16.2.2分母有理化及最简二次根式
16.2.2 二次根式的除法-人教版数学八年级下册分层作业(含答案)
人教版初中数学八年级下册16.2.2 二次根式的除法同步练习夯实基础篇一、单选题：1．下列二次根式中，最简二次根式是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】满足被开方数不含有分母，被开方数不含有开得尽方的因数或因式两个条件的二次根式是最简二次根式，根据定义逐一分析即可．【详解】解：是最简二次根式，故A符合题意；，不是最简二次根式，故B不符合题意；，不是最简二次根式，故C不符合题意；，不是最简二次根式，故D不符合题意；故选A【点睛】本题考查的是最简二次根式的识别，掌握“最简二次根式的定义”是解本题的关键．2．下列计算正确的是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据分母有理化的方法可判断A，根据二次根式的化简可判断B，D，根据二次根式的乘方运算可判断C，从而可得答案．【详解】解：选项，原式，故该选项符合题意；选项，原式，故该选项不符合题意；选项，原式，故该选项不符合题意；选项，原式，故该选项不符合题意；故选：．【点睛】本题考查的是二次根式的化简，二次根式的乘方运算，分母有理化，掌握“二次根式的加减乘除乘方运算的运算法则”是解本题的关键．3．下列各式的计算中，结果为2的是（）A．÷B．×C．÷D．×【答案】C【解析】略4．能使等式成立的的取值范围是（）A．且B．C．D．【答案】C【分析】根据分式有意义和二次根式有意义的条件，即可求得的取值范围．【详解】解得故选C【点睛】本题考查了分式有意义和二次根式有意义的条件，二次根式的除法，掌握以上知识是解题的关键．5．如果，，那么下列各式：①，②，③，④．其中正确的个数（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【分析】先根据，得到a＜0，然后利用二次根式的性质和二次根式的乘除运算法则逐个作出判断即可．【详解】解：∵ab＞0，，∴a＜0．∴，①正确；∵，a＜0，∴，无意义，②错误；，③正确；，④正确；正确的有3个，故选C．【点睛】本题主要考查了二次根式的性质和二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．6．已知的面积为，底边为，则底边上的高为A．B．C．D．【答案】B【分析】根据三角形的面积公式列出运算式子，再根据二次根式的除法法则即可得．【详解】解：的面积为，底边为，底边上的高为，故选：B．【点睛】本题考查了二次根式除法的应用，熟练掌握二次根式除法的运算法则是解题关键．7．已知最简二次根式与的被开方数相同，则的值为（）A．1B．2C．3D．4【答案】D【分析】根据最简二次根式的被开方数相同知开方次数相同，被开方数相同，即可列出二元一次方程组，再解出即可．【详解】根据题意可知，解得：，∴．故选D．【点睛】此题考查最简二次根式的定义，解二元一次方程组，正确理解题意列出方程组是解题的关键．二、填空题：8．在二次根式；；；；；；中是最简二次根式的是______．【答案】，，【分析】根据最简二次根式的定义：如果一个二次根式符合下列两个条件：1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式，那么，这个根式叫做最简二次根式；判断即可．【详解】解：，不是最简二次根式；，是最简二次根式；，不是最简二次根式；，是最简二次根式；，是最简二次根式；，不是最简二次根式；，不是最简二次根式；∴是最简二次根式的有：，，，故答案为：，，．【点睛】本题考查了最简二次根式，熟知最简二次根式的定义是解本题的关键．9．计算；（1）__________________；（2）_________；（3）_________；（4）=__________，（5）__________；（6）____________；（7）__________；（8）__________．【答案】（1）；（2）；（3）；（4），（5），（6）；（7），（8）【分析】根据二次根式的除法法则进行计算即可，二次根式的除法法则是：（），反过来，可得；（）．【详解】（1），故答案为：；（2），故答案为：；（3），故答案为：；（4）=，故答案为：（5），故答案为：；（6），故答案为：；（7），故答案为：；（8），故答案为：．【点睛】本题考查了二次根式的除法运算，掌握二次根数的除法法则是解题的关键．10．计算的结果是______．【答案】##【分析】把被开方数相除，根指数不变，根据法则进行运算即可．【详解】解：故答案为：【点睛】本题考查的是二次根式的除法运算，掌握“二次根式的除法运算法则”是解本题的关键．11．计算：______．【答案】【分析】根据二次根式的除法运算法则进行计算即可．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题考查了二次根式的除法以及二次根式的性质，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键．12．计算=_____．【答案】【分析】先由二次根式有意义的条件得到：＞且＞再利用二次根式的除法运算法则进行运算，再化简即可得到答案.【详解】解：由题意得：＞＞且＞故答案为：【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，二次根式的除法运算，掌握二次根式的除法运算法则是解题的关键.13．计算：＝___．【答案】【分析】根据二次根式的乘除运算计算即可【详解】解：．【点睛】本题主要考查了二次根式的乘除运算，准确计算是解题的关键．14．若，则代数式的值为_____________．【答案】【分析】先计算括号内分式的减法运算，再把除法转化为乘法运算，约分后可得结果，再把代入要求值的代数式，利用二次根式的除法运算可得答案．【详解】解：当时，原式【点睛】本题考查的是分式的化简求值，二次根式的除法运算，掌握“二次根式的除法运算与分式的混合运算”是解本题的关键．三、解答题：15．化简：(1)．(2)．(3)．(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）根据积的算术平方根的性质，即进行化简即可；（2）根据积的算术平方根的性质，即进行化简即可；（3）根据商的算术平方根的性质，即进行化简即可；（4）根据商的算术平方根的性质，即进行化简即可．【详解】（1）原式（2）原式（3）原式（4）原式【点睛】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式积和商的算术平方根的性质是解题的关键．16．