经济数学基础概率统计
经济数学基础12
经济数学基础12引言经济学作为社会科学的一门学科，离不开数学的支持和应用。
经济数学基础是经济学学习的重要组成部分，它通过数学的工具和方法来解决经济问题，可以帮助我们更好地理解和分析经济现象。
本文将介绍经济数学基础的第12个章节，主要包括以下内容：1. 概率统计1.1 概率的基本概念概率是描述不确定性的一种数学工具，它可以帮助我们预测事件发生的可能性。
在经济学中，概率统计经常用于描述经济变量的随机性和不确定性。
概率的基本概念包括样本空间、事件、概率空间等。
样本空间是指一个随机试验中所有可能结果的集合，事件是样本空间的子集，概率空间是指样本空间和事件的概率的集合。
1.2 随机变量随机变量是概率统计中的重要概念，它表示随机试验的结果，可以是数值或者函数。
随机变量可以分为离散随机变量和连续随机变量。
离散随机变量的取值有限或可列举，例如投硬币的结果可以是正面或者反面；连续随机变量的取值是连续的，例如身高、体重等。
1.3 概率分布概率分布是描述随机变量的取值和概率之间关系的函数。
常见的概率分布包括离散概率分布和连续概率分布。
离散概率分布包括离散均匀分布、伯努利分布、二项分布和泊松分布等；连续概率分布包括正态分布、指数分布和均匀分布等。
1.4 期望与方差期望是随机变量的平均值，它可以帮助我们对随机变量的取值进行描述。
方差是随机变量取值与期望之间的距离的平方的平均值，它可以衡量随机变量的离散程度。
期望和方差是描述随机变量特征的重要指标，它们在经济学中扮演着重要的角色。
例如，期望可以帮助我们计算预期收益，方差可以帮助我们衡量投资的风险。
2. 数理经济学2.1 边际分析边际分析是经济学中重要的分析方法，它研究单位变化对变量的影响。
边际分析可以帮助我们理解个体的决策行为和市场的均衡。
边际效用是指消费者对每单位产品的满足程度，它可以帮助我们了解消费者的消费行为。
边际成本是指企业为生产每单位产品所需要的成本，它可以帮助我们了解企业的生产行为。
经济数学基础——概率统计课后习题答案
经济数学基础——概率统计课后习题答案1⽬录习题⼀ (1)习题⼆ (16)习题三 (44)习题四 (73)习题五 (97)习题六 (113)习题七 (133)1习题⼀写出下列事件的样本空间：(1) 把⼀枚硬币抛掷⼀次；(2) 把⼀枚硬币连续抛掷两次；(3) 掷⼀枚硬币，直到⾸次出现正⾯为⽌；(4) ⼀个库房在某⼀个时刻的库存量(假定最⼤容量为M ).解 (1) Ω={正⾯，反⾯} △ {正，反}(2) Ω={(正、正)，(正、反)，(反、正)，(反、反)}(3) Ω={(正)，(反，正)，(反，反，正)，…}(4) Ω={x ；0 ≤x ≤ m }掷⼀颗骰⼦的试验，观察其出现的点数，事件A ＝“偶数点”，B ＝“奇数点”，C ＝“点数⼩于5”，D ＝“⼩于5的偶数点”，讨论上述各事件间的关系.解 {}{}{}{}{}.4,2,4,3,2,1,5,3,1,6,4,2,6,5,4,3,2,1=====D C B A ΩA 与B 为对⽴事件，即B ＝A ；B 与D 互不相容；A ?D ，C ?D.3. 事件A i 表⽰某个⽣产单位第i 车间完成⽣产任务，i ＝1，2，3，B 表⽰⾄少有两个车间完成⽣产任务，C 表⽰最多只有两个车间完成⽣产任务，说明事件B 及B －C 的含义，并且⽤A i (i ＝1，2，3)表⽰出来. 解 B 表⽰最多有⼀个车间完成⽣产任务，即⾄少有两个车间没有完成⽣产任务.313221A A A A A A B ++=B －C 表⽰三个车间都完成⽣产任务321321321321＋＋＋A A A A A A A A A A A A B =321321321321321321321A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A C ++++++= 321A A A C B =-4. 如图1－1，事件A 、B 、C 都相容，即ABC ≠Φ，把事件A ＋B ，A ＋B ＋C ，AC ＋B ，C －AB ⽤⼀些互不相容事件的和表⽰出来.解 B A A B A +=+C B A B A A C B A ++=++C B A B B AC +=+BC A C B A C B A AB C ++=- 5.两个事件互不相容与两个事件对⽴的区别何在，举例说明.解两个对⽴的事件⼀定互不相容，它们不可能同时发⽣，也不可能同时不发⽣；两个互不相容的事件不⼀定是对⽴事件，它们只是不可能同时发⽣，但不⼀定同时不发⽣. 在本书第6页例2中A 与D 是对⽴事件，C 与D 是互不相容事件. 6.三个事件A 、B 、C 的积是不可能事件，即ABC ＝Φ，问这三个事件是否⼀定互不相容?画图说明.解不⼀定. A 、B 、C 三个事件互不相容是指它们中任何两个事件均互不相容，即两两互不相容.如图1－2，事件ABC ＝Φ，但是A 与B 相容.7. 事件A 与B 相容，记C ＝AB ，D ＝A+B ，F ＝A －B. 说明事件A 、C 、D 、F 的关系.解由于AB ?A ?A+B ，A －B ?A ?A+B ，AB 与A －B 互不相容，且A ＝AB ＋(A －B).因此有A ＝C +F ，C 与F 互不相容，D ?A ?F ，A ?C.8. 袋内装有5个⽩球，3个⿊球，从中⼀次任取两个，求取到的两个球颜⾊不同的概率.解记事件A 表⽰“取到的两个球颜⾊不同”. 则有利于事件A 的样本点数⽬＃A ＝1315C C .⽽组成试验的样本点总数为＃Ω＝235+C ，由古典概率公式有图1－1 图1－22P (A )＝=Ω##A 2815281315=C C C (其中＃A ，＃Ω分别表⽰有利于A 的样本点数⽬与样本空间的样本点总数，余下同)9. 计算上题中取到的两个球中有⿊球的概率.解设事件B 表⽰“取到的两个球中有⿊球”则有利于事件B 的样本点数为＃25C B =.1491)(1)(2825=-==C C B P B P － 10. 抛掷⼀枚硬币，连续3次，求既有正⾯⼜有反⾯出现的概率.解设事件A 表⽰“三次中既有正⾯⼜有反⾯出现”, 则A 表⽰三次均为正⾯或三次均为反⾯出现. ⽽抛掷三次硬币共有8种不同的等可能结果，即＃Ω＝8，因此43821#1)(1)(=-=Ω-=-=A A P A P ＃ 11. 10把钥匙中有3把能打开⼀个门锁，今任取两把，求能打开门锁的概率.解设事件A 表⽰“门锁能被打开”. 则事件A 发⽣就是取的两把钥匙都不能打开门锁.15811)(1)(21027==Ω-=-=C C A A P A P －＃＃从9题－11题解中可以看到，有些时候计算所求事件的对⽴事件概率⽐较⽅便.12. ⼀副扑克牌有52张，不放回抽样，每次⼀张，连续抽取4张，计算下列事件的概率：(1)四张花⾊各异；(2)四张中只有两种花⾊.解设事件A 表⽰“四张花⾊各异”；B 表⽰“四张中只有两种花⾊”.，113113113113452##C C C C A ， C Ω==）＋#2132131133131224C C C C C C B （= 105013##)(4524.C ΩA A P === 30006048＋74366##)(452 ）（.C ΩB B P === 13. ⼝袋内装有2个伍分、3个贰分，5个壹分的硬币共10枚，从中任取5枚，求总值超过壹⾓的概率. 解设事件A 表⽰“取出的5枚硬币总值超过壹⾓”.)＋(＋C ＝##25231533123822510C C C C C C A C Ω ， = 50252126)(.ΩA A P ＝＝＃＃＝ 14. 袋中有红、黄、⿊⾊球各⼀个，每次任取⼀球，有放回地抽取三次，求下列事件的概率：A ＝“三次都是红球” △ “全红”，B ＝“全⽩”，C ＝“全⿊”，D ＝“⽆红”，E ＝“⽆⽩”，F ＝“⽆⿊”，G ＝“三次颜⾊全相同”，H ＝“颜⾊全不相同”，I ＝“颜⾊不全相同”.解＃Ω＝33＝27，＃A ＝＃B ＝＃C ＝1，＃D ＝＃E ＝＃F ＝23＝8，＃G ＝＃A ＋＃B ＋＃C ＝3，＃H ＝3！＝6，＃I ＝＃Ω－＃G ＝243271)()()(===C P B P A P 278)()()(===F P E P D P 982724)(,92276)(,91273)(======I P H P G P 15. ⼀间宿舍内住有6位同学，求他们中有4个⼈的⽣⽇在同⼀个⽉份的概率.解设事件A 表⽰“有4个⼈的⽣⽇在同⼀个⽉份”.＃Ω＝126，＃A ＝21124611C C 0073.01221780##)(6＝＝ΩA A P = 16. 事件A 与B 互不相容，计算P )(B A +.解由于A 与B 互不相容，有AB ＝Φ，P (AB )＝0.1)(1)()(=-==+AB P AB P B A P17. 设事件B ?A ，求证P (B )≥P (A ）.证∵B ?A∴P (B -A )＝P (B ) - P (A )∵P (B -A )≥0∴P (B )≥P (A )18. 已知P (A )＝a ，P (B )＝b ，ab ≠0 (b ＞0.3a )，P (A －B )＝0.7a ，求P (B +A )，P (B -A )，P (B ＋A ).解由于A －B 与AB 互不相容，且A ＝(A -B )＋AB ，因此有P (AB )＝P (A )-P (A -B )＝0.3aP (A ＋B )＝P (A )＋P (B )－P (AB )＝0.7a ＋bP (B -A )＝P (B )-P (AB )＝b -0.3a P(B ＋A )＝1-P (AB )＝1-0.3a19. 50个产品中有46个合格品与4个废品，从中⼀次抽取三个，计算取到废品的概率.解设事件A 表⽰“取到废品”，则A 表⽰没有取到废品，有利于事件A 的样本点数⽬为＃A ＝346C ，因此P (A )＝1-P (A )＝1-3503461C C ΩA －＝＃＃＝0.225520. 已知事件B ?A ，P (A )＝ln b ≠ 0，P (B )＝ln a ，求a 的取值范围.解因B ?A ，故P (B )≥P (A )，即ln a ≥ln b ,?a ≥b ，⼜因P (A )＞0，P (B )≤1，可得b ＞1，a ≤e ，综上分析a 的取值范围是：1＜b ≤a ≤e21. 设事件A 与B 的概率都⼤于0，⽐较概率P (A )，P (AB )，P (A +B )，P (A )+P (B )的⼤⼩(⽤不等号把它们连接起来).解由于对任何事件A ，B ，均有AB ?A ?A +B且P (A +B )＝P (A )＋P (B )-P (AB )，P (AB )≥0，因此有P (AB )≤P (A )≤P (A +B )≤P (A )＋P (B )22. ⼀个教室中有100名学⽣，求其中⾄少有⼀⼈的⽣⽇是在元旦的概率(设⼀年以365天计算).