思维特训(一) 勾股定理与折叠问题
勾股定理在折叠问题中的应用（讲义和习题）含答案
勾股定理在折叠问题中的应用（讲义和习题）含答案勾股定理在折叠问题中的应用（讲义）课前预习1. 观察图形，回顾轴对称的性质：（1）全等变换：对应边________，对应角_________；（2）对应点所连的线段被对称轴_____________．2. 如图，乐乐将△ABC 沿DE ，EF 分别翻折，顶点A ，B 均落在点O 处，且EA 与EB 重合于线段EO ，若∠DOF =139°，则∠C 的度数为（） A ．38°B ．39°C ．40°D ．41°3. 如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC =6，BC =8，点D 在BC 边上，将直角边AC 沿直线AD 折叠，点C 恰好落在斜边AB 上的点E 处．设DE 的长为x ，则CD =__________，BD =_________．（用含x 的代数式表示）知识点睛1. 轴对称（折叠）的思考层次（1）全等变换：对应边_______、对应角_______．（2）对应点与对称轴：①对应点所连线段_____________________；lA'B'C'CBAOFED CB ADEABC②对称轴上的点_______________________．（3）组合搭配：长方形背景下的折叠常出现______三角形．（4）作图：核心是确定_______和_______，有时需要依据不变特征分析转化，然后再补全图形．特征举例：①对应点确定，折痕为对应点连线的垂直平分线；②折痕运动但过定点，则折叠后的对应点在圆上．精讲精练1. 如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC =6 cm ，BC =8 cm ，点D 在BC 边上，将直角边AC沿直线AD 折叠，点C 恰好落在斜边AB 上的点E 处，则线段CD 的长为__________．第1题图第2题图2. 如图，在长方形ABCD 中，AB =5 cm ，在DC 上存在一点E ，将△AED 沿直线AE 折叠，使点D落在BC 边上的点F 处，若△ABF 的面积为30 cm 2，则EF 的长为_______．3. 如图，在长方形ABCD 中，点E 在AB 边上，将长方形ABCD 沿直线DE 折叠，点A 恰好落在BC 边上的点F 处．若AE =5，BF =3，则CF 的长为_______．4. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =2，BC =4，将△ABC折叠，使点B 与点A 重合，折痕分别交AB ，BC 于点D ，E ，则BE=__________，DE=__________．第4题图第5题图5. 如图，四边形ABCD 是边长为9的正方形纸片，将其沿MN 折叠，使点B 落在CD 边上的B'处，点A 的对应点为A'．若B'C =3，则AM 的长为__________．DEA BC F ED C BA BFCDA EDEAB CMCBDAB'A'6. 如图，将长方形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边的中点E 处，压平后得到折痕MN ，若AB =2，BC =4，则AM =______．第6题图第7题图7. 如图，在长方形ABCD 中，AB =3，AD =5，现将该长方形沿BD 折叠，使点C 落在点C′处，BC′交AD 于点E ，则AE 的长为________．8. 如图，在长方形ABCD 中，AB =15 cm ，点E 在AD 上，且AE =9 cm ，连接EC ，将长方形ABCD 沿直线BE 翻折，点A 恰好落在EC 上的点A'处，则A'C =_________．9. 如图，在长方形ABCD 中，AB =3，AD =9，将此长方形折叠，使点D 与点B 重合，折痕为EF ，则EF 的长为_________．第9题图第10题图10. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =BC=2，将△ABC 沿直线l 翻折，点A 落在边BC 的中点D处，直线l 与边AC 交于点E ，则AE 的长为_________．11. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =6，BC =8，点P 在线段AC 上．若将△PBC 沿PB 折叠，使点C 的对应点C ′落在AB 边上，则BP 的长为_________．BC FAENMD EDCBAC′A'B ADCEFCBEDAC'第11题图第12题图12.如图，长方形ABCD中，AB=8，BC=12，点E是边BC上一点，BE=5，点F是射线BA上一动点，连接EF，将△BEF沿着EF折叠，使点B的对应点P落在长方形一边的垂直平分线上，连接BP，则BP的长为_________．13.如图，长方形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处．当△B′CE为直角三角形时，BE的长为_________．【参考答案】课前预习1.（1）相等，相等；（2）垂直平分.2. D3.x，8x知识点睛1.（1）相等、相等（2）①被对称轴垂直平分；②到对应点的距离相等（3）等腰（4）对称轴，对应点精讲精练1. 3 cm2.13cm 53.124.5 25.26.138AC BFEDCBAPDCBAEB′7.8 58.8 cm10.5 411.12.13.32或3勾股定理在折叠问题中的应用（习题）例题示范例1：如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，将△ABC 沿过点A的直线折叠，使点B恰好落在AC边上的点B′处，若折痕交BC于点E，则B′E的长为_________．思路分析：在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4由勾股定理，得AC=5找折痕，转移，表达设B′E=x，由折叠，得BE=B′E=x，AB′=AB=3∴CE=4-x，B′C=2利用勾股定理列方程在Rt△EB′C中，由勾股定理，得x2+22=(4-x)2解得x=32B'ACB复习巩固1. 如图，直角三角形纸片OAB ，∠AOB =90°，OA =1，OB =2，折叠该纸片，使点B 与点A 重合，若折痕交OB 于点C ，交AB 于点D ，则OC 的长为_________．2. 如图，折叠长方形ABCD 的一边AD ，使点D 落在BC 边上的点F 处，若AB =4 cm ，BC =5 cm ，则EF 的长为________．3. 如图，在长方形纸片ABCD 中，AD =8，折叠纸片使点B 落在线段AC 上的点F 处，折痕交BC 于点E ，若EF =3，则AB 的长为_________．4. 如图是一张直角三角形纸片，两直角边AC =6 cm ，BC =8 cm ，现将△ABC 折叠，使点B 与点A 重合，若折痕交BC 于点D ，交AB 于点E ，则CD =________，DE =_________．5. 如图，正方形ABCD 的边长为3，点E ，F 分别在BC ，CD 上，将AB ，AD 分别沿AE ，AF 折叠，点B ，D 恰好都落在点G 处，已知BE =1，则EF 的长为_________．O BCADFCBEDFEABC DDCBA6. 如图，将正方形纸片ABCD 沿MN 折叠，使点D 落在边AB 上，对应点为D′，点C 落在C′处．若AB =6，AD′=2，则DM =________，CN =_________．7. 如图，长方形ABCD 中，AB =8，BC =4，将长方形沿AC 折叠，点D 落在点D′处，则重叠部分△AFC 的面积为_________．8. 如图，把长方形纸片ABCD 折叠，使点C 与点A 重合，折痕为EF ．若BC =8，AB =4，则AE =_______，EF =________．9. 如图，将长方形ABCD 折叠，使点A 与点C 重合，折痕分别交AD ，BC 于点E ，F ，若AB =3，AD =4，则DE 的长为______．GF E DCBA D'C'NMDAD'D'EABC DF10.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，若点D在线段BC上，将△ABC沿AD折叠，使点C的对应点C′恰好落在AB边上，则BD的长为_________．11.如图，长方形ABCD中，AB=10，点P是射线AD上一动点，连接BP，将△ABP沿BP折叠，使点A的对应点A′ 到直线BC的距离等于6，则AP的长为_________．12.如图，长方形ABCD中，AB=12，AD=5，点E是CD边上一点，连接AE，把∠D沿AE折叠，使点D落在点D′处．当△CD′E为直角三角形时，DE的长为____________．【参考答案】例题示范4.3 2复习巩固1.34B CA DAPAB CDA'D'EBCAD2.5 cm 23. 64.7cm4，15cm45.5 26.103，437.109.7 810.5 311.5或2012.103或5。
小专题(三) 利用勾股定理解决折叠问题
第3题图
3.如图，在直角三角形纸片 中， ， ， , 是 的中点， 是 上一动点，将 沿 折叠到 ，连接 .当 是直角三角形时， 的长为_ ______.
