§7简单几何体的面积和体积
常见几何体的表面积体积公式
常见几何体的表面积体积公式1、长方体V：体积s：面积a：长b：宽h：高(1)表面积(长×宽+长×高+宽×高)×2 {S=2(ab+ah+bh)(2)体积=长×宽×高（V=abh）2、圆柱体v：体积h：高s;底面积r：底面半径c：底面周长(1)侧面积=底面周长×高(2)表面积=侧面积+底面积×2(3)体积=底面积×高（4）体积＝侧面积÷2×半径3、圆锥体v：体积h：高s;底面积r：底面半径体积=底面积×高÷34、正方体V：体积s：面积a：边长体积：边长×边长×边长扩展资料周长：1、正方形C周长S面积a边长周长＝边长×4（C=4a）面积=边长×边长（S=a×a）2、长方形C周长S面积a边长周长=(长+宽)×2（C=2(a+b)）面积=长×宽（S=ab）3、三角形s面积a底h高面积=底×高÷2（s=ah÷2）三角形高=面积×2÷底三角形底=面积×2÷高4、平行四边形s面积a底h高面积=底×高（s=ah）5、梯形s面积a上底b下底h高面积=(上底+下底)×高÷2（s=(a+b)×h÷2）6、圆形S面积C周长πd=直径r=半径(1)周长=直径×π=2×π×半径（C=πd=2πr）(2)面积=半径×半径×π。
7章第二节 空间几何体的表面积与体积
第七章
立体几何
∵△ABC是边长为6的正三角形， 3 ∴AE＝ ×6＝3 3， 2 2 ∴AH＝ AE＝2 3. 3 1 在△ABC中，S△ABC＝ BC· AE 2
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1 ＝ ×6×3 3＝9 3. 2
第七章
立体几何
在Rt△SHA中，SA＝ 15，AH＝2 3， ∴SH＝ SA2－AH2＝ 15－12＝ 3， 1 ∴V正三棱锥＝ S△ABC· SH 3 1 ＝ ×9 3× 3＝9. 3
第七章
立体几何
【活学活用】 4.如图在等腰梯形ABCD中，AB＝2DC＝2， ∠DAB＝60°，E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、 EC向上折起，使A、B重合，求形成三棱锥的外接球的体积．
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第七章
立体几何
解：由已知条件知，平面图形中AE＝EB＝BC＝CD＝DA ＝DE＝EC＝1. ∴折叠后得到一个如图1所示的正四面体．
第七章
立体几何
一个正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为，求这个三棱 锥的体积． 【思路点拨】已知底面边长和侧棱长，可先求出三棱锥 的底面积和高，再根据体积公式求出其体积． 【自主解答】如图所示，正三棱锥S－ABC.设H为正三角
形ABC的中心，连接SH，则SH即为该正三棱锥的高．连接AH
并延长交BC于E，则E为BC的中点，且AH⊥BC.
S π
＝2 πS，故圆柱的侧面积是(2 πS)2＝4πS.
答案：A
第七章
立体几何
3．若正方体的棱长为 2，则以该正方体各个面的中心 为顶点的凸多面体的体积为( 2 A. 6 3 C. 3
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)
2 B. 3 2 D. 3
简单几何体的面积与体积
例2．如图所示，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，已知AB=5，AD=4，AA1=3，AB⊥AD，∠A1AB=∠A1AD=3.（1）求证：顶点A1在底面ABCD上的射影O在∠BAD的平分线上；（2）求这个平行六面体的体积.题型2：锥体的体积和表面积例3.在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60 ，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60 ，求四棱锥P－ABCD的体积.例4. 在三棱锥S—ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，且AC=BC=5，SB=55.（1）证明：SC⊥BC；（2）求侧面SBC与底面ABC所成二面角的大小；（3）求三棱锥的体积V S－AB C.例5．ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GB垂直于正方形ABCD所在的平面，且GC＝2，求点B到平面EFC的距离？例6.如图，在四面体ABCD中，截面AEF经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O，且与BC，DC分别截于E、F，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A－BEFD与三棱锥A－EFC的表面积分别是S1，S2，则必有（）A ．S 1<S 2B ．S 1>S 2C ．S 1=S 2D ．S 1，S 2的大小关系不能确定题型3：棱台的体积、面积及其综合问题例7. 在多面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，上、下底面平行且均为矩形，相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等， 侧棱延长后相交于E ，F 两点，上、下底面矩形的长、宽分别为c ，d 与a ，b ，且a ＞c ，b ＞d ，两底面间的距离为h .（1）求侧面ABB 1A 1与底面ABCD 所成二面角的大小；（2）证明：EF ∥面ABCD ；（3）在估测该多面体的体积时，经常运用近似公式V 估=S 中截面·h 来计算.已知它的体积公式是 V =6h（S 上底面+4S 中截面+S 下底面），试判断V 估与V 的大小关系，并加以证明.题型4：球的体积、表面积例8．已知过球面上,,A B C 三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且2AB BC CA ===，求球的表面积.例9. 如图，球面上有四个点P 、A 、B 、C ，如果PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且PA=PB=PC=a ，求这个球的表面积.DBAOCEF例10. 如图，正四棱锥P ABCD -底面的四个顶点,,,A B C D 在球O 的同一个大圆上，P 在球面上，如果 163P ABCD V -=，（1）求球O 的表面积；（2）半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方 体棱长为6，求球的表面积和体积.题型5：球的经纬度、球面距离问题例11. 我国首都靠近北纬40纬线，（1）求北纬40纬线的长度等于多少km ？（地球半径大约为6370km ） （2）在半径为13cm 的球面上有,,A B C 三点，12AB BC AC cm ===，求球心到经过这三点的截面的距离. 随堂练习 （一）选择题1. 如果棱台的两底面积分别是S 、S ′，中截面的面积是S 0，那么（ ） A ．S S S '+=02B ．S S S '=0C ．2S 0＝S ＋S ′D ．S 02＝2S ′S2. 已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4，高为2，则其体积为（ ） A ．323B ．283C ．243D ．2033. 一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是6,3,2，这个长方体对角线的长是（ ） A ．23B ．32C ．6D ．64. 将一个长方体沿从同一个顶点出发的三条棱截去一个棱锥，棱锥的体积与剩下的几何体的体积之比为( ) A ．1：2 B ．1：3 C ．1：4 D ．1：55. 如图，在多面体ABCDEF 中，已知四边形ABCD 是边长为1的正方形，且△ADE ､△BCF 均为正三角形，EF ∥AB ，EF=2，则该多面体的体积为( ) A ．23B ．33 C ．43D ．326. 已知几何体的三视图如图所示，它的表面积是( )A．42+ B．22+C．32+D．6（二）填空题7. 如图，三棱柱111CBAABC-中，若FE,分别为ACAB,的中点，平面11CEB将三棱柱分成体积为21,VV的两部分，那么21VV：= .8.已知三棱柱111CBAABC-的体积为V，E是棱CC1上一点，三棱锥E—ABC的体积是V1，则三棱锥E—A1B1C1 的体积是________.9. 已知某个几何体的三视图如，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是3cm.（三）解答题10. 如图在ABC∆中，若AC=3，BC=4，AB=5，以AB所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得旋转体的表面积和体积.11.表面积为324π的球，其内接正四棱柱的高是14，（1）求这个正四棱柱的表面积.（2）正四面体ABCD的棱长为a，球O是内切球，球O1是与正四面体的三个面和球O都相切的一个小球，求球O1的体积.12.在北纬45圈上有,A B两点，设该纬度圈上,A B两点的劣弧长为24Rπ，求,A B两点间的球面距离.家庭作业（一）选择题1. 一个圆柱的侧面积展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（）A．ππ221+B．ππ441+C．ππ21+D．ππ241+2.如图，啤酒瓶的高为h，瓶内酒面高度为a，若将瓶盖盖好倒置，酒面高度为a′(a′+b=h)，则酒瓶容积与瓶内酒的体积之比为（）A. 1+ba且a+b>h B. 1+ba且a+b<hC. 1+ab且a+b>h D. 1+ab且a+b<h3. 设计一个杯子，其三视图如图所示，现在向杯中匀速注水，杯中水面的高度h随时间t变化的图象是（）4. 在△ABC中，AB=2，BC=1.5，∠ABC=120°（如图所示），若将△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的旋转体的体积是（）A．π29B．π27C．π25D．π235. 若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的全面积是（）A．π3 B．π33C．π6 D．π9（二）填空题6. 如图，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水.若放入一个半径为r的实心铁球，水面高度恰好升高r，则rR= .7.