−∞,1)，故正确．故选BCD.10.【答案】AB;【解析】解：由题意，可知若函数y =f(x)具有“T 性质”，则存在两点， 使得函数在这两点处的导数值的乘积为−1， 对于A ，(xe x )′=1−x e x，满足条件；对于B ，(cosx +1)′=−sinx ，满足条件；对于C ，(1x 3)′=−3x 4<0恒成立，负数乘以负数不可能得到−1，不满足条件；对于D ，(ln2log 2x)′=ln2.1xln2=1x >0恒成立，正数乘以正数不可能得到−1，不满足条件． 故选：AB.分别求出四个选项中函数的导函数，看是否满足存在两点，使得函数在这两点处的导数值的乘积为−1即可．此题主要考查导数的几何意义及应用，考查化归与转化思想，关键是熟记基本初等函数的导函数，是中档题．11.【答案】ABD; 【解析】此题主要考查导数的运算和几何意义以及基本不等式求最值，属于中档题. 由题意和导数的运算结合基本不等式，逐个选项验证正误即可. 解：已知f(x)=x +√2x，当x >0时，f(x)=x +√2x⩾2√24，当x <0时，f(x)=x +√2x⩽−2√24，故选项A 、B 不正确;设直线l 与函数f(x)的图象相切于点(x 0,x 02+√2x 0)，函数f(x)的导函数为f ′(x)=1−√2x 2=x 2−√2x 2，则直线l 的方程为y −x 02+√2x 0=x 02−√2x 02(x −x 0)，即y =x 02−√2x 02x +2√2x 0，直线l 与g(x)=x 的交点为M(2x 0,2x 0)，与x =0的交点为N(0,2√2x 0)， 所以|MN|2=4x 02+(2x 0−2√2x 0)2=8x 02+8x 02−8√2⩾16−8√2，当且仅当x 02=1时取等号，故选项C 正确; f ′(x)=1−√2x 2=x 2−√2x 2⩽1，可知切线斜率可为负值，即倾斜角可以为钝角，故选项D 不正确.故选ABD.12.【答案】AC;【解析】此题主要考查导数的几何意义和二次方程的实根的分布，考查运算能力，属于中档题．求出导数，由题意可得2x2−2x+a=3有两个不相等的正根，由此列出不等式组即可得到a 的取值范围，进而可得a的可能取值．解：f(x)=23x3−x2+ax−1的导数为f′(x)=2x2−2x+a，由题意可得2x2−2x+a=3有两个不相等的正根，则{Δ=28−8a>0a−32>0，解得3<a<72，故选：AC.13.【答案】BCD;【解析】解：函数f(x)=x−ln|x|x的定义域为{ x|x≠0}，f(−x)+f(x)=1−ln|−x|−x +1−ln|x|x=2≠0，所以f(x)不为奇函数，故A错误；由f(x)=1，可得ln|x|x=0，解得x=±1，故y=f(x)−1有两个零点，故B正确；由f(−x)+f(−2x)+f(x)+f(2x)=[f(−x)+f(x)]+[f(−2x)+f(2x)]=2+2=4，则函数y=f(x)+f(2x)的图象关于点(0,2)对称，故C正确；当x>0时，f(x)=1−lnxx ，f′(x)=−1−lnxx2，设过原点与f(x)相切的切点为(m,n)，则切线的方程为y−n=lnm−1m2(x−m)，即y−1+lnmm =lnm−1m2(x−m)，代入(0,0)，可得1+m=2lnm，设g(m)=2lnm−1−m，g′(m)=2m−1，当0<m<2时，g(m)递增，m>2时，g(m)递减，则g(m)的最大值为g(2)=2ln2−3<0，所以x>0时，不存在过原点的切线；当x<0时，f(x)=1−ln(−x)x ，f′(x)=−1−ln(−x)x2，设过原点与f(x)相切的切点为(s,t)(s<0)，则切线的方程为y−t=ln(−s)−1s2(x−s)，即y−1+ln(−s)s =ln(−s)−1s2(x−s)，代入(0,0)，可得1+s=2ln(−s)，设g(s)=2ln(−s)−1−s，g′(m)=2s−1<0，所以g(s)递减，则g(s)只有一个零点，所以x<0时，只存在一条过原点的切线．综上可得存在一条过原点的切线，故D正确．故选：BCD.由函数的奇偶性和零点、对称性、导数的几何意义，可得结论．此题主要考查导数的运用：求切线的方程，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．14.【答案】x−y+ln2−2=0;【解析】由直线的倾斜角求得直线的斜率，求出原函数的导函数，由导函数值为1求解切点坐标，再由直线方程的点斜式得答案．此题主要考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，熟记基本初等函数的导函数是关键，是基础题．解：直线的倾斜角为45°，则直线的斜率为tan45°=1，由y=lnx−2x +1，得y′=1x+2x2，由y′=1x +2x2=1，解得x=−1(舍去)或x=2.∴切点坐标为(2,ln2)，则直线l的方程为y−ln2=1×(x−2)，即x−y+ln2−2=0.故答案为：x−y+ln2−2=0.15.【答案】y=−x或y=−14x或y=2x;【解析】求出函数的导数，结合直线关系即可得到结论．这道题主要考查函数的切线的求解，根据函数导数的几何意义是解决本题的关键．注意要进行分类讨论．解：函数的导数为f ′(x)=3x 2−6x +2， 设切点为(a,b)，则k =f ′(a)=3a 2−6a +2，b =a 3−3a 2+2a ， 则切线的方程y −b =(3a 2−6a +2)(x −a)， 即y =(3a 2−6a +2)x −2a 3+9a 2−4a ， ∵直线l 过点(0,0)， ∴−2a 3+9a 2−4a =0， 即2a 3−9a 2+4a =0， 则a(a −4)(2a −1)=0， 解得a =0或a =4或a =12，当a =1时，对应的直线方程为y =−x ， 当a =12时，对应的直线方程为y =−14x ， 当a =0时，对应的直线方程为y =2x ， 故答案为：y =−x 或y =−14x 或y =2x16.【答案】(0,4-2√3) ; 【解析】此题主要考查函数的零点与方程的根之间的关系，函数的导数求解切线方程，考查数形结合以及计算能力，是难题．画f(x)={1−2x ,x ⩾012x 2+2x,x <0，的图象，结合直线g(x)=k(x −2)过定点(2,0)，函数g(x)的图象与f(x)=12x 2+2x ，x <0的图象相切时，函数f(x)，g(x)的图象恰有两个交点．设切点为P(x 0,y 0)，由f ˈ(x)=x +2，x <0，求出切线的斜率，利用函数的图象的交点个数与函数的零点个数，推出k 的范围即可．解：依题意，画出f(x)={1−2x,x⩾012x2+2x,x<0的图象如图：因为直线g(x)=k(x−2)过定点(2,0)，由图象可知，当函数g(x)的图象与f(x)=12x2+2x，x<0的图象相切时，函数f(x)，g(x)的图象恰有两个交点．下面利用导数法求该切线的斜率．设切点为P(x0,y0)，由fˈ(x)=x+2，x<0，则k=f′(x0)=x0+2=12x02+2x0x0-2，解得x0=2+2√3(舍去)或x0=2-2√3，则k=4−2√3，要使方程f(x)=g(x)恰有三个实数解，则函数f(x)，g(x)的图象恰有三个交点，结合图象可的实数k的取值范围为(0,4-2√3)，故答案为(0,4-2√3).17.【答案】23;【解析】解：由f(x)=√4x+1，得f′(x)=2(4x+1)−1 2，所以函数f(x)在x=2处切线的斜率k=f′(2)=23.故答案为：23.对f(x)求导，根据导数的几何意义，得到f(x)在x=2处的切线斜率．此题主要考查了利用导数研究函数的切线方程和导数的几何意义，属基础题．18.【答案】32;【解析】解：S=t+2√t，∴S′=1+√t，∴它在4秒末的瞬时速度为1+√4=32，故答案为：32．物理中的瞬时速度常用导数来求，故求出S的导数，代入4求值．该题考查变化的快慢与变化率，解答本题关键是理解导数的物理意义，由此转化为求导数的问题．19.【答案】解：(1)∵f′(x)=(x3+x−16)′=3x2+1，∴在点(2,−6)处的切线的斜率k=f′(2)=3×22+1=13，∴切线的方程为y=13x−32．(2)设切点为(x0,y0)，则直线l的斜率为f′(x0)=3x02+1，∴直线l的方程为y=(3x02+1)(x−x0)+x03+x0−16．又∵直线l过点(0,0)，∴0=(3x02+1)(−x0)+x03+x0−16，整理，得x03=−8，∴x0=−2，∴y0=(−2)3+(−2)−16=−26，直线l的斜率k=3×(−2)2+1=13，∴直线l的方程为y=13x，切点坐标为(−2,−26)．;【解析】(1)先求出函数的导函数，再求出函数在(2,−6)处的导数即斜率，易求切线方程．(2)设切点为(x0,y0)，则直线l的斜率为f′(x0)=3x02+1，从而求得直线l的方程，有条件直线1过原点可求解切点坐标，进而可得直线1的方程．此题主要考查直线的点斜式方程，属基础题型，较为简单．20.【答案】解：(1)由y=ax2(a>0)得y′=2ax(a>0)，则曲线在点A处的切线斜率为2am1，曲线在点A处的切线方程为y−am12=2am1(x−m1)，曲线在点A处的切线过点P(1,−3)，故am12−2am1−3=0①，同理可得曲线y=ax2(a>0)在点B处的切线方程为y−am22=2am2(x−m2)，∴am12−2am1−3=0②，①−②得m1+m2=2，m2−m1=4，∵m2−m1=4，∴m1=−1,m2=3，将m1=−1代入①，可得a=1，故抛物线方程为x2=y;(2)由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx+b，与抛物线C的交点为M(x1,x12),N(x2,x22)，联立得{y=kx+bx2=y，得x2−kx−b=0，∴x1+x2=k,x1.x2=−b，∴k OM.k ON=x12x1.x22x2=x1x2=−2，可得b=2，∴直线l经过点(0,2)，∴SΔ=12×|OP|×|x1−x2|=2√3，∴|x1−x2|=2√3，∴k2=4，∴k=±2，经检验k=±2,b=2符合题意，∴直线l的方程为y=2x+2或y=2x−2.;【解析】此题主要考查了直线与抛物线涉及到利用导数求曲线的切线方程、抛物线的几何性质、直线方程的求法等知识，综合性较强.(1)利用导数，可以求出曲线在点A，B处的切线斜率为2am1，2am2，从而求出切线方程，得到关于m1,m2的关系式，可以求出m的值，从而求出切线方程；(2)设直线l的方程为y=kx+b，与抛物线C的交点为M(x1,x12),N(x2,x22)，联立得{y=kx+bx2=y，得x1+x2=k,x1.x2=−b，求出b=2，根据题意列方程求出k的值，从而求出直线方程.21.【答案】（本题满分为12分）解：（1）f′(x)=lnx+ax+1，由题意知，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为2，则f'（1）=2，所以a+1=2，解得a=1．…（4分）（2）令ˈ(x)=f(x)−g(x)=(x+1)lnx−x 2e x，x∈（1，2），则ˈ(1)=−1e ＜0，ˈ(2)=3ln2−4e2＞0，所以h（1）h（2）＜0，所以函数h（x）在（1，2）内一定有零点，…（8分）可得ˈ′(x)=lnx+x+1x −2x−x2e x(e x)2=lnx+1x+1−−(x−1)2+1e x＞1−1e＞0，∴h（x）在（1，2）上单调递增，所以函数h（x）在（1，2）内有且只有一个零点，即方程f（x）=g（x）在（1，2）内有且只有一个实根．…（12分）;【解析】(1)求得f(x)的导数，可得x=1处切线的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，解方程即可得到所求值．(2)令ˈ(x)=f(x)−g(x)=(x+1)lnx−x2e x ，x∈(1,2)，由ˈ(1)=−1e<0，ˈ(2)=3ln2−4e2>0，可得函数ˈ(x)在(1,2)内一定有零点，进而证明ˈ′(x)>0，可得ˈ(x)在(1,2)上单调递增，即可得证．此题主要考查导数的运用：求切线的斜率，考查两直线平行的条件：斜率相等，考查函数的零点判定定理，正确求导是解答该题的关键，属于中档题．22.【答案】解：（I ）由题意得，f(x)=ae x +1aex+b ，则f ′(x)=ae x −1ae x，因为在点（2，f （2））的切线方程为y=32x ，所以{(f(2)=3f ′(2)=32)， 即{(ae 2+1ae 2+b =3ae 2−1ae 2=32)，解得{(a =2e 2b =12)…（6分）（Ⅱ）设t=e x （t ≥1），则原函数化为：y =at +1at +b ， 所以y ′=a −1at 2=a 2t 2−1at 2，令y ′=0，解得t=±1a ，（1）当a ≥1时，则y ′＞0在[1，+∞）上成立， 所以函数y =at +1at +b 在[1，+∞）上是增函数， 则当t=1（x=0）时，函数f （x ）取到最小值是a +1a +b ； （2）当0＜a ＜1时，y =at +1at +b ≥2+b ，当且仅当at=1（t=e x =1a ＞1，则x=-lna ）时，取等号， 此时函数f （x ）取到最小值是b+2，综上可得，当a ≥1时，函数f （x ）的最小值是a +1a +b ； 当0＜a ＜1时，函数f （x ）的最小值是b+2．…（12分）; 【解析】(Ⅰ)由求导公式和法则求出f ′(x)，根据导数的几何意义和条件列出方程组，求出a 、b 的值； (Ⅱ)设t =e x (t ⩾1)，代入原函数化简并求出导数，根据临界点和区间对a 进行分类讨论，利用导数与单调性、基本不等式求出函数的最小值．此题主要考查求导公式和法则，导数的几何意义，以及导数与函数单调性、基本不等式求函数的最值问题，属于中档题．23.【答案】解：(1)∵P(2,4)在曲线y =13x 3+43上，且y ′=x 2 ∴在点P(2,4)处的切线的斜率k =y ′|x=2=4；∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y −4=4(x −2)，即4x −y −4=0．(2)设曲线y =13x 3+43与过点P(2,4)的切线相切于点A(x 0,13x 03+43)，则切线的斜率k=y′|x=x=x02，∴切线方程为y−(13x03+43)=x02(x−x0)，即y=x02.x−23x03+43∵点P(2,4)在切线上，∴4=2x02−23x03+43，即x03−3x02+4=0，∴x03+x02−4x02+4=0，∴(x0+1)(x0−2)2=0解得x0=−1或x0=2故所求的切线方程为4x−y−4=0或x−y+2=0．(3)设切点为(x0,y0)则切线的斜率为k=x02=4，x0=±2.切点为(2,4)，(−2,−43)∴切线方程为y−4=4(x−2)和y+43=4(x+2)即4x−y−4=0和12x−3y+20=0．;【解析】该题考查学生会利用导数研究曲线上某点的切线方程，是一道综合题．学生在解决此类问题一定要分清“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”；同时解决“过某点的切线”问题，一般是设出切点坐标解决．(1)根据曲线的解析式求出导函数，把P的横坐标代入导函数中即可求出切线的斜率，根据P的坐标和求出的斜率写出切线的方程即可；(2)设出曲线过点P切线方程的切点坐标，把切点的横坐标代入到(1)求出的导函数中即可表示出切线的斜率，根据切点坐标和表示出的斜率，写出切线的方程，把P的坐标代入切线方程即可得到关于切点横坐标的方程，求出方程的解即可得到切点横坐标的值，分别代入所设的切线方程即可；(3)设出切点坐标，由切线的斜率为4，把切点的横坐标代入导函数中求出的函数值等于4列出关于切点横坐标的方程，求出方程的解即可得到切点的横坐标，代入曲线方程即可求出相应的纵坐标，根据切点坐标和斜率分别写出切线方程即可．。
