北师版八下数学第二章一元一次不等式和一元一次不等式组知识归纳

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八下知识点-第二章一元一次不等式与一元一次不等式组

第一章一元一次不等式与一元一次不等式组【思维导图】【知识点】一、不等关系1. 不等式的概念一般地，用符号“＜”（或“≤”），“＞”（或“≥”）连接的式子叫做，如x＞3. 像x≠3这样用符号“≠”表示不等关系的式子也是不等式。

2. 列不等式（1）常用的不等关系：①x是正数，则；②x是负数，则；③x是非负数，则；④x是非正数，则；⑤x大于y，则；⑥x不小于y，则。

1. 不等式的两边都加（或减）同一个整式，不等号的方向；2. 不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向；3. 不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向。

4. 利用不等式的基本性质把不等式化为“x＞a”或“x＜a”的形式三、不等式的解集1. 不等式解集的相关概念（1）不等式的解：把是不等式成立的未知数的值，叫做不等式的。

不等式的解是一个具体的。

（2）不等式的解集：一个含有未知数的不等式的，组成这个不等式的。

不等式的解集是一个，包含不等式的 .2. 不等式的解集在数轴上的表示四、一元一次不等式1. 一元一次不等式不等式的左右两边都是，只含有个未知数，并且未知数的最高次数是，像这样的不等式叫做一元一次不等式。

2. 一元一次不等式的解法基本思想：运用不等式的基本性质，将不等式变形为x＞a（或x≥a）或x＜a（或x≤a）的形式，即得一元一般步骤：（1）（根据不等式的基本性质2或3）；（2）（根据去括号法则）；（3）（根据不等式的基本性质1）；（4）（根据合并同类项法则）；（5）（根据不等式的基本性质2或3）拓展延伸：解一元一次不等式与解一元一次不等式方程步骤大体一致，但需特别注意和的问题。

3. 列一元一次不等式解决实际问题解题步骤：（1）审：认真审题，分清已知量，未知量之间的关系，要抓住题设的关键字，如大于、小于、不大于、不小于等，并要准确理解它们的含义。

（2）设：设出适当的未知数。

（3）列：根据题中的不等关系，列出不等式。

北师版八年级下册数学第2章一元一次不等式与一元一次不等式组一元一次不等式组

知1－讲
感悟新知
例1 下列各不等式组，其中是一元一次不等式组的有
__③__④__⑤__．(填序号)
知1－练
① xy＞＋22；＜3 x，
②
x2＋1＞2 x＜1；
x，
③
（2 x－1）＞3x， x≤－2；
④
72－x－x＜8≤5；7－x，⑤
x－1＞0， 2x＋3＜0， ⑥ x－4＞2 x－1；
在同一数轴上分别表示出不等式①、②的解集.
公共部分
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6
这个不等式组的解集为3≤x＜5.
感悟新知
知2－讲
注意：在数轴上表示不等式的解集时应注意：大于向右画，小于向左画；有等号的画实心圆点，无等号的画空心圆圈.
感悟新知
例2 利用数轴求下列不等式组的解集．
知2－练
C．5D．4
知3－练
C
感悟新知
4. 不等式组的解32－x集＋x在4数0，0轴上表示正确的是(
)
知3－练
D
感;5，)则关于x的不等式组的4x整－－数2mx
0，知3－练 0
B
A．1个B．2个
C．3个D．4个
感悟新知
知3－练
6. 若关于x的一元一次不等式组 2x－1 3( x－2)，
然后找出它们的公共部分，这个公共部分就是此不等式组的解集，如果没有公共部分，那么这个不等式组无解．这种方法体现了数形结合思想，既直观又明了，易于掌握． (2)口诀法：“同大取大”“同小取小”“大小小大中间找”“大大小小无处找”，该方法便于记忆．
感悟新知
例3 关___于__x_的__不－. 等3 式组的解xx＞＞集mm是－＋x12，＞－1，则m＝
感悟新知

新北师大版八年级数学下册知识点总结

新北师大版八年级数学下册知识点总结XXX版八年级数学下册各章知识要点总结第一章三角形的证明一、全等三角形的判定和性质：判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL（直角三角形）对应边相等，对应角相等二、等腰三角形的性质和判定：有两边相等，底角相等等腰三角形的顶角平分线、底边中线和高线互相重合等边三角形的各角相等，每个角都等于60°判定方法：等角对等边三、直角三角形的性质和判定：两锐角互余直角边平方和等于斜边平方锐角等于30°的直角三角形，直角边等于斜边的一半斜边上的中线等于斜边的一半判定方法：三边平方和相等四、线段的垂直平分线和角平分线：垂直平分线上的点到两个端点的距离相等三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点到三个顶点的距离相等（外心）角平分线上的点到两边距离相等三角形三条角平分线相交于一点，这个点到三条边的距离相等（内心）第二章一元一次不等式和一元一次不等式组本章主要介绍一元一次不等式和一元一次不等式组的概念、性质和解法。

一、一元一次不等式的概念和性质：形如ax+b0）的不等式称为一元一次不等式解不等式的基本方法是移项、化简、分段讨论不等式的解集可以用区间表示二、一元一次不等式的解法：通过移项将不等式化为ax）b的形式根据a的正负性和不等式符号确定解集的范围判断解集的开闭性和无解情况三、一元一次不等式组的概念和性质：形如ax+by）和dx+ey>f（或<）的不等式组称为一元一次不等式组解不等式组的基本方法是联立、消元、分段讨论不等式组的解集可以用平面区域表示四、一元一次不等式组的解法：通过联立将不等式组化为标准形式根据系数的正负性和不等式符号确定解集的范围判断解集的开闭性和无解情况总之，本章内容涵盖了三角形的证明和一元一次不等式及其组的解法，是初中数学中重要的基础知识。

定义：不等式是用符号“＜”（或“≤”）,“＞”（或“≥”）连接的式子。

基本性质：不等式的两边都加（或减）同一个整式，不等号的方向不变；不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

北师大版八年级下册数学[一元一次不等式组(基础) 知识点整理及重点题型梳理]