如图为一几何体的展开图，其中ABCD是边长为6的正方形，SD=PD=6，CR=SC，AQ=AP，点S，D，A，Q及点P，D，C，R共线，沿图中虚线将它们折叠起来，使P，Q，R，S四点重合，则需要________个这样的几何体，可以拼成一个棱长为6的正方体.8. 已知一个凸多面体共有9个面，所有棱长均为1，其平面展开图如图所示，则该凸多面体的体积V=________. （三）解答题9. 在右图所示的几何体中，平面PAC⊥平面ABC，PM∥BC，PA=PC，AC=1，BC=2PM=2，AB=5,若该几何体的侧视图的面积为3.4（1）求证：PA⊥BC；（2）画出该几何体的正视图，并求其面积S；（3）求出多面体A—BMPC的体积V.10. 如图，AA1是圆柱的母线，AB是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上异于A、B的任意一点，A1A＝AB＝2. （1）求证：BC⊥平面A1AC；（2）求三棱锥A1－ABC的体积的最大值．参考答案 例题讲解例1．解：设长方体的长、宽、高、对角线长分别为xcm 、ycm 、zcm 、lcm 依题意得：⎩⎨⎧=++=++24)(420)(2z y x zx yz xy ())2(1由（2）的平方得：x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz=36（3） 由（3）－（1）得x2+y2+z2=16，即l2=16，所以l=4(cm).点评：涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主，而直棱柱中又以正方体、长方体的表面积多被考察.我们平常的学习中要多建立一些重要的几何要素（对角线、内切）与面积、体积之间的关系. 例2．解析：（1）如图，连结A 1O ，则A 1O ⊥底面ABCD ，作OM ⊥AB 交AB 于M ， 作ON ⊥AD 交AD 于N ，连结A 1M ，A 1N.由三垂线定得得A 1M ⊥AB ，A 1N ⊥AD.∵∠A 1AM=∠A 1AN ，∴Rt △A 1NA ≌Rt △A 1MA ，∴A 1M=A 1N ，从而OM=ON. ∴点O 在∠BAD 的平分线上. （2）∵AM=AA 1cos3π=3×21=23，∴AO=4cosπAM =223. 又在Rt △AOA 1中，A 1O 2=AA 12 – AO 2=9－29=29， ∴A 1O=223，平行六面体的体积为22345⨯⨯=V 230=. 例3. 解：（1）在四棱锥P-ABCD 中，由PO ⊥ABCD ，得∠PBO 是PB 与平面ABCD 所成的角， ∠PBO=60°.在Rt △AOB 中BO=ABsin30°=1， 由PO ⊥BO ，于是PO=BOtan60°=3，而底面菱形的面积为23. ∴四棱锥P －ABCD 的体积V=31×23×3=2. 点评：本小题重点考查线面垂直、面面垂直、二面角及其平面角、棱锥的体积.在能力方面主要考查空间想象能力. 例4. 解：（1）证明：∵∠SAB =∠SAC =90°，∴SA ⊥AB ，SA ⊥A C.又AB ∩AC =A ，∴SA ⊥平面AB C.由于∠ACB =90°，即BC ⊥AC ，由三垂线定理，得SC ⊥BC .（2）解：∵BC ⊥AC ，SC ⊥BC .∴∠SCA 是侧面SCB 与底面ABC 所成二面角的平面角.在Rt △SCB 中，BC =5，SB =55，得SC =22BC SB -=10.在Rt △SAC 中AC =5，SC =10，cos SCA =21105==SC AC ， ∴∠SCA =60°，即侧面SBC 与底面ABC 所成的二面角的大小为60°. （3）解：在Rt △SAC 中，∵SA =755102222=-=-AC SC ， S △ABC =21·AC ·BC =21×5×5=225，∴V S －ABC =31·S △ACB ·SA =631257522531=⨯⨯. 点评：本题较全面地考查了空间点、线、面的位置关系.要求对图形必须具备一定的洞察力，并进行一定的逻辑推理. 例5. 解：如图，取EF 的中点O ，连接GB 、GO 、CD 、FB 构造三棱锥B －EFG.设点B 到平面EFG 的距离为h ，BD ＝42，EF =22， CO ＝344232×=. G O C O G C =+=+=+=222232218422(). 而GC ⊥平面ABCD ，且GC ＝2. 由V V B E F G G E F B--=，得16EF GO h ··=13S E F B △·GC点评：该问题主要的求解思路是将点面的距离问题转化为体积问题来求解.构造以点B 为顶点，△EFG 为底面的三棱锥是解此题的关键，利用同一个三棱锥的体积的唯一性列方程是解这类题的方法，从而简化了运算. 例6. 解：连OA 、OB 、OC 、OD ，则V A －BEFD ＝V O －ABD ＋V O －ABE ＋V O －BEFDV A －EFC ＝V O －ADC ＋V O －AEC ＋V O －EFC 又V A －BEFD ＝V A －EFC ， 而每个三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径，故S ABD ＋S ABE ＋S BEFD ＝S ADC ＋S AEC ＋S EFC 又面AEF 公共，故选C点评：该题通过复合平面图形的分割过程，增加了题目处理的难度，求解棱锥的体积、表面积首先要转化好平面图形与空间几何体之间元素间的对应关系.例7.（1）解：过B 1C 1作底面ABCD 的垂直平面，交底面于PQ ，过B 1作B 1G ⊥PQ ，垂足为G .如图所示：∵平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1，∠A 1B 1C 1=90°， ∴AB ⊥PQ ，AB ⊥B 1P .∴∠B 1PG 为所求二面角的平面角.过C 1作C 1H ⊥PQ ，垂足为H .由于相对侧面与底面所成二面角的大小相等，故四边形B 1PQC 1为等腰梯形. ∴PG =21（b －d ），又B 1G =h ，∴tan B 1PG =d b h -2（b ＞d ），∴∠B 1PG =arctand b h -2，即所求二面角的大小为arctan db h-2. （2）证明：∵AB ，CD 是矩形ABCD 的一组对边，有AB ∥CD ，又CD 是面ABCD 与面CDEF 的交线，∴AB ∥面CDEF . ∵EF 是面ABFE 与面CDEF 的交线，∴AB ∥EF .∵AB 是平面ABCD 内的一条直线，EF 在平面ABCD 外，∴EF ∥面ABC D. （3）证明：∵a ＞c ，b ＞d ，∴V －V 估=h d b c a d b c a ab cd h 22)224(6+⋅+-+⋅+⋅++ =12h ［2cd +2ab +2（a +c ）（b +d ）－3（a +c ）（b +d ）］=12h （a －c ）（b －d ）＞0. ∴V 估＜V .点评：该题背景较新颖，把求二面角的大小与证明线、面平行这一常规运算置于非规则几何体（拟柱体）中，能考查考生的应变能力和适应能力，而第三步研究拟柱体的近似计算公式与可精确计算体积的辛普生公式之间计算误差的问题，是极具实际意义的问题.考查了考生继续学习的潜能. 例8. 解：设截面圆心为O '，连结O A '，设球半径为R ，则23232323O A '=⨯⨯=， 在Rt O OA '∆中，222OA O A O O ''=+，∴222231()34R R =+， ∴43R =，∴26449S R ππ==. 点评： 正确应用球的表面积公式，建立平面圆与球的半径之间的关系.例9. 解析：如图，设过A 、B 、C 三点的球的截面圆半径为r ，圆心为O ′，球心到该圆面的距离为d.在三棱锥P —ABC 中，∵PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且PA=PB=PC=a ， ∴AB=BC=CA=2a ，且P 在△ABC 内的射影即是△ABC 的中心O ′. 由正弦定理，得︒60sin 2a =2r ，∴r=36a .又根据球的截面的性质，有OO ′⊥平面ABC ，而PO ′⊥平面ABC ，∴P 、O 、O ′共线，球的半径R=22d r +.又PO ′=22r PA -=2232a a -=33a ， ∴OO ′=R －33a =d=22r R -，(R －33a )2=R 2 – (36a )2，解得R=23a ， ∴S 球=4πR 2=3πa 2.点评：本题也可用补形法求解.将P —ABC 补成一个正方体，由对称性可知，正方体内接于球，则球的直径就是正方体的对角线，易得球半径R=23a . 例10. 解：（1）如图，正四棱锥P ABCD -底面的四个顶点,,,A B C D 在球O 的同一个大圆上，点P 在球面上，PO ⊥底面ABCD ，PO=R ，22ABCD S R =，163P ABCD V -=， 所以2116233R R ⋅⋅=，R=2， 球O 的表面积是16π.（2）作轴截面如图所示，6CC '=，2623AC =⋅=，设球半径为R ，则222R OC CC '=+22(6)(3)9=+=∴3R =，∴2436S R ππ==球，34363V R ππ==球. 点评：本题重点考查球截面的性质以及球面积公式，解题的关键是将多面体的几何要素转化成球的几何要素. 例11. 解：（1）如图，A 是北纬40上一点，AK 是它的半径，∴OK AK ⊥， 设C 是北纬40的纬线长，∵40AOB OAK ∠=∠=，∴22cos 2cos 40C AK OA OAK OA πππ=⋅=⋅⋅∠=⋅⋅42 3.1463700.7660 3.06610()km ≈⨯⨯⨯≈⨯所以北纬40纬线长约等于43.06610km ⨯．（2）解：设经过,,A B C 三点的截面为⊙O '，设球心为O ，连结OO '，则OO '⊥平面ABC ，∵32124323AO '=⨯⨯=，∴2211OO OA OA ''=-=， 所以，球心到截面距离为11cm ．随堂练习（一）选择题1. 解析：设该棱台为正棱台来解即可，答案为A ；2. 解析：正六棱台上下底面面积分别为：S 上＝6·43·22＝63，S 下＝6·43·42＝243， V 台＝328)(31=+⋅+下下上上S S S S h ，答案B.3. 解析：设长方体共一顶点的三边长分别为a =1，b ＝2，c ＝3，则对角线l 的长为l =6222=++c b a ；答案D.4. 解析：设长方体同一顶点引出的三条棱长分别是a ，b ，c ，则棱锥的体积V1=13×12abc=16abc.长方体的体积V=abc ，剩下的几何体的体积为V2=abc-1566abc =abc ，所以V1：V2=1：5，故选D. 5. 解析：将几何体割成一个三棱柱和两个相同的三棱锥.在梯形ABFE 中，易知BN=32， ∴S △BCN=12BC·HN=12×1×22.24=故该几何体体积为24×1+2×1212,3423=⨯⨯选A. 6. 