全国高二高中数学单元试卷带答案解析
全国高二高中数学单元试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.抛物线的准线方程是()A．B．C．D．2.“1＜m＜3”是“方程表示椭圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3.直线经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为() A．B．C．D．4.是任意实数，则方程表示的曲线不可能是()A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆5.已知双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．6.设圆锥曲线的两个焦点分别为，若曲线上存在点满足，则曲线的离心率等于()A．或B．或C．或D．或7.已知双曲线的两条渐近线均和圆相切，且双曲线的右焦点为圆的圆心，则该双曲线的方程为()A．B．C．D．8.若点P到直线x＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P的轨迹为()A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线9.已知双曲线（b>0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为A．B．C．D．10.已知,分别在轴和轴上运动，为原点，,点的轨迹方程为（）. A．B．C．D．11.探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口的直径为，灯深，则抛物线的标准方程可能是()A．B．C．D．12.已知直线与抛物线相交于两点，为的焦点，若,则A．B．C．D．二、填空题1.以双曲线的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为________．2.设为曲线的焦点，是曲线与的一个交点，则的面积为________．3.已知点，直线，点是直线上的一点。
若，则点的轨迹方程为_________4.已知二次曲线，当时，该曲线的离心率的取值范围是________．三、解答题1.已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线的一个焦点，并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直，抛物线与双曲线交于点，求抛物线的方程和双曲线的方程．2.已知抛物线方程为，在轴上截距为的直线与抛物线交于两点，为坐标原点．若，求直线的方程．3.设、分别为双曲线的左右项点，双曲线的实轴长为,焦点到渐近线的距离为. （1）求双曲线的方程；（2）已知直线与双曲线的右支交于、两点，且在双曲线的右支上存在点使，求的值及点的坐标.4.已知椭圆及直线.(1)当直线与该椭圆有公共点时，求实数的取值范围；(2)求直线被此椭圆截得的弦长的最大值．5.已知点，椭圆的离心率为是椭圆的右焦点，直线的斜率为为坐标原点．(1)求的方程；(2)设过点的动直线与相交于两点，当的面积最大时，求的方程．6.已知椭圆的离心率，过点和的直线与原点的距离为．（1）求椭圆的方程．（2）已知定点，若直线与椭圆交于两点．问：是否存在的值，使以为直径的圆过点?请说明理由．全国高二高中数学单元试卷答案及解析一、选择题1.抛物线的准线方程是()A．B．C．D．【答案】D【解析】选D由抛物线方程，可知抛物线的准线方程是.2.“1＜m＜3”是“方程表示椭圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】方程表示椭圆可得或，所以“1＜m＜3”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件【考点】椭圆方程及充分条件必要条件3.直线经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为()A．B．C．D．【答案】B【解析】不妨设直线，即椭圆中心到的距离，故选B.【考点】1、直线与椭圆；2、椭圆的几何性质.【方法点晴】本题考查直线与椭圆、椭圆的几何性质，涉及方程思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 不妨设直线，即椭圆中心到的距离，利用方程思想和数形结合思想建立方程是本题的关键节点.4.是任意实数，则方程表示的曲线不可能是()A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆【答案】C【解析】选C由于，对的值举例代入判断．可以等于1，这时曲线表示圆，可以小于0，这时曲线表示双曲线，可以大于0且小于1，这时曲线表示椭圆．5.已知双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意知2b=2,2c=2,∴b=1,c=,a2=c2-b2=2,a=,∴渐近线方程为y=±x=±x=±x.故选C.6.设圆锥曲线的两个焦点分别为，若曲线上存在点满足，则曲线的离心率等于()A．或B．或C．或D．或【答案】A【解析】选A设|PF1|＝4k，|F1F2|＝3k，|PF2|＝2k.若曲线C为椭圆，则2a＝6k,2c＝3k，∴e＝；若曲线C为双曲线，则2a＝2k,2c＝3k，∴e＝.7.已知双曲线的两条渐近线均和圆相切，且双曲线的右焦点为圆的圆心，则该双曲线的方程为()A．B．C．D．【答案】A【解析】选A圆心的坐标是(3,0)，圆的半径是2，双曲线的渐近线方程是bx±ay＝0，c＝3，根据已知得，即，解得b＝2，则a2＝c2－b2＝5，故所求的双曲线方程是.8.若点P到直线x＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P的轨迹为()A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线【答案】D【解析】依题意，点P到直线x＝－2的距离等于它到点(2,0)的距离，故点P的轨迹是抛物线．9.已知双曲线（b>0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为A．B．C．D．【答案】D【解析】根据对称性，不妨设在第一象限，则，∴，故双曲线的方程为，故选D.【考点】双曲线的渐近线【名师点睛】求双曲线的标准方程时注意：（1）确定双曲线的标准方程也需要一个“定位”条件，两个“定量”条件，“定位”是指确定焦点在哪条坐标轴上，“定量”是指确定a，b的值，常用待定系数法．（2）利用待定系数法求双曲线的标准方程时应注意选择恰当的方程形式，以避免讨论．①若双曲线的焦点不能确定时，可设其方程为Ax2＋By2＝1（AB＜0）．②若已知渐近线方程为mx＋ny＝0，则双曲线方程可设为m2x2－n2y2＝λ（λ≠0）．10.已知,分别在轴和轴上运动，为原点，,点的轨迹方程为（）. A．B．C．D．【答案】A【解析】设动点坐标为由得：即故选A．【点睛】本题考查轨迹方程的求法，其中合理准确运用利用相关点法是解题的关键11.探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口的直径为，灯深，则抛物线的标准方程可能是( ) A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】选C 如果设抛物线的方程为y 2＝2px (p ＞0)，则抛物线过点(40,30)，从而有302＝2p ×40，即2p ＝，所以所求抛物线方程为y 2＝x .虽然选项中没有y 2＝x ，但C 中的2p ＝符合题意．12.已知直线与抛物线相交于两点，为的焦点，若,则A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】抛物线的准线为l ：x=-2，直线y=k （x+2）（k ＞0）恒过定点P （-2，0），如图过A 、B 分别作AM ⊥l 于M ，BN ⊥l 于N ，由|FA|=2|FB|，则|AM|=2|BN|，点B 为AP 的中点、连接OB ，则|OB|= |AF|，∴|OB|=|BF|，点B 的横坐标为1，故点B 的坐标为（1，）∵P （-2，0）， ∴k=故选D ．【考点】直线与圆锥曲线的关系．二、填空题1.以双曲线的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为________．【答案】【解析】双曲线焦点(±4,0)，顶点(±2,0)，故椭圆的焦点为(±2,0)，顶点(±4,0)． 答案：2.设为曲线的焦点，是曲线与的一个交点，则的面积为________． 【答案】【解析】由题意知|F 1F 2|＝，设P 点坐标为(x ，y )．由 得则S △PF 1F 2＝|F 1F 2|·|y |＝×4×＝.答案：3.已知点，直线，点是直线上的一点。
高二数学单元测试二
第1页 共1页高二数学单元测试二班 号姓名一．填空题（每小题6分，共36分）1．一个长方体的长、宽、高之比为5：4：3，对角线长为20cm ，则它的长、宽、高分别为 、 、 。
2．侧棱的长为5cm ，高为3cm 的正三棱锥的底面积为 。
3．正四棱锥的侧棱与底面所成角为450，那么侧面与底面所成的二面角的余弦值是 。
4．在直平行六面体ABCD-A 1B 1CD 1中，AB=5cm, AD=3cm, AA 1=4cm, ∠DAB=600，则对角线AC 1= 。
5．正三棱台的高为2a ，上、下底边长为a 、3a ，那么过棱台高的中点且与底面平行的截面面积为 。
6．正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的棱长均为a ，过BC 边作与底面成θ角的截面， （1）当θ=300时，截面面积为 （2）当θ=600时，截面面积为二．选择题（每小题6分，共24分）7．如果正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，那么四面体A 1-BCD 的体积是（ ） (A)21a 3 (B)31a 3 (C)41a 3 (D)61a 38．A={四棱柱}，B={平行六面体}，C={长方体}，D={正四棱柱}，这四个集合的包含关系是 （ ） (A)D C B A ⊃⊃⊃ (B)C D B A ⊃⊃⊃ (C)D C B A ⊂⊂⊂ (D)C D B A ⊂⊂⊂9．正棱锥的高和底面边长都缩短为原来的一半时，则它的体积为原来的（ ） (A)21 (B)41 (C)81 (D)22110．“三棱锥的三条侧棱两两互相垂直”是“顶点在底面上的射影为底面三角形的垂心”的 （ ） (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分又不必要条件三．解答题（第11题10分，第12、13题各15分，共40分） 11．如图，已知长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱A 1A=2cm, AB=AD=4cm ，求点A 1到平面AB 1D 1的距离。
苏教版数学高二数学苏教版选修2-2单元测试 第2章推理与证明
第2章过关检测(时间90分钟，满分100分)一、填空题(本大题共14小题，每小题4分，满分56分)1．如果f (x ＋y )＝f (x )f (y )，且f (1)＝1，则f (2)f (1)＋f (3)f (2)＋…＋f (2 010)f (2 009)等于__________．2．若从点O 所作的两条射线OM 、ON 上分别有点M 1、M 2与点N 1、N 2，则三角形面积之比为：S △OM 1N 1S △OM 2N 2＝OM 1OM 2·ON 1ON 2.若从点O 所作的不在同一个平面内的三条射线OP 、OQ和OR 上分别有点P 1、P 2与点Q 1、Q 2和R 1、R 2，则类似的结论为：__________.3．根据图中的5个图形及相应的点的个数的变化规律，试猜测第n 个图中有__________个点．4．三段论：“①只有船准时起航，才能准时到达目的港；②这艘船是准时到达目的港的；③所以这艘船是准时起航的．”中的“小前提”是__________．5．设S (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋1n 2，则S (n )共有__________项，S (2)＝__________.6．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1(n ∈N *)的过程如下： ①当n ＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立． ②假设当n ＝k 时，等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k －1， 则当n ＝k ＋1时，1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k ＝1－2k ＋11－2＝2k ＋1－1，所以当n ＝k ＋1时等式成立． 由此可知对任何n ∈N *，等式都成立． 上述证明的错误是__________．7．F (n )是一个关于自然数n 的命题，若F (k )(k ∈N *)真，则F (k ＋1)真，现已知F (7)不真，则有①F (8)不真；②F (8)真；③F (6)不真；④F (6)真；⑤F (5)不真；⑥F (5)真．其中真命题是__________．8．从1＝1,1－4＝－(1＋2)，1－4＋9＝1＋2＋3,1－4＋9－16＝－(1＋2＋3＋4)，…，归纳出一般的式子是__________．9．已知a ＞b ＞0，且ab ＝1，若0＜c ＜1，p ＝log c a 2＋b 22，q ＝log c (1a ＋b )2，则p 、q的大小关系是__________．10．在椭圆中，我们有如下结论：椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上斜率为1的弦的中点在直线x a 2＋yb 2＝0上，类比上述结论，得到正确的结论为：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上斜率为1的弦的中点在直线__________上．