平面向量数量积优质课
平面向量数量积(优质课)教案
θab1.8平面向量的基本概念与线性运算（优质课）教案教学目标：1掌握平面向量数量积的概念、几何意义、性质、运算律及坐标表示. 2平面向量数量积的应用.教学过程：一、平面向量数量积的物理背景及定义：以物理学中的做功为背景引入问题：观察讨论做功的公式中左右两端的量分别是什么量？什么影响了功的大小？如何精确的给出数学中的定义？力做的功：W = |F |⋅|s |cos θ，θ是F 与s 的夹角1、两个非零向量夹角的概念：已知非零向量a 与b ，作OA ＝a ，OB ＝b ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫a 与b 的夹角说明：（1）当θ＝０时，a 与b 同向； （2）当θ＝π时，a 与b 反向； （3）当θ＝2π时，a 与b 垂直，记a ⊥b ； （4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的范围0︒≤θ≤180︒2、平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos θ叫a 与b 的数量积，记作a ⋅b ，即有a ⋅b = |a ||b |cos θ，（０≤θ≤π）并规定0与任何向量的数量积为03、两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量C①e⋅a = a⋅e =|a|cosθ②a⊥b⇔a⋅b = 0③a⋅a = |a|2或||aa a=④cosθ =||||a ba b⑤|a⋅b| ≤ |a||b|4、向量数量积满足的运算率：①a b b a=；②()a b c a c b c+=+；③()()()a b a b a bλλλ==二、向量数量积的坐标运算1、已知两个向量),(11yxa=，),(22yxb=,则ba⋅2121yyxx+=.2、设),(yxa=，则=||a.3、平面内两点间的距离公式如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11yx、),(22yx，那么=||a.4、向量垂直的判定两个非零向量),(11yxa=，),(22yxb=，则ba⊥⇔02121=+yyxx.5、两向量夹角的余弦co sθ ==⋅⋅||||baba222221212121yxyxyyxx+++=（πθ≤≤0）.6、向量在轴上的正射影：作图定义：|b|cosθ叫做向量b在a所在轴上的正射影正射影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时正射影为正值；当θ为钝角时正射影为负值；当θ为直角时正射影为0；当θ = 0︒时正射影为|b|；当θ = 180︒时正射影为-|b|类型一、平面向量数量积的运算： 例题1 已知下列命题:①()0a a +-=; ②()()a b c a b c ++=++; ③()()a b c a b c =; ④()a b c a c b c +=+ 其中正确命题序号是 ②、④ .点评: 掌握平面向量数量积的含义,平面数量积的运算律不同于实数的运算律.例题2 已知2,5,(1)||a b a b ==若; (2) a b ⊥;(3) a b 与的夹角为030,分别求a b .解(1)当 ||a b 时, a b =0cos025110a b =⨯⨯=或a b =0cos18025(1)10a b =⨯⨯-=-. (2)当a b ⊥时, a b =0cos902500a b =⨯⨯=.(3)当a b 与的夹角为030时, ab =0cos3025a b =⨯= 练习：已知0000(cos 23,cos 67),(cos 68,cos 22)a b ==,求a b解:0000cos 23cos68cos67cos 22a b =+= 00000cos 23sin 22sin 23cos 22sin 45+==点评: 熟练应用平面向量数量积的定义式求值,注意两个向量夹角的确定及分类完整. 类型二、夹角问题：例题3 (2005年北京)若1,2,a b c a b ===+,且c a ⊥,则向量a 与向量b 的夹角为 ( ) A. 030 B. 060 C. 0120 D. 0150 解:依题意2()0cos 0a a b a a b θ⋅+=⇒+= 1cos 2θ⇒=- 0120θ∴= 故选C 练习：① 已知2,3,7a b a b ==-=,求向量a 与向量b 的夹角.② 已知(1,2),(4,2)a b =-=,)a a b -与(夹角为θ,则cos θ= . 解: ① 7a b -=⇒ 2227a a b b -+= 31cos ,232a b a b a b⇒〈〉===⨯,故夹角为060. ②依题意得)(3,4)a b -=--(()cos 5a a b a a bθ-⇒===⨯-. 练习:已知,a b 是两个非零向量,同时满足a b a b ==-,求a a b +与的夹角.法一 解:将a b a b ==-两边平方得 221122a b a b ==, 2223a b a a b b a ∴+=++=则222221()32cos 23a aa ab a a b a a b a a b a aθ+++====++, 故a a b +与的夹角.为030.法二: 数形结合点评:注意两个向量夹角共起点,灵活应用两个向量夹角的两种求法. 类型三、向量模的问题例题4 已知向量,a b 满足6,4a b ==,且a b 与的夹角为060,求3a b a b +-和. 解:6,4a b ==,且a b 与的夹角为060 12a b ∴=22276a b a a b b ∴+=++==; 22369108a b a a b b -=-+==练习 :①(2005年湖北)已知向量(2,2),(5,)a b k =-=,若a b +不超过5,则k 的取值范围 ( ) A. [4,6]- B. [6,4]- C. [6,2]- D. [2,6]-②(2006年福建) 已知a b 与的夹角为0120,3a =,13a b += ,则b 等于( ) A 5 B. 4 C. 3 D. 1解: ①(3,2)5a b k +=+=≤,62k ⇒-≤≤ 故选C②2222a b a a b b +=++, 222cos12013a a b b ∴++=,解得4b =,故选B点评:涉及向量模的问题一般利用22a a a a ==,注意两边平方是常用的方法. 类型四、平面向量数量积的综合应用例题5 (2006年全国卷)已知向量(sin ,1),(1,cos ),22a b ππθθθ==-<<.(1) 若,a b θ⊥求 ; (2)求a b +的最大值 . 