人教版2017高中数学(选修2-1)2.3.2 双曲线的简单几何性质2 精讲优练课型PPT课件
合集下载
第二章 2.3 2.3.2 双曲线的简单几何性质
返回导航 上页
下页
人教A版数学·选修2-1
返回导航 上页
下页
直线与双曲线的位置关系 [典例] (本题满分 12 分)设双曲线 C：xa22－y2＝1(a＞0)与直线 l：x＋y ＝1 相交于两个不同的点 A，B. (1)求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围． (2)设直线 l 与 y 轴的交点为 P，且P→A＝152P→B，求 a 的值．
人教A版数学·选修2-1
[解析] (1)设双曲线的方程为 mx2＋ny2＝1(mn<0)，
则4298mm＋＋792nn＝＝11，， 解得nm＝＝－2157，15， 所求双曲线方程为2x52－7y52 ＝1. (2)设所求双曲线方程为 16x2－9y2＝λ(λ≠0)， 将 M8，1313代入，得 λ＝16×82－9×13132＝－576， 所求双曲线方程为 16x2－9y2＝－576， 即6y42 －3x62＝1.
D．y＝±2x
解析：y2－x2＝2 的渐近线方程为 y＝±x.
答案：A
返回导航 上页
下页
人教A版数学·选修2-1
返回导航 上页
下页
2．若双曲线1y62 －xm2＝1 的离心率 e＝2，则 m＝________. 解析：a2＝16，b2＝m，c2＝16＋m， ∴1＋1m6＝4，∴1m6＝3，m＝48. 答案：48
返回导航 上页
下页
人教A版数学·选修2-1
返回导航 上页
下页
求双曲线的离心率的方法技巧 (1)若可求得 a，c，则直接利用 e＝ac得解； (2)若已知 a，b，可直接利用 e＝ 1＋ba2得解； (3)若得到的是关于 a，c 的齐次方程 pc2＋q·ac＋r·a2＝0(p，q，r 为常数，且 p≠0)，则转化为关于 e 的方程 pe2＋q·e＋r＝0 求解．
(人教版)高中数学选修2-1课件：第2章 圆锥曲线与方程2.3.2 第1课时
a＝13，b＝m1 ，
9 m2
取顶点0，13，一条渐近线为 mx－3y＝0， 所以15＝|－m32×＋139|，则 m2＋9＝25，
∵m＞0，∴m＝4.
答案： D
数学 选修2-1
第二章 圆锥曲线与方程
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
3．已知点(2,3)在双曲线 C：ax22－by22＝1(a＞0，b＞0)上， C 的焦距为 4，则它的离心率为________．
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
1．双曲线 2x2－y2＝8 的实轴长是( )
A．2
B．2 2
C．4
D．4 2
解析： 双曲线方程可化为x42－y82＝1，∴a2＝4，a＝2，
则 2a＝4，故选 C. 答案： C
数学 选修2-1
第二章 圆锥曲线与方程
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
c e＝__a__
__y_＝__±_ba_x_
_y_＝__±_ab_x__
数学 选修2-1
第二章 圆锥曲线与方程
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
等轴双曲线
___实__轴__和___虚__轴___等长的双曲线叫做等轴双曲线．
数学 选修2-1
第二章 圆锥曲线与方程
自主学习 新知突破
由①②联立，无解．
数学 选修2-1
第二章 圆锥曲线与方程
数学 选修2-1
第二章 圆锥曲线与方程
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
