二轮复习 解析几何综合问题 学案(全国通用)
高考数学二轮复习 专题四 解析几何 第3讲 圆锥曲线的综合问题学案
第3讲 圆锥曲线的综合问题[考情考向分析] 1.圆锥曲线的综合问题一般以直线和圆锥曲线的位置关系为载体，以参数处理为核心，考查范围、最值问题，定点、定值问题，探索性问题.2.试题解答往往要综合应用函数与方程、数形结合、分类讨论等多种思想方法，对计算能力也有较高要求，难度较大．热点一 范围、最值问题圆锥曲线中的范围、最值问题，可以转化为函数的最值问题(以所求式子或参数为函数值)，或者利用式子的几何意义求解．例1 (2018·浙江省稽阳联谊学校联考)已知离心率为32的椭圆C ：x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，与坐标轴不平行的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，其中M 为A 关于y 轴的对称点，N (0，2)，O 为坐标原点．(1)求椭圆C 的方程；(2)分别记△PAO ，△PBO 的面积为S 1，S 2，当M ，N ，B 三点共线时，求S 1·S 2的最大值． 解 (1)∵c a ＝32，a 2＝b 2＋c 2，∴a ＝2b . 把点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32代入椭圆方程可得1a 2＋34b 2＝1， 解得a ＝2，b ＝1，∴椭圆方程为x 24＋y 2＝1.(2)设点A 坐标为(x 1，y 1)，点B 坐标为(x 2，y 2)， 则M 为(－x 1，y 1)，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b ，联立椭圆方程可得(4k 2＋1)x 2＋8kbx ＋4b 2－4＝0， ∴x 1＋x 2＝－8kb 4k 2＋1，x 1x 2＝4b 2－44k 2＋1，Δ>0，∵M ，N ，B 三点共线， ∴k MN ＝k BN ， 即y 1－2x 1＋y 2－2x 2＝0， 化简得8k (1－2b )＝0， 解得b ＝22或k ＝0(舍去)． 设A ，B 两点到直线OP 的距离分别为d 1，d 2. 直线OP 的方程为3x －2y ＝0，|OP |＝72， ∴S 1·S 2＝116|(3x 1－2y 1)(3x 2－2y 2)|，化简可得S 1·S 2＝116|(2k －3)2x 1x 2＋2(2k －3)(x 1＋x 2)＋2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－14＋3k 4k 2＋1. 又3k 4k 2＋1∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－34，0∪⎝⎛⎦⎥⎤0，34， ∴当k ＝－12时，S 1·S 2的最大值为3＋14.思维升华 解决范围问题的常用方法(1)数形结合法：利用待求量的几何意义，确定出极端位置后，利用数形结合法求解． (2)构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解． (3)构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域．跟踪演练1 (2018·绍兴市柯桥区模拟)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l ：y ＝kx －4(1<k <2)与y 轴、抛物线C 相交于点P ，A ，B (自下而上)，记△PAF ，△PBF 的面积分别为S 1，S 2.(1)求AB 中点M 到y 轴的距离d 的取值范围； (2)求S 1S 2的取值范围．解 (1)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －4，y 2＝4x ，消去y ，得k 2x 2－(8k ＋4)x ＋16＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝8k ＋4k2，x 1x 2＝16k2，所以d ＝x 1＋x 22＝4k ＋2k 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋12－2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫52，6. (2)由于S 1S 2＝|PA ||PB |＝x 1x 2.由(1)可知S 1S 2＋S 2S 1＝x 1x 2＋x 2x 1＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2x 1x 2＝k 216·(8k ＋4)2k 4－2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋22－2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫174，7. 由S 1S 2＋S 2S 1>174，得4⎝ ⎛⎭⎪⎫S 1S 22－17·S 1S 2＋4>0，解得S 1S 2>4或S 1S 2<14.因为0<S 1S 2<1，所以0<S 1S 2<14，由S 1S 2＋S 2S 1<7，得⎝ ⎛⎭⎪⎫S 1S 22－7·S 1S 2＋1<0，解得7－352<S 1S 2<7＋352，因此7－352<S 1S 2<14.即S 1S 2的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫7－352，14. 热点二 定点、定值问题1．由直线方程确定定点，若得到了直线方程的点斜式：y －y 0＝k (x －x 0)，则直线必过定点(x 0，y 0)；若得到了直线方程的斜截式：y ＝kx ＋m ，则直线必过定点(0，m )．2．解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等与题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值．例2 (2018·北京)已知抛物线C ：y 2＝2px 经过点P (1,2)，过点Q (0,1)的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N . (1)求直线l 的斜率的取值范围；(2)设O 为原点，QM →＝λQO →，QN →＝μQO →，求证：1λ＋1μ为定值．(1)解 因为抛物线y 2＝2px 过点(1,2)， 所以2p ＝4，即p ＝2. 故抛物线C 的方程为y 2＝4x .由题意知，直线l 的斜率存在且不为0. 设直线l 的方程为y ＝kx ＋1(k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋1，得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0.依题意知Δ＝(2k －4)2－4×k 2×1>0， 解得k <0或0<k <1.又PA ，PB 与y 轴相交，故直线l 不过点(1，－2)． 从而k ≠－3.所以直线l 的斜率的取值范围是(－∞，－3)∪(－3,0)∪(0,1)． (2)证明 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由(1)知x 1＋x 2＝－2k －4k 2，x 1x 2＝1k2.直线PA 的方程为y －2＝y 1－2x 1－1(x －1)， 令x ＝0，得点M 的纵坐标为y M ＝－y 1＋2x 1－1＋2＝－kx 1＋1x 1－1＋2.同理得点N 的纵坐标为y N ＝－kx 2＋1x 2－1＋2.由QM →＝λQO →，QN →＝μQO →，得λ＝1－y M ，μ＝1－y N . 所以1λ＋1μ＝11－y M ＋11－y N ＝x 1－1(k －1)x 1＋x 2－1(k －1)x 2＝1k －1·2x 1x 2－(x 1＋x 2)x 1x 2＝1k －1·2k 2＋2k －4k 21k 2＝2.所以1λ＋1μ为定值．思维升华 (1)动直线过定点问题的两大类型及解法①动直线l 过定点问题，解法：设动直线方程(斜率存在)为y ＝kx ＋t ，由题设条件将t 用k 表示为t ＝mk ，得y ＝k (x ＋m )，故动直线过定点(－m,0)．②动曲线C 过定点问题，解法：引入参变量建立曲线C 的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点． (2)求解定值问题的两大途径①由特例得出一个值(此值一般就是定值)→②先将式子用动点坐标或动线中的参数表示，再利用其满足的约束条件使其绝对值相等的正负项抵消或分子、分母约分得定值． 跟踪演练2 已知倾斜角为π4的直线经过抛物线Γ：y 2＝2px (p >0)的焦点F ，与抛物线Γ相交于A ，B 两点，且|AB |＝8. (1)求抛物线Γ的方程；(2)过点P (12,8)的两条直线l 1，l 2分别交抛物线Γ于点C ，D 和E ，F ，线段CD 和EF 的中点分别为M ，N .如果直线l 1与l 2的倾斜角互余，求证：直线MN 经过一定点． (1)解 由题意可设直线AB 的方程为y ＝x －p2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －p 2，y 2＝2px ，消去y 整理得x 2－3px ＋p 24＝0，Δ＝9p 2－4×p 24＝8p 2>0，令A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝3p ，由抛物线的定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4p ＝8， ∴p ＝2.∴抛物线的方程为y 2＝4x .(2)证明 设直线l 1，l 2的倾斜角分别为α，β， 由题意知，α，β≠π2.直线l 1的斜率为k ，则k ＝tan α. ∵直线l 1与l 2的倾斜角互余，∴tan β＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α ＝cos αsin α＝1sin αcos α＝1tan α， ∴直线l 2的斜率为1k.∴直线CD 的方程为y －8＝k (x －12)， 即y ＝k (x －12)＋8.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －12)＋8，y 2＝4x ，消去x 整理得ky 2－4y ＋32－48k ＝0， 设C (x C ，y C )，D (x D ，y D )， ∴y C ＋y D ＝4k，∴x C ＋x D ＝24＋4k 2－16k，∴点M 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫12＋2k2－8k ，2k .以1k代替点M 坐标中的k ，可得点N 的坐标为(12＋2k 2－8k,2k )， ∴k MN ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2－k 2－8⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －k ＝11k＋k －4.∴直线MN 的方程为y －2k ＝11k＋k －4[x －(12＋2k 2－8k )]， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫1k＋k －4y ＝x －10， 显然当x ＝10时，y ＝0， 故直线MN 经过定点()10，0. 热点三 探索性问题1．解析几何中的探索性问题，从类型上看，主要是存在类型的相关题型，解决这类问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明确化．其步骤为：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在． 2．反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法．例3 已知椭圆C ：y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)的上、下焦点分别为F 1，F 2，上焦点F 1到直线4x ＋3y ＋12＝0的距离为3，椭圆C 的离心率e ＝12.(1)求椭圆C 的方程；(2)椭圆E ：y 2a 2＋3x 216b 2＝1，设过点M (0,1)，斜率存在且不为0的直线交椭圆E 于A ，B 两点，试问y 轴上是否存在点P ，使得PM →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫PA →|PA →|＋PB →|PB →|？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．解 (1)由已知椭圆C 的方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)，设椭圆的焦点F 1(0，c )，由F 1到直线4x ＋3y ＋12＝0的距离为3， 得|3c ＋12|5＝3， 又椭圆C 的离心率e ＝12，所以c a ＝12，又a 2＝b 2＋c 2，求得a 2＝4，b 2＝3. 椭圆C 的方程为y 24＋x 23＝1. (2)存在．理由如下：由(1)得椭圆E ：x 216＋y 24＝1，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1(k ≠0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 216＋y24＝1，消去y 并整理得(4k 2＋1)x 2＋8kx －12＝0， Δ＝(8k )2＋4(4k 2＋1)×12＝256k 2＋48>0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k 4k 2＋1，x 1x 2＝－124k 2＋1.假设存在点P (0，t )满足条件， 由于PM →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫PA →|PA →|＋PB →|PB →|， 所以PM 平分∠APB .所以直线PA 与直线PB 的倾斜角互补， 所以k PA ＋k PB ＝0. 即y 1－t x 1＋y 2－tx 2＝0， 即x 2(y 1－t )＋x 1(y 2－t )＝0.(*) 将y 1＝kx 1＋1，y 2＝kx 2＋1代入(*)式， 整理得2kx 1x 2＋(1－t )(x 1＋x 2)＝0， 所以－2k ·124k 2＋1＋(1－t )×(－8k )4k 2＋1＝0， 整理得3k ＋k (1－t )＝0，即k (4－t )＝0， 因为k ≠0，所以t ＝4.所以存在点P (0,4)，使得PM →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫PA →|PA →|＋PB →|PB →|. 思维升华 解决探索性问题的注意事项存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在．(1)当条件和结论不唯一时，要分类讨论．(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件．(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径．跟踪演练3 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点M (2，2)，且离心率为22.(1)求a ，b 的值，并写出椭圆C 的方程；(2)设A ，B 分别为椭圆C 的左、右顶点，在椭圆C 上有异于A ，B 的动点P ，若直线PA ，PB 与直线l ：x ＝m (m 为常数)分别交于不同的两点M ，N ，则当点P 运动时，以MN 为直径的圆是否经过定点？解 (1)由题知，4a 2＋2b 2＝1，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝22，b ＝2， ∴椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)由(1)知，A (－22，0)，B (22，0)， 设直线PA ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，则直线PA ，PB 的方程分别为y ＝k 1(x ＋22)，y ＝k 2(x －22)，∴M (m ，k 1(m ＋22))，N (m ，k 2(m －22))，∴根据射影定理知，以MN 为直径的圆的方程为(x －m )2＋[y －k 1(m ＋22)][y －k 2(m －22)]＝0，即(x －m )2＋y 2－[k 1(m ＋22)＋k 2(m －22)]y ＋k 1k 2·(m 2－8)＝0，设点P (x 0，y 0)，则x 208＋y 204＝1，y 2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 208，∴k 1k 2＝y 0x 0＋22·y 0x 0－22＝y 20x 20－8＝－12， ∴(x －m )2＋y 2－[k 1(m ＋22)＋k 2(m －22)]y －12(m 2－8)＝0，由y ＝0，得(x －m )2－12(m 2－8)＝0，∴(x －m )2＝12(m 2－8)．当m 2－8<0，即－22<m <22时，方程无实数解，该圆不经过定点．当m 2－8≥0，即m ≥22或m ≤－22时， 解得x ＝m ±22m 2－8， 即定点为⎝⎛⎭⎪⎫m ±22m 2－8，0.真题体验1．(2017·全国Ⅰ改编)已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A ，B 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点，则|AB |＋|DE |的最小值为________．答案 16解析 因为F 为y 2＝4x 的焦点，所以F (1,0)．由题意知，直线l 1，l 2的斜率均存在且不为0，设l 1的斜率为k ，则l 2的斜率为－1k，故直线l 1，l 2的方程分别为y ＝k (x －1)，y ＝－1k(x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，Δ＝16k 2＋16>0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2k 2＋4k2，x 1x 2＝1，所以|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2| ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＋4k 22－4 ＝4(1＋k 2)k2. 同理可得|DE |＝4(1＋k 2)．所以|AB |＋|DE |＝4(1＋k 2)k2＋4(1＋k 2) ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2＋1＋1＋k 2＝8＋4⎝⎛⎭⎪⎫k 2＋1k2≥8＋4×2＝16，当且仅当k 2＝1k2，即k ＝±1时，取得等号．2．(2018·浙江)如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：y 2＝4x 上存在不同的两点A ，B 满足PA ，PB 的中点均在C 上．(1)设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；(2)若P 是半椭圆x 2＋y 24＝1(x <0)上的动点，求△PAB 面积的取值范围．(1)证明 设P (x 0，y 0)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫14y 21，y 1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫14y 22，y 2. 因为PA ，PB 的中点在抛物线上，所以y 1，y 2为方程⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋y 022＝4·14y 2＋x 02， 即y 2－2y 0y ＋8x 0－y 20＝0的两个不同的实根． 所以y 1＋y 2＝2y 0， 所以PM 垂直于y 轴． (2)解 由(1)可知⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝2y 0，y 1y 2＝8x 0－y 20，所以|PM |＝18(y 21＋y 22)－x 0＝34y 20－3x 0，|y 1－y 2|＝22(y 20－4x 0).所以△PAB 的面积S △PAB ＝12|PM |·|y 1－y 2|＝324(y 20－4x 0)32.因为x 2＋y 204＝1(－1≤x 0<0)，所以y 20－4x 0＝－4x 20－4x 0＋4∈[4,5]， 所以△PAB 面积的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤62，15104.押题预测已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 23＝1(a >0)与抛物线C 2：y 2＝2ax 相交于A ，B 两点，且两曲线的焦点F 重合．(1)求C 1，C 2的方程；(2)若过焦点F 的直线l 与椭圆分别交于M ，Q 两点，与抛物线分别交于P ，N 两点，是否存在斜率为k (k ≠0)的直线l ，使得|PN ||MQ |＝2？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．押题依据 本题将椭圆和抛物线联合起来设置命题，体现了对直线和圆锥曲线位置关系的综合考查．关注知识交汇，突出综合应用是高考的特色． 解 (1)因为C 1，C 2的焦点重合， 所以a 2－3＝a2，所以a 2＝4.又a >0，所以a ＝2.于是椭圆C 1的方程为x 24＋y 23＝1，抛物线C 2的方程为y 2＝4x . (2)假设存在直线l 使得|PN ||MQ |＝2，当l ⊥x 轴时，|MQ |＝3，|PN |＝4，不符合题意， ∴直线l 的斜率存在，∴可设直线l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)．由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝k (x －1)，可得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，则x 1＋x 4＝2k 2＋4k2，x 1x 4＝1，且Δ＝16k 2＋16>0，所以|PN |＝1＋k 2·(x 1＋x 4)2－4x 1x 4 ＝4(1＋k 2)k2. 由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k (x －1)，可得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，则x 2＋x 3＝8k 23＋4k 2，x 2x 3＝4k 2－123＋4k 2，且Δ＝144k 2＋144>0，所以|MQ |＝1＋k 2·(x 2＋x 3)2－4x 2x 3＝12(1＋k 2)3＋4k2.若|PN ||MQ |＝2，则4(1＋k 2)k 2＝2×12(1＋k 2)3＋4k 2， 解得k ＝±62. 故存在斜率为k ＝±62的直线l ，使得|PN ||MQ |＝2.A 组 专题通关1．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝33，左、右焦点分别为F 1，F 2，且F 2与抛物线y2＝4x 的焦点重合． (1)求椭圆的标准方程；(2)若过F 1的直线交椭圆于B ，D 两点，过F 2的直线交椭圆于A ，C 两点，且AC ⊥BD ，求|AC |＋|BD |的最小值．解 (1)抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为(1,0)，所以c ＝1，又因为e ＝c a ＝1a ＝33，所以a ＝3，所以b 2＝2，所以椭圆的标准方程为x 23＋y 22＝1.(2)①当直线BD 的斜率k 存在且k ≠0时， 直线BD 的方程为y ＝k (x ＋1)， 代入椭圆方程x 23＋y 22＝1，并化简得()3k 2＋2x 2＋6k 2x ＋3k 2－6＝0.Δ＝36k 4－4(3k 2＋2)(3k 2－6)＝48(k 2＋1)>0恒成立． 设B (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－6k 23k 2＋2，x 1x 2＝3k 2－63k 2＋2，|BD |＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝()1＋k 2·[](x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝43()k 2＋13k 2＋2. 由题意知AC 的斜率为－1k，所以|AC |＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2＋13×1k2＋2＝43()k 2＋12k 2＋3. |AC |＋|BD |＝43()k 2＋1⎝⎛⎭⎪⎫13k 2＋2＋12k 2＋3＝203()k 2＋12()3k 2＋2()2k 2＋3≥203()k 2＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤()3k 2＋2＋()2k 2＋322＝203()k 2＋1225(k 2＋1)24＝1635. 当且仅当3k 2＋2＝2k 2＋3，即k ＝±1时，上式取等号， 故|AC |＋|BD |的最小值为1635.②当直线BD 的斜率不存在或等于零时，可得|AC |＋|BD |＝1033>1635.综上，|AC |＋|BD |的最小值为1635.2．(2018·诸暨市适应性考试)已知F 是抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点，过F 的直线交抛物线C 于不同的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1x 2＝－1. (1)求抛物线C 的方程；(2)过点B 作x 轴的垂线交直线AO (O 为坐标原点)于点D ，过点A 作直线DF 的垂线与抛物线C 的另一交点为E ，AE 的中点为G . ①求点D 的纵坐标； ②求|GB ||DG |的取值范围．解 (1)设AB ：y ＝kx ＋p2，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋p 2，x 2＝2py ，得x 2＝2p ⎝⎛⎭⎪⎫kx ＋p 2，即x 2－2pkx －p 2＝0， ∴x 1x 2＝－p 2＝－1，∴p ＝1， ∴抛物线C 的方程为x 2＝2y . (2)①直线OA 的方程为y ＝y 1x 1x ＝x 12x ，∴D ⎝⎛⎭⎪⎫x 2，x 1x 22，即D ⎝⎛⎭⎪⎫x 2，－12， ∴点D 的纵坐标为－12.②∵k DF ＝－1x 2，∴k AE ＝x 2，即直线AE 的方程为y －y 1＝x 2(x －x 1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y －y 1＝x 2(x －x 1)，y ＝x 22，得x 22－x 2x －y 1－1＝0，∴x E ＝2x 2－x 1，∴G (x 2,2y 2＋y 1＋1)． ∴G ，B ，D 三点共线，∴|GB ||DG |＝y 2＋y 1＋12y 2＋y 1＋32，∵y 1·y 2＝14，∴|DG ||GB |＝2－y 1＋1214y 1＋y 1＋1＝2－y 1y 1＋12＝2－11＋12y 1∈(1,2)，∴|GB ||DG |∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. 3．(2018·全国Ⅲ)已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：x 24＋y 23＝1交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M (1，m )(m >0)． (1)证明：k <－12；(2)设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP →＋FA →＋FB →＝0.证明：|FA →|，|FP →|，|FB →|成等差数列，并求该数列的公差．(1)证明 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1. 两式相减，并由y 1－y 2x 1－x 2＝k ，得x 1＋x 24＋y 1＋y 23·k ＝0. 由题设知x 1＋x 22＝1，y 1＋y 22＝m ，于是k ＝－34m.①由题设得0<m <32，故k <－12.(2)解 由题意得F (1,0)．设P (x 3，y 3)，则 (x 3－1，y 3)＋(x 1－1，y 1)＋(x 2－1，y 2)＝(0,0)． 由(1)及题设得x 3＝3－(x 1＋x 2)＝1，y 3＝－(y 1＋y 2)＝－2m <0.又点P 在C 上，所以m ＝34，从而P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，|FP →|＝32， 于是|FA →|＝(x 1－1)2＋y 21＝(x 1－1)2＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 214＝2－x 12.同理|FB →|＝2－x 22.所以|FA →|＋|FB →|＝4－12(x 1＋x 2)＝3.故2|FP →|＝|FA →|＋|FB →|，即|FA →|，|FP →|，|FB →|成等差数列．设该数列的公差为d ，则2|d |＝||FB →|－|FA →||＝12|x 1－x 2|＝12(x 1＋x 2)2－4x 1x 2.②将m ＝34代入①得k ＝－1，所以l 的方程为y ＝－x ＋74，代入C 的方程，并整理得7x 2－14x ＋14＝0.故x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝128，代入②解得|d |＝32128.所以该数列的公差为32128或－32128.4.(2018·嘉兴市、丽水市教学测试)点P (1,1)为抛物线y 2＝x 上一定点，斜率为－12的直线与抛物线交于A ，B 两点．(1)求弦AB 中点M 的纵坐标；(2)点Q 是线段PB 上任意一点(异于端点)，过Q 作PA 的平行线交抛物线于E ，F 两点，求证：|QE |·|QF |－|QP |·|QB |为定值． (1)解 k AB ＝y A －y B x A －x B ＝1y A ＋y B ＝－12，(*) 所以y A ＋y B ＝－2，y M ＝y A ＋y B2＝－1.(2)证明 设Q (x 0，y 0)，直线EF ：x －x 0＝t 1(y －y 0)， 直线PB ：x －x 0＝t 2(y －y 0)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －x 0＝t 1(y －y 0)，y 2＝x ，得y 2－t 1y ＋t 1y 0－x 0＝0，所以y E ＋y F ＝t 1，y E ·y F ＝t 1y 0－x 0，|QE |·|QF |＝1＋t 21|y E －y 0|·1＋t 21|y F －y 0| ＝(1＋t 21)|y 20－x 0|.同理|QP |·|QB |＝()1＋t 22|y 20－x 0|.由(*)可知，t 1＝1k EF ＝1k PA＝y A ＋y P ，t 2＝1k PB＝y B ＋y P ，所以t 1＋t 2＝(y A ＋y B )＋2y P ＝－2＋2＝0， 即t 1＝－t 2⇒t 21＝t 22，所以|QE |·|QF |＝|QP |·|QB |， 即|QE |·|QF |－|QP |·|QB |＝0为定值．B 组 能力提高5．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的上顶点为点D ，右焦点为F 2(1,0)，延长DF 2交椭圆C 于点E ，且满足|DF 2|＝3|F 2E |. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点F 2作与x 轴不重合的直线l 和椭圆C 交于A ，B 两点，设椭圆C 的左顶点为点H ，且直线HA ，HB 分别与直线x ＝3交于M ，N 两点，记直线F 2M ，F 2N 的斜率分别为k 1，k 2，则k 1与k 2之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．解 (1)椭圆C 的上顶点为D ()0，b ，右焦点F 2(1,0)，点E 的坐标为(x ，y )． ∵|DF 2|＝3|F 2E |，可得DF 2→＝3F 2E →， 又DF 2→＝()1，－b ，F 2E →＝()x －1，y ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝43，y ＝－b3，代入x 2a 2＋y 2b2＝1，可得⎝ ⎛⎭⎪⎫432a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 32b 2＝1，又a 2－b 2＝1，解得a 2＝2，b 2＝1， 即椭圆C 的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，H ()－2，0，M ()3，y M ，N ()3，y N .由题意可设直线AB 的方程为x ＝my ＋1，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，x 22＋y 2＝1，消去x ，得()m 2＋2y 2＋2my －1＝0， Δ＝4m 2＋4(m 2＋2)>0恒成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－2m m 2＋2，y 1y 2＝－1m 2＋2.根据H ，A ，M 三点共线，可得y M 3＋2＝y 1x 1＋2， ∴y M ＝y 1()3＋2x 1＋2.同理可得y N ＝y 2()3＋2x 2＋2，∴M ，N 的坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫3，y 1()3＋2x 1＋2，⎝⎛⎭⎪⎫3，y 2()3＋2x 2＋2，∴k 1k 2＝y M －03－1·y N －03－1＝14y M y N ＝14·y 1()3＋2x 1＋2·y 2()3＋2x 2＋2 ＝y 1y 2(3＋2)24()my 1＋1＋2()my 2＋1＋2＝y 1y 2(3＋2)24[]m 2y 1y 2＋()1＋2m ()y 1＋y 2＋()1＋22＝－11－62m 2＋24⎣⎢⎡⎦⎥⎤－m 2m 2＋2＋－2()1＋2m 2m 2＋2＋3＋22＝－11－62m 2＋24×6＋42m 2＋2＝42－98.∴k 1与k 2之积为定值，且该定值是42－98.6．已知平面上动点P 到点F ()3，0的距离与到直线x ＝433的距离之比为32，记动点P的轨迹为曲线E . (1)求曲线E 的方程；(2)设M ()m ，n 是曲线E 上的动点，直线l 的方程为mx ＋ny ＝1. ①设直线l 与圆x 2＋y 2＝1交于不同两点C ，D ，求|CD |的取值范围；②求与动直线l 恒相切的定椭圆E ′的方程，并探究：若M ()m ，n 是曲线Γ：Ax 2＋By 2＝1()A ·B ≠0上的动点，是否存在与直线l ：mx ＋ny ＝1恒相切的定曲线Γ′？若存在，直接写出曲线Γ′的方程；若不存在，说明理由． 解 (1)设P (x ，y )，由题意，得()x －32＋y2⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －433＝32. 整理，得x 24＋y 2＝1，∴曲线E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)①圆心到直线l 的距离d ＝1m 2＋n 2，∵直线与圆有两个不同交点C ，D ， ∴|CD |2＝4⎝⎛⎭⎪⎫1－1m 2＋n 2. 又∵m 24＋n 2＝1(m ≠0)，∴|CD |2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－43m 2＋4.∵|m |≤2，∴0<m 2≤4， ∴0<1－43m 2＋4≤34.∴|CD |2∈(]0，3，|CD |∈(]0，3，即|CD |的取值范围为(]0，3.②当m ＝0，n ＝1时，直线l 的方程为y ＝1； 当m ＝2，n ＝0时，直线l 的方程为x ＝12.根据椭圆对称性，猜想E ′的方程为4x 2＋y 2＝1. 下面证明：直线mx ＋ny ＝1()n ≠0与4x 2＋y 2＝1相切，其中m 24＋n 2＝1，即m 2＋4n 2＝4.由⎩⎪⎨⎪⎧4x 2＋y 2＝1，y ＝1－mx n ，消去y 得()m 2＋4n 2x 2－2mx ＋1－n 2＝0，即4x 2－2mx ＋1－n 2＝0，∴Δ＝4m 2－16()1－n 2＝4()m 2＋4n 2－4＝0恒成立，从而直线mx ＋ny ＝1与椭圆E ′：4x 2＋y 2＝1恒相切．若点M ()m ，n 是曲线Γ：Ax 2＋By 2＝1()A ·B ≠0上的动点，则直线l ：mx ＋ny ＝1与定曲线Γ′：x 2A ＋y 2B＝1()A ·B ≠0恒相切．。