或
4.如图，已知长方形纸片 ， ，将长方形纸片折叠，使点 与点 重合，点 落在点 处，折痕为 .
（1）求证： .
解：证明：由题意，得 .∵四边形 为长方形， . . . .
（2）若 ， ，求 的长.
[答案] 由题意，得 .设 ，则 ，在 中，由Biblioteka 股定理，得 ，解得 . 的长为3.
【解答】 因为点 为 的中点，所以 .设 ,则 ，在 中，由勾股定理，得 ，解得 .故 的长为 .
解决折叠问题的关键是抓住对称性.勾股定理的数学表达式是一个含有平方关系的等式,求线段的长时,可利用勾股定理直接计算,也可设未知数,由勾股定理列出方程,运用方程思想解决问题.
第十七章 勾股定理
小专题（三） 利用勾股定理解决折叠问题
【例】如图，在直角三角形纸片 中， ， , ,折叠三角形纸片 ，使点 与 的中点 重合，折痕为 ,求线段 的长.
【思路点拨】 先求得 的长，由翻折的性质可知 ，设 ，则 ，在 中，由勾股定理列出关于 的方程求解即可.
1.如图,有一块直角三角形纸片， ， ， ，将斜边 翻折，使点 落在直角边 的延长线上的点 处，折痕为 ，则 的长为( )
C
A. B. C. D.
第2题图
2.如图，在长方形 中， 是 的中点，将 沿直线 折叠后得到 ，延长 交 于点 .若 ， ，则 的长为___.
勾股定理之折叠问题
GBEDCA勾股定理之折叠问题、整体代换二、精讲精练勾股定理的折叠专题：1. 如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC =6cm ，BC =8cm ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，你能求出CD 的长吗？E AB CD2. 已知，如图长方形ABCD 中，AB =3，AD =9，将此长方形折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则△ABE 的面积为多少？3. 如图，折叠矩形纸片ABCD ，使AD 与对角线BD 重合于DE ，得折痕DG ，若AB =8，AD =6，求AG 的长.4. 如图，矩形ABCD 中，BC =4，DC =3，将该矩形沿对角线BD 折叠，使点C 落在点F 处，求EF 的长．F EDCB A5. 把一张矩形纸片（矩形ABCD ）按如图方式折叠，使顶点B 和点D 重合，折痕为EF ．若AB =3cm ，BC =5cm ，则重叠部分△DEF 的面积是多少？F EA 'D B '()CB A6. 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，按图中所示方法将△BCD 沿BD 折叠，使点C 落在边AB 上的点C'处，则折痕BD 长的平方是__________．DCBA7. 如图，四边形ABCD 是边长为9的正方形纸片，将其沿MN 折叠，使点B 落在CD 边上的B'处，点A 对应点为A'，且B'C =3，求CN 和AM 的长.ABCB'DA'M整体代换：8. 已知一个直角三角形的三边长都是正整数，其中斜边长为13，并且周长为30，求这个三角形的面积．139. 小明的叔叔家承包了一个矩形鱼池，已知其面积为48m 2，其对角线长为10m ，为建栅栏，要计算这个矩形鱼池的周长，你能帮助小明算一算吗？10. 已知Rt △ABC 中，∠C =90°，若a +b =14cm ，c =10cm ，则Rt △ABC 的面积是()A ．24cm 2B ．36cm 2C ．48cm 2D ．60cm 211. （等积公式）直角三角形两直角边长分别为5cm ，12cm ，则斜边上的高为___________．12. 如果直角三角形两直角边的比为5∶12，则斜边上的高与斜边的比为( ) A ．60∶13 B ．5∶12 C ．12∶13 D ．60∶169 13. 如果直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是( )A ．25B ．14C ．7D ．7或25东北南A14. 若线段a ，b ，c 组成直角三角形，则它们的比可能为( )A ．2∶3∶4B ．3∶4∶6C ．5∶12∶13D ．4∶6∶7 15. 在Rt △ABC 中，∠C =90°，则①a =5，b =12，则c =_______； ②若a =15，c =25，则b=_______； ③若c =61，b =60，则a =_______ ； ④若a ∶b =3∶4，c =10，则ABC S =_____．16. 如果直角三角形的两直角边长分别为n 2－1，2n （n>1），那么它的斜边长是( )A ．2nB ．n +1C ．n 2－1D ．n 2+117. 等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则三角形的面积为( )A ．56B ．48C ．40D ．3218. 已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A 出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A 出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距( ) A ．25海里 B ．30海里 C ．35海里D ．40海里19. 如图，铁路上A ，B 两点相距25km ，C 、D 为两村庄，并且DA ⊥AB 于A ，CB⊥AB 于B ，已知DA =15km ，CB=10km ，现在要在铁路AB 上建一个土特产品收购站E ，使得C ，D 两村到E 站的距离相等，则E 站应建在离A 站多远处？20. 在一棵树的10米高的B 处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A 处，另一只爬到树顶D 后直接跃到A 处，两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高____米．21. 已知如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠1=∠2，CD =1.5 ，BD =2.5，求AC 的长．21ABCD【讲义答案】一、知识点睛1．折叠问题①找折痕——利用轴对称转移条件；②设未知数表达各边；③找直角三角形，利用勾股定理建等式.2．整体代换思想（知二求二）：2(+)x y、22+x y、2(-)x y、xy知二求二；二、精讲精练1. 3cm2. A3. AG=34. EF= 785.5.1cm26. 457. CN=4，AM=2提示：连接BM，B'M8. 30 9. 28m 10. A 11. 