北师大版八年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习一元一次不等式组（基础）知识讲解【学习目标】1.理解不等式组的概念；2.会解一元一次不等式组，并会利用数轴正确表示出解集；3.会利用不等式组解决较为复杂的实际问题，感受不等式组在实际生活中的作用．【要点梳理】要点一、不等式组的概念定义：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组．如2562010xx->⎧⎨-<⎩，7021163159xxx->⎧⎪+>⎨⎪+<⎩等都是一元一次不等式组．要点诠释：(1)这里的“几个”不等式是两个、三个或三个以上．(2)这几个一元一次不等式必须含有同一个未知数．要点二、解一元一次不等式组1. 一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中几个不等式的解集的公共部分叫做这个一元一次不等式组的解集．要点诠释：(1)找几个不等式的解集的公共部分的方法是先将几个不等式的解集在同一数轴上表示出来，然后找出它们重叠的部分．(2)有的一元一次不等式组中的各不等式的解集可能没有公共部分，也就是说有的不等式组可能出现无解的情况．2.一元一次不等式组的解法解一元一次不等式组的方法步骤：（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集．（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分即这个不等式组的解集．要点三、一元一次不等式组的应用列一元一次不等式组解应用题的步骤为：审题→设未知数→找不等关系→列不等式组→解不等式组→检验→答．要点诠释：(1)利用一元一次不等式组解应用题的关键是找不等关系．(2)列不等式组解决实际问题时，求出不等式组的解集后，要结合问题的实际背景，从解集中联系实际找出符合题意的答案，比如求人数或物品的数目、产品的件数等，只能取非负整数．【典型例题】类型一、不等式组的概念1．某小区前坪有一块空地，现想建成一块面积大于48平方米，周长小于34米的矩形绿化草地，已知一边长为8米，设其邻边为x ，请你根据题意写出x 必须满足的不等式．【思路点拨】由题意知，x 必须满足两个条件①面积大于48平方米．②周长小于34米．故必须构建不等式组来体现其不等关系．【答案与解析】解：依题意得：8482(8)34.x x >⎧⎨+<⎩【总结升华】建立不等式组的条件是：当感知所求的量同时满足几个不等关系时，要建立不等式组，建立不等式组的意义与建立方程组的意义类似．举一反三：【变式】直接写出解集：(1)2,3x x >⎧⎨>-⎩的解集是______； (2)2,3x x <⎧⎨<-⎩的解集是______； (3)2,3x x <⎧⎨>-⎩的解集是_______；(4)2,3x x >⎧⎨<-⎩的解集是_______．【答案】（1）2x >；（2）3x <-；（3）32x -<<；（4）空集．类型二、解一元一次不等式组2.（2016•莆田）解不等式组：．【思路点拨】解不等式组时，要先分别求出不等式组中每个不等式的解集，然后画数轴，找它们解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集．【答案与解析】解：解：．由①得x ≤1；由②得x ＜4；所以原不等式组的解集为：x ≤1．【总结升华】确定一元一次不等式组解集的常用方法有两种：(1)数轴法：运用数轴法确定不等式组的解集，就是将不等式组中的每一个不等式的解集在数轴上表示出来，然后找出它们的公共部分，这个公共部分就是此不等式组的解集；如果没有公共部分，则这个不等式组无解，这种方法体现了数形结合的思想，既直观又明了，易于掌握．(2)口诀法：为了便于快速找出不等式组的解集，结合数轴将其总结为朗朗上口的四句口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找，大大小小无解了．举一反三：【变式】解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．【答案】解：，∵解不等式①得：x≤1，解不等式②得：x ＞﹣2，∴不等式组的解集为：﹣2＜x≤1．在数轴上表示不等式组的解集为：类型三、一元一次不等式组的应用3. “六·一”儿童节，学校组织部分少先队员去植树．学校领到一批树苗，若每人植4棵树，还剩37棵；若每人植6棵树，则最后一人有树植，但不足3棵，这批树苗共有多少棵．【思路点拨】设有x 名学生，则由第一种植树法，知道一共有(4x +37)棵树；第二种植树法中，前（x-1）名学生中共植6（x-1）棵树；最后一名学生植树的数量是：[(4x +37)- 6（x-1）]棵，这样，我们就探求到第一个不等量关系：最后一人有树植，说明第二种植树法中前（x-1）名学生植树的数量要比树木总数少，即(4x +37)＞6（x-1）；第二种植树法中，最后一名学生植树的数量不到3棵，也就是说[(4x +37)- 6（x-1）]＜3，或者理解为：[(3x +8)- 5（x-1）]≤2，这样，我们就又找到了第二个不等量关系式. 到此，不等式组即建立起来了，接下来就是解不等式组．【答案与解析】解：设有x 名学生，根据题意，得：4376114376132x x x x +>-⎧⎨+--<⎩（）（）（）（）（），不等式(1)的解集是：x ＜2121；不等式（2）的解集是：x ＞20，所以，不等式组的解集是：20＜x ＜2121，因为x 是整数，所以，x=21，4×21+37=121（棵）答：这批树苗共有121棵.【总结升华】解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系．举一反三：【变式】一件商品的成本价是30元，若按原价的八八折销售，至少可获得10%的利润；若按原价的九折销售，可获得不足20%的利润，此商品原价在什么范围内？【答案】解：设这件商品原价为x 元，根据题意可得：88%303010%90%303020%x x ≥+⨯⎧⎨<+⨯⎩解得：37.540x ≤< 答：此商品的原价在37.5元（包括37.5元）至40元范围内．4. “全民阅读”深入人心，好读书，读好书，让人终身受益．为满足同学们的读书需求，学校图书馆准备到新华书店采购文学名著和动漫书两类图书．经了解，20本文学名著和40本动漫书共需1520元，20本文学名著比20本动漫书多440元（注：所采购的文学名著价格都一样，所采购的动漫书价格都一样）．（1）求每本文学名著和动漫书各多少元？（2）若学校要求购买动漫书比文学名著多20本，动漫书和文学名著总数不低于72本，总费用不超过2000元，请求出所有符合条件的购书方案．【思路点拨】（1）设每本文学名著x 元，动漫书y 元，根据题意列出方程组解答即可；（2）根据学校要求购买动漫书比文学名著多20本，动漫书和文学名著总数不低于72本，总费用不超过2000元，列出不等式组，解答即可．【答案与解析】解：（1）设每本文学名著x 元，动漫书y 元，可得：，解得：，答：每本文学名著和动漫书各为40元和18元；（2）设学校要求购买文学名著x 本，动漫书为（x+20）本，根据题意可得：，解得：，因为取整数，所以x 取26，27，28；方案一：文学名著26本，动漫书46本；方案二：文学名著27本，动漫书47本；方案三：文学名著28本，动漫书48本．【总结升华】此题主要考查了二元一次方程组的应用，不等式组的应用，关键是弄清题意，找出题目中的等量关系与不等关系，列出方程组与不等式组．举一反三：【变式】A 地果农收获荔枝30吨，香蕉13吨，现计划租用甲、乙两种货车共10辆，将这批水果全部运往B 地. 已知甲种货车可装荔枝4吨和香蕉1吨，乙种货车可装荔枝香蕉各2吨．（1）若要安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来．（2）若甲种货车每辆要付运输费2000元，乙种货车每辆要付运输费1300元，那么选择哪种方案使运费最少？运费最少是多少？【答案】解：（1）设租甲种货车x 辆，则租乙种货车（10x -）辆，依题意得：42(10)302(10)13x x x x +-≥⎧⎨+-≥⎩，解得57x ≤≤，又x 为整数，所以5x =或6或7，∴有三种方案：方案1：租甲种货车5辆，乙种货车5辆；方案2：租甲种货车6辆，乙种货车4辆；方案3：租甲种货车7辆，乙种货车3辆．（2）运输费用：方案1：2000×5＋1300×5＝16500（元）；方案2：2000×6＋1300×4＝17200（元）；方案3：2000×7＋1300×3＝17900（元）．∴方案1运费最少，应选方案1．。

北师大版初二下数学目录及知识点(最新整理)

两直线平行，内错角相等两直线平行，同旁内角互补一般地，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也相互平行
5. 三角形内角和定理的证明
三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180
四边形的内角和等于 360 度 6 关注三角形的外角三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角回顾与思考： 1. 直观是重要的，但它有时也会欺负人，你还能找出这样的例子吗 2. 请你用自己的语言说一下什么叫定义、命题、公理和定理 3. 什么条件下两条直线平行？两条直线平行又会怎样？这两类命题的条件和结论有什么
3.运用公式法平方差、十字相乘法特点：二次项系数是 1，常数项是两数积、一次项系数是这两个因数的和
完全平方：形如 a2 2ab b2和a2 2ab b2 的式子称为完全平方式。
分解因式的方法：提公因式法、运用公式法、十字相乘法回顾与思考：1.举例说明什么是分解因式 2.分解因式与整式乘除有什么关系 3. 分解因式常用方法有哪些？
6.一元一次不等式组关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组。一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫这个一元一次不等式组的解集。用数轴表示不等式组的解集提高：不等式表示的平面区域回顾与思考：1.不等式有哪些基本性质，它与等式的基本性质有什么异同？ 2.解一元一次不等式和解一元一次方程有什么异同？ 3.举例说明在数轴上如何表示一元一次不等式（组）的解集 4.说运用不等式解决实际问题的基本过程以及个人体会 5.举例说明不等式、函数、方程的联系
（1）两个角对应相等的两个三角形相似；
（2）三边对应成比例的两个三角形相似；
（3）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。直角三角形形似的条件：（1）一对锐角对应相等，两直角三角形相似（2）斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似（3）被斜边上的高分成是两个三角形相似，并与原三角形相似

八年级数学下册第二章《一元一次不等式与一元一次不等式组》知识点归纳北...

