jk2015-3-系统时间响应分析
第三章系统的时间响应分析
机械工程控制基础
第三章控制系统时间响应分析
输出的时间响应为：
K c(t ) (1 e K 1
T 1 假设增益 K 1
K 10
K 1 ( )t T
)
2t
c(t ) 0.5(1 e ) c(t ) 0.909(1 e
11t
)
机械工程控制基础
第三章控制系统时间响应分析
动态方框图： （单位负反馈系统）
Xi(s)
2 n s 2 2 n s
Xo(s)
机械工程控制基础
第三章控制系统时间响应分析
机械工程控制基础
第三章控制系统时间响应分析
1 1 at e sin t 2 2 ( s a)
机械工程控制基础
第三章控制系统时间响应分析
机械工程控制基础
机械工程控制基础
第三章控制系统时间响应分析
机械工程控制基础
第三章控制系统时间响应分析
机械工程控制基础
第三章控制系统时间响应分析
机械工程控制基础
第三章控制系统时间响应分析
例特征根值：
si j; j
系统的输出：
y1 (t ) e cost
y2 (t ) e sin t
欠阻尼二阶系统具有一对实部为负的共轭 复根，时间响应呈衰减振荡特性，故又称 为振荡环节。 系统闭环传递函数的一般形式为
C ( s) 2 2 R( s ) s 2 n s n
2 n
特征根为一对共轭复根
衰减系数 d 阻尼振荡频率
s1,2 n j n 1 2 j d
或
arccos
系统的响应由稳态分量和动态分量两部分 组成，稳态分量的值等于1，动态分量是 一个随时间t的增长而衰减的振荡过程。
控制系统时间响应分析
控制系统时间响应分析控制系统的时间响应分析是控制系统工程中至关重要的一个环节。
控制系统时间响应分析的目的是对系统的动态性能进行分析和评价，以便设计和改进控制系统以满足系统的性能指标和要求。
时间响应分析是分析系统动态特性最常用的方法之一，由于其简单易行、直观、实用而被广泛采用。
控制系统的时间响应是指系统在输入信号发生突变时，输出信号发生的变化情况，它是衡量控制系统动态响应能力的重要参数之一。
在时间响应分析中，我们通常关注的是控制系统的过渡过程、超调量以及调节时间。
其中，过渡过程是指系统从稳态到达目标状态所需的时间，超调量是指系统在调节过程中输出信号超过目标值的最大值的百分比，调节时间是指系统达到目标状态所需要的时间。
基于这些性能指标的分析，可以确定系统的性能表现和稳定性，进而设计和优化控制系统。
时间响应分析的基本方法是利用系统的数学模型，通过激励系统并观测其输出信号随时间的变化，进而分析系统的响应特性。
此外，还可以通过脉冲响应、阶跃响应、正弦响应等不同的激励信号来分析系统的响应特性。
在针对实际系统时，时间响应分析需要考虑系统的复杂性和非线性因素等影响因素，以便获得更加准确且实用的分析结果。
对于控制系统时间响应分析而言，评价系统的性能指标是非常重要的。
标准的性能指标包括调节时间、超调量、稳态误差和振荡等。
以调节时间为例，当系统从失稳状态开始到达稳态状态的时间越短，则表示系统的响应性能越好。
超调量表示系统在达到目标状态后，输出信号超过设定值的最大值。
稳态误差则反映了系统达到稳定状态后，系统输出值与目标值之间的偏差。
系统的时间响应分析
第四章 系统的时间响应分析4-1 什么是时间响应？时间响应由哪两部分组成？各部分的定义是什么？答：系统在外加作用(输入)激励下，其输出量随时间变化的函数关系称之为系统的 时间响应，通过对时间响应的分析可揭示系统本身的动态特性。
