【江苏省南通市】2017年高考(数学学科基地命题)模拟数学试卷(九)
2017年高考模拟试卷(9)参考答案
2017年高考模拟试卷(9)参考答案南通市数学学科基地命题一、填空题1. {}2,5．2. 15. 3.-4. 4. 0.5. 5. 26y x =-. 6. 60.7. 30. 线性规划或待定系数法，设甲、乙混货物分别为x ,y 克，由题意3x+4y 1005x+2y 120≥⎧⎨≥⎩,设x+y=34)(52)x y x y λμ+++（，解得，31==λμ，，即可. 8.. 9.. 设CA=x,则PQ=2CPcos<CAP=([3,))x ∈+∞,PQ ≤<. 10. 1e. 易知函数()f x 在(],0-∞上有一个零点，所以由题意得方程ln 0ax x -=在()0+∞，上恰有一解，即ln x a x =在()0+∞，上恰有一解. 令ln ()x g x x =，21ln ()0x g x x -'==，得e x =，当()0,e x ∈时，()g x 单调递增，当()e ,+x ∈∞时，()g x 单调递减，所以()1e e a g ==.11．9.223331212922k x x x x x=+=++≥=,也可以求导. 12. 116-.设弦AB 中点为M ，则()OP BP OM MP BP MP BP ⋅=+⋅=⋅ ， 若MP BP ，同向，则0OP BP ⋅> ；若MP BP ，反向，则0OP BP ⋅< ， 故OP BP ⋅的最小值在MP BP ，反向时取得，此时1||||2MP BP += ，2||||1||||()216MP BP OP BP MP BP +⋅=-⋅-=- ≥， 当且仅当1||||4MP BP == 时取等号，即OP BP ⋅ 的最小值是116-．13．（方法一）由题意，得sin sin ααββ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以αβ，是方程sin x x即方程()πsin 3x -5ππ()26k k αβ+=+∈Z，所以tan()αβ+=（方法二）同上，αβ，sin 0x x -的两根．设()sin f x x x -()cos f x x x '=-．令()0f x '=，得0tan x =，所以02x αβ+=，所以（方法三）直线210x y +-=交单位圆于A B ，两点， 过O 作OH AB ⊥，垂足为H ，易知OH =因为OC 60COH ∠=︒，即1502αβ+=︒，所以tan()tan300αβ+=︒=14．9⎧-⎨⎩⎭.32()322x x a x f x x a x a x ⎧--⎪=⎨⎪--+-<⎩，≥，，，当x a ≥时，320x x --=，得11x =-，23x =，结合图形知，① 当1a <-时，313x -，，成等差数列，则35x =-，代入3220x a --+-=得，9a =-； ② 当13a -≤≤时，方程3220x a x--+-=，即22(1)30x a x +-+=的根为34x x ，， 则343x x =，且3432x x +=，解得4x ，又342(1)x x a +=-，所以a .③ 当3a >时，显然不符合. 所以a 的取值集合95⎧-⎨⎩⎭. 二､解答题:本大题共6小题，共90分．15． (1)因为tan α＝2，所以sin αcos α＝2，即sin α＝2cos α．又sin 2α＋cos 2α＝1，所以5cos 2α＝1，即cos 2α＝15． 所以 cos2α＝2cos 2α－1＝－35．(2)由α∈(0，π)，且tan α＝2＞1，得α∈(π4，π2)，所以2α∈(π2，π). 由题知cos2α＝－35，所以sin2α＝45．又因为β∈(0，π)，cos β＝－7210∈(－1，0)，所以β∈(π2，π)， 所以sin β＝210，且2α－β∈(－π2，π2)．因为sin(2α－β)＝sin2αcos β－cos2αsin β＝45×(－7210)－(－35)×210＝－22， 所以2α－β＝－π4．16.（1）因为BD 垂直平分AC ，所以BA BC =，在△ABC 中，因为120ABC ∠=︒， 所以30BAC ∠=︒．因为△ACD 是正三角形，所以60DAC ∠=︒， 所以90BAD ∠=︒，即AD AB ⊥．因为=1AB ，120ABC ∠=︒，所以AD AC == 又因为1PA =，2PD =，由222PA AD PD +=， 知90PAD ∠=︒，即AD AP ⊥．因为AB AP ⊂，平面PAB ，AB AP A = ， 所以AD ⊥平面PAB ．（2）（方法一）取AD 的中点H ，连结CH ，NH ． 因为N 为PD 的中点，所以HN ∥PA ， 因为PA ⊂平面PAB ，HN ⊄平面PAB ， 所以HN ∥平面PAB ．由△ACD 是正三角形，H 为AD 的中点，所以CH AD ⊥．由（1）知，BA AD ⊥，所以CH ∥BA ， 因为BA ⊂平面PAB ，CH ⊄平面PAB ，HPA BCDMN所以CH ∥平面PAB ．因为CH HN ⊂，平面CNH ，CH HN H = ， 所以平面CNH ∥平面PAB ． 因为CN ⊂平面CNH ， 所以CN ∥平面PAB ．（方法二）取PA 的中点S ，过C 作CT ∥AD 交AB 的延长线于T ，连结ST ，SN ．因为N 为PD 的中点，所以SN ∥AD ，且12SN AD =，因为CT ∥AD ，所以CT ∥SN ． 由（1）知，AB AD ⊥，所以CT AT ⊥， 在直角△ CBT 中，1BC =，60CBT ∠=︒，得CT =由（1）知，AD =12CT AD =，所以CT SN =．所以四边形SNCT 是平行四边形， 所以CN ∥TS ．因为TS ⊂平面PAB ，CN ⊄平面PAB ， 所以CN ∥平面PAB ．17．（1）由题意知，124()2b b =-=，解得a =1b =，所以椭圆的方程为2212x y +=. （2）① 由(2)N t ，，(01)A ，，(01)B -，，则 直线NA 的方程为11y x t =+，直线NB 的方程为31y x t=-.P A BCDMNTS由221122y x t x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩，得，222422.2t x t t y t ⎧=-⎪+⎨-⎪=+⎩，，故()2224222t t t t P --++，. 由223122y x t x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩，得，222121818.18t x t t y t ⎧=⎪+⎨-⎪=+⎩，，故()22212181818t t t t Q -++，. 所以直线PM 的斜率222221262482PMt t t k t t t ---+==-+， 直线QM 的斜率22218161812818QMt t t k t t t ---+==+， 所以PM QM k k =，故P M Q ，，三点共线.② 由①知，11k t =，213k t =，2368t k t-=. 所以21323122463182t k k k k k k t t t-+-=⨯-=-， 所以132312k k k k k k +-为定值1-.18．(1)设OP ＝r ，则l ＝r ·2θ，即r ＝l2θ，所以S 1＝12lr ＝l 24θ，θ∈(0，π2)．(2)设OC ＝a ，OD ＝b ．由余弦定理，得l 2＝a 2＋b 2－2ab cos2θ，所以 l 2≥2ab －2ab cos2θ．所以 ab ≤l 22(1－cos2θ)，当且仅当a ＝b 时“＝”成立．所以S △OCD ＝12ab sin2θ≤l 2sin2θ4(1－cos2θ)＝l 24tan θ，即S 2＝l 24tan θ．(3)1S 2－1S 1＝4l 2(tan θ－θ)，θ∈(0，π2)，． 令f (θ)＝tan θ－θ，则f '(θ)＝(sin θcos θ)'－1＝sin 2θcos 2θ．当θ∈[0，π2)时，f '(θ)＞0，所以f (θ)在区间[0，π2)上单调增．所以，当θ∈(0，π2)时，总有f (θ)＞f (0)＝0，即1S 2－1S 1＞0，即S 1＞S 2．答：为使养殖区面积最大，应选择方案一． 19． （1）易得2143a =．（2）由111241n n n a a S +-=-，得11241n nn n n a a a a S ++-=-，所以11241n n n n na a S a a ++-=-①．所以12121241n n n n n a a S a a +++++-=-②，由②-①，得12112112n n n n n n n n na a a aa a a a a +++++++=---．因为10n a +≠，所以22112n nn n n na a ++++=-． 所以121112n n n n n n a a a a a a +++++-=--，即12111n nn n n na a a a a a ++++-=--，即11n n b b +-=，所以数列{}n b 是公差为1的等差数列． 因为112134a b a a ==-，所以数列{}n b 的通项公式为14n b n =-．（3）由（2）知，114n n n a n a a +=--，所以11431141n n an a n n ++=+=--，所以14(1)141n n a a n n +=+--，所以数列41n a n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是常数列．由124113a =⨯-，所以2(41)3n a n =-．（方法一）由m p r a a a ，，（m p r <<）成等比数列，则41m -，41p -，41r -成等比数列，所以2(41)(41)(41)p m r -=--， 所以2168164()0p p mr m r --++=，即2424()0p p mr m r --++=（*）． （途径一）（*）式即为2424()4p p mr m r mr -=-+<-，所以2211(2))22p -<，即11222p -<，所以p <2p mr <．（途径二）（*）式即为24241p p rm r -+=-．由222222(42)(42)(41)()0414141p p r p p r r r p p r mr p r p r r r -+-+----=⋅-==>---，所以2p mr <．（方法二）由m p r a a a ，，（m p r <<）成等比数列， 则41m -，41p -，41r -成等比数列， 记4m α=，4p β=，4r γ=（1αβγ<<<）， 则有1α-，1β-，1γ-成等比数列，所以2(1)(1)(1)βαγ-=--，即22()ββαγαγ-=-+．若2βαγ=，即2p mr =时，则2αγβ+=，所以αβγ==，矛盾； 若2βαγ>，则22()0βαγβαγ-+=->，所以1()12βαγ>+>，所以[][]2221(2)()()()()()0αγββαγαγαγαγαγαγ+---+>-+--+=->， 矛盾．所以2βαγ<，即2p mr <．20． (1) 由题意知曲线()y f x =过点(1,0)，且'(1)e f =；又因为222'()ln e x a f x a x b x x+=-++⎛⎫ ⎪⎝⎭，则有(1)e(2)0,'(1)e()e,f b f a b =+==+=⎧⎨⎩解得3,2a b ==-.(2) ①当2a =-时，函数()y f x =的导函数22'()e 2ln 0x f x x b x=--+=⎛⎫ ⎪⎝⎭，若'()0f x =时，得222ln b x x =+， 设22()2ln g x x x =+(0)x > .由2332424'()x g x x x x-=-=0=，得x =1ln 2g =+.当0x <<'()0g x <，函数()y g x =在区间上为减函数，()(1ln 2,)g x ∈++∞；仅当1ln 2b >+时，()b g x =有两个不同的解，设为1x ，2x 12()x x <.此时，函数()y f x =既有极大值，又有极小值.②由题意2e ln x a x b xkx ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭对一切正实数x 恒成立，取1x =得(2)e k b ≤+.下证2e ln e (2)x a x b xb x ++⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭对一切正实数x 恒成立.首先，证明e e xx ≥. 设函数()e e xu x x =-，则'()e e xu x =-，当1x >时，'()0u x >； 当1x <时，'()0u x <；得e e (1)0xx u -=≥，即e e xx ≥，当且仅当都在1x =处取到等号.再证1ln 1x x+≥. 设1()ln 1v x x x=+-，则21'()x v x x -=，当1x >时，'()0v x >；当1x <时，'()0v x <；得()(1)0v x v =≥，即1ln 1x x+≥，当且仅当都在1x =处取到等号. 由上可得2e ln (2)e x a x b xb x ++⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭，所以min()(2)e f x b x ⎛⎫=+⎪⎝⎭， 即实数k 的最大值为(2)e b +.数学Ⅱ（附加题）21． A. 连结PQ ，因为四边形ACQP 是1O 的内接四边形， 所以A PQD ∠=∠， 又在2O 中，PBD PQD ∠=∠，所以A PBD ∠=∠， 所以AC ∥BD ．B ．（1） 设1234A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则12234A ==-， 1213122A --⎛⎫ ⎪∴= ⎪-⎝⎭， 21582131461122M -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪∴== ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭． (2）11112x x x x x M M y y y y y -'''-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=∴== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪'''-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，即,2,x x y y x y ''=-⎧⎨''=-+⎩ 代入22221x xy y ++=可得 ()()()()2222221x y x y x y x y ''''''''-+--++-+=，即22451x x y y ''''-+=，故曲线C '的方程为22451x xy y -+=．C. (1)曲线1C ：22(1)2x y ++=，极坐标方程为22cos 10ρθ+-= 曲线2C 的直角坐标方程为1y x =-； (2) 曲线1C 与曲线2C 的公共点的坐标为(0,1)-，极坐标为3(1,)2π． D. 因为0x >，0y >，0z >，所以1233x y z++，2463y x z++， 所以1239()()2462yx z x y z ++++≥．当且仅当::1:2:3x y z =时，等号成立．22．（1）从7个顶点中随机选取3个点构成三角形，共有37=35C种取法．其中X ABF ，这类三角形共有6个．因此(376635P X C ===． （2）由题意，X2，其中X ABF ，这类三角形共有6个；其中2X =的三角形有两类，如△PAD (3个)，△PAB (6个)，共有9个；其中X PBD ，这类三角形共有6个；其中X =CDF ，这类三角形共有12个；其中X =BDF ，这类三角形共有2个．因此(635P X =，()9235P X ==，(635P X =，(1235P X ==，(235P X ==． 所以随机变量X 的概率分布列为：所求数学期望()E X 69612223535353535+⨯++． 23． (1)①当n ＝2时，a 2＝2，不等式成立．②假设当n ＝k (k ≥2)时不等式成立，即a k ≥2，则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝(1＋1k (k ＋1))a k ＋12k ＞2．所以，当n ＝k ＋1时，不等式也成立． 根据①，②可知，对所有n ≥2，a n ≥2成立．(2)当n ≥2时，由递推公式及(1)的结论有a n ＋1＝(1＋1n 2＋n )a n ＋12n ≤(1＋1n 2＋n ＋12n ＋1)a n (n ≥2)．两边取对数，并利用已知不等式ln(1＋x )＜x ，得 ln a n ＋1≤ln(1＋1n 2＋n ＋12n ＋1)＋ln a n ＜ln a n ＋1n 2＋n ＋12n ＋1，第 11页，共 11页 故 ln a n ＋1－ln a n ＜1n 2＋n ＋12n ＋1(n ≥2)， 求和可得ln a n －ln a 2＜12⨯3＋1 3⨯4＋…＋1 (n －1)n＋123＋124＋…＋12n ＝(12－13)＋(13－14)＋…＋(1n －1－1n )＋123·1－12n －21－12＝12－1n ＋122－12n ＜34． 由(1)知，a 2＝2，故有ln a n 2＜34，即a n ＜2e 34(n ≥2)，而a 1＝1＜2e 34，所以对任意正整数n ，有a n ＜2e 34．。
【江苏省南通市】2017年高考(数学学科基地命题)模拟数学试卷(十)
江苏省南通市2017年高考（数学学科基地命题）模拟数学试卷（十）第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．设全集{2,1,0,1,2}U =--，{2,1,2}A -=，则U A =ð________． 2．设a ∈R ，i 是虚数单位，若()(1)a i i +-为纯虚数，则a =________．3．在样本频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形面积和的14，且样本容量为160，则中间一组的频数为________．4．棱长均为2的正四棱锥的体积为________．5．已知{1,0,1}m ∈-，{2,2}n ∈-，若随机选取m ，n ，则直线10mx ny ++=上存在第二象限的点的概率是________．6．如图所示的流程图，当输入n 的值为10时，则输出S 的值为________．7．已知正数a ,b 满足210a ab -+=，则8a b +的最小值为________．8．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 为双曲线224x y -=的左顶点，点B 和点C 在双曲线的右支上，ABC △是等边三角形，则ABC △的面积为________．9．已知ABC △，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且22265tan acB a c b=+-，则sin B 的值是________． 10．已知函数2()||2+=+x f x x ，x ∈R ，则2(2)(34)f x x f x -<-的解集是________．11．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知13a =，且数列也为等差数列，则11a =________． 12．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(,0)(0)A t t ->，(0)B t ，，点C 满足8AC BC =，且点C 到直线:34240l x y -+=的最小距离为95，则实数t 的值是________．13．设函数231,1()2,1x x f x x x -<⎧=⎨≥⎩，则满足2(())2(())f f a f a =的a 的取值范围为________．14．已知函数2()()()(0)f x x a x b b =--≠，不等式()()f x mxf x '≥对x ∀∈R 恒成立，则2m a b +-=________．二、解答题：本大题共6小题，共90分.15．（本小题满分14分）在ABC △中，三个内角分别为A ，B ，C ，已知πsin()2cos 6A A +=．（1）若cos C =230a c -=． （2）若π(0,)3B ∈，且4cos()5A B -=，求sin B ．16．（本小题满分14分）已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，AB DC ∥，60ABC ∠=︒，1DC =，AD =PB PC =.（1）若N 为PA 的中点，求证：DN ∥平面PBC ； （2）若M 为BC 的中点，求证：MN BC ⊥．17．(本小题满分14分）如图，有一直径为8米的半圆形空地，现计划种植甲、乙两种水果，已知单位面积种植甲水果的经济价值是种植乙水果经济价值的5倍，但种植甲水果需要有辅助光照．半圆周上的C 处恰有一可旋转光源满足甲水果生长的需要，该光源照射范围是π6ABC ∠=,点E ，F 在直径AB 上，且π6ABC ∠=．（1）若CE AE 的长；（2）设ACE α∠=,求该空地产生最大经济价值时种植甲种水果的面积．18．(本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>，点12(,)33A 在椭圆E 上，射线AO 与椭圆E 的另一交点为B ，点(4,)P t t -在椭圆E 内部，射线AP ，BP 与椭圆E 的另一交点分别为C ，D ．（1）求椭圆E 的方程；（2）求证：直线CD 的斜率为定值．19．(本小题满分16分）设a ∈R ，函数()ln f x x ax =-．（1）求()f x 的单调递增区间；（2）设2()()F x f x ax ax =++问()F x 是否存在极值，若存在，请求出极值；若不存在，请说明理由；（3）设11(,)A x y ，22(,)B x y 是函数()()g x f x ax =+图象上任意不同的两点，线段AB 的中点为00(,)C x y 直线AB 的斜率为k ．证明：0()k g x >'．20．(本小题满分16分）已知数列{}n a 的各项均为正数，且对任意不小于2的正整数n ，都有21231...1(,)n n n a a a a ka ta k t -+++++=-为常数成立． （1）若12k =，14t =，问：数列{}n a 是否为等差数列？并说明理由； （2）若数列{}n a 是等比数列，求证：0t =，且0k <．第II 卷（附加题，共40分）21．【选做题】本题包括A ，B ，C ，D 四小题，每小题10分，请选定其中两小题，并在相应的答题区域．．．．．．．．．内作答．．．. A ．（选修4-1；几何证明选讲）如图,PAQ ∠是直角,圆O 与射线AP 相切于点T ,与射线AQ 相交于两点B 、C ．求证：BT 平分OBA ∠．B ．（选修4-2：矩阵与变换）在平面直角坐标系xOy 中，设点(,3)P x 在矩阵1234M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换下得到点(4,2)Q y y -+，求2x M y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦． C ．（选修4-4：坐标系与参数方程）已知直线cos :sin x t m l y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）恒经过椭圆5cos :3sin x C y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）的右焦点F ． （1）求m 的值；（2）设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求FA FB 的最大值与最小值． D ．（选修4-5：不等式选讲）已知a ，b ，c 均为正数，且239a b c ++=．求证：11114181089a b c ++≥．【选做题】第22题、23题，每题10分，共计20分.22．一个袋中装有黑球，白球和红球共(*)n n ∈N 个，这些球除颜色外完全相同．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是25．现从袋中任意摸出2个球．（1）若15n =，且摸出的2个球中至少有1个白球的概率是47，设ξ表示摸出的2个球中红球的个数，求随机变量ξ的概率分布及数学期望E ξ；（2）当n 取何值时，摸出的2个球中至少有1个黑球的概率最大，最大概率为多少？23．设集合{1,0,1M =-，集合123{(,,,...,)|,1,2,...,}n n i A x x x x x M i n =∈=，集合n A 中满足条件“121||||...||n x x x m ≤+++≤”的元素个数记为nm S ．（1）求22S 和42S 的值；（2）当m n <时，求证：111322n n m n m S +++<+-．。
【江苏省南通市】2017年高考(数学学科基地命题)模拟数学试卷(三)-答案
为直角，有0=OB AB ，即有()0-=OB OB OA ，∴2=OA OB OB ； ， 5． ．[1,)-+∞． 13a b， b时，即，则(=-AP x ，(=-BP x ，根据2+=AP BP λ 2234403|334-+=<+)(7,)+∞1，函数f ， )(7,)+∞15．解：(1)∵在△ABC 中，3=B ，2=AC 2=BC ， 由余弦定理得2222cos =+-AC AB BC AB BC B ， 得21242=+-AB AB ，即2280--=AB AB 解之得4=AB ，2=-AB （舍去）．(2)cos 0=>A ，得π02<<A ，sin ==A sintan cos ==AA A ，又∵π3=B ，∴tan tan 333tan tan()1tan tan 33++=-+=-==-A B C A B A B ． 16．解：(1)在△AOB 与△COD 中， ∵∥DC AB ，2=DC AB ， ∴12==AO AB CO CD ， 又∵2=PE AE ， ∴在△APC 中，有12==AO AE CO PE ，则∥OE PC ． 又∵⊄OE 平面PBC ，⊂PC 平面PBC ， ∴∥OE 平面PBC ．(2)∵⊥AB 平面PAD ，⊂DE 平面PAD ， ∴⊥AB DE ．又∵⊥AP DE ，⊂AB 平面PAB ，⊂AP 平面PAB ，⋂=AP AB A ， ∴⊥DE 平面PAB ，⊂PB 平面PAD ， ∴⊥DE PB ．17．解：(1)当010<≤t 时，32()1124100100=+-+<V t t t t ， 化简得211240-+<t t ， 解得3<t 或8>t ，又∵010<≤t ，故04<<t 或810<≤t ，当1012<≤t 时，()4(10)(341)100100=--+<V t t t ，得41103<<t ， 又∵1012<≤t ，故1012<≤t ． 综上得04<<t ，或812<≤t ．∴衰退期为1月，2月，3月，4月，…9月，10月，11，12月共8个月． (2)由(1)知：()V t 的最大值只能在(4,9)内取到． 由322()(1124100)32224''=-+-+=+-V t t t t t t 令()0'=V t ， 得6=t 或43=t （舍去）． 当t 变化时，()'V t 与()V t 的变化情况如下表：由上表，()V t 在6=t 时取最大值(6)136()=亿立方米V ． 故该冰川的最大体积为136亿立方米．18．解：(1)∵圆222:+=x y r O与椭圆22221(0):+=>>x y ab a C b相交于点(0,1)M∴1==b r ．又∵离心率为e 2==c a ， ∴=a∴椭圆22:12+=y C x ．(2)∵过点M 的直线l 另交圆O 和椭圆C 分别于A ，B 两点，∴直线l 的方程为1(0)=+≠y kx k ，由22112=+⎧⎪⎨+=⎪⎩y kx x y 得22(21)40++=k x kx ， ∴222421(,)2121--+++k k B k k ， 同理2211=+⎧⎨+=⎩y kx x y 得到22(1)20++=k x kx ， ∴22221(,)11--+++k k A k k ，∵23=MB MA ，则224223211--=++k kk k ∵0≠k ，∴=k ，即直线l 的方程为1=+y ．②根据①222421(,)2121--+++k k B k k ，22221(,)11--+++k k A k k ，222111121-++-+====---+A N NAA N k y y k k k k x x k k ，22222111214221-++-+====---+B N NB B N k y y k k k k x x k k ， ∴2112=k k 为定值．19．解：(1)∵e ,()e |e ,⎧-+≥⎪=--=⎨+-<⎪⎩x xx x a x af x x a x a x a ，则e 1,()e 1,⎧-≥⎪'=⎨+<⎪⎩x x x a f x x a ，∵()f x 在R 上单调递增， ∴()0'≥f x 恒成立，当<x a 时，()e 110'=+≥>x f x 恒成立， 当≥x a 时，()e 10'=-≥x f x 恒成立， 故()0'≥f a ，即0≥a ．(2)由(1)知当0≥a 时，()f x 在R 上单调递增，不符题意， ∴有0<a ．此时，当<x a 时，()e 110'=+≥>x f x ，()f x 单调递增， 当≥x a 时，()e 1'=-x f x ，令()0'=f x ，得0=x ， ∴()0'<f x 在(,0)a 上恒成立，()f x 在(,0)a 上单调递减，()0'>f x 在(0,)+∞恒成立，()f x 在(0,)+∞上单调递增，∴()()e ==极大af x f a ，()(0)1==+极小f x f a ，即0<a 符合题意．由2121()()()-≥-f x f x k x x 恒成立，可得e 1--≥a a ka 对任意0<a 恒成立， 设()e (1)1=-+-a g a k a ，求导，得()e (1)'=-+a g a k ， ①当1≥-k 时，()0'≥g a 恒成立，()g a 在(,0)-∞单调递增， 又∵1(1)0e-=+<g k ，与()0>g a 矛盾； ②当0≥k 时，()0'≤g a 在(,0)-∞上恒成立，()g a 在(,0)-∞单调递减， 又∵(0)0=g ，∴此时()0≥g a 恒成立，符合题意；③当10-<<k 时，令()0'>g a 在(,0)-∞上解集为(ln(1),0)+k ， 即()g a 在(ln(1),0)+k 上单调递增， 又∵(0)0=g ，∴(ln(1))0+<g k 不符题意； 综上，实数k 的取值范围为[0,)+∞． 