初三数学旋转、圆学生版
人教初三数学旋转模型含详细解析
人教版初三数学旋转模型(含详细解析)————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：旋转模型授课日期时 间主 题教学内容1.巩固并掌握旋转的性质；2.结合辅助线的构造，更深刻的认识旋转的性质；知识结构1、在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转2、►旋转具有以下特征：（1）图形中的每一点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度；（2）对应点到旋转中心的距离相等； （3）对应角、对应线段相等；（4）图形的形状和大小都不变。
3、旋转的思想：旋转也是图形的一种基本变换，通过图形旋转变换，从而将一些简单的平面图形按要求旋转到适当的位置，使问题获得简单的解决，它是一种要的解题方法。
4、旋转不同类型（一）正三角形类型在正ABC ∆中，P 为ABC ∆内一点，将ABP ∆绕A 点按逆时针方向旋转60o，使得AB 与AC 重合。
经过这样旋转变化，将图（1-1-a ）中的PA 、PB 、PC 三条线段集中于图（1-1-b ）中的一个'P CP ∆中，此时'P CP ∆也为正三角形。
【例题】如图：（1-1）：设P是等边ABC∆内的一点，PA=3，PB=4，PC=5，APB∠的度数是________.οοο1509060.3,'''''''=+=+∠=∠∴≅==∠=∠PBPAPPAPBRTPBPAPPCAPBAPBPAPAPCAPBAPABC△为为正三角形，△。
易证△△则△，连结且的外侧，作简解：在△‘（二）正方形类型在正方形ABCD中，P为正方形ABCD内一点，将ABP∆绕B点按顺时针方向旋转90o，使得BA与BC重合。
经过旋转变化，将图（2-1-a）中的PA、PB、PC三条线段集中于图（2-1-b）中的'CPP∆中，此时'CPP∆为等腰直角三角形。
第22课 圆的基本概念和性质(学生版 九年级数学上册精品讲义(人教)
A.2.5cm
B.6.5cm C. 2.5cm 或 6.5cm D. 5cm 或 13cm
【即学即练 4】（1）过____________________上的三个点确定一个圆． （2）交通工具上的轮子都是做圆的，这是运用了圆的性质中的_________．
【典例 5】如图，⊙O 的直径为 10，弦 AB=8，P 是弦 AB 上的一个动点，那么 OP 的长的取值范围是
的图形叫做圆，固定的端点 O 叫做圆心，线段 OA 叫做
. 以点 O 为圆心的圆，记作“ ”，读
作“圆 O”．
要点诠释：
①圆心确定圆的
，半径确定圆的
；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不
可；
②圆是一条封闭曲线.
(2)静态：圆心为 O，半径为 r 的圆是平面内 的集合.
要点诠释：
①定点为圆心，定长为半径；
【即学即练 2】 点 A、O、D 与点 B、O、C 分别在同一直线上，图中弦的条数为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
考法 03 圆的对称性
【典例 4】圆 O 所在平面上的一点 P 到圆 O 上的点的最大距离是 10，最小距离是 2，求此圆的半径是多少？
【即学即练 3】平面上的一个点到圆的最小距离是 4cm,最大距离是 9cm，则圆的半径是（ ）.
弧：
叫做圆弧，简称弧.以 A、B 为端点的弧记作 »AB ，读作“圆弧 AB”或“弧 AB”.
半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，
优弧：
的弧叫做优弧；
劣弧：
的弧叫做劣弧.
半圆是弧，而弧不一定是半圆； ②无特殊说明时，弧指的是劣弧. 3.同心圆与等圆 圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆. 圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等.
初三数学圆知识点总结完整版
初三数学圆知识点总结 Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】初三数学圆知识点总结一、本章知识框架二、本章重点1．圆的定义：(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆．(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合．2．判定一个点P是否在⊙O上．设⊙O的半径为R，OP＝d，则有d>r点P在⊙O 外；d＝r点P在⊙O 上；d<r点P在⊙O 内．3．与圆有关的角(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角．圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数．(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角．圆周角的性质：①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半．②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角．④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角．(3)弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫弦切角．弦切角的性质：弦切角等于它夹的弧所对的圆周角．弦切角的度数等于它夹的弧的度数的一半．4．圆的性质：(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心．在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等．(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴．垂径定理及推论：(1)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．(2)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．(3)弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧．(4)平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦．(5)平行弦夹的弧相等．5．三角形的内心、外心、重心、垂心(1)三角形的内心：是三角形三个角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示．(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示．(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示．(4)垂心：是三角形三边高线的交点．6．切线的判定、性质：(1)切线的判定：①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．②到圆心的距离d等于圆的半径的直线是圆的切线．(2)切线的性质：①圆的切线垂直于过切点的半径．②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点．③经过切点作切线的垂线经过圆心．(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长．(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．7．圆内接四边形和外切四边形(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角．(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等．8．直线和圆的位置关系：设⊙O 半径为R，点O到直线l的距离为d．(1)直线和圆没有公共点直线和圆相离d>R．(2)直线和⊙O有唯一公共点直线l和⊙O相切d＝R．(3)直线l和⊙O 有两个公共点直线l和⊙O 相交d<R．9．圆和圆的位置关系：设的半径为R、r(R>r)，圆心距．(1)没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的外部外离d>R＋r．(2)没有公共点，且的每一个点都在外部内含d<R－r(3)有唯一公共点，除这个点外，每个圆上的点都在另一个圆外部外切d＝R＋r．(4)有唯一公共点，除这个点外，的每个点都在内部内切d＝R－r．(5)有两个公共点相交R－r<d<R＋r．10．两圆的性质：(1)两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线．(2)相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点．11．圆中有关计算：圆的面积公式：，周长C＝2πR．圆心角为n°、半径为R的弧长．圆心角为n°，半径为R，弧长为l的扇形的面积．弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算．圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为l的圆柱的体积为，侧面积为2πRl，全面积为．圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为l，高为h的圆锥的侧面积为πRl ，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有．【经典例题精讲】例1 如图23-2，已知AB为⊙O直径，C为上一点，CD⊥AB于D，∠OCD的平分线CP交⊙O于P，试判断P点位置是否随C点位置改变而改变分析：要确定P点位置，我们可采用尝试的办法，在上再取几个符合条件的点试一试，观察P点位置的变化，然后从中观察规律．