期权定价模型第6章(数学建模相关习题)
BS期权定价模型课件
（二）普通布朗运动
我们先引入两个概念：漂移率和方差率。
标准布朗运动的漂移率为0，方差率为 1.0。
我们令漂移率的期望值为a,方差率的期
望值为b2，就可得到变量x 的普通布朗运
动： dx adt bdz
（6.4）
其中，a和b均为常数，dz遵循标准布朗
运动。
Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
令 代表该投资组S合的价值，则：
f f S S
(6.15)
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第15页，共32页。
在t
时间后：
f
f
S
S
（6.16）
将式（6.12）和（6.14）代入式
随机过程是指某变量的值以某种不确定的 方式随时间变化的过程。可分为离散型的 和连续型的。马尔可夫过程是一种特殊类 型的随机过程。
如果证券价格遵循马尔可夫过程，则其未 来价格的概率分布只取决于该证券现在的 价格。
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最后，从金融工程的角度来看，欧式看涨 期权可以分拆成资产或无价值看涨期权 （Asset-or-noting call option）多头和现金 或无价值看涨期权（cash-or-nothing option）空头，SN(d1)是资产或无价值看 涨期权的价值，-e-r(T-t)XN(d2)是X份现金或 无价值看涨期权空头的价值。
《期权定价模型》课件
03
投资组合绩效评估
通过期权定价模型计算投资组合 的绩效指标，评估投资组合表现
。
02
投资组合调整
根据市场走势和投资者需求，调 整投资组合中的期权和其他资产
。
04
投资组合再平衡
定期或不定期地重新调整投资组 合，以保持其与投资者风险偏好
和投资目标的匹配。
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02
期权定价模型简介
几种常见的期权定价模型
Black-Scholes模型
二叉树模型
基于一系列假设条件，通过随机微分方程 来描述期权价格的运动过程，并给出了欧 式期权价格的解析解。
一种离散时间模型，通过模拟标的资产价 格的上升和下降来计算期权价格，适用于 美式期权和欧式期权。
三叉树模型
有限差分模型
市场中不存在可以通过买 卖标的资产和衍生品来获 得无风险利润的策略。
市场中存在足够的标的资 产供买卖，且交易成本为 零。
即投资者可以以一个固定 的无风险利率无限借贷。
即标的资产价格的波动率 在整个期权存续期内保持 不变。
定价模型的适用范围
欧式期权：适用于只能在到期 日行权的期权。
美式期权：适用于在到期日之 前任何时间都可以行权的期权
。
股票期权、期货期权、利率期 权等：适用于各种类型的金融 衍生品。
长期期权、短期期权：适用于 不同存续期的期权。
03
Black-Scholes模型
模型的基本假设
假设1
股票价格变动符合几何布朗运 动，即股票价格连续变动，并
且其收益率服从正态分布。
假设2
市场无摩擦，即没有交易费用 和税收，所有证券都可以无限 分割。
期权定价模型
期权定价模型期权定价模型是金融衍生品定价领域的重要模型之一，它通过考虑期权的各项特性，将期权的价值与其相关的标的资产、行权价格、到期时间、波动率、无风险利率等一系列因素联系起来，从而确定期权的公平价格。
在期权定价模型中，常用的模型有布莱克-斯科尔斯模型（Black-Scholes Model）和它的改进模型，如布莱克-斯科尔斯-默顿模型（Black-Scholes-Merton Model）。
这些模型基于一些假设，包括市场无摩擦、无风险利率不变、标的资产价格服从几何布朗运动等。
布莱克-斯科尔斯模型是最早的期权定价模型之一，它将期权价格视为标的资产价格的函数，通过假设标的资产价格服从几何布朗运动，并应用风险中性估计，推导出了一个偏微分方程，即著名的布莱克-斯科尔斯方程。
