§3.9 全微分
全微分及其应用
常见方法
求解无约束最优化问题的方法包括梯度下降法、 牛顿法、拟牛顿法等。
牛顿法
牛顿法是一种基于目标函数二阶导数的迭代算法 ，通过构造海森矩阵并求解线性方程组来逼近最 优解。
有约束最优化问题
01
有约束最优化问题
有约束最优化问题是在存在约束条件限制下，寻找满 足所有约束条件的参数的最优解。
02 分类 有约束最优化问题可以分为等式约束问题和不等式约 束问题。
极值点判断
全微分还可以用于判断函数的极值点。如果函数在某一点的导数等于0，则该点 可能是函数的极值点。
函数极值点的判断
极值点判断
全微分可以用于判断函数的极值点。如果函数在某一点的导数等于0，且该点的二阶导数大于0，则该点 是函数的极值点。
极值点类型判断
全微分还可以用于判断函数的极值点类型，如极大值点或极小值点。如果函数在某一点的二阶导数小于0， 则该点是极大值点；如果二阶导数大于0，则该点是极小值点。
全微分的几何意义
总结词
全微分在几何上表示函数图像在 某一点处的切线斜率。
详细描述
全微分可以理解为函数图像在某 一点处的切线的斜率，这个斜率 表示函数在该点处沿任一方向的 变化率。
全微分的性质
总结词
全微分具有线性性质、可加性、可乘性和链式法则等性质。
详细描述
全微分具有线性性质，即两个函数的和或差的微分等于它们各自微分的和或差；全微分具有可加性，即函数在两 点间的微分等于这两点间各自微分的和；全微分还具有可乘性和链式法则等性质，这些性质在求导和积分中有着 广泛的应用。
应用
全微分在几何上表示函数图像在某点处的切线斜率的变化 量。
全微分在优化、近似计算、泰勒级数展开等方面有广泛应 用。
全微分的定义公式
全微分的定义公式全微分是描述多元函数在其中一点处的微小变化的概念。
它可以帮助我们理解多元函数的性质，并在一些应用中起到重要的作用。
首先，我们先回顾一元函数的微分的定义。
对于一个一元函数f(x)，如果在其中一点x=x0处，函数f(x)的微分存在，则微分df(x0)可以表示为：df(x0) = f'(x0)dx其中，f'(x0)是f(x)在x=x0处的导数，dx是自变量的一个微小增量。
对于多元函数来说，全微分的定义与一元函数类似，只是自变量有多个。
假设有一个二元函数f(x, y)，我们希望求解在点(x0, y0)处的全微分。
全微分df(x0, y0)可以表示为：df(x0, y0) = (∂f/∂x)，x=x0,y=y0 * dx + (∂f/∂y)，x=x0,y=y0 *dy其中，∂f/∂x和∂f/∂y分别表示f(x, y)对x和y的偏导数，dx和dy分别为自变量x和y的微小增量。
这个定义可以推广到任意多个自变量的情况。
这个定义稍微有点抽象，我们可以通过一个具体的例子来说明。
假设有一个二元函数f(x,y)=x^2+y^2，在点(1,2)处求解全微分。
首先，求解∂f/∂x和∂f/∂y。
对于f(x,y)=x^2+y^2，我们可以得到：∂f/∂x=2x∂f/∂y=2y然后，我们给定自变量的微小增量dx和dy的值，比如dx=0.1，dy=0.2、代入上式，就可以计算出df(x0, y0)的值：df(x0, y0) = (∂f/∂x)，x=1,y=2 * dx + (∂f/∂y)，x=1,y=2 * dy=2*1*0.1+2*2*0.2=0.6所以，在点(1, 2)处，函数f(x, y)的全微分df(x0, y0)的值为0.6、这个值表示函数在这个点处的微小变化。
df(x10, x20, ..., xn0) = (∂f/∂x1)，x1=x10, x2=x20, ...,xn=xn0 * dx1 + (∂f/∂x2)，x1=x10, x2=x20, ..., xn=xn0 * dx2 + ... + (∂f/∂xn)，x1=x10, x2=x20, ..., xn=xn0 * dxn其中，∂f/∂xi表示f(x1, x2, ..., xn)对xi的偏导数，dxi表示自变量xi的微小增量。
全微分 公式
全微分公式全微分是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在某一点的微小变化与自变量的微小变化之间的关系。
全微分的计算方法可以通过泰勒展开式来推导得到。
在物理学、工程学和经济学等领域，全微分在描述变量之间的关系和进行近似计算时都起到了重要作用。
在微积分中，全微分是指一个函数在某一点的微小变化与自变量的微小变化之间的关系。
