最新《高等数学》(同济六版)教学课件★第3章.微分中值定理与导数的应用(2)
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同济大学数学系《高等数学》(第6版)上册笔记和课后习题(含考研真题)详解-微分中值定理与导数的应用(
。
在带有佩亚诺型余项的泰勒公式中，如果取 x0＝0，则有带有佩亚诺型余项的麦克劳林 公式：
。 如 果 存 在 正 实数 M 使得 区 间 （ -r， r ） 里 的任意 x 都 有
，如果当 n 趋向于无穷大时，
，则
，那么 。
可得近似公式：
。
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四、函数的单调性 微分中值定理，强调了函数值与导数之间的关系。这部分主要介绍如何通过函数的导数 来判定函数的单调性或凹凸性等性质。 1．单调性的判定 【定理】设函数 y＝f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导。 （1）如果在（a，b）内 f＇（x）＞0，那么函数 y＝f（x）在[a，b]上单调增加； （2）如果在（a，b）内 f＇（x）＜0，那么函数 y＝f（x）在[a，b]上单调减少； 如果把这个判定法中的闭区间换成其他各种区间（包括无穷区间），那么结论也成立。 这是函数单调性判定的一个最基本也是最重要的法则。
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那么在（a，b）内至少有一点 ε，使等式
成立。
拉格朗日中值公式是柯西中值公式的特殊形式。
二、洛必达法则 洛必达法则在求函数极限过程中，有重要作用，在考研试题中也经常出现。一般，洛必 达法则针对 或 形式的极限公式。下面我们主要介绍相关定理及引入一些例题，方便读 者更进一步理解洛必达法则的应用。 1．x→a 【定理】设 （1）当 x→a 时，函数 f（x）及 F（x）都趋于零； （2）在点 a 的某去心邻域内，f＇（x）及 F＇（x）都存在且 F＇（x）≠0；
（3）Biblioteka 存在（或为无穷大），那么
。
在带有佩亚诺型余项的泰勒公式中，如果取 x0＝0，则有带有佩亚诺型余项的麦克劳林 公式：
。 如 果 存 在 正 实数 M 使得 区 间 （ -r， r ） 里 的任意 x 都 有
，如果当 n 趋向于无穷大时，
，则
，那么 。
可得近似公式：
。
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四、函数的单调性 微分中值定理，强调了函数值与导数之间的关系。这部分主要介绍如何通过函数的导数 来判定函数的单调性或凹凸性等性质。 1．单调性的判定 【定理】设函数 y＝f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导。 （1）如果在（a，b）内 f＇（x）＞0，那么函数 y＝f（x）在[a，b]上单调增加； （2）如果在（a，b）内 f＇（x）＜0，那么函数 y＝f（x）在[a，b]上单调减少； 如果把这个判定法中的闭区间换成其他各种区间（包括无穷区间），那么结论也成立。 这是函数单调性判定的一个最基本也是最重要的法则。
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那么在（a，b）内至少有一点 ε，使等式
成立。
拉格朗日中值公式是柯西中值公式的特殊形式。
二、洛必达法则 洛必达法则在求函数极限过程中，有重要作用，在考研试题中也经常出现。一般，洛必 达法则针对 或 形式的极限公式。下面我们主要介绍相关定理及引入一些例题，方便读 者更进一步理解洛必达法则的应用。 1．x→a 【定理】设 （1）当 x→a 时，函数 f（x）及 F（x）都趋于零； （2）在点 a 的某去心邻域内，f＇（x）及 F＇（x）都存在且 F＇（x）≠0；
（3）Biblioteka 存在（或为无穷大），那么
。
《高等数学》第六版上册同济大学出版社课件PPT
1 x
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1 t4
1 t2
d
t
t 2 0 1t4
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ห้องสมุดไป่ตู้
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d
x x4
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x
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x2 x4
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x
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二无界函数的反常积分第四节常义积分积分限有限被积函数有界推广一无穷限的反常积分反常积分广义积分反常积分第五章1一无穷限的反常积分引例
第四节 反常积分
第五章
积分限有限 常义积分 被积函数有界
推广
反常积分 (广义积分)
一、无穷限的反常积分
二、无界函数的反常积分
1
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一、无穷限的反常积分
F (b)
F(c )
F(c ) F(a)
可相消吗?
12
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例4. 计算反常积分
解: 显然瑕点为 a , 所以
原式
arcsin x a
a 0
arcsin1
π 2
例5. 讨论反常积分
的收敛性 .