解:(1)若a b ⊥,则sin cos 0θθ+=,tan 1,()224πππθθθ⇒=--<<∴=-.(2) a b +==3,,22444πππππθθ-<<∴-<+<sin()(4πθ∴+∈4πθ∴=当时,a b +的最大值为1==.例题6已知向量(cos ,sin ),(cos ,sin )a b ααββ==,且,a b 满足3ka b a kb +=-,k R +∈ (1) 求证()()a b a b +⊥- ; (2)将a 与b 的数量积表示为关于k 的函数()f k ; (3)求函数()f k 的最小值及取得最小值时向量a 与向量b 的夹角θ. 解:(1)(cos ,sin ),(cos ,sin )a b ααββ==2222()()||||110a b a b a b a b ∴+-=-=-=-=, 故 ()()a b a b +⊥-(2)3ka b a kb +=-,2222223,121363,ka b a kb a b k ka b ka b k ∴+=-∴==∴++=-+又21,(0)4k a b k k +∴=> 故21(),(0)4k f k k k+=>.(3) 21111()2444442k k k f k k k k +==+≥=,此时当1,()k f k =最小值为12. 1cos 2a b a bθ∴==,量a 与向量b 的夹角θ 3π=一、选择题1．若a ·c ＝b ·c (c ≠0)，则( ) A ．a ＝b B ．a ≠b C ．|a |＝|b |D ．a 在c 方向上的正射影的数量与b 在c 方向上的正射影的数量必相等 [答案] D[解析] ∵a ·c ＝b ·c ，∴|a |·|c |cos<a ，c >＝|b |·|c |cos<b ，c >， 即|a |cos<a ，c >＝|b |cos<b ，c >，故选D.2．若|a |＝4，|b |＝3，a ·b ＝－6，则a 与b 的夹角等于( ) A ．150° B ．120° C ．60° D ．30°[答案] B[解析] cos θ＝a ·b |a ||b |＝－64×3＝－12.∴θ＝120°.3．若|a|＝4，|b|＝2，a 和b 的夹角为30°，则a 在b 方向上的投影为( ) A ．2 B ． 3 C ．2 3 D ．4 [答案] C[解析] a 在b 方向上的投影为|a |cos<a ，b >＝4×cos30°＝2 3. 4．|m |＝2，m·n ＝8，<m ，n >＝60°，则|n |＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8[答案] D[解析] ∵m·n|m|·|n|＝cos<m ，n >，∴82|n |＝12，∴|n |＝8. 5．向量a 的模为10，它与x 轴的夹角为150°，则它在x 轴上的投影为( ) A ．－5 3 B ．5 C ．－5 D ．5 3[答案] A[解析] a 在x 轴上的投影为|a |·cos150°＝－5 3.6．若向量a 、b 满足|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则b·b ＋a·b 等于( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 [答案] C[解析] b·b ＋a·b ＝|b|2＋|a|·|b |cos<a ，b >＝4＋1＝5. 二、填空题7．已知向量a 和向量b 的夹角为30°，|a |＝2，|b |＝3，则向量a 和向量b 的数量积a ·b ＝____. [答案] 3[解析] a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝2×3×cos30° ＝2×3×32＝3. 8．若|a |＝6，|b |＝4，a 与b 的夹角为135°，则a 在b 方向上的投影为________． [答案] －3 2[解析] ∵|a|＝6，|b|＝4，a 与b 的夹角为135°， ∴a 在b 方向上的投影为|a|cos135°＝6×(－22)＝－3 2. 三、解答题9．已知正六边形P 1P 2P 3P 4P 5P 6的边长为2，求下列向量的数量积． (1)P 1P 2→·P 1P 3→； (2)P 1P 2→·P 1P 4→； (3)P 1P 2→·P 1P 5→； (4)P 1P 2→·P 1P 6→.[解析] (1)∵<P 1P 2→，P 1P 3>＝π6，|P 1P 3→|＝2 3.∴P 1P 2→·P 1P 3→＝|P 1P 2→|·|P 1P 3→|cos π6＝2×23×32＝6. (2)∵<P 1P 2→，P 1P 4→>＝π3，|P 1P 4→|＝4，∴P 1P 2→·P 1P 4→＝2×4×cos π4＝4 2.(3)∵<P 1P 2→，P 1P 5→>＝π2，∴P 1P 2→·P 1P 5→＝0.(4)∵<P 1P 2→，P 1P 6→>＝2π3，∴P 1P 2→·P 1P 6→＝2×2×cos 2π3＝－2._________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固一、选择题1．已知a ＝(2,1)、b ＝(1，－2)，则向量a 与b 的夹角为( ) A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2[答案] D[解析] 由a ·b ＝2×1＋1×(－2)＝0，∴a ⊥b .2．已知点A (1,2)、B (2,3)、C (－2,5)，则AB →·AC →等于( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 [答案] B[解析] AB →＝(1,1)，AC →＝(－3,3)，AB →·AC →＝1×(－3)＋1×3＝0.3．已知A 、B 、C 是坐标平面上的三点，其坐标分别为A (1,2)、B (4,1)、C (0，－1)，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．以上均不正确[答案] C[解析] AB →＝(3，－1)，AC →＝(－1，－3)， AB →·AC →＝3×(－1)＋(－1)×(－3)＝0，且|AB →|＝|AC →|＝10.∴△ABC 为等腰直角三角形．4．已知a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)，向量λa ＋b 与a －2b 垂直，则实数λ的值为( ) A ．－17B ．17C ．－16D ．16[答案] A[解析] ∵a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)， ∴λa ＋b ＝(－3λ－1,2λ)a －2b ＝(－3,2)－2(－1,0)＝(－1,2)， 由(λa ＋b )⊥(a －2b )， 得4λ＋3λ＋1＝0，∴λ＝－17.5．