八年级数学下册第二章《一元一次不等式与一元一次不等式组》知识点归纳北...八年级数学下册第二章《一元一次不等式与一元一次不等式组》知识点归纳（北师大版）第二章一元一次不等式和一元一次不等式组一.不等关系1.一般地,用符号“<</span>”(或“≤”),“>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式2.要区别方程与不等式：方程表示的是相等的关系;不等式表示的是不相等的关系.3.准确“翻译”不等式,正确理解“非负数”、“不小于”等数学术语.非负数大于等于0(≥0)，非正数小于等于0(≤0)二.不等式的基本性质1.掌握不等式的基本性质：(1)不等式的两边加上(或减)同一个整式,不等号的方向不变,即：如果a>b,那么a+c>b+c,a-c>b-c.(2)不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变,即如果a>b,并且c>0,那么ac>bc,a/c=b/c.(3)不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变,即：如果a>b,并且c<0,那么ac2.比较大小：(a、b分别表示两个实数或整式)即：a>b <===>a-b>0 a=b <===>a-b=0 a<===>a-b<02.比较大小：(a、b分别表示两个实数或整式)一般地：如果a>b,那么a-b是正数;反过来,如果a-b是正数,那么a>b;如果a=b,那么a-b等于0;反过来,如果a-b等于0,那么a=b;如果a那么a-b是负数;反过来,如果a-b是负数,那么a即：a>b <===>a-b>0a=b <===>a-b=0a<===>a-b<0(由此可见,要比较两个实数的大小,只要考察它们的差就可以了.三.不等式的解集：1.能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解;一个含有未知数的不等式的所有解,组成这个不等式的解集;求不等式的解集的过程,叫做解不等式.2.不等式的解可以有无数多个,一般是在某个范围内的所有数,与方程的解不同.¤3.不等式的解集在数轴上的表示：用数轴表示不等式的解集时,要确定边界和方向：边界：有等号的是实心圆圈,无等号的是空心圆圈;。

北师大版八年级下册数学《不等关系》一元一次不等式和一元一次不等式组研讨说课复习课件

A.两种客车总的载客量不少于500人 B.两种客车总的载客量不超过500人 C.两种客车总的载客量不足500人 D.两种客车总的载客量恰好等于500人
4. 用“＜”或“＞”号填空．
(1)－2_＜___2；
(2)－3_＜___－2；
(3)12_＞___6；
(4)0__＞__－8；
(5)－a__＜__a (a＞0)； (6)－a__＞__a(a＜0)．
5.用不等式表示下列问题中数量之间的关系．
(1)小陈的体重（x）至少100斤. x≥100
(2)这支铅笔的价钱（y）至多3元. y≤3
(3)一辆轿车在某公路上的行驶速度是 x km/h，已知 x≤100 这辆轿车在该公路上行驶的速度不超过100 km/h. (4)一块正方形的苗圃地，边长为y(m),周长不少于 36 m . 4y≥36 (5)某隧道限速为60km/h，一辆车在隧道中行驶的速度为v(km/h)的轿车因超速被交警处罚. v＞60 (6)山亭3月8日最低气温1oC，最高气温是 13oC，薛城这一天某一时刻的气温是toC . 1oC ≤ toC ≤ 13oC
探究新知
不等式的概念：
观察由上述问题得到的关系式： x>50 ， s>60x ， s<100x,a+b+c≤160 ，6+3x＞30，它们有什么共同的特点？
结论
一般地，用不等号“>”（或“≥”），“<”（或
“≤”）连接的式子叫做不等式.
探究新知
不等号：
不等号
＞
读作
大于
＜
第二章一元一次不等式与一元一次不等式组
不等关系
课件
情景导入
找出下列材料中的不等关系.