计算：(1)；(2)；(3)（，）．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据二次根式的除法计算法则求解即可；（2）根据二次根式的除法计算法则求解即可；（3）根据二次根式的除法计算法则求解即可．【详解】（1）解：原式；（2）解：原式；（3）解：原式．【点睛】本题主要考查了二次根式的除法，熟知相关计算法则是解题的关键．17．计算：（1）；（2）．【答案】（1）（2）【分析】根据二次根式的性质和二次根式的乘除运算法则求解即可．【详解】（1）解：原式．（2）解：．【点睛】本题考查二次根式的性质和二次根式的乘除，熟练掌握二次根式的性质和二次根式的乘除，正确化简和求解是解答的关键．18．先化简，再求值：，其中．【答案】，【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，把x的值代入计算即可．【详解】解：当时，原式．【点睛】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．能力提升篇一、单选题：1．在如图的方格中，若要使横，竖，斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，则空格中代表的实数为（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据第一行和第三行列式进行计算即可得．【详解】解：由题意得：，故选：B．【点睛】本题考查了二次根式的乘法与除法的应用，理解题意，正确列出运算式子是解题关键．2．化简二次根式得（）A．B．C．D．【答案】A【详解】解析：根据二次根式有意义，即，当时，，即，∴．答案：A易错：B错因：忽略根式有无意义的条件，没有考虑b的取值范围，误以为．易错警示：化简二次根式，要注意以下两点：①利用积的算术平方根以及商的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；②二次根式有意义的前提是被开方数大于等于0．3．已知，且a>b>0，则的值为()A．B．±C．2D．±2【答案】A【分析】已知a2+b2=6ab，变形可得（a+b）2=8ab，（a-b）2=4ab，可以得出（a+b）和（a-b）的值，即可得出答案．【详解】解：∵a2+b2=6ab，∴（a+b）2=8ab，（a-b）2=4ab，∵a＞b＞0，∴a+b=，a-b=，∴=，故选A．【点睛】本题考查了分式的化简求值问题，完全平方公式的变形求值，二次根式的除法，观察式子可以得出应该运用完全平方式来求解，要注意a、b的大小关系以及本身的正负关系．二、填空题：4．把的根号外因式移到根号内得____________．【答案】【分析】根据二次根式被开方数是非负数且分式分母不为零，将根号外的因式转化成正数形式，然后进行计算，化简求值即可．【详解】解：，；故答案为：【点睛】本题考查二次根式的性质和二次根式计算，灵活运用二次根式的性质是解题关键．5．对于任意不相等的两个数，，定义一种运算*如下：．如，那么______．【答案】【分析】根据定义的新运算的方式，把相应的数字代入运算即可；【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题主要考查实数的运算，二次根式的化简，解答的关键是理解清楚题意，对实数的运算的相应的法则的掌握．6．已知等式成立，化简|x﹣6|+的结果为_____．【答案】4【分析】直接利用二次根式的除法运算法则得出x的取值范围，进而化简得出答案．【详解】解：∵等式成立，∴，解得：3＜x≤5，∴|x﹣6|+＝6﹣x+x﹣2＝4．故答案为：4．【点睛】此题主要考查了二次根式的除法运算以及非负数的性质，正确得出x的取值范围是解题关键．三、解答题：7．已知和是相等的最简二次根式．求，的值；求的值．【答案】的值是，的值是；（2）．【分析】（1）根据题意，它们的被开方数相同，列出方程组求出a，b的值；（2）根据算术平方根的概念解答即可．【详解】∵和是相等的最简二次根式，∴．解得，，∴的值是，的值是；（2）．【点睛】考查最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义列出关于a，b的方程组是解题的关键.。
人教版-数学-八年级下册16.2.2 二次根式的乘法(2) 教学反思
人教版数学八年级下册- 打印版16.2.2 教学反思本节课的主要内容是二次根式的除法运算、二次根式的化简、最简二次根式的概念和分母有理化的规律。
鉴于学生的特点及教材的特点，本节课主要采用“互动式”的课堂教学模式及“谈话式”的教学方法，启发、诱导、实例探究、讲练结合，重视知识的发生和形成过程，讲评点拨，发展学生的观察力、想象力和思维力，以此实现生生互动、师生互动、学生与教材之间的互动，使学生成为学习的主体。
（一）在师生互动方面，教师注重问题设计，注重引导、点拨及提高性总结。
使学生学中有思、思中有获。
让学生先进行思考，解答。
然后同学说出怎样进行二次根式的混合运算。
第一步让学生通过计算发现规律；第二步是让学生对发现的规律进行验证。
第一步中的被开方数都是完全平方数，有助于学生发现规律。
第二步中的被开方数不是完全平方数，要用计算器进行验算，以验证规律是否正确。
这样，二次根式的除法法则，实际上是根据被开方数的不同情况而得到的规律，引导学生自己去发现、探索、理解，较好地感悟所学的内容，帮助学生在数学语言能力、互助学习和全体学习能力的提高。
对最简二次根式的理解也是渗透在训练上，提醒学生结果中不能含有能开得尽方的因数或因式，让学生明白将一个二次根式化简实际上就是将它化成最简二次根式的形式。
对于去掉分母中的根号的方法就是分母有理化，找有理化因式要让学生弄清楚平方差公式的运用。
（二）在学生与学生的互动上，教师注重活动设计，使学生学中有乐，乐中悟道。
教师设计一组题目，让学生以竞赛的形式解答，然后以记成绩的方法让其它同学说出优点（简便方法及灵活之处）与错误。
由于本节课主要以计算为主，对运算法则及规律性的基础知识，学生很容易掌握而且从意识上认为本节课太简单，不会很感兴趣，所以为了提高学生的学习兴趣及更好的抓好基础，提高学生的运算能力，如此这般设计。
16.2 二次根式的乘除法分母有理化
例将下列各式分母有理 化:
1) 2 32 ;
(a b)( a b ) 3) A : 原式 ( a b )( a b )
(a b)( a b ) 2 2 ( a ) ( b ) a b B : 原式 a b
解:
3 2 2 2) ; 3 2 2
a b 3) . a b
1 例题3 已知 x ， 3 2 2
x 6 x 2 求 值. x3 先将 x 分母
2
有理化. 例题4 解不等式:
2x 3 3x.