已知向量a ＝(2,1)，a ·b ＝10，|a ＋b |＝52，则|b |＝( ) A ． 5 B ．10 C ．5 D ．25 [答案] C[解析] ∵|a ＋b|2＝a 2＋2a·b ＋b 2 ＝5＋20＋b 2＝50，∴b 2＝25，∴|b |＝5.6．(2014·重庆理，4)已知向量a ＝(k,3)、b ＝(1,4)、c ＝(2,1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k ＝( ) A ．－92B ．0C ．3D ．152[答案] C[解析] 本题考查了平面向量的坐标运算与向量的垂直，因为2a －3b ＝(2k －3，－6)，又因为(2a －3b )⊥c ，所以，(2a －3b )·c ＝0，即(2k －3，－6)·(2,1)＝0，∴4k －6－6＝0，解得k ＝3，本题根据条件也可以转化为2a ·c －3b ·c ＝0化简求解．二、填空题7．(2014·安徽宿州市朱仙庄煤矿中学高一月考)已知向量a ＝(－4,3)、b ＝(－3,4)，b 在a 方向上的投影是________．[答案]245[解析] b 在a 方向上的投影为|b |cos 〈b ，a 〉＝a ·b |a |＝(－4)×(－3)＋3×45＝245.8．设向量a ＝(1,2m )，b ＝(m ＋1,1)，c ＝(2，m )，若(a ＋c )⊥b ，则|a |＝________. [答案]2[解析] a ＋c ＝(3,3m )，∵(a ＋c )⊥b ， ∴(a ＋c )·b ＝0，即(3,3m )·(m ＋1,1)＝0， ∴3(m ＋1)＋3m ＝0,6m ＋3＝0，∴m ＝－12，∴a ＝(1，－1)，∴|a |＝ 2. 三、解答题9．已知A (2,3)、B (5,1)、C (9,7)、D (6,9)四点，试判断四边形ABCD 的形状． [解析] ∵AB →＝(3，－2)，DC →＝(3，－2)，∴AB →＝DC →. 又BC →＝(4,6)，∴AB →·BC →＝3×4－2×6＝0，∴AB →⊥BC →.∵|AB →|＝9＋4＝13，|BC →|＝16＋36＝213，∴|AB →|≠|BC →|， 故四边形ABCD 是矩形．能力提升一、选择题1．(2014·山东文，7)已知向量a ＝(1，3)、b ＝(3，m )，若向量a 、b 的夹角为π6，则实数m ＝( )A ．2 3B ． 3C ．0D ．－ 3[答案] B[解析] 本题考查向量的坐标运算及数量积． a ·b ＝3＋3m ＝|a |·|b |·cos π6＝2×9＋m 2×32.解得，m ＝ 3. 2．已知m ＝(1,0)、n ＝(1,1)，且m ＋k n 恰好与m 垂直，则实数k 的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．1或－1 D ．以上都不对[答案] B[解析] m ＋k n ＝(1,0)＋k (1,1)＝(1＋k ，k )， ∵m ＋k n 与m 垂直，∴(1＋k )×1＋k ×0＝0，得k ＝－1.3．若向量a ＝(1,2)、b ＝(1，－1)，则2a ＋b 与a －b 的夹角等于( )A ．－π4B ．π6C ．π4D ．3π4[答案] C[解析] 本题考查了向量的坐标运算．∵a ＝(1,2)，b ＝(1，－1)，则2a ＋b ＝(3,3)，a －b ＝(0,3)，则cos<2a ＋b ，a －b >＝3×0＋932·3＝22，∴2a ＋b ，a －b ＝π4.4．已知a ＝(2,4)，则与a 垂直的单位向量的坐标是( ) A ．⎝⎛⎭⎫55，－255或⎝⎛⎭⎫－55，－255 B ．⎝⎛⎭⎫55，－255或⎝⎛⎭⎫－55，255 C ．⎝⎛⎭⎫255，－55或⎝⎛⎭⎫－255，－55 D ．⎝⎛⎭⎫－255，55或⎝⎛⎭⎫255，－55 [答案] D[解析] 设与a 垂直的单位向量的坐标是(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝12x ＋4y ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－255y ＝55，或⎩⎨⎧x ＝255y ＝－55.二、填空题5．(2014·湖北理，11)设向量a ＝(3,3)、b ＝(1，－1)，若(a ＋λb )⊥(a －λb )，则实数λ＝________. [答案] ±3[解析] 因为a ＋λb ＝(3＋λ，3－λ)，a －λb ＝(3－λ，3＋λ)，又(a ＋λb )⊥(a －λb )，所以(a ＋λb )·(a －λb )＝(3＋λ)(3－λ)＋(3－λ)(3＋λ)＝0，解得λ＝±3.6．(2014·四川文，14)平面向量a ＝(1,2)、b ＝(4,2)、c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝________.[答案] 2[解析] 本题考查了平面向量的坐标运算、数量积等基础知识c ＝m a ＋b ＝(m ＋4,2m ＋2)，由题意有：a·c |a||c |＝b·c|b||c|即：a·c |a|＝b·c|b|，代入得：m ＋4＋4m ＋45＝4m ＋16＋4m ＋420，解得m ＝2.三、解答题7．设a ＝(4，－3)、b ＝(2,1)，若a ＋t b 与b 的夹角为45°，求实数t 的值．[解析] a ＋t b ＝(4，－3)＋t (2,1)＝(4＋2t ，t －3)，(a ＋t b )·b ＝(4＋2t ，t －3)·(2,1)＝5t ＋5，|a ＋t b |＝(4＋2t )2＋(t －3)2＝5(t ＋1)2＋20，由(a ＋t b )·b ＝|a ＋t b ||b |cos45°，得5t ＋5＝522(t ＋1)2＋4， 即t 2＋2t －3＝0，解得t ＝－3或t ＝1.经检验知t ＝－3不符合题意，舍去．所以t ＝1.8．已知a ＝(1,2)，b ＝(1，λ)分别确定λ的取值范围，使得：(1)a 与b 夹角为90°；(2)a 与b 夹角为钝角；(3)a 与b 夹角为锐角．[解析] 设<a ，b >＝θ，(1)由a ⊥b 得λ＝－12. (2)cos θ＝1＋2λ5(1＋λ2)，由cos θ<0且 cos θ≠－1得λ<－12. (3)由cos θ>0且cos θ≠1，得λ>－12，且λ≠2. 9．已知a ＝(3,4)、b ＝(4,3)，求x 、y 的值使(x a ＋y b )⊥a ，且|x a ＋y b |＝1.[解析] ∵a ＝(3,4)，b ＝(4,3)，∴x a ＋y b ＝(3x ＋4y,4x ＋3y )．又(x a ＋y b )⊥a ，∴(x a ＋y b )·a ＝0，∴3(3x ＋4y )＋4(4x ＋3y )＝0，即25x ＋24y ＝0，①又|x a ＋y b |＝1，∴|x a ＋y b |2＝1，∴(3x ＋4y )2＋(4x ＋3y )2＝1.整理得25x 2＋48xy ＋25y 2＝1，即x (25x ＋24y )＋24xy ＋25y 2＝1.② 由①②有24xy ＋25y 2＝1，③ 将①变形代入③可得y ＝±57. 当y ＝57时，x ＝－2435， 当y ＝－57时，x ＝2435.所以⎩⎨⎧ x ＝2435y ＝－57或⎩⎨⎧ x ＝－2435y ＝57.。
