必修2第三章3.3.3-3.3.4 点到直线的距离、两条平行直线间的距离
3.3.3点到直线的距离3.3.4两平行线间的距离简化向量处理
12 ( 3 )2
122 (5)2
x 1 或 x 171 37
所以P点坐标为：
d Ax0 By0 C A2 B2
练习2
(1)已知点A(-2,3)到直线y=ax+1的距离为 2，求a的值. (2)已知点A(-2,3)到直线y=-x+a的距离为 2，求a的值.
解 : (1) y ax 1,ax y 1 0,
2a 3 1 2a 2
d
2,
a2 1
a2 1
2a 2 2a2 2, 4a2 8a 4 2a2 2,
解 : 由点到直线的距离公式：
(2)dd
3|
A(x01) By002C A322 0B22
2|
5 3
可得：思(1考)d： |还2有(1其) 他2 解10法| 吗2？ 5 41
点到直线的距离：
练习1 求点 P0 2到，下3列直线的距离：
(1) 3x+4y+3=0; (2) 3y=2 ； (3)-x+3y=7.
3.3.3《点到直线的距离》 3.3.4《平行线间的距离》
导入
铁路
仓库
导入
l
仓库
点到直线的距离 l
.P
点到直线的距离
y
l : Ax+By+C=0
. P(x0,y0)
o
x
引入新课
已知点 P0 x0 , y0 ，直线 l : Ax By C 0，
如何求点 P0到直线 l 的距离？ 点 P0 到直线 l 的距离，是指从点 P0到直线 l 的
|n|
y
l : Ax By C 0
| A(x1 x0 ) B( y1 y0 ) | A2 B2
第3章 3.3.3-3.3.4点到直线的距离 、两条平行直线间的距离
3.3.3 点到直线的距离 3.3.4两条平行直线间的距离【课时目标】 1．会应用点到直线的距离公式求点到直线的距离．2．掌握两条平行直线间的距离公式并会应用．3．能综合应用平行与垂直的关系解决有关距离问题．一、选择题1．点(2,3)到直线y ＝1的距离为( )A ．1B ．－1C ．0D ．2 2．原点到直线3x ＋4y －26＝0的距离是( )A ．2677B ．265C ．245D ．2753．点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，O 是原点，则|OP |的最小值是( ) A ．10 B ．2 2 C ． 6 D ．24．P 、Q 分别为3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋6＝0上任一点，则|PQ |的最小值为( )A ．95B ．185C ．3D ．65．过点P (0,1)且和A (3,3)，B (5，－1)距离相等的直线的方程是( ) A ．y ＝1B ．2x ＋y －1＝0C ．y ＝1或2x ＋y －1＝0D ．2x ＋y －1＝0或2x ＋y ＋1＝06．两平行直线l 1，l 2分别过点P (－1,3)，Q (2，－1)，它们分别绕P 、Q 旋转，但始终保持平行，则l 1，l 2之间的距离的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．[0,5]C ．(0,5]D ．[0，17] 二、填空题7．过点A (2,1)的所有直线中，距离原点最远的直线方程为______________．8．若直线3x ＋4y ＋12＝0和6x ＋8y －11＝0间的距离为一圆的直径，则此圆的面积为________．9．已知直线3x ＋2y －3＝0和6x ＋my ＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是________．三、解答题10．已知直线l 经过点P (－2,5)，且斜率为－34．(1)求直线l 的方程；(2)若直线m 与l 平行，且点P 到直线m 的距离为3，求直线m 的方程．11．△ABC 的三个顶点是A (－1,4)，B (－2，－1)，C (2,3)． (1)求BC 边的高所在直线方程； (2)求△ABC 的面积S ．能力提升12．如图，已知直线l 1：x ＋y －1＝0，现将直线l 1向上平移到直线l 2的位置，若l 2、l 1和坐标轴围成的梯形面积为4，求l 2的方程．13．已知正方形的中心为直线2x －y ＋2＝0，x ＋y ＋1＝0的交点，正方形一边所在的直线方程为x ＋3y －5＝0，求正方形其他三边的方程．1．在使用点到直线的距离公式时，应注意以下两点： (1)若方程不是一般式，需先化为一般式．(2)当点P 在直线上时，公式仍成立，点P 到直线的距离为0．2．在使用两平行线间的距离公式时，要先把直线方程化为一般式，且两直线方程中x ，y 的系数要化为分别相等的数．3．注意数形结合思想的运用，将抽象的代数问题几何化，要能见“数”想“形”，以“形”助“数”．3．3．3 点到直线的距离 3．3．4两条平行直线间的距离答案知识梳理 公垂线段|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2 |C 2－C 1|A 2＋B 2作业设计1．