解所下:以述1反1解dx常x2法积是分0否1dx1x正x2 确11:0发1dxx散21.11x2 ,0∴1 积 分 1x收敛01
x2
高等数学第六版上下册(同济大学出版社)课件
具有重要的作用。
不定积分的几何意义
不定积分表示的是一种曲线族 ，每一条曲线都有一个与之对
应的方程。
积分的应用场景
01
物理应用
积分在物理中有广泛的应用，例 如计算物体的质量、重心、转动 惯量等。
工程应用
02
03
经济应用
积分在工程中有广泛的应用，例 如计算曲线的长度、面积、体积 等。
积分在经济中有广泛的应用，例 如计算总成本、总收益、总利润 等。
05
多重积分与向量分析
二重积分的概念与性质
二重积分的定义
二重积分是定积分在二维平面上的推广，表示一个二元函数在某个区域上的累积值。
二重积分的性质
二重积分具有可加性、可减性、可交换性等性质，这些性质使得二重积分在解决实际问题中具有广泛的应用。
三重积分的概念与性质
三重积分的定义
三重积分是定积分在三维空间上的推广 ，表示一个三元函数在某个区域上的累 积值。
03
导数与微分
导数的概念与性质
导数的定义
导数描述了函数在某一点附近的变化率，是函数局部 性质的一种体现。
导数的几何意义
导数在几何上表示函数图像在某一点的切线的斜率。
导数的性质
导数具有一些基本的性质，如线性性质、乘积法则、 商的导数法则等。
微分的概念与性质
微分的定义
01
微分是函数在某一点附近的小变化量，用于近似计算函数的值
求函数的最值
导数可以用于求函数在一定区间内的最大值和最小值，这在优化问题中具有广泛的应用。
04
积分
定积分的概念与性质
01
定积分的定义
定积分是积分的一种，是函数在区间上与区间的乘积在区间的两个端点
不定积分的几何意义
不定积分表示的是一种曲线族 ，每一条曲线都有一个与之对
应的方程。
积分的应用场景
01
物理应用
积分在物理中有广泛的应用，例 如计算物体的质量、重心、转动 惯量等。
工程应用
02
03
经济应用
积分在工程中有广泛的应用，例 如计算曲线的长度、面积、体积 等。
积分在经济中有广泛的应用，例 如计算总成本、总收益、总利润 等。
05
多重积分与向量分析
二重积分的概念与性质
二重积分的定义
二重积分是定积分在二维平面上的推广，表示一个二元函数在某个区域上的累积值。
二重积分的性质
二重积分具有可加性、可减性、可交换性等性质，这些性质使得二重积分在解决实际问题中具有广泛的应用。
三重积分的概念与性质
三重积分的定义
三重积分是定积分在三维空间上的推广 ，表示一个三元函数在某个区域上的累 积值。
03
导数与微分
导数的概念与性质
导数的定义
导数描述了函数在某一点附近的变化率，是函数局部 性质的一种体现。
导数的几何意义
导数在几何上表示函数图像在某一点的切线的斜率。
导数的性质
导数具有一些基本的性质，如线性性质、乘积法则、 商的导数法则等。
微分的概念与性质
微分的定义
01
微分是函数在某一点附近的小变化量，用于近似计算函数的值
求函数的最值
导数可以用于求函数在一定区间内的最大值和最小值，这在优化问题中具有广泛的应用。
04
积分
定积分的概念与性质
01
定积分的定义
定积分是积分的一种，是函数在区间上与区间的乘积在区间的两个端点
《高等数学》同济六版教学课件★第3章微分中值定理与导数的应用2
(或 x )
f ( x) b lim x [ k ]0 x x x
f ( x) b lim [ k ]0 x x x
b lim [ f ( x) k x]
x (或 x )
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结束
例2. 求曲线
3
的渐近线.
y
3 O 1
y x2
例3. 描绘
解: 1) 定义域为
的图形.
无对称性及周期性. y
2) y x 2 2 x , y 2 x 2 ,
令 y 0 , 令 y 0 ,
3)
1 O 1
2 3
x ( , 0) y y y x 1 3 y 2 2 3
0 0
(0 ,1)
1
0
4 3
(极大) (拐点)
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x y y y
0 0
1 2π
(0 , 1)
1
0
1 2πe
(1, ) 源自(极大)(拐点)
4) 求渐近线
y
1 2π
lim y 0
x
y
1 e 2π
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6）绘图
x ( , 1) 1 (1,1)
y
铅直渐近线 斜渐近线 特殊点
1
无 定 义
(1, 3) 3
(3 , )
2
(极大)
0
(极小)
x 1 1 5 y x 4 4
y
2 1
( x 3) 2 y 4( x 1)
O1 2 3 5 5 y1 x 4 4
第六节 函数图形的描绘
一、 曲线的渐近线 二、 函数图形的描绘
f ( x) b lim x [ k ]0 x x x
f ( x) b lim [ k ]0 x x x
b lim [ f ( x) k x]
x (或 x )
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例2. 求曲线
3
的渐近线.
y
3 O 1
y x2
例3. 描绘
解: 1) 定义域为
的图形.
无对称性及周期性. y
2) y x 2 2 x , y 2 x 2 ,
令 y 0 , 令 y 0 ,
3)
1 O 1
2 3
x ( , 0) y y y x 1 3 y 2 2 3
0 0
(0 ,1)
1
0
4 3
(极大) (拐点)
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x y y y
0 0
1 2π
(0 , 1)
1
0
1 2πe
(1, ) 源自(极大)(拐点)
4) 求渐近线
y
1 2π
lim y 0
x
y
1 e 2π
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6）绘图
x ( , 1) 1 (1,1)
y
铅直渐近线 斜渐近线 特殊点
1
无 定 义
(1, 3) 3
(3 , )
2
(极大)
0
(极小)
x 1 1 5 y x 4 4
y
2 1
( x 3) 2 y 4( x 1)
O1 2 3 5 5 y1 x 4 4
第六节 函数图形的描绘
一、 曲线的渐近线 二、 函数图形的描绘
《高等数学》(同济六版)教学★
旳切线与直线
平行 ? 写出其切线方程.
解:
令
得
相应
则在点(1,1) , (–1,–1) 处与直线
平行旳切线方程分别为
即
故在原点 (0 , 0) 有铅直切线
四、 函数旳可导性与连续性旳关系
定理1.
证:
设
在点 x 处可导,
存在 ,
所以必有
其中
故
所以函数
在点 x 连续 .
注意: 函数在点 x 连续，但在该点未必可导.
证明中利用了两个主要极限
初等函数求导问题
本节内容
一、四则运算求导法则
定理1.
旳和、
差、
积、
商 (除分母
为 0旳点外) 都在点 x 可导,
且
下面分三部分加以证明,
并同步给出相应旳推论和
例题 .
此法则可推广到任意有限项旳情形.
证: 设
则
故结论成立.
例如,
(2)
证: 设
则有
故结论成立.