全微分的计算方法可以通过泰勒展开式来推导得到。
假设有一个函数f(x,y)，其自变量分别为x和y，全微分可以表示为df = ∂f/∂x * dx + ∂f/∂y * dy。
其中，∂f/∂x和∂f/∂y 分别表示函数f对x和y的偏导数，dx和dy分别表示自变量x和y 的微小变化量。
全微分的概念可以用来描述函数在某一点的局部变化情况。
例如，假设有一个函数f(x,y) = x^2 + y^2，当x和y分别发生微小变化dx和dy时，函数值的变化量df可以用全微分来表示。
根据全微分的定义，df = 2x * dx + 2y * dy。
这个式子说明了函数值的微小变化量df与自变量的微小变化量dx和dy之间的关系。
全微分的计算方法可以通过泰勒展开式来推导得到。
泰勒展开式可以将一个函数在某一点附近进行近似表示。
假设有一个函数f(x,y)，在点(x0,y0)处进行泰勒展开，展开的结果可以表示为f(x,y) ≈ f(x0,y0) + ∂f/∂x(x0,y0) * (x - x0) + ∂f/∂y(x0,y0) * (y - y0)。
其中，∂f/∂x(x0,y0)和∂f/∂y(x0,y0)分别表示函数f在点(x0,y0)处的偏导数。
通过将自变量的微小变化量dx和dy带入泰勒展开式，可以得到函数值的微小变化量df。
全微分在物理学、工程学和经济学等领域都有广泛的应用。
在物理学中，全微分可以用来描述物理量之间的关系，例如速度、加速度和力之间的关系。
在工程学中，全微分可以用来描述工程系统的变化情况，例如电路中电压和电流之间的关系。
《全微分讲座》课件
算法示例
最速下降法、牛顿法、拟牛顿法 等。
利用全微分求解约束优化问题
约束优化问题
约束优化问题是在满足某些约束条件下寻找函数 最小值或最大值的问题。
全微分的应用
全微分在约束优化问题中主要用于计算拉格朗日 乘子，通过求解拉格朗日方程可以找到最优解。
算法示例
拉格朗日乘子法、罚函数法等。
全微分在机器学习中的应用
简为简单的乘法和求导数的运算。
03
全微分的应用
函数的全微分求导
总结词
全微分是函数在某点附近的小增量，通过全微分可以求得函数的导数，进而研 究函数的单调性、极值等性质。
详细描述
全微分是函数在某点附近的小增量，通过全微分可以求得函数的导数。导数描 述了函数在该点的切线斜率，进而可以研究函数的单调性、极值等性质。
复合函数的导数或全微分分解为简单函数的导数或全微分的乘积。
全微分的乘积法则
总结词
全微分的乘积法则是全微分运算的一个基本 性质，它表明两个函数的乘积的全微分等于 一个函数的导数乘以另一个函数的积分加上 一个函数的积分乘以另一个函数的导数。
详细描述
全微分的乘积法则是全微分运算的一个基本 性质，它表明两个函数的乘积的全微分等于 一个函数的导数乘以另一个函数的积分加上 一个函数的积分乘以另一个函数的导数。这 个法则在计算两个函数的乘积的全微分时非 常有用，因为它可以将复杂的全微分运算化
详细描述
全微分的线性性质是全微分运算的一个基本性质，它表明全微分满足线性运算的规则。具体来说，如果函数u和v 的全微分存在，那么对于任意实数a和b，(a*u+b*v)的全微分等于a乘以u的全微分加上b乘以v的全微分。这个性 质在计算全微分时非常有用，因为它可以将复杂的全微分运算化简为简单的线性组合。
《高等数学之全微分》课件
全微分的定义
全微分是多元函数的微分算子在某一点上的线性逼近。
微分算子
微分算子描述函数变化的矩阵运算。
某一点上
我们关注函数在特定点上的性质。
全微分的性质
全微分具有一些重要的性质，帮助我们深入理解函数的变化。
线性性质
全微分是线性算子，满足加 法和数乘运算。
位置无关性
全微分与坐标系的选取无关， 只与函数的性质相关。
点到点性质
全微分仅仅描述函数在某一 点上的性质。
全微分的应用
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
全微分在实际问题中有广泛的应用，帮助我们进行函数的近似计算和优化。
1
近似计算
利用全微分可以进行函数值的近似计算，方便解决复杂问题。
2
优化问题
全微分可以帮助我们找到函数的极值点，解决优化问题。
3
微分学习
全微分是进一步学习微分学的基础，为后续的数学知识奠定重要基础。
《高等数学之全微分》 PPT课件
探索高等数学中的全微分的概念、定义、性质与应用，让你深入了解这一重 要的数学概念，并学会计算方法。让我们一起开始吧！