解：连结OP，P点为中点．小结：此题运用垂径定理进行推断．例2 下列命题正确的是( )A．相等的圆周角对的弧相等B．等弧所对的弦相等C．三点确定一个圆D．平分弦的直径垂直于弦．解：A．在同圆或等圆中相等的圆周角所对的劣弧相等，所以A不正确．B．等弧就是在同圆或等圆中能重合的弧，因此B正确．C．三个点只有不在同一直线上才能确定一个圆．D．平分弦(不是直径)的直径垂直于此弦．故选B．例3 四边形ABCD内接于⊙O，∠A︰∠B︰∠C＝1︰2︰3，求∠D．分析：圆内接四边形对角之和相等，圆外切四边形对边之和相等．解：设∠A＝x，∠B＝2x，∠C＝3x，则∠D＝∠A＋∠C－∠B＝2x．x＋2x＋3x＋2x＝360°，x＝45°．∴∠D＝90°．小结：此题可变形为：四边形ABCD外切于⊙O，周长为20，且AB︰BC︰CD＝1︰2︰3，求AD的长．例4 为了测量一个圆柱形铁环的半径，某同学采用如下方法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺，用如图23-4所示方法得到相关数据，进而可以求得铁环半径．若测得PA＝5cm，则铁环的半径是__________cm．分析：测量铁环半径的方法很多，本题主要考查切线长性质定理、切线性质、解直角三角形的知识进行合作解决，即过P点作直线OP⊥PA，再用三角板画一个顶点为A、一边为AP、大小为60°的角，这个角的另一边与OP的交点即为圆心O，再用三角函数知识求解．解：．小结：应用圆的知识解决实际问题，应将实际问题变成数学问题，建立数学模型．例5 已知相交于A、B两点，的半径是10，的半径是17，公共弦AB＝16，求两圆的圆心距．解：分两种情况讨论：(1)若位于AB的两侧(如图23-8)，设与AB交于C，连结，则垂直平分AB，∴．又∵AB＝16∴AC＝8．在中，．在中，．故．(2)若位于AB的同侧(如图23-9)，设的延长线与AB交于C，连结．∵垂直平分AB，∴．又∵AB＝16，∴AC＝8．在中，．在中，．故．注意：在圆中若要解两不等平行弦的距离、两圆相切、两圆相离、一个点到圆上各点的最大距离和最小距离、相交两圆圆心距等问题时，要注意双解或多解问题．三、相关定理：1.相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
-学九级数学上册第二十三章旋转教案人教版
- 发布预习任务：通过在线平台或班级微信群，发布预习资料，包括PPT、视频和文档等，明确预习目标和要求。
- 设计预习问题：围绕“旋转”课题，设计一系列具有启发性和探究性的问题，引导学生自主思考。
- 监控预习进度：利用平台功能或学生反馈，监控学生的预习进度，确保预习效果。
学生活动：
- 自主阅读预习资料：按照预习要求，自主阅读预习资料，理解旋转的概念和性质。
- 实践活动法：设计实践活动，让学生在实践中掌握旋转技能。
- 合作学习法：通过小组讨论等活动，培养学生的团队合作意识和沟通能力。
作用与目的：
- 帮助学生深入理解旋转的知识点，掌握旋转技能。
- 通过实践活动，培养学生的动手能力和解决问题的能力。
- 通过合作学习，培养学生的团队合作意识和沟通能力。
3. 课后拓展应用
2. 旋转可以改变图形的位置，但不改变图形的大小和形状。（√）
3. 旋转后，图形上的对应点、对应线段和对应角保持不变。（√）
4. 旋转后的图形与原图形完全相同。（×）
5. 旋转的计算方法是已知一个图形绕某点旋转一个角度，求旋转后图形的位置。（√）
（2）选择题（每题3分，共15分）
1. 下列图形中，哪个图形是旋转对称图形？
- 培养学生的自主学习能力和独立思考能力。
2. 课中强化技能
教师活动：
- 导入新课：通过一个有趣的旋转实例或视频，引出“旋转”课题，激发学生的学习兴趣。
- 讲解知识点：详细讲解旋转的定义、性质和计算方法，结合实例帮助学生理解。
- 组织课堂活动：设计小组讨论、实际操作等活动，让学生在实践中掌握旋转技能。
（3）解决实际问题：鼓励学生运用旋转知识解决实际问题，如在制作几何模型、设计电路图等方面运用旋转的原理，提高学生解决实际问题的能力。
初三旋转中的最值问题
初三旋转中的最值问题全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：初三旋转中的最值问题是中学数学中的一个重要知识点，通常涉及到函数的最值求解和图形的旋转等内容。
在初三阶段，学生常常会遇到类似于“求解函数f(x)=x^2在区间[a,b]上的最大值”或“求解旋转体的体积最大值”等问题。
本文将重点介绍初三阶段学生在旋转中的最值问题中常见的几种情形，并给出详细的解题方法和实例。
一、函数的最值问题在数学中，函数f(x)在区间[a,b]上的最值通常包括最大值和最小值两种情况。
最大值是函数在该区间上取得的最大函数值，而最小值是函数在该区间上取得的最小函数值。
初三阶段学生通常会被要求求解给定函数在给定区间上的最值，其中最常见的情形是二次函数在闭区间上的最值问题。
以函数f(x)=x^2为例，求解其在区间[-1,1]上的最大值。
我们需要求出函数f(x)=x^2在该区间端点和驻点处的函数值，即f(-1)=1,f(0)=0,f(1)=1。
然后，对函数f(x)=x^2求导得到f'(x)=2x，再令f'(x)=0解得驻点x=0。
比较端点和驻点处的函数值，即f(-1)=1,f(0)=0,f(1)=1，得知函数f(x)=x^2在区间[-1,1]上的最大值为1。
对于初三阶段的学生来说，很多函数的最值问题可以通过几何意义进行解释。
函数f(x)=x^2表示一个抛物线，函数在单调递增区间上取得最小值，而在单调递减区间上取得最大值。
初三阶段学生可以通过画出函数图像或利用函数基本性质进行推断，帮助他们更好地理解函数的最值问题。
二、图形的旋转中的最值问题在初三阶段，学生通常会遇到圆的旋转体体积最值问题。
圆的旋转体是指将一个形状为圆的二维图形绕某一条轴旋转一周所形成的立体图形。
求解圆的旋转体体积最值问题就是要找出使得旋转体体积最大或最小的情形。
以一个直径为2r的圆的旋转体体积为例，求解其体积最大值。
我们知道圆的周长为2πr，将其围绕直径旋转一周即可得到一个球体的体积。
初三数学图形的旋转知识点与圆的知识点
初三数学图形的旋转知识点与圆的知识点初三数学的图形学习无非就是常规图形，难度比较高的就是圆，这里的知识点大家要用心学习好，小编在这里整理了相关资料，希望能帮助到您。
初三数学图形的旋转知识点1、定义把一个图形绕某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，其中O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。
2、性质(1)对应点到旋转中心的距离相等。
(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。
二、中心对称1、定义把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。
2、性质(1)关于中心对称的两个图形是全等形。
(2)关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。
(3)关于中心对称的两个图形，对应线段平行(或在同一直线上)且相等。
3、判定如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。
4、中心对称图形把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个店就是它的对称中心。
5、坐标系中对称点的特征1、关于原点对称的点的特征两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点P(x，y)关于原点的对称点为P’(-x，-y)2、关于x轴对称的点的特征两个点关于x轴对称时，它们的坐标中，x相等，y的符号相反，即点P(x，y)关于x轴的对称点为P’(x，-y)3、关于y轴对称的点的特征两个点关于y轴对称时，它们的坐标中，y相等，x的符号相反，即点P(x，y)关于y轴的对称点为P’(-x，y)初三数学圆的知识点一圆的定理1.1不共线的三点确定一个圆经过一点可以作无数个圆经过两点也可以作无数个圆，且圆心都在连结这两点的线段的垂直平分线上定理：过不共线的三个点，可以作且只可以作一个圆推论：三角形的三边垂直平分线相交于一点，这个点就是三角形的外心三角形的三条高线的交点叫三角形的垂心1.2垂径定理圆是中心对称图形;圆心是它的对称中心圆是周对称图形，任一条通过圆心的直线都是它的对称轴定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且评分弦所对的两条弧推论1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧推论2：弦的垂直平分弦经过圆心，并且平分弦所对的两条弧推论3：平分弦所对的一条弧的直径，垂直评分弦，并且平分弦所对的另一条弧1.3弧、弦和弦心距定理：在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等二圆与直线的位置关系2.1圆与直线的位置关系如果一条直线和一个圆没有公共点，我们就说这条直线和这个圆相离如果一条直线和一个圆只有一个公共点，我们就说这条直线和这个圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做它们的切点定理：经过圆的半径外端点，并且垂直于这条半径的直线是这个圆的切线定理：圆的切线垂直经过切点的半径推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心如果一条直线和一个圆有两个公共点，我们就说，这条直线和这个圆相交，这条直线叫这个圆的割线，这两个公共点叫做它们的交点直线和圆的位置关系只能由相离、相切和相交三种2.2三角形的内切圆如果一个多边形的各边所在的直线，都和一个圆相切，这个多边形叫做圆的外切多边形，这个圆叫做多边形的内切圆定理：三角形的三个内角平分线交于一点，这点是三角形的内心三角形一内角评分线和其余两内角的外角评分线交于一点，这一点叫做三角形的旁心。
九年级数学上册 3.2 圆形的旋转 旋转的趣味应用素材