任一系统的时间响应都是由瞬态响应和稳态响应两部分组成。
瞬态响应：系统受到外加作用激励后，从初始状态到最终状态的响应过程称为瞬态 响应。
稳态响应：时间趋于无穷大时，系统的输出状态称为稳态响应。
瞬态响应反映了系统动态性能，而稳态响应偏离系统希望值的程度可用来衡量系统 的精确程度。
4-2 系统稳定性的定义是什么？答：一个控制系统在实际应用中，当受到扰动作用时，就要偏离原来的平衡状态，产生初始偏差。
所谓控制系统的稳定性，就是指当扰动消失之后，系统从初始偏差恢复到原平衡状态的能力。
4-3 一个系统稳定的充分和必要条件是什么？答：系统特征方程的全部根都具有实部。
或者说，闭环传递函数的全部极点均在s 平面的左半部。
4-4 如题图4-4所示的电网络，试求其单位阶跃响应、单位脉冲响应和单位斜坡响应，并画出相应的响应曲线。
解：如图RC 电网络的传递函数为：1()1=+G s RCsT RC = （1）单位阶跃响应：()11−−=−=−t t RCTC t ee（2）单位脉冲响应：题图4-411()−−==t tRCT C t e e T RC（3）单位斜坡响应：()11−−⎛⎞⎛⎞=−−=−−⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠t t RCTC t t T et RC e4-5设温度计能在1分钟内指示出响应值的98％，并且假设温度计为一阶系统，求时间常数。
如果将此温度计放在澡盆内，澡盆的温度依10℃/min 的速度线性变化，求温度计示值的误差是多大？ 解：()()22440.2541 0.2511()10.25110()10()()()0.251 ()10 2.5 2.5 ()()()1010 2.51 2.51−−−====++===+=−+⎛⎞=−=−+−=−⎜⎟⎝⎠tt t i T T G s Ts s R s sC s G s R s s s c t t e e t r t c t t t e e当 →∞t 时2.5=o ss e C4-6已知控制系统的微分方程为2.5()()20()y t y t x t ′+=，试用拉氏变换法求该系统的单位脉冲响应和单位阶跃响应，并讨论二者的关系。
机械工程控制基础-时间响应分析
工程控制基础
第三章 时间响应分析
二、二阶系统对典型输入信号的响应
1、二阶系统的单位脉冲响应
工程控制基础
第三章 时间响应分析
（t≥0）
d n 1 （2 有阻尼固有频率）
工程控制基础 0<ζ<1
第三章 时间响应分析
不同阻尼比时的单位脉冲响应情况
工程控制基础
第三章 时间响应分析
（t≥0）
工程控制基础
（3）
第三章 时间响应分析
（c）特征根的实部≤0
工程控制基础
第三章 时间响应分析
2）
Im[si]绝对值越大，则自由响应项振荡频率越高， 它影响着【系统响应的准确性】。
工程控制基础
第三章 时间响应分析
3.2 典型输入信号
在控制工程中，常用的输入信号有两大类：
•其一是系统正常工作时的输入信号；
•其二是外加的测试信号。
1）一阶系统的单位脉冲响应
➢ω(t)=
ω(tc()t)
1 T
初初始始斜斜率率＝＝Ｔ１-Ｔ１2
(t )
1 T
t
e T （t≥0）
0.368 1
T
0.135
1 T
1 0.018 T
0 T 2T 3T 4T
t
图3-2 一阶系统的 单位脉冲响应曲线
工程控制基础
第三章 时间响应分析
➢一阶系统的调整时间为4T
an
y(n)
(t)
a y(n1) n1
(t)
...