令 y＝0，解得 x＝±3，因此顶点坐标为 A1(－3,0)，A2(3,0)， 焦点坐标为 F1(－ 13，0)，F2( 13，0)． 实轴长是 2a＝6，虚轴长是 2b＝4， 离心率 e＝ac＝ 313， 渐近线方程 y＝±bax＝±23x. 作出草图(如图所示)．
高中数学选修2-1人教A版：2.3.2直线与双曲线的位置关系课件(1)
注:
①相交两点:
△＞0
同侧：x1 x2＞0
异侧: x1 x2 ＜0 一点: 直线与渐进线平行
②相切一点: △=0
③相 离: △＜0
特别注意直线与双曲线的位置关系中：
一解不一定相切，相交不一定两解，两解 不一定同支
直线与圆锥曲线相交所产生的问题：
一、交点——交点个数 二、弦长——弦长公式 三、弦的中点的问题——点差法 四、对称与垂直问题 五、综合问题
1 ,
1
两式做差得：３（x1
ｘ2）（x1
＋ｘ）＝（ｙ
2
1
ｙ2）（ｙ1
＋ｙ） 2
x1＋ｘ2 2m,
ｙ 1
＋ｙ 2
2n,
ｙ 1
ｙ2
x1ｘ2
2
即：ｎ＝－３ｍ，又Ｐ（ｍ，ｎ）在直线ｙ＝１ｘ上，那么
２
２
ｎ＝２１ｍ，显然不符合上式，所以这样的a不存在。
五、综合问题
1、设双曲线C：
x2 a2
y2
1(a
0)与直线
y 1 2(x 1)
方程组无解，故满足条件的L不存在。
解 : 假设存在P(x1,y1),Q(x2,y2)为直线L上的两点, 且PQ的中点为A,则有 :
y 1 k(x 1)
x
2
y
2
1
2
韦达定理
消y得 (2 k 2 )x2 2k(1 k)x k 2 2k 3 0
2k2 0
（8 3 - 2k） 0
练习:
直线m : y = kx +1和双曲线x2 - y2 =1的左支交于A,B
两点, 直线l过点P -2,0和线段AB的中点. 1 求k的取值范围. 2 是否存在k值, 使l在y轴上的截距为1?若存在, 求出k的值;
人教A版数学选修2-1第二章第三单元第二节双曲线的简单几何性质第一课时公开课教学课件 (共16张PPT)
几何 图形
范围
对称性
X=-ay
B2
A
F1 1
0
B1
X=a
A2 F2
x
y
F1
A2
B1 o A1 B2 x
F2
x ≥ a 或 x ≤ -a y R y ≥ a 或 y ≤ -a xR
中心对称，轴对称 中心对称，轴对称
顶点
A1(-a,0 ) , A2(a,0)
A1(0,-a ) , A2(0,a)
a、b、c的关系
③等轴双曲线的定义及离心率是什么？ ④离心率可以刻画椭圆的扁平程度，离心率e 的变化对双曲线图形有什么影响？
椭圆
标准方程
几何 图形
x2/a2+y2/b2=1(a>b>0) y
B2
A1 F1 F2
0
A2 x
B1
范围
|x|a,|y|≤b
对称性
对称轴：x轴，y轴 对称中心：原点
顶点
a,b,c的等 量关系
人民教育出版社A版数学选修2-1（高二年级）
双曲线的简单几何性质(一)
主讲人: 邢 华 烟台经济技术开发区高级中学
人民教育出版社数学选修2-1
2.3.2双曲线 的简单几何性质
烟台开发区高级中学 邢华
学习目标: 知识与技能:知道双曲线的几何性质,能根据性质 解决一些基本问题培养学生分析,归纳,推理的能力. 过程与方法:与椭圆的性质类比中获得双曲线的 性质,进一步体会数形结合思想,掌握利用方程研究 曲线性质的方法. 情感态度与价值观:通过类比的方法探索新知识, 培养学生学习数学的兴趣.
A1(-a,0) , A2(a,0) , B1(0,b) , B2(0,-b)
2.3.2《双曲线的简单几何性质》(人教版选修2-1)
（2）如图，线段 A1A2 叫做双曲线 的实轴，它的长为2a,a叫做
实半轴长；线段 B1B2 叫做双
曲线的虚轴，它的长为2b,b
y
叫做双曲线的虚半轴长.