旋转的趣味应用在平时的生活学习当中,有很多旋转的例子．通过我们对旋转概念和基本知识的学习，不仅增加了基本的思维方式，同时也锻炼的我们的空间想像能力．下边是一些趣味的“旋转”题：例1找出下列图形中的旋转中心，旋转角以及旋转的“基本图案”．解图（1）的旋转中心为点O，旋转角是120°，“基本图案"是图（2)的旋转中心为点O，旋转角是90°，“基本图案”是OABC围成的图案．图（3）的旋转中心为点O，旋转角是72°，“基本图案”是四边形OABC．图（4）的旋转中心是O,旋转角是60°，“基本图案”是弧ABO．例2（1）钟表的时针与分针每分钟各转多少度角？每5分钟各转多少度角?（2）从1点到1点25分，分针转了多少度角?时针转了多少度角?1点25分时针与分针的夹角是多少度?（3)从8点到8点40分，分针转了多少度角？时针转了多少度角？8点40分时针与分针的夹角是多少度？解:钟表的时针12小时旋转一周，也就是12小时旋转360°，每小时旋转，这样就可求出每分钟旋转多少度，然后根据题意计算出时针旋转的角度．分针每小时旋转一周,也就是60分钟旋转360°，则每分钟旋转，然后就可根据题意计算出分针旋转的角度．(1）时针每分钟旋转,分针每分钟旋转．时针每5分钟,分针每5分钟旋转．（2）1时整，时针与分针的夹角为30°．从1点到1点25分,时针又旋转了，从1点到1点25分，分针又旋转了6°×25＝150°．所以1点25分，分针与时针的夹角为150°－30°－12。
5°＝107.5°．（3)8时整，时针与分针的夹角为120°．从8点到8点40分，时针又旋转了．从8点到8点40分,分针又旋转了6°×40＝240°．所以8点40分，分针与时针的夹角为(360°－120°)＋20°－240°＝20°．例3如图,下列各图形各围绕哪一点，最低需要旋转多少度之后,能够与它的自身相重合?解（1）180°；（2);（3）．总结:这类题首先要观察它是不是旋转对称图形，肯定之后再看它是由多少个相同的“单位”组成的，例如有n个．那么为使图形重合旋转的最低角度就是。
中考一轮复习 数学专题15 图形的旋转、翻折(对称)与平移(学生版)
专题15 图形的旋转、翻折（对称）与平移一、单选题1．（2022·广东）在平面直角坐标系中，将点()1,1向右平移2个单位后，得到的点的坐标是（ ） A ．()3,1 B ．()1,1- C ．()1,3 D ．()1,1-2．（2022·广西）如图，在△ABC 中，点A （3，1），B （1，2），将△ABC 向左平移2个单位，再向上平移1个单位，则点B 的对应点B ′的坐标为（ ）A ．（3，-3）B ．（3，3）C ．（－1，1）D ．（－1，3）3．（2020·山东菏泽）在平面直角坐标系中，将点()3,2P -向右平移3个单位得到点P '，则点P '关于x 轴的对称点的坐标为（ ）A ．()0,2-B ．()0,2C ．()6,2-D ．()6,2--4．（2020·四川自贡）在平面直角坐标系中，将点()2,1向下平移3个单位长度，所得点的坐标是（ ） A ．(),-11 B ．(),51 C ．(),24 D ．(),-225．（2021·四川雅安）如图，将ABC 沿BC 边向右平移得到DEF ，DE 交AC 于点G ．若:3:1BC EC =．16ADG S =△．则CEG S △的值为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．86．（2021·浙江丽水）四盏灯笼的位置如图．已知A ，B ，C ，D 的坐标分别是 (−1，b )，(1，b )，(2，b )，(3.5，b )，平移y 轴右侧的一盏灯笼，使得y 轴两侧的灯笼对称，则平移的方法可以是（ ）A ．将B 向左平移4.5个单位B ．将C 向左平移4个单位 C ．将D 向左平移5.5个单位 D ．将C 向左平移3.5个单位7．（2022·四川南充）如图，将直角三角板ABC 绕顶点A 顺时针旋转到AB C ''△，点B '恰好落在CA 的延长线上，3090∠=︒∠=︒，B C ，则BAC '∠为（ ）A ．90︒B ．60︒C ．45︒D ．308．（2022·山东青岛）如图，将ABC 先向右平移3个单位，再绕原点O 旋转180︒，得到A B C '''，则点A 的对应点A '的坐标是（ ）A ．(2,0)B ．(2,3)--C ．(1,3)--D ．(3,1)--9．（2022·内蒙古呼和浩特）如图，ABC 中，90ACB ∠=︒，将ABC 绕点C 顺时针旋转得到EDC △，使点B 的对应点D 恰好落在AB 边上，AC 、ED 交于点F ．若BCD α∠=，则EFC ∠的度数是（用含α的代数式表示）（ ）A ．1902α︒+B ．1902α︒-C ．31802α︒-D ．32α 10．（2022·四川内江）如图，在平面直角坐标系中，点B 、C 、E 在y 轴上，点C 的坐标为（0，1），AC ＝2，Rt△ODE 是Rt△ABC 经过某些变换得到的，则正确的变换是（ ）* 本号资料皆来源于微信：数学A ．△ABC 绕点C 逆时针旋转90°，再向下平移1个单位B ．△ABC 绕点C 顺时针旋转90°，再向下平移1个单位C ．△ABC 绕点C 逆时针旋转90°，再向下平移3个单位D ．△ABC 绕点C 顺时针旋转90°，再向下平移3个单位11．（2022·黑龙江绥化）如图，线段OA 在平面直角坐标系内，A 点坐标为()2,5，线段OA 绕原点O 逆时针旋转90°，得到线段OA '，则点A '的坐标为（ ）A ．()5,2-B ．()5,2C ．()2,5-D ．()5,2-12．（2021·四川广安）如图，将ABC 绕点A 逆时针旋转55︒得到ADE ，若70E ∠=︒且AD BC ⊥于点F ，则BAC ∠的度数为（ ）A ．65︒B ．70︒C ．75︒D ．80︒13．（2020·湖北黄石）在平面直角坐标系中，点G 的坐标是()2,1-，连接OG ，将线段OG 绕原点O 旋转180︒，得到对应线段OG '，则点G '的坐标为（ ）A ．()2,1-B ．()2,1C ．()1,2-D ．()2,1--14．（2020·四川攀枝花）如图，直径6AB =的半圆，绕B 点顺时针旋转30︒，此时点A 到了点A '，则图中阴影部分的面积是（ ）．A ．2πB ．34πC ．πD ．3π15．（2022·天津）如图，在△ABC 中，AB =AC ，若M 是BC 边上任意一点，将△ABM 绕点A 逆时针旋转得到△ACN ，点M 的对应点为点N ，连接MN ，则下列结论一定正确的是（ ）A ．AB AN = B ．AB NC ∥ C ．AMN ACN ∠=∠D ．MN AC ⊥16．（2022·江苏扬州）如图，在ABC ∆中，AB AC <，将ABC 以点A 为中心逆时针旋转得到ADE ，点D 在BC 边上，DE 交AC 于点F ．下列结论：△AFE DFC △△；△DA 平分BDE ∠；△CDF BAD ∠=∠，其中所有正确结论的序号是（ ）A ．△△B ．△△C ．△△D ．△△△17．（2021·黑龙江牡丹江）如图，△AOB 中，OA ＝4，OB ＝6，AB ＝，将△AOB 绕原点O 旋转90°，则旋转后点A 的对应点A ′的坐标是（ ）A ．（4，2）或（﹣4，2）B ．（4）或（﹣4） C ．（﹣2）或（2） D ．（2，﹣2，18．（2021·广东广州）如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，6AC =，8BC =，将ABC 绕点A 逆时针旋转得到A B C '''，使点C '落在AB 边上，连结BB '，则sin BB C ''∠的值为（ ）A ．35B ．45CD 19．（2021·河南）如图，OABC 的顶点(0,0)O ，(1,2)A ，点C 在x 轴的正半轴上，延长BA 交y 轴于点D ．将ODA 绕点O 顺时针旋转得到OD A ''△，当点D 的对应点D 落在OA 上时，D A ''的延长线恰好经过点C ，则点C 的坐标为（ ）A ．0)B ．C ．1,0)D ．1,0)20．（2020·海南）如图，在Rt ABC 中， 90,30,1,C ABC AC cm ∠=︒∠=︒=将Rt ABC 绕点A 逆时针旋转得到Rt AB C ''△，使点C '落在AB 边上，连接BB '，则BB '的长度是（ ）A ．1cmB ．2cmCD ．21．（2020·山东菏泽）如图，将ABC 绕点A 顺时针旋转角α，得到ADE ，若点E 恰好在CB 的延长线上，则BED ∠等于（ ）A ．2α B ．23α C ．α D ．180α︒-22．（2020·山东聊城）如图，在Rt ABC △中，2AB =，30C ∠=︒，将Rt ABC △绕点A 旋转得到Rt A B C '''∆，使点B 的对应点B '落在AC 上，在B C ''上取点D ，使2B D '=，那么点D 到BC 的距离等于（ ）．A ．21⎫+⎪⎪⎝⎭B 1C 1D 123．（2020·山东枣庄）如图，平面直角坐标系中，点B 在第一象限，点A 在x 轴的正半轴上，30AOB B ∠=∠=︒，2OA =，将AOB 绕点O 逆时针旋转90︒，点B 的对应点B '的坐标是（ ）A ．(1,2-+B ．()C ．(2+D ．(- 二、填空题 24．（2022·山东临沂）如图，在平面直角坐标系中，ABC 的顶点A ，B 的坐标分别是()0,2A ，()2,1B -．平移ABC 得到A B C '''，若点A 的对应点A '的坐标为()1,0-，则点B 的对应点B '的坐标是_____________．25．（2021·辽宁鞍山）如图，△ABC 沿BC 所在直线向右平移得到△DEF ，若EC ＝2，BF ＝8，则BE ＝___．26．（2021·湖南湘潭）在平面直角坐标系中，把点()2,1A -向右平移5个单位得到点A '，则点A '的坐标为____． 27．（2021·吉林长春）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形AOB 的斜边OA 在y 轴上，2OA =，点B 在第一象限．标记点B 的位置后，将AOB 沿x 轴正方向平移至111AO B 的位置，使11A O 经过点B ，再标记点1B 的位置，继续平移至222A O B △的位置，使22A O 经过点1B ，此时点2B 的坐标为__________．28．