复习 计算
1 1 1 5 12 9 48; 3 2
2
3
2 m n;
ab a b b.
2
复习
1 x 2 6x 2 1.已知x ,求 的值； x3 3 2 2 1 x x 1 1 2.已知x ，求 2 2 的值； 2 1 x x x 2x 1 x 1 1 - 2a a 2 a 2 2a 1 3.已知a ，求 的值. 2 a 1 a a 52 1 1 4.已知a ,b ，求a 2 b 2的值. 32 32
1 ; 2 4 3 3 2
分子和分母 都乘以分母的有 理化因式.
3
mn m n ; m n
例题2 计算:
10 4 ; 1 5 5 1
先将每一项 分母有理化.
1 1 . 2 2 2 x 1 x x 1 x
例题2 计算:
1
3
2 12;
2 a a b;
a b 2a 2b. a b 0
2 2
例题3 如图,在面积为 2 a 的正方 形 ABCD 中,截得直角三角形 ABE 的面积为 3 a ,求 BE的长. 3 解 因为正方形 ABCD A 面积为 2a, 所以 AB 2a.
《16.2二次根式的运算》作业设计方案-初中数学沪科版12八年级下册
《二次根式的运算》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本节数学课程作业设计的主要目标是使学生能够熟练掌握二次根式的概念，理解其运算的基本法则，能够进行简单的二次根式加减与乘除运算，并能够运用所学知识解决实际问题。
通过本次作业，提高学生的数学运算能力和问题解决能力。
二、作业内容本节作业内容主要围绕二次根式的运算展开，具体包括以下几个部分：1. 概念理解：要求学生掌握二次根式的定义、性质及基本运算法则。
2. 基础练习：通过大量的基础练习题，使学生熟练掌握二次根式的加减法运算。
3. 进阶练习：通过乘除法运算的练习题，加深学生对二次根式运算的理解。
4. 实际应用：设计一些实际问题，让学生运用所学知识解决，如利用二次根式计算物体的体积等。
三、作业要求1. 概念理解部分：要求学生认真阅读教材，理解二次根式的概念及性质，并能够准确表述。
2. 基础练习部分：要求学生独立完成练习题，注意运算的准确性和速度，同时注意运算的规范性。
3. 进阶练习部分：在完成基础练习的基础上，进行乘除法运算的练习，注意运算法则的正确应用。
4. 实际应用部分：结合实际生活，设计一些实际问题，让学生运用所学知识解决，培养学生的问题解决能力。
5. 作业中如遇到问题，可查阅教材或向老师请教，但不得抄袭他人作业。
四、作业评价本节作业的评价主要从以下几个方面进行：1. 概念理解的准确性。
2. 基础练习的完成情况和正确性。
3. 进阶练习的完成情况和运算法则的正确应用。
4. 实际应用的创新性和问题的解决能力。
五、作业反馈1. 教师批改作业时，需认真记录学生的错误及优点，进行针对性的指导。
2. 对于共性问题，可在课堂上进行讲解，帮助学生共同进步。
3. 对于个别学生的问题，可通过个别辅导或课堂提问的方式，帮助学生解决疑惑。
4. 定期总结学生的作业情况，及时调整教学计划，提高教学质量。
通过以上述设计，不仅能够让学生在掌握二次根式运算知识的同时，还能提升他们的实际运用能力。
八年级数学下第16章二次根式16.2二次根式的运算16.2.2二次根式的加减目标一二次根式的除法
诊断：
2×3与
1 互为倒数，在计算时容易感觉 2×3
后两个式子方便计算，就先计算后面的乘法运算，从而
得出错误答案 2 6.
正解：原式＝2
2×3 ×
1 2×3 ×
1＝ 2×3
2＝ 2×3
2 2×23×3＝
23×3＝
6 3.
9
小东在学习了
a＝ b
ab后，认为
ab＝
a也成立，因 b
此他认为一个化简过程：
3－1）＋（
5＋
5－ 3 3）（ 5－
3）＋
（
7＋
7－ 5 5）（ 7－
5）＋…＋
（
2n＋1＋
2n＋1－ 2n－1 2n－1）（ 2n＋1－
2n－1）＝
32－1＋
5－ 2
3＋
7－ 2
5＋…＋
2n＋1－ 2
2n－1＝
2n＋1－1 2.