6013cm 12. D 13. D14. C 15. ①13②20③11④24 16. D 17. B 18. D 19. AE=10km 20. 15米21. 3米【作业】1. 如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC =18cm ，BC =24cm ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，求△BDE 的周长为多少.E AB CD2. 如图所示，在△ABC 中，AB =20，AC =12，BC =16，把△ABC 折叠，使AB 落在直线AC 上，求重叠部分（阴影部分）的面积.3. 如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝4，AD ＝3．折叠纸片使AD 边与对角线BD重合，折痕为DG ，点A 落在点A 1处，则△A 1BG 的面积与矩形ABCD 的面积的比为多少？ABCDA 1G4. 如图所示，折叠矩形的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，已知AB =8cm ，BC =10cm ，求EF 的长.FED A BC5. 已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若a +b =17cm ，c =13cm ，则Rt △ABC 的面积为（）A ．24cm 2B ．30cm 2C ．48cm 2D ．60cm 26. 已知直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，则这个三角形的面积为_____________.7. 若一个直角三角形的一条直角边长是7cm ，另一条直角边比斜边短1cm ，则斜边长为 （ ）A ．18cmB ．20cmC ．24cmD ．25cm8. 直角三角形的斜边比一直角边长2cm ，另一直角边长为6cm ，则它的斜边长为（ ）A ．4cmB ．8cmC ．10cmD ．12cm9. 若直角三角形的三边长分别是n +1，n +2，n +3，求n .10. 直角三角形两直角边长分别为9cm ，12cm ，则斜边上的高为 ． 11. 底边长为16cm ，底边上的高为6cm 的等腰三角形的腰长为________cm ． 12. 若三角形的三边之比为45∶28∶53，则此三角形是________．13. 若直角三角形两直角边的比是3∶4，斜边长是20，则此直角三角形的面积为_________．14. 在Rt △ABC 中，∠C =90°，周长为60，斜边与一条直角边之比为13∶5，则这个三角形三边长分别是（）A．5，4，3 B．13，12，5 C．10，8，6 D．26，24，1015.一棵9m高的树被风折断，树顶落在离树根3m之处，若要查看断痕，要从树底开始爬多高？16.一艘轮船以16km/h的速度离开港口向东北方向航行，另一艘轮船同时离开港口以12km/h的速度向东南方向航行，它们离开港口半小时后相距_______km．17.一条河的宽度处处相等，小强想从河的南岸横游到北岸去，由于水流影响，小强上岸地点偏离目标地点200m，他在水中实际游了520m，那么该河的宽度为（）A．440m B．460m C．480m D．500m18.要登上9m高的建筑物，为了安全需要，需使梯子固定在一个高1m的固定架上，并且底端离建筑物6m，梯子至少需要多长？19.校园广场内有两棵树，相距12米，一棵树高13米，另一棵树高8米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞多少米？【作业答案】1.周长为36cm2.重叠部分面积为363.面积比为1:84.EF=5cm5. B6.30cm27. D8. C9.n=210.36cm511.10cm12.直角三角形13.9614.D15.4m16.1017.C18.梯子至少需要10米19.小鸟至少要飞13米。
勾股定理的折叠问题
勾股定理的折叠问题
众所周知，勾股定理是数学中的一条重要定理，描述了直角三角形中，直角边
的平方和等于斜边的平方。
而关于勾股定理的折叠问题则考察了一个有趣而实用的几何学思考。
勾股定理的折叠问题是指，如果我们将一个正方形纸张的一角折叠到对边上，
能否构造出一条长度为整数的直角边，并利用这条直角边实现勾股定理。
答案是肯定的。
通过将正方形纸张的一角折叠到对边上，我们可以得到一个直角三角形。
根据
勾股定理，该直角三角形的直角边长度的平方和等于斜边长度的平方。
因此，我们只需要找到两个整数的平方和等于第三个整数的平方即可。
以3、4和5为例，我们可以将正方形纸张的一个角折叠到对边上，构造出一
个边长为3、4和5的直角三角形。
这是因为3的平方加上4的平方等于5的平方。
同样，使用其他整数组合，我们也可以得到满足勾股定理的直角三角形。
勾股定理的折叠问题不仅仅是一道有趣的数学问题，它在实际生活中也具有应
用价值。
例如，当我们需要制作直角三角形的时候，可以利用这个折叠方法，通过简单的实验就能得到所需的尺寸。
然而，需要注意的是，勾股定理的折叠问题是一个抽象的概念，对于任意给定
的正方形纸张，我们并不能保证总能构造出满足勾股定理的直角三角形。
所以，在实践中还是要注意具体问题具体分析。
总的来说，勾股定理的折叠问题是一个有趣而实用的数学探索。
通过将一个正
方形纸张的一角折叠到对边上，我们可以得到满足勾股定理的直角三角形。
这个问题不仅启发我们对数学的思考，还可以在实际生活中找到应用。
利用勾股定理解决折叠问题及答案
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小专题（二）利用勾股定理解决折叠与展开问题类型1利用勾股定理解决平面图形的折叠问题1．如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC＝5 cm，BC＝10 cm，将△ABC折叠，使点B 与点A重合，折痕为DE，则CD的长为（)A.252cm B。
错误! cmC。
错误! cm D。