（2021·湖南怀化）如图，在平面直角坐标系中，已知(2,1)A -，(1,4)B -，(1,1)C -，将ABC 先向右平移3个单位长度得到111A B C △，再绕1C 顺时针方向旋转90︒得到221A B C △，则2A 的坐标是____________．29．（2022·山东潍坊）如图，在直角坐标系中，边长为2个单位长度的正方形ABCO 绕原点O 逆时针旋转75︒，再沿y 轴方向向上平移1个单位长度，则点B ''的坐标为___________．30．（2020·江苏镇江）如图，在△ABC 中，BC ＝3，将△ABC 平移5个单位长度得到△A 1B 1C 1，点P 、Q 分别是AB 、A 1C 1的中点，PQ 的最小值等于_____．31．（2020·广东广州）如图，点A 的坐标为()1,3，点B 在x 轴上，把OAB ∆沿x 轴向右平移到ECD ∆，若四边形ABDC 的面积为9，则点C 的坐标为_______．32．（2020·湖南湘西）在平面直角坐标系中，O 为原点，点(6,0)A ，点B 在y 轴的正半轴上，30ABO ∠=︒．矩形CODE 的顶点D ，E ，C 分别在,,OA AB OB 上，2OD =．将矩形CODE 沿x 轴向右平移，当矩形CODE 与ABO重叠部分的面积为CODE 向右平移的距离为___________．33．（2022·湖南永州）如图，图中网格由边长为1的小正方形组成，点A 为网格线的交点.若线段OA 绕原点O 顺时针旋转90°后，端点A 的坐标变为______．34．（2021·湖北随州）如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，30ABC ∠=︒，BC =ABC 绕点A 逆时针旋转角α（0180α︒<<︒）得到AB C ''△，并使点C '落在AB 边上，则点B 所经过的路径长为______．（结果保留π）35．（2020·广西）以原点为中心，把()3,4M 逆时针旋转90°得到点N ，则点N 的坐标为______． 36．（2022·广西贺州）如图，在平面直角坐标系中，OAB 为等腰三角形，5OA AB ==，点B 到x 轴的距离为4，若将OAB 绕点O 逆时针旋转90︒，得到OA B ''△，则点B '的坐标为__________．37．（2022·湖北随州）如图1，在矩形ABCD 中，8AB =，6AD =，E ，F 分别为AB ，AD 的中点，连接EF ．如图2，将△AEF 绕点A 逆时针旋转角()090θθ<<︒，使EF AD ⊥，连接BE 并延长交DF 于点H ，则△BHD 的度数为______，DH 的长为______． 本@号资料皆来源于微信*：数学38．（2021·四川巴中）如图，把边长为3的正方形OABC 绕点O 逆时针旋转n °（0＜n ＜90）得到正方形ODEF ，DE 与BC 交于点P ，ED 的延长线交AB 于点Q ，交OA 的延长线于点M ．若BQ ：AQ ＝3：1，则AM ＝__________．9(0)0αα︒<<︒得到AB C ''△，连接BB '，CC '，则CAC '△与BAB '△的面积之比等于_______．40．（2020·四川眉山）如图，在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，2AB =．将ABC 绕点A 按顺时针方向旋转至11AB C △的位置，点1B 恰好落在边BC 的中点处，则1CC 的长为________．41．（2020·山东烟台）如图，已知点A (2，0)，B (0，4)，C (2，4)，D (6，6)，连接AB ，CD ，将线段AB 绕着某一点旋转一定角度，使其与线段CD 重合（点A 与点C 重合，点B 与点D 重合），则这个旋转中心的坐标为_____．42．（2020·甘肃天水）如图，在边长为6的正方形ABCD 内作45EAF ∠=︒，AE 交BC 于点E ，AF 交CD 于点F ，连接EF ，将ADF ∆绕点A 顺时针旋转90︒得到ABG ，若3DF =，则BE 的长为__________．三、解答题43．（2022·安徽）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC 的顶点均为格点（网格线的交点）．(1)将△ABC 向上平移6个单位，再向右平移2个单位，得到111A B C △，请画出111A B C △﹔(2)以边AC 的中点O 为旋转中心，将△ABC 按逆时针方向旋转180°，得到222A B C △，请画出222A B C △．44．（2022·黑龙江牡丹江）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC 与△DEF 关于点O 成中心对称，△ABC 与△DEF 的顶点均在格点上，请按要求完成下列各题．（1）在图中画出点O 的位置；（2）将△ABC 先向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到△A 1B 1C 1，请画出△A 1B 1C 1； （3）在网格中画出格点M ，使A 1M 平分△B 1A 1C 145．（2021·黑龙江哈尔滨）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，ABC ∆的顶点和线段DE 的端点均在小正方形的顶点上．（1）在方格纸中将ABC ∆向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度后得到MNP ∆；（点A 的对应点是点M ，点B 的对应点是点N ，点C 的对应点是点P ），请画出MNP ∆；（2）在方格纸中画出以DE 为斜边的等腰直角三角形DEF （点F 在小正方形的顶点上）．连接FP ，请直接写出线段FP 的长．46．（2021·安徽）图，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中，ABC 的顶点均在格点（网格线的交点）上．（1）将ABC 向右平移5个单位得到111A B C △，画出111A B C △；（2）将（1）中的111A B C △绕点C 1逆时针旋转90︒得到221A B C △，画出221A B C △．47．（2022·湖南）如图所示的方格纸(1格长为一个单位长度）中，AOB ∆的顶点坐标分别为(3,0)A ，(0,0)O ，(3,4)B ．(1)将AOB ∆沿x 轴向左平移5个单位，画出平移后的△111AO B （不写作法，但要标出顶点字母）； (2)将AOB ∆绕点O 顺时针旋转90︒，画出旋转后的△222A O B （不写作法，但要标出顶点字母）； (3)在（2）的条件下，求点B 绕点O 旋转到点2B 所经过的路径长（结果保留)π．48．（2022·黑龙江）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点坐标分别为()1,1A -，()2,5B -，()5,4C -．(1)将ABC 先向左平移6个单位，再向上平移4个单位，得到111A B C △，画出两次平移后的111A B C △，并写出点1A 的坐标；(2)画出111A B C △绕点1C 顺时针旋转90°后得到221A B C △，并写出点2A 的坐标； (3)在（2）的条件下，求点1A 旋转到点2A 的过程中所经过的路径长（结果保留π）．49．（2020·四川巴中）如图所示，ABC 在边长为1cm 的小正方形组成的网格中．（1）将ABC 沿y 轴正方向向上平移5个单位长度后，得到111A B C △，请作出111A B C △，并求出11A B 的长度； （2）再将111A B C △绕坐标原点O 顺时针旋转180°，得到222A B C △，请作出222A B C △，并直接写出点2B 的坐标； （3）在（1）（2）的条件下，求线段AB 在变换过程中扫过图形的面积和．50．（2022·江苏常州）如图，点A 在射线OX 上，OA a =．如果OA 绕点O 按逆时针方向旋转(0360)<≤︒n n 到OA '，那么点A '的位置可以用(),︒a n 表示．(1)按上述表示方法，若3a =，37n =，则点A '的位置可以表示为______；(2)在（1）的条件下，已知点B 的位置用()3,74︒表示，连接A A '、A B '．求证：A A A B ''=．51．（2021·黑龙江）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，ABO 的三个顶点坐标分别为()()()1,3,4,3,00,0A B --．（1）画出ABO 关于x 轴对称的11A B O ，并写出点1A 的坐标；（2）画出ABO 绕点O 顺时针旋转90︒后得到的22A B O ，并写出点2A 的坐标； （3）在（2）的条件下，求点A 旋转到点2A 所经过的路径长（结果保留π）．52．（2021·青海西宁）如图，正比例函数12y x =与反比例函数(0)ky x x =>的图象交于点A ，AB x ⊥轴于点B ，延长AB 至点C ，连接OC ．若2cos 3BOC ∠=，3OC =．（1）求OB的长和反比例函数的解析式；（2）将AOB绕点О旋转90°，请直接写出旋转后点A的对应点A'的坐标．53．（2021·江苏淮安）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的顶点A、B、C都在格点上（两条网格线的交点叫格点）．请仅用无刻度的直尺按下列要求画图，并保留画图痕迹（不要求写画法）．（1）将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，点B的对应点为B1，点C的对应点为C1，画出△AB1C1；（2）连接CC1，△ACC1的面积为；*本号资料皆来源于微信：数学第*六感（3）在线段CC1上画一点D，使得△ACD的面积是△ACC1面积的15．54．（2021·辽宁阜新）下面是小明关于“对称与旋转的关系”的探究过程，请你补充完整．（1）三角形在平面直角坐标系中的位置如图1所示，简称G ，G 关于y 轴的对称图形为1G ，关于x 轴的对称图形为2G ．则将图形1G 绕____点顺时针旋转____度，可以得到图形2G ．（2）在图2中分别画出．．．．G 关于 y 轴和直线1y x =+的对称图形1G ，2G ．将图形1G 绕____点（用坐标表示）顺时针旋转______度，可以得到图形2G ．