北师大数学八年级下册第二章-含参数一元一次不等式(组)经典讲义

第03讲_含参数一元一次不等式（组）知识图谱含参数一元一次不等式（组）知识精讲含字母的一元一次不等式（组）未知数的系数含有字母或常数项含有字母的一元一次不等式（组）未知数的系数含有字母若0a >，axb >的解为b x a >；若0a <，ax b >的解为bx a<；若0a =，则当0b ≥时，ax b >无解，当0b <时，ax b >的解为任何实数已知23a ≠，解关于x 的不等式()()14321a x a x ++<-- 原不等式化为：()()13214a x a x +--<--()325a x -<-（1）当320a ->时，即23a >时，不等式的解为523x a <-；（2）当320a -<，即23a <时，不等式的解为523x a >-参数取值范围首先把不等式的解集用含有字母的代数式表示出来，然后把它与已知解集联系起来求解，在求解过程中可以利用数轴进行分析.五．易错点1.注意参数取值范围导致的变号问题．2.分清参数和未知数，不要混淆.3.解连续不等式时要注意拆分为不等式组.三点剖析一．考点：含参的一元一次方程（组）．二．重难点：参数与解集之间的关系，整数解问题，不等式与方程综合．三．易错点：注意参数取值范围导致的变号问题．解含参一元一次不等式（组）例题1、解关于x 的不等式：ax ﹣x ﹣2＞0．【答案】当a ﹣1=0，则ax ﹣x ﹣2＞0为空集，当a ﹣1＞0，则x ＞21a -，当a ﹣1＜0，则x ＜21a -【解析】 ax ﹣x ﹣2＞0．（a ﹣1）x ＞2，当a ﹣1=0，则ax ﹣x ﹣2＞0为空集，当a ﹣1＞0，则x ＞21a -，当a ﹣1＜0，则x ＜21a -．例题2、已知a 、b 为常数，解关于x 的不等式22ax x b ->+ 【答案】 2a >时，()212b x a +>- 2a <时，()212b x a +<-2a =时，①如果10b +≥，不等式无解；②如果10b +<，则不等式的解为任何实数【解析】原不等式可化为()()221a x b ->+，（1）当20a ->，即2a >时，不等式的解为()212b x a +>-；（2）当20a -<，即2a <时，不等式的解为()212b x a +<-；（3）当20a -=，即2a =时，有 ①：如果10b +≥，不等式无解；②如果10b +<，则不等式的解为任何实数．例题3、已知a 、b 为常数，若0ax b +>的解集为23x >，则0bx a -<的解集是（） A.32x >B.32x <C.32x >-D.32x <-【答案】 C 【解析】该题考查的是解不等式．0ax b +>的解集为23x >，化简得2=3b a - 且a>00bx a -<的解集为a x b >，32x >-．所以该题的答案是C ．例题4、已知23a ≠，解关于x 的不等式()()14321a x a x ++<--【答案】当23a >时，不等式的解为523x a <-；当23a <时，不等式的解为523x a >-【解析】原不等式化为：()()13214a x a x +--<-- ()325a x -<-，因为23a ≠，所以320a -≠，即32a -为正数或负数.（1）当320a ->时，即23a >时，不等式的解为523x a <-；（2）当320a -<，即23a <时，不等式的解为523x a>-例题5、已知关于x 的不等式22m mx -＞12x ﹣1．（1）当m=1时，求该不等式的解集；（2）m 取何值时，该不等式有解，并求出解集．【答案】（1）x ＜2（2）当m≠﹣1时，不等式有解，当m ＞﹣1时，不等式解集为x ＜2；当x ＜﹣1时，不等式的解集为x ＞2【解析】（1）当m=1时，不等式为22x -＞2x﹣1，去分母得：2﹣x ＞x ﹣2，解得：x ＜2；（2）不等式去分母得：2m ﹣mx ＞x ﹣2，移项合并得：（m+1）x ＜2（m+1），当m≠﹣1时，不等式有解，当m ＞﹣1时，不等式解集为x ＜2；当m ＜﹣1时，不等式的解集为x ＞2．随练1、解关于x 的不等式22241x x a a a-≥+．【答案】当2a >-且0a ≠时，有2x a ≤-；当2a =-时，x 为任意数不等式都成立；当2a <-时，有2x a ≥-【解析】因为0a ≠，所以20a >，将原不等式去分母，整理得()224a x a +≤-．当2a >-且0a ≠时，有2x a ≤-；当2a =-时，x 为任意数不等式都成立；当2a <-时，有2x a ≥-．随练2、已知23a ≠，解关于x 的不等式()()14321a x a x ++<--．【答案】当23a >时，不等式的解为523x a <-；当23a <时，不等式的解为523x a >-【解析】原不等式化为：()325a x -<-，因为23a ≠，所以320a -≠，即32a -为正数或负数. （1）当320a ->时，即23a >时，不等式的解为523x a <-；（2）当320a -<，即23a <时，不等式的解为523x a >-随练3、解下列关于x 的不等式组：()23262111x a x x x +⎧->⎪⎨⎪+>-⎩；【答案】 13a >时，32x a >+；13a ≤时，3x >【解析】原不等式组可化为323x a x >+⎧⎨>⎩．当323a +>，即13a >时，不等式组的解集为32x a >+．当323a +≤，即13a ≤时，不等式组的解集为3x >随练4、已知a ，b 为实数，若不等式ax ＋b ＜0的解集为12x >，则不等式b （x －1）－a ＜0的解集为（）A.x ＞－1B.x ＜－1C.a b x b +>D.a b x b+< 【答案】 B【解析】暂无解析随练5、已知关于x 的不等式()2340a b x a b -+->的解集是1x >.则关于x 的不等式()4230a b x a b -+->的解集是____________.【答案】 13x <-【解析】 ()2340a b x a b -+->，移项得：()232a b x a b ->-，由已知解集为1x >，得到20a b ->，变形得：322a bx a b ->-，可得：3212a ba b-=-，整理得：a b =， ()4230a a x a a ∴-+->，即0a >，∴不等式()4230a b x a b -+->可化为()4230a a x a a -+->. 两边同时除以a 得：31x ->，解得：13x <-.随练6、已知实数a 是不等于3的常数，解不等式组2x 3311x 2a x 022-+-⎧⎪⎨-+⎪⎩≥（）＜，并依据a 的取值情况写出其解集．【答案】当a ＞3时，不等式组的解集为x ≤3，当a ＜3时，不等式组的解集为x ＜a【解析】 2x 3311x 2a x 022-+-⎧⎪⎨-+⎪⎩≥（①②）＜，解①得：x ≤3，解①得：x ＜a ，∵实数a 是不等于3的常数，∴当a ＞3时，不等式组的解集为x ≤3，当a ＜3时，不等式组的解集为x ＜a ．随练7、关于x 的不等式组2131x a x +>⎧⎨->⎩．（1）若不等式组的解集是1＜x ＜2，求a 的值；（2）若不等式组无解，求a 的取值范围．【答案】（1）a=3；（2）a≤2【解析】（1）解不等式2x+1＞3得：x ＞1，解不等式a ﹣x ＞1得：x ＜a ﹣1， ∵不等式组的解集是1＜x ＜2，∴a ﹣1=2，解得：a=3；（2）∵不等式组无解， ∴a ﹣1≤1，解得：a≤2．参数与解集之间的关系例题1、若关于x 的一元一次不等式组011x a x x ->⎧⎨->-⎩无解，则a 的取值范围是．【答案】 a≥2．【解析】由x ﹣a ＞0得，x ＞a ；由1﹣x ＞x ﹣1得，x ＜1， ∵此不等式组的解集是空集， ∴a≥1．例题2、已知关于x 的不等式组301(2)342x a x x -≥⎧⎪⎨->+⎪⎩有解，求实数a 的取值范围，并写出该不等式组的解集．【答案】 a ＜﹣6，3a≤x ＜﹣2．【解析】解不等式3x ﹣a≥0，得：x≥3a，解不等式12（x ﹣2）＞3x+4，得：x ＜﹣2，由题意得：3a＜﹣2，解得：a ＜﹣6，∴不等式组的解集为3a≤x ＜﹣2．例题3、如果关于x 的不等式（a+1）x ＞a+1的解集为x ＜1，那么a 的取值范围是（） A.a ＜﹣1 B.a ＜0 C.a ＞﹣1 D.a ＞0或a ＜﹣1 【答案】 A【解析】（a+1）x ＞a+1，当a+1＞0时，x ＞1，当a+1＜0时，x ＜1， ∵解集为x ＜1， ∴a+1＜0， a ＜﹣1．故选：A ．例题4、当1≤x≤4时，mx ﹣4＜0，则m 的取值范围是（） A.m ＞1 B.m ＜1 C.m ＞4 D.m ＜4 【答案】 B【解析】设y=mx ﹣4，由题意得，当x=1时，y ＜0，即m ﹣4＜0，解得m ＜4，当x=4时，y ＜0，即4m ﹣4＜0，解得，m ＜1，则m 的取值范围是m ＜1，例题5、若不等式（a ﹣3）x ＞1的解集为x ＜13a -，则a 的取值范围是．【答案】 a ＜3．【解析】 ∵（a ﹣3）x ＞1的解集为x ＜13a -， ∴不等式两边同时除以（a ﹣3）时不等号的方向改变， ∴a ﹣3＜0， ∴a ＜3．故答案为：a ＜3．例题6、如果关于x 的不等式()122a x a +>+的解集是2x <，则a 的取值范围是（） A.0a < B.1a <-C.1a >D.1a >-【答案】 B【解析】将原不等式与其解集进行比较，在不等式的变形过程中利用了不等式的性质三，因此有10a +<，故1a <-例题7、若不等式组()322110b x x a -<--⎧⎨->⎩的解集为﹣2＜x ＜4，求出a 、b 的值．【答案】 a=﹣10，b=3．【解析】解不等式10﹣x ＜﹣（a ﹣2），得：x ＞a+8，解不等式3b ﹣2x ＞1，得：x ＜312b -，∵解集为﹣2＜x ＜4， ∴314282a b ⎧⎪⎨-=+=-⎪⎩，解得：a=﹣10，b=3．随练1、已知关于x 的不等式（m －2）x ＞2m －4的解集为x ＜2，则m 的取值范围是________．【答案】 m ＜2【解析】不等式（m －2）x ＞2m －4的解集为x ＜2， ∴m －2＜0，m ＜2．随练2、关于x 的不等式组()3141x x x m ⎧->-⎪⎨<⎪⎩的解集为x ＜3，那么m 的取值范围是．【答案】 m≥3【解析】 ()3141x x x m ->-⋅⋅⋅⎧⎪⎨<⋅⋅⋅⎪⎩①②，解①得x ＜3，∵不等式组的解集是x ＜3， ∴m≥3．故答案是：m≥3．随练3、若关于x 的一元一次不等式组202x m x m -<⎧⎨+>⎩有解，则m 的取值范围为（）A.23m >-B.23m ≤C.23m >D.23m ≤-【答案】 C【解析】 202x m x m -<⎧⎨+>⎩①②，解不等式①得，x ＜2m ，解不等式②得，x ＞2－m ， ∵不等式组有解， ∴2m ＞2－m ，∴23m >．随练4、若不等式组0422x a x x +⎧⎨->-⎩≥有解，则实数a 的取值范围是（）A.a≥－2B.a ＜－2C.a≤－2D.a ＞－2【答案】 D【解析】 0422x a x x +⎧⎨->-⎩≥，解不等式x ＋a≥0得，x≥－a ，由不等式4－2x ＞x －2得，x ＜2，∵不等式组：不等式组0422x a x x +⎧⎨->-⎩≥有解，∴a ＞－2，随练5、已知不等式31（x ﹣m ）＞2﹣m ．（1）若上面不等式的解集为x ＞3，求m 的值．（2）若满足x ＞3的每一个数都能使上面的不等式成立，求m 的取值范围．【答案】（1）23（2）m≥23 【解析】（1）解不等式可得x ＞6﹣2m ，∵不等式的解集为x ＞3， ∴6﹣2m=3，解得m=23；（2）∵原不等式可化为x ＞6﹣2m ，满足x ＞3的每一个数都能使不等式成立， ∴6﹣2m≤3，解得m≥23．整数解问题例题1、关于x 的不等式－1＜x≤a 有3个正整数解，则a 的取值范围是________．【答案】 3≤a ＜4【解析】 ∵不等式－1＜x≤a 有3个正整数解， ∴这3个整数解为1、2、3，则3≤a ＜4．例题2、关于x 的不等式0x b ->恰有两个负整数解，则b 的取值范围是（） A.32?b -<<- B.32?b -<≤- C.32b -≤≤- D.32b -≤<- 【答案】 D【解析】本题主要考查一元一次不等式及其解法。