高三数学第二轮复习教案——解析几何
2020年高三数学第二轮复习教案——解析几何（4课时）一、考试内容回顾2009年高考，各地试题中解析几何内容在全卷的平均分值为26.9分，占17．9％；近几年以来，解析几何内容在全卷的平均分值为29.3分，占19.5％．因此，占全卷近1/5的分值的解析几何内容，值得我们在二轮复习中引起足够的重视．高考试题中对解析几何内容的考查几乎囊括了该部分的所有内容，对直线、线性规划、圆、椭圆、双曲线、抛物线等内容都有涉及．高考解析几何试题一般共有4题(2个选择题, 1个填空题, 1个解答题)，共计30分左右，考查的知识点约为20个左右。
其命题一般紧扣课本，突出重点，全面考查。
选择题和填空题考查直线、圆、圆锥曲线、参数方程和极坐标系中的基础知识。
解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点，通过知识的重组与链接，使知识形成网络，着重考查直线与圆锥曲线的位置关系，求解有时还要用到平面几何知识和向量的方法．．．．．．．．．．．．，这一点值得强化二、高考大纲要求(一)直线和圆的方程1．理解直线的斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程。
2．掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系。
3．了解二元一次不等式表示平面区域。
4．了解线性规划的意义，并会简单的应用。
5．掌握圆的标准方程和一般方程，理解圆的参数方程。
(二)圆锥曲线方程1．掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质。
2．掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质。
3．掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质。
4．了解圆锥曲线的初步应用。
三、复习目标1.能正确导出由一点和斜率确定的直线的点斜式方程；从直线的点斜式方程出发推导出直线方程的其他形式，斜截式、两点式、截距式；能根据已知条件，熟练地选择恰当的方程形式写出直线的方程，熟练地进行直线方程的不同形式之间的转化，能利用直线的方程来研究与直线有关的问题了.2.能正确画出二元一次不等式（组）表示的平面区域，知道线性规划的意义，知道线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念，能正确地利用图解法解决线性规划问题，并用之解决简单的实际问题，了解线性规划方法在数学方面的应用；会用线性规划方法解决一些实际问题.3． 理解“曲线的方程”、“方程的曲线”的意义，了解解析几何的基本思想，掌握求曲线的方程的方法.4．掌握圆的标准方程：222)()(r b y a x =-+-（r ＞0），明确方程中各字母的几何意义，能根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程，能从圆的标准方程中熟练地求出圆心坐标和半径，掌握圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x ，知道该方程表示圆的充要条件并正确地进行一般方程和标准方程的互化，能根据条件，用待定系数法求出圆的方程，掌握直线与圆的位置关系的判定方法.5．正确理解椭圆、双曲线和抛物线的定义，明确焦点、焦距的概念；能根据椭圆、双曲线和抛物线的定义推导它们的标准方程；记住椭圆、双曲线和抛物线的各种标准方程；能根据条件，求出椭圆、双曲线和抛物线的标准方程；掌握椭圆、双曲线和抛物线的几何性质：范围、对称性、顶点、离心率、准线（双曲线的渐近线）等，从而能迅速、正确地画出椭圆、双曲线和抛物线；掌握a 、b 、c 、p 、e 之间的关系及相应的几何意义；利用椭圆、双曲线和抛物线的几何性质，确定椭圆、双曲线和抛物线的标准方程，并解决简单问题；理解椭圆、双曲线和抛物线的参数方程，并掌握它的应用；掌握直线与椭圆、双曲线和抛物线位置关系的判定方法.四、基础知识再现(一)直线的方程1.点斜式：)(11x x k y y -=-；2. 截距式：b kx y +=；3.两点式：121121x x x x y y y y --=--；4. 截距式：1=+bya x ；5.一般式：0=++C By Ax ，其中A 、B 不同时为0.(二)两条直线的位置关系两条直线1l ，2l 有三种位置关系：平行（没有公共点）；相交（有且只有一个公共点）；重合（有无数个公共点）.在这三种位置关系中，我们重点研究平行与相交.设直线1l ：y =1k x +1b ，直线2l ：y =2k x +2b ，则1l ∥2l 的充要条件是1k =2k ，且1b =2b ；1l ⊥2l 的充要条件是1k 2k =-1.(三)线性规划问题1．线性规划问题涉及如下概念：⑴存在一定的限制条件，这些约束条件如果由x 、y 的一次不等式（或方程）组成的不等式组来表示，称为线性约束条件.⑵都有一个目标要求，就是要求依赖于x 、y 的某个函数（称为目标函数）达到最大值或最小值.特殊地，若此函数是x 、y 的一次解析式，就称为线性目标函数.⑶求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题. ⑷满足线性约束条件的解（x ，y ）叫做可行解. ⑸所有可行解组成的集合，叫做可行域.⑹使目标函数取得最大值或最小值的可行解，叫做这个问题的最优解. 2．线性规划问题有以下基本定理：⑴ 一个线性规划问题，若有可行解，则可行域一定是一个凸多边形. ⑵ 凸多边形的顶点个数是有限的.⑶ 对于不是求最优整数解的线性规划问题，最优解一定在凸多边形的顶点中找到. 3.线性规划问题一般用图解法. (四)圆的有关问题 1.圆的标准方程222)()(r b y a x =-+-（r ＞0），称为圆的标准方程，其圆心坐标为（a ，b ），半径为r.特别地，当圆心在原点（0，0），半径为r 时，圆的方程为222r y x =+. 2.圆的一般方程022=++++F Ey Dx y x （F E D 422-+＞0）称为圆的一般方程，其圆心坐标为（2D -，2E -），半径为F E D r 42122-+=.当F E D 422-+=0时，方程表示一个点（2D -，2E -）； 当F E D 422-+＜0时，方程不表示任何图形. (四)椭圆及其标准方程1. 椭圆的定义：椭圆的定义中，平面内动点与两定点1F 、2F 的距离的和大于|1F 2F |这个条件不可忽视.若这个距离之和小于|1F 2F |，则这样的点不存在；若距离之和等于|1F 2F |，则动点的轨迹是线段1F 2F .2.椭圆的标准方程：12222=+b y a x （a ＞b ＞0），12222=+bx a y （a ＞b ＞0）.3.椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果2x 项的分母大于2y 项的分母，则椭圆的焦点在x 轴上，反之，焦点在y 轴上.4.求椭圆的标准方程的方法：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解.(五)椭圆的简单几何性质1.椭圆的几何性质：设椭圆方程为12222=+by a x （a ＞b ＞0）.⑴ 范围： -a ≤x ≤a ，-b ≤x ≤b ，所以椭圆位于直线x=a ±和y=b ±所围成的矩形里. ⑵ 对称性：分别关于x 轴、y 轴成轴对称，关于原点中心对称.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.⑶ 顶点：有四个1A （-a ，0）、2A （a ，0）1B （0，-b ）、2B （0，b ）.线段1A 2A 、1B 2B 分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于2a 和2b ，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 所以椭圆和它的对称轴有四个交点，称为椭圆的顶点.⑷ 离心率：椭圆的焦距与长轴长的比ace =叫做椭圆的离心率.它的值表示椭圆的扁平程度.0＜e ＜1.e 越接近于1时，椭圆越扁；反之，e 越接近于0时，椭圆就越接近于圆. 2.椭圆的第二定义⑴ 定义：平面内动点M 与一个顶点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数ac e =（e ＜1＝时，这个动点的轨迹是椭圆.⑵ 准线：根据椭圆的对称性，12222=+b y a x （a ＞b ＞0）的准线有两条，它们的方程为c a x 2±=.对于椭圆12222=+b x a y （a ＞b ＞0）的准线方程，只要把x 换成y 就可以了，即ca y 2±=.(六)椭圆的参数方程椭圆12222=+b y a x （a ＞b ＞0）的参数方程为cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.说明 ⑴ 这里参数θ叫做椭圆的离心角.椭圆上点P 的离心角θ与直线OP 的倾斜角α不同：θαtan tan ab=； ⑵ 椭圆的参数方程可以由方程12222=+by a x 与三角恒等式1sin cos 22=+θθ相比较而得到，所以椭圆的参数方程的实质是三角代换. (七)双曲线及其标准方程1.双曲线的定义：平面内与两个定点1F 、2F 的距离的差的绝对值等于常数2a （小于|1F 2F |）的动点M 的轨迹叫做双曲线.在这个定义中，要注意条件2a ＜|1F 2F |，这一条件可以用“三角形的两边之差小于第三边”加以理解.若2a=|1F 2F |，则动点的轨迹是两条射线；若2a ＞|1F 2F |，则无轨迹.若1MF ＜2MF 时，动点M 的轨迹仅为双曲线的一个分支，又若1MF ＞2MF 时，轨迹为双曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中应为“差的绝对值”.2. 双曲线的标准方程：12222=-b y a x 和12222=-bx a y （a ＞0，b ＞0）.这里222a c b -=，其中|1F 2F |=2c.要注意这里的a 、b 、c 及它们之间的关系与椭圆中的异同.3.双曲线的标准方程判别方法是：如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y项的系数是正数，则焦点在y 轴上.对于双曲线，a 不一定大于b ，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.4.求双曲线的标准方程，应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解. (八)双曲线的简单几何性质1.双曲线12222=-by a x 的实轴长为2a ，虚轴长为2b ，离心率a ce =＞1，离心率e 越大，双曲线的开口越大.2. 双曲线12222=-by a x 的渐近线方程为x a by ±=或表示为02222=-b y a x .若已知双曲线的渐近线方程是x nmy ±=，即0=±ny mx ，那么双曲线的方程具有以下形式： k y n x m =-2222，其中k 是一个不为零的常数.3.双曲线的第二定义：平面内到定点（焦点）与到定直线（准线）距离的比是一个大于1的常数（离心率）的点的轨迹叫做双曲线.对于双曲线12222=-b y a x ，它的焦点坐标是（-c ，0）和（c ，0），与它们对应的准线方程分别是c a x 2-=和ca x 2=.在双曲线中，a 、b 、c 、e 四个元素间有ac e =与222b a c +=的关系，与椭圆一样确定双曲线的标准方程只要两个独立的条件. (九)抛物线的标准方程和几何性质1．抛物线的定义：平面内到一定点（F ）和一条定直线（l ）的距离相等的点的轨迹叫抛物线。
[推荐学习]高三数学二轮复习 专题10解析几何中的综合问题教案 苏教版
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生活的色彩就是学习专题10 解析几何中的综合问题【高考趋势】解析几何的综合问题主要以圆锥曲线为载体，通常从以下面一些方面进行考查：（1）位置问题，直线与圆锥曲线的位置关系问题，是研究解析几何的重点内容。
常涉及直线与曲线交点的判断、弦长、面积、对称、共线等问题；（2）定点定值问题、最值问题都是从动态角度去研究解析几何中的数学问题的主要内容；（3）范围问题，主要是根据条件，建立含有参变量的函数关系式或不等式，然后确定参数的取值范围。
以上这些问题由于综合性较强，所以备受高考命题者的青睐，常用来考查学生在数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理等方面的能力。
【考点展示】1、设F 1，F 2分别是双曲线x 2-192=y 的两个焦点，若点P 在双曲线上，且21PF PF ⋅=0，则|21PF PF +|=2、点P 到点A （1，0）和直线x=-1的距离相等，且点P 到直线:l y=x 的距离等于22，这样的点P 的个数为 个。
3、抛物线y=ax 2与直线y=kx+b(k ≠0)交于A ，B 两点，且此两点的横坐标分别为x 1,x 2,直线与x 轴交点的横坐标是x 3，写出x 1,x 2,x 3的一个关系式4、设一圆过双曲线116922=-y x 的一个顶点和一个焦点，且该圆圆心在此以双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是5、对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：①焦点在y 轴上；②焦点在x 轴上；③抛物线横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④抛物线的通径的长为5；⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为(2,1)，能使这抛物线方程为y 2=10x 的条件是 （要求填写合适条件的序号）。
【样题剖析】例1、已知椭圆的中心在原点，离心率为21，一个焦点是F(-m,0)(m 是大于0的常数) （1）求椭圆的方程；（2）设Q 是椭圆上的一点，过点F 、Q 的直线l 与y 轴交于点M ，且|||2|=，求直线l 的斜率。
高考数学第二轮复习 解析几何教学案
2011年高考第二轮专题复习（教学案）：解析几何第1课时 直线与圆考纲指要：直线方程考察的重点是直线方程的特征值（主要是直线的斜率、截距）有关问题，以及直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题。
圆的方程，从轨迹角度讲，尤其是参数问题，在对参数的讨论中确定圆的方程。
能借助数形结合的思想处理直线与圆的位置关系，特别是弦长问题。
考点扫描：1．直线方程：(1)倾斜角；(2) 斜率；（3）直线方程的五种形式。
2．圆的方程：（1）圆的标准方程；（2）圆的一般方程。
3.两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离。
4. 根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系。
考题先知：例1．某校一年级为配合素质教育，利用一间教室作为学生绘画成果展览室，为节约经费，他们利用课桌作为展台，将装画的镜框放置桌上，斜靠展出，已知镜框对桌面的倾斜角为α (90°≤α＜180°)镜框中，画的上、下边缘与镜框下边缘分别相距a m,b m,(a ＞b ) 问学生距离镜框下缘多远看画的效果最佳？分析 欲使看画的效果最佳，应使∠ACB 取最大值，欲求角的最值，又需求角的一个三角函数值解 建立如图所示的直角坐标系，AO 为镜框边，AB 为画的宽度，O为下边缘上的一点，在x 轴的正半轴上找一点C (x ,0)(x ＞0),欲使看画的效果最佳，应使∠ACB 取得最大值由三角函数的定义知 A 、B 两点坐标分别为(a cos α,a sin α)、 (b cos α,b sin α),于是直线AC 、BC 的斜率分别为 k AC =tan XCA =x a a -ααcos sin ,.cos sin tan xb b XCB k BC -==αα 于是tan ACB =AC BC AC BC k k k k ⋅+-1ααααcos )(sin )(cos )(sin )(2⋅+-+⋅-=++-⋅-=b a x xabb a x x b a ab x b a 由于∠ACB 为锐角，且x ＞0,则tan ACB ≤ααcos )(2sin )(b a ab b a +-⋅-,当且仅当xab=x ，即x =ab 时，等号成立， 此时∠ACB 取最大值，对应的点为C (ab ,0),因此，学生距离镜框下缘ab cm 处时，视角最大，即看画效果最佳点评：解决本题有几处至关重要，一是建立恰当的坐标系，使问题转化成解析几何问题求解；二是把问题进一步转化成求tan ACB 的最大值 如果坐标系选择不当，或选择求sin ACB 的最大值 都将使问题变得复杂起来例2．设点A 和B 为抛物线 y 2=4px (p ＞0)上原点以外的两个动点，已知OA ⊥OB ，OM ⊥AB ，求点M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线分析： 将动点的坐标x 、y 用其他相关的量表示出来，然后再消掉这些量，从而就建立了关于x 、y 的关系解法一 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),M (x ,y ) (x ≠0) 直线AB 的方程为x =my +a由OM ⊥AB ，得m =－yx由y 2=4px 及x =my +a ，消去x ,得y 2－4p my －4pa =0所以y 1y 2=－4pa , x 1x 2=22122()(4)y y a p = 所以，由OA ⊥OB ，得x 1x 2 =－y 1y 2 所以244a pa a p =⇒= 故x =my +4p ,用m =－y x代入，得x 2+y 2－4px =0(x ≠0) 故动点M 的轨迹方程为x 2+y 2－4px =0(x ≠0)，它表示以(2p ,0)为圆心，以2p 为半径的圆，去掉坐标原点解法二 设OA 的方程为y kx =，代入y 2=4px 得222(,)p p A k k则OB 的方程为1y x k =-，代入y 2=4px 得2(2,2)B pk pk - ∴AB 的方程为2(2)1ky x p k =--，过定点(2,0)N p ， 由OM ⊥AB ，得M 在以ON 为直径的圆上（O 点除外）故动点M 的轨迹方程为x 2+y 2－4px =0(x ≠0)，它表示以(2p ,0)为圆心，以2p 为半径的圆，去掉坐标原点解法三 设M (x ,y ) (x ≠0)，OA 的方程为y kx =，代入y 2=4px 得222(,)p p A k k 则OB 的方程为1y x k=-，代入y 2=4px 得2(2,2)B pk pk -由OM ⊥AB ，得M 既在以OA 为直径的圆 222220p p x y x y k k+--=……①上， 又在以OB 为直径的圆 222220x y pk x pky +-+=……②上（O 点除外），①2k ⨯+②得 x 2+y 2－4px =0(x ≠0)故动点M 的轨迹方程为x 2+y 2－4px =0(x ≠0)，它表示以(2p ,0)为圆心，以2p 为半径的圆，去掉坐标原点点评：本题主要考查“参数法”求曲线的轨迹方程 当设A 、B 两点的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2)时，注意对“x 1=x 2”的讨论复习智略：例3抛物线有光学性质 由其焦点射出的光线经抛物线折射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，今有抛物线y 2=2px (p ＞0) 一光源在点M (441,4)处，由其发出的光线沿平行于抛物线的轴的方向射向抛物线上的点P ，折射后又射向抛物线上的点Q ，再折射后，又沿平行于抛物线的轴的方向射出，途中遇到直线l 2x －4y－17=0上的点N ，再折射后又射回点M (如下图所示)(1)设P 、Q 两点坐标分别为(x 1,y 1)、(x 2,y 2)，证明 y 1·y 2=－p 2；(2)求抛物线的方程；(3)试判断在抛物线上是否存在一点，使该点与点M 关于PN 所在的直线对称？若存在，请求出此点的坐标；若不存在，请说明理由分析：本题考查学生对韦达定理、点关于直线对称、直线关于直线对称、直线的点斜式方程、两点式方程等知识的掌握程度解： (1)证明 由抛物线的光学性质及题意知光线PQ 必过抛物线的焦点F (2p，0)， 设直线PQ 的方程为y =k (x －2p) ①由①式得x =k 1y +2p ,将其代入抛物线方程y 2=2px 中，整理，得y 2－k p 2y －p 2=0,由韦达定理，y 1y 2=－p 2当直线PQ 的斜率角为90°时，将x =2p代入抛物线方程，得y =±p ,同样得到y 1·y 2=－p 2(2)解 因为光线QN 经直线l 反射后又射向M 点，所以直线MN 与直线QN 关于直线l对称，设点M (441，4)关于l 的对称点为M ′(x ′,y ′)，则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+'⨯-+'⨯-=⨯-'-'017244244121214414y x x y 解得⎪⎩⎪⎨⎧-='='1451y x 直线QN 的方程为y =－1,Q 点的纵坐标y 2=－1，由题设P 点的纵坐标y 1=4，且由(1)知 y 1·y 2=－p 2,则4·(－1)=－p 2,得p =2,故所求抛物线方程为y 2=4x(3)解 将y =4代入y 2=4x ,得x =4，故P 点坐标为(4，4)将y =－1代入直线l 的方程为2x －4y －17=0,得x =213, 故N 点坐标为(213，－1) 由P 、N 两点坐标得直线PN 的方程为2x +y －12=0, 设M 点关于直线NP 的对称点M 1(x 1,y 1) ⎪⎩⎪⎨⎧-==⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+++⨯-=-⨯--14101224244121)2(4414111111y x y x x y 解得则又M 1(41,－1)的坐标是抛物线方程y 2=4x 的解，故抛物线上存在一点(41，－1)与点M 关于直线PN 对称 。
高三二轮复习学案 十二节 解析几何
第十二节 解析几何一、直线与圆例1. 求满足下列各条件圆的方程：(1) 以A(-1,3)，B(3,-1)为直径的圆；(2) 圆心为点(0,-3),过点(3,1) (3) 经过)2,5(A ，)2,3(-B 两点，圆心在直线32=-y x 上。
（4）过点P （2,-1）且和直线10x y --=相切，圆心在直线y=-2x 上。
例2．(1) 已知圆22:40C x y x +-=，l 过点(3,0)P 的直线，则（ ）A.l 与C 相交B. l 与C 相切C.l 与C 相离D. 以上三个选项均有可能(2) 将圆x 2+y 2 -2x-4y+1=0平分的直线是( )A x+y-1=0B x+y+3=0C x-y+1=0D x-y+3=0(3) 直线y=2x+3被圆x 2+y 2-6x-8y=0所截得的弦长等于__________(4)已知圆C:(x ＋3)2＋(y －1)2＝4若直线l 过点A (4,0)，且被圆C 截得的弦长为 23，求直线l 的方程；例3.(1) 若圆C 经过坐标原点和点(4,0),且与直线y=1相切,则圆C 的方程是__.(2) 垂直于直线1y x =+且与圆221x y +=相切于第一象限的直线方程是（ ）A ．0x y +=B ．10x y ++=C ．10x y +-=D ．0x y +=(3) 已知过点P (2,2) 的直线与圆225(1)x y +=-相切, 且与直线10ax y -+=垂直, 则a =（ ） A ．12- B ．1 C ．2 D ．12(4) 圆04422=--+y x y x 关于点（0,1）的对称的圆的方程是___________(5) 过点(3,1)作圆22(2)(2)4x y -+-=的弦,其中最短的弦长为__________(6)设P 是圆22(3)(1)4x y -++=上的动点,Q 是直线3x =-上的动点,则PQ 的最小值为（ ） A ．6 B ．4 C ．3 D ．2二、圆锥曲线例4．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1) 焦点在x 轴上，焦距为4,且过点P(2) 焦点在x 轴上,短轴长为2,(3) , 过左焦点F 且与x .(4) 离心率2e =,过左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于A 、A '两点,4AA '=. (5) 椭圆的焦点在x 轴上，离心率为55，且过点P(-5,4).(6) 焦点在x 轴上，的离心率22=e ,a+b=3例5．求适合下列条件的双曲线的标准方程；(1)焦点12(5,0),(5,0)F F -，双曲线上的一点P 到12,F F 的距离差的绝对值等于6， (2)虚轴长为12，离心率为45 (3) 顶点间的距离为6，渐近线方程为y=x 23±；(4) 焦点在x 轴上,离心率为3，直线2y C =与求,;a b ;(5) 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 与抛物线x y 82=有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P ，若5||=PF .例6．求满足下列条件的抛物线的标准方程. (1) 已知抛物线的焦点坐标是F(0，-2)，(2) 焦点在x 轴上,抛物线上一点(-3,m)到焦点的距离为5.(3)焦点()()0,0F c c >到直线:20l x y --=的距离为2.三、圆锥曲线的性质例7．（1）设1F 和2F 为双曲线22221x y a b-=(0,0a b >>)的两个焦点, 若12F F ，，(0,2)P b 是正三角的三个顶点,则双曲线的离心率为_________(2).过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于P ，2F 为右焦点，若 6021=∠PF F ， 则椭圆的离心率是_________(3).双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别是12F F ，，过1F 作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为_________(4)已知双曲线12222=-by a x 的渐近线方程为x y 34±=,则双曲线的离心率是___(5)设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的虚轴长为2，焦距为32，则双曲线的渐近线方程为_________(6) 已知双曲线152522=-y x 上的一点P 到左焦点的距离为15，则P 到右焦点的距离是____(7) 若椭圆的短轴为AB ，它的一个焦点为1F ，则满足1ABF △为等边三角形的 椭圆的离心率是_________(8)已知F 是抛物线y2=x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=3，则 线段AB 的中点到y 轴的距离为________四、轨迹问题1．在平面直角坐标系xOy 中,己知圆P 在x 轴上截得线段长为2,在Y 轴上截得线段长为2.求圆心P 的轨迹方程;2.已知动点M (x ,y )到直线l :x = 4的距离是它到点N (1,0)的距离的2倍.求动点M 的轨迹C 的方程;五、反馈练习1.双曲线221169x y -=的离心率为________.2.若抛物线22y px =的焦点坐标为(1,0)则p =____;准线方程为_____.3.已知抛物线28y x =的准线过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点, 且双曲线的离心率为2, 则该双曲线的方程为______.4.在平面直角坐标系xOy 中，直线3450x y +-=与圆224x y +=相交于A 、B 两点，则弦AB 的长等于_________5.从椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点P 向x 轴作垂线,垂足恰为左焦点1F ,A 是椭圆与x 轴正半轴的交点,B 是椭圆与y 轴正半轴的交点,且//AB OP (O 是坐标 原点),则该椭圆的离心率是___________6.已知双曲线2222:1x y C a b -=(0,0)a b >>,则C 的渐近线方程为______7.已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为(1,0)F ,离心率等于21,则C 的方程是_________ 8.()()1221,0,1,0,F F C F x -是椭圆的两个焦点过且垂直于轴的直线交于A B 、两点， 且3AB =，则C 的方程为___________9.已知F 为双曲线22:1916x y C -=的左焦点,,P Q 为C 上的点,若PQ 的长等于虚轴长的2倍,点()5,0A 在线段PQ 上,则PQF ∆的周长为____________.10.已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点0(2,)M y 。
2020届高三数学第二轮复习教案解析几何
查几乎囊括了该部分的所有内容，对直线、线性规划、圆、椭圆、双曲线、抛物线等内容都
有涉及．高考解析几何试题一样共有 4 题(2 个选择题 , 1 个填空题 , 1 个解答题 )，共计 30 分
左右，考查的知识点约为 20 个左右。 其命题一样紧扣课本，突出重点，全面考查。选择题
和填空题考查直线、 圆、圆锥曲线、 参数方程和极坐标系中的基础知识。解答题重点考查圆
专门地，当圆心在原点〔 0， 0〕，半径为 r 时，圆的方程为 x 2 y 2 r 2 .