（3）综上，如图3，直线1:22l y x =-+和2:l y x =所夹锐角为α，如果图形G 关于直线1l 的对称图形为1G ，关于直线2l 的对称图形为2G ，那么将图形1G 绕____点（用坐标表示）顺时针旋转_____度（用α表示），可以得到图形2G ．55．（2021·贵州毕节）如图1，在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，D 为ABC 内一点，将线段AD 绕点A 逆时针旋转90°得到AE ，连接CE ，BD 的延长线与CE 交于点F ． （1）求证：BD CE =，BD CE ⊥；（2）如图2．连接AF ，DC ，已知135BDC ∠=︒，判断AF 与DC 的位置关系，并说明理由．56．（2021·内蒙古通辽）已知AOB 和MON △都是等腰直角三角形OM OA ⎫<<⎪⎪⎝⎭，90AOB MON ∠=∠=︒．（1）如图1，连接AM ，BN ，求证：AM BN =； （2）将MON △绕点O 顺时针旋转．△如图2，当点M 恰好在AB 边上时，求证：2222AM BM OM +=；△当点A ，M ，N 在同一条直线上时，若4OA =，3OM =，请直接写出线段AM 的长．57．（2021·湖南衡阳）如图，点E 为正方形ABCD 外一点，90AEB =︒∠，将Rt ABE △绕A 点逆时针方向旋转90︒得到,ADF DF 的延长线交BE 于H 点．（1）试判定四边形AFHE 的形状，并说明理由； （2）已知7,13BH BC ==，求DH 的长．58．（2021·北京）如图，在ABC 中，,,AB AC BAC M α=∠=为BC 的中点，点D 在MC 上，以点A 为中心，将线段AD 顺时针旋转α得到线段AE ，连接,BE DE ．（1）比较BAE ∠与CAD ∠的大小；用等式表示线段,,BE BM MD 之间的数量关系，并证明； （2）过点M 作AB 的垂线，交DE 于点N ，用等式表示线段NE 与ND 的数量关系，并证明．59．（2021·浙江嘉兴）小王在学习浙教版九上课本第72页例2后，进一步开展探究活动：将一个矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转()090αα︒<≤︒，得到矩形'''AB C D[探究1]如图1，当90α=︒时，点'C 恰好在DB 延长线上．若1AB =，求BC 的长．[探究2]如图2，连结'AC ，过点'D 作'//'D M AC 交BD 于点M ．线段'D M 与DM 相等吗？请说明理由．[探究3]在探究2的条件下，射线DB 分别交'AD ，'AC 于点P ，N （如图3），MN ，PN 存在一定的数量关系，并加以证明．60．（2021·四川阿坝）如图，Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，将ABC 绕点C 顺时针旋转得到DEC ，点D 落在线段AB 上，连接BE ．（1）求证：DC 平分ADE ∠；（2）试判断BE 与AB 的位置关系，并说明理由：（3）若BE BD =，求tan ABC ∠的值．61．（2020·湖南邵阳）已知：如图△，将一块45°角的直角三角板DEF 与正方形ABCD 的一角重合，连接,AF CE ，点M 是CE 的中点，连接DM ．（1）请你猜想AF 与DM 的数量关系是__________．（2）如图△，把正方形ABCD 绕着点D 顺时针旋转α角（090a ︒<<︒）．△AF 与DM 的数量关系是否仍成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（温馨提示：延长DM 到点N ，使MN DM =，连接CN ）△求证：AF DM ⊥；△若旋转角45α=︒，且2EDM MDC ∠=∠，求AD ED 的值．（可不写过程，直接写出结果）62．（2020·江苏常州）如图1，点B 在线段CE 上，Rt△ABC △Rt△CEF ，90ABC CEF ∠=∠=︒，30BAC ∠=︒，1BC =．（1）点F 到直线CA 的距离是_________；（2）固定△ABC ，将△CEF 绕点C 按顺时针方向旋转30°，使得CF 与CA 重合，并停止旋转． △请你在图1中用直尺和圆规画出线段EF 经旋转运动所形成的平面图形（用阴影表示，保留画图痕迹，不要求写画法）该图形的面积为_________；△如图2，在旋转过程中，线段CF 与AB 交于点O ，当OE OB =时，求OF 的长．63．（2020·福建）如图，ADE ∆由ABC ∆绕点A 按逆时针方向旋转90︒得到，且点B 的对应点D 恰好落在BC 的延长线上，AD ，EC 相交于点P ．（1）求BDE ∠的度数；（2）F 是EC 延长线上的点，且∠=∠CDF DAC ．△判断DF 和PF 的数量关系，并证明；△求证：=EP PC PF CF．64．（2020·甘肃金昌）如图，点M ，N 分别在正方形ABCD 的边BC ，CD 上，且45MAN ∠=︒，把ADN △绕点A 顺时针旋转90︒得到ABE △．（1）求证：AEM △△ANM ．（2）若3BM =，2DN =，求正方形ABCD 的边长．。
人教初三数学第23章旋转旋转基础知识及专项(word版含解析)
三、点绕点旋转90问题
此种问题通过构造两个直角三角形全等，然后利用对应直角边线段长度相等，从而求出对应点坐标。
示例：将点A(3,4)绕点P(1,1)逆时针旋转90，求点A的对应点A1的坐标。分析：旋转不改变图形线段长度及图形线段
的夹角。因此有PAPA1。由于旋转角为90，即APA190，因此我们可以就斜边PAPA1，以平行于坐标轴的线段构造两个直角三角形。专门明显，这两个直角三角形时
（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
（3）旋转前、后图形全等。
4、把一个图形绕着某一点旋转180，假如它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于
那个点对称或中心对称，那个点叫做对称中心。这两个图形的对称点叫做关于中心的对称点。
5、（1）关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都通过对称中心，而且被对称中心平分；
上三角形时，同学能够考虑以下利用旋转来解题。
以下通过一些实例来关心同学们明白得如何利用等腰三角形的腰转动带动等腰三角形腰所在的三角形转动，从而构造全等三角形进而利用旋转知识解决相关问题。
结论3：对应点与旋转中心所构成的三角形均相似。如图，BAB1∽CAC1。
结论4：旋转前、后图形全等。如图，ABCAB1C1。
示例1：已知A(3,2)、O(0,0)，将线段OA绕点P旋转得到线段O1 A1，其中O1 (1,1)、A1 (3,4)，
O1为点O的对应点，A1为点A的对应点，求点P的坐标。
分析：旋转中心为对应点所连线段垂直平分线的交点，因此只要求出线段AA1和线段OO1的解析式，然后联赶忙可求出点P的坐标。
分析：既然直线l为线段AB的垂直平分线，因此直线l通过线段AB的中点，也即线段AB的
人教版九年级数学上册23.1《旋转的概念及性质》说课稿
人教版九年级数学上册23.1《旋转的概念及性质》说课稿一. 教材分析《旋转的概念及性质》是人教版九年级数学上册第23.1节的内容，本节课主要介绍旋转的定义、性质及其在几何中的应用。
通过本节课的学习，学生能够理解旋转的概念，掌握旋转的性质，并能运用旋转解决一些实际问题。
教材通过对旋转的引入，让学生感受几何变换的魅力，培养学生的空间想象能力和抽象思维能力。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了平面几何的基本知识和图形变换的方法，具备一定的空间想象能力和抽象思维能力。
但学生在学习过程中，对旋转的理解和运用可能存在一定的困难。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习情况，针对性地进行辅导，帮助学生更好地理解和掌握旋转的相关知识。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解旋转的定义，掌握旋转的性质，并能运用旋转解决一些实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生空间想象能力和抽象思维能力。
3.情感态度与价值观目标：学生能够体会几何变换在现实生活中的应用，增强对数学的兴趣和信心。
四. 说教学重难点1.教学重点：旋转的定义、性质及其在几何中的应用。
2.教学难点：旋转的性质的理解和运用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动、案例引导、合作探究的教学方法，激发学生兴趣，提高学生参与度。
2.教学手段：利用多媒体课件、几何画板等软件，直观展示旋转的性质和应用，帮助学生更好地理解和掌握知识。
六. 说教学过程1.导入新课：通过展示生活中的旋转现象，引发学生对旋转的兴趣，导入新课。
2.探究旋转的定义：引导学生通过观察、操作、思考，探讨旋转的定义，归纳旋转的性质。
3.讲解旋转的性质：运用多媒体课件和几何画板，直观展示旋转的性质，引导学生理解和掌握。
4.应用旋转解决实际问题：给出一些实际问题，让学生运用旋转的知识解决问题，巩固所学知识。
5.总结与拓展：对本节课的内容进行总结，提出一些拓展问题，激发学生的学习兴趣。
人教版九年级数学上册 教学设计 旋转《旋转的性质》
人教版九年级数学上册教学设计旋转《旋转的性质》一. 教材分析人教版九年级数学上册《旋转的性质》这一节，主要让学生了解旋转的性质，掌握旋转的基本概念，以及旋转对图形的影响。
教材通过具体的例题和练习，使学生能够熟练运用旋转的性质解决实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何知识，对图形的变换有一定的了解。
但是，对于旋转的性质和应用，可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要引导学生从已有的知识出发，逐步理解和掌握旋转的性质。
三. 教学目标1.理解旋转的性质，掌握旋转的基本概念。
2.能够运用旋转的性质解决实际问题。
3.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
