数学地质 资料

数学地质定义：是研究最优数学模型并查明地质运动数量规律性的科学。

基本任务：●查明地质体的数学特征，建立地质体的数学模型（表达模型）●研究地质过程中的各种因素及其相互关系，建立地质过程的数学模型●研究适合地质任务和地质数据特点的数学分析方法，建立地质工作方法的数学模型地质学中的模型●比例尺模型：地质图、柱状图、剖面图等●概念模型是现象或过程在头脑里的映像（抽象），各种矿床模型、地球动力学模型●数学模型：包括使用由变量和常数组成的方程，可以是统计模型或确定性模型（取决于变量是否使用随机变量去表达不确定性)数学地质的发展阶段●早期阶段（20世纪20-40年代）：主要特点是单变量统计方法●40年代后期：多元统计分析开始应用于研究地质问题●60年代开始：计算机的出现使数学地质在应用范围和分析方法种类上都快速发展●21世纪：地理信息科学和地理信息系统应用层面的扩展为地质学、信息科学及数学的交叉融合提供了广阔的发展空间数学地质发展的必然性一、地质科学已经发展到定量地质学的新阶段；新问题：测试技术不断发展，积累大量数据，迅速而正确的处理数据，最大限度的获得有用信息；由研究历史到对预测能力的需要，如评价人类活动的环境影响、评价自然资源量的大小。

需要地质学定量化，体现方面：1、准确定义地质体和地质现象（统一名词术语并给以准确严格的定义是十分必要的），如描述性术语断裂、大型断裂、深大断裂，用深度、宽度、长度来准确划分。

2、在解决各类地质问题中，给出数量的准则。

如矿产预测中给出各控矿因素或指示标志指示成矿的概率。

3、通过建立数学模型，检验地质理论和假说。

如岩石圈拆沉学说的数值模拟二、地质学中概率法则的重要性（由地质现象大多为随机现象决定）地质规律大多具有“统计规律”的性质，服从一定的分布律，要研究和掌握它们发生发展和变化的规律，需借助概率论和数理统计。

三、地质研究中的抽样观察是最基本的工作方法（抽样观察的数学基础是概率及统计），通过抽样观察来推断总体。

对客观世界中随机现象的分析产生了概率论；使概率论成为数学的一个分支的真正奠基人是瑞士数学家J.伯努利；而概率论的飞速发展则在17世纪微积分学说建立以后；第二次世界大战军事上的需要以及大工业与管理的复杂化产生了运筹学、系统论、信息论、控制论与数理统计学等学科.数理统计学是一门研究怎样去有效地收集、整理和分析随机性数据，以对所考察的问题作出推断或预测，直至为采取一定的决策和行动提供依据和建议的数学分支学科.确定性现象—实验结果事先可以确定随机现象—•每次试验前不能预言出现什么结果；•每次试验后出现的结果不止一个；•在相同的条件下进行大量观察或试验时，出现的结果有一定的规律性—称之为统计规律性；基本术语对某事物特征进行观察, 统称试验.若它有如下特点,则称为随机试验,用E表示在相同的条件下可重复进行试验结果不止一个,但能明确所有的结果试验前不能预知出现哪种结果样本空间：随机试验E 所有可能的结果组成的集合样本点(or基本事件)：样本空间的元素, 即E的直接结果, 常记为ω，Ω = {ω}；随机事件：Ω的子集, 记为 A ,B ,…。

它是满足某些条件的样本点所组成的集合。

基本事件：仅由一个样本点组成的子集，它是随机试验的直接结果,每次试验必定发生且只可能发生一个基本事件随机事件发生：组成随机事件的一个样本点发生必然事件：全体样本点组成的事件,记为Ω, 每次试验必定发生的事件不可能事件：不包含任何样本点的事件,记为Φ ,每次试验必定不发生的事件频率设在n次试验中，事件A发生了m 次，则称为事件A 发生的频率概率当试验次数无限增大时，事件{频率无限接近于其概率}的概率趋于1，即接近于必然事件，又称贝努里定理：即：事件发生的概率≈事件发生的频率地质数据的种类定性数据分类数据（名义型数据）分级数据（有序型数据）定量数据计数与计量数据比例数据定性数据分类数据（名义型数据）：一组相似事物构成一个类别，通常给一个固定的名称表达方式：可以是文本，数字，或代码地质中的实例：岩石颜色可以是红色、灰色、黑色，分别赋值为1、2、3分级数据（有序型数据）：将地质要素按由低到高的顺序加以排列，并以一定的描述符描述，只有相对概念没有绝对概念.表达方式：可以是表示顺序的文本，数字，或代码地质中的实例：摩氏硬度计，石英（7），长石（6），刚玉（9），只有相对概念，没有绝对概念。

定量数据计数、计量：计数表示地质要素的实际个数，计量是指各种可度量的性质量的表达表达方式：计数数据为整数形式，计量是数值形式地质中的实例：矿点的个数、面积大小比例数据：用以描述地物两个性质间的关系，由一个性质的定量描述除以另一性质的定量描述获得表达方式：只能是数值地质中的实例：各种比例和密度概念地质数据的特点（统计分析角度）多总体性或混合总体性地质数据的空间性地质数据的条件性其它特性：定向性、定和性等数学地质—用数学的方法研究地质问题地质问题——数学问题——地质解释（例一）：尽管地质学所研究的对象—地壳和地球具有各种物质状态和运动形式，但一些资料显示它们都可能存在着某些共同的数量关系。