（见教材P.56)
b B2
（3）实轴与虚轴等长的双曲线 叫等轴双曲线
x2 y 2 m(m 0)
A1 -a o a A2
x
-b B1
第6页，共69页。
2.3.2 双曲线简单的几何性质 (一)
第1页，共69页。
定义 图象
| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
y
M
y
M F2
F1 o F2 x
x
F1
方程
焦点
a.b.c 的关系
x2 a2
y2 b2
1
y2 x2 a2 b2 1
F ( ±c, 0)
F(0, ± c)
c2 a2 b2
(x,-y)
x以轴-x、代yx轴方是程不双变曲，线故的图对像称关轴于，原轴y点对是称对；称中心，
又 以-叫y代做y方双程曲不线变的，中故心图像。关于 轴对x 称；。
以-x代x且以-y代y方程不变，故图像关于 原点对称
第5页，共69页。
3、顶点
（1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点
顶点是A1(a,0)、A2 (a,0)
P( 1,－3 ) 且离心率为 的2双曲线标准方程.
y2 x2 1 88
第34页，共69页。
学习小结:
渐近线方程为 y b x 的双曲线的方程可写 a
成
x2 a2
y2 b2
y b x a
第26页，共69页。
高中数学第2章2.3.2双曲线的简单几何性质课件新人教A选修21.ppt
【解】 (1)由已知设双曲线的标准方程为xa22－by22 ＝1(a>0，b>0)．则 2a＝8，∴a＝4.
由 e＝ac＝54得 c＝5. ∴b2＝c2－a2＝52－42＝9. ∴所求双曲线方程为1x62 －y92＝1. (2)当焦点在 x 轴上时，
设所求双曲线方程为xa22－by22＝1(a>0，b>0)．
知新益能
双曲线的几何性质
标准方程
xa22－by22＝1 (a>0，b>0)
ay22－xb22＝1 (a>0，b>0)
图形
范围
__|x_|≥__a__
__|y_|_≥__a_
_)、__F__2(_c_,0_)_ _F_1_(_0_,－__c_)_、__F_2_(0_,_c_) _A_1_(－__a_,_0_)_、__A_2_(a_,_0_) _A_1_(_0_,－__a_)_、__A_2_(0_,_a_)
例2 分别求适合下列条件的双曲线的标准方程: (1)顶点在 x 轴上，两顶点间的距离为 8，离心率 是54； (2)焦距为 20，渐近线方程为 y＝±12x； (3)与双曲线 x2－2y2＝2 有公共渐近线，且过点
M(2，－2)．
【思路点拨】 分析双曲线的几何性质 → 求a，b，c
→ 确定讨论焦点位置 → 求双曲线的标准方程
例4 已知双曲线3x2－y2＝3，直线l过其右焦点 F2，与双曲线交于A、B两点，且倾斜角为45°， 试问A、B两点是否位于双曲线的同一支上？并 求出线段AB的长． 【思路点拨】 先写出直线方程，代入双曲线方 程，利用根与系数的关系判断．
【解】 ∵a＝1，b＝ 3，c＝2， 又直线 l 过点 F2(2,0)，且斜率 k＝tan 45°＝1， ∴l 的方程为 y＝x－2. 由y3＝x2－x－y22＝3 消去 y 并整理得 2x2＋4x－7＝0. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
选修2-1教案23-2双曲线的简单几何性质【2】
选修2-1 第二章《圆锥曲线与方程》 2.3.2双曲线的简单几何性质第二课时：求双曲线的离心率例1.已知椭圆22221x y a b +=，则双曲线22221x y a b-=的离心率为例 2.已知12,F F 是双曲线22221x y a b-=的两个焦点，以线段12F F 为边作等边三角形12F PF ，若线段2PF 的中点在双曲线上，则该双曲线的离心率为例3. 已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作双曲线C 的一条渐近线的垂线，垂足为H ，若F 2H 的中点M 在双曲线C 上，则双曲线C 的离心率为________．解：取双曲线的渐近线y ＝b a x ，则过F 2与渐近线垂直的直线方程为y ＝－ab(x －c )，可解得点H 的坐标为⎝⎛⎭⎫a 2c ，ab c ，则F 2H 的中点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫a 2＋c 22c ，ab 2c ，代入双曲线方程x 2a 2－y 2b 2＝1可得(a 2＋c 2)24a 2c 2－a 2b 24c 2b 2＝1，整理得c 2＝2a 2，即可得e ＝c a＝ 2. 例 4 已知点P 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -->>的右支上，双曲线两焦点为12F F 、，212||||PF PF 最小值是8a ，求双曲线离心率的取值范围。
解：222122222||(||2)4||48||||||PF PF a a PF a a PF PF PF +==++≥，由均值定理知：当且仅当2||2PF a =时取得最小值8a ，又2||PF c a ≥-所以2a c a ≥-，则13e <≤。
例5设点P 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右支上，双曲线两焦点12F F 、，12||4||PF PF =，求双曲线离心率的取值范围。
人教版2017高中数学(选修2-1)2.3.2 双曲线的简单几何性质1 精讲优练课型PPT课件
2
2
y=〒
x,即y=〒
x.
