12级高数(i)期末考试题a卷及答案.doc
12高数A期末一真题与答案
淮 海 工 学 院11 - 12 学年 第 2 学期 高等数学A(2)试卷(A 闭卷)答案及评分标准一、选择题（本大题共8小题，每题4分，共32分）1．设向量(1,0,2)a =，(0,1,2)b =，则a b ⨯= --------------------------------------（C ）（A ）23（B ）2 （C ）3 （D ）42．2(,)()yf x y x x y =+，则(,0)xx f x=----------------------------------------------------（B ）（A ）1 （B ）2 （C ）x （D ）x23. sin cos u y x z =+-在点(0,0,1)-处沿下列哪个方向的方向导数最大-------（A ） （A ）(0,1,1)-（B ）(1,0,1)- （C ）(1,0,1)-（D ）)1,0,1( 4．二次积分x d y x f dy ee y⎰⎰10),(的另一种积分次序为-----------------------（C ）（A ）1ln 0(,)x dx f x y dy ⎰⎰ （B ）10(,)x e dx f x y dy ⎰⎰（C ）⎰⎰e xdy y x f dx 1ln 0),( （D ）1(,)xe e dxf x y dy ⎰⎰5．2252(51)(1)x y x y ds +=++=⎰-----------------------------------------------------------------（D ）（A ）0 （B ） π （C ）2π （D ）6．设n u =，则级数-------------------------------------------------------------------（C ）（A ）11nn n u ∞∞==∑与（B ）∑∞=1n nu与1n ∞=都发散（C ）∑∞=1n nu收敛，而1n ∞= （D ）∑∞=1n n u 发散，而1n ∞=7．设)(x f 是以π2为周期的周期函数，其在],(ππ-上的解析式为2,0(),0x x f x x x πππ⎧--<≤=⎨-<≤⎩，若记)(x f 的傅里叶级数为()S x ，则(7)S π=------（B ） （A ）2π- （B ）22π- （C ）22π （D ）2π8．微分方程28xy y y e -'''++=的一个特解可设为--------------------------------------（D ） （A ）xae- （B ）x axe - （C ）()x ax b e -+ （D ）2xax e -二、计算题（本大题共4小题，每题7分，共28分）1． 设(,)z f xy x y =+，其中(,)f u v 可微，且0,u f ≠求1()x y uz z f -. 解：x u v z yf f =+------------------------------------------------------------------------------------2y u v z xf f =+-----------------------------------------------------------------------------------2则1()x y uz z y x f -=-.---------------------------------------------------------------------3 2．设D 由,y x y ==x 轴所围成，求2231(1)Ddxdy x y ++⎰⎰. 解: :01,06D r πθ≤≤≤≤----------------------------------------------2则原式12360(1)d r rdr πθ-=+⎰⎰-----------------------------------------212320(1)(1)12r d r π-=++⎰32π=.---------------------------------33．设空间闭区域Ω{}22(,,)1,12x y z x y z =+≤-≤≤，∑是Ω的整个边界曲面的内侧，用高斯公式计算2()2()(1)x y dydz y z x dzdx z z dxdy ∑++-+-⎰⎰． 解: 2,2(),(1)P x y Q y z x R z z =+=-=+------------------------------------------1Ω是半径为1、高为3的圆柱体 ------------------------------------------------1原式=()P Q R Pdydz Qdzdx Rdxdy dxdydz x y z ∑Ω∂∂∂++=-++∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰--------------2 dv Ω=-⎰⎰⎰3π=-．--------------------------------------------------------------------3 4．求411x y y e x x '+=的通解. 解： 1141[]'dx dx x x xye e e x ⎰⎰=-----------------------------------------------------------------------2则4[]'xxy e =-----------------------------------------------------------------------------------2有414xxy e C =+，---------------------------------------------------------------------------2故41()xy e C x=+.--------------------------------------------------------------------------1三、计算题（8分）和建制造，乐在共享。
高数历年考题(第一学期)
历年高等数学(A)Ⅰ期末考试卷1998级一． 试解下列各题（24分）1． 讨论极限112lim 21-+-→x x x x 2.求x dt e e xt t x cos 1)(lim 0 0--⎰-→ 3.求⎰xdx arccos4．求dx x x ⎰-2cos sin π二． 试解下列各题（35分）1． 若函数⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=1,11,01,1)(x x x x f 及x e x g =)(，确定)]([x g f 与)]([x f g 的间断点，指出其类型2． 设)(x y y =由方程y x x arctg y +=所确定，求y ' 3． 求⎰+41x x dx 4．求⎰+42sin 1πθθd 5．设)(x y y =由方程组⎩⎨⎧+=+=tt y arctgtt x 63所确定，求)(x y '' 三． 求圆域222)(a c y x ≤-+ )0(c a <<绕x 轴旋转而成的旋转体的体积（10分）四． 设有底面为等边三角形的一个直柱体，其体积为常量V （0>V ），若要使其表面积达到最小，底面的边长应是多少？（10分）五． 设函数f (x ) 在[0,1]上可导且0< f (x )<1，在(0,1)上有1)(' ≠x f ，证明在(0,1)内有且仅有一个x ，使f (x )=x .（8分）六． 连接两点M (3, 10, -5)和N (0, 12, z )的线段平行平面0147=-++z y x ，确定N 点的未知坐标（6分）七、自点P (2, 3, -5)分别向各坐标面作垂线，求过三个垂足的平面方程（7分）1999级一． 试解下列各题（30分） 1． 求)12(lim +-+∞→n n n n2．验证罗尔定理对32)(2--=x x x f 在[-1,3]上的正确性3．x arctgx x x 30sin lim -→ 4．求⎰++dx x x 1322 5．设)(x y y =由方程1=++y xy x 确定，求y ' 二．试解下列各题（28分）1．设⎩⎨⎧+=+=t t y t t x 2222，求22dx y d 2．求⎰-πθθ 0 3)sin 1( d 3．求⎰1 0 dx e x4．试求空间直线⎩⎨⎧-=+=7652z y z x 的对称式方程三．求由y = ln x , y =0和 x = 2所围图形的面积及该平面图形绕y 轴旋转所得旋转体的体积(12分)四． 求函数⎰+=xtdt t y 0arctan )1(的极小值（12分）五． 设j i a +=，k j b +-=2，求以向量b a,为边的平行四边形的对角线的长度(8分)六． 证明：当0≠x 时，有不等式x e x +>1（10分）一、试解下列各题(30分)1. 求x x x )3l n (2lim+∞→ ； 2. 求dx x x⎰-31 ； 3. 设x x e e y -+=，求y '' ；4. 求曲线)2()1(2-+=x x y 的凹凸区间；5. 求过球面9)4()1()3(222=++++-z y x 上一点2)- 0, ,1(p 的切平面方程。