【点拨】 分母中有二次根式时，往往需要将分母有理化，
分母有理化的实质是利用二次根式的平方和平方差公 式化去根号．
3 【教材 P8 例 2 改编】计算 8÷ A．2 B．4 C． 4 D．6
12的结果是( B )
4 计算 6a÷ 3a的结果是( A )
A． 2
B．
2 2
C． 2a
D．
2a 2
5 小明的作业本上有以下四题：① 16a4＝4a2；
② 5 a· 10a＝5 2a；③a 1a＝ ④ 8a÷ 2a＝4.做错的题是( D )
3 (1)2
223÷19
415；
解：原式＝32÷19 83÷415＝227 120＝227×2 30＝
27 30；
(2)
32÷
二次根式知识点总结及其应用
二次根式知识点及其应用一.二次根式的概念：（1）形如 的式子叫做二次根式. （即一个 的算术平方根叫做二次根式（2）二次根式有意义的条件:二. 二次根式化简:1.（1）最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式。
①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式； ③被开方数的每一个因数的指数都小于根指数2.（2）用来判断一个二次根式是否是最简二次根式 记忆：最简二次根式简记：最简根式三条件，号内不把字母含，幂指数根指数要互质，幂指数小于根指数。
（3）二次根式化简的一般步骤：①把带分数或小数化成假分数②把开方数分解成质因数或分解因式③把根号内能开尽的数移到根号外④化去根号内的分母，或者化去分母中的根号⑤约分 2.几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式。
3.分母有理化（1）有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果他们的积不含有二次根式，那么这两个代数式叫做互为有理化因式。
（2）分母有理化：在分母含有根号的式子中，把分母中的根号化去。
分母有理化方法：0()a ≥0①分子与分母同乘以分母的有理化因式 例如：②分子或分母分解因式，约去分母中含有二次根式的因式 例如：4.把因式移到根号内、外的方法：（1）①当根号外的数是一个负数时，把负号留在根号外，然后把这个数平方后移到根号内；②当根号外数是一个正数时，把这个数平方后移到根号内。
如： （2）①当根号内的数是一个负数时，开方移到根号外后填上负号；②当根号内数是一个正数时，直接开方移到根号外。
三.二次根式的性质：（1） 非负性问：（2）与（3）的异同点？0()a ≥0 2(2)(0)a = ≥ =(0,0)a b = ≥ ≥(00)0,0,)a b b a b a b == ≥>==≥≥≠ ,0,0)0,0)x y x y ==>>==>>(0);(0)a a ><((0)a a = >= <四.二次根式的运算： 二次根式乘法法则二次根式除法法则二次根式的加减： (一化，二找，三合并 ) （1）将每个二次根式化为最简二次根式；注意：化简二次根式的方法：1.如果被开方数是整数或整式，先将其分解因数或分解因式，然后把开的尽方的因数或因式开出来。
人教版八年级数学下册课件16.2 第2课时 二次根式的除法
x 0 ;
(5)
0.09 169 . 0.64 196
解： (3) 2 ＝
7 9
25 25 5 ＝ ＝ . 9 3 9
(4)
81 25 x 2
9
2 2
5x
=
ห้องสมุดไป่ตู้9 . 5x
先商的算术平方根的性 质，再运用积的平方根 性质
0.09 169 (5) 0.64 196
0.32 132 0.82 142
练一练 在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是最简二次根式的进 行化简．
1 5 ; (3) ; 3 2 解：只有(3)是最简二次根式； (1) 45; (2) (4) 0.5; 4 (5) 1 . 5
(1) 45 3 5; 1 1 1 3 3 (2) ; 3 3 3 3 3 1 1 1 2 2 (4) 0.5 ; 2 2 2 2 2 4 9 9 9 5 3 5 (5) 1 . 5 5 5 5 5 5
0.3 13 39 . 0.8 14 112
练一练 1.能使等式 A.x≠2
x x2 x x2
成立的x的取值范围是（ C ） D.x≥2
B.x≥0
C.x＞2
2.化简：
5 ； 64 5 解： (1) 64 (1)
7 (2) 1 25
(2) 1
5 64 5 . 8
7 ; 25
（ 3 ）
归纳
8 2 2 2 2a 2a a
2 a 2 a . a a a
a 可使分母不含根号.
分母形如 n a 的式子，分子、分母同乘以
归纳总结
满足如下两个特点： （1）被开方数不含分母；
初高衔接数学教案1：最简二次根式及分母有理化
（一）教材分析《最简二次根式及分母有理化》是北师大版八年级数学上册第二章《实数》部分的内容之一。
教材中没有直接给出最简二次根式及分母有理化的概念，这样的编排对学生学习这部分内容有一定困难。
《最简二次根式及分母有理化》是二次根式运算的重要组成部分，它在二次根式的运算中起着承上启下的作用，就此内容我们作了深入细致的研究。
在初二的教学中可以将它放在《二次根式2a的化简》及《二次根式的乘除法》之后，为本课的学习提供了方法技能基础，同时它又是后面学习较复杂二次根式的混合运算的根本。
从初中代数的学习来看，该部分是初中代数中进行数式运算的一个重要课题，也是提高学生运算能力的好时机。
这里培养起来的实数的运算能力不仅会影响学生代数部分的后继学习，同时在几何的学习中起着举足轻重的作用。
（二）学情分析知识方面：学生会分解质因数，能对2a、2)(a进行化简，已经掌握的《二次根式的乘除法》及二次根式的性质都为本节课的学习作好了充分而必要的知识铺垫。
就知识掌握情况而言，仍有部分学生对公式感觉较抽象，运用起来还不太熟练。
能力方面：学习能力强一点的同学已经拥有一定的知识迁移能力，归纳能力和较强的合作交流能力。
心理方面：初二的学生经过一年的培养，能够有序地进行小组合作学习。
初二的学生好胜心较强，有较强的自主意识，能对知识是非进行分辨。
（三）教学目标知识与技能目标：1.能判断所给的二次根式是否是最简二次根式；2.能把所给的二次根式化为最简二次根式；3.能进行分母有理化。
过程与方法目标：让学生经历二次根式化简的过程，体验数学的简洁美。
通过一题多解使学生体会数学中的最优、最简思想，感受数学计算的魅力。
情感态度与价值观目标：通过本节课的学习让学生体验学习的乐趣，增强学生对学习的信心。
（四） 教学重、难点教学重点：化二次根式为最简二次根式及分母有理化。
理由是：能把所给的二次根式化为最简二次根式及分母有理化既是学生前面所学过的二次根式的乘除运算的具体应用，又是后面学习二次根式的加减之根本；在实数的计算中起着至关重要的作用。
16_2_2二次根式的除法同步作业 解析版【2023春人教版八下数学优质备课】