解设事件A 表⽰“100名学⽣的⽣⽇都不在元旦”，则有利于A 的样本点数⽬为＃A ＝364100，⽽样本空间中样本点总数为＃Ω＝365100，所求概率为1001003653641##1)(1)(-=Ω-=-=A A P A P = 0.239923. 从5副不同⼿套中任取4只⼿套，求其中⾄少有两只⼿套配成⼀副的概率.解设事件A 表⽰“取出的四只⼿套⾄少有两只配成⼀副”，则A 表⽰“四只⼿套中任何两只均不能配成⼀副”.21080##)(4101212121245===C C C C C C ΩA A P 62.0)(1)(=-=A P A P24. 某单位有92％的职⼯订阅报纸，93％的⼈订阅杂志，在不订阅报纸的⼈中仍有85％的职⼯订阅杂志，从单位中任找⼀名职⼯求下列事件的概率：(1)该职⼯⾄少订阅⼀种报纸或期刊；(2)该职⼯不订阅杂志，但是订阅报纸.解设事件A 表⽰“任找的⼀名职⼯订阅报纸”，B 表⽰“订阅杂志”，依题意P (A )＝0.92，P (B )＝0.93，P (B ｜A )＝0.85P (A ＋B )＝P (A )＋P (A B )＝P (A )＋P (A )P (B ｜A )＝0.92＋0.08×0.85＝0.988P (A B )＝P (A ＋B )-P (B )＝0.988－0.93＝0.05825. 分析学⽣们的数学与外语两科考试成绩，抽查⼀名学⽣，记事件A 表⽰数学成绩优秀，B 表⽰外语成绩优秀，若P (A )＝P (B )＝0.4，P (AB )＝0.28，求P(A ｜B )，P (B ｜A )，P (A ＋B ).解 P (A ｜B )＝7.04.028.0)()(==B P AB P P (B ｜A)＝7.0)()(=A P AB P P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )-P (AB )＝0.5226. 设A 、B 是两个随机事件. 0＜P (A )＜1，0＜P (B )＜1，P (A ｜B )＋P (A ｜B )＝1. 求证P (AB )＝P (A )P (B ).证∵P ( A ｜B )＋P (A ｜B )＝1且P ( A ｜B )＋P (A ｜B )＝1∴P ( A ｜B )＝P (A ｜B ))(1)()()()()()(B P AB P A P B P B A P B P AB P --== P (AB )［1-P (B )］＝P ( B )［P ( A )-P ( AB )］整理可得P (AB )＝P ( A ) P ( B )27. 设A 与B 独⽴，P ( A )＝0.4，P ( A ＋B )＝0.7，求概率P (B ).解 P ( A ＋B )＝P (A )＋P (A B )＝P ( A )＋P (A ) P ( B ) ? 0.7＝0.4＋0.6P ( B )P ( B )＝0.528. 设事件A 与B 的概率都⼤于0，如果A 与B 独⽴，问它们是否互不相容，为什么?解因P ( A )，P ( B )均⼤于0，⼜因A 与B 独⽴，因此P ( AB )＝P ( A ) P ( B )＞0，故A 与B 不可能互不相容.29. 某种电⼦元件的寿命在1000⼩时以上的概率为0.8，求3个这种元件使⽤1000⼩时后，最多只坏了⼀个的概率.解设事件A i 表⽰“使⽤1000⼩时后第i 个元件没有坏”， i ＝1，2，3，显然A 1，A 2，A 3相互独⽴，事件A 表⽰“三个元件中最多只坏了⼀个”，则A ＝A 1A 2A 3＋1A A 2A 3＋A 12A A 3＋A 1A 23A ，上⾯等式右边是四个两两互不相容事件的和，且P (A 1)＝P (A 2)＝P (A 3)＝0.8P ( A )＝[][])()(3)(12131A P A P A P +＝0.83＋3×0.82×0.2＝0.89630. 加⼯某种零件，需经过三道⼯序，假定第⼀、⼆、三道⼯序的废品率分别为0.3，0.2，0.2，并且任何⼀道⼯序是否出现废品与其他各道⼯序⽆关，求零件的合格率.解设事件A 表⽰“任取⼀个零件为合格品”，依题意A 表⽰三道⼯序都合格.P (A )＝(1－0.3)(1－0.2)(1－0.2)＝0.44831. 某单位电话总机的占线率为0.4，其中某车间分机的占线率为0.3，假定⼆者独⽴，现在从外部打电话给该车间，求⼀次能打通的概率；第⼆次才能打通的概率以及第m 次才能打通的概率(m 为任何正整数). 解设事件A i 表⽰“第i 次能打通”，i ＝1，2，…，m ，则P (A 1)＝(1－0.4)(1－0.3)＝0.42P (A 2)＝0.58 × 0.42＝0.2436P (A m )＝0.58m －1 × 0.4232. ⼀间宿舍中有4位同学的眼镜都放在书架上，去上课时，每⼈任取⼀副眼镜，求每个⼈都没有拿到⾃⼰眼镜的概率.解设A i 表⽰“第i ⼈拿到⾃⼰眼镜”，i ＝1,2,3,4. P ( A i )＝41，设事件B 表⽰“每个⼈都没有拿到⾃⼰的眼镜”. 显然B 则表⽰“⾄少有⼀⼈拿到⾃⼰的眼镜”. 且B ＝A 1＋A 2＋A 3＋A 4.P (B )＝P (A 1＋A 2＋A 3＋A 4)＝∑∑∑-+-=≤≤≤≤4141414321)()()()(i j i k j i k j i i i i A A A A P A A A P A A P A p ＜＜＜P (A i A j )=P (A i )P (A j ｜A i ) =)41(1213141≤≤=?j i ＜ P (A i A j A k )=P (A i )P (A j ｜A i )P (A k ｜A i A j ) =41×31×21=241（1≤i ＜j ＜k ≤4） P (A 1A 2A 3A 4) =P (A 1)P (A 2|A 1)P (A 3|A 1A 2)×P (A 4｜A 1A 2A 3) =2411213141= 85241241121414)(3424=-?+?-?=C C B P 83)(1)(=-=B P B P 33. 在1，2，…，3000这3000个数中任取⼀个数，设A m ＝“该数可以被m 整除”，m ＝2，3，求概率P (A2A 3)，P (A 2＋A 3)，P (A 2－A 3).解依题意P (A 2)＝21，P (A 3)＝31 P (A 2A 3)＝P (A 6)＝61 P (A 2＋A 3)＝P (A 2)＋P (A 3)－P (A 2A 3) ＝32613121=-+ P (A 2－A 3)＝P (A 2)－P (A 2A 3)＝316121=- 34. 甲、⼄、丙三⼈进⾏投篮练习，每⼈⼀次，如果他们的命中率分别为0.8，0.7，0.6，计算下列事件的概率：(1)只有⼀⼈投中；(2)最多有⼀⼈投中；(3)最少有⼀⼈投中.解设事件A 、B 、C 分别表⽰“甲投中”、“⼄投中”、“丙投中”，显然A 、B 、C 相互独⽴.设A i 表⽰“三⼈中有i ⼈投中”，i ＝0,1,2,3,依题意，)()()() ()(0C P B P A P C B A P A P ===0.2×0.3×0.4×=0.024P ( A 3 )=P ( ABC )=P ( A ) P ( B ) P ( C )=0.8×0.7×0.6=0.336P (A 2)=P (AB C )＋P (A B C )＋P (A BC )=0.8×0.7×0.4＋0.8×0.3×0.6＋0.2×0.7×0.6=0.452(1) P (A 1)＝1－P (A 0)－P (A 2)－P (A 3)＝1－0.024－0.452－0.336＝0.188(2) P (A 0＋A 1)＝P (A 0)＋P (A 1)＝0.024＋0.188＝0.212(3) P (A ＋B ＋C )＝P (0A )＝1－P (A 0)＝0.97635. 甲、⼄⼆⼈轮流投篮，甲先开始，假定他们的命中率分别为0.4及0.5，问谁先投中的概率较⼤，为什么?解设事件A 2n -1B 2n 分别表⽰“甲在第2n －1次投中”与“⼄在第2n 次投中”，显然A 1，B 2，A 3，B 4，…相互独⽴.设事件A 表⽰“甲先投中”.+++=)()()()(543213211A B A B A P A B A P A P A P=＋＋＋0.40.5)(0.60.40.50.60.42743.014.0=-= 计算得知P (A )＞0.5，P (A )＜0.5，因此甲先投中的概率较⼤.36. 某⾼校新⽣中，北京考⽣占30％，京外其他各地考⽣占70％，已知在北京学⽣中，以英语为第⼀外语的占80％，⽽京外学⽣以英语为第⼀外语的占95％，今从全校新⽣中任选⼀名学⽣，求该⽣以英语为第⼀外语的概率.解设事件A 表⽰“任选⼀名学⽣为北京考⽣”，B 表⽰“任选⼀名学⽣，以英语为第⼀外语”. 依题意P (A )＝0.3，P (A )＝0.7，P (B ｜A)＝0.8，P (B ｜A )＝0.95. 由全概率公式有P (B )＝P (A )P (B ｜A )＋P (A )P (B ｜A )＝0.3×0.8＋0.7×0.95＝0.90537. A 地为甲种疾病多发区，该地共有南、北、中三个⾏政⼩区，其⼈⼝⽐为9 : 7 : 4，据统计资料，甲种疾病在该地三个⼩区内的发病率依次为4‰，2‰，5‰，求A 地的甲种疾病的发病率.解设事件A 1，A 2，A 3分别表⽰从A 地任选⼀名居民其为南、北、中⾏政⼩区，易见A 1，A 2，A 3两两互不相容，其和为Ω.设事件B 表⽰“任选⼀名居民其患有甲种疾病”，依题意：P (A 1)＝0.45，P (A 2)＝0.35，P (A 3)＝0.2，P (B ｜A 1)＝0.004，P (B ｜A 2)＝0.002，P (B ｜A 3)＝0.005＝∑=31)|()(i i i A B P A P＝ 0.45 × 0.004 + 0.35 × 0.002 + 0.2 × 0.005＝0.003538. ⼀个机床有三分之⼀的时间加⼯零件A ，其余时间加⼯零件B ，加⼯零件A 时，停机的概率为0.3，加⼯零件B 时停机的概率为0.4，求这个机床停机的概率.解设事件A 表⽰“机床加⼯零件A ”，则A 表⽰“机床加⼯零件B ”，设事件B 表⽰“机床停⼯”.)|()()|()()(A B P A P A B P A P B P +=37.0324.0313.0=?+?= 39. 有编号为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的3个⼝袋，其中Ⅰ号袋内装有两个1号球，1个2号球与1个3号球，Ⅱ号袋内装有两个1号球和1个3号球，Ⅲ号袋内装有3个1号球与两个2号球，现在先从Ⅰ号袋内随机地抽取⼀个球，放⼊与球上号数相同的⼝袋中，第⼆次从该⼝袋中任取⼀个球，计算第⼆次取到⼏号球的概率最⼤，为什么?