利用该方程可以计算出欧式看涨/看跌期权的价格。
然而，布莱克-斯科尔斯模型在实际应用中存在一些限制，例如假设市场无摩擦和无风险利率不变的条件，并且假设标的资产价格服从几何布朗运动，这些假设在现实市场中并不总是成立。
因此，为了更准确地定价期权，学者们提出了一系列改进的模型。
其中，布莱克-斯科尔斯-默顿模型是对布莱克-斯科尔斯模型的一个重要改进。
该模型引入了对标的资产价格波动率的估计，通过蒙特卡洛模拟或数值方法，可以计算出更加准确的欧式期权价格。
此外，还有许多其他的改进模型，如跳跃扩散模型、随机波动率模型等，针对不同的市场和期权特性提供了更加精确的定价方法。
总之，期权定价模型是金融衍生品定价领域的重要工具，它通过考虑期权的各项特性和相关因素，计算出期权的公平价格。
布莱克-斯科尔斯模型和其改进模型是常用的期权定价模型，但也存在一些假设和限制。
为了更精确地定价期权，学者们提出了一系列改进模型，以适应不同市场和期权特性的需求。
在期权定价领域，除了布莱克-斯科尔斯模型和其改进模型外，还有许多其他的期权定价模型被广泛应用。
这些模型包括跳跃扩散模型、随机波动率模型、二叉树模型等等，它们分别在不同的金融市场和期权类型中发挥着重要的作用。
金融衍生工具_课程习题答案(2)
资料范本本资料为word版本，可以直接编辑和打印，感谢您的下载金融衍生工具_课程习题答案(2)地点：__________________时间：__________________说明：本资料适用于约定双方经过谈判，协商而共同承认，共同遵守的责任与义务，仅供参考，文档可直接下载或修改，不需要的部分可直接删除，使用时请详细阅读内容第一章1、衍生工具包含几个重要类型？他们之间有何共性和差异？2、请详细解释对冲、投机和套利交易之间的区别，并举例说明。
3、衍生工具市场的主要经济功能是什么？4、“期货和期权是零和游戏。
”你如何理解这句话？习题答案1、期货合约：：也是指交易双方按约定价格在未来某一期间完成特定资产交易行为的一种方式。
期货合同是标准化的在交易所交易，远期一般是OTC市场非标准化合同，且合同中也不注明保证金。
主要区别是场内和场外；保证金交易。
二者的定价原理和公式也有所不同。
交易所充当中间人角色，即买入和卖出的人都是和交易所做交易。
特点：T＋0交易；标准化合约；保证金制度（杠杆效应）；每日无负债结算制度；可卖空；强行平仓制度。
1）确定了标准化的数量和数量单位、2）制定标准化的商品质量等级、（3）规定标准化的交割地点、4）规定标准化的交割月份互换合约：是指交易双方约定在合约有效期内，以事先确定的名义本金额为依据，按约定的支付率（利率、股票指数收益率）相互交换支付的约定。
例如，债务人根据国际资本市场利率走势，将其自身的浮动利率债务转换成固定利率债务，或将固定利率债务转换成浮动利率债务的操作。
这又称为利率互换。
互换在场外交易、几乎没有政府监管、互换合约不容易达成、互换合约流动性差、互换合约存在较大的信用风险期权合约：指期权的买方有权在约定的时间或时期内，按照约定的价格买进或卖出一定数量的相关资产，也可以根据需要放弃行使这一权利。
为了取得这一权利，期权合约的买方必须向卖方支付一定数额的费用，即期权费。
期权主要有如下几个构成因素①执行价格（又称履约价格，敲定价格〕。
期权估价练习题
一、D公司是一家上市公司，其股票于2009年8月1日的收盘价为每股40元。
有一种以该股票为标的资产的看涨期权，执行价格为42元，到期时间是3个月。
3个月以内公司不会派发股利，3个月以后股价有2种变动的可能：上升到46元或者下降到30元。
3个月到期的国库券利率为4％(年名义利率)。
要求：（1）利用风险中性原理，计算D公司股价的上行概率和下行概率，以及看涨期权的价值。
（2）利用复制原理，计算看涨期权价值。
二、D股票的当前市价为25元/股，市场上有以该股票为标的资产的期权交易，有关资料如下：（1）D股票的到期时间为半年的看涨期权，执行价格为25.3元；D股票的到期时间为半年的看跌期权，执行价格也为25.3元。
