山东省临清市高中数学 1.2.1充分条件与必要条件教学案 新人教版选修1-1
数学：1.2《充分条件和必要条件》说课教案(新人教a版选修1-1)
用以上两个生活中的事例来说明数学中应研究的概念、关系，会使学生感到亲切自然，有助于提高兴 趣和深入领会概念的内容，特别是它的必要性。 第二，引导学生分析实例，给出定义。 在第一部分激发起学生的学习兴趣后，紧接着开展第二部分，引导学生分析实例，让学生从事例中抽 象出数学概念，得出本节课所要学习的充分条件和必要条件的定义。在引导过程中尽量放慢语速，结合事 例帮助学生分析。 得出定义之后，这里有必要再利用本课前面两节的“逻辑联结词”和“四种命题”的知识来加强对必 要条件定义的理解。（用前面的例子来说即：“活了，则说明在输氧”）可记作： B A 。 还应指出的是“必要条件”的定义，有如绕口令，要一次廓清，不可拖泥带水。这里，只要一下子“定 义”清楚了，下边再解释“ B A ，A 是 B 的必要条件”是怎么回事。这样处理，学生更容易接受“必要” 二字。（因无 A 则无 B，故欲有 B，A 是必要的）。 当两个定义分别给出后，我又对它们之间的区别加以分析说明，（充分条件可能会有多余 ，浪费，必 要条件可能还不足（以使事件 B 成立））从而顺理成章地引出充要条件的定义（既是必要条件，又是充分 条件，就称为充分必要条件，简称充要条件，记作： A B 。（不多不少，恰到好处）。使学生在此先 对两个充分条件和必要条件两个概念的不同有了第一次的认识，第三部分再利用具体的数学事例来强化。 第三，例题分析： 例 1 采用开放式教学， 课前请学生在预习的基础 上， 以学习小组为单位， 在尽可能广泛的知识范畴中， 课外编制关于充分条件、必要条件的命题。教师借助实物投影仪，在课上有目标地选择三组通过组合的学 生自编题原文出示，通过学生口答，引导讨论，质疑解惑，在“开放”的情景中推进教学过程，在点评“聚 焦”中形成知识要义，从而发展学生思维。由于时间关系，对没有选到课堂上讲评的其他学生自编题，另 汇编成课后作业，继续学习讨论，这样一来，能最大限度的发挥学生的积极性和保持他们参与教学研究的 热情。 在分析各组题时都注意，让学生先养成找出 A、B 的习惯，以使学生突破学习难点：“A=>B”,称 B 是 A 的必要条件,这里最好能让学生避免将 A、B 理解成条件和结论，否则学生就可能会有这样的想法：“B 本是 A 推出的结论,怎么又变成条件了呢?”。 选的第一组题，旨在对“充分条件”、“必要条件”、概念的复习巩固，选题的难度控制在极大部分 学生能接受的范围程度，除第 4 小题对不等式符号的处理需要教师略加点拨外，其余学生均能自行解答。 命题内容涉及几何、代数较广泛领域，也包括初学的“集合”知识，达到预期目标。 [第一组题：（1） " a, b R "是" a b 0" 的（充分不必要）条件。 （2）“四边形为平行四边形”是“这个四边形为菱形”的（必要不充分）条件。 （3）“设集合 A= x | x 3，B= x | x 4”，则“ x A ”或“ x B ”是 " x A B" 的（必要不 充分）条件。 （4） " a b 0"是"
高中数学 第一章《充分条件和必要条件》教案2 新人教A版选修1-1
1.2 充分条件和必要条件（2）[教学目标]：1．进一步理解并掌握充分条件、必要条件、充要条件的概念；2．掌握判断命题的条件的充要性的方法； [教学重点、难点]：理解充要条件的意义，掌握命题条件的充要性判断[教学过程]：一、复习回顾一般地，如果已知p q ⇒，那么我们就说p 是q 成立的充分条件，q 是p 的必要条件 ⑴“a b c >>”是“()()()0a b b c c a ---<”的 充分不必要 条件． ⑵若a 、b 都是实数，从①0ab >；②0a b +>；③0ab =；④0a b +=；⑤220a b +>；⑥220a b +=中选出使a 、b 都不为0的充分条件是 ①②⑤ ．二、例题分析条件充要性的判定结果有四种，判定的方法很多，但针对各种具体情况，应采取不同的策略，灵活判断．下面我们来看几个充要性的判断及其证明的例题．1．要注意转换命题判定，培养思维的灵活性例1：已知p ：2x y +≠-；q ：x 、y 不都是1-，p 是q 的什么条件？分析：要考虑p 是q 的什么条件，就是判断“若p 则q ”及“若q 则p ”的真假性 从正面很难判断是，我们从它们的逆否命题来判断其真假性“若p 则q ”的逆否命题是“若x 、y 都是1-，则2x y +=-”真的“若q 则p ”的逆否命题是“若2x y +=-，则x 、y 都是1-”假的故p 是q 的充分不必要条件注：当一个命题很难判断其真假性时，我们可以从其逆否命题来着手．练习：已知p ：2x >或23x <；q ：2x >或1x <-，则p ⌝是q ⌝的什么条件？ 方法一：2:23p x ⌝≤≤ :12q x ⌝-≤≤ 显然p ⌝是q ⌝的的充分不必要条件方法二：要考虑p ⌝是q ⌝的什么条件，就是判断“若p ⌝则q ⌝”及“若q ⌝则p ⌝”的真假性“若p ⌝则q ⌝”等价于“若q 则p ”真的“若q ⌝则p ⌝”等价于“若p 则q ”假的故p ⌝是q ⌝的的充分不必要条件2．要注意充要条件的传递性，培养思维的敏捷性例2：若M 是N 的充分不必要条件，N 是P 的充要条件，Q 是P 的必要不充分条件，则M 是Q 的什么条件？分析：命题的充分必要性具有传递性M N P Q ⇒⇔⇒ 显然M 是Q 的充分不必要条件3．充要性的求解是一种等价的转化例3：求关于x 的一元二次不等式21ax ax +>于一切实数x 都成立的充要条件 分析：求一个问题的充要条件，就是把这个问题进行等价转化由题可知等价于000004040a a a a a a ≠⎧⎪=>⇔=<<⇔≤<⎨⎪∆<⎩或或4．充要性的证明，关键是理清题意，特别要认清条件与结论分别是什么例4：证明：对于x 、y ∈R ，0xy =是220x y +=的必要不充分条件．分析：要证明必要不充分条件，就是要证明两个，一个是必要条件，另一个是不充分条件必要性：对于x 、y ∈R ，如果220x y +=则0x =，0y = 即0xy =故0xy =是220x y +=的必要条件不充分性：对于x 、y ∈R ，如果0xy =，如0x =，1y =，此时220x y +≠故0xy =是220x y +=的不充分条件综上所述：对于x 、y ∈R ，0xy =是220x y +=的必要不充分条件．例5：p ：210x -≤≤；q ：()110m x m m -≤≤+>．若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求实数m 的取值范围． 解：由于p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，则p 是q 的充分不必要条件于是有12101m m -≤-⎧⎨≤+⎩9m ∴≥ 三、练习：1．若命题甲是命题乙的充分不必要条件，命题丙是命题乙的必要非充分条件，命题丁是命题丙的充要条件，那么：命题丁是命题甲的什么条件．（必要不充分的条件）2．对于实数x 、y ，判断“x+y ≠8”是“x ≠2或y ≠6”的什么条件．（充分不必要条件）3．已知0ab ≠，求证：1a b +=的充要条件是：33220a b ab a b ++--=.。
人教课标版高中数学选修1-1《充分条件与必要条件》教学设计
1．2充分条件与必要条件一、教学目标【核心素养】培养逻辑推理的能力，形成基本的数学逻辑思维．【学习目标】（1）正确理解充分条件、必要条件、充要条件三个概念．（2）能利用充分条件、必要条件、充要条件三个概念，熟练判断四种命题间的关系．（3）在理解定义的基础上，可以自觉地对定义进行转化，转化成推理关系及集合的包含关系．【学习重点】充分条件、必要条件的概念．【学习难点】充分条件、必要条件的判断．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务任务1：预习教材P 9—P 10，思考充分条件与必要条件的内容是什么？任务2：思考什么是必要条件2．预习自测1．已知:p αβ≠，:cos cos q αβ≠，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：B解析：显然有/p q ⇒，q p ⇒，∴p 是q 的必要不充分条件，故选B ． 考点：判断命题的必要不充分条件．2．设x ∈R ，则2x >的一个必要不充分条件是（ ）A ．1x >B ．1x <C ．3x >D ．3x <答案：A解析：21x x >⇒>，12/x x >⇒>．故选A ． 3．设,x y ∈R ，则“2x ≥且2y ≥”是“224x y +≥”的（ ） A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案：A解析：224x y +≥表示以原点为圆心，以2为半径的圆以及圆外的区域，则2x ≥且2y ≥不一定成立，而2x ≥且2y ≥时，224x y +≥，故选A ． （二）课堂设计1．知识回顾在上一节的“若p ，则q “形式的命题中，能否分析下原命题、逆命题、逆否命题真假的不同情形下，命题p 分别是命题q 的什么条件？2．问题探究问题探究一 充分条件与必要条件阅读与思考： p ：鱼缸里的鱼能存活 q ：鱼缸里有水1、说出“若p ，则q ”与“若q ，则p ”形式的命题；2、判断真假．想一想：那么，这在数学中是一层什么样的关系呢？今天我们就来学习这个有意义的课题——充分条件与必要条件．探究：请大家根据以上结论，思考什么叫做充分条件与必要条件？1．推断符号“⇒”的含义：一般地，如果“若p 则q ”为真， 即如果p 成立，那么q 一定成立，记作：p q 如果“若p ，则q ”为假， 即如果p 成立，那么q 不一定成立，记作：p q2．充分条件与必要条件一般地，如果p⇒q，那么称p是q的条件；同时称q是p的条件．问题探究二充要条件思考：指出下列命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件：p：x=0，y=0，q：x2+y2=0．∵x=0，y=0⇒x2+y2=0，∴p是q的条件；又x2+y2=0⇒x=0，y=0，∴q是p的条件．在问题中，p既是q的充分条件，p又是q的必要条件，此时，我们统说，p是q的条件，简称条件．1．相关的概念如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q．我们就说，p和q互为充要条件．说明：符号“⇔”叫做等价符号．“p⇔q”表示“p⇒q且p⇐q”；也表示“p等价于q”．1.充要条件的判断方法由上述命题的充分条件、必要条件的判断过程，可确定命题按条件和结论的充分性、必要性可分为四类：(1) p⇒q，而q⇒p，则p是q的条件．(2) p⇏q，而q⇒p ，则p是q的条件．(3)p⇒q，又有q⇒p或(p⇔q)，则p是q的条件．