26.1.2二次函数课件(讲课)
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26.1.2二次函数图像和性质00
演示
向上
顶点从(0,0)移到了 (0,–2)，即x=0时， y取最大值–2
5 4 3 2 1
y
顶点从(0,0)移到了 (0, 2)，即x=0时， y取最大值2
x 1 2 3 4 5
–5 –4 –3 –2 –1 O –1 –2 1 2 y x 2 –3 3 –4 –5
1 2 y x 2 3 1 2 y x 3
下 3、函数y =-2(x+1)2的图象开口向____，对称轴 (-1,0) 是____________，顶点坐标是________，当 直线x=-1
大 < -1 0 -1 x=____时，函数有最____值为____；当x_____
> -1 时，y随x的增大而增大，当x_____时， y随x的 增大而减小。 4、抛物线y=3x2-4，y=3(x-1)2与抛物线y=3x2 位置 形状 的_______相同，_______不同。抛物线y=3x2-4 是由抛物线y=3x2向____平移____单位而得到； 下 4 右 抛物线y=3(x-1)2是由抛物线y=3x2向____平移 1 ____单位而得到。
y=a(x-h)2 (a≠0) 开口方向 顶点坐标 对称轴 增 减 性
a>0
a<0
向上 (h ,0) x=h
当x<h时， y随着x的增大而减小。 当x>h时， y随着x的增大而增大。
向下 (h ,0) x=h
当x<h时, y随着x的增大而增大。 当x>h时， y随着x的增大而减小。
极值
x=h时,y最小值=0
1y 2x 3
2
向上
2
直线x=3 直线x= –1
直线x=0 (Y轴)
向上
顶点从(0,0)移到了 (0,–2)，即x=0时， y取最大值–2
5 4 3 2 1
y
顶点从(0,0)移到了 (0, 2)，即x=0时， y取最大值2
x 1 2 3 4 5
–5 –4 –3 –2 –1 O –1 –2 1 2 y x 2 –3 3 –4 –5
1 2 y x 2 3 1 2 y x 3
下 3、函数y =-2(x+1)2的图象开口向____，对称轴 (-1,0) 是____________，顶点坐标是________，当 直线x=-1
大 < -1 0 -1 x=____时，函数有最____值为____；当x_____
> -1 时，y随x的增大而增大，当x_____时， y随x的 增大而减小。 4、抛物线y=3x2-4，y=3(x-1)2与抛物线y=3x2 位置 形状 的_______相同，_______不同。抛物线y=3x2-4 是由抛物线y=3x2向____平移____单位而得到； 下 4 右 抛物线y=3(x-1)2是由抛物线y=3x2向____平移 1 ____单位而得到。
y=a(x-h)2 (a≠0) 开口方向 顶点坐标 对称轴 增 减 性
a>0
a<0
向上 (h ,0) x=h
当x<h时， y随着x的增大而减小。 当x>h时， y随着x的增大而增大。
向下 (h ,0) x=h
当x<h时, y随着x的增大而增大。 当x>h时， y随着x的增大而减小。
极值
x=h时,y最小值=0
1y 2x 3
2
向上
2
直线x=3 直线x= –1
直线x=0 (Y轴)
《二次函数》PPT优秀课件
。
• 3.观察上述函数函数关系有哪些共同之处？ 。
归纳总结
• 一般地，形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数且a≠0)的函数，叫 做二次函数。其中x是自变量，a叫做二次项系数，b叫做一次项 系数，c叫做常数项．
• 注意：判断二次函数注意自变量最高次数为2，且二次项系数不为0
03 例题练习
例题
练习
• 1.某厂今年一月份新产品的研发资金为a元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率
都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y(元)关于x的函数关系式为y＝
．
• 2．多边形的对角线条数d与边数n之间的关系式为
为
；当d＝35时，多边形的边数n＝
．
，自变量n的取值范围是 且
练习
3.已知两个变量x，y之间的关系为y＝(m－2)xm2－2＋x－1，若x，y之间是二次函数关系， 求m的值．
4．如图，有一个长为24米的篱笆，一面利用墙(墙的最大长度a为10米)围成的中间隔有一道 篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米． (1)求S与x的函数关系式； (2)如果要围成面积为45平方米的花圃，AB的长为多少米？
04 作业布置
作业布置
1．下列函数是二次函数的是( )
A．y＝2x＋1
二次函数
01
教学目标
目录
02 03
知识点框架
例题练习
04
作业布置
01
教学目标
掌握二次函数的定义并能根据实际问题列出二次函数解析式
02 知识点框架
二、新课讲授
• 1.设一个正方形的边长为x，则该正方形的面积y=
。
• 2.用一根长为40的铁丝围成一个半径为的扇形，求扇形的面积与它的半径之
26.1二次函数课件(共26张PPT)
想一想
生活问题数学化
果园共有（100+x）棵树,平均每棵树结 （600-5x）个橙子,因此果园橙子的总产量 y=(100+x)(600-5x)=-5x² பைடு நூலகம்100x+60000 在上述问题中,种多少棵橙子树,可以使果 园橙子的总产量最多？
X/棵 Y/个
你能根据表格中的数据作出猜想 吗
1
2
3
4
5 6
=30a-a²
= -a²+30a .
是二次函数关系式.
小试牛刀
心动不如行动
如果函数y=
0或3 则k的值一定是______
x
k 3k 2
2
+kx+1是二次函数,
如果函数y=(k-3) x +kx+1是二 0 次函数,则k的值一定是______
k 2 3k 2
小结
拓展
回
味
无
穷
定义中应该注意的几个问题:
设人民币一年定期储蓄的年利率是x,一年到 期后,银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转 存.如果存款是100元,那么请你写出两年后的本 息和y(元)的表达式(不考虑利息税).
?
y=100(x+1)² =100x² +200x+100
思索归纳
二次函数
y=-5x²+100x+60000 y=100x²+200x+100
想一想
源于生活的数学
某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600 个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但 是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所 接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一 棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.
