棱锥的体积教案

在实践中学习，在反思中提高课例：《棱锥的体积》上海市大团高级中学李青随着“二期课改”的不断推进，“二期课改”已经由理念层面向课堂实践层面不断深入。

作为一名第一线的教师，如何将先进的教育理念，渗透到平时的课堂教学中呢？这是每一位一线教师，必须去面对、去实践的课题。

笔者通过前段时间的理论学习，积极投入课堂教学中去实践。

为了检验前段时期的学习与实践的效果，进行了一次教学研讨活动，开设了公开课《棱锥的体积》。

《棱锥的体积》是学生在学习了棱柱的体积及棱锥的性质后，学生已经具备了一定的知识基础来学习棱锥的体积公式。

本课例是培养学生运用知识、发展能力的有效载体。

但如何组织好、处理好教材，以利于最大程度地满足学生的发展需要。

引起了我深深的思索。

为此，笔者对教材进行了认真仔细地研读，教材是通过证明命题“等底等高的两个棱锥，它们的体积相等”为出发点，来探求三棱锥的体积，将一个三棱锥补成一个三棱柱，从而证明V三棱锥=13V三棱柱。

最后得到一般棱锥的体积公式V棱锥=13Sh及其公式的应用。

我感到，如果按照教材的设计进行教学，学生会觉得这些知识很神秘，很深奥，也较难接受与理解，学生会产生种种疑问。

例如，求棱锥的体积怎么会想到证明命题问题？再者，由于学生缺乏一定的空间想象力，更想不到将一个三棱锥补成一个三棱柱，学生没有这种思维意识。

针对学生面临的种种困惑，我对教材进行了重新设计。

按照数学发现规律和学生的认知规律组织教学，让学生在观察----猜测--------论证------推导棱锥的体积的公式------公式的应用中，体验知识的发生、发展过程，在灵活运用知识的过程中，培养发展学生的能力。

按照这个思路，我进行了第一次教学。

第一次教学过程：1.创设情境，提出问题师：前面，我们学习了棱柱及其性质，并用祖暅原理，推导了棱柱的体积公式。

1）祖暅原理：夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的平面所截得的两个截面的面积都相等，那么这两个几何体的体积相等。

（用电脑演示）2）V棱柱=Sh（S为棱柱的底面积，h为棱柱的高）C1最近，我们在学习棱锥及其性质，今天，我们将要学习棱锥的体积。

2.实验观察，猜测结论1）三棱柱与三棱锥之间有什么关系 教师将一个三棱柱分割成三个三棱锥（12）猜测：三棱锥的体积V 三棱锥=13 V 棱柱=13Sh这个结论成立吗？我们必须要证明。

3.探究新课，推导三棱锥体积公式师：三棱柱分割为三个三棱锥，如果能证明三个三棱锥的体积相等，那么V 三棱锥=13V 棱柱下面，我们来仔细观察（教师演示）三个三棱锥有什么特点： 1）底面积相等，2)棱锥的高相等具有这样特点的棱锥的体积是否相等？（现在我们来证明这个命题） 命题：已知：两个棱锥底面积都是S ，高都是h 求证：两个棱锥的体积相等证明：把两个棱锥的底面放在平面α上，作平行于α的任意平面β去截两个棱锥，所得的面积为S 1,S 2，设平面β与两个棱锥顶点都相距h 1由棱锥性质得 211()S h S h = 221()S hS h= S 1=S 2根据祖暅原理，两个棱锥的体积相等 V 1=V 2结论：等底等高的两个棱锥，它们的体积相等这样我们再来观察三个三棱锥，都是等底等高，所以，V 1=V 2=V 3 小结：已知三棱锥P-ABC ，底面积为S ，高为h.V 三棱锥= 13sh4.引伸拓展，推导棱锥体积公式刚才，我们学习了三棱锥的体积公式， 那么，对于一般的棱锥，如何求它的体积？ 让学生思考一下，FV 棱锥=13sh 说明：强调棱锥的体积；1）底面积S ，2）高h ，3）系数13注意与棱柱体积公式的区别 5.简单应用，知识体验例1.60度，求正三棱锥的体积。

