安徽省宣城市2020-2021学年高三上学期期末数学(理)试题

安徽省宣城市2020-2021学年高三上学期期末数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设全集为R ，集合{}2log 1A x x =<，{}21B x x =≥，则()AB =R （ ） A ．{}11x x -<<B ．{}12x x -<<C ．{}01x x <<D ．{}02x x << 2．设复数z 满足：(1)2i z i +=-，则z 的虚部为（ ）A ．12iB ．12C ．32i - D ．32-3．已知0.310a -=，3log 6b =，2log c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．b a c << B ．a c b << C ．a b c << D ．b c a <<4．函数()sin||1e 21exx x f x -=⋅+在[π,π]-上的图象大致为（ ） A ． B ． C ． D ．5．在二项式12⎛ ⎝的展开式中，有理项共有（ ） A ．3项 B ．4项 C ．5项 D ．6项 6．德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36的等腰三角形（另一种是顶角为108的等腰三角形）.例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金ABC 中，12BC AC =.根据这些信息，可得sin126=（ ）ABCD7．已知非零向量a ，b满足23a b =，且()a b b -⊥，则a 与b 的夹角为（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 8．在等比数列{}n a 中，123456152a a a a a a +++++=，3492a a =-，则123456111111a a a a a a +++++=（ ） A ．35 B ．35 C ．53 D ．53-9．已知函数()22sin cos cos f x x x x x =+-，x ∈R ，则（ ）A ．()f x 的最大值为1B ．()f x 的图象关于直线3x π=对称C ．()f x 的最小正周期为2πD ．()f x 在区间()0,π上只有1个零点 10．如图，在圆心角为直角的扇形OAH 中，分别以OA ，OH 为直径作两个半圆，在扇形OAH 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A ．1πB ．12C ．42ππ-D ．2ππ- 11．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，2AP =，AB =4AC =，45BAC ∠=︒，则三棱锥P ABC -外接球的表面积是（ ）A ．14πB ．16πC ．18πD ．20π12．已知O 为坐标原点设1F ，2F 分别是双曲线2219x y -=的左右焦点，P 为双曲线左支上的任意一点，过点1F 作12F PF ∠的角平分线的垂线，垂足为H ，则OH =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题13．若曲线562x y e x =-+的一条切线与直线:60l x y -+=互相垂直，则该切线的方程为___________.14．已知首项为1的数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()21n n S n a =+，则数列()2121*1n n a n N a -+⎧⎫⎨⎬⎭∈⋅⎩的前n 项和n T =______. 15．设()25,X N σ~，若()5,9X ∈的概率为0.45，则()1,X ∈+∞的概率为___________. 16．椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点为F ，(),0A a -，()0,B b ，()0,C b -分别为其三个顶点.直线CF 与AB 交于点D ，若椭圆的离心率13e =，则tan BDC ∠=___________.三、解答题17．已知在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()()sin sin 2sin a b A c C a b B +=+-.（1）求角C 的大小；（2）若2c =，求ABC 面积的最大值.18．某市有两家共享单车公司，在市场上分别投放了黄､蓝两种颜色的单车，已知黄､蓝两种颜色单车的投放比例为1:2.监管部门为了解两种颜色单车的质量，决定从市场中随机抽取5辆单车进行体验，若每辆单车被抽取的可能性相同.（1）求抽取的5辆单车中有3辆是蓝色单车的概率；（2）在骑行体验过程中，发现蓝色单车存在一定质量问题，监管部门决定从市场中随机抽取一辆送技术部门作进一步抽样检测并规定若抽到的是蓝色单车，则抽样结束，若抽取的是黄色单车，则将其放回市场中，并继续从市场中随机抽取下一辆单车，并规定抽样的次数最多不超过4次.