全国高中数学联赛新题型仿真试卷2

全国高中数学联赛新题型仿真试卷2一试试题班级 学号 姓名 分数 一：填空题（每小题7分，共56分）1、已知集合Φ=B A ，其中集合},,015)1()1(|),{(2R y x y a x a y x A ∈=--+-=及},,123|),{(R y x a x y y x B ∈+=--=，则a 的取值可能为 。

2、递增的正整数数列 ,,21a a ，满足),1(,120127≥+==++n a a a a n n n 则8a 的值是 。

3、++)1(x 2)1(x ++…+n x )1(+的展开式中2x 的系数是 。

4、在四面体ABCD 中，AB=AC=AD=5，BC=3，CD=4，DB=5，则该四面体的体积为 。

5、设,1,1>>y x 则方程)22(21313+++=-+-++y x y x y x 的解为=),(y x 。

6、设由模为1的)62(<<n n 个复数满足下面两个条件组成一个集合S ：)2(;1)1(S ∈若,,21S z S z ∈∈则,cos 221S z z ∈-θ其中21a r g z z=θ。

则集合=S 。

7、考虑十进制中的四位数，其数码是正整数，且数码之和是10，则这样的四位数共有 。

8、设c b a ,,分别是△ABC 的三边，设222mc b a =+，若1001c o tc o t c o t=+B A C ，则m = 。

二：解答题（共44分）1、（本题满分14分）在△ABC 中，若2sin cos sin cos =+ABB A ，且△ABC 的周长为12，求其面积的最大可能值。

2、（本题满分15分）数列}{n a 定义如下：,42,2211n n a a a --==+数列}{n b 定义为：*,21N n a b n n n ∈=+。

（1）求}{n a 的通项；（2）证明：*,1N n b b n n ∈<+；（3）证明：*,7N n b n ∈<。

3、（本题满分15分）过椭圆2222=+y x 的左焦点F 引倾斜角为α的直线l 交椭圆于P 、Q 两点，交两准线于A 、B 两点，若|PQ|、||AF|-|BF||、|AB|成等比数列，求|cos |α的值。

二试试题班级学号姓名分数一：（本题满分50分）设A、B、C、D是同一圆上的四点，L、M、N分别为弧AB、BC和CD的中点，弦AM与CL交于点P，弦BN与DM相交于点Q，求证：PQ∥LN二：（本题满分50分）对任意的正实数a,b,c，求证：(a2+2)(b2+2)(c2+2)≥9(ab+bc+ca)三：（本题满分50分）对于实数x，用[x]表示不超过x的最大整数，证明：对于任意整数n数[(n-1)!n(n+1)]为偶数。

四：（本题满分50分）一个生物学家观察一只变色龙捉苍蝇，变色龙每捉一只苍蝇都要休息一会儿，生物学家注意到：（i）变色龙休息一分钟后捉到第一只苍蝇；（ii）捉第第m2只苍蝇之前休息的时间比捉第m只苍蝇之前休息的时间相同，且比捉第12m只苍蝇之前休息的时间少一分钟；（ii）当变色龙停止休息时能立即捉到一只苍蝇，问：（1）变色龙第一次休息9分钟之前，它共捉了多少只苍蝇？（2）多少分钟之后，变色龙捉到第98只苍蝇？（3）1999分钟之后，变色龙共捉了多少只苍蝇？全真模拟题（一）一：填空题（每小题7分，共56分）1、已知集合Φ=B A ，其中集合},,015)1()1(|),{(2R y x y a x a y x A ∈=--+-=及},,123|),{(R y x a x y y x B ∈+=--=，则a 的取值可能为 。

}5.2,4,1,1{-- 2、递增的正整数数列 ,,21a a ，满足),1(,120127≥+==++n a a a a n n n 则8a 的值是 。

194 3、++)1(x 2)1(x ++…+n x )1(+的展开式中2x 的系数是 。

C n +134、在四面体ABCD 中，AB=AC=AD=5，BC=3，CD=4，DB=5，则该四面体的体积为 。

355、设,1,1>>y x 则方程)22(21313+++=-+-++y x y x y x 的解为=),(y x 。

)2133,2133(++ 6、设由模为1的)62(<<n n 个复数满足下面两个条件组成一个集合S ：)2(;1)1(S ∈若,,21S z S z ∈∈则,cos 221S z z ∈-θ其中21a r g z z=θ。

则集合=S 。

},,1,1{i i --7、考虑十进制中的四位数，其数码是正整数，且数码之和是10，则这样的四位数共有 。

（84）8、设c b a ,,分别是△ABC 的三边，设222mc b a =+，若1001c o tc o t c o t=+B A C ，则m = 。

2003 二：解答题（共44分）1、（本题满分14分）在△ABC 中，若2sin cos sin cos =+ABB A ，且△ABC 的周长为12，求其面积的最大可能值。