坐标和半径，把握圆的一样方程： x 2 y 2 Dx Ey F 0 ，明白该方程表示圆的充要
条件并正确地进行一样方程和标准方程的互化，能依照条件，用待定系数法求出圆的方程， 把握直线与圆的位置关系的判定方法 .
5．正确明白得椭圆、双曲线和抛物线的定义，明确焦点、焦距的概念；能依照椭圆、 双曲线和抛物线的定义推导它们的标准方程；记住椭圆、双曲线和抛物线的各种标准方程； 能依照条件，求出椭圆、 双曲线和抛物线的标准方程；把握椭圆、 双曲线和抛物线的几何性 质：范畴、对称性、顶点、离心率、准线〔双曲线的渐近线〕等，从而能迅速、正确地画出 椭圆、双曲线和抛物线；把握 a、b、c、p、e 之间的关系及相应的几何意义；利用椭圆、双 曲线和抛物线的几何性质，确定椭圆、双曲线和抛物线的标准方程，并解决简单咨询题；明 白得椭圆、 双曲线和抛物线的参数方程， 并把握它的应用；把握直线与椭圆、双曲线和抛物 线位置关系的判定方法 .
.
⑵ 凸多边形的顶点个数是有限的 .
⑶ 关于不是求最优整数解的线性规划咨询题，最优解一定在凸多边形的顶点中找到
.
3. 线性规划咨询题一样用图解法 .
( 四 ) 圆的有关咨询题
1. 圆的标准方程
高三数学第二轮复习教案第5讲解析几何问题
高三数学第二轮复习教案第 5 讲 解析几何问题的题型与方法（二）五、注意事项1．（ 1） 直线的斜率是一个非常重要的概念，斜率k 反映了直线相对于 x 轴的倾斜程度。
当斜率k 存在时，直线方程通常用点斜式或斜截式表示，当斜率不存在时，直线方程为x=a （ a ∈R ）。
因此，利用直线的点斜式或斜截式方程解 题时，斜率k 存在与否，要分别考虑。
（ 2） 直线的截距式是两点式的特例，a 、b 分别是直线在x 轴、 y 轴上的截距，因为a ≠0，b ≠ 0，所以当直线平行于 x 轴、平行于 y 轴或直线经过原点，不能用截距式求出它的方程，而应选择其它形式求解。
（ 3）求解直线方程的最后结果，如无特别强调，都应写成一般式。
（ 4）当直线l 1或l 2的斜率不存在时，可以通过画图容易判定两条直线是否平行与垂直（ 5）在处理有关圆的问题，除了合理选择圆的方程，还要注意圆的对称性等几何性质的运用，这样可以简化计算。
2．（ 1）用待定系数法求椭圆的标准方程时，要分清焦点在 x 轴上还是 y 轴上，还是两种都存在。
（ 2）注意椭圆定义、性质的运用，熟练地进行 a 、 b 、 c 、 e 间的互求，并能根据所给的方程画出椭圆。
（ 3）求双曲线的标准方程应注意两个问题： （ 1） 正确判断焦点的位置； （ 2） 设出标准方程后，运用待定系数法求解。
（ 4 ）双曲线x 2 y 21 的渐近线方程为ybx 或表示为x 2 y 2 0 。
若已知双曲线的渐近线方程是a 2b 2aa 2b 2ymx ，即 mx ny0 ，那么双曲线的方程具有以下形式：nm 2 x 2 n 2 y 2k ，其中k 是一个不为零的常数。
（ 5）双曲线的标准方程有两个x 2 y 2 1和 y 2x 2 1（a ＞0，b ＞0）。
这里 b 2 c 2 a 2，其中|F 1F 2|=2c 。
a 2b 2a 2b 2要注意这里的 a 、 b 、c 及它们之间的关系与椭圆中的异同。
高考数学二轮复习 第一篇 微型专题 专题6 解析几何知识整合学案 理-人教版高三全册数学学案
专题6解析几何一、直线和圆1.如何判断两条直线平行与垂直?(1)两条直线平行对于两条不重合的直线l1,l2,其斜率分别为k1,k2,则有k1=k2⇔l1∥l2.特别地,当直线l1,l2的斜率都不存在时,l1与l2平行.(2)两条直线垂直若两条直线l1,l2的斜率都存在,分别为k1,k2,则k1·k2=-1⇔l1⊥l2,当一条直线的斜率为零,另一条直线斜率不存在时,两条直线垂直.2.如何判断直线与圆的位置关系?设圆的半径为r,圆心到直线的距离为d.方法位置关系几何法代数法相交d<rΔ>0相切d=rΔ=0相离d>rΔ<03.如何判断圆与圆的位置关系?设两个圆的半径分别为R,r,R>r,圆心距为d,则两圆的位置关系可用下表来表示:位置关系相离外切相交内切内含几何特征d>R+r d=R+rR-r<d<R+rd=R-r d<R-r代数无实一组两组一组无实特征数解实数解实数解实数解数解公切线条数4 3 2 1 04.如何求直线与圆相交得到的弦长?(1)几何法,直线被圆截得的半弦长l2,弦心距d和圆的半径r构成直角三角形,即r2=(l2)2+d2;(2)代数法,联立直线方程和圆的方程,消元转化为关于x或y的一元二次方程,由根与系数的关系即可求得弦长|AB|=√1+l2|x1-x2|=√1+l2·√(l1+l2)2-4l1l2或|AB|=√1+1l2·|y1-y2|=√1+1l2·√(l1+l2)2-4l1l2.二、圆锥曲线1.椭圆的标准方程怎么求?几何性质有哪些?标准方程x2a2+y2b2=1(a>b>0) y2a2+x2b2=1(a>b>0)图形范围-a≤x≤a-b≤y≤b -b≤x≤b -a≤y≤a对称性对称轴:坐标轴;对称中心:原点顶点A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b)A1(0,-a),A2(0,a),B1(-b,0),B2(b,0)轴 长轴A 1A 2的长为2a ;短轴B 1B 2的长为2b焦距 |F 1F 2|=2c 离心率e=ca ∈(0,1) a ,b ,c的关系c 2=a 2-b 22.双曲线的标准方程怎么求?几何性质有哪些?标准方程x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0) y 2a 2-x 2b 2=1(a>0,b>0)图形范围x ≥a 或x ≤-a ,y ∈Rx ∈R,y ≤-a 或 y ≥a对称性对称轴:坐标轴;对称中心:原点顶点 A 1(-a ,0),A 2(a ,0) A 1(0,-a ),A 2(0,a )渐近线 y=±ll xy=±ll x离心率e=ll ,e ∈(1,+∞)实虚轴线段A 1A 2叫作双曲线的实轴,它的长|A 1A 2|=2a ;线段B 1B 2叫作双曲线的虚轴,它的长|B 1B 2|=2b ;a 叫作双曲线的实半轴长,b 叫作双曲线的虚半轴长a ,b ,c 的关系c 2=a 2+b 23.抛物线的标准方程是什么?几何性质有哪些?y 2=2px (p>0) y 2=-2px (p>0)x 2=2py(p>0)x 2=-2py(p>0)p 的几何意义:焦点F 到准线l 的距离顶点 O (0,0)对称轴直线y=0直线x=0焦点 F (p 2,0) F (-p 2,0) F (0,p2) F (0,-p2)离心率 e=1准线 方程x=-p2 x=p2 y=-p2 y=p2 范围x ≥0,y ∈Rx ≤0, y ∈Ry ≥0, x ∈Ry ≤0, x ∈R开口方向向右向左 向上 向下三、直线与圆锥曲线的位置关系1.怎样判断直线与圆锥曲线的位置关系?判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时,通常将直线l 的方程Ax+By+C=0(A ,B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ,y )=0,消去y (也可以消去x )得到一个关于变量x (或变量y )的方程,即{ll +ll +l =0,l (l ,l )=0消去y ,得ax 2+bx+c=0.(1)当a ≠0时,设一元二次方程ax 2+bx+c=0的判别式为Δ,则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C 相交;Δ=0⇔直线与圆锥曲线C 相切; Δ<0⇔直线与圆锥曲线C 相离.(2)当a=0,b ≠0时,即得到一个一次方程,则直线l 与圆锥曲线C 相交,且只有一个交点,此时,若C 为双曲线,则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行;若C 为抛物线,则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合.2.如何求圆锥曲线的弦长?设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ,B 两点,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则|AB|=√1+l 2·|x 1-x 2|=√1+l 2·√(l 1+l 2)2-4l 1l 2=√1+1l 2·|y 1-y 2|=√1+1l 2·√(l 1+l 2)2-4l 1l 2.3.直线与圆锥曲线相交时,弦中点坐标与直线的斜率是什么关系?试用点差法进行推导. 椭圆:设直线l 斜率为k ,直线l与椭圆l 2l 2+l 2l 2=1交于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)两点,AB 中点为P (x 0,y 0).则l 12l 2+l 12l 2=1,l 22l 2+l 22l 2=1,两式相减整理得: l 1-l 2l 1-l 2=-l 2(l 1+l 2)l 2(l 1+l 2),即k=-l 2l2ll 0.同理:双曲线中有k=l 2l2ll 0.1.直线与圆的方程问题在近几年的高考中考查强度有所下降,其中两条直线的平行与垂直,点到直线的距离,两点间的距离是命题的热点.圆与直线相结合命题,着重考查待定系数法求圆的方程,直线与圆的位置关系,特别是直线与圆相切、相交.2.圆锥曲线主要考查的问题(1)圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质,这部分是每年必考内容,虽然大纲降低了对双曲线的要求,但在选择题中仍然会考查双曲线.圆锥曲线可单独考查,也可与向量、数列、不等式等其他知识结合起来考查,突出考查学生的运算能力和转化思想.(2)直线与圆锥曲线的位置关系:此类问题命题背景宽,涉及知识点多,综合性强,通常从圆锥曲线的概念入手,从不同角度考查,或探究平分面积的线、平分线段的点(线),或探究使其解析式成立的参数是否存在.(3)圆锥曲线的参数范围、最值问题:该考向多以直线与圆锥曲线为背景,常与函数、方程、不等式、向量等知识交汇,形成轨迹、范围、弦长、面积等问题.从近几年高考情形来看,该类专题在高考中占的比例大约为20%,一般是一个解答题和两个小题,难度比例适当.一、选择题和填空题的命题特点(一)考查直线与圆的方程,难度中等,主要考查圆的方程、直线与圆相交形成的弦长、直线与圆相切或相交的有关问题.1.(2018·全国Ⅰ卷·文T15改编)直线y=kx+1与圆x2+y2+2y-3=0交于A,B两点,当|AB|=2√2时,k= .解析▶圆的标准方程为x2+(y+1)2=4,其圆心为(0,-1),半径为2,设圆心到直线.因为|AB|=2√l2-l2=2√4-l2=2√2,所以d=√2,所以kx-y+1=0的距离为d,则d=√=√2,所以k=±1.√答案▶±12.(2018·全国Ⅲ卷·文T8改编)已知A(-2,0),B(0,-2),则圆(x-2)2+y2=2上一点P到AB所在直线距离的取值范围是().A.[2,6]B.[4,8]C.[√2,3√2]D.[2√2,3√2]解析▶根据题意得AB所在的直线方程为x+y+2=0,则圆心(2,0)到直线x+y+2=0的距离=2√2.又因为半径r=√2,所以点P到直线x+y+2=0的距离的最大值为2√2+√2=3√2, d=√2最小值为2√2-√2=√2,故选C.答案▶ C(二)考查圆锥曲线的概念与标准方程,难度中等,主要考查圆锥曲线的定义、代入法求轨迹方程以及待定系数法求标准方程.3.(2018·北京卷·文T12改编)若双曲线l2l2-l24=1(a>0)的渐近线方程为y=±12x,则a=.解析▶因为a>0,根据题意,双曲线的渐近线方程为y=±2l x=±12x,所以a=4.答案▶ 44.(2018·天津卷·文T7改编)已知双曲线l2l2-l2l2=1(a>0,b>0) 的渐近线方程为y=±√3x,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1,d2,且d1+d2=6,则双曲线的方程为().A.l23-l29=1 B.l29-l23=1C.l24-l212=1 D.l212-l24=1解析▶由题意可得图象,如图,CD是双曲线的一条渐近线y=llx,即bx-ay=0,右焦点为F(c,0),且AC⊥CD,BD⊥CD,EF⊥CD,所以四边形ABCD是梯形.又因为F是AB的中点,所以EF=l1+l22=3,得EF=√2l2=b,所以b=3.又ll=√3,所以a=√3,故双曲线的方程为l23-l29=1,故选A.答案▶ A(三)考查圆锥曲线的几何性质,属中等偏难题目,主要包含离心率、范围、对称性、渐近线、准线等性质.5.(2018·全国Ⅰ卷·文T4改编)已知椭圆C:l2l2+l2l2=1(a>b>0)的一个焦点为(2,0),离心率为√22,则C的标准方程为().A.l28+l22=1 B.l212+l24=1C.l28+l24=1 D.l28+l26=1解析▶因为椭圆焦点在x轴上,且c=2,离心率e=ll =√22,解得a=2√2,所以b=2,故C的标准方程为l28+l24=1,故选C.答案▶ C6.(2018·全国Ⅲ卷·文T10改编)已知点(4,0)到双曲线C:l2l2-l2l2=1(a>0,b>0)的渐近线的距离为2√2,则C的离心率为().A.√2B.2C.3√22D.2√2解析▶由题意可知双曲线的一条渐近线为y=llx,即bx-ay=0,故点(4,0)到C的渐近线的距离d=√2l2=2√2,整理可得a=b,故双曲线C:l2l2-l2l2=1(a>0,b>0)的离心率e=ll =√1+l2l2=√2,故选A.答案▶ A(四)考查圆锥曲线中的最值和范围问题,属偏难题目,主要考查以直线和圆锥曲线的位置关系、弦长、面积等知识为背景的求最值与取值范围问题.7.(2017·全国Ⅰ卷·文T12改编)已知椭圆C:l23+l2l=1离心率的取值范围为[√63,1),则m的取值范围为().A.(0,1]∪[9,+∞)B.(0,√3]∪[9,+∞)C.(0,1]∪[4,+∞)D.(0,√3]∪[4,+∞)解析▶当0<m<3时,焦点在x轴上,则ll =√1-(ll)2≥√63,∴ll≤√33,即√l√3≤√33,得0<m≤1;当m>3时,焦点在y轴上,则ll =√1-(ll)2≥√63,∴ll≤√33,即√3√l≤√33,得m≥9.故m的取值范围为(0,1]∪[9,+∞),故选A.答案▶ A8.(2017·全国Ⅱ卷·文T5改编)已知双曲线C:l2l2-l2l2=1(a>0,b>0)的虚轴长为2,实轴长大于2,则双曲线C的离心率的取值范围是().A.(√2,+∞)B.(√2,2)C .(1,√2)D .(1,2)解析▶ 由题意知,b=1,a>1,则e 2=l 2l 2=l 2+1l 2=1+1l2.因为a>1,所以1<1+1l 2<2,则1<e<√2,故选C .答案▶ C二、解答题的命题特点圆锥曲线的综合试题一般为第20题,是全国卷中的压轴题,难度较大,综合性强,题型变化灵活,能考查学生的数学综合能力,是出活题、考能力的代表.由于向量、导数等内容的充实,圆锥曲线试题逐渐向多元化、交汇型发展,试题既保证突出运用坐标法研究图形几何性质,考查解析几何的基本能力的同时,又聚焦于轨迹、参数的取值范围、定值、定点和最值问题的动态变化探究,考查解析几何的核心素养.主要题型有点的轨迹与曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系、圆锥曲线的最值与取值范围、定点与定值问题等.主要命题方向:(一)用坐标法判断图形的几何性质1.(2018·全国Ⅱ卷·文T20)设抛物线C :y 2=4x 的焦点为F ,过F 且斜率为k (k>0)的直线l 与C 交于A ,B 两点,|AB|=8. (1)求l 的方程;(2)求过点A ,B 且与C 的准线相切的圆的方程.解析▶ (1)由题意得F (1,0),l 的方程为y=k (x-1)(k>0). 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2). 由{l =l (l -1),l 2=4x,得k 2x 2-(2k 2+4)x+k 2=0. Δ=16k 2+16>0,故x 1+x 2=2l 2+4l 2.所以|AB|=|AF|+|BF|=(x 1+1)+(x 2+1)=4l 2+4l 2.由题设知4l 2+4l 2=8,解得k=-1(舍去)或k=1.因此l 的方程为y=x-1.(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3,2),所以AB 的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),即y=-x+5.设所求圆的圆心坐标为(x 0,y 0),则{l 0=-l 0+5,(l 0+1)2=(l 0-l 0+1)22+16,解得{l 0=3,l 0=2或{l 0=11,l 0=-6.因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144. 2.(2017·全国Ⅱ卷·T20)设O 为坐标原点,动点M 在椭圆C :l 22+y 2=1上,过M 作x 轴的垂线,垂足为N ,点P 满足ll ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√2 ll ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . (1)求点P 的轨迹方程;(2)设点Q 在直线x=-3上,且ll ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ll ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1,证明:过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F.解析▶ (1)设P (x ,y ),M (x 0,y 0),则N (x 0,0),ll ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x-x 0,y ),ll ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,y 0). 由ll ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√2 ll ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 得x 0=x ,y 0=√22y. 因为M (x 0,y 0)在C 上,所以l 22+l 22=1.因此点P 的轨迹方程为x 2+y 2=2. (2)由题意知F (-1,0). 设Q (-3,t ),P (m ,n ),则ll ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3,t ),ll ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1-m ,-n ),ll ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ll ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3+3m-tn ,ll ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(m ,n ),ll ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3-m ,t-n ). 由ll ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ll ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1得-3m-m 2+tn-n 2=1. 又由(1)知m 2+n 2=2,故3+3m-tn=0. 所以ll ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ll ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即ll ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥ll ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ,所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F. (二)已知图形的几何性质,求有关参数的值(或取值范围)3.(2018·北京卷·文T20)已知椭圆M :l 2l 2+l 2l 2=1(a>b>0)的离心率为√63,焦距为2√2.斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ,B. (1)求椭圆M 的方程;(2)若k=1,求|AB|的最大值;(3)设P (-2,0),直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ,直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D ,若C ,D 和点Q (-74,14)共线,求k.解析▶ (1)由题意得{l 2=l 2+l 2,l l=√63,2l =2√2,解得{l =√3,l =1.所以椭圆M 的方程为l 23+y 2=1.(2)设直线l 的方程为y=x+m ,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).由{l =l +l ,l 23+l 2=1,得4x 2+6mx+3m 2-3=0,所以x 1+x 2=-3l 2,x 1x 2=3l 2-34.所以|AB|=√(l 2-l 1)2+(l 2-l 1)2=√2(l 2-l 1)2=√2[(l 1+l 2)2-4l 1l 2] =√12-3l 22.当m=0,即直线l 过原点时,|AB|最大,最大值为√6. (3)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由题意得l 12+3l 12=3,l 22+3l 22=3.直线PA 的方程为y=l 1l 1+2(x+2).由{l =l 1l1+2(x +2),l 2+3l 2=3,得[(x 1+2)2+3l 12]x 2+12l 12x+12l 12-3(x 1+2)2=0.设C (x C ,y C ), 所以x C +x 1=-12l 12(l 1+2)2+3l 12=4l 12-124l 1+7.所以x C =4l 12-124l 1+7-x 1=-12-7l14l 1+7. 所以y C =l 1l1+2(x C +2)=l14l 1+7. 设D (x D ,y D ),同理得x D =-12-7l 24l2+7,y D =l24l 2+7. 记直线CQ ,DQ 的斜率分别为k CQ ,k DQ , 则k CQ -k DQ =l 14l 1+7-14-12-7l14l 1+7+74-l 24l 2+7-14-12-7l 24l 2+7+74=4(y 1-y 2-x 1+x 2).因为C ,D ,Q 三点共线, 所以k CQ -k DQ =0. 故y 1-y 2=x 1-x 2. 所以直线l 的斜率k=l 1-l 2l 1-l 2=1. (三)求证图形的几何性质中一些几何量的相等问题 4.(2018·全国Ⅲ卷·文T20)已知斜率为k 的直线l 与椭圆C :l 24+l 23=1交于A ,B 两点,线段AB 的中点为M (1,m )(m>0).(1)证明:k<-12.(2)设F 为C 的右焦点,P 为C 上一点,且ll ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +ll ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +ll ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0.证明:2|ll ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|ll ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+|ll ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |.解析▶ (1)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则l 124+l 123=1,l 224+l 223=1.两式相减得(l 1+l 2)(l 1-l 2)4+(l 1+l 2)(l 1-l 2)3=0,由l 1-l2l 1-l 2=k 得l 1+l 24+l 1+l 23·k=0.由题设知l 1+l 22=1,l 1+l 22=m ,于是k=-34l.由题设可知点M 在椭圆内部,所以14+l 23<1,解得0<m<32,故k<-12.(2)由题意得F (1,0),设P (x 3,y 3),则(x 3-1,y 3)+(x 1-1,y 1)+(x 2-1,y 2)=(0,0).由(1)及题设得x 3=3-(x 1+x 2)=1,y 3=-(y 1+y 2)=-2m<0. 又点P 在C 上,所以m=34,从而P (1,-32),|ll ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=32.于是|ll ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(l 1-1)2+l 12=√(l 1-1)2+3(1-l 124)=2-l 12.同理|ll ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2-l 22.所以|ll ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+|ll ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=4-12(x 1+x 2)=3, 故2|ll ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|ll ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+|ll ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |.5.(2018·全国Ⅰ卷·文T20)设抛物线C :y 2=2x ,点A (2,0),B (-2,0),过点A 的直线l 与C 交于M ,N 两点.(1)当l 与x 轴垂直时,求直线BM 的方程; (2)证明:∠ABM=∠ABN.解析▶ (1)当l 与x 轴垂直时,l 的方程为x=2,代入抛物线方程可得M 的坐标为(2,2)或(2,-2),所以直线BM 的方程为y=12x+1或y=-12x-1.(2)当l 与x 轴垂直时,AB 为MN 的垂直平分线, 所以∠ABM=∠ABN.当l 与x 轴不垂直时,设l 的方程为y=k (x-2)(k ≠0),M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),则x 1>0,x 2>0.由{l =l (l -2),l 2=2x,得ky 2-2y-4k=0,可知y 1+y 2=2l ,y 1y 2=-4. 直线BM ,BN 的斜率之和为k BM +k BN =l 1l1+2+l 2l2+2=l 2l 1+l 1l 2+2(l 1+l 2)(l 1+2)(l 2+2). ①将x 1=l1l +2,x 2=l2l +2及y 1+y 2,y 1y 2的表达式代入①式分子,可得x 2y 1+x 1y 2+2(y 1+y 2)=2l 1l 2+4k(l 1+l 2)l=-8+8l=0.所以k BM +k BN =0,可知BM ,BN 的倾斜角互补,所以∠ABM=∠ABN. 综上,∠ABM=∠ABN.1.圆锥曲线中的最值问题是高考中的热点问题,常涉及不等式、函数的值域等,综合性比较强,解法灵活多变,但总体上主要有两种方法:一是利用几何方法,即利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解;二是利用代数方法,即把要求的几何量或代数表达式表示为某些参数的函数解析式,然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.2.圆锥曲线的几何性质主要包括离心率、范围、对称性、渐近线、准线等.这些性质问题往往与平面图形中三角形、四边形的有关几何量结合在一起,主要考查利用几何量的关系求椭圆、双曲线的离心率和双曲线的渐近线方程.对于圆锥曲线的最值问题,正确把握圆锥曲线的几何性质并灵活应用,是解题的关键.3.圆锥曲线中的范围问题是高考中的热点问题,常涉及不等式的恒成立问题、函数的值域问题,综合性比较强.解决此类问题常用几何法和判别式法.4.圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值.依题意设条件,得出与代数式参数有关的等式,代入代数式,化简即可得出定值.(2)求点到直线的距离为定值.利用点到直线的距离公式得出距离的关系式,再利用题设条件化简、变形求得定值.(3)求某条线段长度为定值.利用长度公式求得关系式,再依据条件对关系式进行化简、变形即可求得定值.5.(1)解决是否存在常数(或定点)的问题时,应首先假设存在,看是否能求出符合条件的参数值,如果推出矛盾就不存在,否则就存在.(2)解决是否存在直线的问题时,可依据条件寻找适合条件的直线方程,联立方程消元得出一元二次方程,利用判别式得出是否有解.。
2019-2020年高考数学二轮复习专题三解析几何教学案
