人教A版高中数学必修四 3.2 《简单的三角恒等变换》教案
人教版高一数学必修四3.2简单的三角恒等变换教案
三角恒等变换一、教学目标1：能够熟练运用两角之差及两角之和的正余弦、正切公式解决问题； 2：辅助角公式的应用；3：能够解决三角函数的图像与性质有关的综合应用问题。
二、教学重点与难点 与辅助角公式相关的三角函数综合问题三、教学过程1、复习•引入 两角和与差的正弦公式()sin αβ+=_________________________________()sin αβ-=_________________________________ 口答：利用公式展开sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭=_____________________ 反之,αα化简为只含正弦的三角比的形式，则可以是αα=_____________________________ 尝试：将以下各式化为只含有正弦的形式，即化为)sin(βα+A ()0A >的形式（11cos 2αα+ （2）sin αα2、辅助角公式•推导对于一般形式ααcos sin b a +（a 、b 不全为零），如何将表达式化简为只含有正弦的三角比形式？sin cos ))a b αααααβ++其中辅助角β由cos sin ββ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩β（通常πβ20<≤）的终边经过点(,)a b------------------我们称上述公式为辅助角公式，其中角β为辅助角。
3、例题•反馈例１、试将以下各式化为)sin(βα+A ()0A >的形式.（11cos 2αα- （2）ααcos sin +（3αα （4）ααcos 4sin 3-例2、试将以下各式化为)sin(βα+A （),[,0ππβ-∈>A ）的形式.（1）sin cos αα-（2）ααsin cos - （3）cos αα-例3、若sin(50)cos(20)3x x +++=，且0360x ≤<，求角x 的值。
例42)cos()12123x x ππ+++=，且 02x π-<<，求sin cos x x -的值。
高中数学必修四(人教新A版)教案29简单的三角恒等变换
所以 当且仅当
即 时， 取得最大值 ，此时S取得最大值 ，矩形的宽为
即长、宽相等，矩形为圆内接正方形.
2
高中数学必修四课时教案
教
学过Βιβλιοθήκη 程及方法
问题与情境及教师活动
学生活动
（2）设角为自变量，设对角线与一条边的夹角为 ，矩形长与宽分别为
、 ，所以面积 .
而 ，所以 ，当且仅当 时，S取最大值 ，所以当且仅当 即 时，S取最大值，此时矩形为内接正方形.
高中数学必修四课时教案
备课人
授课时间
课题
§3.2简单的三角恒等变换(2)
课标要求
进一步掌握三角恒等变换的方法，如何利用正、余弦、正切的和差公式与二倍角公式，对三角函数式进行化简、求值和证明：
教
学
目
标
知识目标
熟练掌握三角公式及其变形公式
技能目标
抓住角、函数式特点，灵活运用三角公式解决一些实际问题．
情感态度价值观
培养学生观察、分析、解决问题的能力
重点
和、差、倍角公式的灵活应用
难点
如何灵活应用和、差、倍角公式的进行三角式化简、求值、证明
教
学
过
程
及
方
法
问题与情境及教师活动
学生活动
一、复习
1、（用提问的方式复习前面学过的十一个公式）
两角和与差的余弦、正弦、正切公式：
二倍角的正弦、余弦、正切公式
2、已知sin（α+β）= ，sin（α-β）= ，求 的值。
变式：已知半径为1的半圆，PQRS是半圆的内接矩形如图，问P点在什么位置时，矩形的面积最大，并求最大面积时的值．
人教A版高中数学必修四河北省容城学教案简单的三角恒等变换
3.2简单的三角恒等变换（三）教学目标知识与技能目标熟练掌握三角公式及其变形公式．过程与能力目标抓住角、函数式得特点，灵活运用三角公式解决一些实际问题． 情感与态度目标培养学生观察、分析、解决问题的能力．教学重点和、差、倍角公式的灵活应用．教学难点如何灵活应用和、差、倍角公式的进行三角式化简、求值、证明． 教学过程例1：教材P141面例4例1. 如图，已知OPQ 是半径为1，圆心角为3π的扇形，C 是扇形弧上的动点，ABCD 是扇形的内接矩形.记∠COP ＝α，求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积最大？并求出这个最大面积.例2：把一段半径为R 的圆木锯成横截面为矩形的木料，怎样锯法能使横截面的面积最大？（分别设边与角为自变量）解：（1）如图，设矩形长为l ，则面积224l R l S +=，所以,4)()4(22222222l R l l R l S +-=-=当且仅当,224222R R l == 即R l 2=时，2S 取得最大值44R ，此时S 取得最大值22R ，矩形的宽为R R R 2222=即长、宽相等，矩形为圆内接正方形.（2）设角为自变量，设对角线与一条边的夹角为θ，矩形长与宽分别为θsin 2R 、θcos 2R ，所以面积θθθ2sin 2sin 2cos 22R R R S =⨯=.而12sin ≤θ，所以22R S ≤，当且仅当12sin =θ时，S 取最大值22R ，所以当且仅当︒=902θ即︒=45θ时， S 取最大值，此时矩形为内接正方形.变式：已知半径为1的半圆，PQRS 是半圆的内接矩形如图，问P 点在什么位置时，矩形的面积最大，并求最大面积时的值．解：设,α=∠SOP 则,sin α==OS SP 故S 四边形PQRS ααsin cos 2sin =⨯=故α为︒45时，1max =SO课堂小结建立函数模型利用三角恒等变换解决实际问题.课后作业1. 阅读教材P.139到P.142;2. 《习案》作业三十五.。
简单的三角恒等变换教学设计
简单的三角恒等变换教学设计（第1课时）一、教学内容与学情分析本节课教学内容是《普通高中课程标准实验教科书·数学（4）》（人教A版）中第三章的第二节“简单三角恒等变换”（第一课时）．本节课主要研究如何让利用已有的三角函数公式进行简单的恒等变换，以及三角恒等变换在数学中的应用，引导学生对变换对象和变换目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何让选择共识，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力。
二、教学目标1．知识和技能目标（1）掌握运用和（差）角公式、倍角公式进行三角变换的方法和思路；（2）弄清代数变换与三角变换的不同点2．过程和方法目标（1）能够利用换元、逆用公式等方法对三角函数式进行恒等变换，化简三角函数式，提高学生的推理能力；（2）弄清代数变换与三角变换的不同点，认真体会三角变换的特点，提高推理、运算能力；（3）由特殊到一般，由具体到抽象，不断提升学生的探究能力和数学思维能力，培养学生学数学地思考问题、解决问题。
3．情感和价值目标（1）认识事物之间的的区别和联系，体会事物的变化是有规律的唯物主义思想．（2）提高学生的数学能力，培养学生的创新精神、实践能力和理性精神．三、教学重难点1．教学重点：（1）半角公式、积化和差、和差化积公式的推导训练（2）三角变换的内容、思路和方法,在与代数变换相比较中体会三角变换的特点2．教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力四、教法选择1．观察学习是重要的学习方法．这节课采用的第一个方法就是“观察、比较法”；2．根据新课标的教学理念，教学中要培养学生合作共事的团队精神，这节课还采用了“合作、讨论法”，让学生共同探讨、合作学习、取长补短、形成共识．五、学法指导对于求函数的最值，高三学生已经具备了良好的知识基础，剩下的问题就是有没有一种更一般的方法，能运用于更多更复杂函数的求最值问题？教学设计中注意激发起学生强烈的求知欲望，使得他们能积极主动地观察、分析、归纳，以形成认识，参与到课堂活动中，充分发挥他们作为认知主体的作用．六、教学过程设计本节课的教学，大致按照“创设情境，铺垫导入——合作学习，探索新知——指导应用，鼓励创新——归纳小结，反馈建构”四个环节进行组织．（一）、创设情境，铺垫导入1、复习回顾（1）三角函数的和（差）角公式（2）三角函数的倍角公式2、问题引入问题1：α与2α有什么关系？ 问题2：化简：（1） = _______ （2）1 -= _________（3）= _________（二）合作学习，探索新知例题1.试cos 表示、、教师活动：引导学生联想关于余弦的二倍角公式，将公式中的 替换成 。
简单的三角恒等变换(教案)
简单的三角恒等变换(一)张掖中学 宋娟一、教学目标知识与技能：理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并会利用公式进行简单的恒等变形，体会三角恒等变形在数学中的应用；过程与方法：通过二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦、正切公式，体会化归、方程、逆向使用公式的数学思想，提高学生推理能力；情感、态度与价值观：通过例题的讲解，让学生体会化归、变形使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生推理能力. 二、教学重、难点教学重点：利用公式进行简单的恒等变换；教学难点：利用倍角公式推出半角公式，并利用变形的方法解决问题. 三、教学方法：探究式教学法. 四、教学类型：新授课. 五、教学内容复习引入(学生组织完成)问题1：和差角的正弦、余弦、正切公式(六个)； 问题2：二倍角的正弦、余弦、正切公式(三个)； 问题3：二倍角的变形公式(四个). 新课讲解思考1(学生组织完成)：如何用cos α表示222sin cos tan 222ααα、、？分析：观察α与2α的关系是2倍的关系，所以我们要利用刚刚学过的二倍角的变形公式.解：α是2α的二倍角.在倍角公式2cos 212sin αα=-中，以α代替2α，以2α代替α，即得2cos 12sin 2αα=-，所以21cos sin 22αα-=； ①在倍角公式2cos 22cos 1αα=-中，以α代替2α，以2α代替α，即得2cos 2cos 12αα=-，所以21cos cos 22αα+=. ②将①②两个等式的左右两边分别相除，即得21cos tan 21cos ααα-=+.思考2：若已知cos α，如何计算sincos tan 222ααα、、？sincos tan 222ααα=== (半角公式) 强调：“±”号由2α所在象限决定. 例1：已知5sin 13α=，且2παπ<<，求tan 2α的值.解512sin cos 13213,tan24222tan tan 522πααπαππαπααπαα=<<∴=-<<∴<<∴>=====因为且又由公式例2 求证sin 1cos tan 21cos sin ααααα-==+ 证明22sin sin2cossin sin 222tan21cos cos cos 2cos 2cos 2222sin sin 2sin 2sin1cos 2222tan2sin sin coscos2sin222αααααααααααααααααααααα⋅====+⋅⋅-====⋅利用例2的结论，再做一下例1，比较两种方法.例3 已知3sin 25θ=，022πθ<<，求22cos sin 12)4θθπθ--+.分析：由降幂公式知22cos 1cos 2αα=+，故有cos sin cos sin θθθθ-=+原式 ﹡ 此处有两种处理方法：方法一、由已知求出cos sin θθ、的值，带入﹡式计算，即可得到结果; 方法二、由﹡继续变形，将半角化为倍角进行计算. 解法一22cos sin......cos sin020cos0,sin02434sin2,02cos2525cos212sin2cos1sin121010θθθθππθθθθπθθθθθθθθ-=*+<<∴<<∴>>=<<==-=-∴==**==原式由由得又带入式得解法二222cos sincos sin(cos sin)(cos sin)(cos sin)12sin cos1sin2......cos sin cos234sin2,02cos252532115544255θθθθθθθθθθθθθθθθπθθθ-=+-=+---==*-=<<=*-*==原式由得带入式得=小结：对于例3，我们从不同角度出发，解法一先利用倍角计算半角，再带入求值，解法二先利用半角化为倍角，再带入求值.在三角恒等变换中,正所谓“条条大路通罗马”.在以后的学习当中，此类问题是三角恒等变换中常见的问题.万丈高楼平地起，在此告诫同学们，基础知识的理解和必要的记忆是很重要的，所以在以后的学习中，不管题目如何变化，都有一个固定的解题理论，那就是我们的倍角公式，及其逆用，掌握好了基础的理论知识，不管题目如何变化，我们都能将他们各个击破.所谓“咬定青山不放松，任尔东南西北风”.下面我们来分小组讨论一下这一个问题：(练一练)化简22221sin sin cos cos cos2cos22αβαβαβ⋅+⋅-⋅.分析：1.从“角”入手,倍角化半角;2.从“幂”入手,利用降幂公式将次;3.从“形”入手,利用配方法.本题目至少有6种解法，请同学们讨论完成.课堂小结三个数学方法1.从“角”入手,倍角化半角(半角化倍角);2.从“幂”入手,利用降幂公式将次(利用升幂公式升次);3.从“形”入手,利用配方法(分母有理化、分子有理化).两个人生哲理1.条条大路通罗马;2.咬定青山不放松，任尔东南西北风.布置作业习题3.2A组1(1)、(2)、(4)、(5)课后反思。
人教版高中数学必修4-3.2《简单的三角恒等变换(第2课时)》教学设计
3.2.3简单的三角恒等变换（第2课时）杨峻峰一、教学目标（一）核心素养通过本节课的学习，了解化简三角函数式及证明三角恒等式的要求，掌握化简三角函数式及证明三角恒等式的常规技巧和方法．从中体会、学习换元思想、方程思想及化归思想．（二）学习目标能正确地运用三角函数的有关公式进行三角函数式的求值，化简与恒等式的证明．（三）学习重点有关公式的灵活应用及一些常规技巧的运用．（四）学习难点认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，有从整体上把握变换过程的能力.二、教学设计（一）课前设计1.预习任务读一读：（1）化简三角函数式：化简三角函数式的要求：①能求值的应求值；②使式子次数尽量低、项数尽量少；③使三角函数的种类尽量少；④尽量使分母及被开方数不含三角函数；⑤将高级运算表为低级运算.化简三角函数式的方法：一些常规技巧：“1”的代换，切割化弦，和积互化，化非特殊角为特殊角，异角化同角，异名函数化为同名三角函数，异次化为同次，切割化弦等．（2）三角恒等式的证明：三角恒等式的证明要求：利用已知三角公式通过恒等变形，论证所给等式左、右相等.三角恒等式包括有条件的恒等式和无条件的恒等式．①无条件的等式证明的基本方法是化繁为简、左右归一、变更命题等，使等式两端的“异”化为“同”；②有条件的等式常用方法有：代入法、消去法、综合法、分析法等．2.预习自测（1）化简：cos104sin 80sin10︒︒-=︒__________. 【知识点】两角差的正、余弦公式．【解题过程】cos104cos10sin10cos102sin 20cos104sin 80sin10sin10sin10︒︒︒-︒︒-︒︒-==︒︒︒()2sin 20cos 3020sin10︒-︒-︒====︒． 【思路点拨】将所求式子通分后化简，再逆用两角差的正、余弦公式．【答案】（2）若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos 24παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2α=__________. 【知识点】两角和与差的余弦函数公式． 【解题过程】cos 24παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即cos sin 4cos 2ααα+=， 两边平方，得()22cos sin 16cos 2ααα+=，即()21sin 2161sin 2αα+=-， 解得： 15sin 216α=或sin 21α=-， 由0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得()20,απ∈，所以15sin 216α=． 【思路点拨】将已知式子左边利用两角和与差的余弦函数公式进行化简，右边利用同角三角函数基本关系进行变形．【答案】1516． （3）已知02πα<<，4sin 5α=，则cos 2sin 2παα⎛⎫++ ⎪⎝⎭的值为__________.。
2020-2021学年数学人教A版必修4学案：3.2 简单的三角恒等变换
3．2 简单的三角恒等变换[目标] 1.记住三角恒等变换常用公式． 2.能够利用三角函数公式进行简单的三角函数式的化简、求值和证明．[重点] 三角恒等变换常用公式． [难点] 三角恒等变换的化简与求值．知识点一 降幂公式与半角公式[填一填][答一答]1．半角公式中“±”号如何选取？ 提示：符号由α2所在象限决定．2．已知sin θ＝45，且5π2<θ<3π，则sin θ2＝－255，cos θ2＝－55，tan θ2＝2.解析：∵sin θ＝45，5π2<θ<3π， ∴cos θ＝－1－sin 2θ＝－35， ∵5π4<θ2<3π2， ∴sin θ2＝－1－cos θ2＝－1＋352＝－255. cos θ2＝－1＋cos θ2＝－1－352＝－55.tan θ2＝sin θ2cos θ2＝2(或tan θ2＝sin θ1＋cos θ＝451－35＝2)．知识点二 常见的三角恒等变换[填一填]1．a sin α＋b cos α ＝a 2＋b 2(sin α·a a 2＋b 2＋cos α·ba 2＋b2) ＝a 2＋b 2sin(α＋φ)．(其中令cos φ＝a a 2＋b 2，sin φ＝ba 2＋b2)2．sin 2α＝1－cos2α2，cos 2α＝1＋cos2α2，sin αcos α＝12sin2α.[答一答]3．如何确定上述辅助角公式中的φ值？提示：可以由sin φ和cos φ的符号来确定φ所在的象限，由sin φ或cos φ的值确定角φ的大小．4．填空：(1)sin α±cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π4. (2)3sin α±cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π6. (3)sin α±3cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π3.类型一 半角公式的应用[例1] (1)设5π<θ<6π，cos θ2＝a ，则sin θ4等于( ) A.1＋a 2 B ．1－a 2 C ．－1＋a 2D ．－1－a 2(2)若sin(π－α)＝－53且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α2＝________.[解析] (1)由题知，5π<θ<6π，cos θ2＝a ，则54π<θ4<32π，则sin θ4＝－1－cos θ22＝－1－a2.故选D.(2)∵sin(π－α)＝－53，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，32π， ∴sin α＝－53，cos α＝－23，又∵α2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，34π，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α2＝cos α2＝－1＋cos α2＝－66.[★★答案★★](1)D(2)－66已知θ的某个三角函数值，求θ2的三角函数值的步骤是：(1)利用同角三角函数基本关系式求得θ的其他三角函数值；(2)代入半角公式计算即可.[变式训练1]已知α∈(－π2，0)，cosα＝45，则tanα2＝(D) A．3B．－3C.13D．－13解析：因为α∈(－π2，0)，且cosα＝45，所以α2∈(－π4，0)，tanα2＝－1－cosα1＋cosα＝－1－451＋45＝－13，故选D.类型二三角恒等式的化简与证明[例2]已知π<α<3π2，化简：1＋sinα1＋cosα－1－cosα＋1－sinα1＋cosα＋1－cosα.[解]原式＝⎝⎛⎭⎪⎫sinα2＋cosα222⎪⎪⎪⎪⎪⎪cosα2－2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sinα2＋⎝⎛⎭⎪⎫sinα2－cosα222⎪⎪⎪⎪⎪⎪cosα2＋2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sinα2，∵π<α<3π2，∴π2<α2<3π4. ∴cos α2<0，sin α2>0.∴原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α22－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α222⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α2 ＝－sin α2＋cos α22＋sin α2－cos α22＝－2cos α2.三角恒等变换是指依据三角函数的有关公式、定理，对三角函数式进行某种变形的过程，凡三角问题几乎都要通过三角恒等变换来解决.具体步骤如下：(1)发现差异——观察角、名、形三方面的差异；(2)寻找联系——根据式子的结构特征，找出差异间的联系； (3)合理转化——选取恰当的公式，进行恒等变形，促使差异转化. [变式训练2] 化简sin4α4sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α得( A )A ．sin2αB ．cos2αC ．sin αD ．cos α解析：∵4sin 2⎝⎛⎭⎪⎫π4＋αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝4cos 2⎝⎛⎭⎪⎫π4－αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝2cos2α，∴原式＝sin4α4sin 2⎝⎛⎭⎪⎫π4＋αtan ⎝⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin4α2cos2α＝2sin2αcos2α2cos2α＝sin2α. 类型三 三角恒等变换的应用命题视角1：三角恒等变换与三角函数性质的结合[例3] 函数f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1的最小正周期是________，单调递减区间是________．[解析] 由题意知，f (x )＝12sin2x ＋12(1－cos2x )＋1＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋32，所以最小正周期T ＝π.令π2＋2k π≤2x －π4≤3π2＋2k π(k ∈Z )，得k π＋3π8≤x ≤k π＋7π8(k ∈Z )，故单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8＋k π，7π8＋k π(k ∈Z )．[★★答案★★] π [3π8＋k π，7π8＋k π](k ∈Z )讨论三角函数的性质一般要把三角函数化为y ＝A sin (ωx ＋φ)，y ＝A cos (ωx ＋φ)，y ＝A tan (ωx ＋φ)的形式才能进行讨论.[变式训练3] 已知函数f (x )＝sin x －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，则函数的值域为[－1,1]，对称轴方程为x ＝56π＋k π(k ∈Z )．解析：f (x )＝sin x －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝sin x －32cos x －12sin x＝12sin x －32cos x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3则函数f (x )的值域是[－1,1]．令x －π3＝π2＋k π，k ∈Z ，得x ＝56π＋k π，k ∈Z . 所以函数f (x )的对称轴方程为x ＝56π＋k π(k ∈Z)． 命题视角2：三角恒等变换与平面向量的结合[例4] 在平面直角坐标系xOy 中，点A (cos θ，2sin θ)，B (sin θ，0)，其中θ∈R .(1)当θ＝2π3时，求向量AB →的坐标； (2)当θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求|AB →|的最大值．[解] (1)由题意得AB →＝(sin θ－cos θ，－2sin θ)，当θ＝2π3时，sin θ－cos θ＝sin 2π3－cos 2π3＝1＋32，－2sin θ＝－2sin 2π3＝－62，所以AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32，－62. (2)因为AB →＝(sin θ－cos θ，－2sin θ)， 所以|AB →|2＝(sin θ－cos θ)2＋(－2sin θ)2 ＝1－sin2θ＋2sin 2θ＝1－sin2θ＋1－cos2θ ＝2－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π4.