解：当2π=+B A 时，2s i n co s s i n co s =+ABB A 显然成立， 现用反证法证明当2π≠+B A 时，2s i n co s s i n co s =+ABB A 不成立 （1）若2π<+B A ，则220,220ππππ<-<<<-<<A B B A∴A A B B B A cos )2sin(sin ,cos )2sin(sin =-<=-<ππ∴2sin cos sin cos >+ABB A （2）若2π>+B A ，则①若B A ,均为锐角，则220,220ππππ<<-<<<-<A B B A这时A A B B B A co s )2s i n (s i n ,co s )2s i n (s i n =->=->ππ ∴2sin cos sin cos <+ABB A②若B A ,中有一个钝角，不妨设为A ，则ππ<+<B A 2，20ππ<-<<A B这时A A B A A B c o s )c o s (c o s ,s i n )s i n (s i n -=->=-<ππ ∴0sin cos sin cos <+ABB A ∴2π=+B A ，设这时它们所对的边分别为b a ,，则s ab ab b a b a )222(221222+=+≥=+++ ∴272108)22212(2-=+≤s∴这个三角形面积的最大可能值为272108-。

2、（本题满分15分）数列}{n a 定义如下：,42,2211n n a a a --==+数列}{n b 定义为：*,21N n a b n n n ∈=+。

（1）求}{n a 的通项；（2）证明：*,1N n b b n n ∈<+；（3）证明：*,7N n b n ∈<。

（1）设,4s i n 21π=a 则 )4cos 1(24cos224sin 44222πππ-=-=--=a=,2sin22sin 4332ππ=一般地，若,2sin 21+=k k a π则由递推关系知1112sin22cos22+++=-=k k k a ππ。

所以，}{n a 的通项公式为∈=+n a n n (2sin21π)N（2）由（1）知，,2sin212++=n n n b π于是,12c o s 2s i n 22c o s 2s i n 22s i n 22s i n 222322323121<===+++++++++++n n n n n n n n n n n nb b ππππππ所以 ,2,1,1=<+n b b n n 。

（3） 因为当20π<<x 时，,s i n x x <所以72222s i n 21212<=⋅<=++++πππn n n n n b 。

3、（本题满分15分）过椭圆2222=+y x 的左焦点F 引倾斜角为α的直线l 交椭圆于P 、Q 两点，交两准线于A 、B 两点，若|PQ|、||AF|-|BF||、|AB|成等比数列，求|cos |α的值。

解：在椭圆2222=+y x 中，1,1,2===c b a ∴左焦点F 的坐标为(-1,0)设直线l 的参数方程为：t t y t x (sin cos 1⎩⎨⎧=+-=αα为参数)代入椭圆中得：01cos 2)sin 1(22=--+ααt t∴|PQ|=α221sin 122||+=-t t ，|AB|=|cos |4|cos |22αα=c a ，||AF|-|BF||=|cos |2|cos |2αα=c∴|cos |4sin 122)|cos |2(22ααα⋅+= ∴02|cos |22cos 2=-+αα ∴22|cos |-=α 二试试题一：（本题满分50分）设A 、B 、C 、D 是同一圆上的四点，L 、M 、N 分别为弧AB 、BC 和CD 的中点，弦AM 与CL 交于点P ，弦BN 与DM 相交于点Q ，求证：PQ ∥LN 证明：作弧AD 的中点E ，连接MB 、MC 、ML 、MN ，设弧AB 、BC 、CD 、DA 所对的圆周角分别为2α、2β、2γ、2θ，则2α+2β+2γ+2θ=180∴α+β+γ+θ=90° ∵∠LME =α+θ，∠MLN =β+γ ∴∠LME +∠MLN =90° 即：ME ⊥LN∵∠MPC =α+β，∠MCP =α+β ∴∠MPC =∠MCP ∴MP =MC 同理可得：MQ =MB 又∵MB =MC ∴MP =MQ 又∵ME 平分∠PMQ ∴ME ⊥PQ ∴PQ ∥LN二：（本题满分50分）对任意的正实数a ,b ,c ，求证：(a 2+2)(b 2+2)(c 2+2)≥9(ab +bc +ca ) 证明：∵ (a 2+2)(b 2+2)=(a 2+1+1)(1+b 2+1)≥(a +b +1)2∴ (a 2+2)(b 2+2)(c 2+2)=(a 2+2)2(b 2+2)2(c 2+2)2 ≥(a +b +1)(b +c +1)(c +a +1)又(a +b +1)(b +c +1)(c +a +1)=2abc +(a 2+b 2+c 2)+3(ab +bc +ca )+(a 2b +b )+(a 2c +c )+(b 2c +c )+(b 2a +a )+(c 2a +a )+(c 2b +b )+2(a +b +c )+1≥2abc +(a 2+b 2+c 2)+1+7(ab +bc +ca )对于正实数a ,b ,c ，由抽屉原理得：至少有两个或两个以上的数同时不大于1或不小于1，不妨设b ,c 同时不小于1，则2abc +(a 2+b 2+c 2)+1-2(ab +bc +ca )=2abc +( a 2+1)+(b 2+c 2-2bc )-2ab -2ca ≥2abc +2a -2ab -2ca =2a (bc -b -c +1)=2a (b -1)(c -1)≥0∴ (a +b +1)(b +c +1)(c +a +1)≥9(ab +bc +ca ) ∴ (a 2+2)(b 2+2)(c 2+2)≥9(ab +bc +ca ) 三：（本题满分50分）对于实数x ，用[x ]表示不超过x 的最大整数，证明：对于任意整数n 数[(n -1)!n (n +1) ]为偶数。