数学：26.1《二次函数》(第2课时)课件(人教新课标九年级下)
又想起朋友说市中心还有一家属于国家正规医院，看的也非常好。打听到位置，离得不是太远，便步行而去。走到医院门口的不远处，就看到一个环形的高楼矗立在眼前，里面全是病房和科室，前 台一番咨询后，才在二楼的转角处找到了那个皮肤科，女医生看了看说是过敏性皮炎，然后叮嘱我不要吃辛辣食品，不要用任何化妆品，还说她开的药若用了不管用，还得做过敏源的检查，检查费得一 千多，听的我心里如长了草一样难受。最后她同样是开了一大串天文数字一样的处方单，让我去取药，走到楼梯处见四处无人便用手机偷偷拍下那个处方单，心里想着回去让我们镇上的李医生看看她这 处方里配的是啥药，拍完后便辗转到一楼的药房窗口，把处方单递了进去，双手抓着窗棱看着女护士在计算机上噼噼啪啪的摁着键盘上的数，随着她手指快速的敲击计声我的心也跟着跳起来，我像等着 宣判一样的睁着仅有一条缝的眼睛望着女护士的手，终于，她停下敲击声的手在纸上挥笔写着什么，然后头也没抬的说398……一时我抓着窗棱的两只手不知该放哪里，就一个脸过敏，就得好几百，此时 的心疼胜过脸疼。踌躇了一下，我决定还是故伎重演，二话没说就撤了。
经朋友介绍说市里有一家私人医院，专门看各类皮肤病的，无奈打车直接去了这家皮肤科。一下车就看见两扇透亮的玻璃门上贴着红色的字样——“专治各类皮肤问题。”推门进去，右侧是药房， 左侧是吧台。白色的地板光可鉴人。往里走便是一个小小的院落，放着长条椅，台阶上全是各类绿色植物，环境甚是优越。因前面还有其他病人叫进了他的诊疗室。经过一番仔细的询问，那医生便给我开了一整张处方单的药，密密麻麻的写着洋文一样的字，我一个都不认得，拿着药单到药房一划价485，一听药价吓了一跳，只 好委婉的说待会过来拿，逃一样的离开了那个诊所。千人斩
2二次函数课件16张华东师大版九年级数学下册
1.下列函数是二次函数的是 ( C )
A．y＝2x＋1 C．y＝3x2＋1
B． y 2
x
D．
y
1 x2
1
学习目标
自主学习
合作探究
当堂检测
课堂总结
2．若函数y=(a-4)xa²-3a-2+a是二次函数，求：
求a的值.
求函数关系式.
当x=-2时，y的值是多少？
解： 由题意得
a²-3a-2=2， a-4≠0，
分析：销售利润=（售价-进价）×销售量.
根据题意，求出这个函数关系式.
y (10 x 8)(100 100x) (0 x 2) y 100x2 100x 200 (0 x 2)
想一想，为什么要 限定0≤x≤2？
学习目标
自主学习
合作探究
当堂检测
课堂总结
想一想 问题1-2中函数关系式有什么共同点?
y=6x2
函数都是用自变 量的二次整式表 示的
y 100x2 100x 200 (0 x 2)
学习目标
自主学习
合作探究
当堂检测
课堂总结
知识归纳
1.二次函数的定义： 形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的函数叫做二次函数.
2.温馨提示：
（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式； （2）a,b,c为常数，且a≠ 0;
课堂总结
探究二 列出二次函数的关系式
问题提出：有一个周长为80cm的正方形，从四个角各减去一个正方形，做成一个 无盖盒子，设这个盒子的底面面积为y cm，减去的正方形的边长为x cm，求y与x 的函数关系式.
问题探究：（1）说说题中的等量关系. 无盖盒子的底面面积=无盖盒子底边边长2
《二次函数》课件
3 经济模型
二次函数可以用来构建经济模型，分析不同变量之间的关系。
二次函数的应用举例
跳水比赛
二次函数可以描述跳水运动员 的下落轨迹。
抛物面天线
抛物面天线的形状可以用二次 函数来描述。
拱桥
拱桥的形状可以用二次函数来 描述。
结论和要点
二次函数的定义
二次函数是y=ax^2+bx+c，其中a、b、c是常 数且a≠0。
求解二次方程
可以使用公式法、配方法或图像法来求解二 次方程。
图像和性质
二次函数的图像为抛物线，其顶点、对称轴、 最值和零点与a、b、c的关系密切。
实际应用
二次函数在物理、经济、工程等领域有广泛 的应用。
2
配方法
通过配方使二次方程转化为平方完成形式，然后求解。
3
图像法
通过观察图像的顶点、对称轴和与x轴的交点来求解二次方程。
利用二次函数解决实际问题
1 运动物体的轨迹
二次函数可以描述运动物体的竖直方向的轨迹，例如抛物线的形状可以用来描述抛出的 物体的轨迹。
2 广告营销
二次函数可以用来分析广告效果随时间的变化趋势，从而优化广告营销策略。
《二次函数》课件
欢迎来到《二次函数》课件！本课件将带你深入了解二次函数的定义、图像 及性质、通项公式、求解二次方程的方法、实际问题的解决方式、应用举例 等。
二次函数的定义
二次函数是指形如y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c是常数，并且a不等于0。
二次函数的图像及性质
抛物线形状
顶点和对称轴
二次函数的图像是一条抛物线， 其口方向由a的正负确定。
抛物线的顶点是图像的最低点 或最高点，对称轴是过顶点和 抛物线开口方向相反的直线。
二次函数可以用来构建经济模型，分析不同变量之间的关系。
二次函数的应用举例
跳水比赛
二次函数可以描述跳水运动员 的下落轨迹。
抛物面天线
抛物面天线的形状可以用二次 函数来描述。
拱桥
拱桥的形状可以用二次函数来 描述。
结论和要点
二次函数的定义
二次函数是y=ax^2+bx+c，其中a、b、c是常 数且a≠0。
求解二次方程
可以使用公式法、配方法或图像法来求解二 次方程。
图像和性质
二次函数的图像为抛物线，其顶点、对称轴、 最值和零点与a、b、c的关系密切。
实际应用
二次函数在物理、经济、工程等领域有广泛 的应用。
2
配方法
通过配方使二次方程转化为平方完成形式，然后求解。
3
图像法
通过观察图像的顶点、对称轴和与x轴的交点来求解二次方程。
利用二次函数解决实际问题
1 运动物体的轨迹