什么是全微分
全微分是微积分中一个重要的概念，用于描述函数在某一点上的线性逼近。
1 定义
全微分是函数在某一点上的一阶线性逼近。
2 性质
全微分是函数变化的最佳线性逼近。
全微分的计算方法
计算全微分是应用全微分的关键，我们需要学会相应的计算方法。
公式计算
利用相应的数学公式进行全微分的计算。
具体案例
通过具体的计算案例来加深理解和掌握全微分的计 算方法。
举例说明全微分
通过具体的例子来说明全微分的应用和计算方法。
1 函数示例
全微分公式
全微分公式全微分是数学中一种重要的概念，它被广泛应用于许多学科和研究领域。
这种概念是用于表达两变量之间的不变关系，即当一个变量发生变化时，另一个变量也会相应发生变化的情况。
全微分的数学表达式是由微积分学家Gottfried Leibniz提出的，他以其强大的数学知识和才智自己建立起来的微积分理论提出了这一重要的概念。
全微分的数学表达式被称为“Leibniz公式”或“微分积分公式”。
它是以下面这样的形式表达的：d/dx (f(x))= f(x)其中，f(x)表示x变量依赖于特定参数的函数，而f(x)表示函数f(x)的一阶导数，可以理解为函数f(x)在x处的斜率，即在x处的变化率。
从Leibniz公式的数学表达式中可以看出，全微分可以应用于表达曲线、曲面及其他几何形状上函数的变化关系，以及函数和特定参数之间的差异等。
换句话说，Leibniz公式可以用来描述函数和特定参数之间的变化关系，从而推导出函数的局部表达式，或者应用链式乘法法则来求出函数的变化率。
Leibniz公式不仅可以用于描述函数和特定参数之间的变化，还可以用于描述多元函数的变化。
在多元函数的变化中，Leibniz公式可以被视为一种特殊的多变量微分法，称为微分积分公式。
在微分积分公式中，多变量函数的变化被表达为：f/x1+f/x2+ +f/xn右边的这个分母可以被视为一个多变量函数f的一阶偏导数，它表示多变量函数f在每个变量x处的变化率，也就是说，多变量函数f在每个变量处的斜率。
微分积分公式也可以用来描述更复杂的函数，例如多维函数和多元函数等。
例如，多元函数z=f(x,y,z)的变化可以用下面这样的表达式表示：z/x+z/y+z/z微分积分公式也可以用于求解多变量函数的极值，如函数的极大值和极小值。
此外，Leibniz公式还可以用于函数的积分，即计算一个特定区间内函数的定积分。
在这种情况下，Leibniz公式可以被表示为：∫a bf(x)dx= F(b)-F(a)这里，a和b分别表示函数f(x)在不同位置的值，而F(x)表示函数f(x)的定积分。
全微分求解方法
全微分求解方法一、全微分的概念。
1.1 啥是全微分呢？简单来说，全微分就是用来描述多元函数在各个自变量都有微小变化时，函数值的总体变化情况的一个好东西。
就好比你要考虑一个东西的变化，不是只看一个方面的小变动，而是好几个相关方面都有一点小改变时，对这个东西整体的影响。
这就像我们生活中做事情，不能只看一个因素变了会咋样，得综合考虑好多因素同时有点小波动的情况。
1.2 从数学式子上看，如果有个二元函数z = f(x,y)，那么全微分dz就和x、y 的微小变化dx和dy有关系。
这就像是一个小团队里，每个成员的小行动（dx和dy）都会对整个团队的成果（dz）有影响，牵一发而动全身啊。
二、全微分的求解步骤。
2.1 首先呢，得求出函数对各个自变量的偏导数。
这偏导数就像是在一个多因素的事情里，单独看一个因素对整体的影响程度。
比如说，对于函数z = f(x,y)，就要分别求出∂z/∂x和∂z/∂y。
这就好比在一个大家庭里，要看看爸爸挣钱的能力（∂z/∂x）和妈妈理财的能力（∂z/∂y）对家庭财富（z）的单独影响。
2.2 然后呢，全微分的公式就是dz = ∂z/∂x dx + ∂z/∂y dy。
这就像是把爸爸和妈妈各自对家庭财富的影响（∂z/∂x和∂z/∂y），再结合他们各自的小行动（dx和dy），最后得到家庭财富总体的小变化（dz）。
这个公式看起来简单，但是可别小瞧它，就像老话说的“麻雀虽小，五脏俱全”，这里面包含了多元函数变化的很多奥秘呢。
2.3 要是多元函数的自变量更多，比如说三元函数u = f(x,y,z)，那全微分公式就是du = ∂u/∂x dx+ ∂u/∂y dy + ∂u/∂z dz。
这就好比一个更复杂的团队，有更多的成员，每个成员的小行动（dx、dy、dz）和他们对整体的单独影响（∂u/∂x、∂u/∂y、∂u/∂z）共同决定了整个团队成果（du）的小变化。