因为0≤θ≤π2，所以π4≤2θ＋π4≤5π4. 所以当2θ＋π4＝5π4时，|AB →|2取到最大值， |AB →|2＝2－2×⎝⎛⎭⎪⎫－22＝3，即当θ＝π2时，|AB →|取到最大值 3.三角恒等变换与平面向量的坐标运算相结合是常见的题型，这种题型往往体现了三角恒等变换的工具性．[变式训练4] 已知A ，B ，C 是△ABC 三内角，向量m ＝(－1，3)，n ＝(cos A ，sin A )，且m·n ＝1，则角A ＝( D )A.π2B.π6C.π4D.π3 解析：∵m·n ＝1，∴(－1，3)·(cos A ，sin A )＝1，即3sin A －cos A ＝1，∴2⎝⎛⎭⎪⎫sin A ·32－cos A ·12＝1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝12.∵0<A <π，∴－π6<A －π6<5π6， ∴A －π6＝π6，∴A ＝π3.命题视角3：三角恒等变换的实际应用[例5] 有一块以O 为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD 开辟为绿地，使其一边AD 落在半圆的直径上，另外两点B ，C 落在半圆的圆周上，已知半圆的半径长为a ，如何选择关于点O 对称的点A ，D 的位置，可以使矩形ABCD 的面积最大？[分析] 在△AOB 中利用∠AOB 表示OA ，AB 的长→ 表示矩形面积：2OA ·AB →得到面积与角间的函数关系→ 通过求函数的最值得到面积的最值 [解]画图如图所示，设∠AOB ＝θ(θ∈(0，π2))，则AB ＝a sin θ，OA ＝a cos θ. 设矩形ABCD 的面积为S ，则S ＝2OA ·AB ，即S ＝2a cos θ·a sin θ＝a 2·2sin θcos θ＝a 2sin2θ.∵θ∈(0，π2)，∴2θ∈(0，π)，当2θ＝π2，即θ＝π4时，S max ＝a 2，此时，A ，D 距离O 点都为22a .解决实际问题应首先设定主变量角α以及相关的常量与变量，建立含有角α的三角函数关系式，再利用三角函数的变换、性质等进行求解.求三角函数最值的问题，一般需利用三角函数的有界性来解决.[变式训练5] 某工人要从一块圆心角为45°的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1 m ，求割出的长方形桌面的最大面积(如图)．解：如图，连接OC ，设∠COB ＝θ，则0°<θ<45°，OC ＝1.∵AB ＝OB －OA ＝cos θ－AD ＝cos θ－sin θ， ∴S 矩形ABCD ＝AB ·BC ＝(cos θ－sin θ)·sin θ＝－sin 2θ＋sin θcos θ＝－12(1－cos2θ)＋12sin2θ ＝12(sin2θ＋cos2θ)－12＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π4－12.当2θ－π4＝0，即θ＝π8时，S max ＝2－12(m 2)．∴割出的长方形桌面的最大面积为2－12m 2.1．已知cos α＝－15，π2<α<π，则sin α2等于( D ) A ．－105 B.105 C ．－155 D ．155 解析：∵π2<α<π，∴π4<α2<π2， ∵cos α＝－15，∴sin α2＝1－cos α2＝155.2．下列各式中，值为12的是( B ) A ．sin15°cos15°B ．cos 2π6－sin 2π6C.tan30°1－tan 230° D ．1＋cos60°2解析：A 中，原式＝12sin30°＝14； B 中，原式＝cos π3＝12；C 中，原式＝12×2tan30°1－tan 230°＝12tan60°＝32； D 中，原式＝cos30°＝32，故选B.3．函数y ＝12sin2x ＋sin 2x ，x ∈R 的值域是( C )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，12 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22＋12，22＋12 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22－12，22－12 解析：y ＝12sin2x ＋sin 2x ＝12sin2x －12cos2x ＋12＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋12.故函数值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22＋12，22＋12. 4．若α∈(0，π)，且cos α＋sin α＝－13，则cos2α＝179.解析：∵(cos α＋sin α)2＝19，∴sin αcos α＝－49， 而sin α>0，∴cos α<0.∴cos α－sin α＝－(cos α＋sin α)2－4sin αcos α＝－173. ∴cos2α＝cos 2α－sin 2α＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)＝－13×⎝⎛⎭⎪⎫－173＝179. 5．证明：sin α＋11＋sin α＋cos α＝12tan α2＋12.证明：∵左边＝2tanα21＋tan2α2＋11＋2tanα21＋tan2α2＋1－tan2α21＋tan2α2＝tan2α2＋2tanα2＋11＋tan2α2＋2tanα2＋1－tan2α2＝⎝⎛⎭⎪⎫tanα2＋122tanα2＋2＝12⎝⎛⎭⎪⎫tanα2＋1＝12tanα2＋12＝右边．∴等式成立．——本课须掌握的三大问题1．学习三角恒等变换，千万不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法的理解，要学会借助前面几个有限的公式来推导后继公式，立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式．2．辅助角公式a sin x＋b cos x＝a2＋b2sin(x＋φ)，其中φ满足：①φ与点(a，b)同象限；②tanφ＝ba(或sinφ＝ba2＋b2，cosφ＝aa2＋b2)．3．研究形如f(x)＝a sin x＋b cos x的函数性质，都要运用辅助角公式化为一个整体角的正弦函数或余弦函数的形式．因此辅助角公式是三角函数中应用较为广泛的一个重要公式，也是高考常考的考点之一．对一些特殊的系数a，b应熟练掌握．感谢您的下载!快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！感谢您的下载!快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！。
人教A版高中数学必修四 3.2《简单的三角恒等变换》教学设计
3.2《简单的三角恒等变换》教学设计【教学目标】1会用已学公式进行三角函数式的化简、求值和证明，引导学生推导半角公式，积化和差、和差化积公式（公式不要求记忆），2使学生进一步提高运用转化、换元、方程等数学思想解决问题的能力. 【导入新课】 习引入：复习倍角公式2S α、2C α、2T α先让学生默写三个倍角公式，注意等号两边角的关系，特别注意2C α.既然能用单角表示倍角，那么能否用倍角表示单角呢？ 新授课阶段半角公式的推导及理解 ： 例1、 试以cos α表示222sin,cos ,tan 222ααα．解析：我们可以通过二倍角2cos 2cos12αα=-和2cos 12sin 2αα=-来做此题．（二倍角公式中以α代2α，2α代α） 解：因为2cos 12sin 2αα=-，可以得到21cos sin22αα-=； 因为2cos 2cos12αα=-，可以得到21cos cos 22αα+=． 两式相除可以得到222sin 1cos 2tan21cos cos 2ααααα-==+． 点评：⑴以上结果还可以表示为：sin 2cos2αα==tan2α=并称之为半角公式（不要求记忆），符号由2α角的象限决定.⑵降倍升幂公式和降幂升倍公式被广泛用于三角函数式的化简、求值、证明.⑶代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换，三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择可以联系他们的适当公式，这是三角式恒等变换的重要特点.例2 求证： （１）()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦； （２）sin sin 2sincos22θϕθϕθϕ+-+=．解析：回忆并写出两角和与两角差的正余弦公式，观察公式与所证式子的联系. 证明：（１）因为()sin αβ+和()sin αβ-是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边着手．()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-．两式相加得()()2sin cos sin sin αβαβαβ=++-；即()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦； （２）由（１）得()()sin sin 2sin cos αβαβαβ++-=①；设,αβθαβϕ+=-=，那么,22θϕθϕαβ+-==．把,αβ的值代入①式中得sin sin 2sincos22θϕθϕθϕ+-+=．点评：在例２证明中用到了换元思想，（１）式是积化和差的形式，（２）式是和差化积的形式，在后面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积的公式．例３ 求函数sin y x x =的周期，最大值和最小值．解析：利用三角恒等变换，先把函数式化简，再求相应的值.解： 1sin 2sin 2sin 23y x x x x x π⎛⎫⎛⎫==+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，所求的周期22T ππω==，最大值为２，最小值为2-．点评：例３是三角恒等变换在数学中应用的举例，它使三角函数中对函数()sin y A x ωϕ=+的性质研究得到延伸，体现了三角变换在化简三角函数式中的作用．课堂小结用和（差）角公式、倍角公式进行简单的恒等变换.我们要对三角恒等变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法加深认识，学会灵活运用．作业课本p143 习题3.2 A 组1、（1）（5） 3 、5 拓展提升1．已知cos （α+β）cos （α－β）=31，则cos 2α－sin 2β的值为（ ） A ．－32B ．－31C ．31D ．32 2．在△ABC 中，若sin A sin B =cos 22C ，则△ABC 是（ ）A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．不等边三角形D ．直角三角形3．sin α+sin β=33（cos β－cos α），且α∈（0，π），β∈（0，π），则α－β等于（ ）A ．－3π2 B ．－3π C ．3π D ．3π2 4．已知cos （α+β）cos （α－β）=31，则cos 2α－sin 2β的值为（ ） A ．－32B ．－31C ．31D ．32 5．在△ABC 中，若sin A sin B =cos 22C，则△ABC 是（ ）A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．不等边三角形D ．直角三角形6．sin α+sin β=33（cos β－cos α），且α∈（0，π），β∈（0，π），则α－β等于（ ）A ．－3π2 B ．－3π C ．3πD ．3π2 7．已知sin （α+β）sin （β－α）=m ，则cos 2α－cos 2β等于（ ） A ．－mB ．mC ．－4mD ．4m二、填空题8．sin20°cos70°+sin10°sin50°=_________． 9．已知α－β=3π2，且cos α+cos β=31，则cos （α+β）等于_________． 三、解答题10．已知f （x ）=－21+2sin 225sin xx ，x ∈（0，π）． （1）将f （x ）表示成cos x 的多项式； （2）求f （x ）的最小值．12．已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 满足：A +C =2B ，B C A cos 2cos 1cos 1-=+，求cos 2CA -的值．13． 已知sin A +sin3A +sin5A =a ，cos A +cos3A +cos5A =b ， 求证：（2cos2A +1）2=a 2+b 2．14．求证：cos2x+cos2（x+α）－2cos x cosαcos（x+α）=sin2α．15．求函数y=cos3x·cos x的最值．参考答案一、选择题：1．C 2． B 3． D 4．C 5． B 6． D 7． B 二、填空题：8．41 9．－97 三、解答题10．解：（1）f （x ）=2cos 23cos 22sin 2sin 23cos 22sin 22sin 25sinx x x xxx x x ==-=cos2x +cos x =2cos 2x +cos x －1．（2）∵f （x ）=2（cos x +41）2－89，且－1≤cos x ≤1， ∴当cos x =－41时，f （x ）取得最小值－89． 11 分析：本小题考查三角函数的基础知识，利用三角公式进行恒等变形和运算的能力． 解：由题设条件知B =60°，A +C =120°， ∵－︒60cos 2=－22，∴CA cos 1cos 1+=－22． 将上式化简为cos A +cos C =－22cos A cos C ， 利用和差化积及积化和差公式，上式可化为 2cos2C A +cos 2CA -=－2［cos （A +C ）+cos （A －C ）］， 将cos2C A +=cos60°=21，cos （A +C ）=cos120°=－21代入上式得cos 2CA -=22－2cos（A －C ），将cos （A －C ）=2cos 2（2C A -）－1代入上式并整理得42cos 2（2C A -）+2cos 2C A -－32=0，即［2cos2C A -－2］［22cos 2CA -+3］=0． ∵22cos2C A -+3≠0，∴2cos 2CA -－2=0． ∴cos2C A -=22．12．证明：由已知得⎩⎨⎧=+=+，，b A A A a A A A 3cos 2cos 3cos 23sin 2cos 3sin 2 ∴⎩⎨⎧=+=+.)12cos 2(3cos )12cos 2(3sin b A A a A A ，两式平方相加得（2cos2A +1）2=a 2+b 2． 13．证明：左边=21（1+cos2x ）+21［1+cos （2x +2α）］－2cos x cos αcos （x +α） =1+21［cos2x +cos （2x +2α）］－2cos x cos αcos （x +α） =1+cos （2x +α）cos α－cos α［cos （2x +α）+cos α］ =1+cos （2x +α）cos α－cos αcos （2x +α）－cos 2α =1－cos 2α=sin 2α =右边，∴原不等式成立． 14．解：y =cos3x ·cos x =21（cos4x +cos2x ） =21（2cos 22x －1+cos2x ） =cos 22x +21cos2x －21 =（cos2x +41）2－169． ∵cos2x ∈［－1，1］， ∴当cos2x =－41时，y 取得最小值－169； 当cos2x =1时，y 取得最大值1．。
最新必修四3.2 简单的三角恒等变换(教案)
3.2 简单的三角恒等变换教案 A教学目标一、知识与技能1．理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式．2．会利用公式进行简单的恒等变形，体会三角恒等变换在数学中的应用．二、过程与方法通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．三、情感、态度与价值观通过经历二倍角的变形公式推导出半角的正弦、余弦和正切公式，能利用和与差的正弦、余弦公式推导出积化和差与和差化积公式，体会化归、换元、方程、逆向使用公式等数学思想，提高学生的推理能力．教学重点、难点教学重点：1．半角公式、积化和差、和差化积公式的推导训练．2．三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点．教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力．教学关键：三角变换思路的引导．教学突破方法：引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形．教法与学法导航教学方法：启发诱导，讲练结合.学习方法：自主探究，合作交流.教学准备教师准备：多媒体，尺规.学生准备：练习本，尺规.教学过程一、创设情境，导入新课我们知道变换是数学的重要工具，也是数学学习的主要对象之一，三角函数主要有以下三个基本的恒等变换：代数变换、公式的逆向变换和多向变换以及引入辅助角的变换．前面已经利用诱导公式进行了简单的恒等变换，本节将综合运用和（差）角公式、倍角公式进行更加丰富的三角恒等变换．收集于网络，如有侵权请联系管理员删除收集于网络，如有侵权请联系管理员删除二、主题探究，合作交流 提出问题： ①α与2α有什么关系？ ②如何建立cos α与sin 22a之间的关系？ 师生互动：教师引导学生联想关于余弦的二倍角公式cos α=1-2sin 22α，将公式中的α用2α代替，解出sin 22α即可．教师对学生的讨论进行提问，学生可以发现：α是2α的二倍角．在倍角公式cos2α=1-2sin 2α中，以α代替2α，以2α代替α，即得cos α=1-2sin 22α，所以sin 22α=2cos 1α-． ①在倍角公式cos2α=2cos 2α-1中，以α代替2α，以2α代替α，即得cos α=2cos 22α-1，所以cos 22α=2cos 1α+． ②将①②两个等式的左右两边分别相除，即得 tan 22α=ααcos 1cos 1+-． ③ 教师引导学生观察上面的①②③式，可让学生总结出下列特点： (1)用单角的三角函数表示它们的一半即是半角的三角函数；(2)由左式的“二次式”转化为右式的“一次式”(即用此式可达到“降次”的目的)．三、拓展创新，应用提高例1 试以cos α表示222sin ,cos ,tan 222ααα．解：我们可以通过二倍角2cos 2cos 12αα=-和2cos 12sin 2αα=-来做此题．因为2cos 12sin 2αα=-，可以得到21cos sin 22αα-=；因为2cos 2cos 12αα=-，可以得到21cos cos 22αα+=．收集于网络，如有侵权请联系管理员删除又因为222sin 1cos 2tan 21cos cos 2ααααα-==+． 思考：代数式变换与三角变换有什么不同？活动：教师引导学生通过这两种变换共同讨论归纳得出：对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此，三角恒等变换常常先寻找式子所包含的各个角间的联系，并以此为依据，选择可以联系它们的适当公式，这是三角恒等变换的重要特点．代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．例2．求证：（１）()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦； （２）sin sin 2sin cos22θϕθϕθϕ+-+=． 证明：（１）因为()sin αβ+和()sin αβ-是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边着手．()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-． 两式相加得()()2sin cos sin sin αβαβαβ=++-； 即()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦； （２）由（１）得()()sin sin 2sin cos αβαβαβ++-=； ① 设,αβθαβϕ+=-=，那么,22θϕθϕαβ+-==．把,αβ的值代入①式中得sin sin 2sin cos22θϕθϕθϕ+-+=． 点评：例２证明中用到换元思想，（１）式是积化和差的形式，（２）式是和差化积的形式，在后面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积的公式．例３求函数sin y x x =的周期，最大值和最小值．解：sin y x x =+这种形式我们在前面见过，1sin 2sin 2sin 23y x x x x x π⎛⎫⎛⎫===+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，所求的周期2π2πTω==，最大值为２，最小值为2-．点评：例３是三角恒等变换在数学中应用的举例，它使三角函数中对函数()siny A xωϕ=+的性质研究得到延伸，体现了三角变换在化简三角函数式中的作用．例4如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为3π的扇形，C是扇形弧上的动点，ABC D 是扇形的内接矩形．记∠COP=α，求当角α取何值时，矩形ABC D的面积最大？并求出这个最大面积．活动：要求当角α取何值时，矩形ABC D的面积S最大，先找出S与α之间的函数关系，再求函数的最值．找S与α之间的函数关系可以让学生自己解决，得到：S=AB·BC=(cosα33-sinα)sinα=sinαcosα-33-sin2α．求这种y=a sin2x+b sin x cos x+c cos2x函数的最值，应先降幂，再利用公式化成A sin(ωx+φ)型的三角函数求最值．教师引导学生思考：要求当角α取何值时，矩形ABC D的面积S最大，可分两步进行：(1)找出S与α之间的函数关系；(2)由得出的函数关系，求S的最大值．解：在Rt△OBC中，BC=cosα，BC=sinα，在Rt△OA D中，OADA=tan60°=3，所以OA=33D A=33BC=33sinα．所以AB=OB-OA=cosα33-sinα．设矩形ABC D的面积为S，则收集于网络，如有侵权请联系管理员删除收集于网络，如有侵权请联系管理员删除S =AB ·BC =(cos α33-sin α)sin α=sin αcos α33-sin 2α =21sin2α+63cos2α-63=31(23sin2α+21cos2α)-63=31sin(2α+6π)-63． 由于0<α<3π，所以当2α+6π=2π，即α=6π时，S 最大=31-63=63．因此，当α=6π时，矩形ABC D 的面积最大，最大面积为63．点评：可以看到，通过三角变换，我们把形如y =a sin x +b cos x 的函数转化为形如y =A sin(ωx +φ)的函数，从而使问题得到简化．这个过程中蕴涵了化归思想．此题可引申即可以去掉“记∠COP =α”，结论改成“求矩形ABC D 的最大面积”，这时，对自变量可多一种选择，如设A D=x ，S =x (x x 3312--)，尽管对所得函数还暂时无法求其最大值，但能促进学生对函数模型多样性的理解，并能使学生感受到以角为自变量的优点．四、小结1．先让学生自己回顾本节学习的数学知识：和、差、倍角的正弦、余弦公式的应用，半角公式、代数式变换与三角变换的区别与联系．积化和差与和差化积公式及其推导，三角恒等式与条件等式的证明．2．教师画龙点睛总结：本节学习了公式的使用、换元法、方程思想、等价转化、三角恒等变形的基本手段．课堂作业1．20cos 10cos 20sin 10sin ++的值是（ ） A ．tan10°+tan20° B ．33C ．tan5°D ．2-3 2．若α-β=4π，则sin αsin β的最大值是（ ）收集于网络，如有侵权请联系管理员删除A ．422- B ．422+ C ．43D ．1 3．已知sin α+sin β+sinγ=0，cos α+cos β+cosγ=0，则cos(β-γ)的值是（ ） A ．1 B ．-1 C ．21 D ．21- 4．若cos αsin x =21，则函数y =sin αcos x 的值域是（ ） A ．［23-，21］ B ．［21-，21］ C ．［21-，23］ D ．［-1，1］5．log 2(1+tan19°)+log 2(1+tan26°)=______________． 6．已知函数f (x )=cos2x cos(π3-2x )，求f (x )的单调递减区间、最小正周期及最大值． 参考答案：1．D 2．B 3．D 4．B 5．16．f (x )=21［cos π3+cos(4x -π3)］=21cos(4x -π3)+41，由2k π≤4x -π3≤2k π+π(k ∈Z )，得原函数的单调递减区间是［π2k +π12，π2k +π3］(k ∈Z )，T =π2，最大值是43．