2019-2020年高考数学二轮复习专题三解析几何教学案江苏新高考高考对本章内容的考查多以“两小一大”的形式出现，小题多考查双曲线、抛物线、圆的方程与性质，而大题主要考查直线与圆如2013年、2016年、直线与椭圆如2014年、2015年、2017年的位置关系、弦长问题及范围问题等.第1课时解析几何中的基本问题(基础课) [常考题型突破]1．两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2存在，则l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在．2．两个距离公式(1)点(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离公式d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.(2)两平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2. [题组练透]1．已知点P (3,2)与点Q (1,4)关于直线l 对称，则直线l 的方程为____________． 解析：由题意知直线l 与直线PQ 垂直，所以k l ＝－1k PQ＝1.又直线l 经过PQ 的中点(2,3)，所以直线l 的方程为y －3＝x －2，即x －y ＋1＝0.答案：x －y ＋1＝02．(2017·南京、盐城二模)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1：kx －y ＋2＝0与直线l 2：x ＋ky －2＝0相交于点P ，则当实数k 变化时，点P 到直线x －y －4＝0的距离的最大值为__________．解析：由题意，kl 1＝k ，kl 2＝－1k，则kl 1·kl 2＝k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ＝－1(k ＝0时，两条直线也相互垂直)，并且两条直线分别经过定点：M (0,2)，N (2,0)．∴两条直线的交点在以MN 为直径的圆上．并且k MN ＝－1，可得MN 与直线x －y －4＝0垂直．∴点M 到直线x －y －4＝0的距离d ＝|0－2－4|2＝32为最大值．答案：3 23．(2017·苏州考前模拟)在平面直角坐标系中，已知两点P (0,1)，Q (3,6)，在直线y ＝x 上取两点M ，N ，使得MN ＝2a (其中a >0为定值)，则当PM ＋NQ 取得最小值时，点N 的坐标为________．解析：(1)设点A (1,0)，B (1＋a ，a )，则AB ∥MN ，且AB ＝MN ，所以四边形ABNM 为平行四边形，所以AM ＝BN ，又因为点P 与A 关于直线y ＝x 对称，所以PM ＝AM ，所以PM ＋NQ ＝AM ＋NQ ＝BN ＋NQ ，所以当B ，N ，Q 三点共线时，PM ＋NQ 取最小值为BQ ＝a －2＋a －2.此时BQ 方程为(a －6)x －(a －2)y ＋3a ＋6＝0，与直线y ＝x 联立解得N ⎝⎛⎭⎪⎫3a ＋64，3a ＋64.(2)若设A (1,0)，B (1－a ，－a )，同理可得PM ＋NQ 最小值为a ＋2＋a ＋2，因为a >0，所以a ＋2＋a ＋2>a －2＋a －2，不合题意．综上，PM ＋NQ 取得最小值时点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋64，3a ＋64.答案：⎝⎛⎭⎪⎫3a ＋64，3a ＋64[方法归纳]求直线方程的两种方法[必备知识]1．圆的标准方程当圆心为(a ，b )，半径为r 时，其标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，特别地，当圆心在原点时，方程为x 2＋y 2＝r 2.2．圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，其中D 2＋E 2－4F >0，表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2为圆心，D 2＋E 2－4F 2为半径的圆．[题组练透]1．(2017·南通一模)已知圆C 过点(2，3)，且与直线x －3y ＋3＝0相切于点(0，3)，则圆C 的方程为_______________．解析：设圆心为(a ，b )， 则⎩⎨⎧b －3a·33＝－1，a －2＋()b －32＝a 2＋b －32，解得a ＝1，b ＝0，r ＝2.即所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝4. 答案：(x －1)2＋y 2＝42．(2016·天津高考)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的方程为________________． 解析：因为圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，设C (a,0)，且a ＞0，所以圆心到直线2x －y ＝0的距离d ＝2a5＝455，解得a ＝2，所以圆C 的半径r ＝|CM |＝4＋5＝3， 所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝9. 答案：(x －2)2＋y 2＝93．与圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0外切于原点，且半径为25的圆的标准方程为_______． 解析：由题意，所求圆的圆心在直线y ＝－2x 上，所以可设所求圆的圆心为(a ，－2a )(a <0)，又因为所求圆与圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0外切于原点，且半径为25，所以a 2＋－2a2＝25，可得a 2＝4，解得a ＝－2或a ＝2(舍去)．所以所求圆的标准方程为(x ＋2)2＋(y －4)2＝20.答案：(x ＋2)2＋(y －4)2＝20 [方法归纳][必备知识]1．过圆O ∶x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2.2．过圆O ∶x 2＋y 2＝r 2外一点P (x 0，y 0)作圆的两条切线，切点为A ，B ，则O ，P ，A ，B 四点共圆且直线AB 的方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2.3．判断直线与圆的位置关系问题的两种方法(1)代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式Δ来判断位置关系：Δ>0⇔相交；Δ＝0⇔相切；Δ<0⇔相离．(2)几何法：把圆心到直线的距离d 和半径r 的大小加以比较：d <r ⇔相交；d ＝r ⇔相切；d >r ⇔相离．4．判断两圆位置关系时常用几何法即通过判断两圆心距离O 1O 2与两圆半径R ，r 的关系来判断两圆位置关系． (1)外离：O 1O 2>R ＋r ； (2)外切：O 1O 2＝R ＋r ； (3)相交：R －r <O 1O 2<R ＋r ； (4)内切：O 1O 2＝R －r ； (5)内含：0≤O 1O 2<R －r .[提醒] 利用两圆组成的方程组解的个数，不能判断内切与外切、外离与内含．[题组练透]1．(2017·苏锡常镇二模)已知直线l ：mx ＋y －2m －1＝0，圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＝0，当直线l 被圆C 所截得的弦长最短时，实数m ＝________.解析：由题意得，C (1,2)，直线l ：m (x －2)＋y －1＝0恒过定点A (2,1)，当直线l 被圆C 所截得的弦长最短时，直线l ⊥CA ，因为直线l 的斜率为－m ，直线CA 的斜率为1－22－1＝－1，所以－m ×(－1)＝－1，即m ＝－1.答案：－12．(2016·全国卷Ⅰ)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为________．解析：圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0化为标准方程为x 2＋(y －a )2＝a 2＋2，所以圆心C (0，a )，半径r ＝a 2＋2，因为|AB |＝23，点C 到直线y ＝x ＋2a ，即x －y ＋2a ＝0的距离d ＝|0－a ＋2a |2＝|a |2，由勾股定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫2322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|a |22＝a 2＋2，解得a 2＝2，所以r ＝2，所以圆C 的面积为π×22＝4π. 答案：4π3．若圆(x －2a )2＋(y －a －3)2＝4上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意，两圆(x －2a )2＋(y －a －3)2＝4与x 2＋y 2＝1相交于相异两点，所以1<4a 2＋a ＋2<3，即⎩⎪⎨⎪⎧5a 2＋6a ＋8>0，5a 2＋6a <0，解得－65<a <0.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，0 4．(2017·扬州考前调研)已知圆C ：x 2＋y 2－2ax －2y ＋2＝0(a 为常数)与直线y ＝x 相交于A ，B 两点，若∠ACB ＝π3，则实数a ＝________. 解析：因为圆C 的标准方程为(x －a )2＋(y －1)2＝a 2－1，所以C (a,1)，r ＝a 2－1，因为圆C 与直线y ＝x 相交于A ，B 两点，且∠ACB ＝π3，所以32r ＝|a －1|2，且a 2－1>0，解得a ＝－5.答案：－55．(2017·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，A (－12，0)，B (0,6)，点P 在圆O ：x 2＋y 2＝50上．若PA ―→·PB ―→≤20，则点P 的横坐标的取值范围是________．解析：设P (x ，y )，则PA ―→·PB ―→＝(－12－x ，－y )·(－x ，6－y )＝x (x ＋12)＋y (y －6)≤20.又x 2＋y 2＝50，所以2x －y ＋5≤0，所以点P 在直线2x －y ＋5＝0的上方(包括直线上)． 又点P 在圆x 2＋y 2＝50上，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋5，x 2＋y 2＝50，解得x ＝－5或x ＝1， 结合图象， 可得－52≤x ≤1，故点P 的横坐标的取值范围是[－52，1]． 答案：[－52，1] [方法归纳]1.解决直线与圆、圆与圆位置关系问题的方法讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量.圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题.2.求弦长问题的两种方法利用半径r ，弦心距d ，弦长l 的一半构成直角三角形，结合勾股定理d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫l 22＝r 2求解；若斜率为k 的直线l 与圆C 交于A x 1，y 1，B x 2，y 2两点，则1．椭圆、双曲线中，a ，b ，c 之间的关系 (1)在椭圆中：a 2＝b 2＋c 2，离心率为e ＝c a＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2； (2)在双曲线中：c 2＝a 2＋b 2，离心率为e ＝c a＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2.2．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±bax .注意离心率e 与渐近线的斜率的关系．[题组练透]1．(2017·南京三模)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 22m 2－y 23m＝1的焦距为6，则所有满足条件的实数m 构成的集合是__________．解析：由题意得，2m 2＋3m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫622，所以2m 2＋3m －9＝0，解得m ＝32或－3，因为x 22m 2－y 23m ＝1是双曲线的方程，所以m ＞0，所以m ＝32.所以实数m 构成的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫32.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫322.(2017·苏北四市期中)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B 1，B 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右、下、上顶点，F 是椭圆C的右焦点．若B 2F ⊥AB 1，则椭圆C 的离心率是________．解析：由题意得，A (a,0)，B 1(0，－b )，B 2(0，b )，F (c,0)，所以B 2F ―→＝(c ，－b )，AB 1―→＝(－a ，－b )，因为B 2F ⊥AB 1，所以B 2F ―→·AB 1―→＝0，即b 2＝ac ，所以c 2＋ac －a 2＝0，e 2＋e－1＝0，又椭圆的离心率e ∈(0,1)，所以e ＝5－12. 答案：5－123．(2017·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 23－y 2＝1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ，Q ，其焦点是F 1，F 2，则四边形F 1PF 2Q 的面积是________．解析：由题意得，双曲线的右准线x ＝32与两条渐近线y ＝±33x 的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，±32.不妨设双曲线的左、右焦点分别为F 1，F 2， 则F 1(－2,0)，F 2(2,0)， 故四边形F 1PF 2Q 的面积是 12F 1F 2·PQ ＝12×4×3＝2 3. 答案：2 34．(2017·南通三模)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2a 2－y 2＝1(a >0)经过抛物线y 2＝8x 的焦点，则该双曲线的离心率为________．解析：因为双曲线x 2a2－y 2＝1(a >0)经过抛物线y 2＝8x 的焦点坐标(2,0)，所以a ＝2，在双曲线中，b ＝1，c ＝a 2＋b 2＝5，所以双曲线的离心率是e ＝c a ＝52. 答案：525．(2016·山东高考)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________．解析：如图，由题意知|AB |＝2b2a，|BC |＝2c .又2|AB |＝3|BC |，∴2×2b 2a＝3×2c ，即2b 2＝3ac ，∴2(c 2－a 2)＝3ac ，两边同除以a 2并整理得2e 2－3e －2＝0，解得e ＝2(负值舍去)． 答案：26．(2017·南京考前模拟)已知椭圆C ：mx 2＋y 2＝1(0＜m ＜1)，直线l ：y ＝x ＋1，若椭圆C 上总存在不同的两点A 与B 关于直线l 对称，则椭圆C 的离心率e 的取值范围为________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点P (x 0，y 0)，∵A ，B 在椭圆C 上，∴⎩⎪⎨⎪⎧mx 21＋y 21＝1，mx 22＋y 22＝1，两式相减，整理得m x 1＋x 2y 1＋y 2＝－y 1－y 2x 1－x 2，即－mx 0y 0＝k AB ，故k AB ·k OP ＝－m ，又∵k AB ＝－1，∴k OP ＝m ，∴直线OP 的方程为y ＝mx ，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝mx ，y ＝x ＋1，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m －1，m m －1，由点P 在椭圆内，∴m ⎝⎛⎭⎪⎫1m －12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m m －12<1，解得0<m <13，∴离心率e ＝1－b 2a 2＝1－m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫63，1. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫63，1 [方法归纳][A 组——抓牢中档小题]1．(2017·苏州期末)在平面直角坐标系xOy 中，已知过点M (1,1)的直线l 与圆(x ＋1)2＋(y －2)2＝5相切，且与直线ax ＋y －1＝0垂直，则实数a ＝________.解析：因为点M (1,1)在圆(x ＋1)2＋(y －2)2＝5上，圆心与点M 的连线的斜率为2－1－1－1＝－12，所以切线l 的斜率为2，又因为切线l 与直线ax ＋y －1＝0垂直，所以a ＝12. 答案：122．(2017·南通、泰州一调)在平面直角坐标系xOy 中，直线2x ＋y ＝0为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线，则该双曲线的离心率为__________．解析：因为直线2x ＋y ＝0为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线，所以ba＝2，所以e ＝1＋b 2a2＝ 5. 答案： 53．(2017·无锡期末)设P 为有公共焦点F 1，F 2的椭圆C 1与双曲线C 2的一个交点，且PF 1⊥PF 2，椭圆C 1的离心率为e 1，双曲线C 2的离心率为e 2，若3e 1＝e 2，则e 1＝________.解析：设椭圆的长半轴长为a 1，双曲线的实半轴长为a 2，由定义知，不妨设P 在第一象限，则⎩⎪⎨⎪⎧PF 1＋PF 2＝2a 1，PF 1－PF 2＝2a 2，所以PF 1＝a 1＋a 2，PF 2＝a 1－a 2， 因为PF 1⊥PF 2， 所以PF 21＋PF 22＝F 1F 22， 即(a 1＋a 2)2＋(a 1－a 2)2＝4c 2， 整理得1e 21＋1e 22＝2，又因为3e 1＝e 2，所以e 1＝53. 答案：534．(2017·南京考前模拟)在平面直角坐标系xOy 中，M 为圆C ：(x －a )2＋(y －1)2＝169上任意一点，N 为直线l ：ax ＋y ＋3＝0上任意一点，若以M 为圆心，MN 为半径的圆与圆C 至多有一个公共点，则正数a 的最小值为_________．解析：因为圆M 与圆C 至多有一个公共点， 所以MC ≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪MN －43， 即⎪⎪⎪⎪⎪⎪MN －43≥43，解得MN ≥83，又MN 的最小值为a 2＋4a 2＋1－43，所以a 2＋4a 2＋1－43≥83，解得a ≥22，所以正数a 的最小值为2 2. 答案：2 25．以双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 为圆心，a 为半径的圆恰好与双曲线的两条渐近线相切，则该双曲线的离心率为________．解析：由题设知，双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ，圆的方程为(x －c )2＋y 2＝a 2，因为渐近线与圆相切，故由点到直线的距离公式得bca 2＋b 2＝a ，则a ＝b ，c ＝2a ，故离心率e ＝ 2.答案： 26．(2017·南京学情调研)在平面直角坐标系xOy 中，若直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －a )2＝16相交于A ，B 两点，且△ABC 为直角三角形，则实数a 的值是________．解析：由题意知△ABC 为等腰直角三角形，且AC ＝BC ＝4，AB ＝42， ∴圆心C 到直线ax ＋y －2＝0的距离d ＝42－22＝22，∴|a ＋a －2|a 2＋1＝22，解得a ＝－1. 答案：－17．(2017·泰州中学月考)直线y ＝kx ＋3与圆(x －2)2＋(y －3)2＝4相交于M ，N 两点，若MN ≥23，则k 的取值范围是________．解析：由圆的方程知圆心(2,3)，半径r ＝2， ∵圆心到直线y ＝kx ＋3的距离d ＝|2k |k 2＋1，∴MN ＝2r 2－d 2＝24－4k2k 2＋1≥23，解得4k 2≤k 2＋1，即－33≤k ≤33. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 8．已知点P 是圆C ：x 2＋y 2＋4x －6y －3＝0上的一点，直线l ：3x －4y －5＝0.若点P 到直线l 的距离为2，则符合题意的点P 有________个．解析：由题意知圆C 的标准方程为(x ＋2)2＋(y －3)2＝16，所以圆心(－2,3)到直线l 的距离d ＝|－6－12－5|5＝235∈(4,6)，故满足题意的点P 有2个．答案：29．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距依次成等差数列，则该椭圆的离心率为________．解析：由题意知2a ＋2c ＝2(2b )，即a ＋c ＝2b ，又c 2＝a 2－b 2，消去b 整理得5c 2＝3a 2－2ac ，即5e 2＋2e －3＝0，所以e ＝35或e ＝－1(舍去)．答案：3510．(2017·全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点．若∠MAN ＝60°，则C 的离心率为________．解析：双曲线的右顶点为A (a,0)，一条渐近线的方程为y ＝b ax ，即bx －ay ＝0，则圆心A 到此渐近线的距离d ＝|ba －a ×0|b 2＋a2＝abc .又因为∠MAN ＝60°，圆的半径为b ，所以b ·sin 60°＝ab c，即3b 2＝ab c ，所以e ＝23＝233. 答案：23311．若抛物线y 2＝8ax (a >0)的准线经过双曲线x 2a 2－y 2＝1的一个焦点，则椭圆x 2a2＋y 2＝1的离心率e ＝________.解析：抛物线y 2＝8ax (a >0)的准线方程为x ＝－2a ，双曲线x 2a2－y 2＝1的焦点坐标为(±a 2＋1，0)，则2a ＝a 2＋1，得a 2＝13，所以椭圆的离心率e ＝1－a 2＝63.答案：6312．设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为(6,4)，则PM ＋PF 1的最大值为________．解析：由椭圆定义知PM ＋PF 1＝PM ＋2×5－PF 2， 而PM －PF 2≤MF 2＝5，所以PM ＋PF 1≤2×5＋5＝15. 答案：1513．(2017·苏州张家港暨阳中学月考)已知圆O ：x 2＋y 2＝1，圆M ：(x －a )2＋(y －a ＋4)2＝1.若圆M 上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ，使得∠APB ＝60°，则实数a 的取值范围为______________．解析：如图，圆O 的半径为1，圆M 上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点为A ，B ，使得∠APB ＝60°，则∠APO ＝30°，在Rt △PAO 中，PO ＝2，又圆M 的半径等于1，圆心坐标M (a ，a －4)， ∴PO min ＝MO －1，PO max ＝MO ＋1， ∵MO ＝a 2＋a －2，∴由a 2＋a －2－1≤2≤a 2＋a －2＋1，解得2－22≤a ≤2＋22. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－22，2＋22 14．在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：4x －3y －2＝0上至少存在一点，使得以该点为圆心、1为半径的圆与以(4,0)为圆心，R 为半径的圆C 有公共点，则R 的最小值是________．解析：由题意，直线4x －3y －2＝0上至少存在一点A ，以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，即AC min ＝1＋R ，因为AC min 即为点C 到直线4x －3y －2＝0的距离，为145，所以R 的最小值是95.答案：95[B 组——力争难度小题]1．(2017·南京考前模拟)在平面直角坐标系xOy 中，M 为直线x ＝3上一动点，以M 为圆心的圆记为圆M ，若圆M 截x 轴所得的弦长恒为4.过点O 作圆M 的一条切线，切点为P ，则点P 到直线2x ＋y －10＝0的距离的最大值为________．解析：设M (3，t )，P (x 0，y 0)， 因为OP ⊥PM ，所以OP ―→·PM ―→＝0， 可得x 20＋y 20－3x 0－ty 0＝0，① 又圆M 截x 轴所得的弦长为4，所以4＋t 2＝(x 0－3)2＋(y 0－t )2，整理得x 20＋y 20－6x 0－2ty 0＋5＝0，② 由①②得x 20＋y 20＝5，即点P 在圆x 2＋y 2＝5上， 于是P 到直线2x ＋y －10＝0距离的最大值为105＋5＝3 5.答案：3 52．在平面直角坐标系xOy 中，已知过原点O 的动直线l 与圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B ，若点A 恰为线段OB 的中点，则圆心C 到直线l 的距离为________．解析：先将圆C 化为标准方程得(x －3)2＋y 2＝4，则圆心C (3,0)，半径r ＝2，设过原点O 的动直线l 的方程为y ＝kx ，因为点A 恰为线段OB 的中点，设A (a ，ka )，B (2a,2ka )，得(1＋k 2)a 2－6a ＋5＝0. ①取AB 的中点D ，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，32ka ， 如图，连结CD ，则CD ⊥AB ，32ka 32a －3＝－1k . ②联立①②，解得a ＝54，k ＝±155，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫158，±3158，CD ＝364， 即圆心C 到直线l 的距离为364.答案：3643．(2017·山东高考)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右支与焦点为F 的抛物线x 2＝2py (p ＞0)交于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4|OF |，则该双曲线的渐近线方程为________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线的定义可知|AF |＝y 1＋p 2，|BF |＝y 2＋p 2，|OF |＝p2，由|AF |＋|BF |＝y 1＋p 2＋y 2＋p2＝y 1＋y 2＋p ＝4|OF |＝2p ，得y 1＋y 2＝p .联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 2b2＝1，x 2＝2py消去x ，得a 2y 2－2pb 2y ＋a 2b 2＝0，所以y 1＋y 2＝2pb 2a 2，所以2pb2a2＝p ，即b 2a 2＝12，故b a ＝22， 所以双曲线的渐近线方程为y ＝±22x . 答案：y ＝±22x 4．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，点A ，B 1，B 2，F 依次为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦点，若直线AB 2与直线B 1F 的交点恰在椭圆的右准线上，则椭圆的离心率为________．解析：如图，A (－a,0)，B 1(0，－b )，B 2(0，b )，F (c,0)，设点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，y M . 由k AB 2＝k AM ，得b a ＝y Ma2c＋a ， 所以y M ＝b ⎝ ⎛⎭⎪⎫a c＋1.由k FB 1＝k FM ，得b c ＝y Ma2c－c ， 所以y M ＝b c ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c －c . 从而b ⎝ ⎛⎭⎪⎫a c ＋1＝b c ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c －c ，整理得2e 2＋e －1＝0.解得e ＝12.答案：12第2课时直线与圆(能力课)[常考题型突破][例1] (2017·苏北四市期中)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0及点A (－1,0)，B (1,2)．(1)若直线l 平行于AB ，与圆C 相交于M ，N 两点，MN ＝AB ，求直线l 的方程；(2)在圆C 上是否存在点P ，使得PA 2＋PB 2＝12？若存在，求点P 的个数；若不存在，说明理由．[解] (1)因为圆C 的标准方程为(x －2)2＋y 2＝4，所以圆心C (2,0)，半径为2. 因为l ∥AB ，A (－1,0)，B (1,2)，所以直线l 的斜率为2－01－－＝1，设直线l 的方程为x －y ＋m ＝0，则圆心C 到直线l 的距离为d ＝|2－0＋m |2＝|2＋m |2.因为MN ＝AB ＝22＋22＝22，而CM 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫MN 22，所以4＝＋m 22＋2，解得m ＝0或m ＝－4，故直线l 的方程为x －y ＝0或x －y －4＝0. (2)假设圆C 上存在点P ，设P (x ，y )， 则(x －2)2＋y 2＝4，PA 2＋PB 2＝(x ＋1)2＋(y －0)2＋(x －1)2＋(y －2)2＝12，即x 2＋y 2－2y －3＝0，即x 2＋(y －1)2＝4， 因为|2－2|<－2＋－2<2＋2，所以圆(x －2)2＋y 2＝4与圆x 2＋(y －1)2＝4相交， 所以点P 的个数为2. [方法归纳]如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A (0,3)，直线l ：y ＝2x －4.设圆C 的半径为1，圆心在l 上．(1)若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； (2)若圆C 上存在点M ，使MA ＝2MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．解：(1)由题设，圆心C 是直线y ＝2x －4和y ＝x －1的交点，解得点C (3,2)，于是切线的斜率必存在．