解析：该几何体为直三棱柱，其表面积为2×12×1×1+2×12+2×1=3+2，选C.（二）填空题7. 解：设三棱柱的高为h ，上下底的面积为S ，体积为V ，则V=V 1+V 2＝Sh.∵E 、F 分别为AB 、AC 的中点，∴S △AEF =41S ， V 1=31h(S+41S+41⋅S )=127Sh ，V 2=Sh-V 1=125Sh ， ∴V 1∶V 2=7∶5.点评：解题的关键是棱柱、棱台间的转化关系，建立起求解体积的几何元素之间的对应关系.最后用统一的量建立比值得到结论即可.8. 解析：如图，过E 作AC ､BC 的平行线EF ､EG ，分别与AA1､BB1交于F ､G ，连接FG.∵三棱锥E —ABC 的体积是V1，∴三棱柱EFG —CAB 的体积是3V1，∴三棱柱EFG —C1A1B1的体积是V-3V1，∵VE —A1B1C1=13VEFG —C1A1B1， ∴VE —A1B1C1=13 (V-3V1)=3V -V1， 答案：3V -V1 9.解析：该几何体由半个圆柱和一个正方体构成的组合体.其体积为23+12×π×2=(8+π) cm3，答案：8+π （三）解答题 10. 解：如图所示，所得旋转体是两个底面重合的圆锥，高的和为AB=5.底面半径等于CO=125AC BC AB =，所以所得旋转体的表面积 S=π·OC·(AC+BC)=π·125·(3+4)=845π； 其体积V=13·π·OC2·AO+13·π·OC2·BO=13·π·OC2·AB=485π. 评析：求一些组合体的表面积和体积时，首先要弄清楚它由哪些基本几何体构成，再通过轴截面分析和解决问题.11. 解：（1）设球半径为R ，正四棱柱底面边长为a ，则作轴截面如图，14AA '=，2AC a =， 又∵24324R ππ=，∴9R =，∴2282AC AC CC ''=-=， ∴8a =，∴6423214576S =⨯+⨯=表（2）如图，设球O 半径为R ，球O 1的半径为r ，E 为CD 中点，球O 与平面ACD 、BCD切于点F 、G ，球O 1与平面ACD 切于点H .由题设a GE AE AG 3622=-= ∵ △AOF ∽△AEG∴ a R a a R 233663-=，得a R 126= ∵ △AO 1H ∽△AOF∴ R r R a r R a =---36236，得a r 246= ∴ 3331728624634341a a r V O =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==ππ球 点评：正四面体的内切球与各面的切点是面的中心，球心到各面的距离相等.12. 解：设北纬45圈的半径为r ，则24r R =，设O '为北纬45圈的圆心，α=∠B AO '， ∴24r R απ=，∴2224R R απ=， ∴2πα=，∴2AB r R ==，∴ABC ∆中，3AOB π∠=，所以，,A B 两点的球面距离等于3R π．点评：要求两点的球面距离，必须先求出两点的直线距离，再求出这两点的球心角，进而求出这两点的球面距离. 家庭作业（一）选择题1. 解析：设圆柱的底面半径为r ，高为h ，则由题设知h =2πr .∴S 全=2πr 2+（2πr ）2=2πr 2（1+2π）.S 侧=h 2=4π2r 2，∴ππ221+=侧全S S .答案为A. 点评：本题考查圆柱的侧面展开图、侧面积和全面积等知识. 2. 解析：设酒瓶下底面面积为S ，则酒的体积为Sa ，酒瓶的体积为Sa+Sb ，故体积之比为1+,b a 显然有a<a′，又a′+b=h ，故a+b<h.选B.3. 解析：由三视图可知杯子是圆柱形的，由于圆柱形的杯子上下大小相同，所以当向杯中匀速注水时，其高度随时 间的变化是相同的，反映在图象上，选项B 符合题意.故选B.4. 解析：如图所示，该旋转体的体积为圆锥C —ADE 与圆锥B —ADE 体积之差，又∵求得AB =1.∴23133125331πππ=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=-=--ADE B ADE C V V V ，答案D. 5. 解析：∵S ＝21ab sin θ，∴21a 2sin60°＝3，∴a 2＝4，a ＝2，a =2r ， ∴r ＝1，S 全＝2πr ＋πr 2＝2π＋π＝3π，答案A.（二）填空题6. 解析：水面高度升高r ，则圆柱体积增加πR 2·r .恰好是半径为r 的实心铁球的体积，因此有34πr 3=πR 2r . 故 332=r R .答案为332. 点评：本题主要考查旋转体的基础知识以及计算能力和分析、解决问题的能力.7. 解析：由题意知，将该展开图沿虚线折叠起来以后，得到一个四棱锥P —ABCD(如图)，其中PD ⊥平面ABCD ， 因此该四棱锥的体积V=13×6×6×6=72，而棱长为6的正方体的体积V=6×6×6=216，故需要216372=个这样 的几何体，才能拼成一个棱长为6的正方体. 答案：3评析：几何体的展开与折叠问题是近几年高考的一个热点内容，通过折叠与展开问题，可以很好地考查学生的空间想象能力以及推理能力.解决折叠与展开问题时，关键是弄清楚折叠与展开前后，位置关系和数量关系变化的情况，画出准确的图形解决问题.8. 解析：该几何体形状如图所示，是一个正方体与正四棱锥的组合体，正方体的体积是1，正四棱锥的体积是2,6故该凸多面体的体积为216+.点评：通过识图、想图、画图的角度考查了空间想象能力.而对空间图形的处理能力是空间想象力深化的标志，是高考从深层上考查空间想象能力的主要方向.（三）解答题9.解：（1）证明：AC=1，BC=2，AB=5，∴AC2+BC2=AB2.∴AC⊥BC.又∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，∴BC⊥平面PAC.又∵PA⊂平面PAC，∴PA⊥BC.（2）设几何体的正视图如图所示：∵PA=PC，取AC的中点D，连接PD，则PD⊥AC.又平面PAC⊥平面ABC，∴PD⊥平面ABC.∴几何体侧视图的面积=12AC·PD=12×1×PD=34.∴PD=32.易知△PAC是边长为1的正三角形.∴正视图的面积是上､下底边长分别为1和2，PD的长为高的直角梯形的面积.∴S=12333.224=⨯+（3）取PC的中点N，连接AN，由△PAC是边长为1的正三角形，可知AN⊥PC，由(1)知BC⊥平面PAC，∴AN⊥BC，∴AN⊥平面PCBM.∴AN是四棱锥A—PCBM的高，且AN=3.2由BC⊥平面PAC，可知BC⊥PC.由PM∥BC，可知四边形PCBM是上､下底边长分别为1和2，PC的长1为高的直角梯形.其面积S′=32，∴V=13S′·AN=3.410. 解：（1）证明：∵C是底面圆周上异于A、B的任意一点，且AB是圆柱底面圆的直径，∴BC⊥AC.∵AA 1⊥平面ABC ，BC平面ABC ，∴AA 1⊥BC . ∵AA 1∩AC ＝A ，AA 1平面AA 1C ，AC 平面AA 1C ，∴BC ⊥平面AA 1C .（2）设AC ＝x ，在Rt △ABC 中，BC ＝AB 2－AC 2＝4－x 2(0＜x ＜2)，故VA 1－ABC ＝13S △ABC ·AA 1＝13·12·AC ·BC ·AA 1＝13x 4－x 2(0＜x ＜2)， 即VA 1－ABC ＝13x 4－x 2＝13x 2(4－x 2)＝13－(x 2－2)2＋4. ∵0＜x ＜2，0＜x 2＜4，∴当x 2＝2，即x ＝2时，三棱锥A 1－ABC 的体积最大，其最大值为23.。
§7简单几何体的面积和体积共32页
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
§7简ห้องสมุดไป่ตู้几何体的面积和体积
1、合法而稳定的权力在使用得当时很 少遇到 抵抗。 ——塞 ·约翰 逊 2、权力会使人渐渐失去温厚善良的美 德。— —伯克
3、最大限度地行使权力总是令人反感 ；权力 不易确 定之处 始终存 在着危 险。— —塞·约翰逊 4、权力会奴化一切。——塔西佗
5、虽然权力是一头固执的熊，可是金 子可以 拉着它 的鼻子 走。— —莎士 比
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
立体几何 简单几何体的面积和体积50页PPT
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6、黄金时代是在我们的前面，而不在 我们的 后面。
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7、心急吃不了热汤圆。
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8、你可以很有个性，但某些时候请收 敛。
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9、只为成功找方法，不为失败找借口 (蹩脚 的工人 总是说 工具不 好)。
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10、只要下定决心克服恐惧，便几乎 能克服 任何恐 惧。因 为，请 记住， 除了在 脑海中 ，恐惧 无处藏 身。-- 戴尔． 卡耐基 。
6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
立体几何简单几何体的表面积和体积PPT课件
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• 分析：(1)由E、F为中点易想到中位线获证． • (2)求三棱锥E－ABC的体积，由于△ABC面积易求，需看E到平面ABC的距
离 是 否 可 求 ， 注 意 到 E 为 P B 中 点 ， PA ⊥ 平 面 A B C D ， 因 此 只 需 取 A B 中 点 G ， 则EG为高，或由E为PB中点知，E到平面ABC的距离等于P到平面ABC的距 离 的 一 半 ． 而 P 到 平 面 A B C 的 距 离 为 PA ， 也 可 获 解 ． • 解析：(1)在△PBC中，E，F分别是PB，PC的中点， • ∴EF∥BC. • 又BC∥AD，∴EF∥AD， • 又∵AD⊂平面PAD，EF⊄平面PAD， • ∴EF∥平面PAD.
(3)如果正棱台的上、下底面的周长是 c′、c，斜高是 h′，那么它的侧面积是 S 正棱台侧＝12(c＋c′)h′
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• (4)棱柱的全面积等于侧面积与两底面积的和；棱锥的全面积等于底面积与侧 面积的和；棱台的全面积等于侧面积与两底面积的和．
• 5．祖暅原理的应用：等底面积、等高的柱体(或锥体)体积相等． • 6．柱体体积V柱＝Sh.特殊地，圆柱体积V＝πr2h.