在抽样结束时，已取到的黄色单车数量用ξ表示，求ξ的分布列及数学期望.19．如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为矩形，ADE 为等边三角形，且平面ADE ⊥平面CDEF ，AB =.（1）证明：平面ADE ⊥平面ABCD ；（2）若BF DF ⊥，求二面角F BC D --的余弦值.20．已知抛物线E ：22x py =（02p <<）的焦点为F ，圆C :()2211x y +-=，点()00,P x y 为抛物线上一动点.当52PF P =时，PCF ∆的面积为12.（1）求抛物线E 的方程；（2）若012y >，过点P 作圆C 的两条切线分别交y 轴于M ，N 两点，求PMN ∆面积的最小值. 21．已知函数()()e 1e xf x a x x=+--（1）当0a =时，求函数()f x 的极值；（2）若函数()f x 在区间()0,1内存在零点，求实数a 的取值范围．22．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 过点(1,0)且倾斜角为60°，曲线C 的参数方程为2cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数）. （1）以原点为极点，x 轴非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，求曲线C 的极坐标方程；（2）求直线l 被曲线C 所截得的线段的长度.23．已知函数()226f x x x =-+-.（1）求不等式()10f x >的解集；（2）记集合(){}0A x f x ==，若A φ≠，求实数a 的取值范围.参考答案1．C【分析】 先分别求出集合{}02A x x =<<，{}{}2111R B x x x x =<=-<<，从而可求出()R A B .【详解】由2log 1x <得02x <<，则{}02A x x =<<，又{}{}2111R B x x x x =<=-<<， (){}01R A B x x ∴⋂=<<.故选：C.2．D【分析】根据复数的四则运算，化简复数z ，即可求得其虚部.【详解】因为(1)2i z i +=-，故可得()()()()211311122i i i z i i i i --2-===-++-. 则z 的虚部为：32-. 故选：D.【点睛】 本题考查复数的运算，以及复数虚部的辨识，属基础题.3．B 【分析】根据指数函数的性质，得到(0,1)∈a ，根据对数的运算，结合对数的函数的单调性和性质，得到33,122b c <<<，即可求解. 【详解】根据指数函数的性质，可得0.310(0,1)a -=∈，因为2736<，所以3236<， 故3233log 3log 6<，即33log 62b =>，而222113log log 7log 8222c ==<=，且22log log 21c =>= 故a c b <<故选：B【点睛】关键点点睛：根据对数的运算性质，利用对数函数的单调性，可判断b ，c 大致取值范围，是解决本题的关键，属于中档题.4．A【分析】先判断出()f x 的奇偶性，然后再根据()1f 的正负分析出对应的图象.【详解】 因为()()sin sin sin 111222111x x x x x x x x xe e ef x f x e e e -------=⋅=⋅=-⋅=-+++， 故()f x 是奇函数，排除选项C ，D ；又()sin111201e f e-=⋅<+，排除B ， 故选：A.【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.5．A【分析】写出通项公式，然后代入r 的值：012，分别计算判断是否为有理项.【详解】12⎛⎝的通项公式为(5126126112122r rrr r rrT C C x---+==，可知当0,6,12=r时，5666r-=或1或4-，可得有理项共有3项.故选：A.6．C【分析】计算出51cos724=，然后利用二倍角公式以及诱导公式可计算得出sin126cos36=的值，即可得出合适的选项.【详解】因为ABC 是顶角为36的等腰三角形，所以，72ACB∠=，则112cos72cos4BCACBAC=∠==，()sin126sin9036cos36=+=，而2cos722cos361=-，所以，13cos36====故选：C.【点睛】本题考查利用二倍角公式以及诱导公式求值，考查计算能力，属于中等题.7．A【分析】由()a b b-⊥，得数量积为零，代入数量积公式，再因为23a b=，可求出夹角的余弦值.【详解】因为()a b b-⊥，所以()0a b b-=，即20a b b⋅-=，得2cos0a bθb-=，又因为233a b=，所以22cos0bθb-=，得cos2θ=，所以6πθ=.故选：A8．D【分析】利用等比数列的下标和性质和题设条件即可求得结果．