解：过P 作PO ⊥平面ABC,垂足为O ，则O 是三角形ABC 的中心，连接AO 并延长交BC 于D,连接PD,PD ⊥BC ，所以∠PDO∠PDO=60，ctg60=1设三角形ABC 边长为a,CD=113=ABC =V 三棱锥=11333ABCSOP ⨯=⨯= 说明：求底面积与高例2：如图是一个石柱，石柱的上部是一个正四棱锥，下部是一个正四棱柱，已知正四棱柱的底面边长是0.5米，高为1料的比重为2400千克/说明：体积在实际生活中是有广泛应用的 6.回顾小结 归纳整理今天，我们学习了棱锥的体积公式，V 棱锥=13Sh7.布置作业 8.思考题已知：三棱锥的三个侧面两两互相垂直，且它们的面积分别是6，4，3，求此三棱锥的体积。

第一次反思：1：教师在教学设计与教学时，虽然按照数学发现规律与学生认知规律开展教学，教师从学生已有的知识的出发，由三棱柱与三棱锥的关系，经观察----猜测------论证------推导棱锥的体积的公式------公式的应用，这条主线组织教学。

教师的主导的作用明显，但通过对比“二期课改”的理念，我想，这样的教学效果好吗？学生真的是这样学习的吗？看似符合学生的认知规律，但站在学生的发展角度看，特别是从学生能力发展与潜能开发上，还存在一定差距，总感到学生似乎没有“真正”参与教学，只是由教师牵引着一步步达到教学目标，学生的主动探究、学生的思维没有“真正”激活，还是有点被动的接受教师的教学设计思路开展思考，缺少一种野性思维与创造性思维。

2：“二期课改”所提倡的学生学习方式转变，本节课体现不够充分，学生的讨论、交流、探究，学生的亲身体验，虽然有所表现，但总感到不够深入，有点肤浅。

没有给学生充分地数学活动、数学思考、经历数学化的机会。

例：三棱柱与三棱锥割补，是否让学生亲自实践操作一下，亲自动手操作一次，亲身经历一次，印象会更深刻一些，也更容易理解一些。

3：多媒体与学科有机整合，是提高课堂教学效率的一个重要途径。

本节课多媒体的使用效果是比较精彩的：由三棱柱分割成三个三棱锥，动画过程清晰：由平行平面截几何体的截面，生动形象：由一般棱锥分割成若干个三棱锥，学生能很直观的观察到，理解也较容易。

把思考过程很生动形象的展示在学生面前。

但也感到存在一点隐患，数学是培养学生抽象思维能力的一门学科，需要学生有一定的空间想象与抽象能力，太多的具体的感知，是否会影响学生的想象力。

通过第一次的教学实践与反思，针对存在的问题，如：学生学习方式的转变，激活学生的思维能力等，怎样更好的体现“二期课改”的所倡导的教学理念，笔者重新对本节课的教学进行思考与设计。

进行了第二次教学。

第二次教学过程一、提出问题激活思维师：前面已经学习了棱锥以及棱锥的性质，今天我们学习棱锥的体积启发学生回顾棱柱的体积公式V棱柱=Sh已知棱锥P-ABCDEF的底面积ABCDEF=S，高PH=h求P ABCDEFV请同学思考解题方法，可以相互讨论，对这个问题，你是如何思考的？不一定要准确结论，而是思考解决问题的方法。

二、交流学习共享成果师：通过，刚才的思考与相互讨论，请同学交流一下想法生1：我是这样想的，将棱锥P-ABCDEF分割成若个三棱锥，这样只要解决三棱锥的体积就可以了。