北师大版八年级数学下册第二章一元一次不等式与一元一次不等式组2.1不等关系(教案)

-不等式的移项和合并同类项：在解不等式时，学生可能会混淆移项的方向，或者不会正确合并同类项。
-不等式组的解集表示：学生可能难以理解不等式组的解集如何表示，以及如何从图形上直观表示。
-将实际问题转化为不等式：学生可能缺乏将实际问题抽象为数学模型的能力。
举例解释：
-对于性质理解难点，教师可以通过对比等式性质与不等式性质，帮助学生理解不等式的独特之处。
5.增强学生的数学运算能力：让学生熟练掌握不等式的运算规则，提高数学运算速度和准确性，培养严谨细致的学习态度。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-不等式的定义及其性质：理解不等式的概念，掌握不等式的可加性、可乘性、对称性等基本性质，并能够运用这些性质解决相关问题。
-一元一次不等式的解法：熟练掌握一元一次不等式的解法步骤，包括移项、合并同类项、化简等。
北师大版八年级数学下册第二章一元一次不等式与一元一次不等式组2.1不等关系（教案）
一、教学内容
本节课选自北师大版八年级数学下册第二章“一元一次不等式与一元一次不等式组”的2.1节，主要内容包括以下方面：
1.不等式的定义与性质：了解不等式的概念，掌握不等式的性质，如可加性、可乘性、对称性等。
2.不等式的解法：学会解一元一次不等式，包括移项、合并同验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“不等关系在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解不等关系的基本概念。不等关系是描述两个数之间大小关系的一种数学表达方式。它是数学中的基本概念，广泛应用于各个领域。

第二章《一元一次不等式与一元一次不等式组》小结与复习-八年级数学下册课件(北师大版)

巩固练习拓展提高
6. 某公司为了扩大经营,决定购进6台机器用于生产某种活塞,
甲
乙
现有甲、乙两种机器供选择,其中每种机器的价格和每台机器日生价格(万元/台) 7
5
产活塞的数量如下表所示,经过预算,本次购买机器所耗资金不能
每台日产量(个) 100 60
超过34万元,则按该公司的要求可以有几种购买方案?
＞大于,高出大于
小于或等于号
≤
不大于, 小于或不超过等于
大于或等于号
≥
不小于, 大于或
至少
等于
不等号
≠
不相等不等于
Hale Waihona Puke 创设情境引入新课比较不等式与等式的基本性质：
变形两边都加上（或减去）同一个整式两边都乘以（或除以）同一个正数两边都乘以（或除以）同一个负数
等式仍成立仍成立仍成立
解不等式的应用问题的步骤包括审、设、列、解、找、答这几个环节，而在这些步骤中，最重要的是利用题中的已知条件，列出不等式（组），然后通过解出不等式（组）确定未知数的范围，利用未知数的特征（如整数问题），依据条件，找出对应的未知数的确定数值，以实现确定方案的解答.
巩固练习拓展提高
7. 暑假期间，两名家长计划带领若干名学生去旅游，他们联系了报价均为每人500元的两家旅行社，经协商，甲旅行社的优惠条件是：两名家长全额收费，学生都按七折收费；乙旅行社的优惠条件是家长、学生都按八折收费.假设这两位家长带领x名学生去旅游，他们应该选择哪家旅行社？
创设情境引入新课
一元一次不等式与一次函数在决策型应用题中的应用
实际问题
写出两个函数表达式
画出图象
分析图象

北师大版数学八年级下册第二章一元一次不等式与一元一次不等式组回顾与思考(教案)

1.培养学生的逻辑推理能力，通过对一元一次不等式与不等式组的性质与解法的学习，使学生能够运用逻辑推理方法解决问题。
2.提升学生的数学建模能力，使学生能够从实际生活中抽象出一元一次不等式与不等式组模型，并运用所学知识解决实际问题。
3.培养学生的数据分析观念，通过对不等式与不等式组解集的分析，让学生体会数据在不同情境下的意义，提高数据处理能力。
4.关注个体差异，针对不同学生的学习情况，给予个性化的指导。
举例：对于一元一次不等式2x - 3 > 5，学生需要掌握将不等式化简求解的步骤，并理解每一步的原理。
2.教学难点
-不等式性质的理解与应用：学生往往在加减乘除同一个数时，对不等号方向的变化容易混淆。
-不等式组解集的确定：在求解不等式组时，如何根据各个不等式的解集来确定整个不等式组的解集，学生可能会感到困惑。
在新课讲授后的实践活动中，学生们分组讨论了与一元一次不等式相关的实际问题，并进行了实验操作。这个环节让我看到了学生的积极性和合作精神，他们通过讨论和实际操作，加深了对不等式的理解。然而，我也发现有些小组在讨论过程中存在依赖思想，个别成员参与度不高，这需要我在今后的教学中加强对学生的引导和关注。
在小组讨论环节，学生们围绕不等式在实际生活中的应用展开了热烈的讨论。我发现，通过这种形式，学生们能够更好地将所学知识与生活实际联系起来，提高了解决问题的能力。但同时，我也注意到有些学生在提出观点时缺乏条理性，这让我意识到在今后的教学中，需要加强对学生逻辑思维能力的培养。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调一元一次不等式的性质和一元一次不等式组的解法这两个重点。对于难点部分，如不等式性质的理解，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）