推论:
( C为常数 )
反例:
在 x = 0 处连续 , 但不可导.
即
在点
旳某个右 邻域内
五、 单侧导数
若极限
则称此极限值为
记作
即
(左)
(左)
例如,
在 x = 0 处有
定义2 . 设函数
有定义,
存在,
定理2. 函数
在点
且
简写为
定理3. 函数
(左)
(左)
若函数
与
都存在 ,
则称
显然:
在闭区间 [a , b] 上可导
可导, 且
则
时, 有
平行 ? 写出其切线方程.
解:
令
得
相应
则在点(1,1) , (–1,–1) 处与直线
平行旳切线方程分别为
即
故在原点 (0 , 0) 有铅直切线
四、 函数旳可导性与连续性旳关系
定理1.
证:
设
在点 x 处可导,
存在 ,
所以必有
其中
故
所以函数
在点 x 连续 .
注意: 函数在点 x 连续，但在该点未必可导.
证明中利用了两个主要极限
初等函数求导问题
本节内容
一、四则运算求导法则
定理1.
旳和、
差、
积、
商 (除分母
为 0旳点外) 都在点 x 可导,
且
下面分三部分加以证明,
并同步给出相应旳推论和
例题 .
此法则可推广到任意有限项旳情形.
证: 设
则
故结论成立.
例如,
(2)
证: 设
则有
故结论成立.
推论:
( C为常数 )
反例:
在 x = 0 处连续 , 但不可导.
即
在点
旳某个右 邻域内
五、 单侧导数
若极限
则称此极限值为
记作
即
(左)
(左)
例如,
在 x = 0 处有
定义2 . 设函数
有定义,
存在,
定理2. 函数
在点
且
简写为
定理3. 函数
(左)
(左)
若函数
与
都存在 ,
则称
显然:
在闭区间 [a , b] 上可导
可导, 且
则
时, 有
同济高等数学(第六版)第三章PPT D3 3泰勒公式
Rn ( x) f ( x) pn ( x)
( 在 x0 与 x 之间)
( n1) ( n1) pn ( x) 0 , Rn ( x) f ( n1) ( x)
Rn ( x)
f ( n1) ( ) (n 1) !
( x x0 ) n1 ( 在 x0 与 x 之间)
若每项四舍五入到小数点后 6 位,则 各项舍入误差之和不超过 7 0.5 10 , 总误差限为 7 0.5 106 10 6 5 106 这时得到的近似值不能保证误差不超过 10 6. 因此计算时中间结果应比精度要求多取一位 .
6
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例2. 用近似公式
3 6 10 Rn (1) (n 1) ! 由计算可知当 n = 9 时上式成立 , 因此 1 1 e 11 2.718282 2! 9!
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说明: 注意舍入误差对计算结果的影响.
1 1 本例 e 1 1 2! 9!
f ( x0 )( x x0 ) 2
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2. 余项估计
令 Rn ( x) f ( x) pn ( x) (称为余项) , 则有
Rn ( x) ( x x0 ) n1 (1 ) Rn Rn ( x) Rn ( x0 ) (1 在 x0 与 x 之间) n n1 (n 1)(1 x0 ) ( x x0 ) 0 (1 ) Rn ( 2 ) Rn Rn ( x0 ) ( 2 在 x0 与 n (n 1)(1 x0 ) 0 (n 1)n( 2 x0 ) n1 1 之间)
(n) ( n 1) R ( x ) R ( ) n 0 n ( 在 x0 与 xn 之间) (n 1) 2( n x0 ) 0 (n 1) !
《高等数学》(同济六版)教学课件★第2章.导数与微分
( 构造性定义 ) 本节内容
( C ) 0 ( sin x ) cos x 证明中利用了 1 两个重要极限 ( ln x ) x
初等函数求导问题
求导法则 其他基本初等 函数求导公式
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结束
一、四则运算求导法则
定理1. 函数 u u ( x) 及 v v( x) 都在点 x 可导
第二章 导数与微分
微积分学的创始人:
导数思想最早由法国 数学家 Ferma 在研究 极值问题中提出.
英国数学家 Newton
德国数学家 Leibniz 微分学
导数
微分
描述函数变化快慢
描述函数变化程度
都是描述物质运动的工具 (从微观上研究函数)
第一节 导数的概念
一、引例 二、导数的定义
第二章
三、导数的几何意义
例6. 设
f ( x0 h) f ( x0 h) . 存在, 求极限 lim h 0 2h
是否可按下述方法作: f ( x ) f ( x0 ) hf)( x0f h (x ) 0 0) 0 解: 原式 lim
令 t x0 0h , 则 h
原式 1 f ( x ) 1 f ( x ) f ( x0 ) 0 0 2 2
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线密度 是质量增量与长度增量之比的极限
电流强度 是电量增量与时间增量之比的极限
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二、导数的定义
定义1 . 设函数 若
在点
的某邻域内有定义 ,
y f ( x ) f ( x0 ) x x x0
y f ( x ) f ( x0 ) lim lim x x0 x 0 x x x0
( C ) 0 ( sin x ) cos x 证明中利用了 1 两个重要极限 ( ln x ) x
初等函数求导问题
求导法则 其他基本初等 函数求导公式
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一、四则运算求导法则
定理1. 函数 u u ( x) 及 v v( x) 都在点 x 可导
第二章 导数与微分
微积分学的创始人:
导数思想最早由法国 数学家 Ferma 在研究 极值问题中提出.