教案 B教学目标一、知识与技能1．熟练掌握和、差、二倍角公式，根据问题的条件灵活进行公式变形．2．加强对换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力． 二、过程与方法通过三角变换，加强学生对换元、逆向思维等思想方法的认识． 三、情感、态度与价值观体会变换中形变而质不变的哲理． 教学重点、难点1． 教学重点：引导学生以已有的十一个公式为依据，以推导积化和差、和差化积、收集于网络，如有侵权请联系管理员删除半角公式的推导作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力．2．教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力． 学法讲授式教学． 教学设想一、情境设置学习和（差）公式，倍角公式以后，我们就有了进行变换的工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富，这为我们的推理、运算能力提供了新的平台．下面我们以习题课的形式讲解本节内容．二、探究新知例1 化简:.cos sin 1cos sin 1xx xx ++-+解:原式=)2sin 2(cos 2cos 2)2cos 2(sin 2sin 22cos 2sin 22cos 22cos 2sin 22sin 222x x x x x x x x x x x x ++=++=tan 2x . 点评：本题是对基本知识的考查，重在让学生理解倍角公式与半角公式的内在联系.变式训练例2化简:sin50°(1+3tan10°).解：原式=sin50°132(cos10)3sin1022(1sin50cos10︒︒=︒⋅︒=2sin50°·10cos 10sin 30cos 10cos 30sin +=2cos40°·10cos 10cos 10cos 80sin 10cos 40sin ===1. 例3 已知sin x -cos x =21,求sin 3x -cos 3x 的值. 解:由sin x -cos x =21,得(sin x -cos x )2=41，即1-2sin x cos x =41.∴sin x cos x =83.∴sin 3x -cos 3x =(sin x -cos x )(sin 2x +sin x cos x +cos 2x )=21(1+83)=1611.收集于网络，如有侵权请联系管理员删除点评：本题考查的是公式的变形、化简、求值,注意公式的灵活运用和化简的方法.例4 求证:2222sin()sin()tan 1sin cos tan αβαββαβα+-=-.活动：证明三角恒等式,一般要遵循“由繁到简”的原则,另外“化弦为切”与“化切为弦”也是在三角式的变换中经常使用的方法.证法一：左边=22(sin cos cos sin )(sin cos cos sin )sin cos αβαβαβαβαβ+-=222222222222sin cos cos sin cos sin tan 11sin cos sin cos tan αβαβαββαβαβα-=-=-=右边. ∴原式成立.证法二：右边=1-2222222222cos sin sin cos cos sin sin cos sin cos αβαβαβαβαβ-==22(sin cos cos sin )(sin cos cos sin )sin cos αβαβαβαβαβ+-=22sin()sin()sin cos αβαβαβ+-=左边.∴原式成立. 三、课堂训练 1． 如果α∈(π2，π)，且sin α＝45，那么sin(α＋π4)＋cos(α＋π4)＝ ( )A ．425B ．-425C ．325D ．-3252．在△ABC 中，sin 2A ＋cos 2B ＝1，则cos A ＋cos B ＋cos C 的最大值为( )A ．54B ． 2C ．1D ．323．函数y ＝2cos 2x 的一个单调递增区间是 ( ) A ．(-π4，π4) B ．(0，π2) C ．(π4，3π4) D ．(π2，π)4．化简2cos 2α－12tan ⎝⎛⎭⎫π4－αsin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α等于 ( )A ．1B ．-1C ．cos αD ．-sin α收集于网络，如有侵权请联系管理员删除5．(1＋tan21°)(1＋tan20°)(1＋tan25°)(1＋tan24°)的值是( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 6．已知函数f (x )＝2sin x cos x ＋cos2x ． (1)求f (π4)的值； (2)设α∈(0，π)，f (α2)＝22，求sin α的值．7．求证：tan 2x ＋1tan 2x ＝2(3＋cos4x )1－cos4x．参考答案：1．D 2．D 3．D 4．A 5．B6. 解：(1)∵f (x )＝sin2x ＋cos2x ，∴f (π4)＝sin π2＋cos π2＝1． (2)∵f (α2)＝sin α＋cos α＝22．∴sin(α＋π4)＝12，cos(α＋π4)＝±32．sin α＝sin(α＋π4-π4)＝12×22-(±32)×22＝2∓64． ∵α∈(0，π)，∴sin α＞0．故sin α＝2＋64． ７. 证明：左边＝sin 2x cos 2x ＋cos 2x sin 2x ＝sin 4x ＋cos 4x sin 2x cos 2x ＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2x cos 2x14sin 22x＝1－12sin 22x 14sin 22x ＝1－12sin 22x 18(1－cos4x )＝8－4sin 22x 1－cos4x ＝4＋4cos 22x 1－cos4x＝4＋2(1＋cos4x )1－cos4x ＝2(3＋cos4x )1－cos4x ＝右边．∴tan 2x ＋1tan 2x ＝2(3＋cos4x )1－cos4x．四、作业教材第143～144页习题3．2． 五、小结要对三角恒等变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法加深认识，学会灵活运用．收集于网络，如有侵权请联系管理员删除第三章测试题一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，满分48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知)2,23(,1312cos ππαα∈=，则=+)4(cos πα（ ） A ．1325 B ． 1327 C ． 26217 D ． 2627 2．若βα,均为锐角，==+=ββααcos ,53)(sin ,552sin 则（ ） A ．552 B ． 2552 C ．2552552或 D ． 552-3．ππππ(cossin )(cos sin )12121212-+=（ ） A ． 23-B ． 21- C ． 21D ． 23 4．tan70tan50tan50︒+︒︒=（ ）A ．3 B ．33 C ． 33- D ． 3-5．=⋅+ααααcos2cos cos212sin22（ ） A ． αtan B ． αtan2 C ． 1 D ．21 6．已知x 为第三象限角，化简=-x 2cos 1（ ） A ．x sin2 B ．x sin 2-C ．x cos 2D ．x cos 2-7． 已知等腰三角形顶角的余弦值等于54，则这个三角形底角的正弦值为（ ）收集于网络，如有侵权请联系管理员删除A ．1010 B ．1010- C ．10103 D ．10103-8． 若).(),sin(32cos 3sin 3ππϕϕ-∈-=-x x x ，则=ϕ（ ）A ． 6π-B ．6π C ． 65π D ． 65π-9． 已知1sin cos 3αα+=，则sin 2α=（ ）A ．89- B ．21- C ． 21 D ．8910．已知cos 23θ=，则44cos sin θθ-的值为（ ） A．3-B．3 C ．49D ．1 11． 求π2π3π4π5πcoscos cos cos cos 1111111111=（ ） A ． 521B ． 421 C ． 1 D ． 012．函数sin 22x xy =+的图像的一条对称轴方程是 （ ）A ． 11π3x =B ．5π3x =C ．5π3x =-D ．π3x =-二、填空题：本大题共4小题，每小题4分．共16分． 13．已知βα,为锐角，的值为则βαβα+==,51cos ,101cos ．14．在ABC ∆中，已知tan A ，tan B 是方程23720x x -+=的两个实根，则tan C = ．15．若542cos ,532sin -==αα，则角α的终边在 象限．16．代数式sin15cos75cos15sin105︒+︒+︒︒= ．三、解答题：本大题共5小题，共56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程．收集于网络，如有侵权请联系管理员删除17．（10分）△ABC 中，已知35cos π,cos π513A B ==，求sin C 的值．18．（10分）已π3π24βα<<<，αβαβαπαβπsin2,53)(sin ,1312)(cos ,432求-=+=-<<．19．（12分）已知α为第二象限角，且 sin α=,415求πsin()4sin2cos21ααα+++的值．20．（12分）已知π(0,)4α∈，(0,π)β∈，且71tan ,21)tan(),,0(),4,0(-==-∈∈ββαπβπα且，求)2tan(βα-的值及角βα-2．21．（ 12分）已知函数2()cos cos 1f x x x x =++，x ∈R ．（1）求证)(x f 的最小正周期和最值； （2）求这个函数的单调递增区间．参考答案一、选择题1．C 2．B 3．D 4．D 5．B 6．B 7．C 8．B 9．A 10．B 11．A 12．C 二、填空题 13．3π414．7- 15．第四 16．1收集于网络，如有侵权请联系管理员删除三、解答题19.证明：左边=222πsin()cos )42sin2cos21(sin cos )cos sin ααααααααα++=++++- cos )22(sin cos )(sin cos cos sin )2cos ααααααααα+==+++-2.6556 13 5 5 4 ( 13 12 5 3 )sin( ) cos( ) cos( ) sin( )] ( ) sin[( 2 sin 54) cos( , 13 5 ) sin( 2 3 , 4 0 43 2 : . 18 - = ⨯ - + ⨯ - = - + + - + = - + + = ∴ - = + = - ∴ < + < < - < ∴ < < < β α β α β α β α β α β α α β α β α πβ α π π β α πα 解 β π ，，..， 43 17 ∴ 若 又由 656313 5 5 3 13 12 5 4 sin cos cos sin ) sin( sin 1312 cos , 180 B A , 120 , 13 12 cos 60 2 3 sin , 13 12 sin 1 cos , 13 5 sin 5sin , 5 cos , : . 2 = ⨯ + ⨯ = + = + = = > + > ∴ - = > ∴ > ± = - ± = = = ∴= ∆ B A B A B A C B B B A A B B B A A ABC 故 不合题意舍去 这时 可得 中 在 解 .. ° ° °收集于网络，如有侵权请联系管理员删除21．解：（1）2cos cos 1y x x x =++cos 212122x x+=++11cos 221222x x =+++ ππ3π3sin cos2cos sin2sin(2)66262x x x =++=++．所以，最小正周期为π，最小值为21，最大值为25．（2）因为函数sin y x =的单调递增区间为ππ2π,2π()22k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ，由（1）知π3sin(2)62y x =++，故πππ2π22π()262k x k k -+≤+≤+∈Z ，ππππ()36k x k k ∴-+≤≤+∈Z ，故函数3sin(2)62y x π=++的单调递增区间为πππ,π()216k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ．第15章 弹簧元件15.1 弹簧元件的的功用和类型43 2 1 71 3 4 1 7 13 4 tan ) 22 tan( 1 tan ) 22 tan( ] ) 22 tan[( ) 2 tan( 0 2 40 27 1 tan : . 20 β α β β α β β α β β α β α β α πα β β - = - ∴ = ⨯+ - =- - + - = + - = - ∴ < - < - ∴ < < < < ∴ - = 解 π ππ π.. ，，收集于网络，如有侵权请联系管理员删除弹簧受外力作用后能产生较大的弹性变形，在机械设备中广泛应用弹簧作为弹性元件。
人教A版高中数学必修四简单的三角恒等变换教案二
3.2简单的三角恒等变换（二）一、教学目标1、通过三角恒等变形，形如x b x a cos sin +的函数转化为)sin(ϕ+=x A y 的函数；2、灵活利用公式，通过三角恒等变形，解决函数的最值、周期、单调性等问题。
二、教学重点与难点重点：三角恒等变形的应用。
难点：三角恒等变形。
三、教学过程（一）复习：二倍角公式。
（二）典型例题分析例1：.54sin ,20=<<απα已知 的值求αααα2cos cos 2sin sin )1(22++；的值求)45tan()2(πα-． 解：（1）由,54sin ,20=<<απα得,53cos =α .201cos 3cos sin 2sin 2cos cos 2sin sin 2222=-+=++∴αααααααα （2）.71tan 11tan )45tan(,34cos sin tan =+-=-==ααπαααα 例2．.10tan 3150sin ）（利用三角公式化简︒+︒ 解：）（原式︒︒+︒=10cos 10sin 3150sin ︒︒+︒⋅︒=10cos )10sin 2310cos 21(250sin ︒︒︒+︒︒⋅︒=10cos 10sin 30cos 10cos 30sin 50sin 2 ︒︒⋅︒=10cos 40sin 40cos 2 110cos 10cos 10cos 80sin =︒︒=︒︒=. 例３．已知函数x x x x x f 44sin cos sin 2cos )(--=（1） 求)(x f 的最小正周期，（2）当]2,0[π∈x 时，求)(x f 的最小值及取得最小值时x 的集合．点评：例３是三角恒等变换在数学中应用的举例，它使三角函数中对函数()sin y A x ωϕ=+的性质研究得到延伸，体现了三角变换在化简三角函数式中的作用．例4．若函数]20[cos 22sin 3)(2π，m x x x f 在区间++=上的最大值为6，求常数m 的值及此函数当R x ∈时的最小值及取得最小值时x 的集合。
人教课标版高中数学必修四《简单的三角恒等变换(第2课时)》教案-新版
3.2.3简单的三角恒等变换（第2课时）一、教学目标（一）核心素养通过本节课的学习，了解化简三角函数式及证明三角恒等式的要求，掌握化简三角函数式及证明三角恒等式的常规技巧和方法．从中体会、学习换元思想、方程思想及化归思想．（二）学习目标能正确地运用三角函数的有关公式进行三角函数式的求值，化简与恒等式的证明．（三）学习重点有关公式的灵活应用及一些常规技巧的运用．（四）学习难点认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，有从整体上把握变换过程的能力.二、教学设计（一）课前设计1.预习任务读一读：（1）化简三角函数式：化简三角函数式的要求：①能求值的应求值；②使式子次数尽量低、项数尽量少；③使三角函数的种类尽量少；④尽量使分母及被开方数不含三角函数；⑤将高级运算表为低级运算.化简三角函数式的方法：一些常规技巧：“1”的代换，切割化弦，和积互化，化非特殊角为特殊角，异角化同角，异名函数化为同名三角函数，异次化为同次，切割化弦等．（2）三角恒等式的证明：三角恒等式的证明要求：利用已知三角公式通过恒等变形，论证所给等式左、右相等.三角恒等式包括有条件的恒等式和无条件的恒等式．①无条件的等式证明的基本方法是化繁为简、左右归一、变更命题等，使等式两端的“异”化为“同”；②有条件的等式常用方法有：代入法、消去法、综合法、分析法等．2.预习自测（1）化简：cos104sin 80sin10︒︒-=︒__________. 【知识点】两角差的正、余弦公式．【解题过程】cos104cos10sin10cos102sin 20cos104sin 80sin10sin10sin10︒︒︒-︒︒-︒︒-==︒︒︒()2sin 20cos 3020sin10︒-︒-︒====︒． 【思路点拨】将所求式子通分后化简，再逆用两角差的正、余弦公式．【答案】（2）若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos 24παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2α=__________. 【知识点】两角和与差的余弦函数公式． 【解题过程】cos 24παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即cos sin 4cos 2ααα+=， 两边平方，得()22cos sin 16cos 2ααα+=，即()21sin 2161sin 2αα+=-， 解得： 15sin 216α=或sin 21α=-， 由0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得()20,απ∈，所以15sin 216α=． 【思路点拨】将已知式子左边利用两角和与差的余弦函数公式进行化简，右边利用同角三角函数基本关系进行变形．【答案】1516．（3）已知02πα<<，4sin 5α=，则cos 2sin 2παα⎛⎫++ ⎪⎝⎭的值为__________. 【知识点】同角三角函数的基本关系，二倍角公式，诱导公式．【数学思想】【解题过程】 因为02πα<<，4sin 5α=，所以3cos 5α=． 23238cos 2sin 12sin cos 1225525παααα⎛⎫++=-+=-+= ⎪⎝⎭． 【思路点拨】利用同角三角函数的基本关系可求cos α，再利用二倍角公式及诱导公式对所求式子进行化简． 【答案】825． (二)课堂设计1．知识回顾（1）半角公式：①sin 2α=；②cos 2α=；③sin 1cos tan 21cos sin ααααα-==+（有理形式），tan 2α=（无理形式）. （2）积化和差与和差化积公式：①积化和差公式：()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦； ()()1cos sin sin sin 2αβαβαβ=+--⎡⎤⎣⎦； ()()1cos cos cos cos 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦； ()()1sin sin cos cos 2αβαβαβ=-+--⎡⎤⎣⎦. ②和差化积公式： sin sin 2sin cos 22θϕθϕθϕ+-+=； sin sin 2cos sin 22θϕθϕθϕ+--=；cos cos 2cos cos 22θϕθϕθϕ+-+=； cos cos 2sin sin 22θϕθϕθϕ+--=-. ②辅助角公式：()sin cos a x b x x ϕ+=+，其中tan b a ϕ=. 2．问题探究探究一 三角函数的化简●活动①例1 已知α为第四象限角，化简：ααααααcos 1cos 1sin sin 1sin 1cos +-++-. 【知识点】三角函数的有理化．【数学思想】【解题过程】因为α为第四象限角，所以原式cos sin =+ 1sin 1cos cos sin cos sin αααααα--=+- ()1sin 1cos cos sin αααα=---=-．【思路点拨】根式形式的三角函数式化简常采用有理化或升幂公式．【答案】cos sin αα-． 同类训练已知 360270<<α，化简α2cos 21212121++． 【知识点】升幂公式．【数学思想】【解题过程】因为270360α<<，所以cos 0,cos 02αα><．原式====cos 2α=-． 【思路点拨】根式形式的三角函数式化简常采用有理化或升幂公式．【答案】cos 2α-．●活动②例2 已知0απ<<. 【知识点】弦切互化，半角有理式的应用．【数学思想】化归思想【解题过程】因为sin tan 21cos ααα=+，所以()tan 1cos sin 2ααα⋅+=.因为3cos sin 2παα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，21cos 2sin 2αα-=.所以原式==因为0απ<<，所以022απ<<，所以sin 02α>．原式2α=-． 【思路点拨】涉及半角的正切式与弦函数的积时，应考虑半角的有理式的应用．【答案】2α-． 同类训练 化简42212cos 2cos 22tan sin 44x x x x ππ-+⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【知识点】弦切互化、诱导公式、倍角公式．【数学思想】化归思想【解题过程】原式()()4222214cos 4cos 12cos 12sin 4sin cos 4442cos 4cos 4x x x x x x x x πππππ-+-==⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭⨯- ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭22cos 2cos 21cos 22cos 222sin 22x x x x x π===⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【思路点拨】分子提取12配方，分母利用诱导公式将sin 4x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭变形为cos 4x π⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【答案】1cos 22x ． 探究二 三角恒等式的证明●活动①例3 求证：32sin tan tan 22cos cos 2x x x x x-=+. 【知识点】弦切互化，积化和差、和差化积公式． 【数学思想】化归思想【解题过程】 方法一：333sinsin sin cos cos sin 3222222tan tan 3322cos cos cos cos 2222x x x x x x x x x x x x --=-= 3sin sin 2sin 223333cos cos cos cos cos cos 22222222x x x x x x x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭===⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2sin cos cos 2x x x=+． 方法二：2sin 2sin 33cos cos 2cos cos 2222x x x x x x x x =+⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3332sin cos cos sin sin sin 222222332cos cos cos cos 2222x x x x x xx x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭==-3tan tan 22x x =-． 【思路点拨】从左往右证，可利用同角三角函数基本关系式切化弦，再利用积化和差进行转化即可．【答案】见解答过程．同类训练证明：()xx x x 4cos 14cos 32cot tan 22-+=+． 【知识点】弦切互化、三角函数基本关系式、倍角公式． 【解题过程】 ()2222222442222222sin cos 2sin cos sin cos sin cos tan cot 1cos sin sin cos sin 24x x x x x x x x x x x x x x x +-++=+== ()()22421cos 423cos 484sin 244cos 21cos 41cos 41cos 41cos 4x x x x x x x x+++-+====----． 【思路点拨】左边切化弦再通分，利用基本关系式、倍角公式推导．【答案】见解答过程．●活动②例4 证明:334422cos sin cos sin sin cos 4422ππααααααα⎛⎫⎛⎫++-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【知识点】左右归一．