生2：我是这样想的，求棱柱的体积时，我们构造了一个等底等高的长方体，根据祖暅原理，求出了棱柱体积。

是否也可以用样的方法构造一个等底等高的三棱锥，根据祖暅原理求出棱锥的体积。

生3：我是这样想的，根据物理知识处理，将棱锥放入水中，排出的水的体积就是棱锥的体积师：通过同学们的交流，大多数同学同意三位同学的想法，同学3能利用物理知识处理是很好的想法，属于创新。

但数学是严密的，今天学习棱锥体积计算是希望得到一个计算方法或公式。

从生1，生2两位同学交流中，我们发现一个共性的东西，那就是都涉及到了要求三棱锥的体积。

这样，将问题转化为求三棱锥的体积，下面我们一起共同探究。

三、动手操作猜测结论师：同学们知道，一个平行四边形可以分割成两个面积相等三角形。

那么三棱柱能否分割成几个体积相等的三棱锥呢？请同学们动手拿出预先准备的三棱柱，进行操作分割，可以相互讨论。

教师用模型实物进行演示，再通过多媒体进行演示同时，要求学生将这个分割过程，作图表示出来1）用体积表示123V V++师：请同学们仔细观察，猜测结论V=三棱锥？并说明理由。

生4：我猜：V三棱锥=13V棱柱。

因为，在图（1）、（3）中，111ABC A B Cs s=，且它们的高相等。

在图（2）、（3）中，111BB C BB Cs s=，且它们的高相等。

根据祖暅原理，123v v v==，所以V三棱锥=13V棱柱=13sh。

师：同学们，想一想，生4讲得对不对？有没有什么要补充的？生5：我觉得有点不妥，祖暅原理是用平行于底面的任意平面去截，截面的面积都相等，则体积相等。

而他说，只有一个底面111ABC A B Cs s=且高相等，就说它们的体积相等，有点想不通。

四、论证猜测，体验成功师：那我们一起来想办法，帮生5想通这个问题。

已知两个三棱锥1111P-ABC, P A B C-且111ABC A B Cs s=，高相等为h求证：1111P ABC P A B CV V--=证明：把两个三棱锥1111P-ABC, P A B C -放在平面α上且高相等，用一个平行于底面的任意平面β去截棱锥，截得的面积分别为S1，S2，根据棱锥的性质11ABCS h S h ∆= ，11121A B C S h S h ∆=S1=S2由祖暅原理得，1111P ABCP A B C V V --=结论：等底等高的两个三棱锥的体积相等 师：23v v=， 13v v =，所以，V 三棱锥=13V 棱柱=13sh五、学生自主探究活动师：下面请同学们自主探究开始提出的问题 。

求一般棱锥的体积 请两位同学交流讲解， 用实物投影演示过程。

生6：生7：F师：V 三棱锥 =13sh说明：强调棱锥的体积；1）底面积S ，2）高h ，3）系数13注意与棱柱体积公式的区别六、简单应用，知识体验例1.60度，求正三棱锥的体积。

解：过P 作PO ⊥平面ABC,垂足为O ，则O 是三角形ABC 的中心，连接AO 并延长交BC 于D,连接PD,PD ⊥BC ，所以∠PDO 是侧面与底面所成的二面角，∠PDO=60，ctg60=1设三角形ABC 边长为a,CD=113=ABC =V 三棱锥=11333ABCSOP ⨯=⨯= 说明：求底面积与高例2：如图是一个石柱，石柱的上部是一个正四棱锥，下部是一个正四棱柱，已知正四棱柱的底面边长是0.5米，高为1米，石料的比重为2400千克/立方米，求这个石柱的重量。

说明：体积在实际生活中是有广泛应用的 七、回顾小结，归纳整理今天我们学习了棱锥的体积公式，V棱锥=13Sh八、灵活运用，培养能力 思考题1、如图，在多面体ABCDEF 中，已知平面ABCD 是边长为3的正方形，3,.2EF AB EFEF 与平面ABCD 距离为2，求多面体ABCDEF 的体积。