D [画图可得；也可用点到直线的距离公式．] 2．B3．B [|OP |最小值即为O 到直线x ＋y －4＝0的距离，∴d ＝|－4|2＝22．]4．C [|PQ |的最小值即为两平行线间的距离，d ＝|3＋12|5＝3．]5．C [①所求直线平行于AB ，∵k AB ＝－2，∴其方程为y ＝－2x ＋1，即2x ＋y －1＝0． ②所求直线过线段AB 的中点M (4,1)，∴所求直线方程为y ＝1．]6．C [当这两条直线l 1，l 2与直线PQ 垂直时，d 达到最大值，此时 d ＝(2＋1)2＋(－1－3)2＝5． ∴0<d ≤5．] 7．2x ＋y －5＝0 解析如图所示，只有当直线l 与OA 垂直时，原点到l 的距离最大，此时k OA ＝12，∴k l ＝－2，∴方程为y －1＝－2(x －2)， 即2x ＋y －5＝0． 8．4916π 9．71326解析 直线3x ＋2y －3＝0变为6x ＋4y －6＝0，∴m ＝4．由两条平行线间的距离公式得d ＝|－6－1|62＋42＝71326．10．解 (1)由点斜式方程得，y －5＝－34(x ＋2)，∴3x ＋4y －14＝0．(2)设m 的方程为3x ＋4y ＋c ＝0， 则由平行线间的距离公式得， |c ＋14|5＝3，c ＝1或－29． ∴3x ＋4y ＋1＝0或3x ＋4y －29＝0． 11．解 (1)设BC 边的高所在直线为l ，由题知k BC ＝3－(－1)2－(－2)＝1，则k l ＝－1k BC＝－1，又点A (－1,4)在直线l 上，所以直线l 的方程为y －4＝－1×(x ＋1)， 即x ＋y －3＝0．(2)BC 所在直线方程为：y ＋1＝1×(x ＋2)，即x －y ＋1＝0， 点A (－1,4)到BC 的距离d ＝|－1－4＋1|12＋(－1)2＝22，又|BC |＝(－2－2)2＋(－1－3)2＝4 2则S △ABC ＝12·|BC |·d＝12×42×22＝8．12．解 设l 2的方程为y ＝－x ＋b (b >1)，则图中A (1,0)，D (0,1)，B (b,0)，C (0，b )． ∴|AD |＝2，|BC |＝2b ．梯形的高h 就是A 点到直线l 2的距离，故h ＝|1＋0－b |2＝|b －1|2＝b －12(b >1)，由梯形面积公式得2＋2b 2×b －12＝4，∴b 2＝9，b ＝±3． 但b >1，∴b ＝3．从而得到直线l 2的方程是x ＋y －3＝0．13．解 设与直线l ：x ＋3y －5＝0平行的边的直线方程为l 1： x ＋3y ＋c ＝0． 由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2＝0x ＋y ＋1＝0得正方形的中心坐标P (－1,0)， 由点P 到两直线l ，l 1的距离相等， 则|－1－5|12＋32＝|－1＋c |12＋32，得c ＝7或c ＝－5(舍去)．∴l 1：x ＋3y ＋7＝0． 又∵正方形另两边所在直线与l 垂直，∴设另两边方程为3x －y ＋a ＝0,3x －y ＋b ＝0． ∵正方形中心到四条边的距离相等， ∴|－3＋a |32＋12＝|－1－5|12＋32，得a ＝9或－3，∴另两条边所在的直线方程为 3x －y ＋9＝0,3x －y －3＝0． ∴另三边所在的直线方程分别为3x －y ＋9＝0，x ＋3y ＋7＝0,3x －y －3＝0．。
最新人教版高中数学必修2第三章《两条平行直线间的距离》
3．3.4 两条平行直线间的距离1．掌握两条平行直线间距离的定义．2．会求两条平行直线间的距离．两条平行直线间的距离(1)定义：夹在两条平行直线间__________的长叫做这两条平行直线间的距离．(2)求法：转化为求__________的距离，即在其中任意一条直线上任取一点，这点到另一条直线的距离就是这两条平行直线间的距离．【做一做】 两条平行直线x ＋y ＋2＝0与x ＋y －3＝0的距离等于( ) A.52 2 B.22 C ．5 2 D. 2答案：(1)公垂线段 (2)点到直线【做一做】 A两条平行直线间的距离公式剖析：对于直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0.当直线l 1∥l 2时，它们的方程可以化为以下形式：直线l 1：A x ＋B y ＋D 1＝0，直线l 2：A x ＋B y ＋D 2＝0. 在直线l 1上任取一点P(x 0，y 0)，则有l 1：A x 0＋B y 0＋D 1＝0，即A x 0＋B y 0＝－D 1.所以点P 到直线l 2的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋D 2|A 2＋B 2＝|－D 1＋D 2|A 2＋B 2＝|D 1－D 2|A 2＋B 2， 即直线l 1，l 2的距离d ＝|D 1－D 2|A 2＋B 2.