11．在等差数列{a n }中，当a r ＝a s (r ≠s )时，数列{a n }必定是常数列．然而在等比数列{a n }中，对某些正整数r ，s (r ≠s )，当a r ＝a s 时，非常数数列{a n }的一个例子是__________．12．将正奇数排列如下表，其中第i 行第j 个数表示a ij (i ∈N *，j ∈N *)，例如a 32＝9，a ij＝2 009，则i ＋j ＝__________.13．在平面上的n 个圆中，每两个圆都相交，每三个圆不交于一点，则它们把平面分成__________部分．14．{a n }是由非负整数组成的数列，满足a 1＝0，a 2＝3，a n ＋1a n ＝(a n －1＋2)(a n －2＋2)，n ＝3,4,5，…，则a 3＝__________.二、解答题(本大题共4小题，满分44分)15．(10分)如图，已知平面α∩平面β＝直线a ，直线b ⊂α，直线c ⊂β，b ∩a ＝A ，c ∥a .求证：b 与c 是异面直线．16.(10分)已知数列{a n}满足a1＝1，且4a n＋1－a n a n＋1＋2a n＝9(n∈N*)．(1)求a2，a3，a4；(2)由(1)猜想{a n}的通项公式a n，并用数学归纳法证明你的猜想．17．(12分)下列命题是真命题还是假命题，用分析法证明你的结论．命题：若a＞b＞c且a＋b＋c＝0，则b2－aca＜ 3.18．(12分)已知f (n )＝(2n ＋7)·3n ＋9，是否存在自然数m ，使对任意n ∈N *，都有m 整除f (n )？若存在，求出最大值的m 值，并证明你的结论；若不存在，说明理由．参考答案1．2 009 解析：令x ＝n (n ∈N *)，y ＝1得f (n ＋1)＝f (n )·f (1)＝f (n )，所以f (n ＋1)f (n )＝1，所以f (2)f (1)＋f (3)f (2)＋…＋f (2 010)f (2 009)＝1＋1＋…＋1＝2 009. 2.VO —P 1Q 1R 1VO —P 2Q 2R 2＝OP 1OP 2·OQ 1OQ 2·OR 1OR 23．n 2－n ＋1 解析：如设第n 个图中的点数为a n ，则有a 1＝1，a 2＝3＝22－1，a 3＝7＝32－2，a 4＝13＝42－3，a 5＝21＝52－4.故a n ＝n 2－(n －1)＝n 2－n ＋1.4．② 解析：①的意思是：如果船不准时起航，那么它就不能准时到达目的港，它的逆否命题是：如果船准时到达目的港，那么它是准时起航．由此可知，①是大前提，②是小前题．5．n 2－n ＋1 1312解析：从n 到n 2共有n 2－n ＋1个自然数，即S (n )共有n 2－n ＋1项．S (2)＝12＋13＋14＝1312. 6．在证明n ＝k ＋1时，没有用假设n ＝k 时的结论7．③⑤ 解析：“F (k )真⇒F (k ＋1)真”等价于“F (k ＋1)假⇒F (k )假”．8．1－4＋9－16＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n －1·n (n ＋1)2(n ∈N *) 解析：1－4＝－(1＋2)＝(－1)2－1·2(2＋1)2，1－4＋9＝1＋2＋3＝(－1)3－13(3＋1)2，1－4＋9－16＝－(1＋2＋3＋4)＝(－1)4－14(4＋1)2，由此可归纳出结论． 9．p ＞q 解析：∵a 2＋b 22≥ab ＝1，∴p ＝log c a 2＋b 22＜0.又q ＝log c (1a ＋b )2＝log c 1a ＋b ＋2ab＞log c 14ab ＝log c 14＞0，∴q ＞p . 10.x a 2－yb2＝0 11．1，－1,1，－1，…(不唯一)12．60 解析：2 009是正奇数1,3,5，…中的第1 005个，则1 005＝1＋2＋3＋…＋(i －1)＋j ＝(i －1)i2＋j .估算：当i ＝45时，(i －1)i2＝990，j ＝15，所以i ＋j ＝60.13．n 2－n ＋2 解析：n ＝1时，a 1＝2； n ＝2时，a 2＝4＝a 1＋2＝a 1＋2×1； n ＝3时，a 3＝8＝a 2＋4＝a 2＋2×2； n ＝4时，a 4＝14＝a 3＋6＝a 3＋2×3； …a n ＋1＝a n ＋2n .由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2a n ＋1＝a n＋2n⇒a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2(n －1)＋2(n －2)＋…＋2×1＋2＝n 2－n ＋2.14．2 解析：由已知a 4a 3＝(a 2＋2)(a 1＋2)＝5×2＝10×1， ∴a 3可能取值1,2,5,10. 若a 3＝1，a 4＝10，从而a 5＝(a 3＋2)(a 2＋2)a 4＝1510＝32，显然a 5不是非负整数，与题设矛盾． 若a 3＝10，则a 4＝1，从而a 5＝60. 但再计算a 6＝35，也与题设矛盾．∴a 3＝2，a 4＝5(或a 3＝5，a 4＝2⇒a 5∉N *，舍去)． 15．证明：假设b 、c 不是异面直线，即b 与c 共面， 设b 与c 确定的平面为γ，则γ∩α＝b ，γ∩β＝c ， ∵a ∥c ，∴α∥γ.又a ⊂α，且α∩γ＝b ， ∴a ∥b ，这与a ∩b ＝A 矛盾．因此b 与c 不可能共面，故b 与c 是异面直线． 16．解：(1)由4a n ＋1－a n a n ＋1＋2a n ＝9得 a n ＋1＝9－2a n 4－a n ＝2－1a n －4，求得a 2＝73，a 3＝135，a 4＝197.(2)猜想a n ＝6n －52n －1.证明：①当n ＝1时，猜想成立．②设当n ＝k 时(k ∈N ＋)时，猜想成立，即a k ＝6k －52k －1，则当n ＝k ＋1时，有a k ＋1＝2－1a k －4＝2－16k －52k －1－4＝6k ＋12k ＋1＝6(k ＋1)－52(k ＋1)－1，所以当n ＝k ＋1时猜想也成立．③综合①②，猜想对任何n ∈N ＋都成立． 17．解：此命题是真命题．∵a ＋b ＋c ＝0，a ＞b ＞c ，∴a ＞0，c ＜0. 要证b 2－ac a ＜3成立，只要证b 2－ac ＜3a ，即证b 2－ac ＜3a 2，也就是证(a ＋c )2－ac ＜3a 2，即证(a－c)(2a＋c)＞0，∵a－c＞0,2a＋c＝(a＋c)＋a＝a－b＞0，∴(a－c)(2a＋c)＞0成立．故原不等式成立．18．解：由f(1)＝36，f(2)＝108，f(3)＝360，f(4)＝1 224，猜想f(n)被36整除．证明：①当n＝1时，猜想显然成立．②设n＝k时，f(k)能被36整除．则n＝k＋1时，f(k＋1)＝[2(k＋1)＋7]·3k＋1＋9＝3[(2k＋7)·3k＋9]＋18(3k－1－1)，根据假设3[2(k＋7)·3k＋9]被36整除，而3k－1－1是偶数，∴18(3k－1－1)能被36整除，从而f(k＋1)能被36整除．综上所述，n∈N*时，f(n)能被36整除，由于f(1)＝36，故36是整除f(n)的自然数中的最大数．。
新人教A版)2020高中数学第三章直线与方程单元测试(二)必修2
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知直线l 经过两点()()1,2,2,1P Q -，那么直线l 的斜率为（ ）A ．3-B ．13-C ．13D ．32．直线l 过点P (－1,2)，倾斜角为45°，则直线l 的方程为（ ） A ．x －y ＋1＝0 B ．x －y －1＝0 C ．x －y －3＝0D ．x －y ＋3＝03．如果直线ax ＋2y ＋2＝0与直线3x －y －2＝0平行，则a 的值为（ ） A ．－3 B ．－6C ．32D ．234．直线2x a －2y b ＝1在y 轴上的截距为（ ） A ．|b |B ．－b 2C ．b 2D ．±b5．已知点A (3,2)，B (－2，a )，C (8,12)在同一条直线上，则a 的值是（ ） A ．0B ．－4C ．－8D ．46．如果AB <0，BC <0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不经过（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．已知点A (1，－2)，B (m,2)，且线段AB 的垂直平分线的方程是x ＋2y －2＝0， 则实数m 的值是（ ） A ．－2B ．－7C ．3D ．18．经过直线l 1：x －3y ＋4＝0和l 2：2x ＋y ＝5＝0的交点，并且经过原点的直线方程是（ ） A ．19x －9y ＝0 B ．9x ＋19y ＝0 C ．3x ＋19y ＝0D ．19x －3y ＝09．已知直线(3k －1)x ＋(k ＋2)y －k ＝0，则当k 变化时，所有直线都通过定点（ ） A ．(0,0)B ．(17，27) C ．(27，17) D ．(17，114) 10．直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是（ ） A ．x ＋2y －1＝0 B ．2x ＋y －1＝0 C ．2x ＋y －3＝0D ．x ＋2y －3＝011．已知直线l 的倾斜角为135°，直线l 1经过点A (3,2)，B (a ，－1)，且l 1与l 垂直，直线l 2：2x ＋by ＋1＝0与直线l 1平行，则a ＋b 等于（ ） A ．－4 B ．－2 C ．0 D ．212．等腰直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，若点A ，C 的坐标分别为(0,4)，(3,3)， 则点B 的坐标可能是（ ） A ．(2,0)或(4,6)B ．(2,0)或(6,4)C ．(4,6)D ．(0,2)二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 13．直线l 与直线y ＝1，x －y －7＝0分别交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M (1，－1)，则直线l 的斜率为_________．14．点A (3，－4)与点B (5,8)关于直线l 对称，则直线l 的方程为_________．15．若动点A ，B 分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则AB 的中点M 到原点的距离的最小值为_________．16．若直线m 被两平行线l 1：x －y ＋1＝0与l 2：x －y ＋3＝0所截得的线段的长为22，则m 的倾斜角可以是①15°；②30°；③45°；④60°；⑤75°，其中正确答案的序号是_________．(写出所有正确答案的序号)三、解答题（本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．(10分)已知直线l 经过点P (－2,5)且斜率为－34，（1）求直线l 的方程；（2）若直线m 平行于直线l ，且点P 到直线m 的距离为3，求直线m 的方程．18．(12分)求经过两直线3x－2y＋1＝0和x＋3y＋4＝0的交点，且垂直于直线x＋3y＋4＝0的直线方程．19．(12分)已知A(4，－3)，B(2，－1)和直线l：4x＋3y－2＝0，求一点P，使|PA|＝|PB|，且点P到直线l的距离等于2．20．(12分)△ABC中，A(0,1)，AB边上的高CD所在直线的方程为x＋2y－4＝0，AC边上的中线BE所在直线的方程为2x＋y－3＝0．（1）求直线AB的方程；（2）求直线BC的方程；（3）求△BDE的面积．21．(12分)直线过点P (43，2)且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，是否存在这样的直线同时满足下列条件： （1）△AOB 的周长为12； （2）△AOB 的面积为6．若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由．22．(12分)在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的长为2，宽为1，AB ，AD 边分别在x 轴、y 轴的正半轴上，A 点与坐标原点重合，如图，将矩形折叠，使A 点落在线段DC 上． （1）若折痕所在直线的斜率为k ，试求折痕所在直线的方程； （2）当－2＋3≤k ≤0时，求折痕长的最大值．答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．【答案】C【解析】根据斜率公式可得，直线l的斜率121213k-==--，故选C．2．【答案】D【解析】由题意k＝tan45°＝1，∴直线l的方程为y－2＝1·(x＋1)，即x－y＋3＝0，故选D．3．【答案】B【解析】由题意得a·(－1)－2×3＝0，∴a＝－6，故选B．4．【答案】B【解析】令x＝0，则y＝－b2，故选B．5．【答案】C【解析】根据题意可知k AC＝k AB，即12283--＝223a---，解得a＝－8，故选C．6．【答案】D【解析】Ax＋By＋C＝0可化为y＝－ABx－CB，由AB<0，BC<0，得－AB>0，－CB>0，故直线Ax＋By＋C＝0经过第一、二、三象限，不经过第四象限．故选D．7．【答案】C【解析】由已知条件可知线段AB的中点(12m+，0)在直线x＋2y－2＝0上，把中点坐标代入直线方程，解得m＝3，故选C．8．【答案】C【解析】解340250x yx y-+=⎧⎨-+=⎩得19737xy⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即直线l1，l2的交点是(－197，37)，由两点式可得所求直线的方程是3x＋19y＝0，故选C．9．【答案】C【解析】直线方程变形为k(3x＋y－1)＋(2y－x)＝0，则直线通过定点(27，17)．故选C．10．【答案】D【解析】将“关于直线对称的两条直线”转化为“关于直线对称的两点”：在直线x－2y＋1＝0上取一点P(3,2)，点P关于直线x＝1的对称点P′(－1,2)必在所求直线上，故选D．11．【答案】B【解析】因为l 的斜率为tan135°＝－1，所以l 1的斜率为1，所以k AB ＝()213a---＝1，解得a ＝0．又l 1∥l 2，所以－2b＝1，解得b ＝－2，所以a ＋b ＝－2，故选B ． 12．【答案】A【解析】设B (x ，y )，根据题意可得1AC BC k k BC AC ⋅=-⎧⎪⎨=⎪⎩，即3431303y x --⎧⋅=-⎪--⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4y ＝6，所以B (2,0)或B (4,6)．故选A ．