(4) p⇏q，又有q⇏p，则p是q的条件．四种“条件”的情况反映了命题的条件与结论之间的因果关系，所以在判断时应该：⑴确定条件是什么，结论是什么⑵尝试从条件推出结论，从结论推出条件⑶确定条件是结论的什么条件⑷充要性包含：充分性p⇒q，必要性q⇒p这两个方面，缺一不可3．课堂总结【知识梳理】①如果已知p⇒q，则称p是q的充分条件，而q是p的必要条件．②如果既有p⇒q，又有q⇒q，即p⇔q，则称p是q的充要条件．【重难点突破】借助“子集概念”理解充分条件与必要条件．设A，B为两个集合，集合A⊆B是指x⋲A⇒x⋲B．这就是说，“x ⋲A ”是“x ⋲B ”的充分条件，“x ⋲B ”是“x ⋲A ”的必要条件．对于真命题“若p 则q ”，即p ⇒q ，若把p 看做集合A ，把q 看做集合B ，“p ⇒q ”相当于“A ⊆B ”．4．随堂检测1．若p 是q 的充分条件，则q 是p 的（ ）A ．充分条件B ．必要条件C ．既不是充分条件也不是必要条件D ．既是充分条件又是必要条件【知识点：充分必要条件】答案：B解析：因为p 是q 的充分条件，所以p q ⇒，所以q 是p 的必要条件．2．下列命题中，p 是q 的充分条件的是（ ）A ．p ：a =0，q ：ab =0B ．p ：a 2+b 2≥0，q ：a ≥0且b ≥0C ．p ：x 2>1，q ：x >1D ．p ：a >b ，q >【知识点：充分必要条件】答案：A解析：根据充分条件的概念逐一判断．3．若“1x >”是“x a >”的充分条件，则a 的取值范围是________．【知识点：充分必要条件】解：1a ≤因为1x >⇒x a >，所以1a ≤．4．“22x x =”是“0x =”的________条件，“0x =”是“22x x =”的________条件(用“充分”“必要”填空)．【知识点：充分必要条件】答案：必要；充分解析：由于0x =⇒22x x =，所以“22x x =”是“0x =”的必要条件，“0x =”是“22x x =”的充分条件．5．已知命题p ：α=β;命题q ：tanα=tanβ，问p 是q 的什么条件?【知识点：充分必要条件】 解：当2παβ==时，显然tan α与tan β无意义，即p ⇏q ，故p 不是q 的充分条件; 又α=，β=时，tanα=tanβ，所以q ⇏p ，所以p 不是q 的必要条件，综上，p 既不是q 的充分条件，也不是必要条件．（三）课后作业★基础型 自主突破1．“2x =”是“(1)(2)0x x --=”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件【知识点：充分必要条件】答案：A2．在ABC ∆中，:,:p a b q BAC ABC >∠>∠，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件【知识点：充分必要条件】答案：C3．“p 或q 是假命题”是“非p 为真命题”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【知识点：充分必要条件】 答案：A4．若非空集合M N ≠⊂，则“a M ∈或a N ∈”是“a M N ∈”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【知识点：充分必要条件】答案：B5．“|x |＝|y |”是“x ＝y ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【知识点：充分必要条件】答案：B 解析：因x y x y =⇒=或x y =-，但x y x y =⇒=．6．已知集合A ＝{1，a }，B ＝{1，2，3}，则“a ＝3”是“A ÍB ”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【知识点：充分必要条件】答案：A解析：当3a =时，{1,3}A =，A B ⊆；反之，当A B ⊆时，2a =或3，所以“3a =”是“A B ⊆”的充分而不必要条件，选A ．7．在数列{a n }中，“a n ＝2a n －1，n ＝2，3，4，…”是“{a n }是公比为2的等比数列”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【知识点：充分必要条件】答案：B解析：若“{a n }是公比为2的等比数列，则当n ≥2时，a n ＝2a n －1成立．当a n＝0，n＝1，2，3，4，…时满足a n＝2a n－1，n＝2，3，4，但此时{a n}不是等比数列，∴“a n＝2a n－1，n＝2，3，4，…”是“{a n}是公比为2的等比数列”的必要不充分条件．8．设p：|x|＞1，q：x＜－2或x＞1，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【知识点：充分必要条件】答案：B．★★能力型师生共研9．在下列三个结论中，正确的有（）①x2＞4是x3＜－8的必要不充分条件；②在△ABC中，AB2＋AC2＝BC2是△ABC为直角三角形的充要条件；③若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为0”的充要条件．A．①②B．②③C．①③D．①②③【知识点：充分必要条件】答案：C解析：对于结论①，由x3＜－8⇒x＜－2⇒x2＞4，但是x2＞4⇒x＞2或x＜－2⇒x3＞8或x3＜－8，不一定有x3＜－8，故①正确；对于结论②，当B＝90°或C＝90°时不能推出AB2＋AC2＝BC2，故②错；对于结论③，由a2＋b2≠0⇒a，b不全为0，反之，由a，b不全为0⇒a2＋b2≠0，故③正确．10．如果命题“若A，则B”的否命题是真命题，而它的逆否命题是假命题，则A是B的________条件．【知识点：充分必要条件】答案：必要不充分解析：因为逆否命题为假，所以原命题为假，即A B．又因否命题为真，所以逆命题为真，即B⇒A，所以A是B的必要不充分条件．11．下列不等式：①x＜1；②0＜x＜1；③－1＜x＜0；④－1＜x＜1．其中，可以为x2＜1的一个充分条件的所有序号为________．【知识点：充分必要条件】答案：②③④12．“lg x>lg y”是“x>y”的__________条件．答案：充分不必要解析：【知识点：充分必要条件】由lg x>lg y⇒x>y>0⇒x>y．而x>y有可能出现x>0，y＝0的情况，故x>y lg x>lg y．13．下列命题中，判断条件p是条件q的什么条件．(1)p：f(x)是周期函数，q：f(x)是正弦函数；(2)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC是等腰三角形；(3)p：四边形是矩形，q：四边形的对角线互相平分；(4)p：圆x2＋y2＝r2与直线ax＋by＋c＝0相切，q：c2＝(a2＋b2)r2．答案：见解析解析：【知识点：充分必要条件】(1)∵f(x)是周期函数f(x)是正弦函数，但由f(x)是正弦函数⇒f(x)是周期函数，∴p是q的必要不充分条件．(2)∵△ABC是直角三角形△ABC是等腰三角形，△ABC是等腰三角形△ABC是直角三角形，∴p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件．(3)∵四边形是矩形⇒四边形的对角线互相平分，四边形的对角线互相平分四边形是矩形，∴p是q的充分不必要条件．(4)若圆x2＋y2＝r2与直线ax＋by＋c＝0相切，则圆心到直线ax＋by＋c＝0的距离等于r，即r＝|c|a2＋b2，∴c2＝(a2＋b2)r2；反过来，若c2＝(a2＋b2)r2，则|c|a2＋b2＝r成立，说明x2＋y2＝r2的圆心(0，0)到直线ax＋by＋c＝0的距离等于r，即圆x2＋y2＝r2与直线ax＋by＋c＝0相切，故p是q的充要条件．14．已知P＝{x|a－4＜x＜a＋4}，Q＝{x|x2－4x＋3＜0}，若x∈P是x∈Q的必要条件，求实数a的取值范围．【知识点：充分必要条件；数学思想：转化与化归】解：由题意知，Q＝{x|1＜x＜3}，∵x∈P是x∈Q的必要条件，即QÍP，∴⎩⎨⎧ a －4≤1，a ＋4≥3，解得-1≤a ≤5．∴实数a 的取值范围是[－1，5]． 15．已知命题p ：⎩⎨⎧x ＋2≥0，x －10≤0，命题q ：1－m ≤x ≤1＋m ，m ＞0．若⌝p 是⌝q 的必要而不充分条件，求实数m 的取值范围．【知识点：充分必要条件；数学思想： 转化与化归】 解：“⌝p 是⌝q 的必要而不充分条件”⇔“p 是q 的充分而不必要条件”．由题意得：12110m m -≤-⎧⎨+≥⎩，解得 m ≥9．16．求方程2(23)10ax a x a +++-=有一个正根和一个负根的充要条件．【知识点：一元二次方程，充分必要条件；数学思想：转化与化归】解：01a a <>或★★★探究型 多维突破17．已知p ：x 2－x ＜0，那么命题p 的一个必要非充分条件是（ ）A ．0＜x ＜1B ．－1＜x ＜1C ．12＜x ＜23D ．12＜x ＜2【知识点：充分必要条件】答案：B解析：x 2－x ＜0⇔0＜x ＜1，运用集合的知识易知．A 中0＜x ＜1是p 的充要条件；B 中－1＜x ＜1是p 的必要条件；C 中12＜x ＜23是p 的充分条件；D 中12＜x ＜2是p 的既不充分也不必要条件．应选B ．18．不等式(a ＋x )(1＋x )＜0成立的一个充分而不必要条件是－2＜x ＜－1，则a 的取值范围是________．【知识点充分必要条件】答案：(2，＋∞)解析：根据充分条件，必要条件与集合间的包含关系，应有{(－2，－1)}⊊{x |(a ＋x )(1＋x )＜0}，故有a ＞2．19．求关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负的实数根的充要条件．【知识点：一元二次方程，充分必要条件】解：当a ＝0时，x ＝－12符合题意．当a ≠0时，令f (x )＝ax 2＋2x ＋1，由于f (0)＝1＞0，当a ＞0时，若Δ＝4－4a ≥0， 则a ≤1，即0＜a ≤1．当a ＜0时，∵f (0)＝1，Δ＝4－4a ＞0恒成立，∴方程恒有负实数根．综上所述，a ≤1为所求．20．已知集合A ＝{y |y ＝x 2－32x ＋1，x ∈[34，2]}，B ＝{x |x ＋m 2≥1}．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，求实数m 的取值范围．【知识点：一元二次方程，充分必要条件】解：y ＝x 2－32x ＋1＝(x －34)2＋716， 因为x ∈[34，2]，所以716≤y ≤2．所以A ＝{y |716≤y ≤2}．