第二章统计推断及数学建模基础第一节样本及分布一、总体及其分布：总体：把研究的全部对象的数量指标组成的集合称为总体（或母体），总体中的每个元素称为个体。

（例题见材料P16，例题2-1、2-2）有限总体和无限总体数量指标X:取值全体构成总体，把总体的分布看成是数量指标X的分布，而表征总体的随机变量x的分布为F（x）。

二样本样本：被抽出的部分个体称为总体的一个子样（亦即样本）。

取得子样的过程称为抽样。

样品：子样中的每一个个体子样容量：子样中个体的个数，子样的容量是有限的。

（总体容量是否有限？） 子样值：从母体X随机抽样得到的子样可以用n维随机变量（X1, X2, ……, Xn）表示，在抽样后可以获得它的一组观测值（x, x2, ……, xn），称子样值。

为了方便起见，子样与子样值常常不加区别统称为子样值。

三、样本分布p16-p17，样本的联合分布可由总体X的分布函数F（x）决定。

四、抽样原则：省时，省事，省钱和取得的子样具有代表性原则，以最小的代价获得能精确地代表母体的部分资料。

对抽样方法和容量的要求：分布均匀的母体抽样方法可自由选择，子样容量也可以少些；复杂的母体，要求容量较大，方法要具体考虑。

五、样本的数字特征样本的数字特征：反映某批数据的主要状况的数字统称为统计特征数，简称特征数或数字特征。

反映数据的集中位置：平均数（均值）、中位数、众数；反映数据的离散程度：方差、均方差、极差六、常用抽样分布正态分布对数正态分布二项分布泊松分布负二项分布多项分布超几何分布指数分布标准化变换要求：计算平均值、标准差✓ 变换后变量特征：平均值＝0、方差＝1、相关程度不变✓ 几何意义：坐标原点移至重心✓ 适用范围：量纲和数量大小不一的连续型原始数据，如品位数、岩石化学分析数据等 极差变换✓ 要求：找出最大、最小值✓ 变换后的变量特征：最大值＝1、最小值＝0、相关程度不变✓ 几何意义：坐标原点移至最小值位置✓ 适用范围：量纲和数量大小不一的连续型原始数据的变换均匀化变换 ✓ 要求：计算平均值 ✓ 变换后变量特征：数学期望＝1、标准差的数学期望＝0✓ 适用范围：比例变量，如长度、质量、体积等数据角变换(反正弦和反余弦变换）✓ 要求：计算最大值的整数位数✓ 目的：将弱正偏和弱负偏的不对称分布变换为正态分布✓ 适用范围：岩类百分比数据✓ 不足：变换前后和其它变量的相关性略有差异平方根变化 ✓ 目的：将正偏分布变为接近正态分布 ✓ 适用范围：服从柏松分布的离散型数据，如露头的个数、距主断裂带的距离等 对数变换 ✓ 目的：将对数分布转化为正态分布 ✓ 适用范围：服从对数正态分布的数据，如化探数据、有色稀有、贵金属的品位数据等标准化变换、极差变换、均匀化变换属量纲变换，角变换、平方根变换、对数变换属使偏态变为正态变换。

用何种变换方法，由数据的频率分布曲线而定✓ 负偏用反正弦变换✓ 正偏：较大用对数、中等用平方根、弱用反余弦也可对同一数据试用各种变换确定最适合变换• 非线性-线形变换（化直变换）方法：用某种图像的函数对点的分布趋势拟合，再对该函数进行变换常用函数：双曲线、幂函数、指数函数、对数函数、其它 jj ij ij S x x x -='minmax min'x xij j x xij x ij --=xj xij x ij =')10/(sin 1'n i x x -=)10/(cos 1'n i x x -=c x x i i +=')ln('c x x i i +=• 相关系数相关系数的性质(1)|r|≤1．(2)|r|越接近于1，相关程度越强；|r|越接近于0，相关程度越弱．注:b 与 r 同号问题：达到怎样程度，x 、y 线性相关呢？它们的相关程度怎样呢？ｒ＞０正相关；ｒ＜０负相关．通常：r ∈[-1,-0.75]--负相关很强;r ∈[0.75,1]—正相关很强;r ∈[-0.75,-0.3]--负相关一般; r ∈[0.3, 0.75]—正相关一般; r ∈[-0.25, 0.25]--相关性较弱;多元线性回归分析：研究因变量（被解释变量）与两个或两个以上自变量（解释变量）之间的回归问题，称为多元回归分析。

• 多元线性回归的基本理论若因变量Ｙ与解释变量Ｘ１，Ｘ２，……ＸＫ具有线性关系，它们之间的线性回归模型可表示为（其中b0,b1,…,bk 为回归系数，u 为随机扰动项 ）：• 基本假定：• n ×(k+1)矩阵X 是非随机的，且X 的秩ρ（X)=k+1，即X 满秩假设2：随机误差项具有零均值，同方差及不序列相关性，即，u x b x b x b b Y k k +++++= 2211。