【详解】解：由等比数列的性质可知：341625a a a a a a ==， 又123456152a a a a a a +++++=，3492a a =- 两式相除可得：3561243434343434346543211111111525()293a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a +++++=+++++=⨯-=-. 故选：D ．9．B【分析】利用二倍角公式和辅助角公式化简()f x ，再利用三角函数的性质求解即可.【详解】()22sin cos cos f x x x x x =+-2cos 2x x =-2sin 26x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 故最大值为2，A 错22sin 2sin 23362f ππππ⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故关于3x π=对称，B 对 最小正周期为22ππ=，C 错 ()26x k k Z ππ-=∈解得()122k x k Z ππ=+∈，12x π=和712x π=都是零点，故D 错. 故选：B【点睛】对于三角函数，求最小正周期和最值时可先把所给三角函数式化为y ＝Asin (ωx ＋φ)或y ＝Acos (ω x ＋φ)的形式，则最小正周期为2T πω=，最大值为A ，最小值为A -；奇偶性的判断关键是解析式是否为y ＝Asin ωx 或y ＝Acos ωx 的形式．10．D【分析】将图中阴影部分等价转化为如图所示情况，即可根据面积关系求出概率. 【详解】如图，题中阴影部分的面积可转化为下面右图的阴影部分的面积， 设扇形OAH 的半径为r ，则此点取自阴影部分的概率2221124214r r P r ππππ--==. 故选：D. 11．D 【分析】根据余弦定理结合勾股定理可证得BC AB ⊥，进而证得BC ⊥平面PAB ，可证得PC 是外接球直径，进而可得求的直径，从而得解. 【详解】在BAC 中，45BAC ∠=︒，AB =4AC =，由余弦定理可得2222cos 816244BC AB AC AB AC π=+-⋅=+-⨯⨯=，则222BC AB AC +=，所以BC AB ⊥， 由PA ⊥平面ABC ，则PA BC ⊥，PA AB A =，所以BC ⊥平面PAB ， 所以BC PB ⊥，所以PBC 为直角三角形， 又PAC △为直角三角形，所以PC 是外接球直径，O 是PC 的中点，即为球心，又2AB BC PA ===，所以PC ==所以球O 的体积2420V ππ=⨯=. 故选：D. 12．C 【分析】根据中位线性质得到22111()22OH BF PF PF a ==-=得到答案. 【详解】如图所示：延长1F H 交2PF 于B12F PF ∠的平分线为PA ，1F B PA H ⊥⇒为1F B 中点，1PF BP =，在12F F B △中，O 是12F F 中点，H 为1F B 中点，⇒22111()322OH BF PF PF a ==-== 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题考查了双曲线的性质，利用中位线性质将212OH BF =是解题的关键. 13．70x y +-= 【分析】首先求出函数的导数，设切点坐标()00,x y ，由两直线垂直可知两直线的斜率乘积为1-，即可求出切点坐标，进而求出切线方程. 【详解】由题知，56xy e '=-，设切点坐标()00,x y ，则该点处切线的斜率为056x e -，又因为切线与直线:60l x y -+=互相垂直，0561x e ∴-=-，则00x =，07y =∴切线方程为7(0)y x -=--，即70x y +-=.故答案为：70x y +-=. 【点睛】关键点点睛：求切线方程的关键是利用导函数的几何意义，通过设切点坐标，再求导求得在该点处切线的斜率，并结合题中条件求出切点坐标，从而求出切线方程.14．21nn + 【分析】根据n S 求数列通项，分析2n ≥时求解数列通项得到()121n n n a n a na -=+-，整理可得()121n n a a n n n -=≥-，即可求出通项公式，代入数列21211n n a a -+⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的通项中进行列项整理，最后利用裂项相消法即可求出数列21211n n a a -+⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和.【详解】∵()21n n S n a =+，∴()1122n n S na n --=≥， ∴()()112212n n n n S S n a na n ---=+-≥， ∴()121n n n a n a na -=+-，即()11n n n a na --=， ∴()121n n a a n n n -=≥-， 即11111n n a a a n n -====-，故n a n =， 则()()212111111212122121n n a a n n n n -+⎛⎫==- ⎪⋅-+-+⎝⎭，故11111111112335212122121n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭. 