2017-2018年湖北省荆州中学高一上学期数学期末试卷(理科)带答案

2017-2018学年湖北省荆州中学高一（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本题共有12小题，每小题5分，共计60分，每小题有且仅有一个正确答案）1．（5分）已知集合A={1，2}，集合B满足A∪B={1，2}，则集合B有（）个．A．1B．2C．3D．42．（5分）计算cos47°cos13°﹣cos43°sin167°的结果等于（）A．B．C．D．3．（5分）下列四组函数中的f（x）和g（x）相等的是（）A．B．C．D．4．（5分）如果函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点（，0）中心对称，那么|φ|的最小值为（）A．B．C．D．5．（5分）若向量，满足||=1，||=2且⊥，则|+|=（）A．9B．C．3D．6．（5分）设函数，则f（x）是（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为的偶函数C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为π的偶函数7．（5分）已知平面向量=（1，2），=（﹣2，m），且∥，则3+2等于（）A．（﹣2，﹣4）B．（﹣1，﹣2）C．（﹣4，﹣8）D．（1，2）8．（5分）函数f（x）=e x+x﹣2的零点所在的一个区间是（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）9．（5分）已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足，则等于（）A．B．C．D．10．（5分）设函数f（x）=2sin（），若对任意x∈R都有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则|x1﹣x2|的最小值为（）A．4B．2C．1D．11．（5分）已知，则的值是（）A．0B．C．﹣1D．12．（5分）设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=e x+b（b为常数），则f（﹣ln2）等于（）A．B．1C．﹣1D．﹣3二、填空题（本题共有4小题，每小题5分，共计20分）13．（5分）时间经过5小时，分针转过的弧度数为．14．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+5）=﹣f（x）+2，且当x∈（0，5）时，f（x）=x，则f（2018）的值为．15．（5分）已知函数对定义域中任意的x1，x2，当x1＜x2时都有f（x1）＞f（x2）成立，则实数a的取值范围是．16．（5分）两个向量满足，则=．三、解答题（本题共有6小题，共计70分，每小题都要求写出计算或推理过程）17．（10分）已知函数．（1）画出函数f（x）的图象；（2）由图象写出满足f（x）≥3的所有x的集合（直接写出结果）；（3）由图象写出满足函数f（x）的值域（直接写出结果）．18．（12分）已知cosα=，cos（α﹣β）=，且0＜β＜α＜．（Ⅰ）求tan2α的值；（Ⅱ）求cosβ．19．（12分）（1）计算log3；（2）已知x的值．20．（12分）已知a＞0，函数f（x）=﹣2asin（2x+）+2a+b，当x∈[0，]时，﹣5≤f（x）≤1．（1）求常数a，b的值；（2）设g（x）=f（x+）且lg g（x）＞0，求g（x）的单调区间．21．（12分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象的一部分如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）当时，求函数y=f（x）+f（x+2）的最大值与最小值及相应的x值．22．（12分）已知函数f（x）=ax2+bx+c，其中a∈N*，b∈N，c∈Z．（1）若b＞2a，且f（sinα）（α∈R）的最大值为2，最小值为﹣4，求f（x）的最小值；（2）若对任意实数x，不等式4x≤f（x）≤2（x2+1），且存在x0使得f（x0）＜2（x02+1）成立，求c的值．2017-2018学年湖北省荆州中学高一（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共有12小题，每小题5分，共计60分，每小题有且仅有一个正确答案）1．（5分）已知集合A={1，2}，集合B满足A∪B={1，2}，则集合B有（）个．A．1B．2C．3D．4【解答】解：∵集合A={1，2}，集合B满足A∪B=A，∴B⊆A，∴B=∅，B={1}，B={2}，B={1，2}．∴满足条件的集合B有4个．故选：D．2．（5分）计算cos47°cos13°﹣cos43°sin167°的结果等于（）A．B．C．D．【解答】解：cos47°cos13°﹣cos43°sin167°=cos47°cos13°﹣sin47°sin13°=．故选：C．3．（5分）下列四组函数中的f（x）和g（x）相等的是（）A．B．C．D．【解答】解：对于A，函数f（x）=x﹣1（x∈R），与g（x）=﹣1=x﹣1（x≠0）的定义域不同，不是相等函数；对于B，函数f（x）=tanx（x≠+kπ，k∈Z），与g（x）=（x≠kπ，k∈Z）的定义域不同，不是相等函数；对于C，函数f（x）=x2（x∈R），与g（x）==x2（x∈R）的定义域相同，对应关系也相同，是相等函数；对于D，函数f（x）=x2（x∈R），与g（x）==x2（x≥0）的定义域不同，不是同一函数．故选：C．4．