• 答案：B • 点评：不要将左视图的面积与三棱柱一个侧面的面积混淆.
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• [例2] (2010·陕西文)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形， PA ⊥ 平 面 A B C D ， A P ＝ A B ， B P ＝ B C ＝ 2 ， E ， F 分 别 是 P B ， P C 的 中 点 ．
答案：C
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(理)(2010·北京西城抽样)如图，三棱柱 ABC－A1B1C1 的侧棱长和底面边长均为 2，且侧棱 AA1⊥底面 ABC，其 正(主)视图是边长为 2 的正方形，则此三棱柱侧(左)视图
空间几何体的表面积与体积
用料最省时,球与正方体有什么位置关系?
球内切于正方体
侧棱长为5cm
例2 已知正方体的八个顶点都在球O的球面上，且正方体的表面积为a2，求球O的表面积和体积.
o
A
C′
变式3.有三个球,一球切于正方体的各面,一球切于正方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求这三个球的体积之比.
作轴截面
章节一
课堂练习
一个三棱柱的底面是正三角形，边长为4，侧棱与底面垂直，侧棱长10,求其表面积.
一个圆台，上、下底面半径分别为10、20，母线与底面的夹角为60°，求圆台的表面积.
变式：求切割之前的圆锥的表面积
面积为2的菱形，绕其一边旋转一周所得几何体的表面积是多少？
若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，求这个圆锥的表面积
PART 01
问题:已知球的半径为R,用R表示球的体积.
A O O. B2 C2 Bi Ci A O
问题:已知球的半径为R,用R表示球的体积.
知识探究（二）:球的表面积
思考1:半径为r的圆面积公式是什么？它是怎样得出来的？
添加标题
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an
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D1
A1
B1
C1
等底等高柱体的体积相等吗？
定理：等底等高柱体的体积相等
2、柱体的体积
将一个三棱柱按如图所示分解成三个三棱锥，那么这三个三棱锥的体积有什么关系？它们与三棱柱的体积有什么关系？
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思考4:推广到一般的棱锥和圆锥，你猜想锥体的体积公式是什么？ 高h 底面积S
几何体的表面积和体积公式
几何体的表面积和体积公式一、柱体。
1. 棱柱。
- 表面积公式：- 直棱柱的表面积S = 2S_底+S_侧，其中S_底为底面多边形的面积，S_侧为侧面积。
若直棱柱底面多边形的边长为a，边数为n，棱柱的高为h，则S_侧=nah。
- 体积公式：V = S_底h，h为棱柱的高。
2. 圆柱。
- 表面积公式：S = 2π r^2+2π rh，其中r为底面半径，h为圆柱的高。
- 体积公式：V=π r^2h。
二、锥体。
1. 棱锥。
- 表面积公式：S = S_底+S_侧，棱锥的侧面积S_侧等于各个侧面三角形面积之和。
若棱锥底面多边形的边长为a，边数为n，斜高（侧面三角形底边上的高）为h'，则S_侧=(1)/(2)nah'。
- 体积公式：V=(1)/(3)S_底h，h为棱锥的高。
2. 圆锥。
- 表面积公式：S=π r^2+π rl，其中r为底面半径，l为母线长。
- 体积公式：V = (1)/(3)π r^2h，h为圆锥的高。
三、台体。
1. 棱台。
- 表面积公式：S = S_上底+S_下底+S_侧，棱台的侧面积S_侧=(1)/(2)(n(a + b)h')，其中n为底面边数，a为上底面多边形的边长，b为下底面多边形的边长，h'为斜高。
- 体积公式：V=(1)/(3)h(S_上底+S_下底+√(S_上底)S_{下底})，h为棱台的高。
2. 圆台。
- 表面积公式：S=π r^2+π R^2+π l(R + r)，其中r为上底面半径，R为下底面半径，l为母线长。
- 体积公式：V=(1)/(3)π h(r^2+R^2+rR)，h为圆台的高。
四、球体。
- 表面积公式：S = 4π R^2，其中R为球的半径。
- 体积公式：V=(4)/(3)π R^3。
几何中的体积与表面积
几何中的体积与表面积在几何学中，体积和表面积是两个常用的概念。
它们可以用来描述物体的大小和形状，是解决一些实际问题的基础。
本文将介绍几何中的体积和表面积的概念，并探讨它们在不同几何体中的计算方法。
一、体积的基本概念体积是指一个物体所占据的三维空间的大小。
简而言之，它可以理解为物体的容量。
体积通常使用立方单位来表示，比如立方米、立方厘米等。
对于一些常见的几何体，其体积计算公式如下：1. 立方体的体积计算公式为：V = a³，其中a为立方体的边长。
2. 直方体的体积计算公式为：V = lwh，其中l、w和h分别为直方体的长度、宽度和高度。
3. 圆柱体的体积计算公式为：V = πr²h，其中r为底面半径，h为高度。
4. 圆锥体的体积计算公式为：V = (1/3)πr²h，其中r为底面半径，h 为高度。
5. 球体的体积计算公式为：V = (4/3)πr³，其中r为球的半径。
需要注意的是，以上仅为一些常见几何体的体积计算公式，其他复杂的几何体的体积计算方法可能会更加复杂，需要根据具体情况进行推导和计算。
二、表面积的基本概念表面积是指物体外表面所占据的区域大小。
它通常用平方单位来表示，例如平方米、平方厘米等。
对于一些常见几何体，其表面积计算公式如下：1. 立方体的表面积计算公式为：A = 6a²，其中a为立方体的边长。
2. 直方体的表面积计算公式为：A = 2lw + 2lh + 2wh，其中l、w和h分别为直方体的长度、宽度和高度。
3. 圆柱体的表面积计算公式为：A = 2πrh + 2πr²，其中r为底面半径，h为高度。
4. 圆锥体的表面积计算公式为：A = πr(l + r)，其中r为底面半径，l为斜高。
5. 球体的表面积计算公式为：A = 4πr²，其中r为球的半径。
同样地，需要注意的是，以上仅为一些常见几何体的表面积计算公式，其他复杂的几何体的表面积计算方法可能会更加复杂，需要根据具体情况进行推导和计算。
体积面积计算公式
体积面积计算公式体积和面积是数学中的重要概念，常用于几何学、物理学和工程学等领域。
在本文中，我们将详细介绍一些常见几何体的体积和面积计算公式。
立方体的体积和面积公式：立方体是一种具有6个相等正方形面的立体，它的所有边长相等。
立方体的体积等于边长的立方。
如果我们用a表示立方体的边长，则其体积V为V=a³。
立方体的表面积S等于6倍的边长的平方，即S=6a²。
矩形的体积和面积公式：矩形是一个具有4个直角的四边形，它的相对边长不相等。
矩形的面积等于长乘以宽。
如果我们用l表示矩形的长度，w表示矩形的宽度，则其面积A为A=l*w。
在三维空间中，我们可以通过将矩形沿一个轴拉伸，形成一个长方体。
长方体的体积V等于矩形的面积乘以它的高度h，即V=A*h。
圆柱体的体积和面积公式：圆柱体是一个具有两个平行的圆底面的几何体，其底面圆的半径用r表示，高度用h表示。
圆柱体的体积等于底面圆的面积乘以高度，即V=π*r²*h，其中π约等于3.14、圆柱体的侧面积Ps等于底面圆的周长乘以高度，即Ps=2π*r*h。
圆柱体的全面积S等于底面圆的面积加上两个底面圆和底面圆周边界的面积，即S=2π*r²+2π*r*h。
圆锥体的体积和面积公式：圆锥体是一个具有一个圆底面和一个顶点的几何体，其底面圆的半径用r表示，高度用h表示。
圆锥体的体积等于底面圆的面积乘以高度再除以3，即V = (π * r² * h) / 3、圆锥体的侧面积Ps等于底面圆的周长乘以一半的斜高，即Ps = π * r * sl，其中斜高sl可以通过勾股定理计算得到，sl = √(r² + h²)。
圆锥体的全面积S等于底面圆的面积加上侧面积，即S = π * r² + π * r * sl。
球体的体积和面积公式：球体是一个具有无限多个等距离于球心的点的几何体。
球体的体积等于4/3乘以π乘以半径的立方，即V=(4/3)*π*r³。
简单几何体的表面积和体积 (教师版)