设过A (0,3)的圆C 的切线方程为y ＝kx＋3，由题意，得|3k ＋1|k 2＋1＝1，解得k ＝0或k ＝－34，故所求切线方程为y ＝3或3x ＋4y －12＝0. (2)因为圆心在直线y ＝2x －4上，所以圆C 的方程为(x －a )2＋[y －2(a －2)]2＝1.设点M (x ，y )，因为MA ＝2MO ， 所以x 2＋y －2＝2x 2＋y 2，化简得x 2＋y 2＋2y －3＝0， 即x 2＋(y ＋1)2＝4，所以点M 在以D (0，－1)为圆心，2为半径的圆上．由题意，点M (x ，y )在圆C 上，所以圆C 与圆D 有公共点，则|2－1|≤CD ≤2＋1，即1≤a 2＋a －2≤3.由5a 2－12a ＋8≥0，得a ∈R ； 由5a 2－12a ≤0，得0≤a ≤125. 所以点C 的横坐标a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125.[例2] ＝0，点P 在直线l 上，过P 点作圆M 的切线PA ，PB ，切点为A ，B .(1)若∠APB ＝60°，求点P 的坐标；(2)若P 点的坐标为(2,1)，过P 作直线与圆M 交于C ，D 两点，当CD ＝2时，求直线CD 的方程；(3)求证：经过A ，P ，M 三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．[解] (1)设P (2m ，m )，因为∠APB ＝60°，AM ＝1，所以MP ＝2，所以(2m )2＋(m －2)2＝4，解得m ＝0或m ＝45，故所求点P 的坐标为P (0,0)或P ⎝ ⎛⎭⎪⎫85，45. (2)易知直线CD 的斜率存在，可设直线CD 的方程为y －1＝k (x －2)， 由题知圆心M 到直线CD 的距离为22， 所以22＝|－2k －1|1＋k2， 解得k ＝－1或k ＝－17，故所求直线CD 的方程为x ＋y －3＝0或x ＋7y －9＝0. (3)证明：设P (2m ，m )，MP 的中点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m2＋1，因为PA 是圆M 的切线，所以经过A ，P ，M 三点的圆是以Q 为圆心，以MQ 为半径的圆，故其方程为(x －m )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －m 2－12＝m 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m2－12，化简得x 2＋y 2－2y －m (2x ＋y －2)＝0，此式是关于m 的恒等式，故⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2y ＝0，2x ＋y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝45，y ＝25.所以经过A ，P ，M 三点的圆必过定点(0,2)或⎝ ⎛⎭⎪⎫45，25. [方法归纳]与圆有关的定点问题最终可化为含有参数的动直线或动圆过定点键是引入参数求出动直线或动圆的方程与圆有关的定值问题，可以通过直接计算或证明，还可以通过特殊化，先猜出定值再给出证明1．已知点P (2,2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．(1)求M 的轨迹方程；(2)当OP ＝OM 时，求证：△POM 的面积为定值． 解：(1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16， 所以圆心为C (0,4)，半径为4.设M (x ，y )，则CM ―→＝(x ，y －4)，MP ―→＝(2－x,2－y )． 由题设知CM ―→·MP ―→＝0， 故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0， 即(x －1)2＋(y －3)2＝2. 由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2.(2)证明：由(1)可知M 的轨迹是以点N (1,3)为圆心，2为半径的圆． 由于OP ＝OM ，故O 在线段PM 的垂直平分线上， 又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM .因为ON 的斜率为3，所以l 的斜率为－13，故l 的方程为y ＝－13x ＋83.又OM ＝OP ＝22，O 到l 的距离d 为4105，所以PM ＝2OP 2－d 2＝4105，所以△POM 的面积为S △POM ＝12PM ·d ＝165.2．已知圆C ：x 2＋y 2＝9，点A (－5,0)，直线l ：x －2y ＝0. (1)求与圆C 相切，且与直线l 垂直的直线方程；(2)在直线OA 上(O 为坐标原点)，存在定点B (不同于点A )满足：对于圆C 上任一点P ，都有PB PA为一常数，试求所有满足条件的点B 的坐标．解：(1)设所求直线方程为y ＝－2x ＋b ， 即2x ＋y －b ＝0. 因为直线与圆C 相切， 所以|－b |22＋12＝3，解得b ＝±3 5.所以所求直线方程为2x ＋y ±35＝0. (2)法一：假设存在这样的点B (t,0)． 当点P 为圆C 与x 轴的左交点(－3,0)时，PB PA ＝|t ＋3|2；当点P 为圆C 与x 轴的右交点(3,0)时，PB PA ＝|t －3|8.依题意，|t ＋3|2＝|t －3|8，解得t ＝－5(舍去)或t ＝－95.下面证明点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，0对于圆C 上任一点P ，都有PB PA 为一常数． 设P (x ，y )，则y 2＝9－x 2，所以PB2PA 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋952＋y 2x ＋2＋y 2＝x 2＋185x ＋9－x 2＋8125x 2＋10x ＋25＋9－x2＝1825x ＋x ＋＝925. 从而PB PA ＝35为常数．法二：假设存在这样的点B (t,0)，使得PB PA为常数λ，则PB 2＝λ2PA 2，所以(x －t )2＋y2＝λ2[(x ＋5)2＋y 2]，将y 2＝9－x 2代入，得x 2－2xt ＋t 2＋9－x 2＝λ2(x 2＋10x ＋25＋9－x 2)，即2(5λ2＋t )x ＋34λ2－t 2－9＝0对x ∈[－3,3]恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧5λ2＋t ＝0，34λ2－t 2－9＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝35，t ＝－95或⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，t ＝－5(舍去)．故存在点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，0对于圆C 上任一点P ，都有PB PA 为常数35.[例3] (2016·江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：x 2＋y 2－12x －14y ＋60＝0及其上一点A (2,4)．(1)设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x ＝6上，求圆N 的标准方程；(2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且BC ＝OA ，求直线l 的方程； (3)设点T (t,0)满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得TA ―→＋TP ―→＝TQ ―→，求实数t 的取值范围．[解] 圆M 的标准方程为(x －6)2＋(y －7)2＝25， 所以圆心M (6,7)，半径为5.(1)由圆心N 在直线x ＝6上，可设N (6，y 0)． 因为圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，所以0＜y 0＜7，圆N 的半径为y 0，从而7－y 0＝5＋y 0，解得y 0＝1. 因此，圆N 的标准方程为(x －6)2＋(y －1)2＝1. (2)因为直线l ∥OA ， 所以直线l 的斜率为4－02－0＝2.设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ， 即2x －y ＋m ＝0， 则圆心M 到直线l 的距离d ＝|2×6－7＋m |5＝|m ＋5|5. 因为BC＝OA ＝22＋42＝25，而MC 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫BC 22，所以25＝m ＋25＋5，解得m ＝5或m ＝－15.故直线l 的方程为2x －y ＋5＝0或2x －y －15＝0. (3)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．因为A (2,4)，T (t,0)，TA ―→＋TP ―→＝TQ ―→，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝x 1＋2－t ，y 2＝y 1＋4.①因为点Q 在圆M 上，所以(x 2－6)2＋(y 2－7)2＝25.② 将①代入②，得(x 1－t －4)2＋(y 1－3)2＝25.于是点P (x 1，y 1)既在圆M 上，又在圆[x －(t ＋4)]2＋(y －3)2＝25上， 从而圆(x －6)2＋(y －7)2＝25与圆[x －(t ＋4)]2＋(y －3)2＝25有公共点， 所以5－5≤t ＋－6]2＋－2≤5＋5，解得2－221≤t ≤2＋221.因此，实数t 的取值范围是[2－221，2＋221 ]． [方法归纳](2017·镇江调研)已知圆O ：x 2＋y 2＝4交y 轴正半轴于点A ，点B ，C 是圆O 上异于点A 的两个动点．(1)若B 与A 关于原点O 对称，直线AC 和直线BC 分别交直线y ＝4于点M ，N ，求线段MN 长度的最小值；(2)若直线AC 和直线AB 的斜率之积为1，求证：直线BC 与x 轴垂直．解：(1)由题意，直线AC 和直线BC 的斜率一定存在且不为0，且A (0,2)，B (0，－2)，AC ⊥BC .设直线AC 的斜率为k ，则直线BC 的斜率为－1k，所以直线AC 的方程为y ＝kx ＋2，直线BC 的方程为y ＝－1kx －2，故它们与直线y ＝4的交点分别为M ⎝⎛⎭⎪⎫2k，4， N (－6k,4)．所以MN ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6k ＋2k ≥43，当且仅当k ＝±33时取等号，所以线段MN 长度的最小值为4 3.(2)证明：易知直线AC 和直线AB 的斜率一定存在且不为0，设直线AC 的方程为y ＝kx ＋2，则直线AB 的方程为y ＝1kx ＋2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 2＋y 2＝4解得C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 1＋k2，－k 21＋k2，同理可得B ⎝⎛⎭⎪⎫－4k 1＋k 2，k 2－1＋k2. 因为B ，C 两点的横坐标相等，所以BC ⊥x 轴．[课时达标训练]1．已知以点C ⎝⎛⎭⎪⎫t ，2t (t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O ，A ，与y 轴交于点O ，B ，其中O 为坐标原点．(1)求证：△OAB 的面积为定值；(2)设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M ，N ，若OM ＝ON ，求圆C 的方程． 解：(1)证明：因为圆C 过原点O ，所以OC 2＝t 2＋4t2.设圆C 的方程是(x －t )2＋⎝⎛⎭⎪⎫y －2t 2＝t 2＋4t2，令x ＝0，得y 1＝0，y 2＝4t；令y ＝0，得x 1＝0，x 2＝2t ，所以S △OAB ＝12OA ·OB ＝12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪4t ×|2t |＝4，即△OAB 的面积为定值． (2)因为OM ＝ON ，CM ＝CN ， 所以OC 垂直平分线段MN . 因为k MN ＝－2，所以k OC ＝12.所以2t ＝12t ，解得t ＝2或t ＝－2.当t ＝2时，圆心C 的坐标为(2,1)，OC ＝5， 此时C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝55<5， 圆C 与直线y ＝－2x ＋4相交于两点．当t ＝－2时，圆心C 的坐标为(－2，－1)，OC ＝5， 此时C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝955> 5.圆C 与直线y ＝－2x ＋4不相交， 所以t ＝－2不符合题意，舍去． 所以圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.2.如图，已知圆x 2＋y 2＝1与x 轴交于A ，B 两点，P 是该圆上任意一点，AP ，PB 的延长线分别交直线l ：x ＝2于M ，N 两点．(1)求MN 的最小值；(2)求证：以MN 为直径的圆恒过定点，并求出该定点的坐标． 解：(1)设M (2，t 1)，N (2，t 2)， 则由A (－1,0)，B (1,0)，且AM ⊥BN ， 得AM ―→·BN ―→＝0， 即(3，t 1)·(1，t 2)＝0， 所以3＋t 1t 2＝0，即t 1t 2＝－3.所以MN ＝t 1－t 2＝t 1＋(－t 2)≥2－t 1t 2＝2 3. 当且仅当t 1＝3，t 2＝－3时等号成立． 故MN 的最小值为2 3. (2)证明：由(1)得t 1t 2＝－3.以MN 为直径的圆的方程为(x －2)2＋(y －t 1)(y －t 2)＝0， 即(x －2)2＋y 2－(t 1＋t 2)y ＋t 1t 2＝0， 也即(x －2)2＋y 2－(t 1＋t 2)y －3＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，x －2－3＝0，得⎩⎨⎧x ＝2＋3，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝2－3，y ＝0.故以MN 为直径的圆恒过定点(2＋3，0)和(2－3，0)．3．已知直线l ：4x ＋3y ＋10＝0，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方．(1)求圆C 的方程；(2)过点M (1,0)的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB ？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)设圆心C (a,0)⎝ ⎛⎭⎪⎫a >－52，则|4a ＋10|5＝2⇒a ＝0或a ＝－5(舍去)． 所以圆C 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)当直线AB ⊥x 轴时，x 轴平分∠ANB .当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，N (t,0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，y ＝k x －得，(k 2＋1)x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0，所以x 1＋x 2＝2k 2k 2＋1，x 1x 2＝k 2－4k 2＋1.若x 轴平分∠ANB ，则k AN ＝－k BN ⇒y 1x 1－t ＋y 2x 2－t＝0⇒k x 1－x 1－t ＋k x 2－x 2－t＝0⇒2x 1x 2－(t ＋1)(x 1＋x 2)＋2t ＝0⇒k 2－k 2＋1－2k2t ＋k 2＋1＋2t ＝0⇒t ＝4，所以当点N 为(4,0)时，能使得∠ANM ＝∠BNM 总成立．4．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：(x ＋3)2＋(y －1)2＝4和圆C 2：(x －4)2＋(y －5)2＝4.(1)若直线l 过点A (4,0)，且被圆C 1截得的弦长为23，求直线l 的方程；(2)设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线l 1和l 2，它们分别与圆C 1和C 2相交，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，求所有满足条件的点P 的坐标．解：(1)由于直线x ＝4与圆C 1不相交，∴直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x －4)，圆C 1的圆心到直线l 的距离为d .∵l 被圆C 1截得的弦长为23， ∴d ＝ 22－32＝1.又由点到直线的距离公式得d ＝|－1－7k |1＋k 2， ∴k (24k ＋7)＝0，解得k ＝0或k ＝－724，∴直线l 的方程为y ＝0或7x ＋24y －28＝0. (2)设点P (a ，b )满足条件，由题意分析可得直线l 1，l 2的斜率均存在且不为0，不妨设直线l 1的方程为y －b ＝k (x －a )，则直线l 2的方程为y －b ＝－1k(x －a )．∵圆C 1和圆C 2的半径相等，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，∴圆C 1的圆心到直线l 1的距离和圆C 2的圆心到直线l 2的距离相等，即|1－k －3－a －b |1＋k2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪5＋1k－a －b 1＋1k2，整理得|1＋3k ＋ak －b |＝|5k ＋4－a －bk |. ∴1＋3k ＋ak －b ＝±(5k ＋4－a －bk )，即(a ＋b －2)k ＝b －a ＋3或(a －b ＋8)k ＝a ＋b －5. ∵ k 的取值有无穷多个，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －2＝0，b －a ＋3＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋8＝0，a ＋b －5＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝52，b ＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝132，故这样的点只可能是点P 1⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－12或点P 2－32，132.5.如图，已知位于y 轴左侧的圆C 与y 轴相切于点(0,1)，且被x 轴分成的两段弧长之比为2∶1，过点H (0，t )的直线l 与圆C 相交于M ，N 两点，且以MN 为直径的圆恰好经过坐标原点O .(1)求圆C 的方程；(2)当t ＝1时，求直线l 的方程； (3)求直线OM 的斜率k 的取值范围．解：(1)因为位于y 轴左侧的圆C 与y 轴相切于点(0,1)，所以圆心C 在直线y ＝1上． 又圆C 与x 轴的交点分别为A ，B ，由圆C 被x 轴分成的两段弧长之比为2∶1，得∠ACB ＝2π3. 所以CA ＝CB ＝2，圆心C 的坐标为(－2,1)． 所以圆C 的方程为(x ＋2)2＋(y －1)2＝4.(2)当t ＝1时，由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝mx ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝mx ＋1，x ＋2＋y －2＝4，消去y ，得(m 2＋1)x 2＋4x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4m 2＋1，y ＝m 2－4m ＋1m 2＋1.不妨令M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4m 2＋1，m 2－4m ＋1m 2＋1，N (0,1)．因为以MN 为直径的圆恰好经过O (0,0)，所以OM ―→·ON ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4m 2＋1，m 2－4m ＋1m 2＋1·(0,1)＝m 2－4m ＋1m 2＋1＝0，解得m ＝2±3，故所求直线l 的方程为y ＝(2＋3)x ＋1或y ＝(2－3)x ＋1. (3)设直线OM 的方程为y ＝kx ， 由题意，知|－2k －1|1＋k 2≤2，解得k ≤34. 同理得－1k ≤34，解得k ≤－43或k >0.由(2)知，k ＝0也满足题意．所以k 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－43∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34.6.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－3,4)，B (9,0)，C ，D 分别为线段OA ，OB 上的动点，且满足AC ＝BD .(1)若AC ＝4，求直线CD 的方程；(2)证明：△OCD 的外接圆恒过定点(异于原点O )． 解：(1)因为A (－3,4)，所以OA ＝－2＋42＝5.又因为AC ＝4，所以OC ＝1，所以C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45.由BD ＝4，得D (5,0)，所以直线CD 的斜率k ＝0－455－⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－17.所以直线CD 的方程为y ＝－17(x －5)，即x ＋7y －5＝0.(2)证明：设C (－3m,4m )(0<m ≤1)，则OC ＝5m . 所以AC ＝OA －OC ＝5－5m .因为AC ＝BD ，所以OD ＝OB －BD ＝5m ＋4， 所以点D 的坐标为(5m ＋4,0)．设△OCD 的外接圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，9m 2＋16m 2－3mD ＋4mE ＋F ＝0，m ＋2＋m ＋D ＋F ＝0.解得D ＝－(5m ＋4)，E ＝－10m －3，F ＝0，所以△OCD 的外接圆的方程为x 2＋y 2－(5m ＋4)x －(10m ＋3)y ＝0， 整理得x 2＋y 2－4x －3y －5m (x ＋2y )＝0.令⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4x －3y ＝0，x ＋2y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0(舍去)．所以△OCD 的外接圆恒过定点(2，－1)．第3课时椭 圆(能力课)[常考题型突破][例1] (2015·江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b＞0)的离心率为22，且右焦点F 到左准线l 的距离为3.(1)求椭圆的标准方程；(2)过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若PC ＝2AB ，求直线AB 的方程．[解] (1)由题意，得c a ＝22且c ＋a 2c＝3，解得a ＝2，c ＝1，则b ＝1，所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)当AB ⊥x 轴时，AB ＝2，又CP ＝3，不合题意．当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将AB 的方程代入椭圆方程， 得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2(k 2－1)＝0， 则x 1,2＝2k 2±＋k 21＋2k2，C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋2k 2，－k 1＋2k 2，且AB ＝x 2－x 12＋y 2－y 12＝＋k2x 2－x 12＝22＋k 21＋2k2.若k ＝0，则线段AB 的垂直平分线为y 轴，与左准线平行，不合题意． 从而k ≠0，故直线PC 的方程为 y ＋k1＋2k 2＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2k 21＋2k 2， 则P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，5k 2＋2k ＋2k 2， 从而PC ＝k 2＋1＋k2|k ＋2k2. 因为PC ＝2AB ， 所以k 2＋1＋k 2|k ＋2k 2＝42＋k21＋2k2， 解得k ＝±1.此时直线AB 的方程为y ＝x －1或y ＝－x ＋1. [方法归纳](2017·广州模拟)定圆M ：(x ＋3)2＋y 2＝16，动圆N 过点F (3，0)且与圆M 相切，记圆心N 的轨迹为E .(1)求轨迹E 的方程；(2)设点A ，B ，C 在E 上运动，A 与B 关于原点对称，且AC ＝CB ，当△ABC 的面积最小时，求直线AB 的方程．解：(1)因为点F (3，0)在圆M ：(x ＋3)2＋y 2＝16内，所以圆N 内切于圆M . 因为NM ＋NF ＝4＞FM ，所以点N 的轨迹E 是以M (－3，0)，F (3，0)为焦点的椭圆，且2a ＝4，c ＝3， 所以b ＝1.所以轨迹E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)①当AB 为长轴(或短轴)时，依题意知，点C 就是椭圆的上、下顶点(或左、右顶点)， 此时S △ABC ＝12·OC ·AB ＝2.②当直线AB 的斜率存在且不为0时， 设其斜率为k ，直线AB 的方程为y ＝kx ，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝kx ，可取x 2A ＝41＋4k2， y 2A ＝4k21＋4k2，所以OA 2＝x 2A ＋y 2A ＝＋k21＋4k2. 由AC ＝CB 知，△ABC 为等腰三角形，O 为AB 的中点，OC ⊥AB ，所以直线OC 的方程为y ＝－1k x ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝－1k x ，得x 2C ＝4k 2k 2＋4，y 2C ＝4k 2＋4，所以OC 2＝＋k2k 2＋4.S △ABC ＝2S △OAC ＝|OA |·|OC |＝4＋k 21＋4k 2·＋k 2k 2＋4＝＋k 2＋4k 2k 2＋.由于＋4k2k 2＋≤＋4k2＋k 2＋2＝＋k 22，所以S △ABC ≥85，当且仅当1＋4k 2＝k 2＋4， 即k ＝±1时等号成立，此时△ABC 面积的最小值是85.因为2＞85，所以△ABC 面积的最小值为85，此时直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x .[例2] (2017·南京考前模拟)如图，在平面直角坐标系xOy 中，过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)内一点A (0,1)的动直线l 与椭圆相交于M ，N 两点，当l 平行于x 轴和垂直于x 轴时，l 被椭圆C 所截得的线段长均为2 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在与点A 不同的定点B ，使得对任意过点A 的动直线l 都满足AM AN ＝BMBN？若存在，求出定点B 的坐标；若不存在，请说明理由．[解] (1)当l 垂直于x 轴时，2b ＝22，从而b ＝ 2. 当l 平行于x 轴时，点(2，1)在椭圆C 上， 所以2a 2＋12＝1，解得a ＝2.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)设存在与点A 不同的定点B 满足AM AN ＝BMBN.当l 平行于x 轴时，AM ＝AN ，所以BM ＝BN ，从而点B 在y 轴上，设B (0，t )； 当l 垂直于x 轴时，不妨设M (0，2)，N (0，－2)．由AM AN ＝BM BN 可得|t －2||t ＋2|＝|2－1||2＋1|，解得t ＝1(舍去)或t ＝2，即B (0,2)． 下面证明对任意斜率存在且不为0的动直线l 都满足AM AN ＝BMBN. 设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 24＋y22＝1消去y ，得(1＋2k 2)x 2＋4kx －2＝0，。
高考数学第二轮解析几何专题复习教学设计(5节课)
专题 解析几何高考解析几何试题有以下几个特点：解析几何通常有1－2小题和1大题，约占24分左右，而小题以考查基础为主、解答题的第一问也较容易，因此，对于不同类型的学校，都要做好该专题的复习，千万不能认为该部分内容较难而放弃对该部分内容的专题复习，并且根据生源状况有针对性地进行复习。
从今年各地的试题以及前几年的试题来看，⑴题型稳定：（2）难度下降， 位置不定：（3）与新课程融合，注意主导知识的链接。
题型热点如下：热点1：直线和圆、圆锥曲线的定义、圆锥曲线方程 热点2：最值及离心率范围问题热点3：与圆锥曲线有关的轨迹问题热点4：直线与圆锥曲线的位置关系，该部分内容体现解析几何的基本思想方法——用代数的手段研究几何问题※热点5：与平面向量、数列、不等式、导数等内容相结合 ，在知识网络的交汇处设计试题教学计划：针对普通类学校在解析几何这部分：关键是抓好基础题（做好选择、填空以及大题的第一问），计划课时4-5节课（在第4节直线和圆锥曲线可能需要用2节课时间）。
如果对于基础好的学生还可以增加一节（第5节圆锥曲线的综合问题，针对高考解答题的第二问进行设计） （补充说明在每节的题目前加※的是较难点的题。