解设事件A i 表⽰“第⼀次取到i 号球”，B i 表⽰第⼆次取到i 号球，i ＝1，2，3.依题意，A 1，A 2，A 3构成⼀个完全事件组.41)()(,21)(321===A P A P A P 41)|()|(,21)|(131211===A B P A B P A B P 41)|()|(,21)|(232221===A B P A B P A B P 61)|(,31)|(,21)|(333231===A B P A B P A B P 应⽤全概率公式∑==31)|()()(i i j i j A B P A P B P 可以依次计算出4811)(,4813)(,21)(321===B P B P B P . 因此第⼆次取到1号球的概率最⼤.40. 接37题，⽤⼀种检验⽅法，其效果是：对甲种疾病的漏查率为5％(即⼀个甲种疾病患者，经此检验法未查出的概率为5％)；对⽆甲种疾病的⼈⽤此检验法误诊为甲种疾病患者的概率为1％，在⼀次健康普查中，某⼈经此检验法查为患有甲种疾病，计算该⼈确实患有此病的概率.解设事件A 表⽰“受检⼈患有甲种疾病”，B 表⽰“受检⼈被查有甲种疾病”，由37题计算可知P (A )＝0.0035，应⽤贝叶斯公式)|()()|()()|()()|(A B P A P A B P A P A B P A P B A P += 01.09965.095.00035.095.00035.0=＋ 25.0=41. 甲、⼄、丙三个机床加⼯⼀批同⼀种零件，其各机床加⼯的零件数量之⽐为5 : 3 : 2，各机床所加⼯的零件合格率，依次为94％，90％，95％，现在从加⼯好的整批零件中检查出⼀个废品，判断它不是甲机床加⼯的概率.解设事件A 1，A 2，A 3分别表⽰“受检零件为甲机床加⼯”，“⼄机床加⼯”，“丙机床加⼯”，B 表⽰“废品”，应⽤贝叶斯公式有∑==31111)|()()|()()|(i i i A B P A P A B P A P B A P 7305020＋1030＋06.05.006.05.0== (7)4)|(1)|(11=-=B A P B A P 42. 某⼈外出可以乘坐飞机、⽕车、轮船、汽车4种交通⼯具，其概率分别为5％，15％，30％，50％，乘坐这⼏种交通⼯具能如期到达的概率依次为100％，70％，60％与90％，已知该旅⾏者误期到达，求他是乘坐⽕车的概率.解设事件A 1，A 2，A 3，A 4分别表⽰外出⼈“乘坐飞机”，“乘坐⽕车”，“乘坐轮船”，“乘坐汽车”，B 表⽰“外出⼈如期到达”.∑==41222)|()()|()()|(i i i A B P A P A B P A P B A P 1.05.04.03.03.015.0005.03.015.0?+?+?+??==0.20943. 接39题，若第⼆次取到的是1号球，计算它恰好取⾃Ⅰ号袋的概率.解 39题计算知P (B 1)＝21，应⽤贝叶斯公式 21212121)()|()()|(111111=?==B P A B P A P B A P 44. ⼀箱产品100件，其次品个数从0到2是等可能的，开箱检验时，从中随机地抽取10件，如果发现有次品，则认为该箱产品不合要求⽽拒收，若已知该箱产品已通过验收，求其中确实没有次品的概率. 解设事件A i 表⽰⼀箱中有i 件次品，i ＝0, 1, 2. B 表⽰“抽取的10件中⽆次品”，先计算P ( B )∑++?===20101001098101001099)1(31)|()()(i i i C C C C A B P A P B P 37.0)(31)|(0==B P B A P 45. 设⼀条昆⾍⽣产n 个卵的概率为λλ-=e !n p nn n =0, 1, 2, … 其中λ＞0，⼜设⼀个⾍卵能孵化为昆⾍的概率等于p (0＜p ＜1). 如果卵的孵化是相互独⽴的，问此⾍的下⼀代有k 条⾍的概率是多少?解设事件A n ＝“⼀个⾍产下⼏个卵”，n ＝0，1，2….B R ＝“该⾍下⼀代有k 条⾍”，k ＝0，1，….依题意λλ-==e !)(n p A P nn n ≤≤=-n k q p C n k A B P k n k k nn k 00)|(＞其中q =1－p . 应⽤全概率公式有∑∑∞=∞===k n n k n n n k n k A B P A P A B P A P B P )|()()|()()(0∑∞=-λ--λ=l n k n k n q p k n k n n !)(!!e !∑∞=-λ--λλk n k n k k n q k p !)()(e !)( 由于q k n kn k n k n k n q k n q λ∞=--∞=-∑∑=-λ=-λe !)()(!)()(0，所以有,2,1,0e )(e e !)()(===--k k p k p B P p pq kk λλλλλ习题⼆1. 已知随机变量X 服从0－1分布，并且P {X ≤0}＝0.2，求X 的概率分布.解 X 只取0与1两个值，P {X ＝0}＝P {X ≤0}－P {X ＜0}＝0.2，P {X ＝1}＝1－P {X ＝0}＝0.8.2. ⼀箱产品20件，其中有5件优质品，不放回地抽取，每次⼀件，共抽取两次，求取到的优质品件数X的概率分布.解 X 可以取0, 1, 2三个值. 由古典概型公式可知{})2,1,0(2202155===-m C C C m X P m m 依次计算得X 的概率分布如下表所⽰：3. 上题中若采⽤重复抽取，其他条件不变，设抽取的两件产品中，优质品为X 件，求随机变量X 的概率分布.解 X 的取值仍是0, 1, 2.每次抽取⼀件取到优质品的概率是1/4，取到⾮优质品的概率是3/4,且各次抽取结果互不影响，应⽤伯努利公式有{}1694302=??? ??==X P {}1664341112=??==C X P {}1614122=??? ??==X P 4. 第2题中若改为重复抽取，每次⼀件，直到取得优质品为⽌，求抽取次数X 的概率分布.解 X 可以取1, 2, …可列个值. 且事件{X = n }表⽰抽取n 次，前n －1次均未取到优质品且第n 次取到优质品，其概率为41431???? ??-n .因此X 的概率分布为{}?=??==-,2,143411n n X P n 5. 盒内有12个乒乓球，其中9个是新球，3个为旧球，采取不放回抽取，每次⼀个直到取得新球为⽌，求下列随机变量的概率分布.(1)抽取次数X ； (2)取到的旧球个数Y .解 (1)X 可以取1, 2, 3, 4各值.{}{}4491191232431=?====X P X P {}22091091121233=??==X P {}2201991011121234===X P (2) Y 可以取0, 1, 2, 3各值 .{}{}4310====X P Y P{}{}44921====X P Y P {}{}220932====X P Y P {}{}220143====X P Y P 6. 上题盒中球的组成不变，若⼀次取出3个，求取到的新球数⽬X 的概率分布.解 X 可以取0, 1, 2, 3各值.{}2201031233===C C X P {}2202713122319===C C C X P {}22010823121329===C C C X P {}22084331239===C C X P 7. 已知P {X ＝n }＝p n ，n ＝1, 2, 3, …, 求p 的值.解根据{}∑=∞=11n n X P ＝, 有 ∑-==∞=111n n pp P 解上⾯关于p 的⽅程，得p ＝0.5.8. 已知P {X ＝n }=p n ， n ＝2, 4, 6, …，求p 的值.解 1122642=-=?+++p p p p p 解⽅程，得p =2±/29. 已知P {X ＝n }=cn , n =1, 2, …, 100, 求c 的值.解 ∑=+?++==10015050)10021(1n cc cn ＝解得 c ＝1/5050 .10. 如果p n ＝cn ＿2，n =1, 2, …, 问它是否能成为⼀个离散型概率分布，为什么?解 ,1121∑=∑∞=∞=n n n n c p 由于级数∑∞=121n n 收敛, 若记∑∞=121n n =a ,只要取ac 1=, 则有∑∞=1n n p =1, 且p n ＞0. 所以它可以是⼀个离散型概率分布.11. 随机变量X 只取1, 2, 3共三个值，其取各个值的概率均⼤于零且不相等并⼜组成等差数列，求X 的概率分布. 解设P {X ＝2}＝a ，P {X ＝1}＝a －d , P {X =3}=a +d . 由概率函数的和为1，可知a =31, 但是a －d 与a +d 均需⼤于零,因此｜d ｜＜31, X 的概率分布为其中d 应满⾜条件：0＜｜d ｜＜312. 已知{}λ-==e !m c λm X P m ,m =1, 2, …, 且λ＞0, 求常数c .解 {}∑∑∞=-∞====11e !1m mm m c m X p λλ由于∑∑∞=∞==+=10e !1!m mm m m m λλλ, 所以有∑∞=---=-=-=11)e 1(e )1e (e !m m c c m c λλλλλ解得λ--=e 11c 13. 甲、⼄⼆⼈轮流投篮，甲先开始，直到有⼀⼈投中为⽌，假定甲、⼄⼆⼈投篮的命中率分别为0.4及0.5，求：(1)⼆⼈投篮总次数Z 的概率分布；(2)甲投篮次数X 的概率分布；(3)⼄投篮次数Y 的概率分布.解设事件A i 表⽰在第i 次投篮中甲投中，j 表⽰在第j 次投篮中⼄投中，i =1, 3, 5, …, j =2, 4, 6,…,且A 1, B 2, A 3, B 4，…相互独⽴.(1){}{}1222321112---=-=k k k A B A B A p k Z P = (0.6×0.5)1-k ·0.4= 0.4(0.3)1-k k=1, 2, …{})(2212223211k k k k B A B A B A p k Z P ---===0.5×0.6×(0.6×0.5)1-k =0.3kk=1, 2, …(2) {}{}12223211---==n n n A B A B A p n X P{}n n n n B A B A B A p 212223211---+)5.06.04.0()5.06.0(1?+?=-n,2,13.07.01=?=-n n (3) {}4.0)(01===A P Y P{}{}{}122121121211+--+==n n n n n A B A B A P B A B A P n Y P)4.05.05.0(6.0)5.06.0(1?