a1 y(t)
a0
y(t)
x(t)
工程控制基础
第三章 时间响应分析
输入引起的
n
n
y(t) A1iesit A2iesit B(t)
系统的时间响应分析
系统的时间响应分析时间响应分析是探索系统对输入信号做出反应的一种方法。
在这个过程中，我们研究系统输出在不同时间点的行为，以便更好地理解和预测系统的性能和稳定性。
在进行时间响应分析之前，我们需要了解输入信号和系统的数学模型。
输入信号可以是连续时间信号，也可以是离散时间信号。
系统的数学模型可以是差分方程、微分方程、差分方程的递归关系等形式。
在时间响应分析中，最常用的分析方法是通过求解系统的微分方程或差分方程获得其输出。
对于连续时间系统，我们通常使用微分方程；对于离散时间系统，我们通常使用差分方程。
在实际应用中，我们可以使用不同的方法来获得系统的时间响应。
其中最常见的方法是使用拉普拉斯变换和傅里叶变换。
拉普拉斯变换通常用于连续时间系统，而傅里叶变换则更适用于离散时间系统。
通过进行时间响应分析，我们可以获得系统的重要性能指标，如稳定性、阻尼比、自然频率等。
这些指标对于系统设计和控制至关重要。
通过对时间响应分析的研究，我们可以了解系统对不同输入信号的响应速度、衰减程度以及是否能达到稳态。
此外，时间响应分析还有助于系统的故障诊断和故障排除。
通过观察系统的时间响应，我们可以判断系统是否存在故障，并进一步确定故障的来源和性质。
总之，时间响应分析是一种重要的系统分析方法，可以帮助我们了解系统的性能和稳定性。
通过对系统输出在不同时间点的观察和分析，我们可以获得系统的重要性能指标，并进一步进行系统设计和控制的优化。
时间响应分析是系统控制理论中的一项重要内容，它用于研究系统对输入信号的响应情况。
通过分析系统在不同时间点的输出行为，我们可以获得有关系统的重要信息，例如系统的稳定性、阻尼比、自然频率等。
这些信息对于系统设计、控制和故障排除非常关键。
在进行时间响应分析之前，我们首先需要了解系统的输入信号和数学模型。
输入信号可以是连续时间信号，也可以是离散时间信号，而系统的数学模型可以是差分方程、微分方程、递推关系等表示。
在时间响应分析中，最常用的方法是通过求解系统的微分方程或差分方程来获得系统的输出。
第三章 系统的时间响应
对上式进行拉氏逆变换
xo (t ) = L [xo ( s )] = 1 +
−1
2 ξ −1 ξ + ξ −1
2 2 2
(
1
)
e
− ξ + ξ 2 −1 ωn t
−
2 ξ −1 ξ − ξ −1
2
(
1
)
e
− ξ − ξ 2 −1 ω n t
第三章 系统的时间响应分析
求单位阶跃响应。
G （2） ( s ) =
2 ( s + 1)( s 2 + 2s + 2)
第三章 系统的时间响应分析
3.4 稳态误差及计算
稳态误差系统稳定以后，系统输出的实际值与设定值之差，即
ess = lim xor (t ) − xo (t )
t →∞
系统偏差： 系统误差和偏差的关系： 系统误差和偏差的关系：
s1, 2 = ±ωn
1 ωn 2 X o (s) = G (s) X i (s) = 2 ⋅ 2 s + 2ωn s + ωn s 1 ωn 1 = − − s (s + ωn )2 s + ωn
系统输出的拉氏变换为
对上式进行拉氏逆变换
1 ωn 1 = 1 − (ωn t + 1)e −ωnt xo (t ) = L−1 − − s (s + ω )2 s + ω n n
1 s + ξωn ωd ξ xo (t ) = L − − 2 2 2 s ( s + ξωn ) + ωd 1 − ξ ( s + ξωn ) 2 + ωd
第三章系统时间响应分析
二阶系统的响应特性完全由ζ和
ωn两个参数决定，所以ζ、ωn是
二 阶 系 统 的 两 个 重 要 参 数 。 过阻尼二阶系统:传递函数可分