）第1节 直线和圆1、教学目标：直线与圆在高考中题型设置以小题为多，有时穿插在综合型的大题中，着重考查直线与圆、圆与圆的位置关系、会求圆的切线方程，公共弦方程及弦长等有关直线与圆的问题． 2．回顾练习（1）已知圆2x －4x －4＋2y ＝0的圆心是点P ，则点P 到直线x －y －1＝0的距离是 ．（2）．已知直线5120x y a -+=与圆2220x x y -+=相切，则a 的值为 ．（3）．圆心为(1,2)且与直线51270x y --=相切的圆的方程为_____________．12．8或18-．3 22(1)(2)4x y -+-= 3．综合例题：（4） 过点的直线l 将圆22(2)4x y -+=分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率____.k =分析：常通过“数”与“形”的结合，充分利用圆的几何性质来简化运算；当直线和圆心与定点的连线垂直时劣弧所对的圆心角最小，圆心(2,0)与定点的连线的斜率k '=2k =（5） 设直线30ax y -+=与圆22(1)(2)4x y -+-=相交于A 、B 两点，且弦AB 的长为a =__0__________．分析：利用由半径、弦心距及半弦构成的直角三角形解决与弦长有关的问题． （6） 若实数,x y 满足22240x y x y +-+=，则2x y -的最大值为 （ ）（A （B ）10 （C ）9 （D ）5+ 分析：利用参数方程结合三角函数求最值将圆配方得22(1)(2)5x y -++=，令12x y θθ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩，则255sin()x y θϕ-=++故选 B ．4、总结归纳重点：①直线与圆的位置关系判断；②切线方程；③弦长的求法；④有关的最值问题．难点：①常通过“数”与“形”的结合，充分利用圆的几何性质来简化运算； ②利用由半径、弦心距及半弦构成的直角三角形解决与弦长有关的问题5、巩固练习（7）（08年安徽）．若过点(4,0)A 的直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（ C ）A ．[B ．(C ．[]33-D ．(33-（8）（080y m -+=与圆22220x y x +--=相切，则实数m 等于（ C ）AB ．C ．-D ．-（9）（08四川）已知直线:40l x y -+=与圆()()22:112C x y -+-=，则C 上各点到l 的距离的最小值为_______。
第二轮专题复习 解析几何专题 教案示例 教案
第二轮专题复习解析几何专题本周目标：能灵活应用圆锥曲线定义解决有关问题；能灵活处理直线和圆、直线和圆锥曲线的位置关系的有关问题；掌握处理取值X 围问题的方法。
本周重点：圆锥曲线定义的应用；位置关系问题；取值X 围及最值问题。
本周内容：一、圆锥曲线定义的应用例1．椭圆192522=+y x 上一点P 到焦点F 1的距离为2，O 为原点，Q 为PF 1的中点，则|OQ|为________。
解：令F 2是此椭圆的另一焦点，则由P 是椭圆192522=+y x 上一点， ∴ |PF 1|+|PF 2|=2×5=10， 又|PF 1|=2，∴|PF 2|=8，如图，在ΔPF 1F 2中，由Q 是PF 1中点，O 是F 1F 2中点知OQ//PF 2且||21||2PF OQ =， ∴ |OQ|=4。
例2．设F 1、F 2为椭圆的两个焦点，点P 是以F 1、F 2为直径的圆与椭圆的交点，若∠PF 1F 2=5∠PF 2F 1，则椭圆离心率为_____。
解：如上图，已知实际为椭圆上一点P 满足PF 1⊥PF 2，且∠PF 1F 2=5∠PF 2F 1。
在ΔPF 1F 2中，有*).........(sin ||sin ||sin ||2121212121PF F F F F PF PF F PF PF ∠=∠=∠∵PF 1⊥PF 2，∴sin ∠F 1PF 2=1, 令此椭圆方程为)0(12222>>=+b a by a x则由椭圆第一定义有 |PF 1|+|PF 2|=2a,|F 1F 2|=2c, ∴由(*)式有**).........(2sin ||sin sin ||||2121211221c PF F F F F PF F PF PF PF =∠=∠+∠+又∵∠PF 1F 2=5∠PF 2F 1，∴∠PF 1F 2=75°，∠PF 2F 1=15°，∴21575cos 21575sin 2sin sin 00002112-⋅+=∠+∠F PF F PF .2630cos 45sin 200=⋅=∴由(**)式有c a 2262=，∴3662a c ==， 即36=e 。
(全国通用版)2020高考数学二轮复习 专题五 解析几何 第3讲 圆锥曲线的综合问题学案 文
第3讲 圆锥曲线的综合问题[考情考向分析] 1.圆锥曲线的综合问题一般以直线和圆锥曲线的位置关系为载体，以参数处理为核心，考查范围、最值问题，定点、定值问题，探索性问题.2.试题解答往往要综合应用函数与方程、数形结合、分类讨论等多种思想方法，对计算能力也有较高要求，难度较大．热点一 范围、最值问题圆锥曲线中的范围、最值问题，可以转化为函数的最值问题(以所求式子或参数为函数值)，或者利用式子的几何意义求解．例1 (2018·百校联盟联考)已知N 为圆C 1：(x ＋2)2＋y 2＝24上一动点，圆心C 1关于y 轴的对称点为C 2，点M ，P 分别是线段C 1N ，C 2N 上的点，且MP →·C 2N —→＝0，C 2N —→＝2C 2P —→.(1)求点M 的轨迹方程；(2)直线l 与曲线Γ交于A ，B 两点，AB 的中点在直线y ＝12上，求△OAB (O 为坐标原点)面积的取值范围．解 连接MC 2，因为C 2N —→＝2C 2P —→，所以P 为C 2N 的中点，因为MP →·C 2N —→＝0， 所以MP →⊥C 2N —→，所以点M 在C 2N 的垂直平分线上， 所以|MN |＝|MC 2|，因为|MN |＋|MC 1|＝|MC 2|＋|MC 1|＝26>4， 所以点M 在以C 1，C 2为焦点的椭圆上， 因为a ＝6，c ＝2，所以b 2＝2， 所以点M 的轨迹方程为x 26＋y 22＝1.(2)由题意知直线l 的斜率存在， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，l ：y ＝kx ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 26＋y22＝1，得()3k 2＋1x 2＋6kmx ＋3m 2－6＝0，x 1＋x 2＝－6km 3k 2＋1，x 1x 2＝3m 2－63k 2＋1，Δ＝()6km 2－4()3k 2＋1()3m 2－6＝12()6k 2＋2－m 2>0，设AB 的中点为C ()x 0，y 0，则x 0＝－3km 3k 2＋1，y 0＝kx 0＋m ＝－3k 2m 3k 2＋1＋m ＝m3k 2＋1，由题意知m 3k 2＋1＝12，所以2m ＝3k 2＋1，由Δ>0，得0<m <4，因为|AB |＝1＋k 2×12()6k 2＋2－m 23k 2＋1＝1＋k 2×23×6k 2＋2－m23k 2＋1， 原点O 到直线AB 的距离d ＝|m |1＋k2，所以S △OAB ＝12×|m |1＋k2×1＋k 2×23×6k 2＋2－m 23k 2＋1 ＝m ×3×4m －m 22m ＝32×4m －m 2()0<m <4，即0<S △OAB ≤3，所以当m ＝2时，S △OAB 取最大值 3. 故△OAB 面积的取值范围为(]0，3. 思维升华 解决范围问题的常用方法(1)数形结合法：利用待求量的几何意义，确定出极端位置后，利用数形结合法求解． (2)构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解． (3)构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域．跟踪演练1 (2018·北京)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，焦距为2 2.斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ，B . (1)求椭圆M 的方程；(2)若k ＝1，求|AB |的最大值；(3)设P (－2,0)，直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D ，若C ，D 和点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－74，14共线，求k .解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b 2＋c 2，c a ＝63，2c ＝22，解得a ＝3，b ＝1.所以椭圆M 的方程为x 23＋y 2＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 23＋y 2＝1，得4x 2＋6mx ＋3m 2－3＝0，Δ＝36m 2－16(3m 2－3)＝－12m 2＋48>0， 即－2<m <2.所以x 1＋x 2＝－3m 2，x 1x 2＝3m 2－34.所以|AB |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2 ＝2(x 2－x 1)2＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝12－3m 22. 所以当m ＝0，即直线l 过原点时，|AB |最大，最大值为 6. (3)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由题意得x 21＋3y 21＝3，x 22＋3y 22＝3. 直线PA 的方程为y ＝y 1x 1＋2(x ＋2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝y 1x 1＋2(x ＋2)，x 2＋3y 2＝3，得[(x 1＋2)2＋3y 21]x 2＋12y 21x ＋12y 21－3(x 1＋2)2＝0. 设C (x C ，y C )，所以x C ＋x 1＝－12y 21(x 1＋2)2＋3y 21＝4x 21－124x 1＋7. 所以x C ＝4x 21－124x 1＋7－x 1＝－12－7x 14x 1＋7.所以y C ＝y 1x 1＋2(x C ＋2)＝y 14x 1＋7. 设D (x D ，y D )，同理得x D ＝－12－7x24x 2＋7，y D ＝y 24x 2＋7.记直线CQ ，DQ 的斜率分别为k CQ ，k DQ ，则k CQ －k DQ ＝y 14x 1＋7－14－12－7x 14x 1＋7＋74－y 24x 2＋7－14－12－7x 24x 2＋7＋74＝4(y 1－y 2－x 1＋x 2)．因为C ，D ，Q 三点共线，所以k CQ －k DQ ＝0. 故y 1－y 2＝x 1－x 2. 所以直线l 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝1. 热点二 定点、定值问题1．由直线方程确定定点，若得到了直线方程的点斜式：y －y 0＝k (x －x 0)，则直线必过定点(x 0，y 0)；若得到了直线方程的斜截式：y ＝kx ＋m ，则直线必过定点(0，m )．2．解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等与题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值．例2 (2018·合肥模拟)记焦点在同一条轴上且离心率相同的椭圆为“相似椭圆”．已知椭圆E ：x 216＋y 212＝1，以椭圆E 的焦点为顶点作相似椭圆M .(1)求椭圆M 的方程；(2)设直线l 与椭圆E 交于A ，B 两点，且与椭圆M 仅有一个公共点，试判断△ABO 的面积是否为定值(O 为坐标原点)？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．解 (1)由条件知，椭圆M 的离心率e ＝12，且长轴的顶点坐标为(－2,0)，(2,0)，∴椭圆M 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)当直线l 的斜率存在时，设直线l ：y ＝kx ＋b .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，x 24＋y23＝1，得()3＋4k 2x 2＋8kbx ＋4b 2－12＝0.令Δ＝64k 2b 2－4(3＋4k 2)(4b 2－12)＝0，得b 2＝3＋4k 2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，x 216＋y 212＝1，化简得()3＋4k 2x 2＋8kbx ＋4b 2－48＝0.Δ>0显然成立．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－8kb 3＋4k 2＝－8k b ，x 1·x 2＝4b 2－483＋4k 2＝4b 2－48b2.∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝121＋k 2|b |，而原点O 到直线l 的距离d ＝|b |1＋k2，∴S △ABO ＝12|AB |·d ＝6.当直线l 的斜率不存在时，l ：x ＝2或x ＝－2， 则|AB |＝6，原点O 到直线l 的距离d ＝2， ∴S △ABO ＝6.综上所述，△ABO 的面积为定值6.思维升华 (1)动直线过定点问题的两大类型及解法①动直线l 过定点问题，解法：设动直线方程(斜率存在)为y ＝kx ＋t ，由题设条件将t 用k 表示为t ＝mk ，得y ＝k (x ＋m )，故动直线过定点(－m,0)．②动曲线C 过定点问题，解法：引入参变量建立曲线C 的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点．(2)求解定值问题的两大途径①由特例得出一个值(此值一般就是定值)→证明定值：将问题转化为证明待证式与参数(某些变量)无关②先将式子用动点坐标或动线中的参数表示，再利用其满足的约束条件使其绝对值相等的正负项抵消或分子、分母约分得定值．跟踪演练2 (2018·凯里市第一中学模拟)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点与曲线Γ：12x 2－4y 2＝3的一个焦点相同，O 为坐标原点，点M 为抛物线C 上任意一点，过点M 作x 轴的平行线交抛物线的准线于点P ，直线OP 交抛物线于点N . (1)求抛物线C 的方程；(2)求证：直线MN 过定点G ，并求出此定点的坐标． 解 (1)由曲线Γ：12x 2－4y 2＝3，化为标准方程可得x214－y234＝1，所以曲线Γ：x 214－y 234＝1是焦点在x 轴上的双曲线，其中a 2＝14，b 2＝34，故c 2＝a 2＋b 2＝1，Γ的焦点坐标分别为F 1(－1,0)，F 2(1,0)， 因为抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0(p >0)，由题意知p2＝1，所以p ＝2，即抛物线的方程为y 2＝4x .(2)由(1)知，抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1， 设P ()－1，m ，显然m ≠0.故M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 24，m ，从而直线OP 的方程为y ＝－mx ， 联立直线OP 与抛物线方程得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝－mx ，解得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫4m 2，－4m .①当4m 2＝m 24，即m ＝±2时，直线MN 的方程为x ＝1；②当4m 2≠m 24，即m ≠±2时，直线MN 的方程为y －m ＝4m m 2－4⎝⎛⎭⎪⎫x －m 24，整理得MN 的方程为y ＝4mm 2－4(x －1)， 此时直线恒过定点G (1,0)，因为(1,0)也在直线MN 的方程x ＝1上， 故直线MN 恒过定点G (1,0)． 热点三 探索性问题1．解析几何中的探索性问题，从类型上看，主要是存在类型的相关题型，解决这类问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明确化．其步骤为：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在．2．反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法．例3 已知圆C 的圆心为原点，其半径与椭圆D ：x 24＋y 23＝1的左焦点和上顶点的连线线段长度相等．(1)求圆C 的标准方程；(2)过椭圆右焦点的动直线l 2(其斜率不为0)交圆C 于A ，B 两点，试探究在x 轴正半轴上是否存在定点E ，使得直线AE 与BE 的斜率之和为0？若存在，求出点E 的坐标，若不存在，请说明理由． 解 (1)由题意知，椭圆D ：x 24＋y 23＝1的左焦点的坐标为(－1,0)，上顶点的坐标为()0，3，故圆的半径r ＝()－1－02＋()0－32＝2，所以圆C 的标准方程为x 2＋y 2＝4. (2)假设存在符合条件的点E . 设E ()t ，0，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 当直线l 2的斜率存在时， 设直线l 2的方程为y ＝k (x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，y ＝k (x －1)，得()k 2＋1x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0，Δ>0显然成立． 所以x 1＋x 2＝2k 2k 2＋1，x 1x 2＝k 2－4k 2＋1.由k AE ＋k BE ＝0，得k AE ＝－k BE ， 所以y 1x 1－t ＋y 2x 2－t＝0，即k ()x 1－1x 1－t ＋k ()x 2－1x 2－t＝0，即2x 1x 2－(t ＋1)(x 1＋x 2)＋2t ＝0， 即2()k 2－4k 2＋1－2k 2(t ＋1)k 2＋1＋2t ＝0，解得t ＝4.即E (4,0)．当直线l 2的斜率不存在时，直线l 2的方程为x ＝1，与圆C 的交点坐标分别为(1，3)，()1，－3，由E (4,0)知满足k AE ＋k BE ＝0.所以当点E 的坐标为(4,0)时，k AE ＋k BE ＝0. 思维升华 解决探索性问题的注意事项存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在． (1)当条件和结论不唯一时，要分类讨论．(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件．(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径．跟踪演练3 (2018·山东、湖北部分重点中学模拟)已知长轴长为4的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，点F 是椭圆的右焦点．(1)求椭圆方程；(2)在x 轴上是否存在定点D ，使得过D 的直线l 交椭圆于A ，B 两点．设点E 为点B 关于x 轴的对称点，且A ，F ，E 三点共线？若存在，求D 点坐标；若不存在，说明理由．解 (1)∵ 2a ＝4，∴ a ＝2，将点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得b 2＝3.∴椭圆方程为x 24＋y 23＝1. (2)存在定点D 满足条件．设D (t,0)，直线l 方程为x ＝my ＋t (m ≠0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋t ，x 24＋y23＝1，消去x ，得(3m 2＋4)y 2＋6mt ·y ＋3t 2－12＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则E (x 2，－y 2)， ⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－6mt 3m 2＋4，y 1y 2＝3t 2－123m 2＋4且Δ>0.由A ，F ，E 三点共线，可得(x 2－1)y 1＋(x 1－1)y 2＝0， 即2my 1y 2＋(t －1)(y 1＋y 2)＝0， ∴ 2m ·3t 2－123m 2＋4＋(t －1)·－6mt 3m 2＋4＝0，解得t ＝4， 此时由Δ>0得m 2>4.∴存在定点D (4,0)满足条件，且m 满足m 2>4.真题体验1．(2017·全国Ⅰ改编)已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A ，B 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点，则|AB |＋|DE |的最小值为________． 答案 16解析 因为F 为y 2＝4x 的焦点，所以F (1,0)．由题意知，直线l 1，l 2的斜率均存在且不为0，设l 1的斜率为k ，则l 2的斜率为－1k，故直线l 1，l 2的方程分别为y ＝k (x －1)，y ＝－1k(x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，Δ＝16k 2＋16>0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2k 2＋4k2，x 1x 2＝1，所以|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2| ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＋4k 22－4 ＝4(1＋k 2)k2. 同理可得|DE |＝4(1＋k 2)．所以|AB |＋|DE |＝4(1＋k 2)k2＋4(1＋k 2) ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2＋1＋1＋k 2＝8＋4⎝⎛⎭⎪⎫k 2＋1k2≥8＋4×2＝16，当且仅当k 2＝1k2，即k ＝±1时，取得等号．2．(2017·山东)在平面直角坐标系xOy 中,椭圆E ：x 22＋y 22＝1(a >b >0)的离心率为2,焦距为2.(1)求椭圆E 的方程； (2)如图，动直线l ：y ＝k 1x －32交椭圆E 于A ，B 两点，C 是椭圆E 上一点，直线OC 的斜率为k 2，且k 1k 2＝24.M 是线段OC 延长线上一点，且|MC |∶|AB |＝2∶3，⊙M 的半径为|MC |，OS ，OT 是⊙M 的两条切线，切点分别为S ，T .求∠SOT 的最大值，并求取得最大值时直线l 的斜率．解 (1)由题意知，e ＝c a ＝22，2c ＝2，所以c ＝1， 所以a ＝2，b ＝1，所以椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝k 1x －32，消去y ，得(4k 21＋2)x 2－43k 1x －1＝0. 由题意知，Δ>0，且x 1＋x 2＝23k 12k 21＋1，x 1x 2＝－12(2k 21＋1)， 所以|AB |＝1＋k 21|x 1－x 2|＝2·1＋k 21·1＋8k 211＋2k 21. 由题意可知，圆M 的半径r 为 r ＝23|AB |＝223·1＋k 21 1＋8k 212k 21＋1. 由题设知k 1k 2＝24，所以k 2＝24k 1， 因此直线OC 的方程为y ＝24k 1x .联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝24k 1x ，得x 2＝8k 211＋4k 21，y 2＝11＋4k 21，因此|OC |＝x 2＋y 2＝1＋8k 211＋4k 21. 由题意可知，sin ∠SOT 2＝r r ＋|OC |＝11＋|OC |r.而|OC |r ＝1＋8k 211＋4k 21223·1＋k 21 1＋8k 211＋2k 21＝324·1＋2k 211＋4k 21 1＋k 21， 令t ＝1＋2k 21，则t >1，1t∈(0,1)，因此|OC |r ＝32·t 2t 2＋t －1＝32·12＋1t －1t 2＝32·1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －122＋94≥1，当且仅当1t ＝12，即t ＝2时等号成立，此时k 1＝±22，所以sin ∠SOT 2≤12，因此∠SOT 2≤π6，所以∠SOT 的最大值为π3.综上所述，∠SOT 的最大值为π3，取得最大值时直线l 的斜率为k 1＝±22.押题预测已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 23＝1(a >0)与抛物线C 2：y 2＝2ax 相交于A ，B 两点，且两曲线的焦点F 重合．(1)求C 1，C 2的方程；(2)若过焦点F 的直线l 与椭圆分别交于M ，Q 两点，与抛物线分别交于P ，N 两点，是否存在斜率为k (k ≠0)的直线l ，使得|PN ||MQ |＝2？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．押题依据 本题将椭圆和抛物线联合起来设置命题，体现了对直线和圆锥曲线位置关系的综合考查．关注知识交汇，突出综合应用是高考的特色． 解 (1)因为C 1，C 2的焦点重合，所以a 2－3＝a2，所以a 2＝4. 又a >0，所以a ＝2.于是椭圆C 1的方程为x 24＋y 23＝1，抛物线C 2的方程为y 2＝4x . (2)假设存在直线l 使得|PN ||MQ |＝2，当l ⊥x 轴时，|MQ |＝3，|PN |＝4，不符合题意， ∴直线l 的斜率存在，∴可设直线l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)．由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝k (x －1)，可得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，则x 1＋x 4＝2k 2＋4k2，x 1x 4＝1，且Δ＝16k 2＋16>0，所以|PN |＝1＋k 2·(x 1＋x 4)2－4x 1x 4＝4(1＋k 2)k2. 由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k (x －1)，可得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，则x 2＋x 3＝8k 23＋4k 2，x 2x 3＝4k 2－123＋4k 2，且Δ＝144k 2＋144>0，所以|MQ |＝1＋k 2·(x 2＋x 3)2－4x 2x 3＝12(1＋k 2)3＋4k2.若|PN ||MQ |＝2， 则4(1＋k 2)k 2＝2×12(1＋k 2)3＋4k 2，解得k ＝±62. 故存在斜率为k ＝±62的直线l ，使得|PN ||MQ |＝2.A 组 专题通关1．(2018·安徽省“皖南八校”联考)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为e ＝12，椭圆C 上一点M 到左、右两个焦点F 1，F 2的距离之和是4. (1)求椭圆的方程；(2)已知过F 2的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，且两点与左、右顶点不重合，若F 1M —→＝F 1A —→＋F 1B —→，求四边形AMBF 1面积的最大值．解 (1)依题意知，2a ＝4，a ＝2， 因为e ＝12，所以c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB ：x ＝my ＋1，则由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，x 24＋y23＝1，可得3(my ＋1)2＋4y 2＝12，即(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0，Δ＝36m 2＋36(3m 2＋4)＝144(m 2＋1)>0， y 1＋y 2＝－6m 3m 2＋4，y 1y 2＝－93m 2＋4， 又因为F 1M —→＝F 1A —→＋F 1B —→， 所以四边形AMBF 1是平行四边形， 设平行四边形AMBF 1的面积为S ，则S ＝12ABF S V ＝2×12×|F 1F 2|×|y 1－y 2|＝24×m 2＋13m 2＋4. 设t ＝m 2＋1，则m 2＝t 2－1(t ≥1)，所以S ＝24×t 3t 2＋1＝24×13t ＋1t，因为t ≥1，所以3t ＋1t≥4(当t ＝1时取等号)，所以S ∈(0,6]，所以四边形AMBF 1面积的最大值为6.2．已知椭圆 C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为13，点P 在椭圆C 上，且△PF 1F 2的面积的最大值为2 2. (1)求椭圆C 的方程；(2)已知直线l ：y ＝kx ＋2(k ≠0)与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，若在x 轴上存在点G ，使得|GM |＝|GN |，求点G 的横坐标的取值范围．解 (1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝13，12×2c ×b ＝22，c 2＝a 2－b 2，解得a 2＝9，b 2＝8，c 2＝1， ∴椭圆C 的方程为x 29＋y 28＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点为E ()x 0，y 0，点G ()m ，0，使得|GM |＝|GN |， 则GE ⊥MN .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 29＋y28＝1，得()8＋9k 2x 2＋36kx －36＝0，由Δ>0，得k ∈R 且k ≠0. ∴x 1＋x 2＝－36k 9k 2＋8，∴x 0＝－18k 9k 2＋8，y 0＝kx 0＋2＝169k 2＋8. ∵GE ⊥MN ，∴k GE ＝－1k，即169k 2＋8－0－18k 9k 2＋8－m ＝－1k， ∴m ＝－2k 9k 2＋8＝－29k ＋8k.