16.2 二次根式的乘除第 2 课时 二次根式的除法参考答案与试题解析夯基训练知识点1二次根式的除法法则1. 计算√5×√15√3的结果是_____________.1.【答案】52.√a−3√a−1=√a−3a−1成的条件是( )A.a ≠1B.a ≥1且a ≠3C.a>1D.a ≥32.【答案】D解:由√a √a =√a b (a ≥0,b>0),得{a −3≥0a −1≥0所以a ≥3.故选D. 3.计算√34÷√16的结果是( )A.√22B.√24C.3√22D.√32 3.【答案】C解：掌握二次根式的除法，直接计算即可.4.下列计算结果正确的是( )A.2+√3=2√3B.√8÷√2=2C.(-2a 2)3=-6a 6D.(a+1)2=a 2+14.【答案】B 知识点2商的算术平方根的性质 5若√a 2−a =√a √2−a ，则a 的取值范围是( )A ．a ＜2B ．a ≤2C ．0≤a ＜2D ．a ≥05解析：根据题意得⎩⎨⎧a ≥0，2－a ＞0，解得0≤a ＜2.故选C. 方法总结：运用商的算术平方根的性质：√b a =√b √a a ＞0，b ≥0)，必须注意被开方数是非负数且分母不等于零这一条件．6化简：(1)√179； (2)√3c 34a 4b 2(a ＞0，b ＞0，c ＞0)．6解析：运用商的算术平方根的性质，用分子的算术平方根除以分母的算术平方根．解：(1)179＝169＝169＝43； (2)3c 34a 4b 2＝3c 34a 4b 2＝c 2a 2b3c . 方法总结：被开方数中的带分数要化为假分数，被开方数中的分母要化去，即被开方数不含分母，从而化为最简二次根式7.下列各式计算正确的是( ) A.√32=√32 B.√82=√3 C.√34=√32 D.√a 9b =√a 3b 7.【答案】C 8.若√1−a a 2=√1−a a ,则a 的取值范围是( )A.a ≤0B.a<0C.a>0D.0<a ≤18.【答案】D解:由题意得1-a ≥0且a>0,解得0<a ≤1.此题容易忽略1-a ≥0这个条件.9.下列等式不一定成立的是( )A.√a b =√a√b (b ≠0) B.a 3·a −5=1a 2(a ≠0) C.a 2−4b 2=(a+2b)(a-2b)D.(-2a 3)2=4a 69.【答案】A10.下列计算正确的是( )A.√12=2√3B.√32=√32 C.√−x 3=x D.√x 2=x10.【答案】A知识点3 最简二次根式11在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？并说明理由． (1)45；(2)13；(3)52；(4)0.5；(5)145. 解析：根据满足最简二次根式的两个条件判断即可． 解：(1)45＝35，被开方数含有开得尽方的因数，因此不是最简二次根式；(2)13＝33，被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式； (3)52，被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，因此它是最简二次根式；(4)0.5＝12＝22，被开方数含有小数，因此不是最简二次根式； (5)145＝95＝355，被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式． 方法总结：解决此题的关键是掌握最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：(1)被开方数不含分母； (2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式．题型总结题型1 利用二次根式的乘除法法则计算 12计算：(1)9√45÷3√212×32√223; (2)a 2∙√ab ∙b √b a ÷√9b 2a解析：先把系数进行乘除运算，再根据二次根式的乘除法则运算．解：(1)原式＝9×13×32×45×25×83＝183； (2)原式＝a 2·b ·ab ·b a ·a 9b 2＝a 2b 3a . 方法总结：二次根式乘除混合运算的方法与整式乘除混合运算的方法相同，在运算时要注意运算符号和运算顺序，若被开方数是带分数，要先将其化为假分数． 题型2利用商的算术平方根的性质求代数式的值13.已知√x−69−x =√x−6√9−x ,且x 为奇数,求(1+x)·√x 2−5x+4x 2−1的值. 13.解:∵√x−69−x =√x−6√9−x , ∴{x −6≥09−x ≥0∴6≤x<9. 又∵x 是奇数,∴x=7.∴(1+x)√x 2-5x+4x 2-1=(1+x)√(x -1)(x -4)(x+1)(x -1)=(1+x)√(x -4)(x+1)=√(x +1)(x −4).当x=7时,原式=√(7+1)(7−4)=2√6.题型3 利用商的算术平方根的性质确定字母的取值范围14若√a 2−a =√a √2−a ，则a 的取值范围是( )A ．a ＜2B ．a ≤2C ．0≤a ＜2D ．a ≥0解析：根据题意得⎩⎨⎧a ≥0，2－a ＞0，解得0≤a ＜2.故选C. 方法总结：运用商的算术平方根的性质：b a ＝b a(a ＞0，b ≥0)，必须注意被开方数是非负数且分母不等于零这一条件．题型4 利用商的算术平方根的性质化简二次根式15化简：(1)√179； (2)√3c 34a 4b 2(a ＞0，b ＞0，c ＞0)．解析：运用商的算术平方根的性质，用分子的算术平方根除以分母的算术平方根．解：(1)179＝169＝169＝43； (2)3c 34a 4b 2＝3c 34a 4b 2＝c 2a 2b3c . 方法总结：被开方数中的带分数要化为假分数，被开方数中的分母要化去，即被开方数不含分母，从而化为最简二次根式拓展培优拓展角度1利用二次根式的性质活用代数式表示数16.老师在讲解“二次根式及其性质”时,在黑板上写下了下面的一题作为练习:已知√7=a,√70=b,用含有a,b 的代数式表示√4.9.甲的解法:√4.9=√4910=√49×1010×10=√7×√7010=ab 10; 乙的解法:√4.9=√49×0.1=7√0.1, 因为√0.1=√110=√770=√7√70=a b , 所以√4.9=7√0.1=7·a b =7a b .请你解答下面的问题:(1)甲、乙两人的解法都正确吗?(2)请你再给出一种不同于上面两人的解法.16.解:(1)都正确.(2)∵√10=√707=√70√7=b a , ∴√4.9=√4910=√49×1010×10=710√10=710·b a =7b 10a .拓展角度2 利用二次根式的乘除法法则进行分母有理化(类比思想)19.化简√3+√2,甲、乙两位同学的解法如下:甲:√3+√2=√3-√2(√3+√2)(√3-√2)=√3−√2; 乙:√3+√2=√3+√2=√3+√2)(√3-√2)√3+√2=√3−√2.以上两种化简的步骤叫做分母有理化.仿照上述两种方法化简:√7−√5.19.解:方法1:√7−√5=√7+√5)(√7−√5)(√7+√5)=2(√7+√5)2=√7+√5. 方法2:√7−√5=√7−√5=√7+√5)(√7−√5)√7−√5=√7+√5.拓展角度3二次根式除法的综合运用20座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其周期计算公式为T ＝2π√l g ，其中T 表示周期(单位：秒)，l 表示摆长(单位：米)，g ＝9.8米/秒2，假若一台座钟摆长为0.5米，它每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在1分钟内，该座钟大约发出了多少次滴答声(π≈3.14)?解析：由给出的公式代入数据计算即可．要先求出这个钟摆的周期，然后利用时间除周期得到次数．解：∵T ＝2π√0.59.8≈1.42，60T ＝601.42≈42(次)，∴在1分钟内，该座钟大约发出了42次滴答声．方法总结：解决本题的关键是正确运用公式．用二次根式的除法进行运算，解这类问题时要注意代入数据的单位是否统一．。