左 半 平 面 ξ>0
0<ξ<1
ξ=1 两个相等根
ξ=0 平 面 ξ<0
解为两个一阶惯性环节相加或相 乘,因此可视为两个一阶环节的 并联，也可视为两个一阶环节的 串联。
]=n
sin nt
t0
s1,2 jn
（3）当 1 ，系统为临界阻尼系统时，
w(t)
L1[ (s
2n n
)2
]= 2ntent
t0
s1,2 n
（4）当 >1，系统为过阻尼系统
w(t)
n
L1
1
－ L1
1
2 2 1 s (－ 2 1)n
s (＋ 2 1)n
2
n 2
1
e
-(－
2 1)nt
e-(＋
2 1)nt
t0
s1,2 n n 2 1
欠阻尼系统的单位脉冲响应曲线：减幅的正弦振荡曲线。ξ愈
第三章 时间响应分析
线性系统的时域分析法
系统时间响应的性能指标 一阶系统时域分析 二阶系统时域分析 高阶系统的响应分析
线性系统的稳态误差计算
2.1 系统时间响应及其组成
一、系统时间响应
系统的时间响应及其组成是指描述系统的微分方程的解与其组成， 它们反映系统本身的固有特性与系统在输入作用下的动态历程；
系统时间响应的性能指标课件
整个调节过程分为两个阶段: . a.动态过程 反映系统的动态特性。输出量处于
激烈变化之中，其信息用动态性能描述。 . b.稳态过程 反映系统的稳态特性。输出量稳定
在新的平衡状态，并保持不变。提供有关稳态误 差的信息，由稳态性能描述。
三、动态响应指标
注意tr 的另一种定义。
• 描述稳定的系统在单位阶跃函数作用下，动态过程 随时间的变化状况的指标。
缺点： 难以判断系统结构和参数对动 态性能的影响，很难用于系统的设计。对 于高阶系统，系统分析的工作量将急剧增 加，不易确定其性能指标。必须借助计算 机实现。
第三章 时域分析法
第一节 系统时间响应的 性能指标
一 典型输入信号
为了能对不同的控制系统的性能用统一的标 准来恒量，通常需要选择几种典型的外作用。
2、除一、二阶系统外，精确确定这些指标 的解析式相当困难。
小结
• 理解系统的时间响应由动态过程和稳态过程组成； • 掌握动态性能指标的定义。
峰值时间
A
超调量G%= %
误差带
定义一
B
上升时间
调节时间
定义二
调节时间
上升时间
上升时间tr－rise time 峰值时间tp－peak time 调节时间ts－settling time
v说明
1、上升时间和峰值时间反映了系统的响应 速度；超调量反映了系统的阻尼程度；调节 时间同时反映系统响应速度和阻尼程度的综 合性指标。
第三章 时域分析法
什么是时域分析? 指控制系统在典型输入信号作用下，根据
输出量的时域表达式(解析、几何)，分析系 统的稳定性、动态性能和稳态性能 。 已知系统微分方程形式的数学模型
求c(t)与ai、bj 、r(t)的关系(解析、几何)。
机电传动控制第三章
当t=0时，初始斜率为
时间常数T是重要的特征参数，它反映了系统响应的快慢。T 越小，C(t)响应越快，达到稳态用的时间越短，即系统的惯 性越小。
通常工程中当响应曲线达到并保持在稳态值的95%～98%时， 认为系统响应过程基本结束。从而惯性环节的过渡过程时间 为3T～4T。
第三章 线性系统的时域分析 3、一阶系统的脉冲响应
第三章 线性系统的时域分析
规律
x (t)
1
1
eT
0
T
1
x (t) 1 e T 01
1
x0t1(t) t T Te T
x x (t) d (t)
0
dt 01
x x d
(t)
(t)
01
dt 0t
即：系统对输入信号导数的响应等于系统对该输入信号 响应的导数。
此规律是线性定常系统的重要特征，不适用于线性时变 系统及非线性系统。
当输入信号为理想单位脉冲函数时，Xi(s)＝1，输入量的拉氏变换 于系统的传递函数相同，即
一阶系统单位脉冲响应的特点
xo(0)=1/T,随时间的推移，xo(t)指数衰减
当t=0时，初始斜率为