（2）D股票半年后市价的预测情况如下表：（3）根据D股票历史数据测算的连续复利收益率的标准差为0.4。
（4）无风险年利率4%。
（1）若年收益的标准差不变，利用两期二叉树模型计算股价上行乘数与下行乘数，并确定以该股票为标的资产的看涨期权的价格；（2）利用看涨期权—看跌期权平价定理确定看跌期权价格；（3）投资者甲以当前市价购入1股D股票，同时购入D股票的1份看跌期权，判断甲采取的是哪种投资策略，并计算该投资组合的预期收益。
三、2009年8月15日，甲公司股票价格为每股50元，以甲公司股票为标的的代号为甲49的看涨期权的收盘价格为每股5元，甲49表示此项看涨期权的行权价格为每股49元。
截至2009年8月15日，看涨期权还有l99天到期。
甲公司股票收益的波动率预计为每年30％，资本市场的无风险利率为（有效）年利率7％。
要求：（1）使用布莱克--斯科尔斯模型计算该项期权的价值(d l和d2的计算结果取两位小数，其他结果取四位小数，一年按365天计算)。
（2）如果你是一位投资经理并相信布莱克--斯科尔斯模型计算出的期权价值的可靠性，简要说明如何作出投资决策。
四、A公司是一个颇具实力的制造商。
公司管理层估计某种新型产品可能有巨大发展，计划引进新型产品生产技术。
期权定价练习题
期权定价练习题期权是一种金融衍生品，它赋予持有人在未来某一特定时间内以特定价格购买或卖出某项标的资产的权利。
期权定价是金融市场中的重要问题之一，本文将通过练习题的方式，深入探讨期权定价模型以及相关的计算方法。
题目一：欧式看涨期权定价已知某标的资产现货价格为S，期权行权价格为K，无风险利率为r，期权到期日距离当前时间的年限为T，标的资产的波动率为σ。
根据Black-Scholes期权定价模型，计算欧式看涨期权的定价公式。
解答一：根据Black-Scholes模型，欧式看涨期权的定价公式如下：C = S*N(d1) - K*e^(-rT)*N(d2)其中，C为期权的定价，S为标的资产现货价格，N是标准正态分布函数，d1和d2的计算公式如下：d1 = (ln(S/K) + (r + 0.5*σ^2)*T) / (σ*sqrt(T))d2 = d1 - σ*sqrt(T)题目二：欧式看跌期权定价已知某标的资产现货价格为S，期权行权价格为K，无风险利率为r，期权到期日距离当前时间的年限为T，标的资产的波动率为σ。
根据Black-Scholes期权定价模型，计算欧式看跌期权的定价公式。
解答二：根据Black-Scholes模型，欧式看跌期权的定价公式如下：P = K*e^(-rT)*N(-d2) - S*N(-d1)其中，P为期权的定价，S为标的资产现货价格，N是标准正态分布函数，d1和d2的计算公式与题目一相同。
题目三：美式期权定价已知某标的资产现货价格为S，期权行权价格为K，无风险利率为r，期权到期日距离当前时间的年限为T，标的资产的波动率为σ。
根据Black-Scholes期权定价模型，计算美式期权的定价公式。
解答三：美式期权与欧式期权不同之处在于，美式期权在到期日之前任何时间均可行权。
由于美式期权的行权时间不确定，其定价公式没有解析解，需要使用数值方法进行计算，如二叉树模型、蒙特卡洛模拟等。
综上所述，期权定价是一项复杂的任务，涵盖了多种模型和计算方法。
期权定价模型
:
1、证券价格的年波动率，又是股票价格对数收益率的年 标准差 2、一般从历史的证券价格数据中计算出样本对数收益 率的标准差，再对时间标准化，得到年标准差，即为波 动率的估计值。在计算中，一般来说时间距离计算时越 近越好；时间窗口太短也不好；一般来说采用交易天数 计算波动率而不采用日历天数。
19