由x ＋m 2≥1，得x ≥1－m 2，所以B ＝{x |x ≥1－m 2}，因为“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，所以A ⊆B ，所以1－m 2≤716，解得m ≥34或m ≤－34，故实数m 的取值范围是(－∞，－34]∪[34，＋∞)． （四）自助餐1．对任意的实数,,a b c ，下列命题是真命题的是（ ）A ．“ac bc >”是“a b >”的必要条件B ．“ac bc =”是“a b =”的必要条件C ．“ac bc <”是“a b >”的充分条件D ．“ac bc =”是“a b =”的必要条件【知识点：充分必要条件】答案：B2．若条件:14p x +≤，条件:23q x <<，则q ⌝是p ⌝的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件C ．非充分非必要条件【知识点：四种命题、充分必要条件】答案：B3．若非空集合,,A B C 满足A B C =，且B 不是A 的子集，则（ ）A ．“x C ∈”是“x A ∈”的充分条件但不是必要条件B ．“xC ∈”是“x A ∈”的必要条件但不是充分条件C ．“x C ∈”是“x A ∈”的充要条件D ．“x C ∈”既不是“x A ∈”的充分条件也不是“x A ∈”必要条件【知识点：充分必要条件】答案：B4．对于实数,x y ，满足:3,:2p x y q x +≠≠或1y ≠，则p 是q 的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【知识点：充分必要条件】答案：A5．“40k -<<”是“函数2y x kx k =--的值恒为正值”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【知识点：一元二次方程、充分必要条件】答案：C6．已知条件:2p t ≠，条件2:4q t ≠，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【知识点：充分必要条件】答案：B7．已知p 是r 的充分条件而不是必要条件，q 是r 的充分条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件．现有下列命题：①s 是q 的充要条件；②p 是q 的充分条件而不是必要条件；③r 是q 的必要条件而不是充分条件；④s p ⌝⌝是的必要条件而不是充分条件；⑤r 是s 的充分条件而不是必要条件，则正确命题序号是（ ）A ．①③④B ．②③④C ．①②③D ．①②④【知识点：充分必要条件】答案：D8．条件“:1p x >，条件:2q x <-，则p ⌝是q ⌝的 条件．【知识点：充分必要条件】答案：充分而不必要9．在下列四个结论中，正确的是__________．(填上你认为正确的所有答案的序号) ①“x ≠0”是“x ＋|x |>0”的必要不充分条件；②已知a ，b ∈R ，则“|a ＋b |＝|a |＋|b |”的充要条件是ab >0；③“Δ＝2b －4ac <0”是“一元二次方程a 2x ＋bx ＋c =0无实根”的充要条件；④“x ≠1”是“2x ≠1”的充分不必要条件．【知识点：充分必要条件】答案：①③10．指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件（充分而不必要条件、必要而不充分条 件、充分条件、既不充分也不必要条件）．（1）:p ABC ∆有两个角相等；:q ABC ∆是正三角形；（2）p ：()1()f x f x -=，q ：y ＝f (x )是偶函数； 【知识点：充分必要条件】答案：（1）p 是q 的必要不充分条件；（2）p 是q 的充分不必要条件．11．已知集合{|12}P x x =-<，2{|(1)0}S x x a x a =+++<．若“x ∈P ”的充要条件是“x ∈S ”， 求a 的值．【知识点：不等式，一元二次方程，充分必要条件】解：由12x -<得13x -<<，故方程2(1)0x a x a +++=就是1-和3，所以3a =-，此时集合S 即2{|230}{x |13}S x x x x =--<=-<<，即3a =-．12．（1）是否存在实数m ，使得20x m +<是(3)(1)0x x -+>的充分条件？（2）是否存在实数m ，使得20x m +<是(3)(1)0x x -+>的必要条件？【知识点：不等式，分必要条件】解：（1）(3)(1)0x x -+>即1x <-或3x >；20x m +<即为2m x <-．由题意得：2m ≥； （2）不存在实数m 时，使20x m +<是2230x x -->的必要条件．数学视野中国古代思想家、哲学家、数学家、逻辑学家、战略家墨子在经上说：“故，小故，有之不必然，无之必不然．体也，若有端．大故，有之（必）无（不）然．若见之成见也”． 译文：原理，小原理，有它不一定产生某种结果，没有它定不会产生某种结果，它是整体的一部分，就好比线上的点．大原理，有它必定产生某种结果，没有它必定不会产生某种结果．好比看到的物体而产生视觉．所谓“故”，就指“物之所以然”．就事物来说，“故”是形成事物变化发展的原因或者道理．“小故”指小原因或者小道理，是事物发展过程中的一个或者部分原因，也可能是一个或者部分道理．这些小原因或者小道理不能成为决定事物发展过程的决定性因素，它们成立时不一定会有结果，而不成立时肯定不会有结果．众多的小原因或者小道理组成了事物完整的大原因或者大道理．所以“大故”可以说是所有“小故”的总合，这样“大故”是事物发展过程的全部原因或者全部道理．因此，“大故”就是成功率为100%的条件，当然“大故”成立时肯定会有结果。
高二数学选修1-1_《充分条件与必要条件》教学教案1
1.2.1充分条件与必要条件学生情况分析：从学生学习的角度看，刚学完命题及其关系，逻辑思维能力的训练不够充分，造成学生在学习充要条件这一概念时的知识储备不够丰富，这也为教师的教学带来一定的困难．因此，根据新课标要求，把学生的学习要求规定为“初步理解充要条件的意义”，这是比较切合教学实际的．由此可见，在充要条件这一内容的新授教学时，不可拔高要求追求一步到位，而要在今后的教学中滚动式逐步深化，使之与学生的知识结构同步发展完善.教学目标：1、知识与技能：理解充分条件、必要条件的概念，掌握它们的判断方法.2、过程与方法：通过对充分条件、必要条件的判定，提高分析问题、解决问题的能力.3、情感、态度与价值观：通过""⇒的判断，感受对立统一的思想，培养辨p q证唯物主义观.教学重点：理解充分条件和必要条件的概念.教学难点：理解必要条件的概念.教学过程：一、复习准备：写出下列命题的逆命题、否命题及逆否命题，并判断它们的真假：（1）若0a>时，则函数y ax b=+的值随x的值的增加而增加;（2）若0a=.ab=，则0二、讲授新课：1. 认识“⇒”与“”：①在上面两个命题中，命题（1）为真命题，命题（2）为假命题.也就是说，命题（1）中由“0a>”可以得到“函数y ax b=+的值随x的值的增加而增加”，即0a>⇒函数y ax b=+的值随x的值的增加而增加；而命题（2）中由“0a=.ab=0a=”，即0ab=”不能得到“0②练习：教材P10 第1题2. 教学充分条件和必要条件：①若p q ⇒，则p 是q 的充分条件（sufficient condition ），q 是p 的必要条件（necessary condition ）.上述命题（2）中“0a >”是“函数y ax b =+的值随x 的值的增加而增加”的充分条件，而“函数y ax b =+的值随x 的值的增加而增加”则是“0a >”的必要条件. ②例1：下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题中的p 是q 的充分条件？（1）若1x >，则33x -<-； （2）若1x =，则2320x x -+=；（3）若()3x f x =-，则()f x 为减函数； （4）若x 为无理数，则2x 为无理数. 分析：命题（1）（2）（3）是真命题，命题（4）是假命题.所以，命题（1）（2）（3）中的p 是q 的充分条件. （学生讨论→个别回答→教师点评）③练习1、p ：“1a b +=” 是q ：“2()1a b +=” 的 充分 条件． ④例2：下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题中的q 是p 的必要条件？（1）若0a =，则0ab =；（2）若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等；（3）若a b >，则ac bc >；（4）若x y =，则22x y =.分析：命题（1）（4）是真命题，命题（2）（3）是假命题. 所以，命题（1）（4）中的q 是p 的必要条件. 练习2、课本P10，第3题.（学生讨论→个别回答→学生点评）探究：在例2中，p q ⌝⌝是的必要条件吗？:0:0;q ab p a ⌝⌝≠⇒≠分析 (1)p q ⌝⌝（1）是的必要条件 (2) ::q p ⌝⌝⇒两个三角形不全等两个三角形的面积不相等； p q ⌝⌝（2）不是的必要条件(3) ::;q ac bc p a b ⌝⌝≤⇒≤ p q ⌝⌝（3）不是的必要条件22(4) ::.q x y p x y ⌝⌝≠⇒≠ p q ⌝⌝（4）是的必要条件（学生讨论→个别回答→教师点评）3. 小结：（也可让学生进行总结）充分条件与必要条件的理解.思考：已知:210p x -≤≤；22:21(0)q x x m m -+≤> ，若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．2(0),11.102,:11..110 912q m m m x m x x q x m x m p q q p m m m ⌝⌝⌝⌝⌝⌝≤>-≤≤+><->+<-⇒+≥⎧∴≥⎨-≤-⎩2分析：由可得(x-1)所以即p:或或因为是的必要不充分条件，所以故只需要满足，（学生讨论→个别回答→教师点评）4、 作业布置：。
人教版高中数学选修1-1第一章1.2充分条件与必要条件教案3