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 13．【答案】－23【解析】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 22＝－1，又y 1＝1，∴y 2＝－3，代入方程x －y －7＝0，得x 2＝4，即B (4，－3)，又x 1＋x 22＝1，∴x 1＝－2，即A (－2,1)，∴k AB ＝()3142----＝－23．14．【答案】x ＋6y －16＝0【解析】直线l 就是线段AB 的垂直平分线，AB 的中点为(4,2)，k AB ＝6， 所以k l ＝－16，所以直线l 的方程为y －2＝－16(x －4)，即x ＋6y －16＝0．15．【答案】3 2【解析】依题意，知l 1∥l 2，故点M 所在直线平行于l 1和l 2，可设点M 所在直线的方程为l ：x ＋y ＋m ＝0，根据平行线间的距离公式，得|m ＋7|2＝|m ＋5|2⇒|m ＋7|＝|m ＋5|⇒m ＝－6，即l ：x ＋y －6＝0，根据点到直线的距离公式，得M 到原点的距离的最小值为|－6|2＝32．16．【答案】①⑤【解析】两平行线间的距离为d ＝|3－1|1＋1＝2，由图知直线m 与l 1的夹角为30°，l 1的倾斜角为45°，所以直线m 的倾斜角等于30°＋45°＝75°或45°－30°＝15°．三、解答题（本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．【答案】（1）3x ＋4y －14＝0；（2）3x ＋4y ＋1＝0或3x ＋4y －29＝0． 【解析】（1）直线l 的方程为：y －5＝－34(x ＋2)整理得3x ＋4y －14＝0．（2）设直线m 的方程为3x ＋4y ＋n ＝0，d＝3，解得n ＝1或－29．∴直线m 的方程为3x ＋4y ＋1＝0或3x ＋4y －29＝0． 18．【答案】3x －y ＋2＝0．【解析】解法一：设所求直线方程为3x －2y ＋1＋λ(x ＋3y ＋4)＝0，即(3＋λ)x ＋(3λ－2)y ＋(1＋4λ)＝0，由所求直线垂直于直线x ＋3y ＋4＝0， 得－13·(－3＋λ3λ－2)＝－1，解得λ＝310，故所求直线方程是3x －y ＋2＝0．解法二：设所求直线方程为3x －y ＋m ＝0．由⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＋1＝0，x ＋3y ＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，即两已知直线的交点为(－1，－1)．又3x －y ＋m ＝0过点(－1，－1)，故－3＋1＋m ＝0，m ＝2． 故所求直线方程为3x －y ＋2＝0． 19．【答案】P (1，－4)或P (277，－87)． 【解析】解法1：设点P (x ，y )．因为|PA |＝|PB |，① 又点P 到直线l 的距离等于2，所以|4x ＋3y －2|5＝2．②由①②联立方程组，解得P (1，－4)或P (277，－87)．解法2：设点P (x ，y )．因为|PA |＝|PB |，所以点P 在线段AB 的垂直平分线上．由题意知k AB ＝－1，线段AB 的中点为(3，－2)，所以线段AB 的垂直平分线的方程是y ＝x －5，所以设点P (x ，x －5)．因为点P 到直线l 的距离等于2，所以()|4352|5x x +--＝2，解得x ＝1或x ＝277，所以P (1，－4)或P (277，－87)．20．【答案】（1）2x －y ＋1＝0；（2）2x －y ＋1＝0；（3）110．【解析】（1）由已知得直线AB 的斜率为2，∴AB 边所在的直线方程为y －1＝2(x －0)，即2x －y ＋1＝0．（2）由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1＝0，2x ＋y －3＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝2.即直线AB 与直线BE 的交点为B (12，2)．设C (m ，n )，则由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋2n －4＝0，2·m 2＋n ＋12－3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝1，∴C (2,1)．∴BC 边所在直线的方程为y －12－1＝x －212－2，即2x ＋3y －7＝0．（3）∵E 是线段AC 的中点，∴E (1,1)．∴|BE |＝52，由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1＝0，x ＋2y －4＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝25，y ＝95，∴D (25，95)，∴D 到BE 的距离为d ＝|2×25＋95－3|22＋12＝255，∴S △BDE ＝12·d ·|BE |＝110． 21．【答案】）存在，3x ＋4y －12＝0． 【解析】设直线方程为x a ＋yb＝1(a >0，b >0)， 若满足条件(1)，则a ＋b ＋a 2＋b 2＝12 ① 又∵直线过点P (43，2)，∵43a ＋2b＝1．②由①②可得5a 2－32a ＋48＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝125，b ＝92，∴所求直线的方程为x 4＋y 3＝1或5x 12＋2y9＝1，即3x ＋4y －12＝0或15x ＋8y －36＝0，若满足条件(2)，则ab ＝12，③ 由题意得，43a ＋2b ＝1，④由③④整理得a 2－6a ＋8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝6，∴所求直线的方程为x 4＋y 3＝1或x 2＋y6＝1，即3x ＋4y －12＝0或3x ＋y －6＝0．综上所述：存在同时满足(1)(2)两个条件的直线方程，为3x ＋4y －12＝0．22．【答案】（1）y ＝kx ＋k 22＋12；（2）2(6－2)．【解析】(1)①当k ＝0时，A 点与D 点重合，折痕所在的直线方程为y ＝12．②当k ≠0时，将矩形折叠后A 点落在线段DC 上的点记为G (a,1)， ∴A 与G 关于折痕所在的直线对称，有k OG ·k ＝－1⇒1a·k ＝－1⇒a ＝－k ，故G 点坐标为(－k,1)，从而折痕所在直线与OG 的交点坐标(即线段OG 的中点)为M (－k 2，12)．故折痕所在的直线方程为y －12＝k (x ＋k 2)，即y ＝kx ＋k 22＋12．由①②得折痕所在的直线方程为y ＝kx ＋k 22＋12．(2)当k ＝0时，折痕的长为2．当－2＋3≤k ＜0时，折痕所在直线交直线BC 于点E (2，2k ＋k 22＋12)，交y 轴于点N (0，k 2＋12)．则|NE |2＝22＋[k 2＋12－(2k ＋k 22＋12)]2＝4＋4k 2≤4＋4(7－43)＝32－163． 此时，折痕长度的最大值为32－163＝2(6－2)． 而2(6－2)＞2，故折痕长度的最大值为2(6－2)．。
全国高二高中数学单元试卷带答案解析
全国高二高中数学单元试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.命题“∀n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是()A．∀n∈N*，f(n)∉N*且f(n)＞n B．∀n∈N*，f(n)∉N*或f(n)＞nC．∃n0∈N*，f(n0)∉N*且f(n0)＞n0D．∃n0∈N*，f(n0)∉N*或f(n0)＞n02.命题“若A∪B＝A，则A∩B＝B”的否命题是( )A．若A∪B≠A，则A∩B≠BB．若A∩B＝B，则A∪B＝AC．若A∩B≠B，则A∪B≠AD．若A∪B≠A，则A∩B＝B3.命题“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是( )A．若x2≥1，则x≥1，或x≤－1B．若－1<x<1，则x2<1C．若x>1或x<－1，则x2>1D．若x≥1或x≤－1，则x2≥14.对于非零向量a、b，“a＋b＝0”是“a∥b”的（ )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5.下列命题中，真命题是( )A．命题“若|a|＞b，则a＞b”B．命题“若a＝b，则|a|＝|b|”的逆命题C．命题“当x＝2时，x2－5x＋6＝0”的否命题D．命题“终边相同的角的同名三角函数值相等”6.已知命题p：∀x>0，；命题q：∃x∈(0，＋∞)，，则下列判断正确的是( )A．p是假命题B．q是真命题C．p∧()是真命题D．()∧q是真命题7.“a＜0”是“方程ax2＋1＝0至少有一个负根”的( )A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8.已知命题p：若x2＋y2＝0，则x，y全为0；命题q：若a>b，则给出下列四个命题：①p∧q，②p∨q，③，④，其中真命题的个数为( )A．1B．2C．3D．49.命题“若∠C=90°，则△ABC是直角三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是（）A．0B．1C．2D．310.命题p ：若不等式x 2＋x ＋m>0恒成立，则m>，命题q ：在△ABC 中，∠A>∠B 是sinA>sinB 的充要条件，则（ ） A ．p 真q 假 B ．“p ∧q”为真 C ．“p ∨q”为假D ．“p ∨q”为真11.是定义在上的函数，则“均为偶函数”是“为偶函数”的（ ）A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件12.有下列命题：①“若x ＋y ＞0，则x ＞0且y ＞0”的否命题；②“矩形的对角线相等”的否命题；③“若m ≥1，则mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋3＞0的解集是R”的逆命题；④“若a ＋7是无理数，则a 是无理数”的逆否命题．其中正确的是( )A ．①②③B ．②③④C ．①③④D ．①④二、填空题1.已知集合，，若成立的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围是 ．2.命题p ：若a ，b ∈R ，则ab ＝0是a ＝0的充分条件，命题q ：函数的定义域是[3，＋∞)，则“p ∨q ”“p ∧q ”“”中是真命题的为_________．3.已知p:-4＜x-a ＜4，q:(x-2)(3-x)＞0,若p 是q 的充分条件，则实数a 的取值范围是 .4.若“x ∈[2,5]或x ∈{x|x<1或x>4}”是假命题，则x 的范围是____________．三、解答题1.把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断命题的真假． (1)能被6整除的数一定是偶数； (2)当时，a ＝1，b ＝－2； (3)已知x ，y 为正整数，当y ＝x 2时，y ＝1，x ＝1.2.判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假． (1)对数函数都是单调函数；(2)至少有一个整数，它既能被11整除，又能被9整除； (3)∀x ∈{x |x ＞0}，；(4)∃x 0∈Z ，log 2x 0＞2.3.写出由下列各组命题构成的“p 或q ”“p 且q ”以及“非p ”形式的命题，并判断它们的真假： (1)p ：3是素数，q ：3是偶数；(2)p ：x ＝－2是方程x 2＋x －2＝0的解，q ：x ＝1是方程x 2＋x －2＝0的解．4.已知命题p ：{x |1－c ＜x ＜1＋c ，c ＞0}，命题q ：(x －3)2＜16，p 是q 的充分不必要条件，试求c 的取值范围．5.已知a ＞0，a ≠1.设命题p ：函数y ＝log a (x ＋1)在(0，＋∞)内单调递减；命题q ：曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴交于不同的两点．若p 或q 为真，p 且q 为假，求a 的取值范围．6.已知命题：“∀x ∈{x |－1≤x ≤1}，都有不等式x 2－x －m ＜0成立”是真命题． (1)求实数m 的取值集合B ；(2)设不等式(x －3a )(x －a －2)＜0的解集为A ，若x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．全国高二高中数学单元试卷答案及解析一、选择题1.命题“∀n ∈N *，f (n )∈N *且f (n )≤n ”的否定形式是( )A ．∀n ∈N *，f (n )∉N *且f (n )＞nB ．∀n ∈N *，f (n )∉N *或f (n )＞nC ．∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *且f (n 0)＞n 0D ．∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *或f (n 0)＞n 0【答案】D【解析】全称命题的否定为特称命题，则命题“∀n ∈N *，f (n )∈N *且f (n )≤n ”的否定形式是∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *或f (n 0)＞n 0. 本题选择D 选项.2.命题“若A ∪B ＝A ，则A ∩B ＝B ”的否命题是( ) A ．若A ∪B ≠A ，则A ∩B ≠B B ．若A ∩B ＝B ，则A ∪B ＝A C ．若A ∩B ≠B ，则A ∪B ≠A D ．若A ∪B ≠A ，则A ∩B ＝B【答案】A【解析】根据命题“若，则”的否命题为“若非，则非”可得“若，则”的否命题为“若，则”，故选A.3.命题“若x 2<1，则－1<x<1”的逆否命题是( )A ．若x 2≥1，则x≥1，或x≤－1B ．若－1<x<1，则x 2<1C ．若x>1或x<－1，则x 2>1D ．若x≥1或x≤－1，则x 2≥1【答案】D【解析】逆否命题需将原命题的条件和结论交换后并分别否定，所以为：若x≥1或x≤－1，则x 2≥1 【考点】四种命题4.对于非零向量a 、b ，“a ＋b ＝0”是“a ∥b”的（ ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】非零向量， ， ∥推不出“+=”；反之， +=“ ∥，由此可知“ ∥”是“+=成立的充分不必要条件,选.【考点】1.充要条件；2.共线向量.5.下列命题中，真命题是( ) A ．命题“若|a |＞b ，则a ＞b ”B ．命题“若a ＝b ，则|a |＝|b |”的逆命题C ．