2013年高考数学二轮专题辅导与训练 专题三第3讲推理与证明课时训练提能

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2013年高考数学理科新课标版二轮复习专题突破课件3.3推理与证明

2013年高考数学理科新课标版二轮复习专题突破课件3.3推理与证明

否定结论q ―→ 逻辑矛盾 ―→
―→
为假
“若p则q” 为真
5.数学归纳法 用数学归纳法证明与正整数 n 有关命题的步骤为: (1)证明当 n 取第一个值 n0 时命题成立; (2)假设 n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立,证明当 n=k +1 时命题也成立. (3)得出结论.
命题展望 推理与证明是数学的基本思维过程,它有机地渗透到高中课 程中的各个章节,是高考重点考查的对象,高考对本部分内容主 要考查归纳和类比推理以及综合法、分析法、反证法和数学归纳 法等证明方法.在复习时要注意两点:第一要把合情推理作为复 习的重点,加强归纳和类比推理方面的练习,提高合情推理能力, 对演绎推理了解即可;第二要把各种证明方法的理论搞清楚,明 白各种推理论证方法的基本原理和适用环境,并且把这些推理论 证方法贯穿于整个数学的复习过程之中,在应用中把推理论证方 法的理论和实践结合起来.
答案:n·2n-1,n∈N*
【探究提高】 集合中新概念问题主要与元素有关,紧 紧抓住元素的特点进行解决.本题的关键是集合中非空子集 的个数和“交替和”的定义问题,一个集合中有 n 个元素, 则非空子集有 2n-1 个,根据“交替和”的定义,先求出前 4 项的交替和,再进行归纳,最后可求出 Tn.
考向二 类比推理 【例 2】 在平面直角坐标系中,设△ABC 的顶点分别 为 A(0,a),B(b,0),C(c,0),点 P(0,p)在线段 AO 上(异于端 点),设 a,b,c,p 均为非零实数,直线 BP,CP 分别交 AC,
答案:(1)90 (2)9×10n
4.(2012·陕西)观察下列不等式 1+212<32, 1+212+312<53, 1+212+312+412<74, …… 照此规律,第.五.个.不等式为________.

哈尔滨市2013届高三数学二轮复习专题能力提升训练十四:推理与证明

哈尔滨市2013届高三数学二轮复习专题能力提升训练十四:推理与证明

哈尔滨2013届高三数学二轮复习专题能力提升训练:推理与证明本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分.考试时间120分钟. 第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题 (本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.如图,有6个半径都为1的圆,其圆心分别为1(0,0)O ,2(2,0)O ,3(4,0)O ,4(0,2)O ,5(2,2)O ,6(4,2)O .记集合M ={⊙Oi |i =1,2,3,4,5,6}.若A ,B 为M 的非空子集,且A 中的任何一个圆与B 中的任何一个圆均无公共点,则称 (A ,B) 为一个“有序集合对”(当A ≠B 时,(A ,B) 和 (B ,A) 为不同的有序集合对),那么M 中 “有序集合对”(A ,B) 的个数是( )A . 50B . 54C . 58D . 60 【答案】B2.我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰:置积尺数,以十六乘之,九而一,所得开立方除之,即立圆径.“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ,求其直径d 的一个近似公式d ≈还用过一些类似的近似公式.根据π =3.14159 判断,下列近似公式中最精确的一个是( )A .d ≈B .dC .d ≈D .d 【答案】D3.用反证法证明:“,a b 至少有一个为0”,应假设( ) A .,a b 没有一个为0 B .,a b 只有一个为0 C .,a b 至多有一个为0 D .,a b 两个都为0【答案】A4.观察下列等式,332123+=,33321236++=,33332123410+++=根据上述规律,333333123456+++++=( )A . 219B . 220C . 221D . 222【答案】C 5.设n 为正整数,(),n n f 14131211+++++= 计算得 (),232=f (),24>f(),258>f (),316>f(),2732>f 观察上述结果可推测出一般结论( ) A .(),2122+>n n f B .(),222+≥n n fC .(),222+≥n f n D .(),222+≥n n f【答案】C6.若函数()f x =,记()()(())2f x f f x =,()()((()))3f x f f f x =()()((()))n fx f f f x = (,)2n n N ≥∈,则()()302f =( )A .110B .211C .310D .411【答案】B7.对命题“正三角形的内切圆切与三边的中点”可类比猜想出:正四面体的内切球切与四面都为正三角形的什么位置?( )A .各三角形内的点B . 各正三角形的中心C . 各正三角形的某高线上的点D . 三条棱的中点 【答案】B8.已知1)1,1(=f ,+∈N ),(n m f (+∈N ,n m )且对任意+∈N ,n m 都有 ① 2),()1,(+=+n m f n m f ;② )1,(2)1,1(m f m f =+ 则)2008 ,2007(f 的值为( ) A .200722006+ B .200722007+C .401422006+D .401422007+ 【答案】C9.若大前提是:任何实数的平方都大于0,小前提是:a R ∈,结论是:20a >,那么这个演绎推理出错在( ) A .大前提 B .小前提 C .推理过程 D .没有出错【答案】A10.给出命题:若,a b 是正常数,且a b ≠,,(0,)x y ∈+∞,则222()a b a b x y x y++≥+(当且仅当a bx y=时等号成立). 根据上面命题,可以得到函数29()12f x x x =+-(1(0,)2x ∈)的最小值及取最小值时的x 值分别为( )A .11+62,132B .11+62,15 C .5,132 D .25,15【答案】D11.下列说法中正确的是( )A .合情推理是正确的推理B .合情推理就是归纳推理C .归纳推理是从一般到特殊的推理D .类比推理是从特殊到特殊的推理 【答案】D12.已知整数以按如下规律排成一列:()1,1、()1,2、()2,1、()1,3、()2,2,()3,1,()1,4,()2,3,()3,2,()4,1,……,则第60个数对是( )A .()10,1B .()2,10C .()5,7D .()7,5【答案】C第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题 (本大题共4个小题,每小题5分,共20分,把正确答案填在题中横线上) 13.观察下列等式,1=12, 2+3+4=32, 3+4+5+6+7=52, 4+5+6+7+8+9+10=72, …从中归纳出的一般性法则是____________【答案】2)12(23)1(-=-++++n n n n14.“的图像关于原点对称是奇函数33x y x y =∴= .”以上推理的大前提是____________【答案】奇函数的图像关于原点对称15.把正整数排列成如图甲的三角形数阵,然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行的偶数,得到如图乙的三角形数阵,再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列,得到一个数列{}n a ,若2011,n a =则n= 。

北理工附中高考数学二轮复习专题测试 推理与证明

北理工附中高考数学二轮复习专题测试 推理与证明

北京理工大学附中2013届高考数学二轮复习精品训练:推理与证明本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题 (本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.观察下列各式:211=,22343++=,2345675++++=,2456789107++++++=,,可以得出的一般结论是( )A .2(1)(2)(32)n n n n n ++++++-=B .2(1)(2)(32)(21)n n n n n ++++++-=-C .2(1)(2)(31)n n n n n ++++++-=D .2(1)(2)(31)(21)n n n n n ++++++-=-【答案】B 2.求证:5273<+证明:因为5273和+都是正数,所以为了证明5273<+只需证明()()225273<+,展开得521,2021210<<+即, 只需证明2521.2521<<因为, 所以不等式5273<+上述证明过程应用了( )A .综合法B .综合法、分析法配合使用C .分析法D .间接证法【答案】C3.用反证法证明“如果b a>,那么33b a >”假设的内容应是( )A .33b a =B . 33b a <C . 33b a =且 33b a < D .33b a =或 33b a <【答案】D4.否定“自然数a 、b 、c 中恰有一个奇数”时正确的反设是( )A .a 、b 、c 都是偶数B .a 、b 、c 都是奇数C .a 、b 、c 中至少有两个奇数D .a 、b 、c 中或都是偶数或至少有两个奇数 【答案】D5.求形如()()g x y f x 的函数的导数,我们常采用以下做法:先两边同取自然对数得:ln ()ln ()yg x f x ,再两边同时求导得'''11()ln ()()()()y g x f x g x f x y f x =+,于是得到:'''1()[()ln ()()()]()yf xg x f x g x f x f x ,运用此方法求得函数1xyx 的一个单调递增区间是( )A .(e,4)B .(3,6)C .(0,e)D .(2,3)【答案】C6.用反证法证明命题“如果220,a b a b >>>那么”时,假设的内容应是( )A. 22a b = B. 22a b < C. 22a b ≤ D. 2222a b a b <=,且【答案】C7.用火柴棒摆“金鱼”,如图所示:按照上面的规律,第n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为( )A .62n -B .82n -C .62n +D .82n +【答案】C8.用反证法证明:将9个球分别染成红色或白色,那么无论怎么染,至少有5个球是同色的。