（5分）如果函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点（，0）中心对称，那么|φ|的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点中心对称．∴∴由此易得．故选：A．5．（5分）若向量，满足||=1，||=2且⊥，则|+|=（）A．9B．C．3D．【解答】解：向量，满足||=1，||=2且⊥，∴•=0，∴=+2•+2=1+0+2×4=9，∴|+|=3．故选：C．6．（5分）设函数，则f（x）是（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为的偶函数C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为π的偶函数【解答】解：函数，化简可得：f（x）=﹣cos2x，∴f（x）是偶函数．最小正周期T==π，∴f（x）最小正周期为π的偶函数．故选：D．7．（5分）已知平面向量=（1，2），=（﹣2，m），且∥，则3+2等于（）A．（﹣2，﹣4）B．（﹣1，﹣2）C．（﹣4，﹣8）D．（1，2）【解答】解：∵=（1，2），=（﹣2，m），且∥，∴m+4=0，即m=﹣4．∴=（﹣2，﹣4），则3+2=（3，6）+（﹣4，﹣8）=（﹣1，﹣2）．故选：B．8．（5分）函数f（x）=e x+x﹣2的零点所在的一个区间是（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）【解答】解：因为f（0）=﹣1＜0，f（1）=e﹣1＞0，所以零点在区间（0，1）上，故选：C．9．（5分）已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足，则等于（）A．B．C．D．【解答】解：∵依题．∴．故选：A．10．（5分）设函数f（x）=2sin（），若对任意x∈R都有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则|x1﹣x2|的最小值为（）A．4B．2C．1D．【解答】解：∵对任意x∈R都有f（x1）≤f（x）≤f（x2），∴f（x1）是最小值，f（x2）是最大值；∴|x1﹣x2|的最小值为函数的半个周期，∵T=4，∴|x1﹣x2|的最小值为2，故选：B．11．（5分）已知，则的值是（）A．0B．C．﹣1D．【解答】解：∵，∴2•sinα=3，可得：sin2α=cosα，∵sin2α+cos2α=1，可得：2cos2α+3cosα﹣2=0，∴解得：cosα=，或﹣2（舍去），∴sinα=﹣=﹣，∴=sinα﹣cosα==﹣．故选：B．12．（5分）设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=e x+b（b为常数），则f（﹣ln2）等于（）A．B．1C．﹣1D．﹣3【解答】解：∵f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=e x+b，∴f（0）=e0+b=0，即b=﹣1．∴当x≥0时，f（x）=e x﹣1，则f（﹣ln2）=﹣f（ln2）=﹣（e ln2﹣1）=﹣1．故选：C．二、填空题（本题共有4小题，每小题5分，共计20分）13．（5分）时间经过5小时，分针转过的弧度数为﹣10π．【解答】解：由于经过一个小时，分针转过一周角，由一周角为2π，又由顺时针旋转得到的角是负角，故经过一个小时，分针转过的弧度数为﹣2π，所以时间经过5小时，分针转过的角的弧度数是5×（﹣2π）=﹣10π．故答案为：﹣10π．14．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+5）=﹣f（x）+2，且当x∈（0，5）时，f（x）=x，则f（2018）的值为﹣1．【解答】解：∵定义在R上的函数f（x）满足f（x+5）=﹣f（x）+2，当x∈（0，5）时，f（x）=x，∴f（x+10）=﹣f（x+5）+2=﹣[﹣f（x）+2]+2=f（x），∴f（2018）=f（201×10+8）=f（8）=﹣f（3）+2=﹣3+2=﹣1．故答案为：﹣1．15．（5分）已知函数对定义域中任意的x1，x2，当x1＜x2时都有f（x1）＞f（x2）成立，则实数a的取值范围是（0，] ．【解答】解：任意的x1，x2，当x1＜x2时都有f（x1）＞f（x2）成立，可得f（x）在R上为减函数，可得，即为，即有0＜a≤，故答案为：（0，]．16．（5分）两个向量满足，则=5．【解答】解：两个向量满足，所以：，则：①，由于：，所以②，由①②得：，同时，③，由②③得：．所以：==．故答案为：5．三、解答题（本题共有6小题，共计70分，每小题都要求写出计算或推理过程）17．（10分）已知函数．（1）画出函数f（x）的图象；（2）由图象写出满足f（x）≥3的所有x的集合（直接写出结果）；（3）由图象写出满足函数f（x）的值域（直接写出结果）．【解答】解：（1）f（x）的图象如图所示：（2）（﹣∞，﹣9]∪[1，+∞）；（3）．18．（12分）已知cosα=，cos（α﹣β）=，且0＜β＜α＜．（Ⅰ）求tan2α的值；（Ⅱ）求cosβ．【解答】解：（Ⅰ）由cosα=，0＜α＜，得sinα===；…（2分）∴tanα==×=4，于是tan2α===﹣；…（6分）（Ⅱ）由0＜α＜β＜，得0＜α﹣β＜，…（8分）又∵cos（α﹣β）=，∴sin（α﹣β）===；…（10分）由β=α﹣（α﹣β）得：cosβ=cos[α﹣（α﹣β）]=cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β）=×+×=．…（13分）19．（12分）（1）计算log3；（2）已知x的值．