二次函数可以描述运动物体的竖直方向的轨迹，例如抛物线的形状可以用来描述抛出的 物体的轨迹。
2 广告营销
二次函数可以用来分析广告效果随时间的变化趋势，从而优化广告营销策略。
《二次函数》课件
欢迎来到《二次函数》课件！本课件将带你深入了解二次函数的定义、图像 及性质、通项公式、求解二次方程的方法、实际问题的解决方式、应用举例 等。
二次函数的定义
二次函数是指形如y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c是常数，并且a不等于0。
二次函数的图像及性质
抛物线形状
顶点和对称轴
二次函数的图像是一条抛物线， 其口方向由a的正负确定。
抛物线的顶点是图像的最低点 或最高点，对称轴是过顶点和 抛物线开口方向相反的直线。
二次函数的课件ppt课件ppt课件
二次函数的极坐标表示
二次函数$y = ax^{2} + bx + c$在极 坐标系下的表示为$r = a\cos^{2}\theta + b\cos\theta + c$。
05
二次函数的应用实例
生活中的二次函数应用
打篮球的抛物线
篮球运动员投篮时，篮球的运动 轨迹可以近似为二次函数。通过 调整投篮角度和力度，可以最大
数是偶函数。
03
二次函数的公式与运算
二次函数的公式
标准的二次函数公式
y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为系数，且a≠0。
顶点式
y = a(x-h)^2 + k，其中(h,k)为顶点坐标。
交点式
y = a(x-x1)(x-x2)，其中x1、x2为与x轴的交点坐标。
二次函数的运算规则
解
根据顶点式，可知顶点坐标为(1.5, -0.75)；根据交点式，可知 与x轴的交点坐标为(2.5, 0)和(2.5, 0)；与y轴的交点坐标为(0, 5)。
例题2
已知二次函数y = -3x^2 + 6x + 9，求函数的对称轴和最小值。
04
二次函数的图像变换
平移变换
水平平移
二次函数$y = ax^{2} + bx + c$ 向右平移$m$个单位，得到新的 二次函数$y = a(x - m)^{2} + b(x - m) + c$。
垂直平移
二次函数$y = ax^{2} + bx + c$ 向上平移$n$个单位，得到新的 二次函数$y = ax^{2} + bx + c + n$。
二次函数$y = ax^{2} + bx + c$在极 坐标系下的表示为$r = a\cos^{2}\theta + b\cos\theta + c$。
05
二次函数的应用实例
生活中的二次函数应用
打篮球的抛物线
篮球运动员投篮时，篮球的运动 轨迹可以近似为二次函数。通过 调整投篮角度和力度，可以最大
数是偶函数。
03
二次函数的公式与运算
二次函数的公式
标准的二次函数公式
y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为系数，且a≠0。
顶点式
y = a(x-h)^2 + k，其中(h,k)为顶点坐标。
交点式
y = a(x-x1)(x-x2)，其中x1、x2为与x轴的交点坐标。
二次函数的运算规则
解
根据顶点式，可知顶点坐标为(1.5, -0.75)；根据交点式，可知 与x轴的交点坐标为(2.5, 0)和(2.5, 0)；与y轴的交点坐标为(0, 5)。
例题2
已知二次函数y = -3x^2 + 6x + 9，求函数的对称轴和最小值。
04
二次函数的图像变换
平移变换
水平平移
二次函数$y = ax^{2} + bx + c$ 向右平移$m$个单位，得到新的 二次函数$y = a(x - m)^{2} + b(x - m) + c$。
垂直平移
二次函数$y = ax^{2} + bx + c$ 向上平移$n$个单位，得到新的 二次函数$y = ax^{2} + bx + c + n$。
二次函数课件ppt
总结与回顾
主要知识点回顾
01 02
二次函数的定义
二次函数是一种特殊的函数形式，表达式为y = ax^2 + bx + c，其中a 、b、c为常数，a≠0。它的图像为抛物线，具有开口方向、顶点、对称 轴等特征。
二次函数的性质
二次函数具有极值、单调性、最值等性质，这些性质在解决实际问题中 有着广泛的应用。
二次函数的性质
开口方向
总结词
指二次函数图像的向上或向下方 向。
详细描述
二次函数开口方向取决于二次项 系数a的正负。当a>0时，开口向 上；当a<0时，开口向下。
顶点坐标
总结词
指二次函数图像的最高或最低点坐标。
详细描述
二次函数的顶点坐标通常由二次项系数a、一次项系数b及常数项c决定，一般表 达式为(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)。
逐步深入学习
学习二次函数要由浅入深，从基础知识点开始学习，逐步深入掌握其 应用方法，提高自己的解题能力和思维水平。
对未来的展望
拓展应用领域
二次函数是数学中一个非常重要的概念，其应用领域广泛，未来可以将其应用到各个领域 中，如物理学、经济学、工程学等。
深化研究
二次函数还有许多未被探索的领域和性质，未来可以通过不断深化研究来发现新的理论和 应用成果。
学习目标
01
02
03
04
理解二次函数的基本概念和形 式。
掌握二次函数的图像和性质。
学会应用二次函数解决实际问 题。
熟悉二次函数与一元二次方程 的关系。
CHAPTER 02
二次函数的基本概念
二次函数定义
形如y=ax^2+bx+c(a、b、c为常数，a≠0)的函数称为二次函数。 其中x为自变量，y为因变量。
主要知识点回顾
01 02
二次函数的定义
二次函数是一种特殊的函数形式，表达式为y = ax^2 + bx + c，其中a 、b、c为常数，a≠0。它的图像为抛物线，具有开口方向、顶点、对称 轴等特征。
二次函数的性质
二次函数具有极值、单调性、最值等性质，这些性质在解决实际问题中 有着广泛的应用。
二次函数的性质
开口方向
总结词
指二次函数图像的向上或向下方 向。
详细描述