【解题过程】左边()()()()()2222cos sin cos cos sin sin cos sin cos sin cos sin αααααααααααα=+-++++-()()cos sin 1cos sin cos sin αααααα=+-+-()()()cos sin 1cos 1sin αααα=++-右边1cos 1cos 2cos cos sin sin 4422παππααα⎛⎫-- ⎪+⎫⎝⎭=+⋅⋅⎪⎭()()()cos sin 1cos 1sin αααα=++-所以左边＝右边，等式成立．【思路点拨】等式两边结构都较为复杂，可左右同时化简，采用左右归一的途径．【答案】见解答过程．同类训练若2tan 3tan αβ=，求证：()sin 2tan 5cos 2βαββ-=-． 【知识点】“消元法”、两角差的正切公式、倍角公式．【数学思想】【解题过程】∵2tan 3tan αβ=，即3tan tan 2αβ=， ∴()223tan tan tan tan tan 2tan 31tan tan 23tan 1tan 2ββαββαβαβββ---===+⋅++ 又∵βββββββββββ2222222tan 32tan )tan 1()tan 1(5tan 2tan 1tan 15)tan 1(tan 2cos 52sin +=--+=+--+=- ∴()sin 2tan 5cos 2βαββ-=-． 【思路点拨】等式左边式子包含两个角，右边只有一个，考虑消去一个角，都用角β进行表示．【答案】见解题过程．●活动③例5 在△ABC 中，223sin cos sin cos sin 222C A A C B ⋅+⋅=，求证：sin sin 2sin A C B +=. 【知识点】降幂公式、两角和正弦函数公式．【解题过程】 因为223sin cos sin cos sin 222C A A C B ⋅+⋅=， 所以1cos 1cos 3sin sin sin 222C A A C B ++⋅+⋅=. 即sin sin sin cos sin cos 3sin A C A C C A B +++=.所以()sinsin sin 3sin A C A C B +++=， 所以sin sin 2sin A C B +=.【思路点拨】由降幂公式化简已知等式，然后利用两角和的正弦函数公式．【答案】见解题过程．同类训练在△ABC 中，若2222sin sin sin cos 2222A B C B ++=，求证：1tan tan 223A C ⋅=． 【知识点】降次公式、和差化积、三角形内角和定理．【解题过程】∵sin 22A +sin 22B +sin 22C =cos 22B ， ∴2sin 212cos 12cos 12B C A -=-+-． ∴2sin 22B =21(cos A +cos C ) 又∵sin 2B =cos 2C A +， ∴2cos 22C A + =cos 2C A +·cos 2A C -， ∴2cos 2C A +=cos 2C A -． ∴2sin 2sin 2cos 2cos 2sin 2sin 2cos 2cos2C A C A C A C A +=⎪⎭⎫ ⎝⎛-． ∴3sin sin cos cos .2222A C A C ⋅=⋅故1tan tan 223A C ⋅=． 【思路点拨】因结论等式中不含B ．故需设法消去已知等式中的B 角，可考虑使用三角形内角和定理．【答案】见解题过程．3.课堂总结（1）化简三角函数式的要求：①能求值的应求值；②使式子次数尽量低、项数尽量少；③使三角函数的种类尽量少；④尽量使分母及被开方数不含三角函数；⑤将高级运算表为低级运算.（2）化简三角函数式的技巧：①变角：通过观察不同三角函数式所包含的角的差异，借助于“拆凑角”（如用特殊角表示一般角，用已知角表示所求角等）、“消角”（如异角化同角，复角化单角等）来减少角的个数，消除角与角之间的差异 .②变名（即式子中不同函数之间的变换）：通过观察角的三角函数种类的差异，借助于“切化弦”、“弦切互化”等进行函数名称的变换.③变式（即式子的结构形式的变换）：通过观察不同的三角函数结构形式的差异，借助于一下几种途径进行变换：1）常值代换，如将“1”代换为“22sin cos αα+”或“tan 45︒”；2）升降幂公式，如21cos 2cos 2αα+=； 3）配方与平方，如()24224cos 4cos 12cos 1x x x -+=-；等（3）三角恒等式的证明证明要求：利用已知三角公式通过恒等变形，论证所给等式左、右相等； 三角恒等式包括有条件的恒等式和无条件的恒等式．①无条件的等式证明的基本方法是化繁为简、左右归一、变更命题等，使等式两端的“异”化为“同”；②有条件的等式常用方法有：代入法、消去法、综合法、分析法等．（三）课后作业基础型 自主突破1．已知2sin 23A =，()0,A π∈，则sin cos A A +=（ ）A B ． C ．53 D ．53-【知识点】倍角公式．【数学思想】【解题过程】因为()25sin cos 1sin 23A A A +=+=，所以sin cos A A +=． 又因为2sin 22sin cos 03A A A ==>，所以sin A 、cos A 同号．因为()0,A π∈，所以sin cos 0A A +>，故选A ．【思路点拨】运用倍角公式，注意分析sin cos A A +的正负．【答案】A ．2)sin sin cos cos αββα+=-，α、()0,βπ∈，则αβ-=（ ）A ．23π-B ．3π-C ．3πD ．23π 【知识点】和差化积． 【数学思想】【解题过程】由已知等式得cos2sinsin2222αβαβαβαβ+-+-=，因为sin02αβ+≠，所以tan2αβ-=，所以23αβπ-=，所以23παβ-=． 【思路点拨】利用和差化积变形等式，算出tan 2αβ-的值．【答案】D ． 3． 若()2tan 5αβ+=，1tan 44πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是（ ）A ．1813 B ．223C ．1213 D ．183【知识点】两角差的正切函数公式． 【数学思想】【解题过程】因为()2tan 5αβ+=，1tan 44πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 所以()tan tan 44a ππαββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()tan tan 4=1tan tan 4a a πββπββ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭⎛⎫++- ⎪⎝⎭， 213542122154-==+⨯． 【思路点拨】把4πα+变为()4a πββ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭，再利用两角差的正切函数公式．【答案】B ．4．已知()()1cos cos 3αβαβ+⋅-=，则22cos cos αβ-的值为（ ）A ．23-B ．13-C ．13D ．23【知识点】积化和差公式、倍角公式． 【数学思想】【解题过程】因为()()()11cos cos cos 2cos 223αβαβαβ+⋅-=+=， 所以()22cos 211cos 211cos cos cos 2cos 22223αβαβαβ+--=-=+=．【思路点拨】利用积化和差和倍角公式，化出()1cos 2cos 22αβ+．【答案】C ．5．若6παβ+=，且α、β满足关系式：)tan tan 2tan 3tan 0a αβαβ⋅+++=则tan α的值为（ ）A )1a +B )1a -C )1a +D ．)1a - 【知识点】两角和的正切函数公式． 【数学思想】【解题过程】由题()tan tan6παβ+=，即tan tan 1tan tan αβαβ+=-，又因为)tan tan 2tan 3tan 0a αβαβ⋅+++=，所以)tan 1a α=+．【思路点拨】由两角和的正切函数公式得tan tan 1tan tan αβαβ+=-，联立已知条件即得． 【答案】A ．6．化简22cos cos 44ππαα⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝________．【知识点】诱导公式、同角三角函数的平方关系． 【数学思想】【解题过程】因为442πππαα⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2222cos cos cos sin 14444ππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++=-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【思路点拨】利用诱导公式，结合同角三角函数的平方关系即得．【答案】1．能力型 师生共研7．若2sin cos 5sin 3cos θθθθ+=--，则3cos 2sin 2θθ+=______________．【知识点】弦切互化、倍角公式．【数学思想】【解题过程】由2sin cos 5sin 3cos θθθθ+=--，得2tan 15tan 3θθ+=--，解得tan =2θ．2222223cos 3sin 2sin cos 33tan 2tan 3cos 2sin 21sin cos tan 1θθθθθθθθθθθ-+-++===-++ 【思路点拨】利用弦切互化、倍角公式转化成关于tan θ的式子． 【答案】1-．8．求证：43cos 44cos 28sin ααα+-=．【知识点】降幂公式、倍角公式．【数学思想】【解题过程】()()24428sin24sin 21cos 2212cos 2cos 2ααααα=⨯=-=-+，224cos 22cos 224cos 21cos 43cos 44cos 2αααααα=-+=-++=+-．所以等式成立． 【思路点拨】从右边入手，根据降幂公式，再利用倍角公式得到左式．【答案】见解答过程．探究型 多维突破 9．求证：)22tan tan 2sin cos 2sin 2tan 2tan 3ααπααααα⎛⎫+-=- ⎪-⎝⎭．【知识点】弦切互化、两角差的正弦公式、倍角公式． 【数学思想】【解题过程】)22sin sin 2tan tan 2cos cos 2sin cos 2sin 2sin tan 2tan cos 2cos ααααααααααααααα⋅-=---，()sin sin 2sin sin 222sin 22sin 2cos cos 2sin sin 2αααααααααααααα==-=---2sin 23πα⎛⎫=- ⎪⎝⎭．【思路点拨】从左边入手，先切化弦，再利用两角差的正弦公式．【答案】见解答过程．10．在△ABC 中，设tan tan 2tan A CB +=，求证：()45cos 2cos 54cos 2CB C A C++-=+．【知识点】三角形内角和定理、诱导公式、两角和的正切公式变形、倍角公式．【数学思想】转化的思想．【解题过程】C C B A tan )tan()tan(-=-=+πC BA BA tan tan tan 1tan tan -=-+∴C B A C B A tan tan tan tan tan tan ⋅⋅=++⇒由条件得B C B A tan 3tan tan tan =++∴C B A B tan tan tan tan 3⋅⋅=∴而0tan ,0tan ≠≠C B ，CA tan 3tan =∴，A A A A C B 22tan 1tan 12cos )cos(+--=-=-+ C C C C 2222tan 9tan 91tan 31tan 3+-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=而C C 2cos 452cos 54++C C C C C C 222222tan 9tan 9tan 1tan 145tan 1tan 154+-=+-⋅++-⋅+= ∴ cos(B+C-A)=CC2cos 452cos 54++．【思路点拨】等式两边形式都较复杂，可考虑“左右归一”．左边利用两角和的正切公式，结合已知条件化为含tan C 的式子，右边利用弦化切化为含tan C 的式子．【答案】见解答过程．自助餐1．化简：tan()tan tan tan tan()αβαβααβ+--⋅+的结果是（ ）A ．tan αB ．tan βC ．tan()αβ+D ．tan()αβ-【知识点】两角和的正切公式． 【数学思想】【解题过程】因为()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-，所以()()tan 1tan tan tan tan αβαβαβ+-=+， 即()()tan tan tan tan tan tan αβαβαβαβ+--=+， 所以tan()tan tan tan tan tan()αβαββααβ+--=⋅+．【思路点拨】利用两角和的正切公式变形可得．【答案】B ．2．已知23αβπ+=，则22cos cos y αβ=+的最大值为（ ）A ．12B ．32C D ．【知识点】二倍角公式，三角函数最值． 【数学思想】【解题过程】221cos 21cos 2cos 2cos 2cos cos 1222y αβαβαβ+++=+=+=+()()()()cos 21cos cos 1cos cos 132αβαβαβπαβ-=++-=+-=-所以当()cos 1αβ-=-时，函数取得最大值32． 【思路点拨】利用二倍角公式与和差化积进行转化，再带入已知条件化简函数．【答案】B ．3．若322πθπ<<+ ）A ．2sin2θB ．2sin2θ-C ．2cos2θD ．2cos2θ-【知识点】倍角公式． 【数学思想】【解题过程】=+sincoscossin2222θθθθ=++-，由322πθπ<<，得342πθπ<<，所以，sincoscossinsincossincos2cos222222222θθθθθθθθθ++-=--+-=-．【思路点拨】利用倍角公式，结合θ的范围．【答案】D ．4．已知tan θ==______________．【知识点】两角和正弦公式、倍角公式、弦切互化、特殊角的三角函数值．【数学思想】==，cos sin 1tan 3cos sin 1tan θθθθθθ--===++．【思路点拨】所求式子的分子一、三项结合，利用倍角公式化简，分母用两角和的正弦公式及特殊角的三角函数值化简，最后同时除以cos θ．【答案】3．5．求证：2cos 1sin 214tan 2tan 2αααα=-．【知识点】切化弦、半角公式、倍角公式逆用． 【数学思想】【解题过程】222cos cos cos sin 1cos 11cos 2cos tan 2sin sin tan 2ααααααααααα==+---11sin cos sin 224ααα==． 【思路点拨】利用半角公式变化分母，通分，逆用倍角公式即得．【答案】见解答过程．6．在△ABC 中，sin A 、sin B 、sin C 成等差数列，求证：5cos 4cos cos 5cos 4A A C C -⋅+=．【知识点】和差化积、积化和差． 【数学思想】【解题过程】由条件:2sin B =sin A +sin C ⇒2sin(A +C )=sin A +sin C⇒2·2sin2C A +·cos 2C A + =2·sin 2C A +cos 2CA - ⇒2cos 2C A +=cos 2CA -,展开得:2cos 2A cos 2C －2sin 2A sin 2C =cos 2A cos 2C +sin 2A sin 2C即cos 2A cos 2C =3sin 2A sin 2C ,∴tan 2A ·tan 2C =31.令x =tan 2A ,y =tan 2C 则x ·y =31.故⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∙⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+÷⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-++-=∙++2tan 12tan 12tan 12tan 112tan 12tan 12tan 12tan 1cos cos 1cos cos 22222222C C A A C C A A C A C A =5491191111111*********222222222=+-=+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∙⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-++-y x y x y y x x y y x x ， ∴5(cos A +cos C )=4(1+cos A ·cos C )，即5cos A －4cos A ·cos C +5cos C =4． 【思路点拨】熟练运用和差化积、积化和差进行证明．【答案】见解答过程．。
高中数学人教A版必修四3.2【教学设计】《3.2简单的三角恒等变换》
《3.2简单的三角恒等变换(1)》一、讲什么1．教学内容（1）思想方法：化归思想；（2）能力素养：数学推理、数学运算。
2．内容解析：本节主要包括利用已有的十一个两角和与差的正弦、余弦、正切公式，进行简单的恒等变换，以及三角恒等变换在数学中的应用，本课时则是运用三角函数公式进行简单的三角恒等变换的起始课，帮助学生认识三角变换的特点，并能运用化归思想指导整个变换过程的设计，提高从整体上把握变换过程的能力，加深学生对变换过程中体现的换元法、逆向使用公式等数学思想方法的认识，提高数学推理和数学运算能力。
在此之前，学生已经掌握了两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并了解它们的内在联系，为本节课运用这些公式进行简单的恒等变换提供了知识与方法的准备。
二、为何讲1．教学目标：（1）通过推导半角公式，引导学生对变换对象和变换目标进行类比和归纳；（2）促使学生形成对推导过程中如何选择公式、如何根据问题的条件进行恒等变换的认识。
2．目标解析：通过半角公式的推导过程（而不是结果），加强学生对公式的理解（而不是记忆），引导学生以两角和与差的正弦、余弦、正切公式为依据，以三角恒等变换作为基本训练，对变换对象和变换目标进行类比和归纳，学习三角变换的内容、思路和方法，促使学生形成对推导过程中如何选择公式、如何根据问题的条件进行恒等变换的认识，并在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高数学推理和数学运算能力。
教学重点：推导半角公式。
三、怎样讲（一）教学准备1．教学问题：（1）推导过程中，学生对如何选择公式产生困难；（2）推导过程中，学生对变换过程的整体把握能力较弱。
2．教学支持条件：科大讯飞“智慧课堂”。
（二）教学过程设计【问题1】请用不同的方法，表示出，其中只含的正弦或余弦。
【设计意图】通过倍角公式，为半角公式的推导做铺垫。
【预设师生活动】（1）学生在“智慧课堂”上传结果。
（2）教师选取学生的典型过程展示，与学生展开讨论。
人教版高中数学必修4-3.2《简单的三角恒等变换(第1课时)》教学设计
3.2简单的三角恒等变换3.2.2简单的三角恒等变换（第1课时）（李蓉）一、教学目标（一）核心素养这节课通过三角恒等变换在数学中应用的举例，进一步加深理解变换思想，提高学生的推理能力，通过数学实例的解决，促进学生对函数模型多样性的理解，提升学生数学建模的能力.（二）学习目标1．理解并掌握辅助角公式.2.会利用公式进行简单的恒等变形.3.体会三角恒等变形在数学中的应用.能通过数学建模解决实际问题.（三）学习重点1通过三角恒等变换推导辅助角公式． 2．灵活利用公式，通过三角恒等变换，解决函数的最值、周期、单调性等问题.（四）学习难点灵活运用三角公式解决一些实际问题.二、教学设计（一）课前设计1．预习任务（1）写一写：复习三角恒等变换的一系列公式及回忆相应公式的使用依据.()cos αβ±=cos cos sin sin αβαβ；cos 2α=2222cos sin 2cos 112sin αααα-=-=- ()sin αβ±=sin cos cos sin αβαβ±；sin 2α=2cos sin αα2sin α=1cos 22α-；2cos α=1cos 2,2α+（降幂公式） （2）填一填：阅读教材140页例3.把下列式子化成一个角的三角函数sin cos a x b x +=)sin(22ϕ++x b a2．预习自测 （1）sin cos x x -等于（ ）A ．sin 2xB ．2sin )4(π+xC ．2sin )4(π-xD ．sin )4(π-x【知识点】辅助角公式【数学思想】转化化归的数学思想【解题过程】sin cos x x -cos sin sin cos 44x x x x ππ⎫⎫=+=+⎪⎪⎪⎭⎭4x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【思路点拨】一般地，先提公因式sin cos a b αααα⎫+=+⎪⎭，再令cos ϕϕ==，可得：)sin cos cos sin sin cos a b ααϕαϕα+=+最后利用两角和差的正余弦公式进行合角：()sin cos a b αααϕ+=+．【答案】C ．（2）函数sin 2cos 2y x x =的最小值等于________．【知识点】二倍角公式【解题过程】y =11sin 2cos 22sin 2cos 2sin 422x x x x x =⨯=，故min 12y =-． 【思路点拨】牢记二倍角公式的形式． 【答案】12-（3）函数2sin sin cos 1y x x x =++的最小正周期是________，最小值是________．【知识点】二倍角公式【数学思想】转化化归的数学思想【解题过程】21cos 213sin sin cos 1sin 2122242x y x x x x x π-⎛⎫=++=++=-+ ⎪⎝⎭，故最小正周期是T π= 【思路点拨】将函数化为()sin y A x ωϕ=+的形式，牢记利用二倍角公式进行降次的三种形式：①1sin cos sin 22ααα=，②21cos 2sin 2αα-=,③21cos 2cos 2αα+=．【答案】最小正周期是T π=． （4）已知1sin cos 3αα+=，则2sin 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭等于（ ） A ．118 B ．1718 C ．89 D【知识点】二倍角公式【数学思想】转化化归的数学思想 【解题过程】由1sin cos 3αα+=两边平方得112sin cos 9αα+=，解得8sin 29α=-， 所以21cos 21sin 2172sin 42218παπαα⎛⎫-- ⎪-⎛⎫⎝⎭-=== ⎪⎝⎭． 【思路点拨】由1sin cos 3αα+=平方可得8sin 29α=-，牢记利用二倍角公式进行降次的三种形式：①1sin cos sin 22ααα=，②21cos 2sin 2αα-=,③21cos 2cos 2αα+=． 【答案】B ．(二)课堂设计1．知识回顾（1）两角和差的正余弦公式.（2）二倍角公式及变形.2．问题探究探究公式()sin cos a b αααϕ+=+ 的变形过程.●活动1公式()sin cos a b αααϕ+=+的理论基础.你能把函数()sin f x x x =化成()()sin f x A x ωϕ=+的形式吗？引导学生操作如下三步：①12sin 2y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭②1cos sin 2cos sin sin cos 23333y x x ππππ⎛⎫==⇒=+ ⎪⎝⎭③2sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭若把3x π+看成一个角，你还能把函数()sin f x x x =化成别的一个角的三角函数形式吗？由12sin 2y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若令1sin cos 266ππ==，那么此时表达式就变为： 2sin sin cos cos 66y x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，使用两角差的余弦公式：2cos 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 在上述两种变换过程中使用了两角和差的正余弦公式【设计意图】连续两个问题的提出让学生动手进行简单的三角恒等变换，既让学生体会到变换结果的不唯一性，也让学生感受从特殊到一般的数学归纳推理方法．●活动2 公式()sin cos a b αααϕ+=+的推导满足“同角（均为α），齐一次，正余全”这样三个特点，形如sin cos a b αα+的式子，能否将其化为()()sin f x A x ωϕ=+的形式?如果遇到了符合以上三个条件的式子，可以通过以下三步：sin cos a b αααα⎫+=+⎪⎭ ②二找：由221+=，故可看作同一个角的正余弦（称ϕ为辅助角），如cos ϕϕ==，可得：)sin cos cos sin sin cos a b ααϕαϕα+=+③三合：利用两角和差的正余弦公式进行合角：()sin cos a b αααϕ+=+ 常常称该公式为辅助角公式.