命题“当x ＝2时，x 2－5x ＋6＝0”的否命题 D ．命题“终边相同的角的同名三角函数值相等”【答案】D 【解析】时，成立，但不成立，故命题“若，则”为假命题；命题“若，则”的逆命题为命题“若，则”，为假命题；命题“当时，”的否命题为命题“当时，”，为假命题；命题“终边相同的角的同名三角函数值相等”是真命题，故选D.6.已知命题p ：∀x >0，；命题q ：∃x 0∈(0，＋∞)，，则下列判断正确的是( ) A ．p 是假命题B ．q 是真命题C ．p ∧()是真命题D ．()∧q 是真命题【答案】C【解析】当，，当且仅当时等号成立，∴命题为真命题，为假命题；当时，，∴命题：为假命题，则为真命题．∴是真命题，是假命题，故选C.点睛：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了复合命题的真假判断，考查了利用基本不等式求最值，是中档题；利用基本不等式求最值判断命题的真假，由指数函数的值域判断命题的真假，然后结合复合命题的真值表加以判断.7.“a＜0”是“方程ax2＋1＝0至少有一个负根”的( )A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】当时，方程，即，故此一元二次方程有一个正根和一个负根，符合题意；当方程至少有一个负数根时，不可以为0，从而，所以，由上述推理可知，“”是方程“至少有一个负数根”的充要条件，故选C.8.已知命题p：若x2＋y2＝0，则x，y全为0；命题q：若a>b，则给出下列四个命题：①p∧q，②p∨q，③，④，其中真命题的个数为( )A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】若，根据实数的性质得：，即、全为0，则命题为真命题；若，则，即命题：若，则为假命题；故：①为假命题，②为真命题，③非为假命题，④非为真命题，即真命题的个数为2个，故选B.9.命题“若∠C=90°，则△ABC是直角三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是（）A．0B．1C．2D．3【答案】C【解析】直接判断原命题真假，写出原命题的逆命题，判断其真假，然后结合原命题的逆命题与否命题互为逆否命题，再根据互为逆否命题的两个命题共真假加以判断．解：命题“若∠C=90°，则△ABC是直角三角形”是真命题，∴其逆否命题也为真命题．原命题的逆命题为：“若△ABC是直角三角形，则∠C=90°”是假命题（△ABC是直角三角形不一定角C为直角），∴原命题的否命题也是假命题．∴真命题的个数是2．故选：C．【考点】四种命题的真假关系．10.命题p：若不等式x2＋x＋m>0恒成立，则m>，命题q：在△ABC中，∠A>∠B是sinA>sinB的充要条件，则（）A．p真q假B．“p∧q”为真C．“p∨q”为假D．“p∨q”为真【答案】B【解析】由题意得，不等式恒成立，所以，所以命题是真命题；又因为在中，是的充要条件是正确的，所以命题为真命题；所以为真命题，故选B．【考点】复合命题的真假判定．11.是定义在上的函数，则“均为偶函数”是“为偶函数”的（）A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由于是定义在上的函数，说明函数定义域关于原点对称，同时当条件成立时，即均为偶函数”，则可知f(-x)="f(x)," g(-x)=g(x),那么根据偶函数定义可知h(-x)=" f(-x)+g(-x)="f(x)+g(x)=h(x),因此可知为偶函数.反之则当h(x)==显然是偶函数，但是f(x)不是偶函数，结论不能推出条件，故选B。
高二数学(人教B版)选修2-1单元 综合能力测试题2
综合能力测试题二时间120分钟，满分150分．一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，把正确的选项填在答题卡中)1．已知命题“非空集合M 的元素都是集合P 的元素”是假命题，那么在命题： ①M 的元素都不是P 的元素； ②M 中有不属于P 的元素； ③M 中有P 的元素；④M 中元素不都是P 的元素 中，真命题的个数为( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 [答案] B[解析] 若命题P 错误，则¬P 正确，命题②④正确，故选B .2．设直线l 1、l 2的方向向量分别为a ＝(2，－2，－2)，b ＝(2,0,4)，则直线l 1、l 2的夹角是( )A ．arccos 1515B ．π－arcsin 21015C ．arcsin 21015D ．arccos(－1515)[答案] A[解析] cos 〈a ，b 〉＝a·b|a |·|b |＝4－823×25＝－1515，∴l 1，l 2夹角为π－arccos(－1515)即arccos 1515为l 1，l 2的夹角．3．在椭圆x 240＋y 220＝1上有一点P ，F 1、F 2是椭圆的左、右焦点，△F 1PF 2为直角三角形，这样的点P 有( )A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个 [答案] C[解析] 以F 1或F 2为直角顶点时，符合条件的点P 有4个；以P 为直角顶点时，由于e ＝22，符合条件的点P 有2个，故符合条件的点P 共有6个．4．设A (3,3,1)，B (1,0,5)，C (0,1,0)，则AB 的中点M 到点C 的距离|CM |等于( )A.534B.532C.532 D.132[答案] C[解析] ∵A (3,3,1)，B (1,0,5)，∴中点坐标为M (2，32，3)．∴|CM |＝532，∴选C.5．(2010·浙江文，6)设0<x <π2，则“x sin 2x <1”是“x sin x <1”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] B[解析] 本题考查了充要条件及基本不等式．∵0<x <π2，∴0<sin x <1∴0<sin 2x <sin x <1 ∴x sin 2x <x sin x 则x ·sin x <1⇒x ·sin 2x <1成立，故选B.6．已知A (1,2,1)，B (－1,3,4)，P 为AB 的中点，则|AP →|等于( ) A ．5 2B.142C.72D.14 [答案] B[解析] P 点坐标为(0，52，52)，由距离公式得|AP →|＝142.7．已知椭圆C 的方程为x 216＋y 2m 2＝1(m >0)，如果直线y ＝22x 与椭圆的一个交点M 在x 轴上的射影恰好为椭圆的右焦点F ，则m 的值为( )A ．1 B. 2 C ．2 D ．2 2 [答案] D[解析] F 点的坐标为(16－m 2，0)，∴由16－m216＋(2216－m 2)m2＝1得m 4＋8m 2－128＝0，∴m 2＝8，∴m ＝2 2.故选D. 8．二面角α－l －β为120°，A ，B 是棱上两点，AC ，BD 分别在α，β内，AC ⊥l ，BD ⊥l ，且AB ＝AC ＝BD ＝1，则CD 长为( )A. 2B. 3 C ．2 D. 5[答案] C[解析] ∵CD →＝CA →＋AB →＋BD →，∴(CD →)2＝(CA →)2＋(AB →)2＋(BD →)2＋2CA →·AB →＋2CA →·BD →＋2AB →·BD →.又∵<CA →，AB →>＝90°，<CA →，BD →>＝60°，<AB →，BD →>＝90°，∴(CD →)2＝4，∴|CD →|＝2.9．设θ∈(π，5π4)，则关于x ，y 的方程x 2sin θ－y 2cos θ＝1所表示的曲线为( )A ．实轴在y 轴上的双曲线B ．实轴在x 轴上的双曲线C ．长轴在y 轴上的椭圆D ．长轴在x 轴上的椭圆 [答案] A[解析] ∵θ∈(π，5π4)，∴sin θ<0，－cos θ>0∴原方程可化为x 2sin θ＋y 2－cos θ＝1，即x 2sin θ＋y 2|cos θ|＝1它表示实轴在y 轴上的双曲线．故选A.10．设A 1，A 2是椭圆x 29＋y 24＝1的长轴两个端点，P 1，P 2是垂直于A 1A 2的弦的端点，则直线A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程为( )A.x 29＋y 24＝1 B.y 29＋x 24＝1 C.x 29－y 24＝1 D.y 29－x 24＝1 [答案] C[解析] 设交点P (x ，y )，A 1(－3,0)，A 2(3,0)，P 1(x 0，y 0)，P 2(x 0，－y 0)，∵A 1，P 1，P 共线，∴y －y 0x －x 0＝yx ＋3.∵A 2，P 2，P 共线，∴y ＋y 0x －x 0＝yx －3.解得x 0＝9x ，y 0＝3y x ，代入x 209＋y 204＝1，化简得x 29－y 24＝1.11．双曲线x 2－y 2＝1的左焦点为F 1，点P 在双曲线左支下半支上(不含顶点)，则直线PF 1的斜率为( )A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B ．(－∞，0)∪(1＋∞)C ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)D ．(－∞，0)∪(0，＋∞) [答案] B[解析] 当直线的斜率k ＝1时，直线与双曲线渐近线平行，与双曲线右支上半支相交，和左支下半支无交点，排除C ，D.当直线倾斜角为钝角时，－∞<k <0，和左支下半支相交．12．如图，在正三棱柱ABC —A1B 1C 1中，若AB ＝2BB 1，则AB 1与C 1B 所成角的大小为( )A ．60°B ．90°C ．105°D ．75° [答案] B[解析] 设AB →＝a ，BC →＝b ，BB 1→＝c ，且令BB 1＝1，则〈a ，b 〉＝120°，AB 1→＝a ＋c ，BC 1→＝b ＋c ，AB 1→·BC 1→＝(a ＋c )(b ＋c )＝a·b ＋a·c ＋b·c ＋c 2＝2×2×cos120°＋1＝0，∴应选B. 二、填空题(本大题共4个小题，每空4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13．已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为26，则侧面与底面所成的二面角等于________．[答案] π3[解析] 因为底面对角线长为26，所以底面边长为23，从而利用体积得四棱锥的高为3，所以二面角的正切值为3，所以侧面与底面所成二面角的大小为π3，本题也可用向量知识求解．14．(2010·天津文，13)已知双曲线x 2a 2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点与抛物线y 2＝16x 的焦点相同，则双曲线的方程为________．[答案] x 24－y 212＝1[解析] 本题考查了双曲线的标准方程与几何性质． 由抛物线y 2＝16x 的焦点坐标为(4,0)，得c ＝4.又∵双曲线的渐近线方程为y ＝±3x 得ba＝3⇒b ＝3a ，又∵c 2＝a 2＋b 2，解得a ＝2，b ＝2 3.15．设P 是曲线y 2＝4(x －1)上的一个动点，则点P 到点A (0,1)的距离与点P 到y 轴的距离之和的最小值是________．[答案] 5[解析] 如右图，由定义可知，点P 到y 轴的距离等于点P 到F (2,0)的距离，即点P 到点A 与到y 轴的距离之和等于|P A |＋|PF |，又|P A |＋|PF |≥|AF |，即A ，P ，F 三点共线时最小，即最小值为|AF |＝(2－0)2＋(0－1)2＝ 5.16．已知A (－12，0)，B 是圆F ：(x －12)2＋y 2＝4(F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于点P ，则动点P 的轨迹方程为________．[答案] x 2＋43y 2＝1[解析] 由已知，|AP |＋|PF |＝|BF |＝2，由椭圆定义知，P 点轨迹为椭圆．设为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >0，b >0)则a ＝1，c ＝12，∴b ＝32，故椭圆为x 2＋4y 23＝1. 三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)已知△ABC ，A (－2,0)，B (0，－2)，第三个顶点C 在曲线y ＝3x 2－1上移动，求△ABC 的重心的轨迹方程．[解析] 设△ABC 重心为G (x ，y )，顶点C 的坐标为(x 1，y 1)由重心坐标公式得⎩⎨⎧x ＝－2＋0＋x 13，y ＝0－2＋y 13，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3x ＋2，y 1＝3y ＋2. 代入y 1＝3x 21－1，得3y ＋2＝3(3x ＋2)2－1. ∴y ＝9x 2＋12x ＋3即为所求轨迹方程．18．(本小题满分12分)已知集合A ＝{x |x 2－4mx ＋2m ＋6＝0}，B ＝{x |x <0}若命题A ∩B ≠∅为真命题，求实数m 的取值范围．[解析] 设全集U ＝{m |Δ＝(－4m )2－4(2m ＋6)≥0}＝{m |m ≤－1或m ≥32}，若方程x 2－4mx ＋2m＋6＝0的两根x 1、x 2均为非负，则⎩⎪⎨⎪⎧m ∈U x 1＋x 2＝4m ≥0x 1·x 2＝2m ＋6≥0⇒m ≥32，∵{m |m ≥32}关于U 的补集为{m |m ≤－1}，∴实数m 的取值范围为{m |m ≤－1}．19．(本小题满分12分)四棱锥P －ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，PC ＝2，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠C ＝90°，AB ＝4，CD ＝1，点M 在PB 上，且PB ＝4PM ，PB 与平面ABC 成30°角．(1)求证：CM ∥平面P AD ； (2)求证：平面P AB ⊥平面P AD .[解析] 如图所示，建立空间直角坐标系C －xyz .(1)∵PC ⊥平面ABCD ，∴∠PBC 为PB 与平面ABC 所成的角，∠PBC ＝30°. ∵|PC |＝2，∴|BC |＝23，|PB |＝4，得D (0,1,0)、B (23，0,0，)、A (23，4,0)、P (0,0,2)，又|PB |＝4|PM |，∴|PM |＝1，M (32，0，32)， ∴CM →＝(32，0，32)，DP →＝(0，－1,2)，DA →＝(23，3,0)，设N 为P A 上一点，则存在x ，y 使DN→＝xDP →＋yDA →(其中x ，y ∈R )，则DN →＝x (0，－1,2)＋y (23，3,0)＝(23y,3y －x,2x )，由N 在P A 上得x ＋y ＝1①又23y 32＝2x 32②①，②联立解得x ＝34，y ＝14，此时CM →，DN →共线．