平面向量的数量积PPT课件
运算律
向量与标量乘法结合律
对于任意向量$mathbf{a}$和标量$k$，有$kmathbf{a} cdot mathbf{b} = (kmathbf{a}) cdot mathbf{b} = k(mathbf{a} cdot mathbf{b})$。
向量与标量乘法交换律
对于任意向量$mathbf{a}$和标量$k$，有$mathbf{a} cdot kmathbf{b} = k(mathbf{a} cdot mathbf{b}) = (kmathbf{b}) cdot mathbf{a}$。
向量数量积的性质
向量数量积满足交换律和结合 律，即a·b=b·a和 (a+b)·c=a·c+b·c。
向量数量积满足分配律，即 (a+b)·c=a·c+b·c。
向量数量积满足正弦律，即 a·b=|a||b|sinθ，其中θ为向量a 和b之间的夹角。
02 平面向量的数量积的运算
计算公式
定义
平面向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$的数量积定义为 $mathbf{a} cdot mathbf{b} = |mathbf{a}| times |mathbf{b}| times cos theta$，其中$theta$是向量 $mathbf{a}$和$mathbf{b}$之间的夹角。
交换律
平面向量的数量积满足交换律，即$mathbf{a} cdot mathbf{b} = mathbf{b} cdot mathbf{a}$。
分配律
平面向量的数量积满足分配律，即$(mathbf{a} + mathbf{b}) cdot mathbf{c} = mathbf{a} cdot mathbf{c} + mathbf{b} cdot mathbf{c}$。
高考数学总复习专题28平面向量的数量积及应用理市赛课公开课一等奖省优质课获奖课件
(C )
A.1
B.2
C. 2
2 D. 2
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【解析】(1)设 a 与 b 的夹角为 θ，由(a＋2b)·(a－
b)＝－2 得|a|2＋a·b－2|b|2＝4＋2×2×cos θ－2×4＝ －2，解得 cos θ＝12，∴θ＝π3 .故填π3 .
(2)由题意得，|α||β|sin θ＝12，∵|α|＝1，|β|≤1， ∴sin θ＝21|β|≥12.又∵θ∈(0，π)，∴θ∈π6 ，5π6 .
＝ 22，所以 θ＝π4 ，故选 B.
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2.若等边△ABC 的边长为 2 3，平面内一点 M 满
足：C→M＝16C→B＋23C→A，M→A·M→B＝( B ) A.－1 B.－2 C.2 D.3
【 解 析 】 因 为 M→A ·M→B ＝ C→A－C→M ·C→B－C→M ＝
13C→A－16C→B
(2) 因 为
a·b
＝
(e1
－
2e2)·(ke1
＋
e2)
＝
ke
2 1
＋
(1
－
2k)(e1·e2)－2e22，且|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝－12，所以 k
＋(1－2k)·－12－2＝0，解得 k＝54.故填54.
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(3)∵向量A→B与A→C的夹角为 120°， 且|A→B|＝3，|A→C|＝2， ∴A→B·A→C＝|A→B|·|A→C|cos 120°＝2×3×－12＝－3， ∵ A→P ＝ λ A→B ＋ A→C ， 且 A→P ⊥ B→C ， ∴ A→P ·B→C ＝ λA→B＋A→C·B→C＝λA→B＋A→C·A→C－A→B＝0， 即 λA→B·A→C－A→B·A→C＋|A→C|2－λ|A→B|2＝0， ∴－3λ＋3＋4－9λ＝0，解得 λ＝172， 故答案为172.
平面向量的数量积公开课一等奖优秀课件(2024)
数量积满足交换律、分配律和结合律，即$vec{a} cdot vec{b} = vec{b} cdot vec{a}$， $(vec{a} + vec{b}) cdot vec{c} = vec{a} cdot vec{c} + vec{b} cdot vec{c}$， $(lambdavec{a}) cdot vec{b} = lambda(vec{a} cdot vec{b})$。
空间向量的数量积性质
满足交换律、分配律和结合律，且当两向量垂直时，其数量积为零。
2024/1/29
空间向量的数量积应用
在物理中，用于计算力在某一方向上的做功；在计算机图形学中，用 于计算光照强度等。
与平面向量的数量积比较
空间向量的数量积与平面向量的数量积在定义和性质上有很多相似之 处，但空间向量的数量积涉及三维空间，更为复杂和抽象。
6
02
平面向量的基本概念与性质
2024/1/29
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向量的定义与表示方法
2024/1/29
向量的定义
向量是既有大小又有方向的量， 通常用有向线段表示，有向线段 的长度表示向量的大小，有向线 段的方向表示向量的方向。
向量的表示方法
向量可以用小写字母或大写字母 加箭头表示，如$vec{a}$或 $vec{AB}$，其中起点为A，终点 为B。
向量的共线定理
向量$vec{a}$与$vec{b}$共线的 充要条件是存在唯一实数$k$，
使得$vec{a} = kvec{b}$。
2024/1/29
9
向量的模与方向角
01
向量的模
向量的模定义为向量的长度，记作$|vec{a}|$，对于任意向量$vec{a}$
《平面向量数量积》教案
《平面向量数量积》教案一、教学目标知识与技能目标：使学生理解平面向量数量积的概念，掌握平面向量数量积的计算公式及性质，能够运用数量积解决一些几何问题。
过程与方法目标：通过探究平面向量数量积的概念和性质，培养学生的抽象思维能力和逻辑推理能力。