20．证明：(1)由312+++=n n n n a a a a ，可知323311...+++====n n n n a a aa a a a ，∴212232123212212()++---++==++n n n n n n n na a a a a a a a a a ， 当1=n 时，123+=a a ，即数列212{}-+n n a a 是以3为首项，3a 为公比的等比数列．(2)法一：由(1)，同理可知，数列221{}++n n a a 是以32+a 为首项，3a 为公比的等比数列．故当2=n k 时，32123421233(1)()()...()1--=++++++=-k k k k a S a a a a a a a 故当21=+n k 时，33211234513(2)(1)()()...()11+-+-=+++++++=+-k k n n a a S a a a a a a a a ． 又∵{}+n S t 为等比数列，故有221()()()++++=+n n n S t S t S t ，对+∀∈N n 恒成立， ∴222221()()()++++=+k k k S t S t S t 和222322()()()++++=+k k k S t S t S t 对+∀∈N k 恒成立，即123333333112333333333(1)3(1)(2)(1)()()(1)111(2)(1)(2)(1)3(1)(1)(1)()111+++⎧--+-++=++⎨---⎩+-+--++++=+---k k k k k k a a a a t t t a a a a a a a a t t t a a a 对+∀∈N k 恒成立， 解得34=a ，1=t ，此时2132(1)(1)(1)++=+S S S 也成立．∴34=a ，1=t ，即21=-nn S 得到12-=n n a ．法二：由(1)，同理可知，数列221{}++n n a a 是以32+a 为首项，3a 为公比的等比数列．故当2=n k 时，3212342123333(1)33()()...()111--=++++++==----k kk k ka S a a a a a a a a a a 要使得{}+n S t 为等比数列必有2{}+k S t 为等比数列，即有331=-t a 成立① 故当21=+n k 时，333321123451333(2)(1)22()()...()11111+-+-++=+++++++=+=-+---k k k n n a a a a S a a a a a a a a a a a ．要使得{}+n S t 为等比数列必有2{}+k S t 为等比数列，即有33211+=--a t a 成立② 联立①②得1=t ，34=a 以下同解法一法三：由(1)，同理可知，数列221{}++n n a a 是以32+a 为首项，3a 为公比的等比数列．故当2=n k 时，32123421233(1)()()...()1--=++++++=-k k k k a S a a a a a a a 故当21=+n k 时，33211234513(2)(1)()()...()11+-+-=+++++++=+-k k n n a a S a a a a a a a a ． 要使得{}+n S t 为等比数列必有2243()()()++=+S t S t S t 和2132()()()++=+S t S t S t 解得1=t ，34=a ，通过验证1=t ，31=a 时，{}+n S t 为等比数列．以下同解法一第Ⅱ卷（附加题，共40分）21．解：A ．连接AD ， ∵AB 为圆O 的直径， ∴90∠=︒ADB ，又∵⊥EF AB ，90∠=︒AFE ，则A ，D ，E ，F 四点共圆， ∴=BD BE BA BF ，又~△△ABC AEF ，即=AB AF AE AC ．∴2()-=-=-=BE BD AE AC BA BF AB AF AB BF AF AB ．B ．∵212()5614--⎡⎤==-+⎢⎥-⎣⎦f λλλλλ，由()0=f λ，得2=λ或3=λ． 当2=λ时，对应的一个特征向量为121⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α；当3=λ时，对应的一个特征向量为211⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α；设321211⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦m n ，解得11=⎧⎨=⎩m n ，∴33333312122143()12131135⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=+=⨯+⨯=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦A A A A αααααC ．∵直线l 的极坐标方程为π()3=∈θρR ，∴直线l的直角坐标方程为y ，又∵曲线C 的参数方程为2cos 1cos2=⎧⎨=-⎩x y αα，∴曲线C 的普通方程为212,[2,2]2=-+∈-y x x ，联立解方程组2122⎧=⎪⎨=-+⎪⎩y y x ．解得3⎧=⎪⎨=-+⎪⎩x y3⎧=⎪⎨=-⎪⎩x y∴点P的直角坐标方程为(3-+． D ．∵0>a b ，0>b a ， ∴要证>a b b a ， 只要证ln ln >a b b a只要证ln ln >b ab a，构造函数ln (),(e,)=∈+∞x f x x x ． 21ln (),(e,)-'=∈+∞x f x x x，()0'<f x 在区间(e,)+∞恒成立， ∴函数()f x 在(e,)∈+∞x 上是单调递减，∴当e >>a b 时，有()()>f b f a 即ln ln >b ab a，得证． 22．解：(1)记“第三局结束后小明获胜”为事件A ，则3327()()464==P A ．(2)由题意可知X 的所有可能取值为3，4，5．33317(3)()()4416==+=P X131333311345(4)()()()()4444128==+=P X C C ，27(5)(3)(4)128===-==P X P X P X ．∴比赛局数X 的分布列为∴比赛局数X 的数学期望是74527483()34516128128128=⨯+⨯+⨯=E X ．23．解：(1)当1=m 时，1100111(,1)(1)(1)111++--=∑-=∑-=+++nn kkk k nn k k P n C C k n n ， 又∵11(,1)1+==+n Q n C n ，显然(,1)(,1)1=P n Q n ． (2)0(,)(1)-=∑-+nk knk mP n m C m k111111(1)()(1)-----=+∑-++-++n k k k nn n k m mC C m k m k111(1,)(1)---=-+∑-+n k k n k m P n m C m k 0(1,)(1)-=-+∑-+n k knk m m P n m C n m k (1,)(,)=-+mP n m P n m n即(,)(1,)=-+nP n m P n m m n， 由累乘，易求得!!1(,)(0,)()!+==+n n mn m P n m P m n m C ，又∵1(,)+=nn Q n m C ，∴(,)(,)1=P n m Q n m ．。
江苏省南通市(数学学科基地命题)2017年高考模拟试卷(5) 含答案
（第9题）F EDCBA(第4题)2017年高考模拟试卷（5）南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．． 1． 设集合{1,2,3},{2,3,6}A B ==，则AB 2． 若复数z 满足i 1i z =+，则z 3. 用系统抽样方法从400名学生随机地编号为400~1若第1抽取的号码为 ▲ ．4. 如图是一个算法流程图，若输入n是 ▲ ．5． 将甲、乙两个不同的球随机放入编号为1，2，3的3个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则1，2号盒子中各有1个球的概率为 ▲ ． 6． 设x ∈R ，则“2log 1x <”是“220x x --<”的 ▲ 条件．（从“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”、“充要”中选择）． 7． 已知圆22(1)4x y ++=与抛物线22y px =（0p >）的准线交于A 、B 两点，且AB =则p 的值为 ▲ ．8． 设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，7193()S a a =+，则54a a 的值为 ▲ ． 9． 如图，三棱锥BCD A -中，E 是AC 中点，F 在AD 上，且FD AF =2，若三棱锥BEF A -的体积是2，则四棱锥ECDF B -的体积 为 ▲ ．10．已知函数()sin(2)3f x x π=+（0x <π≤），且1()()3f f αβ==（βα≠），则=+βα ▲ ．11．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－1，x ≥0，－x ＋1，x ＜0．若函数y ＝f (f (x ))－k 有3个不同的零点，则实数k 的取值范围是 ▲ ．12．已知△ABC 外接圆O 的半径为2，且2AB AC AO +=，||||AB AO =，则CA CB ⋅=▲ ．13．设a b c ，，是三个正实数，且()a a b c bc ++=，则a b c +的最大值为 ▲ ．14．设a 为实数，记函数f (x )＝ax －ax 3（x ∈[12，1]）的图象为C ．如果任何斜率不小于1的直线与C都至多有一个公共点，则a 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对边的长．若a cos B ＝1，b sin A ＝2，且A －B ＝π4．（1）求a 的值； （2）求tan A 的值．16．(本小题满分14分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，已知底面ABCD 为矩形，且 AB ＝2，BC ＝1，E ，F 分别是AB ，PC 的中点，PA ⊥DE ． （1）求证：EF ∥平面PAD ； （2）求证：平面PAC ⊥平面PDE ．17．(本小题满分14分)某市2016年新建住房面积为500万m 2，其中安置房面积为200万m 2.计划以后每年新建住房面积比上一年增长10% ，且安置房面积比上一年增加50万m 2. 记2016年为第1年.（第16题）（1）该市几年内所建安置房面积之和首次不低于3 000万m 2？（2）是否存在连续两年，每年所建安置房面积占当年新建住房面积的比保持不变？并说明理由.18．(本小题满分16分)已知椭圆C 的方程为22221(0)y x a b a b+=>>，点A ，B 分别为其左、右顶点，点12,F F 分别为其左、右焦点，以点A 为圆心1AF 为半径作圆A ，以点B 为圆心OB 为半径作圆B ．若直线l：y x =被圆A 和圆B．（1）求椭圆C 的离心率；（2）已知a =7，问在x 轴上是否存在点P ，使得过点P 有无数条直线被圆A 和圆B 截得的弦长之比为34，若存在，请求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．19．（本小题满分16分）已知函数()(1)e x f x x k =--（e 为自然对数的底数，e 2.71828≈，k ∈R ）． （1）当0x >时，求()f x 的单调区间和极值；（2）①若对于任意[1,2]x ∈，都有()4f x x <成立，求k 的取值范围；②若12x x ≠，且12()()f x f x =，证明：122x x k +<．20．(本小题满分16分)给定数列{}n a ，记该数列前i 项12i a a a ，，，中的最大项为i A ，该数列后n i -项 12i i n a a a ++，，，中的最小项为i B ，i i i d A B =-（1231i n =-，，，，）．（1）对于数列：3，4，7，1，求出相应的123d d d ，，；（第21—A 题）（2）若n S 是数列{}n a 的前n 项和，且对任意*n ∈N ，有21(1)33n n S a n λλ-=-++，其中0λ>且1λ≠． ① 设2n n b a λ=+，判定数列{}nb 是否为等比数列；② 若数列{}n a 对应的i d 满足：1i i d d +>对任意的正整数1232i n =-，，，，恒成立，求λ的取值范围．第Ⅱ卷（附加题，共40分）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 共4小题，请选定其中两小题．．．．．．．．，并在相应的答题区域．．．．．．．．．内作答．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲如图，△ABC 内接于圆O ，D 为弦BC 上一点，过D 作直线DP // AC ，交AB 于点E ，交圆O 在A 点处的切线于点P ．求证：△PAE ∽△BDE ．B ．选修4—2：矩阵与变换求曲线||||1x y +=在矩阵10103⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦M 对应的变换作用下得到的曲线所围成图形的面积.C ．选修4—4：极坐标与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos (0,sin x a a b y b ϕϕϕ=⎧>>⎨=⎩为参数），且曲线C上的点M 对应的参数π3ϕ=，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C 的普通方程；（2）若12π(,)(,)2A B ρθρθ+，是曲线C 上的两点，求221211ρρ+的值．D ．选修4－5：不等式选讲已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，求12a ＋1＋2b ＋1 的最小值．22．【必做题】本题满分10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，已知AB AC ⊥，2AB =，4AC =，13AA =.D 是线段BC 的中点.（1）求直线1DB 与平面11A C D 所成角的正弦值； （2）求二面角111B A D C --的大小的余弦值.23．【必做题】本题满分10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．设a ＞b ＞0，n 是正整数，A n ＝1n ＋1(a n ＋a n －1b ＋a n －2b 2＋…＋a 2b n －2 ＋ab n －1＋b n ) ，B n＝(a ＋b 2)n ．（1）证明：A 2＞B 2；题图BCD A 1 B 1C 1第22题图（2）比较A n 与B n （n ∈N*）的大小，并给出证明．2017年高考模拟试卷(5)参考答案一、填空题1．{1,2,3,6}． 2．1i +． 3. 391． 4. 18． 5．29． 6．充分不必要． 7．4． 8．76． 9．10．10．已知函数()sin(2)3f x x π=+（0x <π≤），且1()()3f f αβ==（βα≠），则=+βα▲ ．10．76π．由0x <π≤，知2x ππ7π+≤≤，因为1()()3f f αβ==，所以()()3π222332αβππ+++=⨯， 所以76αβπ+=．11．(1，2]． f (f (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ＜0，2－x 2，0≤x ＜1，x 4－2x 2，x ≥1．作出函数f (f (x ))的图像可知，当1＜k ≤2时，函数y ＝f (f (x ))－k 有3个不同的零点．12．12．由2AB AC AO +=可得OB OC +=0，即BO OC =，所以圆心在BC 上，且AB AC ⊥．注意到||||=2AB AO =，所以ππ,,4,B C BC AC ====，所以12CA CB ⋅=．13．由()a a b c bc ++=，得1b c b c ++=⋅，设,b c x y ==，则1x y xy ++=，1ab c x y =++，因为21()2x y x y xy +++=≤，所以2x y ++≥a b c +的最大值．14．设a 为实数，记函数f (x )＝ax －ax 3（x ∈[12，1]）的图象为C ．如果任何斜率不小于1的直线与C 都至多有一个公共点，则a 的取值范围是 ▲ ．14．1,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．由任何斜率不小于1的直线与C 都至多有一个公共点，也即x ∈[12，1]时，曲线()y f x =上任意两点连线的斜率都小于1，所以()1f x '≤在x ∈[12，1]上恒成立．由2()31f x a ax '=-≤，即2310ax a -+≥，设()31g t at a =-+，1,14t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，只需1()04g ≥，且(1)0g ≥，所以142a -≤≤．二、解答题15．解：（1）由正弦定理知，b sin A ＝a sin B ＝2，①又a cos B ＝1， ②①，②两式平方相加，得(a sin B )2＋(a cos B )2＝3， 因为sin 2B ＋cos 2B ＝1， 所以a ＝3（负值已舍）；（2）由（1）中①，②两式相除，得sin B cos B＝2，即tan B ＝2，因为A －B ＝π4，所以tan A ＝tan(B ＋π4)＝tan B ＋tanπ41－tan B tanπ4 ＝1＋21－2＝－3－22．（14分）16．证：（1）方法1：取线段PD 的中点M ，连结FM 、AM .因为F 为PC 的中点，所以FM ∥CD ，且FM ＝12CD .因为四边形ABCD 为矩形，E 为AB 的中点，所以EA ∥CD ，且EA ＝12CD .所以FM ∥EA ，且FM ＝EA .所以四边形AEFM 为平行四边形．所以EF ∥AM . 又AM ⊂平面P AD ，EF ⊄平面P AD ，所以EF ∥平面P AD .方法2：连结CE 并延长交DA 的延长线于N ，连结PN .因为四边形ABCD 为矩形，所以AD ∥BC ， 所以∠BCE ＝∠ANE ，∠CBE ＝∠NAE . 又AE ＝EB ，所以△CEB ≌△NEA . 所以CE ＝NE .又F 为PC 的中点，所以EF ∥NP . 又NP ⊂平面P AD ，EF ⊄平面P AD ， 所以EF ∥平面P AD .方法3：取CD 的中点Q ，连结FQ 、EQ .在矩形ABCD 中，E 为AB 的中点，所以AE ＝DQ ，且AE ∥DQ .所以四边形AEQD 为平行四边形， 所以EQ ∥AD .又AD ⊂平面P AD ，EQ ⊄平面P AD ， 所以EQ ∥平面P AD .(2分)因为Q 、F 分别为CD 、CP 的中点， 所以FQ ∥PD .又PD ⊂平面P AD ，FQ ⊄平面P AD ，所以FQ ∥平面P AD .又FQ 、EQ ⊂平面EQF ，FQ ∩EQ ＝Q ，所以平面EQF ∥平面P AD .(5分) 因为EF ⊂平面EQF ，所以EF ∥平面P AD . (2) 设AC 、DE 相交于G .在矩形ABCD 中，因为AB ＝2BC ，E 为AB 的中点，所以DA AE ＝CDDA＝ 2.又∠DAE ＝∠CDA ，所以△DAE ∽△CDA ， 所以∠ADE ＝∠DCA .又∠ADE ＋∠CDE ＝∠ADC ＝90°， 所以∠DCA ＋∠CDE ＝90°. 由△DGC 的内角和为180°，得∠DGC ＝90°. 即DE ⊥AC .因为点P 在平面ABCD 内的正投影O 在直线AC 上，所以PO ⊥平面ABCD . 因为DE ⊂平面ABCD ，所以PO ⊥DE . 因为PO ∩AC ＝O ，PO 、AC ⊂平面P AC ， 所以DE ⊥平面P AC ，又DE ⊂平面PDE ，所以平面P AC ⊥平面PDE .17．解：（1）设n *()n ∈N 年内所建安置房面积之和首次不低于3 000万m 2， 依题意，每年新建安置房面积是以200为首项，50为公差的等差数列， 从而n 年内所建安置房面积之和为(1)200502n n n -⎡⎤+⨯⎢⎥⎣⎦m 2， 则(1)200502n n n -+⨯≥3 000，整理得，271200n n +-≥， 解得8 (15)n n -≤≥舍去.答：8年内所建安置房面积之和首次不低于3 000万m 2.（2）依题意，每年新建住房面积是以500为首项，1.1为公比的等比数列， 设第m 年所建安置房面积占当年新建住房面积的比为()p m ， 则1120050(1)3()500(10.1)10 1.1m m m m p m --+-+==⋅+⨯， 由()(1)p m p m =+得，13410 1.110 1.1m mm m -++=⨯⨯，解得7m =.答：第7年和第8年，所建安置房面积占当年新建住房面积的比保持不变. ·····14分 18．解：（1）分别过点A 、B 作直线l 的垂线，垂足为11,B A ， 由题意得11BB AA =，由点到直线距离公式得112a AA BB ==，因为圆A 以1AF 为半径，所以半径为c ，被直线l截得的弦长为 圆B 以OB 为半径，∴半径为a ，被直线l截得的弦长为因为直线l：y =被圆A 和圆B，==，解得a c 34=（a ＞c ＞0）. 因为c e a=，所以所求的离心率为34,（2）存在点P ，使得过点P 有无数条直线被圆A 和圆B 截得的弦长之比为3，设点0(,0)P x ，由题意可得直线方程为0()y k x x =-, 直线截圆A 所得的弦长为直线截圆B 所得的弦长为,34==,化简得22222220016(7)9(7)(1)(169)k x k x k c a +--=+-（*），由（1）离心率为34，得22169c a =，即方程（*）为0)1)(49(002=++x x k ,解得10-=x 或490-=x ， 即存在2个点)0,1(-和)0,49(-；当10-=x 时，||6||8k k⎧<⎪⎨<⎪⎩k <<，当490-=x 时，||42||56k k⎧<⎪⎨<⎪⎩k <<即有无数条直线；故存在2个点P ，使得过点P 有无数条直线被圆A 和圆B 截得的弦长之比为34．19．解：（1）∵()()e ,0x f x x k x '=->．（i ）当0k ≤时，()0恒成立'>f x ，∴()f x 的递增区间是0+（，）∞，无递减区间；无极值．（ii ）当0>k 时，由()0'>f x 得，>x k ；由()0'<f x 得，0<<x k ；∴()f x 的递减区间是(0,)k ，递増区间是(,+)∞k ，()f x 的极小值为()e k f k =-，无极大值．（2）①由()4f x x <，可得(1)e 40x x k x ---<， 因为e 0x >，所以41e x x x k --<，即41e xxk x >--对任意[1,2]x ∈恒成立， 记4()1ex xg x x =--，则4(1)e 4(1)()1e e x x x x x g x -+-'=-=， 因为[1,2]x ∈，所以()0g x '>，即()g x 在[1,2]x ∈上单调递增，故2max228e 8()(2)1e e g x g -==-=．所以实数k 的取值范围为22e 8(,)e-+∞．②由已知1212()()()f x f x x x =≠，结合（1）可知， 0k >,()f x 在(,)-∞k 上单调递减，在(,+)∞k 上单调递增，又(1)0+=f k ，1<+x k 时，()0<f x ．不妨设121<<<+x k x k ，此时2x k >，12->k x k ，故要证122+<x x k ，只要证122k x x ->，只要证12(2)()f k x f x ->， 因12()()f x f x =，即证11(2)()f k x f x ->．设()(2)()h x f k x f x =--2(1)(1)()kx xx k x k x k -+-=---<e e e， 2()e ()()e e k xxx k h x x k -'=--22()()k x x x k --=e e e ， ∴当<x k 时，()0h x '<，()h x 在(,)-∞k 上单调递减，∴(,)x k ∈-∞时，()()0k k h x h k >=-+=e e ，故当<x k 时，(2)（）->f k x f x ，即11(2)（）->f k x f x 成立，∴122+<x x k ．20．解：（1）111312A B d ===，，；222413A B d ===，，；333716A B d ===，，． …………………………………………………………………3分（2）① 当1n =时，11(1)1a a λλ-=-+，所以11a =；当2n ≥时，由21(1)33n n S a n λλ-=-++，则1121(1)(1)33n n S a n λλ---=-+-+，两式相减得12(1)3n n n a a a λλλ--=-++，即123n n a a λ-=+， 所以11122233(1)3(1)n n n n b a a b λλλλλ---⎡⎤=++=+==⎢⎥--⎣⎦．……………………………6分 因为112313(1)3(1)b a λλλ-=+=--， 所以当13λ≠时，数列{}n b 满足1n n bb λ-=（2n ≥），即数列{}n b 是以313(1)λλ--为首项，λ为公比的等比数列；当13λ=时，数列{}n b 不是等比数列． …………………………………………………8分② 由①知，当13λ≠时，13123(1)3(1)n n a λλλλ--=⋅---；当13λ=时，23(1)n a λ=--．……………………………………………………………10分又{}{}1212max min i i i i n d a a a a a a ++=-，，，，，，， {}{}112123max min i i i i n d a a a a a a ++++=-，，，，，，．由于{}{}1223min min i i n i i n a a a a a a ++++，，，≤，，，，所以由1i i d d +>可得，{}{}12121max max i i a a a a a a +<，，，，，，．所以{}1211max i i a a a a ++=，，，对任意的正整数1232i n =-，，，，恒成立， 即数列{}n a 的前1n -项单调递增是题设成立的必要条件，易知13λ≠． (12)分因为1i i i d a a +=-，112i i i d a a +++=-，所以1212i i i i i d d a a a +++-=+-1231(12)3(1)i λλλλλ--=⋅+--1231(1)3(1)i λλλλ--=⋅--．当1λ>时，由1n n a a +>，得3103(1)λλ->-，解得1λ>， 此时10i i d d +-≥，不符合1i i d d +>，舍去；当01λ<<，由1n n a a +>，得3103(1)λλ-<-，解得11λ<<，此时10i i d d +-<，符合1i i d d +>．综上所述，λ的取值范围是()113，． (16)分第II 卷（附加题，共40分）21A ．证：因为PA 是圆O 在点A 处的切线，所以∠PAB ＝∠ACB ．因为PD ∥AC ，所以∠EDB ＝∠ACB ， 所以∠PAE ＝∠PAB ＝∠ACB ＝∠BDE ．又∠PEA ＝∠BED ，故△PAE ∽△BDE ． …………………… 10分21B ．解：设点(x 0，y 0)为曲线|x |+|y |=1上的任意一点，在矩阵10103M ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭对应的变换作用下得到的点为(,)x y ''，则0010103x x y y ⎛⎫'⎡⎤⎡⎤ ⎪=⎢⎥⎢⎥ ⎪' ⎪⎣⎦⎣⎦⎝⎭，所以003x x y y ='⎧⎨='⎩ ……5分 所以曲线|x |+|y |=1在矩阵10103M ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭对应的变换作用下得到的曲线为|x |+3|y |=1， 所围成的图形为菱形，其面积为1222233⨯⨯= .……10分21C ．解：（1）将M 及对应的参数3πϕ=代入cos ,(0,sin x a a b y b ϕϕϕ=⎧>>⎨=⎩为参数），得2cos 3sin3a b ππ⎧=⎪⎪=，所以42a b =⎧⎨=⎩，所以曲线1C 的普通方程为221164x y +=. ……4分（2）曲线1C 的极坐标方程为2222cos sin 1164ρθρθ+=，将12(,),(,)2A B πρθρθ+代入 得222211cos sin 1164ρθρθ+=，222222sin cos 1164ρθρθ+=，所以221211516ρρ+=. ……10分21D ．解：因为a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，所以(2a ＋1)＋(2b ＋2)＝5，从而(12a ＋1＋2b ＋1 )[(2a ＋1)＋(2b ＋2)]＝1＋4＋2b ＋22a ＋1＋4(2a ＋1)2b ＋2≥5＋22b ＋22a ＋1×4(2a ＋1)2b ＋2＝9． …………………… 6分所以12a ＋1＋2b ＋1≥95．当且仅当2b ＋22a ＋1＝4(2a ＋1)2b ＋2，且a ＋b ＝1，即a ＝13，b ＝23 时，12a ＋1＋2b ＋1取得最小值95． …………………… 10分 22．解：因为在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，所以分别以AB 、AC 、1AA 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系， 则111(0,0,0),(2,0,0),(0,4,0),(0,0,3),(2,0,3),(0,4,3)A B C A B C ,因为D 是BC 的中点，所以(1,2,0)D ，……………………………………………………2分（1）因为111(0,4,0),(1,2,3)AC A D ==-，设平面11A C D 的法向量1111(,,)n x y z =， 则1111100n AC n A D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111140230y x y z =⎧⎨+-=⎩，取111301x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以平面11A C D 的法向量1(3,0,1)n =，而1(1,2,3)DB =-， 所以1111113cos ,n DB n DB n DB ⋅<>==⋅ 所以直线1DB 与平面11A C D ；…………………………………5分（2）11(2,0,0)A B =，1(1,2,3)DB =-，设平面11B A D 的法向量2222(,,)n x y z =， 则2112100n A B n DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即222220230x x y z =⎧⎨-+=⎩，取22232x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，平面11B A D 的法向量2(0,3,2)n =，所以121212130cos ,n n n n n n ⋅<>==⋅， 二面角111B A D C --．……………………………………………10分23．（1）证明：0)(121)2()(31222222>-=+-++=-b a b a b ab a B A （2）证明：11,1B A n ==；,)2(,11,311nn n n n b a B b a b a n A n +=--+=≥++令,,y b a x b a =-=+且0,>y x ， 于是,)2(],)()[()1(21)2()2(1111111n n n n n n n n x B y x y x y n y y x y x n A =--++=--++=+++++ 因为y x C y x C y x C y x y x n n n n n n n n 11323111112)22(])()[(+-++++≥++=--+ ，所以n n n n n n n n B x x y x C y n A ===⋅+≥++)2(22)1(21111．。