b a
3 2
3.已知双曲线的焦点为(-4,0),(4,0),离心率为2,则双 曲线的标准方程为 .
【解析】因为e= =2,c=4,所以a=2,所以b2=c2-a2=12, c a 且焦点在x轴上,故标准方程为 =1. x 2 y2 答案: =1 4 12 x 2 y2 4 12
2.3.2 双曲线的简单几何性质
第1课时 双曲线的简单几何性质
【自主预习】
1.双曲线的几何性质
标准 方程
x 2 y2 (a>0,b>0) 2 1 2 a b
y2 x 2 (a>0,b>0) 2 1 2 a b
图形
2 2 x y 标准方程 (a>0,b>0) 1 a 2 b2
y2 x 2 (a>0,b>0) 1 a 2 b2
2.求双曲线nx2-my2=mn(m>0,n>0)的实半轴长、虚半轴 长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程.
【解题探究】1.双曲线中a,b,c的关系是什么？ 提示：c2=a2+b2.
2.典例2中求简单几何性质的关键是什么?
提示:将双曲线的方程化为标准方程,明确a,b,c的值即 可求出相应的几何性质.
近线方程”,请给出解答
【解题指南】将双曲线方程化成标准方程,然后由各个
所求量的定义作答.
【解析】将9y2-4x2=-36变形为
即 x 2 y 2 =1, 2 2 3 a=3,b=2,c= 2 所以
x y =1, 9 4
2
2
,
13 因此顶点坐标为(-3,0),(3,0),
焦点坐标为(,0),( ,0),
高中数学人教版选修2-1：2.3.2-1 双曲线的简单几何性质 课件(共12张PPT)
y2 a2
-
x2 b2
=1
(a > 0,b > 0)
范围 对称性 顶点 渐近线 离心率
x≥a
或
x ≤ -a
关 于
(±a,0) y =±b x
a
坐标轴
e=
c a
和
y≥a
或
y ≤ -a
原点 对
(0,±a)
y =±a x (c2 = a2 +b2)
称
b
五、巩固提升 课堂练习 第61页练习第1、2题 课堂作业 第61页习题2.3A组第3、4题
2.对称性:
坐标轴是双曲线的对称轴 原点是双曲线的对称中心
双曲线的对称中心 叫做双曲线的中心
y P1(-x,y)
O (-Px2,-y)
P(x,y)
X
二、双曲线的简单几何性质
观察双曲线
x2 a2
y2 - b2
= 1(a、b > 0) ，
你能发现哪些点比较特殊？
3.顶点:
y
双曲线的顶点有两个：
B1 (0,b)
(b,0)、(-b,0)、 (0,a)、(0,-a)
焦点坐标
(c,0)、(-c,0)
(0 , c)、(0, -c)
半轴长
长半轴长为a,短半轴长为b(a>b)
离心率
a、b、c关系
Hale Waihona Puke a2=b2+c2(a>b>0)
二、双曲线的简单几何性质
观察双曲线
x2 a2
y2 - b2
= 1(a、b > 0) ，
你能从图上看出它的范围吗？
作虚线矩形对角线所在 直线，你能发现这两条直线 与双曲线的关系吗？
人教版数学选修21第二章双曲线双曲线的几何性质讲义
案例（二）——精析精练课堂 合作 探究重点难点突破知识点一双曲线的几何性质 (1)范围、对称性由标准方程12222=-by a x 可得22a x ≥，当a x ≥时，y 才有实数值；对于y 的任何值，x 都有实数值。