充分条件与必要条件教案教学目标1．使学生理解充分条件、必要条件、充要条件的概念2．通过对充要条件的研究，使学生掌握有关的逻辑知识，以保证推理的合理性和论证的严密性3．培养学生学风的严谨性及思维的准确性，以提高自身的文化素质教学设计1．利用有关课件，揭示命题间的逻辑关系，帮助学生理解概念、正确判断，提高逻辑思维能力2．通过学生的活动，培养其主动参与的意识及独立思考的品质教学过程新课引入学生活动一：打开“四种命题”的课件，对于给定的原命题，回答它的…逆命题、否命题、逆否命题是什么？并逐一判断它们的真假．原命题逆命题A B B Ax>0 x2>0 (真) x2>0 x>0 (假)否命题逆否命题⌝A ⌝B ⌝B ⌝Ax≤0x2≤0(假) x2≤0x≤0(真)学生活动二：指出下列各组命题中，“qp⇒”、“pq⇒”是真是假．1．p：∠A，∠B为对顶角．q：∠A=∠B2．p：三角形三条边相等．q：三角形的三个角相等3．p：x=y．q：x2=y24．p：x是4的倍数．q：x是6的倍数教师评述：1．由∠A ，∠B 为对顶角⇒∠A =∠B 成立，即q p ⇒一般地，如果已知q p ⇒，那么我们说p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件．由于“q p ⇒”与“p q ⌝⇒⌝”等价，故若p q ⌝⇒⌝则q 是p 的必要条件． 2．由三角形三条边相等⇒三角形三个内角相等，知p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件，反过来由三角形的三个角相等⇒三角形的三条边相等，知q 也是p 的充分条件，p 也是q 的必要条件．一般地，如果既有q p ⇒又有p q ⇒，记作q p ⇔就说，p 是q 的充分必要条件．3．由22y x y x =⇒=但其逆命题y x y x =⇒=22不成立 (或否命题22y x y x ≠⇒≠不成立)即q p ⇒且p q ⇒(或q p ⇒且q p⌝⇒⌝)我们说p 是q 成立的充分但不必要条件(4) q p ⇒且p q ⇒∴ p 是q 的既不充分也不必要条件 小结若q p ⇒则p 是q 的充分条件 若p q ⌝⇒⌝则的q 是p 的必要条件 若q p ⇔则p 是q 的充分条件 学生活动三：内容：利用动画，在“库”中任选某对象为p ，填入格中，再任选逻辑上有联系的另一对象为q ，也填入格中，然后按格中栏目逐次写出命题“q p ⇒”及“p q ⇒”并对命题的真假做出判断，在此基础上，判断p 是q 的什么条件，并填在格中．/ / //目的：学生在活动中，学会判断p 是q 的什么条件的具体的工作步骤和逻辑依据．教师小结：问题：试判断p 是q 的什么条件(指充分、必要、充要)？ 这类问题的解题步骤是第一步：构造命题一：q p ⇒，并判断其真假 第二步：构造命题二：p q ⇒，并判断其真假第三步：根据两个命题的真假对p 是q 的什么条件做出判断； 一真，二真，p 是q 的充要条件 一真，二假，p 是q 的充分非必要条件 一假，二真，p 是q 的必要非充分条件一假，二假，p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件． 课件：“充要条件及其判断” 元素库：表格p qq p ⇒(判断)p q ⇒(判断) p 是q 的什么条件学生活动四学生回答下列命题的真假，并判断p 是q 的什么条件(从“充分不必要”，“必要不充分”，“充分必要”，“既不充分也不必要”中选取一种答案)p qq p ⇒ p q ⇒p 是q q 是p(1) (x －2)(x －3)=0x －2=0 (x －2)(x －3)=0⇒x －2=0 假x －2=0⇒(x －2)(x －3)=0 真必要不充分充分的必要①x =y ②x 2=y 2 ③x =0 ④x >3 ⑤xy =0 ⑥x >－1 ⑦x =0或y =0 ⑧y =0(2)x =3 x 2=9 x =3⇒x 2=9真x 2=9⇒x =3假充分的必要必要不充分(3) 四边形对角线相等 四边形是平行四边形 四边形对角线相等⇒四边形是平行四边形 假四边形是平行四边形⇒四边形对角线相等假既不充分又不必要 (4)a >b a +c >b +ca >b ⇒a +c >b +c a +c >b +c ⇒a >b充要条件 学生活动五教师引导学生思考下列问题：常见两种命题(“或”字命题与“且”字命题)的条件，结论间的相互关系与充要条件．1．给出“或”字命题 如ab =0⇒a =0或b =0x 2=y 2⇒x =y 或x =－y由学生编写出A ⇒B 的命题形式，指出A 、B 及A 是B 的什么条件． 教师点评：a =0⇒ab =0 (a =0是ab =0的充分条件)b =0⇒ab =0(b =0是ab =0的充分条件)再由学生编写出A B ⇒的命题形式，指出A 、B 及B 是A 的什么条件．00≠⇒≠a ab (ab =0是a =0的必要条件) 00≠⇒≠b ab ( ab =0是b =0的必要条件)2．给出“且”字命题 如0022=⇔=+a b a 且0=b由学生编写出A ⇒B 的命题形式，指出A 、B 及A 是B 的什么条件 教师点评：0022=⇔=+a b a (022=+b a 是a =0的充分条件) 0022=⇒=+b b a (022=+b a 是b =0的充分条件)再由学生编写出A B ⇒的命题形式，指出A ，B 及B 是A 的什么条件．0022≠+⇒≠b a a (a =0是022=+b a 的必要条件) 0022≠+⇒≠b a b (b =0是022=+b a 的必要条件)小结：①充要条件是重要的数学概念，主要是讨论命题的条件和结论的关系 ②条件A 能保证结论B 成立，就说条件A 对结论B 是充分的没有条件A 就没有结论B 成立，就说条件A 对结论B 是必要的，这时A 就是B 的充分必要条件③如果原命题成立，但它的逆命题不成立，就说原命题的条件对结论是充分不必要的如果原命题不成立而逆命题成立，就说原命题的条件对结论是必要而不充分的．如果原命题成立，它的逆命题也成立，就说原命题的条件对结论是充分必要的．作业：P.36－37 习题1.8求证：实系数的二次方程ax 2+bx +c =0有两个异号实根的充要条件是ac <0．。
高中数学 第一章《充分条件和必要条件》教案1 新人教A版选修1-1
1.2 充分条件和必要条件（1） 【教学目标】1．从不同角度帮助学生理解充分条件、必要条件与充要条件的意义；2．结合具体命题，初步认识命题条件的充分性、必要性的判断方法；3．培养学生的抽象概括和逻辑推理的意识． 【教学重点】构建充分条件、必要条件的数学意义；【教学难点】命题条件的充分性、必要性的判断．【教学过程】一、复习回顾1．命题：可以判断真假的语句，可写成：若p 则q ．2．四种命题及相互关系：3．请判断下列命题的真假：（1）若x y =,则22x y =; （2）若22x y =,则x y =;（3）若1x >,则21x >; （4）若21x >,则1x >二、讲授新课1.推断符号“⇒”的含义：一般地,如果“若p ,则q ”为真, 即如果p 成立，那么q 一定成立,记作:“p q ⇒”; 如果“若p ,则q ”为假, 即如果p 成立，那么q 不一定成立,记作:“p q ⇒/”. 用推断符号“⇒和⇒/”写出下列命题：⑴若a b >，则ac bc >；⑵若a b >，则a c b c +>+；2．充分条件与必要条件一般地，如果p q ⇒，那么称p 是q 的充分条件；同时称q 是p 的必要条件． 如何理解充分条件与必要条件中的“充分”和“必要”呢？由上述定义知“p q ⇒”表示有p 必有q ，所以p 是q 的充分条件，这点容易理解．但同时说q 是p 的必要条件是为什么呢？q 是p 的必要条件说明没有q 就没有p ,q 是p 成立的必不可少的条件,但有q 未必一定有p . 充分性：说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的．它符合上述的“若p 则q ”为真（即p q ⇒）的形式．“有之必成立，无之未必不成立”．必要性：必要就是必须，必不可少．它满足上述的“若非q 则非p ”为真（即q p ⌝⇒⌝）的形式．“有之未必成立，无之必不成立”．命题按条件和结论的充分性、必要性可分为四类：（1）充分必要条件（充要条件），即 p q ⇒且q p ⇒；（2）充分不必要条件，即p q ⇒且q p ⇒/； （3）必要不充分条件，即p q ⇒/且q p ⇒；（4）既不充分又不必要条件，即p q ⇒/且q p ⇒/．3．从不同角度理解充分条件、必要条件的意义（1）借助“子集概念”理解充分条件与必要条件。
高中数学 1.2.1充分条件与必要条件教案 新人教A版选修1-1
1．2.1充分条件与必要条件教案1.知识与技能：正确理解充分不必要条件、必要不充分条件的概念；会判断命题的充分条件、必要条件．2.过程与方法：通过对充分条件、必要条件的概念的理解和运用，培养学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力．３．情感、态度与价值观：通过学生的举例，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质，在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育．（二）教学重点与难点重点：充分条件、必要条件的概念．(解决办法：对这三个概念分别先从实际问题引起概念，再详细讲述概念，最后再应用概念进行论证．)难点：判断命题的充分条件、必要条件。
关键：分清命题的条件和结论，看是条件能推出结论还是结论能推出条件。
教具准备：与教材内容相关的资料。
教学设想：通过学生的举例，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质，在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育．（三）教学过程学生探究过程：1．练习与思考写出下列两个命题的条件和结论，并判断是真命题还是假命题？（1）若x ＞ a2 + b2，则x ＞ 2ab, （2）若ab ＝ 0，则a ＝ 0.学生容易得出结论；命题(1)为真命题，命题(２)为假命题．置疑：对于命题“若p，则q”，有时是真命题，有时是假命题．如何判断其真假的？答：看p能不能推出q，如果p能推出q，则原命题是真命题，否则就是假命题．２．给出定义命题“若p，则q”为真命题，是指由p经过推理能推出q，也就是说，如果p成立，那么q一定成立．换句话说，只要有条件p就能充分地保证结论q的成立，这时我们称条件p是q成立的充分条件．一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q．这时，我们就说，由p可推出q，记作：p⇒q．定义：如果命题“若p，则q”为真命题，即p ⇒q,那么我们就说p是q的充分条件；q是p必要条件．上面的命题(1)为真命题，即x ＞ a2 + b2 ⇒x ＞ 2ab，所以“x ＞ a2 + b2 ”是“x ＞ 2ab”的充分条件，“x ＞ 2ab”是“x ＞ a2 + b2”＂的必要条件．3．例题分析：例１：下列“若p，则q”形式的命题中，那些命题中的p是q的充分条件？（1）若x ＝1，则x2－ 4x ＋ 3 ＝ 0；（2）若f(x)＝ x，则f(x)为增函数；（3）若x为无理数，则x2为无理数．分析：要判断p是否是q的充分条件，就要看p能否推出q．解略．例２：下列“若p,则q”形式的命题中，那些命题中的q是p的必要条件?(1)若x ＝ y，则x2＝ y2；(2)若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等；(3)（3）若a ＞b,则ac＞bc．分析：要判断q是否是p的必要条件，就要看p能否推出q．解略．４、巩固巩固：P12 练习第1、2、3、4题５．教学反思：充分、必要的定义．在“若p，则q”中，若p⇒q，则p为q的充分条件，q为p的必要条件．６．作业 P14：习题1.2A组第1(1)(2),2(1)(2)题注：（1）条件是相互的；（2）p是q的什么条件，有四种回答方式：① p是q的充分而不必要条件；② p是q的必要而不充分条件；③ p是q的充要条件；④ p是q的既不充分也不必要条件．1.2.2充要条件(一)教学目标1.知识与技能目标：（１）正确理解充要条件的定义,了解充分而不必要条件, 必要而不充分条件, 既不充分也不必要条件的定义．（２）正确判断充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件.（３）通过学习，使学生明白对条件的判定应该归结为判断命题的真假,．2.过程与方法目标：在观察和思考中，在解题和证明题中，培养学生思维能力的严密性品质．3. 情感、态度与价值观：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．（二）教学重点与难点重点：1、正确区分充要条件；2、正确运用“条件”的定义解题难点：正确区分充要条件．教具准备：与教材内容相关的资料。