+=-n，2,13.042.01=?=-n n 14. ⼀条公共汽车路线的两个站之间，有四个路⼝处设有信号灯，假定汽车经过每个路⼝时遇到绿灯可顺利通过，其概率为0.6，遇到红灯或黄灯则停⽌前进，其概率为0.4，求汽车开出站后，在第⼀次停车之前已通过的路⼝信号灯数⽬X 的概率分布(不计其他因素停车).解 X 可以取0, 1, 2, 3, 4 .P { X ＝0 } ＝0.4 P { X ＝1 }＝0.6×0.4＝0.24P { X ＝2 } ＝0.62×0.4＝0.144P { X ＝3 } ＝0.63×0.4＝0.0864P { X ＝4 } ＝0.64＝0.1296 15. ∈=.,0],[,sin )(其他，b a x x x f 问f (x )是否为⼀个概率密度函数，为什么?如果 (1).π23 ,)3( ;π,0)2( ;2π,0======b a b a b a π解在［0, 2π］与［0, π］上，sin x ≥0,但是,1d sin π0≠?x x ,1d sin 2π0=?x x ⽽在??π23,π上,sin x ≤0.因此只有(1)中的a , b 可以使f (x )是⼀个概率密度函数.16. ≤=-.0,00e )(,22x x c x x f c x ，＞其中c ＞0，问f (x )是否为密度函数，为什么?解易见对任何x ∈(－∞ , ＋∞) , f ( x ) ≥ 0，⼜1d e 202=?-∞+x c x c x f (x )是⼀个密度函数 .17. +=.0.2＜＜,2)(其他，a x a x x f 问f ( x )是否为密度函数，若是，确定a 的值；若不是，说明理由.解如果f ( x )是密度函数，则f ( x )≥0，因此a ≥0，但是，当a ≥0时，444|d 2222≥+==??++a x x a a a a由于x x f d )(?+∞∞-不是1，因此f ( x )不是密度函数.18. 设随机变量X ～f ( x )∞++=.,0,,)1(π2)(2其他＜＜x a x x f 确定常数a 的值，如果P { a ＜ x ＜ b } ＝0.5，求b 的值.解 )arctan 2π(2arctan π2d )1(π22a x x x a a -π==+??+∞+∞ 解⽅程π2??a arctan － 2π=1 得 a = 0{}b x x x f b x P b b arctan π2|arctan π2d )(000==?=＜＜解关于b 的⽅程：π2arctan b =0.5 得 b =1.19. 某种电⼦元件的寿命X 是随机变量，概率密度为≥=.100,0,100100)(2＜x x x x f 3个这种元件串联在⼀个线路中，计算这3个元件使⽤了150⼩时后仍能使线路正常⼯作的概率. 解串联线路正常⼯作的充分必要条件是3个元件都能正常⼯作. ⽽三个元件的寿命是三个相互独⽴同分布的随机变量，因此若⽤事件A 表⽰“线路正常⼯作”，则3])150([)(＞X P A P ={}32d 1001502150=?∞+x x X P ＝＞ 278)(=A P 20. 设随机变量X ～f ( x )，f ( x )＝A e －|x|，确定系数A ；计算P { |X | ≤1 }.解 A x A x A x x 2d e 2d e 10||=?=?=∞+-∞+∞--解得 A ＝21 {}??---==≤10||11d e d e 211||x x X P x x632.0e 11≈-=-21. 设随机变量Y 服从［0, 5］上的均匀分布，求关于x 的⼆次⽅程4x 2＋4xY +Y +2=0有实数根的概率. 解 4x 2+4xY +Y +2=0.有实根的充分必要条件是△＝b 2－4ac =16Y 2－16(Y +2)=16Y 2－16Y －32≥0设事件P (A )为所求概率.则{}{}{}120321616)(2-≤+≥=≥--=Y P Y P Y Y P A P=0.622. 设随机变量X ～ f ( x )，-=.,01||,1)(2其他，＜x x cx f确定常数c ，计算.21||≤X P解π|arcsin d 1111211c x c x x c==-?=--c =π131arcsin 2d 1121||0212121 2=π=-π=≤?-x x x X P23. 设随机变量X 的分布函数F ( x )为≥=.1,1,10,0,0)(x x x A x x F ＜＜，＜确定系数A ，计算{}25.00≤≤X P ，求概率密度f ( x ).解连续型随机变量X 的分布函数是连续函数，F (1)＝ F (1－0)，有A ＝1. =.,0,10,21)(其他＜＜x x x f{}5.0)0()25.0(25.00=-=≤≤F F X P24. 求第20题中X 的分布函数F ( x ) .解 {}t x X P x F t x d e 21)(||-∞-?=≤=当t ≤ 0时，x t x t x F e 21d e 21)(=?=∞-当t ＞0时，t t t x F tx t t x d e 21d e 21d e 21)(-00||?+?=?=-∞--∞-x x ---=-+=e 211)e 1(212125. 函数(1+x 2)－1可否为连续型随机变量的分布函数，为什么?解不能是分布函数，因F (－∞)＝ 1 ≠ 0.26. 随机变量X ～f ( x )，并且)1(π)(2x ax f +=,确定a 的值；求分布函数F ( x )；计算{}1||＜X P .解 a x a x x a ==?+=∞+∞-∞+∞-arctan πd )1(π12 因此a =1x x t t t x F ∞-∞-=?+=arctan π1d )1(π1)(2 x arctan π121+= {}?+=?+=-102112d )1(π12d )1(π11||x x x x X P ＜ 21arctan π210==x 27. 随机变量X 的分布函数F ( x ) 为：≤-=.2,02,1)(2x x x A x F ，＞确定常数A 的值，计算{}40≤≤X P .解由F ( 2＋0 )＝F ( 2 )，可得4,041==-A A {}{})0()4(4X 040F F P X P -=≤=≤≤＜28. 随机变量X ～f ( x )，f ( x )＝,ee x x A -+确定A 的值；求分布函数F ( x ) . 解 ?+=?+=∞∞-∞∞--x A x A x x x x d e 1e d e e 12 A A x 2πe a r c t a n ==∞∞- 因此 A ＝π2， xtx t t t x F ∞-∞--=+=?e arctan π2d )e e (π2)(x e arctan π2= 29. 随机变量X ～f ( x )，=.,00,π2)(2其他＜＜a x x x f确定a 的值并求分布函数F ( x ) .解 220222ππd π21a x x x a a ==?= 因此，a = π当0＜x ＜π时，=x x t t x F 0222πd π2)( 其他≥≤=π1,π0,π0,0)(22x x xx x F ＜＜30. 随机变量X 的分布函数为)0(0,e 22210,0)(22＞＞a x ax x a x x F ax ++-≤=-求X 的概率密度并计算a X P 10＜＜.解当x ≤ 0时，X 的概率密度f ( x ) ＝0；当x ＞ 0时，f ( x ) ＝F′ ( x )≤=-.0,e 2,0,0)(23＞ x x a x x f ax(1010F a F a x P a x P -=≤=?＜＜＜08.0e 2511≈-=-31. 随机变量X 服从参数为0.7的0－1分布，求X 2，X 2－2X 的概率分布.解 X 2仍服从0－1分布，且P { X 2＝0 } ＝P { X ＝0 } ＝0.3，P {X 2＝1}＝P {X ＝1}＝0.7X 2－2X 的取值为－1与0 , P {X 2－2X ＝0}＝P { X ＝0 } ＝0.3P { X 2－2X ＝－1 } ＝1－P { X ＝0 } ＝0.732. 已知P { X ＝10n } ＝P { X ＝10-n }＝,,2,1,31=n nY =l gX ，求Y 的概率分布.解 Y 的取值为±1, ±2 , …P { Y =n } =P { l gX =n } =P { X =10n } =31P { Y =－n } =P { l gX =－n } =P { x =10-n } ＝31n ＝1 , 2 , …33. X 服从［a , b ］上的均匀分布，Y =ax +b (a ≠0)，求证Y 也服从均匀分布.证设Y 的概率密度为f Y ( y ) ，X 的概率密度为f X ( x )，只要a ≠ 0，y = ax + b 都是x 的单调函数. 当a ＞0时，Y 的取值为［a 2+b , ab +b ］,a x y hb y a y h x y 1)(,)(1)(='='-==],,[,)(1])([)()(2b ab b a y a b a y h f y h y f X Y ++∈-='=当],[2b ab b a y ++∈时，f Y ( y ) =0.类似地，若a ＜0，则Y 的取值为［ ab +b , a 2+b ］+≤≤+--=.,0,,)(1)(2其他b a y b ab a b a y f Y因此，⽆论a ＞0还是a ＜0，ax +b 均服从均匀分布.34. 随机变量X 服从［0 ,2π］上的均匀分布Y =cos X , 求Y 的概率密度f Y ( y ). 解 y =cos x 在［0, 2π］上单调，在(0 , 1)上，h ( y ) = x =arccos y h′ ( y ) = 211y -- , f x ( x ) = π2 , 0 ≤ x ≤ 2π . 因此 -=.0,10,1π2)(2其他，＜＜y yy f Y35. 随机变量X 服从(0 , 1)上的均匀分布，Y =e x , Z =｜ln X ｜，分别求随机变量Y 与Z 的概率密度f Y ( y ) 及f Z ( z ) .解 y = e x 在(0 , 1)内单调 , x =ln y 可导，且x′y = y1 , f X ( x ) =1 0 ＜ x ＜ 1 , 因此有.,0,e 1,1)(其他 ＜＜y y y f Y在(0 , 1)内ln x ＜ 0｜ln x ｜=-ln x 单调，且x = e z -，x′z ＝－e z -，因此有∞+=-.,0,0e )(其他＜＜，z z f z z 36. 随机变量X ～f ( x ) ，≤=-0,00,e )(x x x f x ＞ Y = X , Z = X 2 , 分别计算随机变量Y 与Z 的概率密度f y ( y ) 与f Z ( z ) .