高考数学 二轮复习专题精讲教案三 第3讲 推理与证明

高考数学 二轮复习专题精讲教案三 第3讲 推理与证明

第3讲推理与证明自主学习导引真题感悟1.(2012·江西)观察下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,…,则a10+b10=A.28B.76C.123D.199解析观察规律,归纳推理.从给出的式子特点观察可推知,等式右端的值,从第三项开始,后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和,照此规律,则a10+b10=123.答案 C2.(2012·福建)某地区规划道路建设,考虑道路铺设方案.方案设计图中,点表示城市,两点之间连线表示两城市间可铺设道路,连线上数据表示两城市间铺设道路的费用,要求从任一城市都能到达其余各城市,并且铺设道路的总费用最小.例如:在三个城市道路设计中,若城市间可铺设道路的线路图如图(1),则最优设计方案如图(2),此时铺设道路的最小总费用为10.现给出该地区可铺设道路的线路图如图(3),则铺设道路的最小总费用为________.解析根据题目中图(3)给出的信息及题意,要求的是铺设道路的最小总费用,且从任一城市都能到达其余各城市,可将图(3)调整为如图所示的结构(线段下方的数字为两城市之间铺设道路的费用).此时铺设道路的总费用为2+3+1+2+3+5=16.答案16考题分析具备一定的推理与证明能力是高考的一项基本要求.归纳推理是高考考查的热点,这类题目具有很好的区分度,考查形式一般为选择题或填空题.网络构建高频考点突破 考点一:合情推理【例1】(1)(2012·武昌模拟)设f k (x )=sin 2k x +cos 2k x (x ∈R ),利用三角变换,估计f k (x )在k =1,2,3时的取值情况,对k ∈N +时推测f k (x )的取值范围是________(结果用k 表示).(2)在平面几何里,有“若△ABC 的三边长分别为a ,b ,c ,内切圆半径为r ,则三角形面积为S △ABC =12(a +b +c )r ”,拓展到空间,类比上述结论,“若四面体ABCD 的四个面的面积分别为S 1,S 2,S 3,S 4,内切球的半径为r ,则四面体的体积为________.”[审题导引] (1)由f 1(x )、f 2(x )、f 3(x )的取值范围观察规律可得;(2)注意发现其中的规律总结出共性加以推广,或将结论类比到其他方面,得出结论.[规范解答] (1)当k =1,f 1(x )=sin 2x +cos 2x =1. 当k =2时,f 2(x )=sin 4x +cos 4x=(sin 2x +cos 2x )2-2sin 2x cos 2x =1-12sin 22x . ∵0≤sin 22x ≤1,∴f 2(x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,1.当k =3时,f 3(x )=sin 6x +cos 6x=(sin 2x +cos 2x )(sin 4x -sin 2x cos 2x +cos 4x )=1-3sin 2x cos 2x =1-34sin 22x . ∵0≤sin 22x ≤1,∴f 3(x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14,1,故可推测12k -1≤f k(x )≤1.(2)三角形的面积类比为四面体的体积,三角形的边长类比为四面体四个面的面积,内切圆半径类比为内切球的半径.二维图形中12类比为三维图形中的13,得V 四面体ABCD =13(S 1+S 2+S 3+S 4)r .故填V 四面体ABCD =13(S 1+S 2+S 3+S 4)r .[答案] (1)12k -1≤f k (x )≤1(2)V 四面体ABCD =13(S 1+S 2+S 3+S 4)r【规律总结】归纳推理与类比推理之区别(1)归纳推理是由部分到整体,由个别到一般的推理.在进行归纳时,要先根据已知的部分个体,把它们适当变形,找出它们之间的联系,从而归纳出一般结论. (2)类比推理是由特殊到特殊的推理,是两类类似的对象之间的推理,其中一个对象具有某个性质,则另一个对象也具有类似的性质.在进行类比时,要充分考虑已知对象性质的推理过程,然后类比推导类比对象的性质. 【变式训练】1.若数列{a n }(n ∈N +)是等差数列,则有通项为b n =a 1+a 2+…+a nn (n ∈N +)的数列{b n }也为等差数列,类比上述性质,若数列{c n }是等比数列,且c n >0,则有通项为d n =________(n ∈N +)的数列{d n }也是等比数列.解析 ∵{c n }是等比数列,且c n >0, ∴{lg c n }是等差数列,令d n =nc 1·c 2·…·c n , 则lgd n =lg c 1+lg c 2+…+lg c n n ,由题意知{lg d n }为等差数列, ∴d n =n c 1·c 2·…·c n 为等比数列.答案nc1·c2·…·c n2.平面内有n条直线,其中任何两条都不平行,任何三条不过同一点,试归纳它们的交点个数.解析n=2时,交点个数:f(2)=1.n=3时,交点个数:f(3)=3.n=4时,交点个数:f(4)=6.n=5时,交点个数:f(5)=10.猜想归纳:f(n)=12n(n-1)(n≥2).考点二:演绎推理【例2】求证:a,b,c为正实数的充要条件是a+b+c>0,且ab+bc+ca>0和abc>0.[审题导引]由a、b、c为正实数,显然易得a+b+c>0,ab+bc+ca>0,abc >0,即“必要性”的证明用直接法易于完成.证明“充分性”时,要综合三个不等式推出a、b、c是正实数,有些难度、需用反证法.[规范解答](1)证必要性(直接证法):因为a、b、c为正实数,所以a+b+c>0,ab+bc+ca>0,abc>0.所以必要性成立.(2)证充分性(反证法):假设a、b、c不全为正实数(原结论是a、b、c都是正实数),由于abc>0,则它们只能是二负一正.不妨设a<0,b<0,c>0,又由于ab+bc+ac>0⇒a(b+c)+bc>0,因为bc<0,所以a(b+c)>0.①又a<0,所以b+c<0.②而a+b+c>0,所以a+(b+c)>0.所以a>0,与a<0的假设矛盾.故假设不成立,原结论成立,即a、b、c均为正实数.【规律总结】1.演绎推理问题的处理方法从思维过程的指向来看,演绎推理是以某一类事物的一般判断为前提,而作出关于该类事物的判断的思维形式,因此是从一般到特殊的推理.数学中的演绎法一般是以三段论的格式进行的.三段论由大前提、小前提和结论三个命题组成,大前提是一个一般性原理,小前提给出了适合于这个原理的一个特殊情形,结论则是大前提和小前提的逻辑结果. 2.适用反证法证明的六种题型反证法是一种重要的间接证明方法,适用反证法证明的题型有:(1)易导出与已知矛盾的命题;(2)否定性命题;(3)唯一性命题;(4)至少至多型命题;(5)一些基本定理;(6)必然性命题等.【变式训练】3.若定义在区间D 上的函数f (x )对于D 上的n 个值x 1,x 2,…,x n ,总满足1n [f (x 1)+f (x 2)+…+f (x n )]≤f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1+x 2+…+x n n ,称函数f (x )为D 上的凸函数.现已知f (x )=sin x 在(0,π)上是凸函数,则在△ABC 中,sin A +sin B +sin C 的最大值是________.解析 因为凸函数满足1n [f (x 1)+f (x 2)+…+f (x n )]≤f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1+x 2+…+x n n ,(大前提)f (x )=sin x 在(0,π)上是凸函数,(小前提) 所以f (A )+f (B )+f (C )≤3f ⎝⎛⎭⎪⎫A +B +C 3,(结论) 即sin A +sin B +sin C ≤3sin π3=332. 因此sin A +sin B +sin C 的最大值是332. 考点三:数学归纳法【例3】设数列{a n }的前n 项和为S n ,且S 2n -(a n +2)S n +1=0,1-S n =a n b n (n ∈N +).(1)求a 1,a 2的值和数列{a n }的通项公式;(2)若正项数列{c n }满足:c n ≤a 1+(b n -1)a(n ∈N +,0<a <1),求证:∑n k =1 c k k +1<1.[审题导引] (1)由于S 2n -(a n +2)S n +1=0中含有S 2n ,通过升降角标的方法无法把S n 转化为a n ,这样就需要把a n 转化为S n -S n -1(n ≥2),通过探求S n ,然后根据求得的S n 求{a n }的通项公式;(2)根据(1)求得的结果,根据c kk +1的结构确定放缩的方法求证. [规范解答] (1)S 21-(a 1+2)S 1+1=0⇒a 1=12, S 22-(a 2+2)S 2+1=0⇒a 2=16. S 2n -(a n +2)S n +1=0,①当n ≥2时,a n =S n -S n -1,代入①式,得S n S n -1-2S n +1=0,② 又由S 1=12,S 2=a 1+a 2=23,S 3=12-S 2=34.猜想S n =nn +1.下面用数学归纳法证明: ①当n =1时,显然成立;②假设当n =k 时,S k =kk +1,则n =k +1时,S k +1S k -2S k +1+1=0,S k +1=12-k k +1=k +1k +1+1成立.综合①②,可知猜想成立.所以当n ≥2时,a n =S n -S n -1=1n (n +1),当n =1时也满足,故a n =1n (n +1)(n ∈N +).(2)证明 由(1),得b n =n , c n ≤a 1+(n -1)a =11a +n -1<1n ,则∑nk =1 c k k +1<∑n k =1 1k (k +1)=1-1n +1<1. 【规律总结】使用数学归纳法需要注意的三个问题在使用数学归纳法时还要明确:(1)数学归纳法是一种完全归纳法,其中前两步在推理中的作用是:第一步是递推的基础,第二步是递推的依据,二者缺一不可;(2)在运用数学归纳法时,要注意起点n ,并非一定取1,也可能取0,2等值,要看清题目;(3)第二步证明的关键是要运用归纳假设,特别要弄清楚由k 到k +1时命题变化的情况.【变式训练】4.(2012·青岛二模)已知集合A ={x | x =-2n -1,n ∈N +},B ={x | x =-6n +3,n ∈N +},设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若{a n }的任一项a n ∈A ∩B 且首项a 1是A ∩B 中的最大数,-750<S 10<-300.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)若数列{b n }满足b n =1392n a n +-⎛ ⎝⎭令T n =24(b 2+b 4+b 6+…b 2n ),试比较T n与48n2n +1的大小. 解析 (1)根据题设可得:集合A 中所有的元素可以组成以-3为首项,-2为公差的递减等差数列;集合B 中所有的元素可以组成以-3为首项,-6为公差的递减等差数列.由此可得,对任意的n ∈N +,有A ∩B =B , A ∩B 中的最大数为-3,即a 1=-3,设等差数列{a n }的公差为d ,则a n =-3+(n -1)d , S 10=10(a 1+a 10)2=45d -30,∵-750<S 10<-300, ∴-750<45d -30<-300, 即-16<d <-6,由于B 中所有的元素可以组成以-3为首项,-6为公差的递减等差数列, 所以d =-6m (m ∈Z ,m ≠0), 由-16<-6m <-6⇒m =2, 所以d =-12,所以数列{a n }的通项公式为a n =9-12n (n ∈N +).(2)b n =1392n a n +-⎛ ⎝⎭=⎝ ⎛⎭⎪⎫22n ,T n =24(b 2+b 4+b 6+…+b 2n )=24×12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1-⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1-12 =24⎝ ⎛⎭⎪⎫1-12n , T n -48n 2n +1=24-242n -48n 2n +1=24(2n -2n -1)2n (2n +1),于是确定T n 与48n 2n +1的大小关系等价于比较2n 与2n +1的大小,由2<2×1+1,22<2×2+1,23>2×3+1,24>2×4+1,… 可猜想当n ≥3时,2n >2n +1,证明如下: 证法一 ①当n =3时,由上验算可知成立. ②假设n =k 时,2k >2k +1,则2k +1=2·2k >2(2k +1)=4k +2=2(k +1)+1+(2k -1)>2(k +1)+1, 所以当n =k +1时猜想也成立. 根据①②可知,对一切n ≥3的正整数, 都有2n >2n +1,∴当n =1,2时,T n <48n 2n +1,当n ≥3时,T n >48n 2n +1.证法二 当n ≥3时,2n =(1+1)n =C 0n +C 1n +…+C n -1n +C nn ≥C 0n +C 1n +C n -1n +C n n =2n +2>2n +1,∴当n =1,2时,T n <48n 2n +1,当n ≥3时,T n >48n2n +1.名师押题高考【押题1】 已知“整数对”按如下规律排成一列:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),…,则第60个整数对是 A .(7,5) B .(5,7) C .(2,10) D .(10,1)解析 依题意,就每组整数对的和相同的分为一组,不难得知每组整数对的和为n +1,且每组共有n 个整数对,这样的前n 组一共有n (n +1)2个整数对,注意到10(10+1)2<60<11(11+1)2,因此第60个整数对处于第11组(每对整数对的和为12的组)的第5个位置,结合题意可知每对整数对的和为12的组中的各对数依次为(1,11),(2,10),(3,9),(4,8),(5,7),…因此第60个整数对是(5,7).故选B.答案 B[押题依据] 能用归纳和类比进行简单的推理是高考对合情推理的基本要求.相比较而言,归纳推理是高考的一个热点.本题体现了归纳对推理的思想,需从所给的数对中总结归纳出其规律,进而推导出第60个整数对.题目不难,体现了高考的热点,故押此题.押题2】已知命题:“若数列{a n }为等差数列,且a m =a ,a n =b (m <n ,m ,n ∈N +),则a m +n =b ·n -a ·mn -m .”现已知数列{b n }(b n >0,n ∈N +)为等比数列,且b m=a ,b n =b (m <n ,m ,n ∈N +),若类比上述结论,则可得到b m +n =________.解析 由题意类比可得b m +n =n n mb a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭g .答案 n n mb a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭g[押题依据] 归纳和类比是两种重要的思维形式,是高考的热点,通常以选择题或填空题的形式考查.本题以数列知识为背景,考查类比推理,题目不难,但具有较好的代表性,故押此题.必记内容: 高中数学三角函数公式汇总一、任意角的三角函数在角α的终边上任取..一点),(y x P ,记:22y x r +=, 正弦:r y =αsin 余弦:r x=αcos 正切:xy=αtan 余切:y x =αcot正割:xr=αsec 余割:yr =αcsc注:我们还可以用单位圆中的有向线段表示任意角的三角函数:如图,与单位圆有关的有向..线段MP 、OM 、AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线。

2013高三数学二轮专题三第3讲 推理与证明

2013高三数学二轮专题三第3讲 推理与证明
1 1 1 1 因而 OF 的方程应为(c-b)x+(p-a)y=0. 1 1 ∴括号内应填:c-b.
方法二 画草图如右,由对称性 1 1 可猜想填 - . c b
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事实上,由截距式可得直线 AB: x y + =1 b a
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x y 直线 CP:c+p=1,
1 1 1 1 两式相减得 c-bx+p-ay=0,
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(1)对于集合 N={1,2,3,„,n}及其他的每一个非 空子集,定义一个“交替和”如下:按照递减的次序重新排 列该子集,然后从最大数开始交替地减、加后继的数.例如: 集合{1,2,4,6,9}的交替和是 9-6+4-2+1=6, 集合{5}的交替 和为 5;当集合 N 中的 n=2 时,集合 N={1,2}的所有非空子 集为{1},{2},{1,2},则它的“交替和”的总和 T2=1+2+2 -1=4, 请你尝试对 n=3, n=4 的情况, 计算它的“交替和” 的总和 T3,T4,并根据其结果猜测集合 N={1,2,3,„,n}的 每一个非空子集的“交替和”的总和 Tn=________.(不必给 出证明)
可根据条件,先求数列{an}的前几项,观察出规 律,再作猜想.
解析 ∵a1=0,当 n=1 时,f1(x)=|sin(x-a1)|=|sin x|,
x∈[0,a2],又∵对任意的 b∈[0,1),f1(x)=b 总有两个不同 的根,
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∴a2=π;
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∵对任意的 b∈[0,1),f2(x)=b 总有两个不同的根,
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所以 a2-a1=2,a3-a2=3,„,an-an-1=n.