二次函数开口方向取决于二次项 系数a的正负。当a>0时，开口向 上；当a<0时，开口向下。
顶点坐标
总结词
指二次函数图像的最高或最低点坐标。
详细描述
二次函数的顶点坐标通常由二次项系数a、一次项系数b及常数项c决定，一般表 达式为(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)。
逐步深入学习
学习二次函数要由浅入深，从基础知识点开始学习，逐步深入掌握其 应用方法，提高自己的解题能力和思维水平。
对未来的展望
拓展应用领域
二次函数是数学中一个非常重要的概念，其应用领域广泛，未来可以将其应用到各个领域 中，如物理学、经济学、工程学等。
深化研究
二次函数还有许多未被探索的领域和性质，未来可以通过不断深化研究来发现新的理论和 应用成果。
学习目标
01
02
03
04
理解二次函数的基本概念和形 式。
掌握二次函数的图像和性质。
学会应用二次函数解决实际问 题。
熟悉二次函数与一元二次方程 的关系。
CHAPTER 02
二次函数的基本概念
二次函数定义
形如y=ax^2+bx+c(a、b、c为常数，a≠0)的函数称为二次函数。 其中x为自变量，y为因变量。
人教版九年级数学下册第二十六章：26.1.2 反比例函数的图像和性质 优秀课件
-4
-6
-8
当k>0时,两支双曲线分 位于第一,三象限内; 当k<0时,两支双曲线分别 位于第二,四象限内;
反比例函数的图象和性质： 1.反比例函数的图象是双曲线; 2.图象性质见下表： k y= K>0 K<0
x
图 象
当k＞0时，函数图象 的两个分支分别在第 一、三象限，在每个 象限内，y随x的增大 而减小. 当k＜0时，函数图象 的两个分支分别在第 二、四象限，在每个 象限内，y随x的增大 而增大.
一、复习引入
反比例函数的定义：
一般地,形如 (k是常数,k≠0)的函数, 叫做反比例函数。其中, x是自变量,y是函 数.自变量x的取值范围是不等于0的一切实 数.
反比例函数的三种表达式：
① ② ③
1、过点（2，5）的反比例函数的解析 10 式是： y x . 2、一次函数y=2x-1的图象 是 一条直线 ，y随x的增大而 增大. 3、用描点法作函数图象的步骤：
y
4 C（-3,y3)是 y B（5,y2)是反比例函数 x
数形结合
图
⑴代入求值
y1 y2 y3
A
2
⑵利用增减性
B
5
-3
⑶根据图象判断
x
O
C
7、若点（-2，y1）、（-1，y2）、（2，y3）在
100 反比例函数 y = 的图象上，则（ x
B
）
A、y1>y2>y3
C、y3>y1>y2
B、y2>y1>y3
x
标系中的 图象可能是 D
y o x y o x
:
y o x y o x
(A)
(B)
26.1.2 二次函数的图象和性质
2、二次函数的一般形式。
3、画函数图象的一般步骤及各步注意的问题。
二、探索新知：
画二次函数 的图象．
【提示：画图象的一般步骤：①列表（取几组x、y的对应值；②描点（表中x、y的数值在坐标平面中描点（x，y）；③连线（用平滑曲线）．】
列表：
x
…
－3
－2
－1
0
1
2
3
…
y＝x2
…
…
描点，并连线
由图象可得二次函数 的性质：
东辛店中学验标题
（满分：50+20时间：10分钟成绩：）
必做题：（共5题，每题10分）
1．函数y＝x2的图象开口向_______，顶点是__________，对称轴是________，
当x＝___________时，有最_________值是_________．
2．二次函数y＝mx 有最低点，则m＝___________．
对称，开口大小_______________．
3．当a＞0时，a越大，抛物线的开口越___________；
当a＜0时，｜a｜越大，抛物线的开口越_________；
因此，｜a｜越大，抛物线的开口越________，反之，｜a｜越小，抛物线的开口越________．
六、课堂训练
1．填表：
开口方向
顶点
1、二次函数 是一条曲线，把这条曲线叫做______________．
2、二次函数 中，二次函数a＝_______，抛物线 的图象开口__________．
3、自变量x的取值范围是____________．
4、观察图象，当两点的横坐标互为相反数时，函数y值相等，所描出的各对应点关于________对称，从而图象关于___________对称．
3、画函数图象的一般步骤及各步注意的问题。
二、探索新知：
画二次函数 的图象．
【提示：画图象的一般步骤：①列表（取几组x、y的对应值；②描点（表中x、y的数值在坐标平面中描点（x，y）；③连线（用平滑曲线）．】
列表：
x
…
－3
－2
－1
0
1
2
3
…
y＝x2
…
…
描点，并连线
由图象可得二次函数 的性质：
东辛店中学验标题
（满分：50+20时间：10分钟成绩：）
必做题：（共5题，每题10分）
1．函数y＝x2的图象开口向_______，顶点是__________，对称轴是________，
当x＝___________时，有最_________值是_________．
2．二次函数y＝mx 有最低点，则m＝___________．
对称，开口大小_______________．
3．当a＞0时，a越大，抛物线的开口越___________；
当a＜0时，｜a｜越大，抛物线的开口越_________；
因此，｜a｜越大，抛物线的开口越________，反之，｜a｜越小，抛物线的开口越________．
六、课堂训练
1．填表：
开口方向
顶点
1、二次函数 是一条曲线，把这条曲线叫做______________．
2、二次函数 中，二次函数a＝_______，抛物线 的图象开口__________．
3、自变量x的取值范围是____________．
4、观察图象，当两点的横坐标互为相反数时，函数y值相等，所描出的各对应点关于________对称，从而图象关于___________对称．
人教版九年级数学下册26.1.2第1课时反比例函数的图象和性质课件
y k(k＞0)的图象上， x
若y1＜y2，求a的取值范围.