武汉理工大学2012级高数A上期末考试
武汉理工大学考试试卷（A 卷）2012 ~2013 学年 1 学期 高等数学A （上） 课程 时间120分钟80 学时， 5 学分，闭卷，总分100分，占总评成绩 70 %，2013年01月 22日题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 合计 满分 15 15 40 10 12 8 100 得分一、选择题（本题共5小题，每题3分）1、若0x →时，tan x x -与kx 是同阶无穷小，则( )()A 0=k ()B 1=k ()C 2=k ()D 3=k2、已知()f x 在0x =处可导，且(0)0f =，则2330()2()lim x x f x f x x →-=( )()A 2(0)f '- ()B (0)f '- ()C(0)f ' ()D 03、曲线22+=1x xy x -渐近线的条数为( )()A 0 ()B 1 ()C 2 ()D 34、设(),()f x g x 具有二阶导数，且()0g x ''<.若0()g x a =是()g x 的极值，则[()]f g x 在0x x =处取极大值的一个充分条件是( )()A ()0f a '< ()B ()0f a '> ()C ()0f a ''< ()D ()0f a ''>5、设2sin (1,2,3)k x k I e xdx k π==⎰，则（ ）()A123I I I <<； ()B 321I I I <<； ()C 231I I I << ； ()D213I I I <<二、填空题（本题共5小题，每题3分）1、22lim sin1x xx x →∞=+ . 2、设1()1,x t f x e dt -=-⎰，则()y f x =的反函数1()x f y -=在0y =的导数0y dxdy==3、设()f x 的一个原函数为tan xx，则()xf x dx '=⎰ . 4、曲线211ln (1)42y x x x e =-≤≤的弧长s = . 5、某工程需用汽锤将桩打进土层，汽锤每次击打都将克服土层对桩的阻力而作功。
高数考试内容
高数考试内容一、选择题（每题3分，共30分）1. 设函数$f(x)=\sin x + \cos x$，则$f'(x)$等于（）A. $\cos x-\sin x$B. $\cos x+\sin x$C. $-\cos x-\sin x$D. $-\cos x+\sin x$答案：A。
解析：根据求导公式$(\sin x)'=\cos x$，$(\cos x)' =-\sin x$，所以$f(x)=\sin x+\cos x$的导数$f'(x)=\cos x-\sin x$。
2. 定积分$\int_{0}^{\pi}\sin xdx$的值为（）A. 0B. 1D. - 2答案：C。
解析：$\int_{0}^{\pi}\sin xdx=-\cos x\big _{0}^{\pi}= - (\cos\pi-\cos0)=-(-1 - 1)=2$。
3. 函数$y = \ln x$在点$(1,0)$处的切线方程为（）A. $y = x - 1$B. $y=-x + 1$C. $y = 0$D. $x = 1$答案：A。
解析：$y=\ln x$的导数$y'=\frac{1}{x}$，在点$(1,0)$处的切线斜率$k = y'\big _{x = 1}=1$，根据点斜式方程可得切线方程为$y - 0 = 1\times(x - 1)$，即$y=x - 1$。
4. 若向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec{b}=(x,4)$，且$\vec{a}\parallel\vec{b}$，则$x$的值为（）B. - 2C. 1D. -1答案：A。
解析：两向量平行，对应坐标成比例，即$\frac{1}{x}=\frac{2}{4}$，解得$x = 2$。
5. 极限$\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin x}{x}$的值为（）A. 0B. 1C. 不存在D. $\infty$答案：B。
高等数学统考卷11-12届附答案
高等数学统考卷 1112届附答案一、选择题（每题1分，共5分）1. 下列函数中，哪个函数是奇函数？A. y = x^3B. y = x^2C. y = x^4D. y = |x|A. 积分的上下限互换，积分值不变B. 被积函数乘以常数，积分值也乘以该常数C. 积分区间可加性D. 积分中值定理3. 下列极限中，哪个是正确的？A. lim(x→0) (sin x) / x = 0B. lim(x→0) (1 cos x) / x^2 = 1C. lim(x→∞) (1 / x) = 0D. lim(x→∞) (x^2 1) / x = 1A. ∫∫(x^2 + y^2) dxdyB. ∫∫xy dxdyC. ∫∫x dxdyD. ∫∫y dxdy5. 下列级数中，哪个是收敛的？A. 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + …B. 1 1/2 + 1/3 1/4 + …C. 1 + 2/3 + 4/9 + 8/27 + …D. 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + …二、判断题（每题1分，共5分）1. 高斯公式可以用来计算曲面积分。
（）2. 泰勒公式可以用来近似计算函数值。
（）3. 无穷小量相乘仍为无穷小量。
（）4. 拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广。
（）5. 偏导数连续必可微。
（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 函数f(x) = e^x 在x = 0处的导数值为______。
2. 曲线y = x^3 在点(1, 1)处的切线方程为______。
3. 若f(x, y) = x^2 + y^2，则f_x(1, 2) =______。
4. 设A为矩阵，若|A| = 0，则A为______矩阵。
5. 空间曲线r(t) = (cos t, sin t, t) 在t = π/2处的切线方向向量为______。
四、简答题（每题2分，共10分）1. 简述罗尔定理的内容。
2. 解释复合函数求导法则。
3. 举例说明什么是隐函数。
高数试题A卷试题及答案
４．若在区间（ａ，ｂ）内恒有ｆ'（ｘ）〈０，ｆ"（ｘ）〉０，则在（ａ，ｂ）
内曲线弧ｙ＝ｆ（ｘ）为 （ ）
①上升的凸弧 ②下降的凸弧 ③上升的凹弧 ④下降的凹弧
５．设Ｆ'(x) ＝ Ｇ'(x)，则 （ ）
① Ｆ(X)＋Ｇ(X) 为常数
ｄｐ
② 设ｙ'＝ｐ，则 ｙ"＝ ───
ｄｙ
ｄｐ
③ 设ｙ'＝ｐ，则 ｙ"＝ｐ───
３．下列说法正确的是 （ ）
①若ｆ（ X ）在 X＝Xo连续， 则ｆ（ X ）在X＝Xo可导
②若ｆ（ X ）在 X＝Xo不可导，则ｆ（ X ）在X＝Xo不连续
③若ｆ（ X ）在 X＝Xo不可微，则ｆ（ X ）在X＝Xo极限不存在
④若ｆ（ X ）在 X＝Xo不连续，则ｆ（ X ）在X＝Xo不可导
_______
R √R2－ｘ2
８．累次积分∫ ｄｘ ∫ ｆ（Ｘ2 ＋ Ｙ2 ）ｄｙ 化为极坐标下的累次积分为
____________。
0 0
n=1 n=1000
二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的（ ）内，
１～１０每小题１分，１１～２０每小题２分，共３０分）
（一）每小题１分，共１０分
１
高数试题 A卷
一、填空题（每小题１分，共１０分）
________ １
１．函数ｙ＝ａｒｃｓｉｎ√１－ｘ2 ＋ ────── 的定义域为
_________
３
ｘｙ
１７．ｌｉｍ ｘｙｓｉｎ ───── ＝ （ ）
x→0 ｘ2＋ｙ2
高数文C1期末A卷(12级)参考答案
y' (1 y' )e
x y ……3
e y ……3 分 x y 1 e 1 y
5、解：原式=
x
2
1 1 dx 2 d ( x 2 1) ……3 分， 1 x 1
arctanx ln(x2 1) C ……3 分
( x a) ( x) lim ( x) (a ) ……3 分 xa xa xa 1 6、解：原式 xd sin 2 x ……2 分， 2 1 ( x sin 2 x sin 2 xdx ) ……2 分， 2 1 1 x sin 2 x cos 2 x C ……2 分 2 4 lim
高等数学 C1 期末 A 卷参考答案及评分标准
2012~2013 第一学期 一、单项选择（共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）