北师大版八年级数学下册第二章一元一次不等式与一元一次不等式组小结与复习

5. 某单位准备和一个体车主或一国营出租车公司中的
一家签订月租车合同，设汽车每月行驶 x 千米，个体
车主收费 y1 元，国营出租车公司收 y (元)
4000
费为 y2 元，观察下列图象可知，当 3000
y2 y1
x_＞__1_5_0_0__时，选用个体车较合算．
2000 1000
O
1500 x (千米)
例3 如图是一次函数 y＝kx＋b 的图象，当 y＜2 时，x 的
取值范围是 ( C )
A．x＜1 B．x＞1 C．x＜3
D．x＞3
y
【解析】一次函数 y＝kx＋b 经过点
(3,2)
(3，2)，且函数值 y 随 x 的增大而增大，
(2,1)
∴ 当 y＜2 时，x 的取值范围是 x＜3． O
x
针对训练
把解集在数轴上表示
3
出来，并将解集中的整数解写出来.
解：解不等式，得 x≤3. 解不等式，得 x 7 .
所以这个不等式组的解集是 7 ＜x≤3，解集在数轴5 上
表示如下：
5
0 17 2 3 4 通过观察数轴可知5该不等式组的整数解为 2，3.
方法总结
可借助数轴或口诀确定不等式组的解集.
针对训练
7. 使不等式 x－1≥2 与 3x－7＜8 同时成立的 x 的整数
值是 3 或 4 .
8. 若关于 x 不等式组
x x
2m ＜0 m＞2
，有解，则
m
的取值范
围是 ( C )
A. m＞ 2
3
B. m≤ 2
3
C.
m＞
2 3
D. m≤ 2
3
知识点五不等式、不等式组的实际应用

新北师大版八下数学第二章《一元一次不等式和一元一次不等式组》复习完整PPT课件

分析：由 ① 可解出 x2，
而由 ② 可解出 xa，
而不等式组的解集为 x2，
故 2a，
即 a2. .
1.基础训练:
练习1
（０8成都）解不等式组
x
3
3
x
1
2
1 3x 1 8 x
并写出该不等式组的整数解.
x 1 0
练习2
（０8益阳）解不等式组
x
x2 3
2
（1）、利用不等式解决商家销售中的利润问题：例：某商店将一件商品的进价提价20%的，以降价 30%，以105元出售，问该商店卖出这件产品，是盈利还是亏损？
解：设这件商品的进价为x元，则
x(1+20%)(1-30%)=105，解得x=125，因为105<125，所以该商店卖出这件产品亏损了。
一次函数y=kx+b的图象是条直线,kx+b是一元一次方程, 其解为直线与x轴的交点的横坐标.kx+b>0,kx+b<0是一元一次不等式,它们分别对应直线x轴上方的部分和直线在x轴下方的部分,相应不等式的解集便是相应的图象对应的所有x值,这种解法较为直观,关键是确定一次函数的图象与x轴的交点.
.
2.不等式2x-7<5-2x的正整数解有（ B ）
A、1个； B、2个； C、3个； D、4个
3、若关于x的方程 xxm2x的解是非负数，求
m的取值范围。
22
5例:作函数y=x+3的图象,并观察图象,回答下列问
题:
y
(1).x取何值时,x+3>0?
4
3
(2).x取何值时,x+3<0?

北师大版八年级下册第二章：一元一次不等式和一元一次不等式组专题一【不等式关系】知识点总结+经典例题+

第二章一元一次不等式和一元一次不等式组专题一：不等关系知识点一：认识不等式例1：下列各式中，哪些是不等式？（1）32> （2）0132≥+x （3）152>-x （4）352-=x x（5）132++a a （6）12+=x y （7）1≠x挑战自我，勇攀高分1.在数学表达式（1）-3<0；（2）054>+x ；（3）3=x ；（4）x x +2；（5）12+>+x x 中是不等式的有（）A 2个B 3个C 4个D 5个知识点二：列不等式例1：用不等式表示：（1）a 的2倍与4的差是正数；（2）b 的21与c 的和是负数；（3）a 与b 的差是非负数；（3）x 的绝对值与1的和不小于1；（4）地球上海洋面积大于陆地面积。

例2：某数学活动小组10名同学利用假期到学校图书馆参加装订杂志的劳动，开始2天，每人每天完成5本杂志，那么以后3天，每人每天必须完成几本杂志才能超额完成原计划装订300本杂志的任务？（只要求列出不等式即可）挑战自我，勇攀高分1.x 的2倍减去7的差不大于-1，可列关系式为（）A 172-≤-xB 172-<-xC 172-=-xD 472-≥-x2.下列列出的不等式关系中，正确的是（）A.a 是负数可表示为0>aB.x 不大于3可表示为3<xC.m 与4的差是负数，可表示为04<-mD.x 与2的和是非负数可表示为02>+x3.据佛山日报报道，2009年6月1日佛山市最高气温是c ο33，最低气温是c ο24，则当天佛山市气温)(c t ο的变化范围是（） A 33>t B 24≤t C 3324<<t D 3324≤≤t4.设a 、b 、c 表示三种不同物体的质量，用天平称两次，情况如图所示，则这三种物体的质量从小到大排序正确的是（）A a b c <<B a c b <<C b a c <<D c a b <<5.某中巴车上表明“限载45人”，意思就是该巴中车的载客数____________，如果用x 表示载客数，则有不等式________________。

北师大版八年级下册第二章：一元一次不等式和一元一次不等式组专题六【一元一次不等式组】

第二章一元一次不等式和一元一次不等式组专题六：一元一次不等式组知识点一：认识一元一次不等式组例1：下面给出的不等式组中①23xx>-⎧⎨<⎩②20xx>⎧⎨+>⎩③22124x xx⎧>+⎪⎨+>⎪⎩④307xx+>⎧⎨<-⎩⑤101xy x+>⎧⎨-<⎩其中是一元一次不等式组的个数是（）Ａ．2个Ｂ．3个Ｃ．4个Ｄ．5个知识点二：解一元一次不等式组例1：解下列各不等式组（1）165()7510542352x xx xx⎧-->-⎪⎪⎨--⎪-≥⎪⎩（2）⎪⎩⎪⎨⎧->+≥--13214)2(3xxxx例2：若不等式组{3>>x m x的解集是3>x，则m的取值范围是__________。