(1)使用两条平行直线间的距离公式的前提条件：①把直线方程化为直线的一般式方程；②两条直线方程中x ，y 系数必须分别相等．(2)求两条平行直线间的距离通常转化为其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离，且两条平行线间距离与其中一条直线上点的选取无关．(3)当两条直线都与x 轴(或y 轴)垂直时，可利用数形结合方法来解决．①两条直线都与x 轴垂直时，l 1：x ＝x 1，l 2：x ＝x 2，则两条平行直线间的距离d ＝|x 2－x 1|；②两条直线都与y 轴垂直时，l 1：y ＝y 1，l 2：y ＝y 2，则两条平行直线间的距离d ＝|y 2－y 1|.题型一：求两条平行线间的距离【例1】 求两条平行线l 1：3x ＋4y －5＝0和l 2：6x ＋8y －9＝0间的距离．反思：求两条平行直线间距离有两种思路：①利用“化归”思想将两条平行直线间的距离转化为求其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离．由于这种求法与点的选择无关，因此，选点时，常选取一个特殊点，如直线与坐标轴的交点等，以便于运算，如本题解法一．②利用两条平行直线间的距离公式d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2，如本题解法二． 题型二：两条平行直线间距离公式的应用【例2】 平行于直线x －3y ＝0，且与其距离为3的直线l 的方程是__________． 反思：求平行于直线A x ＋B y ＋C ＝0的直线方程时，常设为A x ＋B y ＋m ＝0(m ≠C)，利用待定系数法来解决．有关平行直线间距离问题，常利用两条平行直线间的距离公式列出方程来解决．题型三：易错辨析易错点 利用两条平行直线间的距离公式求距离时，常忽略方程的系数【例3】 求两条平行直线l 1：3x ＋4y ＋2＝0，l 2：12x ＋16y －8＝0之间的距离．错解：d ＝|2－(－8)|32＋42＝105＝2. 错因分析：错解中，没有把l 2的方程化为3x ＋4y ＋m ＝0的形式，导致出错．反思：使用两条平行线间的距离公式求距离时，应把直线方程化为一般式，同时要使两个直线方程中x ，y 的系数对应相等．答案：【例1】 解：解法一：在直线l 1：3x ＋4y －5＝0上任取一点，不妨取点P (0，54)， 则点P 到直线l 2：6x ＋8y －9＝0的距离即为两条平行直线间的距离．因此d ＝|0×6＋8×54－9|62＋82＝110. 解法二：把l 2：6x ＋8y －9＝0化为3x ＋4y －92＝0， 由两条平行直线间的距离公式，得d ＝|－5－(－92)|32＋42＝110. 【例2】 x －3y ＋6＝0或x －3y －6＝0【例3】 正解：l 2：12x ＋16y －8＝0可化为3x ＋4y －2＝0，根据两条平行线间的距离公式，可得d ＝|2－(－2)|32＋42＝45.1．直线46x y -＝1与y ＝32x ＋1之间的距离为( )A.13B.13C.2D．242．平行直线x－y＝0与x－y＋m＝0，则实数m＝__________.3．直线l与两条平行直线l1：x－3y＋1＝0，直线l2：x－3y＋5＝0的距离相等，则直线l的方程是__________．4．两条平行线3x＋4y＋5＝0与6x＋a y＋30＝0间的距离为d，则a＋d＝__________.5．求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且到l的距离为2的直线方程．答案：1．B 2.±2 3.x－3y＋3＝0 4.105．解：设所求直线的方程为5x－12y＋m＝0(m≠6)，由两条直线的距离为2＝2.则m＝32或m＝－20，故所求直线方程为5x－12y＋32＝0或5x－12y－20＝0.。
3.3.3点到直线的而距离-3.3.4两条平行直线间的距离
2
.
点到直线距离公式
已知点P1(x1,y1),P2(x2,y2),则
P P2 1
x2 x1 y2 y1
2
2
.
两点间的距离公式
已知点P1(x1,y1),P2(x2,y2),则
P P2 1
x2 x1 y2 y1
2
2
.
点到直线距离公式
已知点P(x,y),直线l:Ax+By+C=0,则点 P到直线l的距离：
.
点到直线距离公式
已知点P(x,y),直线l:Ax+By+C=0,则点 P到直线l的距离：
d
Ax0 By0 C A B
2 2
例1.求点P(-1,2)到下列直线的距离. (1)2x+y-10=0； (2)3x=2
教材108页练习1,2
例2.已知点A(1,3),B(3,1)C(-1,0), 求三角形ABC的面积.
y 3 2
1 -1 O C (-1,0) A (1,3)
h
1 2 3 x
证明:两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+ C2=0的距离是 d
C1 C2 A B
2 2
.