分母有理化及最简二次根式
综合练习题
题目
化简二次根式$frac{sqrt{3} + sqrt{6}}{sqrt{3} - sqrt{6}}$。
解析
首先将分子分母同乘以$sqrt{3} + sqrt{6}$，得到$frac{(sqrt{3} + sqrt{6})(sqrt{3} + sqrt{6})}{(sqrt{3} - sqrt{6})(sqrt{3} + sqrt{6})} = frac{3 + 2sqrt{18} + 6}{3 - 6} = frac{-9sqrt{2}}{3} = -sqrt{2}$。
04
练习题与解析
基础练习题
题目
化简二次根式$frac{1}{sqrt{2}}$。
题目
化简二次根式$frac{sqrt{3}}{sqrt{6}}$。
解析
首先将分母有理化，即分子分母同乘以$sqrt{2}$， 得到$frac{1}{sqrt{2}} times frac{sqrt{2}}{sqrt{2}} = frac{sqrt{2}}{2}$。
根式。
判断被开方数的因式是否为整式
03
检查被开方数的因式是否为整式，若不是整式则不是最简二次
根式。
化简技巧
提取公因式法
将根号内的多项式进行因式分解，提取公因式，简化根式。
分母有理化法
通过乘以共轭式的方法，将分母化为有理数，从而简化根式。
分子有理化法
在分子或分母有理化时，有时需要采用分子有理化的方法，即将分 子或分母同时乘以共轭因子，以简化根式。
题目
化简二次根式$frac{sqrt{5}}{sqrt{5} + 2sqrt{5}}$。
VS
16.2分母有理化(2)
2n 1 2n 1 1 1 1 ( ) 2 2n 1 2n 1 2 2n 1 2n 1 3 原式 7
1 (1) 1 2 3
计算
2 3 3 2 6 (2) 2 6 2
2 2 6 4
22 3 5 (3) 3 6 10 15
例
将下列各式分母有理化因式
3 1 m -n （） 1 （） 2 （） 3 ( m ¹ n) 3+ 1 4 3+ 3 2 m+ n 3 3 ?( 3 1) 3 3 = 解：(1) = 3 + 1 ( 3 + 1)( 3 - 1) 2
1 4 3- 3 2 4 3- 3 2 （） 2 = = 2 2 4 3 + 3 2 (4 3) - (3 2) 30
m -n ( m + n )( m （） 3 = m+ n m+ n
n)
= ( m-
n)
例：计算
10 (1) 5 4 1 (2) + 2 5- 1 x + 1+ x x1 1+ x
2
10 5 4( 5 + 1) 解：( 1) 原式= 5 ( 5 - 1)( 5 + 1)
= 2 5 - ( 5 + 1)
2
2
解不等式
2x - 3 <
3x < 3
3x
解： 2 x -
（ 2-
3 ）x < 3
3 x> （ 2- 3 ） 3( 2 + 3) x> - 1 x> - 3 2- 3 3
x> - 3 2- 3 3
∴原不等式的解集是
练习：把下列各式分母有理化
16.2.2二次根式的除法
数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理 化” 。 利用上述方法化简： (1)
A．
2 7
5
B．
2 7
2 7
2 1 =_________ （２） =________ 3 2 6
（2）化简
3 2 的结果是（ ） 27
B． -
A． -
2 3
2 3
C． -
6 3
D． - 2
2、计算： (３)
（ 3 ）
4 16
=____
，
4 16
=____
； （3）
9x 64 y 2
（4）
5x 169 y 2
4 4 _______ ； 16 16
（4）
36 =____， 81
36 =___． 81
概念：化简二次根式达到的要求： （1）被开方数不含分母； （2）分母中不含有二次根式。
36 36 _______ ． 81 81
12 3
（2）
3 1 2 8
3、填空： （1）
9 9 =____， =____； 16 16
（3）
1 1 4 16
（4）
64 8
规律：
9 9 ______ ； 16 16
16 36
=____ ，
（ 2 ）
16 36
2、化简： =____ ； （1）
3 64
（2）
64b 2 9a 2
16 16 ______ ； 36 36
学习环节： 一．前置作业：
1、写出二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质
a a a a = （a≥0，b>0）反过来， = （a≥0， b b b b
16.2.2二次根式的除法
2
2
2 • 10
注意：要进行根式化简，关键是要搞清 楚分式的分子和分母都乘什么，有时还 要先对分母进行化简。
练习:
8.4 (1) 0.12
3 6 (2) 6 3 1 1 （3） 2 1 5 2 6
探究
把
a a 反过来，就可以得到: b b
a b a b
（a≥0，b＞0）
利用它可以对二次根式进行化简.
例：化简
3 (1) 1 16
2
0.09169 25x (3) （ x ＞ 0 ） 2 0.64196 9y
16 4 16 4 (3) (4) 25 5 25 5
根据你发现的规律填空：
2 2 (1) = 3 3
5 5 ( 2) = 7 7
一般地，对m>5 __ 。 成立的条件是 __________ －5 1、解：要使等式成立，m必须满足
练习：把下列各式分母有理化： 2a 2 －4 2 （2） （3） （1） a＋b 3 40 3 7
－4 2 • 7 －4 2 －4 14 ＝ 解： （1） ＝ ； 21 3 7• 7 3 7
2a a＋b （2） ＝ ＝ a＋b • a＋b a＋b a＋b
2a a＋b
2a
5 20 2 5 （3） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 60 30 3 40 3 • 2 10 6 10 • 10 60
练习一：
7 (1) 2 9
81 (2) x 0 2 25 x
在二次根式的运算中， 最后结果一般 要求分母中不含有二次根式.