(浙江专用)高考数学二轮复习专题三数列第3讲数列不等式的证明问题(选用)学案

(浙江专用)高考数学二轮复习专题三数列第3讲数列不等式的证明问题(选用)学案

第3讲 数列不等式的证明问题(选用)高考定位 1.数列中不等式的证明是浙江高考数学试题的压轴题;2.主要考查数学归纳法、放缩法、反证法等数列不等式的证明方法,以及不等式的性质;3.重点考查学生逻辑推理能力和创新意识.真 题 感 悟(2017·浙江卷)已知数列{x n }满足:x 1=1,x n =x n +1+ln(1+x n +1)(n ∈N *). 证明:当n ∈N *时, (1)0<x n +1<x n ; (2)2x n +1-x n ≤x n x n +12;(3)12n -1≤x n ≤12n -2. 证明 (1)用数学归纳法证明:x n >0. 当n =1时,x 1=1>0.假设n =k (k ≥1,k ∈N *)时,x k >0,那么n =k +1时,若x k +1≤0,则0<x k =x k +1+ln(1+x k +1)≤0,矛盾,故x k +1>0, 因此x n >0(n ∈N *).所以x n =x n +1+ln(1+x n +1)>x n +1, 因此0<x n +1<x n (x ∈N *). (2)由x n =x n +1+ln(1+x n +1)得,x n x n +1-4x n +1+2x n =x 2n +1-2x n +1+(x n +1+2)ln(1+x n +1).记函数f (x )=x 2-2x +(x +2)ln(1+x )(x ≥0). f ′(x )=2x 2+x x +1+ln ()1+x >0(x >0),函数f (x )在[0,+∞)上单调递增,所以f (x )≥f (0)=0, 因此x 2n +1-2x n +1+(x n +1+2)ln(1+x n +1)=f (x n +1)≥0, 故2x n +1-x n ≤x n x n +12(n ∈N *).(3)因为x n =x n +1+ln(1+x n +1)≤x n +1+x n +1=2x n +1, 所以x n ≥12x n -1≥122x n -2≥…≥12n -1x 1=12n -1.故x n ≥12n -1.由x n x n +12≥2x n +1-x n 得1x n +1-12≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x n -12>0, 所以1x n -12≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x n -1-12≥…≥2n -1⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1-12=2n -2, 故x n ≤12n -2.综上,12n -1≤x n ≤12n -2(n ∈N *).考 点 整 合1.数学归纳法证明一个与正整数n 有关的命题,可按下列步骤进行: (1)(归纳奠基)证明当n 取第一个值n 0(n 0∈N *)时命题成立;(2)(归纳递推)假设n =k (k ≥n 0,k ∈N *)时命题成立,证明当n =k +1时命题也成立. 只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立. 2.反证法一般地,由证明p q 转向证明:綈q r …t ,t 与假设矛盾,或与某个真命题矛盾,从而判定綈q 为假,推出q 为真的方法,叫做反证法. 3.放缩法放缩法是利用不等式的传递性,证明不等式的方法,要证A <B ,可先将A 放大到C ,然后只需证明C <B 即可.热点一 数学归纳法证明数列不等式【例1】 (2017·金丽衢联考)设数列{a n }满足:a 1=a ,a n +1=2a n a 2n +1(a >0且a ≠1,n ∈N *). (1)证明:当n ≥2时,a n <a n +1<1;(2)若b ∈(a 2,1),求证:当整数k ≥(b -a 2)(b +1)a 2(1-b )+1时,a k +1>b .证明 (1)由a n +1=2a na 2n +1知,a n 与a 1的符号相同, 而a 1=a >0,所以a n >0,所以a n +1=2a n +1a n≤1,当且仅当a n =1时,a n +1=1,下面用数学归纳法证明: ①因为a >0且a ≠1,所以a 2<1,a 3a 2=2a 22+1>1,即有a 2<a 3<1; ②假设当n =k (k ≥2,k ∈N *)时,有a k <a k +1<1, 则a k +2=2a k +1a 2k +1+1=2a k +1+1a k +1<1,且a k +2a k +1=2a 2k +1+1>1,即a k +1<a k +2<1. 综上,对任意n ≥2,均有a n <a n +1<1成立.(2)若a k ≥b ,则由(1)知当k ≥2时,1>a k +1>a k ≥b ;若a k <b ,因为0<x <1及二项式定理知(1+x )n =1+C 1n x +…+C n n x n≥1+nx , 而a 2k +1<b 2+1<b +1,且a 2<a 3<…<a k <b <1, 所以a k +1=a 2·a 3a 2·a 4a 3·…·a k +1a k=a 2·2k -1(1+a 22)(1+a 23)…(1+a 2k )>a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫21+b 2k -1> a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫21+b k -1=a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1+1-b 1+b k -1≥a 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1+1-b 1+b (k -1). 因为k ≥(b -a 2)(b +1)a 2(1-b )+1,所以1-b 1+b (k -1)+1≥b -a 2a 2+1=b a 2,所以 a k +1>b .探究提高 数学归纳法是解决和正整数有关命题的证明方法,可以借助递推公式,证明由特殊到一般的结论成立问题.因此,可以在数列不等式的证明中大显身手.在本例中,(1)首先根据条件等式的结构特征推出a n >0,然后用数学归纳法证明即可;(2)首先由(1)知当k ≥2时,1>a k +1>a k ≥b ,然后利用数列的递推公式证明即可. 热点二 反证法证明数列不等式【例2】 (2018·温州调考)已知数列{a n }满足:a n >0,a n +1+1a n<2(n ∈N *).(1)求证:a n +2<a n +1<2(n ∈N *); (2)求证:a n >1(n ∈N *). 证明 (1)由a n >0,a n +1+1a n<2,得a n +1<2-1a n<2.因为2>a n +2+1a n +1>2a n +2a n +1(由题知a n +1≠a n +2), 所以a n +2<a n +1<2.(2)法一 假设存在a N ≤1(N ≥1,N ∈N *), 由(1)可得当n >N 时,a n ≤a N +1<1. 根据a n +1-1<1-1a n =a n -1a n<0,而a n <1,所以1a n +1-1>a n a n -1=1+1a n -1,于是1a N +2-1>1+1a N +1-1,……1a N +n -1>1+1a N +n -1-1.累加可得1a N +n -1>n -1+1a N +1-1.(*)由假设可得a N +n -1<0, 而当n >-1a N +1-1+1时,显然有n -1+1a N +1-1>0,因此有1a N +n -1<n -1+1a N +1-1,这显然与(*)矛盾. 所以a n >1(n ∈N *).法二 假设存在a N ≤1(N ≥1,N ∈N *), 由(1)可得当n >N 时,0<a n ≤a N +1<1. 根据a n +1-1<1-1a n =a n -1a n<0,而a n <1,所以11-a n +1<a n 1-a n ,所以1-a n +11-a n >1a n ≥1a N +1>1.于是1-a n >(1-a n -1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a N +1,1-a n -1>(1-a n -2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a N +1,……1-a N +2>(1-a N +1)⎝⎛⎭⎪⎫1a N +1.累乘可得1-a n >(1-a N +1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a N +1n -N -1,(*)由(1)可得1-a n <1, 而当n >log1a N +1⎝ ⎛⎭⎪⎫11-a N +1+N +1时, 则有(1-a N +1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a N +1n -N -1>1,这显然与(*)矛盾.所以a n >1(n ∈N *).探究提高 数列不等式需要对数列的范围及变化趋势进行探究,而条件又少,因此,反证法就成为解决这类问题的利器.在本例中,(1)首先根据已知不等式由a n +1<2-1a n<2证明不等式的右边,再根据已知不等式利用基本不等式,可证明不等式的左边;(2)考虑反证法,即假设存在a N ≤1,利用条件和(1),并结合放缩法逐步推出矛盾.进而证明不等式成立. 热点三 放缩法证明数列不等式 [考法1] 放缩为等比数列【例3-1】 (2018·宁波调研)已知数列{a n }满足a 1=25,a n +1=2a n 3-a n ,n ∈N *.(1)求a 2;(2)求⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的通项公式;(3)设{a n }的前n 项的和为S n ,求证:65⎝ ⎛⎭⎪⎫1-⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ≤S n <2113. (1)解 由条件可知a 2=2a 13-a 1=413.(2)解 由a n +1=2a n 3-a n 得1a n +1=32·1a n -12,即1a n +1-1=32⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n -1,所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n-1是等比数列,又1a 1-1=32,则1a n -1=32×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n -1=⎝ ⎛⎭⎪⎫32n, 所以1a n =⎝ ⎛⎭⎪⎫32n+1. (3)证明 由(2)可得a n =1⎝ ⎛⎭⎪⎫32n +1≥1⎝ ⎛⎭⎪⎫32n +⎝ ⎛⎭⎪⎫32n -1=25⎝ ⎛⎭⎪⎫23n -1.所以S n ≥25+25·⎝ ⎛⎭⎪⎫231+…+25·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n -1=65⎝ ⎛⎭⎪⎫1-⎝ ⎛⎭⎪⎫23n , 故S n ≥65⎝ ⎛⎭⎪⎫1-⎝ ⎛⎭⎪⎫23n 成立.另一方面a n =1⎝ ⎛⎭⎪⎫32n +1<1⎝ ⎛⎭⎪⎫32n =⎝ ⎛⎭⎪⎫23n,所以S n =a 1+a 2+a 3+…+a n <25+413+⎝ ⎛⎭⎪⎫233+⎝ ⎛⎭⎪⎫234+…+⎝ ⎛⎭⎪⎫23n=4665+89-89·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n -2<4665+89<2113,n ≥3, 又S 1=25<2113,S 2=4665<2113,因此S n <2113.