对于实际系统，通常应用具有较小脉冲宽度（脉冲宽度小于 0.1T）和有限幅值的脉冲代替理想脉冲信号。
同样满足上述规律，即T越大，响应越慢，无论哪种输入信号 都如此。
±2%或±5%）内所需的时间。
td、tr、tp、ts用来评定系统的快速性（灵敏性）。
Mp用来评定系统的相对平稳性。
第三章 线性系统的时域分析
结论 二阶系统的动态性能由ωn和ξ决定。
通常根据允许的最大超调量来确定ξ。一般选择在
0.4～0.8之间，然后再调整ωn以获得合适的瞬态响
自控实验与三线性系统校正的时间响应分析
二、烧烫伤
1. 脱离热源，去掉覆盖在伤口的衣物。 2. 用冷清水冲洗20分钟或至无疼痛感觉，有
冰块更好。 3. 轻轻擦干伤口，用纱布遮盖，保护伤口。
切忌不随便涂药，不挑开水泡。 4. 严重烧伤，迅速拨打急救电话，送医院。
三、溺水急救
首先应将溺水者尽快，救出水面。 将溺水者平放在地面，迅速撬开口腔，清除口腔和鼻腔异物如 淤泥、杂草等，使其口呼吸道通畅。 倒出腹腔内吸入物，但要注意不可一味倒水而延误抢救时间。 倒水方法：将溺水者置于抢救者屈膝的大腿上，头部朝下，按 压其背部迫使呼吸道和胃里的吸入物排出。
碰到闪电打雷时，要迅速到就近的建筑物内躲避。 在野外无处躲避时，要将手表、眼镜等金属物品 摘掉，找低洼处伏倒躲避，千万不要在大树下躲 避，直接遭雷击的死亡率是很高的。未被雷直接 击中的人，会出如同触电一样的症状，这时应马
上采取心、肺复ห้องสมุดไป่ตู้术进行抢救。
五、户外动物咬伤急救
在野外做户外运动时，经常会碰上毒虫和 动物咬伤，常见的有：蛇、蜂、蜈蚣等。
常用急救常识幻灯 片
优选常用急救常识
❖一、脱水与中暑急救 ❖ 二、烧烫伤急救 ❖ 三、溺水急救 ❖ 四、触电急救 ❖ 五、户外动物咬伤急救
蛇、蜂、蜈蚣、蝎子、蜘蛛、狗猫
❖ 六、酒精中毒急救 ❖ 七、煤气中毒急救 ❖ 八、心绞痛急救
v 九、脑血管意外急救 v 十、晕厥急救 v 十一、鼻出血急救 v 十二、创伤急救 v 十三、发高烧的救治 v 十四、食物中毒的急救 v 十五、晕厥的急救 v 十六、人工呼吸的方法 v 十七、心脏挤压的方法
急救方法 应尽快将中暑病人送医院急救，以免引起休克及肾脏衰竭等 并发症。但送医院前应该：
第三章系统时域响应分析
2
(t) 1
t n
c
os
t
t n
s
in
t
x e e o
d
2
d
1
1 nt (cos t sin t)
e d
2
d
1
t
n
2
1
e 1
sin( t arctg
)
2
d
xo(t)
1
1
0
t
说明
（1）系统阶次n和特征根si取决于系统的固有特性， 与系统的初态无关；
（2）因传递函数G(S)定义的前提为：零初始状态 ∴由拉氏逆变换求得xo(t)=L-1[G(S).Xi(S)]为系统的 零状态响应，即系统在零初始状态下，仅有输入 引起的响应。
（3）瞬态响应和稳态响应
若所有的特征根（极点）均具有负实部Re[si]<0，则 自由响应最终趋于零，即收敛，此时系统稳定。 对应的自由响应——瞬态响应
d n)2
d
2
n 2
1
x (t) L1[G(s)] o jω
n
t
n
s
in
t
e 2
d
1
xo(t)
s1
0
t
s2
(t)
n
t n
s
in
t
x e o
2
d
1
jω
s1
2
s j 1
1,2
1,2
n
n
第三章系统的时间响应分析
华中科技大学机械学院
机电系 易朋兴、熊良才
2020/3/5
机械工程控制基础
2
第三章 系统时间响应分析
➢ 时间响应及其组成 ➢ 一阶系统的时间响应 ➢ 二阶系统的时间响应 ➢ 二阶系统的性能指标 ➢ 高阶系统的时间响应 ➢ 系统的误差分析与计算 ➢ 单位脉冲响应函数在时间响应中的作用
二阶欠阻尼单位阶跃响应
➢ 上升时间tr ：响应曲线第一次达到输出稳态值所需的时间定义为上升时间