三、全微分求解的实际例子。
3.1 比如说有个函数z = x² + y²，那先求偏导数，∂z/∂x = 2x，∂z/∂y = 2y。
全微分计算公式
全微分计算公式全微分是数学分析中的一个重要概念，特别是在多元函数的研究中有着广泛的应用。
对于很多同学来说，初次接触全微分计算公式可能会感到有些头疼，但其实只要咱们耐心梳理，它也没那么可怕。
先来说说啥是全微分。
假如咱们有一个二元函数 z = f(x, y)，那它的全微分 dz 就等于∂z/∂x * dx + ∂z/∂y * dy 。
这里的∂z/∂x 和∂z/∂y 分别是函数对 x 和 y 的偏导数。
举个例子吧，就说函数 z = x^2 + 2xy + y^2 。
咱们先来求对 x 的偏导数，把 y 看成常数，那∂z/∂x 就是 2x + 2y 。
再求对 y 的偏导数，这次把 x 看成常数，∂z/∂y 就是 2x + 2y 。
假设 x 从 1 变到 1.1，dx = 0.1，y 从 2 变到 2.05，dy = 0.05 。
那全微分 dz 就等于 (2*1 + 2*2) * 0.1 + (2*1 + 2*2) * 0.05 。
算一算，(2*1 + 2*2) * 0.1 + (2*1 + 2*2) * 0.05 = 0.6 + 0.3 = 0.9 。
这时候可能有同学要问了，全微分有啥用呢？其实用处可大啦！比如在实际问题中，我们常常需要估计由于自变量的微小变化引起的函数值的变化量。
通过全微分，就能快速地做出一个相对准确的估计。
还记得有一次，我和朋友去买水果。
苹果的价格是根据重量和品质来定的，假设价格函数是 P(x, y)，x 表示重量，y 表示品质等级。
我们想买稍微重一点、品质好一点的苹果，就想大概算一下价格的变化。
这时候全微分计算公式就派上用场啦，我们根据偏导数和重量、品质的变化量，很快就估算出了价格的变化范围，心里有了底，买起来也更踏实。
再回到全微分计算公式，大家一定要多做练习题来加深理解。
只有通过不断地练习，才能真正掌握这个知识点，遇到问题时才能灵活运用。
总之，全微分计算公式虽然看起来有点复杂，但只要咱们用心去学，多思考、多练习，就一定能攻克它！相信大家都能在数学的海洋里畅游，发现更多的乐趣和奥秘！。
常见的全微分公式
常见的全微分公式全微分公式这玩意儿，在数学里那可是相当重要！咱们从小学到高中的数学学习中，它都时不时会冒出来“刷刷存在感”。
咱先来说说全微分的基本概念哈。
全微分就是函数在各个自变量上的微小变化所引起的函数值的总变化。
比如说，对于一个二元函数 z = f(x, y) ，它的全微分 dz 就等于∂z/∂x * dx + ∂z/∂y * dy 。
这就像是搭积木，每个自变量的变化都贡献了一部分，最后拼成了总的变化。
我想起之前给学生们讲这部分内容的时候，有个小家伙特别可爱。
那是一个阳光明媚的下午，教室里有点闷热，大家都有点昏昏欲睡。
我正讲到全微分公式，突然看到一个小男生眼睛都快睁不开了。
我就灵机一动，说：“同学们，咱们来想象一下，这个函数就像是一个大厨在做菜。
x 和 y 就是他的两种食材，∂z/∂x 和∂z/∂y 就是这两种食材对这道菜味道的贡献程度。
dx 和 dy 呢，就是食材加进去的量。
现在大厨要根据食材的贡献程度和加入的量，来决定这道菜最后的味道，也就是函数值的变化。
”这一下子，那个小男生眼睛都亮了，大家也都来了精神，听得津津有味。
再来说说常见的一些全微分公式。
像 z = x^n * y^m 这样的函数，它的全微分 dz 就是 (nx^(n-1) * y^m)dx + (mx^n * y^(m-1))dy 。
还有像 z = sin(x + y) 这样的三角函数，它的全微分 dz 就是 (cos(x + y))dx + (cos(x + y))dy 。
在实际应用中，全微分公式用处可大了。
比如在物理学里，研究物体的运动轨迹，或者在经济学中分析成本和收益的变化，都能用到它。
学习全微分公式的时候，可别死记硬背，得理解着来。
多做几道练习题，找找感觉。
就像骑自行车，一开始可能摇摇晃晃，但练得多了，自然就熟练了。
总之，全微分公式虽然看起来有点复杂，但只要咱们用心去学，多琢磨琢磨，就一定能掌握它，让它成为咱们解决问题的有力工具！希望同学们在学习的道路上，都能勇往直前，把这些难题一个个攻克！。
全微分表达式