英国数学家 Newton
德国数学家 Leibniz 微分学
导数
微分
描述函数变化快慢
描述函数变化程度
都是描述物质运动的工具 (从微观上研究函数)
第一节 导数的概念
一、引例 二、导数的定义
第二章
三、导数的几何意义
例6. 设
f ( x0 h) f ( x0 h) . 存在, 求极限 lim h 0 2h
是否可按下述方法作: f ( x ) f ( x0 ) hf)( x0f h (x ) 0 0) 0 解: 原式 lim
令 t x0 0h , 则 h
原式 1 f ( x ) 1 f ( x ) f ( x0 ) 0 0 2 2
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线密度 是质量增量与长度增量之比的极限
电流强度 是电量增量与时间增量之比的极限
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二、导数的定义
定义1 . 设函数 若
在点
的某邻域内有定义 ,
y f ( x ) f ( x0 ) x x x0
y f ( x ) f ( x0 ) lim lim x x0 x 0 x x x0
高数(微积分)中值定理和导数应用课件
有限增量公式
微小增量公式
拉格朗日中值定理的推论
推论1：
若 f ( x ) 在 [ a ,b ] 上恒为零 , 则 f 在 [ a ,b ] 上恒 .
[证]
在 [a, b]上任意取定一点 x0
x [ a ,b ], f( x ) 在 [ x ,x ] 或 [ x ,x ] 上满足 0 0 朗日中值定理条件
(2)
M m . 此时, 由于 f (a ) f (b) , 故 M , m 之一是函
数在(a, b)内的函数值.
不妨设 M f ( ) ( a b ) . 此时, 是函数的局部 最大值点. 由费尔马引理 f ( ) 0 .
三、拉格朗日(Lagrange )定理
f ( x ) 0 0
说明:
f(x 必要条件 . 0)0是可导函数取得极值的
极值 . 点
满f 足 ( x ) 0 的 x 点 不一定 f的 是 一 函 0 0
y f(x ) 的驻点 称使 f(x 0)0的点 x 0 为函数
二、罗尔(Rolle)定理
罗尔定理 若函数 f ( x )满足下列条件: (1) 在[a, b]上连续; (2) 在 (a, b)内可导; (3) f (a) f (b) , 则在 (a, b)内至少存在一点 使得 f ( ) 0 .
故
1 ln( 1 x ) 1 .( x 0 ) 1 x x
例 4． 设 f C[0,1],在 (0,1)内可导,且 f (1) 0. 求证,存
证
在 (0,1)使得 f ( )
f ( )
.
x xf x 设 F ，显然 Fx在 [0,1] 上连续;
微小增量公式
拉格朗日中值定理的推论
推论1：
若 f ( x ) 在 [ a ,b ] 上恒为零 , 则 f 在 [ a ,b ] 上恒 .
[证]
在 [a, b]上任意取定一点 x0
x [ a ,b ], f( x ) 在 [ x ,x ] 或 [ x ,x ] 上满足 0 0 朗日中值定理条件
(2)
M m . 此时, 由于 f (a ) f (b) , 故 M , m 之一是函
数在(a, b)内的函数值.
不妨设 M f ( ) ( a b ) . 此时, 是函数的局部 最大值点. 由费尔马引理 f ( ) 0 .
三、拉格朗日(Lagrange )定理
f ( x ) 0 0
说明:
f(x 必要条件 . 0)0是可导函数取得极值的
极值 . 点
满f 足 ( x ) 0 的 x 点 不一定 f的 是 一 函 0 0
y f(x ) 的驻点 称使 f(x 0)0的点 x 0 为函数
二、罗尔(Rolle)定理
罗尔定理 若函数 f ( x )满足下列条件: (1) 在[a, b]上连续; (2) 在 (a, b)内可导; (3) f (a) f (b) , 则在 (a, b)内至少存在一点 使得 f ( ) 0 .
故
1 ln( 1 x ) 1 .( x 0 ) 1 x x
例 4． 设 f C[0,1],在 (0,1)内可导,且 f (1) 0. 求证,存
证
在 (0,1)使得 f ( )
f ( )
.
x xf x 设 F ，显然 Fx在 [0,1] 上连续;
同济大学第六版高数第3章课件第二节
lim cos x sin x x
0
2
2
lim(sin x)tan x lim eln y lim e0 1
x
x
x
2
2
2
中值定理与导数的应用
15
例9
求
ax lim(
bx
cx
1
)x
x0
3
(a 0,b 0,c 0)
解
设
y
ax (
bx
cx 1 )x
3
设
ln
y
1
ax ln
bx
cx
ln(a x bx c x ) ln 3
lim(a x
bx
cx
1
)x
lim eln y 3 abc
x0
3
x0
中值定理与导数的应用
16
1
例10 求 lim (cot x)ln x . ( 0 1
x)ln x
1 ln(cot x )
e ln x
,
11
lim 1 ln(cot x0 ln x
x)
lim
x0
cot
x
xka x ln k1 a
x 时 , x是ln x的高阶无穷大， ( 0,a 1) a x是x的高阶无穷大.