解当x ＞ 0时，y =x 单调，其反函数为x = y 2 , x′y = 2y≤=-.0,0,0,e 2)(2y y y y f y Y ＞当x ＞ 0时z ＝x 2也是单调函数，其反函数为x =z , x′ z =z 21 ≤=-.0,00e 21)(z ，z z z f z z ＞ 37.随机变量X ～f ( x )，当x ≥ 0时,)1(2)(2x x f +=π, Y =arctan X , Z = X1,分别计算随机变量Y 与Z 的概率密度f Y ( y ) 与fz ( z ) . 解由于y = arctan x 是单调函数，其反函数x =tan y , x′ y =sec 2y 在?? -2π,0内恒不为零，因此，当0 ＜ y ＜π2时，π2)tan 1(π2sec )(22=+=y yy f Y 即Y 服从区间(0 , 2π)上的均匀分布. z = x 1在x ＞0时也是x 的单调函数，其反函数x =z 1, x′ z =21z-. 因此当z ＞0时， )1(π2])1(1[π21)(222z zz z fz +=+-= ??≤+=0,00,)1(π2)(2z z z z f z ＞即Z = X1 与X 同分布. 38. ⼀个质点在半径为R ，圆⼼在原点的圆的上半圆周上随机游动. 求该质点横坐标X 的密度函数f X ( x ) . 解如图，设质点在圆周位置为M ，弧MA 的长记为L ，显然L 是⼀个连续型随机变量，L 服从［0，πR ］上的均匀分布.≤≤=.,0π0,π1)(其他，R l R l f L M 点的横坐标X 也是⼀个随机变量，它是弧长L 的函数，且 X ＝ R cos θ＝ R cos RL 函数x = R cos l / R 是l 的单调函数 ( 0＜ l ＜πR ) ,其反函数为 l ＝ R arccos Rx 22xR R l x --=' 当－R ＜ x ＜ R 时，L′x ≠ 0，此时有2222π1π1)(xR R x R R x f X -=?--= 当x ≤ －R 或x ≥ R 时，f X ( x ) ＝0 .39. 计算第2 , 3 , 5 , 6 , 11各题中的随机变量的期望.解根据第2题中所求出的X 概率分布，有2138223815138210=?+?+?=EX 亦可从X 服从超⼏何分布，直接计算2120521=?==N N n EX 在第3题中21161216611690=?+?+?=EX 亦可从X 服从⼆项分布(2，41)，直接⽤期望公式计算： 21412=?==np EX 在第5题中图2-1(1) 3.122014220934492431=?+?+?+?=EX (2) 3.022013220924491430=?+?+?+?=EY 在第6题中，25.2220843220108222027122010=?+?+?+?=EX 在第11题中，??+++ -=d 313312d 311EX 31 ｜＜d ＜｜0 d 22+= 40. P { X = n } =nc , n =1, 2, 3, 4, 5, 确定C 的值并计算EX . 解 160137543251==++++=∑=c c c c c c n c n13760=C 137300551==∑?==C n c n EX n 41. 随机变量X 只取－1, 0, 1三个值，且相应概率的⽐为1 : 2 : 3，计算EX . 解设P { X ＝－1 } ＝ a ，则P { X ＝0 } ＝2a , P { X ＝1 }＝3a ( a ＞0 ) ，因a + 2a + 3a = 1 , 故a ＝1/631631620611=?+?+?-=EX 42. 随机变量X 服从参数为0.8的0－1分布，通过计算说明EX 2是否等于( EX )2 ? 解 EX ＝P { X ＝1 } ＝0.8，( EX )2 ＝0.64EX 2＝1×0.8＝0.8＞( EX )243. 随机变量X ～f ( x ) ，f ( x ) ＝0.5e - | x |，计算EX n ，n 为正整数. 解当n 为奇数时，)(x f x n 是奇函数，且积分x x x n d e 0-∞?收敛，因此0d e 5.0||=?=-∞+∞-x x EX x n n 当n 为偶数时，x x x x EX x n x n n d e 5.02d e 5.00||-∞+-∞+∞-?=?=!)1(d e 0n n x x x n =+Γ=?=-∞+44. 随机变量X ～f ( x ) ，-≤≤=.,0,21,2,10,)(＜＜x x x x x f计算EX n (n 为正整数) .解 x x x x x x x f x EX n n n n d )2(d d )(21101?-+?=?=+∞+∞-1)2(21)12(122121-+--+++=++n n n n n )2()1(222++-=+n n n 45. 随机变量X ～f ( x ) ，≤≤=.,0,10,)(其他x cx x f b b ,c 均⼤于0，问EX 可否等于1，为什么?其他其他。
高考数学中的概率统计基础知识点
高考数学中的概率统计基础知识点概率统计是高考数学的其中一项重要内容，包括了概率、统计和随机变量等知识点。
学好这些基础知识点，不仅能够在高考中获得更高的分数，还可以为未来的学习和工作打下坚实的基础。
本文将对高考中的概率统计基础知识点进行详细介绍。
1. 概率概率指某件事情发生的可能性大小，通常用分数表示。
在高考中，概率通常分为两种：基本概率和条件概率。
基本概率是指一个事件在所有可能事件中发生的概率大小，通常用 P(A) 表示。
例如，掷一枚硬币，正反面概率相等，所以 P(正面)=1/2，P(反面)=1/2。
条件概率是指在已知某件事情发生的条件下，另一件事情发生的概率大小。
通常用 P(A|B) 表示，其中 B 是已知条件。
例如，从一副扑克牌中抽出一张黑桃牌的概率为 P(黑桃)=13/52。
如果已知这张牌是红色的，那么从已知条件来看，这张牌不能为黑桃，因此抽到黑桃的概率为 0。
所以 P(黑桃|红色)=0。
除了基本概率和条件概率，还有加法原理和乘法原理等概率计算方法。
2. 统计统计是一种描述和分析数据的方法。
在高考中，统计通常包括频率分布、中心位置和离散程度这三个方面。
频率分布是指给定一组数据之后，统计其分布的情况。
例如，统计某班同学的身高分布，可以把身高分为 140 厘米及以下、141-150 厘米、151-160 厘米、161-170 厘米、171 厘米及以上等几个组别，然后统计每个组别的人数。
中心位置是指一个数据集合中的“平均数”。
常用的中心位置有平均数、中位数和众数。
平均数是指所有数据之和除以数据个数得到的数值，中位数是指把数据集合分为两个部分，中间的数即为中位数，众数是指出现最频繁的数。
离散程度是指一组数据中的变化程度。
常用的离散程度有极差、方差和标准差等。
极差是指数据中的最大值减去最小值，方差是指每个数据与平均数的差的平方和的平均数，标准差是指方差的算术平方根。
3. 随机变量随机变量是指能够采取多个值的变量。
概率统计公式大全(复习重点)
概率统计公式大全(复习重点)概率统计公式大全（复习重点）在学习概率统计的过程中，熟练掌握相关的公式是非常关键的。
本文将为大家详细介绍一些常用的概率统计公式，并对其进行简要的说明和应用举例，以便复习和巩固知识。
一、基本概率公式1. 事件的概率计算公式P(A) = n(A) / n(S)其中，P(A)表示事件A发生的概率；n(A)表示事件A中有利的结果数；n(S)表示样本空间S中的全部结果数。
例如：从一副扑克牌中随机抽取一张牌，求抽到红心牌的概率。
解：样本空间S中共有52张牌，红心牌有13张，所以 P(红心牌) = 13 / 52 = 1 / 4。
2. 条件概率计算公式P(A|B) = P(A∩B) / P(B)其中，P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率；P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率；P(B)表示事件B发生的概率。
例如：某班级男女生分别有30人和40人，从中随机选择一名学生，求选到女生并且是优等生的概率。
解：女生优等生有20人，所以 P(女生且是优等生) = 20 / （30+ 40）= 1 / 7。
二、常用离散型随机变量的数学期望与方差1. 随机变量的数学期望计算公式E(X) = ∑[x * P(X=x)]其中，E(X)表示随机变量X的数学期望；x表示随机变量X的取值；P(X=x)表示随机变量X取值为x的概率。
例如：随机变量X的可能取值为1、2、3，对应的概率分别是1/4、1/2、1/4，求X的数学期望。
解：E(X) = 1 * (1/4) + 2 * (1/2) + 3 * (1/4) = 5/2 = 2.5。
2. 随机变量的方差计算公式Var(X) = E((X - E(X))²)其中，Var(X)表示随机变量X的方差；E(X)表示随机变量X的数学期望。
例如：随机变量X的可能取值为1、2、3，对应的概率分别是1/4、1/2、1/4，求X的方差。
解：E(X) = 1 * (1/4) + 2 * (1/2) + 3 * (1/4) = 5/2 = 2.5。
经济数学基础课后答案(概率统计第三分册)第二章习题解答
f
(
x)
c ,
1 x2
x 1
0,
其它
确
定c值
；
计
算P
x
1 2
.
1
解：1 f ( x)dx
1
1
c
x2
dx
1
c
1
1 dx 1 x2
c arcsin x 1 c , c 1
1
1
P
X
1
2
2
1
2
1
1
2
21
dx arcsin x
1 x2
03
23.设连续型随机变量X 的分布函数F ( x)为
0, x 0
F
(
x)
A
x,
0 x1
1, 1 x
确定系数A；求 P{0 X 0.25}；求概率密度f ( x).
解： 连续型随机变量X的分布函数是连续函数， F (1) F (1 0), 故A 1
P{0 X 0.25} F(0.25) F(0) 0.5
f
(
x)
F
(
x)
1、已知随机变量X服从0-1分布，并且PX 0 0.2 求X的概率分布。
解：X只取0与1两个值,
PX 0 PX 0 PX 0 0.2
PX 1 1 PX 0 0.8
2、一箱产品20件，其中有5件优质品，不放回地抽取，每次一件， 共抽取两次，求取到的优质品件数X的概率分布。
解： X可以取0，1，2三个值，有古典概型公式可知
y2,
x
y
2 y,
f
Y
(
y)
2 ye 0,
y2
,
y0 y 0.