结论:两条平行线间的距离公式
例3.求平行线2x-7y+8=0与2x-7y-6=0 的距离.
结论:直线到直线的距离转化为点到直线的距离
已知点A(a,-5)与B(0,10)间的距离 是17,求a的值.
点到直线距离公式
已知点P1(x1,y1 y2 y1
2
2
.
点到直线距离公式
已知点P1(x1,y1),P2(x2,y2),则
2021_2022学年高中数学第3章直线与方程3.3.3点到直线的距离3.3.4两条平行直线间的距离
2．两条平行直线间的距离 (1) 定 义 ： 夹 在 两 条 平 行 直 线 间 _公__垂__线__段_ 的 长 叫 做 这 两 条 平 行 直 线 间 的 距
离． (2)求法：转化为求_点__到__直__线_的距离，即在其中任意一条直线上任取一点，
这点到另一条直线的距离就是这两条平行直线间的距离．
[思路点拨]
思路一
由直线平行设出方程
→
利用平行线间 的距离公式求解
思路二
设出直线上任意 一点的坐标
→
Байду номын сангаас
利用点到直线的距 离公式求出直线上的 点满足的方程即可
[解析] 方法一 由已知可设所求直线的方程为 2x－y＋C＝0(C≠－1)，则它 与直线 2x－y－1＝0 的距离为 d＝ |C22－＋－－11|2＝|C＋51|＝2，
互动探究学案
命题方向1 ⇨点到直线的距离公式
典例 1 求点 P(3，－2)到下列直线的距离． (1)y＝34x＋14； (2)y＝6; (3)x＝4. [思路分析] 解答本题可先把直线方程化为一般式(特殊直线可以不化)，然后 再利用点到直线的距离公式及特殊形式求出相应的距离．
[解析] (1)把方程 y＝34x＋14写成 3x－4y＋1＝0，由点到直线的距离公式得 d ＝|3×3－324＋×－－422＋1|＝158.
或 x＋y－6＝0.
综上，所求直线 l 的方程为 x－y＝0 或 7x＋y＝0 或 x＋y－2＝0 或 x＋y－6＝
0.
命题方向2 ⇨求两平行直线的距离
典例 2 (2019·山东省烟台市期末)与直线 2x－y－1＝0 平行，且距离为 2 的直线方程为_2_x_－__y_＋__2__5_－___1_＝__0_或___2_x－__y_－__2___5_－__1_＝__0_. ______
高中数学必修二：3.3.4点到直线的距离、两条平行直线间的距离
2 2
2
∴k2+8k+7=0
解得k1 1
2 2
k2 7
∴所求直线的方程为x+y-1=0 或7x+y+5=0.
练习 已知直线l过点 A(0, 10) ，且原点 O到直线l的距离为 5，求直线l的方程.
变式1 已知点 A1 ， 3，B3， 1，C－ 1， 0，求 ABC 的面积． 分析：如图，设 AB 边上的高为 h ，则 y 1 S ABC AB h . 4 A 2
12 5
②P ( 2,0),4 x 3 y 1 0 :
9 5
37 65 65 3 2 2
2 例2.求过点A(1,2)且与原点的距离等于 的直线的方程 . 2
解:设所求直线的方程为y-2=k(x+1) A(1,2) 即 kx-y+2+k=0 由题意得
|002k | k 2 1 2 2
y
求出P0R 求出P0S
S
利用勾股定理求出SR
d
Q
R
P0
面积法求出P0Q
l
x
O
y
Ax0 C S x0, B
Q l : Ax By C 0 d
y0
O
P0 (x0,y0)
By0 C , y R 0 A
x0
x
1 | P0 S || P0 R | 2
y
4 3 2 h 1
A B
3
h
因此
1 0 4
12 12 C 1 5 -1 O S ABC 2 2 5. 2 2
5 . 2
1 2
x
变式2 已知P在x 轴上, P到直线l1: x- 3 y +7=0与直线 l2:12x-5y+40=0 的距离相等, 求 P点坐标。
高中数学(人教A版)必修二课件：3.3.3 点到直线的距离3.3.4 两条平行直线间的距离
点(2，1)到直线 l：x－2y＋2＝0 的距离为( 2 A． 5 6 C． 5 5 2 B． 5 5 D．0
)
答案：B
直线 l1：2x＋3y－8＝0 与 l2：2x＋3y－10＝0 之间的距离 d＝__________．
2 13 答案： 13
直线 l1：x＋y－1＝0 与 l2：2x＋2y＋5＝0 之间的距离 d＝ __________．
(2)法一：当过点 M(－1，2)的直线 l 的斜率不存在时， 直线 l 的方程为 x＝－1， 恰好与 A(2，3)，B(－4，5)两点距离相等， 故 x＝－1 满足题意． 当过点 M(－1，2)的直线 l 的斜率存在时， 设 l 的方程为 y－2＝k(x＋1)， 即 kx－y＋k＋2＝0．
由点 A(2，3)与 B(－4，5)到直线 l 的距离相等，得 |2k－3＋k＋2| |－4k－5＋k＋2| ＝ ， 2 2 k ＋1 k ＋1 1 解得 k＝－ ， 3 1 此时 l 的方程为 y－2＝－ (x＋1)， 3 即 x＋3y－5＝0． 综上所述直线 l 的方程为 x＝－1 或 x＋3y－5＝0．