简单几何体的表面积和体积1 柱体①棱柱体积：V=sℎ(其中ℎ是棱柱的高)②圆柱(1) 侧面积：S=2πrℎ(2) 全面积：S=2πrℎ+2πr2(3) 体积：V=Sℎ=πr2ℎ(其中r为底圆的半径，ℎ为圆柱的高)2 锥体①棱锥棱锥体积：V=13Sℎ(其中ℎ为圆柱的高)；②圆锥(1) 圆锥侧面积：S=πrl(2) 圆锥全面积：S=πr(r+l)(其中r为底圆的半径，l为圆锥母线)(3) 圆锥体积：V=13Sℎ=13πr2ℎ(其中r为底圆的半径，ℎ为圆柱的高)3台体①圆台表面积S=π (r′2+r′2+r′l+rl)其中r′是上底面圆的半径，r是下底面圆的半径，l是母线的长度.②台体体积V=13(S′+√SS′ +S) ℎ其中S , S′分别为上，下底面面积，ℎ为圆台的高.4 球体面积S=4πR2，体积V=43πR3（其中R为球的半径）【题型一】几何体的表面积【典题1】已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中AB=2，AA1=3，O为上底面中心．设正四棱柱ABCD－A1B1C1D1与正四棱锥O－A1B1C1D1的侧面积分别为S1，S2，则S2S1=．【解析】如图，正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB=2，AA1=3，则正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的侧面积分别为S1=4×2×3=24；正四棱锥O－A1B1C1D1的斜高为√12+32=√10．∴正四棱锥O－A1B1C1D1的侧面积S2=4×12×2×√10=4√10．∴S2S1=4√1024=√106．【点拨】注意侧面积和全面积的区别．【典题2】一个底面半径为2，高为4的圆锥中有一个内接圆柱，该圆柱侧面积的最大值为（）A．2π B．3πC．4πD．5π【解析】圆锥的底面半径为2，高为4，∴内接圆柱的底面半径为x时，它的上底面截圆锥得小圆锥的高为2x因此，内接圆柱的高 ℎ=4−2x；∴圆柱的侧面积为：S=2πx(4−2x)=4 π(2x−x2)(0<x<2)令t=2x−x2，当x=1时t max=1；所以当x=1时，S max=4π．即圆柱的底面半径为1时，圆柱的侧面积最大，最大值为4π．故选：C ．【点拨】① 圆柱的侧面积S =2πrℎ，则需要知道圆柱的高ℎ与底圆半径r ；② 在处理圆锥、圆柱问题时，要清楚母线、高、底圆的半径之间的关系，则要看轴截面(如下图),此时由相似三角形的性质可以得到每个量的关系.【典题3】 一个圆台上、下底面半径分别为r 、R ，高为ℎ，若其侧面积等于两底面面积之和，则下列关系正确的是( )A ．2ℎ=1R +1rB ．1ℎ=1R +1rC ．1r =1R +1ℎD ．2R =1r +1ℎ 【解析】设圆台的母线长为l ，根据题意可得圆台的上底面面积为S 上=πr 2，圆台的下底面面积为S 下=πR 2，∵圆台的侧面面积等于两底面面积之和，∴侧面积S 侧=π(r 2+R 2)=π(r +R)l ，解之得l =r 2+R 2r+R ∵l =√ℎ2+(R −r)2∴r 2+R 2r+R =√ℎ2+(R −r)2，∴(r 2+R 2r +R )2=ℎ2+(R －r)2 ∴2ℎ=1R +1r ．故选 A ． 【点拨】在处理圆台问题时，要清楚母线、上底圆半径、下底圆半径、高之间的关系，则要看轴截面(如下图),有 l =√ℎ2+(R −r)2.【题型二】几何体的体积【典题1】正方形ABCD被对角线BD和以A为圆心，AB为半径的圆弧DB̂分成三部分，绕AD旋转，所得旋转体的体积V1、V2、V3之比是()A．2: 1: 1B．1∶2: 1C．1∶1∶1D．2∶2: 1【解析】设正方形ABCD的边长为1，可得图1旋转所得旋转体为以AD为轴的圆锥体，高AD=1且底面半径r=1∴该圆锥的体积为V1=13π×AB2×AD=13π；图2旋转所得旋转体，是以AD为半径的一个半球，减去图1旋转所得圆锥体而形成，∴该圆锥的体积为V2=V半球−V1=12×43π×AD2－V1=13π；图3旋转所得旋转体，是以AD为轴的圆柱体，减去图2旋转所得半球而形成，∴该圆锥的体积为V3=π×AB2×AD－V半球=π－23π=13π综上所述V1=V2=V3=13π，由此可得图中1、2、3三部分旋转所得旋转体的体积之比为1∶1∶1．故选 C．【点拨】①圆锥是由直角三角形以某一直角边为轴旋转得到；圆柱是由矩形以某一边为轴旋转得到；球是由半圆以直径为轴旋转得到;②求解不规则图形可用“割补法”.【典题2】如图，圆锥形容器的高为ℎ，圆锥内水面的高为ℎ1，且ℎ1=13ℎ，若将圆锥的倒置，水面高为ℎ2，则ℎ2等于()A．23ℎB．1927ℎC．√633ℎD．√1933ℎ【解析】方法一设圆锥形容器的底面积为S，则未倒置前液面的面积为49S．∴水的体积V =13Sℎ－13×49S ×(ℎ−ℎ1)=1981Sℎ． 设倒置后液面面积为S′，则S′S =(ℎ2ℎ)2，∴S′=Sℎ22ℎ2．∴水的体积V =13S′ℎ2=Sℎ233ℎ2． ∴1981Sℎ=Sℎ233ℎ2，解得ℎ2=√193ℎ3． 故选 D ．方法二 设容器为圆锥1，高为ℎ,体积为V ;倒置前液面上的锥体为圆锥2，高为ℎ′=ℎ−ℎ1,体积为V 1;倒置后液面以下的锥体为圆锥3，高为ℎ2,体积为V 2.∵ℎ1ℎ=13 ∴ℎ′ℎ=23 ∴V−V 水V =(23)3=827⇒V 水V =1927， 在倒置后，又有V 水V =(ℎ2ℎ)3 ∴(ℎ2ℎ)3=1927⇒ℎ2=√193ℎ3【点拨】 ① 涉及圆台的表面积和体积，可把圆台补全为圆锥；② 两个相似几何体，若相似比为a ,则对应线段比为a ，对应的平面面积比为a 2,对应的几何体体积比是a 3.【典题3】 已知球的直径SC =4，A ，B 是该球球面上的两点，AB =2，∠ASC =∠BSC =45°，则棱锥S −ABC 的体积V = .【解析】由题可知AB 一定在与直径SC 垂直的小圆面上，作过AB 的小圆交直径SC 于D ，如图所示，设SD =x ，则DC =4－x ，此时所求棱锥即分割成两个棱锥SABD 和CABD ，在△SAD 和△SBD 中，由已知条件可得AD =BD =x ，又因为SC 为直径，所以∠SBC =∠SAC =90°，所以∠DBC =∠DAC =45°，所以在△BDC 中，BD =4－x ，所以x =4－x ，解得x =2，所以AD =BD =2，所以 ABD 为正三角形，所以V =13S △ABD ×4=4√33.【点拨】① 圆内直径所对的圆周角为90°；② 若垂直于三棱锥的某棱长的截面面积为S ，棱长长ℎ，则三棱锥的体积为13Sℎ．【题型三】与球有关的切、接问题【典题1】 已知三棱锥D −ABC 的四个顶点在球O 的球面上，若AB =AC =BC =DB =DC =1，当三棱锥D －ABC 的体积取到最大值时，球O 的表面积为（ ）A. 5π3B. 2 πC. 5 πD. 20π3【解析】 如图，当三棱锥D −ABC 的体积取到最大值时，则平面ABC ⊥平面DBC ，取BC 的中点G ，连接AG ，DG ，则AG ⊥BC ，DG ⊥BC ，分别取△ABC 与△DBC 的外心E ，F ，分别过E ，F 作平面ABC 与平面DBC 的垂线，相交于O ，则O 为四面体ABCD 的球心，由AB =AC =BC =DB =DC =1，得正方形OEGF 的边长为√36，则OG =√66∴四面体A −BCD 的外接球的半径R =√OG 2+B G 2=√(√66)2+(12)2=√512 ∴球O 的表面积为=4 π×(√512)2=5π3，故选：A ．【典题2】 如图，在一个底面边长为2，侧棱长为√10的正四棱锥P －ABCD 中，大球O 1内切于该四棱锥，小球O 2与大球O 1及四棱锥的四个侧面相切，则小球O 2的体积为 ．【解析】设O为正方形ABCD的中心，AB的中点为M，连接PM，OM，PO，则OM=1，PM=√PA2−AM2=√10−1=3，PO=√9−1=2√2，如图，在截面PMO中，设N为球O1与平面PAB的切点，则N在PM上，且O1N⊥PM，设球O1的半径为R，则O1N=R，因为sin∠MPO=OMPM =13，所以NO1PO1=13，则PO1=3R，PO=PO1+OO1=4R=2√2，所以R=√22，设球O1与球O2相切与点Q，则PQ=PO－2R=2R，设球O2的半径为r，同理可得PQ=4r，所以r=R2=√24，故小球O2的体积V=43πr3=√224π，故答案为√224π．巩固练习1(★)如图1所示，一只封闭的圆柱形水桶内盛了半桶水(桶的厚度忽略不计)，圆柱形水桶的底面直径与母线长相等，现将该水桶水平放置后如图2所示，设图1、图2中水所形成的几何体的表面积分别为S1、S2，则S1与S2的大小关系是()A．S1≤S2B．S1<S2C．S1>S2D．S1≥S2【答案】Ｂ【解析】设圆柱的底面半径为r，图1水的表面积为 S1=2πr2+2πr•r=4πr2．对于图2，上面的矩形的面积的长是2r，宽是2r．则面积是4r2．曲面展开后的矩形长是πr，宽是2r．则面积是2πr2．上下底面的面积的和是π×r2．图2水的表面积S2=(4+3π)r2．显然S1<S2．故选B．2(★) 若一个圆锥的母线长为4，且其侧面积为其轴截面面积的4倍，则该圆锥的高为()A．πB．3π2C．2π3D．π2【答案】Ａ【解析】设圆锥的底面圆半径为r，高为ℎ；由圆锥的母线长为4，所以圆锥的侧面积为πr•4=4πr；又圆锥的轴截面面积为12•2r•ℎ=rℎ，所以4πr=4rℎ，解得ℎ=π；所以该圆锥的高为π．故选：A．3(★★) 某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样大的四面体得到的(如图)．则该几何体共有个面；如果被截正方体的棱长是50cm，那么石凳的表面积是cm2．【答案】14，10000【解析】由题意知，截去的八个四面体是全等的正三棱锥，8个底面三角形，再加上6个小正方形，所以该几何体共有14个面；如果被截正方体的棱长是50cm，那么石凳的表面积是S表面积=8×12×25√2×25√2×sin60°+6×25√2×25√2=10000(cm2)．故答案为：14，10000．4(★★) 直角梯形的上、下底和不垂直于底的腰的长度之比为12√3，那么以垂直于底的腰所在的直线为轴，将梯形旋转一周，所得的圆台上、下底面积和侧面面积之比是.【答案】1: 4: 3√3【解析】由题意可设直角梯形上底、下底和不垂直于底的腰为x，2x，√3x；则圆台的上、下底半径和母线长分别为x，2x，√3x，如图所示；所以上底面的面积为S上底=π•x2；下底面的面积为S下底=π•(2x)2=4πx2；侧面积为S侧面=π(x+2x)•√3x=3√3πx2；所以圆台的上底、下底面积和侧面面积之比是πx2∶4πx2: 3√3πx2=1: 4: 3√3．