考研数学掌握概率统计的基础知识
考研数学掌握概率统计的基础知识考研数学：概率统计的基础知识掌握在考研数学中，概率统计是一个非常重要的考点。
掌握概率统计的基础知识对于考研数学的学习以及解题至关重要。
本文将从概率与随机变量、统计与抽样以及假设检验等三个方面，介绍考研数学中概率统计的基础知识。
一、概率与随机变量概率是概率论的基本概念，也是数学中的一门重要分支。
它描述的是事物发生的可能性大小。
在考研数学中，我们需要了解概率的定义、性质以及常用的计算方法。
1. 概率的定义及性质概率的定义是指事件发生的可能性大小，它的取值范围在0与1之间。
概率的性质包括互斥事件与对立事件、加法原理、乘法原理等。
对于考研数学来说，我们需要掌握这些基本性质，以便于解答概率相关的题目。
2. 随机变量随机变量是概率论中一个重要的概念，它是一种带有随机性的变量。
在考研数学中，我们需要了解随机变量的定义、分类以及常用的分布类型。
二、统计与抽样统计是概率统计中的另一个核心概念，它是指通过采集和分析数据来进行推断、预测以及决策。
统计的基础知识包括样本与总体、统计量以及抽样方法等。
1. 样本与总体在统计学中，样本是指从总体中选取的一部分个体或者观测值。
而总体则是所有个体或观测值的集合。
了解样本与总体的概念以及它们之间的关系，对于进行统计分析是非常重要的。
2. 统计量统计量是通过样本数据计算出来的数值，用以描述总体特征的度量。
在考研数学中，我们需要了解常见的统计量，如均值、方差、标准差等，并掌握它们的计算方法。
3. 抽样方法抽样方法是指从总体中选择样本的方法。
常见的抽样方法包括随机抽样、分层抽样、整群抽样等。
了解不同的抽样方法及其特点，对于进行科学合理的抽样具有重要意义。
三、假设检验假设检验是统计学中的重要方法之一，用于检验关于总体参数的假设。
它主要分为参数检验和非参数检验两种。
1. 参数检验参数检验是指根据样本数据对总体参数进行推断的方法。
常见的参数检验方法包括单样本均值检验、两样本均值检验、方差检验等。
概率与统计基础
概率与统计基础概率的基本概念概率是度量事件发生可能性的数学工具，通常表示为0到1之间的数。
一个事件的概率越高，该事件发生的可能性就越大。
随机试验与样本空间随机试验是指可以在相同条件下重复进行，并且每次试验结果可能不同的实验。
样本空间（S）则是所有可能试验结果的集合，每个结果称为样本点。
事件及其概率事件是样本空间的子集，可以是单个样本点或多个样本点的集合。
事件A的概率记作P(A)，表示在随机试验中，事件A发生的可能性。
概率的性质概率具有以下性质：1. 非负性：任何事件的概率都不小于0。
2. 规范性：必然事件（即样本空间本身）的概率等于1。
3. 可列可加性：对于两两互斥的事件（即不会同时发生的事件），其概率等于各自概率之和。
条件概率与独立性条件概率是指在某一事件发生的条件下另一事件发生的概率，表示为P(A|B)，即在事件B发生的条件下事件A发生的概率。
如果两个事件A和B满足P(A|B) = P(A)，则称事件A和事件B是独立的。
统计量与分布统计量是从样本数据中计算得到的数值特征，如样本均值、方差等。
分布则是随机变量取各种值的概率规律，常见的有离散型和连续型两大类。
离散型随机变量离散型随机变量的可能取值是可数的。
其概率分布可以通过概率质量函数（PMF）来描述。
连续型随机变量连续型随机变量的取值在某个区间内可以任意小地变化。
其概率分布通过概率密度函数（PDF）来描述。
重要的概率分布二项分布当进行n次独立的伯努利试验，每次试验成功的概率为p时，成功k次的概率由二项分布给出。
正态分布正态分布也称为高斯分布，是自然界最常见的连续型概率分布之一。
其概率密度函数呈对称的钟形曲线。
泊松分布泊松分布用于描述单位时间（或单位面积）内随机事件发生的次数。
总结概率与统计是现代科学研究中不可或缺的工具，它们不仅应用于物理学、生物学、经济学等领域，还深入我们日常生活的方方面面。
掌握概率与统计的基础知识，可以帮助我们更好地理解和分析周围世界的各种现象。
经济数学基础三概率统计
《经济数学基础（三）：概率统计》统 考 试 卷（120分钟）一、填空题（每小题2分，共20分）1、设A 、B 是两个随机事件，8.0)(=A P ，4.0)(=AB P ，则=-)(B A P ____________。
2、设随机变量X 的概率分布为则=≥}1{2X P _______________。
3、设随机变量X 服从p n ，为参数的二项分布，且1015==DX EX ，，则=n _______。
4、设随机变量X 的密度函数为2)2(221)(+-=x ex f π，且}{}{c X P c X P ≤=≥，则=c _____。
5、设随机变量X 的数学期望EX 和方差0>DX 都存在，令DXEX X Y )(-=，则=DY _。
6、设随机变量X 服从]50[，上的均匀分布，Y 服从5=λ的指数分布，且X ，Y 相互独立，则)(Y X ，的联合密度函数=)(y x f ，__________。
7、设随机变量X ，Y 有4)(94-===Y X Cov DY DX ，，，，则X ，Y 的相关系数=XY ρ_____________。
8、设n X X X ，，， 21是来自总体)10(~，N X 的简单随机样本，则∑=ni iX12服从的分布为_____________。
9、n X X X ，，， 21是来自总体)(~2σμ，N X 的样本，X 、2S 分别是样本均值与样本方差，当μ未知时，2σ的置信度为α-1的置信区间为____________。
10、设121n X X X ，，， 是来自总体)(~211σμ，N X 的样本，X 、21S 分别是样本均值与样本方差；221n Y Y Y ，，， 是来自总体)(~222σμ，N Y 的样本，Y 、22S 分别是样本均值与样本方差，且X ，Y 相互独立。
要检验22210σσ=：H ，则采用的统计量是_________________。
二、单项选择（每小题2分，共10分）1、设一次试验中事件A 发生的概率为p ，现重复进行n 次独立试验，则事件A 至多发生一次的概率为 （ ） A.n p -1； B.n p ； C.n p )1(1--； D.1)1()1(--+-n n p p n p 。
《经济数学基础(三)概率统计》
《经济数学基础（三）：概率统计》统 考 试 卷（120分钟）一、填空题（每小题2分，共20分）1、设A 、B 为随机事件，已知7.0)(=A P ，3.0)(=-B A P ，则=)(AB P _____。
2、如果随机事件4321A A A A ，，，相互独立，且11)(+=i A P i )4321(，，，=i ，则 =⋃⋃⋃)(4321A A A A P __________。
3、设随机变量X 的可能取值为0，1，2，已知3.0}1{==X P ，1.0}2{==X P ，)(x F 是X 的分布函数，则当10<≤x 时，则=)(x F ___________。
4、设随机变量X 在区间]52[，上服从均匀分布，对X 进行三次独立观测，则至少有一次观测值大于3的概率是______________。
5、设随机变量X 的密度函数为212221)(-+-=x x ex f π，且}{}{c X P c X P ≤=≥，则=c ________________。
6、设随机变量X 服从1=μ，2=σ上的正态分布，Y 服从5=λ的泊松分布， 且X ，Y 相互独立，Y X Z 34-=,则随机变量Z 的方差=DZ _________。
7、设n X X X ，，，21是来自总体)(~2σμ，N X 的简单随机样本，其中2σ未知，要检验00μμ=：H ，应取统计量（写出选择统计量的表达式）__________。
8、设随机变量X 的数学期望EX 和方差2σ=DX 均存在，用切比雪夫(Chebyshev)不等式估计概率=<-}4{σEX X P ________。
9、设n X X X ，，，21是来自总体)(~211σμ，N X 的样本，X 、21S 分别是样本均值与样本方差；m Y Y Y ，，，21是来自总体)(~222σμ，N Y 的样本，Y 、22S 分别是样本均值与样本方差，且X ，Y 相互独立。
数学概率统计重点知识点详解
数学概率统计重点知识点详解2023年，数学概率统计依然是大学生必修课程。
在这门课程中，学生将学习各种数学概率和统计方法，以及如何将它们应用到现实生活中的问题中。
以下是数学概率统计的重点知识点详解。
一、概率论1、基本概率公式基本概率公式是指一个事件发生的概率等于这个事件发生的次数除以总的实验次数。
例如，一个硬币掷5次正面向上的概率是多少？假设每次掷硬币是独立的，则该事件的概率为 (1/2)^5=1/32。
2、独立事件在概率论中，独立事件指两个或多个事件之间没有联系，这意味着其中一个事件的发生与其他事件的发生没有关联。
例如，在掷硬币的例子中，每次掷硬币的结果都是独立事件。
3、条件概率条件概率是指在一个给定事件的前提下，另一个事件发生的概率。
例如，在问答游戏中，有50%的概率回答正确，知道前一个问题回答正确后，后一个问题回答正确的概率将得到提高。
因此，条件概率为 0.5。
4、期望值期望值是一组事件的平均值，它是每个事件的结果乘以概率的总和。
例如，假设你要掷两个骰子，每次掷骰子都有6个面，你想知道掷两个骰子的平均点数是多少。
你可以将每个点数与概率相乘，然后将它们加在一起。
结果表明，平均点数为 7。
5、方差方差是一组事件的差异，它是每个结果与平均值之间的差异的平方的总和。
例如，对于掷两个骰子的例子，如果你希望知道其方差，则可以计算每个点数与平均点数的差异，然后将其平方并相加。
结果表明，方差为（1-7）^2+（2-7）^2+（3-7）^2+（4-7）^2+（5-7）^2+（6-7）^2=17.5。
二、统计学1、频率分布频率分布是指一组数据中每个数据点的出现次数。
例如，考虑一组学生的测验成绩，你可以计算每个分数的出现次数，并将其组成频率分布表。
2、中心趋势在统计学中，中心趋势被用来衡量数据的平均值，它有三种主要的衡量方法：平均值、中位数和众数。
平均值是一组数据的所有数的总和除以这组数据的数量。
中位数是一组数据中间的值，它把数据分为一半。
经济数学概率知识点总结
经济数学概率知识点总结一、基本概率概念概率是一个事件发生的可能性大小的度量，用P(A)来表示，表示事件A发生的概率。
概率的取值范围一般是0到1之间，包括0和1。
0表示不可能事件，1表示必然事件。
在概率论中，还有几个重要的基本概念，包括事件的互斥和独立性。
互斥事件是指两个事件不能同时发生，其概率为P(A∩B)=0。
独立事件是指一个事件的发生不影响另一个事件的发生，其概率为P(A∩B)=P(A)P(B)。
二、概率分布在经济学中，概率分布是非常重要的。
概率分布描述了随机变量取每一个可能值的概率。
常见的概率分布包括均匀分布、正态分布、泊松分布等。
均匀分布是指随机变量的概率分布是均匀的，即每一个可能值的概率相等。
正态分布是最常见的概率分布之一，其概率密度函数为f(x)=1/(σ√(2π))exp(-(x-μ)²/(2σ²))，其中μ是均值，σ是标准差。
正态分布有许多重要特性，例如68-95-99.7规则，即在均值±1σ、均值±2σ和均值±3σ的区间内分别包含了约68%、95%和99.7%的概率。
泊松分布描述了单位时间内随机事件发生的次数的概率分布，其概率质量函数为P(X=k)=λ^k/k!exp(-λ)，其中λ是单位时间内事件的平均发生次数。
三、概率的运算规则在概率论中，有几个重要的运算规则，包括加法规则、乘法规则、全概率公式和贝叶斯定理。