解：由题意知，在图象的每一支上，y随x的增大而减小.
①当这两点在图象的同一支上时，
∵y1＜y2，∴a－1＞a+1， 无解； ②当这两点分别位于图象的两支上时，
∵y1＜y2，∴必有y1＜0＜y2. ∴a－1＜0，a+1＞0， 解得：－1＜a＜1.
，4
4 5
)，D(2，5)是否在这个函数的图象上？
解：设这个反比例函数的解析式为 y k ，因为点A(2，6)在其图象上，所
x
以有 6 k ，解得k=12.
2
所以反比例函数的解析式为 y 12 .
x
因为点B，C的坐标都满足该解析式，而点 D的坐标不满足，所以点B，C在
这个函数的图象上，点D不在这个函数的图象上.
结论吗？
一般地，当k＞0时，对于反比例函数
y
k x
，由函数图象，并结合解析式，
我们可以发现：
(1)函数图象分别位于第一、第三象限； (2)在每一个象限内，y随x的增大而减小.
归纳： 反比例函数 y k (k＞0) 的图象和性质：
x
●由两条曲线组成，且分别位于第一、三象限 它们与 x 轴、y 轴都不相交；
例1 画出反比例函数y 6 与 y 12 的图象.
x
x
提示：画函数的图象步骤一般分为：列表 →描点→连线. 需要注意的是在反比例函 数中自变量 x 不能为 0.
解：列表如下：
x … －6 －5 －4 －3 －2 －1 1 2 3 4 5 6 …
y
6 x
… －1
－1.2
－1.5
－2
－3
－6
6
二次函数图ppt课件
02 二次函数的图像性质
CHAPTER
开口方向
总结词：由二次项系数决定 a>0时，向上开口；a<0时，向下开口。
顶点坐标
01
总结词：由公式 y=ax^2+bx+c(a≠0)直接读
02
顶点的横坐标为x=-b/2a，纵坐 标为y=4ac-b^2/4a。
对称轴
总结词：对称轴是直线x=-b/2a
二次函数图像是轴对称图形，对称轴为直线x=-b/2a，对称轴与y轴平行。
二次函数的表达式由三部分组成，分 别是二次项系数$a$、一次项系数$b$ 和常数项$c$。这些系数可以根据实际 情况进行选择和调整。
二次函数的图像
总结词
二次函数的图像是一个抛物线，其形状由系数$a$决定。
详细描述
二次函数的图像是一个开口方向由系数$a$决定的抛物线。当$a > 0$时，抛物 线开口向上；当$a < 0$时，抛物线开口向下。同时，抛物线的对称轴为直线$x = -frac{b}{2a}$，顶点坐标为$left(-frac{b}{2a}, fleft(-frac{b}{2a}right)right)$ 。
二次函数图PPT课件
目录
CONTENTS
• 二次函数的基本概念 • 二次函数的图像性质 • 二次函数的应用 • 二次函数与其他知识点的联系 • 练习题与答案
01 二次函数的基本概念
CHAPTER
二次函数定义
总结词
二次函数是形如$f(x) = ax^2 + bx + c$的函数，其中$a neq 0$。
详细描述
二次函数是数学中一类重要的函数，其定义形式为$f(x) = ax^2 + bx + c$，其 中$a, b, c$为常数，且$a neq 0$。
人教版数学九年级下册26.1.2第2课时+反比例函数的图象和性质的的综合运用课件
y k 1、若点P（2,3）在反比例函数
的图像上，则k= 6 _
x
2、若点P(m,n)在反比例函数 y 6 图像上，则mn= 6_
x
3、如图，S矩形ABCD= 6 S△ABD=__3_
A
D
S矩形ABCD与S△ABD有何关系？
2
S△ABD=
1 2
S矩形ABCD
B3
C
4、如图,点P是反比例函数图象上的一点,过点P分别向x轴
∴ 当 x < 0 时，y 随 x 的增大而减小， ∴ 当 －3 < x < －1 时，－6 < y < －2.
二 反比例函数图象和性质的综合
例2 如图，是反比例函数 y m 5 图象的一支. 根
据图象，回答下列问题：
x
(1) 图象的另一支位于哪个象限？常数 m 的取值范围
是什么？
y
解：因为这个反比例函数图象的一
函数的图象上？ 解：设这个反比例函数的解析式为 y k ，因为点
x A (2，6)在其图象上，所以有 6 k ，解得 k =12.
2 所以反比例函数的解析式为 y 12 .
x
因为点 B，C 的坐标都满足该解析式，而点 D 的坐标不满足，所以点 B，C 在这个函数的图 象上，点 D 不在这个函数的图象上.