【设计意图】通过公式的推导可以加深学生对公式的记忆与利用.在尝试之后对辅助角公式的特点有一个加深的认识.●活动3 使用辅助角公式注意事项：①在找角的过程中，一定要找“同一个角”的正余弦，因为辅助角公式理论基础是两角和差的正余弦公式，所以构造的正余弦要同角②此公式不要死记硬背，找角的要求很低，只需同一个角的正余弦即可，所以可以从不同的角度构造角，从而利用不同的公式进行合角，例如活动1中的那个例子：12sin 2y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，可视为1sin cos 266ππ==，那么此时表达式就变为： 2sin sin cos cos 66y x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，使用两角差的余弦公式：2cos 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 所以，找角可以灵活，不必拘于结论的形式. 当然，角寻找的不同，自然结果形式上也不一样，但2cos 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭与2sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭本质是同一个式子（为什么？想想诱导公式的作用）③通常遇到的辅助角都是常见的特殊角，这也为我们的化简提供了便利，如果提完系数发现括号里不是特殊角的正余弦，那么可用抽象的ϕ来代替，再在旁边标注ϕ的一个三角函数值.【设计意图】让学生掌握记忆公式的同时，归纳总结公式适用的条件，培养学生分析问题和解决问题的能力．活动4 巩固基础，检查反馈例1：化简下列三角函数解析式为y ＝A sin(ωx ＋φ)+B 的形式： (1)sin cos 6y x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ （2）2sin 2cos sin 2y x x x =-+ 【知识点】辅助角公式【数学思想】转化化归的数学思想【解题过程】（1）11sin sin sin =sin 223y x x x x x x π∴=-=++⎛⎫ ⎪⎝⎭ （2）21cos 251sin 2cos sin 2sin 22(cos 2sin 2)222x y x x x x x x -=-+=-+=-+()522x ϕ=+其中sin ϕϕ==【思路点拨】（1）将cos 6x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭打开 （2）用公式221cos21cos2cos ,sin 22αααα+-==降幂【答案】（1）sin 3x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭ （2）()522y x ϕ=+ 同类训练 把函数44cos 2sin cos sin y x x x x =-－化成y ＝A sin(ωx ＋φ)+B 的形式.【知识点】三角恒等变换.【数学思想】转化化归的数学思想【解题过程】y ＝cos 4x －2sin x cos x －sin 4x ＝(cos 4x －sin 4x )－2sin x cos x＝(cos 2x －sin 2x )(cos 2x ＋sin 2x )－2sin x cos x ＝cos2x －sin2x ＝2)2cos 222sin 22(x x +-2)43sin 2cos 43cos 2(sin ππx x +＝2sin )432(π+x . 【思路点拨】使用降幂公式及两角和差的正余弦公式化简三角函数式． 2sin )432(π+x ． ●活动5 强化提升、灵活应用例2 已知函数f (x )＝sin 2x ＋a sin x cos x －cos 2x ，且()14f π=. (1)求常数a 的值及f (x )的最小值；(2)当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求f (x )的单调增区间． 【知识点】三角恒等变换及三角函数的性质.【数学思想】转化化归的数学思想．【解题过程】(1)∵()14f π=， ∴sin 2π4＋a sin π4cos π4－cos 2π4＝1，解得a ＝2.∴f (x )＝sin 2x ＋2sin x cos x －cos 2x ＝sin2x －cos2x ＝2sin )42(π-x . 当2x －π4＝2k π－π2(k ∈Z )，即x ＝k π－π8(k ∈Z )时，sin )42(π-x 有最小值－1，则f (x )的最小值为－ 2.(2)令2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，整理得k π－π8≤x ≤k π＋3π8(k ∈Z )； 又0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则0≤x ≤3π8. ∴f (x )的单调增区间是30,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦【思路点拨】利用相应三角公式进行三角恒等变换，在对函数sin()y A x ωϕ=+的性质进行研究【答案】(1) a ＝2 (2)30,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 同类训练 已知函数()cos 22sin sin 344f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 求函数()f x 在区间,122ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的值域 【知识点】三角恒等变换及三角函数的性质.【数学思想】转化化归的数学思想．【解题过程】()cos 22sin sin 344f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1cos 2222x x x x x x ⎫=++-+⎪⎪⎭221cos 22sin cos 2x x x x =+-11cos 22cos 22cos 222x x x x x =+-=- sin 26x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,122x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦Q 52,636x πππ⎡⎤∴-∈-⎢⎥⎣⎦()sin 26f x x π⎡⎤⎛⎫∴=-∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦【思路点拨】将26x π-视为一个整体，先根据x 的范围求出26x π-的范围，再判断其正弦值的范围【答案】⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 例3 如图，已知OPQ 是半径为1，圆心角为3π的扇形，C 是扇形弧上的动点，ABCD 是扇形的内接矩形，记COP ∠=α ，问当角α取何值时，矩形ABCD 的面积最大？并求出这个最大面积.【知识点】三角恒等变换及三角函数性质.【数学思想】数学建模与转化化归的数学思想.【思路点拨】（1）找出S 与α之间的函数关系，（2）由得出的函数关系，求S 的最大值【解题过程】DA Rt OBC OB cos ,BC sin .Rt OAD tan 60OA∆=α=α∆==在中，在中，oOA ,AB OB OA cos .===α=-=αα所以所以2ABCD S,S AB BC (cos )sin sin cos =⋅=ααα=ααα设矩形的面积为则11sin 2cos 2)2cos 2))226πααααα=-=+-=+ O A B P50223666626Sπππππππ<α<<α+<αα=最大由得所以当，即时，+==,.【答案】=ABCD6πα当时，矩形同类训练如图所示，已知矩形ABCD中，,AB a AD b==，试求其外接矩形EFGH面积的最大值【知识点】三角恒等变换及三角函数最值.【数学思想】数学建模与转化化归的数学思想.【思路点拨】以角为变量建立矩形面积的的函数关系，从而求相应的最大值【解题过程】,,CBF EABθθ∠=∠=设则,,,,EB asin BF bcos AE acos HA bsinθθθθ====∴()()S bsin acos bcos asinθθθθ=++矩形EFGH2222b sin cos absin abcos a sin cosθθθθθθ=+++=()222,a b sin abθ++由2|1|sinθ≤，知4πθ=时，S矩形EFGH取得最大值为()2221()221.a b ab a b++=+【答案】()21.2a b+3.课堂总结知识梳理（1）通过三角恒等变换推导辅助角公式并应用到三角函数中，对函数sin()y A xωϕ=+的性质进一步研究.(2)通过用角为自变量建立函数模型，从而求解相应最值，既促进学生对函数模型多样性的理解，也使学生感受到以角为自变量的优点，体现了化归思想.重难点归纳（1）进一步学习三角变换的内容，思想和方法，体会三角变换的特点，提高推理，运算能力.（2）进一步认识三角变换的特点，并熟练运用数学思想方法指导变换过程的设计，提高从整体上把握变换过程的能力.（三）课后作业基础型 自主突破1．3sin x －3cos x ＝（ ）A ．sin )6(π-xB ．3sin )6(π-x C.3sin )6(π+x D ．23sin )6(π-x 【知识点】辅助角公式．【数学思想】转化化归的数学思想 【解题过程】3sin x －3cos x ＝23)cos 21sin 23(x x - ＝23)6sin cos 6cos (sin ππx x - ＝23sin )6(π-x .【思路点拨】直接使用公式()sin cos a b αααϕ+=+【答案】D ．2．函数f (x )＝sin x －cos(x ＋π6)的值域为（ ）A ．[－2,2]B ．[－3，3]C ．[－1,1]D ．[－32，32]【知识点】三角恒等变换及三角函数值域．【数学思想】转化化归的数学思想【解题过程】由f (x )＝sin x －32cos x ＋12sin x ＝3(32sin x －12cos x )＝3cos(x －π6)【思路点拨】将cos 6x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭打开，整理后再运用辅助角公式． 【答案】B3．函数y ＝2cos 2(x －π4)－1是（ ）A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数 【知识点】三角恒等变换及三角函数性质．【数学思想】转化化归的数学思想【解题过程】由y ＝2cos 2(x －π4)－1＝cos2(x －π4)＝cos(2x －π2)＝cos(π2－2x )＝sin2x ，而y ＝sin2x 为奇函数，其最小正周期T ＝2π2＝π 【思路点拨】使用公式21cos 2cos ,2αα+=及诱导公式变形． 【答案】A.4．函数f (x )＝cos2x ＋2sin x 的最小值和最大值分别为（ ）A ．－3, 1B ．－2, 2C ．－3，32D ．－2，32 【知识点】三角函数与二次函数有关的最值． 【数学思想】转化化归的数学思想【解题过程】由f (x )＝cos2x ＋2sin x ＝－2sin 2x ＋2sin x ＋1，令sin x ＝t ，t ∈[－1,1]，则y ＝－2t 2＋2t ＋1＝－2(t －12)2＋32，当t ＝12时，y max ＝32，当t ＝－1时，y min ＝－3．【思路点拨】统一函数解析式中的角及函数名，再通过换元法把函数转化为二次函数求解． 【答案】C.5．设α、β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则cos β等于（ ） A ．2525 B ．255 C ．2525或255 D ．55或525 【知识点】两角和与差的三角函数． 【数学思想】转化化归的数学思想【解题过程】依题意得sin α＝1－cos 2α＝255， cos(α＋β)＝±1－sin 2α＋β＝±45.又α，β均为锐角，所以0<α<α＋β<π，cos α>cos(α＋β)．因为45>55>－45，所以cos(α＋β)＝－45. 于是cos β＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝－45×55＋35×255＝2525．【思路点拨】角的范围一定要确定准确，以免导致开方时符号错误． 【答案】A ．6．已知函数f (x )＝4cos x sin(x ＋π6)－1. 则f (x )在区间[－π6，π4]上的最大值和最小值为（ ）A ．2，-2B ．2，1C ．1，-2D ．2，-1 【知识点】三角恒等变换及三角函数的最值. 【数学思想】转化化归的数学思想.【解题过程】f (x )＝4cos x sin(x ＋π6)－1＝4cos x (32sin x ＋12cos x )－1＝3sin2x ＋2cos 2x －1＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin(2x ＋π6)，因为－π6≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π6≤2π3. 于是，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值2；当2x ＋π6＝－π6，即x ＝－π6时，f (x )取得最小值－1.【思路点拨】打开sin(x ＋π6)，降幂再利用辅助角公式变换成y ＝A sin(ωx ＋φ)+B 的形式，再求该函数的区间最值． 【答案】D ． 能力型 师生共研7．已知0＜β＜π2＜α＜π，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝－19，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝23，则cos(α＋β)的值为________．【知识点】两角和与差的三角函数 【数学思想】转化化归的数学思想.【解题过程】∵0＜β＜π2＜α＜π， ∴－π4＜α2－β＜π2，π4＜α－β2＜π， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝53，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝ 1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝459，∴cos α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－19×53＋459×23＝7527， ∴cos(α＋β)＝2cos 2α＋β2－1＝2×49×5729－1＝－239729．【思路点拨】角α2－β、α－β2的范围一定要确定准确，以免导致开方时符号错误． 【答案】－239729．8．已知向量m ＝(cos θ，sin θ)，n ＝(2－sin θ，cos θ)，θ∈(π，2π)，且|m ＋n |＝825，求cos(θ2＋π8)的值．【知识点】三角恒等变换及三角函数与向量. 【数学思想】转化化归的数学思想.【解题过程】m ＋n ＝(cos θ－sin θ＋2，cos θ＋sin θ)，|m ＋n |＝(cos θ－sin θ＋2)2＋(cos θ＋sin θ)2＝4＋22(cos θ－sin θ)＝4＋4cos(θ＋π4)＝21＋cos(θ＋π4)，由已知|m ＋n |＝825，得cos(θ＋π4)＝725.又cos(θ＋π4)＝2cos 2(θ2＋π8)－1，∴cos 2(θ2＋π8)＝1625.∵π<θ<2π，∴5π8<θ2＋π8<9π8. ∴cos(θ2＋π8)<0. ∴cos(θ2＋π8)＝－45. 方法二：|m ＋n |2＝(m ＋n )2＝m 2＋2m ·n ＋n 2＝|m |2＋|n |2＋2m ·n＝(cos 2θ＋sin 2θ)2＋[(2－sin θ)2＋cos 2θ]2＋2[cos θ(2－sin θ)＋sin θcos θ] ＝4＋22(cos θ－sin θ)＝4[1＋cos(θ＋π4)]＝8cos 2(θ2＋π8)． 由已知|m ＋n |＝825，得|cos(θ2＋π8)|＝45.又π<θ<2π，∴5π8<θ2＋π8<9π8 ∴cos(θ2＋π8)<0. ∴cos(θ2＋π8)＝－45.【思路点拨】思路一：先进行向量坐标运算再三角恒等变换. 思路二：先应用向量的模长运算在利用模长公式结合三角恒等变换.【答案】cos(θ2＋π8)＝－45. 探究型 多维突破9.如图，要把半径为R 的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使长方形截面面积最大？最大面积为（ ）A ．22R B ．2R C ．22RD ．24R【知识点】三角恒等变换及三角函数性质. 【数学思想】数学建模与转化化归的数学思想.【解题过程】设圆心为O ，长方形截面面积为S ，∠AOB ＝α，则AB ＝R sin α，OB ＝R cos α，S ＝(R sin α)·2(R cos α)＝2R 2sin αcos α＝R 2sin2α.当sin2α＝1时，即α＝π4时，长方形截面面积最大，最大截面面积等于R 2.【思路点拨】（1）设长方形截面面积为S ，∠AOB ＝α找出S 与α之间的函数关系，（2）由得出的函数关系，求S 的最大值 【答案】B ．10.已知函数f (x )＝sin x ，x ∈R .(1)函数g (x )＝2sin x ·(sin x ＋cos x )－1的图像可由f (x )的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到； (2)设h (x )＝f )22(x -π＋4λf (x －π2)，是否存在实数λ，使得函数h (x )在R 上的最小值是－32？若存在，求出对应的λ值；若不存在，说明理由． 【知识点】三角恒等变换及三角函数的最值的逆向问题. 【数学思想】转化化归与分类讨论的数学思想.【解题过程】(1)g (x )＝2sin 2x ＋sin2x －1＝sin2x －cos2x ＝2sin )42(π-x ，先将f (x )的图像向右平移π4个单位长度得到y ＝sin )4(π-x 的图像；再将y ＝sin(x －π4)图像上各点的横坐标变为原来的12倍，得到函数y ＝sin )42(π-x 的图像；最后将曲线上各点的纵坐标2倍得到函数g (x )的图像．(2)h (x )＝cos2x －4λcos x ＝2cos 2x －4λcos x －1＝2(cos x －λ)2－2λ2－1， ⎩⎪⎨⎪⎧λ<－1，1＋4λ＝－32或⎩⎪⎨⎪⎧－1≤λ≤1，－2λ2－1＝－32或⎩⎪⎨⎪⎧λ>1，1－4λ＝－32.∴λ＝±12.【思路点拨】（1）降幂再利用辅助角公式变换成y ＝A sin(ωx ＋φ)+B 的形式，（2）转化为二次函数的最值.【答案】(1)见解题过程. (2) λ＝±12. 自助餐1.下列各值中，函数2sin y x x =+不能取得的是（ ） A.3B.3.5C.4D.4.5【知识点】三角恒等变换及三角函数的值域. 【数学思想】转化化归数学思想.【解题过程】因为2sin y x x =+14sin 4sin 423x x x π⎛⎫⎛⎫=+=+≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数2sin y x x =+不能取得的是4.5.【思路点拨】利用辅助角公式变换成y ＝A sin(ωx ＋φ)+B 的形式再根据三角函数范围求解. 【答案】D.2．已知函数f (x )＝(1＋cos2x )sin 2x ，x ∈R ，则f (x )是（ ）A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数【知识点】三角恒等变换及三角函数性质． 【数学思想】转化化归的数学思想【解题过程】f (x )＝(1＋cos2x )sin 2x ＝(1＋cos2x )·1－cos2x 2＝12(1－cos 22x )＝12(1－1＋cos4x 2)，可知f (x )的最小正周期为π2的偶函数． 【思路点拨】使用公式21cos 2sin 2αα-=与21cos 2cos ,2αα+=进行三角恒等变换 【答案】D3．若0＜α＜π2，－π2＜β＜0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝33，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2等于（ ）A ．33B ．－33C ．539D ．－69【知识点】两角和与差的三角函数． 【数学思想】转化化归的数学思想【解题过程】cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2，∵0＜α＜π2，∴π4＜π4＋α＜3π4，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝223.又－π2＜β＜0，则π4＜π4－β2＜π2， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝63.故cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝13×33＋223×63＝539．【思路点拨】角的范围一定要确定准确，以免导致开方时符号错误． 【答案】C ．4．已知cos(α－π6)＋sin α＝453，则sin(α＋7π6)的值是________． 【知识点】两角和与差的三角函数． 【数学思想】转化化归的数学思想【解题过程】∵cos(α－π6)＋sin α＝453， ∴32cos α＋32sin α＝453，3(12cos α＋32sin α)＝453，3sin(π6＋α)＝453， ∴sin(π6＋α)＝45，∴sin(α＋7π6)＝－sin(π6＋α)＝－45．【思路点拨】先把cos(α－π6)展开再利用辅助角公式化简变形，最后注意分析已知角与未知角之间的关系． 【答案】－45．5．已知在△ABC 中，sin(A ＋B )＝23，cos B ＝－34，则cos A ＝________. 【知识点】两角和与差的三角函数． 【数学思想】转化化归的数学思想 【解题过程】在△ABC 中，∵cos B ＝－34， ∴π2＜B ＜π，sin B ＝1－cos 2B ＝74. ∵π2＜B ＜A ＋B ＜π，sin(A ＋B )＝23， ∴cos(A ＋B )＝－1－sin 2A ＋B ＝－53，∴cos A ＝cos[(A ＋B )－B ] ＝cos(A ＋B )cos B ＋sin(A ＋B )sin B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－53×⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＋23×74＝35＋2712.【思路点拨】角的范围一定要确定准确(注意cos B ＝－34隐含钝角)，以免导致开方时符号错误． 【答案】35＋2712． 6．已知函数f (x )＝2cos2x ＋sin 2x －4cos x .(1)求f(π3)的值；(2)求f(x)的最大值和最小值．【知识点】三角恒等变换及函数最值．【数学思想】转化化归的数学思想【解题过程】(1)f(π3)＝2cos2π3＋sin2π3－4cosπ3＝－1＋34－2＝－94.(2)f(x)＝2(2cos2x－1)＋(1－cos2x)－4cos x＝3cos2x－4cos x－1＝3(cos x－23)2－73，x∈R，因为cos x∈[－1,1]，所以，当cos x＝－1时，f(x)取得最大值6；当cos x＝23时，f(x)取得最小值－73.【思路点拨】统一三角函数名称及角度，转化为二次函数求解最值.【答案】(1)－94. (2) f(x)取得最大值6，最小值－73.。
高中数学必修四教案-简单的三角恒等变换