四. 教学重难点1.旋转的性质的理解和运用。
2.旋转对图形的影响。
五. 教学方法采用问题驱动法，引导学生通过观察、思考、交流、总结，自主探索旋转的性质。
同时，结合例题讲解和练习，使学生能够熟练运用旋转的性质解决实际问题。
六. 教学准备1.PPT课件2.几何画板或者白板七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个生活中的实例，如钟表的指针运动，引出旋转的概念，激发学生的兴趣。
2.呈现（10分钟）用PPT课件或者几何画板，展示一些图形的旋转，让学生观察和思考，旋转前后的图形有什么关系，旋转中心、旋转角度等参数对图形有什么影响。
3.操练（10分钟）让学生通过几何画板或者白板，自己动手操作，尝试不同的旋转参数，观察图形的变换。
同时，引导学生进行交流讨论，分享自己的发现。
4.巩固（10分钟）出示一些练习题，让学生运用旋转的性质解决问题。
教师进行个别指导，帮助学生巩固所学知识。
5.拓展（10分钟）出示一些综合性的练习题，让学生运用旋转的性质解决实际问题。
如几何题、生活应用题等。
6.小结（5分钟）教师引导学生总结本节课所学内容，巩固旋转的性质和应用。
7.家庭作业（5分钟）布置一些有关旋转的练习题，让学生回家后巩固复习。
8.板书（5分钟）教师根据教学内容，进行板书设计，突出旋转的性质和关键点。
(完整word版)初三数学圆的讲义
圆一．圆的定义及相关概念考点1：圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。
考点2：确定圆的条件：圆心和半径①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；②不在同一条直线上的三点确定一个圆。
考点2：（圆的性质）圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。
经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
圆心是它的对称中心。
考点3：弦：连结圆上任意两点的线段叫弦。
经过圆心的弦叫做直径。
直径是圆中最大的弦。
弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。
弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。
弧分为半圆，优弧、劣弧三种。
（请务必注意区分等弧，等弦，等圆的概念）弓形：弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。
弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。
（请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形，对应两个弓高）考点4：三角形的外接圆：锐角三角形的外心在，直角三角形的外心在 ,钝角三角形的外心在。
考点5点和圆的位置关系设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则点与圆的位置关系有三种。
①点在圆外⇔d＞r；②点在圆上⇔d=r；③点在圆内⇔ d＜r；【典型例题】例1 在⊿ABC 中，∠ACB =90°,AC =2,BC =4，CM 是AB 边上的中线，以点C 为圆心，以5为半径作圆，试确定A,B,M 三点分别与⊙C 有怎样的位置关系，并说明你的理由。
例2．已知，如图，CD 是直径，︒=∠84EOD ，AE 交⊙O 于B ，且AB=OC ，求∠A 的度数。
例3 ⊙O 平面内一点P 和⊙O 上一点的距离最小为3cm ，最大为8cm ，则这圆的半径是_________cm 。
例4 在半径为5cm 的圆中，弦AB ∥CD ，AB=6cm ，CD=8cm ，则AB 和CD 的距离是多少？例5 如图,⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，已知AE=6cm ，EB=2cm,ο30=∠CEA ， 求CD 的长．例6.已知：⊙O 的半径0A=1，弦AB 、AC 的长分别为3,2，求BAC ∠的度数．AB DCO· E二．垂径定理及其推论考点1垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．推论1：①平分弦（不是直径）的直径重直于弦，并且平分弦所对的两条弧．②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．③平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．推论2．圆的两条平行弦所夹的弧相等．垂径定理及推论1中的三条可概括为：①经过圆心；②垂直于弦；③平分弦(不是直径)；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧．以上五点已知其中的任意两点，都可以推得其它两点固定的已经不能再固定的方法：求弦心距，弦长，弓高，半径时通常要做弦心距，并连接圆心和弦的一个端点，得到直角三角形。
浙教版初中数学初三数学上册《圆形的旋转》评课稿
浙教版初中数学初三数学上册《圆形的旋转》评课稿一、课程背景《圆形的旋转》是浙教版初中数学初三数学上册的一节重要课程，该课程主要介绍了圆形的旋转和相关概念。
通过本课程的学习，学生们将了解到圆形旋转的基本概念、性质和相关定理，为之后的数学学习打下坚实的基础。
二、教学目标1. 知识目标•了解圆形旋转的基本概念和性质；•掌握圆形旋转相关定理的应用；•理解圆形旋转在实际问题中的应用。
2. 能力目标•掌握运用圆形旋转解决相关数学问题的能力；•培养学生的逻辑思维和创新思维能力；•培养学生的实际问题解决能力。
三、教学设计1. 教学内容本节课的教学内容主要包括以下几个方面：•圆形旋转的基本概念与性质；•相关定理的应用；•实际问题的解决。
2. 教学步骤步骤一：引入在课程开始前，教师可以通过一个生动的例子引入圆形旋转的概念，激发学生的学习兴趣，并帮助学生建立起对圆形旋转的基本认识。
步骤二：概念讲解教师将详细讲解圆形旋转的基本概念和性质，包括旋转中心、旋转角度、旋转方向等相关知识点。
通过实例演示和图示讲解，使学生能够深入理解。
步骤三：定理讲解教师将介绍一些与圆形旋转相关的定理，例如圆形旋转的保形性质、圆形旋转的面积比关系等。
通过具体的例子进行讲解，帮助学生掌握这些定理的应用方法。
步骤四：练习与讨论教师设计一些练习题，供学生进行个人或小组练习，并组织讨论，引导学生运用所学的知识解决问题。
教师可以在这个环节中根据学生的学习情况进行个别辅导，确保每个学生都能够理解和掌握所学知识。
步骤五：实际问题解决教师将提供一些与实际问题相关的综合题目，要求学生根据所学知识解决问题，并鼓励学生思考和提出合理的解决方法。
3. 教学方法本节课将采用讲授、示范演示、讨论和实际问题解决等多种教学方法，以培养学生的思维能力和问题解决能力。
教师在讲解时注重案例引入，通过生动的教学方式激发学生的学习兴趣。
四、教学评价本节课的教学评价主要包括两个方面：课堂表现评价和学生作品评价。
靖安县第六中学九年级数学下册第24章圆24.1旋转第2课时中心对称与中心对称图形课件新版沪科版
假设以点 P 为圆心、r 为半径的圆与射线 OB 有唯一一个
公共点 , 那么 ☉P 的半径 r 的取值范围是〔D 〕
A. r = 5
B.
r
5 2
C.
5 2
≤ r <5
D.
r
5 2
或r<5
选自【创优作业]
3. 已知☉O 的半径为 r , 圆心 O 到直线 l 的距离为 d．
假设直线 l 与☉O 相切,那么以 d , r 为根的一元二次
5. 如下图 , 在△ABC中 , AB＝AC , 假设将 △ABC绕点C顺时针旋转180°得到△FEC. 〔1〕试猜想AE与BF有何关系？说明理由; 〔2〕假设△ABC的面积为3cm2 , 求四边形 ABFE的面积.
解 : (1)AE∥BF , AE=BF ; 理由 : ∵△ABC绕点C顺时针旋转180°得到 △FEC , ∴△ABC≌△FEC , ∴AB=FE , ∠ABC=∠FEC , ∴AB∥FE , ∴四边形ABFE为平行四边形 , AE∥BF , AE=BF . (2)S四边形ABFE=4S△ABC=12 cm2.
O
A
A'
连结OA , 并延长到A' , 使OA'=OA , 那么A'是所求的点
思考2 : 已知线段AB和O点 , 画出线段AB关于
点O的对称线段A' B' .
B'
连结AO并延长到A' , 使OA'＝
OA , 那么得A的对称点A' A
O
连结BO并延长到B' , 使OB'
＝OB , 那么得B的对称点B'
5．(3 分)用配方法解方程 x2＋x＝2，应把方程的两边同时(A )
九年级数学下册 第24章 圆 小专题(一)旋转变换的证明与计算课件
( 1 )在图1中E是OC上一点,F是OB上一点,且OE=OF,请问可以通过平移、旋转、翻折中的哪
一种方法,使△OAF变换到△OBE的位置?
( 2 )如图2,若点E,F分别在OC,OB的延长线上,并且OE=OF,试写出线段AF与BE的数量关系,并说
明理由.
第三页，共二十五页。
类型
(lèixíng)1
= ,
∴△AOF≌△BOE( SAS ),∴AF=BE.
第四页，共二十五页。
类型
类型
类型
(lèixíng)1
(lèixíng)2
(lèixíng)3
类型4
类型5
类型6
利用旋转求线段长
2.如图,在△ABC中,AB=AC=2,∠BAC=45°,△AEF是由△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到的,连
类型
(lèixíng)2
类型
(lèixíng)3
类型4
类型5
类型6
解:( 1 )旋转,以点O为旋转中心,逆时针旋转90度,可以使△OAF变换到△OBE的位置.
( 2 )AF=BE.
理由:∵四边形ABCD是正方形,∴AC⊥BD,OA=OB,
∴∠AOB=∠BOC=90°,
= ,
在△AOF 和△BOE 中, ∠ = ∠,
即∠BAE=∠CAF,
= ,
在△ABE 和△ACF 中, ∠ = ∠,
= ,
∴△ABE≌△ACF,∴BE=CF.
( 2 )∵四边形ABDF为菱形,∴DF=AF=2,DF∥AB,∴∠ACF=∠BAC=45°.