题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8
C
D
A
1 4 x
A
D
C
二、填空题（共 8 空，每空 2 分，共 16 分）
1、 2
x
。 2、 1 。
3、e 。 4、3 。 5、0。6、250。7、
左=
0
1
(1 t )2 t10dt (1 t )2 t10dt x10 (1 x)2 dx =右……3 分
0 0
1
1
-1-
。8、 ex (2x2 1) C 。
2
三、计算题（共 9 小题，每小题 6 分，共 54 分）
1、解：
lim sin x x lim x0
sin x x ……2 分， x2
x sin x
x 0
lim
2012年考研高数一真题及解析
4n 2 4n 3 2 n x 2n 2n . x ( 2 n 1 ) x 2 2n 1 n 0 n 0 n 0 2n 1
由于
1 x2 x 2n 2 n 1 (1 x 1) = ( 2 n 1 ) x ( x ) ( ) (1 x 2 ) 2 1 x2 n 0 n 0
向量组线性相关的为 (A) 1 , 2 , 3 (B) （C）
1,2 ,4
(C) 1 , 3 , 4
1
(D)
2 ,3 ,4
1 0 0 (6) 设 A 为 3 阶矩阵， P 为三阶可逆矩阵，且 P AP 0 1 0 ， P (1,2 ,3 ) ， 0 0 2
1 2
y( x 1)e ， B f xy
2
x2 y2 2
x( y 1)e ，C f yy
2
1 2
x2 y 2 2
……6 分
2 1 在点（1,0）处，由于 B AC 2e 0 ， A 2e
0，
……8 分
1 2
故 f (1,0) e
sin 2 tdt
0 2 0
……9 分 ……10 分
1 4
(19) （本题满分 10 分） 已知 L 是第一象限中从点 (0, 0) 沿圆周 x2 y2 2x 到点 (2, 0) ，再沿圆周 x2 y 2 4 到点 (0, 2) 的曲线段，计算曲线积分 I
3x
(A)
（B）
0 0 2
2 0 0 (D) 0 2 0 0 0 1
与参数为 4 的指数分布，则 （A） (D)
扬州大学12级(下)高数期终试题A及答案
扬州大学12级(下)高数期终试题A及答案扬州大学2012级高等数学I （2）统考试卷(A)班级 学号 姓名 得分注意事项：1.本试卷共6页，3大题，20小题，满分100分，考试时间120分钟；2.请将试卷后所附的两张空白纸全部撕下作草稿纸。
一、选择题（每小题3分，共15分） 1．考虑二元函数),(y x f 的下面4条性质：①),(y x f 在点0(,)x y 处连续 ②偏导数00(,)x f x y '，00(,)y f x y '存在③),(y x f 在点00(,)x y 处可微 ④(,)xf x y '，(,)y f x y '在点00(,)x y 处连续 若“Q P ⇒”表示由性质P 推出性质Q ，则有【 】 Ａ.③⇒②⇒① Ｂ.②⇒③⇒① Ｃ.④⇒②⇒① Ｄ.④⇒③⇒② 2．设函数(,)z z x y =为由方程()x az y bz ϕ-=-所确定的函数，题号 选择题 填空题 11～12 13～14 15～16 17～18 19～20 扣分扣分其中ϕ为可导函数，,a b 为常数，则z z a b x y∂∂+=∂∂【 】Ａ.1 Ｂ.1- Ｃ.0 Ｄ.a b +3．若二重积分(,)d d Df x y x y ⎰⎰可化为二次积分1201d (,)d y y f x y x+⎰⎰，则积分域D 可表示为 【 】Ａ.{}(,)01,11x y x x y ≤≤-≤≤ Ｂ.{}(,)01,10x y x x y ≤≤-≤≤ Ｃ.{}(,)12,01x y x y x ≤≤≤≤- Ｄ.{}(,)12,11x y x x y ≤≤-≤≤4．下列级数收敛的是【 】 Ａ.11n n n ∞=+∑ Ｂ.2121n n n n∞=++∑ Ｃ.12(1)n n n ∞=+-∑Ｄ.212n n n ∞=∑5．设常数0>a ，则级数)1ln()1(1∑∞=+-n nna 【 】Ａ.绝对收敛 Ｂ.条件收敛 C .发散 Ｄ.敛散性与a 的取值有关二、填空题（每小题3分，共15分）6．设20sin d xyz t t=⎰，则全微分d z =．扣分7．设()223,z f x y x =+，其中f 具有二阶连续偏导数，则2zx y∂=∂∂ ．8．曲面222236x y z ++=在点(1,1,1)处的切平面方程为 .9．函数222(,,)2332f x y z x y z x y =+++-在点()0,1,1A 处沿该点梯度方向的方向导数为 ．10．设L 为圆周)0(222>=+R R y x ，则22()d Lxy s +=⎰Ñ ．三、计算题（每小题7分，共70分） 11．求函数33(,)3f x y x y xy =+-的极值．扣分12．计算二重积分d d Dxy x y ⎰⎰，其中D 是由直线12y x =，y x=，1y =所围成的闭区域．扣分13．求旋转抛物面22z x y=--位于xOy面上方部分的面1积．扣分14．计算曲线积分2(e )d (e )d xyLI x y x x y y =-++⎰Ñ，其中L 为圆周222x y x+=取逆时针方向．扣分15．计算三重积分d z v Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由圆锥面22z x y =+与平面1z =所围成的空间闭区域．扣分16．计算曲面积分14z S∑+，其中∑为抛物面22y xz +=在平面1=z 下方的部分．扣分17．计算曲面积分(1)d d (2)d d (3)d d I x y z y z x z x y ∑=+++++⎰⎰，其中∑为上半球面221z x y =--的上侧．18．求幂级数21212nn n n x ∞+=+∑的收敛域与和函数．扣分扣分19．将函数21()f x x x =+展开成(2)x -的幂级数．20．计算22(2)d (22)d 2Lx x x y yI x y ++=+⎰，其中L 是由点(1,0)-经抛物线21y x =-到点(1,0)的有向曲线弧．扣分扣 分2012级期终试题（A）参考答案及评分标准一、选择题（每小题3分，共15分）1．D 2. A 3. C 4. D 5.B二、填空题（每小题3分，共15分）6.22sin()d sin()d y xy x x xy y + 7.112166f xf ''''+ 8.2360x y z ++-= 9.7 10.32πR三、计算题（每小题7分，共70分） 11．2(,)33x f x y x y '=-， 2(,)33yf x y y x '=-；(,)6xx f x y x ''=，(,)3xyf x y ''=-，(,)6yyf x y y ''=． .....................................................2分由(,)0(,)0x y f x y f x y '=⎧⎨'=⎩得，22330330x y y x ⎧-=⎨-=⎩，解得驻点：(0,0)，(1,1)． ..................................1分 对于驻点(0,0)，0,3,0A B C ==-=，由于290AC B -=-<，故(0,0)f 不是极值；对于驻点(1,1)，6,3,6A B C ==-=，由于2270AC B -=>，且0A >，故(1,1)1f =-是极小值． .....................................................4分12．120d d d d y yDxy x y y xy x=⎰⎰⎰⎰.....................................................5分113400333d 288y y y ⎡⎤===⎣⎦⎰． .....................................................2分 13．()()22221d 122d xyxyD D z z A x y x y x y x y ⎛⎫∂∂⎛⎫=++=+-+- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ .................3分214d xyD ρρρ=+⎰⎰2π200d 14d θρρρ=+⎰⎰...................................................2分551π-=．.....................................................2分14．(12)d d DI y x y =+⎰⎰ ............................................................4分d d Dx y =⎰⎰π=． ...........................................................3分 15．