当ζ一定时ωn增大tr就减小； 当ωn一定时ζ增大， tr就增大
华中科技大学 易朋兴
2020/3/5
机械工程控制基础
26
3.4 二阶系统性能指标
➢ 二阶欠阻尼系统瞬态性能指标：
上升时间 tr 、峰值时间 t p 、最大超调量 M p 、调整时间 ts 、振荡次数 N
• 当 0 ， 1系统为欠阻尼系统时
d n 1 2 :二阶系统的有阻尼固有频率
华中科技大学 易朋兴
2020/3/5
机械工程控制基础
17
3.3 二阶系统时间响应
➢ 二阶系统：
传递函数：G( s )
Xo( s ) Xi( s )
2 n
s2
2n s
2 n
ωn、ζ
N
k
N
k 297N / m
（2）求m
Q M p exp( /
1 2 ) 100% 0.0029 9.6% 0.6
0.03
将tp和ξ代入tp计算式 tp 2s , 0.6
tp
d
n
s2
2 n
时间响应的名词解释
时间响应的名词解释时间响应是一个在物理学、工程学和控制论等领域中常用的术语。
它描述了一个系统对于不同输入信号的响应速度和行为特性。
在这篇文章中，我们将对时间响应进行深入探讨，并解释其含义和背后的原理。
一、时间响应的基本概念时间响应是指一个系统在接收到不同输入信号后所产生的输出信号的随时间变化的行为。
这个过程可以用数学模型来描述，并通过各种指标来分析系统的性能和稳定性。
在实际应用中，时间响应可以用于系统控制、信号处理以及优化算法等方面。
二、连续时间系统的时间响应连续时间系统是指输出信号和输入信号是连续变化的系统。
在连续时间系统中，时间响应通常通过微分方程或差分方程来表示。
其中，微分方程描述了系统的动态特性，而差分方程则用于对数字信号进行建模和分析。
连续时间系统的时间响应可以分为两种基本类型：阶跃响应和冲激响应。
阶跃响应是指系统在接收到单位阶跃输入信号后的输出响应，可以反映出系统的稳态和过渡态响应。
而冲激响应则是指系统在接收到单位冲激输入信号后的输出响应，它的数学描述为系统的单位冲激响应函数。
三、离散时间系统的时间响应离散时间系统是指输出信号和输入信号是离散变化的系统。
在离散时间系统中，时间响应通常通过差分方程来描述，其中差分方程可以用于描述系统的动态特性。
离散时间系统的时间响应也可以分为阶跃响应和冲激响应两种类型。
与连续时间系统类似，阶跃响应是指系统在接收到单位阶跃输入信号后的输出响应，用于分析系统的稳态和过渡态响应。
冲激响应是指系统在接收到单位冲激输入信号后的输出响应，可以通过系统的单位冲激响应函数进行描述。
四、时间响应的重要指标时间响应的分析还包括了一些重要的指标，用于描述系统的性能和稳定性。
其中一种常用的指标是系统的上升时间，它衡量了系统输出从稳态值到达其最终值所需要的时间。
另一个指标是峰值时间，用于描述系统输出的峰值出现的时间。
还有两个重要的指标是峰值超调和稳态误差，它们分别用于描述系统输出的超调幅度和输出与期望值之间的误差。
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1 (t ) b0 y1 (t ) y(t ) bm y1( m) (t ) bm1 y1( m1) b1 y
第 三 章 系统的时间响应分析
本章主要教学内容
3.1 时间响应及其组成
3.2 典型输入信号 3.3 一阶系统
3.4 二阶系统*
3.5 高阶系统 3.6 系统误差分析与计算*
1
3.1 时间响应及其组成
本节教学内容
本节教学要求 1.了解求解定常线性微分 方程的基本方法 2*.熟悉时间响应的组成和 各种类型 3.加深线性系统叠加原理 的理解
3.1.1 定常线性微分方程 求解
3.1.2 时间响应的组成
3.1.3 叠加原理用于求解 时间响应
2
3.1.1 定常线性微分方程求解 定常线性微分方程：该微分方程是未知函数及其各阶导数的 一次方程；微分方程中各项系数均为常数；这类方程可用代 数方法（如拉氏变换）求解。