∵AC=AF,∴∠ACF=∠AFC=45°,∴△ACF为等腰直角三角形,
∵∠DBQ+∠CBQ=∠DBC=60°,∠DBP=∠CBQ,
[初中教育][初三数学]圆及图形的旋转
![[初中教育][初三数学]圆及图形的旋转](https://img.taocdn.com/s3/m/36b42f2028ea81c759f57823.png)
小班辅导教案知识点一圆的有关概念1.在同一平面内，线段OP绕它一个端点O旋转，另一端点P所经过的叫做圆，定点O叫做，西那段OP（不论转到什么位置）叫做圆的 .以点O为圆心的圆，记做“”读作“圆O”.连结圆上任意两点的叫做弦，经过的弦叫做直径.2.圆上任意两点间的部分叫做，简称 .圆的任意一条的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆，小于半圆的弧叫做，大于半圆的弧叫做 .半径相等的两个圆能够完全重合，我们把半径相等的两个圆叫做，类似地，我们把能够重合的圆弧称为 .3.一般地，如果用r表示圆的半径，d表示同一平面内点到圆心的距离，则有d>r↔点在圆；d=r↔点在圆；d<r↔点在圆；4.圆上各点到圆心的距离都等于 .5.下列结论正确的有 .①弦是直径；②直径是弦；③弧是半圆；④半圆是弧；⑤弧是直径；⑥过圆点的线段是直径.6.圆内最长的弦长为6cm，则圆的半径（）A.小于3cmB.等于3cmC.大于3cmD.不能确定7.过圆上一点可以作出圆的最长弦有（）A.1条B.2条C.3条D.无数条题型一点与圆的位置关系例1：在数轴上，点A所表示的实数为3，点B所表示的实数为a，⊙A的半径为2，则下列说法中不正确的是（）A.当a<5时，点B在⊙A内 B. 当1<a<5时，点B在⊙A内C. 当a<1时，点B在⊙A外D. 当a>5时，点B在⊙A外巩固练习1：⊙O的半径为13，圆心O到直线L的距离d=OD=5.在直线L上有三点P，Q，R，且PD=12，QD=11，RD=13，则点P在⊙O ，点Q在⊙O ，点R在⊙O .题型二与原有关的计算与证明例2：如图，已知CD是⊙O的直径，∠EOD=57°，AE交⊙O于点B，且AB=OC，求∠A的度数.巩固练习2：如图，已知两个同心圆，大圆的弦AB交小圆于点C，D.求证：AD=BC.知识点二确定圆的条件和三角形的外接圆1. 的三个点确定一个圆.2. 经过三角形各个顶点的圆叫做，这个外接圆的圆心叫做，三角形叫做 .三角形的外心是三角形的交点.3.经过一点的圆有个，经过两点的圆有个.4.若平面上A,B,C三点能够确定一个圆，那么A,B,C三点所满足的条件是 .5.下列条件可以确定一个圆的是（）A.已知圆心B.已知两个点C.已知三个点D.已知直径6.下列关于外心的说法正确的是（）A．外心是三角形三个角的平分线的交点B. 外心是三角形三条高线的交点C. 外心是三角形三条中线交点D. 外心是三角形三边垂直平分线的交点题型一三角形的外接圆的有关概念例1：下列命题中，正确的是（）A.三角形的外心是三角形的三条高线的交点B. 等腰三角形的外心一定在它的内部C. 三角形的外心到三角形的三个顶点的距离都相等D.锐角三角形的外心可能在三角形的外部，钝角三角形的外心可能在三角形的内部巩固练习1：下列说法正确的是（）A.经过三个点一定可以作圆B.任意一个圆一定有内接三角形，并且只有一个内接三角形C.任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆D.三角形的外心到三角形各边的距离都相等题型二三角形的外接圆的有关计算例2：如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，求△ABC的外接圆半径.巩固练习2：已知一个三角形的三边长分别为6cm，8cm，10cm，则这个三角形的外接圆面积等于cm2.知识点三图形的旋转1.一个图形变为另一个图形，在运动的过程中，原图形上的所有点都绕一个固定的定，按，转动，这样的图形运动叫做图形的 .这个固定的点叫做 .2.图形旋转的性质：图形旋转所得的图形与原图形全等.对应点到的距离相等.任何一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于 .3.将数字“6”旋转180°，得到数字“9”，将数字“9”旋转180°，得到数字“6”，现将数字“69”旋转180°，得到的数字是（）A.96B.69C.66D.994.如图所示，将一个含30°角的直角三角板ABC绕点A旋转，使得点B,A,C′在同一直线上，则三角板ABC旋转的角度是（）A.60°B.90°C.120°D.150°（4）（5）5.如图，△ABC以点O为旋转中心，旋转180°后得到△A′B′C′.ED是△ABC的中位线，经旋转后为线段E′D′.已知BC=4，则E′D′等于（）A.2B.3C.4D.1.5题型一图形的运动例1：如图，在方格纸中，△ABC经过运动得到△DEF，正确的运动是（）A.把△ABC绕点C逆时针方向旋转90°，再向下平移2格B. 把△ABC绕点C顺时针方向旋转90°，再向下平移2格C. 把△ABC向下平移4格，再绕点C逆时针方向旋转90°D. 把△ABC向下平移5格，再绕点C顺时针方向旋转90°巩固练习1：以下三组两个图形之间的运动分别属于（）A.平移、旋转、旋转B. 平移、轴对称、轴对称C. 平移、轴对称、旋转D. 平移、旋转、轴对称题型二旋转作图与应用旋转的性质求线段之间的数量与位置关系例2：如图，在正方形ABCD中作∠EAF=45°，分别交边BC,CD于点E,F（不与顶点重合），把△ABE绕点A逆时针旋转90°，落在△ADG的位置.（1）请你在图中画出△ADG（不写作法）；（2）试说明线段BE,DF与EF之间存在怎样的数量关系.巩固练习2：如图，在单位长度为1的正方形网格中，已知Rt△DAE，∠A=90°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°后得到△DCF （∠C=90°），再将△DCF沿DA向左平移6个单位长度后得到△ABH（∠B=90°）.（1）画出△DCF及△ABH；（2）AH与DE有怎样的位置关系？请证明你的结论.1.正方形ABCD的边长是1，对角线AC，BD相交于点O.若以O为圆心作圆，要使点A在⊙O外，则所选取的半径可能是（）A.12B.√22C.√32D.22.如图，O为锐角三角形ABC的外心，四边形OCDE为正方形，其中E点在△ABC的外部，下列叙述正确的是（）A.O是△AEB的外心，O是△AED的外心B. O是△AEB的外心，O不是△AED的外心C. O不是△AEB的外心，O是△AED的外心D. O不是△AEB的外心，O不是△AED的外心3.如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连结A A′.若∠1=20°，则∠B的度数是（）A.55°B.60°C.65°D.70°4.已知在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，P是线段AB上一点，⊙C经过P点，且半径为r，则r的取值范围是 .5.如图，在△ABC中，∠BCA=90°，AC=2，BC=3，M为AB的中点.（1）以C为圆心，2为半径作⊙C，则点A,B,M与⊙C的位置关系如何？（2）若以C为圆心，作⊙C，使A,B,M三点至少有一点在⊙C内，且至少有一点在⊙C外，则⊙C的半径r的取值范围是什么？6.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8,BC=6,点D是以点A为圆心4为半径的原上一点，连结BD，点M为BD中点，求线段CM长度的最大值.7.如图，△ABC内接于⊙O，根据下列条件分别求∠BOC和∠OBC的度数.（1）∠BAC=70°；（2）∠BAC=n°.8.如图，已知四边形ABCD是正方形，△DCE绕点D顺时针旋转后与△DAF重合，问：（1）旋转角至少是多少度？（2）连结EF后，△DEF是什么三角形？（3）若AB=5cm，那么，四边形BEDF的面积是多少？ACBO1.我们知道，“两点之间线段最短”，“直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短”，在此基础上，人们定义了点与点的距离，点到直线的距离，类似地，若P是⊙O外一点（如图），则点P与⊙O的距离定义为（）A.线段PO的长度 B.线段PA的长度 C.线段PB的长度 D.线段PC的长度2.已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C作CD⊥AB，垂足为D，延长CD至点E，使DE=CD，那么点E的位置是（）A.在⊙O内B.在⊙O上C.在⊙O外D.不能确定3.如图，直线l1//l2,点A在直线l1上，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线l1，l2于B,C两点，连结AC,BC,若∠ABC=54°，则∠1的大小为（）A.36°B.54°C.72°D.73°4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=2，△ABC绕点C顺时针旋转得△A1B1C，当A1落在AB边上时，连结B1B，取B1B的中点D，连结A1D，则A1D的长度是（）A.√7B.2√2C.3D.2√35.如图，已知直线L外的两点A,B，且A,B在直线L的两旁，则经过A,B两点且圆心在直线L上的圆有（）A.0个B.1个C.无数个D.1个或无数个（D5）（D6）6.如图，点A,D,G,M在半圆上，四边形ABOC,DEOF,HMNO均为矩形.设BC=a，EF=b,NH=c,则下列各式中正确的是（）A.a>b>cB.a=b=cC.c>a>bD.b>c>a7.已知⊙A的半径为6.5，圆心A的坐标为（-6,0），点B的坐标是（0,3），则点B与⊙A的位置关系是 .8.若等腰直角三角形外接圆的半径为3，则这个三角形三边的长分别为 .9.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD⊥AB，垂足为D.已知CD=4，OD=3，则AB的长是 .（D9）（D10）10.如图，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转至△A′B′C，使点A′落在BC的延长线上.已知∠A=27°，∠B=40°，则∠AC B′= 度.11.已知A,B,C三点，根据下列条件，试说明A,B,C三点能否确定一个圆.若能，请求出其半径；若不能，请说明理由.（1）AB=1cm,BC=2cm,AC=3cm；（2）AB=3cm,BC=4cm,AC=5cm；（3）AB=AC=5cm,BC=6cm.12.已知：△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°.连结AD,BC,点H为BC中点，连结OH.（1）如图1所示，易证：OH=1AD且OH⊥AD，请说明理由.2（2）将△COD绕点O旋转到图2，图3所示位置时，线段OH与AD又有怎样的关系，并选择一个图形证明你的结论.。
初三数学旋转圆学生版
旋转变换1.旋转变换的概念：在平面内，将一个图形G绕着一个定点O沿某个方向（顺时针或逆时针）转动一定的角度，得到另一个图形G’，这样由图形G到图形G’的图形变换叫做旋转。
这个定点O叫旋转中心，注：旋转变换的三要素：旋转中心，旋转方向，旋转角。
2.旋转变换的性质：（1）旋转前、后的图形全等；（2）对应点到旋转中心的距离相等(意味着：旋转中心在对应点连线段的垂直平分线上)（33.（1）确定旋转中心、旋转方向和旋转角度；（2）找出能确定图形的关键点；（3）连结图形的关键点与旋转中心，并按旋转的方向分别将它们转动一个固定的角度，得到此关键点的对应点；（4）按原图形的顺序连结这些对应点，所得图形就是旋转后的图形。
提问：一定的角度的范围？4.0°小于360°）后能与自身重合,那么这应用：求角度、求弧长、求面积、证明线段相等、证明角相等、证明位置关系、求函数解析式解题关键：要抓住图形变换过程中的几何不变性即旋转不变性、数值不变性等等【例题详解】例1、图1是边长分别为4 3 和3的两个等边三角形纸片ABC和C′D′E′叠放在一起（C与C′重合）.（1）操作：固定△ABC，将△C′D′E′绕点C顺时针旋转30°得到△CDE，连结AD、BE，CE的延长线交AB于F（图2）；探究：在图2中，线段BE与AD之间有怎样的大小关系？试证明你的结论.（4分）（2）操作：将图2中的△CDE，在线段CF上沿着CF方向以每秒1个单位的速度平移，平移后的△CDE 设为△PQR（图3）；探究：设△PQR移动的时间为x秒，△PQR与△ABC重叠部分的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数自变量x的取值范围.（5分）（3）操作：图1中△C′D′E′固定，将△ABC移动，使顶点C落在C′E′的中点，边BC交D′E′于点M，边AC交D′C′于点N，设∠AC C′=α（30°＜α＜90°）（图4）；探究：在图4中，线段C′N·E′M的值是否随α的变化而变化？如果没有变化，请你求出C′N·E′M的值，如果有变化，请你说明理由.（4分）例2． 将两块含30°角且大小相同的直角三角板如图1摆放。
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旋转变换
1.旋转变换的概念：在平面内，将一个图形G绕着一个定点O沿某个方向（顺时针或逆时针）转动一定
的角度，得到另一个图形G’，这样由图形G到图形G’的图形变换叫做旋转。
这个定点O叫旋转中心，
注：旋转变换的三要素：旋转中心，旋转方向，旋转角。
2.旋转变换的性质：
（1）旋转前、后的图形全等；
（2）对应点到旋转中心的距离相等(意味着：旋转中心在对应点连线段的垂直平分线上)
（3
3.