2017年江苏省南通市高考数学一模试卷
2017年江苏省南通市高考数学一模试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题(本大题共14小题，共70.0分)1.函数的最小正周期为______ ．【答案】【解析】解：函数的最小正周期为，故答案为：．根据函数y=A sin（ωx+φ）的周期等于，得出结论．本题主要考查三角函数的周期性及其求法，利用了y=A sin（ωx+φ）的周期等于，属于基础题．2.设集合A={1，3}，B={a+2，5}，A∩B={3}，则A∪B= ______ ．【答案】{1，3，5}【解析】解：集合A={1，3}，B={a+2，5}，A∩B={3}，可得a+2=3，解得a=1，即B={3，5}，则A∪B={1，3，5}．故答案为：{1，3，5}．由交集的定义，可得a+2=3，解得a，再由并集的定义，注意集合中元素的互异性，即可得到所求．本题考查集合的交集、并集运算，注意运用定义法，以及集合中元素的互异性，属于基础题．3.复数z=（1+2i）2，其中i为虚数单位，则z的实部为______ ．【答案】-3【解析】解：∵z=（1+2i）2=1+4i+（2i）2=-3+4i，∴z的实部为-3．故答案为：-3．直接利用复数代数形式的乘法运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．4.口袋中有若干红球、黄球和蓝球，从中摸出一只球．摸出红球的概率为0.48，摸出黄球的概率为0.35，则摸出蓝球的概率为______ ．【答案】0.17【解析】解：∵摸出红球的概率为0.48，摸出黄球的概率为0.35，∴摸出蓝球的概率为1-0.48-0.35=0.17．故答案为0.17．利用对立事件的概率公式，可得结论．本题考查对立事件的概率公式，熟练掌握概率的基本性质是求解本题的关键．5.如图是一个算法的流程图，则输出的n的值为______ ．【答案】5【解析】解：当n=1，a=1时，满足进行循环的条件，执行循环后，a=5，n=3；满足进行循环的条件，执行循环后，a=17，n=5；满足进行循环的条件，退出循环故输出n值为5故答案为：5．由已知的程序框图可知，该程序的功能是利用循环计算a值，并输出满足a＜16的最大n值，模拟程序的运行过程可得答案．本题考查的知识点是程序框图，由于循环的次数不多，故可采用模拟程序运行的方法进行．6.若实数x，y满足则z=3x+2y的最大值为______ ．【答案】7【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=3x+2y得y=-x+z平移直线y=-x+z，由图象可知当直线y=-x+z经过点A时，直线y=-x+z的截距最大，此时z最大．由，解得A（1，2），代入目标函数z=3x+2y得z=3×1+2×2=7．即目标函数z=3x+2y的最大值为7．故答案为：7．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值．本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．【答案】20【解析】解：根据题意，对于甲，其平均数甲==75，其方差S甲2=[（65-75）2+（80-75）2+（70-75）2+（85-75）2+（75-75）2]=50；对于乙，其平均数乙==75，其方差S乙2=[（80-75）2+（70-75）2+（75-75）2+（80-75）2+（70-75）2]=20；比较可得：S甲2＞S乙2，则乙的成绩较为稳定；故答案为：20．根据题意，分别求出甲、乙的平均数与方差，比较可得S甲2＞S乙2，则乙的成绩较为稳定；即可得答案．本题考查方差的计算，注意掌握方差的计算公式．8.如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=3cm，AA1=1cm，则三棱锥D1-A1BD的体积为______ cm3．【答案】【解析】解：∵在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=3cm，AA1=1cm，∴三棱锥D1-A1BD的体积：=====（cm3）．故答案为：．三棱锥D1-A1BD的体积==，由此能求出结果．本题考查三棱锥的体积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．9.在平面直角坐标系x O y中，直线2x+y=0为双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线，则该双曲线的离心率为______ ．【答案】【解析】解：直线2x+y=0为双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线，可得b=2a，即c2-a2=4a2，可得=．故答案为：．利用双曲线的渐近线方程得到a，b关系，然后求解双曲线的离心率即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．10.《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则该竹子最上面一节的容积为______ 升．【答案】【解析】解：设最上面一节的容积为a1，由题设知，解得．故答案为：．设最上面一节的容积为a1，利用等差数列的通项公式、前n项和公式列出方程组，能求出结果．本题考查等差数列的首项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的通项公式和前n项和公式的灵活运用．11.在△ABC中，若•+2•=•，则的值为______ ．【答案】【解析】解：在△ABC中，设三条边分别为a、b，c，三角分别为A、B、C，由•+2•=•，得ac•cos B+2bc•cos A=ba•cos C，由余弦定理得：（a2+c2-b2）+（b2+c2-a2）=（b2+a2-c2），化简得=2，∴=，由正弦定理得==．故答案为：．根据题意，利用平面向量的数量积，结合余弦定理和正弦定理，即可求出的值．本题考查了平面向量的数量积以及余弦定理和正弦定理的应用问题，是综合性题目．12.已知两曲线f（x）=2sinx，g（x）=acosx，，相交于点P．若两曲线在点P处的切线互相垂直，则实数a的值为______ ．【答案】【解析】解：由f（x）=g（x），即2sinx=acosx，即有tanx==，a＞0，设交点P（m，n），f（x）=2sinx的导数为f′（x）=2cosx，g（x）=acosx的导数为g′（x）=-asinx，由两曲线在点P处的切线互相垂直，可得2cosm•（-asinm）=-1，且tanm=，则=1，分子分母同除以cos2m，即有=1，即为a2=1+，解得a=．故答案为：．联立两曲线方程，可得tanx==，a＞0，设交点P（m，n），分别求出f（x），g（x）的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为-1，再由同角基本关系式，化弦为切，解方程即可得到a的值．本题考查导数的运用：求切线的斜率，两直线垂直的条件：斜率之积为-1，同时考查同角三角函数的基本关系式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．13.已知函数f（x）=|x|+|x-4|，则不等式f（x2+2）＞f（x）的解集用区间表示为______ ．【答案】，，【解析】解：令g（x）=f（x2+2）-f（x）=x2+2+|x2-2|-|x|-|x-4|，x≥4时，g（x）=2x2-2x+4＞0，解得：x≥4；≤x＜4时，g（x）=2x2-4＞0，解得：x＞或x＜-，故＜x＜4；0≤x＜时，g（x）=0＞0，不合题意；-≤x＜0时，g（x）=2x＞0，不合题意；x＜-时，g（x）=2x2+2x-4＞0，解得：x＞1或x＜-2，故x＜-2，故答案为： ，，．令g（x）=f（x2+2）-f（x）=x2+2+|x2-2|-|x|-|x-4|，通过讨论x的范围，求出各个区间上的不等式的解集，取并集即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．14.在平面直角坐标系x O y中，已知B，C为圆x2+y2=4上两点，点A（1，1），且AB⊥AC，则线段BC的长的取值范围为______ ．【答案】[，]【解析】解：在平面直角坐标系x O y中，已知B，C为圆x2+y2=4上两点，点A（1，1），且AB⊥AC，如图所示当BC⊥OA时，|BC|取得最小值或最大值．由，可得B（，1）或（，1），由，可得C（1，）或（1，-）解得BC min==，BC max==．故答案为：[，]．画出图形，当BC⊥OA时，|BC|取得最小值或最大值，求出BC坐标，即可求出|BC|的长的取值范围．本题考查直线与圆的方程的综合应用、考查数形结合以及转化思想的应用，考查计算能力，属于难题．二、解答题(本大题共12小题，共154.0分)15.如图，在平面直角坐标系x O y中，以x轴正半轴为始边作锐角α，其终边与单位圆交于点A．以OA为始边作锐角β，其终边与单位圆交于点B，AB=．（1）求cosβ的值；（2）若点A的横坐标为，求点B的坐标．【答案】解：（1）在△AOB中，由余弦定理得，AB2=OA2+OB2-2OA•OB cos∠AOB，所以，∠=，即．（2）因为，，，∴．因为点A的横坐标为，由三角函数定义可得，，因为α为锐角，所以．所以，，即点，．【解析】（1）由条件利用余弦定理，求得cosβ的值．（2）利用任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，两角和差的正弦、余弦公式，求得点B的坐标．本题主要考查余弦定理，任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，两角和差的正弦、余弦公式的应用，属于基础题．16.如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，AC，BD相交于点O，点E为PC的中点，OP=OC，PA⊥PD．求证：（1）直线PA∥平面BDE；（2）平面BDE⊥平面PCD．【答案】证明：（1）连结OE，因为O为平行四边形ABCD对角线的交点，所以O为AC中点．又因为E为PC的中点，所以OE∥PA．…4分又因为OE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，所以直线PA∥平面BDE．…6分（2）因为OE∥PA，PA⊥PD，所以OE⊥PD． (8)分因为OP=OC，E为PC的中点，所以OE⊥PC． (10)分又因为PD⊂平面PCD，PC⊂平面PCD，PC∩PD=P，所以OE⊥平面PCD．…12分又因为OE⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面PCD．…14分．【解析】（1）连结OE，说明OE∥PA．然后证明PA∥平面BDE．（2）证明OE⊥PD．OE⊥PC．推出OE⊥平面PCD．然后证明平面BDE⊥平面PCD．本题考查平面与平面垂直的判定定理的应用，直线与平面平行的判定定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力．17.如图，在平面直角坐标系x O y中，已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，焦点到相应准线的距离为1．（1）求椭圆的标准方程；（2）若P为椭圆上的一点，过点O作OP的垂线交直线于点Q，求的值．【答案】解：（1）由题意得，，，…2分解得，c=1，b=1．所以椭圆的方程为．…4分（2）由题意知OP的斜率存在．当OP的斜率为0时，，，所以．…6分当OP的斜率不为0时，设直线OP方程为y=kx．由得（2k2+1）x2=2，解得，所以，所以．…9分因为OP⊥OQ，所以直线OQ的方程为．由得，所以OQ2=2k2+2．…12分所以．综上，可知．…14分．【解析】（1）由已知条件可得，，然后求解椭圆的方程．（2）由题意知OP的斜率存在．当OP的斜率为0时，求解结果；当OP的斜率不为0时，设直线OP方程为y=kx．联立方程组，推出．OQ2=2k2+2．然后求解即可．本题考查椭圆的简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．18.如图，某机械厂要将长6m，宽2m的长方形铁皮ABCD进行裁剪．已知点F为AD的中点，点E在边BC上，裁剪时先将四边形CDFE沿直线EF翻折到MNFE处（点C，D分别落在直线BC下方点M，N处，FN交边BC于点P），再沿直线PE裁剪．（1）当∠EFP=时，试判断四边形MNPE的形状，并求其面积；（2）若使裁剪得到的四边形MNPE面积最大，请给出裁剪方案，并说明理由．【答案】解：（1）当∠EFP=时，由条件得∠EFP=∠EFD=∠FEP=．所以∠FPE=．所以FN⊥BC，四边形MNPE为矩形．…3分所以四边形MNPE的面积S=PN•MN=2m2．…5分（2）解法一：设∠＜＜，由条件，知∠EFP=∠EFD=∠FEP=θ．所以，，．…8分由＞＞＜＜得＞＞，＜＜所以四边形MNPE面积为== ==…12分．当且仅当，即，时取“=”．…14分此时，（*）成立．答：当∠时，沿直线PE裁剪，四边形MNPE面积最大，最大值为m2．…16分解法二：设BE=tm，3＜t＜6，则ME=6-t．因为∠EFP=∠EFD=∠FEP，所以PE=PF，即．所以，．…8分由＜＜＞＞得＜＜＞，＜所以四边形MNPE面积为==…12分=．当且仅当，即时取“=”．…14分此时，（*）成立．答：当点E距B点m时，沿直线PE裁剪，四边形MNPE面积最大，最大值为m2．…16分．【解析】（1）当∠EFP=时，由条件得∠EFP=∠EFD=∠FEP=．可得FN⊥BC，四边形MNPE 为矩形．即可得出．（2）解法一：设∠＜＜，由条件，知∠EFP=∠EFD=∠FEP=θ．可得，，．四边形MNPE面积为==，化简利用基本不等式的性质即可得出．解法二：设BE=tm，3＜t＜6，则ME=6-t．可得PE=PF，即．，NP=3-T+，四边形MNPE面积为==，利用基本不等式的性质即可得出．本题考查了函数的性质、矩形的面积计算公式、基本不等式的性质、三角函数的单调性应与求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.已知函数f（x）=ax2-x-lnx，a∈R．（1）当时，求函数f（x）的最小值；（2）若-1≤a≤0，证明：函数f（x）有且只有一个零点；（3）若函数f（x）有两个零点，求实数a的取值范围．【答案】解：（1）当时，．所以′，（x＞0）．…2分令f'（x）=0，得x=2，当x∈（0，2）时，f'（x）＜0；当x∈（2，+ ）时，f'（x）＞0，所以函数f（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+ ）上单调递增．所以当x=2时，f（x）有最小值．…4分（2）由f（x）=ax2-x-lnx，得′，＞．所以当a≤0时，′＜，函数f（x）在（0，+ ）上单调递减，所以当a≤0时，函数f（x）在（0，+ ）上最多有一个零点．…6分因为当-1≤a≤0时，f（1）=a-1＜0，＞，所以当-1≤a≤0时，函数f（x）在（0，+ ）上有零点．综上，当-1≤a≤0时，函数f（x）有且只有一个零点．…8分（3）由（2）知，当a≤0时，函数f（x）在（0，+ ）上最多有一个零点．因为函数f（x）有两个零点，所以a＞0．…9分由f（x）=ax2-x-lnx，得′，＞，令g（x）=2ax2-x-1．因为g（0）=-1＜0，2a＞0，所以函数g（x）在（0，+ ）上只有一个零点，设为x0．当x∈（0，x0）时，g（x）＜0，f'（x）＜0；当x∈（x0，+ ）时，g（x）＞0，f'（x）＞0．所以函数f（x）在（0，x0）上单调递减；在（x0，+ ）上单调递增．要使得函数f（x）在（0，+ ）上有两个零点，只需要函数f（x）的极小值f（x0）＜0，即＜．又因为，所以2lnx0+x0-1＞0，又因为函数h（x）=2lnx+x-1在（0，+ ）上是增函数，且h（1）=0，所以x0＞1，得＜＜．又由，得，所以0＜a＜1．…13分以下验证当0＜a＜1时，函数f（x）有两个零点．当0＜a＜1时，＞，所以＜＜．因为＞，且f（x0）＜0．所以函数f（x）在，上有一个零点．又因为＞（因为lnx≤x-1），且f（x0）＜0．所以函数f（x）在，上有一个零点．所以当0＜a＜1时，函数f（x）在，内有两个零点．综上，实数a的取值范围为（0，1）．…16分下面证明：lnx≤x-1．设t（x）=x-1-lnx，所以′，（x＞0）．令t'（x）=0，得x=1．当x∈（0，1）时，t'（x）＜0；当x∈（1，+ ）时，t'（x）＞0．所以函数t（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+ ）上单调递增．所以当x=1时，t（x）有最小值t（1）=0．所以t（x）=x-1-lnx≥0，得lnx≤x-1成立．【解析】（1）当时，．求出函数的导数，得到极值点，然后判断单调性求解函数的最值．（2）由f（x）=ax2-x-lnx，得′，＞．当a≤0时，函数f（x）在（0，+ ）上最多有一个零点，当-1≤a≤0时，f（1）=a-1＜0，＞，推出结果．（3）由（2）知，当a≤0时，函数f（x）在（0，+ ）上最多有一个零点．说明a＞0，由f（x）=ax2-x-lnx，得′，＞，说明函数f（x）在（0，x0）上单调递减；在（x0，+ ）上单调递增．要使得函数f（x）在（0，+ ）上有两个零点，只需要＜．通过函数h（x）=2lnx+x-1在（0，+ ）上是增函数，推出0＜a＜1．验证当0＜a＜1时，函数f（x）有两个零点．证明：lnx≤x-1．设t（x）=x-1-lnx，利用导数求解函数的最值即可．本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及函数的极值，构造法以及分类讨论思想的应用，考查计算能力．20.已知等差数列{a n}的公差d不为0，且，，…，，…（k1＜k2＜…＜k n＜…）成等比数列，公比为q．（1）若k1=1，k2=3，k3=8，求的值；（2）当为何值时，数列{k n}为等比数列；（3）若数列{k n}为等比数列，且对于任意n∈N*，不等式＞恒成立，求a1的取值范围．【答案】解：（1）由已知可得：a1，a3，a8成等比数列，所以，…2分整理可得：4d2=3a1d．因为d≠0，所以．…4分（2）设数列{k n}为等比数列，则．又因为，，成等比数列，所以．整理，得．因为，所以a1（2k2-k1-k3）=d（2k2-k1-k3）．因为2k2≠k1+k3，所以a1=d，即．…6分当时，a n=a1+（n-1）d=nd，所以．又因为，所以．所以，数列{k n}为等比数列．综上，当时，数列{k n}为等比数列．…8分（3）因为数列{k n}为等比数列，由（2）知a1=d，＞．，a n=a1+（n-1）d=na1．因为对于任意n∈N*，不等式＞恒成立．所以不等式＞，即＞，＜＜恒成立．…10分下面证明：对于任意的正实数ε（0＜ε＜1），总存在正整数n1，使得＜．要证＜，即证lnn1＜n1lnq+lnε．因为＜，则＜，解不等式＜，即＞，可得＞，所以＞．不妨取，则当n1＞n0时，原式得证．所以＜，所以a1≥2，即得a1的取值范围是[2，+ ）．…16分【解析】（1）由已知得：a1，a3，a8成等比数列，从而4d2=3a1d，由此能求出的值．（2）设数列{k n}为等比数列，则，推导出，从而，进而．由此得到当时，数列{k n}为等比数列．（3）由数列{k n}为等比数列，a1=d，＞．得到＞，＜＜恒成立，再证明对于任意的正实数ε（0＜ε＜1），总存在正整数n1，使得＜．要证＜，即证lnn1＜n1lnq+lnε．由此能求出a1的取值范围．本题考查等差数列的首项与公差的比值的求法，考查满足等比数列的等差数列的首项与公差的比值的确定，考查数列的首项的取值范围的求法，综合性强，难度大，对数学思维要求较高．21.已知圆O的直径AB=4，C为AO的中点，弦DE过点C且满足CE=2CD，求△OCE的面积．【答案】解：设CD=x，则CE=2x．因为CA=1，CB=3，由相交弦定理，得CA•CB=CD•CE，所以1×3=x•2x=2x2，所以．…2分取DE中点H，则OH⊥DE．因为，所以．…6分又因为，所以△OCE的面积．…10分．【解析】由相交弦定理，得CD，DE中点H，则OH⊥DE，利用勾股定理求出OH，即可求出△OCE 的面积．本题考查的是相交弦定理，垂径定理与勾股定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．22.已知向量是矩阵A的属于特征值-1的一个特征向量．在平面直角坐标系x O y中，点P（1，1）在矩阵A对应的变换作用下变为P'（3，3），求矩阵A．【答案】解：设，因为向量是矩阵A的属于特征值-1的一个特征向量，所以．所以…4分因为点P（1，1）在矩阵A对应的变换作用下变为P'（3，3），所以．所以…8分解得a=1，b=2，c=2，d=1，所以．…10分．【解析】设，根据矩阵变换，列方程组，即可求得a、b、c和d的值，求得A．本题考查矩阵的变换，考查方程思想，体现转化思想，属于中档题．23.在极坐标系中，求直线被曲线ρ=4sinθ所截得的弦长．【答案】解：以极点O为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系．直线的直角坐标方程为y=x①，…3分曲线ρ=4sinθ的直角坐标方程为x2+y2-4y=0②．…6分由①②得或…8分所以A（0，0），B（2，2），所以直线被曲线ρ=4sinθ所截得的弦长AB=．…10分．【解析】极坐标方程化为直角坐标方程，联立，求出A，B的坐标，即可求直线被曲线ρ=4sinθ所截得的弦长．本题考查极坐标方程化为直角坐标方程，考查方程思想，比较基础．24.求函数的最大值．【答案】解：…2分由柯西不等式得，…8分所以y max=5，此时．所以函数的最大值为5．…10分．【解析】利用二倍角公式化简函数的解析式，利用柯西不等式求解函数的最值即可．本题考查是的最值，柯西不等式在最值中的应用，考查转化思想以及计算能力．25.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为棱C1D1的中点，Q为棱BB1上的点，且BQ=λBB1（λ≠0）．（1）若，求AP与AQ所成角的余弦值；（2）若直线AA1与平面APQ所成的角为45°，求实数λ的值．【答案】解：以，，为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系A-xyz．（1）因为，，，，，，所以＜，＞=．所以AP与AQ所成角的余弦值为．…4分（2）由题意可知，，，，，，．设平面APQ的法向量为=（x，y，z），则即令z=-2，则x=2λ，y=2-λ．所以=（2λ，2-λ，-2）．…6分又因为直线AA1与平面APQ所成角为45°，所以|cos＜，＞|==，可得5λ2-4λ=0，又因为λ≠0，所以．…10分．【解析】（1）以，，为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系A-xyz．求出，，，，，，利用数量积求解AP与AQ所成角的余弦值．（2），，，，，．求出平面APQ的法向量，利用空间向量的数量积求解即可．本题考查空间向量数量积的应用，直线与平面所成角的求法，异面直线所成角的求法，考查计算能力．26.在平面直角坐标系x O y中，已知抛物线x2=2py（p＞0）上的点M（m，1）到焦点F的距离为2，（1）求抛物线的方程；（2）如图，点E是抛物线上异于原点的点，抛物线在点E处的切线与x轴相交于点P，直线PF与抛物线相交于A，B两点，求△EAB面积的最小值．【答案】解：（1）抛物线x2=2py（p＞0）的准线方程为，因为M（m，1），由抛物线定义，知，所以，即p=2，所以抛物线的方程为x2=4y．…3分（2）因为，所以′．设点，，，则抛物线在点E处的切线方程为．令y=0，则，即点，．因为，，F（0，1），所以直线PF的方程为，即2x+ty-t=0．则点，到直线PF的距离为．…5分联立方程消元，得t2y2-（2t2+16）y+t2=0．因为△=（2t2+16）2-4t4=64（t2+4）＞0，所以，，所以．…7分所以△EAB的面积为．不妨设（x＞0），则′．因为，时，g'（x）＜0，所以g（x）在，上单调递减；，上，g'（x）＞0，所以g（x）在，上单调递增．所以当时，．所以△EAB的面积的最小值为．…10分．【解析】（1）求出抛物线x2=2py（p＞0）的准线方程为，由抛物线定义，得到p=2，即可求解抛物线的方程．（2）求出函数的′．设点，，，得到抛物线在点E处的切线方程为．求出，．推出直线PF的方程，点，到直线PF的距离，联立求出AB，表示出△EAB的面积，构造函数，通过函数的导数利用单调性求解最值即可．本题考查抛物线与直线的位置关系的应用，函数的导数与函数的最值的求法，考查转化思想以及构造法的应用，难度比较大．。
南通市(数学学科基地命题)2017年高考模拟试卷 含答案