∴CM →，DP →，DA →共面． ∵C ∉平面P AD ， ∴CM ∥平面P AD .(2)作BE ⊥P A 于E ，|PB |＝|AB |＝4， ∴E 为P A 的中点，∴E (3，2,1)，∴BE →＝(－3，2,1)． ∵BE →·DA →＝(－3，2,1)·(23，3,0)＝0，BE →·DP →＝(－3，2,1)·(0，－1,2)＝0， ∴BE ⊥DA ，又BE ⊥DP ，∴BE ⊥平面P AD ，由于BE ⊂平面P AB ，则平面P AB ⊥平面P AD .20．(本小题满分12分)已知抛物线y 2＝2px (p >0)上有两动点A ，B 及一个定点M (x 0，y 0)，F 是抛物线的焦点，且|AF |，|MF |，|BF |成等差数列．(1)求证线段AB 的垂直平分线经过定点Q (x 0＋p,0)；(2)若|MF |＝4，|OQ |＝6(O 是坐标原点)，求此抛物线的方程． [解析] (1)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∵|AF |，|MF |，|BF |成等差数列， ∴2|MF |＝|AF |＋|BF |，∴2(x 0＋p 2)＝x 1＋p 2＋x 2＋p2，即2x 0＝x 1＋x 2，线段AB 的垂直平分线的方程为 y －y 1＋y 22＝－y 1＋y 22p (x －x 0)，即y ＝－y 1＋y 22p(x －x 0－p )．故线段AB 的垂直平分线过定点Q (x 0＋p,0)．(2)解：由|OQ |＝6，得x 0＋p ＝6，即x 0＝6－p .又|MF |＝4，∴x 1＋p 2＋x 2＋p2＝2|MF |＝8，∴x 1＋x 2＝8－p ，∴8－p ＝2(6－p )，∴p ＝4， ∴所求抛物线的方程为y 2＝8x .21．(本小题满分12分)如图所示，点A 、B 分别为椭圆x 236＋y 220＝1长轴的左右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，P A ⊥PF .(1)求点P 的坐标；(2)设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于|MB |，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值．[解析] (1)由已知可得点A (－6,0)，F (4,0)，设点P 的坐标是(x ，y )，则AP →＝(x ＋6，y )，FP →＝(x －4，y )．由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x 236＋y 220＝1(x ＋6)(x －4)＋y 2＝0，则：2x 2＋9y －18＝0得x ＝23或x ＝－6，由于y >0，只能x ＝23，于是y ＝523，所以点P 的坐标是(32，523)．(2)直线AP 的方程是x －3y ＋6＝0设点M 的坐标是(m,0)，则M 到直线AP 的距离是 |m ＋6|2，于是|m ＋6|2＝|m －6|， 又－6≤m ≤6，解得m ＝2.椭圆上的点(x ，y )到点M 的距离是d 2＝(x －2)2＋y 2＝x 2－4x ＋4＋20－59x 2＝49(x －92)2＋15， 由于－6≤x ≤6，所以当x ＝92时d 取最小值15.22．(本小题满分14分)如图所示，已知动点P 与双曲线x 22－y 23＝1的两个焦点F 1、F 2的距离之和为定值，且cos ∠F 1PF 2的最小值是 －19.(1)求动点P 的轨迹方程；(2)若已知点D (0,3)，M 、N 在动点P 的轨迹上，且DM →＝λDN →，求实数λ的取值范围．[解析] (1)由题意得c 2＝5，设|PF 1|＋|PF 2|＝2a >25，由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝2a 2－10|PF 1|·|PF 2|－1， 又|PF 1|·|PF 2|≤(|PF 1|＋|PF 2|2)2＝a 2，当且仅当|PF 1|＝|PF 2|时，|PF 1|·|PF 2|取最大值．此时cos ∠F 1PF 2取得最小值为2a 2－10a 2－1，令2a 2－10a 2－1＝－19， 解得a 2＝9，又∵c ＝5，∴b 2＝4，故所求P 的轨迹方程为x 29＋y 24＝1.(2)设N (s ，t )，M (x ，y )，则由DM →＝λDN →， 可得(x ，y －3)＝λ(s ，t －3)， 故x ＝λs ，y ＝3＋λ(t －3)， ∵M 、N 在动点P 的轨迹上，∴s 29＋t 24＝1，且(λs )29＋(3＋λt －3λ)24＝1， 消去s 可得(λt ＋3－3λ)2－λ2t 24＝1－λ2，解得t ＝13λ－156λ.又由|t |≤2，即－2≤13λ－156λ≤2，解得15≤λ≤5，故实数λ的取值范围为[15，5]．。
人教版高二数学选修4-4单元测试题二及答案
高二数学（文科）选修4-4单元测试题（二）班级______________姓名______________1．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧+==ααsin 1cos y x （α为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为 ．2．在平面直角坐标系中，已知直线l 与曲线C 的参数方程分别为l ：1,1x s y s=+⎧⎨=-⎩（s 为参数）和C ：22,x t y t =+⎧⎨=⎩（t 为参数），若l 与C 相交于A 、B 两点，则AB = ．3．在直角坐标系xoy 中, 以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,则直线2()1x t t y t=-+⎧⎨=-⎩为参数截圆22cos 30ρρθ+-=的弦长等于__________．4．化参数方程⎪⎩⎪⎨⎧==ty tx 22sin cos ，0(∈t ，]2π为普通方程为 ．5．直线2()1x tt y t=-+⎧⎨=-⎩为参数被圆35cos 15sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩ ()θθπ∈为参数,[0,2)所截得的 弦长为 ．6．已知直线l ：40x y -+=与圆C ：12cos 12sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数），则C 上各点到l 的距离的最小值为___________.7.已知直线112:2x tl y kt=-⎧⎨=+⎩（t 为参数），2,:12.x s l y s =⎧⎨=-⎩（s 为参数），若1l //2l ，则k = ；若12l l ⊥，则k = ．8.直线3470x y +-=截曲线cos ,1sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）的弦长为___________．9.已知两曲线参数方程分别为()πθθθ<≤⎩⎨⎧==0sin cos 5y x 和 ⎪⎩⎪⎨⎧==ty tx 245（t R ∈），它们的交点坐标为 ．10.已知直线314x aty t=+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），则该直线恒过定点__________.11.两直线2)4sin(=+πθρ与1)4sin(=-πθρ的位置关系是 .12. 球坐标(2,,)63ππ对应的点的直角坐标是 ___，对应点的柱坐标是 _ __.13.自极点O 向直线l 作垂线，垂足为(2,)3H π，则直线l 的极坐标方程是 .14.极坐标方程 24sin 3θ= 化为直角坐标方程是 ；它表示的图形是 .15.在极坐标系中，曲线4sin ρθ=-和cos 1ρθ=相交于点,A B 两点，则线段AB 的长度 为 ．16.在直角坐标系中圆C 的参数方程为⎩⎨⎧+==θθsin 22cos 2y x （θ为参数），则圆C 的普通方程为 __ __，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则 圆C 的圆心极坐标为 __ _．17.参数方程⎩⎨⎧-==αα2cos 2cos 2y x (α是参数)表示的曲线的普通方程是_________________．18.参数方程sin cos sin 2x y θθθ=-⎧⎨=⎩(θ为参数)化为普通方程是 ．19.若直线340x y m ++=与圆⎩⎨⎧+-=+=θθsin 2cos 1y x （θ为参数）相切，则实数m 的值是 ．20.已知曲线sin (11cos 222y x θθθ=⎧⎪⎨=-⎪⎩为参数)与直线x a =有两个不同的公共点，则实数a 的取值范围是_________________.21．已知圆C 的参数方程为cos 1sin x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数), 则点()4,4P 与圆C 上的点的最远距离是 ．22.在直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为],0[sin ,cos πθθθ∈⎩⎨⎧==y x ，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 在极坐标系中的方程为θθρcos sin -=b．若曲线1C 与2C 有两个不同的交点，则实数b 的取值范围是 ．23．已知圆锥曲线2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩(θ是参数)和定点A(0)，F 1、F 2是圆锥曲线的左、右焦点,以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则直线AF 2的极坐标方程为__________________________．24.若直线⎩⎨⎧+=-=,32,21t y t x （t 为参数）与直线14=+ky x 垂直，则常数k =__ __.25.已知椭圆:C cos ,()2sin x y θθθ=⎧∈⎨=⎩R 经过点1(,)2m ，则m =______，离心率e =______.26. (2012深圳二模文）在极坐标系中，直线:cos l t ρθ=（常数0)t >）与曲线:2sin C ρθ=相切，则t = ．27. (2012深圳二模理）在极坐标系中，已知直线l ：(sin cos )a ρθθ-=把曲线C ：2cos ρθ= 所围成的区域分成面积相等的两部分，则常数a 的值是 ．28. (2012广州二模文、理）在极坐标系中，若等边三角形ABC (顶点A ，B ，C 按 顺时针方向排列)的顶点A ，B 的极坐标分别为(2，6π)，(2，76π)，则顶点C 的极 坐标为 ．参考答案1．θρsin 2=2 3．44．1=+y x （10≤≤x ）56．2 7．4；1- 8．1659．(1,510．(3,1)- 11．垂直12．1(2；(1,3π13．cos()23πρθ-=14．x y 3±=(或223x y =) ； 两条直线（或两条相交直线） 15．3216．22(2)4x y +-=； )2,2(π17．322+-=x y (2||≤x )18．21,x y x ⎡=-∈⎣19．10或0 20．01a <≤ 21．622．1b ≤<23．sin cos ρθθ=24．－625．415±，226．1 27．1-28．2)3π；或))(232,32(Z k k ∈+ππ。
人教版高中数学必修二第四章《圆与方程》单元试卷(2)
第四章圆与方程单元检测(时间： 120 分钟，满分： 150 分)一、选择题 (此题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分)1．直线 y ＝ x ＋ 10 与曲线 x 2＋y 2＝ 1 的地点关系是 ()．A ．订交B ．相离C ．相切D ．不可以确立2．圆心在 y 轴上，半径为 1，且过点 (1,2)的圆的方程为 ( )． A ． x 2＋ (y －2)2＝1 B ． x 2＋ (y ＋ 2)2＝ 1 C ．( x － 1) 2＋ (y －3) 2＝ 1D ． x 2＋ (y － 3)2＝ 13．点 P(x ， y ， z)知足x 1 2 y 1 2 z 1 22，则点 P 在()．A ．以点 (1,1，－ 1)为圆心，2 为半径的圆上B ．以点 (1,1，－ 1) 为中心，2 为棱长的正方体内 C ．以点 (1,1，－ 1) 为球心， 2 为半径的球面上 D ．没法确立4．圆 x 2 ＋y 2＝4 与圆 x 2＋ y 2＋ 4x － 4y ＋ 4＝ 0 对于直线 l 对称，则 l 的方程是 ()．A ． x ＋ y ＝ 0B ． x ＋ y －2＝ 0C ．x － y － 2＝ 0D ． x － y ＋ 2＝ 05．圆 C 1：x 2＋ y 2＋2x ＋ 2y － 2＝ 0 与 C 2：x 2＋ y 2－ 4x － 2y ＋1＝ 0 的公切线有且只有 ( )．A ．1 条B ．2 条C ．3 条D ．4 条 6．把圆 x 2 ＋ y 2＋2x － 4y － a 2－2＝ 0 的半径减小一个单位则正好与直线3x － 4y － 4＝ 0 相切，则实数 a 的值为 ( )．A ．－ 3B ． 3C ．－3或 3D ．以上都不对7．过点 P(2,3)向圆 x 2＋ y 2＝ 1 作两条切线 PA 、 PB ，则弦 AB 所在直线的方程为 ()．A ． 2x － 3y － 1＝ 0B ． 2x ＋ 3y － 1＝ 0C ．3x ＋ 2y － 1＝ 0D ． 3x － 2y － 1＝ 08．与圆 x 2＋ y 2－ ax －2y ＋ 1＝ 0 对于直线 x － y － 1＝0 对称的圆的方程为＝0，则 a 等于 ( )．A ． 0B ． 1C ． 2D ．3229．圆 x ＋(y ＋1) ＝ 3 绕直线 kx －y － 1＝ 0 旋转一周所得的几何体的表面积为 x 2 ＋y 2－ 4x ＋ 3()．A ． 36πB ． 12πC ．4 3D ． 4π10．动圆 x 2＋ y 2－ (4m ＋2)x － 2my ＋ 4m 2＋4m ＋ 1＝ 0 的圆心的轨迹方程是 ( ) ．A ． 2x － y － 1＝ 0B ． 2x － y － 1＝0(x ≠ 1)C ．x － 2y － 1＝0(x ≠ 1)D ．x － 2y － 1＝ 011．若过定点 M(－ 1,0)且斜率为 k 的直线与圆 x 2＋ 4x ＋ y 2－ 5＝0 在第一象限内的部分有交点，则 k 的取值范围是 ( )．A ． 0 k 5B ．5 k 0C ． 0 k13D ． 0＜ k ＜ 512．直线 y ＝kx ＋ 3 与圆 (x － 3)2＋ (y － 2)2＝ 4 订交于 M ， N 两点，若 MN2 3 ，则 k的取值范围是 ()．A ． [3,0]B ． (－∞，3 ]∪[0 ，＋ ∞)44C ． [3 , 3 ]D ．[ 2,0]3 33二、填空题 (此题共 4 小题，，每题 4 分，共 16 分)13．