第三章
直线与方程
3．3．3 3．3．4
点到直线的距离
两条平行直线间的距离
第三章
直线与方程
1．掌握点到直线的距离公式，会用公式解决有关 问题． 2．掌握两平行线之间的距离公式，并会求两平行线 之间的距离．
点到直线的距离与两条平行直线间的距离 点到直线的距离 定义 两条平行直线间的距离 夹在两条平行直线间
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)点 P(x0，y0)到与 x 轴平行的直线 y＝b(b≠0)的距离 d＝ y0－b．( × ) (2)点 P(x0，y0)到与 y 轴平行的直线 x＝a(a≠0)的距离 d＝ |x0－a|．( √ ) (3)两平行线间的距离是两平行线上两点间的最小值．( √ )
2018年人教A版数学必修2 第3章 3.3.3 点到直线的距离 3.3.4 两条平行直线间的距离
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1 【自主解答】 法一：由题意可得 kAB＝－2，线段 AB 的中点为 C(1,1)，满 足条件的直线经过线段 AB 的中点或与直线 AB 平行． 当直线过线段 AB 的中点时，由于 M 与 C 点的纵坐标相同，所以直线 MC 的方程为 y＝1； 1 当直线与 AB 平行时，其斜率为－2，由点斜式可得所求直线方程为 y－1＝ 1 －2(x＋2)，即 x＋2y＝0. 综上，所求直线的方程为 y＝1 或 x＋2y＝0.
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两条平行线间的距离
直线 l1 过点 A(0,1)，l2 过点 B(5,0)，如果 l1∥l2，且 l1 与 l2 的 距离为 5，求直线 l1 与 l2 的方程． 【精彩点拨】 先设出 l1、l2 的方程，利用两条平行线间的距离公 式求解，但注意直线斜率的讨论．
【自主解答】 当 l1，l2 的斜率不存在，即 l1：x＝0，l2：x＝5 时，满足条 件． 当 l1，l2 的斜率存在时，设 l1：y＝kx＋1，即 kx－y＋1＝0，
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原点到直线 x＋2y－5＝0 的距离是( A. 2 C．2
) B. 3 D. 5
【解析】 由点到直线的距离公式得 |0＋0－5| d＝ 2 2 ＝ 5. 1 ＋2
【答案】 D
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教材整理 2
两条平行直线间的距离
阅读教材 P108“练习”以下至 P109“练习”以上部分，完成下列问题．
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[ 基础· 初探] 教材整理 1 点到直线的距离
阅读教材 P106“练习”以下至 P107“例 5”以上部分，完成下列问题．
垂足 之间的距离，就是该点到 1．概念：过一点向直线作垂线，则该点与_____
高二数学必修2课件3.3.3点到直线的距离、3.3.4两条平行直线间的距离 (共19张PPT)
d
23 70 8 2 ( 7 )
2 2
14 14 53 53 53
y P
l1
Q
l2
x
O
导思： 任意两条平行线 l1 :Ax+By+C1=0和 l2 :Ax+By+C2=0的距离 是多少呢？
在直线 l1上任取一点P x0 , y0 ,过点P作直线 l2的垂线,垂足为Q Ax0 By0 C2 则点P到直线l2的距离为: PQ A2 B2
10 5
25
变式 3：已知 A（-1， 2）， B（5， 0）， C （0，10），求 S ABC
学做思二：两条平行直线直线距离公式 例2 求平行线2x-7y+8=0与2x-7y-6=0的距离。 y l1:2x-7y+8=0 两平行线间的 l2: 2x-7y-6=0 距离处处相等 x O P(3,0) 在l2上任取一点，例如P(3,0) P到l1的距离等于l1与l2的距离
小结：
（1）点到直线距离公式：
d
Ax0 By0 C A B
2 2
，
注意用该公式时应先将直线方程化为一般式； （2）两平行直线间的距离该公式时应先将两平行线的x,y的系数整理 为对应相等的形式。
思考题：用解析法证明：等腰三角形底边上任意 一点到两腰的距离之和等于一腰上的高。
2ab
2
a b
a b
2
)
因为|PE|+|PF|=h，所以原命题得证。
变 式 ： 已 知 点 P (x 0 , y 0 )， 和 直 线 l ： Ax+C=0 （ ）， 求P点到直线l的距离.