错误! cm2．如图所示，有一块直角三角形纸片,∠C＝90°，AC＝4 cm，BC＝3 cm，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则CE的长为（）A．1 cm B．1.5 cmC．2 cm D．3 cm3．（青岛中考)如图，将长方形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上，若AB＝6，BC＝9，则BF的长为(）A．4 B．32C．4.5 D．54．如图，长方形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合,点B落在点F处，折痕为AE,且EF＝3，则AB的长为()A．3 B．4 C．5 D．65．（铜仁中考）如图，在长方形ABCD中，BC＝6，CD＝3,将△BCD沿对角线BD翻折，点C落在点C′处,BC′交AD于点E,则线段DE的长为（)A．3 B.错误! C．5 D.错误!6．如图,在长方形ABCD中，AB＝4,AD＝6，E是AB边的中点，F是线段BC上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B′D的最小值是(）A．210－2B．6C．2错误!－2D．47．如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝5,将△ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE，则△ABE的周长为________．8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6 cm，AC＝8 cm，按图中所示方法将△BCD沿BD 折叠，使点C落在AB边的C′点，那么△ADC′的面积是________．9．如图，已知Rt△ABC中,∠C＝90°,AC＝6，BC＝8,将它的锐角A翻折，使得点A落在BC 边的中点D处，折痕交AC边于点E,交AB边于点F，则DE的值为________．10．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC 上，与点B′重合，AE为折痕，则EB′＝________．11．为了向建国六十六周年献礼，某校各班都在开展丰富多彩的庆祝活动,八年级(1)班开展了手工制作竞赛，每个同学都在规定时间内完成一件手工作品．陈莉同学在制作手工作品的第一、二个步骤是:①先裁下了一张长BC＝20 cm，宽AB＝16 cm的长方形纸片ABCD,②将纸片沿着直线AE折叠，点D恰好落在BC边上的F处，请你根据①②步骤解答下列问题：计算EC，FC的长．类型2利用勾股定理解决立体图形的展开问题1．如图，一圆柱体的底面周长为24 cm，高AB为5 cm，BC是直径，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是（）A．6 cm B．12 cmC．13 cm D．16 cm2．如图，圆柱形玻璃杯，高为12 cm,底面周长为18 cm，在杯内离杯底4 cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4 cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为________cm。
巧用勾股定理解决折叠问题
巧用勾股定理解决折叠问题折叠图形中，一般都会存在全等的图形，抓住这些全等图形就可以得出有关于线段相等，角度相等及其他的一些重要结论，有利于解决题目中的问题。
一、长方形中的折叠例1、如图1所示，将长方形纸片ABCD 的一边AD 向下折叠，点D 落在BC 边的F 处。
已知AB=CD=8cm ，BC=AD=10cm ，求EC 的长。
分析：根据折叠可以知道△AFE ≌△ADE ，其中AF=AD=10cm ，EF=ED ，∠AFE=90°，并且EF ＋EC=DC=8cm 。
在直角三角形ABF 中，根据勾股定理可以得出BF=6，则FC=4，在直角三角形FEC 中，可以设EC=x ，则EF=8－x ，根据勾股定理可以得EC 2＋FC 2=EF 2，即x 2＋42=（8－x ）2。
解：根据题意可得，△AFE ≌△ADE ， 所以AF=AD=10cm ，EF=ED ，AB=8 cm ，EF ＋EC=DC=8cm ，所以在直角三角形中，根据勾股定理得 68102222=-=-=AB AF BF ，所以FC=4cm ， 设EC=xcm ，则EF=DC －EC=8－xcm ，在直角三角形EFC 中，根据勾股定理得EC 2＋FC 2=EF 2，即x 2＋42=（8－x ）2，解这个方程得x=3cm ，所以EC 的长为3cm 。
二、三角形中的折叠例2、一张直角三角形的纸片，如图2所示折叠，使两个锐角的顶点A 、B 重合，若∠B=30°，AC 2=3，求DE 的长。
分析：由题意可知，△DEA ≌△DEB ，∠B=∠DAE=30°，DE=DC 。
因为△ABC 为直角三角形，∠B=30°，所以∠BAC=30°，所以∠DAC=30°。
在直角三角形DCA 中，根据“在直角三角形中，如果有一个锐角等于30度，那么它所对的直角边的等于斜边的一半”，所以DC=21DA ，可以设DC=x 。
勾股定理与折叠问题
勾股定理与折叠问题之间的关系是密切而深远的。
勾股定理，这一几何学中的基本定理，在解决与折叠有关的几何问题时发挥了关键作用。
勾股定理，简单来说，揭示了直角三角形三边之间的神秘关系：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。
这个看似简单的公式，实则蕴含了无尽的智慧和奥秘。
在解决折叠问题时，这个定理成为了一把利器。
当我们面对一个折叠问题时，首先需要识别出隐藏在折叠图形中的直角三角形。
一旦找到，我们就可以利用勾股定理来建立数学方程，从而找到解决问题的方法。
例如，如果一个三角形经过折叠后变为一个正方形或矩形，我们可以通过勾股定理来推导出原来三角形的角度、边长等属性。
然而，解决折叠问题并不总是那么简单。
有时候，我们还需要借助其他的几何定理和性质，如全等三角形、相似三角形、平行线性质等，来帮助我们找到隐藏在折叠图形中的几何关系。
这些定理和性质与勾股定理相互补充，共同构建了一个完整的几何体系，使得我们可以更好地理解和解决各种复杂的折叠问题。
总的来说，勾股定理在解决折叠问题中起到了核心的作用。
它不仅帮助我们找到隐藏在折叠图形中的几何关系，还为我们提供了建立数学方程的工具，使我们能更有效地解决这类问题。
因此，对于任何对几何学感兴趣的人来说，理解和掌握勾股定理都是至关重要的。
专题勾股定理与折叠问题