中值定理与导数的应用
8
练习题
求极限 : (1)lim tan x 1 1 (2) lim sin x x cos x 1
x sin 4 x 2
x0 x sin 2 x
3
4
ln sin x
g( x)
g( x)
中值定理与导数的应用
11
二、其它未定式
1. 0 型
同济六版高数课件青岛大学
内容特点
同济六版高数教材注重数学基础知识的传授和数学思维的培养，涵盖了高等数学的主要内容，包括极限、导数、微积 分、线性代数、微分方程等。
影响与评价
同济六版高数教材是国内高校应用较为广泛的高等数学教材之一，被广大师生认可和推荐，对于提高学 生的数学素养和思维能力具有积极的作用。
青岛大学高数课程概述
03
第二章：导数与微分
导数定义与性质
01
导数的定义
导数描述了函数在某一点处的切线的 斜率，是函数局部变化率的一种度量 。
02
导数的性质
导数具有一些重要的性质，如线性性 质、乘积法则、商的法则、链式法则 等。
03
导数的几何意义
导数在几何上表示函数图像在某一点 处的切线的斜率，即函数值增量与自 变量增量之比在增量趋于0时的极限 。
探讨多元函数在某点附近的变化率，为偏导数和全微 分的研究奠定基础。
偏导数与全微分
偏导数
描述多元函数在某一变量上的变化率，通过偏 导数可研究函数局部性质。
全微分
全面研究多元函数在各变量上的变化，通过全 微分可近似计算函数值的变化。
链式法则
探讨复合函数偏导数的计算方法，简化复杂函数的偏导数计算。
二重积分与三重积分
微分的几何意义
微分在几何上表示函数图像在某一点处的切线的纵坐标增量。
微分的应用
微分在近似计算、误差估计、求极值等方面有重要应用。
04
第三章：不定积分
不定积分定义与性质
不定积分定义
不定积分是微积分中的一个重要概念， 它表示一个函数的原函数或反导数。 给定一个函数f(x)，其不定积分记作 ∫f(x)dx，表示f(x)的一个原函数。
物理应用
定积分在物理中有广泛的应用，例如在计算匀加 速直线运动的路程、变力做功等问题中都会用到 定积分的计算方法。
同济六版高数教材注重数学基础知识的传授和数学思维的培养，涵盖了高等数学的主要内容，包括极限、导数、微积 分、线性代数、微分方程等。
影响与评价
同济六版高数教材是国内高校应用较为广泛的高等数学教材之一，被广大师生认可和推荐，对于提高学 生的数学素养和思维能力具有积极的作用。
青岛大学高数课程概述
03
第二章：导数与微分
导数定义与性质
01
导数的定义
导数描述了函数在某一点处的切线的 斜率，是函数局部变化率的一种度量 。
02
导数的性质
导数具有一些重要的性质，如线性性 质、乘积法则、商的法则、链式法则 等。
03
导数的几何意义
导数在几何上表示函数图像在某一点 处的切线的斜率，即函数值增量与自 变量增量之比在增量趋于0时的极限 。
探讨多元函数在某点附近的变化率，为偏导数和全微 分的研究奠定基础。
偏导数与全微分
偏导数
描述多元函数在某一变量上的变化率，通过偏 导数可研究函数局部性质。
全微分
全面研究多元函数在各变量上的变化，通过全 微分可近似计算函数值的变化。
链式法则
探讨复合函数偏导数的计算方法，简化复杂函数的偏导数计算。
二重积分与三重积分
微分的几何意义
微分在几何上表示函数图像在某一点处的切线的纵坐标增量。
微分的应用
微分在近似计算、误差估计、求极值等方面有重要应用。
04
第三章：不定积分
不定积分定义与性质
不定积分定义
不定积分是微积分中的一个重要概念， 它表示一个函数的原函数或反导数。 给定一个函数f(x)，其不定积分记作 ∫f(x)dx，表示f(x)的一个原函数。
物理应用
定积分在物理中有广泛的应用，例如在计算匀加 速直线运动的路程、变力做功等问题中都会用到 定积分的计算方法。
同济高等数学第六版上册第三章
若 M = m , 则 f (x) M , x [a , b] ,
因此 (a , b), f ( ) 0 .
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若 M > m , 则 M 和 m 中至少有一个与端点值不等,
不妨设 M f (a) , 则至少存在一点 (a,b), 使
f ( ) M , 则由费马引理得 f ( ) 0. y
y
y f (x)
(1) 在区间 [a , b] 上连续
(2) 在区间 (a , b) 内可导
O a
bx
(3) f ( a ) = f ( b )
在( a , b ) 内至少存在一点 , 使 f ( ) 0.
证:因 f (x) 在[a , b]上连续，故在[ a , b ]上取得最大值 M 和最小值 m .
令x=0,得 Cπ.
又
f (1) π ,
2 故所证等式在定义域 [1, 1]上成立.
2
经验: 欲证 x I 时 f (x) C0, 只需证在 I 上 f (x) 0,
y f (x)
注意:
1) 定理条件条件不全具备, 结论不一定 O a
bx
成立. 例如,
f
(x)
x
,
0,
0 x 1 x 1
y
f (x) x x [1,1]
y
f (x) x x [0,1]
y
O 1x
在[0,1]不连续
1 O 1 x
在(0,1)不可导
O 1x
f (0) f (1)
例2.
证明等式
arcsin
x
arccos
x
π 2
因此 (a , b), f ( ) 0 .
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若 M > m , 则 M 和 m 中至少有一个与端点值不等,
不妨设 M f (a) , 则至少存在一点 (a,b), 使
f ( ) M , 则由费马引理得 f ( ) 0. y
y
y f (x)
(1) 在区间 [a , b] 上连续
(2) 在区间 (a , b) 内可导
O a
bx
(3) f ( a ) = f ( b )
在( a , b ) 内至少存在一点 , 使 f ( ) 0.
证:因 f (x) 在[a , b]上连续，故在[ a , b ]上取得最大值 M 和最小值 m .
令x=0,得 Cπ.
又
f (1) π ,
2 故所证等式在定义域 [1, 1]上成立.
2
经验: 欲证 x I 时 f (x) C0, 只需证在 I 上 f (x) 0,
y f (x)
注意:
1) 定理条件条件不全具备, 结论不一定 O a
bx
成立. 例如,
f
(x)
x
,
0,
0 x 1 x 1
y
f (x) x x [1,1]
y
f (x) x x [0,1]
y
O 1x
在[0,1]不连续
1 O 1 x
在(0,1)不可导
O 1x
f (0) f (1)
例2.