情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作精神，使学生感受到数学在现实生活中的应用价值。
二、教学重点与难点重点：平面向量数量积的概念，计算公式及性质。
难点：平面向量数量积的运算规律及其在几何中的应用。
三、教学方法采用问题驱动法、案例分析法和小组合作法，引导学生主动探究，发现平面向量数量积的规律，提高学生解决问题的能力。
四、教学准备教师准备PPT，涵盖平面向量数量积的概念、计算公式、性质及应用实例。
学生准备笔记本，以便记录学习过程中的疑问和感悟。
五、教学过程1. 导入新课教师通过展示一个实际问题，引导学生思考平面向量数量积的定义和作用。
2. 探究平面向量数量积的概念（1）教师引导学生根据定义，探究平面向量数量积的计算公式。
（2）学生通过实例，理解并掌握平面向量数量积的计算方法。
3. 学习平面向量数量积的性质（1）教师引导学生总结平面向量数量积的性质。
（2）学生通过练习，巩固对平面向量数量积性质的理解。
4. 应用平面向量数量积解决几何问题教师展示几个应用实例，引导学生运用平面向量数量积解决几何问题。
学生分组讨论，合作解决问题，分享解题过程和心得。
5. 课堂小结教师引导学生总结本节课所学内容，强调平面向量数量积的概念、计算公式及性质。
学生整理学习笔记，反思自己在学习过程中的收获和不足。
6. 布置作业教师布置一些有关平面向量数量积的练习题，巩固所学知识。
学生认真完成作业，巩固课堂所学内容。
七、教学反思教师在课后对自己的教学过程进行反思，分析教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学策略。
学生反思自己的学习过程，总结经验教训，提高学习效果。
八、教学评价教师通过课堂表现、作业完成情况和课后练习成绩，全面评价学生对平面向量数量积的掌握程度。
《平面向量数量积》教案
《平面向量数量积》教案教案：平面向量数量积一、教学目标：1.理解平面向量的数量积的概念和性质。
2.掌握平面向量的数量积的运算法则。
3.能够利用平面向量的数量积解决实际问题。
二、教学内容：1.平面向量的数量积的概念和性质。
2.平面向量的数量积的运算法则。
3.平面向量数量积的应用。
三、教学步骤：1.引入平面向量的数量积的概念。
首先通过提问和示例，引导学生思考两个平面向量的乘积是否有意义，以及该乘积有什么特殊的性质。
然后给出平面向量的数量积的定义：设有两个非零向量a和b，数量积定义为，a，·，b，·cosθ，其中，a，和，b，分别表示向量a和b的模长，θ表示向量a和b之间的夹角。
2.平面向量的数量积的性质。
通过具体的例子，讲解平面向量数量积的性质：（1）数量积的结果是一个数。
（2）数量积满足交换律、分配律。
（3）数量积的结果为0时，表示两个向量垂直，即cosθ=0。
（4）数量积的结果为正数时，表示两个向量同向，即θ为锐角。
（5）数量积的结果为负数时，表示两个向量反向，即θ为钝角。
3.平面向量的数量积的运算法则。
通过示例演算，教导学生具体的运算法则：（1）计算向量的模长：，a，=√(a1²+a2²)。
（2）计算向量的数量积：a·b = ，a，·，b，·cosθ。
（3）计算两个向量的夹角：cosθ = (a·b) / (，a，·，b，)。
（4）根据数量积的定义，解方程组：a·b=0，求出向量a与向量b 互相垂直的条件。
4.平面向量数量积的应用。
通过实际问题解决的例子，帮助学生将平面向量数量积的概念和运算法则应用到实际问题的解决中。
例如：已知有三个向量a、b和c，其中a·b=30，a·c=40，求b与c的夹角。
五、教学反思：在教学过程中，可以通过举一些具体的实际问题，提高学生的兴趣和参与度。
《平面向量数量积》教案
《平面向量数量积》教案一、教学目标1. 理解平面向量的概念，掌握向量的表示方法。
2. 掌握向量的数量积运算，了解数量积的性质和运算规律。
3. 能够运用数量积解决实际问题，提高数学应用能力。
二、教学内容1. 向量的概念及表示方法2. 向量的数量积定义及计算公式3. 数量积的性质和运算规律4. 数量积在坐标系中的运算5. 数量积的应用三、教学重点与难点1. 重点：向量的概念，数量积的计算公式，数量积的性质和运算规律。
2. 难点：数量积在坐标系中的运算，数量积的应用。
四、教学方法1. 采用讲授法，讲解向量及数量积的基本概念、性质和运算规律。
2. 利用案例分析法，分析数量积在实际问题中的应用。
3. 利用数形结合法，直观展示数量积在坐标系中的运算。
4. 引导学生通过小组讨论、探究，提高学生的参与度和自主学习能力。
五、教学安排1. 第一课时：向量的概念及表示方法2. 第二课时：向量的数量积定义及计算公式3. 第三课时：数量积的性质和运算规律4. 第四课时：数量积在坐标系中的运算5. 第五课时：数量积的应用六、教学过程1. 导入：通过复习实数乘法的分配律，引导学生思考向量数量积的定义。
2. 讲解向量的概念，向量的表示方法，向量的几何直观。
3. 引入向量数量积的概念，讲解数量积的计算公式。
4. 通过实例，演示数量积的运算过程，让学生感受数量积的意义。
5. 总结数量积的性质和运算规律，引导学生发现数量积与向量坐标的关系。
七、案例分析1. 利用数量积解释物理学中的力的合成与分解。
2. 利用数量积解决几何问题，如求解平行四边形的对角线长度。
3. 利用数量积判断两个向量是否垂直。
八、数量积在坐标系中的运算1. 讲解坐标系中向量的表示方法，向量的坐标运算。
2. 推导数量积在坐标系中的运算公式。
3. 通过实例，演示数量积在坐标系中的运算过程。
4. 引导学生掌握数量积在坐标系中的运算方法，提高运算能力。
九、数量积的应用1. 利用数量积解决线性方程组。
全国高中数学优质课一等奖精品课件--平面向量的数量积
学习目标 1.理解向量数量积的定义及几何意义. 2.掌握数量积的性质. 3.掌握并能熟练运用数量积的运算律.
重点:理解数量积的定义及其几何意义.
难点:向量数量积的运算.
正值春暖花开季，姚明和撒贝宁去中国篮球 队进行采访，但半路车出了故障，他们把绳 子各自跨过肩膀用手拉着前行，他们出同样 的力，但谁做的功劳比较大呢？
(1)a2- b2;(2)(2a -b)·(a +3b);(3)|a +b|.
例2.已知a 1, b 2,且a b与a垂直， 则a与b的夹角θ是
A.60 B30 C.45 D.135
练一练 1.已知a 4, b 5.
1当a // b时，求a b 2当a b时，求a b.
3当a与b的夹角是 时，求 3a 2b 2a 3b , a 2b 3
如上图,如果一个物体在力F的作用下产生位移s,那么 力所做的功W=|F||s|cos θ,其中θ是F与s的夹角.
功是一个标量,它由力和位移两个向量来确定,这给我 们一种启示,能否把“功”看成是这两个向量的一种运算 的结果呢?