例3：若|3x-6|+(2x-y-m)2=0，求m为何值时y为正数。

例4：若关于x 的方程组⎩⎨⎧-=++=+134123p y x p y x 的解满足x >y ，则p 的取值范围是_________.例5：如果不等式组⎩⎨⎧>-<+n x x x 737的解集是x ＞7，则n 的取值范围是（）A 、n ≥7B 、n ≤7C 、n=7D 、n ＜7例6：已知关于x 的不等式组⎩⎨⎧->-≥-1x 230a x 的整数解共有5个，则a 的取值范围是？挑战自我，勇攀高分 1.解下列各不等式组（1）2(3)4(1)22x x x x x -->⎧⎪⎨-+≤-⎪⎩ （2）165()7510542352x x x x x ⎧-->-⎪⎪⎨--⎪-≥⎪⎩2.已知关于x 的不等式组2x x m <⎧⎨>⎩，无解，则m 的取值范围是（）Ａ．2m <Ｂ．2m >Ｃ．2m ≥Ｄ．不能确定3.已知关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧-=-+=+34,72m y x m y x 的解为正数，求m 的取值范围4.若关于x 的不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+<+->+a x x x x 322,3215只有4个整数解，求a 的取值范围知识点三：一元一次不等数组解决实际问题（一）分配问题例1：一群女生住若干间宿舍，每间住4人，剩下19人无房住；每间住6人，有一间宿舍住不满。

北师大数学八年级下册第二章-一元一次不等式组经典讲义

第02讲_一元一次不等式组知识图谱一元一次不等式组知识精讲概念几个一元一次不等式合在一起就组成了一个一元一次不等式组解集几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集空集当任何未知数都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或解为空集。

如32xx>⎧⎨<⎩一元一次不等式组的解法（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集；（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集．不等式组取解集的方法若a b<，则（1）不等式组x ax b>⎧⎨>⎩的解集是x b>；（2）不等式组x ax b<⎧⎨<⎩的解集是x a<；（3）不等式组x ax b>⎧⎨<⎩的解集是a x b<<；（4）不等式组x ax b<⎧⎨>⎩的解集是空集．易错点：特殊不等式组的解（1）关于x的不等式组x ax a≥⎧⎨≤⎩的解集是x a=；（2）x a x a >⎧⎨<⎩的解集是空集．三点剖析一．考点：一元一次不等式组的解法．二．重难点：不等式组取解集方法归纳：两大取大，两小取小，大小小大取中间，大大小小取空集．三．易错点：特殊不等式组的解：1．关于x 的不等式组x a x a ≥⎧⎨≤⎩的解集是x a =； 2．x a x a >⎧⎨<⎩的解集是空集．一元一次不等式组的概念和解集例题1、下列说法正确的是（）A.35x x >⎧⎨>⎩的解集是53x <<B.23x x >-⎧⎨<-⎩的解集是32x -<<-C.22x x ≥⎧⎨≤⎩的解集是2x =D.33x x >-⎧⎨<-⎩的解集是3x ≠-【答案】 C【解析】 22x x ≥⎧⎨≤⎩的解集是2x =，故选：C ．例题2、在数轴上表示不等式组20260x x +>⎧⎨-⎩≤的解集，正确的是（） A.B. C. D.【答案】 A【解析】由x ＋2＞0得x ＞－2，由2x －6≤0，得x≤3，把解集画在数轴上为：随练1、不等式组31220x x ->⎧⎨-≥⎩的解集在数轴上表示为（） A. B. C. D.【答案】 C【解析】 31220x x ->⎧⎨-⎩①②，由①得：1x >，由②得：2x ，则不等式组的解集为12x <，表示在数轴上，如图所示：一元一次不等式组的解法例题1、不等式组1221(1)0x x -⎧<⎪⎨⎪--<⎩的解集是________．【答案】 2＜x ＜5【解析】解不等式122x -<，得：x ＜5，解不等式1﹣（x ﹣1）＜0，得：x ＞2，则不等式组的解集为2＜x ＜5．例题2、不等式组20210x x +>⎧⎨-≤⎩的所有整数解是（）A.1-、0B.2-、1-C.0、1D.2-、1-、0【答案】 A 【解析】20 210 x x +>⎧⎨-≤⎩①②，由①得：2x >-，由②得：12x ≤，则不等式组的解集是122x -<≤，不等式组20210x x +>⎧⎨-≤⎩的所有整数解是1-，0．例题3、已知24221x y k x y k +=⎧⎨+=+⎩ 且﹣1＜x ﹣y ＜0，则k 的取值范围为（） A.﹣1＜k ＜﹣12 B.12＜k ＜1C.0＜k ＜1D.0＜k ＜12【答案】 B【解析】 ∵24221x y k x y k +=⎧⎨+=+⎩ ∴（2x+y ）﹣（x+2y ）=（2k+1）﹣4k ，∴x ﹣y=1﹣2k ，又∵﹣1＜x ﹣y ＜0，∴﹣1＜1﹣2k ＜0，解得12＜k ＜1．例题4、 x 取哪些整数值时，不等式5x+2＞3（x ﹣1）与x≤2﹣都成立？【答案】 ﹣2、﹣1、0、1．【解析】根据题意解不等式组，解不等式①，得：x ＞﹣，解不等式②，得：x≤1，∴﹣＜x≤1，故满足条件的整数有﹣2、﹣1、0、1．例题5、求不等式（2x ﹣1）（x+3）＞0的解集，我们根据“同号两数相乘，积为正”可得，①21030xx->⎧⎨+>⎩或②21030xx-<⎧⎨+<⎩．解①得x＞12；解②得x＜﹣3．∴不等式的解集为x＞12或x＜﹣3．请你仿照上述方法，求不等式（x+1）（x﹣1）＜0的解集为____________．【答案】﹣1＜x＜1【解析】∵（x+1）（x﹣1）＜0，∴①1010xx+>⎧⎨-<⎩，②1010xx+<⎧⎨->⎩，解①得，﹣1＜x＜1；解②得x无解．∴不等式的解集为：﹣1＜x＜1．随练1、不等式组：⎧⎨⎩<+≤+3-112(2-1)51x xx x的最大整数解为（）A.1B.﹣3C.0D.﹣1【答案】C【解析】解不等式3x﹣1＜x+1，得：x＜1，解不等式2（2x﹣1）≤5x+1，得：x≥﹣3，则不等式组的解集为：﹣3≤x＜1，则不等式组的最大整数解为0随练2、若关于x的不等式组220x ab x->⎧⎨->⎩的解集为﹣1＜x＜1，则（a＋b）2017的值是（）A.1B.12C.﹣1D.12-【答案】C【解析】解不等式x﹣a＞2，得：x＞a＋2，解不等式b﹣2x＞0，得：12x b <，∵不等式组的解集为：﹣1＜x＜1，∴a＋2＝﹣1，112b=，解得：a＝﹣3，b＝2，则（a＋b）2017＝（﹣3＋2）2017＝﹣1．随练3、满足不等式210107mm+≥⎧⎨->⎩的整数m的值有（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C【解析】先解不等式组可得：﹣12≤x＜3，所以整数m的值是0，1，2，共3个．随练4、关于x的不等式组2131xa x+>⎧⎨->⎩．（1）若不等式组的解集是1＜x＜2，求a的值；（2）若不等式组无解，求a的取值范围．【答案】（1）a=3；（2）a≤2【解析】（1）解不等式2x+1＞3得：x＞1，解不等式a﹣x＞1得：x＜a﹣1，∵不等式组的解集是1＜x＜2，∴a﹣1=2，解得：a=3；（2）∵不等式组无解，∴a﹣1≤1，解得：a≤2．随练5、如图，是一个运算流程．（1）分别计算：当x=150时，输出值为_______，当x=27时，输出值为_______；（2）若需要经过两次运算，才能运算出y，求x的取值范围；（3）请给出一个x的值，使之无论运算多少次都不能输出，并请说明理由．【答案】（1）449；716（2）41≤x＜122（3）取x≤12的任意值；理由见解析【解析】（1）∵当x=150时，3×150﹣1=449＞365，∴输出值为449；∵当x=27时，3×27﹣1=80＜365，∴80×3﹣1=239＜365，239×3﹣1=716＞365，∴输出值为716．故答案为：449，716；（2）∵需要经过两次运算，才能运算出y，∴313653(31)1365-<⎧⎨--≥⎩xx，解得41≤x＜122．（3）取x≤12的任意值，理由：∵当x≤12时，3x﹣1≤12，∴无论运算多少次都不能输出．拓展1、不等式组()2565212xx x⎧+≥⎨-+⎩＞的解集在数轴上表示正确的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】()2565212xx x⎧+≥⎨-+⎩①＞②，由①得，x≥﹣2；由②得，x＜1，故此不等式组的解集为：﹣2≤x＜1．在数轴上表示为：2、不等式组11841x x x ->⎧⎨+<-⎩的解集是（）A.3x >B.3x <C.2x <D.2x >【答案】 A 【解析】不等式的解集是：3x >．3、不等式组5x x m ⎧⎨⎩＜＞无解，m 取值范围为_____．【答案】 m≥5【解析】 ∵不等式组5x x m ⎧⎨⎩＜＞无解， ∴m≥5．4、不等式组的整数解的个数为（）A.0个B.2个C.3个D.无数个【答案】 C 【解析】解不等式2x ﹣1≤1得：x≤1，解不等式﹣x ＜1得：x ＞﹣2，则不等式组的解集为：﹣2＜x≤1，整数解为：﹣1，0，1，共3个．5、解不等式组：()422335x x x +>⎧⎪⎨+->⎪⎩ 【答案】 21x -<<【解析】由42x +>，可得2x >-，由()2335x x +->，可得1x <，故不等式的解集为21x -<<．6、解不等式组()5231131722x x x x ->+⎧⎪⎨-≤-⎪⎩ 【答案】 542x <≤ 【解析】该题考查的是解不等式组．∵()5231x x ->+，∴5233x x ->+，25x >，52x >， ∵131722x x -≤-，∴2143x x -≤-，416x ≤，4x ≤，∴542x <≤． 7、解不等式组：()32312x x x x -≤-⎧⎪⎨-≥⎪⎩ 【答案】 x≥3【解析】 ()32312x x x x -≤-⎧⎪⎨-≥⎪⎩①②，由①得，x≥3，由②得，x≥﹣1，所以，不等式组的解集是x≥3．8、若关于x 的一元一次不等式组-02-21-x a x x >⎧⎨<⎩有解，则a 的取值范围是_________．【答案】 a ＜ 1【解析】不等式整理得：1x a x >⎧⎨<⎩，由不等式有解，得到a ＜1，则a 的范围是a ＜1，故答案为：a ＜19、先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：例题：解一元二次不等式x 2﹣4＞0解：∵x 2﹣4=（x+2）（x ﹣2）∴x 2﹣4＞0可化为（x+2）（x ﹣2）＞0由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得 20202020x x x x ++⎧⎧⎨⎨--⎩⎩＞＜①②＞＜解不等式组①，得x ＞2，解不等式组②，得x ＜﹣2，∴（x+2）（x ﹣2）＞0的解集为x ＞2或x ＜﹣2，即一元二次不等式x 2﹣4＞0的解集为x ＞2或x ＜﹣2．（1）一元二次不等式x 2﹣16＞0的解集为__________；（2）分式不等式103x x --＞的解集为__________；（3）解一元二次不等式2x 2﹣3x ＜0．【答案】（1）x ＞4或x ＜﹣4（2）x ＞3或x ＜1（3）302x ＜＜【解析】（1）∵x 2﹣16=（x+4）（x ﹣4）∴x 2﹣16＞0可化为（x+4）（x ﹣4）＞0由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得 40404040x x x x ++⎧⎧⎨⎨--⎩⎩＞＜＞＜解不等式组①，得x ＞4，解不等式组②，得x ＜﹣4，∴（x+4）（x ﹣4）＞0的解集为x ＞4或x ＜﹣4，即一元二次不等式x 2﹣16＞0的解集为x ＞4或x ＜﹣4．（2）∵103x x --＞ ∴10103030x x x x --⎧⎧⎨⎨--⎩⎩＞＜或＞＜解得：x ＞3或x ＜1（3）∵2x 2﹣3x=x （2x ﹣3）∴2x 2﹣3x ＜0可化为x （2x ﹣3）＜0由有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”，得 00230230x x x x ⎧⎧⎨⎨--⎩⎩＞＜或＜＞解不等式组①，得302x ＜＜，解不等式组②，无解，∴不等式2x 2﹣3x ＜0的解集为302x ＜＜．。