证明等式
arcsin
x
arccos
x
π 2
同济第六版《高等数学》教案WORD版-第03章-中值定理与导数的应用
第三章 中值定理与导数的应用教学目的：1、 理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。
2、 理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。
3、 会用二阶导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形。
4、 掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。
5、 知道曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。
6、 知道方程近似解的二分法及切线性。
教学重点：1、罗尔定理、拉格朗日中值定理；2、函数的极值 ，判断函数的单调性和求函数极值的方法；3、函数图形的凹凸性；4、洛必达法则。
教学难点：1、罗尔定理、拉格朗日中值定理的应用；2、极值的判断方法；3、图形的凹凸性及函数的图形描绘；4、洛必达法则的灵活运用。
§3. 1 中值定理一、罗尔定理费马引理设函数f (x )在点x 0的某邻域U (x 0)内有定义, 并且在x 0处可导, 如果对任意x ∈U (x 0), 有 f (x )≤f (x 0) (或f (x )≥f (x 0)),那么f '(x 0)=0.罗尔定理 如果函数y =f (x )在闭区间[a , b ]上连续, 在开区间(a , b )内可导, 且有f (a )=f (b ), 那么在(a , b )内至少在一点ξ , 使得f '(ξ)=0.简要证明: (1)如果f (x )是常函数, 则f '(x )≡0, 定理的结论显然成立.(2)如果f (x )不是常函数, 则f (x )在(a , b )内至少有一个最大值点或最小值点, 不妨设有一最大值点ξ∈(a , b ). 于是0)()(lim )()(≥--='='-→-ξξξξξx f x f f f x , 0)()(lim )()(≤--='='+→+ξξξξξx f x f f f x , 所以f '(x )=0.罗尔定理的几何意义:二、拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理 如果函数f (x )在闭区间[a , b ]上连续, 在开区间(a , b )内可导, 那么在(a , b )内至少有一点ξ(a <ξ<b ), 使得等式f (b )-f (a )=f '(ξ)(b -a )成立.拉格朗日中值定理的几何意义:f '(ξ)=ab a f b f --)()(, 定理的证明: 引进辅函数令 ϕ(x )=f (x )-f (a )-a b a f b f --)()((x -a ). 容易验证函数f (x )适合罗尔定理的条件: ϕ(a )=ϕ(b )=0, ϕ(x )在闭区间[a , b ] 上连续在开区间(a , b )内可导, 且ϕ '(x )=f '(x )-ab a f b f --)()(. 根据罗尔定理, 可知在开区间(a , b )内至少有一点ξ, 使ϕ '(ξ)=0, 即f '(ξ)-a b a f b f --)()(=0. 由此得 ab a f b f --)()(= f '(ξ) , 即 f (b )-f (a )=f '(ξ)(b -a ).定理证毕.f (b )-f (a )=f '(ξ)(b -a )叫做拉格朗日中值公式. 这个公式对于b <a 也成立.拉格朗日中值公式的其它形式:设x 为区间[a , b ]内一点, x +∆x 为这区间内的另一点(∆x >0或∆x <0), 则在[x , x +∆x ] (∆x >0)或[x +∆x , x ] (∆x <0)应用拉格朗日中值公式, 得f (x +∆x )-f (x )=f '(x +θ∆x ) ⋅∆x (0<θ<1).如果记f (x )为y , 则上式又可写为∆y =f '(x +θ∆x ) ⋅∆x (0<θ<1).试与微分d y =f '(x ) ⋅∆x 比较: d y =f '(x ) ⋅∆x 是函数增量∆y 的近似表达式, 而f '(x +θ∆x ) ⋅∆x 是函数增量∆y 的精确表达式.作为拉格朗日中值定理的应用, 我们证明如下定理:定理 如果函数f (x )在区间I 上的导数恒为零, 那么f (x )在区间I 上是一个常数. 证 在区间I 上任取两点x 1, x 2(x 1<x 2), 应用拉格朗日中值定理, 就得f (x 2)-f (x 1)=f '(ξ)(x 2 - x 1) (x 1<ξ< x 2).由假定, f '(ξ)=0, 所以f (x 2)-f (x 1)=0, 即f (x 2)=f (x 1).因为x 1, x 2是I 上任意两点, 所以上面的等式表明: f (x )在I 上的函数值总是相等的, 这就是说, f (x )在区间I 上是一个常数.例2. 证明当x >0时, x x xx <+<+)1ln(1. 证 设f (x )=ln(1+x ), 显然f (x )在区间[0, x ]上满足拉格朗日中值定理的条件, 根据定理, 就有 f (x )-f (0)=f '(ξ)(x -0), 0<ξ<x 。
《高等数学》(同济六版)教学课件★第3章.微分中值定理与导数的应用(2)
一、 曲线的渐近线
定义 . 若曲线 C上的点M 沿着曲线无限地远离原点
时, 点 M 与某一直线 L 的距离趋于 0, 则称直线 L 为
曲线C 的渐近线 .
y yf(x)
或为“纵坐标差” C M
ykxb
例如, 双曲线
x2 a2
y2 b2
1
有渐近线
x y0 ab
L PN
Oy
x
但抛物线 y x2无渐近线 .
y
(x
2 1)3
又因
lim y 1 , 即 k 1
x x 4
4
blim(y1x) lim[(x3)2 1x] x 4 x 4(x1) 4
lim5x9 5 x4(x1) 4
y1x5为斜渐近线 44
5) 求特殊点 x 0 2
y 9
1
44
y (x 3)2 4(x 1)
y (x4(x3)(1x)21)
例3. 描绘 y1 3x3x22的图形.
解: 1) 定义域为( ,),无对称性及周期性.