全微分表达式摘要：一、全微分表达式的概念二、全微分表达式的应用领域三、全微分表达式的求解方法四、全微分表达式在实际问题中的应用举例正文：全微分表达式是微积分中的一个重要概念，它涉及到导数、偏导数和梯度等知识点。
全微分表达式在物理学、工程学、经济学等领域的应用非常广泛，有助于我们更好地理解和分析各种实际问题。
一、全微分表达式的概念全微分表达式是一个多元函数的微分形式，表示函数在某一点的变化率。
设函数f(x, y)在点P(x0, y0)的某领域内任意微小变化，则函数f(x, y)在点P(x0, y0)处的全微分为：df = f/x * dx + f/y * dy其中，f/x和f/y分别表示函数f(x, y)关于x和y的偏导数，dx和dy表示x和y的微小变化。
二、全微分表达式的应用领域全微分表达式在许多领域都有广泛的应用，如物理学中的拉格朗日方程、工程学中的连续性方程和能量守恒定律、经济学中的边际效用等。
在这些领域中，全微分表达式有助于建立和求解各种微分方程，从而更好地分析实际问题。
三、全微分表达式的求解方法求解全微分表达式的方法通常包括以下几个步骤：1.确定函数f(x, y)及其关于x和y的偏导数f/x和f/y；2.根据全微分表达式的定义，计算函数在给定点P(x0, y0)的全微分df；3.将全微分表达式与其他微分方程或边界条件相结合，求解相关问题。
四、全微分表达式在实际问题中的应用举例以物理学中的拉格朗日方程为例，设一个质点在某区域内受到一个关于x 和y的势能V(x, y)的作用，其运动方程为：df = -V/x * dx - V/y * dy在此方程中，全微分表达式df表示质点在点P(x0, y0)处的微小变化，V/x 和V/y分别表示势能V(x, y)关于x和y的偏导数。
通过求解这个运动方程，我们可以得到质点在给定势能下的运动轨迹。
总之，全微分表达式是微积分中的一个重要概念，它涉及到导数、偏导数和梯度等知识点。
全微分
回顾：
如果函数y = f (x)的增量∆y可表示为
∆y = A∆x + o(∆x),
则称函数y = f (x)可微， 称A∆x为y = f (x)的微分，记作dy。
这时，∆y ≈ dy = A∆x。
f (x + ∆x, y) − f (∆y )→( 0, 0 )
( ∆x ,∆y )→( 0, 0 )
从而，
lim f (x + ∆x, y + ∆y) = lim [ f (x, y) + ∆z] = f (x, y).
( ∆x ,∆y )→( 0, 0 )
( ∆x ,∆y )→( 0, 0 )
故，z = f (x, y)在点P(x, y)处连续。
（其中A、B、C与∆x、∆y、∆z无关，ρ = ∆x2 + ∆y2 + ∆z2）
则称函数u = f (x, y, z)在点P(x, y, z)处可微分， 称A∆x + B∆y + C∆z为全微分，记作du.
可微与连续的关系
若z = f (x, y)在点P(x, y)可微分，那么
lim ∆z = lim [ A∆x + B∆y + o(ρ)] = 0
问题：
一般来讲，计算全增量∆z比较复杂，与一元函数 相类似，我们希望能用自变量的增量∆x、∆y线性 函数来近似表示∆z，会不会有与一元函数微分相应
的概念来近似表示它呢？
受一元函数微分定义的启发，
如果全增量∆z = f (x + ∆x, y + ∆y) − f (x, y)
可表示成 = A∆x + B∆y + o(ρ)
反之，连续的函数未必可微。
3.9全微分
x 0
1 x y
2 2
x x y
2 2
cos
x2 y 2
f x(0,0) 0; lim f x( x, y )不存在; 而当x2 y2 0时，
y 0
则 f x( x, y) 0在点(0,0)处不连续;
同理f y( x, y) 0在点(0,0)处不连续.
实际上 lim
0
z [ f x(0,0)x f y(0,0)y]
lim
0
f (x, y) f (0,0) f x(0,0)x f y(0,0)y
lim
0
2xy x 2 y 2
lim 2 x y ( x 2 y 2 ) 3
(x) 2 (y ) 2 0
时,也有 ∆z=A∆x+B∆y+o(ρ) →0. 从而可得
x 0
lim[ f ( x x, y y ) f ( x, y )] 0 lim z x 0
y 0
y 0 x 0
lim f ( x x, y y ) f ( x, y).
8
x y lim 0 0 x y o( ).