A0
C d | x0 | A
3.3.3~3.3.4 点到直线的距离~两条平行直线间的距离
时，利用 yx－ －yx00·－AB＝－1，
可以求点P′的坐标.
x0＋x y0＋y A· 2 ＋B· 2 ＋C＝0，
对称问题的解决，要充分利用对称的几何性质，同时还要注意运算的策
略和方法，所以说对称问题充分体现了直观想象和数学运算的数学核心
素养.
3 达标检测
PART THREE
1.已知原点O(0,0)，则点O到直线x＋y＋2＝0的距离等于
解 3y＝4可化为3y－4＝0， 则点 P(2，－3)到该直线的距离为|－30×2＋3－324|＝133. ③x＝3.
解 x＝3可化为x－3＝0， 则点 P(2，－3)到该直线的距离为|2－1 3|＝1.
(2)求过点M(－1,2)，且与点A(2,3)，B(－4,5)距离相等的直线l的方程.
反思
感悟 (1)应用点到直线的距离公式时应注意的三个问题 ①直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式. ②点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用. ③直线方程Ax＋By＋C＝0，当A＝0或B＝0时公式也成立，但由于直线是 特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解. (2)用待定系数法求直线方程时，首先考虑斜率不存在是否满足题意.
A.1
√B.2
C. 1 2
D.4
解析 由两条直线平行可得－34＝－m6 ，解得 m＝8.由两条平行线间的距离公式得 d＝ |－332＋－472|＝2.
(3)已知直线l1，l2是分别经过A(1,1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距 离最大时，直线l1的方程是__x_＋__2_y－__3_＝__0__.
解析 当两条平行直线与A，B两点的连线垂直时，两条平行直线间的距离最大. 因为A(1,1)，B(0，－1).
高中数学人教A版必修2第3章 3.3 3.3.3 点到直线的距离、两条平行直线间的距离
|3×－1＋C2| 6 则 ＝ ，即|C2－3|＝6. 10 10
解得 C2＝9 或 C2＝－3.
所以正方形另两边所在直线的方程为 3x－y＋9＝0 和 3x－y
－3＝0. 综上所述，正方形其他三边所在直线的方程分别为 x＋3y＋7＝0,3x－y＋9＝0,3x－y－3＝0.
17
14
高中数学人教版必修2课件
例 4：两平行直线 l1 、l2 分别过 A(1,0)，B(0,5)，若 l1 与 l2 的距离为 5，求这两条直线方程． 错因剖析：易忽略 l1、l2 是特殊直线的情况，导致漏解．
|5＋k| 正解： 设 l1 的方程为 y＝k(x－1)， 则点 B 到 l1 的距离为 2 k ＋1 5 ＝5，所以 k＝0 或 k＝12.
的思想使运算量减少．
13
高中数学人教版必修2课件
3－1.过点 P(－1,2)引一直线，使它与点 A(2,3)，B(－4,5)的 距离相等，求该直线的方程．
1 解：当直线与 AB 平行时，k＝kAB＝－3， 1 ∴直线的方程 y－2＝－3(x＋1)，即 x＋3y－5＝0.
当直线过 AB 的中点时，AB 的中点为(－1,4)， ∴直线的方程为 x＝－1. 故所求直线的方程为 x＋3y－5＝0 或 x＝－1.
由两平行直线间的距离公式，得
|C－6| 2＝ 2 2， 5 ＋－12
解得 C＝32 或 C＝－20.
故所求直线的方程为 5x－12y＋32＝0 或 5x－12y－20＝0.
8
高中数学人教版必修2课件
(1)求两条平行线之间的距离，可以在其中的
一条直线上取一点，求这点到另一条直线的距离，即把两平行
4
高中数学人教版必修2课件
(2)∵直线 y＝6 平行于 x 轴，
人教版高中数学必修2第三章《3.3直线的交点坐标与距离公式：3.3.4 两条平行直线间的距离》教学PPT
设 P(x0 , y0 ) 是直线 l2 上的任意一点，则 Ax0 By0 C2 0, 即 Ax0 By0 C2.
பைடு நூலகம்
d | Ax0 By0 C1 | | C1 C2 |
A2 B2
A2 B2
就是直线 l1 和 l2 间的距离．
注意：两条平行直线的方程必须化为一般式，即为
22 + 32 13 (2) l1: 3x+4y=10 ，l2: 3x+4y-5=0
解：d = | -5 - (-10) | = 1 32 + 42
能求有关平行线间的距离.