（1）确定旋转中心和旋转角度；
（2）找出能确定图形的关键点；
（3）连结图形的关键点与旋转中心，并按旋转的方向分别将它们转动一个固定的角度，得到此关键点的对应点；
（4）按原图形的顺序连结这些对应点，所得图形就是旋转后的图形。
提问：一定的角度的范围？
4.0°小于360°）后能与自身重合,那么这
种图形就叫做旋转对称图形。
特殊
应用：求角度、求弧长、求面积、证明线段相等、证明角相等、证明位置关系、求函数解析式
解题关键：要抓住图形变换过程中的几何不变性即旋转不变性、数值不变性等等
【例题详解】
例1、图1是边长分别为4 3 和3的两个等边三角形纸片ABC和C′D′E′叠放在一起（C与C′重合）.
（1）操作：固定△ABC，将△C′D′E′绕点C顺时针旋转30°得到△CDE，连结AD、BE，CE的延长线交AB于F（图2）；
探究：在图2中，线段BE与AD之间有怎样的大小关系？试证明你的结论.（4分）
（2）操作：将图2中的△CDE，在线段CF上沿着CF方向以每秒1个单位的速度平移，平移后的△CDE 设为△PQR（图3）；
探究：设△PQR移动的时间为x秒，△PQR与△ABC重叠部分的面积为y，求y与x之间的函数
解析式，并写出函数自变量x的取值范围.（5分）
（3）操作：图1中△C′D′E′固定，将△ABC移动，使顶点C落在
C′E′的中点，边BC交D′E′于点M，边AC交D′C′于点N，设
∠AC C′=α（30°＜α＜90°）（图4）；
探究：在图4中，线段C′N·E′M的值是否随α的变化而变化？如果没有变化，请你求出C′N·E′M的值，如果有变化，请你说明理由.（4分）
例2． 将两块含30°角且大小相同的直角三角板如图1摆放。
（1）将图1中△11A B C 绕点C 顺时针旋转45°得图2，点11P A C 是与AB
的交点，求证：11C P AP 2
＝；
（2）将图2中△11A B C 绕点C 顺时针旋转30°到△22A B C （如图3），点
22P A C 是与AB 的交点。
线段112C P P P 与之间存在一个确定的等量关系，请
你写出这个关系式并说明理由；
（3）将图3中线段
1C P 绕点C 顺时针旋转60°到3C P （如图4），连结32P P ，
求证：32P P ⊥AB.
例3．已知正方形ABCD 的边长AB=k （k 是正整数），正△PAE 的顶点P 在正方形内，顶点E 在边AB 上，且AE=1. 将△PAE 在正方形内按图1中所示的方式，沿着正方形的边AB 、BC 、CD 、DA 、AB 、……连续地翻转n 次，使顶点．．P ．
第一次回到原来的起始位置. （1）如果我们把正方形ABCD 的边展开在一直线上，那么这一翻转过程可以看作是△PAE 在直线上作连续的翻转运动. 图2是k =1时，△PAE 沿正方形的边连续翻转过程的展开示意图. 请你探索：若k =1，则△PAE 沿正方形的边连续翻转的次数n = 时，顶点．．P ．第一次回到原来的起始位置. （2）若k =2，则n = 时，顶．点．P ．第一次回到原来的起始位置；若k =3，则 n = 时，顶点．．P ．
第一次回到原来的起始位置. （3）请你猜测：使顶点．．P ．
第一次回到原来的起始位置的n 值与k 之间的关系（请用含k 的代数式表示A B
C
D
P
E 图1
n ）.
例4．操作：在△ABC 中，AC ＝BC ＝2，∠C ＝900
，将一块等腰三角形板的直角顶点放在斜边AB 的中点P 处，将三角板绕点P 旋转，三角板的两直角边分别交射线AC 、CB 于D 、E 两点。
图①，②，③是旋转三角板得到的图形中的3种情况。
研究：
（1）三角板绕点P 旋转，观察线段PD 和PE 之间有什么数量关系？并结合图②加以证明。
（2）三角板绕点P 旋转，是否能居为等腰三角形？若能，指出所有情况（即写出△PBE 为等腰三角形时CE 的长）；若不能，请说明理由。
（3）若将三角板的直角顶点放在斜边AB 上的M 处，且AM ：MB ＝1：3，和前面一样操作，试问线段MD 和ME 之间有什么数量关系？并结合图④加以证明。
例5、已知，点P 是正方形ABCD 内的一点，连PA 、PB 、PC. （1）将△PAB 绕点B 顺时针旋转90°到△P ′CB 的位置（如图1）.
①设AB 的长为a ，PB 的长为b （b <a ），求△PAB 旋转到△P ′CB 的过程中边PA 所扫过区域（图1中阴影部分）的面积；
A
D
P
A
D
P
②若PA=2，PB=4，∠APB=135°，求PC的长.
（2）如图2，若PA2+PC2=2PB2，请说明点P必在对角线AC上.
圆综合复习
【知识重点】
1. 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
2. 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
3. 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径。
4. 点和圆的位置关系，设⊙O半径为，点P到圆心的距离。
则有：点P在⊙O外；点P在⊙O上；点P在⊙O内。
5. 不在同一直线上的三个点确定一个圆。
6. 直线和圆的位置关系，设⊙O半径为，直线到圆心O的距离为。
则有：直线和⊙O相交；直线和⊙O相切；直线和⊙O相离。
7. 切线的性质和判定：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，圆的切线垂直于过切点的半径。
8. 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
9. 圆和圆的位置关系，如果两圆的半径分别为和（）圆心距为，则有：
两圆外离；两圆外切；两圆相交；两圆内切
；两圆内含。
10. 弧长、扇形面积：在半径为R的圆中，圆心角所对的弧长为，则，
【典型例题】
[例1]如图正方形ABCD边长为4cm，以正方形一边BC为直径在正方形ABCD内作半圆，再过A点作半圆的切线，与半圆切于F点，与CD交于E点，求的面积。
[例2]已知⊙O1与⊙O2交于A、B两点，且点O2在⊙O1上，（1）如图1，AD是⊙O2直径，连结DB并延长交⊙O1于C，求证：CO2⊥AD；（2）如图2如果AD是⊙O2的一条弦，连结DB并延长交⊙O1于C，那么CO2所在直线是否与AD垂直？证明你的结论。
图1 图2
[例3]已知⊙O中，AB为直径，OC⊥弦BE于D，交⊙O于C，若⊙O半径为5，BE=8，求AD的长？
[例4]蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成，如图已知，底面圆面积为，现要用毛毡搭建20个这样的蒙古包，至少需要用多少平方米毛毡？
[例5]如图，PA、PB切⊙O于A、B，AC为⊙O直径，（1）连接OP，求证：OP//BC；（2）若，
，则AC的长是多少？
[例6]问题：要将一块直径为2m的半圆形铁皮加工成一个圆柱的两个底面和一个圆锥的底面，操作：
方案一：在图甲中，设计一个使圆锥底面最大，半圆形铁皮得以最充分利用的方案（要求：画出示意图）；方案二：在图乙中，设计一个使圆柱两个底面最大，半圆形铁皮得以最充分利用的方案（要求：画出示意图）。
探究：
（1）求方案一中圆锥底面的半径；
（2）求方案二中圆锥底面及圆柱底面的半径；
（3）设方案二中半圆圆心为O，圆柱两个底面的圆心为O1、O2，圆锥底面的圆心为O3，试判断以O1、O2、O3、O为顶点的四边形是什么样的特殊四边形，并加以证明。
课后练习
1、等腰△ABC，AB=AC=８，∠BAC=120°，P为BC的中点，小慧拿着含300角的透明三角板，使300
角的顶点落在点P ，三角板绕P 点旋转．
（1）如图a ，当三角板的两边分别交AB 、AC 于点E 、F 时．求证：△BPE ∽△CFP ；
（2）操作：将三角板绕点P 旋转到图b 情形时，三角板的两边分别交BA 的延长线、边AC 于点E 、F ．
① 探究１：△BPE 与△CFP 还相似吗？（只需写出结论） ② 探究２：连结EF ，△BPE 与△PFE 是否相似？请说明理由；
③ 设EF=m ，△EPF 的面积为S ，试用m 的代数式表示S ．
2、如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为圆心的圆O 半径为，直线：与坐标
轴分别交于A 、C 两点，点B 的坐标为（4，1），⊙B 与轴相切于点M
（1）求点A 的坐标及的度数；
B
P
B
图a 图b
（2）⊙B以每秒1个单位的速度沿轴负方向平移，同时，直线绕点A顺时针匀速旋转，当⊙B第一次与⊙O相切时，直线也恰好与⊙B第一次相切，问：直线AC绕点A每秒旋转多少度？。