线 性 微分方程 一般形式
结论
对于线性定常系统，如果输入函数为某一函数的导数， 则该输入函数的响应函数也等于这一函数的响应函数 的导数。
6
3. 2 典型输入信号 阶跃 信号 此类信号工程上易实现。 可用来测试系统瞬态特性，获取系统 阶跃响应曲线。 此类信号常用于测取系统模态。 可用来测试系统瞬态特性和抗扰动性能， 获取系统脉冲响应曲线。 此类信号多用于疲劳试验系统。 可用来测试系统的频率特性。 此类信号工程上多用于恒速控制。 可用来测试 I 型系统的稳态特性，获取 系统斜坡响应曲线。
17
阻尼比与特征根的关系
2 s 2 2n s n 0
s1、2 n n 2 1
阻尼比 0<ξ<1 ξ=0 ξ=1 ξ>1
特征根
s1, 2 n jn 1 2
系统类型 欠阻尼(重点) 无阻尼 临界阻尼 过阻尼
s1, 2 jn
s1, 2 n
零状态响应
si—— 微分方程的特征根（i=1, 2, … , n）
4
3.1.2 时间响应的组成
n
自由响应
n
强迫响应
时间响应的类型
y (t ) A1i exp( si t ) A2i exp( si t ) B(t )
i 1 i 1
零输入响应
零状态响应
按振动的 性 质 分 按输入的 来 源 分
5
按稳定系统 响应形态分
3.1.3 叠加原理用于求解时间响应
线性常微 分方程的 一般形式
(t ) a0 y (t ) an y ( n ) (t ) an1 y ( n1) (t ) a1 y (t ) b0 x(t ) bm x ( m) (t ) bm1 x ( m1) (t ) b1 x
单 位 脉 冲 响 应 特 点
xo (t )
n
1 2
e nt sin d t 欠阻尼
0< <1
单 位 脉 冲 响 应 的特点
单位脉冲响应对应时间响应类型中 w(t) 的自由响应、零状态响应和瞬态响 1/T 应； 定义响应曲线衰减到初值的 2% 之前 的过程为过渡过程。一阶系统过渡 0 过程时间为4T，T 越小系统响应越快。
w(t )
1 T e T
t
T
2T
3T
4T
t
10
3.3.3 一阶系统单位阶跃响应 单位阶跃响应：当系统的输入信号是理想的单位阶跃函数时，系统 的输出称为单位阶跃响应函数，简称为单位阶跃响应。 单 位 1 X ( s ) G ( s ) X ( s ) G ( s ) o i 阶 跃 单位阶跃响应的拉氏变换： s 响 应 1 t 1 1 1 T 1 1 的求取 单位阶跃响应： xo (t ) L L 1 e T , (t 0) Ts 1 s s Ts 1 单位阶跃函数的拉氏变换：
齐次线性方程的通解 特解
时间响应 ——系统在输入信号作用下其输出随时间变化的规律， 称为系统的时间响应，它也是系统动力学微分方程的解。
组系 统 成时 间 形响 应 式的
自由响应
强迫响应
y (t ) A1i e
i 1
n
si t
A2i e si t B(t )
i 1
பைடு நூலகம்
n
零输入响应
系统闭环极点(特征根)：-1/T
x i (t ) c
k
xo(t) m=0
k c
xo(t) m=0
xi(t)
9
3.3.2 一阶系统单位脉冲响应 单位脉冲响应 ：当系统的输入信号是理想的单位脉冲函数时，系统 的输出称为单位脉冲响应函数，简称为单位脉冲响应，用w(t)表示。
单 位 脉 冲 响 应 的求取
系统 传递 函数
Xi(s)
-
2 Xo(s) n s( s 2n )
2 n G( s) 2 2 s 2n s n
系统 特征 方程 和特 征根
2 s 2 2n s n 0
s1、2 n n 2 1
二阶系统的特征根随阻尼比的取值不同而有多种形式， 进而决定了二阶系统不同的响应特性。
an y ( n ) (t ) an 1 y ( n 1) (t ) a1 y (t ) x(t )