3.3.4 两条平行直线间的距离
会求两条平行线之间的距离.
两条平行直线间的距离
（1）两条平行直线间的距离 两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间公垂线 段的长. （2）探究： 能否将两条平行直线间的距离转化为点到直线的距离？
已知两条平行直线 l1 : Ax By C1 0,
l2 : Ax By C2 0,C1 C2 .
6 21
2. 7
所以l1，l2平行.
先求l1与x轴的交点A的坐标，易得A（4,0），
点A到直线l2的距离为
6 4 210 1
d
23 23
53,
62 212
3 53 159
所以l1，l2间的距离为
23 159
53.
求下列两条平行线的距离： (1) l1:2x+3y-8=0 ，l2:2x+3y+18=0 解：d = | 18 - (-8) | = 26 = 2 13
l1 : Ax By C1 0, l2 : Ax By C2 0 .
点到直线的距离两条平行线间的距离的教学设计
点到直线的距离两条平行线间的距离的教学设计(总5页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除3.3.3点到直线的距离3.3.4两条平行线间的距离的教学设计（3课时）主备教师：谢太正一、内容及其解析点到直线的距离和两条平行线间的距离是高中课本必修2第三章直线的最后一节，其主要内容是：点到直线的距离和平行线间的距离的公式的推导及应用。
在此之前，学生已经学习了两点间的距离公式、直线方程、两直线的位置关系。
点到直线的距离公式是解决理论和实际问题的重要工具，它使学生对点与直线的位置关系的认识从定性的认识上升到定量的认识。
点到直线的距离公式可用于研究曲线的性质如求两条平行线间的距离，求三角形的高，求圆心到直线的距离等等，借助它也可以求点的轨迹方程，如角平分线的方程，抛物线的方程等等。
二、目标及其解析目标：1、掌握点到直线的距离公式及其推导；2、会求两平行线间的距离。
解析：1、点),(000y x P 到直线0:=++C By Ax l 的距离2、两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间公垂线段的长度，如果我们知道两条平行线直线1l 和2l 的一般式方程为1l ：01=++C By Ax ，2l ：02=++C By Ax ，则1l 与2l 的距离为三、问题诊断与分析学生已掌握直线的方程和平面上两点间的距离公式,具备了探讨新问题的一定的基础知识,但大部分学生基础较差，很难理解，还需要补充大量的练习。
四、教学设计（一）复习准备：（1）直线方程的一般形式：Ax+By+C=0(A,B 不全为0)。
（2）平面上两点P 1 (x 1，y 1)，P 2 (x 2，y 2)间的距离公式22122121||()()PP x x y y =-+-（3）三角形的面积公式。
（二）探究：点到直线的距离公式问题一：已知P (x 0，y 0)，直线l ：Ax + By + C = 0，怎样用点的坐标和直线的方程直接求点P 到直线0:=++C By Ax l 的距离呢?2200B A cBy Ax d +++=2221||B A C C d +-=过程：方案一：设点P 到直线l 的垂线段为PQ ，垂足为Q ，由PQ ⊥l 可知，直线PQ 的斜率为B A (A ≠0)，根据点斜式写出直线PQ 的方程，并由l 与PQ 的方程求出点Q 的坐标：由此根据两点距离公式求出|PQ |，得到点P 到直线l 的距离为d .方案二：设A ≠0，B ≠0，这时l 与x 轴、y轴都相交，过点P 作x 轴的平行线，交l 于点()01,y x R ；作y 轴的平行线，交l 于点()20,y x S ，由⎩⎨⎧=++=++002001C By Ax C By Ax 得0012,By C Ax C x y A B ----==所以0001||||||Ax By C PR x x A ++=-= 0002||||||Ax By C PS y y B++=-= 22||RS PR PS =+=22||A B AB +00||Ax By C ⨯++ 由三角形面积公式可知d ·|RS |=|PR |·|PS |.所以0022d A B =+可证明，当A = 0时仍适用.追问：在应用此公式时对直线方程有什么要求？说明：必须是方程的一般式。
高中数学人教A版必修2第三章3.3.3点到直线的距离3.3.4两条平行直线间的距离课件
对称问题：
1、点关于点的对称； 2、点关于直线的对称点； 3、直线关于点的对称直线； 4、直线关于直线的对称直线.
点P0 x0，y0 关于直线l：Ax By C 0
的对称点P1 x1，y1 的坐标公式：
y1 法一： x1
y0 x0
A B
1
.