20XX 年高考模拟试卷(2)南通市数学学科基地命题第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 ． 1． 若集合2{|11},{|20}M x x N x x x =-≤≤=-≤，则MN = ▲ ．2． 已知复数(2)z i i =--，其中i 是虚数单位，则复数z 在复平面上对应的点位于第 ▲ 象限.3． 某高中共有1200人，其中高一、高二、高三年级的人数依次成等差数列．现用分层抽样的方法从中抽取48人，那么高二年级被抽取的人数为 ▲ ．4． 双曲线22132x y -=的离心率为 ▲ ．5． 执行右边的伪代码后，输出的结果是 ▲ ．6． 从2个黄球，2个红球，一个白球中随机取出两个球，则两球颜色不同的概率是 ▲ ．7． 若一个圆锥的母线长为2，侧面积是底面积的2倍，则该圆锥的体积为 ▲ ．8． 在等比数列{}n a 中，已知3754,2320a a a =--=，则7a = ▲ ． 9． 若函数)(x f 为定义在R 上的奇函数，当0>x 时，x x x f ln )(=，则不等式e xf -<)(的解集为 ▲ ．10. 已知实数,x y 满足40210440x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪+-⎩≤≥≥，则3z x y =+-的取值范围是 ▲ ．11．设函数π()π)3f x x =+和π()sin(π)6g x x =-的图象在y 轴左、右两侧靠近y 轴的交点分别为M 、N ，已知O 为原点，则OM ON ⋅= ▲ ．12．若斜率互为相反数且相交于点(1,1)P 的两条直线被圆O ：224x y +=所截得的弦长之比，则这两条直线的斜率之积为 ▲ ． 13． 设实数1m ≥，不等式||2x x m m -≥-对[1,3]x ∀∈恒成立，则实数m 的取值范围是 ▲ ．yAB 14．在斜三角形ABC 中，若114tan tan tan A B C+=,则sinC 的最大值为 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共90分.15．（本小题满分14分）己知向量(1,2sin ),(sin(),1)3a b πθθ==+，R θ∈．(1)若a b ⊥，求tan θ的值：(2)若//a b ，且(0,)2πθ∈，求以||a 、||b 为边，夹角为θ的三角形的面积．16．（本小题满分14分）如图，在三棱锥P - ABC 中，已知平面PBC ⊥平面ABC ． (1)若AB ⊥BC ，CP ⊥PB ，求证：CP ⊥PA ：(2)若过点A 作直线l ⊥平面ABC ，求证：l //平面PBC ．17.(本小题满分14分）如图，ABCD 是一块边长为100米的正方形地皮，其中ATPS 是一半径为90米的底面为扇形小山（P 为圆弧TS 上的点），其余部分为平地.今有开发商想在平地上建一个两边落在BC 及CD 上的长方形停车场PQCR ..（1）设PAB θ∠=,试将矩形PQCR 面积表示为θ的函数； （2）求停车场PQCR 面积的最大值及最小值. .18．(本小题满分14分）如图，点A （1，3）为椭圆1222=+ny x 上一定点，过点A 引两直线与椭圆分别交于B 、C 两点. （1）求椭圆方程;（2）若直线AB 、AC 与x 轴围成以点A 为顶点的等腰三角形.()i 求直线BC 的斜率；()ii 求△ABC 的面积最大值，并求出此时直线BC 的方程.19．(本小题满分16分）已知数列{n a }中，121,a a a ==，且12()n n n a k a a ++=+对任意正整数n都成立，数列{n a }的前n 项和为Sn.（1）若12k =，且20172017S =，求a ； （2）是否存在实数k ，使数列{n a }是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项12,,m m m a a a ++按某顺序排列后成等差数列，若存在，求出所有k 的值；若不存在，请说明理由； （3）若1,2n k S =-求.20．(本小题满分16分）已知函数'()ln ,()f x x a x f x =+为()f x 的导数，()f x 有两个零点1212,,()x x x x < ，且1202x x x +=.（1）当3a =-时，求 ()f x 的单调区间；（2）证明：'0()0f x > ；（3）证明：02(,),t x x ∃∈使得'020()()f x f t x x =--.第II 卷（附加题，共40分）O E D C B A21.【选做题】本题包括A, B,C,D 四小题，每小题10分，请选定其中两小题，并在相应的．．．．．答题区域内作答．．．．．．．. A ，（选修4-1；几何证明选讲）如图，AB 为圆O 的切线，A 为切点，C 为线段AB 的 中点，过C 作圆O 的割线CED （E 在C ，D 之间）.求证：∠CBE =∠BDE ．B ．（选修4-2：矩阵与变换） 已知矩阵 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=a A 203，A 的逆矩阵⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=-10311b A （1）求a,b 的值；（2）求A 的特征值.C ．（选修4-4：坐标系与参数方程） 己知在平面直角坐标系xOy 中，圆M 的参数方程为532cos 72sin 2x y θθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（θ为参数），以Ox 轴为极轴，O 为极点建立极坐标系，在该极坐标系下，圆N 是以点3,3π⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，且过点)2,2(π的圆．（1）求圆M 及圆N 在平面直角坐标系xOy 下的直角坐标方程； （2）求圆M 上任一点P 与圆N 上任一点Q 之间距离的最小值．D ．（选修4-5：不等式选讲）已知x,y,z 都是正数且xyz =8,求证：(2+x )(2+y )(2+z )≥64【选做题】第22题、23题，每题10分，共计20分.22．甲、乙两人投篮命中的概率为别为与，各自相互独立，现两人做投篮游戏，共比赛3局，每局每人各投一球．（1）求比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个的概率；（2）设ξ表示比赛结束后，甲、乙两人进球数的差的绝对值，求ξ的概率分布和数学期望E （ξ）．23．对于给定的大于1的正整数n ，设2012n n x a a n a n a n =++++，其中i a ∈{0,1,2,,1n -}，1,2,,0,,1i n n =-，且0n a ≠，记满足条件的所有x 的和为A n .（1）求A 2（2）设n A =(1)()2n n n f n -，求f （n ）.20XX 年高考模拟试卷(2)参考答案一、填空题1．[]0,1 2．四 3．16 4/3 5．286． 4/5. 1—（2222C C +）/25C =4/5 .7．3.圆锥母线长2，可求底面半径为1，故高，故V=3. 8． 64. 先得公比q 2=4,知7a =64 .9． (,-∞-e). 11()ln 1,(0,),(,),().f x x f e e e e'=++∞=为减区间为增区间 由于)(x f 是奇函数，结合函数图像得，不等式的解集是(,-∞-e) . 10. [1,7].根据可行域知，目标函数化为z=x-y+3(去掉绝对值是关键） 11． -8/9.令f(x)-g(x)=0,化简得2sin()0,,,66x x k k Z πππππ+=+=∈则15((66M N -，故OM ON ⋅=158((669-⋅12. -9或-1/9.设斜率为k,-k,则两条直线方程为kx-y+1-k=0,kx+y-1-k=0,两条弦心距为12d d ==12l l ==弦长之比得231030k k -+=，求出k=3,或k=-1/3,故结果为-9或-1/9.13．7(1,2][,)2+∞.（1）当12m≤≤时，不等式显然成立；（2）当3m≥时，由1(1)32(2)3m mm m-≥-⎧⎨-≥-⎩得72m≥；（3）当23m<<时，由02m≥-得m<2, 矛盾，综上，7[1,2][,)2m∈+∞..切化弦得22232()c a b=+，222221cos263a b c a bCab ab+-+==≥，于是知sinC的最大二、解答题15．(1)因为⊥a b，所以=0⋅a b，所以π2sin sin03θθ⎛⎫++=⎪⎝⎭，即5sin cos022θθ+=．因为cos0θ≠，所以tan5θ=-．(2)由a∥b，得π2sin sin13θθ⎛⎫+=⎪⎝⎭，即2ππ2sin cos2sin cos sin133θθθ+=，即()11cos2212θθ-+=，整理得，π1sin262θ⎛⎫-=⎪⎝⎭又π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ5π2,666θ⎛⎫-∈-⎪⎝⎭，所以ππ266θ-=，即π6θ=．所以三角形的面积1sin302=16．（1）因为平面PBC⊥平面ABC，平面PBC平面ABC BC=，AB⊂平面ABC，AB⊥BC，所以AB⊥平面PBC．因为CP⊂平面PBC，所以CP⊥AB.又因为CP⊥PB，且PB AB B=，,AB PB⊂平面PAB,所以CP⊥平面PAB，又因为PA⊂平面PAB，所以CP⊥PA．（2）在平面PBC内过点P作PD⊥BC，垂足为D．因为平面PBC⊥平面ABC，又平面PBC∩平面ABC＝BC，PD⊂平面PBC，所以PD⊥平面ABC．APBDxyAB CO又l ⊥平面ABC ，所以l //PD ． 又l ⊄平面PBC ，PD ⊂平面PBC ， 所以l //平面PBC ．17.(1)S P Q C R ＝f （θ）＝（100－90cos θ）（100－90sin θ）＝8100sin θcos θ－9000（sin θ＋cos θ）＋10000 , θ∈[0，2π]. （2）由（1）知S P Q C R ＝f （θ）＝8100sin θcos θ－900（sin θ＋cos θ）＋10000 ,θ∈[0，2π] .令sin θ＋cos θ＝t ，则t ＝2sin （θ＋4π）∈[1， 2]. ∴S P Q CR ＝28100t 2－9000t ＋10000－28100当t ＝910时，S P Q CD 最小值为950（m 2）当t ＝2时，S P Q CD 最大值为14050－90002 （m 2）.答:停车场面积的最大值和最小值分别为 14050－90002 （m 2）和950（m 2）.18． (1)把点A （1，3）代入1222=+n y x 得n ＝6，故椭圆方程为22126x y +=. （2）（i ）显然题中等腰三角形腰所在的直线不可能与x 轴垂直，因此其斜率必存在，设两腰的斜率分别为1k 、2k ，由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-162)1(3221y x x k y得点B 的横坐标为33261211++-=k k x （1=x 为点A 的横坐标）， ∴点B 的纵坐标为3632321121++-=k k k y ，即)36323,33261(21121211++-++-k k k k k B .同理可得点C 的坐标为)36323,33261(22222222++-++-k k k k k C∵ 021=+k k ,∴ 直线BC 的斜率为3=BC k .(ii)设直线BC 的方程为m x y +=3，代入方程16222=+y x 得0632622=-++m mx x ，∴ 212332||m BC -=又点A 到直线BC 的距离为2||m d =∴ 36)6(63)12(63||212222+--=-=⋅=m m m d BC S ∴ 当62=m ，即6=m 或6-=m 时，△ABC 面积取得最大值为3.此时，直线BC 的方程为63±=x y .19．⑴12k =时，121()2n n n a a a ++=+，211n n n n a a a a +++-=-，所以数列{}n a 是等差数列， 此时首项11a =，公差211d a a a =-=-，数列{}n a 的前n 项和是1(1)(1)2n S n n n a =+--，故12017201720172016(1)2a a =+⨯⨯-，得1a =；⑵设数列{}n a 是等比数列，则它的公比21a q a a ==，所以1m m a a -=，1m m a a +=，12m m a a ++=，①若1m a +为等差中项，则122m m m a a a ++=+，即112m m m a a a -+=+，解得1a =，不合题意；②若m a 为等差中项，则122m m m a a a ++=+，即112m m m aa a -+=+，化简得：220a a +-=，解得2a =-,1a =（舍去）；11122215m m m m m m a a a k a a a a a +-++====-+++； ③若2m a +为等差中项，则212m m m a a a ++=+，即112m m m aa a +-=+，化简得：2210a a --=，解得12a =-；11122215m m m m m m a a a k a a a a a +-++====-+++； 综上可得，满足要求的实数k 有且仅有一个，25k =-； ⑶12k =-则121()2n n n a a a ++=-+， 211()n n n n a a a a ++++=-+，32211()n n n n n n a a a a a a ++++++=-+=+，当n 是偶数时， 12341n n n S a a a a a a -=++++++12341()()()n n a a a a a a -=++++++12()(1)22n na a a =+=+， 当n 是奇数时， 12341n n n S a a a a a a -=++++++123451()()()n n a a a a a a a -=+++++++1231()2n a a a -=++1121[()]2n a a a -=+-+11(1)2n a -=-+，1n =也适合上式，综上可得，n S ⎧=⎨⎩11(1),2(1),2n a n a --++n n 是奇数是偶数．20．(1) '3()3ln ,()x f x x x f x x-=-=，可得f (x)的单调减区间为（0,3），单调增区间为（3，+∞）. (2) 设2(1)()ln (1)1x x x x x ϕ-=->+，可证此函数在（1，+∞）是增函数，且(1)0ϕ>，令211x x x =>，代入得到211221ln ln 2x x x xx x -+<-， 而由21112221ln ,ln ln ln x x x a x x a x a x x -=-=-⇒=-->122x x +-,故有12''12012122()22()()1102x x x x af x f x x x x +-+==+>+=++. (3)令2200()ln()x G x x x x x =--，'2020(,),()ln 0,xx x x G x x ∈=>G(x)是增函数，D令201x t x =>，则有0022()[ln (1)]01()[ln (10G x x t t G x x t t =--<⎧⎪⎨=-->⎪⎩（用到lnx<x-1）, 由零点定理知，存在02(,),()0t x x G t ∈=， 即20202020ln ln ln ln 111x x x x aa tx x t x x --=⇔+=+--即'020()()f x f t x x =--.第II 卷（附加题，共40分）21.A .因为CA 为圆O 的切线，所以2CA CE CD =⋅， 又CA CB =， 所以2CB CE CD =⋅， 即CB CDCE CB=， 又BCD BCD ∠=∠， 所以BCE ∽DCB ， 所以∠CBE =∠BDE ．B ．（1）因为A A －1＝⎣⎡⎦⎤302a⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13 0 b 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1 023＋ab a ＝⎣⎡⎦⎤1001． 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，23＋ab ＝0．解得a ＝1，b ＝－23． （2）由（1）得A ＝⎣⎡⎦⎤3021， 则A 的特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－30－2 λ－1＝(λ－3)( λ－1)．令f (λ)＝0，解得A 的特征值λ1＝1，λ2＝3．C ．（1）⊙M ：227(()42x y -+-=，)3π对应直角坐系下的点为3)2,(2,2π对应直角坐系下的点为(0,2)，∴⊙N ：223(()122x y -+-=（2）PQ =MN -3=431-=.D ．因为x 为正数，所以2＋x ≥22x ．同理 2＋y ≥22y ，2＋z ≥22z ．（5分）所以(2＋x )( 2＋y )( 2＋z )≥22222288x y z xyz = 因为xyz ＝8， 所以(2＋x )( 2＋y )( 2＋z )≥64．22．( 1）比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个，有以下几种情况：甲进1球，乙进0球；甲进2球，乙进1球；甲进3球，乙进2球． 比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个的概率： p=++=．（2）由已知得ξ的可能取值为0，1，2，3，P （ξ=0）=+++==，P （ξ=1）=+++=， P （ξ=3）==，P （ξ=2）=1﹣P （ξ=0）﹣P （ξ=1）﹣P （ξ=3）=1﹣=，∴ξ的分布列为： ξ 0 1 2 3 PEξ==1．23．⑴当2n =时，01224x a a a =++，0{0,1}a ∈，1{0,1}a ∈，21a =， 故满足条件的x 共有4个，分别为004x =++，024x =++，104x =++，124x =++, 它们的和是22． ⑵由题意得，0121,,,,n a a a a -各有n 种取法；n a 有1n -种取法，由分步计数原理可得0121,,,,n a a a a -,n a 的不同取法共有(1)(1)n n n n n n n ⋅⋅⋅-=-，即满足条件的x 共有(1)nn n -个， 当0a 分别取0,1,2,,1n -时，121,,,n a a a -各有n 种取法，n a 有1n -种取法， 故n A 中所有含0a 项的和为21(1)(0121)(1)2n n n n n nn --++++--=；同理，n A 中所有含1a 项的和为21(1)(0121)(1)2n n n n n nn n n --++++--⋅=⋅；n A 中所有含2a 项的和为2122(1)(0121)(1)2n n n n n nn n n --++++--⋅=⋅；n A 中所有含1n a -项的和为2111(1)(0121)(1)2n n n n n n n nn nn ----++++--⋅=⋅；当n a 分别取1,2,,1i n =-时，0121,,,,n a a a a -各有n 种取法，故n A 中所有含n a 项的和为1(1)(121)2n nnnn n n n n n +-+++-⋅=⋅；所以n A =2121(1)(1)(1)22n n n n n n n n n n nn +---+++++⋅；21(1)1(1)212n n n n n n n n n n n +---=⋅+⋅-1(1)(1)2n n n n n n n +-=+-故1()1n n f n n n +=+-．。
江苏省南通市(数学学科基地命题)2017年高考模拟试卷(8) Word版含答案
2017年高考模拟试卷(8)南通市数学学科基地命题第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 ． 1. 集合{}{}0,2,1,0,1x A B ==-，若{}0,1A B ⋂=，则x = ▲ .2. 若复数()(1i)1i z a =+-(i 为虚数单位，a ∈R )满足||2z =，则2016()ai = ▲ .3. 已知倾斜角为α的直线l 的斜率等于双曲线2213y x -=的离心率，则2016sin(2)3π-α=▲ .4. 某中学共有学生2000人，其中高一年级共有学生650人，高二男生有370人。
现在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0.19．则该校高三学生共有 ▲ 人. 5. 已知偶函数()f x 在[)0,+∞上单调递减，且()30f =，则 不等式2(2)0f x x ->的解集为 ▲ .6. 运行如图所示的算法流程图，输出的结果为 ▲ .7. 已知集合{}2,1,0A =--，{}1,0,1,2B =-，若,a A b B ∈∈， 则b a AB -∈的概率 ▲ .8. 数列{}n a 满足122,1,a a ==且1111(2)n n nn n n a a a n a a a --++-=≥-，则使得20162n a a =成立的正整数 n = ▲ .9.函数()sin f x x x a =+-在区间[]0,2π上恰有三个零点x 1，x 2，x 3，则x 1＋x 2＋x 3 ＝ ▲ .10. 已知椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12F F 、.其中2F 也是抛物线224C y x =：的焦点，点M 为12C C 与在第一象限的交点，且1523MF a =-.则椭圆1C 的方程为 ▲ .11. 已知函数222101,()2 1,x mx x f x mx x ⎧+-=⎨+>⎩，，≤≤，若()f x 在区间[)0,+∞上有且只有2个零点，MFEDC BA则实数m 的取值范围是 ▲ . 12. 已知0,0x y >>，且2x y +≤，则4122x y x y+++的最小值为 ▲ . 13. 在平行四边形ABCD 中，3A π∠=，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足||||||||BM CN BC CD =，则AM AN ⋅的最大值为 ▲ . 14. 已知函数2()12f x x x =-的定义域为[]0m ，，值域为20am ⎡⎤⎣⎦，，则实数a 的取值范围是 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共90分.15．（本小题满分14分）已知斜三角形ABC ∆中． （1）求角C ；（2）若c =，求当ABC ∆的周长最大时的三角形的面积．16．（本小题满分14分）如图，矩形ADEF 与梯形ABCD 所在的平面互相垂直，其中AB ∥CD ，AB ⊥BC ，2AB DC =，45BDC ︒∠=，点M 在线段EC 上． （1）若2EM CM =，求证：AE ∥面BDM ； （2）证明：平面BDM ⊥平面ADEF.17．(本小题满分14分）为解决城市的拥堵问题，某城市准备对现有的一条穿城公路MON 进行分流，已知穿城公路MON 自西向东到达城市中心点O 后转向东北方向，现准备修建一条城市高架道路L ，L 在MO 上设一出入口A ，在ON 上设一出入口B ，假设高架道路L 在AB 部分为直线段，且要求市中心O 与AB 的距离为10km ． （1）求两站点,A B 之间距离的最小值；（2）公路MO 段上距离市中心O 30km 处有一古建筑群C ，为保护古建筑群，设立一个以C 为圆心，5km 为半径的圆形保护区．则如何在古建筑群和市中心O 之间设计出入口A ，才能使高架道路及其延伸段不经过保护区？18．(本小题满分14分）已知圆O ：x 2 + y 2 = 4，两个定点A (a ，2)，B (m ，1)，其中a ∈R ，m > 0.P 为圆O 上任意一点，且PAPB = k (k 为常数). （1）求常数k 的值；（2）过点E (a ，t )作直线l 与圆C ：x 2 + y 2 = m 交于M 、N 两点，若M 点恰好是线段NE的中点，求实数t 的取值范围．19．(本小题满分16分）已知函数2()(1)ln f x x a+x x =--+2，且该函数在1x =处取得极值. (1)求实数a 的值，并求出函数的单调区间；(2)若函数5()()2g x f x b x =-+在区间(0,2016)上只有一个零点，求实数b 的值；(3)令2()()2f x kh x x x x=+--，当0k <时，若函数()f x 的图象与x 轴交于不同的两点1(,0)A x ，()2,0B x ，12x x <，求证：122x x +>N20．(本小题满分16分）对于数列{}n a ，记1n n n a a a +∆=-，11k k k n n n a a a ++∆=∆-∆，,k n N *∈，则称数列{}k n a ∆为数列{}n a 的“k 阶差数列”.（1）已知1()2n n a ∆=-，① 若{}n a 为等比数列，求1a 的值；② 设t 为任意正数，证明：存在k N *∈，当,,n m k n N m N **>≥∈∈时总有||.n m a a t -≤（2）已知23-2n n a ∆=，若11a =，且3n a a ≥对n N *∈恒成立，求2a 的取值范围.第II 卷（附加题，共40分）21.【选做题】本题包括A, B,C,D 四小题，每小题10分，请选定其中两小题，并在相应的．．．．．答题区域内作答．．．．．．．. A.（选修4-1；几何证明选讲）如图，ABC ∆内接于圆O ，过点A 作圆O 的切线交CB 的延长线于点P ，BAC ∠的平分线分别交BC 于点D ，若2PA PB =. 求证：2CD DB =.B ．（选修4-2：矩阵与变换）已知矩阵302A a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，A 的逆矩阵11031A b -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求2A .C ．（选修4-4：坐标系与参数方程）在极坐标系中，圆C 的方程为2cos (0)a a ρθ=≠，以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l 的参数方程为31(43x t t y t =+⎧⎨=+⎩为参数），若直线l 与圆C 恒有公共点，求实数a 的取值范围.D ．（选修4-5：不等式选讲）已知正数x ，y ，z 满足x +y +z =1.求证：22212223x y z y z z x x y ++≥+++.【选做题】第22题、23题，每题10分，共计20分.22．如图，一简单几何体ABCDE 的一个面ABC 内接于圆O, AB 是圆O 的直径，四边形DCBE 为平行四边形，且DC ⊥平面ABC. 若AC=BC=BE =2,（1）BE 边上是否存在一点M ，使得AD 和CM 的夹角为60︒？ （2）求锐角二面角O-CE-B 的余弦值.23．设整数n ≥3，集合P ={1，2，3，…，n }，A ，B 是P 的两个非空子集．记a n 为所有满足A 中的最大数小于B 中的最小数的集合对(A ，B )的个数． （1）求a 3； （2）求a n ．2017年高考模拟试卷(8)参考答案一、填空题1. 0 . 由{}0,1A B ⋂=,可得21x =，所以，0x =2. 1. 法一：由()(1i)1i (1)(1)i z a a a =+-=++-，所以z ，所以222(1)(1)2a a ++-=，所以21a =，即1a =±，所以20162016()()1ai i ==法二：由(1i)1i 2z a =+-==，所以212a +=，所以21a =，即1a =±， 所以20162016()()1ai i ==.3. 45-. 因为tan 2=α，所以，22220162sin cos 2tan 4sin(2)sin 23sin cos 1tan 5παααααααα-=-=-=-=-++. 4. 600. 设高二女生人数为x 人，所以，0.192000x=，即380x =，所以，高三人数为 2000-650-370-380=600人。
(高清版)【江苏省南通市】2017年高考(数学学科基地命题)模拟数学试卷(四)
江苏省南通市2017年高考（数学学科基地命题）模拟数学试卷（四）第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．已知集合21{}|60A x x =-<，5,{1}0,B -=，则AB =________．2．命题“若a b >，则22a b >”的否命题是________． 3．已知i 为虚数单位，复数12i1iz +=-，则复数z 的虚部是________． 4．一支田径队有男运动员28人，女运动员21人，现按性别用分层抽样的方法，从中抽取14位运动员进行健康检查，则男运动员应抽取________．5．执行如右图所示的程序框图，若输出s 的值为16，那么输入的n 值等于________．6．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，则其中恰有一个红球的概率是________． 7．等差数列{}n a 中，若357911100a a a a a ++++=，则9133a a -=________．8．将函数()sin2cos2f x x x =+的图像向右平移ϕ个单位（0ϕ>），可得函数()sin2cos2g x x x =-的图像，则ϕ的最小值为________．9．已知圆锥的底面圆心到某条母线的距离为1，则该圆锥母线的长度取最小值时，该圆锥的体积为________． 10．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=，4AC =，2BC =，D 是BC 的中点，E 是AB 的中点，P 是ABC △（包括边界）内任一点．则AD EP 的取值范围是________．11．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，在(0,2]上是增函数，且(4)()f x f x -=-，给出下列结论： ①若1222x x -<<<且120x x +>，则12()()0f x f x +>；②若1204x x <<<且125x x +=，则12()()f x f x >；③若方程()f x m =在[8,8]-内恰有四个不同的实根x 1，x 2，x 3，x 4，则12348x x x x +++=-或8； ④函数()f x 在[8,8]-内至少有5个零点，至多有13个零点； 其中正确的结论的个数是________个．12．已知函数()f x 满足1()2()f x f x =，当[1,3]x ∈时，()ln f x x =，若在区间1[,3]3上，函数()()g x f x ax =-恰有一个零点，则实数a 的取值范围是________．13．设P 是圆M ：22()(55)1x y -+-=上的动点，它关于()9,0A 的对称点为Q ，把P 绕原点依逆时针方向旋转90到点S ，则||SQ 的取值范围为________．14．如图，在数轴上截取与闭区间[0,4]对应的线段，对折后（坐标4所对应的点与原点重合）再均匀地拉成4个单位长度的线段，这一过程称为一次操作（例如在第一次操作完成后，原来的坐标1、3变成2，原来的坐标2变成4，等等）．那么原闭区间[0,4]上（除两个端点外）的点，在第n 次操作完成后（1n ≥），恰好被拉到与4重合的点所对应的坐标组成的集合是________．二、解答题：本大题共6小题，共90分． 15．（本小题满分14分）在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2A B =，3sin B =． （1）求cos A 及sin C 的值； （2）若2b =，求ABC △的面积． 16．（本小题满分14分）如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，11AA B B 为正方形，11BB C C 为菱形，1160BB C ∠=，平面11AA B B ⊥平面11BB C C ．（1）求证：11B C AC ⊥；（2）设点E ，F 分别是B 1C ，AA 1的中点，试判断直线EF 与平面ABC 的位置关系，并说明理由．17．（本小题满分14分）已知某食品厂需要定期购买食品配料，该厂每天需要食品配料200千克，配料的价格为1.8元/千克，每次购买配料需支付运费236元．每次购买来的配料还需支付保管费用，其标准如下：7天以内（含7天），无论重量多少，均按10元/天支付；超出7天以外的天数，根据实际剩余配料的重量，以每天0.03元/千克支付．（1）当9天购买一次配料时，求该厂用于配料的保管费用P 是多少元？（2）设该厂x 天购买一次配料，求该厂在这x 天中用于配料的总费用y （元）关于x 的函数关系式，并求该厂多少天购买一次配料才能使平均每天支付的费用最少？ 18．（本小题满分14分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>3，短轴端点到焦点的距离为2．（1）求椭圆C 的方程；（2）设点A ，B 是椭圆C 上的任意两点，O 是坐标原点，且OA OB ⊥；①求证：存在一个定圆，使得直线AB 始终为该定圆的切线，并求出该定圆的方程； ②若点O 为坐标原点，求AOB △面积的最大值． 