这说明从横的方向来看，直线a x a x =-=,之间没有图象，从纵的方向来看，随着x 的增大，y 的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线。
双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心。
(2)顶点顶点：()()0,,0,21a A a A -，特殊点：()()b B b B ,0,,021-。
实轴：21A A 长为a 2，a 叫做半实轴长；虚轴：21B B 长为b 2，b 叫做虚半轴长。
如右图所示，在双曲线方程12222=-b y a x 中，令0=y 得a x ±=，故它与x 轴有两个交点()0,1a A -，()0,2a A ，且x 轴为双曲线12222=-by a x 的对称轴，所以()0,1a A -与()0,2a A 其对称轴的交点，称为双曲线的顶点(一般而言，曲线的顶点均指与其对称轴的交点)，而对称轴上位于两顶点间的线段21A A 叫做双曲线12222=-by a x 的实轴长，它的长是a 2。
在方程12222=-by a x 中，令0=x ，得22b y -=，这个方程没有实数根，说明双曲线和y y 轴没有交点。
但y 轴上的两个特殊点()()b B b B ,0,,021-，这两个点在双曲线中也有非常重要的作用把线段21B B 叫做双曲线的虚轴，它的长是b 2，要特别注意不要把虚轴与椭圆的短轴混淆。
双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异。
(3)渐近线如上图所示，过双曲线12222=-by a x 的两顶点21,A A ，作y 轴的平行线a x ±=，经过21,B B 作x 轴的平行线b y ±=，四条直线围成一个矩形，矩形的两条对角线所在直线方程是⎪⎭⎫⎝⎛=±±=0by axx a b y ，这两条直线就是双曲线的渐近线。
【新人教A版】数学选修2-1：2.3.2《双曲线的几何性质》课件(新人教版选修2-1)
2.2.2《双曲线的几何性质》
教学目标
1.熟悉椭圆的几何性质（对称性、范围、顶 点、离心率）； 2.能说明离心率的大小对椭圆形状的影响. 三．教学重、难点：目标1；数形结合思想的 贯彻，运用曲线方程研究几何性质.
x y 0 2 2 x y a b 由 2 - 2 >0得 或 x y a b 0 a b 表示的平面区域内
A1
B2
b a o
A2
x
B1
课后作业
P41 练习1～4
思考题: x y 已知双曲线 2 - 2 =1(a>0,b>0)的离心率 a b ,令双曲线两条渐近线构成的角 e 2 , 2 中,以实轴为角平分线的夹角为 , 试求的 取值范围.
2 2
x2 y2 2 2 1 1, 得 x a a2 b2 x a或x a yR
双曲线 1、范围
x2 y2 2 1(a 0, b 0) 2 a b
的几何性质
y
(-x,y) (-a,0) (-x,-y) (x,y)
x y 0 a b x y 0 a b
o
(a,0) (x,-y)
x
关于x轴、y轴和原点都是对称的.。 x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心， 心.双曲线的对称中心叫做双曲线的中心.