所以65⎝ ⎛⎭⎪⎫1-⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ≤S n <2113.[考法2] 放缩为裂项求和【例3-2】 (2018·金华联考)已知数列{a n }中,a 1=3,2a n +1=a 2n -2a n +4. (1)证明:a n +1>a n ;(2)证明:a n ≥2+⎝ ⎛⎭⎪⎫32n -1;(3)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为S n ,求证:1-⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ≤S n <1.证明 (1)∵2a n +1-2a n =a 2n -4a n +4=(a n -2)2≥0,∴a n +1≥a n ≥3,∴(a n -2)2>0, ∴a n +1>a n .(2)∵2a n +1-4=a 2n -2a n =a n (a n -2), ∴a n +1-2a n -2=a n 2≥32, ∴a n -2≥32(a n -1-2)≥⎝ ⎛⎭⎪⎫322(a n -2-2)≥…≥⎝ ⎛⎭⎪⎫32n -1(a 1-2)=⎝ ⎛⎭⎪⎫32n -1,∴a n ≥2+⎝ ⎛⎭⎪⎫32n -1.(3)∵2(a n +1-2)=a n (a n -2), ∴12(a n +1-2)=1a n (a n -2)=12⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n -2-1a n ,∴1a n +1-2=1a n -2-1a n ,∴1a n =1a n -2-1a n +1-2,∴S n =1a 1+1a 2+…+1a n=1a 1-2-1a 2-2+1a 2-2-1a 3-2+…+1a n -2-1a n +1-2 =1a 1-2-1a n +1-2 =1-1a n +1-2.∵a n +1-2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ,∴0<1a n +1-2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫23n, ∴1-⎝ ⎛⎭⎪⎫23n≤S n =1-1a n +1-2<1. 探究提高 数列中不等式的证明本身就是放缩的结果,在证明过程中,要善于观察数列通项的特点,结合不等式的结构合理地选择放大与缩小,常见的两种放缩方式是:①放缩成等比数列求和形式;②放缩成裂项求和形式.数列、不等式是高中数学的重点内容之一,也是初等数学与高等数学的衔接点之一.命题方式灵活,对学生的数学思维要求较高,具有良好的高考选拔功能.数列中不等式的证明,是浙江省高考数学试题的特色,解决问题方法独特,需要综合运用分析法、放缩法、反证法、数学归纳法、以及构造函数借助导数的工具、不等式的性质等解决问题.1.(2016·浙江卷)设数列{a n }满足|a n -a n +12|≤1,n ∈N *.(1)证明:|a n |≥2n -1(|a 1|-2),n ∈N *;(2)若|a n |≤⎝ ⎛⎭⎪⎫32n,n ∈N *,证明:|a n |≤2,n ∈N *.证明 (1)由⎪⎪⎪⎪⎪⎪a n -a n +12≤1得|a n |-12|a n +1|≤1, 故|a n |2n -|a n +1|2n +1≤12n ,n ∈N *, 所以|a 1|21-|a n |2n=⎝ ⎛⎭⎪⎫|a 1|21-|a 2|22+⎝ ⎛⎭⎪⎫|a 2|22-|a 3|23+…+⎝ ⎛⎭⎪⎫|a n-1|2n -1-|a n |2n ≤121+122+…+12n -1=1-12n -1<1,因此|a n |≥2n -1(|a 1|-2).(2)任取n ∈N *,由(1)知,对于任意m >n ,|a n |2n -|a m |2m =⎝ ⎛⎭⎪⎫|a n |2n -|a n +1|2n +1+⎝ ⎛⎭⎪⎫|a n +1|2n +1-|a n +2|2n +2+…+⎝ ⎛⎭⎪⎫|a m-1|2m -1-|a m |2m ≤12n +12n +1+…+12m -1=12n -1⎝ ⎛⎭⎪⎫1-12m -n <12n -1,故|a n |<⎝ ⎛⎭⎪⎫12n -1+|a m |2m ·2n≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤12n -1+12m ·⎝ ⎛⎭⎪⎫32m ·2n =2+⎝ ⎛⎭⎪⎫34m ·2n .从而对于任意m >n ,均有|a n |<2+⎝ ⎛⎭⎪⎫34m·2n.①由m 的任意性得|a n |≤2. 否则,存在n 0∈N *,与①式矛盾.综上,对于任意n ∈N *,均有|a n |≤2. 2.(2018·学军中学月考)已知数列{a n }满足,a 1=1,a n =1a n +1-12. (1)求证:23≤a n ≤1;(2)求证:|a n +1-a n |≤13;(3)求证:|a 2n -a n |≤1027.证明 (1)用数学归纳法证明. ①当n =1时,命题显然成立;②假设n =k (k ≥1,k ∈N *)时,有23≤a k ≤1成立,则当n =k +1时,a k +1=1a k +12≤123+12<1, a k +1=1a k +12≥11+12=23,即当n =k +1时也成立,所以对任意n ∈N *,都有23≤a n ≤1.(2)当n =1时,|a 2-a 1|=13,当n ≥2时,∵⎝⎛⎭⎪⎫a n +12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n -1+12=⎝ ⎛⎭⎪⎫a n +12·1a n =1+12a n ≥1+12=32, ∴|a n +1-a n |=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1a n +12-1a n -1+12 =|a n -a n -1|⎝ ⎛⎭⎪⎫a n +12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n -1+12≤23|a n -a n -1|≤…≤⎝ ⎛⎭⎪⎫23n -1|a 2-a 1| =13·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n -1<13. 综上所述,|a n +1-a n |≤13.(3)当n =1时,|a 2-a 1|=13=927<1027;当n ≥2时,由(2)知 |a 2n -a n |≤|a 2n -a 2n-1|+|a 2n-1-a 2n-2|+…+|a n+1-a n |≤13⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫232n -2+⎝ ⎛⎭⎪⎫232n -3+…+⎝ ⎛⎭⎪⎫23n -1=⎝ ⎛⎭⎪⎫23n -1-⎝ ⎛⎭⎪⎫232n -1≤23-⎝ ⎛⎭⎪⎫233=1027. 综上所述,|a 2n -a n |≤1027.3.(2018·浙东北大联盟考试)已知数列{a n }满足a 1=12,a n +1=a n -a 2nn (n +1),数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n +1a n 的前n 项和为S n .证明:当n ∈N *时, (1)0<a n +1<a n ; (2)a n ≤n3n -1;(3)S n >n -12.证明 (1)由于a n +1-a n =-a 2nn (n +1)≤0,则a n +1≤a n .若a n +1=a n ,则a n =0,与a 1=12矛盾,故a n ≠0,从而a n +1<a n ,a 1=12>a 2>a 3>…>a n .又a n +1a n =1-a n n (n +1)≥1-12n (n +1)>0, 则a n +1与a n 同号.又a 1=12>0,则a n +1>0,故0<a n +1<a n .(2)由于0<a n +1<a n ,则a n +1=a n -a 2nn (n +1)<a n -a n a n +1n (n +1),即1a n -1a n +1<-1n (n +1)=1n +1-1n,1a n +1-1a n >1n -1n +1. 当n ≥2时,1a n =⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n -1a n -1+⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n -1-1a n -2+…+⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2-1a 1+1a 1>1n -1-1n +1n -2-1n -1+…+1-12+1a 1=3-1n =3n -1n >0,从而a n <n3n -1. 当n =1时,a 1=12=13×1-1,从而a n ≤n 3n -1.(3)由a n +1a n =1-a n n (n +1)≥1-a 1n (n +1)=1-12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n -1n +1(当且仅当n =1时,取等号), 得S n =a 2a 1+a 3a 2+…+a n +1a n ≥n -12⎝ ⎛⎭⎪⎫1-1n +1>n -12. 4.(2017·杭州质量检测)已知数列{a n }的各项均为非负数,其前n 项和为S n ,且对任意的n ∈N *,都有a n +1≤a n +a n +22.(1)若a 1=1,a 505=2 017,求a 6的最大值;(2)若对任意n ∈N *,都有S n ≤1,求证:0≤a n -a n +1≤2n (n +1). (1)解 由题意知a n +1-a n ≤a n +2-a n +1, 设d i =a i +1-a i (i =1,2,…,504), 则d 1≤d 2≤d 3≤…≤d 504,且d 1+d 2+d 3+…+d 504=a 505-a 1=2 016. ∵d 1+d 2+…+d 55≤d 6+d 7+…+d 504499=2 016-(d 1+d 2+…+d 5)499, ∴d 1+d 2+…+d 5≤20,∴a 6=a 1+(d 1+d 2+…+d 5)≤21,a 6的最大值为21.(2)证明 若存在k ∈N *,使得a k <a k +1, 则由a n +1≤a n +a n +22,得a k +1≤a k -a k +1+a k +2<a k +2,因此,从第k 项a k 开始,数列{a n }严格递增, 故a 1+a 2+…+a n ≥a k +a k +1+…+a n ≥(n -k +1)a k . 对于固定的k ,当n 足够大时,必有a 1+a 2+…+a n >1,与题设矛盾,∴{a n }不可能递增,即只能a n -a n +1≥0.令b k =a k -a k +1(k ∈N *),由a k -a k +1≥a k +1-a k +2得b k ≥b k +1,b k ≥0, 故1≥a 1+a 2+…+a n =(b 1+a 2)+a 2+…+a n =b 1+2(b 2+a 3)+a 3+…+a n =…=b 1+2b 2+…+nb n +na n +1≥(1+2+…+n )b n =n (n +1)2b n , ∴b n ≤2n (n +1),综上,对一切n ∈N *,都有0≤a n -a n +1≤2n (n +1).。