10d d d d zD z v z z x yΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ..........................................................................................4分130πd z z=⎰ ....................................................................................................2分π4=． ....................................................................................................1分解法二2π11d d d d z v z zρθρρΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ....................................................................4分π4=． ....................................................................3分 16．14z S ∑+2214()d d xyD x y x y ⎡⎤=++⎣⎦⎰⎰ ................................................................4分2π120d (14)d θρρρ=+⎰⎰ .......................................................... 2分3π=． .................................................................................1分17．增补平面块221:0(1)z x y ∑=+≤，取下侧．由高斯公式得：11()(1)d d (2)d d (3)d d I x y z y z x z x y ∑+∑∑=-+++++⎰⎰⎰⎰乙 .....................................2分3d 3d d xyD v x yΩ=+⎰⎰⎰⎰⎰ .................................................................................3分2π3π5π=+=． .................................................................................2分 18．（1）2212122()(23)21()lim lim ()2(21)2n n n n n n n nu x n x x x u x n x ρ++++→∞→∞+==⋅=+．令()1x ρ<2x ⇒<22x ⇒-<<当2x = 0212n n ∞=+∑，是发散的． 故原级数的收敛域为（2，2）． .................................................3分（2）令2121()(22)2nn n n s x x x ∞+=+=<∑，则212122111000021()22222n n n n n n n n n n n n x x x x s x x ++∞∞∞∞+++===='''⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+====⎢⎥⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑∑∑..........2分22x x '⎛⎫= ⎪-⎝⎭2222(2)x x +=-(22)x <<． (2)分19．1(1)1n nn x x ∞==-+∑(11)x -<<． .................................................1分2111111111()2212(2)3(2)231123f x x x x x x x x x ==-=-=⋅-⋅--+++-+-++ (2)分001212(1)(1)2233nnn n n n x x ∞∞==--⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑ .................................................2分11011(1)(2)23n nn n n x ∞++=⎛⎫=--- ⎪⎝⎭∑ .................................................1分(04)x <<．.................................................1分20．令2222x P x y -=+，22222x y Q x y +=+，则222222224(2)Q x xy Px x y y∂-∂==∂+∂．于是，在不包含原点的单连通区域内曲线积分I 与路径无关． ..............................................2分 取路径1cos :2x t L y t =⎧⎪⎨=⎪⎩（t从π到），则 .................................................2分122(2)d (22)d 2L x y x x y yI x y ++=+⎰................................................1分π1(cos sin )(sin )+(2cos +2sin )cos 2t t t t t t t--=⎰πd t=⎰π=-．................................................2分注：如果少负号，则扣1分．。
高数(第一学期)及参考答案
×××学院×××—×××学年 第一学期 ×××专业《高等数学》课程期末试卷（A 卷）系 级 专业 班 学号 姓名- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 一、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）1． 由曲线2cos r θ=所围成的图形的面积是__________。
2． 设由方程22x y =所确定的隐函数为)(x y y =，则d y =_________。
3． 函数2sin y x =的带佩亚诺余项的四阶麦克劳林公式为___________。
4． 11dx =⎰__________。
5． 函数x x y cos 2+=在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π，上的最大值为_________。
6． 222222lim 12n nn nn n n n →∞⎛⎫+++⎪+++⎝⎭=_________。
二、选择题（共7小题，每小题3分，共21分）1. 设21cos sin ,0()1,0x x x f x x x x ⎧+<⎪=⎨⎪+≥⎩，则0x =是()f x 的 。
A ．可去间断点B ．跳跃间断点C ．振荡间断点D ．连续点2. 设()232x xf x =+-，则当0x →时，下列结论正确的是 。
A ．是等价无穷小与x x f )( B ．同阶但非等价无穷小与x x f )(C ．高阶的无穷小是比x x f )( D ．低阶的无穷小是比x x f )(3.1+∞=⎰。
A ．不存在B ．0C ．2π D ．π4. 设()f x 具有二阶连续导数，且(0)0f '=，0lim ()1x f x →''=-，则下列叙述正确的是 。
11-12高等数学试题(A)解答
广州大学2011-2012学年第一学期考试卷高等数学Ⅰ1（90学时）参考解答与评分标准一．填空题（每空2分，本大题满分30分） 1．曲线1cos 1x y x x=+有水平渐近线y =1和铅直渐近线x =1-.2．设1()(12)xf x x =+，则0lim ()x f x →=2e ，lim ()xf x →+∞=1.3．设2y x x =-，当2x =，0.01x ∆=时，y ∆=0.0301，d y =0.03.4．设sin sin cos x ty t t t =⎧⎨=+⎩，则d d y t =cos t t，d d yx=t.5．若点(1,2)为曲线326y ax x b =-+的拐点，则常数a =2，b =6.6．设22,0()1sin ,0x e bx a x f x x x x ⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩在点0x =处连续且可导，则常数a =1-，b =2-.7．设31()sin d xf x t t -=⎰，则(1)f =0，()f x '=3sin x ，(10)(0)f =9!6-.二．解答下列各题（每小题8分，本大题满分24分）1．求函数y=.解：y''=。