（x=0: 齐次微分方程；x0: 非齐次微分方程）
线性非齐 次微分方 程的通解
y(t ) C1 y1 (t ) C2 y2 (t ) Cn yn (t ) y (t )
1 t dxo (t ) 1 T 1 |t 0 e |t 0 dt T T
响应曲线达到稳态值的98%之前的过程为阶跃响应的过渡过 程，系统过渡过程时间或调整时间为4T。（注意：调整时间 与输入信号的幅值无关。） t=T，xo(T)=63.2% 实验法求T；也可用实验方法判断所 试系统是否为一阶系统。
一阶惯性 环节模型 确定系统 响应类型
G (s)
1 Ts 1
(T：环节的时间常数)
温度计的输入为加热器的水温，应为阶跃输入； 阶跃响应的过渡过程时间为一分钟，可用于求系统 时间常数。 第二问的温度计输入为斜坡输入 xi(t)=10t，因此此 时温度计的输出为斜坡响应； 斜坡响应的调整时间仍然为 4T，对本题即为1分钟， 用稳态时水温的实际值减去温度计的指示值（温度 计斜坡响应值）即为温度计的稳态指示误差。
单位脉冲函数的拉氏变换： 单位脉冲响应的拉氏变换：
1
X i (s) L[ (t )] 1 W ( s) X o ( s) G( s) X i ( s) G( s)
1 1
1 1 T t 系统的单位脉冲响应： w(t ) L [G( s)] L e , (t 0) Ts 1 T
7
(t)
脉冲 信号
o
t
正弦 信号
斜坡 信号
3.3
一阶系统时间响应
本节教学要求 1.熟悉一阶系统建模及模 型的特点 2.掌握一阶系统脉冲、阶 跃响应函数的求取方法 3.理解脉冲、阶跃响应的 相互关系及瞬态特性特点
本节教学内容
3.3.1 一阶系统模型 3.3.2 一阶系统单位脉冲 响应
阶跃响应是脉冲响应的积分
t
一阶系统的特征参数 —— 系统时间常数T；
一阶系 统时间 响应的 特 点
系统时间响应曲线为单调上升（阶跃响应）或下降（脉冲 响应）曲线（没有振荡现象）。
时间响应的过渡过程时间或调整时间ts与T成正比。T越小， 系统的调整时间越短，响应越快。
13
举例 水银温度计可近似为一阶惯性环节，用其测量加热器内的水温， 当插入水中一分钟时才指示出该水温的98%的数值（设插入前温度计 指示0度）。如果给加热器加热，使水温以10度/分的速度均匀上升， 问温度计的稳态指示误差是多少？
12
总结
阶跃响 应与脉 冲响应 的关系
1 1 t t d 1 脉冲函数是阶跃函数的微分 d T T xo (t ) 1 e e w(t ) dt 脉冲响应是阶跃响应的微分 dt T
1 t t xo (t ) 1 e T dt t T Te T 0 斜坡响应是阶跃响应的积分
1.熟悉二阶系统传递函数 的特点
2.熟悉二阶系统脉冲、阶 跃响应函数的求取方法 3.掌握脉冲、阶跃响应特 性与系统阻尼比的关系 4.掌握阶跃响应超调量、 调整时间的概念和计算
16
3.4.1 二阶系统模型
2 d xo (t ) dxo (t ) 二阶系统 —— T2 2 T xo (t ) xi (t ) 2 dt dt 可用二阶微分方程完全描述的系统； 其对应的物理系统有两个不同形式的储能元件； 系统的数学模型有两个特征参数，即无阻尼固有频率n和阻尼比。
s1, 2 n n 2 1
s1, 2 n n 2 1
ξ<0
负阻尼
重点掌握欠阻尼系统的时间响应特性
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3.4.2 单位脉冲响应
应
的 求 取
单 位 脉 冲 响
单位脉冲函数的拉氏变换： 单位脉冲响应的拉氏变换：
X i ( s) L[ (t )] 1 W ( s) X o ( s) G( s) X i ( s) G( s) 2 n 1 1 系统的单位脉冲响应： w(t ) L [G( s)] L 2 2 s 2 s n n