问题1
已知两个非零向量a 和b ,我们把数量 a b cos 叫作a 和
b的数量积(或内积),记作 a • b ，即 a • b a b cos
其中θ是a和b 的 夹角 ,θ的取值范围是 数量积的结果是一个数量. 规定:零向量与任一向量的数量积为0
0， 。
(2)投影的概念： 如图所示，OA a,OB b,过B作BB1垂直于OA,垂足为B1 则 ___b_c_os____叫做b在a方向上的投影 __a _co_s__叫作a在b方向上的投影。
这堂课你都掌握了哪些内容？
来考考你的同桌吧，小伙伴们
平面向量的数量积公开课一等奖优秀课件
学习目标 要点疑点 深入探究 课堂检测
深入探究
跟踪训练1 已知|a|＝4，|b|＝3，当(1)a∥b；(2)a⊥b； (3)a与b的夹角为60°时，分别求a与b的数量积. 解 (1)当a∥b时，若a与b同向， 则a与b的夹角θ＝0°， ∴a·b＝|a||b|cos θ＝4×3×cos 0°＝12. 若a与b反向，则a与b的夹角为θ＝180°， ∴a·b＝|a||b|cos 180°＝4×3×(－1)＝－12.
学习目标 要点疑点 深入探究 课堂检测
填要点·记疑点
2.平面向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量a与b，我们把数量 |a||b|cos叫θ 做a 与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝ |a||b，|co其s θ中 θ 是 a 与b的夹角. (2)规定：零向量与任一向量的数量积为0. (3)投影：设两个非零向量a、b的夹角为θ，则向量a在b方向 的投影是 |a|cos θ ，向量b在a方向上的投影是 |b|cos θ .
学习目标 要点疑点 深入探究 课堂检测
深入探究
思考2 对于两个非零向量a与b，我们把数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积( 或内积)，记作a·b，即a·b＝|a|·|b|cos θ，那么a·b的运算结果是向量还是数 量？特别地，零向量与任一向量的数量积是多少？ 答 a·b的运算结果是数量.
学习目标 要点疑点 深入探究 课堂检测
填要点·记疑点
3.数量积的几何意义 a·b的几何意义是数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向 上的投影 |b|cos θ 的乘积.
学习目标 要点疑点 深入探究 课堂检测
深入探究
探究点一 平面向量数量积的含义
思考1 如图，一个物体在力F的作用下产生位 移s，且力F与位移s的夹角为θ，那么力F所做的 功W是多少？ 答 W＝|F||s|cos θ.
高考数学复习第五章平面向量5.3平面向量的数量积文市赛课公开课一等奖省名师优质课获奖PPT课件
(3)数量积的几何意义：数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影__|b_|c_o_s__θ_的乘积．
2．平面向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a(交换律)． (2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)． (3)(a＋b)·c＝_a_·_c_＋__b_·c_(分配律)．
26/44
平面向量数量积的性质及其坐标表示
设向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ 为向量 a，b 的夹角． (1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝_x_1_x_2＋__y_1_y_2_. (2)模：|a|＝ a·a＝___x_21_＋__y_21__.
(3)夹角：cos θ＝|aa|·|bb|＝
8/44
解析：①向量 b 在 a 方向上的投影是数量，为|b|cos θ，它可 以为正，可以为负，也可以为 0；
②a·b＞0 与 a 和 b 的夹角为锐角不等价，a·b＞0 还包含 a 和 b 同向的情形．同样 a·b＜0 不仅包含 a 和 b 的夹角为钝角，还包 含 a 和 b 反向的情形；
③由于(a·b)·c 表示一个与 c 共线的向量，a·(b·c)表示一个与 a 共线的向量，而 a 与 c 不一定共线，因此(a·b)·c 与 a·(b·c)不一定 相等，故数量积运算不适合结合律，即(a·b)·c≠a·(b·c)；
5/44
(1)[教材习题改编]在△ABC 中，A→B·B→C>0，则△ABC 是 ___钝__角___三角形．
解析：由向量夹角的定义可知，A→B与B→C的夹角为 π－B，则 A→B·B→C＝|A→B||B→C|cos(π－B)>0，
得 cos(π－B)>0，∴cos B<0，即角 B 为钝角，∴△ABC 为钝 角三角形．
平面向量的数量积教案精品
平面向量的数量积教案精品教学目标:1.理解平面向量的数量积的概念和性质。
2.学会计算平面向量的数量积。
3.掌握平面向量数量积的几何意义，了解数量积与向量夹角之间的关系。
4.能够应用平面向量的数量积解决实际问题。
教学重点:1.平面向量的数量积的计算。
2.平面向量的数量积与向量夹角的关系。
教学难点:1.平面向量的数量积与向量夹角的几何意义的理解与应用。
2.数量积计算过程中的代数化简。
教学准备:1.平面向量的定义和基本运算。
2.数学几何工具，如直尺、曲尺和圆规等。
教学过程:第一步:引入1.讲师简要介绍平面向量的基本概念和性质。
2.抛出问题:如何计算两个向量的乘积？这种乘积有什么特点？第二步：引出数量积的定义和性质1. 讲师给出数量积的定义: 设有两个向量a和b，它们的数量积记作a·b，定义为，a，b，·cosθ，其中，a，和，b，分别表示向量a和b的模长，θ表示两个向量夹角的大小。
2.讲师讲解数量积的几何意义:数量积a·b的值等于向量a在向量b 上的投影的长度乘以b的模长，也等于向量b在向量a上的投影的长度乘以a的模长。
3.讲师给出数量积的性质:a.a·b=b·a，数量积满足交换律。
b.a·a=，a，^2，即向量自身的数量积等于其模长的平方。
c.若a·b=0，则称向量a和b垂直或正交。
d.若a·b=，a，b，则称向量a和b同向或共线。
第三步：数量积的计算1.讲师给出数量积的计算公式:a·b=a1b1+a2b2，其中a=(a1,a2)，b=(b1,b2)。
2.讲师通过例题演示如何计算数量积，引导学生掌握计算方法。
第四步：数量积与夹角的关系1.讲师引导学生思考：设向量a和b夹角为θ，如何利用数量积计算夹角θ的大小？2. 讲师给出数量积与夹角的关系: a·b = ，a，b，·cosθ，可解出cosθ = (a·b) / (，a，b，)。
平面向量数量积优质课
在a方向上的投影 b cos 的乘积
例题讲解
例3、b 6，a
3
，a
与b
的夹角为4为 3 2
变式：若 a 与
b的夹角为
135
，则 b 在 a
方向上的
投影为
-3 2
针对性练习
2.已知向量a,b满足|b|=2,a与b的夹角为60°,则b在 a上的投影是( A ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4
请同学们分析这个公式的特点:
W（功）是 量，
F（力）是 量，
S（位移）是 量
θ是
。
F
θ
s
F
从力所做的功出发, 我们引入向量“数量积”的概念.