北师大版八年级下册第二章：一元一次不等式和一元一次不等式组专题五【一元一次不等式和一次函数】知识点+

第二章一元一次不等式和一元一次不等式组专题五：一元一次不等式与一次函数例1：已知31+-=x y ，432-=x y（1）当x 去何值时，21y y =？（2）当x 取何值时，21y y >？（3）当x 去何值时，21y y <？例2：如图所示，一次函数323-=x y 在直角坐标系内的图像，试通过图像回答下列问题。

（1）x 取何值时，0323=-x ？（2）x 取哪些值时，0323>-x ？（3）x 取哪些值时，0323<-x ？例3：求方程组{23654+=++=+myxmyx的解x，y都是正数的m的取值范围。

例4：某种化肥在县城里的甲、乙两个生产资料门市部均有销售，现了解到该化肥在甲、乙两个门市部的标价为600元/吨，但都有一定的优政策，甲门市部是第一吨按标价收费，超出部分每吨优惠%25，乙门市部每吨优惠20%出售。

（1）写出甲门市部每次交易的销售额1y（元）与销量x（吨）之间的函数关系式及乙门市部每次交易的销售额2y（元）与销量x（吨）之间的关系式；（2）种粮食大户张某想一次购买此种化肥4吨，李某想一次购买此种化肥8吨，他们到哪个门市部购买省钱？请给他们分别提出合理建议。

挑战自我，勇攀高分1.已知21+-=x y ，432-=x y 。

（1）在同一直角坐标系中画出这两个函数图像；（2）根据图像观察，当x 取何值时，21y y >？21y y =？21y y <？2.如图所示，直线)0(<+=k b kx y 与x 轴交于），（03，关于x 的不等式0>+b kx 的解集是（）A 3<xB 3>xC 0>xD 0<x3.如图，直线b kx y +=经过点A （-1，-2）和点B （-2,0），直线x y 2=过点A ，则不等式02<+<b kx x 的解集为（）A 2-<xB 12-<<-xC 02<<-xD 01<<-x4.已知函数168-=x y ,要使0>y ，那么x 应取（）A 2>xB 2<xC 0>xD 0<x5.画出函数123+=x y 的图像，利用函数图像回答下列问题：（1）求方程0123=+x 和3123-=+x 的解；（2）分别求出不等式0123≤+x 和3123->+x 的解集6.我市某医药公司要把药品运往外地，现有两种运输方式可供选择，方式一：使用快递公司的邮车运输，装卸收费400元，另外每公里再加收4元；方式二：使用铁路运输公司的火车运输，装卸收费820元，另外每公里再加收2元，（1）请分别写出邮车、火车运输的总费用y 1（元）、y 2（元）与运输路程x （公里）之间的函数关系式；（2）你认为选用哪种运输方式较好，为什么？。