过直线 l ：y ＝ 2x 上一点 P 作圆 C ：(x － 8)2＋ (y － 1)2＝ 2 的切线 l 1， l 2，若 l 1，l 2 对于直线 l 对称，则点 P 到圆心 C 的距离为 __________ ．14．点 P 为圆 x2＋ y2＝ 1 上的动点，则点P 到直线3x－ 4y－ 10＝ 0 的距离的最小值为__________．15．已知圆 C 经过 A(5,1) ，B(1,3)两点，圆心在 x 轴上，则 C 的方程为 ________．16．已知圆 C 过点 (1,0)，且圆心在 x 轴的正半轴上，直线 l ：y＝ x－ 1 被圆 C 所截得的弦长为 2 2 ，则过圆心且与直线l 垂直的直线的方程为 ________．三、解答题 (此题共 6 小题，共74 分)17． (12 分)一圆和直线 l ：x＋ 2y－ 3＝0 切于点 P(1,1)，且半径为 5，求这个圆的方程．18．(12 分 )求平行于直线 3x＋223y＋5＝ 0 且被圆 x ＋ y＝ 20 截得长为6 2的弦所在的直线方程．22＝ 16 内的定点，B，C 是这个圆上的两个动点，若 BA⊥ CA，19．(12 分 )点 A(0,2)是圆 x ＋ y求 BC 中点 M 的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么曲线．222220． (12 分)圆 x ＋ y －2x－ 5＝ 0 与圆 x ＋ y ＋ 2x－ 4y－ 4＝ 0 的交点为 A、 B.(1)求线段 AB 的垂直均分线的方程；(2)求线段 AB 的长．21． (12 分 ) 已知圆C： (x－ 1)2＋ ( y－ 2)2＝ 25，直线l： (2m＋ 1)x＋ (m＋ 1)y－ 7m－ 4＝0(m∈R)．(1)证明：无论 m 为什么值时，直线和圆恒订交于两点；(2)求直线 l 被圆 C 截得的弦长最小时的方程．22．(14 分 )在平面直角坐标系xOy 中，曲线 y＝ x2－ 6x＋1 与坐标轴的交点都在圆 C 上．(1)求圆 C 的方程；(2)若圆 C 与直线 x－y＋ a＝ 0 交于 A， B 两点，且 OA⊥OB ，求 a 的值．答案与分析1.答案： B分析：圆心到直线的距离|10 |2 1.522.答案： A分析：方法一 (直接法 )：设圆心坐标为 (0， b)，则由题意知0 1 2 b 2 21，解得b＝2，故圆的方程为x2＋ (y－ 2)2＝ 1.方法二 (数形联合法 ) ：由作图依据点(1,2)到圆心的距离为 1 易知圆心为(0,2)，故圆的方程为x2＋ (y－ 2)2＝ 1.方法三 (考证法 )：将点 (1,2)代入四个选择支，清除 B ， D，又因为圆心在y 轴上，清除C.3.答案： C(x， y， z)知足到定点 (1,1，－ 1)的距离恒分析：依据两点间距离公式的几何意义，动点等于 2.4.答案： D分析：∵两圆圆心分别为(0,0)和 (－ 2,2)，∴中点为 (－ 1,1)，两圆圆心连线斜率为－ 1.∴l 的斜率为 1，且过点 (－ 1,1)．∴l 的方程为 y－ 1＝ x＋1，即 x－ y＋ 2＝ 0.5.答案： B解析：⊙C1： (x ＋ 1)2＋ (y ＋ 1)2＝ 4 ，⊙ C2： (x － 2) 2＋ (y － 1) 2＝ 4 ，C1C2＝ 2 12 1 1 213 4，∴只有 2 条公切线．∴应选 B.6.答案： C分析：圆的方程可变成 (x＋ 1)2＋ (y－ 2)2＝ a2＋ 7，圆心为 (－ 1,2)，半径为a27 ，由题意得| 13 42 4 |a27 1，3 242解得 a＝±3.7.答案： B解析：圆x2＋ y2＝ 1的圆心为坐标原点O ，以OP为直径的圆的方程为( x－1)2＋( y－3) 2＝13.24明显这两个圆是订交的，x2y 21由1 2y32 13x2 4得 2x＋3y－ 1＝ 0，这就是弦 AB 所在直线的方程．8.答案： C分析：两圆的圆心分别为(a,1)，B(2,0)，A2则 AB 的中点(a1,1) 在直线x－y－1＝0上，即a11 1 0 ，解得a＝2，应选4242择 C.9.答案： B分析：由题意，圆心为(0，－ 1)，又直线kx－ y－ 1＝ 0 恒过点 (0，－ 1)，所以旋转一周所得的几何体为球，球心即为圆心，球的半径即是圆的半径，所以 S＝ 4π(3 )2＝12π.10.答案： C分析：圆心为 (2m＋1， m)， r ＝ |m|(m≠0)．不如设圆心坐标为(x， y)，则 x＝ 2m＋ 1， y＝ m，所以 x－2y－ 1＝ 0.又因为 m≠0，所以 x≠1因.此选择 C.11.答案： A分析：圆 x2＋ 4x＋ y2－ 5＝ 0 可变形为 (x＋ 2)2＋ y2＝ 9，如下图．当 x＝ 0 时，y＝ 5 ，联合图形可得A(0, 5) ，∵ k AM＝55 ，1∴ k (0， 5) ．12.答案： A分析：圆心 (3,2) 到直线 y＝kx＋ 3的距离 d＝| 3k1| ，k21MN ＝23k 1 2，4 2 3k 21∴30 .k413.答案： 3 5 分析： 圆心 C 的坐标为 (8,1)， 由题意，得 PC ⊥ l ，∴ PC 的长是圆心 C 到直线 l 的距离．|161|即 PC ＝ 3 5 .514.答案： 1分析： ∵圆心到直线的距离为 d ＝102 ，5∴点 P 到直线 3x － 4y － 10＝ 0 的距离的最小值为 d －r ＝ 2－ 1＝ 1.15.答案： ( x － 2)2 ＋y 2＝10分析： 由题意，线段 AB 中点 M(3,2) ， k AB ＝－1k AB ＝－ 1，2 2∴线段 AB 中垂线所在直线方程为y － 2＝2(x － 3)．y 2 2 x 3得圆心 (2,0) ．由y则圆 C 的半径 r ＝ 2 1 23 210故圆 C 的方程为 (x － 2)2＋ y 2＝ 10.16.答案： x ＋ y － 3＝ 0分析： 设圆心 (a,0)，∴ (| a 1| )2( 2) 2＝ | a －1|2 ,∴ a ＝ 3.2∴圆心 (3,0)．∴所求直线方程为 x ＋ y － 3＝0. 17.解： 设圆心坐标为 C( a ， b)，圆的方程即为 (x － a)2＋ (y － b)2＝ 25.∵点 P(1,1)在圆上，则 (1－ a)2＋ (1－ b)2＝ 25.①又 l 为圆 C 的切线，则 CP ⊥ l ，∴b1 2.②a 1 联立①②解得a15a 15或b1 2 5b 125即所求圆的方程为 (x － 1－5 )2＋ (y － 1－ 2 5 )2 ＝ 25 或 (x －1＋ 5 )2＋ (y － 1＋ 2 5 )2＝25.18.解： 设弦所在的直线方程为 x ＋ y ＋c ＝ 0.①则圆心 (0,0)到此直线的距离为d ＝ | c || c | .112因为圆的半弦长、半径、弦心距恰巧组成直角三角形，所以 ( | c |) 2(3 2) 2＝20 .2由此解得 c ＝ ±2，代入①得弦的方程为 x ＋ y ＋2＝ 0 或 x －y － 2＝ 0.19.解： 设点 M(x ， y)，因为 M 是弦 BC 的中点，故 OM ⊥ BC.又∵∠ BAC ＝ 90°，∴ |MA |＝1|BC|＝ |MB |.2∵ |MB |2＝ |OB|2－ |OM |2，222，即 4 2222＋ (y － 2) 222∴|OB| ＝|MO | ＋|MA| ＝ (x ＋ y ) ＋ [(x － 0) ] ，化简为 x ＋ y － 2y －6＝ 0，即 x 2 ＋(y － 1)2＝ 7.∴所求轨迹为以 (0,1)为圆心，以7 为半径的圆．20.解： (1) 两圆方程相减，得 4x － 4y ＋ 1＝ 0，即为AB的方程．两圆圆心连线即为AB的垂直均分线，所以 AB 的垂直均分线的方程过两圆圆心，且与 AB 垂直． 则 AB 的垂直均分线的斜率为－ 1.又圆 x 2＋ y 2－ 2x － 5＝ 0 的圆心为 (1,0)，所以 AB 的垂直均分线的方程为 y ＝－ (x － 1)，即 x ＋ y － 1＝0.(2)圆 x 2＋ y 2－ 2x － 5＝ 0 的半径、圆 x 2＋y 2－ 2x － 5＝ 0 的圆心到 AB 的距离、 AB 长的一半三者组成一个直角三角形的三条边，圆x 2＋ y 2－ 2x － 5＝0 可化为 (x － 1)2＋ y 2＝ 6，所以圆心(1,0)，半径 6，弦心距|4 1 40 1| 5 2，由勾股定理得42428(|AB |25 2 2 2)()( 6，)28解得 AB ＝346.221.解： (1) 由 (2m ＋ 1)x ＋ (m ＋ 1)y － 7m － 4＝ 0，得 (2x ＋ y － 7)m ＋ x ＋ y －4＝ 0.2x y 7 0 x 3则y4 0解得1x y∴直线 l 恒过定点 A(3,1) ．又∵ (3－ 1)2＋ (1－ 2)2＝ 5＜ 25，∴ (3,1)在圆 C 的内部，故 l 与 C 恒有两个公共点．(2)当直线 l 被圆 C 截得的弦长最小时，有l ⊥ AC ，由 k AC ＝－1 ，得 l 的方程为 y － 1＝22(x － 3)，即 2x － y －5＝ 0.22.解： (1) 曲线 y ＝ x 2－ 6x ＋ 1 与 y 轴的交点为(0,1)，与 x 轴的交点为 (32 2,0) ，(3 2 2,0) ．故可设 C 的圆心为 (3， t)，则有 32＋(t －1)2＝(2 2) 2 t 2，解得 t ＝ 1.则圆 C 的半径为32＋(t －1)2 3所以圆 C 的方程为 (x － 3)2＋ (y － 1)2＝ 9.(2)设 A(x 1， y 1)， B(x 2， y 2)，其坐标知足方程组：x y a0 x 3 2y1 2 9.消去 y ，获得方程 2x 2＋ (2a － 8)x ＋ a 2－ 2a ＋ 1＝ 0.由已知可得，鉴别式 ＝ 56－16a － 4a 2＞ 0.所以 x 1,2＝ (8 2a)56 16a 4a24 ，进而 x 1＋ x 2＝ 4－ a ， x 1 x 2＝ a 22a 12.①因为 OA ⊥OB ，可得 x 1x 2＋ y 1y 2＝ 0.又 y 1＝ x 1＋ a ， y 2＝ x 2＋a ，所以 2x 1 x 2＋ a(x 1＋ x 2)＋ a 2＝ 0.② 由①，②得 a ＝－ 1，知足 ＞ 0，故 a ＝－ 1.。
2022-2021学年高二数学同步单元双基双测“AB”卷(必修2)月考02 第二章综合测试(A卷)
（测试时间：120分钟满分：150分）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.棱台的一条侧棱所在的直线与不含这条侧棱的侧面所在的平面的位置关系是()A.平行B.相交C.平行或相交D.不相交答案:B2.如图,α∩β=l,A∈α,B∈α,AB∩l=D,C∈β,C∉l,则平面ABC与平面β的交线是()A.直线ACB.直线ABC.直线CDD.直线BC解析:∵D∈l,l⊂β,∴D∈β.又C∈β,∴CD⊂β;同理,CD⊂平面ABC,∴平面ABC∩平面β=CD.故选C.答案:C3.异面直线a,b分别在平面α,β内,若α∩β=l,则直线l必定()A.分别与a,b相交B.与a,b都不相交C.至少与a,b中一条相交D.至多与a,b中一条相交解析:假设a∥l,b∥l,则a∥b,这与a,b异面冲突.又a与l共面,b与l共面,所以l至少与a,b中的一条相交.答案:C 4.BC是Rt△ABC的斜边,PA⊥平面ABC,PD⊥BC于点D,则图中共有直角三角形的个数是()A.8B.7C.6D.5答案:A5.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,将△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,构成四周体ABCD,则在四周体ABCD中,下列结论正确的是()A.平面ABD⊥平面ABCB.平面ADC⊥平面BDCC.平面ABC⊥平面BDCD.平面ADC⊥平面ABC解析:易知:在△BCD中,在∠DBC=45°,∴∠BDC=90°.又平面ABD⊥平面BCD,而CD⊥BD,∴CD⊥平面ABD,∴AB⊥CD,而AB⊥AD,∴AB⊥平面ACD,∴平面ABC⊥平面ACD.答案:D6.在等腰直角三角形ABC中,AB=BC=1,M为AC的中点,沿BM把它折成二面角,折后A与C的距离为1,则二面角C-BM-A的大小为()A.30°B.60°C.90°D.120°解析:答案:C7.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,BC=3,则二面角C-BB1-D1的正切值为()A. B. C. D.解析:∵DB⊥BB1,BC⊥BB1,∴由二面角的平面角的定义知,∠DBC就是二面角C-BB1-D1的平面角.又∠BCD=90°,∴tan∠DBC=.答案:D8.设α,β为不重合的平面,m,n为不重合的直线,则下列命题正确的是()A.若α⊥β,α∩β=n,m⊥n,则m⊥αB.若m⊂α,n⊂β,m∥n,则α∥βC.若m∥α,n∥β,m⊥n,则α⊥βD.若n⊥α,n⊥β,m⊥β,则m⊥α解析:选项A的已知条件中加上m⊂β,那么命题就是正确的,也就是面面垂直的性质定理.选项B错误,简洁知道两个平面内分别有一条直线平行,那么这两个平面可能相交也可能平行.选项C错误,由于两个平面各有一条与其平行的直线,假如这两条直线垂直,并不能保证这两个平面垂直.选项D正确,由n⊥α,n⊥β可得α∥β,又由于m⊥β,所以m⊥α.答案:D9.已知:平面α⊥平面β,α∩β=l,在l上取线段AB=4,AC,BD分别在平面α和平面β内,且AC⊥AB,DB⊥AB,AC=3,BD=12,则CD的长度为()A.13 B .C.12D.15答案:A10.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面A1B1C1,底面三角形A1B1C1是正三角形,E是BC中点,则下列叙述正确的是()1与B1E是异面直线B.AC⊥平面ABB1A1C.AE,B1C1为异面直线,且AE⊥B1C1D.A1C1∥平面AB1E解析:由已知AC=AB,E为BC中点,则AE⊥BC.∵BC∥B1C1,∴AE⊥B1C1,故C正确.答案:C11.如图,在正四棱锥S-ABCD(顶点S在底面ABCD上的射影是正方形ABCD的中心)中,E是BC的中点,点P在侧面△SCD内及其边界上运动,并且总是保持PE⊥AC.则动点P的轨迹与△SCD组成的相关图形最有可能是图中的()解析:所以AC⊥GF,所以点P在直线GF上.答案:A12.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成的角的正弦值为()A. B. C. D.解析:在平面A1B1C1D1内过点C1作B1D1的垂线,垂足为E,连接BE.⇒C1E⊥平面BDD1B1,∴∠C1BE的正弦值就是所求角的正弦值.∵BC1=,C1E=,∴sin∠C1BE=.答案:D第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设平面α∥平面β,A,C∈α,B,D∈β,直线AB与CD交于点S,且点S位于平面α,β之间,AS=8,BS=6,CS=12,则SD= .答案:914.