5(★★) 如图，四面体各个面都是边长为1的正三角形，其三个顶点在一个圆柱的下底面圆周上，另一个顶点是上底面圆心，圆柱的侧面积是.【答案】2√2π3【解析】如图所示，过点P 作PE ⊥平面ABC ，E 为垂足，点E 为的等边三角形ABC 的中心．AE =23AD ，AD =√32． ∴AE =23×√32=√33．∴PE =√PA 2−AE 2=√63．设圆柱底面半径为R ，则2R =1sin60°=2√3， ∴圆柱的侧面积＝2πR •PE =√3π×√63=2√2π3，6(★★) 一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为4m ，侧面展开图的圆心角为2π3，则这个圆锥的体积等于 . 【答案】128√281πm 3【解析】设圆锥的底面半径为r ，圆锥形物体的母线长l =4m ，侧面展开图的圆心角为2π3，故2πr =2π3，解得 r =43m ， 故圆锥的高ℎ=√l 2−r 2=83√2m ，故圆锥的体积V =13πr 2ℎ=128√281πm 3．7(★★) 如图①，一个圆锥形容器的高为a ，内装有一定量的水．如果将容器倒置，这时所形成的圆锥的高恰为a2(如图②)，则图①中的水面高度为 .【答案】(1−√732)a【解析】 令圆锥倒置时水的体积为V ′，圆锥体积为V ，则v′v =(a 2)3÷a 3=18，∴V 空V 锥=78，倒置后 V 水=18V ， 设此时水高为ℎ，则ℎ3 a 3=78，∴ℎ=(1−√732)a ． 故原来水面的高度为(1−√732)a ．8(★★★) 半径为2的球O 内有一个内接正三棱柱，则正三棱柱的侧面积的最大值为 .【答案】12√3【解析】如图所示，设正三棱柱上下底面的中心分别为O 1，O 2，底面边长与高分别为x ，ℎ，则O 2A =√33x ，在Rt △OAO 2中，ℎ24+x 23=4， 化为ℎ2=16−43x 2，∵S 侧=3xℎ，∴S 侧2=9x 2ℎ2=12x 2(12−x 2)≤12(x 2+12−x 22)2=432．当且仅当x 2=12－x 2，即x =√6时取等号，此时S 侧=12√3．9(★★★) 如图所示，在边长为5+√2的正方形ABCD 中，以A 为圆心画一个扇形，以O 为圆心画一个圆，M 、N ，K 为切点，以扇形为圆锥的侧面，以圆O 为圆锥底面，围成一个圆锥，则圆锥的全面积与体积分别是 与 ．【答案】10π，2√303π【解析】设圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，高为ℎ，由已知条件可得{l+r+√2r=(5+√2)×√22πrl=π2，解得r=√2，l=4√2，∴S=πrl+πr2=10π，又∵h=√l2−r2=√30，∴V=13πr2ℎ=2√303π．故答案为10π，2√303π10(★★★) 已知四面体ABCD的棱长满足AB=AC=BD=CD=2，BC=AD=1，现将四面体ABCD放入一个主视图为等边三角形的圆锥中，使得四面体ABCD可以在圆锥中任意转动，则圆锥侧面积的最小值为．【答案】27π4【解析】因为四面体ABCD的棱长满足AB=AC=BD=CD=2，BC=AD=1，所以可以把其放到长宽高分别为a，b，c的长方体中，四面体的棱长是长方体的面对角线，∴a2+b2=22，①；b2+c2=22，②；c2+a2=12，③故四面体的外接球半径R满足：8R2=22+22+12=9；∴R2=98．∵四面体ABCD放入一个主视图为等边三角形的圆锥中，使得四面体ABCD可以在圆锥中任意转动，要想圆锥的侧面积最小；故需满足四面体的外接球恰好是圆锥的内切球；作圆锥的轴截面，如图：设BE=r，则AB=2r，AE=√3r；可得：OB2=OE2+EB2；∴R2=(√3r－R)2+r2⇒r=√3R；故圆锥侧面积的最小值为：πrl=2πr2=2π•3R2=27π4．故答案为：27π4．11(★★★) 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABC是下底面．M是BB1上的点，AB=3，BC=4，AC=5，CC1=7，过三点A、M、C1作截面，当截面周长最小时，截面将三棱柱分成的上、下两部分的体积比为.【答案】1110【解析】由AB=3，BC=4，AC=5，得AB2+BC2=AC2，∴AB⊥BC．将平面ABB1A1与平面BCC1B1放在一个平面内，连接AC1，与BB1的交点即为M，此时BM=3，设四棱锥A－BCC1M的体积为V1，则V1=13×12×(3+7)×4×3=20，三棱柱ABC－A1B1C1的体积V=12×4×3×7=42．∴当截面周长最小时，截面将三棱柱分成的上、下两部分的体积比为V−V1V1=1110．12(★★★) 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB=1，BC=2，BB1=3，∠ABC=90°，点D为侧棱BB1上的动点，当AD+DC1最小时，三棱锥D－ABC1的体积为．【答案】13【解析】将直三棱柱ABC－A1B1C1展开成矩形ACC1A1，如图，连结AC1，交BB1于D，此时AD+DC1最小，∵AB =1，BC =2，BB 1=3，∠ABC =90°，点D 为侧棱BB 1上的动点，∴当AD +DC 1最小时，BD =1，此时三棱锥D －ABC 1的体积V D−ABC 1=V C 1−ABD =13×S △ABD ×B 1C 1=13×12×AB ×BD ×B 1C 1=13×12×1×1×2=13．13(★★★) 已知△SAB 是边长为2的等边三角形，∠ACB =45°，当三棱锥S －ABC 体积最大时，其外接球的表面积为 .【答案】28π3【解析】由题可知，平面CAB ⊥平面SAB ，且CA =CB 时，三棱锥S －ABC 体积达到最大，如右图所示， 则点D ，点E 分别为△ASB ，△ACB 的外心，并过两个三角形的外心作所在三角形面的垂线，两垂直交于点O ．∴点O 是此三棱锥外接球的球心，AO 即为球的半径．在△ACB 中，AB =2，∠ACB =45°⇒∠AEB =90°，由正弦定理可知，AB sin∠ACB =2AE ，∴AE =EB =EC =√2，延长CE 交AB 于点F ，延长SD 交AB 于点F ，∴四边形EFDO 是矩形，且OE ⊥平面ACB ，则有OE ⊥AE ，又∵OE =DF =13SF =13×√32AB =√33， ∴OA =√OE 2+AE 2=√73．∴S 球表面积=4πR 2=4π×( √73)2=28π3．14(★★★)如图，在△ABC 中，AB =BC =2，∠ABC =120°．若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，满足PD =DA ，PB =BA ，则四面体PBCD 的体积的最大值是 ．【答案】12【解析】如图，M是AC的中点．①当AD=t <AM=√3时，如图，此时高为P到BD的距离，也就是A到BD的距离，即图中AE，DM=√3－t，由△ADE∽△BDM，可得ℎ1=√(√3−t)2+1，∴ℎ=√(√3−t)2+1，V=13⋅12⋅(2√3−t)⋅1⋅√(√3−t)2+1=16√3−t)2√(√3−t)2+1，t∈(0，√3)②当AD=t>AM=√3时，如图，此时高为P到BD的距离，也就是A到BD的距离，即图中AH，DM=t－√3，由等面积，可得12⋅AD⋅BM=12⋅BD⋅AH，∴1 2⋅t⋅1=12√(t−√3)2+1，∴ℎ=√(√3−t)2+1，∴V=13⋅12⋅(2√3−t)⋅1√(√3−t)2+1=16⋅√3−t)2√(√3−t)2+1，t∈(√3，2√3)综上所述，V=16√3−t)2√(√3−t)2+1，t∈(0，2√3)令m=√(√3−t)2+1∈[1，2)，则V=16⋅4−m2m，∴m=1时，V max=12．故答案为12．。
学习重点数学立体几何体积与表面积
学习重点数学立体几何体积与表面积数学是一门广泛应用于各个领域的学科，而立体几何是数学中的一个重要分支。
在学习立体几何时，掌握体积和表面积的计算方法是非常关键的一部分。
本文将重点介绍立体几何的体积和表面积的计算方法，以及一些常见几何体的体积和表面积的计算公式。
一、体积的计算方法体积是指几何体所占据的三维空间的容量大小。
不同的几何体有不同的计算方法，下面我们将分别介绍几种常见几何体的体积计算方法。
1. 立方体的体积计算方法：立方体是最基本的几何体之一，它的所有边长相等。
计算立方体的体积非常简单，只需要将边长的立方即可。
例如，一个边长为a的立方体的体积可以表示为V=a^3。
2. 正方体的体积计算方法：正方体也是一种常见的几何体，它是立方体的特殊情况，即所有的边长相等且所有的面都是正方形。
计算正方体的体积与立方体相同，都是将边长的立方。
假设正方体的边长为a，则它的体积可以表示为V=a^3。
3. 圆柱体的体积计算方法：圆柱体是由底面为圆形的平面和与底面平行的两个平行面所围成的几何体。
计算圆柱体的体积需要知道底面的半径和高。
假设底面的半径为r，高为h，则圆柱体的体积可以表示为V=πr^2h，其中π的近似值为3.14。
4. 球体的体积计算方法：球体是由所有点到球心的距离相等的点所形成的几何体。
计算球体的体积需要知道球的半径。
假设球的半径为r，则球体的体积可以表示为V=(4/3)πr^3，其中π的近似值为3.14。
二、表面积的计算方法表面积是指几何体外部各个平面所覆盖的总面积。
与体积类似，不同几何体的表面积计算方法也不相同。
下面我们将介绍几种常见几何体的表面积计算方法。