数学 3.2简单的三角恒等变换(1)教案一、教学分析本节主要包括利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换,以及三角恒等变换在数学中的应用.本节的内容都是用例题来展现的,通过例题的解答,引导学生对变换对象和变换目标进行对比、分析,促使学生形成对解题过程中如何选择公式,如何根据问题的条件进行公式变形,以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识,从而加深理解变换思想,提高学生的推理能力.本节把三角恒等变换的应用放在三角变换与三角函数间的内在联系上,从而使三角函数性质的研究得到延伸.三角恒等变换不同于代数变换，后者往往着眼于式子结构形式的变换，变换内容比较单一.而对于三角变换，不仅要考虑三角函数是结构方面的差异，还要考虑三角函数式所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，它是一种立体的综合性变换.从函数式结构、函数种类、角与角之间的联系等方面找一个切入点，并以此为依据选择可以联系它们的适当公式进行转化变形，是三角恒等变换的重要特点.二、三维目标1．知识与技能：通过经历二倍角的变形公式推导出半角的正弦、余弦和正切公式，能利用和与差的正弦、余弦公式推导出积化和差与和差化积公式,体会化归、换元、方程、逆向使用公式等数学思想，提高学生的推理能力.2．过程与方法：理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并会利用公式进行简单的恒等变形,体会三角恒等变换在数学中的应用.3．情感态度与价值观：通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力.三、重点难点教学重点：1.半角公式、积化和差、和差化积公式的推导训练.2.三角变换的内容、思路和方法,在与代数变换相比较中,体会三角变换的特点.教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力.四、课时安排2课时五、教学设想第1课时（一）导入新课思路1.我们知道变换是数学的重要工具，也是数学学习的主要对象之一，三角函数主要有以下三个基本的恒等变换：代数变换、公式的逆向变换和多向变换以及引入辅助角的变换.前面已经利用诱导公式进行了简单的恒等变换，本节将综合运用和（差）角公式、倍角公式进行更加丰富的三角恒等变换.思路2.三角函数的化简、求值、证明，都离不开三角恒等变换.学习了和角公式，差角公式，倍角公式以后，我们就有了进行三角变换的新工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富和灵活，同时也为培养和提高我们的推理、运算、实践能力提供了广阔的空间和发展的平台.对于三角变换,由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异,而且还会有所包含的角,以及这些角的三角函数种类方面的差异,因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系,并以此为依据选择可以联系它们的适当公式,这是三角式恒等变换的重要特点.（二）推进新课、新知探究、提出问题①α与2a 有什么关系? ②如何建立cos α与sin 22a 之间的关系？ ③sin 22a =2cos 1a -，cos 22a =2cos 1a +，tan 22a =a a cos 1cos 1+-这三个式子有什么共同特点？ ④通过上面的三个问题，你能感觉到代数变换与三角变换有哪些不同吗?⑤证明(1)sin αcos β=21[sin(α+β)+sin(α-β)]; (2)sin θ+sin φ=2sin 2cos 2ϕθϕθ-+. 并观察这两个式子的左右两边在结构形式上有何不同？活动：教师引导学生联想关于余弦的二倍角公式cos α=1-2sin 22a ,将公式中的α用2a 代替,解出sin 22a 即可.教师对学生的讨论进行提问，学生可以发现：α是2a的二倍角.在倍角公式cos2α=1-2sin 2α中,以α代替2α,以2a 代替α,即得cos α=1-2sin 22a , 所以sin 22a =2cos 1a -. ① 在倍角公式cos2α=2cos 2α-1中,以α代替2α,以2a 代替α,即得cos α=2cos 22a -1, 所以cos 22a =2cos 1a +. ② 将①②两个等式的左右两边分别相除,即得tan 22a =aa cos 1cos 1+-. ③ 教师引导学生观察上面的①②③式，可让学生总结出下列特点：(1)用单角的三角函数表示它们的一半即是半角的三角函数;(2)由左式的“二次式”转化为右式的“一次式”(即用此式可达到“降次”的目的). 教师与学生一起总结出这样的特点,并告诉学生这些特点在三角恒等变形中将经常用到.提醒学生在以后的学习中引起注意.同时还要强调,本例的结果还可表示为:sin2a =±2cos 1a -,cos 2a =±2cos 1a +,tan 2a =±a a cos 1cos 1+-,并称之为半角公式(不要求记忆),符号由2a 所在象限决定. 教师引导学生通过这两种变换共同讨论归纳得出：对于三角变换,由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异.因此，三角恒等变换常常先寻找式子所包含的各个角间的联系，并以此为依据，选择可以联系它们的适当公式，这是三角恒等变换的重要特点.代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换.对于问题⑤：（1）如果从右边出发，仅利用和（差）的正弦公式作展开合并，就会得出左式.但为了更好地发挥本例的训练功能，把两个三角式结构形式上的不同点作为思考的出发点，引导学生思考，哪些公式包含sin αcos β呢？想到sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β.从方程角度看这个等式，sin αcos β，cos αsin β分别看成两个未知数.二元方程要求得确定解，必须有2个方程，这就促使学生考虑还有没有其他包含sin αcos β的公式，列出sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β后，解相应的以sin αcos β，cos αsin β为未知数的二元一次方程组，就容易得到所需要的结果.（2）由（1）得到以和的形式表示的积的形式后，解决它的反问题，即用积的形式表示和的形式，在思路和方法上都与（1）没有什么区别.只需做个变换，令α+β=θ，α-β=φ，则α=2ϕθ+，β=2ϕθ-,代入 (1)式即得(2)式.证明:(1)因为sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β,sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β,将以上两式的左右两边分别相加,得sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β,即sin αcos β=21[sin(α+β)+sin(α-β)].(2)由(1),可得sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β.①设α+β=θ,α-β=φ,那么α=2ϕθ+,β=2ϕθ-. 把α,β的值代入①,即得sin θ+sin φ=2sin 2ϕθ+cos 2ϕθ-.教师给学生适时引导，指出这两个方程所用到的数学思想,可以总结出在本例的证明过程中用到了换元的思想,如把α+β看作θ,α-β看作φ,从而把包含α,β的三角函数式变换成θ,φ的三角函数式.另外,把sin αcos β看作x,cos αsin β看作y,把等式看作x,y 的方程,通过解方程求得x,这就是方程思想的体现.讨论结果：①α是2a 的二倍角. ②sin 22a =1-cos 2cos 1a -. ③④⑤略(见活动）.（三）应用示例思路1例1 化简:.cos sin 1cos sin 1xx x x ++-+. 活动：此题考查公式的应用，利用倍角公式进行化简解题.教师提醒学生注意半角公式和倍角公式的区别，它们的功能各异，本质相同，具有对立统一的关系. 解:原式=)2sin 2(cos 2cos 2)2cos 2(sin 2sin 22cos 2sin 22cos 22cos 2sin 22sin 222x x x x x x x x x x x x ++=++=tan 2x . 点评：本题是对基本知识的考查，重在让学生理解倍角公式与半角公式的内在联系. 变式训练化简:sin50°(1+3tan10°). 解:原式=sin50° 10cos )10sin 2310cos 21(250sin 10cos 10sin 31+∙=+ =2sin50°·10cos 10sin 30cos 10cos 30sin + =2cos40°·10cos 10cos 10cos 80sin 10cos 40sin ===1. 例2 已知sinx-cosx=21,求sin 3x-cos 3x 的值. 活动：教师引导学生利用立方差公式进行对公式变换化简，然后再求解.由于(a-b)3=a 3-3a 2b+3ab2-b 3=a 3-b 3-3ab(a-b),∴a 3-b 3=(a-b)3+3ab(a-b).解完此题后,教师引导学生深挖本例的思想方法,由于sinx ·cosx 与sinx ±cosx 之间的转化.提升学生的运算.化简能力及整体代换思想.本题也可直接应用上述公式求之,即sin 3x-cos 3x=(sinx-cosx)3+3sinxcosx(sinx-cosx)=1611.此方法往往适用于sin 3x ±cos 3x 的化简问题之中.解:由sinx-cosx=21,得(sinx-cosx)2=41, 即1-2sinxcosx=41,∴sinxcosx=83. ∴sin 3x-cos 3x=(sinx-cosx)(sin 2x+sinxcosx+cos 2x) =21(1+83)=1611. 点评：本题考查的是公式的变形、化简、求值,注意公式的灵活运用和化简的方法. 变式训练(2007年高考浙江卷,12) 已知sin θ+cos θ=51,且2π≤θ≤43π,则cos2θ的值是______________.答案:257- 例1 已知1sin sin cos cos :1sin sin cos cos 24242424=+=+AB A B B A B A 求证. 活动：此题可从多个角度进行探究,由于所给的条件等式与所要证明的等式形式一致,只是将A,B 的位置互换了,因此应从所给的条件等式入手,而条件等式中含有A,B 角的正、余弦,可利用平方关系来减少函数的种类.从结构上看,已知条件是a 2+b 2=1的形式,可利用三角代换. 证明一:∵1sin sin cos cos 2424=+BA B A , ∴cos 4A ·sin 2B+sin 4A ·cos 2B=sin 2B ·cos+B.∴cos 4A(1-cos 2B)+sin 4A ·cos 2B=(1-cos 2B)cos 2B,即cos 4A-cos 2B(cos 4A-sin 4A)=cos 2B-cos 4B.∴cos 4A-2cos 2Acos 2B+cos 4B=0.∴(cos 2A-cos 2B)2=0.∴cos 2A=cos 2B.∴sin 2A=sin 2B. ∴=+A B A B 2424sin sin cos cos cos 2B+sin 2B=1. 证明二:令BA aB A sin sin ,cos cos cos 22==sin α, 则cos 2A=cosBcos α,sin 2A=sinBsin α.两式相加,得1=cosBcos α+sinBsin α,即cos(B-α)=1.∴B-α=2k π(k ∈Z ),即B=2k π+α(k ∈Z ).∴cos α=cosB,sin α=sinB.∴cos 2A=cosBcos α=cos 2B,sin 2A=sinBsin α=sin 2B. ∴BB B B A B A B 24242424sin sin cos cos sin sin cos cos +=+=cos 2B+sin 2B=1. 点评:要善于从不同的角度来观察问题,本例从角与函数的种类两方面观察,利用平方关系进行了合理消元.变式训练在锐角三角形ABC 中,ABC 是它的三个内角,记S=B A tan 11tan 11+++,求证:S<1. 证明:∵S=B A B A B A B A B A tan tan tan tan 1tan tan 1)tan 1)(tan 1(tan 1tan 1+++++=+++++ 又A+B>90°,∴90°>A>90°-B>0°.∴tanA>tan(90°-B)=cotB>0,∴tanA ·tanB>1.∴S<1.思路2例1 证明x x cos sin 1+=tan(4π+2x ). 活动：教师引导学生思考，对于三角恒等式的证明，可从三个角度进行推导：①左边→右边；②右边→左边；③左边→中间条件←右边.教师可以鼓励学生试着多角度的化简推导.注意式子左边包含的角为x,三角函数的种类为正弦，余弦，右边是半角2x ，三角函数的种类为正切.解：方法一：从右边入手，切化弦，得 tan(4π+2x )=2sin 2cos 2sin 2cos 2sin 2sin 2cos 2cos 2sin 4cos 2cos 4sin )24cos()22sin(x x x x x x x x x x -+=-+=++ππππππ,由左右两边的角之间的关系，想到分子分母同乘以cos 2x +sin 2x ,得 x x x x x x x x cos sin 1)2sin 2)(cos 2sin 2(cos )2sin 2(cos 2+=-++ 方法二：从左边入手，分子分母运用二倍角公式的变形，降倍升幂，得 2sin 2cos 2sin 2cos )2sin 2)(cos 2sin 2(cos )2sin 2(cos cos sin 12x x x x x x x x x x x x -+=-++=+ 由两边三角函数的种类差异，想到弦化切，即分子分母同除以cos 2x ,得 2tan 4tan 12tan 4tan 2tan 12tan 1x x x x ππ-+=-+=tan(4π+2x ). 点评：本题考查的是半角公式的灵活运用，以及恒等式的证明所要注意的步骤与方法. 变式训练已知α,β∈(0,2π)且满足:3sin 2α+2sin 2β=1,3sin2α-2sin2β=0,求α+2β的值. 解法一:3sin 2α+2sin 2β=1⇒3sin 2α=1-2sin 2β,即3sin 2α=cos2β, ①3sin2α-2sin2β=0⇒3sin αcos α=sin2β, ②①2+②2:9sin 4α+9sin 2αcos 2α=1,即9sin 2α(sin 2α+cos 2α)=1,∴sin 2α=91.∵α∈(0,2π),∴sin α=31. ∴sin(α+2β)=sin αcos2β+cos αsin2β=sin α·3sin 2α+cos α·3sin αcos α=3sin α(sin 2α+cos 2α)=3×31=1. ∵α,β∈(0,2π),∴α+2β∈(0,23π).∴α+2β=2π. 解法二:3sin 2α+2sin 2β=1⇒cos2β=1-2sin 2β=3sin 2α,3sin2α-2sin2β=0⇒sin2β=23sin2α=3sin αcos α, ∴cos(α+2β)=cos αcos2β-sin αsin2β=cos α·3sin 2α-sin α·3sin αcos α=0. ∵α,β∈(0,2π),∴α+2β∈(0,23π).∴α+2β=2π. 解法三:由已知3sin 2α=cos2β,23sin2α=sin2β, 两式相除,得tan α=cot2β,∴tan α=tan(2π-2β). ∵α∈(0,2π),∴tan α>0.∴tan(2π-2β)>0. 又∵β∈(0,2π),∴2π-<2π-2β<2π. 结合tan(2π-2β)>0,得0<2π-2β<2π. ∴由tan α=tan(2π-2β),得α=2π-2β,即α+2β=2π. 例2 求证:αββαβαβ2222tan tan 1cos sin )sin()sin(-=-+a 活动：证明三角恒等式,一般要遵循“由繁到简”的原则,另外“化弦为切”与“化切为弦”也是在三角式的变换中经常使用的方法.证明:证法一:左边=βαβαβαβαβ22cos sin )sin cos cos )(sin sin cos cos (sin -+ ==-=-=-a a a a 222222222222tan tan 1cos sin sin cos 1cos sin sin cos cos sin ββββββ=右边.∴原式成立. 证法二:右边=1-βββββ2222222222cos sin sin cos cos sin cos sin sin cos a a -= =βββββ22cos sin )sin cos cos )(sin sin cos cos (sin a a a a -+ =βββ22cos sin )sin()sin(++a a =左边.∴原式成立. 点评：此题进一步训练学生三角恒等式的变形,灵活运用三角函数公式的能力以及逻辑推理能力.变式训练1.求证:θθθθθθ2tan 14cos 4sin 1sin 24cos 4sin 1-++=-+. 分析：运用比例的基本性质,可以发现原式等价于θθθθθθ2tan 1tan 24cos 4sin 14cos 4sin 1-=++-+,此式右边就是tan2θ.证明:原等式等价于θθθθθ2tan 4cos 4sin 14cos 4sin 1=++-+. 而上式左边 θθθθθθθθθθ2cos 22cos 2sin 22sin 22cos 2sin 2)4cos 1(4sin )4cos 1(4sin 22++=++-+=)2cos 2(sin 2cos 2)2sin 2(cos 2sin 2θθθθθθ++==tan2θ右边.∴上式成立,即原等式得证. 2.已知sin β=m ·sin(2α+β),求证:tan(α+β)=m m -+11tan α. 分析:仔细观察已知式与所证式中的角,不要盲目展开,要有的放矢,看到已知式中的2α+β可化为结论式中的α+β与α的和,不妨将α+β作为一整体来处理.证明:由sin β=msin(2α+β)⇒sin[(α+β)-α]=msin[(α+β)+α]⇒sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α=m0[sin(α+β)cos α+cos(α+β)sinα]⇒(1-m)·sin(α+β)cos α=(1+m)·cos(α+β)sin α⇒tan(α+β)=mm -+11tan α. （四）知能训练1.若sin α=135,α在第二象限,则tan 2a 的值为( ) A.5 B.-5 C.51 D.51- 2.设5π<θ<6π,cos 2θ=α,则sin 4θ等于( ) A.21a + B.21a - C.21a +- D.21a -- 3.已知sin θ=53-,3π<θ<27π,则tan 2θ_________________. 解答:1.A2.D3.-3（五）课堂小结1.先让学生自己回顾本节学习的数学知识:和、差、倍角的正弦、余弦公式的应用,半角公式、代数式变换与三角变换的区别与联系.积化和差与和差化积公式及其推导,三角恒等式与条件等式的证明.2.教师画龙点睛总结:本节学习了公式的使用,换元法,方程思想,等价转化,三角恒等变形的基本手段.（六）作业。
2017人教a版高中数学必修四 第三章简单的三角恒等变换
简单的三角恒等变换（3个课时）一、课标要求： 本节主要包括利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换，和三角恒等变换在数学中的应用．二、编写用意与特色本节内容都是用例题来展现的．通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题进程中如何选择公式，如何按照问题的条件进行公式变形，和变换进程中表现的换元、逆向利用公式等数学思想方式的熟悉，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．三、教学目标通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题进程中如何选择公式，如何按照问题的条件进行公式变形，和变换进程中表现的换元、逆向利用公式等数学思想方式的熟悉，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．四、教学重点与难点教学重点：引导学生以已有的十一个公式为依据，以推导积化和差、和差化积、半角公式的推导作为大体训练，学习三角变换的内容、思路和方式，在与代数变换相较较中，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力． 教学难点：熟悉三角变换的特点，并能运用数学思想方式指导变换进程的设计，不断提高从整体上把握变换进程的能力．五、学法与教学用具学法：教学式教学六、教学假想：学习和（差）公式，倍角公式以后，咱们就有了进行变换的性工具，从而使三角变换的内容、思路和方式加倍丰硕，这为咱们的推理、运算能力提供了新的平台．下面咱们以习题课的形式讲解本节内容．例一、试以cos α表示222sin ,cos ,tan 222ααα． 解：咱们能够通过二倍角2cos 2cos12αα=-和2cos 12sin 2αα=-来做此题． 因为2cos 12sin2αα=-，能够取得21cos sin 22αα-=； 因为2cos 2cos 12αα=-，能够取得21cos cos 22αα+=．又因为222sin 1cos 2tan 21cos cos 2ααααα-==+． 试探：代数式变换与三角变换有什么不同？ 代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的不同，而且还会有所包括的角，和这些角的三角函数种类方面的不同，因此三角恒等变换常常第一寻觅式子所包括的各个角之间的联系，这是三角式恒等变换的重要特点． 例２、求证：（１）、()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦； （２）、sin sin 2sin cos 22θϕθϕθϕ+-+=．证明：（１）因为()sin αβ+和()sin αβ-是咱们所学习过的知识，因此咱们从等式右边着手．()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-． 两式相加得()()2sin cos sin sin αβαβαβ=++-；即()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦； （２）由（１）得()()sin sin 2sin cos αβαβαβ++-=①；设,αβθαβϕ+=-=， 那么,22θϕθϕαβ+-==．把,αβ的值代入①式中得sin sin 2sincos 22θϕθϕθϕ+-+=．试探：在例２证明顶用到哪些数学思想？ 例２ 证明顶用到换元思想，（１）式是积化和差的形式，（２）式是和差化积的形式，在后面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积的公式．例３、求函数sin 3y x x =的周期，最大值和最小值．解：sin 3y x x =这种形式咱们在前面见过，13sin 32sin cos 2sin 223y x x x x x π⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，所求的周期22T ππω==，最大值为２，最小值为2-．点评：例３是三角恒等变换在数学中应用的举例，它使三角函数中对函数()sin y A x ωϕ=+的性质研究取得延伸，表现了三角变换在化简三角函数式中的作用． 小结：此节虽只安排一到两个课时的时刻，但也是超级重要的内容，咱们要对变换进程中表现的换元、逆向利用公式等数学思想方式加深熟悉，学会灵活运用．作业：157158P P -14T T -。
高中数学：3.2 简单的三角恒等变换(2)教案
3.2 简单的三角恒等变换（2）一、教学目标：知识与技能：1、加深对和差角、二倍角公式的记忆，推导降幂公式及其它变形形式。
2、理解三角恒等变换的基本思想，培养的定向思考和逆向思维能力，理解化归思想。
3、能独立分析和解决一些三角问题。