（2分）321(4)xx=-=。
（5分）y''=4=。
（8分）2．求曲线33(1)9y x y x+-+=在点1x=处的切线方程.解：将1x=代入曲线方程，得2y=，切点为(1,2). 。
（1分）曲线方程两边对x求导，得22d d3(1)30d dy yy y x xx x++-+=。
（5分）将1x=，2y=代入上式，得切线斜率1,2d5d12x yykx====-，。
（6分）切线方程为52(1)12y x-=--，即512290x y+-=. 。
（8分）3．求函数()cosxf x e x=的极大值和极小值.解：()cos sinx xf x e x e x'=-，。
高数I(一)A及答案
1 ⎧ ⎪ 1+ x , x ≥ 0 ⎪ 2．设 f ( x ) = ⎨ ⎪ cos x , x < 0 ⎪ ⎩ 2 + sin x
求
∫π
−
4
f ( x )dx ．
2
序号
封
3．设函数 y = f ( x) 由参数方程 ⎨ 班级
⎧ x = ln(1 + t 2 ) dy d 2 y 所确定，求 、 ． 2 d x d x = − y t t arctan ⎩
…… 5 分 …… 6 分
sin x (cos x ln x + )dx x
= ln( 2 +
序号
sin x ) − π + ∫
2
2t dt 01+ t
2
…… 4 分 …… 6 分
= ln 2 + 4 − 2 ln 3 3、已知 f ( x) 的一个原函数是 解：
⎧ x = ln(1 + t 2 ) dy d 2 y 3、设函数 y = f ( x) 由参数方程 ⎨ 所确定，求 、 . dx d x 2 ⎩ y = t − arctan t
． ．
2．设 f ( x) =
e x −1 e +1
1 x
，则 x = 0 是 f ( x) 的（ B. 跳跃间断点； D. 连续点．
） ．
1．函数 y = 学号
2 − x + ln( x − 1) 的定义域为
A. 可去间断点； C. 第二类间断点； 3． lim(e + x) x =（
x x →0 1
2015 年秋季学期 《高等数学 (一)》课程期末考试试卷（A 卷）
注意：1、本试卷共 3 页； 3、姓名、学号必须写在指定地方； 2、考试时间 110 分钟； 4、阅卷负责人签名： 1．设 f ( x) = x + ln(1 + x) ，当 x → 0 时，有（
《高等数学12》理工类试题与答案
《高等数学12》理工类试题一一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分，请将答案填在题中的横线上） 1、已知函数(,)y f x y xe -=，它在点(1,0)P 处的梯度等于 ． 2、过Z 轴和点0(2,3,4)M -的平面方程为 .3、空间曲线211x t t y t z t=+⎧⎪+⎪=⎨⎪⎪=⎩在点1t =处的切线方程为 .4、周期为2π的函数()f x 在[,)ππ-上的表达式为1,0(),0x x f x x x ππ+≤<⎧⎪=⎨-≤<⎪⎩，则它展开成傅里叶级数时的系数0a = .5、函数2222(,)2f x y x y x y =+-在区域{}22(,)4D x y x y =+≤上的最大值为 ． 二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分，每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） 1、设正项级数1n n u ∞=∑收敛，则下列级数一定收敛的是（ ）．（A ）11(1)n n n u ∞+=-∑； （B ）1n n u ∞=∑；（C ）11n nu ∞=∑ （D ）1()(0)n n u a a ∞=+>∑2、设直线l 为102x y z==-，则直线l （ ）. （A ）过原点且垂直于x 轴； （B ）过原点且垂直于y 轴； （C ）过原点且垂直于z 轴； （D ）不过原点也不垂直于坐标轴.3、求244x y y y xe '''-+=的特解时，应设（ ）． (A) *2()x y Ax B e =+； (B) *22x y Ax e =； (C) *2()x y x Ax B e =+； (D) *22()x y x Ax B e =+．4、设(,)f x y 为连续函数，则二次积分420d (,)d x xx f x y y =⎰⎰（ ）（A ）2414d (,)d y y y f x y x ⎰⎰； （B) 21440d (,)d y y y f x y x -⎰⎰； （C ）41104d (,)d y f x y x ⎰⎰； （D ）20144d (,)d y y y f x y x ⎰⎰.5、比较321I ()d ()d DDx y x y σσ=+=+⎰⎰⎰⎰2与I 的大小，其中积分区域D 是由圆周22(2)(1)1x y -+-=所围成,则（ ）(A) 12I I =； (B) 12I I ≥；(C) 12I I ≤； (D) 1I 和2I 不能比较大小.三、计算题（本题共5小题，1题6分，2、3、4题每题8分，5题10分，满分40分） 1、求向量{1,1,2}a →=--与{1,2,1}b →=-的夹角θ；2、设(,)z f x y =由方程222z x z y e -=所确定，求d z ；3、设2(2,)y z xf x x =，f 具有二阶连续偏导数，求2zx y∂∂∂.4、计算二重积分2()d d Dy x x y -⎰⎰， 其中D 由曲线2y x =和 1y =所围成的平面闭区域；5、已知立体Ω是由圆柱面221x y +=内部、平面4z =下方和抛物面221z x y =--上方部分围成，求22d x y V Ω+⎰⎰⎰.四、判断题（本题8分） 判定级数11(1)sin2n nn nππ-∞=-∑是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？五、综合题（本题共3小题，1题8分， 2、3题每题7分，满分22分）1、将函数2()4xf x x =+展开成x 的麦克劳林级数，并讨论级数的收敛域.2、求微分方程ln 2(ln 1)xy x y x x '+=+的通解.3、求微分方程(1)xxe yy e '+=满足初始条件00x y==的特解.《高等数学12》理工类试题一答案一、填空题(每题3分,共15分)1、_____i j →→-或{1,1}-_____. 2、______320x y +=______.3、_____221112x y z ---==-_____. 4、 ______1______. 5、___8或8f =最大 或(0,2)8f ±=最大______.二、选择题（每小题 3分，共 15分）1、A.2、B.3、D.4、A.5、C.三、 （本题共5小题，1题6分，2、3、4题每题8分，5题每题10分，共40分） 1、解：（6分）cos a b a b θ→→→→⋅=⋅………2分1221cos 266a ba bθ→→→→⋅-++===⋅………3分3πθ=………1分.2、解：（8分）222z z z x zy x x e ∂∂-=∂∂， z z xx z ye∂=∂+ ………3分 222z z z z z y y y e e ∂∂-=+∂∂， z zz e y z ye ∂-=∂+ ………3分 d z z x dx z ye =+zze dy z ye-++ ………2分. 3、解：（8分）令f 对2x 的偏导数记为1f '，对2yx的偏导数记为2f '，1f '对2y x 的偏导数记为12f ''，2f '对2y x 的偏导数记为22f ''， ………1分2212122[2()]2z y y f x f f f xf f x x x∂''''=++-=+-∂ ………4分2221222222222[][]z y y y y yf x f f f x y x x x x x∂''''''=⋅+⋅--⋅∂∂ 31222224y yf f x''''=-. ………3分. 4、解：（8分）如图所示,211221()d d ()xDy x x y dx y x dy --=-⎰⎰⎰⎰ ………4分221121241111[][]222x y x y dx x x dx --=-=-+⎰⎰351111[]2310x x x -=-+ ……2分 815=. ……2分5、解：（10分）如图所示 , ……2分221422201d r x y V d r dr dz πθ-Ω+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰……3分1223510012(3)2[]5r r dr r r ππ=+=+⎰ ………3分 125π=………2分 四、（本题8分）解：（8分）考察111(1)1sinsin 22n nnn n nnππππ-∞∞==-=∑∑，因为11sin 2nnn πππ≤(1)n ≥ ………4分 而11q π=<，所以几何级数11nn π∞=∑是收敛的，故11(1)sin2n nn nππ-∞=-∑绝对收敛，原级数收敛.