故函数z=ƒ(x,y)在(x,y)处可微，且
dz f x( x, y)x f y( x, y)y，
而∆x=dx, ∆y=dy,则函数z=ƒ(x,y)的全微分为
z z dz f x ( x, y)dx f y ( x, y)dy dx dy. x y
Q 其中， 为劳动的边际产量； L Q dL 为由于增加劳动投入而增加的产量； L Q 为资本的边际产量； K Q dK 为由于增加资本投入而增加的产量. K
全微分公式
全微分公式1. 概述全微分是微分学的一个重要概念，它用于描述一个函数在某点附近的变化情况。
全微分公式是一种能够计算函数在给定点处微小变化的公式。
在数学上，全微分公式可以帮助我们计算函数的导数或者偏导数。
在物理学和工程学中，全微分公式经常被用来描述系统的行为，例如流体力学、热力学和电磁学等。
2. 全微分的定义设函数z=f(x,y)为定义在区域D上的二元函数，P(x0,y0)为D上的一个固定点。
在点P附近取任意一点Q(x,y)，我们可以用一个增量 $\\Delta x$ 和$\\Delta y$ 来表示点P到点Q的距离。
这样，我们可以得到函数增量 $\\Delta z = f(x_0 + \\Delta x, y_0 + \\Delta y) - f(x_0, y_0)$。
当 $\\Delta x$ 和 $\\Delta y$ 趋于零时， $\\Delta z$ 趋于一个极限值，这个极限值就是函数在点P处的全微分。
3. 全微分公式的推导根据全微分的定义，我们可以得到全微分公式。
假设函数z=f(x,y)在点P(x0,y0)处可微分，那么全微分 $\\mathrm{d}z$ 可以表示为：$$\\mathrm{d}z = \\frac{\\partial z}{\\partial x} \\mathrm{d}x +\\frac{\\partial z}{\\partial y} \\mathrm{d}y$$其中，$\\frac{\\partial z}{\\partial x}$ 和 $\\frac{\\partial z}{\\partial y}$ 分别表示函数f(x,y)对x和y的偏导数。
这个公式描述了函数在点P处微小变化的关系。
4. 全微分公式的应用全微分公式在微积分中有着广泛的应用。
它可以用于求解函数的导数或者偏导数，并且可以帮助我们分析和解释物理、工程和经济等各个领域的问题。
在物理学中，全微分公式可以用来描述物理量之间的相互关系。
全微分TotalDifferential
§全微分Total Differential §在第3.9節談到單變數函數的微分，即y = ƒ(x) 時，微分dy 定義為：dy = ƒ'(x)dx當dx =Δx時，dy ≈Δy。
微分dy 為dx 甚小時Δy 的近似值。
吾人利用這個觀念來估計廣告支出的小變動時收入的變化情況，或者價格小變動所引起的需求改變。
微分的觀念亦可延伸到兩變數之函數，以下為其定義。
全微分設z = ƒ(x , y)，則全微分dz 為dz = ƒx(x , y) ∙ dx ＋ƒy(x , y) ∙ dy其中dx= Δx , dy=Δy，且dz ≈Δz，而Δz = ƒ(x＋Δx , y＋Δy)－ƒ(x , y)例1 設z = ƒ(x , y) = x2y＋3x－7y，求dz。
解：dz = ƒx (x , y) ∙ dx＋ƒy(x , y) ∙ d y ＝(2x y＋3)dx＋(x2－7)dy因dz ≈Δz，全微分dz 為對應於x 和y 小變化時z 變化量的近似值。
以下為兩個說明的例子。
例 2 設z = ƒ(x , y) = xy2＋7x－1，(a)用微分求當x 由4變到4.01和y 由5變到5.03時的dz（z變化量的近似值)）。
(b)求當x 由4變到4.01和y 由5變到5.03時z 的真正變化量（即Δz）。
解：(a) 首先求微分，dz = ƒx (x , y)∙dx＋ƒy(x , y)∙dydz = (y2＋7)dx＋2xydyx 值是由4改變至4.01，即x = 4和dx = 0.01。
同理，因y 值是由5改變至5.03，即y = 5 和dy = 0.03。
於是可得dz = (52＋7)(0.01)＋2(4)(5)(0.03) = 0.32＋1.20 =1.52，故z 的變化量約為1.52。
(b) 正確的變化量Δz = ƒ(4.01 , 5.03)－ƒ(4 , 5)，或Δz = [(4.01)(5.03)2＋7(4.01)－1]－[(4)(5)2＋7(4)－1]=128.5266－127 = 1.5266故全微分為一極佳的近似值，由1.52對1.5266，可見一斑。
全微分
y)的全微
分为
dz z x z y. x y
可微必可导
8
如果函数z = f (x, y)在点(x, y)可微分, 则该函数在点(x, y)的
偏导数 z 、z 必存在,且函数z = f (x, y)在点(x, y)的全微分为
x y
dz z x z y
x y
fx(x, x)
lim(2
x0
x
sin
1 2x
2
1 x
cos
1 2x
2
)
不存在.
即fx(x,y)在原点(0,0)不连续.
同理可证, fy(x,y)在原点(0,0)也不连续. 18
判别 f (x, y)在点(x0, y0)是否可微的方法: (1) 若f (x, y)在点(x0, y0)不连续, 或偏导不存在 则必不可微; (2) 若f (x, y)在点(x0, y0)的邻域内偏导存在且 连续必可微;
13
f ( x x, y y) f ( x, y y)
fx ( x 1x, y y)x fx ( x, y)x 1x
(0 1 1)
由f x ( x, y)在点( x, y)连续.
令f x ( x 1x, y y) f x ( x, y) 1 其中1 0(x 0, y 0)
x y
则
(x)2 (y)2
x x (x)2 (x)2
1, 2
说明它不能随着 0而趋于0, 当 0时,
z [ fx (0,0) x f y (0,0) y] o( ),
因此, 函数在点(0,0)处不可微.
11
说明 多元函数的各偏导数存在并不能保证 全微分存在.