A
x1
x0 2
B
y1
2
y0
C
0
练习:
O
x 设P(x0 , y0 )在直线L1上
d | Ax0 A2By0B则 2 C点 2 | P又到直A线x0L2的 By距 0 离C1
注意: 运用此公式时直线方程要化成一般式,并 且X、Y项的系数要对应相等.
l1 : 2x 7y 8 0
l2 : 6x 21y 1 0
对称问题：
1、点关于点的对称； 2、点关于直线的对称点； 3、直线关于点的对称直线； 4、直线关于直线的对称直线.
C B
o
P (x0,y0)
Q(x0, CB) x
y ( CA,y0)
Q
P(x0,y0)
o
x
C
PQ
y0
-
(-
) B
x=
C A
C PQ x0 - (- A )
思路二: 构造直角三角形求其高.
y
R Q
O
P0(x0,y0)
S
x
L:Ax+By+C=0
推导思路2 等积法
y
S
x0,
Ax0 C B
Q
y0 O
d P0 (x0,y0) x0
R
By0 A
C
,
y0
x
思路二: 构造直角三角形求其高.
人教版高中数学必修二课件 3.3.3-3.3.4 点到直线的距离 两条平行直线的距离2
2.特殊情况
y
y y1 y1
x x1
|y1-y0|
|x1-x0|
y0 P0 (x0,y0)
O
x0
x1
x
7
例2 求平行线2x-7y+8=0与2x-7y-6=0的距离。
y
O
l1:2x-7y+8=0
l2: P(3,0)
2x-7y-6=0 x
两平行线间的 距离处处相等
在l2上任取一点，例如P(3,0)
1
点到直线距离公式
y y0
O
|x0|
P0 (x0,y0)
|y0|
x0
x
2
点到直线距离公式
y|y1-y0|来自y y1y1
|x1-x0|
y0 O
P0 (x0,y0)
x x1
x0
x1
x
3
点到直线距离公式
y
S
x0,
Ax0 B
C
Q l : Ax By C 0
d
y0
例1 求点P(-1,2)到直线①2x+y-10=0； ②3x=2的距离。
解： ①根据点到直线的距离公式，得
y
②如图，直线3x=2平行于y轴，
P(-1,2)
O
x l:3x=2
用公式验证，结果怎样?？
6
小结
• 1.点到直线距离公式
d | Ax0 By0 C | A2 B2
注意： 化为一般式．
P到l1的距离等于l1与l2的距离
直线到直线的距离转化为点到直线的距离
8
y P
l1
任意两条平行直线都 可以写成如下形式：
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B
知识探究（二）：两平行直线的距离
分析:你有什么办法推导出两平行直线l1： Ax+By+C1=0与l2：Ax+By+C2=0（C1≠C2）
之间的距离d的计算公式吗？
y l1
l2
d | C1 C2 | A2 B2
பைடு நூலகம்
oP
x
理论迁移
例1.求点P(-1, 2)到直线 l : 3x 2
的距离.
例2.已知点A(1, 3), B(3, 1), C(-1, 0), 求△ABC的面积.
3.3.3 点到直线的距离-3.3.4 两条平行直线间的距离
问题提出
1.直角坐标平面上两点间的距离公 式是什么？它有哪些变形？
2.构成平面图形的基本元素为点和 直线，就距离而言有哪几种基本类型？
3.已知平面上三点A(-2，1)，B(2， -2)，C(8，6)，若求△ABC的面积需要解 决什么问题？
4.我们已经掌握了点与点之间的距 离公式，如何求点到直线的距离、两条 平行直线间的距离便成为新的课题.
知识探究（一）：点到直线的距离
回答:若点P在直线l上，则点P到直线l的 距离为多少？若直线l平行于坐标轴，则 点P到直线l的距离如何计算？
知识探究（一）：点到直线的距离
分析:你能设计一个方案求点P(x0，y0) 到直线l：Ax+By+C=0的距离吗？
yA
h
C
o
B
x
例3.已知直线 l1 : 2x 7 y 8 0 和
与 l2 : 6x 21y 1 0,l1与l2是否平行？若平 行,求l1与l2的距离.
例4.已知直线l过点 A(0, 10) ，且原点 O到直线l的距离为 5，求直线l的方程.
例5.求点P（1,1)到直线y=k(x+3)-2距离的取值范 围.
变式：直线l：(k 2)x (1 k) y 4k 5 0
yB
Q
P o
A lx
知识探究（一）：点到直线的距离
根据上述分析，点P(x0，y0)到直线l：Ax +By +C=0的距离为：
d | Ax0 By0 C | A2 B2
这是点到直线的距离公式.当直线l平行 于坐标轴时，公式是否成立？
知识探究（二）：两平行直线的距离
思考:你有什么办法求两条平行直线之 间的距离？