………4分五、（本题共3小题，1题8分， 2、3题每题7分，满分22分）1、解：（8分）因为，21()414x f x x =⋅+，又因为01(1),(11)1n n n x x x ∞==--<<+∑， ………2分所以，()f x =221100(1)()(1)444n n n n n n n x x x +∞∞+==-=-∑∑. ………3分 222321121lim (1)/(1)lim 4444n n n n n n n n x x x x ρ+++++→∞→∞=--==. 当214xρ=<，即22x -<<时，级数绝对收敛；当2x =-时，级数111000(2)441(1)(1)(1)4242n n nn n n n n n n ∞∞∞+++===-⋅-=-=-⋅∑∑∑发散， 当2x =时，级数100241(1)(1)42n nn n n n ∞∞+==⋅-=-∑∑发散，级数收敛域为(22)x -<<.所以，()f x 2110(1)4n nn n x +∞+==-∑，(22)x -<< ………3分2、解：（7分）因为112(1)ln ln dy y dx x x x+=+是一阶线性微分方程，所以由 ()()[()]P x dxP x dxy e Q x e dx C -⎰⎰=+⎰ ………2分11ln ln 1[2(1)]ln dx dx x x x xy e e dx C x-⎰⎰=++⎰ln(ln )[(2ln 2)]x e x dx C -=++⎰ ……3分11[2ln 2][2(ln )2]ln ln xdx dx C x x x x C x x=++=-++⎰⎰ 2ln C x x =+.所以，通解为2ln Cy x x=+ ………2分 3、解：因为1xxe ydy dx e =+是变量可分离微分方程，所以由 1xx e ydy dx e =+⎰⎰ ………2分21ln(1)2x y e C =++ 22ln(1)x y e C =++ （其中12C C =） ……3分由00x y==，得002ln(1)e C =++2ln 2C =-特解为： 22ln(1)2ln 2xy e =+-. ……2分。
高数(1)期末考试模拟题 (1)
lim
1 1. x 0 2(1 x ) 2
1 x2
------------------------------(1分)
x) 2.(6分) lim(cos x 0
e
1 2
11
d2 y 3.(7分)设 x te , y 2t t ,求 2 |t 0 dx
t 2
2
的n阶导数 y =
x
( n)
( 1)n n ! ( x 1)n1
.(
1 (n) 3 x
)
( 1)n1 n ! ( x 3)n1
.
高阶导数：1.直接法 2.间接法
(e x )( n ) e (sin x )( n ) sin( x n ) 2 n ) (cos x)( n) cos( x 2 n! ( 1 )( n ) ( 1)n xa ( x a )n 1 1 )( n ) ( 1)n 1 ( 1 )( n ) ( xa x a
12
函数的极值及其求法
f(x)在x0的某Ů(x0, ), 对xŮ (x0, ), 恒有 f(x) < f(x0)则f(x0)为f(x)的一个极大值. f(x) > f(x0)则f(x0)为f(x)的一个极小值.
(极值存在的必要条件): f(x)在x0处可导,点x0为f(x)的极值点, 则f(x0)=0. 第一充分条件:f(x)在x0处连续 , 在x0 的某Ů (x0, )内可导 过 由正变负 为极大值 过 由负变正 为极小值 第二充分条件: f(x)在x0处具有二阶导数 为极大值 为极小值
y 3
3
x
4 3
1 2
当 x 0 时，F ( x)与 x 2 是等价无穷小,求 f (0).
高数(A卷)+答案+评分标准
武夷学院期末考试试卷（ 2012 级 建设 专业2012～2013 学 年 第 一 学 期） 课程名称 高等数学 A 卷 考试形式 闭卷 考核类型 考试 本试卷共 四 大题，卷面满分100分，答题时间120分钟。
一、选择题：（本大题共10小题，每小题2分，共20分。
）(注:请将选项填在下面表格里。
）1、dx x)11(⎰-=A ．21x C x -+ B ．21x C x++ C ．ln ||x x C -+ D ．ln ||x x C ++ 2、以下函数奇偶性不同于其他三项的是（ ）A ．33)(x x x f +=；B ． )1)(1()(+-=x x x x f ；C ．35)(x x x f -=；D ． x x e e x f -+=)(。
3、若'F (x)=f(x),则⎰=)(x dF ( )A ．f(x)；B ．F(x)； C. f(x)+C ；D ．F(x)+C 。
4、3232lim x x x +∞→= ( )A ．∞；B ．0；C ．31； D ．-1。
5、设函数)(x f 在),(+∞-∞内二阶可导，且)()(x f x f -=如果当0>x 时，,0)('>x f 且,0)(">x f 则当0<x 时，曲线)(x f y =（ ）。
A ．递减，凸的； B.递减，凹的；C. 递增，凹的；D. 递增，凸的。
6、下列命题正确的是（ ）A. 驻点一定是极值点；B.驻点不是极值点；C. 驻点不一定是极值点；D. 驻点是函数的零点。
7、设22z x y xy =+，则zx ∂=∂A ．22xy y +B ．22x xy +C ．4xyD ．22x y +8、下面函数相同的一组是（ ） A.x y x y 2cos 1,sin -==； B. 2ln ,ln 2x y x y ==； C.x y x y lg 4,lg 4==； D.x x y y 23,3==。
11-12下高数1期末考试试卷参考答案修改版
栏 息
姓名
9．设 z e ，则 dz =
xy
信
订
（A） e dx 得分 阅卷人
xy
（B） e xy ( xdy ydx)
（D） e xy ( x y)
级 班级
三、计算题（每题 6 分，共 18 分） 请 ， 把答案写在问题的下面。
生
1．求过点 (3,1, 2) 且通过直线 考
x4 y3 z 的平面方程。 5 2 1 解法一： 因平面通过点 (3,1, 2) 和点 (4, 3, 0) ， 所以向量 {1, 4, 2} 与平面平行。
(3,4) (1,2)
(6xy 2 y3 )dx (6x2 y 3xy 2 )dy 与路径无关并计
双叶旋转双曲面
x y z 1 0 (2x y) f1 ' yf2 '
答案
n
lim un 1 0
第 1 页 共 7 页
1．
( x , y )( 0, 0 )
lim
xy xy 4 2
=
4
2. 若 L 为连接 1,0 及 0,1 两点的直线段，则曲线积分
( x y)ds =_____________
L
3. 设 y e x (C1 cos2x C2 sin 2x) 为某方程的通解，其方程为 4. 改换积分的次序
dx
0
1
x 0
f ( x, y)dy dx
1
2
2 x 0
f ( x, y)dy =_________________．
(1 sin
2 2
3
) d
R3 4 R3 R3 3 2 = ( sin d ) = 3 9 3 2
2012年高等数学一II期末试卷A
高等数学一II 2012年6月期末试卷A一．选择题 （5⨯4分= 20 分）1.设向量)2,,4()1,2,1(m b a -=-=与垂直，则有____________（A ）m = -1 （B ）m = 0 （C ）m = 1 （D ）m = 22．设)2cos(y x z +=，则=∂∂xz ____________ （A ）)2cos(y x + （B ）)2sin(2y x +- （C ）)2sin(2y x + （D ）)2cos(2y x +3．曲线积分⎰L ydx =_________，其中L 是半径为2，圆心为原点，按逆时针方向的上半圆。
（A ）0 （B ）π （C ）π2- （D ）π24．已知 ∑∞==13n n u，∑∞==12n n v ， 则 =-∑∞=1)2(n n n v u ____________（A ）∞- （B ）∞+ （C ）1- （D ）1二．填空题 （5⨯4分 = 2０ 分）1 设 x y e z =， 则 全微分dz =______2 .交换积分次序⎰⎰=100),(x dy y x f dx _______ 3.曲线积分ds e L y x ⎰+22=_____________，其中L 为圆周122=+y x 位于第一象限部分。
4．设)(x f 是以π2为周期的周期函数，其在[⎩⎨⎧<≤<≤--=-ππππx x x f 0,10,1)(),上的表达式为 则)(x f 的付里叶（fourier ）级数的和函数在x =0处的值为____________5.曲面积分⎰⎰∑ds =_____________其中∑为球面1222=++z y x 三．解答题（６０分）1．某厂要做一个体积为83m 的长方体有盖水箱 ，问长、宽、高各为多少时用料最省（8分）２．判别级数的敛散性（１２分） （１）∑∞=++1311n n n （２）∑∞=122n n n 3.求幂级数∑∞=--12)2()1(n n nx n 的收敛域。
广东金融学院12级高等数学上册A卷试题及答案.