全微分概念
全微分概念全微分概念是微积分中的一个重要概念，它是指一个函数在自变量的微小变化下，函数值的变化量与自变量的变化量之间的关系。
全微分是微分学中的一种基本概念，它是微分的一种特殊形式，也是微积分的一个重要工具。
在实际应用中，全微分常常被用来描述物理量之间的关系。
全微分的概念最早由欧拉提出，后来被拉格朗日和柯西等数学家进一步发展和完善。
全微分的定义是：如果函数f(x,y)在点(x0,y0)处连续可微，则在该点处全微分df为：df=f1(x0,y0)dx+f2(x0,y0)dy其中f1(x0,y0)和f2(x0,y0)是函数f(x,y)在点(x0,y0)处的偏导数。
全微分df表示函数f(x,y)在点(x0,y0)处的微小变化量，它是自变量x和y的微小变化量dx和dy的线性组合。
全微分的概念可以应用于多元函数的微积分中，它可以帮助我们求出多元函数在某一点处的导数。
如果函数f(x,y)在点(x0,y0)处可导，则在该点处的导数为：df/dt=f1(x0,y0)dx/dt+f2(x0,y0)dy/dt其中dx/dt和dy/dt是自变量x和y关于时间t的变化率。
这个公式可以用来计算多元函数在某一点处的瞬时变化率。
全微分还可以用来描述物理量之间的关系。
例如，假设有一个物体在平面上运动，它的位置可以用二元函数f(x,y)来描述。
如果我们想知道物体从一个位置到另一个位置所需的时间，就可以利用全微分来求解。
根据牛顿第二定律，物体所受合力等于物体的质量乘以加速度，因此可以得到：df=madx+mady其中m是物体的质量，a是物体的加速度。
这个公式可以用来计算物体从一个位置到另一个位置所需的时间。
总之，全微分是微积分中一个非常重要的概念，它可以用来描述函数值随自变量变化而发生的微小变化。
全微分还可以应用于多元函数的微积分中，帮助我们求出多元函数在某一点处的导数。
此外，全微分还可以用来描述物理量之间的关系，在实际应用中具有广泛的应用价值。
全微分原理
全微分原理全微分原理是微积分中的一个重要概念，它在解决实际问题中起到了关键的作用。
全微分原理提供了一种方法，使我们能够将一个多变量函数的微分拆分为各个变量的微分之和，从而简化了求解复杂问题的过程。
在理解全微分原理之前，我们先回顾一下微分的基本概念。
微分是函数在某一点的变化量，通常用Δ表示。
对于一个单变量函数，其微分可以表示为dy=f'(x)dx，其中f'(x)为函数在该点的导数。
在微分学中，我们常常使用这个表达式来求解函数的近似值。
然而，对于多变量函数而言，求解微分没有那么简单。
这时，全微分原理就派上了用场。
全微分原理告诉我们，对于一个多变量函数，其微分可以表示为各个自变量的微分之和。
假设函数为f(x,y)，则其全微分可以表示为df=df(x)+df(y)，其中df(x)为关于x的微分，df(y)为关于y的微分。
为了更好地理解全微分原理，我们可以通过一个简单的例子来说明。
假设有一个圆柱的体积V，其半径为r，高度为h。
我们想求解当半径增加Δr、高度增加Δh时，体积的变化量ΔV。
首先，我们可以对体积函数进行偏导数求解，得到关于r的微分和关于h的微分。
假设关于r的微分为dV(r)，关于h的微分为dV(h)。
根据全微分原理，体积的微分可以表示为df=dV(r)+dV(h)。
接下来，我们可以通过求解关于r的偏导数，得到dV(r) =(∂V/∂r)dr。
同理，由于对关于h求偏导数得到dV(h) = (∂V/∂h)dh。
将其代入前面的公式，得到df = (∂V/∂r)dr + (∂V/∂h)dh。
通过这样的分解，我们可以简化求解体积变化量的过程。
具体来说，我们可以通过已知的半径和高度的变化量，乘以对应的偏导数，来求得体积的变化量。
这样，我们就可以更好地理解和预测圆柱体积的变化规律。
总结起来，全微分原理为我们提供了一种非常有用的工具，用于简化多变量函数的微分求解过程。
通过将函数的微分拆分为各个变量的微分之和，我们可以更好地理解变量之间的关系，并且可以预测函数在变量变化时的变化趋势。
全微分表达式
全微分表达式
摘要：
一、全微分表达式的概念
二、全微分表达式的性质
三、全微分表达式的应用
正文：
全微分表达式是微积分中一个重要的概念，它涉及到函数在某一点处的局部性质和全局性质，是研究函数变化的重要工具。
全微分表达式是一个三元组(f,f",φ)，其中f 是函数，f"是函数的导数，φ是拉普拉斯算子。
它表示了函数在某一点处的切线斜率、曲率和该点处的法向量。
全微分表达式具有局部性质，即只与函数在这一点的局部性质有关，而与函数在其他点的性质无关。
全微分表达式的性质是，当函数在某一区间内变化时，全微分表达式可以用来描述函数的变化情况。
比如，如果函数在某一点处可微，那么在该点处的全微分表达式可以唯一地确定该点处的切线斜率和曲率。
另外，全微分表达式还可以用来求解一些微分方程，如欧拉方程和拉普拉斯方程等。
全微分表达式的应用非常广泛，它在微积分、偏微分方程、泛函分析等领域都有重要的应用。
例如，在微积分中，全微分表达式可以用来求解极值问题、曲线拟合问题等；在偏微分方程中，全微分表达式可以用来描述物理场的变化；在泛函分析中，全微分表达式可以用来描述函数空间的变化。
总的来说，全微分表达式是微积分中一个重要的概念，它不仅具有丰富的
性质，而且应用广泛。
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定理 函数 函数z=f(x,y)在点 0,y0)可微,则z=f(x,y)在点 0,y0) 在点(x 可微, 在点(x 在点 可微 在点 的偏导数存在. 的偏导数存在.且A =
z x z B= . y
微分一般可记作: 微分一般可记作:dz=Adx+Bdy . 定理 函数 函数z=f(x,y)在点 0,y0)可微,则z=f(x,y)在点 0,y0) 在点(x 可微, 在点(x 在点 可微 在点 连续. 连续. 上面两个定理的逆命题不成立. 注 上面两个定理的逆命题不成立.