化简：
最简二次根式
①被开方数不含分母或分母不含被开方数；
3 8
②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
练习：下面的式子是不是最简二次根式？
16.2.2二次根式的除法第2课时
1.计算下列各式:
a a (a 0, b 0). b b
想一想：
a a (a 0, b 0). b b
除式中被开方数b为什
么不能等于0?
－3 m>5 成立的条件是 __________ __ 。 －5
m－3 1、等式 ＝ 成立的条件 m－5 m－5
问题1 设长方形的面积为S，其中一边长为a,则另一边长表
示为：
S a
；
问题2 已知S= 答：
24 3
24 ，a=
；
3 ,那么求另一边长时如何列式?
问题3 上面列式是什么运算?又该如何计算呢? 二次根式的除法运算
二次根式的除法、商的算术平方根
4 4 2 2 16 16 4 4 2） = 5 ， = 5 ； （） 1 = 3 ， = 3 （ ； 25 25 9 9 观察计算结果,你发现什 6 6 36 36 么规律？ （3） = 7 ， = 7 ； (请用式子表示这一规律). 49 49
16.2二次根式的除法
复习提问
1.二次根式的乘法：
a b ab
（ a≥0,b≥0）
ab a b (a 0, b 0)
2.化简二次根式：
把开方开得尽的因数或因式,开方后移到根号外.
学习目标
1.理解二次根式的除法则及商的算术平方根的性质.(重点)
2.掌握最简二次根式的特点.（重点） 3.合理简洁地进行二次根式的除法运算.（难点）
想一想：如何计算
1 2 36 18 呢？ 2
1 1 18 （2 ） （ 36 18） 解: 2 36 二次根式的乘法扩充法则 2 2
m a n2b =（ m n）36 a b （18 a 0, b 0) （ 2）
16.2.2 二次根式的除法
C. y
D. y
（来自《典中点》）
1 知识小结
1.二次根式的除法： 两个二次根式相除，把被开方数相除，根指
数不变，即： a a (a≥0，b＞0)． bb
2.最简二次根式： (1)被开方数不含分母； (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
2 易错小结
计算： 23 3 2 3 1 . 23
(4)
2
3 .
3
（来自《教材》）
知3－练
2 设长方形的面积为S，相邻两边长分别为a，b. 已知S=16，b= 10 ，求a.
解：由题意得S=ab，所以 a S 16 16 10 16 10 8 10. b 10 10 10 10 5
（来自《教材》）
知3－练
3 【 2017·荆州】下列根式是最简二次根式的是
( C)
A. 1 3
C. 3
B. 0.3 D. 20
（来自《典中点》）
知3－练
4 【中考·锦州】下列二次根式中属于最简二次 根式的是( D )
A. 24 C. a
b
B. 36 D. a 4
（来自《典中点》）
知3－练
5
已知xy＜0，化简二次根式
x
－y x2
的正确
结果为( B )
A. y
B. y
3
2 18
知1－讲
解：(1) 24 24 = 8= 4 2=2 2; 33
(2) 3 1 3 1 = 3 18= 3 9=3 3. 2 18 2 18 2
（来自《教材》）
总结
知1－讲
利用二次根式的除法法则进行计算，被开方 数相除时，可以用“除以一个不为零的数等于乘这 个数的倒数”进行约分、化简．
二次根式知识点总结及常见题型
二次根式知识点总结及常见题型二次根式知识点总结及常见题型一、二次根式的定义形如$a\sqrt{a}$的式子叫做二次根式。
其中$\sqrt{a}$叫做二次根号，$a$叫做被开方数。
1) 二次根式有意义的条件是被开方数为非负数。
据此可以确定字母的取值范围。
2) 判断一个式子是否为二次根式，应根据以下两个标准判断：①是否含有二次根号“$\sqrt{}$”；②被开方数是否为非负数。
若两个标准都符合，则是二次根式；若只符合其中一个标准，则不是二次根式。
3) 形如$m\sqrt{a}$的式子也是二次根式，其中$m$叫做二次根式的系数，它表示的是：$m\sqrt{a}=m\cdot\sqrt{a}$。
4) 根据二次根式有意义的条件，若二次根式$A-B$与$B-A$都有意义，则有$A=B$。
二、二次根式的性质二次根式具有以下性质：1) 双重非负性：$a\geq0$，$\sqrt{a}\geq0$。
（主要用于字母的求值）2) 回归性：$(\sqrt{a})^2=a$，其中$a\geq0$。
（主要用于二次根式的计算）begin{cases}sqrt{a}(a\geq0)\\sqrt{a}(a\leq0)end{cases}$（主要用于二次根式的化简）重要结论：1) 若几个非负数的和为0，则每个非负数分别等于0.若$A+B^2+C=0$，则$A=0$，$B=0$，$C=0$。
应用与书写规范：$\because A+B^2+C=0$，$A\geq0$，$B^2\geq0$，$C\geq0$，$\therefore A=0$，$B=0$，$C=0$。
该性质常与配方法结合求字母的值。
2) $\begin{cases}A-B(A\geq B)\\frac{(A-B)^2}{A+B}\end{cases}$（主要用于二次根式的化简）3) $AB=\begin{cases}A\cdot B(A>0)\\A\cdot B(A<0)\end{cases}$，其中$B\geq0$。
二次根式专项训练-最简分数分母有理化
二次根式专项训练-最简分数分母有理化简介本文档旨在提供关于二次根式最简分数分母有理化的专项训练，帮助学生掌握有理化分母的方法和技巧。
什么是最简分数分母有理化最简分数分母有理化是指将二次根式的分母化简为有理数（整数或分数）的过程。
有理化分母可以使得计算和简化二次根式的操作更加方便和简单。
有理化分母的方法有理化分母的方法主要有以下几种：1. 乘以共轭根式：通过乘以分母的共轭根式，使得分母中的二次根式消失，从而得到有理数的分母。
2. 分解因式法：将二次根式的分母进行因式分解，然后利用乘法的性质将二次根式化简为有理数的和或差。
3. 使用平方差公式：对于某些特殊的二次根式，可以利用平方差公式将其转化为有理数。
专项训练题目举例以下是具体的专项训练题目，供学生进行练和掌握有理化分母的技巧：1. 将$\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$的分母有理化。
2. 将$\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$的分母有理化。