2、对称性
b y x a
b y x a
3、顶点
（1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点
顶点是A1 (a,0)、A2 (a,0)
（ 2） 如图，线段 A1A2 叫做双曲线 的实轴，它的长为2a,a叫做 实半轴长；线段 B1B2 叫做双 曲线的虚轴，它的长为2b,b 叫做双曲线的虚半轴长
B1
教学目标
1.熟悉椭圆的几何性质（对称性、范围、顶 点、离心率）； 2.能说明离心率的大小对椭圆形状的影响. 三．教学重、难点：目标1；数形结合思想的 贯彻，运用曲线方程研究几何性质.
x y 0 2 2 x y a b 由 2 - 2 >0得 或 x y a b 0 a b 表示的平面区域内
A1
B2
b a o
A2
x
B1
课后作业
P41 练习1～4
思考题: x y 已知双曲线 2 - 2 =1(a>0,b>0)的离心率 a b ,令双曲线两条渐近线构成的角 e 2 , 2 中,以实轴为角平分线的夹角为 , 试求的 取值范围.
2 2
x2 y2 2 2 1 1, 得 x a a2 b2 x a或x a yR
双曲线 1、范围
x2 y2 2 1(a 0, b 0) 2 a b
的几何性质
y
(-x,y) (-a,0) (-x,-y) (x,y)
x y 0 a b x y 0 a b
o
(a,0) (x,-y)
x
关于x轴、y轴和原点都是对称的.。 x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心， 心.双曲线的对称中心叫做双曲线的中心.
2、对称性
b y x a
b y x a
3、顶点
（1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点
顶点是A1 (a,0)、A2 (a,0)
（ 2） 如图，线段 A1A2 叫做双曲线 的实轴，它的长为2a,a叫做 实半轴长；线段 B1B2 叫做双 曲线的虚轴，它的长为2b,b 叫做双曲线的虚半轴长
B1
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
4kb ， 2 1 2k
2b . 2 1 2k 因为线段AB的中点在直线y=2x上,
提示:满足条件|PF2|-|PF1|=2a的点P的轨迹为双曲线
的左支.
2.本例2中直线l与双曲线C有两个公共点应满足什么条 件?
提示:由直线l与双曲线C的方程组成的方程组应有两组
解.
2 2 x y 【解析】1.由 =1,知a2=9,b2=16,所以c2=25,c=5, 9 16 由双曲线的定义,双曲线上任意一点P满足
由Δ=0,即36-36k2=0,所以k=〒1时,直线l与双曲线C只
有一个公1时,直线l与双曲线C有且只有一
3 3
【方法技巧】直线与双曲线位置关系的处理方法
把直线与双曲线的方程联立成方程组,通过消元后
化为一元二次方程,在二次项系数不为零的情况下考察
方程的判别式.
(1)Δ >0时,直线与双曲线有两个不同的公共点. (2)Δ =0时,直线与双曲线只有一个公共点.
没有公共点?
【解题指南】讨论直线与双曲线的位置关系问题,可以
将问题转化为讨论直线与双曲线的方程组成方程组的 解的个数问题.
【解析】由 y＝kx 1， 消去y得 2 2 4x y ＝1， (4-k2)x2+2kx-2=0.(*) 若4-k2=0,即k=〒2时,方程(*)为一次方程,只有一解.
第2课时
双曲线方程及性质的应用
类型一
直线与双曲线的位置关系
【典例】1.(2016·烟台高二检测)双曲线 x 2 y 2 =1的 9 16 左、右焦点分别为F ,F .给定四条直线:①5x-3y=0;
1 2
②x-y-4=0;③5x-3y-52=0;④4x-3y+15=0.如果上述直 线上存在点P,使|PF2|=|PF1|+6,则满足这样条件的直 线对应的序号是 .
一个公共点;当k<-2
公共点.
或k>2
2 时,直线与双曲线没有 2
2
类型二
弦长及中点弦问题
【典例】1.(2016·杭州高二检测)直线l与双曲线
x 2 y 1 线2 y=2x上,则直线AB的斜率为
2
的同一支相交于A,B两点,线段AB的中点在直
.