y
设点 P 的坐标为 (a，b)
∵点
P
(a，b)
在函数
y
k x
的图
象上，∴ b k ，即 ab=k. a
PB
SA
AO
x
BP
若点 P 在第二象限，则 a<0，b>0，
∴ S矩形 AOBP=PB·PA=－a·b=－ab=－k；
人教版九年级数学26.1.2_二次函数图象(1)
1 2
1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10
y
,y=x2,y=-2x2的图像与 -5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5
x
1 y = − x2 2
y =−2x2
当a>0时,抛物线的开口向上, a>0时 抛物线的开口向上, 顶点是抛物线的最低点, 越大 越大, 顶点是抛物线的最低点,a越大 抛物线的开口越小
1 2 y= x 2
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5
x
在同一直角坐标系中画出函数y=－1 y=－ 在同一直角坐标系中画出函数y=－2 x2和y=－2x2的图像 y= :(1)列表 解:(1)列表 x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 … (2)描点 (2)描点
y= -
x … -2 y=2x2 … 8
-1 -0.5 0 0.5 1
y
4.5 2 0.5
1.5 2 … 0 0.5 2 4.5 8 …
y= 2x2 10
9 8 7 6 5 4 3 2 1
(3) 连线 函数y= 函数y= 2 与函数y=x2(图中虚线图形) 与函数y=x 图中虚线图形) 的图像相比, 的图像相比,有什么共同点 和不同点? 和不同点? 共同点：开口向上; 共同点：开口向上; 除顶点外,图像都在x 除顶点外,图像都在x轴上方 不同点: 开口大小不同; 不同点: 开口大小不同; x21,y=2x2的图像
1 x2 … -8 -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5 -8 2
…
x … -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 … y=－ y=－2x2 … -8 -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5 -8 …
1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10
y
,y=x2,y=-2x2的图像与 -5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5
x
1 y = − x2 2
y =−2x2
当a>0时,抛物线的开口向上, a>0时 抛物线的开口向上, 顶点是抛物线的最低点, 越大 越大, 顶点是抛物线的最低点,a越大 抛物线的开口越小
1 2 y= x 2
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5
x
在同一直角坐标系中画出函数y=－1 y=－ 在同一直角坐标系中画出函数y=－2 x2和y=－2x2的图像 y= :(1)列表 解:(1)列表 x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 … (2)描点 (2)描点
y= -
x … -2 y=2x2 … 8
-1 -0.5 0 0.5 1
y
4.5 2 0.5
1.5 2 … 0 0.5 2 4.5 8 …
y= 2x2 10
9 8 7 6 5 4 3 2 1
(3) 连线 函数y= 函数y= 2 与函数y=x2(图中虚线图形) 与函数y=x 图中虚线图形) 的图像相比, 的图像相比,有什么共同点 和不同点? 和不同点? 共同点：开口向上; 共同点：开口向上; 除顶点外,图像都在x 除顶点外,图像都在x轴上方 不同点: 开口大小不同; 不同点: 开口大小不同; x21,y=2x2的图像
1 x2 … -8 -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5 -8 2
…
x … -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 … y=－ y=－2x2 … -8 -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5 -8 …
2二次函数的概念课件
式是
，y是x的 函数.
A
（3）◆设
为x，
那么y关于x 的函数解析式是
为y， ，
E
D
y是x的二次函数.
◆设
为x，
4
为y，
那么y关于x 的函数解析式是
，
y是x的二次函数.
C4
B
【课堂小结】
一、二次函数的定义
二、学习一个具体函数的过程：
实际 问题
两个 变量
具体函数的定义 （解析式、定义域）
性质
图像
【布置作业】
.
解析式
一次函数
y=kx+b (k≠ 0)
二次函数
y=ax²+bx+c (a≠ 0)
例3、如图，用长为20米的篱笆，一面靠墙
（墙长度超过20米），围成一个矩形的花圃.设AB边的长 为x米，花圃的面积为 y平方米.
（1）求y关于x的函数解析式及函数的定义域； （2）当x=6时，y的 值是多少？当y=32时，x的值多少？ （3）花圃的面积是否可能等于60平方米？为什么？ （4）若题目的条件修改一下，那么第1.2问还一样吗？
A
D
x B 20-2x C
x
例题4 已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，点D
为边AB上的一个动点（不与A、B两点重合），过点D作DE⊥AC，
垂足为点E，联结DC.
（1）设线段AD的长为x，线段EC的长为y，那么y关于x的函数解
析式是
，y是x的
函数.
（2）设线段AE长为x，△ACD的面积为y，那么y关于x的函数关系
（2）如果分别用5分钟、10分钟或20分钟来提出这一概念, 那么三者相比,用哪种方式，学生的接受程度更高?
《二次函数》PPT课件【优秀课件推荐】共27页
拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
《二次函数》PPT课件【优秀课件推荐】
•
6、黄金时代是在我们的前面，而不在 我们的 后面。
•
7、心急吃不了热汤圆。
•
8、你可以很有个性找方法，不为失败找借口 (蹩脚 的工人 总是说 工具不 好)。
•
10、只要下定决心克服恐惧，便几乎 能克服 任何恐 惧。因 为，请 记住， 除了在 脑海中 ，恐惧 无处藏 身。-- 戴尔． 卡耐基 。
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
《二次函数》PPT课件【优秀课件推荐】
•
6、黄金时代是在我们的前面，而不在 我们的 后面。
•
7、心急吃不了热汤圆。
•
8、你可以很有个性找方法，不为失败找借口 (蹩脚 的工人 总是说 工具不 好)。
•
10、只要下定决心克服恐惧，便几乎 能克服 任何恐 惧。因 为，请 记住， 除了在 脑海中 ，恐惧 无处藏 身。-- 戴尔． 卡耐基 。
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
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2019年3月18日8时23分
对称轴与抛物 线的交点叫做 抛物线的顶点.
yx
2
当x=1时，y=1 当x=2时，y=4
当x=-2时，y=4 当x=-1时，y=1
2019年3月18日8时23分
抛物线 y=x2在x轴上方 (除顶点外)，顶点是它的最 低点，开口向上，并且向上 无限伸展; 当x=0时,函数 y的值最小， 最小值是0.
抛物线： 像这样的曲线通常叫做抛物线。 二次函数的图象都是抛物线。 一般地，二次函数 y ax bx c(a 0) 的图象叫做抛物线 y ax2 bx c 。
2
2019年3月18日8时23分
对称轴、顶点、最低点、最高点
yx
2
这条抛物线关于 y轴对称，y轴就 是它的对称轴.
当x=0时,最大值为0.
a 越小,开口越大.