2013版高考数学二轮复习专题训练:推理与证明.doc

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2013版高考数学二轮复习专题训练:推理与证明本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题 (本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.用反证法证明命题“a b ∈N ,,如果ab 可被5整除,那么a ,b 至少有1个能被5整除.则假设的内容是( ) A .a ,b 都能被5整除 B .a ,b 都不能被5整除 C .a 不能被5整除 D .a ,b 有1个不能被5整除【答案】B2.设n 为正整数,111()1...23f n n =++++,经计算得35(2),(4)2,(8),22f f f =>> 7(16)3,(32),2f f >>观察上述结果,可推测出一般结论( )A . 21(2)2n f n +≥B . 2(2)2n n f +≥C . 22()2n f n +≥ D .以上都不对【答案】B3.用反证法证明命题“若022=+b a ,则b a ,全为0”其反设正确的是( )A .b a ,至少有一个不为0B . b a ,至少有一个为0C . b a ,全不为0D . b a ,中只有一个为0【答案】A4.给出下面四个类比结论: ①实数,,b a 若0=ab 则0=a或0=b ;类比向量,,b a 若0=⋅b a ,则0=a 或0=b②实数,,b a 有;2)(222b ab a b a ++=+类比向量,,b a 有2222)(b b a a b a +⋅+=+③向量a ,有22a a =;类比复数z ,有22z z =④实数b a ,有022=+b a ,则0==b a ;类比复数z ,2z 有02221=+z z ,则021==z z其中类比结论正确的命题个数为( )A .0B .1C .2D .3【答案】B5.若定义在正整数有序对集合上的二元函数(,)f x y 满足:①(,)f x x x =,②(,)(,)f x y f y x = ③()(,)(,)x y f x y yf x x y +=+,则(12,16)f 的值是( )A .12B . 16C .24D .48【答案】D6.用反证法证明命题:“若整数系数一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有有理根,那么 c b a ,,中至少有一个是偶数”时,应假设( )A .c b a ,,中至多一个是偶数B . c b a ,,中至少一个是奇数C . c b a ,,中全是奇数D . c b a ,,中恰有一个偶数【答案】C7.由7598139,,,10811102521>>>…若a>b>0,m>0,则b m a m ++与ba之间大小关系为( ) A .相等 B .前者大C .后者大D .不确定【答案】B8.下面几种推理过程是演绎推理的是( )A .两条直线平行,同旁内角互补,如果A ∠和B ∠是两条平行直线的同旁内角,则180A B ∠+∠=︒.B .由平面三角形的性质,推测空间四面体性质.C .某校高三共有10个班,1班有51人,2班有53人,3班有52人,由此推测各班都超过50人.D .在数列{}n a 中,()111111,22n n n a a a n a --⎛⎫==+≥ ⎪⎝⎭,由此归纳出{}n a 的通项公式. 【答案】A 9.在求证“数列2, 3, 5,不可能为等比数列”时最好采用( )A .分析法B .综合法C .反证法D .直接法【答案】C10.下列哪个平面图形与空间的平行六面体作为类比对象比较合适( )A .三角形B .梯形C .平行四边形D .矩形 【答案】C11.给出下列四个推导过程: ①∵a ,b ∈R+,∴(b /a )+(a /b )≥2=2;②∵x ,y ∈R+,∴lgx+lgy ≥2;③∵a ∈R ,a ≠0, ∴(4/a )+a ≥2=4;④∵x ,y ∈R,xy <0,∴(x /y )+(y /x )=-[(-(x /y ))+(-(y /x ))]≤-2=-2.其中正确的是( ) A .①②B .②③C .③④D .①④【答案】D12.在证明命题“对于任意角θ,44cos sin cos2θθθ-=”的过程:“44222222cos sin (cos sin )(cos sin )cos sin cos2θθθθθθθθθ-=+-=-=”中应用了( ) A .分析法 B .综合法 C .分析法和综合法综合使用D .间接证法【答案】B第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题 (本大题共4个小题,每小题5分,共20分,把正确答案填在题中横线上) 13.观察下列式子:213122+<,221151+234+<, 222111712348+++<⋅⋅⋅,由此可归纳出的一般结论是 .【答案】14.三段论推理的规则为____________①如果p q ⇒,p 真,则q 真;②如果b a c b ⇒⇒,则c a ⇒;③如果a//b,b //c, 则a//c ④如果c a c b b a ⇒⇒⇒则,, 【答案】②15.若a 、b 是正常数,a ≠b ,x 、y ∈(0,+∞),则a2x +b2y ≥,当且仅当a x =by时上式取等号.利用以上结论,可以得到函数f(x)=4x +91-2x ⎝⎛⎭⎫x ∈⎝⎛⎭⎫0,12的最小值为____________.【答案】3516.同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案,则按此规律第23个图案中需用黑色瓷砖 块.【答案】100三、解答题 (本大题共6个小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.如图,已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面,M N ,分别是AB PC ,的中点. 求证:(1)MN ∥平面PAD ;(2)MN CD ⊥.【答案】(1)取PD 的中点E ,连结AE NE ,.N E ,∵分别为PC PD ,的中点.EN ∴为PCD △的中位线,12EN CD∥∴,12AM AB =,而ABCD 为矩形, CD AB ∴∥,且CD AB =. EN AM ∴∥,且EN AM =.AENM ∴为平行四边形,MN AE ∥,而MN ⊄平面PAC ,AE ⊂平面PAD , MN ∴∥平面PAD .(2)PA ⊥∵矩形ABCD 所在平面,CD PA ⊥∴,而CD AD ⊥,PA 与AD 是平面PAD 内的两条直交直线, CD ⊥∴平面PAD ,而AE ⊂平面PAD ,AE CD ⊥∴.又MN AE ∵∥,MN CD ⊥∴.18.若,x y 都是正实数,且2,x y +>求证:12x y +<与12yx+<中至少有一个成立. 【答案】假设12x y +<和12yx +<都不成立,则有21≥+y x 和21≥+xy 同时成立, 因为0x >且0y >, 所以y x 21≥+且x y 21≥+ 两式相加,得y x y x 222+≥++. 所以2≤+y x ,这与已知条件2x y +>矛盾. 因此12x y +<和12y x+<中至少有一个成立. 19.有一种密英文的明文(真实文)按字母分解,其中英文的a,b,c,…,z 的26个字母(不分大小写),依次对应1,2,3,…,26这26个自然数,见如下表格:给出如下变换公式:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤∈+≤≤∈+=)2,261,(132)2,261,(21'整除能被整除不能被x x N x x x x N x x X将明文转换成密文,如8→82+13=17,即h 变成q ;如5→5+12=3,即e 变成c.①按上述规定,将明文good 译成的密文是什么?②按上述规定,若将某明文译成的密文是shxc ,那么原来的明文是什么? 【答案】①g →7→7+12=4→d; o →15→15+12=8→h; d →o; 则明文good 的密文为dhho ②逆变换公式为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤∈-≤≤∈-=)2614,(262)131,(12''''''x N x x x N x x x 则有s →19→2×19-26=12→l ; h →8→2×8-1=15→o ; x →24→2×24-26=22→v ; c →3→2×3-1=5→e 故密文shxc 的明文为love20.已知a 是整数,2a 是偶数,求证:a 也是偶数. 【答案】(反证法)假设a 不是偶数,即a 是奇数.设21()a n n =+∈Z ,则22441a n n =++.24()n n +∵是偶数,2441n n ++∴是奇数,这与已知2a 是偶数矛盾. 由上述矛盾可知,a 一定是偶数.21.用三段论方法证明:2222222()a b b c c a a b c +++++++≥.【答案】因为222a b ab +≥,所以22222()2a b a b ab +++≥(此处省略了大前提), 所以2222()22a b a b a b +++≥≥(两次省略了大前提,小前提), 同理,222()2b c b c ++≥,222()2c a c a +>+, 三式相加得2222222()a b b c c a a b c +++++++≥. (省略了大前提,小前提)22.设 f(x)=x 2+a. 记f 1(x)=f(x),f n(x)=f(fn -1(x)),n =1,2,3,…,M ={a ∈R|对所有正整数n ,||f n(0)≤2}.证明,M =[-2,14].【答案】⑴ 如果a <-2,则||f 1(0)=|a|>2,a ∈/M .⑵ 如果-2≤a ≤14,由题意,f 1(0)=a ,f n (0)=(f n -1(0))2+a ,n =2,3,…….则① 当0≤a ≤14时,||f n(0)≤12,(∀n ≥1).事实上,当n =1时,||f 1(0)=|a|≤12,设n =k -1时成立(k ≥2为某整数),则对n =k ,||f k(0)≤||fk -1(0)2+a ≤(12)2+14=12.② 当-2≤a <0时,||f n (0)≤|a|,(∀n ≥1).事实上,当n =1时,||f 1(0)≤|a|,设n =k -1时成立(k ≥2为某整数),则对n =k ,有-|a|=a ≤()fk -1(0)2+a ≤a 2+a注意到当-2≤a <0时,总有a 2≤-2a ,即a 2+a ≤-a =|a|.从而有||f k(0)≤|a|.由归纳法,推出[-2,14]⊆M .⑶ 当a >14时,记a n =f n(0),则对于任意n ≥1,a n >a >14且a n +1=f n +1(0)=f(f n(0))=f(a n )=a n 2+a .对于任意n ≥1,a n +1-a n =a n 2-a n +a =(a n -12)2+a -14≥a -14.则a n +1-a n ≥a -14.所以,a n +1-a =a n +1-a 1≥n(a -14).当n >2-a a -14时,a n +1>n(a -14)+a >2-a +a =2,即fn +1(0)>2.因此a ∈/M .综合⑴,⑵,⑶,我们有M =[-2,14]。

2013年高考数学总复习 11-3 推理与证明课件 新人教B版

2013年高考数学总复习 11-3 推理与证明课件 新人教B版

综合法的特点是:从“已知”看“可知”,逐步推 向“未知”,其每步推理都是寻找使每一步结论成立的 必要条件.
5.反证法 一般地,由证明 p⇒q,转向证明¬ q⇒r⇒„⇒t,而 t 与已知矛盾或与某个真命题矛盾,从而判定¬ 为假,推 q 出 q 为真的证明方法叫做反证法. 数学中的命题,都有题设条件和结论两部分,反证 法是从否定这个命题的结论出发,通过正确、严密的逻 辑推理,由此引出一个新的结论,而这个新结论与已知 矛盾,得出结论的反面不正确,从而肯定原结论是正确 的一种间接证构关系的模型有: 等 式与不等式、分数与分式、椭圆与双曲线、等差数列与等 比数列、长方形与长方体、圆与球等.
(理)在 Rt△ABC 中, AB⊥AC, AD⊥BC 于 D, 求证: 1 1 1 = + ,那么在四面体 A-BCD 中,类比上述 AD2 AB2 AC2 结论,你能得到怎样的猜想?并说明理由.
这里所谓的“与已知矛盾”主要是指: (1)与假设自相矛盾. (2)与数学公理、定理、公式、法则、定义或已被证明 了的结论矛盾. (3)与公认的简单事实矛盾.
反证法主要适用于以下情形: ①结论本身是以否定形式出现的一类命题; ②关于唯一性、存在性的命题; ③结论以“至多”、“至少”等形式出现的命题; ④结论的反面比原结论更具体、更容易研究的命题;
类比推理
[例 3] (文)在平面几何里,有勾股定理:“设△ABC 的两边 AB,AC 互相垂直,则 AB2+AC2=BC2.”拓展到 空间,类比平面几何定理,研究三棱锥的侧面面积与底面 面积的关系,可以得出的正确结论是:“设三棱锥 A- BCD 的三个侧面 ABC、ACD、ADB 两两相互垂直,则 ________.”
解析:如图①所示,在 Rt△ABC 中,AB2+AC2= BC2,

最新河北省版高考数学二轮复习专题能力提升训练十四:推理与证明含答案优秀名师资料

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河北省2013版高考数学二轮复习专题能力提升训练十四:推理与证明含答案河北2013版高考数学二轮复习专题能力提升训练:推理与证明本试卷分第?卷(选择题)和第?卷(非选择题)两部分(满分150分(考试时间120分钟(第?卷(选择题共60分)一、选择题 (本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)221(用反证法证明命题“如果”时,假设的内容应是( ) abab,,,0,那么2222222222abab,,,且A. B. C. D. ab,ab,ab,【答案】C222abab(),abab,2(给出命题:若ab,是正常数,且,,则(当且仅当xy,(0,),,,,,,xyxy,xy129时等号成立). 根据上面命题,可以得到函数()的最小值及取最x,(0,)fx(),,2xx12,小值时的x值分别为( )122122A(11+6, B(11+6, C(5, D(25, 131355【答案】D3(下边所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的,称为杨辉三角形,根据图中的数构成的规律,a所表示的数是( )A(2 B(4 C(6 D( 8【答案】Cfxfx,xx,,,,,,,1212fxab,xxab,,,4(任取,且xx,,若f,恒成立,则称为,,,,,,1212,,22,,1x22yx,log上的凸函数。

下列函数中?, ? , ? , ?在其yx,y,2yx,,2定义域上为凸函数是( )A( ?? B( ?? C( ??? D( ?? 【答案】D1311511171+<,1++<,1+++<,5(观察式子:……,由此可归纳出的式子为( )111111111+++......+<1+++......+<A( B( 222222232-1nn232+1nn1112-1n1112n1+++......+<1+++......+<C( D( 22222223nn232+1nn【答案】C 6(对大于或等于2的自然数的正整数幂运算有如下分解方式: 22,1,3 32,1,3,5 42,1,3,5,723,3,5 33,7,9,11 43,13,15,17,1923m,,,,,,,,13511n根据上述分解规律,若,的分解中最小的正整数是21,则mn,,( )10131112A( B( C( D( 【答案】B7(在求证“数列,,不可能为等比数列”时最好采用( ) 3 2 ,5A(分析法 B(综合法 C(反证法 D(直接法【答案】Cxx11,,,,x8(“因为指数函数y,a是增函数(大前提),而y,是指数函数(小前提),所以y,是,,,,44,,,,增函数(结论)”,上面推理的错误是( ) A(大前提错导致结论错B(小前提错导致结论错C(推理形式错导致结论错D(大前提和小前提错都导致结论错【答案】Aabc,,9(用反证法证明某命题时,对结论:“自然数中恰有一个偶数”正确的反设为( )abc,,A(都是奇数abc,,B(都是偶数abc,,C(中至少有两个偶数abc,,D(中至少有两个偶数或都是奇数【答案】D11110(设均大于0,,则a,b,c三数( ) axbycz,,,,,,,,xyz,,yzxA(至少有一个不大于2; B(都小于2C(至少有一个不小于2; D(都大于2【答案】C4444,cos2,cossin,,,,cossin,,,,11(在证明命题“对于任意角,”的过程:“ 222222”中应用了( ) (cossin)(cossin)cossincos2,,,,,,,,,,,,A(分析法 B(综合法 C(反证法 D(归纳法【答案】B12(“金导电、银导电、铜导电、铁导电,所以一切金属都导电”,此推理方法是( )A(类比推理 B(归纳推理 C(演绎推理 D(分析法【答案】B第?卷(非选择题共90分)二、填空题 (本大题共4个小题,每小题5分,共20分,把正确答案填在题中横线上)Sn{}{a}a13(若等差数列的首项为,公差为,前n项的和为S,则数列为等差数列,且通项dnn1nSdn(1),,,,an{b}b为(类似地,请完成下列命题:若各项均为正数的等比数列的首项为,1n12n公比为,前项的积为T,则 ( nnqnn【答案】 T,bq1n32,2,2,sin30sin90sin15014(已知: ,,,232,2,2,sin5sin65sin125 ,,,2; 通过观察上述两等式的规律,请你写出一般性的命题3222oo【答案】 sin60sinsin60aaa,,,,,,,,,215(下图是选修1,2中《推理与证明》一章的知识结构图, 请把“?合情推理”,“? 类比推理”,“?综合法”,“?反证法”,填入适当的方框内.(填序号即可)。