加法规则是指两个事件的并的概率等于两个事件的概率之和减去两个事件的交的概率，即P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)。
乘法规则是指两个事件同时发生的概率等于第一个事件发生的概率乘以第二个事件在第一个事件发生的条件下发生的概率，即P(A∩B)=P(A)P(B|A)。
全概率公式是指如果事件B1、B2、B3、……构成一个完备事件组，即它们两两互斥且它们的和构成了整个样本空间，那么事件A的概率可以表示为P(A)=∑(P(A|Bi)P(Bi))。
概率统计公式大全汇总
概率统计公式大全汇总1.基本概率公式：P(A)=n(A)/n(S)其中，P(A)表示事件A发生的概率，n(A)表示事件A的样本点数，n(S)表示样本空间的样本点数。
2.条件概率公式：P(A，B)=P(A∩B)/P(B)其中，P(A，B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率，P(A∩B)表示事件A和B同时发生的概率，P(B)表示事件B的概率。
3.乘法公式：P(A∩B)=P(A)*P(B，A)其中，P(A∩B)表示事件A和B同时发生的概率，P(A)表示事件A的概率，P(B，A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的概率。
4.加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)其中，P(A∪B)表示事件A和事件B至少有一个发生的概率，P(A)和P(B)分别表示事件A和事件B的概率，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率。
5.贝叶斯公式：P(B，A)=P(A，B)*P(B)/P(A)其中，P(B，A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的概率，P(A，B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率，P(B)和P(A)分别表示事件B和事件A的概率。
6.期望值公式：E(X)=∑(x*P(X=x))其中，E(X)表示随机变量X的期望值，x表示X的取值，P(X=x)表示X取值为x的概率。
7.方差公式：Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2其中，Var(X)表示随机变量X的方差，E[X^2]表示X的平方的期望值，E[X]表示X的期望值。
8.标准差公式：SD(X) = √Var(X)其中，SD(X)表示随机变量X的标准差，Var(X)表示X的方差。
9.二项分布概率公式：P(X=k)=C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)其中，P(X=k)表示X取值为k的概率，C(n,k)表示从n个元素中选择k个元素的组合数，p表示每个元素成功的概率，n表示试验次数。
10.正态分布概率公式：P(X≤x)=Φ((x-μ)/σ)其中，P(X≤x)表示X小于或等于x的概率，Φ表示标准正态分布的累积分布函数，μ表示正态分布的均值，σ表示正态分布的标准差。
大一经数概率统计知识点
大一经数概率统计知识点概率统计是一门应用数学的学科，用于研究随机现象的规律性，并基于概率理论对事件发生的可能性进行评估和推测。
作为大一经数专业的学生，了解和掌握概率统计的基本知识点是非常重要的。
本文将介绍一些大一经数概率统计的核心知识点。
一、概率论基础1. 试验和样本空间：概率统计研究的对象是试验，试验的所有可能结果构成样本空间。
2. 随机事件和事件的概率：样本空间中的子集称为随机事件，事件的概率表示事件发生的可能性大小。
3. 概率的公理化定义：概率具有非负性、规范性和可列可加性等基本性质。
4. 频率与概率的关系：频率是指在大量重复试验中事件发生的比例，当试验次数趋于无穷大时，频率趋近于概率。
二、离散型随机变量1. 随机变量的概念：随机变量是指将样本空间映射到实数集上的函数。
2. 离散型随机变量和连续型随机变量：离散型随机变量取有限或可列个值，连续型随机变量可取任意实数值。
3. 离散型随机变量的分布律和概率质量函数：离散型随机变量的分布律描述了各个取值对应的概率。
4. 离散型随机变量的数学期望和方差：数学期望是随机变量取值的加权平均，方差衡量随机变量取值的离散程度。
三、连续型随机变量1. 连续型随机变量的概率密度函数：连续型随机变量的概率密度函数描述了变量在某个取值范围内的概率密度。
2. 连续型随机变量的分布函数：分布函数是随机变量小于等于某个取值的概率。
3. 连续型随机变量的数学期望和方差：数学期望是随机变量取值的加权平均，方差衡量随机变量取值的离散程度。
四、常见概率分布1. 二项分布：描述了n次重复的独立二元试验中成功次数的概率分布。
2. 泊松分布：描述了单位时间或单位空间内事件发生的次数的概率分布。
3. 正态分布：又称为高斯分布，是自然界中许多现象的近似分布，具有对称、钟形曲线的特点。
4. 指数分布：描述了独立事件发生时间间隔的概率分布。
5. 均匀分布：描述了在一定范围内各个取值发生的概率相等的概率分布。
经济数学基础第三册《概率统计》一、二、三章知识点总结
第一章 随机事件与概率1、事件间的关系与运算关系：事件的包含与相等；事件的和（并）；事件的积（交）；事件的差； 互不相容事件（互斥）；对立事件（逆事件）；完备事件组。
运算： BAAB A B B A == ）交换律（1)()()2(C B A C B A C B A C B A ==）（）结合律（））（（）（）（）（）分配律（C A B A BC A BC AC C B A ==)3(BA B A C B A ABC CB AC B A B A AB ==== ）对偶律（42、概率的性质10=Ω=Φ）（）（①P P ∑=∑==ni i ni i n A P A P A A A 1121,,,）（）（为互不相容事件：② ）（）（）（有，为两个互不相容事件与特别的：B P A P B A P B A +=+121=∑ii n A P A A A ）（，则有构成一个完备事件组，，，，③ ）（）（率有特别的：对立事件的概A P A P -=1）（）（）（有，如果④B P A P B A P B A -=-⊃）（）（）（）（有，与对于任意两个事件⑤AB P B P A P B A P B A -+=+()1()()(2111111nn nk j i k j i ni nj i j i i ni i A A A P A A A P A A P A P A P-≤<<≤=≤<≤=-+∑-+∑∑-=∑）（）（件的情形推广：对任意有限个事3、古典概型⎩⎨⎧等可能性有限性试验的基本事件总数的基本事件数有利于A n m A P ==)(4、条件概率)()()(A P AB P A B P =乘法公式)()()()()()()()()(AB C P A B P A P ABC P B A P B P A B P A P AB P ===5、独立事件 )()()(B P A P AB p =)()()()(B P A B P A P B A P ==或或6、全概率公式有则对任一事件构成完备事件组,,,2,1,0)(,,,,21B n i A P A A A i n =>)()()()()()()()()(22111n n ni i i A B P A P A B P A P A B P A P A B P A P B P +++=∑== 7、贝叶斯公式 有若则对任一事件构成完备事件组,0)(,,,2,1,0)(,,,,21>=>B P B n i A P A A A i n nm A BP A P A B P A P B A P ni i im m m,,2,1)()()()()(1==∑=1.概率分布（X 的所有取值及其相应概率）,2,1}{,===i p x X P i i 1x X 2x 3x … nx … P1p 2p 3p …np …分布律2、分布函数 F(x) =P(X ≤x)∑=≤=≤xi x ip x X P x F )()(3、随机变量函数 Y=g(X) 的概率分布（1）写出函数的对应取值（2）抄写相应的概率（相同函数值的要合并，对应概率相加） ∑=iii p x EX 22)(EX EX DX -=?2=EX ∑==ii i p x g EY X g Y })()({∑=iii p x EX 221、概率密度: ),(,)(+∞-∞∈x xf ⎰=<<ba dxx f b X a P )()(})(,)()({)(3的值域）是的反函数，（是为零。
数学概率统计知识点总结
数学概率统计知识点总结概率统计是数学中的一个重要分支，它研究的是随机现象的规律性和规律性的统计检验。
在现代社会中，概率统计的应用范围非常广泛，涉及到了各个领域，比如生物学、医学、工程学、经济学等等。
掌握好概率统计知识对于我们解决实际问题，制定决策有着重要的作用。
下面，我将对概率统计的一些基本知识点进行总结和梳理，以便大家更好地理解和掌握这一领域的知识。
概率统计知识点总结：1. 概率基础知识概率是研究随机事件发生规律的一个数学分支，它是描述事件发生可能性的一种量化指标。
通常用P(A)表示事件A发生的概率，概率的取值范围在0到1之间。
概率的加法和乘法公式是概率论中的两个重要定理。
加法公式用于计算两个事件的并事件发生的概率，乘法公式用于计算两个事件的交事件发生的概率。
2. 随机变量和概率分布随机变量是描述随机现象结果的数学量，它可以是离散型的也可以是连续型的。
随机变量的分布函数是描述随机变量在某个取值下的概率。
常见的离散分布有伯努利分布、二项分布、泊松分布等；常见的连续分布有均匀分布、正态分布、指数分布等。
3. 统计推断基础知识统计推断是根据样本数据对总体数据进行推断的一种方法。
包括参数估计和假设检验两个方面。
参数估计是根据样本数据对总体参数进行估计，主要有点估计和区间估计两种方法；假设检验是根据样本数据对总体的假设进行检验，主要有单样本检验、两样本检验、方差分析等方法。
4. 回归分析回归分析是一种统计分析方法，主要用于探索自变量和因变量之间的关系。
常见的回归分析包括线性回归、多元线性回归、逻辑回归等。
回归分析的主要目的是建立一个数学模型来描述自变量和因变量之间的关系，从而用于预测和解释。
5. 抽样调查抽样调查是统计学中的一项重要工作，主要用于收集样本数据、进行数据分析以及对总体进行推断。
抽样方法包括简单随机抽样、分层抽样、整群抽样等，每种抽样方法都有其适用的场景和局限性。
在抽样调查中，需要注意样本的代表性和抽样误差的控制。
课件+经济数学基础+罗国湘+高等教育出版社-第7章 概率与统计初步
第一节 随机事件及其概率
二、事件的关系与运算
5.对立事件 (或互逆事件)
如果事件 与事件 不可能同时发生但又必有一个发生, 即 =
∅ 且 + = Ω, 则称事件 与事件 为对立事件(或互逆事件), 同时
也称 是 的逆事件(或 是 的逆事件), 记为 ᪄ = . 如图 7.5 所示
(1) 从中任取一球, 所取的球为红球的概率;
(2) 从中任取二球, 所取的球为一红一白的概率;
(3) 从中任取三球, 所取的球为二红一白的概率.
解 (1) 设 = “任取一球为红球”, 则基本事件的总数是 = C81 = 8, 事件 包含的基本事
件 个数 = C51 = 5, 由公式 (1) 可知() =
第一节 随机事件及其概率
三、事件的概率及加法公式
1.事件的概率
研究随机试验不仅要研究哪一个事件可能发生或不发生, 还要研究某事件发生的可能性有 多大.