开口大小
2019年3月18日8时23分
耐心填一填
1、函数y= 3x2的图象的开口 向上 ,对称轴是 y轴 低 顶点是 (0,0) ;顶点是抛物线的最＿＿点 2、函数y= －0.2x2的图象的开口 向下 , y轴 顶点是 (0,0) 对称轴是___, ; m 2 3 、二次函数y＝mx 有最低点，则m＝___. 2 4 、二次函数y＝(k＋1)x2的图象如图所示， k>-1 则k的取值范围为__________ ． 5、已知点(2, y1 ),(1, y2 ),(3, y3 ) 都在二次函数
2019年3月18日8时23分
探究
画二次函数
y x 的图象。
2
描点法
解：（1）列表：在 x 的取值范围内列出函数对 应值表： x y … -3 -2 -1 0 … 9 4 1 0 1 1 2 4 3 9 … …
2019年3月18日8时23分
（2）在平面直角坐标系中描点：
y
10 8 6 4 2 1 -4 -3 -2 -1
-1 -4 -9 …
2019年3月18日8时23分
（2）在平面直角坐标系中描点：
y
-4 -3 -2 -1
o
-2 -4 -6 -8
1
2
3
4
x
y = - x2
-10
2019 年3月18日8时23分 （3 ）用光滑曲线顺次连接各点，便得到函数 y= -x2 的图象
观察姚明的投篮……
2019年3月18日8时23分
2019年3月18日8时23分
2019年3月18日8时23分
抛物线 y= -x2在x轴下方(除顶点外)，顶点 是它的最高点，开口向下，并且向下无限伸展， 当x=0时，函数y的值最大，最大值是0.
y
y x
2
2019年3月18日8时23分
2 例2.画出函数y=x2、y=2x2、y= 1 2 x 的图象：
探究
观察函数图像,有什么共同点和不同点? 共同点 a>0， 开口向上，顶点是原点， 顶点是抛物线的最低点，对称轴是y轴，除顶点外， : 不同点: 图象都在X轴上方。
26.1.2 二次函数y=ax2 的图象和性质
2019年3月18日8时23分
创设情境，导入新课
问题：
（1）你们喜欢打篮球吗？ （ 2 ）你们知道：投篮时，篮球运动的 路线是什么曲线？
2019年3月18日8时23分
学习目标
一、会画二次函数y=ax2的图象
二、掌握二次函数y=ax2的图象和性质。
2019年3月18日8时23分
y=
2 x
o
-2
1
2
3
4
x
2019 年3月18日8时23分 （3 ）用光滑曲线顺次连接各点，便得到函数 y= x2 的图象.
探究
画二次函数
y x 的图象。 描点法
2
解：（1）列表：在 x 的取值范围内列出函数对 应值表： x y … -3 -2 -1 0 … -9 -4 -1 0 1 2 3 …
f1(x) = -2×x×x -1 g1(x) = 2 ×x×x
2 y= 1 2x
开口越大.
y=- 1 x2 2 2 y=-x
2019年3月18日8时23分
y=-2x2
y = ax2
抛物线 顶点坐标
y=ax2 (a>0)
（ 0， 0）
y= ax2 (a<0) （ 0， 0）
3
上 方（除顶点外）。 增大而增大 ；当x〉0时，y随着x
（2）抛物线 y 2 x 2 在x轴的 下 方（除顶点外），当x
〈0时，y随着x的
的
增大而减小，当x=0时，函数y的值最大，最大值 0
是
，当x
0时，y<0.
2019年3月18日8时23分
已知抛物线y=ax2经过点A（-2，-8）。 （1）求此抛物线的函数解析式； （2）判断点B（-1，- 4）是否在此抛物线上。 （3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标。 解（1）把（-2，-8）代入y=ax2,得 -8=a(-2)2,解出a= -2,所求函数解析式为 y= -2x2. （2）因为 –4≠ -2(-1)2 ，所以点B（-1 ，-4） 不在此抛物线上。 （3）由-6=-2x2 ,得x2=3, x 3 所以纵坐标为-6的点有两个，它们分别是 ( 3,6)与( 3,6)
2019年3月18日8时23分
2019年3月18日8时23分
2019年3月18日8时23分
2019年3月18日8时23分
2019年3月18日8时23分
2019年3月18日8时23分
2019年3月18日8时23分
二次函数的图象是不是跟投篮路线很像？
2019年3月18日8时23分
知识要点
开口大小不同
y=2x2 y=x2 y= 2 x2
1
2019年3月18日8时23分
2 例3.画出函数y=-x2、y=-2x2、y=- 1 2 x 的图象：
观察函数图像,有什么共同点和不同点? a < 0 ，开口向下，顶点是原点，对称轴 共同点: 是y轴，顶点是抛物线的最高点 不同点: 开口大小不同 y=2x2 y=x2
对称轴
y轴
y轴
在x轴的上方(除顶点外) 在x轴的下方( 除顶点外) 位置 开口方向 向上 向下
增减性 最值
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
当x=0时,最小值为0.
a 越大,开口越小.
2
．
y x 的图像上,则 y1 , y2 , y3的大小关系为y ＿＿ 3>y1>y2
2
_
2019年3月18日8时23分
（1）抛物线y=2x2的顶点坐标是 （0，0） , 对称轴是 y轴 ，在 对称轴的右 侧，
y随着x的增大而增大；在 对称轴的左 侧， y随着x的增大而减小，当x= 0 时，
函数y的值最小，最小值是 0 ,抛物 线y=2x2在x轴的
二次函数: 一般地,形如 y=ax2+bx+c (a、b、c为常数,a≠0) 的函数,叫做二次函数.其中,是x自变量,a,b,c分 别是函数表达式的二次项系数、一次项系数 和常数项.
一次函数的图像是一条直线,反比例函数的图像 是双曲线,二次函数的图像是什么形状呢?通常怎样画 一个函数的图像?
还记得如何用 描点法画一个 函数的图象呢？
对称轴与抛物 线的交点叫做 抛物线的顶点.
yx
2
当x=1时，y=1 当x=2时，y=4
当x=-2时，y=4 当x=-1时，y=1
2019年3月18日8时23分
抛物线 y=x2在x轴上方 (除顶点外)，顶点是它的最 低点，开口向上，并且向上 无限伸展; 当x=0时,函数 y的值最小， 最小值是0.