专题：勾股定理在折叠问题中应用.知识要点一. 1）折叠的规律是，折叠部分的图形，折叠前后，关于折痕成轴对称，两图形全等（）利用线段关系和勾股定理，运用方程思想进行计算.（2.典例解析二（一）三角形的折叠落CADAC沿折叠，使点，AB=10，D为BC上一点，将Rt1.如图，⊿ABC中，∠C=90°，AC=6的长AB上，求CD在AC′C B DB重合，与点A沿为中，∠如图，2.Rt⊿ABCC=90°， DAB上一点，将⊿ABCDE折叠，使点的长，求①若AC=4，BC=8CE ADB C E②若，求折痕DE的长BC=32AC=24，DB C E（二）矩形的折叠BD上，1.如图，折叠矩形纸片ABCD，先折出折痕（对角线）BD，再折叠，使AD落在对角线AGAB = 2得折痕DG，若，BC = 1，求CD′A?BA G的求 ECAB=8cm，BC=10cm，边的点2.如图，折叠长方形的一边AD，点D落在BCF 处，已知DA长.EB FC在的边OAx轴上，变式：如图．在直角坐标系中，矩形ABC0AC，轴上，点边0C在yB的坐标为（13），将矩形沿对角线翻折，B的．那么点轴于点交点的位置，且ADyED点落在D坐标为ABC=8cmAB=4cm如图，矩形纸片ABCD，，，现将、C重合，使纸片折叠压平，设折痕为EF3.的长；①求DF′Ｄ②求重叠部分△AEF的面积；ＦＤＡEF的长.③求折痕ＣＢＥ（三）正方形的折叠MN落在F处，折痕为落在BC边的中点E处，点A的正方形1.将边长为8cmABCD折叠，使D的长；①求线段CN A D M′AN②求AM；C B E③求折痕MN的长CDABCDMN折叠，使点落在边上的正方形纸片，将其沿变式：如图，四边形是边长为9B???3?BC，且对应点为，则处，点的的长是___________.AAMBA。
利用勾股定理解决折叠问题
利用勾股定理解决折叠问题一、引言折叠问题是指将一张纸片沿着某条线折叠后，能否在某种条件下使得所有的线段重合。
这个问题看似简单，但实际上涉及到了许多数学知识和技巧。
本文将介绍如何利用勾股定理解决折叠问题。
二、勾股定理的基本概念勾股定理是指直角三角形斜边的平方等于直角边两边平方和的定理。
即：设直角三角形ABC，其中∠C为直角，则有AB²+AC²=BC²。
三、折叠问题的基本原理折叠问题可以看作是一个几何变换问题，在几何变换中，保持长度不变是非常重要的条件。
在折叠纸片时，我们需要保证每个线段长度不变。
四、利用勾股定理解决折叠问题的方法1. 假设我们要将一张正方形纸片对折成一个等腰直角三角形。
2. 将正方形沿着对角线对折成两个等腰直角三角形。
3. 将其中一个等腰直角三角形沿着斜边对折，使得斜边与底边重合。
4. 将纸片展开，我们可以发现，原来的正方形纸片已经被折叠成了一个等腰直角三角形。
5. 根据勾股定理，我们可以计算出这个等腰直角三角形的底边和高的长度。
具体而言，设等腰直角三角形的斜边长为c，底边长为a，则有a²＝c²÷2。
6. 利用上述结论，我们可以将任何正方形纸片折叠成一个等腰直角三角形。
五、拓展应用1. 利用类似的方法，我们可以将任何矩形折叠成一个等腰直角三角形。
2. 利用勾股定理和相似三角形的性质，我们还可以将任何平行四边形折叠成一个正方形或矩形。
六、总结利用勾股定理解决折叠问题是一种简单而有效的方法。
通过对几何变换和勾股定理的深入理解和应用，我们可以解决更加复杂和有趣的折叠问题。
勾股定理解析折叠问题含详细的答案
解题步骤
1、标已知，标问题，明确目标在哪个直角三 角形中，设适当的未知数x； 2、利用折叠，找全等。 3、将已知边和未知边（用含x的代数式表示） 转化到同一直角三角形中表示出来。 4、利用勾股定理，列出方程，解方程，得解。
三角形中的折叠
例1：一张直角三角形的纸片，如图1所 示折叠，使两个锐角的顶点A、B重合。若 ∠B=30°，AC= ，3 求DC的长。 B
C′
求能角重得平叠到分等部线腰分与三△平角B行形E线D的组面合积时,。 A E
D
B
C
在矩形的折叠问题中，求线段长时，常设未知数，找
到相应的直角三角形，用勾股定理建立方程，利用方
程思想解决问题。
探究三 如图,矩形纸片ABCD中， AB=6cm,
把矩形ABCD折叠，使点C恰好落在AB边的 中点F处，折痕为DE，则AD的长为多少？
（3）在折叠问题中，若直接解决较困难时，可将 图形还原，可让问题变得简单明了。有时还可采用 动手操作，通过折叠观察得出问题的答案。
谢谢大家！
课后作业
1、如图，矩形ABCD沿AE折叠，使D点落在
BC边上的F点处，如果∠BAF=60°，那么
∠DAE等于
y
AD
B
E
O
C
x
2、如图，将一矩形纸片OABC放在直角坐标系 中,O为原点,C在x轴上,OA=6,OC=10.在OA上取 一点E，将△EOC沿EC折叠，使O落在AB边上 的D点，求E点的坐标。
动手折一折
折叠过程就是轴对称变
成用面一积张减直半角的三矩角形形吗形换? 痕,状说折两的痕明边纸就理的片是图由对,形。你称全能轴等，折。折叠
若用一张任意三角形形状的纸片,你还能 折叠成面积减半的矩形吗?
八年级数学上册 1 勾股定理专题训练(一)利用勾股定理解决折叠问题 (新版)北师大版
专题训练(一) 利用勾股定理解决折叠问题1．如图所示，有一块直角三角形纸片，∠C ＝90°，AC ＝4 cm ，BC ＝3 cm ，将斜边AB 翻折，使点B 落在直角边AC 的延长线上的点E 处，折痕为AD ，则CE 的长为( )A ．1 cmB ．1.5 cmC ．2 cmD ．3 cm2．如图，长方形ABCD 的边AD 沿折痕AE 折叠，使点D 落在BC 上的F 处，已知AB ＝6，△ABF 的面积是24，则FC 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4 3．如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC ＝5 cm ，BC ＝10 cm ，将△ABC 折叠，使点B 与点A 重合，折痕为DE ，则CD 的长为( )A.252 cmB.152 cmC.254 cm D.154cm 4．如图，在长方形纸片ABCD 中，AB ＝8 cm ，把长方形纸片沿直线AC 折叠，点B 落在点E 处，AE 交DC 于点F ，若AF ＝254cm ，则AD 的长为( )A ．4 cmB ．5 cmC ．6 cmD ．7 cm5．(铜仁中考)如图，在长方形A BC D 中，BC ＝6，CD ＝3，将△BCD 沿对角线BD 翻折，点C 落在点C′处，BC ′交AD 于点E ，则线段DE 的长为( )A ．3 B.154C ．5 D.1526．如图所示，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝3，AC ＝5，将△ABC 折叠，使点C 与点A 重合，折痕为DE ，则△ABE的周长为________．7．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点B′重合，AE 为折痕，则EB′＝________.8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6 cm，AC＝8 cm，按图中所示方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在AB 边的C′点，那么△ADC′的面积是________．9．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，将它的锐角A翻折，使得点A落在BC边的中点D处，折痕交AC边于点E，交AB边于点F，则DE的值为________．参考答案1．A 2.B 3.D 4.C 5.B 6.7 7.1.5 8.6 cm29.13 3。