过程与方法：理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并会利用公式进行简单的恒等变形,体会三角恒等变换在数学中的应用.情感、态度与价值观通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力. 二．重点难点重点：三角恒等变换的模式难点：降次、化为一个角的三角函数三、教材与学情分析本节把三角恒等变换的应用放在三角变换与三角函数间的内在联系上,从而使三角函数性质的研究得到延伸.三角恒等变换不同于代数变换，后者往往着眼于式子结构形式的变换，变换内容比较单一.而对于三角变换，不仅要考虑三角函数是结构方面的差异，还要考虑三角函数式所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，它是一种立体的综合性变换.从函数式结构、函数种类、角与角之间的联系等方面找一个切入点，并以此为依据选择可以联系它们的适当公式进行转化变形，是三角恒等变换的重要特点. 四、教学方法问题引导，主动探究，启发式教学．五、教学过程（一）导入新课前面已经学过如何把形如y=asinx+bcosx的函数转化为形如y=Asin(ωx+φ)的函数，本节主要研究函数y=asinx+bcosx的周期、最值等性质.三角函数和代数、几何知识联系密切，它是研究其他各类知识的重要工具.高考题中与三角函数有关的问题，大都以恒等变形为研究手段.三角变换是运算、化简、求值、证明过程中不可缺少的解题技巧，要学会创设条件灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能.（二）新知探究、提出问题①三角函数y=sinx ，y=cosx 的周期,最大值和最小值是多少？②函数y=asinx+bcosx 的变形与应用是怎样的？③三角变换在几何问题中有什么应用？活动：教师引导学生对前面已学习过的三角函数的图象与性质进行复习与回顾，我们知道正弦函数，余弦函数的图象都具有周期性、对称性、单调性等性质.而且正弦函数，余弦函数的周期都是2kπ（k ∈Z 且k≠0），最小正周期都是2π.三角函数的定义与变化时，会对其周期性产生一定的影响，例如，函数y=sinx 的周期是2kπ（k ∈Z 且k≠0），且最小正周期是2π，函数y=sin2x 的周期是kπ（k ∈Z 且k≠0），且最小正周期是π.正弦函数，余弦函数的最大值是1，最小值是-1，所以这两个函数的值域都是[-1，1].函数y=asinx+bcosx=22b a +（2222sin b a b x b a a+++cosx ）, ∵(sin ,cos 1)()(2222222222=+=+=+++b a b b a a ba b b a aϕ从而可令φ, 则有asinx+bcosx=22b a +（sinxcosφ+cosxsinφ）=22b a +sin （x+φ）.因此，我们有如下结论：asinx+bcosx=22b a +sin （x+φ），其中tanφ=ab .在以后的学习中可以用此结论进行求几何中的最值问题或者角度问题.我们知道角的概念起源于几何图形，从而使得三角函数与平面几何有着密切的内在联系.几何中的角度、长度、面积等几何问题，常需借助三角函数的变换来解决，通过三角变换来解决几何中的有关问题，是一种重要的数学方法.讨论结果：①y=sinx ，y=cosx 的周期是2kπ（k ∈Z 且k≠0），最小正周期都是2π；最大值都是1，最小值都是-1.②—③(略)见活动.（三）应用示例例1 求函数y=sin 4x+23sinxcosx-cos 4x 的最小正周期和最小值;并写出该函数在[0,π]上的单调递增区间.活动：教师引导学生利用公式解题，本题主要考查二倍角公式以及三角函数的单调性和周期性等基础知识.先用二倍角公式把函数化成最简形式,然后再解决与此相关的问题.解:y=sin 4x+23sinxcosx-cos 4x=(sin 2x+cos 2x)(sin 2x-cos 2x)+3sin2x=3sin2x-cos2x=2sin (2x-6π).故该函数的最小正周期是π;最小值是-2;在[0,π]上单调增区间是[0, 3π],[65π,π]. 点评：本题主要考查二倍角公式以及三角函数的单调性和周期性等基础知识. 变式训练1.已知函数f(x)=cos 4x-2sinxcosx-sin 4x,(1)求f(x)的最小正周期;(2)若x ∈[0,2π],求f(x)的最大、最小值.解：f(x)=cos 4x-2sinxcosx-sin 4x=(cos 2x+sin 2x)(cos 2x-sin 2x)-sin2x=cos2x-sin2x=2cos(2x+4π), 所以，f(x)的最小正周期T=22π=π. (2)因为x ∈[0,2π]，所以2x+4π∈[4π，45π]. 当2x+4π=4π时，cos(2x+4π)取得最大值22, 当2x+4π=π时，cos(2x+4π)取得最小值-1.所以，在[0,2π]上的最大值为1，最小值为-2.例2. 已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)是R 上的偶函数,其图象关于点M(43π,0)对称,且在区间[0,2π]上是单调函数,求φ和ω的值.活动：提醒学生在解此题时,对f(x)是偶函数这一条件的运用不在问题上,而在对“f(x)的图象关于M(43π,0)对称”这一条件的使用上,多数考生都存在一定问题.一般地:定义在R 上的函数y=f(x)对定义域内任意x 满足条件:f(x+a)=2b-f(a-x),则y=f(x)的图象关于点(a,b)对称,反之亦然.教师在这类问题的教学时要给予充分的提示与总结，多做些这种类型的变式训练. 解：由f(x)是偶函数,得f(-x)=f(x),即sin(-ωx+φ)=sin(ωx+φ),所以-cosφsinωx=cosφsinωx对任意x 都成立.又ω>0,所以,得cosφ=0.依题设0≤φ≤π,所以,解得φ=2π. 由f(x)的图象关于点M 对称,得f(43π-x)=-f(43π+x).取x=0,得f(43π)=-f(43π),所以f(43π)=0. ∵f(43π)=sin(43ωπ+2π)=cos 43ωπ,∴cos 43ωπ=0.又ω>0,得43ωπ=2π+kπ,k=0,1,2,…. ∴ω=32(2k+1),k=0,1,2,….当k=0时,ω=32,f(x)=sin(32x+2π)在[0,2π]上是减函数; 当k=1时,ω=2,f(x)=sin(2x+2π)在[0,2π]上是减函数; 当k≥2时,ω≥310,f(x)=sin(ωx+2π)在[0,2π]上不是单调函数.所以,综合得ω=32或ω=2. 点评：利用函数思想进行解题，结合三角函数的图象与性质，对函数进行变换然后进而解决此题.例3. 如图1,已知OPQ 是半径为1,圆心角为3π的扇形,C 是扇形弧上的动点,ABCD 是扇形的内接矩形.记∠COP=α,求当角α取何值时,矩形ABCD 的面积最大?并求出这个最大面积. 活动：要求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积S 最大，先找出S 与α之间的函数关系，再求函数的最值.找S 与α之间的函数关系可以让学生自己解决，得到：S=AB·BC=(cosα33-sinα)sinα=sinαcosα-33-sin 2α. 求这种y=asin 2x+bsinxcosx+ccos 2x 函数的最值，应先降幂，再利用公式化成Asin(ωx+φ)型的三角函数求最值.教师引导学生思考：要求当角α取何值时,矩形ABCD 的面积S 最大,可分两步进行:图1(1)找出S 与α之间的函数关系;(2)由得出的函数关系,求S 的最大值.解:在Rt △OBC 中,BC=cosα,BC=sinα,在Rt △OAD 中,OADA =tan60°=3, 所以OA=33DA=33BC=33sinα.所以AB=OB-OA=c osα33-sinα.设矩形ABCD 的面积为S,则S=AB·BC=(cosα33-sinα)sinα=sinαcosα33-sin 2α =21sin2α+63cos2α-63=31(23sin2α+21cos2α)-63=31sin(2α+6π)-63. 由于0<α<3π,所以当2α+6π=2π,即α=6π时,S 最大=31-63=63. 因此,当α=6π时,矩形ABCD 的面积最大,最大面积为63. 点评：可以看到,通过三角变换,我们把形如y=asinx+bcosx 的函数转化为形如y=Asin(ωx+φ)的函数,从而使问题得到简化.这个过程中蕴涵了化归思想.此题可引申即可以去掉“记∠COP=α”,结论改成“求矩形ABCD 的最大面积”，这时，对自变量可多一种选择，如设AD=x,S=x(x x 3312--),尽管对所得函数还暂时无法求其最大值，但能促进学生对函数模型多样性的理解，并能使学生感受到以角为自变量的优点.变式训练2. 已知如图2的Rt △ABC 中,∠A=90°,a 为斜边,∠B 、∠C 的内角平分线BD 、CE的长分别为m 、n,且a 2=2mn.问:是否能在区间(π,2π］中找到角θ,恰使等式cosθ-sinθ=4(cos2C B +-cos 2C B -)成立?若能,找出这样的角θ;若不能,请说明理由. 解:在Rt △BAD 中,m AB =cos 2B ,在Rt △BAC 中,a AB =sinC,∴mcos 2B =asinC.图2同理,ncos2C =asinB.∴mncos 2B cos 2C =a 2sinBsinC.而a 2=2mn, ∴cos 2B cos 2C =2sinBsinC=8sin 2B ·cos 2B cos 2C sin 2C .∴sin 2B sin 2C =81. 积化和差,得4(cos 2C B +-cos 2C B -)=-1, 若存在θ使等式cosθ-sinθ=4(cos 2C B +-cos 2C B -)成立,则2cos(θ+4π)=-1, ∴cos(θ+4π)=22.而π<θ≤2π,∴45π<θ+4π≤29π.∴这样的θ不存在.点评:对于不确定的开放式问题,通常称之为存在性问题.处理这类问题的一般思路是先假设结论是肯定的,再进行演绎推理,若推证出现矛盾,即可否定假设;若推出合理结果,即假设成立.这个探索结论的过程可概括为假设——推证——定论.例4. 已知tan(α-β)=21，tanβ=71-，且α,β∈(0,π)，求2α-β的值. 解：∵2α-β=2(α-β)+β,tan(α-β)=21，∴tan2(α-β)=)(tan 1)tan(22βαβα---=34. 从而tan(2α-β)=tan ［2(α-β)+β］=713417134tan )(2tan 1tan )(2tan ⨯+-=--+-ββαββα=121252125=. 又∵tanα=tan ［(α-β)+β］=ββαββαtan )tan(1tan )tan(--+-=31<1.且0<α<π，∴0<α<4π.∴0<2α<2π. 又tanβ=71-<0，且β∈(0,π)，∴2π<β<π，-π<-β<2π-.∴-π<2α-β<0.∴2α-β=43π-. 点评：本题通过变形转化为已知三角函数值求角的问题，关键在于对角的范围的讨论，注意合理利用不等式的性质，必要时，根据三角函数值，缩小角的范围，从而求出准确角.另外，求角一般都通过三角函数值来实现，但求该角的哪一种函数值，往往有一定的规律，若α∈(0,π)，则求cosα;若α∈(2π-,2π)，则求sinα等.变式训练3.若α,β为锐角，且3sin 2α+2sin 2β=1，3sin2α-2sin2β=0，求证：α+2β=2π.证明：已知两个等式可化为3sin 2α=cos2β， ①3sinαcosα=sin2β， ② ①÷②，得a a cos sin =ββ2sin 2cos ，即cosαcos2β-sinαsin2β=0， ∴cos(α+2β)=0.∵0<α<2π，0<β<2π，∴0<α+2β<23π.∴α+2β=2π. 六、课堂小结本节课主要研究了通过三角恒等变形,把形如y=asinx+bcosx 的函数转化为形如y=Asin(ωx+φ)的函数,从而能顺利考查函数的若干性质,达到解决问题的目的,充分体现出生活的数学和“活”的数学.七、课后作业1.课时练与测八、教学反思。
高中数学必修四《简单的三角恒等变换》优秀教学设计
3.2简单的三角恒等变换一．教学目标1、通过二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦、正切公式，体会化归、换元、方程、逆向使用公式等数学思想，提高学生的推理能力。
2、理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并会利用公式进行简单的恒等变形，体会三角恒等变形在数学中的应用。
3、通过三角恒等变形，形如x b x a cos sin +的函数转化为)sin(ϕ+=x A y 的函数；4、灵活利用公式，通过三角恒等变形，解决函数的最值、周期、单调性等问题。
5、通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．二、教学重点与难点教学重点：引导学生以已有的十一个公式为依据，以推导积化和差、和差化积、半角公式的推导作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力．教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力．三、教学过程（一）复习：二倍角公式。
（二）典型例题分析例1：.54sin ,20=<<απα已知 的值求αααα2cos cos 2sin sin )1(22++；的值求)45tan()2(πα-． 解：（1）由,54sin ,20=<<απα得,53cos =α .201cos 3cos sin 2sin 2cos cos 2sin sin 2222=-+=++∴αααααααα （2）.71tan 11tan )45tan(,34cos sin tan =+-=-==ααπαααα 例2．.10tan 3150sin ）（利用三角公式化简︒+︒ 解：）（原式︒︒+︒=10cos 10sin 3150sin ︒︒+︒⋅︒=10cos )10sin 2310cos 21(250sin ︒︒︒+︒︒⋅︒=10cos 10sin 30cos 10cos 30sin 50sin 2 ︒︒⋅︒=10cos 40sin 40cos 2110cos 10cos 10cos 80sin =︒︒=︒︒=. 例３．已知函数x x x x x f 44sin cos sin 2cos )(--=（1） 求)(x f 的最小正周期，（2）当]2,0[π∈x 时，求)(x f 的最小值及取得最小值时x 的集合．点评：例３是三角恒等变换在数学中应用的举例，它使三角函数中对函数()sin y A x ωϕ=+的性质研究得到延伸，体现了三角变换在化简三角函数式中的作用．例4．若函数]20[cos 22sin 3)(2π，m x x x f 在区间++=上的最大值为6，求常数m 的值及此函数当R x ∈时的最小值及取得最小值时x 的集合。
高中数学人教版必修4简单的三角恒等变换教学设计
简单的三角恒等变换（1）一．教学目标1、通过二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦、正切公式，体会化归、换元、方程、逆向使用公式等数学思想，提高学生的推理能力。
2、理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并会利用公式进行简单的恒等变形，体会三角恒等变形在数学中的应用。
3、通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力． 二、教学重点与难点教学重点：引导学生以已有的十一个公式为依据，以推导积化和差、和差化积、半角公式的推导作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力．教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力． 三、教学设想：（一）复习：三角函数的和（差）公式，倍角公式 （二）新课讲授：1、由二倍角公式引导学生思考：2αα与有什么样的关系？学习和（差）公式，倍角公式以后，我们就有了进行变换的性工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富，这为我们的推理、运算能力提供了新的平台．例1、试以cos α表示222sin ,cos ,tan 222ααα．解：我们可以通过二倍角2cos 2cos 12αα=-和2cos 12sin 2αα=-来做此题．因为2cos 12sin 2αα=-，可以得到21cos sin 22αα-=； 因为2cos 2cos 12αα=-，可以得到21cos cos 22αα+=． 又因为222sin 1cos 2tan 21cos cos 2ααααα-==+．例2．已知135sin =α，且α在第三象限，求2tan α的值。
例3、求证：（１）、()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦； （２）、sin sin 2sincos22θϕθϕθϕ+-+=．证明：（１）()sin αβ+和()sin αβ-是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边着手．()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-．两式相加得()()2sin cos sin sin αβαβαβ=++-； 即()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦； （２）由（１）得()()sin sin 2sin cos αβαβαβ++-= ①；设,αβθαβϕ+=-=，那么,22θϕθϕαβ+-==．把,αβ的值代入①式中得sin sin 2sincos22θϕθϕθϕ+-+=．思考：在例3证明中用到哪些数学思想？用到换元思想，（１）式是积化和差的形式，（２）式是和差化积的形式，在后面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积的公式． 三．练习：1、2、3题。
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3.2 简单的三角恒等变换整体设计教学分析本节主要包括利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换,以及三角恒等变换在数学中的应用.本节的内容都是用例题来展现的,通过例题的解答,引导学生对变换对象和变换目标进行对比、分析,促使学生形成对解题过程中如何选择公式,如何根据问题的条件进行公式变形,以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识,从而加深理解变换思想,提高学生的推理能力.本节把三角恒等变换的应用放在三角变换与三角函数间的内在联系上,从而使三角函数性质的研究得到延伸.三角恒等变换不同于代数变换，后者往往着眼于式子结构形式的变换，变换内容比较单一.而对于三角变换，不仅要考虑三角函数是结构方面的差异，还要考虑三角函数式所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，它是一种立体的综合性变换.从函数式结构、函数种类、角与角之间的联系等方面找一个切入点，并以此为依据选择可以联系它们的适当公式进行转化变形，是三角恒等变换的重要特点.三维目标1.通过经历二倍角的变形公式推导出半角的正弦、余弦和正切公式，能利用和与差的正弦、余弦公式推导出积化和差与和差化积公式,体会化归、换元、方程、逆向使用公式等数学思想，提高学生的推理能力.2.理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并会利用公式进行简单的恒等变形,体会三角恒等变换在数学中的应用.3.通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力.重点难点教学重点：1.半角公式、积化和差、和差化积公式的推导训练.2.三角变换的内容、思路和方法,在与代数变换相比较中,体会三角变换的特点.教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力.课时安排2课时教学过程第1课时导入新课思路 1.我们知道变换是数学的重要工具，也是数学学习的主要对象之一，三角函数主要有以下三个基本的恒等变换：代数变换、公式的逆向变换和多向变换以及引入辅助角的变换.前面已经利用诱导公式进行了简单的恒等变换，本节将综合运用和（差）角公式、倍角公式进行更加丰富的三角恒等变换.思路2.三角函数的化简、求值、证明，都离不开三角恒等变换.学习了和角公式，差角公式，倍角公式以后，我们就有了进行三角变换的新工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富和灵活，同时也为培养和提高我们的推理、运算、实践能力提供了广阔的空间和发展的平台.对于三角变换,由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异,而且还会有所包含的角,以及这些角的三角函数种类方面的差异,因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系,并以此为依据选择可以联系它们的适当公式,这是三角式恒等变换的重要特点. 推进新课 新知探究 提出问题 ①α与2a有什么关系? ②如何建立cos α与sin22a之间的关系？ ③sin 22a =2cos 1a -，cos 22a =2cos 1a +，tan 22a =aa cos 1cos 1+-这三个式子有什么共同特点？④通过上面的三个问题，你能感觉到代数变换与三角变换有哪些不同吗?⑤证明(1)sin αcos β=21[sin(α+β)+sin(α-β)]; (2)sin θ+sin φ=2sin 2cos 2ϕθϕθ-+. 并观察这两个式子的左右两边在结构形式上有何不同？活动：教师引导学生联想关于余弦的二倍角公式cos α=1-2sin22a ,将公式中的α用2a代替,解出sin 22a 即可.教师对学生的讨论进行提问，学生可以发现：α是2a 的二倍角.在倍角公式cos2α=1-2sin 2α中,以α代替2α,以2a 代替α,即得cos α=1-2sin 22a , 所以sin 22a =2cos 1a -. ① 在倍角公式cos2α=2cos 2α-1中,以α代替2α,以2a 代替α,即得cos α=2cos 22a -1, 所以cos 22a =2cos 1a +. ② 将①②两个等式的左右两边分别相除,即得 tan22a =aa cos 1cos 1+-. ③ 教师引导学生观察上面的①②③式，可让学生总结出下列特点： (1)用单角的三角函数表示它们的一半即是半角的三角函数;(2)由左式的“二次式”转化为右式的“一次式”(即用此式可达到“降次”的目的).教师与学生一起总结出这样的特点,并告诉学生这些特点在三角恒等变形中将经常用到.提醒学生在以后的学习中引起注意.同时还要强调,本例的结果还可表示为:sin2a =±2cos 1a -,cos 2a =±2cos 1a +,tan 2a =±aa cos 1cos 1+-,并称之为半角公式(不要求记忆),符号由2a所在象限决定.教师引导学生通过这两种变换共同讨论归纳得出：对于三角变换,由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异.因此，三角恒等变换常常先寻找式子所包含的各个角间的联系，并以此为依据，选择可以联系它们的适当公式，这是三角恒等变换的重要特点.代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换.对于问题⑤：（1）如果从右边出发，仅利用和（差）的正弦公式作展开合并，就会得出左式.但为了更好地发挥本例的训练功能，把两个三角式结构形式上的不同点作为思考的出发点，引导学生思考，哪些公式包含sin αcos β呢？想到sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β.从方程角度看这个等式，sin αcos β，cos αsin β分别看成两个未知数.二元方程要求得确定解，必须有2个方程，这就促使学生考虑还有没有其他包含sin αcos β的公式，列出sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β后，解相应的以sin αcos β，cos αsin β为未知数的二元一次方程组，就容易得到所需要的结果.（2）由（1）得到以和的形式表示的积的形式后，解决它的反问题，即用积的形式表示和的形式，在思路和方法上都与（1）没有什么区别.只需做个变换，令α+β=θ，α-β=φ，则α=2ϕθ+，β=2ϕθ-,代入(1)式即得(2)式.证明:(1)因为sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β, sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β, 将以上两式的左右两边分别相加,得 sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β, 即sin αcos β=21[sin(α+β)+sin(α-β)]. (2)由(1),可得sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β.① 设α+β=θ,α-β=φ,那么α=2ϕθ+,β=2ϕθ-.把α,β的值代入①, 即得sin θ+sin φ=2sin2ϕθ+cos2ϕθ-.教师给学生适时引导，指出这两个方程所用到的数学思想,可以总结出在本例的证明过程中用到了换元的思想,如把α+β看作θ,α-β看作φ,从而把包含α,β的三角函数式变换成θ,φ的三角函数式.另外,把sin αcos β看作x,cos αsin β看作y,把等式看作x,y 的方程,通过解方程求得x,这就是方程思想的体现.讨论结果：①α是2a的二倍角. ②sin 22a =1-cos 2cos 1a -.③④⑤略(见活动）.应用示例思路1例1 化简:.cos sin 1cos sin 1xx xx ++-+.活动：此题考查公式的应用，利用倍角公式进行化简解题.教师提醒学生注意半角公式和倍角公式的区别，它们的功能各异，本质相同，具有对立统一的关系.解:原式=)2sin 2(cos 2cos 2)2cos 2(sin 2sin 22cos 2sin 22cos 22cos 2sin 22sin 222x x x x x x x x x x x x ++=++=tan 2x . 点评：本题是对基本知识的考查，重在让学生理解倍角公式与半角公式的内在联系.变式训练化简:sin50°(1+3解:原式=sin50°10cos )10sin 2310cos 21(250sin 10cos 10sin 31+∙=+ =2sin50°·10cos 10sin 30cos 10cos 30sin + =2cos40°·10cos 10cos 10cos 80sin 10cos 40sin ===1.例2 已知sinx-cosx=21,求sin 3x-cos 3x 的值. 活动：教师引导学生利用立方差公式进行对公式变换化简，然后再求解.由于(a-b)3=a 3-3a 2b+3ab2-b 3=a 3-b 3-3ab(a-b),∴a 3-b 3=(a-b)3+3ab(a-b).解完此题后,教师引导学生深挖本例的思想方法,由于sinx·cosx 与sinx±cosx 之间的转化.提升学生的运算.化简能力及整体代换思想.本题也可直接应用上述公式求之,即sin 3x-cos 3x=(sinx-cosx)3+3sinxcosx(sinx-cosx)=1611.此方法往往适用于sin 3x±cos 3x 的化简问题之中.