广东金融学院2012/2013学年第 1 学期考试试题( A 卷课程名称：高等数学课程代码：考试方式：闭卷考试时间： 120 分钟系别____________ 班级__________ 学号___________ 姓名___________一、填空题(本题共5小题，每小题3分，共15分1.的定义域。
2．曲线上点（0，0）处的法线方程为 .4．若，则5. 设，则= 。
二、单项选择题(本题共5小题，每小题3分，共15分：6. 当x→0时，与比较是( 。
A. 高阶无穷小量B. 低阶无穷小量C. 同阶无穷小量D. 等价无穷小量7.下列结论中（）错误．A．在不连续，则一定在处不可微B在不可导，则一定在处不连续C．函数的极值点不一定是驻点,驻点也不一定是极值点.D．函数的极值点不一定是不可导点,不可导点也不一定是极值点.8.函数的间断点是（）A． B．C． D．无间断点9函数及其图形在区间上（）.A.单调减少上凹B.单调增加上凹C.单调减少上凸D.单调增加上凸10若，则必有 (A BC D三、计算题(本题共8小题，每小题5分，共40分11．12. 求14．15．设，求16.方程确定y是x的隐函数，求.17. 求不定积分18. 求定积分四、综合应用题(本题共3小题，每小题8分，共24分9五、证明题(本题共1小题，每小题6分，共6分22、证明：当时，一、填空题(本题共5小题，每小题3分，共15分1.2.3. 满足2a+b=的所有值。
4.5.二、单项选择题(本题共5小题，每小题3分，共15分1.C2.B3.A4.B5.C三、计算题(本题共8小题，每小题5分，共40分1．解：原式--- -- -- -- (1’ -- -- -- -- -( 2’ - -- -- -- -- - - ( 3’ -- -- - - ( 5’-- -- -- ( 2’ -- -- - ( 4’ -- - ( 5’--- -- ( 1’ -- -- -- ( 2’ -- -- -- ----- ( 3’ -- -- -- -- - --( 4’ ---- -- -- -- -- ( 5’4．= ==0----- -- -- ( 2’ ---- -- -- ( 4’ ---- -- --( 5’5．解：---- -- -- -- -- -- -- -- ( 1’- - -- -- -- -- -- -- -- -- ( 3’- --- -- -- -- -- -- -- -- ( 5’6.方程两边关于x求导得：(2’由此得：(4’(5’7.= (2’=(3’(4’(5’8---- -- - ( 4’ --------- ( 5’四、综合应用题(本题共3小题，每小题8分，共24分1．---- -- -- -- -- -- -------- -（1’）---- -- -- -- -- -- -------- -（2’）---- -- -- -- -- -- -------- -（3’）所以f (x在x=0 处连续---- -- -- -- -- -- -------- -（4’）--（5’）---- -- -- -- -- -- -------- -（6’）---- -- -- -- -- -- -------- -（7’）- -- -- -- -------- -（8’）- -- -- -- -- -- -------- ----------------（1’）- -- -- -- -- -- -------- -------------------（3’）- -- -- -- -- -- -------- -------------------（4’）五、证明题(本题共1小题，每小题6分，共6分令， -- -- -- -- -- -------- ----------------（1’）-- -- -- -- -- -------- ----------------（3’）因此在内单调减，-- -- -- -- -- -------- ----------------（4’）所以，即-- -- -- -- -- -------- ----------------（6’）。
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西南财经大学本科期末考试试卷（A）课程名称：高等数学担任教师：谢果等考试学期：2012 - 2013学年第1学期专业：全校各专业学号：年级：2012 姓名：考试时间：2012年月曰（星期）午出题教师必填：1、考试类型：闭卷［7］开卷［］（____ 页纸开卷）2、本套试题共五道大题,共—页，完卷时间120分钟。
3、考试用品中除纸、笔、尺子外，可另带的用具有：计算器［］字典［］__________ 等（请在下划线上填上具体数字或内容，所选［］内打钩〉考生注意事项：1、出示学生证或身份证于桌而左上角，以备监考教师查验。
2、拿到试卷后清点并检查试卷页数，如有重页、页数不足、空白页及刷模糊等举手向监考教师示意调换试卷。
3、做题前请先将专业、年级、学号、姓名填写完整。
4、考生不得携带任何通讯工具进入考场。
5、严格遵守考场纪律。
-、填空题（每小题2分，共20分）Vsinx + 1 -1 门--------------- x 01.函数/(%) = < ln(l + x) _____________ 在兀=0处连续，贝％二ax = 02. 设厂(1) = 3,则 lim /(1)7(1-力) __________________ . 2 X 3・1HB 竺fZ 1 -兀2兀2 —14. ____________________________________________ 函数门劝=—的无穷间断点为 _________________________________________________ ・— 3x + 25•设/(x)可导 y = f(e x ),则 y"=7. _____________________________________________________ 已知 f\e x) = \ + x,则/(x) = ___________________________________________________ . 8・a= ___________ , b = ____________ 时，点(1,3)是曲线y = ax 3+bx 2的拐点。