抛物线： 像这样的曲线通常叫做抛物线。 二次函数的图象都是抛物线。 一般地，二次函数 y ax bx c(a 0) 的图象叫做抛物线 y ax2 bx c 。
2
2019年3月18日8时23分
对称轴、顶点、最低点、最高点
yx
2
这条抛物线关于 y轴对称，y轴就 是它的对称轴.
当x=0时,最大值为0.
a 越小,开口越大.
开口大小
2019年3月18日8时23分
耐心填一填
1、函数y= 3x2的图象的开口 向上 ,对称轴是 y轴 低 顶点是 (0,0) ;顶点是抛物线的最＿＿点 2、函数y= －0.2x2的图象的开口 向下 , y轴 顶点是 (0,0) 对称轴是___, ; m 2 3 、二次函数y＝mx 有最低点，则m＝___. 2 4 、二次函数y＝(k＋1)x2的图象如图所示， k>-1 则k的取值范围为__________ ． 5、已知点(2, y1 ),(1, y2 ),(3, y3 ) 都在二次函数
2019年3月18日8时23分
探究
画二次函数
y x 的图象。
2
描点法
解：（1）列表：在 x 的取值范围内列出函数对 应值表： x y … -3 -2 -1 0 … 9 4 1 0 1 1 2 4 3 9 … …
2019年3月18日8时23分
（2）在平面直角坐标系中描点：
y
10 8 6 4 2 1 -4 -3 -2 -1
-1 -4 -9 …
2019年3月18日8时23分
（2）在平面直角坐标系中描点：
y
-4 -3 -2 -1
o
-2 -4 -6 -8
1
2
3
4
x
y = - x2
-10
2019 年3月18日8时23分 （3 ）用光滑曲线顺次连接各点，便得到函数 y= -x2 的图象
观察姚明的投篮……
2019年3月18日8时23分
2019年3月18日8时23分
2019年3月18日8时23分
抛物线 y= -x2在x轴下方(除顶点外)，顶点 是它的最高点，开口向下，并且向下无限伸展， 当x=0时，函数y的值最大，最大值是0.
y
y x
2
2019年3月18日8时23分
2 例2.画出函数y=x2、y=2x2、y= 1 2 x 的图象：
探究
观察函数图像,有什么共同点和不同点? 共同点 a>0， 开口向上，顶点是原点， 顶点是抛物线的最低点，对称轴是y轴，除顶点外， : 不同点: 图象都在X轴上方。
26.1.2 二次函数y=ax2 的图象和性质
2019年3月18日8时23分
创设情境，导入新课
问题：
（1）你们喜欢打篮球吗？ （ 2 ）你们知道：投篮时，篮球运动的 路线是什么曲线？
2019年3月18日8时23分
学习目标
一、会画二次函数y=ax2的图象
二、掌握二次函数y=ax2的图象和性质。
2019年3月18日8时23分
y=
2 x
o
-2
1
2
3
4
x
2019 年3月18日8时23分 （3 ）用光滑曲线顺次连接各点，便得到函数 y= x2 的图象.
探究
画二次函数
y x 的图象。 描点法
2
解：（1）列表：在 x 的取值范围内列出函数对 应值表： x y … -3 -2 -1 0 … -9 -4 -1 0 1 2 3 …
f1(x) = -2×x×x -1 g1(x) = 2 ×x×x
2 y= 1 2x
开口越大.
y=- 1 x2 2 2 y=-x
2019年3月18日8时23分
y=-2x2
y = ax2
抛物线 顶点坐标
y=ax2 (a>0)
（ 0， 0）
y= ax2 (a<0) （ 0， 0）
3
上 方（除顶点外）。 增大而增大 ；当x〉0时，y随着x
（2）抛物线 y 2 x 2 在x轴的 下 方（除顶点外），当x
〈0时，y随着x的
的
增大而减小，当x=0时，函数y的值最大，最大值 0
是
，当x
0时，y<0.
2019年3月18日8时23分
已知抛物线y=ax2经过点A（-2，-8）。 （1）求此抛物线的函数解析式； （2）判断点B（-1，- 4）是否在此抛物线上。 （3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标。 解（1）把（-2，-8）代入y=ax2,得 -8=a(-2)2,解出a= -2,所求函数解析式为 y= -2x2. （2）因为 –4≠ -2(-1)2 ，所以点B（-1 ，-4） 不在此抛物线上。 （3）由-6=-2x2 ,得x2=3, x 3 所以纵坐标为-6的点有两个，它们分别是 ( 3,6)与( 3,6)
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二次函数的图象是不是跟投篮路线很像？
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知识要点
开口大小不同
y=2x2 y=x2 y= 2 x2
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2 例3.画出函数y=-x2、y=-2x2、y=- 1 2 x 的图象：
观察函数图像,有什么共同点和不同点? a < 0 ，开口向下，顶点是原点，对称轴 共同点: 是y轴，顶点是抛物线的最高点 不同点: 开口大小不同 y=2x2 y=x2
对称轴
y轴
y轴
在x轴的上方(除顶点外) 在x轴的下方( 除顶点外) 位置 开口方向 向上 向下
增减性 最值
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
当x=0时,最小值为0.
a 越大,开口越小.
2
．
y x 的图像上,则 y1 , y2 , y3的大小关系为y ＿＿ 3>y1>y2
2
_
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（1）抛物线y=2x2的顶点坐标是 （0，0） , 对称轴是 y轴 ，在 对称轴的右 侧，
y随着x的增大而增大；在 对称轴的左 侧， y随着x的增大而减小，当x= 0 时，
函数y的值最小，最小值是 0 ,抛物 线y=2x2在x轴的
二次函数: 一般地,形如 y=ax2+bx+c (a、b、c为常数,a≠0) 的函数,叫做二次函数.其中,是x自变量,a,b,c分 别是函数表达式的二次项系数、一次项系数 和常数项.
一次函数的图像是一条直线,反比例函数的图像 是双曲线,二次函数的图像是什么形状呢?通常怎样画 一个函数的图像?
还记得如何用 描点法画一个 函数的图象呢？