故答案为：21nn +. 【点睛】本题主要考查了利用递推公式求解通项公式，考查了裂项相消法求和问题，属于中档题. 15．0.95 【分析】由正态分布曲线的对称性求得概率． 【详解】∵(59)0.45P X <<=，∴(15)0.45P X <<=，1(1)(15)0.50.450.052P X P x <=-<<=-=， ∴(1)1(1)10.050.95P x P X >=-<=-=． 故答案为：0.95． 16．5-【分析】做出图像可知：BDC BAO CFO ∠=∠+∠，利用两角和的正切表示tan BDC ∠，有tan ,tan b b BAO CFO a c ∠=∠=，根据离心率可求出b a =，b c=即可求出结果. 【详解】由图像可知：BDC BAO DFA BAO CFO ∠=∠+∠=∠+∠所以tan tan tan tan()1tan tan 1b bBAO CFOa c BDC BAO CFOb bBAO CFO a c+∠+∠∠=∠+∠==-∠∠-⋅因为离心率13c e a ==，可设3a m =，c m =，那么b =，极有b a =，bc =+=．故答案为：5-【点睛】本题考查了椭圆的基本性质与平面几何的转化，考查了两角和的正切公式的应用，属于中档题型，思路点睛：（1）根据平面几何将所求角进行转化，BDC BAO CFO ∠=∠+∠；（2）结合两角和的正切公式，直角三角形内求角的正切，将问题转化为,,a b c 的比值问题． （3）根据离心率求出,,a b c 的比值，代入可求.17．（1）3π；（2. 【分析】（1）由题设条件和正弦定理，化简得222a b c ab +-=，再结合余弦定理，求得1cos 2C ==，即可求解；（2）由（1）及2c =，可得224a b ab +=+，结合基本不等式求得4ab ≤，利用面积公式，即可求得面积的最大值. 【详解】（1）因为()()sin sin 2sin a b A c C a b B +=+-， 由正弦定理，可得()()22a b a c a b b +=+-，整理得222a b c ab +-=，又由余弦定理，可得2221cos 222a b c ab C ab ab +-===，又因为()0,C π∈，所以3C π=.（2）由（1）知222a b c ab +-=， 又由2c =，可得224a b ab +=+.因为222a b ab +≥，当且仅当a b =时等号成立，所以4ab ≤，所以11sin 4sin 223ABC S ab C π=≤⨯⨯=△即ABC 【点睛】对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，同时注意三角形内角和定理，三角形面积公式在解题中的应用.18．（1）80243；（2）分布列答案见解析，数学期望：4081. 【分析】（1）利用独立重复试验的概率公式可求得所求事件的概率；（2）由题可知，随机变量ξ的可能取值有0、1、2、3、4，计算出随机变量ξ在不同取值下的概率，由此可得出随机变量ξ的分布列和期望. 【详解】（1）因为随机地抽取一辆单车是蓝色单车的概率为23，用X 表示“抽取的5辆单车中蓝色单车的个数”，则X 服从二项分布，即2~5,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以抽取的5辆单车中有3辆是蓝色单车的概率为3235218033243C ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）随机变量ξ的可能取值为：0､1､2､3､4.()203p ξ==，()1221339p ξ==⨯=，()212223327p ξ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭， ()312233381p ξ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，()4114381p ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭.所以ξ的分布列如下表所示：()012343927818181E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.【点睛】思路点睛：求解随机变量分布列的基本步骤如下：（1）明确随机变量的可能取值，并确定随机变量服从何种概率分布； （2）求出每一个随机变量取值的概率；（3）列成表格，对于抽样问题，要特别注意放回与不放回的区别，一般地，不放回抽样由排列、组合数公式求随机变量在不同取值下的概率，放回抽样由分步乘法计数原理求随机变量在不同取值下的概率. 19．