9. 定积分£加斗x =.' 1 "I" X10. 若 J f(x)dx = cos 22兀 + C ,贝ij f(x) = _________________ L答案：1. — ； 2. 6 ； 3. — ； 4. x = 2 ； 5. e xf\e x) + e 2v/*(e v) ； 6. 2 ； 7・ xInx + c ；3 9 兀8. a = --,b = ~； 9・-；10. -2sin4x ；2 2 2二、单项选择题(每小题2分，共10分) 1. 函数/(x)连续，贝ijlim 亠「/⑴力=().5 x-a Ja A. 0B. a6. 己知需求函数为p 100逅,则需求价格弹性为C. af(a)D. f(a)B. cos 2xdx = 〃(sin2x) D. d(x 2) = (dx)22.下列各微分式正确的是( )A. xdx = d(x2)C. dx - -t/(5 -x)3.当X x o吋，6f（x）,/?（x）都是无穷小，则当X x o吋（）不j定是无穷小.B.，（对 + 02（兀）A. |a(x)| + |y^(x)|C ・ ln[l + a (兀)• 0(兀)]a 2(x)丽4. f.f - 4^ = () J \x J x(1A A. f ― +CI x 丿 C. / — +CW5.若lim "处+ J ,则必有(XT2 x --x -2 A. a = 2,b = 8C. a = 0,Z? = —81 AB. —f ——+Cl 兀丿 <1 AD. -f - +C l 兀丿)■B. a = 29b = 5 D. a = 2,/? = —8答案：CCDDD三、计算下列各题（每小题7分，共49分） 1-求极限吧Jl + xsinx 一 cos 2xxtanx解法一 limXT O vl + xsinx-cos2xxtanxlim XT O 1 + xsinx-cos^ 2x x tan x(Vl + xsinx + cos 2x)（2分）1 - 1 + xsinx-cos" 2x =—lim ----------------------2 YT ° x tan x（1分）1 zl . xsinx 1-cos2 2x x 石(映=+映一L) x 2 （2分）1 zl . xsinx .. sin2 2x x=—(lim ——；—+ lim ；—)2 x->0 x "TO x 1 对 (2x\ A =—(lim —+ lim —5—) 2 “TO x - XT O X-= 1(1 + 4) = -2 2解法二 lim Vl + xsinx-cos2^ = Um Vl^sin^ -14-1 - cos 2xXT O rtan Y 兀T Oxtanxx tan x （1分） （1分）（3分）3.“ Jl + xsinx-l - l-cos2x=lim ------------------ Film ----------XTO xtanx XTO xtanx1xsinx=lim—~-——XT O犷1" 5二一+2=—2 2解法三洛比达法则x = te2te l+e y=2+ liiJ — cos2兀XT O（2分）（1分）（1分）2.由方程确定y是x的函数, 求乞及烂dx dx"/=解方程两边对r求导力加/丄9-2/—=e + 2tedtVf y dy A dy e e+e y— = O^>— =—— dt dt ee lydy R' ]~dx _ 0 + 2r0 _ e v+2/(l + 2r) _ _ d(l + 2f)(2-R)( ----------- --------- )z. ”(l + 2r)(2_”)(0+2^)Ldx2由方程"心+sin（A>O = l确定y是x的函数，求©以及函数在dx程.解方程两边对X求导e v+J(14- /)4-cos(xy)(xy z4- j) =0 讥兀)二05+ycos(心)e x+y 4-xcos(xy)x= o,j = o, y(o)=-i 函数在x = O 处的切线方程为严-兀。
（3分）（2分）（2分）兀=0处的切线方（3分）（2分）（1分）（1分）4.已知/(x) = \ ln(l + x3),x< 0 2. 1 j求厂⑴。
x sin — , x > 0x解由于/（0） = 0 ,则厂(0) = lim 呗 + *)一° = I曲兰=0 XT O-O x~0 XT O-O x （2分）…1 JT sin r(«)= lim——兀T0+0 xlim xsin— = 0XT0+0 %由/_(0) = /+(0),得/(对在x = 0处可导,口广（0） =0。
于是3兀$1 +尹2xsin--cos-, x>0x<05・求不定积分严解法—（不市心必1rd(e2x-l)2' (e2x-l)2D J (一1)2 t-- ----- -dt」(尸-1)2丄•亠+c2 r-1（2分）（3分）（3分）（2分）（2分）（2分）（1分）（2分）（1分）（1分）6・求定积分F爸呼弘解法一令t = 4x ,则（1分）7.计算定积分£'|111 x\dx.e解|lnxpZr = £(-lnx )6Zx +1 \nxdx r e 1= [-(xlnx-x)]| +[xlnx-x]ee四、应用题(每小题8分，共16分)1. 某商品的需求价格函数为2 = 150-2p\其中0为商甜的价格,. （1） 求当p = 6时的边际需求，并说明其经济意义；（2） 当p = 6时，欲使总收益增加，应该提价还是降价？说明理由。
解⑴边际需求函数为Q' = ~4p （1分） 当p = 6时， 边际需求为0/,二6 =-4此=6 =-24（1分）其经济意义为当p = 6时，在此基础上商品价格增加1个单位时，其需求量将降低24个单位；商品价格减少1个单位时，其需求量将增加24个单位。
（2分）石 arcsin 長」_ 2t arcsin t 彳\_ ____________________________=£2 arcsin fd(-2〕1-尸)___ 1=（-2口町吨+2皿解法二心环arcsm 血 R6（2分） （2分） （1分）（1分）（3分）（3分）（1分）（3分） （3分） （1分）当厂6时，需求价格弹性为一工,1 因为AR = （\ + 5）QAp ,于是（2分）则△/?与》异号.此时，降价（Ap<0）将使总收益增加；提价（△〃 > 0）将使总收益 （1分）2. 某商店每年供应电冰箱15000台，每台存入仓库一年要交库存费20元，分期 分批进货，然后均匀投入使用（此时平均库存量为批量的一半），每次进货的手续费 为250元，问欲使一年所花的手续费及库存费之和最小，该商店每次应进多少台电 冰箱？ 一年屮应分几批进货？解：设每次进货为x 台，则一年应分空2批，己知每批进货手续费为250元，所以一年手续费为250X 空也故当x = 250V6-612台时，£（兀）取最小值，即每次进612台电冰箱才能使一年的总五、证明题（5分）设a >b > 0,n > 1,证明：（a-b ） < a n -b n < na"~］（a 一b ）.（1分）减少。
又知年库存费为20元，库存量为兰，所以一年库存费为20x 兰,（2分）（3分）（1分）费用最小，一年应分匕型=25批进货。
（2分） 故一年总费用令 E\x ） = 0得 x = 250>/6证令f（x） = x n,（1分）显然,/（兀）在［以］上连续，在（％）内可导,所以，于（兀）在［Q,切上满足拉格朗日中值定理条件，故至少存在使&『r、(x 72?若n (07r、(o (l r(2©)c m 恳i(al b )S I (al b ) A an—b = A F0~—-(alb)2®)。