【解答】解：（1）log3=+lg100+1+2=…（6分）（2）∵x＞0，y＞0，x﹣2y＞0∴…（7分）∵lgx+lgy=2lg（x﹣2y），∴xy=（x﹣2y）2，∴，，∴…（10分）==﹣4…（11分）…（12分）20．（12分）已知a＞0，函数f（x）=﹣2asin（2x+）+2a+b，当x∈[0，]时，﹣5≤f（x）≤1．（1）求常数a，b的值；（2）设g（x）=f（x+）且lg g（x）＞0，求g（x）的单调区间．【解答】解：f（x）=﹣2asin（2x+）+2a+b，（1）当x∈[0，]时，2x+∈[，]．∴﹣≤sin（2x+）≤1．∴﹣2a≤﹣2asin（2x+）≤a．则b≤f（x）≤3a+b．∵﹣5≤f（x）≤1．∴，解得：a=2，b=﹣5得f（x）=﹣4sin（2x+）﹣1．（2）g（x）=f（x+），即g（x）=﹣4sin[2（x）+]﹣1=﹣4sin（2x+）﹣1=4sin（2x+）﹣1．∵lg g（x）＞0，即lg g（x）＞lg1．可得：4sin（2x+）﹣1＞1．∴sin（2x+）＞．可得：＜2x+≤，k∈Z．求g（x）的单调增区间．∴＜2x+≤，k∈Z．解得：kπ＜x≤．g（x）的单调增区间为（kπ，]，k∈Z．求g（x）的单调减区间．∴≤2x+＜，解得：≤x单调减区间为[，），k∈Z．21．（12分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象的一部分如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）当时，求函数y=f（x）+f（x+2）的最大值与最小值及相应的x值．【解答】解：（1）由图象知A=2，T=8．∴T==8．∴ω=．图象过点（﹣1，0），则2sin（﹣+φ）=0，∵|φ|＜，∴φ=，于是有f（x）=2sin（x+）．（2）y=f（x）+f（x+2）=2sin（x+）+2sin（x++）=2sin（x+）+2cos（x+）=2sin（x+）=2cos x．∵x∈[﹣6，﹣]，∴﹣π≤x≤﹣．当x=﹣，即x=﹣时，y max=；当x=﹣π，即x=﹣4时，y min=﹣2．22．（12分）已知函数f（x）=ax2+bx+c，其中a∈N*，b∈N，c∈Z．（1）若b＞2a，且f（sinα）（α∈R）的最大值为2，最小值为﹣4，求f（x）的最小值；（2）若对任意实数x，不等式4x≤f（x）≤2（x2+1），且存在x0使得f（x0）＜2（x02+1）成立，求c的值．【解答】解：（1）据题意x∈[﹣1，1]时，f（x）max=2，f（x）min=﹣4，（1分），∵b＞2a＞0，∴，∴f（x）在[﹣1，1]上递增，∴f（x）min=f（﹣1），f（x）max=f（1），（3分）∴，∴b=3，a+c=﹣1，（5分）∵b＞2a，∴，又a∈N*，∴a=1，∴c=﹣2，（7分）∴，∴．（8分）（2）由已对任意实数x，不等式4x≤f（x）≤2（x2+1）得，4≤f（1）≤4，∴f（1）=4，即a+b+c=4①，（9分）∵f（x）≥4x恒成立，∴ax2+（b﹣4）x+c≥0恒成立，∴△=（b﹣4）2﹣4ac≤0②，（11分）由①得b﹣4=﹣（a+c），代入②得（a﹣c）2≤0，∴a=c，（13分）由f（x）≤2（x2+1）得：（2﹣a）x2﹣bx+2﹣c≥0恒成立，若a=2，则b=0，c=2，∴f （x ）=2（x 2+1），不存在x 0使f （x 0）＜2（x 02+1），与题意矛盾，（15分） ∴2﹣a ＞0，∴a ＜2，又a ∈N *， ∴a=1，c=1．（16分）赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0)nn a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m nm na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()(0,,,m m m n n n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质 （4）指数函数 函数名称指数函数定义函数(0x y a a =>且1)a ≠叫做指数函数图象1a >01a <<定义域 R值域 (0,)+∞过定点 图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =．奇偶性 非奇非偶单调性在R 上是增函数在R 上是减函数函数值的 变化情况1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x <>==>< a 变化对图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>．xa y =xy(0,1)O1y =xa y =xy (0,1)O 1y =（2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质函数 名称 对数函数定义函数log (0a y x a =>且1)a ≠叫做对数函数图象1a > 01a <<定义域 (0,)+∞值域 R过定点 图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．奇偶性 非奇非偶单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数x yO(1,0)1x =log a y x=xyO (1,0)1x =log a y x=函数值的变化情况log0(1)log0(1)log0(01)aaax xx xx x>>==<<<log0(1)log0(1)log0(01)aaax xx xx x<>==><<a变化对图象的影响在第一象限内，a越大图象越靠低；在第四象限内，a越大图象越靠高．。