2013版高考数学 考前3个月(上)专题复习 专题三 第三讲 推理与证明配套限时规范训练

2013版高考数学 考前3个月(上)专题复习 专题三 第三讲 推理与证明配套限时规范训练

第三讲 推理与证明(推荐时间:50分钟)一、选择题1.下列四个图形中,着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项,则这个数列的一个通项公式为( )A .a n =3n -1 B .a n =3nC .a n =3n-2n D .a n =3n -1+2n -32.已知22-4+66-4=2,55-4+33-4=2,77-4+11-4=2,1010-4+-2-2-4=2,依照以上各式的规律,得到一般性的等式为( )A.n n -4+8-n 8-n -4=2 B.n +1n +1-4+n +1+5n +1-4=2C.n n -4+n +4n +1-4=2 D.n +1n +1-4+n +5n +5-4=23. “因为指数函数y =a x是增函数(大前提),而y =⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 是指数函数(小前提),所以函数y=⎝ ⎛⎭⎪⎫13x是增函数(结论)”,上面推理的错误在于 ( )A .大前提错误导致结论错B .小前提错误导致结论错C .推理形式错误导致结论错D .大前提和小前提错误导致结论错4.由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则: ①“mn =nm ”类比得到“a ·b =b ·a ”;②“(m +n )t =mt +nt ”类比得到“(a +b )·c =a ·c +b ·c ”; ③“(m ·n )t =m (n ·t )”类比得到“(a ·b )·c =a ·(b ·c )”; ④“t ≠0,mt =xt ⇒m =x ”类比得到“p ≠0,a ·p =x ·p ⇒a =x ”; ⑤“|m ·n |=|m |·|n |”类比得到“|a ·b |=|a |·|b |”;⑥“ac bc =a b ”类比得到“a ·c b ·c =a b ”.以上的式子中,类比得到的结论正确的个数是( )A .1B .2C .3D .45.已知定义在R 上的函数f (x ),g (x )满足f x g x =a x,且f ′(x )g (x )<f (x )g ′(x ),f 1g 1+f -1g -1=52,若有穷数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫f n g n (n ∈N *)的前n 项和等于3132,则n 等于( )A .4B .5C .6D .76.对于不等式n 2+n <n +1(n ∈N *),某同学应用数学归纳法的证明过程如下: (1)当n =1时,12+1<1+1,不等式成立.(2)假设当n =k (k ∈N *)时,不等式成立,即k 2+k <k +1,则当n =k +1时,k +12+k +1=k 2+3k +2<k 2+3k +2+k +2=k +22=(k +1)+1,∴当n =k +1时,不等式成立.则上述证法( )A .过程全部正确B .n =1验得不正确C .归纳假设不正确D .从n =k 到n =k +1的推理不正确 7.已知a >b >0,且ab =1,若0<c <1,p =log ca 2+b 22,q =log c (1a +b)2,则p ,q 的大小关系是( )A .p >qB .p <qC .p =qD .p ≥q8.已知f (1,1)=1,f (m ,n )∈N *(m ,n ∈N *),且对任意m ,n ∈N *都有:①f (m ,n +1)=f (m ,n )+2;②f (m +1,1)=2f (m ,1).给出以下三个结论:(1)f (1,5)=9;(2)f (5,1)=16;(3)f (5,6)=26. 其中正确结论的个数为 ( )A .3B .2C .1D .0二、填空题9.已知数列{a n },a i ∈{-1,0,1} (i =1,2,3,…,2 011),若a 1+a 2+…+a 2 011=11,且(a 1+1)2+(a 2+1)2+…+(a 2 011+1)2=2 088,则a 1,a 2,…,a 2 011中是1的个数为________.10.给出下列不等式:1+12+13>1,1+12+13+…+17>32,1+12+13+…+115>2,1+12+13+…+131>52,…,则按此规律可猜想第n 个不等式为____________________________________. 11.用数学归纳法证明-1+3-5+…+(-1)n(2n -1)=(-1)nn ,当n =1时,左边应为________.12.在平面几何中,△ABC 的内角平分线CE 分AB 所成线段的比AE EB =AC BC,把这个结论类比到空间:在三棱锥A —BCD 中(如图所示),面DEC 平分二面角A —CD —B 且与AB 相交于E ,则得到的类比的结论是____________.三、解答题13.若数列{a n }的前n 项和S n 是(1+x )n二项展开式中各项系数的和(n =1,2,3,…).(1)求{a n }的通项公式;(2)若数列{b n }满足b 1=-1,b n +1=b n +(2n -1),且c n =a n ·b nn,求数列{c n }的通项及其前n 项和T n ;(3)求证:T n ·T n +2<T n +12.14.(2012·大纲全国)函数f (x )=x 2-2x -3.定义数列{x n }如下:x 1=2,x n +1是过两点P (4,5)、Q n (x n ,f (x n ))的直线PQ n 与x 轴交点的横坐标.(1)证明:2≤x n <x n +1<3; (2)求数列{x n }的通项公式.答案1.A 2.A 3.A 4.B 5.B 6.D 7.B 8.A 9.3310.1+12+13+…+12n +1-1>n +1211.-1 12.AE EB =S △ACDS △BCD13.(1)解 由题意S n =2n,S n -1=2n -1(n ≥2),两式相减得a n =2n -2n -1=2n -1(n ≥2).当n =1时,21-1=1≠S 1=a 1=2,∴a n =⎩⎪⎨⎪⎧2 n =12n -1 n ≥2.(2)解 ∵b n +1=b n +(2n -1),∴b 2-b 1=1,b 3-b 2=3,b 4-b 3=5,…,b n -b n -1=2n -3.以上各式相加得b n -b 1=1+3+5+…+(2n -3) =n -11+2n -32=(n -1)2.∵b 1=-1,∴b n =n 2-2n .c n =⎩⎪⎨⎪⎧-2, n =1n -2×2n -1, n ≥2.∴T n =-2+0×21+1×22+2×23+…+(n -2)×2n -1,①∴2T n =-4+0×22+1×23+2×24+…+(n -2)×2n.② ①-②得,-T n =2+22+23+…+2n -1-(n -2)×2n.=21-2n -11-2-(n -2)×2n =2n -2-(n -2)×2n=-2-(n -3)×2n. ∴T n =2+(n -3)×2n.(3)证明 T n ·T n +2-T n +12=[2+(n -3)×2n ]·[2+(n -1)×2n +2]-[2+(n -2)×2n +1]2=4+2·(n -1)·2n +2+2×(n -3)×2n +(n -3)·(n -1)×22n +2-[4+4×(n -2)×2n +1+(n -2)2×22n +2]=2n +3+(n -3)×2n +1-22n +2=2n +1·[(n +1)-2n +1].∵2n +1>0,∴需证明n +1<2n +1,用数学归纳法证明如下:①当n =1时,1+1<21+1成立.②假设n =k 时,命题成立即k +1<2k +1,那么,当n =k +1时,(k +1)+1<2k +1+1<2k +1+2k +1=2·2k +1=2(k +1)+1成立.由①、②可得,对于n ∈N *都有n +1<2n +1成立.∴2n +1·[(n +1)-2n +1]<0.∴T n ·T n +2<T n +12.14.(1)证明 用数学归纳法证明:2≤x n <x n +1<3.①当n =1时,x 1=2,直线PQ 1的方程为y -5=f 2-52-4(x -4),令y =0,解得x 2=114,所以2≤x 1<x 2<3.②假设当n =k (k ∈N *时,结论成立,即2≤x k <x k +1<3.直线PQ k +1的方程为y -5=f x k +1-5x k +1-4(x -4),令y =0,解得x k +2=3+4x k +12+x k +1.由归纳假设知x k +2=3+4x k +12+x k +1=4-52+x k +1<4-52+3=3;x k +2-x k +1=3-x k +11+x k +12+x k +1>0,即x k +1<x k +2.所以2≤x k +1<x k +2<3,即当n =k +1时,结论成立. 由①②知对任意的正整数n,2≤x n <x n +1<3.(2)解 由(1)及题意得x n +1=3+4x n2+x n.设b n =x n -3,则1b n +1=5b n +1,1b n +1+14=5⎝ ⎛⎭⎪⎫1b n +14,数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n +14是首项为-34,公比为5的等比数列.因此1b n +14=-34·5n -1,即b n =-43·5n -1+1, 所以数列{x n }的通项公式为x n =3-43·5n -1+1.。

浙江省杭州市高考数学二轮复习 专题能力提升训练十四 推理与证明

浙江省杭州市高考数学二轮复习 专题能力提升训练十四 推理与证明

杭州附中三维设计2013年高考数学二轮复习:推理与证明本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题 (本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.用数学归纳法证明(1)(2)()213(21)nn n n n n +++=-L L ····,从k 到1k +,左边需要增乘的代数式为( ) A .21k + B .2(21)k +C .211k k ++ D .231k k ++ 【答案】B2.用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于o 60”时,反设正确的是( )A .假设三内角都大于o 60B .假设三内角都不大于o 60C .假设三内角至多有一个大于o 60D .假设三内角至多有两个大于o 60【答案】A3.下面哪个平面图形与空间的平行六面体作为类比对象较合适( )A .三角形B .平行四边形C .梯形D .矩形 【答案】B4.正方形ABCD 的边长为1,点E 在边AB 上,点F 在边BC 上,13AE BF ==。