定理 若函数的 z = f ( x, y )的偏导数 z , z 存在且连续,则 存在且连续, x y
函数z=f(x,y)在点 0,y0). 在点(x 函数 在点 计算微分,先求偏导数,再用微分的形式写出来. 计算微分,先求偏导数,再用微分的形式写出来. 第三章经济变量的变化率
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的全微分. 例 求 z = (1 + x ) y 的全微分.
答案 dz = y (1 + x ) y 1 dx + (1 + x ) y ln(1 + x ) dy 练习 求全微分: 求全微分:
(1)z = ln(1 + x
答案
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+yHale Waihona Puke )2(2 )z = e
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全微分的形式不变性: 全微分的形式不变性:
z= z z z z dx + dy = du + dv x y u v
即不管z写成哪两个变量的函数,z的微分都等于 对两个变量 即不管 写成哪两个变量的函数, 的微分都等于z对两个变量 写成哪两个变量的函数 的微分都等于 的偏微分乘以z对它们的偏导数再作和. 的偏微分乘以 对它们的偏导数再作和. 对它们的偏导数再作和
设函数z=f(x,y)在点 0,y0)的某邻域有定义,若因变 在点(x 的某邻域有定义, 定义 设函数 在点 的某邻域有定义 量的改变量z = A x + B y + o( x 2 + y 2 ),则称 Ax + By为 的全微分, 并称z=f(x,y) 为z=f(x,y)在(x0,y0)的全微分,记作 dz = Ax + By . 在 的全微分 并称 在(x0,y0)可微 可微. 可微 第三章经济变量的变化率
1 (1 x )e x y z dx + dy 答案 dz = x y z 1 + xe y 练习 设是由 z = x + arctan 所确定的隐函数, 所确定的隐函数,求 dz . zx zx 答案 dz = dx + dy 2 2 ( z x) + y + y
全微分可用来求近似值. 全微分可用来求近似值. 例 求1.97 1.02 的近似值. 的近似值. 答案 1.9977 .
y x y 2 arctan 的全微分. 的全微分. x y y x dz = 2 x arctan y dx + x 2 y arctan dy . 答案 x y x+ y 练习 求 z = arctan 的全微分. 的全微分. x y
例 求 z = x 2 arctan
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例 一工厂有x名技术工人和y名非技术工人,每天可生产的 产品产量为 f (x , y)=x2y (件) 工厂现有16名技术工人和32名非技术工人,厂长计划再雇 用一名技术工人,问如何调整非技术工人人数,可保持产品产量 不变? 答案 少雇佣4名非技术工人.
x2 y
arctan
x y
(1)dz = 2 xdx + 2 ydy 2 2
1+ x + y
x2 y
(2 )dz = e
2 x y x x dx + x arctan 2 dy 2 xy arctan + 2 2 2 y x +y y x +y
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�
答案 dz =
xdy ydx . 2 2 x +y
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利用全微分的形式不变性可求隐函数的微分或偏导数. 利用全微分的形式不变性可求隐函数的微分或偏导数. 是由方程x+y-z=xex-y-z所确定的函数,求dz. 所确定的函数, 是由方程 . 例 设z=f(x,y)是由方程
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§3.9 全微分
对函数z=f(x,y)=xy: 对函数 x,y——长,宽 长 z——面积 面积
假设对x=x 假设对 0,z0=f(x0,y0)已求 已求 出,为求z1=f(x1,y1),则需求 为求 ,则需求z.
z = ( x + x )( y + y ) xy = y x + x y + x y