能否用一个数值来表示事件发生的可能性大小呢? 人们经过长期的研究得到了表示事件 发生的可能
性大小的数值, 这就称为事件的概率.
历史上, 不少统计学家为了观察抛郑一枚硬币, 落地时 “正面朝上” 这一事件发生的概率的 大小,
随机变量 的数字特征和参数估计.
第一节 随机事件及其概率
一、随机现象与随机事件
确定性现象是指在一定的条件 下必然会发生的现象。例如, 抛郑一枚硬币, 必然会下落; 在标
准大气压下, 100 ∘ C 的水必然沸腾等等。
随机现象（不确定性现象）在一定的条件下, 可能发生, 也可能不会发生的现象。例如，抛
为 ⊃ , 或 ⊂ . 如图 7. 1 所示.
初中数学概率统计基础
初中数学概率统计基础在我们的日常生活中，很多事情的结果往往是不确定的。
比如明天是否会下雨，抽奖时能否中奖，投篮是否能命中等等。
而概率统计就是一门帮助我们研究和理解这些不确定性的数学学科。
对于初中生来说，了解概率统计的基础知识，不仅能够培养我们的逻辑思维和分析问题的能力，还能让我们更好地应对生活中的各种可能性。
一、概率的基本概念概率，简单来说，就是用来衡量某个事件发生可能性大小的一个数值。
这个数值在 0 到 1 之间。
如果一个事件完全不可能发生，那么它的概率就是 0；如果一个事件肯定会发生，那么它的概率就是 1；而对于那些有可能发生也有可能不发生的事件，其概率就在 0 到 1 之间。
举个例子，抛一枚均匀的硬币，正面朝上和反面朝上的概率都是 05，因为硬币只有正反两面，而且两面出现的可能性是相等的。
再比如，从一个装有 5 个红球和 3 个白球的袋子中随机摸出一个球，摸到红球的概率就是 5/8，摸到白球的概率就是 3/8。
二、事件的分类在概率中，事件可以分为以下几类：1、必然事件：指在一定条件下必然会发生的事件，其概率为 1。
比如太阳从东方升起，就是一个必然事件。
2、不可能事件：指在一定条件下绝对不会发生的事件，其概率为0。
比如月亮从西方升起，就是一个不可能事件。
3、随机事件：指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件。
前面提到的抛硬币、摸球等都是随机事件。
三、概率的计算方法1、列举法当一个事件发生的可能性比较有限且容易列举时，可以通过列举所有可能的结果来计算概率。
例如，掷一个骰子，求掷出奇数点的概率。
骰子的点数有1、2、3、4、5、6 这 6 种可能，其中奇数点有 1、3、5 这 3 种，所以掷出奇数点的概率就是 3/6 ＝ 05。
2、频率估计法通过大量重复试验，计算某个事件发生的频率，并用频率来估计概率。
比如，抛一枚硬币 1000 次，其中正面朝上 480 次，那么正面朝上的频率就是 480/1000 ＝ 048，可以用这个频率来估计抛硬币正面朝上的概率约为 05。
经济应用数学基础-第6章 概率初步
1.事件的独立性 定义6.6 如果事件B的发生不影响事件A的概率，即
PA B PA
则称事件A对事件B是独立的（或称A独立于B），
否则，称为不独立。
6.1 随机事件与概率
注
（1）若事件A独立于事件B，则事件B也独立于 事件A；
（2） 若A、B相互独立，则 PAB PAPB
PB P A1A2 A3 P A1 A2 A3 P A1A2 A3
3 (0.3)2 (0.7) 0.189
6.1 随机事件与概率
定理6（.1伯努利定理）设一次试验中事件A 发生的
概率为P( 0),则pn重1贝努利试验中，事件A恰发 生k次的概率为
Pn
(k
)
C
k n
pk
qnk
解 设A表示“甲被选中”，B表示“乙被选中 A”，B表示“甲、乙至少有一人被选中”。
由于A、B相容，所以有
PA B PA PB PAB
0.820.840.68 0.98
6.1 随机事件与概率
2.概率的乘法公式
（1）条件概率
定义6如.5果A、B为同一随机试验的两个事件，在 事件B已经发生的条件下，事件A发生的概论叫做
6.1 随机事件与概率
根据概率的统计定义，概率具有以下性质：
(1)对任何事件A有
0 PA 1
(2)必然事件的概率等于1，即
P(Ω)=1
(3)不可能事件的概率等于0，即
P(Ø)=0
6.1 随机事件与概率
2. 古典概型及概率
具有以下两个特征的试验的概率问题称古典概型。 (1)每次试验，只有有限种可能的试验结果，或
例1一批产品共有50件，其中有2件次品。求： ⑴ 从中任取2件，恰有1件次品的概率； ⑵ 从中任取2件均为合格品的概率。
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《经济数学基础（三）：概率统计》
统 考 试 卷
（120分钟）
一、填空题（每小题2分，共20分）
1、设A 、B 是两个随机事件，8.0)(=A P ，4.0)(=AB P ，则=-)(B A P ____________。
2、设随机变量X 的概率分布为 则=≥}1{2
X
P _______________。
3、设随机变量X 服从p n ，为参数的二项分布，
且1015==DX EX ，，则=n _______。
4、设随机变量X 的密度函数为2
)2(2
21)(+-
=
x e
x f π
，且}{}{c X P c X P ≤=≥，则
=c _____。
5、设随机变量X 的数学期望EX 和方差0>DX 都存在，令DX
EX X Y )
(-=
，则=DY _。
6、设随机变量X 服从]50[，上的均匀分布，Y 服从5=λ的指数分布，且X ，Y 相互独立，则)(Y X ，的联合密度函数=)(y x f ，__________。
7、设随机变量X ，Y 有4)(94-===Y X Cov DY DX ，，，，则X ，Y 的相关系数
=XY ρ_____________。
8、设n X X X ，，，
21是来自总体)10(~，N X 的简单随机样本，则∑=n
i i
X
1
2服从的分
布为_____________。
9、n X X X ，，，
21是来自总体)(~2
σμ，N X 的样本，X 、2S 分别是样本均值与样本方差，当μ未知时，2
σ的置信度为α-1的置信区间为____________。
10、设121n X X X ，，，
是来自总体)(~2
11σμ，N X 的样本，X 、21S 分别是样本均值与样本方差；221n Y Y Y ，，，
是来自总体)(~2
22σμ，N Y 的样本，Y 、22S 分别是样本均值与样本方差，且X ，Y 相互独立。
要检验2
2210σσ=：H ，则采用的统计量是
_________________。
二、单项选择（每小题2分，共10分）
1、设一次试验中事件A 发生的概率为p ，现重复进行n 次独立试验，则事件A 至多发生一次的概率为 （ ）
A.n p -1；
B.n
p ； C.n
p )1(1--； D.1
)
1()1(--+-n n
p p n p 。
2、设随机变量X 的概率密度函数为)(x f X ，32+-=X Y ，则Y 的概率密度函数为
（ ）
A.)23(21---
y f X ； B.)23
(21
--y f X ； C.)23(21+--y f X ； D.)2
3
(2
1+-
y f X 。
3、设X 是随机变量，且31=-=DX EX ，，则=-)]2(3[2
X E （ ） A.6； B.9； C.30； D.36。
4、在)(~211σμ，
N X 和)(~2
22σμ，N Y 中分别抽取容量为1n 和2n 的两个相互独立的样本，样本均值和样本方差分别为X 、Y ，2
1S 、2
2S ，当2
22
1σσ=但未知时，2
1μμ-的置信度为α-1的置信区间为)(∆+-∆--Y X Y X ，，其中=∆ （ ）
A.22
2
12
12
n n U σσα
+； B.212
1212
2
2211212
2)1()1()2(n n n n n n S n S n n n t +-+-+--+α C.2
22
1
2
1212
)
2(n n n n t σσα+
-+； D.2
12
1212
2
221122
)1()1(n n n n n n S n S n U +-+-+-α。
5、矿砂中铜含量服从正态分布)(~2
σμ，
N X ，2σ未知，现从总体中抽取样本54321x x x x x ，，，，在显著水平α下检验00μμ=：H ，取统计量 （ ）
A.
5
/0
σμ-X ； B.
4
/0
σμ-X ； C.
5
/0S X μ-； D.
4
/0S X μ-。
三、计算题（每小题8分，共40分）
1、市场上出售的某种商品有三个厂家同时供货，其供应量第一厂家为第二厂家的两倍，第二、三厂家相等，而且第一，二，三厂家次品率依次为2%，2%，4%。
若在市场上随即购买一件商品为次品，问该件商品是第一厂家生产的概率是多少？
2、已知随机变量X 的密度函数⎩⎨
⎧≤≤+=其他
10)(x b
ax x f ，且12
7
=
EX 。
（1）求a ，b ；（2）求X 的分布函数)(x F 。
3、设随机变量1X 服从2
1
=
λ的指数分布，2X 的密度函数为 ⎪⎩⎪
⎨⎧>≥=-0
0)(2x x cxe
x f x （1）求1EX ，1DX ；
（2）由（1）求c 与2EX 。
4、设随机变量)(Y X ，的概率分布为
（1）求X ，Y 的边缘分布；（2）求Y X +的概率分布。
5、设总体)0(~2
σ，
N X ，2σ为未知参数，n x x x ，，， 21是来自总体X 的一组样本值，求2
σ的最大似然估计。
四、应用题（每小题8分，共24分）
1、设有36个电子器件，他们的使用寿命（小时）3621T T T ，，，
都服从1.0=λ的指数分布，其使用原情况是：第一个损坏，第二个立即使用，第二个损坏，第三个立即使
用等等。
令T 为36个电子器件使用的总时间，用中心极限定理计算超过420小时的概率。
2、已知某铁水含炭量在正常情况下服从正态分布)11.055.4(2
，
N ，现测定了9炉铁水，含炭量平均数445.4=X ，0169.02
=S 。
若总体方差没有变化，即
2
211.0=σ。
问总体均值μ有无显著变化？)05.0(=α
3、为确定广告费用与销售额的关系，现作一统计，得资料如下：
（1）求销售额y 对广告费x 的线性回归方程x b a y
ˆˆˆ+=； （2）检验所建立的线性回归方程的显著性。
)05.0(=α
五、证明题（共6分）
若随机变量X 的密度函数)()(x f x f -=，)(x F 是其分布函数。
试证：对任意实数a ，有⎰-=
-a dx x f a F 0)(2
1
)(。
2622.2)9(025.0=t ,306.2)8(025.0=t ,13.10)31(05.0=，F , 878.0)3(05.0=r ,811.0)4(05.0=r 。