1.平面向量的数量积的定义
|
a
已知两个非零向量 a || b | cos 叫做a 与b
和 b ，它们的夹角为 ，我们把数量 的数量积（或内积），记作a • b ，
b
O
a
90A
a 与 b 垂直，
记作 a b
复习检测，已知等边三角形中，求
（1）AB与AC的夹角；
C ' （2）AB与BC的夹角。
C
通过平移
120 60
A
变成共起点！
B
二、新授平面向量的数量积定义及几何意义
一个物体在力F 的作用下产生的位移
s，那么力F 所做的功应当怎样计算？
W F’ s F s cos
|=5，| b
|=4，a
与b
的夹角
120，求
a
•
b
.
解: a • b a b cos
5 4 cos120 5 4 ( 1)
平面向量的数量积(公开课)
平面向量的数量积(公开课) 大家好，今天我们来聊聊一个非常有趣的话题——平面向量的数量积。
让我们来搞清楚什么是平面向量。
想象一下，你在一张纸上画了一条线段，这条线段有两个端点，我们把这两个端点叫做起点和终点。
现在，我们在这条线段上任意选了一个点，这个点叫做向量的一个分量。
那么，这条线段就变成了一个向量。
那么，什么是向量的内积呢？想象一下，你有两个向量A和B,它们的起点分别是A1和B1,终点分别是A2和B2。
那么，这两个向量的内积就是它们在这两个点处的乘积之和。
用数学公式表示就是：(A1 * A2) + (B1 * B2)。
这个概念有点难懂吧？没关系，我们来看一个例子。
假设你有两个向量A和B,A的起点是1,终点是2;B的起点是3,终点是4。
那么，A 的第一个分量是1,第二个分量是0;B的第一个分量是0,第二个分量是1。
所以，A和B 的内积就是(1 * 4) + (0 * 1) = 4。
这就是平面向量的数量积。
那么，为什么我们需要学习平面向量的数量积呢？因为它在很多领域都有应用。
比如说，在物理学中，力和速度之间的关系就是一个向量的数量积；在工程学中，建筑物的结构设计也需要考虑向量的数量积；在计算机图形学中，光照效果的计算也离不开向量的数量积。
所以，学好平面向量的数量积对我们的生活和工作都有很大的帮助。
好了，现在我们已经知道了平面向量的数量积是什么，那么怎么计算它呢？其实很简单，只需要按照上面的公式进行计算就可以了。
如果你觉得这个公式还是有点复杂，也可以把它简化成两个部分：第一个分量的乘积加上第二个分量的乘积。
这样一来，问题就变得简单多了。
平面向量的数量积是一个非常重要的概念，它在很多领域都有应用。
希望大家能够认真学习这个知识点，将来在生活和工作中都能派上用场。
好了，今天的课就讲到这里了，希望大家能够喜欢这个课程！下次再见啦！。
数学平面向量的数量积复习公开课一等奖优质课大赛微课获奖课件
P150 复习参考题 A 19 21 B 3 4
第8页
等离子切割机 等离子激光切割机 激光切割机如何使用 等离子切割机供应商 她消失没多久，我渐渐记起了往事，终于明白为何她总是出现在我无声梦境里。也明白，那并不是我第一次看见她笑。由于在两年前一天，我 和她发生了同样对话，那才是我第一次见她笑。 我也终于也离开了2046，可是我再也没有见过她。 我回到往日生活里，除了她一切都没有变。她仿佛没有出现过同样，没有留下任何痕迹。 他们都告诉我，从来没有过那样一个女人，我认为我记忆又出现了问题。 这时，有个人告诉我，去2046，那里能够找回失去记忆和一切。并且在那里时间永远不会流逝。 于是，为了找到她和我失去记忆，我又踏上2046，再也没有离开。
则 OB (x, y), AB (x 5, y 2)
OB AB
∴x（x-5）+y（y-2）=0
即 x2+y2 – 5x – 2y=0
①
又 OB AB
∴x2+y2=（x-5）2+（y-2）2 即 10x+4y=29 ②
由①、②解得：
x1
y1
7 2
3 2
或
x2 y2
3 2 7 2
a
b＝
1
2
cos
a
b
ab
1 2
[0 ,180 ] 120
a
b
2
a
2
2a b
b2
3
ab
3
第5页
平面向量数量积（复习）
三、应用举例
例 2、以原点 O 和 A（5，2）为两个顶点作等腰直角三角形 OAB， ∠B=90°，求点 B 和 AB 的坐标。
解：设点 B 的坐标为（x,y），
省级高中数学优质课：平面向量数量积 说课课件
课堂结构
第一段
课中三段 第二段
第三段
提出问题 引入课题 出示目标
概念明晰 探究性质与运算律 运用所学解决问题
课堂练习 课堂小结 布置作业
课中三段 第一段：教学导入
问题1：
物理中力(Force)对物体所做的功
(Work)是什么？
问题2：
给出图示，如何计算“功”？
F
θ
S
FW S | F || S | cos
2.掌握向量数量积的性 质，会用平面向量的数 量积表示向量的模及向 量的夹角；
3.掌握向量数量积的运 算律。
课中三段 第二段：学习新知
集体朗读 平面向量数量积(dot product)定义 问题3： 向量夹角的范围是什么？ 问题4： 平面向量的数量积运算与线性运 算的结果有什么不同？影响向量 数量积大小的因素是什么？
2.4 平面向量的数量积
The Dot Product of Vectors 第一课时
平面向量数量积的物理背景及其含义
Physical Background & Meaning of the Dot Product of Vectors
学习目标(Learning Objectives )：
1.理解平面向量数量积 的概念及几何意义；
2. 若 a b 0, 则 a 0 或 b 0 ，对吗？
O
c 左3边.若=a|
A1
Oc B1b||cc, c|
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0,
则B1a
C
b ，对吗？
右边= | OA1 || c | | A1B1 || c |
(| OA1 | | A1B1 |) | c || OB1 || c | =左边
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A
1 (1) AB AC AB AC cos60 2 1B (2) AB BC AB BC cos120 2 1 (3) BC AC BC AC cos60 2
60
C
e 是与b 方向相同的 设 a、b 是非零向量， 单位向量， 是a与e 的夹角，则 ( 1 ) e a a e | a | cos a b | a || b | cos (2)a b a b 0
O a A
B b
a BA 1 θ为锐角时， | b | cosθ＞0
A O( B1 ) a θ为直角时， | b | cosθ=0
3、向量的数量积的几何意义
a b 的几何意义是
数量积 a b 等于a 的长度 a
与b
在 a 方向上的投影 b cos 的乘积
例题讲解
例3、b 6 ，a 3 ， a
2、已知 ABC中， AB a , AC b ,当a b 0 或a b 0时，试判断 ABC的形状。
3、 a = b = 1, a与b夹角为120 ，问t取何值 时， a - tb 最小？
0
W =F
’
s F s cos
F
s
请同学们分析这个公式的特点： W（功）是 量， F（力）是 量， S（位移）是 量 θ是 。
从力所做的功出发，我们引入向量“数量积”的概念.