动点P 从E 出发沿直线向F 运动,每当碰到正方形的边时反弹,反弹时反射角等于入射角,当点P 第一次碰到E 时,P与正方形的边碰撞的次数为( )A .8B .6C .4D .3【答案】B5.用“三段论”证明12)(+=x x f 为增函数的过程中,则“小前提”是( ) ①12)(+=x x f 为增函数;②增函数的定义;③函数12)(+=x x f 满足增函数的定义 A .① B .②C .③D .以上都不对【答案】C 6.观察式子:2222221311511171+<,1++<,1+++<,222332344……,由此可归纳出的式子为( ) A .22211111+++......+<232-1n n B .22211111+++......+<232+1n n C .2221112-11+++......+<23n n n D .22211121+++......+<232+1nn n 【答案】C7.由①正方形的对角线相等;②平行四边形的对角线相等;③正方形是平行四边形,根据“三段论”推理出一个结论,则这个结论是( ) A .正方形的对角线相等 B .平行四边形的对角线相等 C .正方形是平行四边形 D .其它 【答案】A8.若7++=a a P ,43+++=a a Q ,)0(≥a 则P 、Q 的大小关系是( )A .P >QB .P =QC .P <QD .由a 的取值确定【答案】C9.在证明命题“对于任意角θ,44cos sin cos2θθθ-=”的过程:“44222222cos sin (cos sin )(cos sin )cos sin cos2θθθθθθθθθ-=+-=-=”中应用了( )A .分析法B .综合法C .分析法和综合法综合使用D .间接证法 【答案】B10.推理过程“大前提:________,小前提:四边形ABCD 是矩形,结论:四边形ABCD 的对角线相等.”应补充的大前提是( ) A .正方形的对角线相等 B .矩形的对角线相等 C .等腰梯形的对角线相等 D .矩形的对边平行且相等 【答案】B11.分析法是从要证明的结论出发,逐步寻求使结论成立的( )A .充分条件B .必要条件C .充要条件D .等价条件 【答案】A12.如图所示,某公园设计节日鲜花摆放方案,其中一个花坛由一批花盆堆成六角垛.顶层一个,以下各层堆成正六边形,逐层每边增加一个花盆,若这垛花盆底层最长的一排共有 13个花盆,则底层的花盆的个数是( )A .91B .127C . 169D .255【答案】B第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题 (本大题共4个小题,每小题5分,共20分,把正确答案填在题中横线上) 13.求证:一个三角形中,至少有一个内角不小于60°,用反证法证明时的假设为“三角形的 ”. 【答案】三个内角都小于60°;14.求1+2+22+23+…+22012的值,可令S=1+2+22+23+…+22012,则2S=2+22+23+24+…+22013,因此2S ﹣S=22013﹣1.仿照以上推理,计算出1+5+52+53+…+52012的值为【答案】2013514-15.已知结论:“在三边长都相等的ABC ∆中,若D 是BC 的中点,G 是ABC ∆外接圆的圆心,则2AGGD=”.若把该结论推广到空间,则有结论:“在六条棱长都相等的四面体ABCD 中,若M 是BCD ∆的三边中线的交点,O 为四面体ABCD 外接球的球心,则AOOM= ”.【答案】316.在等差数列{}n a 中,若100a =,则有*121219(19,)n n a a a a a a n n N -+++=+++<∈L L 成立,类比上述性质,在等比数列{}n b 中,若101b =,则存在的等式 【答案】三、解答题 (本大题共6个小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.在ABC ∆中,猜想sin sin sin T A B C =++的最大值,并证明之。

福建省福州市高考数学二轮复习 专题训练十四 推理与证明

福建省福州市高考数学二轮复习 专题训练十四 推理与证明

福州2013年高考数学二轮复习专题训练:推理与证明本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题 (本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知数列{}n a 中,11,a =前n 项和为n S ,且点*1(,)()n n P a a n N +∈在直线10x y -+=上,则1231111n S SS S ++++L =( ) A . 21n n + B .2(1)n n + C . (1)2n n + D .2(1)n n + 【答案】A2.如图,一个质点从原点出发,在与y 轴.x 轴平行的方向按(0,0)→(0,1)→(1,1)→(1,0)→(2,0)→(2,2)…的规律向前移动,且每秒钟移动一个单位长度,那么到第2011秒时,这个质点所处位置的坐标是( )A .(13,44)B .(14,44)C .(44,13)D .(44,14)【答案】A 3.从一楼到二楼的楼梯共有n 级台阶,每步只能跨上1级或2级,走完这n 级台阶共有()n f 种走法,则下面猜想正确的是( )A .()()()()321≥-+-=n n f n f n fB .()()()212≥-=n n f n fC .()()()2112≥--=n n f n fD .()()()()321≥--=n n f n f n f【答案】A4.求形如()()g x y f x =的函数的导数,我们常采用以下做法:先两边同取自然对数得:ln ()ln ()y g x f x =,再两边同时求导得'''11()ln ()()()()y g x f x g x f x y f x =+,于是得到:'''1()[()ln ()()()]()y f x g x f x g x f x f x =+,运用此方法求得函数1x y x =的一个单调递增区间是( )A .(e,4)B .(3,6)C .(0,e)D .(2,3) 【答案】C5.将连续)3(2≥n n 个正整数填入n n ⨯的方格中,使其每行、每列、每条对角线上的各数之和都相等,这个正方形叫做n 阶幻方数阵,记)(n f 为n 阶幻方数阵对角线上各数之和,如图就是一个3阶幻方数阵,可知15)3(=f 。

【步步高】2012届高考数学二轮复习 专题三 第3讲推理与证明

【步步高】2012届高考数学二轮复习 专题三 第3讲推理与证明

第3讲 推理与证明(推荐时间:60分钟)一、填空题1.已知整数对排列如下:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(1,5),(2,4),…,则第62个整数对是________.2.已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2a n (n ≥2),而a 1=1,通过计算a 2,a 3,a 4,猜想a n =__________.3.用反证法证明命题:若整数系数一元二次方程ax 2+bx +c =0 (a ≠0)有有理根,那么a ,b ,c 中至少有一个是偶数时,下列假设中正确的是________(填序号).①假设a ,b ,c 都是偶数②假设a ,b ,c 都不是偶数③假设a ,b ,c 至多有一个是偶数④假设a ,b ,c 至多有两个是偶数4.(2011·江西改编)观察下列各式:72=49,73=343,74=2 401,…,则72 011的末两位数字为________.5.已知定义在R 上的函数f (x )满足:f (x )·f (x +2)=13,若f (1)=2,则f (2 011)=________.6.观察下列不等式:1>12,1+12+13>1,1+12+13+…+17>32,1+12+13+…+115>2,1+12+13+…+131>52,…,由此猜想第n 个不等式为______________. 7.观察下列各式:1=1,2+3+4=9,3+4+5+6+7=25,4+5+6+7+8+9+10=49,…,则由此可归纳出n +(n +1)+(n +2)+…+(3n -2)=________.8.(2011·北京)设A (0,0),B (4,0),C (t +4,3),D (t,3) (t ∈R ).记N (t )为平行四边形ABCD 内部(不含边界)的整点的个数,其中整点是指横、纵坐标都是整数的点,则N (0)=________;N (t )的所有可能取值为________.9.在公比为4的等比数列{b n }中,若T n 是数列{b n }的前n 项积,则有T 20T 10,T 30T 20,T 40T 30仍成等比数列,且公比为4100;类比上述结论,在公差为3的等差数列{a n }中,若S n 是{a n }的前n 项和,则有________________________也成等差数列,该等差数列的公差为________.10.若数列{a n }的通项公式a n =1(n +1)2,记f (n )=2(1-a 1)(1-a 2)…(1-a n ),试通过计算f (1),f (2),f (3)的值,推测出f (n )=________.11.(2011·山东)设函数f (x )=xx +2(x >0),观察:f 1(x )=f (x )=x x +2, f 2(x )=f (f 1(x ))=x 3x +4, f 3(x )=f (f 2(x ))=x 7x +8,f 4(x )=f (f 3(x ))=x 15x +16, …… 根据以上事实,由归纳推理可得:当n ∈N *且n ≥2时,f n (x )=f (f n -1(x ))=________.12.已知2+23=223,3+38=338,4+415=4415,…,若6+a t =6a t (a ,t 均为正实数),类比以上等式,可推测a ,t 的值,则a +t =________. 二、解答题13.在数列{a n }中,a 1=1,当n ≥2时,其前n 项和S 满足S 2n =a n ⎝⎛⎭⎪⎫S n -12. (1)求1S 2,1S 3,1S 4,…,并求1S n(不需证明); (2)求数列{a n }的通项公式.14.观察下列三角形数表假设第n 行的第二个数为a n (n ≥2,n ∈N *),(1)依次写出第六行的所有6个数字;(2)归纳出a n +1与a n 的关系式并求出a n 的通项公式.15.已知数列{a n }中,a 4=28,且满足a n +1+a n -1a n +1-a n +1=n . (1)求a 1,a 2,a 3;(2)猜想{a n }的通项公式并证明.答 案1.(7,5) 2.2n (n +1)3.②4.435.1326.1+12+13+…+12n -1>n 2 7.(2n -1)2 8.6 6,7,89.S 20-S 10,S 30-S 20,S 40-S 30 30010.n +2n +1 11.x (2n -1)x +2n 12.41 13.解 (1)当n ≥2时,由a n =S n -S n -1和S 2n =a n ⎝⎛⎭⎪⎫S n -12, 得S 22=(S 2-S 1)⎝⎛⎭⎪⎫S 2-12, 得1S 2=1+2S 1S 1=2+11=3, 由S 23=(S 3-S 2)⎝⎛⎭⎪⎫S 3-12, 得1S 3=2+1S 2=5, 由S 24=(S 4-S 3)⎝⎛⎭⎪⎫S 4-12, 得1S 4=2+1S 3=7,…由S 2n =(S n -S n -1)⎝⎛⎭⎪⎫S n -12, 得1S n =2+1S n -1=2n -1. (2)由(1)知,S n =12n -1, 当n ≥2时,a n =S n -S n -1=12n -1-12n -3=-2(2n -1)(2n -3), 显然,a 1=1不符合上述表达式,所以数列{a n }的通项公式为a n =⎩⎪⎨⎪⎧ 1,n =1,-2(2n -1)(2n -3),n ≥2.14.解 (1)第六行的所有6个数字分别是6,16,25,25,16,6.(2)依题意a n +1=a n +n (n ≥2),a 2=2,a n =a 2+(a 3-a 2)+(a 4-a 3)+…+(a n -a n -1)=2+2+3+…+(n -1)=2+(n -2)(n +1)2,所以a n =12n 2-12n +1(n ≥2). 15.解 (1)a n +1+a n -1a n +1-a n +1=n . 当n =3时,a 4+a 3-1a 4-a 3+1=3. ∵a 4=28,∴a 3=15;当n =2时,a 3+a 2-1a 3-a 2+1=2. ∵a 3=15,∴a 2=6;当n =1时,a 2+a 1-1a 2-a 1+1=1. ∵a 2=6,∴a 1=1.(2)猜想a n =n (2n -1).①当n =1时,a 1=1,而a 1=1×(2×1-1)=1,等式成立.②假设当n =k 时,等式成立,即a k =k (2k -1).则当n =k +1时,a k +1+a k -1a k +1-a k +1=k ,a k +1+k (2k -1)-1a k +1-k (2k -1)+1=k , 整理,得(1-k )a k +1=-2k 3-k 2+2k +1=(2k +1)(1-k 2),a k+1=(1+k)(2k+1)=(k+1)[2(k+1)-1],等式也成立.综合①②可知,n∈N*时,等式成立.出师表两汉:诸葛亮先帝创业未半而中道崩殂,今天下三分,益州疲弊,此诚危急存亡之秋也。