3. 将$\frac{5}{2\sqrt{6}-3}$的分母有理化。
4. 将$\frac{3}{\sqrt{10}+\sqrt{8}}$的分母有理化。
总结通过专项训练，学生可以更好地掌握二次根式最简分数分母有理化的方法和技巧，提高解题能力和应用能力。
有理化分母可以简化计算过程，使得二次根式的运算更加方便和简单。
希望本文档对学生研究和掌握有理化分母有所帮助。
*注意：以下为参考答案**1. 将$\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$的分母有理化。
解答：乘以共轭根式得到 $\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}^2-\sqrt{2}^2}=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{3-2}=\sqrt{3}+\sqrt{2}$。
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0.09 ×169 16b2c (3) (4) a 0, b 0 2 0.64 ×196 a 7 25 25 5 （1） 2 ＝ ＝ ＝ 解： 9 9 3 9
81 81 9 (2) 2 25 x 25 x 2 5 x
16b c ( 3) = 2 a
2
16b c a2
2
ห้องสมุดไป่ตู้
4b c 4b = = c a a
（ a+ b ）的有理化因式是（ a -
分母有理化的过程即是分子分母同时乘 以分母的有理化因式
a 1、 a的有理化因式为 _____________ ；
a b 2、a b的有理化因式为 _____________ ； a b 4、 a b的有理化因式为 _____________ ；
an b 3、a n b的有理化因式为 _____________ ；
m a n b ； 5、m a n b的有理化因式为 _____________
练习：把下列各式化简(分母有理化)：
－4 2 （1） 3 7
（2） 2a a＋b
（3） 3 40
2
－4 2 －4 2 • 7 －4 14 （1） ＝ 解： ＝ ； 3 7 21 3 7• 7
2a a＋b （2） ＝ ＝ a＋ b • a＋ b a＋b a＋b
2 a a＋ b
2a
2 • 10 5 20 2 5 （3） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 3 • 2 10 3 40 60 30 6 10 • 10 60
2
2
注意：要进行根式化简，关键是要搞清楚分 式的分子和分母都乘什么，有时还要先对分 母进行化简。
练习一：(1)
7 2 9
81 (2) x 0 2 25 x
0.09 ×169 ( 4) = 0.64 ×196
0.09 ×169
0.3 ×13 39 = = 0.8 ×14 112 0.64 ×196
练习１:判断下列各式是否是最简二次根式？ 请把不是的化成最简二次根式.
(1) 12
(4) 128
(2) 32
(5) √ 39
(3) √
23
（6） 40
(7) 4a
课堂小结：
1. 利用商的算术平方根的性质化简二次根式。 2. 二次根式的除法有两种常用方法： （1）利用公式：
a b = a (a ≥ 0，b > 0) b
（2）把除法先写成分式的形式，再进行分母有理 化运算。 3. 在进行分母有理化之前，可以先观察把能化简的 二次根式先化简，再考虑如何化去分母中的根号。
3
(8) b
5
(9) 27x
3
• 化简
拓展思考
问题7 观察下列各式，把不是最简二次根式的化 成最简二次根式．
（ 2 -1 ） = = = 2 -1 ； 2 +1 （ 2 +1 ）（ 2 -1 ） 2-1 （ 3- 2） = = = 3- 2 ； 3- 2 3 + 2 （ 3 + 2 ）（ 3 - 2） 1 1 （ 3 - 2） 1 1 （ 2 -1 ）
满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：
(1)被开方数不含分母；
(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
在二次根式的运算中， 最后结果一般要求 (1)分母中不含有二次根式. (2) 最后结果中的二次根式要求写成最简的二次根式 的形式.
a 把分母中的根号化去 ,a 使分母变成有理数 ,这个过 a a a 0 , b 0 程叫做分母有理化。 b b b b
同理可得
1 4+ 3
= 4 - 3 ，…
拓展思考
从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算下面 式子的值．
（ 1 2 +1 + 1 3+ 2 + 1 4+ 3 ++ 1 2002 + 2001 ）（ 2002 +1）
练习二：
1.在横线上填写适当的数或式子使等式成立。 （ 2 ）＝ 4 （ 1 ）8 •
8 8 2a 4 a 2 a 2a a 2a 2a 2a
2 2 （ a b）（ a b）（ a） （ b） a b
两个含有二次根式的非零代数式相乘，如 果它们的积不含有二次根式，我们就说这 两个二次根式互为有理化因式
（ a-
b ）的有理化因式是（ a + b ） b ）
（2） 2 5• （ 5 ）＝ 10
3 2 （3） a－1 • （ a－1）＝ a－1 （4） ＝ 6
2.把下列各式的分母有理化：
3
－8 3 （1） 8
3.化简：
3 2 （2） 27
（3）
5a 10 a
（4）
2y 2 4 xy
（1）－ 19 ÷ 95
1 3 1 （2） 9 ÷ （－ 2 ） 48 2 4
例1：计算 解：
1
3 5
3 2 2 27
3
8 2a
3 3 15 15 15 3 5 1 解法1.. 5 5 5 25 5 25 5
3 3 5 15 解法2.. 5 5 5 5
2 3
3
2 3 2 2 3 6 3 27 3 3 3 3
乘除混合运算
b a (1) ab a b
a b （ b a
3
(2) 2a
1 ） b 1 12
1 1 12 4 =2 4 12 1 4
思考题：
求 2a
1 2、已知实数a、b满足 4a－b＋11 ＋ b－4a－3＝0， 3 a b • （ ÷ b a 1 ）的值。 b
2、解：要使原式有意义，必须 1 4a b 11 0 a , 解得 4 1 b 4a 3 0 b=12 3
1 a 4 b 12
a b 1 a b 2a （ ） =2a ( b) b a b b a a b 1 2a b 2a b 2 12 3 b a 4