19．（本小题满分16分） 已知曲线C ：1xy =，117x =过C 上一点(,)n n n A x y 作一斜率12n n k x =-+的直线交曲线C 于另一点，111(,)n n n A x y +++．（1）求n x 与1n x +之间的关系式； （2）求证：数列11{}23n x +-是等比数列，并求数列{}n x 的通项公式； （3）求证：23*123(1)(1)(1)...(1)1()n n x x x x n -+--+-<∈N ．20．（本小题满分16分）已知函数2()1(1)ln ()f x x a x x a =----∈R ． （1）当0a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()()1g x f x x =-+既有一个极小值和又有一个极大值，求a 的取值范围； （3）若存在(1,2)b ∈，使得当(0,]x b ∈时，()f x 的值域是[(),)f b +∞，求a 的取值范围． 注：自然对数的底数 2.71828...e =．第Ⅱ卷（附加题，共40分）21．【选做题】本题包括A ，B ，C ，D 四小题，每小题10分，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．A ，（选修4-1；几何证明选讲）如图，已知AB 切圆O 于点B ，BC 是圆O 的直径，AC 交圆O 于点D ，DE 是圆O 的切线，CE DE ⊥于E ，3DE =，4CE =，求AB 的长．B ．（选修4-2：矩阵与变换）求将曲线2y x =绕原点逆时针旋转90后所得的曲线方程．C ．（选修4-4：坐标系与参数方程）已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的非负半轴重合．若曲线C 1的方程为πsin()2306ρθ-+=，曲线C 2的参数方程为cos sin x y θ,θ.=⎧⎨=⎩（1）将C 1的方程化为直角坐标方程；（2）若点Q 为C 2上的动点，P 为C 1上的动点，求||PQ 的最小值． D ．（选修4-5：不等式选讲）设函数()|21||2|f x x x =+--． （1）求不等式()2f x >的解集； （2）若x ∀∈R ，211()2f x t t ≥-恒成立，求实数t 的取值范围． 【选做题】第22题、23题，每题10分，共计20分．22．设A ，B 是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验．每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A ，另2只服用B ，然后观察疗效．若在一个试验组中，服用A 有效的小白鼠的只数比服用B 有效的只数多，就称该试验组为甲类组．设每只小白鼠服用A 有效的概率为23，服用B 有效的概率为12． （1）求一个试验组为甲类组的概率；（2）观察三个试验组，用X 表示这三个试验组中甲类组的个数，求X 的分布列和数学期望．23．用数学归纳法证明：224n n nn C <<，其中2n ≥，n ∈N ．15．解：（1）∵2A B =，∴2cos cos21sin A B B ==-．∵sin B =11cos 1233A =-⨯=．由题意可知，π(0,)2B∈．∴cos Bsin sin22sin cos3A B B B===．∴sin sin[π()]sin()sin cos cos sin9C A B A B A B A B=-+=+=+=．（2）∵sin sinb aB A=，2b==，∴a=．16．解：（1）连接BC1．在正方形ABB1A1中，1AB BB⊥．因为平面11AA B B⊥平面11BB C C，11111AA B B BB C C BB=平面平面，11AB ABB A⊂平面，所以11BB CA B C⊥平面．因为111BC CB B C⊂平面，所以1AB B C⊥在菱形11BB C C中，．11BC B C⊥因为11B C ABC⊂平面，1AB ABC⊂平面，1B C AB B=，所以11B C ABC⊥平面．因为11AC ABC⊂平面，所以11B C AC⊥．（2）EF ABC∥平面，理由如下：取BC的中点G，连接GE，GA．因为E是B1C的中点，所以1GE BB∥，且112GE BB=．因为F是AA1的中点，所以112AF AA=．在正方形ABB1A1中，11AA BB∥，11AA BB=．所以GE AF ∥，且GE AF =． 所以四边形GEF A 为平行四边形． 所以EF GA ∥．因为EF ABC ⊄平面，GA ABC ⊂平面，所以EF ABC ∥平面．17．解：（1）当9天购买一次时，该厂用于配料的保管费用 700.03200(12)88P =+⨯⨯+=（元）． （2）（1）当7x ≤时36010236370236y x x x =++=+（2）当7x >时2[(7)360236706(6)21332143]2y x x x x x =++++-+⋯⋯++=++-∴2370236,73321432,7x x y x x x +≤⎧=⎨++>⎩∴设该厂x 天购买一次配料平均每天支付的费用为()f x 元．2370236,7()3321432,7x x xf x x x x x +⎧≤⎪⎪=⎨++⎪>⎪⎩．当7x ≤时236()370f x x =+当且仅当7x =时()f x 有最小值28264047≈（元）当7x >时23321432144()3(333219)x x f x x x x++==≥++．当且仅当12x =时取等号．∴所求椭圆方程为2214x y +=．（2）①当直线AB 的斜率不存在时，直线AB 的方程为x =，原点O 到直线AB ， 当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y kx m =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，则由2214m y y kx x ==+⎧+⎪⎨⎪⎩，得：222(14)8440k x kmx m +++-=，2216(14)0k m ∆=+->，122814km x x k+=-+，21224414m x x k -=+， 由2212122544014m k OA OB x x y y k --=+==+，得224(1)5m k =+， ∴原点O 到直线AB的距离d ===， 综上所述，原点O 到直线AB；即该定圆方程为2245x y +=． ②当直线AB的斜率不存在时5AB =， 当直线AB的斜率存在时，12|||AB x x =-= 当0k ≠时，||AB =12K =±时等号成立． 当0k =时，||AB =||AB 1255125=．19．解：（1）直线方程为1()2n n n y y x x x -=--+，因为直线过点111(,)n n n A x y +++， ∴111111111()()222n n n n n n n n n n n n n y y x x x x x x x x x x x +++++-=--⇒-=--⇒=+++． （2）设1123n n a x =+-，由（1）得 111111112()22233232n n n n n na a x x x x ++=+=+=-+=-+---又120a =-≠，故11{}23n x +-是等比数列；1(2)21(2)3n n n na x =-⇒=+--．（3）由（2）得∴1(1)(1)212(1)3n n n nnx -=-+--当n 为偶数时，则11111111222211(1)(1)11222222239n n n n n nn n n n n n n n n x x --------++-+-=<=++-∴2312321111(1)(1)(1)...(1) (112222)n n n n x x x x -+-+-++-<+++=-<；当n 为奇数时，则23123(1)(1)(1)...(1)1(1)n n n n x x x x x -+-+-++-<+- 而120123n n x =->+，所以1(1)11n n n x x +-=-<∴23123(1)(1)(1)...(1)1n n x x x x -+-+-++-<综上所述，当*n ∈N 时，23123(1)(1)(1)...(1)1nn x x x x -+-+-++-<成立．20．解：（1）()f x 的定义域为(0,)+∞．当0a =时，11()1x f x x x-'=-=．()001f x x '<⇔<<；()01f x x '>⇔>． 所以，函数()f x 的增区间为(1,)+∞，减区间为(0,1)．（2）2()(1)ln g x a x x =---，则21221()2(1)ax ax g x a x x x-+'=---=-．令2()221(0)h x ax ax x =-+>，若函数()g x 有两个极值点，则方程()0h x =必有两个不等的正根，设两根为x 1，x 2．于是2121220480,10,10.2a a a x x x x a ≠⎧⎪∆=->⎪⎪⎨+=>⎪⎪=>⎪⎩解得2a >．当2a >时，()0h x =有两个不相等的正实根，设为x 1，x 2，不妨设12x x <， 则122()()()()a x x x x h x g x x x--'=-=-． 当10x x <<时，()0h x >，()0g x '<，()g x 在1(0,)x 上为减函数； 当12x x x <<时，()0h x <，()0g x '>，()g x 在12(,)x x 上为增函数；当2x x >时，()0h x >，()0g x '<，函数()g x 在2(,)x +∞上为减函数．由此，1x x =是函数()g x 的极小值点，2x x =是函数()g x 的极大值点．符合题意． 综上，所求实数a 的取值范围是(2,)+∞．（3）212(21)1(1)(21)()12(1)ax a x x ax f x a x x x x-++--'=---=-=-①当0a ≤时，210ax x-<．当01x <<时，()0f x '<，()f x 在(0,1)上为减函数； 当1x >时，()0f x '>，()f x 在(1,)+∞上为增函数．所以，当(0,](12)x b b ∈<<时，min ()(1)0()f x f f b ==<，()f x 的值域是[0,)+∞． 不符合题意．②当0a >时，12(1)()2()a x x a f x x--'=-．（i ）当112a <，即1a >时，当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下：若满足题意，只需满足()(2)2f f a>，即21(1)ln 1ln2222a a a a a ---->--． 整理得11ln2ln21()42a a a ++-≥．令11()ln2ln21()42F a a a a =++-≥，当12a >时，221141()044a F a a a a -'=-=>，所以()F a 在1(,)2+∞上为增函数，所以，当12a >时，111()()ln20222F a F >=->=．可见，当12a >时，1()(2)2f f a >恒成立，故当12a >，(0,](12)x b b ∈<<时，函数()f x 的值域是[(),)f b +∞；所以12a >满足题意．（ⅱ）当112a =，即12a =时，2(1)()0x f x x -'=-≤，当且仅当1x =时取等号．所以()f x 在(0,)+∞上为减函数．从而()f x 在(0,]b 上为减函数．符合题意． （ⅱ）当112a >，即1a <<时，当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表： 若满足题意，只需满足(2)(1)f f <，且22a <（若22a≥，不符合题意）， 即1ln2a >-，且14a >． 又11ln24->，所以1ln2a >-．此时，11ln22a -<<．综上，1ln2a >-．所以实数a 的取值范围是(1ln2,)-+∞．21．A ．连接OD ，∵DE 是圆O 的切线，∴OD DE ⊥，又∵CE DE ⊥于E ，∴OD CE ∥， ∴ECD ODC OCD ∠=∠=∠，∵3DE =，4CE =，∴5CD =，∴3tan tan tan 4ECD ODC OCD ∠=∠=∠=，∴4cos 5OCD ∠=， 故25cos 4CD BC OCD ==∠，故75tan 16AB BC OCD =∠=． B ．由题意得旋转变换矩阵cos90sin900110sin90cos90M ⎡⎤--⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 设00(,)P xy 为曲线2y x =上任意一点，变换后变为另一点(,)x y ，则000110x x y y -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即00,,x y y x =-⎧⎨=⎩ 所以00,,y x x y =-⎧⎨=⎩又因为点P 在曲线2y x =上，所以200y x =，故2()x y -=，即2x y =为所求的曲线方程． C ．（1）由已知得31sin cos 2302ρθρθ-+，即0x -． （2）由C 2得221x y +=，所以圆心为2(0,0)C ，半径为1．又圆心到直线C 1的距离为d =||PQ 的最大值为1． D ．(1)不等式()2f x >可化为22122x x x >⎧⎨+-+>⎩或1222122x x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪++->⎩或122122x x x ⎧<-⎪⎨⎪--+->⎩， 解得5x <-或1x >，所以所求不等式的解集为{|51}x x x <->或．(2)因为3,21()|21||2|31,2213,2x x f x x x x x x x ⎧⎪+>⎪⎪=+--=--≤≤⎨⎪⎪--<-⎪⎩，可得5()2f x ≥-，若x ∀∈R ，211()2f x t t ≥-恒成立，则211522t t -≤-，解得152t ≤≤． 22．设Ai 表示事件“一个试验组中，服用A 有效的小白鼠有i 只”，0,1,2i =；Bi 表示事件“一个试验组中，服用B 有效的小白鼠有i 只”，0,1,2i =．依题意，有112423()39P A ⨯⨯=＝，222433()9P A ==⨯，0111()224P B =⨯=，1111()2222P B =⨯⨯=．故所求的概率为010212)1414144(()()4949299P P B A P B A P B A =⨯+⨯+⨯=＝＋＋． （2）由题意知X 的可能值为0，1，2，3，故有35125()()97290P X ===， 123451001()99243()P X C ⨯⨯===， 22345802()99243()P X C ⨯⨯===， 34643()9(7)29P X ===． 从而，X 的分布列为数学期望1251008064401237292432437293EX ⨯⨯+⨯⨯＝++=．23．①当2n =时，22222264C ⨯<=<不等式成立．②假设当n k =时，2264k k k k C <=<成立，则当1n k =+时由122(22)(21)2(1)2(21)(+1)(+1)(+1)(+1)(+1)k k k k k k C k k k k k k ++++⨯++===！！！！！！！！！11222222k k k k k k C C ++=>=>=，即11222k k k C +++<．11222122221222244441k kk k k k k k k k k k k C C C C C k +++++=<<=<=+， 因此1112224k k k k C ++++<<成立，即当1n k =+时，不等式成立， 所以，对2n ≥，n ∈N ，不等式224n n nn C <<恒成立．江苏省南通市2017年（数学学科基地命题）高考模拟数学试卷（四）解 析一、填空题1．∵A={x|-4<x<4}， B={-5，0，1}。
【江苏省南通市】2017年高考一模数学试卷-答案
江苏省南通市2017年高考一模数学试卷答 案1．2π3 2．{135},, 3．3- 4．0.17 5．5 6．7 7．20 8．32910．1322111213．(,2)(2,)-∞-+∞14．15．解：（1）在AOB △中，由余弦定理得，2222cos AB OA OB OA OB AOB =+∙∠-，所以，2222221135cos 22115OA OB ABAOB OA OB+-+-∠===⨯⨯， 即3cos 5β=． （2）因为3cos 5β=，(0,)2πβ∈，∴4sin 5β==． 因为点A 的横坐标为513，由三角函数定义可得，5cos 13α=，因为α为锐角，所以12sin 13α===．所以5312433cos()cos cos sin sin 13513565αβαβαβ+=-=⨯-⨯=-，sin()sin cos cos αβαβα+=+1235456sin 13513565β=⨯+⨯=， 即点3356(,)6565B -．16．证明：（1）连结OE ，因为O 为平行四边形ABCD 对角线的交点，所以O 为AC 中点． 又因为E 为PC 的中点， 所以//OE PA ．…4分又因为OE ⊂平面BDE ，PA ⊄平面BDE ， 所以直线//PA 平面BDE ．…6分（2）因为//OE PA ，PA PD ⊥，所以OE PD ⊥．…8分 因为OP OC =，E 为PC 的中点，所以OE PC ⊥．…10分 又因为PD ⊂平面PCD ，PC ⊂平面PCD ，PC PD P =，所以OE ⊥平面PCD ．…12分又因为OE ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面PCD ．…14分．17．解：（1）由题意得，c a =，21a c c -=，…2分解得a =1c =，1b =．所以椭圆的方程为2212x y +=．…4分（2）由题意知OP 的斜率存在．当OP 的斜率为0时，2OP =，2OQ =，所以．…6分当OP 的斜率不为0时，设直线OP 方程为y kx =．由2212x y y kx⎧+=⎪⎨⎪=⎩得22212k x +=()，解得22221x k =+，所以222221k y k =+，所以2222221k OP k +=+．…9分 因为OP OQ ⊥，所以直线OQ 的方程为1y x k=．由1y y xk ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得x =，所以2222OQ k =+．…12分 所以222221*********k OP OQ k k ++=+=++． 综上，可知22111OP OQ +=．…14分． 18．解：（1）当π4EFP ∠=时，由条件得π4EFP EFD FEP ∠=∠=∠=． 所以π2FPE ∠=．所以FN BC ⊥， 四边形MNPE 为矩形．…3分所以四边形MNPE 的面积2•2S PN MN m ==．…5分 （2）解法一： 设(0)2EFD πθθ∠=<<，由条件，知EFP EFD FEP θ∠=∠=∠=．所以22sin(2)sin 2PF πθθ==-，23sin 2NP NF PF θ=-=-，23tan ME θ=-．…8分 由230sin 2230tan 02θθπθ⎧->⎪⎪⎪->⎨⎪⎪<<⎪⎩得2sin 232tan ,()30.2θθπθ⎧>⎪⎪⎪>*⎨⎪⎪<<⎪⎩所以四边形MNPE 面积为112222()[(3)(3)]2622sin 2tan tan sin 2S NP ME MN θθθθ=+=-+-⨯=--2222(sin cos )366(tan )tan 2sin cos tan θθθθθθθ+=--=-+…12分66≤-- 当且仅当3tan tan θθ=，即tan θ，π3θ=时取“=”．…14分 此时，（*）成立． 答：当π3EFD ∠=时，沿直线PE 裁剪，四边形MNPE 面积最大，最大值为26-．…16分 解法二：设BE tm =，36t ＜＜，则6ME t =-．因为EFP EFD FEP ∠=∠=∠，所以PE PF =t BP -．所以2132(3)t BP t -=-，213333()32(3)t NP PF PE t BP t t -=-=-=--=-+-．…8分由22361302(3)13302(3)t t t tt t ⎧⎪<<⎪⎪-⎪>⎨-⎪⎪-⎪-+>-⎪⎩得236()12310t t t t <<⎧⎪>*⎨⎪-+<⎩ 所以四边形MNPE 面积为22111333067()[(3)(6)]2222(3)2(3t)t t t S NP ME MN t t t --+=+=-++-⨯=--…12分326[(3)]623t t =--+≤--．当且仅当32(3)23t t -=-，即33t ==+时取“=”．…14分 此时，（*）成立． 答：当点E 距B点33+m 时，沿直线PE 裁剪，四边形MNPE 面积最大，最大值为6-2．…16分．19．解：（1）当38a =时，23()ln 8f x x x x =--．所以31(32)(2)'()144x x f x x x x+-=--=，0x (＞)．…2分令'()0f x =，得2x =，当0,2x ∈()时，'0f x ()＜；当2x ∈+∞(,)时，'0f x ()＞，所以函数f x ()在02(,)上单调递减，在2+∞(,)上单调递增． 所以当2x =时，f x ()有最小值1(2)ln 22f =--．…4分（2）由2ln f x ax x x =()--，得2121'()21ax x f x ax x x--=--=，0x >．所以当0a ≤时，221'()0ax x f x x--=<，函数f x ()在0+∞(,)上单调递减，所以当0a ≤时，函数f x ()在0+∞(,)上最多有一个零点．…6分因为当10a ≤≤-时，110f a =()-＜，221()0e e af e e-+=>， 所以当10a ≤≤-时，函数f x ()在0+∞(,)上有零点． 综上，当10a ≤≤-时，函数f x ()有且只有一个零点．…8分（3）由（2）知，当0a ≤时，函数f x ()在0+∞(,)上最多有一个零点． 因为函数f x ()有两个零点，所以0a ＞…9分由2ln f x ax x x =()--，得221'()ax x f x x--=，(0)x >，令221g x ax x =()--．因为010g =()-＜，20a ＞，所以函数g x ()在0+∞(,)上只有一个零点，设为0x ．当00x x ∈(,)时，0g x ()＜，'0f x ()＜；当0x x ∈+∞(,)时，0g x ()＞，'0f x ()＞． 所以函数f x ()在00x (,)上单调递减；在0x +∞(,)上单调递增． 要使得函数f x ()在0+∞(,)上有两个零点，只需要函数f x ()的极小值00f x ()＜，即2000ln 0ax x x --<．又因为2000()210g x ax x =--=，所以002ln 10x x +-＞， 又因为函数2ln 1h x x x =+()-在0+∞(,)上是增函数，且10h =()， 所以01x ＞，得0101x <<． 又由20210ax x --=，得22000111112()()24a x x x =+=+-， 所以01a ＜＜．…13分 以下验证当01a ＜＜时，函数f x ()有两个零点． 当01a ＜＜时，21211()10a ag a a a a -=--=>， 所以011x a<<．因为22211()10a e e af e e e e-+=-+=>，且00f x ()＜． 所以函数f x ()在01(,)x e上有一个零点．又因为2242222()ln (1)10a f a a a a a a=--≥--=>（因为ln 1x x ≤﹣），且00f x ()＜．所以函数f x ()在02(,)x a上有一个零点．所以当01a ＜＜时，函数f x ()在12(,)e a内有两个零点． 综上，实数a 的取值范围为01(，)．…16分 下面证明：ln 1x x ≤-． 设1ln t x x x =()--，所以11'()1x t x x x-=-=，0x (＞)． 令'0t x =()，得1x =．当01x ∈(,)时，'0t x ()＜；当1x ∈+∞(,)时，'0t x ()＞． 所以函数t x ()在01(,)上单调递减，在1+∞(,)上单调递增． 所以当1x =时，t x ()有最小值10t =()． 所以1ln 0t x x x =≥()--，得ln 1x x ≤-成立．20．解：（1）由已知可得：1a ，3a ，8a 成等比数列，所以2111(2)(7)a d a a d +=+，…2分整理可得：2143d a d =．因为0d ≠，所以143a d =．…4分 （2）设数列{}n k 为等比数列，则2213k k k =．又因为1k a ，2k a ，3k a 成等比数列，所以2111312[(1)][(1)][(1)]a k d a k d a k d +-+-=+-．整理，得21213132132(2)(2)a k k k d k k k k k k --=---+．因为2213k k k =，所以121321322a k k k d k k k =(--)(--)．因为2132k k k ≠+，所以1a d =，即11a d=．…6分 当11a d=时，11n a a n d nd =+=(-)，所以n k n a k d =． 又因为1111n n n k k a a q k dq --==，所以11n n k k q -=．所以1111nn n n k k q q k k q +-==，数列{}n k 为等比数列． 综上，当11a d=时，数列{}n k 为等比数列．…8分 （3）因为数列{}n k 为等比数列，由（2）知1a d =，11(1)n n k k q q -=>．1111111n n n n k k a a q k dq k a q ---===，111n a a n d na =+=(-)．因为对于任意*n N ∈，不等式2n n k n a a k +>恒成立． 所以不等式1111112n n na k a qk q --+>，即111112n n k q a n k q -->+，111111110222n n n n k q qna k q k q --+<<=+恒成立．…10分下面证明：对于任意的正实数01εε(＜＜)，总存在正整数1n ，使得11n n q ε<． 要证11n n q ε<，即证11ln ln ln n n q ε+＜． 因为11ln 2x x x e ≤<，则1122111ln 2ln n n n =<，解不等式1211ln ln n n q ε<+，即1122211()ln ln 0n q n ε-+>，可得121n >，所以21n >．不妨取01n =+，则当10n n ＞时，原式得证． 所以11102a <≤，所以12a ≥，即得1a 的取值范围是[2+∞,)．…16分 21．解：设CD x =，则2CE x =． 因为1CA =，3CB =，由相交弦定理，得••CA CB CD CE =， 所以213?22x x x ⨯==，所以2x =．…2分 取DE 中点H ，则OH DE ⊥．因为2222354()28OH OE EH x =-=-=，所以OH =．…6分又因为2CE x ==所以OCE ∆的面积1122S OH CE ==⨯=10分． 22．解：设a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，因为向量11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦是矩阵A 的属于特征值1-的一个特征向量，所以111(1)111a b cd -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦．所以11a b c d -=-⎧⎨-=⎩…4分 因为点11P (,)在矩阵A 对应的变换作用下变为'33P (,)， 所以1313a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦．所以33a b c d +=⎧⎨+=⎩…8分 解得1a =，2b =，2c =，1d =，所以1221A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．…10分．23．解：以极点O 为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系． 直线π()4R θρ=∈的直角坐标方程为y x =①，…3分 曲线4sin ρθ=的直角坐标方程为2240x y y +=-②．…6分由①②得00x y =⎧⎨=⎩或22x y =⎧⎨=⎩…8分所以00A(,)，22B (,)，所以直线π()4R θρ=∈被曲线4sin ρθ=所截得的弦长AB =．…10分．24．解：3sin 3sin y x x =++2分由柯西不等式得222222(3sin (34)(sin cos )25y x x x =+≤++=，…8分 所以5max y =，此时3sin 5x =．所以函数3sin y x =+5．…10分．25．解：以1{,,}AB AD AA 为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系A xyz -． （1）因为(1,2,2)AP =，(2,0,1)AQ =，所以cos ,15APAQ AP AQ AP AQ===．所以AP 与AQ ．…4分 （2）由题意可知，1(0,0,2)AA =，(2,0,2)AQ λ=． 设平面APQ 的法向量为z n x y =(,,)，则00n AP n AQ ⎧=⎪⎨=⎪⎩即220220x y z x z λ++=⎧⎨+=⎩令2z =-，则2x λ=，2y λ=-． 所以222n λλ=(,-,-)．…6分又因为直线1AA 与平面APQ 所成角为45︒， 所以111cos ,2n AA n AA n AA ==， 可得2540λλ=-，又因为0λ≠，所以45λ=．…10分．26．解：（1）抛物线220x py p =(＞)的准线方程为2py =， 因为1M m (,)，由抛物线定义，知12pMF =+， 所以122p+=，即2p =，所以抛物线的方程为24x y =．…3分（2）因为214y x =，所以1'2y x =． 设点2(,)4t E t ，0t ≠，则抛物线在点E 处的切线方程为21()42t y t x t -=-．令0y =，则2tx =，即点(,0)2t P ．