当k >0时，9k ＋8k≥29×8＝12 2⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当9k ＝8k ，即k ＝223时，取等号，∴－212≤m <0；当k <0时，9k ＋8k≤－12 2⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当9k ＝8k ，即k ＝－223时，取等号，∴0<m ≤212， ∴点G 的横坐标的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－212，0∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，212. 3．(2018·全国Ⅲ)已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：x 24＋y 23＝1交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M (1，m )(m >0)．(1)证明：k <－12；(2)设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP →＋FA →＋FB →＝0.证明：2|FP →|＝|FA →|＋|FB →|. 证明 (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1. 两式相减，并由y 1－y 2x 1－x 2＝k ，得x 1＋x 24＋y 1＋y 23·k ＝0. 由题设知x 1＋x 22＝1，y 1＋y 22＝m ，于是k ＝－34m.①由题设得0<m <32，故k <－12.(2)由题意得F (1,0)．设P (x 3，y 3)，则(x 3－1，y 3)＋(x 1－1，y 1)＋(x 2－1，y 2)＝(0,0)． 由(1)及题设得x 3＝3－(x 1＋x 2)＝1，y 3＝－(y 1＋y 2)＝－2m <0.又点P 在C 上，所以m ＝34，从而P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，|FP →|＝32. 于是|FA →|＝(x 1－1)2＋y 21 ＝(x 1－1)2＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 214＝2－x 12. 同理|FB →|＝2－x 22.所以|FA →|＋|FB →|＝4－12(x 1＋x 2)＝3.故2|FP →|＝|FA →|＋|FB →|.线l 与椭圆交于A ，B 两点，且OA →·OB →＝0(O 为坐标原点)． (1)求椭圆C 的方程；(2)试判断1|OA |2＋1|OB |2是否为定值？若是，求出这个值；若不是，请说明理由．解 (1)∵椭圆C 的离心率e ＝c a ＝32， 又c 2＝a 2－b 2，∴34a 2＝a 2－b 2，∴a 2＝4b 2. 又点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32在椭圆上， ∴1a 2＋34b 2＝1， 即14b 2＋34b2＝1，∴b 2＝1，则a 2＝4， ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)当直线OA 的斜率存在且不为0时， 设其方程为y ＝kx ，∵A ，B 分别为椭圆上的两点，且OA →·OB →＝0， 即OA ⊥OB ，∴直线OB 的方程为y ＝－1kx .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 把y ＝kx 代入椭圆C ：x 24＋y 2＝1，得x 21＝41＋4k 2，∴y 21＝4k 21＋4k2，同理x 22＝4k 24＋k 2，∴y 22＝44＋k2，∴1|OA |2＋1|OB |2＝1x 21＋y 21＋1x 22＋y 22＝141＋4k 2＋4k 21＋4k 2＋14k 24＋k 2＋44＋k2＝54. 当直线OA ，OB 中的一条直线的斜率不存在时， 则另一条直线的斜率为0，此时1|OA |2＋1|OB |2＝1a 2＋1b 2＝14＋1＝54.综上所述，1|OA |2＋1|OB |2为定值54. B 组 能力提高5．已知点M ()x 0，y 0在圆O ：x 2＋y 2＝4上运动，且存在一定点N ()6，0，点P (x ，y )为线段MN 的中点．(1)求点P 的轨迹C 的方程；(2)过A (0,1)且斜率为k 的直线l 与点P 的轨迹C 交于不同的两点E ，F ，是否存在实数k ，使得OE →·OF →＝12？若存在，求出k 的值，若不存在，说明理由． 解 (1)设P (x ，y )，由中点坐标公式，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋62，y ＝y2，即x 0＝2x －6，y 0＝2y .∵点M ()x 0，y 0在圆x 2＋y 2＝4上运动，∴x 20＋y 20＝4，即()2x －62＋()2y 2＝4，整理，得()x －32＋y 2＝1.∴点P 的轨迹C 的方程为()x －32＋y 2＝1.(2)设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，直线l 的方程是y ＝kx ＋1， 代入圆()x －32＋y 2＝1.可得()1＋k 2x 2－2()3－k x ＋9＝0，由Δ＝－32k 2－24k >0，得－34<k <0，且x 1＋x 2＝2()3－k 1＋k 2，x 1x 2＝91＋k 2，∴y 1y 2＝()kx 1＋1()kx 2＋1 ＝k 2x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝9k 21＋k 2＋2k ()3－k 1＋k 2＋1＝8k 2＋6k ＋11＋k2. ∴OE →·OF →＝x 1x 2＋y 1y 2＝8k 2＋6k ＋101＋k 2＝12. 解得k ＝12或1，都不满足Δ>0.∴不存在实数k ，使得OE →·OF →＝12.6．(2018·河北省武邑中学模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，354，且两个焦点F 1，F 2的坐标依次为(－1,0)和(1,0)．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设E ，F 是椭圆C 上的两个动点，O 为坐标原点，直线OE 的斜率为k 1，直线OF 的斜率为k 2，若k 1·k 2＝－1，证明：直线EF 与以原点为圆心的定圆相切，并写出此定圆的标准方程． 解 (1)由椭圆定义得2a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫354－02＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫354－02＝4，即a ＝2，又c ＝1，所以b 2＝3，得椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)当直线EF 的斜率存在时，设直线EF 的方程为y ＝kx ＋b ，E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，直线EF 的方程与椭圆方程联立，消去y 得()3＋4k 2x 2＋8kbx ＋4b 2－12＝0，当判别式Δ＝3＋4k 2－b 2>0时， 得x 1＋x 2＝－8kb 3＋4k 2，x 1x 2＝4b 2－123＋4k 2.由已知k 1·k 2＝－1，即y 1y 2x 1x 2＝－1， 因为点E ，F 在直线y ＝kx ＋b 上， 所以()kx 1＋b ()kx 2＋b ＝－x 1x 2， 整理得()k 2＋1x 1x 2＋bk (x 1＋x 2)＋b 2＝0，即()k 2＋1×4b 2－123＋4k 2＋bk ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8kb 3＋4k 2＋b 2＝0，化简得b 2＝12k 2＋127.原点O 到直线EF 的距离d ＝|b |1＋k2，d 2＝b 21＋k 2＝12k 2＋127k 2＋7＝127， 所以直线与一个定圆相切，定圆的标准方程为x 2＋y 2＝127.当直线EF 的斜率不存在时，此时，直线EF 的方程为x ＝±847，满足与定圆x 2＋y 2＝127相切． 故直线EF 与以原点为圆心的定圆相切，定圆的标准方程为x 2＋y 2＝127.。
2019高考数学二轮复习 专题五 解析几何 第3讲 解析几何的综合问题学案
亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……第3讲 解析几何的综合问题[考情考向分析] 江苏高考解析几何的综合问题包括：探索性问题、定点与定值问题、范围与最值问题等，一般试题难度较大．这类问题以直线和圆锥曲线的位置关系为载体，以参数处理为核心，需要综合运用函数与方程、不等式等诸多知识以及数形结合、分类讨论等多种数学思想方法进行求解，对考生的代数恒等变形能力、计算能力等有较高的要求．热点一 最值、范围问题例1 (2018·南通模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左顶点，右焦点分别为A ，F ，右准线为m ，(1)若直线m 上不存在点Q ，使△AFQ 为等腰三角形，求椭圆离心率的取值范围；(2)在(1)的条件下，当e 取最大值时，A 点坐标为(－2,0)，设B ，M ，N 是椭圆上的三点，且OB →＝35OM →＋45ON →，求以线段MN 的中点为圆心，过A ，F 两点的圆的方程．解 (1)设直线m 与x 轴的交点是R ， 依题意FR ≥FA ，即a 2c －c ≥a ＋c ，a 2c ≥a ＋2c ，a c ≥1＋2c a ，1e≥1＋2e ， 2e 2＋e －1≤0,0<e ≤12.(2)当e ＝12且A (－2,0)时，F (1,0)，故a ＝2，c ＝1,所以b ＝3， 椭圆方程是x 24＋y 23＝1，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2) ，则 x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1.由OB →＝35OM →＋45ON →，得 B ⎝ ⎛⎭⎪⎫35x 1＋45x 2，35y 1＋45y 2.因为B 是椭圆C 上一点，所以⎝⎛⎭⎪⎫35x 1＋45x 224＋⎝ ⎛⎭⎪⎫35y 1＋45y 223＝1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x 214＋y 213⎝ ⎛⎭⎪⎫352＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 224＋y 223⎝ ⎛⎭⎪⎫452＋2·35·45⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 24＋y 1y 23＝1，x 1x 24＋y 1y 23＝0，① 因为圆过A ，F 两点， 所以线段MN 的中点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y 1＋y 22， 又⎝⎛⎭⎪⎫y 1＋y 222＝14(y 21＋y 22＋2y 1y 2)＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 214＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 224＋2y 1y 2，②由①和②得⎝⎛⎭⎪⎫y 1＋y 222＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 214＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 224＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 1x 22 ＝34⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－14(x 1＋x 2)2＝34·⎝ ⎛⎭⎪⎫2－14＝2116，所以圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，±214，故所求圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ±2142＝5716.思维升华 处理求最值的式子常用两种方式 (1)转化为函数图象的最值．(2)转化为能利用基本不等式求最值的形式．若得到的函数式是分式形式，函数式的分子次数不低于分母时，可利用分离法求最值；若分子次数低于分母，则可分子、分母同除分子，利用基本不等式求最值(注意出现复杂的式子时可用换元法)．跟踪演练1 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，且点⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，12在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，线段PQ 的中点为H ，O 为坐标原点，且OH ＝1，求△POQ 面积的最大值．解 (1)由已知得ca ＝32，3a 2＋14b2＝1， 解得a 2＝4，b 2＝1，椭圆C 的标准方程是x 24＋y 2＝1.(2)设l 与x 轴的交点为D (n,0)，直线l ：x ＝my ＋n ，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋n ，x 24＋y 2＝1，得(4＋m 2)y 2＋2mny ＋n 2－4＝0，Δ＝16(m 2－n 2＋4)＞0，y 1,2＝－2mn ±(2mn )2－4(4＋m 2)(n 2－4)2(4＋m 2)， 所以y 1＋y 22＝－mn 4＋m 2，y 1y 2＝n 2－44＋m2，所以x 1＋x 22＝m (y 1＋y 2)＋2n2＝4n4＋m2， 即H ⎝ ⎛⎭⎪⎫4n 4＋m2，－mn 4＋m 2， 由OH ＝1，得n 2＝(4＋m 2)216＋m2，则S △POQ ＝12·OD ·|y 1－y 2|＝12|n ||y 1－y 2|，n 2(y 1－y 2)2＝n 2[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2]＝12×16×4＋m2(16＋m 2)2.设t ＝4＋m 2(t ≥4)， 则4＋m 2(16＋m 2)2＝t t 2＋24t ＋144＝1t ＋144t＋24≤148，当且仅当t ＝144t，即t ＝12时取等号，此时S △POQ ＝1，所以△POQ 面积的最大值为1. 热点二 定点问题例2 (2018·全国大联考江苏卷)如图，已知A ，B 是椭圆x 24＋y 23＝1的长轴顶点，P ，Q 是椭圆上的两点，且满足k AP ＝2k QB ，其中k AP ，k QB 分别为直线AP ，QB 的斜率．(1)求证：直线AP 和BQ 的交点R 在定直线上；(2)求证：直线PQ 过定点．证明 (1)根据题意，可设直线AP 的方程为y ＝k AP (x －2)，直线BQ 的方程为y ＝k QB (x ＋2)， 则直线AP 和BQ 的交点R 的横坐标x 0满足x 0＋2x 0－2＝2，即x 0＝6. 因此直线AP 和BQ 的交点R 在定直线x ＝6上. (2)由(1)，可设点R 的坐标为(6，m )，则直线AP 的方程为y ＝m 4(x －2)，直线BQ 的方程为y ＝m8(x ＋2)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝m4(x －2)，x 24＋y23＝1，得(m 2＋12)x 2－4m 2x ＋4(m 2－12)＝0，设P (x P ，y P )，则根据根与系数的关系，得2×x P ＝4(m 2－12)m 2＋12，即x P ＝2(m 2－12)m 2＋12，代入直线AP 的方程得，y P ＝－12mm 2＋12， 故P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2(m 2－12)m 2＋12，－12m m 2＋12.联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝m8(x ＋2)，x 24＋y23＝1，得(m 2＋48)x 2＋4m 2x ＋4(m 2－48)＝0，设Q (x Q ，y Q ), 则－2×x Q ＝4(m 2－48)m 2＋48，即x Q ＝2(48－m 2)m 2＋48，代入直线BQ 的方程得，y Q ＝24mm 2＋48， 故Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫2(48－m 2)m 2＋48，24m m 2＋48， 当2(48－m 2)m 2＋48＝2(m 2－12)m 2＋12，即m 2＝24时， 直线PQ 与x 轴的交点为T ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，0，当2(48－m 2)m 2＋48≠2(m 2－12)m 2＋12，即m 2≠24时，下面证直线PQ 过点T ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，0.k PT －k QT ＝－12m m 2＋12－02(m 2－12)m 2＋12－23－24mm 2＋48－02(48－m 2)m 2＋48－23＝－9m m 2－24－9m24－m2＝0，故直线PQ 过定点T ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，0.思维升华 如果要解决的问题是一个定点问题，我们可以根据特殊情况先找到这个定点，明确解决问题的目标，然后再进行一般性证明．跟踪演练2 如图，在平面直角坐标系xOy 中， 已知圆O ：x 2＋y 2＝4，椭圆C ：x 24＋y 2＝1，A为椭圆右顶点．过原点O 且异于坐标轴的直线与椭圆C 交于B ，C 两点，直线AB 与圆O 的另一交点为P ，直线PD 与圆O 的另一交点为Q ，其中D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，0.设直线AB ，AC 的斜率分别为k 1，k 2.(1)求k 1k 2的值；(2)记直线PQ ，BC 的斜率分别为k PQ ，k BC ，是否存在常数λ，使得k PQ ＝λk BC ？若存在，求λ值；若不存在，说明理由； (3)求证：直线AC 必过点Q .(1)解 设B (x 0，y 0)，则C (－x 0，－y 0)，x 204＋y 20＝1，所以k 1k 2＝y 0x 0－2·y 0x 0＋2＝y 20x 20－4＝1－x 204x 20－4＝－14.(2)解 由题意得直线AP 的方程为y ＝k 1(x －2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1(x －2)，x 2＋y 2＝4，得(1＋k 21)x 2－4k 21x ＋4(k 21－1)＝0， 设P (x p ，y p )，解得x p ＝2(k 21－1)1＋k 21，y p ＝k 1(x p －2)＝－4k 11＋k 21，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1(x －2)，x 24＋y 2＝1，得(1＋4k 21)x 2－16k 21x ＋4(4k 21－1)＝0，设B (x B ，y B )，同理得x B ＝2(4k 21－1)1＋4k 21，y B ＝k 1(x B －2)＝－4k 11＋4k 21，所以k BC ＝y B x B ＝－2k 14k 21－1，k PQ ＝y p x p ＋65＝－4k 11＋k 212(k 21－1)1＋k 21＋65＝－5k 14k 21－1，所以k PQ ＝52k BC ，故存在常数λ＝52，使得k PQ ＝52k BC ，(3)证明 当直线PQ 与x 轴垂直时，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，－85，则k AQ ＝852＋65＝12＝k 2，所以直线AC 必过点Q .当直线PQ 与x 轴不垂直时，直线PQ 方程为y ＝－5k 14k 21－1⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋65， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－5k 14k 21－1⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋65x 2＋y 2＝4，，解得x Q ＝－2(16k 21－1)16k 21＋1，y Q ＝16k 116k 21＋1， 所以k AQ ＝16k 116k 21＋1－2(16k 21－1)16k 21＋1－2＝－14k 1＝k 2， 故直线AC 必过点Q . 综上可知，直线AC 必过点Q . 热点三 定值问题例3 记焦点在同一条轴上且离心率相同的椭圆为“相似椭圆”．已知椭圆E ：x 216＋y 212＝1，以椭圆E 的焦点为顶点作相似椭圆M . (1)求椭圆M 的方程；(2)设直线l 与椭圆E 交于A ，B 两点，且与椭圆M 仅有一个公共点，试判断△ABO 的面积是否为定值(O 为坐标原点)？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．解 (1)由条件知，椭圆M 的离心率e ＝12，且长轴的顶点为(－2,0)，(2,0)，∴椭圆M 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)当直线l 的斜率存在时，设直线l: y ＝kx ＋b .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，x 24＋y23＝1得，()3＋4k 2x 2＋8kbx ＋4b 2－12＝0.令Δ＝64k 2b 2－4()3＋4k 2()4b 2－12＝0得，b 2＝3＋4k 2. 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，x 216＋y 212＝1，化简得()3＋4k 2x 2＋8kbx ＋4b 2－48＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴x 1,2＝－8kb ±64k 2b 2－4(3＋4k 2)(4b 2－48)2(3＋4k 2) ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－8kb 3＋4k 2＝－8kb ，x 1·x 2＝4b 2－483＋4k 2＝4b 2－48b2.∴AB ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(x 1－x 2)2＋k 2(x 1－x 2)2＝1＋k 2||x 1－x 2＝121＋k2||b ，而原点O 到直线l 的距离d ＝||b 1＋k2，∴S △ABO ＝12AB ·d ＝6.当直线l 的斜率不存在时，l ：x ＝2或x ＝－2，则AB ＝6，原点O 到直线l 的距离d ＝2， ∴S △ABO ＝6.综上所述，△ABO 的面积为定值6.思维升华 (1)从特殊开始，求出定值，再证明该值与变量无关：(2)直接推理、计算，在整个过程中消去变量，得定值．跟踪演练3 (2018·苏锡常镇四市调研)如图，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，焦点到相应准线的距离为1，点A ，B ，C 分别为椭圆的左顶点、右顶点和上顶点，过点C 的直线l 交椭圆于点D ，交x 轴于点M (x 1,0)，直线AC 与直线BD 交于点N (x 2，y 2)．(1)求椭圆的标准方程；(2)若CM →＝2MD →，求直线l 的方程； (3)求证：x 1x 2为定值． (1)解 由椭圆的离心率为22，焦点到对应准线的距离为1. 得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，a 2c －c ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝2，c ＝1，所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)解 由(1)知C (0,1)，设D (x 0，y 0)， 由CM →＝2MD →，得2y 0＝－1，所以y 0＝－12，代入椭圆方程得x 0＝62或－62， 所以D ⎝⎛⎭⎪⎫62，－12或D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，－12，所以k l ＝－12－162－0＝－62或k l ＝－12－1－62－0＝62.所以直线l 的方程为6x －2y ＋2＝0或6x ＋2y －2＝0.(3)证明 设D (x 3，y 3)，由C (0,1)，M (x 1,0)可得直线CM 的方程为y ＝－1x 1x ＋1,联立椭圆方程得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1x1x ＋1，x22＋y 2＝1，解得x 3＝4x 1x 21＋2，y 3＝x 21－2x 21＋2.由B (2，0) ，得直线BD 的方程为y ＝x 21－2－2x 21＋4x 1－22(x －2)， 因为点N (x 2，y 2)在直线BD 上，所以y 2＝x 21－2－2x 21＋4x 1－22(x 2－2)，① 直线AC 的方程为y ＝22x ＋1，因为点N (x 2，y 2)在直线AC 上，所以y 2＝22x 2＋1，② 联立①②得x 2＝2x 1，从而x 1x 2＝2为定值．1．(2017·江苏)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为12，两准线之间的距离为8.点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点F 1作直线PF 1的垂线l 1，过点F 2作直线PF 2的垂线l 2.(1)求椭圆E 的标准方程；(2)若直线l 1，l 2的交点Q 在椭圆E 上，求点P 的坐标． 解 (1)设椭圆的半焦距为c .因为椭圆E 的离心率为12，两准线之间的距离为8，所以c a ＝12，2a 2c＝8，解得a ＝2，c ＝1，于是b ＝a 2－c 2＝3，因此椭圆E 的标准方程是x 24＋y 23＝1.(2)由(1)知，F 1(－1,0)，F 2(1,0)．设P (x 0，y 0)， 因为P 为第一象限的点，故x 0＞0，y 0＞0. 当x 0＝1时，l 2与l 1相交于F 1，与题设不符． 当x 0≠1时，直线PF 1的斜率为y 0x 0＋1，直线PF 2的斜率为y 0x 0－1.因为l 1⊥PF 1，l 2⊥PF 2， 所以直线l 1的斜率为－x 0＋1y 0， 直线l 2的斜率为－x 0－1y 0， 从而直线l 1的方程为y ＝－x 0＋1y 0(x ＋1)，① 直线l 2的方程为y ＝－x 0－1y 0(x －1)．② 由①②，解得x ＝－x 0，y ＝x 20－1y 0，所以Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 0，x 20－1y 0. 因为点Q 在椭圆上，由对称性，得x 20－1y 0＝±y 0，即x 20－y 20＝1或x 20＋y 20＝1. 又点P 在椭圆上，故x 204＋y 203＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧ x 20－y 20＝1，x 204＋y 23＝1，解得x 0＝477，y 0＝377，由⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋y 20＝1，x 204＋y 23＝1，无解．因此点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫477，377.2．(2018·苏州调研)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为 2，一条准线方程为x ＝2，P 为椭圆C 上一点，直线PF 1交椭圆C 于另一点Q .(1)求椭圆C 的方程；(2)若点P 的坐标为()0，b ，求过P ，Q ，F 2三点的圆的方程； (3)若F 1P →＝λQF 1→，且λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，求OP →·OQ →的最大值． 解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2c ＝2，a2c ＝2，解得c ＝1，a 2＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝1.所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1. (2)因为P (0,1)，F 1(－1,0)， 所以PF 1的方程为x －y ＋1＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，x 22＋y 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－43，y ＝－13，所以点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，－13.设过P ，Q ，F 2三点的圆为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 则⎩⎪⎨⎪⎧1＋E ＋F ＝0，1＋D ＋F ＝0，179－43D －13E ＋F ＝0，解得D ＝13，E ＝13，F ＝－43.所以圆的方程为x 2＋y 2＋13x ＋13y －43＝0.(3)设P ()x 1，y 1，Q ()x 2，y 2，则F 1P →＝(x 1＋1，y 1)，QF 1→＝(－1－x 2，－y 2)． 因为F 1P →＝λQF 1→，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋1＝λ(－1－x 2)，y 1＝－λy 2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－1－λ－λx 2，y 1＝－λy 2，所以(－1－λ－λx 2)22＋λ2y 22＝1，x 222＋y 22＝1，解得x 2＝1－3λ2λ.