2) yx22x, y2x2,
y
令y0, 得x0, 2
令y0, 得x 1
1 O 1 2 3 x
3) x (,0) 0 (0,1) 1 (1,2) 2 (2,)
y 0 0
y 0
y
2
4 3
2 3
x 1 3 (极大)
主要内容: 一、 弧微分 二、 曲率及其计算公式
三、 曲率圆与曲率半径
M M M
一、 弧微分
设 yf(x)在(a , b)内有连续导数, 其图形为 AB,
弧长 sA M s(x)
s MMM M x MM x
M M (x)2 (y)2
定义 . 若曲线 C上的点M 沿着曲线无限地远离原点
时, 点 M 与某一直线 L 的距离趋于 0, 则称直线 L 为
曲线C 的渐近线 .
y yf(x)
或为“纵坐标差” C M
ykxb
例如, 双曲线
x2 a2
y2 b2
1
有渐近线
x y0 ab
L PN
Oy
x
但抛物线 y x2无渐近线 .
y
(x
2 1)3
又因
lim y 1 , 即 k 1
x x 4
4
blim(y1x) lim[(x3)2 1x] x 4 x 4(x1) 4
lim5x9 5 x4(x1) 4
y1x5为斜渐近线 44
5) 求特殊点 x 0 2
y 9
1
44
y (x 3)2 4(x 1)
y (x4(x3)(1x)21)
例3. 描绘 y1 3x3x22的图形.
解: 1) 定义域为( ,),无对称性及周期性.
2) yx22x, y2x2,
y
令y0, 得x0, 2
令y0, 得x 1
1 O 1 2 3 x
3) x (,0) 0 (0,1) 1 (1,2) 2 (2,)
y 0 0
y 0
y
2
4 3
2 3
x 1 3 (极大)
主要内容: 一、 弧微分 二、 曲率及其计算公式
三、 曲率圆与曲率半径
M M M
一、 弧微分
设 yf(x)在(a , b)内有连续导数, 其图形为 AB,
弧长 sA M s(x)
s MMM M x MM x
M M (x)2 (y)2
同济大学高等数学第六版上导数的概念公开课一等奖优质课大赛微课获奖课件
2
法线方程为 y 2 1 ( x 1), 即 2x 8 y 15 0.
42
第22页
2.物理意义 非均匀改变量瞬时改变率.
变速直线运动:路程对时间导数为物体瞬时 速度.
v(t) lim s ds . t 0 t dt
交流电路:电量对时间导数为电流强度. i(t) lim q dq . t 0 t dt
在 x 1处不可导.
0
1
x
第26页
3. 函数 f ( x)在连续点的左右导数都 不存在
(指摆动不定) , 则 x0点不可导 .
比如,
f
(
x
)
x
sin
1 x
,
0,
x 0, x0
y
1
－1/π 0 1/π
x
在x 0处不可导.
第27页
4. 若f ( x0 ) , 且在点 x0的两个单侧导数 符号相反 , 则称点 x0为函数 f ( x)的尖点 (不可导点) .
★ 导数概念是概括了各种各样改变率而得出 一个更普通、更抽象概念, 它撇开了变量所代表 特殊意义, 而纯正从数量方面来刻画改变率本质
★ 点导数是因变量在点 x0处的变化率,它 反映了因变量随自变量的变化 而变化的快
慢程度.
★
y x
是y在以x0和x0
x为端点的区间上的
平均变化率
第9页
★ 如果函数 y f ( x)在开区间 I 内的每点 处都可导, 就称函数 f ( x)在开区间 I 内可导.
y f (x)
N
T
CM
极限位置即
o
x0
xx
MN 0, NMT 0. 设 M ( x0 , y0 ), N ( x, y).
法线方程为 y 2 1 ( x 1), 即 2x 8 y 15 0.
42
第22页
2.物理意义 非均匀改变量瞬时改变率.
变速直线运动:路程对时间导数为物体瞬时 速度.
v(t) lim s ds . t 0 t dt
交流电路:电量对时间导数为电流强度. i(t) lim q dq . t 0 t dt
在 x 1处不可导.
0
1
x
第26页
3. 函数 f ( x)在连续点的左右导数都 不存在
(指摆动不定) , 则 x0点不可导 .
比如,
f
(
x
)
x
sin
1 x
,
0,
x 0, x0
y
1
－1/π 0 1/π
x
在x 0处不可导.
第27页
4. 若f ( x0 ) , 且在点 x0的两个单侧导数 符号相反 , 则称点 x0为函数 f ( x)的尖点 (不可导点) .
★ 导数概念是概括了各种各样改变率而得出 一个更普通、更抽象概念, 它撇开了变量所代表 特殊意义, 而纯正从数量方面来刻画改变率本质
★ 点导数是因变量在点 x0处的变化率,它 反映了因变量随自变量的变化 而变化的快
慢程度.
★
y x
是y在以x0和x0
x为端点的区间上的
平均变化率
第9页
★ 如果函数 y f ( x)在开区间 I 内的每点 处都可导, 就称函数 f ( x)在开区间 I 内可导.
y f (x)
N
T
CM
极限位置即
o
x0
xx
MN 0, NMT 0. 设 M ( x0 , y0 ), N ( x, y).
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铅直渐近线 x1
斜渐近线
y1x5 44
特殊点
x0 y 9
2 1
44
y
y (x3)2
4(x1)
2 1
O1 2 3 5 x
y14x54
x1
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例5. 描绘函数
的图形.
解: 1) 定义域为
图形对称于 y 轴.