人教版高中数学选修1-1第一章1.2充分条件与必要条件教案2
充分条件与必要条件教案教学目标(1)从多个角度加深学生对充分条件、必要条件、充要条件的理解，逐步达到准确地理解、灵活地应用．(2)通过逐步、深化的例题，引导提高学生对充分条件、必要条件、充要条件的掌握应用．教学重点和难点重点：从多角度深刻理解充分条件、必要条件、充要条件，在准确理解的基础上，能熟练地去进行判断．难点：熟练掌握应用充分条件、必要条件和充要条件去进行判断．教学过程设计(一)复习教师边提问，边总结．命题的条件与结论之间的四种关系：充分而不必要条件；必要而不充分条件；充要条件；既不充分也不必要条件．设p，q是两个简单命题．q是p的必要而不充分条件．(二)引入新课教师总结性讲述：充分条件、必要条件是一个十分重要的数学概念，它在我们今后的学习中有着广泛的应用．为带动同学们进一步掌握它，我们再从多个角度来对它进行理解．(1)从命题的角度来理解：命题“若p则q”成立，就是说“有p必有q”命题“若p则q”成立，其逆否命题“若＞q则＞p”成立，就是说“没有q必没有p”，q对p来说，“无之不可”即“无之必不然，有之未必然”．我们说：p是q的充分条件，q是p的必要条件．p是q的充分而不必要条件．p是q的必要而不充分条件．p、q互为充要条件．p既不是q的充分条件也不是q的必要条件．(2)从集合的角度来理解：③p=q，p、q互为充要条件．(三)学生练习，教师讲评例1 下列说法是否正确？请说明理由．[讲评]如x=2，y=－2时，x≠y或x≠－y为真，但x2≠y2为假，只有在x≠y，x≠－y同时为真时，x2≠y2才为真．例2 指出下列各组命题中，p是q的什么条件．(1)p：(x－2)(x－3)=0，q：x－2=0．(2)p：两三角形相似，q：两三角形全等．(3)p：x＞3，q：x2＞9．(4)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形．(7)p：b2－4ac≥0(a≠0)，q：ax2＋bx＋c=0(a≠0)有实根．(8)p：|x|－x≥0，q：x≤0．[讲评]：例3 证明：关于x的方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)有一个根x=1的充要条件是a＋b＋c=0．[讲评] 问题是要证明：这里条件是a＋b＋c=0．证明：(1)证条件的充分性：(2)证条件的必要性：ax2＋bx＋c=0(a≠0)有一个根是x=1，把x=1代入，a＋b＋c=0．故方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)有一个根x=1的充要条件是a＋b ＋c=0．例4 已知p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s 的充分条件，那么，(1)s是q的什么条件，(2)r是q的什么条件，(3)p是q的什么条件．[讲评] 按照已知条件，把命题间的关系用图表示出来通过图形可以推出，(1)s是q的充分必要条件，(2)r是q的充分必要条件，(3)p是q的必要条件．(四)作业复习题参考题一 A组 12，13 B组 6，7，8。
高中数学选修1-1教案：1.2.1+充分条件与必要条件
1.2.1 充分条件与必要条件三维目标1.理解充分条件的含义，会判断p是q的充分条件;2.理解必要条件的含义，会判断p是q的必要条件;3.会根据充分条件和必要条件定义解决简单问题.________________________________________________________________________________ 自学探究问题1. 我们知道“鱼离开水就会死”请分析鱼和水的关系。
我们也知道“努力就一定会成功”请分析努力与成功的关系。
问题2. 举出生活中的例子说明充分条件含义,并思考如何判断并数学例子说明。
【反思】所谓的“充分”，即要使q成立，有p成立就足够了。
问题3．举出生活中的例子说明必要条件的含义,思考如何判断并举数学例子说明。
【反思】所谓的必“要”，即q是p成立的必不可少的条件，缺其不可。
结论:一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.我们就说,由p推出q,记作p q⇒,并且说p是q的条件，q是p的条件。
【技能提炼】1.下列“若P，则q”的形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？（1）若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行；（2）若5x>；x>，则10f x x f x∞∞；（3）若()=,则()在（-，+）上为增函数（4）若5x >，则3>x 。
【反思】 :如何判断充分性 ?2.下列“若p ，则q ”形式的命题中哪些命题中的q 是p 必要条件？（1）若x y =，则22x y =；（2）若两个三角形全等，则这两个三角形面积相等；（3）若a b >，则ac bc >。
【反思】如何判断必要性?3.不等式(a+x)(1+x)<0成立的一个充分不必要条件是-2<x<-1,则a 的取值范围是( )A. a ≤-2B.a ≥2C.a<-2D.a>2【变式】设非空集合 {}2135A x a x a =+≤≤-，{B x y ==则A B ⊆的一个充分不必要条件是（ ）A ．1≤a ≤9 B. 6<a<9 C. a ≤9 D. 6≤a ≤9【反思】集合间的充分条件和必要条件是怎样的?教师问题创生学生问题发现 变式反馈1. 在平面内,下列哪个是“四边形是矩形”的充分条件？（ ）.A.平行四边形对角线相等B.四边形两组对边相等C.四边形的对角线互相平分D.四边形的对角线垂直2.平面//α平面β的一个充分条件是（ ）A.存在一条直线,//,//a a a αβ；B.存在一条直线,,//a a a αβ⊂；C.存在两条平行直线,,,,//,//a b a b a b αββα⊂⊂；D.存在两条异面直线,,,,//,//a b a b a b αββα⊂⊂；3.p :20x -=,q ：(2)(3)0x x --=，q 是p 的 条件。
高中数学选修1,1《充分条件与必要条件》教案
高中数学选修1,1《充分条件与必要条件》教案高中数学选修1-1《充分条件与必要条件》教案【一】教学目标通过这节课的教学，要求学生正确理解充分条件、必要条件和充要条件三个概念，并能在论证中正确地运用.教学重点充分条件、必要条件和充要条件的概念.教学难点充分条件、必要条件和充要条件三个概念在论证中的正确运用.教法学法充要条件是重要的数学概念.它主要讨论命题的条件和结论的关系.通过对充分条件、必要条件和充要条件的概念的理解和运用，培养学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力.教学手段多媒体辅助教学教学过程第一，创设情境，引出课题：考虑到高一学生学习这一章的知识储备不足，为了让学生更易接受这一节内容，我利用日常生活中的具体事例来提出本课的问题，并与学生共同利用原有的知识分析，事例中包括几个问题，为后面定义的分析埋下伏笔。
我用的第一个事例是：若某人发烧，则该人就患了甲型流感。
第二个事例是：若小明的数学成绩是满分，则他的数学单科名次是年级第一。
用以上两个生活中的事例来说明数学中应研究的概念、关系，会使学生感到亲切自然，有助于提高兴趣和深入领会概念的内容，特别是它的必要性。
第二，分析实例，给出定义。
在提起学生的学习兴趣后，紧接着开展下一部分，引导学生分析实例，让学生从事例中抽象出数学概念，得出本节课所要学习的充分条件和必要条件的定义。
在引导过程中尽量放慢语速，结合事例帮助学生分析。
得出定义之后，这里有必要再利用本课前面两节的“逻辑联结词”和“四种命题”的知识来加强对必要条件定义的理解。
(用前面的例子来说即：“活了，则说明在输氧”)可记作：教学设计充分条件与必要条件。
还应指出的是“必要条件”的定义，有如绕口令，要一次廓清，不可拖泥带水。
这里，只要一下子“定义”清楚了，下边再解释“ 教学设计充分条件与必要条件，A是B的必要条件”是怎么回事。
这样处理，学生更容易接受“必要”二字。
(因无A则无B，故欲有B，A 是必要的)。
人教版高中数学1-1选修1.2充分条件与必要条件教案(4)
充要条件教案教学目标1.理解充要条件的意义。
2.掌握判断命题的条件的充要性的方法。
3.进一步培养学生简单逻辑推理的思维能力.教学重点理解充要条件意义及命题条件的充要性判断.教学难点命题条件的充要性的判断.教学方法讲、练结合教学教具准备投影片共2张教学过程（I）复习回顾师：由上节内容可知，一个命题条件的充分性和必要性可分为四类，即有哪四类？生：充分不必要条件；必要不充分条件；既充分又必要条件；既不充分也不必要条件。
师：本节课将继续研究命题中既充分又必要的条件。
（II）讲授新课：§1.8.2 充要条件师：请判定下列命题的条件是结论成立的什么条件？（投影片1）（1）若a是无理数，则a+5是无理数；（2）若a>b,则a+c>b+c;(3)若一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等的实根，则判别式Δ>0。
生：命题（1）中因：a是无理数⇒a+5是无理数，所以“a是无理数”是“a+5是无理数”的充分条件；又因：a+5是无理数⇒a是无理数，所以“a是无理数”又是“a+5是无理数”的必要条件。