所以OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 2()－1－λ－λx 2－λy 22 ＝－λ2x 22－(1＋λ)x 2－λ＝－λ2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3λ2λ2－()1＋λ1－3λ2λ－λ ＝74－58⎝⎛⎭⎪⎫λ＋1λ，因为λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，所以λ＋1λ≥2，当且仅当λ＝1λ，即λ＝1时取等号．所以OP →·OQ →≤12，即OP →·OQ →的最大值为12.A 组 专题通关1．已知抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点F 是椭圆y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)的一个焦点，若P ，Q 是椭圆与抛物线的公共点，且直线PQ 经过焦点F ，则该椭圆的离心率为______． 答案2－1解析 方法一 由抛物线方程，得焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2.由椭圆方程，可得上焦点为(0，c )， 故p2＝c ， 将y ＝c 代入椭圆方程可得x ＝±b 2a.又抛物线通径为2p ， 所以2p ＝2b2a＝4c ，所以b 2＝a 2－c 2＝2ac ，即e 2＋2e －1＝0，解得e ＝2－1.方法二 如图所示，由抛物线方程以及直线y ＝p2，可得Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫p ，p 2.又p2＝c ，即Q (2c ，c )， 代入椭圆方程可得c 2a 2＋4c 2b2＝1，化简可得e 4－6e 2＋1＝0，解得e 2＝3－22，e 2＝3＋22>1(舍去)， 即e ＝3－22＝2－1(负值舍去)．2．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP→的最大值为________． 答案 6解析 由题意得F (－1,0)，设点P (x 0，y 0)，则y 20＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 204(－2≤x 0≤2)． OP →·FP →＝x 0(x 0＋1)＋y 20＝x 20＋x 0＋y 20＝x 20＋x 0＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 204＝14(x 0＋2)2＋2.又因为－2≤x 0≤2，所以当x 0＝2时，OP →·FP →取得最大值6.3．已知两定点A (－1,0)和B (1,0)，动点P (x ，y )在直线l ：y ＝x ＋2上移动，椭圆C 以A ，B 为焦点且经过点P ，则椭圆C 的离心率的最大值为________． 答案105解析 A (－1,0)关于直线l ：y ＝x ＋2的对称点为A ′(－2,1)，连结A ′B 交直线l 于点P ，则椭圆C 的长轴长的最小值为A ′B ＝(1＋2)2＋1＝10，所以椭圆C 的离心率的最大值为c a＝1102＝105. 4．如图，已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段PF 2与圆x 2＋y 2＝b 2相切于点Q ，且点Q 为线段PF 2的中点，则椭圆C 的长轴长是短轴长的________倍．答案 32解析 连结PF 1，OQ ，则PF 1＝2OQ ＝2b ，PF 1⊥PF 2， 由PF 21＋PF 22＝F 1F 22，得(2b )2＋(2a －2b )2＝(2c )2，解得b a ＝23，故2a 2b ＝32.5．(2018·江苏省扬州树人学校模拟)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的短轴长为22，离心率为63. (1)求椭圆C 的方程；(2)已知A 为椭圆C 的上顶点，点M 为x 轴正半轴上一点，过点A 作AM 的垂线AN 与椭圆C 交于另一点N ，若∠AMN ＝60°，求点M 的坐标． 解 (1)因为椭圆C 的短轴长为22，离心率为63， 所以⎩⎪⎨⎪⎧2b ＝22，c a ＝63，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝6，b ＝2，c ＝2，所以椭圆C 的方程为x 26＋y 22＝1.(2)因为A 为椭圆C 的上顶点，所以A (0，2)． 设M (m,0)(m >0)，则k AM ＝－2m.又AM ⊥AN ，所以k AN ＝m2，所以直线AN 的方程为y ＝m2x ＋ 2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝m2 x ＋2，x 26＋y 22＝1，消去y ，整理得(2＋3m 2)x 2＋12mx ＝0，所以x N ＝－12m 3m 2＋2，y N ＝m 2×－12m3m 2＋2＋2，所以AN ＝(x N －0)2＋(y N －2)2＝2＋m 22×12m3m 2＋2， 在Rt△AMN 中，由∠AMN ＝60°，得AN ＝3AM ， 所以2＋m22×12m 3m 2＋2＝3×2＋m 2，解得m ＝63. 所以点M 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫63，0. 6．已知椭圆C ：x 2m2＋y 2＝1(常数m ＞1)，点P 是C 上的动点，M 是右顶点，定点A 的坐标为(2,0)．(1)若M 与A 重合，求C 的焦点坐标； (2)若m ＝3，求PA 的最大值与最小值； (3)若PA 的最小值为MA ，求m 的取值范围．解 (1)m ＝2，椭圆方程为x 24＋y 2＝1，c ＝4－1＝3，∴左、右焦点坐标为(－3，0)，(3，0)． (2)m ＝3，椭圆方程为x 29＋y 2＝1，设P (x ，y )，则PA 2＝(x －2)2＋y 2＝(x －2)2＋1－x 29＝89⎝⎛⎭⎪⎫x －942＋12(－3≤x ≤3)，∴当x ＝94时，(PA )min ＝22，当x ＝－3时，(PA )max ＝5. (3)设动点P (x ，y )，则PA 2＝(x －2)2＋y 2＝(x －2)2＋1－x 2m2＝m 2－1m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2m 2m 2－12－4m 2m 2－1＋5(－m ≤x ≤m )，∵当x ＝m 时，PA 取最小值，且m 2－1m2＞0，∴2m2m 2－1≥m 且m ＞1， 解得1＜m ≤1＋ 2.7．(2018·江苏)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12，焦点为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，圆O 的直径为F 1F 2.(1)求椭圆C 及圆O 的方程；(2)设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P .①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标； ②直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．若△OAB 的面积为267，求直线l 的方程． 解 (1)因为椭圆C 的焦点为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．又点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12在椭圆C 上， 所以⎩⎪⎨⎪⎧3a 2＋14b2＝1，a 2－b 2＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.因此，椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. 因为圆O 的直径为F 1F 2，所以其方程为x 2＋y 2＝3. (2)①设直线l 与圆O 相切于点P (x 0，y 0)(x 0＞0，y 0＞0)， 则x 20＋y 20＝3，所以直线l 的方程为y ＝－x 0y 0(x －x 0)＋y 0，即y ＝－x 0y 0x ＋3y 0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝－x 0y 0x ＋3y 0，消去y ，得(4x 20＋y 20)x 2－24x 0x ＋36－4y 20＝0.(*) 因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点， 所以Δ＝(－24x 0)2－4(4x 20＋y 20)·(36－4y 20)＝48y 20(x 20－2)＝0. 因为x 0＞0，y 0＞0， 所以x 0＝2，y 0＝1.因此，点P 的坐标为(2，1)． ②因为△OAB 的面积为267，所以12AB ·OP ＝267，从而AB ＝427.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由(*)得x 1,2＝24x 0± 48y 20(x 20－2)2(4x 20＋y 20)，所以AB 2＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 20y 20·48y 20(x 20－2)(4x 20＋y 20)2. 因为x 20＋y 20＝3，所以AB 2＝16(x 20－2)(x 20＋1)2＝3249，即2x 40－45x 20＋100＝0， 解得x 20＝52(x 20＝20舍去)，则y 20＝12，代入Δ＝48y 20(x 20－2)＞0，满足题意， 因此点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫102，22. 所以直线l 的方程为y ＝－5x ＋32，即5x ＋y －32＝0.B 组 能力提高8.如图，在平面直角坐标系xOy 中，焦点在x 轴上的椭圆C ：x 28＋y 2b 2＝1经过点(b,2e )，其中e 为椭圆C 的离心率．过点T (1,0)作斜率为k (k ＞0)的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点(A 在x轴下方)．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点O 且平行于l 的直线交椭圆C 于点M ，N ，求AT ·BTMN 2的值； (3)记直线l 与y 轴的交点为P .若AP →＝25TB →，求直线l 的斜率k .解 (1)因为椭圆x 28＋y 2b 2＝1经过点(b,2e )，所以b 28＋4e 2b2＝1.因为e 2＝c 2a 2＝c 28，所以b 28＋c 22b2＝1.因为a 2＝b 2＋c 2，所以b 28＋8－b 22b2＝1.整理得 b 4－12b 2＋32＝0， 解得b 2＝4或b 2＝8(舍) .所以椭圆C 的标准方程为x 28＋y 24＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．因为T (1,0)，所以直线l 的方程为y ＝k (x －1)．联立直线l 与椭圆方程得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 28＋y24＝1，消去y ，得(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－8＝0， 所以x 1,2＝4k 2±16k 4－4(2k 2＋1)(2k 2－8)2(2k 2＋1)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－82k 2＋1.因为MN ∥l ，所以直线MN 的方程为y ＝kx ，联立直线MN 与椭圆方程得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 28＋y24＝1，消去y ，得 (2k 2＋1)x 2＝8，解得x 2＝82k 2＋1.因为MN ∥l ，所以AT ·BT MN 2＝(1－x 1)·(x 2－1)(x M －x N )2. 因为(1－x 1)·(x 2－1)＝－[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1] ＝72k 2＋1， (x M －x N )2＝4x 2＝322k 2＋1， 所以AT ·BT MN 2＝(1－x 1)·(x 2－1)(x M －x N )2＝72k 2＋1·2k 2＋132＝732. (3)在y ＝k (x －1)中，令x ＝0， 则y ＝－k ，所以P (0，－k )，从而AP →＝(－x 1，－k －y 1)，TB →＝(x 2－1，y 2)． 因为AP →＝25TB →，所以－x 1＝25(x 2－1)，即x 1＋25x 2＝25.由(2)知⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－82k 2＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1＋25x 2＝25，解得 x 1＝－4k 2＋23(2k 2＋1)，x 2＝16k 2－23(2k 2＋1). 因为x 1x 2＝2k 2－82k 2＋1，所以－4k 2＋23(2k 2＋1)×16k 2－23(2k 2＋1)＝2k 2－82k 2＋1， 整理得50k 4－83k 2－34＝0， 解得k 2＝2或k 2＝－1750 (舍) .又因为k ＞0，所以k ＝ 2.9.如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的顶点分别为A 1，A 2，B 1，B 2，1221A B A B S 四边形＝4，直线y＝x ＋2与圆O ：x 2＋y 2＝b 2相切．(1)求椭圆C 的离心率；(2)若P 是椭圆C 上除顶点外的任意一点，直线A 1P 交y 轴于点F ，直线A 1B 1交直线B 2P 于点E ，问直线EF 是否过定点．若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．解 (1)因为直线y ＝x ＋2与圆O 相切，由点到直线的距离公式得，|0－0＋2|12＋(－1)2＝22＝b ，即b ＝1.又1221A B A B S 四边形＝4，所以12×2a ×2b ＝4，所以a ＝2，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1，离心率e ＝c a ＝32. (2)由题意知直线B 2P 的斜率存在，设直线B 2P 的斜率为k ，由(1)可知，A 1(－2,0)，B 1(0，－1)，B 2(0,1)，则直线B 2P 的方程为y ＝kx ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 24＋y 2＝1，得(1＋4k 2)x 2＋8kx ＝0，其中xB 2＝0，所以x P ＝－8k1＋4k2. 所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 1＋4k 2，1－4k 21＋4k 2，易知k ≠0，且k ≠±12.则直线A 1P 的斜率1A P k ＝1－4k21＋4k 2－8k 1＋4k 2＋2＝－2k ＋12(2k －1)，直线A 1P 的方程为y ＝－2k ＋12(2k －1)(x ＋2)，令x ＝0，则y ＝－2k ＋12k －1，即F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－2k ＋12k －1.尚水出品 易知直线A 1B 1的方程为x ＋2y ＋2＝0， 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＋2＝0，y ＝kx ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－42k ＋1，y ＝－2k －12k ＋1，所以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－42k ＋1，－2k －12k ＋1， 所以直线EF 的斜率k 0＝－2k ＋12k －1＋2k －12k ＋142k ＋1＝－2k 2k －1， 所以直线EF 的方程为y ＝－2k 2k －1x －2k ＋12k －1， 即2k (x ＋y ＋1)－(y －1)＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＋1＝0，y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，y ＝1， 所以直线EF 过定点(－2,1)．。
高三数学二轮复习教学案例------解析几何综合题
高三数学二轮复习教学案例------解析几何综合题一、知识点概括：解析几何综合题是高考命题的热点内容之一. 这类试题往往以解析几何知识为载体，综合函数、不等式、三角、数列等知识，所涉及到的知识点较多，对解题能力考查的层次要求较高，考生在解答时，常常表现为无从下手，或者半途而废。
解决这一类问题的关键在于：通观全局，局部入手，整体思维. 即在掌握通性通法的同时，不应只形成一个一个的解题套路，解题时不加分析，跟着感觉走，做到那儿算那儿. 而应当从宏观上去把握，从微观上去突破，在审题和解题思路的整体设计上下功夫，不断克服解题征途中的道道运算难关.二、教学过程 考点1 判别式应用例1 已知双曲线122:22=-x y C ，直线l 过点()0,2A ，斜率为k ，当10<<k 时，双曲线的上支上有且仅有一点B 到直线l 的距离为2，试求k 的值及此时点B 的坐标。
分析1：解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科，因此，数形结合必然是研究解析几何问题的重要手段. 从“有且仅有”这个微观入手，对照草图，不难想到：过点B 作与l 平行的直线，必与双曲线C 相切. 而相切的代数表现形式是所构造方程的判别式0=∆. 由此出发，可设计如下解题思路：()10)2(:<<-=k x k y lk k kx y l 2222:'-++=把直线l ’的方程代入双曲线方程，消去y ，令判别式0=∆直线l ’在l 的上方且到直线l 的距离为2的值解得k解题过程略. 分析2：如果从代数推理的角度去思考，就应当把距离用代数式表达，即所谓“有且仅有一点B 到直线l 的距离为2”，相当于化归的方程有唯一解. 据此设计出如简解：设点)2,(2x x M +为双曲线C 上支上任一点，则点M 到直线l 的距离为：212222=+-+-k kx kx ()10<<k ()*于是，问题即可转化为如上关于x 的方程.由于10<<k ，所以kx x x >>+22，从而有.222222k x kx k x kx +++-=-+-于是关于x 的方程()*⇔)1(22222+=+++-k k x kx⇔()⎪⎩⎪⎨⎧>+-++-+=+02)1(2,)2)1(2(222222kx k k kx k k x⇔()()()⎪⎩⎪⎨⎧>+-+=--++-++-.02)1(2,022)1(22)1(221222222kx k k kkx k k k x k由10<<k 可知：方程()()()022)1(22)1(22122222=--++-++-k kx k k k x k 的二根同正，故02)1(22>+-+kx k k 恒成立，于是()*等价于()()()022)1(22)1(22122222=--++-++-k kx k k k x k.由如上关于x 的方程有唯一解，得其判别式0=∆，就可解得 552=k . 考点2 判别式与韦达定理应用 例2 已知椭圆C:和点P （4，1），过P 作直线交椭圆于A 、B 两点，在线段AB 上取点Q ，使，求动点Q 的轨迹所在曲线的方程.分析：这是一个轨迹问题，解题困难在于多动点的困扰，学生往往不知从何入手。
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高考冲刺： 解析几何综合问题【高考展望】1.坐标法、曲线的方程与方程的曲线是解析几何的学科基础，应在理解的基础上会应用；2.点、直线、圆、圆锥曲线是解析几何重点研究的基本图形，其方程、几何性质是高中解析几何重点研究的内容，也是高考考查的重点；3.几何性质与方程的对应关系是正确理解解析几何问题的关键，也是正确解决解析几何问题的关键；4.数形结合的数学思想方法是解决解析几何的根本方法，是解决解析几何综合问题的基本思路. 【知识升华】知识点一： 曲线的方程和方程的曲线的关系一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C （看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程,0f x y =（）的实数解建立了如下的关系：（1）曲线C 上所有点的坐标都是方程,0f x y =（）的解； （2）以方程,0f x y =（）的解为坐标的点都在曲线C 上.那么，方程,0f x y =（）叫做曲线C 的方程；曲线C 叫做方程,0f x y =（）的曲线. 知识点二：求曲线的方程1.坐标法的定义：在直角坐标系中，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标（x ，y ）所满足的方程(,)0f x y =表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质.这就是坐标法.2.坐标法求曲线方程的步骤：建系→设点→点满足的几何条件坐标化→整理化简成最简形式→证明（可省略，但必须删去增加的或者补上丢失的解）3．求轨迹方程的常用方法：直接法、定义法、代入法、参数法等。
解析几何综合问题369357 知识要点】知识点三：有关圆锥曲线综合题类型 (1)求圆锥曲线方程一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤： 定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置，如果位置不确定时，考虑是否多解。
此时注意数形结合，在图形上标出已知条件，检查轴上的点、垂直于轴的直线的位置是否准确等。
定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx 2+ny 2=1(m ＞0,n ＞0)定量——由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小。
此处注意n 个未知数，列够n 个独立的方程，并注意“点在线上”条件及韦达定理的使用。
要点诠释：求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点，主要考查学生识图、画图、数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理、合理运算及创新思维能力，解决好这类问题，除要求同学们熟练掌握好圆锥曲线的定义、性质外，命题人还常常将它与对称问题、弦长问题、最值问题等综合在一起命制难度较大的题，解决这类问题常用定义法和待定系数法(2)求取值范围或最值①函数方法----将待求范围参数表示为另一个变量的函数，注意求函数的定义域。
②方程与不等式组----n 个未知数，列够n 个独立方程或不等式，注意归纳总结列不等式的方法：③利用几何性质求参数范围；④利用不等式性质(结合几何性质)求参数范同．知识点四：解析几何问题中，解决运算问题的几点措施：解析几何图形结构、问题结构多，且易于发散，一旦形成为图形或知识点的综合，往往最具运算量、最为繁难复杂．因此，有时即便是明确了解法甚至较细的步骤，解题过程当中也常常被卡住，算不到底、算不出正确结果也是常有的事。
因此，如何解决运算量问题，对于解题成功与否至关重要．解决运算问题，可以有以下措施：(1)不断提高运算和恒等变形能力。
注意培养观察问题、分析问题、转化问题、解决问题的能力，避免思维定势，提高思维灵活性；具体审题中多收集些信息，综观全局，权衡利弊，再决定解题策略；加强训练运算基本功，不断提高恒等变形的能力．(2)善于运用平面几何性质来解题问题。
解题处理方式不同，可能繁简大相径庭，若考虑问题的几何特征，充分利用图形几何性质，对于解决运算量会大有裨益，这一点对于圆锥曲线综合题的处理很重要．(3)注意解析法与各种数学方法结合。
当所求点的坐标直接解决有困难时，往往引进参数或参数方程起到解决问题的桥梁作用，引进合适的参数，进行设而不求的计算方式，在解析几何中是普遍的，但应注意不断积累消参经验；相应元替换法也是常用的策略． 【典型例题】类型一：解析几何中最值问题例1.设椭圆的中心在原点,焦点在x 轴上,离心率23=e .已知点)23,0(P 到这个椭圆上的点的最远距离为7,求这个椭圆方程. 并求椭圆上到点P 的距离等于7的点的坐标.【解析】设椭圆方程为)0(12222>>=+b a by a x , ),(y x M 为椭圆上的点,由23=a c 得b a 2= )(,34)21(3)23(22222b y b b y y x AM ≤≤-+++-=-+=若21<b ,则当b y -=时2AM 最大,即7)33(2=--b ,21237>-=∴b ,故矛盾.若21≥b 时,21-=y 时7342=+b , 12=b所求方程为 1422=+y x把12y =-代入，求得M 的坐标是(─3,─21)或(3,─21). 举一反三：【变式1】定长为3的线段AB ，其两端点在抛物线2y x =上移动，设AB 中点为M ，求点M 到y 轴的最短距离，并求此时M 点的坐标.【解析一】作准线l :12x =-， 过A 、B 、M 分别作AA l '⊥,BB l '⊥、MM l '⊥,垂足A '、B '、M '，且MM '交y 轴于N ， 连结AF 、BF .111||||(||||)424MN MM AA BB '''=-=+-11115(||||)(||)24244AF BF AB =+-≥-= ∴当线段AB 过焦点F 时，min 5||4MN =，此时54M x =.此时设过焦点F 的直线AB 的方程为1()4y k x =-（0k ≠），则由21()4y k x y x⎧=-⎪⎨⎪=⎩消去y 得2221(1)0216k k x x -++=21221112||||||322k AB AF BF x x k +=+=++=+= 即2221322k k ++= 解得22k =± ∴221)22M M y x =±-=± 故当52(,42M ±时，点M 到y 轴最短距离为45. 【解析二】设11(,)A x y 、22(,)B x y 、(,)M x y ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+==)4.........(2)3(..........2)2(..........)1...(. (21)21222121y y y x x x x y x y(1)+(2)得221212y y x x +=+，由(3)有22122y y x += …………(5) (3)2-(5)得2122y y y x =- (6)∵||3AB =，∴221212()()9x x y y -+-= 即22221212()()9y y y y -+-=221212()[()1]9y y y y -++=22121212[()4][()1]9y y y y y y +-++=∴222[(2)4(2)][(2)1]9y y x y --+=∴ 2222294(41)191()14(41)4416()4y y x y y y ++==++-++1544≥=（当且仅当22911416()4y y =++即2y =±时，min 54d =且5(,42M ±）. 例2.(2018 山东高考)(本小题满分13分)平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的离心率为2，左、右焦点分别为F 1,F 2,以F 1为圆心以3为半径的圆与以F 2为圆心以1为半径的圆相交,且交点在椭圆C 上. (1)求椭圆C 的方程.(2)设椭圆E ：2222144x y a b+=,P 为椭圆C 上任意一点,过点P 的直线y=kx+m 交椭圆E 于A,B两点,射线PO 交椭圆E 于点Q. (ⅰ)求||||OQ OP 的值; (ⅱ)求△ABQ 面积的最大值.【思路点拨】(1)由离心率e 和2a=r 1+r 2可求a,b,c.(2)将直线y=kx+m 与椭圆E 和椭圆C 联立消y,再根据二次方程根与系数的关系求解面积的最大值.【解析】(1)因为两圆的公共点在椭圆C 上,所以2a=3+1=4,a=2. 又因为椭圆C的离心率为c e a ==,所以222 1.c b a c ==-= 即椭圆C 的方程为2214x y +=.. (2)(ⅰ) 椭圆E ：221164x y +=. 设00(,)P x y 是椭圆C 上任意一点，则220044x y +=.直线OP ：0y y x x =与椭圆E ：221164x y +=联立消y 得22222000222000416(1)16,44y x x x x x x y +===+，所以00(2,2)Q x y --.即0022OQ x OPx -==.(ⅱ) 因为点00(,)P x y 在直线y kx m =+上，所以00y kx m =+，点00(2,2)Q x y --到直线y kx m =+的距离为d ==将y kx m =+与221164x y +=联立消y 得222(14)84160k x kmx m +++-=，由0∆>可得22416m k <+. ①设1122(,),(,)A x y B x y ，则21212228416,1414km m x x x x k k -+=-=++，所以12x x -=直线y=kx+m 与y 轴交点为(0,m),所以△OAB 面积121||2OABx x S m ∆-===，令2214m t k =+，则OAB S ∆==.将y kx m =+与2214x y +=联立消y 得222(14)8440k x kmx m +++-=，由0∆≥可得2214m k ≤+. ②由①②可知01t <≤，因此OAB S ∆≤=1t =即2214m k =+时取得最大值），注意到3ABQ OAB S S ∆∆=，所以3ABQ OAB S S ∆∆=≤即ABQ ∆的面积的最大值为举一反三：【变式1】(2018 天津高考)(本小题满分14分)已知椭圆22221x y a b += (a>b>0)的左焦点为F(-c,0),点M 在椭圆上且位于第一象限,直线FM 被圆x 2+y 2=2b 4错误!未找到引用源。
截得的线段的长为c,|FM|=3错误!未找到引用源。