2) 求关键点
y
1 2π
x
e
x2 2
,
y
1
e
x2 2
(1x2)
2π
y
定
y
2
ห้องสมุดไป่ตู้
义
(1,3) 3 0
0
(3,)
(极大)
(极小)
4) 求渐近线
lim y,x1为铅直渐近线
x 1
y (x3)2, 4(x1)
y(x4(x3)(1 x)21), y(x21)3
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又因
lim y 1 , 即 k 1
x x 4
4
blim (y1x)lim [(x3)21x] x 4 x 4(x1) 4
lim5x9 5 x4(x1) 4
y1x5为斜渐近线 44
5) 求特殊点 x 0 2
y 9
1
44
y (x3)2 4(x1)
y(x4(x3)(1x)21) y (x21)3
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6）绘图
x ( ,1) 1 (1,1) 1 (1,3) 3 (3,)
y
2
(极大)
无 定 义
0
(极小)
令y0得x0; 令 y0得 x1
3) 判别曲线形态
x 0 (0,1) 1 (1,)
y 0
y
0
y
1 2π
1 2πe
(极大)
(拐点)
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x 0 (0,1) 1 (1,)
y 0
y
0
y
1 2π
1 2πe
(极大)
(拐点)
4) 求渐近线
limy0
x
y0为水平渐近线
5) 作图
y
1 2π
叶形线 目录 上页 下页 返回 结束
第七节
第三章
平面曲线的曲率
曲线的弯 与切线的转角有关 曲程度 与曲线的弧长有关
主要内容: 一、 弧微分 二、 曲率及其计算公式
三、 曲率圆与曲率半径
M M M
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一、 弧微分
设
在(a , b)内有连续导数, 其图形为 AB,
弧长 sA M s(x)
进 入 夏 天 ，少 不了一 个热字 当头， 电扇空 调陆续 登场， 每逢此 时，总 会想起 那 一 把 蒲 扇 。蒲扇 ，是记 忆中的 农村， 夏季经 常用的 一件物 品。 记 忆 中 的故 乡 ， 每 逢 进 入夏天 ，集市 上最常 见的便 是蒲扇 、凉席 ，不论 男女老 少，个 个手持 一 把 ， 忽 闪 忽闪个 不停， 嘴里叨 叨着“ 怎么这 么热” ，于是 三五成 群，聚 在大树 下 ， 或 站 着 ，或随 即坐在 石头上 ，手持 那把扇 子，边 唠嗑边 乘凉。 孩子们 却在周 围 跑 跑 跳 跳 ，热得 满头大 汗，不 时听到 “强子 ，别跑 了，快 来我给 你扇扇 ”。孩 子 们 才 不 听 这一套 ，跑个 没完， 直到累 气喘吁 吁，这 才一跑 一踮地 围过了 ，这时 母 亲总是 ，好似 生气的 样子， 边扇边 训，“ 你看热 的，跑 什么？ ”此时 这把蒲 扇， 是 那 么 凉 快 ，那么 的温馨 幸福， 有母亲 的味道 ！ 蒲 扇 是 中 国传 统工艺 品，在 我 国 已 有 三 千年多 年的历 史。取 材于棕 榈树， 制作简 单，方 便携带 ，且蒲 扇的表 面 光 滑 ， 因 而，古 人常会 在上面 作画。 古有棕 扇、葵 扇、蒲 扇、蕉 扇诸名 ，实即 今 日 的 蒲 扇 ，江浙 称之为 芭蕉扇 。六七 十年代 ，人们 最常用 的就是 这种， 似圆非 圆 ， 轻 巧 又 便宜的 蒲扇。 蒲 扇 流 传 至今， 我的记 忆中， 它跨越 了半个 世纪， 也 走 过 了 我 们的半 个人生 的轨迹 ，携带 着特有 的念想 ，一年 年，一 天天， 流向长
1
(1,1e21)
2
O
( 1,1e21)
2
x
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作业
P76 14 (2); P169 2 ; 5
第七节 目录 上页 下页 返回 结束
备用题 求笛卡儿叶形线 x3y33axy的渐近线 .
解: 令 y = t x , 代入原方程得曲线的参数方程 :
3at
x 1
t
3
,
3 y1
a
Oy
x
但抛物线
无渐近线 .
Ox
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3) 判别曲线形态
x ( ,1) 1 (1,1) 1
y
0
无
(D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线.
提示: xl im 11eexx22 1;
xl im 011eexx22
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2. 曲线 y1ex2的凹区间是
(1, 1)
22
,
凸区间是 (, 12)及 (12,) ,
拐点为
(1,1e21)
2
,
渐近线
y1
.
提示:
y
y2e x2(1 2x2)
t2 t3
,
当 x 时 t 1 ,因
t1
lim y x x
lim 3 a t 2 t1 1 t 3
3at 1 t3
1
lim y( x) lim3 a
x
t1 1
t2 t3
3at 1 t3
tl i1 m (1 3ta )t1 (( 1 t t)t2)
a
所以笛卡儿叶形线有斜渐近线 y x a笛叶卡形儿线
s x
MM MM
MM x
MM (x)2(y)2
MM
x
y yM f(x )B
A M y
x
O a xx xb x
MM 1(y)2
MM
x
s(x)lims 1(y)2 x0x
limMM 1 x0MM
A
y
1
x2
e2
2π
B
y0 O 1
x
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内容小结
1. 曲线渐近线的求法
水平渐近线 ; 垂直渐近线;
斜渐近线
2. 函数图形的描绘
按作图步骤进行
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思考与练习
1. 曲线 y11 ee xx22 (A) 没有渐近线；
(D )
(B) 仅有水平渐近线；
(C) 仅有铅直渐近线；
长 的 时 间 隧 道，袅
六版)教学课件★第3章.微分中值定
一、 曲线的渐近线
定义 . 若曲线 C上的点M 沿着曲线无限地远离原点
时, 点 M 与某一直线 L 的距离趋于 0, 则称直线 L 为
曲线C 的渐近线 .
y yf(x)
或为“纵坐标差” C M
ykxb
例如, 双曲线
L PN
有渐近线
x y 0 ab