1. 立方体的表面积计算方法：立方体的表面积是指立方体六个面的总面积。
由于立方体的所有面都是正方形，所以立方体的表面积计算方法为S=6a^2，其中a为边长。
2. 正方体的表面积计算方法：正方体的表面积与立方体相同，都是指正方体六个面的总面积。
对于正方体来说，六个面都是正方形，所以正方体的表面积计算方法也为S=6a^2，其中a为边长。
立体几何中的体积和表面积
立体几何中的体积和表面积立体几何是研究空间中的图形的一个分支，其中最基本的概念就是体积和表面积。
在我们日常生活中，我们经常遇到各种各样的物体，比如球体、立方体、圆柱体等，而了解这些物体的体积和表面积可以帮助我们更好地理解它们的性质及应用。
本文将详细介绍立体几何中的体积和表面积的概念及计算方法。
一、体积的概念及计算方法体积是用来衡量一个物体内部的三维空间大小的物理量。
在立体几何中，我们常见的物体如立方体、长方体、球体、圆柱体等都有对应的体积计算公式。
1. 立方体和长方体的体积计算立方体是具有六个相等的面以及六条相等的边的立体图形。
它的体积计算公式为：体积 = 边长 x 边长 x 边长，或者简记为体积 = a³，其中a代表边长。
长方体与立方体类似，但它的三个边长可以不相等。
长方体的体积计算公式为：体积 = 长 x 宽 x 高，或者简记为体积 = lwh，其中l、w 和h分别代表长方体的长度、宽度和高度。
2. 球体的体积计算球体是一个面全部由曲面组成的物体，其内部点到球心的距离都相等。
球体的体积计算公式为：体积= (4/3)πr³，其中π约等于3.14159，r代表球的半径。
3. 圆柱体的体积计算圆柱体由一个圆面和一个平行于圆底的矩形面组成。
圆柱体的体积计算公式为：体积= πr²h，其中π约等于3.14159，r为圆底的半径，h 为圆柱体的高度。
二、表面积的概念及计算方法表面积是用来衡量一个物体外部覆盖的总面积的物理量。
在立体几何中，不同形状的物体有不同的表面积计算方法。
1. 立方体和长方体的表面积计算立方体的表面积计算公式为：表面积 = 6a²，其中a代表立方体的边长。
长方体的表面积计算公式为：表面积 = 2lw + 2lh + 2wh，其中l、w 和h分别代表长方体的长度、宽度和高度。
2. 球体的表面积计算球体的表面积计算公式为：表面积= 4πr²，其中π约等于3.14159，r代表球的半径。
简单几何体的表面积和体积
简单几何体的表面积和体积Geometry is a branch of mathematics that deals with shapes, sizes, and properties of space. One important concept in geometry is the measurement of the surface area and volume of simple geometric shapes. Surface area is the total area that covers the surface of a three-dimensional object, while volume is the amount of space occupied by the object.几何是数学的一个分支，处理形状，大小和空间属性。
几何学的一个重要概念是简单几何形状的表面积和体积测量。
表面积是覆盖三维物体表面的总面积，而体积是物体所占据的空间量。
When dealing with simple geometric shapes such as cubes, rectangular prisms, spheres, and cylinders, there are specific formulas to calculate their surface area and volume. For example, the surface area of a cube is calculated by finding the sum of the areas of all six faces, while the volume is calculated by cubing the length of one side. Understanding these formulas and how to apply them is essential for solving problems involving surface area and volume.在处理立方体，长方体，球体和圆柱等简单几何形状时，有特定的公式可以计算它们的表面积和体积。
高中数学立体几何面积体积公式
高中数学立体几何面积体积公式高中数学里，立体几何的面积体积公式那可是相当重要啊！就像我们生活中的各种工具，用对了就能解决大问题。
先来说说棱柱的体积公式，V = Sh ，其中 S 是底面积，h 是高。
想象一下，一个长长的棱柱，就像我们盖房子用的水泥柱子，底面积就是柱子底部那一块的面积，高就是柱子的长度。
棱锥的体积公式是 V = 1/3Sh ，这就好比是一个尖尖的金字塔，体积只有同底面积同高棱柱的三分之一。
圆柱的体积公式V = πr²h ，r 是底面半径，h 是高。
这个公式让我想起之前去蛋糕店，看到那种圆柱形的蛋糕模具，要算出能做多大的蛋糕，就得靠这个公式。
圆锥的体积公式V = 1/3πr²h ，就像甜筒冰激凌的形状，体积也只有同底同高圆柱的三分之一。
球的体积公式V = 4/3πr³ ，表面积公式S = 4πr² 。
球嘛，就像我们踢的足球，通过这个公式就能知道它内部能装多少气，或者外面的皮料有多大面积。
还记得有一次，学校组织我们去工厂参观。
看到工人们在制作一些金属零件，有圆柱形的，也有圆锥形的。
当时师傅就问我们，如果要做一个特定体积的圆柱零件，已知材料的底面积，那应该做多高呢？大家都面面相觑，我心里默默想着这些体积公式，试着算了算，还真算出了答案。
师傅听了直夸我，那一刻，我真切感受到了掌握这些公式的用处和乐趣。
在做数学题的时候，这些公式可不能记错。
有时候一个小数字的错误，就能让整个答案跑偏。
而且，在实际生活中，像装修房子计算用料、设计物品的形状和大小，都离不开这些公式。
学习立体几何的面积体积公式，就像是掌握了一把打开神秘空间大门的钥匙。
我们可以用它去探索未知，解决难题，感受数学在现实世界中的奇妙应用。
所以，同学们可一定要把这些公式牢记于心，灵活运用，让数学成为我们的得力助手！。
几何图形的面积和体积计算
几何图形的面积和体积计算几何图形是我们日常生活中随处可见的一种形状。
无论是在建筑设计、土木工程、机械制造还是在日常测量中，准确计算图形的面积和体积是非常重要的。
本文将介绍几何图形的面积和体积计算方法，帮助读者更好地理解和应用。
一、平面图形的面积计算1. 矩形的面积计算方法矩形是最常见的平面图形之一，它有四条边，且相对的两边长度相等。
矩形的面积可以用边长相乘得到，即面积 = 长 x 宽。
2. 三角形的面积计算方法三角形是由三条边组成的图形，我们可以通过三角形的底边和高来计算面积。
面积 = 底边 x 高 / 2。
3. 圆的面积计算方法圆是一个没有边界的图形，它的面积可以通过半径求得。
面积= π x 半径²，其中π约等于3.14。
二、立体图形的体积计算1. 立方体的体积计算方法立方体是一个具有六个相等正方形面的立体图形。
它的体积等于底面积乘以高度，即体积 = 底面积 x 高度。
2. 圆柱体的体积计算方法圆柱体是一个由两个平行圆面和一个侧面组成的立体图形。
它的体积等于底面积乘以高度，即体积 = 圆的面积 x 高度。
3. 锥体的体积计算方法锥体是由一个圆锥面和一个顶点组成的立体图形。
它的体积等于底面积乘以高度再除以3，即体积 = 圆的面积 x 高度 / 3。
4. 球体的体积计算方法球体是一个没有边界的立体图形，它的体积等于4/3乘以π乘以半径的立方，即体积= 4/3 x π x 半径³。
三、应用举例1. 计算矩形的面积假设一个矩形的长是5米，宽是3米，那么矩形的面积可以通过长乘以宽得到，即面积 = 5米 x 3米 = 15平方米。
2. 计算圆的面积假设一个圆的半径是2米，那么圆的面积可以通过半径的平方乘以π得到，即面积 = 2米² x 3.14 ≈ 12.56平方米。
3. 计算立方体的体积假设一个立方体的底面积是4平方米，高度是6米，那么立方体的体积可以通过底面积乘以高度得到，即体积 = 4平方米 x 6米= 24立方米。
空间几何体的表面积及体积公式大全.doc
空间几何体的表面积及体积公式大全.doc
几何体的表面积和体积是初中几何学中一大重要内容，各类几何体都有自己独特的表面积和体积公式，学习这些公式对于便于更快更好地解决几何图形问题是至关重要的。
平面图形的表面积：
1. 三角形的表面积：S=（底×高）/2
3. 圆形的表面积：S=π×半径×半径
4. 平行四边形的表面积：S=（水平边的长度×垂直边的长度）/2
1. 正方体的表面积公式：S=6×边长×边长；体积公式：V=边长×边长×边长
2. 球体的表面积公式：S=4πr2；体积公式：V=4/3πr3
以上是几何体的表面积及体积公式，掌握这些公式能够帮助我们快速准确地解决各式几何图形的问题。
解析立体几何形的体积和表面积
解析立体几何形的体积和表面积立体几何形是我们日常生活中常见的几何形状，它们有着不同的体积和表面积。
在本文中，我们将对立体几何形的体积和表面积进行详细解析，帮助读者更好地理解这些概念。
一、立方体立方体是一种六个面都相等且正方形的立体几何形。
它的体积和表面积可以通过简单的公式计算得出。
1. 体积立方体的体积公式为：V = a³，其中a代表立方体的边长。