因为(,0)2t P ，01F (,)，所以直线PF 的方程为2()2ty x t =-，即20x ty t +=-． 则点2(,)4t E t 到直线PF的距离为d ==5分 联立方程2420x y x ty t ⎧=⎪⎨⎪+-=⎩消元，得2222(2t 16)0t y y t -++=． 因为224221646440t t t =+=+△()-()＞，所以1y =，2y = 所以221212222164(4)1122t t AB y y y y t t++=+++=++=+=．…7分 所以EAB △的面积为3222214(4)1(4)22t t S t t++=⨯=⨯． 不妨设322(4)()(0)x g x x x +=>，则12222(4)'()(24)x g x x x+=-．因为x ∈时，'0g x ()＜ ，所以g x ()在)x ∈+∞上，'0g x ()＞，所以g x ()在)+∞上单调递增．所以当x时，32min()g x ==所以EAB △的面积的最小值为10分．江苏省南通市2017年高考一模数学试卷解析1．【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】根据函数y=Asin（ωx+φ）的周期等于，得出结论．【解答】解：函数的最小正周期为，故答案为：．2．【考点】并集及其运算．【分析】由交集的定义，可得a+2=3，解得a，再由并集的定义，注意集合中元素的互异性，即可得到所求．【解答】解：集合A={1，3}，B={a+2，5}，A∩B={3}，可得a+2=3，解得a=1，即B={3，5}，则A∪B={1，3，5}．故答案为：{1，3，5}．3．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘法运算化简得答案．【解答】解：∵z=（1+2i）2=1+4i+（2i）2=﹣3+4i，∴z的实部为﹣3．故答案为：﹣3．4．【考点】概率的基本性质．【分析】利用对立事件的概率公式，可得结论．【解答】解：∵摸出红球的概率为0.48，摸出黄球的概率为0.35，∴摸出蓝球的概率为1﹣0.48﹣0.35=0.17．故答案为0.17．5．【考点】程序框图．【分析】由已知的程序框图可知，该程序的功能是利用循环计算a值，并输出满足a＜16的最大n值，模拟程序的运行过程可得答案．【解答】解：当n=1，a=1时，满足进行循环的条件，执行循环后，a=5，n=3；满足进行循环的条件，执行循环后，a=17，n=5；满足进行循环的条件，退出循环故输出n值为5故答案为：5．6．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=3x+2y得y=﹣x+z平移直线y=﹣x+z ，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大．由，解得A（1，2），代入目标函数z=3x+2y得z=3×1+2×2=7．即目标函数z=3x+2y的最大值为7．故答案为：7．7．【考点】极差、方差与标准差．【分析】根据题意，分别求出甲、乙的平均数与方差，比较可得S甲2＞S乙2，则乙的成绩较为稳定；即可得答案．【解答】解：根据题意，对于甲，其平均数甲==75，其方差S甲2=[（65﹣75）2+（80﹣75）2+（70﹣75）2+（85﹣75）2+（75﹣75）2]=50；对于乙，其平均数乙==75，其方差S乙2=[（80﹣75）2+（70﹣75）2+（75﹣75）2+（80﹣75）2+（70﹣75）2]=20；比较可得：S甲2＞S乙2，则乙的成绩较为稳定；故答案为：20．8．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】三棱锥D1﹣A1BD的体积==，由此能求出结果．【解答】解：∵在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=3cm，AA1=1cm，∴三棱锥D1﹣A1BD的体积：=====（cm3）．故答案为：．9．【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线的渐近线方程得到a，b关系，然后求解双曲线的离心率即可．【解答】解：直线2x+y=0为双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线，可得b=2a，即c2﹣a2=4a2，可得=．故答案为：．10．【考点】等差数列的通项公式．【分析】设最上面一节的容积为a1，利用等差数列的通项公式、前n项和公式列出方程组，能求出结果．【解答】解：设最上面一节的容积为a1，由题设知，解得．故答案为：．11．【考点】平面向量数量积的运算；正弦定理．【分析】根据题意，利用平面向量的数量积，结合余弦定理和正弦定理，即可求出的值．【解答】解：在△ABC中，设三条边分别为a、b，c，三角分别为A、B、C，由•+2•=•，得ac•cosB+2bc•cosA=ba•cosC，由余弦定理得：（a2+c2﹣b2）+（b2+c2﹣a2）=（b2+a2﹣c2），化简得=2，∴=，由正弦定理得==．故答案为：．12．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】联立两曲线方程，可得tanx==，a＞0，设交点P（m，n），分别求出f（x），g（x）的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，再由同角基本关系式，化弦为切，解方程即可得到a的值．【解答】解：由f（x）=g（x），即2sinx=acosx，即有tanx==，a＞0，设交点P（m，n），f（x）=2sinx的导数为f′（x）=2cosx，g（x）=acosx的导数为g′（x）=﹣asinx，由两曲线在点P处的切线互相垂直，可得2cosm•（﹣asinm）=﹣1，且tanm=，则=1，分子分母同除以cos2m，即有=1，即为a2=1+，解得a=．故答案为：．13．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】令g（x）=f（x2+2）﹣f（x）=x2+2+|x2﹣2|﹣|x|﹣|x﹣4|，通过讨论x的范围，求出各个区间上的不等式的解集，取并集即可．【解答】解：令g（x）=f（x2+2）﹣f（x）=x2+2+|x2﹣2|﹣|x|﹣|x﹣4|，x≥4时，g（x）=2x2﹣2x+4＞0，解得：x≥4；≤x＜4时，g（x）=2x2﹣4＞0，解得：x＞或x＜﹣，故＜x＜4；0≤x＜时，g（x）=0＞0，不合题意；﹣≤x＜0时，g（x）=2x＞0，不合题意；x＜﹣时，g（x）=2x2+2x﹣4＞0，解得：x＞1或x＜﹣2，故x＜﹣2，故答案为：．14．【考点】直线和圆的方程的应用．【分析】画出图形，当BC⊥OA时，|BC|取得最小值或最大值，求出BC坐标，即可求出|BC|的长的取值范围．【解答】解：在平面直角坐标系xOy中，已知B，C为圆x2+y2=4上两点，点A（1，1），且AB⊥AC，如图所示当BC⊥OA时，|BC|取得最小值或最大值．由，可得B（，1）或（，1），由，可得C（1，）或（1，﹣）解得BC min==，BC max==．故答案为：[，]．15．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】（1）由条件利用余弦定理，求得cosβ的值．（2）利用任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，两角和差的正弦、余弦公式，求得点B的坐标．16．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（1）连结OE，说明OE∥PA．然后证明PA∥平面BDE．（2）证明OE⊥PD．OE⊥PC．推出OE⊥平面PCD．然后证明平面BDE⊥平面PCD．17．【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．【分析】（1）由已知条件可得，，然后求解椭圆的方程．（2）由题意知OP的斜率存在．当OP的斜率为0时，求解结果；当OP的斜率不为0时，设直线OP方程为y=kx．联立方程组，推出．OQ2=2k2+2．然后求解即可．18．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）当∠EFP=时，由条件得∠EFP=∠EFD=∠FEP=．可得FN⊥BC，四边形MNPE为矩形．即可得出．（2）解法一：设，由条件，知∠EFP=∠EFD=∠FEP=θ．可得，，．四边形MNPE面积为==，化简利用基本不等式的性质即可得出．解法二：设BE=tm，3＜t＜6，则ME=6﹣t．可得PE=PF，即．，NP=3﹣T+，四边形MNPE面积为==，利用基本不等式的性质即可得出．19．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；根的存在性及根的个数判断；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）当时，．求出函数的导数，得到极值点，然后判断单调性求解函数的最值．（2）由f（x）=ax2﹣x﹣lnx，得．当a≤0时，函数f（x）在（0，+∞）上最多有一个零点，当﹣1≤a≤0时，f（1）=a﹣1＜0，，推出结果．（3）由（2）知，当a≤0时，函数f（x）在（0，+∞）上最多有一个零点．说明a＞0，由f（x）=ax2﹣x ﹣lnx，得，说明函数f（x）在（0，x0）上单调递减；在（x0，+∞）上单调递增．要使得函数f（x）在（0，+∞）上有两个零点，只需要．通过函数h（x）=2lnx+x﹣1在（0，+∞）上是增函数，推出0＜a＜1．验证当0＜a＜1时，函数f（x）有两个零点．证明：lnx≤x﹣1．设t（x）=x﹣1﹣lnx，利用导数求解函数的最值即可．20．【考点】数列与不等式的综合；等比数列的性质．【分析】（1）由已知得：a1，a3，a8成等比数列，从而4d2=3a1d，由此能求出的值．（2）设数列{k n}为等比数列，则，推导出，从而，进而．由此得到当时，数列{k n}为等比数列．（3）由数列{k n}为等比数列，a1=d，．得到，恒成立，再证明对于任意的正实数ε（0＜ε＜1），总存在正整数n1，使得．要证，即证lnn1＜n1lnq+lnε．由此能求出a1的取值范围．21．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】由相交弦定理，得CD，DE中点H，则OH⊥DE，利用勾股定理求出OH，即可求出△OCE的面积．22．【考点】特征值与特征向量的计算．【分析】设，根据矩阵变换，列方程组，即可求得a、b、c和d的值，求得A．23．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】极坐标方程化为直角坐标方程，联立，求出A，B的坐标，即可求直线被曲线ρ=4sinθ所截得的弦长．24．【考点】柯西不等式在函数极值中的应用；三角函数的最值．【分析】利用二倍角公式化简函数的解析式，利用柯西不等式求解函数的最值即可．25．【考点】直线与平面所成的角．【分析】（1）以为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系A﹣xyz．求出，，利用数量积求解AP与AQ所成角的余弦值．（2），．求出平面APQ的法向量，利用空间向量的数量积求解即可．26．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；抛物线的标准方程；直线与抛物线的位置关系．【分析】（1）求出抛物线x2=2py（p＞0）的准线方程为，由抛物线定义，得到p=2，即可求解抛物线的方程．（2）求出函数的．设点，得到抛物线在点E处的切线方程为．求出．推出直线PF的方程，点到直线PF的距离，联立求出AB，表示出△EAB的面积，构造函数，通过函数的导数利用单调性求解最值即可．。
【江苏省南通市】2017年高考(数学学科基地命题)模拟数学试卷(五)(附答案与解析)
A B=________的共轭复数是________名学生中抽取容量为20组中用抽签的方法确定抽出的号码为5．将甲、乙两个不同的球随机放入编号为盒子中各有1个球的概率为________6．设x∈R，则“2log1x<”是““既不充分也不必要”、“充要”中选择）7．已知圆22(1)4x y++=与抛物线________．10．已知函数π()sin(2)3f x x=+（0，且2AB AC AO +=，||||AB AO =，则CA CB =________)c bc +=，则b c+的最大值为________．（1）求证：EF PAD ∥平面； （2）求证：PAC PDE ⊥平面平面17．（小题满分14分）（1）求椭圆C的离心率；a=，问在x轴上是否存在点（2）已知7若存在，请求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．19．（本小题满分16分）已知函数()(1)e x=--（为自然对数的底数，f x x kB ．选修4—2：矩阵与变换求曲线||||1x y +=在矩阵M =（1）求直线1DB 与平面A （2）求二面角11B A D --23．【必做题】本题满分10设0a b >>，n 是正整数，（1）证明：22A B >；（2）比较A n 与B n （*n ∈N ）的大小，并给出证明．15．解：（1）由正弦定理知，sin sin b A a B == 又cos1a B =，②①，②两式平方相加，得22(sin )(cos )3a B a B +=， 因为22sin cos 1B B +=， 所以a =（负值已舍）；（2）由（1）中①，②两式相除，得sin cos BB=tan B 因为πA B -=，16．证：（1）方法1：取线段PD 的中点M ，连结FM 、AM ． 因为F 为PC 的中点，所以FM CD ∥，且12FM CD =． 因为四边形ABCD 为矩形，E 为AB 的中点，所以EA CD ∥，且12EA CD =．所以FM EA ∥，且FM EA =．所以四边形AEFM 为平行四边形．所以EF AM ∥． 又AM PAD ⊂平面，EF PAD ⊄平面， 所以EF PAD ∥平面．方法2：连结CE 并延长交DA 的延长线于N ，连结PN ． 因为四边形ABCD 为矩形，所以AD BC ∥， 所以BCE ANE ∠=∠，CBE NAE ∠=∠． 又AE EB =，所以CEB NEA ≅△△． 所以CE NE =．又F 为PC 的中点，所以EE NP ∥． 又NP PAD ⊂平面，EF PAD ⊄平面， 所以EF PAD ∥平面．方法3：取CD 的中点Q ，连结FQ 、EQ ． 在矩形ABCD 中，E 为AB 的中点， 所以AE DQ =，且AE DQ ∥． 所以四边形AEQD 为平行四边形， 所以EQ AD ∥．又AD PAD ⊂平面，EQ PAD ⊄平面，所以EQ PAD ∥平面．………………………………………………………………………….2分 因为Q 、F 分别为CD 、CP 的中点， 所以FQ PD ∥．又PD PAD ⊂平面，FQ PAD ⊄平面，所以FQ PAD ∥平面． 又FQ EQ EQF ⊂、平面，FQEQ Q =，所以平面EQF PAD ∥平面．………………….5分因为，所以EF PAD ∥平面． （2）设AC 、DE 相交于G ． 在矩形ABCD中，因为AB =， E 为AB的中点，所以DA CDAE DA==． EF EQF ⊂平面又DAE CDA ∠=∠，所以DAE CDA △△， 所以ADE DCA ∠=∠．又90ADE CDE ADC ∠+∠=∠=， 所以90DCA CDE ∠+∠=．由DGC △的内角和为180，得90DGC ∠=． 即DE AC ⊥．因为点P 在平面ABCD 内的正投影O 在直线AC 上，所以PO ABCD ⊥平面． 因为DE ABCD ⊂平面，所以PO DE ⊥． 因为POAC O ＝，PO AC PAC ⊂、平面，所以DE PAC ⊥平面，又DE PDE ⊂平面，所以PAC PDE ⊥平面平面．17．解：（1）设*()n n ∈N 年内所建安置房面积之和首次不低于3 000万m 2， 依题意，每年新建安置房面积是以200为首项，50为公差的等差数列， 从而n 年内所建安置房面积之和为(1)[20050]2n n n -+⨯ m 2， 则(1)[20050]30002n n n -+⨯≥，整理得，271200n n +-≥， 解得8n ≥（15n ≤-舍去）．答：8年内所建安置房面积之和首次不低于3 000万m 2．（2）依题意，每年新建住房面积是以500为首项，1．1为公比的等比数列， 设第m 年所建安置房面积占当年新建住房面积的比为()p m ， 则1120050(1)3()500(10.1)10 1.1m m m m p m --+-+==+⨯， 由()(1)p m p m =+得，13410 1.110 1.1m mm m -++=⨯⨯，解得7m =． 答：第7年和第8年，所建安置房面积占当年新建住房面积的比保持不变．……………………14分 18．解：（1）分别过点A 、B 作直线l 的垂线，垂足为A 1，B 1， 由题意得11AA BB =，由点到直线距离公式得112aAA BB ==，因为圆A 以AF 1为半径，所以半径为c ，被直线l 截得的弦长为，圆B 以OB 为半径，∴半径为a ，被直线l 截得的弦长为因为直线l ：y =被圆A 和圆B ，==，解得(0)43a c a c >>=．因为c e a =，所以所求的离心率为34，（2）存在点P ，使得过点P 有无数条直线被圆A 和圆B 截得的弦长之比为34， 设点0(,0)P x ，由题意可得直线方程为0()y k x x =-， 直线截圆A所得的弦长为，直线截圆B所得的弦长为34==， 化简得22222220016(7)9(7)(1)(169)k x k x k c a +--=+-（*）， 由（1）离心率为34，得22169c a =， 即方程（*）为200(49)(1)0k x x ++=，解得01x =-或049x =-， 即存在2个点(1,0)-和(49,0)-；当01x =-时，||6||8k k ⎧<⎪⎨<⎪⎩，解得k <<， 当049x =-时，||42||56k k ⎧<⎪⎨<⎪⎩，解得k <<即有无数条直线；19．解：（1）∵()()e x f x x k '=-，0x >．（i ）当0k ≤时，()0f x '>恒成立，∴()f x 的递增区间是(0,)+∞，无递减区间；无极值． （ii ）当0k >时，由()0f x '>得，x k >；由()0f x '<得，0x k <<；∴()f x 的递减区间是(0,)k ，递増区间是(,)k +∞，()f x 的极小值为()e k f k =-，无极大值． （2）①由()4f x x <，可得(1)e 40x x k x ---<，因为e 0x >，所以41e x x x k --<，即41e xx k x >--对任意[1,2]x ∈恒成立， 记4()1ex x g x x =--，则4(1)e 4(1)()1e e x x x x x g x -+-'=-=， 因为[1,2]x ∈，所以()0g x '>，即()g x 在[1,2]x ∈上单调递增， 故2max228e 8()(2)1e eg x g -==-=．所以实数k 的取值范围为22e 8(,)e -+∞．②由已知1212()()()f x f x x x =≠，结合（1）可知，0k >，()f x 在(,)k -∞上单调递减，在(,)k +∞上单调递增，又(1)0f k +=，1x k <+时，()0f x <．不妨设121x k x k <<<+，此时2x k >，12k x k ->，故要证122x x k +<，只要证122k x x ->，只要证12(2)()f k x f x ->， 因12()()f x f x =，即证11(2)()f k x f x ->．设2(1)e ()(2)()(1)e ()e kxxx k h x fk x f x x k x k -+-=--=---<，222()e ()(e e )()()e e e k k x xx xx k x k h x x k ---'=--=， ∴当x k <时，()0h x '<，()h x 在(,)k -∞上单调递减，∴(,)x k ∈-∞时，()()e e 0k k h x h k >=-+=， 故当x k <时，(2)()f k x f x ->，即11(2)()f k x f x ->成立，∴122x x k +<． 20．解：（1）13A =，21B =，23d =；24A =，21B =，23d =；37A =，31B =，36d =． ……………………………………………………………...……3分（2）①当1n =时，11(1)1a a λλ-=-+，所以11a =；当2n ≥时，由21(1)33n n S a n λλ-=-++，则1121(1)(1)33n n S a n λλ---=-+-+， 两式相减得12(1)3n n n S a a λλλ--=-++，即123n n a a λ-=+， 所以111222[]33(1)3(1)n n n n b a a b λλλλλ---=++=+=--．…………………………….……6分因为112313(1)3(1)b a λλλ-=+=--，所以当13λ≠时，数列{}n b 满足1n n b b λ-=（2n ≥），即数列{}n b 是以313(1)λλ--为首项，λ为公比的等比数列；当13λ=时，数列{}n b 不是等比数列． ………………………………………………….………8分 ②由①知，当13λ≠时，13123(1)3(1)n n a λλλλ--=---；当13λ=时，23(1)n a λ=--．……………………………………………………………………10分又1212max{,,...,}min{,,...,}i i i i n d a a a a a a ++=-，112123max{,,...,}min{,,...,}i i i i n d a a a a a a ++++=-．由于1223min{,,...,}min{,,...,}i i n i i n a a a a a a ++++≤，所以由1i i d d +>可得，12121max{,,...,}max{,,...,}i i a a a a a a +<． 所以1211max{,,...,}i i a a a a ++=对任意的正整数1,2,3,...,2i n =-恒成立， 即数列{}n a 的前1n -项单调递增是题设成立的必要条件，易知13λ≠．……………………12分 因为+1i i i d a a =-，112i i i d a a +++=-， 所以121212131312(12)(1)3(1)3(1)i i i i i i i d d a a a λλλλλλλλλ--+++---=+-=+-=---．当1λ>时，由1n n a a +>，得3103(1)λλ->-，解得1λ>，此时10i i d d +-≥，不符合1i i d d +>，舍去； 当01λ<<，由1n n a a +>，得3103(1)λλ-<-，解得113λ<<，此时10i i d d +-<，符合1i i d d +>．21A ．证：因为P A 是圆O 在点A 处的切线，所以PAB ACB ∠∠＝． 因为PD AC ∥，所以EDB ACB ∠∠=， 所以PAE PAB ACB BDE ∠∠∠∠===．又PEA BED ∠∠=，故PAE BDE △∽△．………………………..…………………….…10分21B ．解：设点00(,)x y 为曲线||||1x y +=上的任意一点，在矩阵10103M ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭对应的变换作用下得到的点为(,)x y ''，则0010103xx y y ⎛⎫'⎡⎤⎡⎤ ⎪=⎢⎥⎢⎥ ⎪' ⎪⎣⎦⎣⎦⎝⎭，所以003x x y y '=⎧⎨'=⎩………………………………….………5分 所以曲线||||1x y +=在矩阵10103M ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭对应的变换作用下得到的曲线为|||3|1x y +=，所围成的图形为菱形，其面积为1222233⨯⨯=．………………………………………...10分 21C ．解：（1）将M 及对应的参数π3ϕ=代入cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩（0a b >>，ϕ为参数），得π2cos 3πsin 3a b ⎧=⎪⎪=，所以42a b =⎧⎨=⎩，所以曲线C 1的普通方程为221164x y +=．………….…4分（2）曲线C 1的极坐标方程为2222cos sin 1164ρθρθ+=，将1(,)A ρθ，2π(,)2B ρθ+代入得222211cos sin 1164ρθρθ+=，222222cos sin 1164ρθρθ+=，所以221211516ρρ+=．……10分 21D ．解：因为0a >，0b >，1a b =+，所以()(12)225a b ++=+，从而124212114592112122()()[()(22)]22b b b a a b a a ++++++≥+=+++++=++ …………………………………………………………………………………………………6分所以1292115a b +≥++． 当且仅当22(4212122)a a b b ++=++，且1a b =+，即13a =，23b =时， 12211a b +++取得最小值95．…………………………………………………………..……10分22．解：因为在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，所以分别以AB 、AC 、AA 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系， 则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(0,4,0)C ，1(0,0,3)A ，1(2,0,3)B ，1(0,4,3)C ，因为D 是BC 的中点，所以(1,2,0)D ，……………………………………………………2分 （1）因为11(0,4,0)AC =，1(1,2,3)A D =-设平面A 1C 1D 的法向量1111(,,)n x y z =，则1111100n AC n A D ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即111140230y x y z =⎧⎨+-=⎩，取111301x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以平面A 1C 1D 的法向量1(3,0,1)n =，而1(1,2,3)DB =-， 所以1111113cos ,||||n DB n DB nDB <>==， 所以直线DB 1与平面A 1C 1D …………………………………5分 （2）11(2,0,0)A B =，1(1,2,3)DB =-，设平面B 1A 1D 的法向量2222(,,)n x y z =，则2112100n A B n DB ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即222220230x x y z =⎧⎨-+=⎩，取22232x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，平面B 1A 1D 的法向量2(0,3,2)n =，所以121212130cos ,65||||n n n nn n <>==， 二面角B 1-A 1D-C 1……………………………………………10分 23．（1）证明：22222211()()()03212a b A B a ab b a b +-=++-=->（2）证明：1n =，11A B =；3n ≥，1111n n n a b A n a b ++-=+-，()2n n a b B +=， 令a b x +=，a b y -=，且,0x y >，于是11111()()1122[()()]12(1)n n n n n n x y x y A x y x y n y n y++++++--==+--++， ()2n n xB =，因为1113231111[()()](22...)2n n n n nn n n x y x y C x y C x y C x y ++-++++--=++≥，112nn C x y y +=江苏省南通市（数学学科基地命题）2017年高考模拟试卷（5）解 析一、填空题 1~9．略10．由0x <π≤，知2333x ππ7π+≤≤，因为1()()3f f αβ==<，所以()()3π222332αβππ+++=⨯，所以76αβπ+=．11．f (f (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ＜0，2－x 2，0≤x ＜1，x 4－2x 2，x ≥1．作出函数f (f (x ))的图像可知，当1＜k ≤2时，函数y ＝f (f (x ))－k 有3个不同的零点．12．由2AB AC AO +=可得0OB OC +=，即BO OC =，所以圆心在BC 上，且AB AC ⊥．注意到||||=2AB AO =，所以ππ,,4,36B C BC AC ====，所以12CA CB ⋅=．13．由()a a b c bc ++=，得1b c b c a a a a ++=⋅，设,b c x y a a==，则1x y xy ++=，1ab c x y =++，因为21()2x y x y xy +++=≤，所以2x y ++≥a b c+．14．1,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．由任何斜率不小于1的直线与C 都至多有一个公共点，也即x ∈[12，1]时，曲线()y f x =上 任意两点连线的斜率都小于1，所以()1f x '≤在x ∈[12，1]上恒成立．由2()31f x a ax '=-≤，。
【江苏省南通市】2017年高考(数学学科基地命题)模拟数学试卷(十)-答案
∴ A B π B (0, π) ，
3
3
∵ sin2 (A B) cos2 (A B) 1 ，
∴ sin B sin(A (A B)) sin Acos(A B) cos Asin(A B) 4 3 3 ． 10
16．解：(1)取 PB 的中点 E ，连接 NE ， CE ，
an1
1 2
an
1 4
an2
1
(n 2) ，
①
∴
a1
a2
a3
...