（1）见解析；（2【详解】 试题分析：(1)取DE 中点G ，于是AG ⊥DE ，由面面垂直的性质定理可得AG ⊥面CDEF ，则AG ⊥DC ，又CD ⊥AD ，由线面垂直的判断定理可得CD ⊥面ADE ，即面ADE ⊥面ABCD ．(2)取AD 中点O ，以O 为坐标原点，OA 、OE 为x 、z 轴建系．由题意可得：平面FBC 的法向量为(10,3,n =，平面BCD 的法向量为()20,0,1n =，则二面角F-BC-D 的余弦值为1212105n n cos n n θ⋅==⋅． 试题解析：（1）证明：取DE 中点G ，于是AG ⊥DE ，又面ADE ⊥面CDEF ，且面ADE ∩面CDEF=DE ，所以AG ⊥面CDEF ， 则AG ⊥DC ，又CD ⊥AD ，所以CD ⊥面ADE ， 即面ADE ⊥面ABCD ．（2）解：取AD 中点O ，于是EO ⊥面ABCD ，所以，如图：以O 为坐标原点，OA 、OE 为x 、z 轴建系．设OA 长度为1， 于是点坐标为：，因为CD ∥AB，所以AB ∥平面CDEF ，又平面ABEF ∩平面CDEF=EF ，则EF ∥AB ；所以设(),0EF AB λ==，所以点(F ．那么()()(1,221,3,1,22BF DF λ=--=，由于BF ⊥DF ，所以()01381BF DF λλ=⋅=-++-，解得12λ=．于是(F ， 进而面FBC的法向量为(10,3,n =，又面BCD 的法向量为()20,0,1n =，记二面角F-BC-D 为θ，所以1212105n n cos n nθ⋅==⋅，又因为是锐角，所以二面角F-BC-D ． 20．（1）22x y =；（2）2min S =【分析】 （1）根据52p PF =，由抛物线的定义求得02y p =，进而得到02x p =±，再结合12PCF S ∆=，列出关于p 的方程，即可求得p 的值，得到抛物线的方程；（2）设()0,M b ,()0,N c ,且b c >，由圆心()0,1到直线PM 当距离为1，利用点到直线的距离公式化简得()220002120y b y b y ---=，同理得到()220002120y c y c y ---=，进而得到,b c 为()220002120y x y x y ---=的两根，求得b c -=PMN ∆面积的表达式，利用均值不等式，即可求解. 【详解】（1）由题意，抛物线E :22x py =（02p <<）的焦点为0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 圆()22:11C x y +-=的圆心C 为()0,1，因为52p PF =，由抛物线的定义可得0522p p y +=，解得02y p =， 又2002y px =，所以02x p =±，又12PCF S ∆=，即1112222p p ⨯-⨯=，整理得221p p -=，所以221p p -=或221p p -=-解得1p =±1p =，又02p <<，所以1p =，所以抛物线方程为22x y =.（2）设()0,M b ,()0,N c ,且b c >，不妨设P 在y 轴右侧，故直线PM 当方程为0000y by b x x --=--，即()0000y b x x y x b --+=， 由题设知，圆心()0,1到直线PM 当距离为11=，化简上式得()220002120y b y b y ---=，同理可得()220002120y c y c y ---=，由上可知,b c 为()220002120y x y x y ---=的两根，则()()223000024218y y y y∆=-+-=，且200002,2121y y b c bc y y -+==--，所以b c -===所以200021221y S b c x y =-==-，设021t y =-,012y >0t ∴>，()211112222t S t t t +⎛⎫==++≥ ⎪⎝⎭，所以PMN ∆面积的最小值2. 【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与抛物线方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.21．（1）()f x 的极小值为()10f =，无极大值；（2）()0,∞+. 【分析】（1）当0a =时，()e e xf x x=-，利用导数求出其单调性即可；（2）()()()()2e 1e=0=e 0xx f x a x g x ax a e x x=+--⇔+-+=，()f x 在区间()0,1上的零点即()g x 在区间()0,1上的零点，然后分0a =、0a >、0a <三种情况讨论，每种情况下结合()g x 的单调性和函数值的符号可得答案.