解:由sinx-cosx=21,得(sinx-cosx)2=41, 即1-2sinxcosx=41,∴sinxcosx=83.∴sin 3x-cos 3x=(sinx-cosx)(sin 2x+sinxcosx+cos 2x) =21(1+83)=1611. 点评：本题考查的是公式的变形、化简、求值,注意公式的灵活运用和化简的方法. 变式训练(2007年高考浙江卷,12) 已知sin θ+cos θ=51,且2π≤θ≤43π,则cos2θ的值是______________. 答案:257-例1 已知1sin sin cos cos :1sin sin cos cos 24242424=+=+ABA B B A B A 求证.活动：此题可从多个角度进行探究,由于所给的条件等式与所要证明的等式形式一致,只是将A,B 的位置互换了,因此应从所给的条件等式入手,而条件等式中含有A,B 角的正、余弦,可利用平方关系来减少函数的种类.从结构上看,已知条件是a 2+b 2=1的形式,可利用三角代换.证明一:∵1sin sin cos cos 2424=+BAB A , ∴c os 4A·sin 2B+sin 4A·cos 2B=sin 2B·cos +B.∴cos 4A(1-cos 2B)+sin 4A·cos 2B=(1-cos 2B)cos 2B,即cos 4A-cos 2B(cos 4A-sin 4A)=cos 2B-cos 4B.∴cos 4A-2cos 2Acos 2B+cos 4B=0.∴(cos 2A-cos 2B)2=0.∴cos 2A=cos 2B.∴sin 2A=sin 2B.∴=+A B A B 2424sin sin cos cos cos 2B+sin 2B=1. 证明二:令BAa B A sin sin ,cos cos cos 22==sin α,则cos 2A=cosBcos α,sin 2A=sinBsin α.两式相加,得1=cosBcos α+sinBsin α,即cos(B-α)=1. ∴B -α=2k π(k∈Z ),即B=2k π+α(k∈Z ). ∴cos α=cosB,sin α=sinB.∴cos 2A=cosBcos α=cos 2B,sin 2A=sinBsin α=sin 2B.∴BB B B A B A B 24242424sin sin cos cos sin sin cos cos +=+=cos 2B+sin 2B=1.点评:要善于从不同的角度来观察问题,本例从角与函数的种类两方面观察,利用平方关系进行了合理消元. 变式训练在锐角三角形ABC 中,ABC 是它的三个内角,记S=BA tan 11tan 11+++,求证:S<1.证明:∵S=BA B A BA B A B A tan tan tan tan 1tan tan 1)tan 1)(tan 1(tan 1tan 1+++++=+++++又A+B>90°,∴90°>A>90°-B>0°. ∴tanA>tan(90°-B)=cotB>0, ∴tanA·tanB>1.∴S<1.思路2例1 证明x x cos sin 1+=tan(4π+2x).活动：教师引导学生思考，对于三角恒等式的证明，可从三个角度进行推导：①左边→右边；②右边→左边；③左边→中间条件←右边.教师可以鼓励学生试着多角度的化简推导.注意式子左边包含的角为x,三角函数的种类为正弦，余弦，右边是半角2x，三角函数的种类为正切.解：方法一：从右边入手，切化弦，得tan(4π+2x )=2sin2cos 2sin2cos 2sin 2sin 2cos 2cos 2sin 4cos 2cos 4sin )24cos()22sin(x x x x x x x x x x -+=-+=++ππππππ,由左右两边的角之间的关系，想到分子分母同乘以cos 2x +sin 2x,得x x x x x x x x cos sin 1)2sin 2)(cos 2sin 2(cos )2sin 2(cos 2+=-++ 方法二：从左边入手，分子分母运用二倍角公式的变形，降倍升幂，得2sin2cos 2sin2cos )2sin 2)(cos 2sin 2(cos )2sin 2(cos cos sin 12x x xx x x x x x x xx -+=-++=+ 由两边三角函数的种类差异，想到弦化切，即分子分母同除以cos2x,得 2tan4tan 12tan 4tan 2tan 12tan1x xx x ππ-+=-+=tan(4π+2x ). 点评：本题考查的是半角公式的灵活运用，以及恒等式的证明所要注意的步骤与方法.变式训练已知α,β∈(0,2π)且满足:3sin 2α+2sin 2β=1,3sin2α-2sin2β=0,求α+2β的值. 解法一:3sin 2α+2sin 2β=1⇒3sin 2α=1-2sin 2β,即3sin 2α=cos2β,①3sin2α-2sin2β=0⇒3sin αcos α=sin2β,② ①2+②2:9sin 4α+9sin 2αcos 2α=1,即9sin 2α(sin 2α+cos 2α)=1, ∴sin 2α=91.∵α∈(0,2π),∴sin α=31. ∴sin(α+2β)=sin αcos2β+cos αsin2β=sin α·3sin 2α+cos α·3sin αcos α=3sin α(sin 2α+cos 2α)=3×31=1. ∵α,β∈(0,2π),∴α+2β∈(0,23π).∴α+2β=2π.解法二:3sin 2α+2sin 2β=1⇒cos2β=1-2sin 2β=3sin 2α,3sin2α-2sin2β=0⇒sin2β=23sin2α=3sin αcos α,∴cos(α+2β)=cos αcos2β-sin αsin2β=cos α·3sin 2α-sin α·3sin αcos α=0.∵α,β∈(0,2π),∴α+2β∈(0,23π).∴α+2β=2π.解法三:由已知3sin 2α=cos2β,23sin2α=sin2β,两式相除,得tan α=cot2β,∴tan α=tan(2π-2β).∵α∈(0,2π),∴tan α>0.∴tan(2π-2β)>0.又∵β∈(0,2π),∴2π-<2π-2β<2π.结合tan(2π-2β)>0,得0<2π-2β<2π.∴由tan α=tan(2π-2β),得α=2π-2β,即α+2β=2π.例2 求证:αββαβαβ2222tan tan 1cos sin )sin()sin(-=-+a 活动：证明三角恒等式,一般要遵循“由繁到简”的原则,另外“化弦为切”与“化切为弦”也是在三角式的变换中经常使用的方法. 证明:证法一:左边=βαβαβαβαβ22cos sin )sin cos cos )(sin sin cos cos (sin -+ ==-=-=-a a a a 222222222222tan tan 1cos sin sin cos 1cos sin sin cos cos sin ββββββ=右边.∴原式成立. 证法二:右边=1-βββββ2222222222cos sin sin cos cos sin cos sin sin cos a a -==βββββ22cos sin )sin cos cos )(sin sin cos cos (sin a a a a -+=βββ22cos sin )sin()sin(++a a =左边.∴原式成立. 点评：此题进一步训练学生三角恒等式的变形,灵活运用三角函数公式的能力以及逻辑推理能力. 变式训练1.求证:θθθθθθ2tan 14cos 4sin 1sin 24cos 4sin 1-++=-+. 分析：运用比例的基本性质,可以发现原式等价于θθθθθθ2tan 1tan 24cos 4sin 14cos 4sin 1-=++-+,此式右边就是tan2θ. 证明:原等式等价于θθθθθ2tan 4cos 4sin 14cos 4sin 1=++-+.而上式左边θθθθθθθθθθ2cos 22cos 2sin 22sin 22cos 2sin 2)4cos 1(4sin )4cos 1(4sin 22++=++-+=)2cos 2(sin 2cos 2)2sin 2(cos 2sin 2θθθθθθ++==tan2θ右边.∴上式成立,即原等式得证.2.已知sin β=m·sin(2α+β),求证:tan(α+β)=mm-+11tan α. 分析:仔细观察已知式与所证式中的角,不要盲目展开,要有的放矢,看到已知式中的2α+β可化为结论式中的α+β与α的和,不妨将α+β作为一整体来处理. 证明:由sin β=msin(2α+β)⇒sin[(α+β)-α]=msin[(α+β)+α]⇒sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α=m0[sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α]⇒(1-m)·sin(α+β)cos α=(1+m)·cos(α+β)sin α⇒tan(α+β)=mm-+11tan α. 知能训练1.若sin α=135,α在第二象限,则tan 2a的值为( ) A.5 B.-5 C.51 D.51-2.设5π<θ<6π,cos 2θ=α,则sin 4θ等于( )A.21a + B.21a - C.21a +- D.21a-- 3.已知sin θ=53-,3π<θ<27π,则tan 2θ_________________. 解答:1.A2.D3.-3 课堂小结1.先让学生自己回顾本节学习的数学知识:和、差、倍角的正弦、余弦公式的应用,半角公式、代数式变换与三角变换的区别与联系.积化和差与和差化积公式及其推导,三角恒等式与条件等式的证明.2.教师画龙点睛总结:本节学习了公式的使用,换元法,方程思想,等价转化,三角恒等变形的基本手段. 作业课本习题3.2 B 组2.设计感想1.本节主要学习了怎样推导半角公式、积化和差、和差化积公式以及如何利用已有的公式进行简单的恒等变换.在解题过程中，应注意对三角式的结构进行分析，根据结构特点选择合适公式，进行公式变形.还要思考一题多解、一题多变，并体会其中的一些数学思想，如换元、方程思想，“1”的代换，逆用公式等.2.在近几年的高考中，对三角变换的考查仍以基本公式的应用为主，突出对求值的考查.特别是对平方关系及和角公式的考查应引起重视，其中遇到对符号的判断是经常出问题的地方，同时要注意结合诱导公式的应用，应用诱导公式时符号问题也是常出错的地方.考试大纲对本部分的具体要求是：用向量的数量积推导出两角差的余弦公式，体会向量方法的作用.从两角差的余弦公式进而推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系，能运用上述公式进行简单的恒等变换第2课时导入新课思路1.(问题导入)三角化简、求值与证明中，往往会出现较多相异的角，我们可根据角与角之间的和差、倍半、互补、互余等关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获得解决，如：α=(α+β)-β，2α=(α+β)+(α-β)=(4π+α)-(4π-α)，4π+α=2π-(4π-α)等，你能总结出三角变换的哪些策略？由此探讨展开. 思路2.(复习导入)前面已经学过如何把形如y=asinx+bcosx 的函数转化为形如y=Asin(ωx+φ)的函数，本节主要研究函数y=asinx+bcosx 的周期、最值等性质.三角函数和代数、几何知识联系密切，它是研究其他各类知识的重要工具.高考题中与三角函数有关的问题，大都以恒等变形为研究手段.三角变换是运算、化简、求值、证明过程中不可缺少的解题技巧，要学会创设条件灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能. 推进新课 新知探究 提出问题①三角函数y=sinx ，y=cosx 的周期,最大值和最小值是多少？ ②函数y=asinx+bcosx 的变形与应用是怎样的？ ③三角变换在几何问题中有什么应用？ 活动：教师引导学生对前面已学习过的三角函数的图象与性质进行复习与回顾，我们知道正弦函数，余弦函数的图象都具有周期性、对称性、单调性等性质.而且正弦函数，余弦函数的周期都是2k π（k∈Z 且k≠0），最小正周期都是2π.三角函数的定义与变化时，会对其周期性产生一定的影响，例如，函数y=sinx 的周期是2k π（k∈Z 且k≠0），且最小正周期是2π，函数y=sin2x 的周期是k π（k∈Z 且k≠0），且最小正周期是π.正弦函数，余弦函数的最大值是1，最小值是-1，所以这两个函数的值域都是[-1，1]. 函数y=asinx+bcosx=22b a +（2222sin ba b x ba a +++cosx ）,∵(sin ,cos 1)()(2222222222=+=+=+++ba b ba aba b ba a ϕ从而可令φ,则有asinx+bcosx=22b a +（sinxcos φ+cosxsin φ） =22b a +sin （x+φ）.因此，我们有如下结论：asinx+bcosx=22b a +sin （x+φ），其中tan φ=ab.在以后的学习中可以用此结论进行求几何中的最值问题或者角度问题. 我们知道角的概念起源于几何图形，从而使得三角函数与平面几何有着密切的内在联系.几何中的角度、长度、面积等几何问题，常需借助三角函数的变换来解决，通过三角变换来解决几何中的有关问题，是一种重要的数学方法.讨论结果：①y=sinx，y=cosx 的周期是2k π（k∈Z 且k≠0），最小正周期都是2π；最大值都是1，最小值都是-1. ②—③(略)见活动. 应用示例思路1 例1 如图1,已知OPQ 是半径为1,圆心角为3π的扇形,C 是扇形弧上的动点,ABCD 是扇形的内接矩形.记∠C OP=α,求当角α取何值时,矩形ABCD 的面积最大?并求出这个最大面积. 活动：要求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积S 最大，先找出S 与α之间的函数关系，再求函数的最值.找S 与α之间的函数关系可以让学生自己解决，得到： S=AB ·BC=(cos α33-sin α)sin α=sin αcos α-33-sin 2α. 求这种y=asin 2x+bsinxcosx+ccos 2x 函数的最值，应先降幂，再利用公式化成Asin(ωx+φ)型的三角函数求最值.教师引导学生思考：要求当角α取何值时,矩形ABCD 的面积S 最大,可分两步进行:图1(1)找出S 与α之间的函数关系; (2)由得出的函数关系,求S 的最大值. 解:在Rt△OBC 中,BC=cos α,BC=sin α, 在Rt△OAD 中,OADA=tan60°=3, 所以OA=33DA=33BC=33sin α. 所以AB=OB-OA=cos α33-sin α. 设矩形ABCD 的面积为S,则 S=AB ·BC=(cos α33-sin α)sin α=sin αcos α33-sin 2α =21sin2α+63cos2α-63=31(23sin2α+21cos2α)-63=31sin(2α+6π)-63.由于0<α<3π,所以当2α+6π=2π,即α=6π时,S 最大=31-63=63. 因此,当α=6π时,矩形ABCD 的面积最大,最大面积为63. 点评：可以看到,通过三角变换,我们把形如y=asinx+bcosx 的函数转化为形如y=Asin(ωx+φ)的函数,从而使问题得到简化.这个过程中蕴涵了化归思想.此题可引申即可以去掉“记∠C OP=α”,结论改成“求矩形ABCD 的最大面积”，这时，对自变量可多一种选择，如设AD=x,S=x(x x 3312--),尽管对所得函数还暂时无法求其最大值，但能促进学生对函数模型多样性的理解，并能使学生感受到以角为自变量的优点. 变式训练 (2007年高考辽宁卷,19) 已知函数f(x)=sin(ωx+6π)+sin(ωx-6π)-2cos 22x ω,x∈R (其中ω(1)求函数f(x)的值域;(2)若函数y=f(x)的图象与直线y=-1的两个相邻交点间的距离为2π,求函数y=f(x)的单调增区间. 解:(1)f(x)=23sin ωx+21cos ωx+23sin ωx-21cos ωx-(cos ωx+1)=2(23sin ωx-21cos ωx)-1=2sin(ωx-6π)-1.由-1≤sin(ωx-6π)≤1,得-3≤2sin(ωx-6π)-1≤1, 可知函数f(x)的值域为［-3,1］.(2)由题设条件及三角函数图象和性质,可知y=f(x)的周期为π,又由ω>0,得ωπ2=π,即得ω=2.于是有f(x)=2sin(2x-6π)-1,再由2k π-2π≤2x -6π≤2k π+2π(k∈Z ),解得 k π-6π≤x≤k π+3π(k∈Z ). 所以y=f(x)的单调增区间为［k π-6π,k π+3π］(k∈Z ). 点评:本题主要考查三角函数公式,三角函数图象和性质等基础知识,考查综合运用三角函数有关知识的能力.例1 求函数y=sin 4x+23sinxcosx-cos 4x 的最小正周期和最小值;并写出该函数在[0,π]上的单调递增区间. 活动：教师引导学生利用公式解题，本题主要考查二倍角公式以及三角函数的单调性和周期性等基础知识.先用二倍角公式把函数化成最简形式,然后再解决与此相关的问题. 解:y=sin 4x+23sinxcosx-cos 4x=(sin 2x+cos 2x)(sin 2x-cos 2x)+3sin2x=3sin2x-cos2x=2sin(2x-6π). 故该函数的最小正周期是π;最小值是-2;在[0,π]上单调增区间是[0,3π],[65π,π].点评：本题主要考查二倍角公式以及三角函数的单调性和周期性等基础知识变式训练已知函数f(x)=cos 4x-2sinxcosx-sin 4x,(1)求f(x)的最小正周期; (2)若x∈[0,2π],求f(x)的最大、最小值. 解：f(x)=cos 4x-2sinxcosx-sin 4x=(cos 2x+sin 2x)(cos 2x-sin 2x)-sin2x=cos2x-sin2x=2cos(2x+4π), 所以，f(x)的最小正周期T=22π=π. (2)因为x∈[0,2π]，所以2x+4π∈[4π，45π].当2x+4π=4π时，cos(2x+4π)取得最大值22, 当2x+4π=π时，cos(2x+4π)取得最小值-1. 所以，在[0,2π]上的最大值为1，最小值为-2.思路2例1 已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)是R 上的偶函数,其图象关于点M(43π,0)对称,且在区间[0,2π]上是单调函数,求φ和ω的值. 活动：提醒学生在解此题时,对f(x)是偶函数这一条件的运用不在问题上,而在对“f(x)的图象关于M(43π,0)对称”这一条件的使用上,多数考生都存在一定问题.一般地:定义在R 上的函数y=f(x)对定义域内任意x 满足条件:f(x+a)=2b-f(a-x),则y=f(x)的图象关于点(a,b)对称,反之亦然.教师在这类问题的教学时要给予充分的提示与总结，多做些这种类型的变式训练.解：由f(x)是偶函数,得f(-x)=f(x),即sin(-ωx+φ)=sin(ωx+φ),所以-cos φsin ωx=cos φsin ωx 对任意x 都成立. 又ω>0,所以,得cos φ=0.依题设0≤φ≤π,所以,解得φ=2π. 由f(x)的图象关于点M 对称,得f(43π-x)=-f(43π+x).取x=0,得f(43π)=-f(43π),所以f(43π)=0.∵f(43π)=sin(43ωπ+2π)=cos 43ωπ,∴cos 43ωπ=0.又ω>0,得43ωπ=2π+k π,k=0,1,2,….∴ω=32(2k+1),k=0,1,2,….当k=0时,ω=32,f(x)=sin(32x+2π)在[0,2π]上是减函数;当k=1时,ω=2,f(x)=sin(2x+2π)在[0,2π]上是减函数;当k≥2时,ω≥310,f(x)=sin(ωx+2π)在[0,2π]上不是单调函数.所以,综合得ω=32或ω=2.点评：本题是利用函数思想进行解题，结合三角函数的图象与性质，对函数进行变换然后进而解决此题. 变式训练已知如图2的Rt△ABC 中,∠A=90°,a 为斜边,∠B、∠C 的内角平分线BD 、CE 的长分别为m 、n,且a 2=2mn.问:是否能在区间(π,2π］中找到角θ,恰使等式cos θ-sin θ=4(cos2C B +-cos 2CB -)成立?若能,找出这样的角θ;若不能,请说明理由. 解:在Rt△BAD 中,m AB =cos 2B ,在Rt△B AC 中,a AB=sinC,∴mcos 2B=asinC.图2同理,ncos 2C=asinB. ∴mncos 2B cos 2C =a 2sinBsinC.而a 2=2mn, ∴cos2B cos 2C =2sinBsinC=8sin 2B ·cos 2B cos 2C sin 2C .∴sin 2B sin 2C =81.积化和差,得4(cos 2C B +-cos 2CB -)=-1, 若存在θ使等式cos θ-sin θ=4(cos 2C B +-cos 2C B -)成立,则2cos(θ+4π)=-1,∴cos(θ+4π)=22.而π<θ≤2π, ∴45π<θ+4π≤29π.∴这样的θ不存在. 点评:对于不确定的开放式问题,通常称之为存在性问题.处理这类问题的一般思路是先假设结论是肯定的,再进行演绎推理,若推证出现矛盾,即可否定假设;若推出合理结果,即假设成立.这个探索结论的过程可概括为假设——推证——定论.例2 已知tan(α-β)=21，tan β=71-，且α,β∈(0,π)，求2α-β的值. 解：∵2α-β=2(α-β)+β,tan(α-β)=21，∴tan2(α-β)=)(tan 1)tan(22βαβα---=34.从而tan(2α-β)=tan ［2(α-β)+β］=713417134tan )(2tan 1tan )(2tan ⨯+-=--+-ββαββα=121252125=.又∵tan α=tan ［(α-β)+β］=ββαββαtan )tan(1tan )tan(--+-=31<1.且0<α<π，∴0<α<4π.∴0<2α<2π. 又tan β=71-<0，且β∈(0,π)， ∴2π<β<π，-π<-β<2π-.∴-π<2α-β<0.∴2α-β=43π-.点评：本题通过变形转化为已知三角函数值求角的问题，关键在于对角的范围的讨论，注意合理利用不等式的性质，必要时，根据三角函数值，缩小角的范围，从而求出准确角.另外，求角一般都通过三角函数值来实现，但求该角的哪一种函数值，往往有一定的规律，若α∈(0,π)，则求cos α;若α∈(2π-,2π)，则求sin α等.变式训练若α,β为锐角，且3sin 2α+2sin 2β=1，3sin2α-2sin2β=0，求证：α+2β=2π. 证明：已知两个等式可化为3sin 2α=cos2β， ① 3sin αcos α=sin2β， ②①÷②，得a a cos sin =ββ2sin 2cos ，即cos αcos2β-sin αsin2β=0， ∴cos(α+2β)=0.∵0<α<2π，0<β<2π，∴0<α+2β<23π.∴α+2β=2π.知能训练课本本节练习4. 解答:4.(1)y=21sin4x.最小正周期为2π,递增区间为[28,28ππππk k ++-](k∈Z ),最大值为21; (2)y=cosx+2.最小正周期为2π,递增区间为[π+2k π,2π+2k π](k∈Z ),最大值为3; (3)y=2sin(4x+3π).最小正周期为2π,递增区间为[224,2245ππππk k ++-](k∈Z ),最大值为2.课堂小结本节课主要研究了通过三角恒等变形,把形如y=asinx+bcosx 的函数转化为形如y=Asin(ωx+φ)的函数,从而能顺利考查函数的若干性质,达到解决问题的目的,充分体现出生活的数学和“活”的数学. 作业课本复习参考题A 组10、11、12.设计感想1.本节课主要是三角恒等变换的应用，通过三角恒等变形,把形如y=asinx+bcosx 的函数转化为形如y=Asin(ωx+φ)的函数,从而能顺利考查函数的若干性质,达到解决问题的目的.在教学中教师要强调：分析、研究三角函数的性质，是三角函数的重要内容.如果给出的三角函数的表达式较为复杂，我们必须先通过三角恒等变换，将三角函数的解析式变形化简，然后再根据化简后的三角函数，讨论其图象和性质.因此，三角恒等变换是求解三角函数问题的一个基本步骤.但需注意的是，在三角恒等变换过程中，由于消项、约分、合并等原因，函数的定义域往往会发生一些变化，从而导致变形化简后的三角函数与原三角函数不等价.因此，在对三角函数式进行三角恒等变换后，还要确定原三角函数的定义域，并在这个定义域内分析其性质.2.在三角恒等变化中，首先是掌握利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式，并由此导出角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式和积化差、和差化积及半角公式，以此作为基本训练.其次要搞清楚各公式之间的内在联系，自己画出知识结构图.第三就是在三角恒等变换中，要结合第一章的三角函数关系、诱导公式等基础知识，对三角知识有整体的把握.3.今后高考对三角变换的考查估计仍以考查求值为主.和、差、倍、半角的三角函数公式、同角关系的运用仍然是重点考查的地方，应该引起足够重视，特别是对角的范围的讨论，从而确定符号.另外，在三角形中的三角变换问题，以及平面向量为模型的三角变换问题将是高考的热点.对三角函数综合应用的考查，估计仍然以三角与数列、不等式、平面向量、解析几何、三角与解三角形的实际应用为主，题型主要是选择题、填空题，也可能以解答题形式出现，难度不会太大.应注意新情景立意下的三角综合应用也是考试的热点.。