因此“a是无理数”是“a+5是无理数“既充分又必要的条件。
师：由上述命题（1）的条件判定可知：板书一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作：p⇔q.“⇔”叫做等价符号。
p⇔q 表示p⇒q且q⇒p。
这时p既是q的充分条件，又是q的必要条件，则p是q的充分必要条件，简称充要条件。
师：下边请回答命题（2）、（3）。
生：命题（2）中因：a>b⇒a+c>b+c.又a+c>b+c⇒a>b,则“a>b”是“a+c>b+c”的充要条件。
命题（3）中因：一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等实根⇒Δ>0，又由Δ>0⇒一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等根。
则“一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等实根”是“判别式Δ>0”的充要条件。
师：讨论解答下列例题：（投影片2）指出下列各组命题中，p是q的什么条件（在“充分而不必要条件”、“必要而不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种）？（1）p:(x-2)(x-3)=0;q:x-2=0.(2)p:同位角相等；q ：两直线平行。
人教版高中数学选修1-1第一章1.2充分条件与必要条件教案4
1.8 充分条件与必要条件[教学目的]使学生正确理解和掌握充分条件、必要条件和充要条件.[重点难点]重点、难点：关于充分条件、必要条件和充要条件的判断.[教学设想]1.教法2.学法3.课时[教学过程]§1.8.1 充分条件与必要条件[教学目的]使学生理解充分条件与必要条件的涵义，并会进行判断.[教学过程]一、引入同学们，当某一天你和你的妈妈在街上遇到老师的时候，你向老师介绍你的妈妈说：“这是我的妈妈”.那么，大家想一想这个时候你的妈妈还会不会补充说：“你是她的孩子”呢？不会了！为什么呢？因为前面你所介绍的她是你的妈妈就足于保证你是她的孩子.那么，这在数学中是一层什么样的关系呢？今天我们就来学习这个有意义的课题—充分条件与必要条件.二、学习、讲解新课⒈符号“⇒”的含义前面我们讨论了“若p则q”形式的命题，其中有的命题为真，有的命题为假.“若p则q”为真，是指由p经过推理可以得出q，也就是说，如果p成立，那么q一定成立，记作p⇒q，或者q⇐p；如果由p推不出q，命题为假，记作p⇒q.简单地说，“若p则q”为真，记作p⇒q（或q⇐p）；“若p则q”为假，记作p⇒q（或q⇐p）.符号“⇒”叫做推断符号.例如，“若x>0，则x2>0”是一个真命题，可写成：x>0 ⇒x2>0；又如，“若两三角形全等，则两三角形的面积相等”是一个真命题，可写成：两三角形全等⇒两三角形面积相等.说明：⑴“p⇒q”表示“若p则q”为真；也表示“p蕴含q”.⑵“p⇒q”也可写为“q⇐p”，有时也用“p→q”.练习：1⑴⑵⑶⑷.练习：课本P35答案：⑴⇒；⑵⇒；⑶⇒；⑷⇒.若用符号“⇒”与“⇐”填空再做上题，结果如何？答：⑴⇒；⑵⇐；⑶⇐：⑷⇒.⒉什么是充分条件？什么是必要条件？如果已知p⇒q，那么我们就说，p是q的充分条件，q是p的必要条件.在上面是两个例子中，“x>0”是“x2>0”的充分条件，“x2>0”是“x>0”的必要条件；“两三角形全等”是“两三角形面积相等”的充分条件，“两三角形面积相等”是“两三角形全等”的必要条件.⒊充分条件与必要条件的判断1.直接利用定义判断：即“若p⇒q成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件”.例1指出下列各组命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件：⑴ p：x=y；q：x2=y2.⑵ p：三角形的三条边相等；q：三角形的三个角相等.分析：可根据“若p则q”与“若q则p”的真假进行判断.解：⑴由p⇒q，即x=y⇒x2=y2，知p是q的充分条件，q是p的必要条件.⑵由p⇒q，即三角形的三条边相等⇒三角形的三个角相等，知p是q的充分条件，q是p的必要条件；又由q⇒p，即三角形的三个角相等⇒三角形的三条边相等，知q也是p的充分条件，p也是q的必要条件.练习：2⑴⑵⑶⑷.练习：课本P35答案：⑴∵p⇒q，∴p是q的充分条件，q是p的必要条件；⑵∵q⇒p，∴p是q的必要条件，q是p的充分条件；⑶∵p⇒q，∴p是q的充分条件，q是p的必要条件；又∵q⇒p，∴q也是p的充分条件，p也是q的必要条件.⑷∵p⇒q，∴p是q的充分条件，q是p的必要条件；又∵q⇒p，∴q也是p的充分条件，p也是q的必要条件.以上是直接利用定义由原命题判断充分条件与必要条件的方法.那么，如果由命题不是很好判断的话，我们可以换一种方式，根据互为逆否命题的等价性，利用它的逆否命题来进行判断.2.利用逆否命题判断：即“若┐q⇒┐p成立，则p是q的充分条件，q是p 的必要条件”.例2(补)如图1，有一个圆A，在其内又含有一个圆B. 请回答：⑴命题：若“A为绿色”，则“B为绿色”中，“A为绿色”是“B为绿色”的什么条件；“B为绿色”又是“A为绿色”的什么条件.⑵命题：若“红点在B内”，则“红点一定在A内”中，“红点在B内”是“红点在A内”的什么条件；“红点在A内”又是“红点在B内”的什么条件.解法1(直接判断)：⑴∵“A为绿色⇒B为绿色”是真的，∴由定义知，“A 为绿色”是“B为绿色”的充分条件；“B为绿色”是“A为绿色”的必要条件.⑵如图2⑴，∵“红点在B内⇒红点在A内”是真的，∴由定义知，“红点在B内”是“红点在A内”的充分条件；“红点在A内”是“红点在B内”的必要条件.解法2(利用逆否命题判断)：⑴它的逆否命题是：若“B不为绿色”则“A不为绿色”. ∵“B不为绿色⇒ A不为绿色”为真，∴“A为绿色”是“B为绿色”的充分条件；“B为绿色”是“A为绿色”的必要条件.⑵它的逆否命题是：若“红点不在A内”，则“红点一定不在B内”. 如图2⑵，∵“红点不在A内⇒红点一定不在B内”为真，∴“红点在B内”是“红点在A内”的充分条件；“红点在A内”是“红点在B内”的必要条件.如何理解充分条件与必要条件中的“充分”和“必要”呢？下面我们以例2为例来说明.先说充分性：说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的.例如，说“A为绿色”是“B为绿色”的一个充分条件，就是说“A为绿色”，它足以保证“B为绿色”.它符合上述的“若p则q”为真（即p⇒q）的形式.再说必要性：必要就是必须，必不可少.从例2的图可以看出，如果“B为绿色”，A可能为绿色，A也可能不为绿色.但如果“B不为绿色”，那么“A不可能为绿色”.因此，必要条件简单说就是：有它不一定，没它可不行.它满足上述的“若非q则非p”为真（即┐q⇒┐p）的形式.总之，数学上的充分条件、必要条件的“充分”、“必要”两词，与日常生活中的“充分”、“必要”意义相近，不过，要准确理解它们，还是应该以数学定义为依据.例2的问题，若用集合观点又怎样解释呢？请同学们想一想.三、小结本节主要学习了推断符号“⇒”的意义，充分条件与必要条件的概念，以及判断充分条件与必要条件的方法.判断充分条件与必要条件的依据是：若p⇒q（或若┐q⇒┐p），则p是q的充分条件；若q⇒p（或若┐p⇒┐q），则p是q的必要条件.四、布置作业(一)复习：课本P内容，熟悉巩固有关内容.34-35(二)书面：（补充题）用“充分”或“必要”填空，并说明理由：⒈“a和b都是偶数”是“a+b也是偶数”的充分条件；⒉“四边相等”是“四边形是正方形”的必要条件；⒊“x≠3”是“|x|≠3”的充分条件；⒋“x-1=0”是“x2-1=0”的充分条件；⒌“两个角是对顶角”是“这两个角相等”的充分条件；⒍“至少有一组对应边相等”是“两个三角形全等”的必要条件；⒎对于一元二次方程ax2+bx+c=0（其中a,b,c都不为0）来说，“b2-4ac≥0”是“这个方程有两个正根”的必要条件；⒏“a=2，b=3”是“a+b=5”的充分条件；⒐“a+b是偶数”是“a和b都是偶数”的必要条件；⒑“个位数字是5的自然数”是“这个自然数能被5整除”的充分条件.(三)思考题：设A是C的充分条件，B是C的充分条件，D是C的必要条件，D是B的充分条件，那么，D是A的什么条件？A是B的什么条件？解：由题意作出逻辑图（右图），便知，D是A的必要条件；A是B的充分条件.(四)预习：课本P内容.35-36§1.8.2 充要条件[教学目的]使学生理解充要条件的概念，掌握充要条件的判断.[教学过程]一、复习引入⒈什么叫做充分条件？什么叫做必要条件？答：若p⇒q（或若┐q⇒┐p），则说p是q的充分条件，q是p的必要条件.⒉指出下列命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件：⑴p：x>2，q：x>1；⑵p：x>1,q：x>2；⑶p：x>0 ,y>0，q：x+y<0；⑷p：x=0，y=0，q：x2+y2=0.解：⑴∵x>2⇒x>1，∴p是q的充分条件，q是p的必要条件.⑵∵x>1⇒x>2，但x>2⇒x>1，∴p是q的必要条件，q是p的充分条件.⑶∵x>0 ,y>0⇒x+y<0，x+y<0⇒x>0 ,y>0，∴p不是q的充分条件，p也不是q的必要条件；q不是p的充分条件，q也不是p的必要条件.⑷∵x=0，y=0⇒x2+y2=0，∴p是q的充分条件，q是p的必要条件；又x2+y2=0⇒x=0，y=0，∴q是p的充分条件，p是q的必要条件.⒊在问题⑷中，p既是q的充分条件，p又是q的必要条件，此时，我们统说，p是q的充分必要条件，简称充要条件.下面我们用数学语言来表述这个概念.二、学习、讲解新课⒈什么是充要条件？如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时，p既是q的充分条件，p又是q的必要条件，我们就说，p是q的充分必要条件，简称充要条件.（当然此时也可以说q是p的充要条件）例如，“x=0，y=0”是“x2+y2=0”的充要条件；“三角形的三条边相等”是“三角形的三个角相等”的充要条件.说明：⑴符号“⇔”叫做等价符号.“p⇔q”表示“p⇒q且p⇐q”；也表示“p等价于q”. “p⇔q”有时也用“p↔q”；⑵“充要条件”有时还可以改用“当且仅当”来表示，其中“当”表示“充分”，“仅当”表示“必要”.⒉几个相关的概念若p⇒q，但p⇐q，则说p是q的充分而不必要条件；若p⇒q，但p⇐q，则说p是q的必要而不充分条件；若p⇒q，且p⇐q，则说p是q的既不充分也不必要条件.例如，“x>2”是“x>1”的充分而不必要的条件；“x>1”是“x>2”的必要而不充分的条件；“x>0 ,y>0”是“x+y<0”的既不充分也不必要的条件.