即立方体的体积等于边长的三次方。
例如，如果一个立方体的边长为3cm，则其体积为27cm³。
2. 表面积立方体的表面积公式为：A = 6a²，其中a代表立方体的边长。
即立方体的表面积等于边长的平方乘以6。
二、圆柱体圆柱体是一种由两个相同大小的圆形底和一个侧面围成的立体几何形。
它的体积和表面积可以通过一些公式计算得出。
1. 体积圆柱体的体积公式为：V = πr²h，其中r代表底面圆的半径，h代表圆柱体的高度。
即圆柱体的体积等于底面圆的面积乘以高度。
例如，如果一个圆柱体的底面半径为2cm，高度为5cm，则其体积约为62.83cm³。
2. 表面积圆柱体的表面积公式为：A = 2πrh + 2πr²，其中r代表底面圆的半径，h代表圆柱体的高度。
即圆柱体的表面积等于圆柱侧面的面积加上两个底面圆的面积之和。
三、球体球体是一种由所有点到球心的距离都相等的立体几何形。
它的体积和表面积可以通过一些公式计算得出。
1. 体积球体的体积公式为：V = (4/3)πr³，其中r代表球体的半径。
即球体的体积等于半径的三次方乘以4/3乘以π。
例如，如果一个球体的半径为3cm，则其体积约为113.1cm³。
2. 表面积球体的表面积公式为：A = 4πr²，其中r代表球体的半径。
即球体的表面积等于半径的平方乘以4乘以π。
综上所述，立方体、圆柱体和球体是常见的立体几何形，它们的体积和表面积可以通过不同的公式计算得出。
小学数学认识简单的几何形状的面积和体积计算
小学数学认识简单的几何形状的面积和体积计算在小学数学课程中，几何形状的面积和体积计算是学习的重点之一。
通过学习面积和体积的计算，孩子们能够更好地理解和应用几何形状的概念。
本文将介绍小学数学中一些简单的几何形状的面积和体积计算方法，帮助孩子们更好地理解和掌握这些知识。
一、正方形的面积和周长计算正方形是最简单的几何形状之一。
我们知道正方形的四条边都相等，每个角都是90度。
正方形的面积可以通过边长的平方来计算，公式为：面积= 边长×边长。
而正方形的周长则是四条边的长度之和，公式为：周长 = 4 ×边长。
二、长方形的面积和周长计算长方形也是常见的几何形状之一。
长方形有两个相等的对边，每个角都是90度。
长方形的面积可以通过长乘以宽来计算，公式为：面积= 长 ×宽。
而长方形的周长可以通过长乘以2再加上宽乘以2来计算，公式为：周长 = 2 × (长 + 宽)。
三、三角形的面积计算三角形是由三条边和三个角构成的几何形状。
计算三角形的面积时，我们通常使用海伦公式或底乘以高再除以2的方法。
海伦公式适用于已知三边长度的情况，公式为：面积= √(p × (p - a) × (p - b) × (p - c))，其中p为三边之和的一半，a、b、c为三条边的长度。
底乘以高再除以2的方法适用于已知底边和高的情况，公式为：面积 = 底 ×高 ÷ 2。
四、圆的面积和周长计算圆是一个没有边和角的几何形状，由一个中心点和一条半径组成。
计算圆的面积时，我们使用的公式是：面积= π × 半径 ×半径，其中π (pi) 是一个无限不循环小数，近似为3.14159。
计算圆的周长，我们使用的公式是：周长= 2 × π × 半径。
五、立方体的体积计算立方体是一个有六个面的几何形状，每个面都是正方形。
立方体的体积可以通过边长的立方来计算，公式为：体积 = 边长 ×边长 ×边长。
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直棱柱
h
db
h
h
a
a
b
d
S直棱柱侧＝（a b d ) h ch
正棱锥
h' h'
S正棱锥侧＝
1 2
ch'
正棱台
C′
h'
h'
C
S正棱台侧＝
1（c 2
c'
)h'
简单几何体的表面积= 侧面积+底面积
柱体、锥体、台体的体积
１、长方体的体积
D1
C1
A1
d B1 c
D
S
A
C
Bb
a
V长方体 = abc 或V = S底h
A
D
S上
C
V = VP- ABCD - VP- AⅱB CⅱD
B
h
D
=
1 3
(
S上
+
S上S下 + S下)h
A
S下 C
B
球的表面积与体积
球的表面积 半径是 R 的球的表面积为：S 4 R2
球的体积 半径是 R 的球的体积为： V 4 R3
3
例题
例1 圆台的上下底面半径分别是10cm和20cm,它的侧面 展开图的扇环的圆心角是180°，那么圆台的侧面积是多
6、已知过球面上三点 A, B,C 的截面和球心的距离为球半径 的一半，且 AB BC CA 2，求球的表面积
解：设截面圆心为O ,连接 OA ,
设球半径为 R ， 则
OA 2 3 2 2 3
32
3
RtOOA中，OA2 OA2 OO2，
R2
(2 3 )2 3
1 4
R2， R
4 3
3×10≈3.74×103(mm3)
2
V圆柱=3.14×52×10≈0.785×103(mm3)
毛坯的体积V=3.74×103-0.785×103
≈2.96×103(mm3)=2.96(cm3)
约有毛坯：5.8×103÷(7.8×2.96)≈2.5×102(个)
答:这堆毛坯约有250个.
例4、 如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的 冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗？（假设冰激 凌融化前后体积不变）
O1 C1 B1 D1
C
O ED B
例3、有一堆相同规格的六角螺帽毛坯共重5.8kg.已知底面 六 边形的边长是12mm,高是10mm,内孔直径是10mm,那么约 有毛坯多少个?(铁的比重是7.8g/cm3)
O P
N
分析：六角螺帽毛坯的体积是一个正六棱柱的体积与一个圆 柱的体积的差.
O
P
N
解:V正六棱柱=3×122×
d 2 = a2 + b2 + c2
2、柱体的体积
等底等高柱体 的体积相等吗？
等底等高柱体的体积相等
h
S底
h
S底
S底
V柱 = S底h
3、锥体的体积 等底等高锥体的体积相等 h
1 V锥 = 3 S底h
4、台体体积
根据台体的特征，如何求台体的体积？
由于圆台(棱台)是由圆锥(棱锥)截成的，
P
因此可以利用两个锥体的体积差得到圆 台(棱台)的体积公式．
§7 简单几何体的面积和体积
圆柱、圆锥、圆台的侧面积
圆柱
r
l
长方形
宽＝ l
长 ＝2r
S圆柱侧 = S长方形＝2p rl
圆锥
扇形
l
r
R扇＝l
l扇＝1n8p0l
S圆锥侧＝S扇＝
npl 2 360
1 = 2 l扇l = prl
圆台
S圆台侧＝S扇环
扇环 ＝p（r1 + r2 )l
r1
lБайду номын сангаас
r2
直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积
答：60 2.正四棱锥底面边长为6 ,高是4，中截面把棱锥截成一个小 棱锥和一个棱台，求棱台的侧面积
答：45
3、已知一正四棱台的上底面边长为4cm,下底面边长为 8cm,高为3cm,其体积为_1_1_2_c_m_3
4、用一张长12cm、宽8cm的铁皮围成圆柱形的侧面， 该圆柱体积为＿2＿p88＿cm__3或__1_p9_2__cm__3__
例2：一个正三棱台的上、下底面边长分别是3cm和6cm，高
是3/2cm，求三棱台的侧面积.
分析：关键是求出斜高，注 意图中的直角梯形
A1
O1 C1
B1 D1
C
A
O ED
B
解
如图 O1, O 分别是上,下底面的中心,则 O1O
=3 , 2
连接 A1O1 并延长交 B1C1 于 D1 ,连接 AO 并延长交 BC
5、填空 (1)若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的 (2)若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的 (3)若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是 . (4)若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是 .
倍. 倍.
答案： 2 4 1: 2 2 1: 3 4
注意:影响球的表面积及体积的只有一个元素，就是球 的半径.
S 4 R2 64
9
CO B
O'
A
1、柱、锥、台的侧面展开图及侧面积、表面积，体积 2、对应的面积公式与体积公式
少？（结果中保留 ）
解 如图，设上底面周长为c,因为扇环
的圆心角是180°，所以c= ·SA
又因为c=2×10=20 ,所以SA=20.同理
SB=40.所以，AB=SB-SA=20,S圆台侧=
(r1 r2)AB (10 20) 20 600 (cm2 )
答：圆台的侧面积为600 cm2
于 D ,过 D1 作 D1E AD 于 E .
A1
在
RtD1ED
中,
D1E
O1O
3 2
,
DE
DO
OE
DO
D1O1
1 3
3 (6 3) 2
3, 2
DD1
D1E 2 DE 2
( 3 )2 +( 3 )2 22
3,
A
所以
S正三棱台侧 =
1 2
(c
c)
DD1
27 2
3
(cm2 ).
答:三棱台的侧面积为 27 3 cm2 . 2
4cm
12cm
解：因为
V半球
1 2
4 3
R3
4cm
1 4 43 134 cm3
23
12cm
V圆锥
1 sh 1 r 2h
33
1 42 12 201(cm3)
3
所以，冰淇淋融化了，不会溢出杯子.
1.一个正三棱柱的底面是边长为5的正三角形，侧棱长为4， 则其侧面积为 ______