勾股定理与折叠问题实例解析
勾股定理与折叠问题实例解析1.如图，在△ABC 中，∠B=90°,AB=3,BC=4, 将△ABD 沿 AD 折叠，使点B 落在边AC 上的点E 处，则CD 的长是 解：根据题意得：将△ABD 沿AD 折叠，使点B 落在边AC 上的点E 处∴BD=DE,AB=AE,∠B=∠DEA=DEC=90°设DE=BD=x, ∵AB=3,BC=4,∠B=90°∴AC=5CE=AC-AE=AC-AB=5-3=2在Rt △CDE 中，由勾股定理得：DE ²+CE ²=CD ²即x ²+2²=(4-x)²,解得:x=32∴CD=BC-BD=BC-DE=4-32 =522.如图，长方形纸片ABCD 中，已知BC=8,折叠纸片使AB 边与 对角线AC 重合，点B 落在点F 处，折痕为AE,且EF=3,求AB 的长.解：由折叠可知，△ABE ≌△AFE,∴AB=AF,BE=EF=3,∴CE=BC-BE=8-3=5.在Rt △CEF 中，由勾股定理得，CF= √CE 2−EF 2=4设AB=AF=a,则AC=AF+CF=a+4.在Rt △ABC 中，∵AB ²+BC ²=AC ²,∴a ²+8²=(a+4)²解得a=6,∴AB 的长是6。
3.如图，在矩形ABCD 中 ，AB=8,BC=4, 将矩形沿AC 折叠， 点B 落在点B 处，则重叠部分△AFC 的面积为解：由旋转的性质及长方形可得：∠D=∠B ′=90°,AD=CB ′,在△AFD 和△CFB ′中，{∠D =∠B ′=90°∠AFD =∠B′FC AD=CB ′ △AFD ≌△CF B ′∴DF=B ′F设 DF=x,则AF=8-x,在Rt △AFD 中，(8-x)²=x ²+4²解 得 ：x=3,∴AF=AB-FB ′=8-3=5,∴S △AFC=12×AF ×B ′C=12×5×4=104. 如图，把长方形纸片ABCD沿EF折叠，使得点D与点B重合，点C落在点C′的位置上.(1)试说明△ABE≌△C′BF;(2)若AB=4,AD=8,求△BEF的面积；解：(1)∵四边形ABCD 是长方形，∴AB=CD,∠A=∠D=90°∴BC′=AB,∠A=∠C′=90°∵把长方形纸片ABCD沿EF折叠∴BC′=CD,∠D=∠C′,∠DEF=∠BEF∵AD//BC∴∠DEF=∠EFB∴∠BEF=∠BFE∴BE=BF在Rt△ABE与Rt△C′BF中{AB=B C′BE=BF∴△ABE≌△C′BF5. 如图，把长方形纸片ABCD 沿EF 折叠，使得点D 与点B 重合，点C 落在点C ′的位置上.(1)试说明△ABE ≌△C ′BF;(2)若AB=4,AD=8,求△BEF 的面积；( 2 ) 设AE=x,根据翻折不变性，BE=DE=AD-AE=8-x在Rt △ABE 中，x ²+4²=(8-x)²解得：x =3, 即AE=3,则 D E = 5∵BE=BF=5,∴CF=3, 则S △BEF=S 长方形ABCD-S △ABE-S 梯形CDEF=4×8-12×3×4-12×(5+3)×4=106.如图，在长方形纸片ABCD 中，E 为BC 的中点，连接AE,将△ABE 沿AE 折叠得到△AFE, 连接CF.若AB=4,BC=6,则CF 的长为 解：连接BF, 交AE 于点G, 如下图,由折叠的性质可得，AE 垂直平分BF即AE ⊥BF,BG=FG,∵AB=4,BC=6,E 为BC 的中点，∴BE=CE=BC=3,∴在Rt △ABE 中 ，AE=√AB 2+BE 2+=√42+32 =5∵AE 垂直平分BF,∴S △ABE=12 AB ×BE=12 AE ×BG 即12×4×3=12×5×BG 解得BG=2.4∴BF=2BG∵AE 垂直平分BF∴BE=FE∴BE=CE=FE∴∠EBF=∠EFB,∠EFC=∠ECF,∠BFC=∠EFB+∠EFC=12180°= 90°∴在Rt △BFC 中，CF=√BC 2−BF 2=√62−4.82=3.67.如图，在长方形ABCD中，AD=13,AB=24,点E为射线DC上一个动点，把△ADE沿直线AE折叠，当点D的对应点F刚好落在线段AB的垂直平分线上时，则DE的长为解：分两种情况：①如图1,当点F在长方形内部时，∵点F在AB的垂直平分线MN上，∴AN =12;∵AF=AD=13,由勾股定理得FN=5,∴FM=8,设DE为y,则EM=12-y,FE=y,在△EMF 中，由勾股定理得：y2 =(12-y)2+82∴y=263。
专训巧用勾股定理解析折叠问题
（一）
蒙娜丽莎那微抿的双唇，微挑（ ）的嘴角，好像有话要跟你说。在 那极富 个性的 嘴角和 眼神里 ，悄然 流露出 恬静、 淡雅的 微笑。 那微笑 ，有时 让人觉 得舒畅 温柔， 有时让 人觉得 略含哀 伤，有 时让人 觉得十 分亲切 ，有时 又让人 觉得有 几分矜 （ ）持。蒙娜丽莎那“神秘的微笑”是 那样耐 人寻味 ，难以 捉摸。 达·芬奇 凭着他 的天才 想象为 和他那 神奇的 画笔， 使蒙娜 丽莎转 瞬即逝 的面部 表情， 成了永 恒的美 的象征 。
习题课 阶段方法技巧训练（一）
专训1 巧用勾股定理解析 折叠问题
折叠图形的主要特征是折叠前后的两个图形绕着 折线翻折能够完全重合，解答折叠问题就是巧用轴对 称及全等的性质解答折叠中的变化规律．利用勾股定 理解答折叠问题的一般步骤：(1)运用折叠图形的性质 找出相等的线段或角；(2)在图形中找到一个直角三角 形，然后设图形中某一线段的长为x，将此直角三角形 的三边长用数或含有x的代数式表示出来；(3)利用勾股 定理列方程求出x；(4)进行相关计算解决问题．
10、涓滴之水终可磨损大石，不是由于 它力量 大，而 是由于 昼夜不 舍的滴 坠。只 有勤奋 不懈的 努力才 能够获 得那些 技巧， 因此， 我们可 以确切 地说： 说：不 积跬步 ，无以 致千里 。——贝多芬 11、一定要做最适合自己的事情，不要 迎合别 人的口 味而去 做一件 不属于 自我的 “难事 ”。一 旦“发 现自我 ”，就 要尽力 而为， 但要全 面了解 自己和 周围的 环境， 知道适 可而止 。 12、要有自信，然后全力以赴--假如具有 这种观 念，任 何事情 十之八 九都能 成功。 ——威 尔逊 13、莫找借口失败，只找理由成功。 14、一个有坚强心志的人，财产可以被 人掠夺 ，勇气 却不会 被人剥 夺的。 ——雨 果 15、积极的人在每一次忧患中都看到一 个机会 ，而消 极的人 则在每 个机会 都看到 某种忧 患。 16、不是境况造就人，而是人造就境况 。
培优专题11 勾股定理与折叠问题
（2）设 AE ＝ a ， ED ＝ b ， DC ＝ c .请写出一个 a ， b ， c 三者之间的数量关系式.