高中数学第3章推理与证明习题课—推理与证明的综合应用课后巩固提升(含解析)北师大版选修12

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第三章DISANZHANG推理与证明习题课——推理与证明的综合应用课后篇巩固提升1.已知a1=1,依次写出a2,a3,…,a n(n∈N+)的法则如下:如果a n-2为自然数且未写过,则写a n+1=a n-2,否则就写a n+1=a n+3,则a6=()A.4B.5C.6D.7,依次逐个代入,得a2=4,a3=2,a4=0,a5=3,a6=6.2.对于数25,规定第1次操作为23+53=133,第2次操作为13+33+33=55,如此反复操作,则第2016次操作后得到的数是()A.25B.250C.55D.133,第3次操作为53+53=250,第4次操作为23+53+03=133,第5次操作为13+33+33=55,…….因此每次操作后的得数呈周期排列,且周期为3,又2016=672×3,故第2016次操作后得到的数是250.3.对于函数f(x),若存在常数a≠0,使得x取定义域内的每一个值,都有f(x)=f(2a-x),则称f(x)为准偶函数.下列函数中,是准偶函数的是()A.f(x)=B.f(x)=x2C.f(x)=tan xD.f(x)=cos(x+1)f(x)为准偶函数的定义可知,若f(x)的图像关于x=a(a≠0)对称,则f(x)为准偶函数,在D中f(x)=cos(x+1)的图像关于x=kπ-1(k∈Z)对称,故选D.4.甲、乙、丙、丁四人参加比赛,有3人分别获得一等奖、二等奖和三等奖,另外1人没获奖.甲说:乙得奖;乙说:丙获得了一等奖;丙说:丁没有获得二等奖;如果甲、乙、丙中有一人获得了一等奖,而且只有获得一等奖的那个人说的是真话,则获得一等奖的是.,甲、乙、丙中有一人获得了一等奖,而且只有获得一等奖的那个人说的是真话,若甲获得一等奖,则甲说的是真话,乙说的是假话,丙不能确定,符合题意;若乙获得一等奖,则乙说:“丙获得一等奖”是真话,不符合题意;若丙获得一等奖,则丙说的是真话,而此时乙说:“丙获得一等奖”也是真话,不符合题意,所以获得一等奖的是甲.5.小明在学校组织了一次访谈,全体受访者中,有6人是学生,4人是初中生,2人是教师;5人是乒乓球爱好者,2人是篮球爱好者.根据以上信息可推知,此次访谈中受访者最少有人;最多有人.15,人数最少,为6+2=8人,当乒乓球爱好者和篮球爱好者与老师和学生都不重复时,人数最多,为6+2+5+2=15人,故答案为8,15.6.观察下图:12 3 43 4 5 6 74 5 6 7 8 9 10……则第 行的各数之和等于2 0172.:第n 行第一个数是n ,该行共有(2n-1)个数,构成以1为公差的等差数列,所以第n 行的各数之和为(2n-1)n+=4n 2-4n+1,令4n 2-4n+1=20172,则2n-1=2017,n=1009,故答案为1009.7.网上购鞋常常看到这样一张脚的长度与鞋号的对照表,第一行可以理解为脚的长度,第二行是我们习惯称呼的“鞋号”.脚的长度与鞋号对照表从上述表格中可以推算出30码的童鞋对应的脚的长度为 ;若一个篮球运动员的脚长为282 mm,则他该穿 码的鞋.47,码=实际标注×0.2-10,故30码的童鞋对应的脚的长度为200mm,当脚长为282mm 时,对应的码282×0.2-10=46.4,应穿47码的鞋,故答案为200mm,47.8.给出下列不等式:1+>1,1++…+,1++…+>2,……则按此规律可猜想第n 个不等式为 .++…+3,7,15,…,通项为2n+1-1,不等式右边为首项为1,公差为的等差数列,故猜想第n 个不等式为1++…+.9.设f (x )=3ax 2+2bx+c.若a+b+c=0,f (0)>0,f (1)>0,求证:(1)a>0,且-2<<-1.(2)方程f(x)=0在(0,1)内有两个实根.因为f(0)>0,f(1)>0,所以c>0,3a+2b+c>0.因为a+b+c=0,消去b得a>c>0,再由条件a+b+c=0,消去c得a+b<0且2a+b>0,所以-2<<-1.(2)因为抛物线f(x)=3ax2+2bx+c的顶点坐标为,又因为-2<<-1,所以<-.因为f(0)>0,f(1)>0,而f=-<0,所以方程f(x)=0在区间内分别有一实根,故方程f(x)=0在(0,1)内有两个实根.10.(1)设x是正实数,求证:(x+1)(x2+1)(x3+1)≥8x3.(2)若x∈R,不等式(x+1)(x2+1)(x3+1)≥8x3是否仍然成立?如果成立,请给出证明;如果不成立,请举出一个使它不成立的x的值.x是正实数,由基本不等式,得x+1≥2,x2+1≥2x,x3+1≥2.故(x+1)(x2+1)(x3+1)≥2·2x·2=8x3(当且仅当x=1时等号成立).(2)若x∈R,不等式(x+1)(x2+1)(x3+1)≥8x3仍然成立.由(1)知,当x>0时,不等式成立;当x≤0时,8x3≤0,而(x+1)(x2+1)(x3+1)=(x+1)2(x2+1)(x2-x+1)=(x+1)2(x2+1)≥0,此时不等式仍然成立.。

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专题三 第3讲 推理与证明课时训练提能[限时45分钟,满分75分]一、选择题(每小题4分,共24分)1.用反证法证明命题:若整数系数一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)有有理根,那么a ,b ,c 中至少有一个是偶数时,下列假设中正确的是A .假设a 、b 、c 都是偶数B .假设a 、b 、c 都不是偶数C .假设a 、b 、c 至多有一个是偶数D .假设a 、b 、c 至多有两个是偶数解析 至少有一个的否定是一个也没有,即a ,b ,c 都不是偶数. 答案 B2.(2012·济南模拟)在实数的原有运算法则(“·”和“-”仍为通常的乘法和减法)中,我们补充定义新运算“⊕”如下:当a ≥b 时,a ⊕b =a ;当a <b 时,a ⊕b =b 2.则当x ∈[-2,2]时,函数f (x )=(1⊕x )·x -(2⊕x )的最大值等于A .-1B .1C .6D .12解析 易知f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x -2, -2≤x ≤1,x 3-2, 1<x ≤2,∴当x =2时,f (x )的最大值为23-2=6.答案 C3.(2012·厦门模拟)将石子摆成如图的梯形形状.称数列5,9,14,20,…为“梯形数”.根据图形的构成,此数列的第2 012项与5的差,即a 2 012-5=A .2 018×2 012B .2 018×2 011C .1 009×2 012D .1 009×2 011解析 观察可知a 2 012=2+3+4+…+2 014 =12×2 013×(2+2 014)=2 013×1 008, ∴a 2 012-5=2 013×1 008-5=1 009×2 011. 答案 D4.(2012·枣庄模拟)22 012个位上的数字为 A .2 B .4 C .6D .8解析 由21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,26=64,27=128,28=256,…, 观察可知,24k的个位数为6,24k +1的个位数为2,24k +2的个位数为4,24k +3的个数为8,k ∈N ,∴22 012=24×503的个位数为6.答案 C5.由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则: ①由“mn =nm ”类比得到“a ·b =b ·a ”;②由“(m +n )t =mt +nt ”类比得到“(a +b )·c =a ·c +b ·c ”; ③由“t ≠0,mt =xt ⇒m =x ”类比得到“p ≠0,a ·p =x ·p ⇒a =x ”; ④由“|m ·n |=|m |·|n |”类比得到“|a ·b |=|a |·|b |”. 以上结论正确的是 A .①③ B .①② C .②③D .②④解析 因为向量运算满足交换律、乘法分配律,向量没有除法,不能约分,所以①②正确,③错误.又因为|a ·b |=|a |·|b |·|cos〈a ,b 〉|,所以④错误.故选B.答案 B6.现有一个关于平面图形的命题:如图,同一个平面内有两个边长都是a 的正方形,其中一个的某顶点在另一个的中心,则这两个正方形重叠部分的面积恒为a 24.类比到空间,有两个棱长均为a 的正方体,其中一个的某顶点在另一个的中心,则这两个正方体重叠部分的体积恒为A.a 316B.a 38C.a 34D.a 32解析 由平面类比到空间,将面积和体积进行类比,容易得出两个正方体重叠部分的体积恒为a 38,所以选B.答案 B二、填空题(每小题5分,共15分)7.(2012·烟台一模)若实数x 、y 、m 满足|x -m |>|y -m |,则称x 比y 远离m .若x 2-1比1远离0,则x 的取值范围是________.解析 据题意知|x 2-1-0|>|1-0|,即|x 2-1|>1, ∴x 2-1>1或x 2-1<-1, 解得x <-2或x > 2.答案 (-∞,-2)∪(2,+∞) 8.(2012.苏州模拟)观察下列等式: 1=1 1+2=3 1+2+3=6 1+2+3+4=10 1+2+3+4+5=15 (13)=1 13+23=9 13+23+33=36 13+23+33+43=100 13+23+33+43+53=225 …可以推测:13+23+33+…+n 3=________(n ∈N +,用含有n 的代数式表示).解析 由数表知13+23+33+…+n 3=(1+2+…+n )3=⎣⎢⎡⎦⎥⎤n n +122=n 2n +124.答案 n 2n +1249.(2012·昆明模拟)设f (x )=ax +b ,其中a ,b 为实数,f 1(x )=f (x ),f n +1(x )=f (f n (x )),n =1,2,3,…,若f 7(x )=128x +381,则a +b =________.解析 由递推式可得f 2(x )=a 2x +ab +b ,f 3(x )=a 3x +a 2b +ab +b , f 4(x )=a 4x +a 3b +a 2b +ab +b ,… f 7(x )=a 7x +a 6b +…+ab +b =128x +38,∴a 7=128,∴a =2,(a 6b +a 5b +…+ab +b )=b (1+a +…+a 6) =b ×1-271-2=127 b =381,∴b =3. 故a +b =5. 答案 5三、解答题(每小题12分,共36分)10.已知a ,b ,c 均为正数,证明:a 2+b 2+c 2+⎝ ⎛⎭⎪⎫1a +1b +1c 2≥63,并确定a 、b 、c 为何值时,等号成立.证明 因为a ,b ,c 均为正数,由均值不等式得a 2+b 2≥2ab ,b 2+c 2≥2bc ,c 2+a 2≥2ac ,所以a 2+b 2+c 2≥ab +bc +ac ,① 同理1a 2+1b 2+1c 2≥1ab +1bc +1ac,②故a 2+b 2+c 2+⎝ ⎛⎭⎪⎫1a +1b +1c 2≥ab +bc +ac +3ab +3bc +3ac≥6 3.③所以原不等式成立.当且仅当a =b =c 时,①式和②式等号成立;当且仅当a =b =c ,(ab )2=(bc )2=(ac )2=3时,③式等号成立. 即当且仅当a =b =c =143时,原式等号成立.11.已知函数f (x )=a x+x -2x +1(a >1). (1)证明:函数f (x )在(-1,+∞)上为增函数; (2)用反证法证明f (x )=0没有负根.证明 (1)任取x 1,x 2∈(-1,+∞),不妨设x 1<x 2, 则x 2-x 1>0,21>1 x x a -,且1xa >0.所以21>1 x x a-=1xa (21x x a --1)>0.又因为x 1+1>0,x 2+1>0, 所以x 2-2x 2+1-x 1-2x 1+1=x 2-2x 1+1-x 1-2x 2+1x 2+1x 1+1=3x 2-x 1x 2+1x 1+1>0,于是f (x 2)-f (x 1)=21x x aa -+x 2-2x 2+1-x 1-2x 1+1>0,故函数f (x )在(-1,+∞)上为增函数.(2)假设存在x 0<0(x 0≠-1)满足f (x 0)=0,则ax 0=-x 0-2x 0+1, 又0<0xa <1,所以0<-x 0-2x 0+1<1, 即12<x 0<2, 与x 0<0(x 0≠-1)假设矛盾, 故f (x 0)=0没有负根.12.某数列的第一项为1,并且对所有的自然数n ≥2,数列的前n 项之积为n 2. (1)写出这个数列的前五项;(2)写出这个数列的通项公式并加以证明. 解析 (1)已知a 1=1,由题意,得a 1·a 2=22, ∴a 2=22,a 1·a 2·a 3=32,∴a 3=3222;同理,可得a 4=4232,a 5=5242.因此这个数列的前五项为1,22,3222,4232,5242.(2)观察这个数列的前五项,猜测这个数列的通项公式应为 a n =⎩⎪⎨⎪⎧1, n =1,n 2n -12, n ≥2.下面用数学归纳法加以证明当n ≥2时,a n =n 2n -12.①当n =2时,a 2=222-12=22,等式成立.②假设当n =k ,k ≥2时,结论成立. 即a k =k 2k -12.因为a 1·a 2·…·a k -1=(k -1)2,a 1·a 2·…·a k -1·a k ·a k +1=(k +1)2,所以a k +1=k +12a 1·a 2·…·a k -1·a k =k +12k -12·k -12k 2=k +12k 2=k +12[k +1-1]2. 这就是说n =k +1时,结论也成立.根据①、②可知,当n ≥2时,这个数列的通项公式是a n =n 2n -12,所以a n =⎩⎪⎨⎪⎧1, n =1,n 2n -12, n ≥2.。

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