⒊充要条件的判断方法四种“条件”的情况反映了命题的条件与结论之间的因果关系，所以在判断时应该：⑴确定条件是什么，结论是什么；⑵尝试从条件推出结论，从结论推出条件（方法有：直接证法或间接证法）；⑶确定条件是结论的什么条件.例(P35例2)指出下列各组命题中，p是q的什么条件（在“充分而不必要条件”、“必要而不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种）？⑴p：(x-2)(x-3)=0；q：x-2=0.⑵p：同位角相等；q：两直线平行.⑶p：x=3；q：x2=9.⑷p：四边形的对角线相等；q：四边形是平行四边形.解：⑴∵(x-2)(x-3)=0⇒x-2=0，(x-2)(x-3)=0⇐x-2=0，∴p是q的必要而不充分的条件；⑵∵同位角相等⇔两直线平行，∴p是q的充要条件；⑶∵x=3⇒x2=9， x=3⇐x2=9，∴p是q的充分而不必要的条件；⑷∵四边形的对角线相等⇒四边形是平行四边形，四边形的对角线相等⇐四边形是平行四边形，∴p是q的既不充分也不必要的条件.练习：课本P36练习：1，2；P36-38习题：3.答案：练习：1.⑴⇒；⑵⇒；⑶⇔；⑷⇔.2.⑴充分而不必要的条件；⑵充分而不必要的条件；⑶充要条件；⑷必要而不充分的条件.习题：3.⑴假；⑵假；⑶假；⑷真.4.怎样用集合的观点对“充分”、“必要”、“充要”三种条件进行概括？答：有两种说法：⑴若A⊆B，则A是B的充分条件，B是A的必要条件；若A=B，则A是B的充要条件（此时B也是A的充要条件）.在含有变量的命题中，凡能使命题为真的变量x的允许值集合，叫做此命题的真值集合.⑵若p⇒q，说明p的真值集合⊆q的真值集合，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若p⇔q，说明p，q的真值集合相等，即p，q等价，则p是q 充要条件（此时q也是p的充要条件）.三、小结1.本节主要学习了充要条件的概念，以及判断充要条件的方法步骤（分三步），判断时主要有两种方法：一是直接证法；二是间接证法，如证其逆否命题、用反证法等.2.要证明命题的条件是充要的，就既要证明原命题成立，又要证明它的逆命题成立；证明原命题成立即证明条件的充分性，证明逆命题成立即证明条件的必要性.四、布置作业(一)复习：课本P34-36内容，进一步熟悉和巩固有关概念和方法.(二)书面：课本P36-37习题1.8：1，2.答案：1.⑴p：x>0，y>0；q：x+y>0. （∵⇒⇐）⑵p：x>3；q：x>5.（∵⇒⇐）⑶p：判别式b2-4ac≥0；q：方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实根.（∵⇔）⑷p：x>y；q：x2>y2. (∵⇒⇐)2.⑴充分而不必要的条件；⑵必要而不充分的条件；⑶必要而不充分的条件；⑷充要条件；⑸必要而不充分的条件；⑹必要而不充分的条件.(三)思考题：试寻求关于x 的方程x 2+mx+n=0有两个小于1的正根的一个充要条件.(练习册P 15探索题2)解法1：关于x 的方程x 2+mx+n=0有两个小于1的正根⇔方程在(0，1)内有实根⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>><-<≥∆0)1(0)0(1200f f m ⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>++><<-≥-0n m 10n 0m 20n 4m 2⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>++<<<<-≥-011002042n m n m n m . 解法2：方程在(0，1)内有实根⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-->-+->>+≥∆0)1)(1(0)1()1(00021212121x x x x x x x x ⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>++><<-≥-01002042n m n m n m ⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>++<<<<-≥-011002042n m n m n m . (四)预习：课本P 38-41的本章小结与复习.。
(新课程)高中数学《1.2.1-1.2.2充分条件与必要条件》教案2新人教A版选修1-1
p
:a b，q:a c b c.
（学生自练个别回答教师点评）
②练习教材P14练习第1、2题
③探究：
请冋学们自己举出一些p是q的充要条件的命题来.
程
教
学 过 程
④例2：已知：e O的半径为r，圆心0到直线l的距离为d.求证：d r是直线1与eO相切的充要条件•
（教师引导学生板书教师点评）
3.小结：充要条件概念的理解•
p
:a Q，q:a R；
（2）
p
:a R，q:a Q；
教
（3）
p
:内错角相等，q:两直线平行；
（4）
p
:两直线平行，q:内错角相等.
二、讲授新课：
1.教学充要条件：
①一般地
，如果既有p q，又有qp，就记作p
q.此时，我们说,
p是q
的充分必要条件，简称充要条件（sufficie nt and necessary con ditio n
（4）“a5是无理数"是“a是无理数"的充分不必要条件；
（5） “x1”是“x22x3 0”的充分条件.
3.作业：教材P14页习题第3、4题
).
学
②上述命题中（3）（4）命题都满足说
q是p的充要条件.
2.教学典型例题：
①例1：
下列命题中，哪些p是q的充要条件？
（1）
p
:四边形的对角线相等，q:四边形是平行四边形；
（2）
p
:b0，q:函数f（x） ax2bx c是偶函数；
过
（3）
p
:x 0,y0，q:xy 0；
三、巩固练习：
1•从“ ”、“冲”与“”中选出适当的符号填空：
高中数学充分条件与必要条件 讲学案新人教版选修1-1
充分条件与必要条件讲学案〖学习目标及要求〗1、从不同角度帮助学生理解充分条件、必要条件的意义；2．结合具体命题，初步认识命题条件的充分性、必要性的判断方法；3．培养学生的抽象概括和逻辑推理的意识．【教学重点】构建充分条件、必要条件的数学意义；【教学难点】命题条件的充分性、必要性的判断．〖讲学过程〗：一、问题引入：1.推断符号“”的含义：一般地,如果“若p ,则q ”为真, 即如果p 成立，那么q一定成立,记作:“p⇒q”;如果“若p ,则q ”为假, 即如果p成立，那么q 不一定成立,记作:“p q ”.用推断符号“⇒和”写出下列命题：⑴若“p ，则q”；⑵若“p ，则q”；2．充分条件与必要条件一般地，如果“p⇒q”，那么称p是q的充分条件；同时称q是p感悟一：的必要条件．二、探究精讲:探究一：用“充分”或“必要”填空，并说明理由：探究三：下列“若p ,则q ”形式的命题中，哪些命题中的q 是p 的必要条件？（1） 若x >0，，则x 2>0， （2） 若,a b ac bc >>则，（3） 若两个三角形全等则两个三角形面积相等。
三、感悟方法练习：（2007辽宁卷）设p q，是两个命题：251:||30:066p x q x x ->-+>，，则p 是q 的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件小结：（1）如果“若p ,则q ”为真命题，那么“ p ⇒q ”， p 是q的充分条件，q 是p 的必要条件（2）如果“若p ,则q ”为假命题，那么“pq ” ，p 不是q的充分条件，q 不是p 的必要条件。
高中数学 1.2.1充分条件与必要条件导学案 新人教A版选修1-1 学案
某某省某某市开滦第二中学高中数学充分条件与必要条件导学案新人教A版选修1-1【学习目标】1. 理解必要条件和充分条件的意义；2. 能判断两个命题之间的关系.价关系转化.【重点难点】理解必要条件和充分条件的意义【学习内容】一、课前准备复习1：请同学们画出四种命题的相互关系图.复习2：将命题“线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”改写为“若p，则q”的形式，并写出它的逆命题、否命题、逆否命题并判断它们的真假.二、新课导学1、自学探究：充分条件和必要条件的概念①. 命题“若22>+，则2x a b>”x ab（1）判断该命题的真假；（2）改写成“若p，则q”的形式，则P：q：（3）如果该命题是真命题，则该命题可记为：读作：②命题“若0a=”ab=,则0（1）判断该命题的真假；（2）改写成“若p，则q”的形式，则P：q：（3）如果该命题是真命题，则该命题可记为：读作：一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.我们就说,由p推出q,记作________，并且说p是q的,q是p的【当堂练习】：用符号“⇒”与“”填空：（1） 22x y =x y =；（2） 内错角相等两直线平行；（3） 整数a 能被6整除a 的个位数字为偶数；（4） ac bc =a b =.【例题研讨】：例1 下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题中的p 是q 的充分条件？（1）若1x =，则2430x x -+=；（2）若()f x x =，则()f x 在(,)-∞+∞上为增函数；（3）若x 为无理数，则2x 为无理数.【当堂练习】：下列“若P ，则q ”的形式的命题中，哪些命题中的p 是q 的充分条件？（1）若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行； （2）若5x >，则10x > 例2 下列“若p ，则q ”形式的命题中哪些命题中的q 是p 必要条件？（1）若x y =，则22x y =；（2）若两个三角形全等，则这两个三角形面积相等；（3）若a b >，则ac bc >【当堂练习】：下列“若p ，则q ”形式的命题中哪些命题中的q 是p 必要条件？（1）若5a +是无理数，则a 是无理数； （2）若()()0x a x b --=，则x a =.【反思】：1、判别条件的关键是什么？2、设,A B 为两个集合,集合A B ⊆，那么x A ∈是x B ∈的条件，x B ∈是x A ∈的条件.【当堂练习】:练1. 判断下列命题的真假.（1）2x =是2440x x -+=的必要条件； （2）圆心到直线的距离等于半径是这条直线为圆的切线的必要条件； （3）sin sin αβ=是αβ=的充分条件； （4）0ab ≠是0a ≠的充分条件.练2. 下列各题中，p 是q 的什么条件？（1）p ：1x =，q ：1x -= （2）p ：|2|3x -≤，q ：15x -≤≤；（3）p ：2x =，q ：3x -； （4）p ：三角形是等边三角形，q ：三角形是等腰三角形.三、总结提升：这节课你学到了哪些知识？课后作业2.,x y R ∈，下列各式中哪个是“0xy ≠”的必要条件？（ ）.A.0x y +=B.220x y +>C.0x y -=D.330x y +≠//α平面β的一个充分条件是（ ）.,//,//a a a αβ,,//a a a αβ⊂,,,,//,//a b a b a b αββα⊂⊂,,,,//,//a b a b a b αββα⊂⊂4.p :20x -=,q ：(2)(3)0x x --=，p 是q 的 条件.5. p ：两个三角形相似；q ：两个三角形全等，p 是q 的 条件.6. 判断下列命题的真假（1）“a b >”是“22a b >”的充分条件；（2）“||||a b >”是“22a b >”的必要条件.。