◉答案 解：（2） a ， b ， c 三者之间的数量关系式为 a2＝ b2＋ c2.理
由：由（1）得 CE ＝ AE . 因为四边形 ABCD 是长方形，所以∠ D ＝
A. 1cm
A ）
B. 1.5cm
C. 2cm
D. 3cm
第1题图
2. （烟台莱州期中）如图，Rt△ ABC 中， AB ＝9， BC ＝6，∠ B ＝90°，将△
ABC 折叠，使 A 点与 BC 的中点 D 重合，折痕为 MN ，则线段 BN 的长为 4
第2题图
.
3. 如图，在边长为6的正方形 ABCD 中， E 是边 CD 的中点，将△ ADE 沿 AE 对折至
90°.因为 AE ＝ a ， ED ＝ b ， DC ＝ c ，所以 CE ＝ AE ＝ a .在Rt△
DCE 中， CE2＝ ED2＋ DC2，所以 a ， b ， c 三者之间的数量关系式
为 a2＝ b2＋ c2.
FG ＝ x ，则 GC ＝6－ x .因为 E 为 CD 的中点，所以 CE ＝ DE ＝ EF
＝3，所以 EG ＝3＋ x .在Rt△ CEG 中，32＋（6－ x ）2＝（3＋ x ）2，
解得 x ＝2，所以 BG 的长为2.
类型二：巧用折叠求图形面积
4. （威海文登区期中）如图，在四边形 ABCD 中，∠ A ＝90°， AB ＝4cm， AD ＝
第三章 勾股定理
培 优 专 题 11 ： 勾 股 定 理 与 折 叠 问 题
类型一：巧用折叠求线段长
专项训练1 利用勾股定理巧解折叠问题
专项训练1利用勾股定理巧解折叠问题方法指导：折叠图形的主要特征是折叠前后的两个图形绕着折线翻折能够完全重合，解答折叠问题的关键是巧用轴对称及全等的性质探索折叠中的变化规律．利用勾股定理解答折叠问题的一般步骤：(1)运用折叠图形的性质找出相等的线段或角；(2)在图形中找到一个直角三角形，然后设图形中某一线段的长为x，将此直角三角形的三边长用数或含有x的代数式表示出来；(3)利用勾股定理列方程求出x；(4)进行相关计算解决问题．技巧1：巧用全等法求折叠中线段的长1．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，D，E分别是斜边AB和直角边CB上的点，把△ABC沿着直线DE折叠，顶点B的对应点是B′.(1)如图①，如果点B′和顶点A重合，求CE的长；(2)如图②，如果点B′是AC的中点，求CE的长．(第1题)技巧2：巧用对称法求折叠中线段的长2．如图，把长方形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A落在点A′处．(1)试说明：B′E＝BF；(2)若AE＝3，AB＝4，求BF的长．(第2题)技巧3：巧用方程思想求折叠中线段的长3．如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交BC于点G，连接AG，且AG平分∠BAF.(1)试说明：△ABG≌△AFG；(2)求BG的长．(第3题)技巧4：巧用折叠探究线段之间的数量关系4．如图，将长方形ABCD沿直线EF折叠，使点C与点A重合，折痕交AD于点E，交BC于点F，连接CE.(1)试说明：AE＝AF＝CE＝CF；(2)设AE＝a，ED＝b，DC＝c，请写出一个a，b，c三者之间的数量关系式．(第4题)参考答案1．解：(1)设CE ＝x ，则BE ＝8－x ，由题意得AE ＝BE ＝8－x ，由勾股定理得x 2＋62＝(8－x)2.解得x ＝74. 即CE 的长为74. (2)因为点B′是AC 的中点，所以CB′＝12AC ＝3. 设CE ＝x ，类比(1)中的解法，可列出方程x 2＋32＝(8－x)2，解得x ＝5516. 即CE 的长为5516. 2．解：(1)因为在长方形ABCD 中，AD ∥BC ，所以∠B′EF ＝∠EFB.又因为∠B′FE ＝∠EFB ，所以∠B′FE ＝∠B′EF.所以B′E ＝B′F.又因为BF ＝B′F ，所以B′E ＝BF.(2)在Rt △A′B′E 中，A′B′＝AB ＝4，A′E ＝AE ＝3，所以B′E 2＝A′B′2＋A′E 2＝42＋32＝25.所以B′E ＝5.所以BF ＝B′E ＝5.3．解：(1)在正方形ABCD 中，AD ＝AB ＝BC ＝CD ，∠D ＝∠B ＝∠C ＝90°. 因为将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，所以AD ＝AF ，DE ＝FE ，∠D ＝∠AFE ＝90°.所以AB ＝AF ，∠B ＝∠AFG ＝90°.又因为AG 平分∠BAF ，所以∠BAG ＝∠FAG .所以△ABG ≌△AFG(ASA )．(2)因为△ABG≌△AFG，所以BG＝FG.设BG＝FG＝x，则GC＝6－x.因为E为CD的中点，所以CE＝EF＝DE＝3.所以EG＝3＋x.所以在Rt△CEG中，32＋(6－x)2＝(3＋x)2，解得x＝2.所以BG＝2.4．解：(1)由题意知AF＝CF，AE＝CE，∠AFE＝∠CFE.又四边形ABCD是长方形，所以AD∥BC.所以∠AEF＝∠CFE.所以∠AFE＝∠AEF.所以AE＝AF.所以AE＝AF＝CE＝CF.(2)由题意知，AE＝CE＝a，ED＝b，DC＝c.由∠D＝90°知ED2＋DC2＝CE2，即b2＋c2＝a2.。
专训1 巧用勾股定理解析折叠问题(2)