an2
1 2
an1
1 4
a2 n1
1
(n 3) ，
②
①－②得，
an1
1 2
an
1 2
an1
1 4
an2
1 4
a2 n1
(n 3) ，
即 (an an1)(an an1 2) 0 (n 3) ，
， 3
3
3
∵ [0, π] ， 3
∴ 0 sin(2 π) 1. 3
∴当
π 3
时， S△ECF
取最大值为
4
3 ，此时该地块产生的经济价值最大．
(1)2 (2)2
18．解：(1)易得
3 a2
3 b2
1，且
1
b2 a2
2， 2
解得 a2 1 ， b2 1 ， 2
CF sin A
sin
AC AEC
AC sin( π )
，
3
【江苏省南通市】2017年高考(数学学科基地命题)模拟数学试卷(三)
=A B ________是虚数单位），则||z 的值为12n x ，则样本数据13x 24．执行如图所示的伪代码，则输出的结果为________．5．随机从1，2，3，4，5五个数中取两个数，取出的恰好都为偶数的概率为________．6．已知等差数列{}n a 满足1210+=a a ，432-=a a ．则数列第10项10=a ________．7．如图，四棱锥-P ABCD 中，⊥PA 底面ABCD ，底面ABCD 是矩形，2=AB ，3=AD ，点E 为棱CD 上一点，若三棱锥-E PAB 的体积为4，则PA 的长为________．8．函数2|log |=y x ，1[,32]4∈x 的值域为________． 9．如果函数3sin(2)=+y x ϕ的图像关于点5π(,0)6中心对称，则||ϕ的最小值为________．10．在平面直角坐标系xOy 中，已知(1,)=-OA t ，(2,2)=OB ，若∠OBA 为直角三角形，则实数t 的值为________．11．若存在实数x ，使不等式2e 2e 10+-≥x x a 成立，则实数a 的取值范围为________．12．已知正数a ，b 满足13+=a bab 的最小值为________． 13．已知点(2,3)A ，点(6,3)-B ，点P 在直线3430-+=x y 上，若满足等式20+=AP BP λ的点P 有两个，则实数λ的取值范围是________．14．设函数33,()2,⎧-<=⎨-≥⎩x x x a f x x x a ，若关于x 的不等式()4>f x a 在实数集R 上有解，则实数a 的取值范围是________．二、解答题：本大题共6小题，共90分.15．（本小题满分14分）在△ABC 中，π3=B ． (1)若=AC 2=BC ，求AB ．(2)若cos A tan C ． 16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥-P ABCD 中，⊥AB 平面PAD ，∥DC AB ，2=DC AB ，E 为棱PA 上一点.(1)设O 为AC 与BD 的交点，若2=PE AE ，求证：∥OE 平面PBC ；(2)若⊥DE AP ，求证：⊥PB DE ．17．(本小题满分14分）南半球某地区冰川的体积每年中随时间而变化，现用t 表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年的数据，冰川的体积（亿立方米）关于t 的近似函数的关系为321124100,010()4(10)(341)100,1012⎧-+-+<≤=⎨--+<≤⎩t t t t V t t t t (1)该冰川的体积小于100亿立方米的时期称为衰退期．以1-<<i t i 表示第t 月份(1,2,...,12)=i ，问一年内哪几个月是衰退期？(2)求一年内该地区冰川的最大体积．18．(本小题满分14分）已知圆222:(0)+=>O x y rr 与椭圆2222:1(0)+=>>x y C a b a b 相交于点(0,1)M ，(0,1)-N ，且椭圆(1)求r 值和椭圆C 的方程；(2)过点M 的直线l 另交圆O 和椭圆C 分别于A ，B 两点．①若23=MB MA ，求直线l 的方程；②设直线NA 的斜率为1k ，直线NB 的斜率为2k ，问：21k k 是否为定值，如果是，求出定值；如果不是，请说明理由．19．(本小题满分16分）设函数()e ||=--x f x x a ，其中a 是实数．(1)若()f x 在R 上单调递增，求实数a 的取值范围；(2)若函数有极大值点2x 和极小值点1x ，且2121()()()-≥-f x f x k x x 恒成立，求实数k 的取值范围．20．(本小题满分16分）已知数列{}n a 的各项均为正数，2122==a a ，且312++-=n n n na a a a 对*∀∈n N 恒成立，记数列{}n a 的前n 项和为n S ．(1)证明：数列212{}-+n n a a 为等比数列；(2)若存在正实数t ，使得数列{+}n S t 为等比数列，求数列{}n a 的通项公式． 第Ⅱ卷（附加题，共40分）21．【选做题】本题包括A ，B ，C ，D 四小题，每小题10分，请选定其中两小题，并在相应的答题区域．．．．．．．．．内作答．．．. A.（选修4-1；几何证明选讲）如图,AB 是圆O 的直径，弦BD ,CA 的延长线相交于点E ．过E作BA 的延长线的垂线，垂足为F ，求证：2=-AB BE BD AE AC ．B ．（选修4-2：矩阵与变换）已知矩阵1214⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A ，向量32⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α，计算3A α． C ．（选修4-4：坐标系与参数方程）在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为π()3=∈R θρ，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C 的参数方程为2cos ()1cos2=⎧⎨=-⎩为参数x y ααα，求直线l 与曲线C 交点P 的直角坐标．D ．（选修4-5：不等式选讲）已知a ，∈b R ，e >>a b （其中e 是自然数对数的底数），求证：>a b b a ．【选做题】第22题、23题，每题10分，共计20分.22．小明和小刚进行篮球投篮比赛，采用五局三胜制，当有人赢得三局时，比赛即停止．已知每局比赛中小明获胜的概率为34． (1)求第三局结束后小明获胜的概率；(2)设比赛的局数为X ，求X 的分布列及数学期望()E X ．23．设0(,)(1)-=-+∑n k k nk m P n m C m k，(,)-=n n m Q n m C ，其中m ，*∈n N ．(1)当1=m 时，求(,1)(,1)P n Q n 的值；(2)对+∀∈m N ，证明：(,)(,)P n m Q n m 恒为定值．。
【江苏省南通市】2017年高考(数学学科基地命题)模拟数学试卷(九)-答案
因为
N
为
PD
的中点，所以
SN∥AD
，且
SN
1 2
AD
，
因为 CT∥AD ，所以 CT∥SN ．
由（1）知， AB AD ，所以 CT AT ，
在直角 △CBT 中， BC 1， CBT 60 ，
得 CT
3． 2
由（1）知， AD
3
，所以
CT
1 2
AD
，
2 / 10
所以 CT SN ． 所以四边形 SNCT 是平行四边形， 所以 CN∥TS ．
．
18．解：（1）设 OP=r
，则 l=r
2
，即 r
1 2
，所以
S1
=
1 2
lr
=
l2 4
，
(0, π ) ． 2
（2）设 OC＝a ， OD＝b ．由余弦定理，得 l2＝a2＋b2 -2abcos2 ，
所以 l2 2ab-2abcos2 ．
3 / 10
所以 ab
l2
，当且仅当 a=b 时“ ”成立．
（途径一）（*）式即为 4 p2 2 p 4mr (m r) 4mr 2 mr ，
所以 (2 p 1)2 (2 mr 1)2 ，即 2 p 1 2 mr 1 ，
2
2
2
2
所以 p mr ，即 p2 mr ．
（途径二）（*）式即为 m 4 p2 2 p r ． 4r 1
．
因为 an1
0 ，所以 2
an 2
a a n2
n 1
an an1 an
【江苏省南通市】2017年高考(数学学科基地命题)模拟数学试卷(四)-答案
15．解：（1）∵2A B=，∴2cos cos21sinA B B==-．∵sin B=11cos1233A=-⨯=．由题意可知，π(0,)2B∈．∴cos B sin sin22sin cosA B B B===∴sin sin[π()]sin()sin cos cos sinC A B A B A B A B=-+=+=+（2）∵sin sinb aB A=，2b==，∴a=．16．解：（1）连接BC1．在正方形ABB1A1中，1AB BB⊥．因为平面11AA B B ⊥平面11BB C C ，11111AA B B BB C C BB =I 平面平面，11AB ABB A ⊂平面， 所以11B B C A B C ⊥平面．因为111B C C B B C ⊂平面，所以1AB B C ⊥ 在菱形11BB C C 中，．11BC B C ⊥因为11B C ABC ⊂平面，1AB ABC ⊂平面，1B C AB B =I ， 所以11B C ABC ⊥平面．因为11AC ABC ⊂平面，所以11B C AC ⊥．（2）EF ABC ∥平面，理由如下：取BC 的中点G ，连接GE ，GA ．因为E 是B 1C 的中点， 所以1GE BB ∥，且112GE BB =． 因为F 是AA 1的中点，所以112AF AA =． 在正方形ABB 1A 1中，11AA BB ∥，11AA BB =． 所以GE AF ∥，且GE AF =． 所以四边形GEF A 为平行四边形． 所以EF GA ∥．因为EF ABC ⊄平面，GA ABC ⊂平面， 所以EF ABC ∥平面．17．解：（1）当9天购买一次时，该厂用于配料的保管费用700.03200(12)88P =+⨯⨯+=（元）． （2）（1）当7x ≤时36010236370236y x x x =++=+（2）当7x >时2[(7)360236706(6)21332143]2y x x x x x =++++-+⋯⋯++=++-∴2370236,73321432,7x x y x x x +≤⎧=⎨++>⎩∴设该厂x 天购买一次配料平均每天支付的费用为()f x 元．2370236,7()3321432,7x x xf x x x x x +⎧≤⎪⎪=⎨++⎪>⎪⎩．当7x ≤时236()370f x x =+当且仅当7x =时()f x 有最小值28264047≈（元）当7x >时23321432144()3(333219)x x f x x x x++==≥++．当且仅当12x =时取等号．∴所求椭圆方程为2214x y +=．（2）①当直线AB 的斜率不存在时，直线AB 的方程为x =，原点O 到直线AB ， 当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y kx m =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，则由2214m y y kx x ==+⎧+⎪⎨⎪⎩，得：222(14)8440k x kmx m +++-=，2216(14)0k m ∆=+->，122814km x x k+=-+，21224414m x x k -=+， 由2212122544014m kOA OB x x y y k --=+==+u u u ru u u r g ，得224(1)5m k =+， ∴原点O 到直线AB的距离d ===， 综上所述，原点O 到直线AB ；即该定圆方程为2245x y +=． ②当直线AB 的斜率不存在时AB =，当直线AB的斜率存在时，12|||AB x x =-= 当0k ≠时，||AB =12K =±时等号成立． 当0k =时，||AB =||AB 19．解：（1）直线方程为1()2n n n y y x x x -=--+，因为直线过点111(,)n n n A x y +++， ∴111111111()()222n n n n n n n n n n n n n y y x x x x x x x x x x x +++++-=--⇒-=--⇒=+++． （2）设1123n n a x =+-，由（1）得 111111112()22233232n n n n n na a x x x x ++=+=+=-+=-+---又120a =-≠，故11{}23n x +-是等比数列； 1(2)21(2)3n n n n a x =-⇒=+--．（3）由（2）得∴1(1)(1)212(1)3n n n nnx -=-+--g g当n 为偶数时，则11111111222211(1)(1)11222222239n n n n n nn n n n n n n n n x x --------++-+-=<=++-g g g∴2312321111(1)(1)(1)...(1) (112222)n n n n x x x x -+-+-++-<+++=-<；当n 为奇数时，则23123(1)(1)(1)...(1)1(1)n n n n x x x x x -+-+-++-<+- 而120123n n x =->+，所以1(1)11n n n x x +-=-<∴23123(1)(1)(1)...(1)1n n x x x x -+-+-++-<综上所述，当*n ∈N 时，23123(1)(1)(1)...(1)1nn x x x x -+-+-++-<成立．20．解：（1）()f x 的定义域为(0,)+∞．当0a =时，11()1x f x x x-'=-=．()001f x x '<⇔<<；()01f x x '>⇔>． 所以，函数()f x 的增区间为(1,)+∞，减区间为(0,1)．（2）2()(1)ln g x a x x =---，则21221()2(1)ax ax g x a x x x-+'=---=-．令2()221(0)h x ax ax x =-+>，若函数()g x 有两个极值点，则方程()0h x =必有两个不等的正根，设两根为x 1，x 2．于是2121220480,10,10.2a a a x x x x a ≠⎧⎪∆=->⎪⎪⎨+=>⎪⎪=>⎪⎩解得2a >．当2a >时，()0h x =有两个不相等的正实根，设为x 1，x 2，不妨设12x x <， 则122()()()()a x x x x h x g x x x--'=-=-． 当10x x <<时，()0h x >，()0g x '<，()g x 在1(0,)x 上为减函数； 当12x x x <<时，()0h x <，()0g x '>，()g x 在12(,)x x 上为增函数； 当2x x >时，()0h x >，()0g x '<，函数()g x 在2(,)x +∞上为减函数．由此，1x x =是函数()g x 的极小值点，2x x =是函数()g x 的极大值点．符合题意． 综上，所求实数a 的取值范围是(2,)+∞．（3）212(21)1(1)(21)()12(1)ax a x x ax f x a x x x x-++--'=---=-=-①当0a ≤时，210ax x-<．当01x <<时，()0f x '<，()f x 在(0,1)上为减函数； 当1x >时，()0f x '>，()f x 在(1,)+∞上为增函数．所以，当(0,](12)x b b ∈<<时，min ()(1)0()f x f f b ==<，()f x 的值域是[0,)+∞． 不符合题意．②当0a >时，12(1)()2()a x x a f x x--'=-．（i ）当112a <，即1a >时，当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下：若满足题意，只需满足1()(2)2f f a>，即21111(1)ln 1ln2222a a a a a ---->--． 整理得11ln2ln21()42a a a ++-≥．令11()ln2ln21()42F a a a a =++-≥，当12a >时，221141()044a F a a a a -'=-=>，所以()F a 在1(,)2+∞上为增函数，所以，当12a >时，111()()ln20222F a F >=->=．可见，当12a >时，1()(2)2f f a >恒成立，故当12a >，(0,](12)x b b ∈<<时，函数()f x 的值域是[(),)f b +∞；所以12a >满足题意．（ⅱ）当112a =，即12a =时，2(1)()0x f x x -'=-≤，当且仅当1x =时取等号． 所以()f x 在(0,)+∞上为减函数．从而()f x 在(0,]b 上为减函数．符合题意．（ⅱ）当112a >，即1a <<时，当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表： 若满足题意，只需满足(2)(1)f f <，且122a <（若122a≥，不符合题意）， 即1ln2a >-，且14a >． 又11ln24->，所以1ln2a >-．此时，11ln22a -<<．综上，1ln2a >-．所以实数a 的取值范围是(1ln2,)-+∞．21．A ．连接OD ，∵DE 是圆O 的切线，∴OD DE ⊥，又∵CE DE ⊥于E ，∴OD CE ∥， ∴ECD ODC OCD ∠=∠=∠，∵3DE =，4CE =，∴5CD =，∴3tan tan tan 4ECD ODC OCD ∠=∠=∠=，∴4cos 5OCD ∠=，故25cos 4CD BC OCD ==∠，故75tan 16AB BC OCD =∠=g ． B ．由题意得旋转变换矩阵cos90sin900110sin90cos90M ⎡⎤--⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦o o o o ， 设00(,)P x y 为曲线2y x =上任意一点，变换后变为另一点(,)x y ，则000110x x y y -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即00,,x y y x =-⎧⎨=⎩ 所以00,,y x x y =-⎧⎨=⎩又因为点P 在曲线2y x =上，所以200y x =，故2()x y -=，即2x y =为所求的曲线方程． C ．（1）由已知得1cos 02ρθρθ-+g，即0x -． （2）由C 2得221x y +=，所以圆心为2(0,0)C ，半径为1．又圆心到直线C 1的距离为d =||PQ的最大值为1． D ．(1)不等式()2f x >可化为22122x x x >⎧⎨+-+>⎩或1222122x x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪++->⎩或122122x x x ⎧<-⎪⎨⎪--+->⎩， 解得5x <-或1x >，所以所求不等式的解集为{|51}x x x <->或．(2)因为3,21()|21||2|31,2213,2x x f x x x x x x x ⎧⎪+>⎪⎪=+--=--≤≤⎨⎪⎪--<-⎪⎩，可得5()2f x ≥-，若x ∀∈R ，211()2f x t t ≥-恒成立，则211522t t -≤-，解得152t ≤≤． 22．设Ai 表示事件“一个试验组中，服用A 有效的小白鼠有i 只”，0,1,2i =；Bi 表示事件“一个试验组中，服用B 有效的小白鼠有i 只”，0,1,2i =．依题意，有112423()39P A ⨯⨯=＝，222433()9P A ==⨯，0111()224P B =⨯=，1111()2222P B =⨯⨯=．故所求的概率为010212)1414144(()()4949299P P B A P B A P B A =⨯+⨯+⨯=＝＋＋． （2）由题意知X 的可能值为0，1，2，3，故有35125()()97290P X ===， 123451001()99243()P X C ⨯⨯===， 22345802()99243()P X C ⨯⨯===， 34643()9(7)29P X ===． 从而，X 的分布列为数学期望1251008064401237292432437293EX ⨯⨯+⨯⨯＝++=．23．①当2n =时，22222264C ⨯<=<不等式成立．②假设当n k =时，2264k k kk C <=<成立，则当1n k =+时由122(22)(21)2(1)2(21)(+1)(+1)(+1)(+1)(+1)k k k k k k C k k k k k k ++++⨯++===！！！！！！！！！11222222k k k k k k C C ++=>=>=g ，即11222k k k C +++<．11222122221222244441k k k k kk k k k k k k k C C C C C k +++++=<<=<=+g g g， 因此1112224k k k k C ++++<<成立，即当1n k =+时，不等式成立， 所以，对2n ≥，n ∈N ，不等式224n n nn C <<恒成立．江苏省南通市2017年（数学学科基地命题）高考模拟数学试卷（四）解 析一、填空题1．∵A={x|-4<x<4}， B={-5，0，1}。
江苏省南通市高考(数学学科基地命题)模拟数学试卷(十)有答案
江苏省南通市2017年高考（数学学科基地命题）模拟数学试卷（十）第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．设全集{2,1,0,1,2}U =--，{2,1,2}A -=，则U A =ð________． 2．设a ∈R ，i 是虚数单位，若()(1)a i i +-为纯虚数，则a =________．3．在样本频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形面积和的14，且样本容量为160，则中间一组的频数为________．4．棱长均为2的正四棱锥的体积为________．5．已知{1,0,1}m ∈-，{2,2}n ∈-，若随机选取m ，n ，则直线10mx ny ++=上存在第二象限的点的概率是________．6．如图所示的流程图，当输入n 的值为10时，则输出S 的值为________．7．已知正数a ,b 满足210a ab -+=，则8a b +的最小值为________．8．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 为双曲线224x y -=的左顶点，点B 和点C 在双曲线的右支上，ABC △是等边三角形，则ABC △的面积为________．9．已知ABC △，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且22265tan acB a c b=+-，则s i n B 的值是________． 10．已知函数2()||2+=+x f x x ，x ∈R ，则2(2)(34)f x x f x -<-的解集是________．11．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知13a =，且数列也为等差数列，则11a =________． 12．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(,0)(0)A t t ->，(0)B t ，，点C 满足8AC BC =，且点C 到直线:34240l x y -+=的最小距离为95，则实数t 的值是________．13．设函数231,1()2,1x x f x x x -<⎧=⎨≥⎩，则满足2(())2(())f f a f a =的a 的取值范围为________．14．已知函数2()()()(0)f x x a x b b =--≠，不等式()()f x mxf x '≥对x ∀∈R 恒成立，则2m a b +-=________．二、解答题：本大题共6小题，共90分.15．（本小题满分14分）在ABC △中，三个内角分别为A ，B ，C ，已知πsin()2cos 6A A +=．（1）若cos C =，求证：230a c -=． （2）若π(0,)3B ∈，且4cos()5A B -=，求sin B ．16．（本小题满分14分）已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，AB DC ∥，60ABC ∠=︒，1DC =，AD PB PC =.（1）若N 为PA 的中点，求证：DN ∥平面PBC ； （2）若M 为BC 的中点，求证：MN BC ⊥．17．(本小题满分14分）如图，有一直径为8米的半圆形空地，现计划种植甲、乙两种水果，已知单位面积种植甲水果的经济价值是种植乙水果经济价值的5倍，但种植甲水果需要有辅助光照．半圆周上的C 处恰有一可旋转光源满足甲水果生长的需要，该光源照射范围是π6ABC ∠=,点E ，F 在直径AB 上，且π6ABC ∠=．（1）若CE AE 的长；（2）设ACE α∠=,求该空地产生最大经济价值时种植甲种水果的面积．18．(本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>，点12(,)33A 在椭圆E 上，射线AO 与椭圆E 的另一交点为B ，点(4,)P t t -在椭圆E 内部，射线AP ，BP 与椭圆E 的另一交点分别为C ，D ．（1）求椭圆E 的方程；（2）求证：直线CD 的斜率为定值．19．(本小题满分16分）设a ∈R ，函数()ln f x x ax =-．（1）求()f x 的单调递增区间；（2）设2()()F x f x ax ax =++问()F x 是否存在极值，若存在，请求出极值；若不存在，请说明理由；（3）设11(,)A x y ，22(,)B x y 是函数()()g x f x ax =+图象上任意不同的两点，线段AB 的中点为00(,)C x y 直线AB 的斜率为k ．证明：0()k g x >'．20．(本小题满分16分）已知数列{}n a 的各项均为正数，且对任意不小于2的正整数n ，都有21231...1(,)n n n a a a a ka ta k t -+++++=-为常数成立． （1）若12k =，14t =，问：数列{}n a 是否为等差数列？并说明理由； （2）若数列{}n a 是等比数列，求证：0t =，且0k <．第II 卷（附加题，共40分）21．【选做题】本题包括A ，B ，C ，D 四小题，每小题10分，请选定其中两小题，并在相应的答题区域．．．．．．．．．内作答．．．. A ．（选修4-1；几何证明选讲）如图,PAQ ∠是直角,圆O 与射线AP 相切于点T ,与射线AQ 相交于两点B 、C ．求证：BT 平分OBA ∠．B ．（选修4-2：矩阵与变换）在平面直角坐标系xOy 中，设点(,3)P x 在矩阵1234M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换下得到点(4,2)Q y y -+，求2x M y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦． C ．（选修4-4：坐标系与参数方程）已知直线cos :sin x t m l y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）恒经过椭圆5cos :3sin x C y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）的右焦点F ． （1）求m 的值；（2）设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求FA FB 的最大值与最小值． D ．（选修4-5：不等式选讲）已知a ，b ，c 均为正数，且239a b c ++=．求证：11114181089a b c ++≥．【选做题】第22题、23题，每题10分，共计20分.22．一个袋中装有黑球，白球和红球共(*)n n ∈N 个，这些球除颜色外完全相同．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是25．现从袋中任意摸出2个球．（1）若15n =，且摸出的2个球中至少有1个白球的概率是47，设ξ表示摸出的2个球中红球的个数，求随机变量ξ的概率分布及数学期望E ξ；（2）当n 取何值时，摸出的2个球中至少有1个黑球的概率最大，最大概率为多少？23．设集合{1,0,1M =-，集合123{(,,,...,)|,1,2,...,}n n i A x x x x x M i n =∈=，集合n A 中满足条件“121||||...||n x x x m ≤+++≤”的元素个数记为nm S ．（1）求22S 和42S 的值；（2）当m n <时，求证：111322nn m n m S +++<+-．，则2=+AC BC x 的轨迹为以原点为圆心，为直径的半圆周上，所以△ABC为直角三角形，si n ∠CE CF ECF ，又设=AP PC λ，=BP PD λ，其中1013(1),+-=x x x λ21(1)-t a q q 10=（矛盾）2121(1)(1)--t a q q t a q q 0，12||==FA FB t t sin 0=α时，FA FB 取最大值时，FA FB 取最大值211123)418108++a b c a b c，5,10,15)．设“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个黑球”为事∴11220011221122...22(22...2)(1)2...(1)2++=+++<+++++-++-n m m m m m m n n m n n n n n n n n n S C C C C C C C C C0011221112(222...22...2)(22...2)++++=+++++++-+++m m m m n n m m n n n n n n n C C C C C C11(12)(22)++=+--n n m1132+2++=-n n m。
江苏省南通市数学学科基地命题2017年高考模拟试卷5含答案