2.已知点A(
3 3 距离之差的绝对值为2,点C的轨迹与直线y=x-2交于D,E
A(x1,y1),B(x2,y2),你能把弦|AB|的长表示出来吗? 提示:|AB|=
1 k x1 x 2 4x1x 2
2 2
【解析】1.当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为
y=kx+b,
由 x2 2 消去y得:(1-2k2)x2-4kbx-2b2-2=0. y 1， 2 因为 l与双曲线交于 A,B两点,设A(x1,y1),B(x2,y2), y kx b ， 故Δ=8b2+8-16k2>0 ①,1-2k2≠0, 由根与系数的关系知:x1+x2=
||PF2|-|PF1||=6<10.
当直线上存在点P满足|PF2|-|PF1|=6时,说明直线与双
曲线的左支有公共点. 由已知双曲线的渐近线方程为y=〒 x,
4 3
对于①③两直线的斜率均为 5 4,故①③均与双曲线左 ＞ 3 3 支无公共点,经验证②④表示的直线与双曲线左支有交
点.
答案:②④
2.(1)由e= 2 3 可得 c 4 ,所以a2=3b2,故双曲线方程 2 a 3 3 可化为 x 2 y2 ,将点P 代入双曲线C的方程,可 ( 6,1) 2 1 2 3b 所以双曲线 b 解得b2=1. C的方程为 2 -y2=1. x (2)联立直线与双曲线方程 ⇒ 3 y kx 2， 2 (1-3k2)x2-6 kx-9=0, 2 x 3y 3 0， 2
2
2 2 72k 4 1 3k 9＞0， 由题意得 2 1 3k 0， 解得-1<k<1且k≠〒 3 , 所以k的取值范围为 3 3 3 3 3 (1， ) ( ， ) ( ， 1). 3 3 3 3
【延伸探究】题2(2)中若直线l与双曲线C有且只有一
若4-k2≠0时,Δ=4k2+8(4-k2)=4(8-k2).
当Δ>0即-2 <k<2 时,方程(*)有两个不同的解.
当Δ=0即k=〒2 2
时,2 方程(*)有一解.
2
当Δ<0即k<-2
2
或k>2
2
时,方程(*)无解.
综上所述:当-2
<k<2
且k≠〒2时,直线与双曲线
时,直线与双曲线有
2 2 有两个公共点;当k=〒2或k=〒2
两点,求线段DE的长.
,0)和点B(-
,0),动点C到A,B两点的
【解题探究】1.本例1中如何表示线段AB的中点坐标?
提示:设A(x1,y1),B(x2,y2),则线段AB的中点坐标为
x1 x 2 y1 y2 ( , ). 2 2中若直线 2 2.本例 l:y=kx+b(k≠0)与双曲线交于
2 2 x y 2.(2016·天津高二检测)已知双曲线C: (a>0, 2 1 2 a b b>0)的离心率为 2 3 且过点( ,1). 6 3 . (1)求双曲线C的方程
(2)若直线l:y=kx+
与双曲线C恒有两个不同的交点
2 A,B,求k的取值范围.
【解题探究】1.本例1中满足条件|PF2|-|PF1|=2a (2a<|F1F2|)的点P的轨迹是什么?
(3)Δ <0时,直线与双曲线没有公共点.
当二次项系数为0时,此时直线与双曲线的渐近线平行,
直线与双曲线有一个公共点.
特别提醒:利用判别式来判断直线与双曲线的交点个数
问题的前提是通过消元化为一元二次方程.
【变式训练】已知直线y=kx-1与双曲线4x2-y2=1.当k
为何值时,直线与双曲线有两个公共点?有一个公共点?
个公共点,k的取值范围如何?
【解析】联立直线与双曲线方程
消去y得:(1-3k2)x2-6
当1-3k2=0,即k=〒 共点;
y kx 2， kx-9=0. x 2 3y2 3 0，
2,直线l与双曲线C只有一个公 时
3 3
当1-3k2≠0,Δ=(6
2
k)2+36(1-3k2)=36-36k2,