如图所示,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,侧棱垂直于底面,当四边形A1B1C1D1满足条件时,有A1C⊥B1D1(注:填上你认为正确的一种状况即可,不必考虑全部可能的状况).解析:由题意可知CC1⊥平面A1B1C1D1,所以CC1⊥B1D1,要使得B1D1⊥A1C,只要B1D1⊥平面A1CC1.所以只要B1D1⊥A1C1.此题还可以填写四边形A1B1C1D1是菱形、正方形等条件.答案:B1D1⊥A1C1(或A1B1C1D1是正方形等,答案不唯一)15.已知在菱形ABCD中,AB=2,∠A=120°,沿对角线BD将△ABD折起使二面角A-BD-C为120°,则点A到△BCD 所在平面的距离为.解析:设AC∩BD=O,则翻折后AO⊥BD,CO⊥BD,即∠AOC即为二面角的平面角,所以∠AOC=120°,且AO=1,故d=1×sin 60°=.答案:16.如图,正方体ABCD-A1B1C1D 1的棱长为1,P为BC 的中点,Q为线段CC1上的动点,过点A,P,Q的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是(写出全部正确命题的编号).①当0<CQ<时,S为四边形②当CQ=时,S 为等腰梯形③当CQ=时,S与C1D1的交点R满足C1R=④当<CQ<1时,S为六边形⑤当CQ=1时,S的面积为解析:当CQ=时,D1Q2=D 1+C1Q2,AP2=AB2+BP2,所以D1Q=AP.又由于AD1∥PQ,AD1=2PQ,所以②正确;当0<CQ<时,图②如图③所示,当CQ=1时,截面为APC1E.可知AC1=,EP=且APC1E为菱形,,故⑤正确.当<CQ<1时,截面为五边形APQMF.所以④错误.图③答案:①②③⑤三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.(本小题满分10分)(2022安徽宿州高二期中)如图,在矩形ABCD中,AB=2BC,P,Q分别为线段AB,CD的中点,EP⊥平面ABCD.(1)求证:AQ∥平面CEP;(2)求证:平面AEQ⊥平面DEP.∴AQ⊥EP.∵AB=2BC,P为AB中点,∴AP=AD.连接PQ,ADQP为正方形.∴AQ⊥DP.又EP∩DP=P,∴AQ⊥平面DEP.∵AQ⊂平面AEQ.∴平面AEQ⊥平面DEP.18.(本小题满分12分)(2022宁夏石嘴山高一期末)已知直三棱柱ABC-A'B'C'满足∠BAC=90°,AB=AC=AA'=2,点M,N分别为A'B,B'C'的中点. (1)求证:MN∥平面A'ACC';(2)求证:A'N⊥平面BCN.(3)求三棱锥C-MNB的体积.(1)证明:如图,连接AB',AC'.(2)证明:∵A'B'=A'C',点N为B'C'的中点,∴A'N⊥B'C'.∴S△BCN =×2×4=4.∵A'B'=A'C'=2,∠B'A'C'=90°,点N为B'C'的中点,∴A'N=,∴M到平面BCN 的距离为,∴V C-MNB=V M-BCN =×4.19.(本小题满分12分)(2022山西临汾高二期中)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD为直角梯形,AB⊥AD,AB∥CD,CD=AD=2AB=2AP.(1)求证:平面PCD⊥平面PAD;(2)在侧棱PC上是否存在点E,使得BE∥平面PAD,若存在,确定点E位置;若不存在,说明理由.(1)证明:∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥CD. ①又AB⊥AD,AB∥CD,∴CD⊥AD. ②由①②可得CD⊥平面PAD.又CD⊂平面PCD,∴平面PCD⊥平面PAD.(2)解:当点E是PC的中点时,BE∥平面PAD.∴BE∥AF.又BE⊄平面PAD,AF⊂平面PAD,∴BE∥平面PAD.20.(本小题满分12分)(2021浙江台州高二期末)如图,已知AE⊥平面CDE,四边形ABCD为正方形,M,N分别是线段BE,DE的中点.(1)求证:MN∥平面ABCD;(2)若,求EC与平面ADE所成角的正弦值.(1)证明:连接线段BD.在△BDE中,∵M,N分别是线段BE,DE的中点,∴MN为中位线,则MN∥BD.又MN⊄平面ABCD,BD⊂平面ABCD,∴MN∥平面ABCD.21.(本小题满分12分)(2022河北唐山高二期中)如图,三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC是等腰直角三角形,AB=AC=1,侧棱AA1⊥底面ABC,且AA1=2,E是BC的中点.(1)求异面直线AE与A1C所成角的余弦值;(2)求直线A1C与平面BCC1B1所成角的正切值.解:(1)在三棱柱ABC-A1B1C1中,取C1B1的中点H,连A1H与HC.∵E是BC的中点,∴A1H∥AE,∠CA1H是异面直线AE与A1C所成角.∵底面ABC是等腰直角三角形,E是BC的中点,∴AE⊥BC,∴A1H⊥BC.∵侧棱AA'⊥底面ABC,∴侧棱B1B⊥A1H,∴A1H⊥平面BCC1B1,∴A1H⊥HC.在Rt△A1HC中,cos∠CA1H=.(2)由(1)知A1H⊥平面BCC1B1,A1C在平面BCC1B1上的射影是HC,∴∠A1CH是直线A1C与平面BCC1B1所成角,在Rt△A1HC中,tan∠A1CH=.22. (本小题满分12分)(2021山东临沂高一期末)如图,在四棱锥P-ABCD中,ABCD是正方形,PD⊥平面ABCD,PD=AD=2,E,F,G分别是PC,PD,BC的中点.(1)求四棱锥P-ABCD的体积;(2)求证:平面PAB∥平面EFG;(3)在线段PB上确定一点M,使PC⊥平面ADM,并给出证明.(1)解:∵PD⊥平面ABCD,∴V P-ABCD =×S ABCD ×PD=×2×2×2=.取PB中点M,连接DE,EM,AM ,。
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高二数学下单元测试题二简单几何体（考试时间：100分钟 总分 100）一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）1．若正棱锥的底面边长与侧棱长都相等，则该棱锥一定不是 （ ） A ．三棱锥 B ．四棱锥 C ．五棱锥 D ．六棱锥 2．一个棱柱是正四棱柱的条件是（ ） A ．底面是正方形，有两个侧面是矩形 B ．底面是正方形，有两个侧面垂直于底面C ．底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直D ．每个侧面都是全等矩形的四棱柱3．如图，棱锥P-ABCD 的高PO ＝3，截面积A ’B ’C ’D ’平行于底面ABCD ，PO 与截面交于O ’，且OO ’＝2。
如果四边形ABCD 的面积为36，则四边形A ’B ’C ’D ’的面积为（ ） A ．12 B ． 16 C ． 4 D ． 84．一个凸多面体的面数为8，各面多边形的内角总和为16π，则它的棱数为（ ）A ．24B ．22C ．18D ．165．在棱长为1的正方体AC 1中，对角线AC 1在六个面上的射影长度总和是（ ）A ．36B ． 26C ．6D ．636．若一个四面体由长度为1，2，3的三种棱所构成，则这样的四面体的个数是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．87．棱长为a 的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积（ ）A ．33aB ．43aC ．63aD ．123a8．已知一个简单多面体的每个面均为五边形，且它共有30条棱，则此多面体的面数F 和顶点数V 分别等于（ ） A ．F=6,V=26 B ．F=8,V=24C ．F=12,V=20D ．F=20,V=129．有一空容器，由悬在它上方的一根水管均匀地注水，直至 把容器注满．在注水过程中水面的高度曲线如右图所示， 其中PQ 为一线段，则与此图相对应的容器的形状是（ ）A ．B ．C ．D ．10．一个水平放置的圆柱形贮油桶，桶内有油部分占底面一头的圆周长的41，则油桶直立时，油的高度与桶的高之比是（ ）A ．41B ．π2141-C ．81D ．π2181-11．平行六面体ABCD-A´B´C´D´的六个面都是菱形，那么顶点B 在平面ACB´上的射影一定是⊿ACB´的（ ）A ．重心B ． 外心C ．内心D ．垂心12．棱长为a 的正四面体中，高为H ，斜高为h ，相对棱间的距离为d ，则a ．H ．h ．d)的大小关系正确的是（ ） A ．d h H a >>> B ．d H h a >>>C ．H d h a >>>D ．H h d a >>>二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）13．正方体1111D C B A ABCD -中，棱长为a ，E 是1AA 的中点，在对角面D D BB 11上取一点M ，使AM+ME 最小，其最小值为 .14．一个三棱锥的三个侧面中有两个是等腰直角三角形，另一个是边长为1的正三角形，这样的三棱锥体积为 （写出一个可能值）．15．在正四棱锥P —ABCD 中，若侧面与底面所成二面角的大小为60°，则异面直线PA 与BC 所成角的大小等于 ．（结果用反三角函数值表示） 16．如图，在直四棱柱A 1B 1C 1 D 1－ABCD 中，当底面四边形ABCD 满足条件____________时，有A 1 B ⊥B 1 D 1．(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形．)三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分）17．（10分）已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形,两条侧棱长为213, 试求第三条侧棱长的取值范围．B 1C 1A 1D 1BACD18．（10分）长方体的底面积是4，对角线长是4，求长方体侧面积的最大值．19．（10分）如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，D 是BC 的中点，AB=a ． （Ⅰ）求证：直线A 1D ⊥B 1C 1； （Ⅱ）求点D 到平面ACC 1的距离； （Ⅲ）判断A 1B 与平面ADC 的位置关系， 并证明你的结论。
20．（10分）如图，在三棱锥ABC —S 中，⊥SA 平面ABC ，1==AC AB ，2=SA ，D 为BC 的中点． （1）判断AD 与SB 能否垂直，并说明理由； （2）若三棱锥ABC —S 的体积为63，且BAC ∠为钝角，求二面角A BC ——S 的平面角的正切值； （3）在（Ⅱ）的条件下，求点A 到平面SBC 的距离．参考答案 一、选择题1．D （4分） 2．C （4分） 3．C （4分） 4．D （4分） 5．B （4分） 6．A （4分）解析：满足条件的四面体只有如下两种情形：7．C （4分）解析：该内接正八面体的棱长为a 22，它的体积为().23612122231a a a =⋅⋅8．C （4分） 9．C （4分）10．B （4分）解析： 设圆柱的底面半径为R ，高为h ，油桶直立时油面的高度为x ，则().,21412221241πππ-=∴=-R x x R h R R11．B （4分） 解析：∵BA=BC=BB´∴B 在平面ACB´上的射影到三个顶点的距离也相等 即射影为⊿ACB´的外心。
12．B （4分）解析：易得H ==hd ==∴ d H h a >>>二、填空题13．a 23（3分）解析：如图,,,11B BB BD BB AC BD AC =⊥⊥.11D D BB AC 面⊥∴A 1AD C 1CE设AC ∩BD=O ，则AO=CO∴平面D D BB 11是线段AC 的垂直平分面 ∴C 是A 关于平面D D BB 11的对称点。
连CE 交面D D BB 11于M ，则M 就是要求的点 这时AM+ME 最小 又AM=CM∴AM+ME 的最小值就是CE 的长而2412222a a AE AC CE +=+==a 23 AM+ME 的最小值为a 23．14．242（3分） 15．552arcsin 55arccos 或 （3分） 16．AC ⊥BD,或AB=AD 且BC=DC （3分） 三、解答题17．（10分） 解: 如图, 四面体ABCD 中,AB=BC=CA=1DA=DC=13只有棱DB 的长x 是可变的． 在三角形ACD 中, M 为AC 的中点MD=32121322=⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛．MB=23 由MF-MB<BD<MD+MB (MF=MD)得: .23323<<BD18．（10分） 解：设长方体的底面长，宽分别为x,y, 高为z ．则)2......(4),1.......(42222=++=z y x xy由：（1）、（2），得222)x 4x (24x16x 16z +-=--=． ∵,4x4x ≥+∴]22,0(z ,22z ∈≤即. ∵)z 24(z 2z 24z 2z )y x (2S 222-=-⋅=+=侧.将22222z 24)z ()z 24(z +-=-的二次函数视为2z 的二次函数，它的增区间是[0，12].由于]22,0(z ∈，故当时8z 2=，)z 24(z 22-取最大值128. ∴侧S 的最大值为216.19．（10分） （Ⅰ）证明：∵点D 是正△ABC 中BC 边的中点，∴AD ⊥BC 又A 1A ⊥底面ABC ∴A 1D ⊥BC ∵BC ∥B 1C 1 ∴A 1D ⊥B 1C 1．（Ⅱ）解：作DE ⊥AC 于E∵平面ACC 1⊥平面ABC ， ∴DE ⊥平面ACC 1于E即DE 的长为点D 到平面ACC 1的 距离． 在Rt △ADC 中， AC=2CD=.23,a AD a =∴所求的距离.43a ACAD CD DE =⋅= （Ⅲ）答：直线A 1B//平面ADC 1，证明如下：证明：连结A 1C 交AC 1于F则F 为A 1C 的中点 ∵D 是BC 的中点 ∴DF ∥A 1B又DF ⊂ 平面ADC 1，A 1B ⊄平面ADC 1∴A 1B ∥平面ADC 1．20．（10分）解：（1）因为SB 在底面ABC 上的射影AB 与AD 不垂直，否则与AB =AC 且D 为BC 的中点矛盾， 所以AD 与SB 不垂直 （2）设θ=∠BAC则632121312=θ⨯⨯⨯⨯=sin V解得23=θsin所以060=θ（舍），0120=θ．⊥SA 平面ABC ，AB =AC ，D 为BC 的中点BC SD BC AD ⊥⊥,则SDA ∠是二面角S —BC —A 的平面角 在SDA Rt ∆中，4==∠ADSASDA tan 故二面角的正切值为4（3）由（2）知，⊥BC 平面SDA所以平面SBC ⊥平面SDA过点A 作AE ⊥SD ，则AE ⊥平面SBC 于是点A 到平面SBC 的距离为AE, 从而17172=∠=SDA AD AE sin即A 到平面SBC 的距离为17172。