【详解】（1）当0a =时，()e e xf x x=-，()f x 的定义域为()(),00,-∞⋃+∞ ()()2e 1x x f x x-'= 由()0f x '>得1x >，由()0f x '<得1x <且0x ≠所以()f x 在(),0-∞，()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增所以()f x 的极小值为()10f =，无极大值（2）当()0,1x ∈时，()()()2e 1e=0e 0xx f x a x ax a e x x=+--⇔+-+= 令()()2=e x g x ax a e x +-+，则()f x 在区间()0,1上的零点即()g x 在区间()0,1上的零点()=e 2x g x ax a e '+--令()()=e 2x h x g x ax a e '=+--，则()=e 2xh x a '+ ①当0a =时，()=e 0xh x '>，()h x 单调递增，即()g x '单调递增 又()1=0g '，所以当()0,1x ∈时()0g x '<，()g x 在()0,1上单调递减，又()1=0g ，()g x 在区间()0,1上没有零点②当0a >时，()0h x '>，故()()h x g x '=在()0,1上单调递增又()()()()0010,110h g a e h g a ''==--<==>所以存在()00,1x ∈，使得()()000h x g x '==即当()00,x x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减当()0,1x x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增又因为()01g =，()1=0g ，所以()g x 在区间()0,1上存在零点③当0a <，()0,1x ∈时，令()x x e ex ϕ=-，则()xx e e ϕ'=- 因为在()0,1上，()0x ϕ'<，()x ϕ是减函数，所以()()10xx e ex ϕϕ=->= 所以x e ex >，所以()()()()222=e 0x g x ax a e x ex ax a e x a x x +-+>+-+=-> 所以()g x 在区间()0,1上没有零点综上：要使函数()f x 在区间()0,1内存在零点，则a 的取值范围是()0,∞+【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：求出函数的单调性，结合其函数值的符号分析零点的个数.22．（1）22123sin ρθ=+；（2）165. 【分析】（1）把曲线C 的参数方程化为普通方程，将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入可得曲线C 的极坐标方程；（2）设出直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程，由根与系数的关系以及弦长公式得出线段的长度．【详解】（1）因为曲线C的参数方程为2cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数）. 所以其普通方程为22143x y +=， 将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入可得曲线C 的极坐标方程为22123sin ρθ=+. （2）因为直线l 过点(1,0)且倾斜角为60︒，则直线l的参数方程为1122x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.将直线的参数方程代入曲线C 的方程22143x y +=中，可得254120t t +-=. 设1t 2t 为方程254120t t +-=的两个根， 则1245t t +=-，12125t t =-. 所以直线被曲线C 所截得的线段的长度为12165t t -===. 【点睛】 方法点睛：本题考查参数方程和普通方程的互化，考查极坐标方程和普通方程的互化，考查直线的参数方程，过点()00,P x y ，倾斜角为α的直线的参数方程为00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），设12,P P 为直线上两点，所对应的参数分别为12,t t ，则1.1212PP t t =-；2.0102P P P P +=12t t +；3.0102P P P P ⋅=12t t ．23．（1）2|3x x ⎧<-⎨⎩或}6x >；（2）)+∞. 【分析】（1）零点分段法去掉绝对值，分别解出不等式，可得不等式的解集；（2）依题意，()f x =，利用零点分段法去掉绝对值可得函数的最小值和值域，由A φ≠得出实数a 的取值范围． 【详解】 （1）依题意22610x x -+->；当1x <时，22610x x -+->，则23x <-，故23x <-； 当16x ≤≤时，22610x x -+->，则6x >，无解； 当6x >时，22610x x -+->，则6x >，故6x >； 故不等式()10f x >的解集为2|3x x ⎧<-⎨⎩或}6x >； （2）依题意，()f x =， 而()38,1,2264,16,38,6x x f x x x x x x x -+<⎧⎪=-+-=+≤≤⎨⎪->⎩则可知()min 5f x =，即()f x 的值域为[)5,+∞，因为A φ≠5≥，则a ≥a的取值范围为)+∞.。