（第9题）F EDCBA(第4题)n ←n 12017年高考模拟试卷（5）南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．． 1． 设集合{1,2,3},{2,3,6}A B ==，那么AB 2． 假设复数z 知足i 1i z =+，那么z 3. 用系统抽样方式从400名学生随机地编号为400~1假设第1抽取的号码为 ▲ ．4. 如图是一个算法流程图，假设输入n S 的值是 ▲ ．5． 将甲、乙两个不同的球随机放入编号为1，2，3的3个盒子中，每一个盒子的放球数量不限，那么1，2号盒子中各有1个球的概率为 ▲ ． 6． 设x ∈R ，那么“2log 1x <”是“220x x --<”的 ▲ 条件．（从“充分没必要要”、“必要不充分”、“既不充分也没必要要”、“充要”当选择）． 7． 已知圆22(1)4x y ++=与抛物线22y px =（0p >）的准线交于A 、B 两点，且AB =则p 的值为 ▲ ．8． 设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，7193()S a a =+，则54a a 的值为 ▲ ． 9． 如图，三棱锥BCD A -中，E 是AC 中点，F 在AD 上，且FD AF =2，假设三棱锥BEF A -的体积是2，那么四棱锥ECDF B -的体积 为 ▲ ．10．已知函数()sin(2)3f x x π=+（0x <π≤），且1()()3f f αβ==（βα≠），那么=+βα ▲ ．11．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－1，x ≥0，－x ＋1，x ＜0．假设函数y ＝f (f (x ))－k 有3个不同的零点，那么实数k的取值范围是 ▲ ．12．已知△ABC 外接圆O 的半径为2，且2AB AC AO +=，||||AB AO =，那么CA CB ⋅=▲ ．13．设a b c ，，是三个正实数，且()a a b c bc ++=，那么a b c +的最大值为 ▲ ．14．设a 为实数，记函数f (x )＝ax －ax 3（x ∈[12，1]）的图象为C ．若是任何斜率不小于1的直线与C都最多有一个公共点，那么a 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字 说明、证明进程或演算步骤． 15．(本小题总分值14分)在△ABC 中，a ，b ，c 别离为角A ，B ，C 所对边的长．假设a cos B ＝1，b sin A ＝2，且A －B ＝π4．（1）求a 的值； （2）求tan A 的值．16．(本小题总分值14分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，已知底面ABCD 为矩形，且 AB ＝2，BC ＝1，E ，F 别离是AB ，PC 的中点，PA ⊥DE ． （1）求证：EF ∥平面PAD ； （2）求证：平面PAC ⊥平面PDE ．17．(本小题总分值14分)某市2016年新建住房面积为500万m 2，其中安置房面积为200万m 2.打算以后每一年新建住房面积比上一年增加10% ，且安置房面积比上一年增加50万m 2. 记2016年为第1年.（第16题）（1）该市几年内所建安置房面积之和第一次不低于3 000万m 2？（2）是不是存在持续两年，每一年所建安置房面积占昔时新建住房面积的比维持不变？并说明理由.18．(本小题总分值16分)已知椭圆C 的方程为22221(0)y x a b a b+=>>，点A ，B 别离为其左、右极点，点12,F F 别离为其左、右核心，以点A 为圆心1AF 为半径作圆A ，以点B 为圆心OB 为半径作圆B ．假设直线l：y x =被圆A 和圆B．（1）求椭圆C 的离心率；（2）已知a =7，问在x 轴上是不是存在点P ，使得过点P 有无数条直线被圆A 和圆B截得的弦长之比为34，假设存在，请求出所有点P 的坐标；假设不存在，请说明理由．19．（本小题总分值16分）已知函数()(1)e x f x x k =--（e 为自然对数的底数，e 2.71828≈，k ∈R ）． （1）当0x >时，求()f x 的单调区间和极值；（2）①假设关于任意[1,2]x ∈，都有()4f x x <成立，求k 的取值范围；②假设12x x ≠，且12()()f x f x =，证明：122x x k +<．20．(本小题总分值16分)给定数列{}n a ，记该数列前i 项12i a a a ，，，中的最大项为i A ，该数列后n i -项 12i i n a a a ++，，，中的最小项为i B ，i i i d A B =-（1231i n =-，，，，）． （1）关于数列：3，4，7，1，求出相应的123d d d ，，；（第21—A 题）（2）假设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且对任意*n ∈N ，有21(1)33n n S a n λλ-=-++，其中0λ>且1λ≠． ① 设23(1)n n b a λ=+-，判定数列{}n b 是不是为等比数列；② 假设数列{}n a 对应的i d 知足：1i i d d +>对任意的正整数1232i n =-，，，，恒成立，求λ的取值范围．第Ⅱ卷（附加题，共40分）21．【选做题】此题包括A 、B 、C 、D 共4小题，请选定其中两小题．．．．．．．．，并在相应的答题区域．．．．．．．．．内作答．．．．假设多做，那么按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明进程或演算步骤．A ．选修4—1：几何证明选讲如图，△ABC 内接于圆O ，D 为弦BC 上一点，过D 作直线DP ||||1x y +=10103⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦MC ．选修4—4：极坐标与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos (0,sin x a a b y b ϕϕϕ=⎧>>⎨=⎩为参数），且 曲线C上的点M 对应的参数π3ϕ=，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系．（1）求曲线C 的一般方程；（2）假设12π(,)(,)2A B ρθρθ+，是曲线C 上的两点，求221211ρρ+的值．D ．选修4－5：不等式选讲已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，求12a ＋1＋2b ＋1 的最小值．22．【必做题】此题总分值10分．解答时应写出文字说明、证明进程或演算步骤．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，已知AB AC ⊥，2AB =，4AC =，13AA =.D 是线段BC 的中点.（1）求直线1DB 与平面11A C D 所成角的正弦值； （2）求二面角111B A D C --的大小的余弦值.23．【必做题】此题总分值10分．解答时应写出文字说明、证明进程或演算步骤．设a ＞b ＞0，n 是正整数，A n ＝1n ＋1(a n ＋a n －1b ＋a n －2b 2＋…＋a 2b n －2 ＋ab n －1＋b n ) ，B n＝(a ＋b 2)n ．（1）证明：A 2＞B 2；（2）比较A n 与B n （n ∈N*）的大小，并给出证明．题图BCD A 1 B 1C 1第22题图2017年高考模拟试卷(5)参考答案一、填空题1．{1,2,3,6}． 2．1i +． 3. 391． 4. 18． 5．29． 6．充分没必要要． 7．4． 8．76． 9．10．10．已知函数()sin(2)3f x x π=+（0x <π≤），且1()()3f f αβ==（βα≠），那么=+βα▲ ．10．76π．由0x <π≤，知2333x ππ7π+≤≤，因为1()()3f f αβ==<，因此()()3π222332αβππ+++=⨯， 因此76αβπ+=．11．(1，2]． f (f (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ＜0，2－x 2，0≤x ＜1，x 4－2x 2，x ≥1．作出函数f (f (x ))的图像可知，当1＜k ≤2时，函数y ＝f (f (x ))－k 有3个不同的零点．12．12．由2AB AC AO +=可得OB OC +=0，即BO OC =，因此圆心在BC 上，且AB AC ⊥．注意到||||=2AB AO =，因此ππ,,4,36B C BC AC ====，因此12CA CB ⋅=．13．由()a a b c bc ++=，得1b c b c a a a a ++=⋅，设,b c x y a a==，则1x y xy ++=，1ab c x y =++，因为21()2x y x y xy +++=≤，因此2x y ++≥a b c+的最大值． 14．设a 为实数，记函数f (x )＝ax －ax 3（x ∈[12，1]）的图象为C ．若是任何斜率不小于1的直线与C 都最多有一个公共点，那么a 的取值范围是 ▲ ．14．1,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．由任何斜率不小于1的直线与C 都最多有一个公共点，也即x ∈[12，1]时，曲线()y f x =上任意两点连线的斜率都小于1，因此()1f x '≤在x ∈[12，1]上恒成立．由2()31f x a ax '=-≤，即2310ax a -+≥，设()31g t at a =-+，1,14t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，只需1()04g ≥，且(1)0g ≥，因此142a -≤≤．二、解答题15．解：（1）由正弦定理知，b sin A ＝a sin B ＝2，①又a cos B ＝1， ②①，②两式平方相加，得(a sin B )2＋(a cos B )2＝3， 因为sin 2B ＋cos 2B ＝1， 因此a ＝3（负值已舍）；（2）由（1）中①，②两式相除，得sin B cos B＝2，即tan B ＝2，因为A －B ＝π4，因此tan A ＝tan(B ＋π4)＝tan B ＋tanπ41－tan B tanπ4 ＝1＋21－2＝－3－22．（14分）16．证：（1）方式1：取线段PD 的中点M ，连结FM 、AM .因为F 为PC 的中点，因此FM ∥CD ，且FM ＝12CD .因为四边形ABCD 为矩形，E 为AB 的中点，因此EA ∥CD ，且EA ＝12CD .因此FM ∥EA ，且FM ＝EA .因此四边形AEFM 为平行四边形．因此EF ∥AM . 又AM ⊂平面P AD ，EF ⊄平面P AD ， 因此EF ∥平面P AD .方式2：连结CE 并延长交DA 的延长线于N ，连结PN .因为四边形ABCD 为矩形，因此AD ∥BC ， 因此∠BCE ＝∠ANE ，∠CBE ＝∠NAE . 又AE ＝EB ，因此△CEB ≌△NEA . 因此CE ＝NE .又F 为PC 的中点，因此EF ∥NP . 又NP ⊂平面P AD ，EF ⊄平面P AD ， 因此EF ∥平面P AD .方式3：取CD 的中点Q ，连结FQ 、EQ . 在矩形ABCD 中，E 为AB 的中点，因此AE ＝DQ ，且AE ∥DQ .因此四边形AEQD 为平行四边形， 因此EQ ∥AD .又AD ⊂平面P AD ，EQ ⊄平面P AD ， 因此EQ ∥平面P AD .(2分)因为Q 、F 别离为CD 、CP 的中点， 因此FQ ∥PD .又PD ⊂平面P AD ，FQ ⊄平面P AD ，因此FQ ∥平面P AD .又FQ 、EQ ⊂平面EQF ，FQ ∩EQ ＝Q ，因此平面EQF ∥平面P AD .(5分) 因为EF ⊂平面EQF ，因此EF ∥平面P AD . (2) 设AC 、DE 相交于G .在矩形ABCD 中，因为AB ＝2BC ，E 为AB 的中点，因此DA AE ＝CDDA＝ 2.又∠DAE ＝∠CDA ，因此△DAE ∽△CDA ， 因此∠ADE ＝∠DCA .又∠ADE ＋∠CDE ＝∠ADC ＝90°， 因此∠DCA ＋∠CDE ＝90°. 由△DGC 的内角和为180°，得∠DGC ＝90°. 即DE ⊥AC .因为点P 在平面ABCD 内的正投影O 在直线AC 上，因此PO ⊥平面ABCD . 因为DE ⊂平面ABCD ，因此PO ⊥DE . 因为PO ∩AC ＝O ，PO 、AC ⊂平面P AC ， 因此DE ⊥平面P AC ，又DE ⊂平面PDE ，因此平面P AC ⊥平面PDE .17．解：（1）设n *()n ∈N 年内所建安置房面积之和第一次不低于3 000万m 2， 依题意，每一年新建安置房面积是以200为首项，50为公差的等差数列， 从而n 年内所建安置房面积之和为(1)200502n n n -⎡⎤+⨯⎢⎥⎣⎦m 2，则(1)200502n n n -+⨯≥3 000，整理得，271200n n +-≥， 解得8 (15)n n -≤≥舍去.答：8年内所建安置房面积之和第一次不低于3 000万m 2.（2）依题意，每一年新建住房面积是以500为首项，为公比的等比数列， 设第m 年所建安置房面积占昔时新建住房面积的比为()p m ， 则1120050(1)3()500(10.1)10 1.1m m m m p m --+-+==⋅+⨯， 由()(1)p m p m =+得，13410 1.110 1.1m mm m -++=⨯⨯，解得7m =.答：第7年和第8年，所建安置房面积占昔时新建住房面积的比维持不变. ·····14分 18．解：（1）别离过点A 、B 作直线l 的垂线，垂足为11,B A ， 由题意得11BB AA =，由点到直线距离公式得112a AA BB ==，因为圆A 以1AF 为半径，因此半径为c ，被直线l截得的弦长为圆B 以OB 为半径，∴半径为a ，被直线l截得的弦长为因为直线l：y =被圆A 和圆B，==，解得a c 34=（a ＞c ＞0）. 因为c e a =，因此所求的离心率为34,（2）存在点P ，使得过点P 有无数条直线被圆A 和圆B 截得的弦长之比为34，设点0(,0)P x ，由题意可得直线方程为0()y k x x =-, 直线截圆A 所得的弦长为, 直线截圆B 所得的弦长为34==,化简得22222220016(7)9(7)(1)(169)k x k x k c a +--=+-（*），由（1）离心率为34，得22169c a =，即方程（*）为0)1)(49(002=++x x k ,解得10-=x 或490-=x ， 即存在2个点)0,1(-和)0,49(-；当10-=x 时，||6||8k k ⎧<⎪⎨<⎪⎩k <<，当490-=x 时，||42||56k k⎧<⎪⎨<⎪⎩k <<,即有无数条直线；故存在2个点P ，使得过点P 有无数条直线被圆A 和圆B 截得的弦长之比为34．19．解：（1）∵()()e ,0x f x x k x '=->．（i ）当0k ≤时，()0恒成立'>f x ，∴()f x 的递增区间是0+（，）∞，无递减区间；无极值．（ii ）当0>k 时，由()0'>f x 得，>x k ；由()0'<f x 得，0<<x k ；∴()f x 的递减区间是(0,)k ，递増区间是(,+)∞k ，()f x 的极小值为()e k f k =-，无极大值．（2）①由()4f x x <，可得(1)e 40x x k x ---<，因为e 0x >，因此41e x x x k --<，即41e xx k x >--对任意[1,2]x ∈恒成立， 记4()1ex xg x x =--，那么4(1)e 4(1)()1e e x x x x x g x -+-'=-=， 因为[1,2]x ∈，因此()0g x '>，即()g x 在[1,2]x ∈上单调递增，故2max228e 8()(2)1e e g x g -==-=．因此实数k 的取值范围为22e 8(,)e-+∞．②由已知1212()()()f x f x x x =≠，结合（1）可知，0k >,()f x 在(,)-∞k 上单调递减，在(,+)∞k 上单调递增，又(1)0+=f k ，1<+x k 时，()0<f x ．不妨设121<<<+x k x k ，现在2x k >，12->k x k ，故要证122+<x x k ，只要证122k x x ->，只要证12(2)()f k x f x ->， 因12()()f x f x =，即证11(2)()f k x f x ->．设()(2)()h x f k x f x =--2(1)(1)()kx xx k x k x k -+-=---<e e e ， 2()e ()()e e k xxx k h x x k -'=--22()()k x x x k --=e e e ， ∴当<x k 时，()0h x '<，()h x 在(,)-∞k 上单调递减，∴(,)x k ∈-∞时，()()0k k h x h k >=-+=e e ，故当<x k 时，(2)（）->f k x f x ，即11(2)（）->f k x f x 成立，∴122+<x x k ． 20．解：（1）111312A B d ===，，；222413A B d ===，，；333716A B d ===，，． …………………………………………………………………3分（2）① 当1n =时，11(1)1a a λλ-=-+，因此11a =；当2n ≥时，由21(1)33n n S a n λλ-=-++，那么1121(1)(1)33n n S a n λλ---=-+-+， 两式相减得12(1)3n n n a a a λλλ--=-++，即123n n a a λ-=+， 因此11122233(1)3(1)n n n n b a a b λλλλλ---⎡⎤=++=+==⎢⎥--⎣⎦．……………………………6分 因为112313(1)3(1)b a λλλ-=+=--， 因此当13λ≠时，数列{}n b 知足1n n bb λ-=（2n ≥），即数列{}n b 是以313(1)λλ--为首项，λ为公比的等比数列；当13λ=时，数列{}n b 不是等比数列． …………………………………………………8分② 由①知，当13λ≠时，13123(1)3(1)n n a λλλλ--=⋅---；当13λ=时，23(1)n a λ=--． (10)分又{}{}1212max min i i i i n d a a a a a a ++=-，，，，，，， {}{}112123max min i i i i n d a a a a a a ++++=-，，，，，，．由于{}{}1223min min i i n i i n a a a a a a ++++，，，≤，，，，因此由1i i d d +>可得，{}{}12121max max i i a a a a a a +<，，，，，，．因此{}1211max i i a a a a ++=，，，对任意的正整数1232i n =-，，，，恒成立，即数列{}n a 的前1n -项单调递增是题设成立的必要条件，易知13λ≠． (12)分因为1i i i d a a +=-，112i i i d a a +++=-，因此1212i i i i i d d a a a +++-=+-1231(12)3(1)i λλλλλ--=⋅+--1231(1)3(1)i λλλλ--=⋅--．当1λ>时，由1n n a a +>，得3103(1)λλ->-，解得1λ>， 现在10i i d d +-≥，不符合1i i d d +>，舍去；当01λ<<，由1n n a a +>，得3103(1)λλ-<-，解得113λ<<，现在10i i d d +-<，符合1i i d d +>．综上所述，λ的取值范围是()113，． ……………………………………………………16分第II 卷（附加题，共40分）21A ．证：因为PA 是圆O 在点A 处的切线，因此∠PAB ＝∠ACB ．因为PD ∥AC ，因此∠EDB ＝∠ACB ， 因此∠PAE ＝∠PAB ＝∠ACB ＝∠BDE ．又∠PEA ＝∠BED ，故△PAE ∽△BDE ． …………………… 10分21B ．解：设点(x 0，y 0)为曲线|x |+|y |=1上的任意一点，在矩阵10103M ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭对应的变换作用下取得的点为(,)x y ''，那么0010103xx y y ⎛⎫'⎡⎤⎡⎤ ⎪=⎢⎥⎢⎥ ⎪' ⎪⎣⎦⎣⎦⎝⎭，因此003x x y y ='⎧⎨='⎩ ……5分 因此曲线|x |+|y |=1在矩阵10103M ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭对应的变换作用下取得的曲线为|x |+3|y |=1， 所围成的图形为菱形，其面积为1222233⨯⨯= .……10分21C ．解：（1）将M 及对应的参数3πϕ=代入cos ,(0,sin x a a b y b ϕϕϕ=⎧>>⎨=⎩为参数），得2cos 3sin 3a b ππ⎧=⎪⎪=，因此42a b =⎧⎨=⎩，因此曲线1C 的一般方程为221164x y +=. ……4分（2）曲线1C 的极坐标方程为2222cos sin 1164ρθρθ+=，将12(,),(,)2A B πρθρθ+代入 得222211cos sin 1164ρθρθ+=，222222sin cos 1164ρθρθ+=，因此221211516ρρ+=. ……10分21D ．解：因为a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，因此(2a ＋1)＋(2b ＋2)＝5，从而(12a ＋1＋2b ＋1 )[(2a ＋1)＋(2b ＋2)]＝1＋4＋2b ＋22a ＋1＋4(2a ＋1)2b ＋2≥5＋22b ＋22a ＋1×4(2a ＋1)2b ＋2＝9． …………………… 6分 因此12a ＋1＋2b ＋1≥95．当且仅当2b ＋22a ＋1＝4(2a ＋1)2b ＋2，且a ＋b ＝1，即a ＝13，b ＝23 时，12a ＋1＋2b ＋1取得最小值95． …………………… 10分 22．解：因为在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，因此别离以AB 、AC 、1AA 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，成立空间直角坐标系，则111(0,0,0),(2,0,0),(0,4,0),(0,0,3),(2,0,3),(0,4,3)A B C A B C ,因为D 是BC 的中点，因此(1,2,0)D ，……………………………………………………2分（1）因为111(0,4,0),(1,2,3)A C A D ==-，设平面11A C D 的法向量1111(,,)n x y z =，则1111100n A C n A D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111140230y x y z =⎧⎨+-=⎩，取111301x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，因此平面11A C D 的法向量1(3,0,1)n =，而1(1,2,3)DB =-， 因此111111335cos ,n DB n DB n DB ⋅<>==⋅， 因此直线1DB 与平面11A C D 5分（2）11(2,0,0)A B =，1(1,2,3)DB =-，设平面11B A D 的法向量2222(,,)n x y z =，则2112100n A B n DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即222220230x x y z =⎧⎨-+=⎩，取222032x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，平面11B A D 的法向量2(0,3,2)n =，因此121212130cos ,n n n n n n ⋅<>==⋅， 二面角111B A D C --．……………………………………………10分23．（1）证明：0)(121)2()(31222222>-=+-++=-b a b a b ab a B A （2）证明：11,1B A n ==；,)2(,11,311nn n n n b a B b a b a n A n +=--+=≥++令,,y b a x b a =-=+且0,>y x ， 于是,)2(],)()[()1(21)2()2(1111111n n n n n n n n x B y x y x y n y y x y x n A =--++=--++=+++++因为y x C y x C y x C y x y x nn n n n n n n 11323111112)22(])()[(+-++++≥++=--+ ，因此n n n n nn n n B x x y x C y n A ===⋅+≥++)2(22)1(21111．。
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江苏省南通市2017年高考（数学学科基地命题）模拟数学试卷（九）
第Ⅰ卷（必做题，共160分）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,3,4}A =，则U C A =________．
2．设复数i z a b =+（,a b ∈R ，i 是虚数单位），若(2i)i z -=，则a b +的值为________． 3．在如图所示的算法流程图中，若输出的y 的值为26，则输入的x 的值为________．
4．甲、乙两人下棋，结果是一人获胜或下成和棋．已知甲不输的概率为0.8，乙不输的概率为0.7，则两人
下成和棋的概率为________．
5．顶点在原点且以双曲线2
213
x y -=的右准线为准线的抛物线方程是________．
6．为了解学生课外阅读的情况，随机统计了n 名学生的课外阅读时间，所得数据都在[50,150]中，其频率分布直方图如图所示．已知在[50,100)中的频数为24，则n 的值为________．
8，侧棱与底面所成的角为60°，则该棱锥的体积为________． 9．在角坐标系xOy 中，已知圆C ：22(3)2x y +-=，点A 是x 轴上的一个动点，AP 平面直，AQ 分别切圆C 于P ，Q 两点，则线段PQ 长的取值范围为________．
10．若函数0,
2,()0ln ,x x x f x x ax x ≤⎧+=⎨>-⎩
在其定义域上恰有两个零点，则正实数a 的值为________．
11．设直线l 是曲线343ln y x x =+的切线，则直线l 的斜率的最小值为________． 12．扇形AOB 中，弦1AB =，C 为劣弧AB 上的动点，AB 与OC 交于点P ，则O PB P
的最小值是________．
13．在平面直角坐标系xOy 中，已知(cos ,sin )A αα，(cos ,sin )B ββ是直线y =tan()αβ+的值为________．
14．已知函数3()||2f x x a a x =--+-有且仅有三个零点，且它们成等差数列，则实数a 的取值集合为
（1）求cos2α的值； （2）求2αβ-的值． 16．（本小题满分14分）
如图，在四棱锥P ABCD -中，ACD △是正三角形，BD 垂直平分AC ，
垂足为M ，120ABC ∠=，=1PA AB =，2PD =，N 为PD 的中点．
（1）求证：AD ⊥平面PAB ； （2）求证：CN ∥平面PAB ． 17．（本小题满分14分）
在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B 分别是椭圆22221(0)y x a b a b
+=>>的上、下顶点，点1(0)2M ，为线段
AO 的中点，AB =.
（1）求椭圆的方程
（2）设(,2)N t （0t ≠），直线NA ，NB 分别 交椭圆于点P ，Q ，直线NA ，NB ，PQ 的斜率分别为1k ，2k ，3k ． ①求证：P ，M ，Q 三点共线； ②求证：132312k k k k k k +-为定值． 18．（本小题满分16分）
如图，一个角形海湾AOB ，2AOB θ∠＝（常数θ为锐角）．拟用长度为l （l 为常数）的围网围成一个养殖区，有以下两种方案可供选择：
方案一：如图1，围成扇形养殖区
OPQ ，其中PQ l =； 方案二：如图2，围成三角形养殖区OCD ，其中CD l =；
（1）求方案一中养殖区的面积1S ；
（2）求证：方案二中养殖区的最大面积224tan l S θ
=；
（3）为使养殖区的面积最大，应选择何种方案？并说明理由．
19．（本小题满分16分）
已知数列{}n a 的首项为2，前n 项的和为n S ，且111241n n n a a S +-=-（*n ∈N ）．
（1）求2a 的值； （2）设1n
n n n
a b a a +=
-，求数列{}n b 的通项公式；
（3）若m a ，p a ，r a （*,,m p r ∈N ，m p r <<，）成等比数列，试比较2p 与mr 的大小，并证明． 20．（本小题满分16分）
已知函数2
()e ln )x
f x a x b x
=+
+（，其中,a b ∈R ．e 2.71828=是自然对数的底数． （1）若曲线()y f x =在1x =处的切线方程为e(1)y x =-．求实数a ，b 的值；
（2）①若2a =-时，函数()y f x =既有极大值，又有极小值，求实数b 的取值范围； ②若2a =，2b ≥-．若()f x kx ≥对一切正实数x 恒成立，求实数k 的最大值（用b 表示）．
第Ⅱ卷（附加题，共40分）
21．【选做题】本题包括A ，B ，C ，D 四小题，每小题10分，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．
A ．（选修4-1；几何证明选讲）
如图，1O ，2O 交于两点P ，Q ，直线AB 过点P ，与1O ，2O 分别交于点A ，B ，直线CD 过点Q ，与
1O ，2O 分别交于点C ，D ．
求证：AC BD ∥．
B ．（选修4-2：矩阵与变换）
若二阶矩阵M 满足：12583446M ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
．
（1）求二阶矩阵M ；
（2）若曲线C ：22221x xy y ++=在矩阵M 所对应的变换作用下得到曲线C '，求曲线C '的方程． C ．（选修4-4：坐标系与参数方程）
已知点(1)P αα-（其中[0,2π)α∈），点P 的轨迹记为曲线1C ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点Q 在曲线2C
：1π
)
4
ρθ=
+上．
（1）求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；
（2）当0ρ≥，02πθ≤<时，求曲线1C 与曲线2C 的公共点的极坐标． D ．（选修4-5：不等式选讲）
【选做题】第22题、23题，每题10分，共计20分．
22．已知正六棱锥S ABCDEF -的底面边长为2，高为1．现从该棱锥的7个顶点中随机选取3个点构成三角形，设随机变量X 表示所得三角形的面积．
（1）求概率(P X =的值；
（2）求X 的分布列，并求其数学期望()E X ．
23.已知数列{}n a 满足：11a ＝，对任意的*n ∈N ，都有121)1
(12
n n n
a a n n +＋＝＋＋． （1）求证：当2n ≥时，2n a ≥；。