专训1 巧用勾股定理解折叠问题名师点金：折叠图形的主要特征是折叠前后的两个图形绕着折线翻折能够完全重合，解答折叠问题就是巧用轴对称及全等的性质解答折叠中的变化规律．利用勾股定理解答折叠问题的一般步骤：(1)运用折叠图形的性质找出相等的线段或角；(2)在图形中找到一个直角三角形，然后设图形中某一线段的长为x，将此直角三角形的三边长用数或含有x的代数式表示出来；(3)利用勾股定理列方程求出x；(4)进行相关计算解决问题．巧用全等法求折叠中线段的长1．【中考·泰安】如图①是一直角三角形纸片，∠A＝30°，＝4 ，将其折叠，使点C落在斜边上的点C′处，折痕为，如图②，再将图②沿折叠，使点A落在′的延长线上的点A′处，如图③，则折痕的长为( )(第1题)B．2C．2 D．3巧用对称法求折叠中图形的面积2．如图，将长方形沿直线折叠，使点C落在点C′处，′交于E，＝8，＝4，求△的面积．(第2题)巧用方程思想求折叠中线段的长3．【中考·东莞】如图，在边长为6的正方形中，E是边的中点，将△沿对折至△，延长交于点G，连接.(1)求证：△≌△；(2)求的长．(第3题)巧用折叠探究线段之间的数量关系4．如图，将长方形沿直线折叠，使点C与点A重合，折痕交于点E，交于点F，连接.(1)求证：＝＝＝；(2)设＝a，＝b，＝c，请写出一个a，b，c三者之间的数量关系式．(第4题)答案1．A2．解：由题意易知∥，∴∠2＝∠3.∵△′D与△关于直线对称，∴∠1＝∠2.∴∠1＝∠3.∴＝.设＝x，则＝x，＝－＝8－x.在△中，2＋2＝2，∴42＋(8－x)2＝x2.∴x＝5.∴＝5.∴S△＝·＝×5×4＝10.解题策略：解决此题的关键是证得＝，然后在△中，由2＝2＋2，利用勾股定理列出方程即可求解．3．(1)证明：在正方形中，＝，∠D＝∠B＝90°.∵将△沿对折至△，∴＝，∠D＝∠＝90°.∴＝，∠B＝∠＝90°.又∵＝，∴△≌△()．(2)解：∵△≌△，∴＝.设＝＝x，则＝6－x，∵E为的中点，∴＝＝＝3，∴＝3＋x.∴在△中，32＋(6－x)2＝(3＋x)2，解得x＝2.∴＝2.4．(1)证明：由题意知，＝，＝，∠＝∠，又四边形是长方形，故∥，∴∠＝∠.∴∠＝∠.∴＝＝＝.(2)解：由题意知，＝＝a，＝b，＝c，由∠D＝90°知，2＋2＝2，即b2＋c2＝a2.。
《勾股定理》典型例题折叠问题
《勾股定理》典型例题折叠问题1、如图，有一张直角三角形纸片,两直角边AC=6，BC=8，将△ABC 折叠,使点B 与点A 重合，折痕为DE ，则CD 等于（ )A. 425B. 322C. 47D. 352、如图所示,已知△ABC 中，∠C=90°，AB 的垂直平分线交BC •于M ，交AB 于N ，若AC=4,MB=2MC ，求AB 的长．3、折叠矩形ABCD 的一边AD ，点D 落在BC 边上的点F 处，已知AB=8CM,BC=10CM ，求CF 和EC 。
4、如图，在长方形ABCD 中，DC=5，在DC 边上存在一点E ，沿直线AE 把△ABC 折叠，使点D 恰好在BC 边上，设此点为F,若△ABF 的面积为30，求折叠的△AED 的面积B CEDDCBAF E5、如图，矩形纸片ABCD 的长AD=9㎝，宽AB=3㎝，将其折叠，使点D 与点B 重合，那么折叠后DE 的长是多少?6、如图，在长方形ABCD 中，将∆ABC 沿AC 对折至∆AEC 位置，CE 与AD 交于点F 。
（1）试说明：AF=FC ；(2)如果AB=3，BC=4，求AF 的长7、如图2所示,将长方形ABCD 沿直线AE 折叠，顶点D 正好落在BC 边上F 点处，已知CE=3cm ，AB=8cm,则图中阴影部分面积为_______．8、如图2-3,把矩形ABCD沿直线BD向上折叠，使点C落在C′的位置上，已知AB=•3，BC=7，重合部分△EBD的面积为________．9、如图5,将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC边交于点G。
如果M为CD边的中点，求证:DE:DM：EM=3：4:5。
10、如图2—5，长方形ABCD中,AB=3，BC=4，若将该矩形折叠，使C点与A点重合,•则折叠后痕迹EF的长为（）A．3。
74 B．3.75 C．3.76 D．3。
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思维特训(一)勾股定理与折叠问题
方法点津·
折叠是轴对称变换，折叠前后的对应线段及对应角相等，利用折叠的性质可将有关线段集中到直角三角形中用勾股定理来求解．
典题精练·
类型一折叠直角三角形
1．如图1－TX－1所示，有一张直角三角形纸片ABC，∠ACB＝90°，AC＝4 cm，BC ＝3 cm，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则CE 的长为()
图1－TX－1
A．1 cm B．1.5 cm
C．2 cm D．3 cm
2．如图1－TX－2所示，小明同学将一张直角三角形纸片(Rt△ABC)折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，若已知AC＝10 cm，BC＝6 cm，你能求出CE的长吗？
图1－TX－2
类型二折叠长方形
3．如图1－TX－3所示，在长方形ABCD中，AB＝8，BC＝10，E是AB上一点，将长方形ABCD沿CE折叠后，点B落在AD边的点F处，则DF的长为________．
图1－TX－3
4．如图1－TX－4所示，将长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在△BCD 所在平面上的点F处，DF交BC于点E.
(1)求证：△DCE≌△BFE；
(2)若CD＝3，BC＝4，求BE的长．
图1－TX－4
类型三折叠正方形
5．如图1－TX－5所示，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE 沿AE对折至△AFE，G是BC上一点，将△ABG沿AG折叠，点B恰好落在点F处．求BG 的长．。