1、平面向量的数量积的定义
已知两个非零向量 a 和 b ，它们的夹角为 ，我们把数量 | a || b | cos 叫做 a 与b 的数量积（或内积），记作 a b ，
针对性练习1：已知 a = 1, b = 2 (1)a / / b, 求a ?b; (2)q 3 p , 求a b 4
解：（ 1 ）由a // b，分两种情况：
当a, b 同向， a b 2; 当a, b反向， a b 2。
3 （2） a b 1 2 cos 1 4
方向上的投影为
与b
的夹角为 45 ，则 b
在a
3 2
135
变式：若 a 与 b的夹角为
投影为
-3 2
，则 b 在 a
方向上的
针对性练习
2.已知向量a,b满足|b|=2,a与b的夹角为60°,则b在a 上的投影是( A ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4
12 3.已知|b|=5, |a|=4,在a在b方向上的投影是 ，则 5
（3） 的取值范围 (0 ＃ q
180 )
例题讲解
例1．已知| a
|=5，| b
a 与 b 的夹角 120 ，求 a b |=4，
.
解： a b a b cos 5 4 cos120 1 5 4 ( ) 2 10
三、小结
1、本节课主要学习了哪些知识？
1)、平面向量的数量积的定义 2)、平面向量的数量积的性质 3)、平面向量的数量积的几何意义 4)、平面向量的数量积的运算律：
四、当堂检测
1、判断下列各命题是否 正确，并说明理由 (1)若a 0，则对任一非零向量 b ，有 a b 0 (2)若a 0，a b a c , 则b c
例2.已知正三角形ABC的边长为1，求（1）AB AC
（2） AB BC
（3）BC AC
A
B
C
例2.已知正三角形ABC的边长为1，求（1）AB AC
（2） AB BC
（3）BC AC
A
60
1 (1) AB AC AB AC cos60 2
B
C
例2.已知正三角形ABC的边长为1，求（1）AB AC
即
a b | a || b | cos
规定：零向量与任意向量的数量积为0，即 a 0 0．
注：（ 1 ）两向量的数量积是一个数量，而不是向量， 数量积的正负由夹角决定 （2）“●”不能省略不写 ，a · b不能写成 a×b 或a
b ，a×b 表示向量的另一种运算．
注：
1、 (a 鬃 b）c 棺 a (b c ) 2、 (a＋b) ＝a ＋2a ×b＋b ； 3、 (a＋b) ×(a－b)＝a －b
2 2 2 2 2
例4、已知 | a | 6,| b | 4, a与b的夹角为60，求 a b， a , b ,
2 2
(a 2b) (a 3b),
如图所示： OA a, OB b, AOB 过B作 BB1垂直OA，垂足 B 为 B1 , 则 OB1 b cos
b b cos 叫做向量 b 在 a 方向上的投影 a cos 叫做向量 a 在 b 方向上的投影O
B B b
a
B1
A
b
O
B1 θ为钝角时， | b | cosθ＜0
(a b) a 2a b b | a |2 2| a || b | cos | b |2 28
2
2
2
| a b |2 (a b)2 28
| a b | 28 2 7
针对性练习，已知 | a | 3,| b | 4, 当且 仅当k为何值时，向量a kb与a kb 互相垂直？
O
O
a
A
90
与
b 同向
a
与
b 反向
a
记作
b 垂直， ab
C
'
复习检测，已知等边三角形中，求 （1）AB与AC的夹角； （2）AB与BC的夹角。 C
120
A
通过平移 变成共起点！
60
B
二、新授平面向量的数量积定义及几何意义
F
一个物体在力F 的作用下产生的位移 s，那么力F 所做的功应当怎样计算？ θ
(a b)2 , | a b |
解:a b | a || b | cos 12
a | a | 36
2 2
b | b |2 16
2 2
2
(a 2b) (a 3b) a a b 6b | a |2 | a || b | cos 6| b |2 72
O
2、平面向量的数量积的性质
θ
b
B
B1 a
A
a ×b (3) cosq = | a || b |
2 a
特别地
2 a a | a | 或 | a | a a
(4) | a 祝 b | | a || b |
3、向量的数量积的几何意义
投影的概念
投影是向量 还是数量？
a· b等于( D ) (A)4 (B)3 (C)8 (D)12
4、平面向量的数量积的运算律：
(1)a b b a (2)(a ) b (a b ) a (b ) (3)( a b ) c a c b c 其中， a、b 、c是任意三个向量， R
2.4平面向量的数量积
一、复习向量的夹角
两个非零向量
则
， b a 和 b ，作 OA a, OB
叫做向量 和 b 的夹角． a
AOB (0 180 )
b
B
b
注意:在两向量的夹 角定义中,两向量必 须是同起点的
A B
a
O
a
B
a
O
a
A
b
A
与
b
a
B
0
b 180
（2） AB BC
（3）BC AC
A
120
1 (1) AB AC AB AC cos60 2 1 B (2) AB BC AB BC cos120 2
C
例2.已知正三角形ABC的边长为1，求（1）AB AC
（2） AB BC
（3）BC AC