人教版高中数学1-1选修1.2充分条件与必要条件教案(7)
充分条件与必要条件教案教学目标(1)使学生正确理解充分条件、必要条件，及充分必要条件的含义，能从本质上理解掌握它们．从而能判断一些简单的充要条件的问题．教学重点和难点重点：充分条件、必要条件、充要条件定义的准确理解；推断符号的正确使用；充分条件、必要条件、充要条件的简单判断．难点：充分条件、必要条件、充要条件本质的理解和正确的应用．教学过程设计(一)学生阅读课文阅读要点：什么是“充分条件”、什么是“必要条件”、什么是“充分必要条件”(二)导入新课教师针对阅读要点，仔细向学生阐述．前面我们学习了“若p则q”形式的命题，其中有的命题为真，有的命题为假．如果“若p则q”为真是指由p经过推理可以得出q，即如果p成立，那么q一定成立．三角形面积相等．p是q的充分条件，q是p的必要条件．x2＞0是x＞0的必要条件．这表明x2＞0这一条件是x＞0必要的条件，如果没有x2＞0这一条件，肯定不会有x＞0．两三角形全等是两三角形面积相等的充分条件．这表明两三角形全等这一条件足以充分保证两三角形的面积相等．两三角形面积相等是两三角形全等的必要条件．这表明两三角形要全等这两个三角形必须面积相等，两三角形面积相等这一条件是必不可少的，是必要的．请同学们注意下面这段话：大家应作如下理解：成立”的充分根据和保证．是说“没有q成立”就“没有p成立”可见“有q成立”对于“有p成立”是必不可少的，因此说q是p的必要条件．继续深入地研究上面的两个例子：∴x＞0是x2＞0的充分而不必要条件．要条件．充分条件．∴两三角形面积相等是两三角形全等的必要而不充分条件．一般来讲：p是q的充分而不必要条件．p是q的必要而不充分条件．再看一例：若一个三角形的三条边相等，则这个三角形的三个角相等．三角形的三条边相等既是三角形三个角相等的充分条件，又是必要条件，我们说三角形三条边相等是三角形三个角相等的充分必要条件，简称充要条件．p与q互为充分必要条件，简称互为充要条件．(三)课堂练习：学生练习，教师指导，讲评．指出下列各组命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件．(1)p：x=y；q：x2=y2．(2)p：a∈Q；q：a∈R．(3)p：a∈R；q：a∈Q．(4)p：x=0；q：xy=0(5)p：两直线平行；q：内错角相等．(6)p：x是6的倍数；q：x是2的倍数．(7)p：x是2的倍数；q：x是6的倍数．(8)p：x既是2的倍数也是3的倍数；q：x是6的倍数．(9)p：两个角是对顶角，q：两个角相等．(10)p：x是4的倍数；q：x是6的倍数．[讲评]q是p的必要而不充分条件．q是p的必要而不充分条件．q是p的充分而不必要条件．q是p的必要而不充分条件．q是p的必要而不充分条件．q是p的充分而不必要条件．q是p的必要而不充分条件．(四)小结(1)判断充分条件、必要条件要十分注意指向，即要弄清谁是谁的什么条件．(3)p、q是两个简单命题．(4)命题的条件与结论之间的四种关系是：充分而不必要条件；必要而不充分条件；充要条件；既不充分也不必要条件．(五)作业习题1.8 1．2．3．。
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1.2.1充分条件与必要条件
教学目标：正确理解充分条件、必要条件的概念；通过对充分条件和必要条件的概念理解和运用，培养学生逻辑思维能力和良好的思维品质。
教学重点：理解充分条件和必要条件的概念. 教学难点：理解必要条件的概念. 教学过程： 一、复习准备：
写出下列命题的逆命题、否命题及逆否命题，并判断它们的真假： （1）若0ab =，则0a =；
（2）若0a >时，则函数y ax b =+的值随x 的值的增加而增加. 二、讲授新课：
1. 认识“⇒”与“”：
①在上面两个命题中，命题（1）为假命题，命题（2）为真命题. 也就是说，命题（1）
中由“0ab =”不能得到“0a =”，即0ab =0a =；而命题（2）中由“0a >”可以得到“函数y ax b =+的值随x 的值的增加而增加”，即0a >⇒函数y ax b =+的值随x 的值的增加而增加.
②练习：教材P10 第1题 2. 教学充分条件和必要条件：
①若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件.
上述命题（2）中“0a >”是“函数y ax b =+的值随x 的值的增加而增加”的充分条件，而“函数y ax b =+的值随x 的值的增加而增加”则是“0a >”的必要条件.
②例1：下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题中的p 是q 的充分条件？ （1）若1x >，则33x -<-；
（2）若1x =，则2320x x -+=；
（3）若()3
x
f x =-
，则()f x 为减函数； （4）若x 为无理数，则2x 为无理数. （5）若12//l l ，则12k k =.
（学生自练→个别回答→教师点评） 解析: 若p q ⇒，则p 是q 的充分条件 解：（1）（2）（3）p 是q 的充分条件。
点评：判断p 是不是q 的充分条件，可根据若p 则q 的真假进行。
③变式练习：P10页 第2题
④例2：下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题中的q 是p 的必要条件？ （1）若0a =，则0ab =；
（2）若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等； （3）若a b >，则ac bc >； （4）若x y =，则22x y =.
（学生自练→个别回答→教师点评）
解析: 若p q ⇒，则q 是p 的必要条件。
解：（1）（4）q 是p 的必要条件。
点评：判断q 是不是p 的必要条件，可根据若p 则q 的真假进行。
⑤变式练习：P10页 第3题 ⑥例3：判断下列命题的真假： （1）“x 是6的倍数”是“x 是2的倍数”的充分条件；（2）“5x <”是“3x <”的必要条件.
（学生自练→个别回答→学生点评）
解析:先写成“若p，则q”形式，再判断真假。
解：（1）（2）都是真命题。
点评;对于涉及充分与必要条件判断的问题，必须以准确充分理解充分条件与必要条件的概念为基础。
.
⑦变式练习：P10页第4题
.3. 小结：充分条件与必要条件的概念的理解。
三、巩固练习：
作业：教材P12页第1、2题
学校：临清一中学科：数学编写人：阴红菊审稿人：贾志安
1．2．1 充分条件和必要条件
课前预习学案
一、预习目标：理解充分条件、必要条件的概念
二、预习内容：充分条件、必要条件的概念例1 例2
三、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点疑惑内容
课内探究学案
一、学习目标：
1、理解充分条件、必要条件的意义
2、能进行充分条件、必要条件的判断
学习重点：充分条件、必要条件概念的理解
难点：理解必要条件的概念.
二、学习过程：
学生探究过程：
1．练习与思考
写出下列两个命题的条件和结论，并判断是真命题还是假命题？
（1）若x ＞ a2 + b2，则x ＞ 2ab, （2）若ab ＝ 0，则a ＝ 0.
学生容易得出结论；命题(1)为真命题，命题(２)为假命题．
置疑：对于命题“若p，则q”，有时是真命题，有时是假命题．如何判断其真假的？
答：看p能不能推出q，如果p能推出q，则原命题是真命题，否则就是假命题．
２．给出定义
命题“若p，则q”为真命题，是指由p经过推理能推出q，也就是说，如果p成立，那么q一定成立．换句话说，只要有条件p就能充分地保证结论q的成立，这时我们称条件p是q成立的充分条件．
一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q．这时，我们就说，由p可推出q，记作：．
定义：如果命题“若p，则q”为真命题，即那么我们就说p是q的充分条件；q 是p必要条件．
上面的命题(1)为真命题，即
x ＞ a2 + b2 x ＞ 2ab，
所以“x ＞ a2 + b2 ”是“x ＞ 2ab”的充分条件，“x ＞ 2ab”是“x ＞ a2 + b2”＂的必要条件．
3．例题分析：
例１：下列“若p，则q”形式的命题中，那些命题中的p是q的充分条件？
（1）若x ＝1，则x2 － 4x ＋ 3 ＝ 0；（2）若f(x)＝ x，则f(x)为增函数；
（3）若x为无理数，则x2为无理数．
解析：要判断p是否是q的充分条件，就要看p能否推出q．
解略．
例２：下列“若p,则q”形式的命题中，那些命题中的q是p的必要条件?
(1) 若x ＝ y，则x2 ＝ y2；
(2) 若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等；（3）若a ＞b,则ac＞bc．
分析：要判断q是否是p的必要条件，就要看p能否推出q．
解略．
三、反思总结
充分、必要的定义．
在“若p，则q”中，若，则p为q的充分条件，q为p的必要条件．
注：（1）条件是相互的；
（2）p是q的什么条件，有四种回答方式：
① p是q的充分而不必要条件；
② p是q的必要而不充分条件；
③ p是q的充要条件；
④ p是q的既不充分也不必要条件．
四、当堂检测：P10 练习第1、2、3、4题
课后练习与提高
1、指出下列命题中p 是q的什么条件？
⑴ p：x＞1, q： x2＞1
⑵ p：四边形的四个角相等 q：四边形是正方形
⑶ p：两直线垂直 q：两直线的斜率的积为-1
2、指出下列命题中p 是q的什么条件？填（充分不必要条件、必要不充分条件、既不充分也不必要条件）
⑴ p：x-1=0, q： (x-1)(x+2)=0
⑵ p：a＞b q： a2＞b2
⑶ p：四边形的四条边相等 q：四边形是正方形
3、作业 P12：习题1.2A组第1(1)(2),2(1)(2)题。