1、几何布朗运动中的期望收益率。 2、根据资本资产定价原理， 取决于该证券的系统性风险、 无风险利率水平、以及市场的风险收益偏好。由于后者涉 及主观因素，因此其决定本身就较复杂。然而幸运的是， 我们将在下文证明，衍生证券的定价与标的资产的预期收 益率 是无关的。 3 、较长时间段后的连续复利收益率的期望值等于 2 / 2 < ，这是因为较长时间段后的连续复利收益率的期望值 是较短时间内收益率几何平均的结果，而较短时间内的收 益率则是算术平均的结果。
当股票价格服从几何布朗运动 dS Sdt Sdz 时，由 于衍生证券价格G是标的证券价格S和时间t的函数G(S,t)，
根据伊藤引理，衍生证券的价格G应遵循如下过程：
dG ( G S G 1 2G 2 S 2 )dt G Sdz
S
t 2 S 2
S
比较（11.1）和（11.11）可看出，衍生证券价格G和 股票价格S都受同一个不确定性来源dz的影响，这点对于 以后推导衍数G将遵循如
下过程：
dG (G a G 1 2G b 2 )dt G bdz
x t 2 x 2
x
其中，dz是一个标准布朗运动。这就是著名的伊藤引理。
12
伊藤引理的运用
• 如果我们知道x遵循的随机过程，通过 伊藤引理 可以推导出G (x, t )遵循的随机 过程。
binomial approach期权定价模型
7 用u 和d 计算波动率
假定股票的预期收益(现实世界中)为μ，而其波动率为σ
(a) 给出了二叉树图中第一步股票价格的变动。该步的长 度为Δt,，起始股票价格S0 上升到S0u 或下降到S0d，假 定价格上升的概率(现实世界中)为p*
于是 5 - f= 4.367
一般结论
考虑一个价格为S0的股票，基于该股票的某期权的当前 价格为f， 在这样的条件下，我们可将以上所得结论推 广到一般情形：
假设期权在时刻T 到期，并且在期权有效期内，股票价 格
➢ 或从S0 向上运动到一个新的水平S0u (其中,u>1) ➢ 或从S0 向下运动到新的水平S0d（其中,d < 1) ◊ 当股票价格向上运动时，股票价格增长的比率为u-1 ◊ 当股票价格向下运动时，股票价格减少的比率为1-d。 →如果股票价格运动到S0u ， 我们假设期权的损益为fu; →如果股票价格运动到S0d ， 我们假设期权的损益为fd
如果将公式(2) 中的变量p 解释为股票价格上升的概率，于是变 量l-p 就是股票价格下降的概率。表达式:
则是期权的预期收益。按照这种对p 的解释，于是公式(2) 可以 表述为:期权现价是其未来预期值按无风险利率贴现的值。
当上升概率假设为p 时，T 时刻预期的股票价格E(ST) 由下式给 出:
第一个时间步结束之时的预期股票价格为 图中此时的预期股价为
而树
为了匹配树图参数表示的预期股票收益，下式应当成立:
即
（11）
股票价格的波动率σ 应该使σΔt等于较短时间长度Δt内股票价 格收益的标准方差。等价的条件是，收益的方差为σ 2Δt （作 为结论接受）
期权定价理论
期权定价理论期权定价理论是衡量期权合约价格的数学模型。
它基于一系列假设和推导出的公式，通过评估期权的相关因素来确定其合理的市场价格。
这些因素包括标的资产价格、期权执行价格、期限、波动率以及无风险利率等。
期权的定价理论中最著名的模型是布莱克-斯科尔斯模型（Black-Scholes Model）。
该模型基于以下假设：市场无摩擦，即不存在交易费用和税收；标的资产价格服从连续时间的几何布朗运动；期权可以在任意时间点以市场价格进行买卖。
布莱克-斯科尔斯模型通过以下公式计算欧式期权的价格：C = S0 * N(d1) - X * e^(-r * T) * N(d2)其中，C是期权的市场价格，S0是标的资产的当前价格，N()是标准正态分布函数，d1和d2分别是两个维度上的标准正态分布变量，X是期权的行权价格，r是无风险利率，T是期权剩余时间。
布莱克-斯科尔斯模型的原理是通过构建组合，使得期权价格与标的资产价格的变动相对冲，从而消除风险。
通过调整组合中的权重，可以确定合理的期权价格。
这一模型在市场上得到广泛应用，被视为期权定价的标准模型之一。
除了布莱克-斯科尔斯模型外，还有其他一些期权定价模型，如考虑股息的期权定价模型、跳跃扩散模型等。
这些模型在不同情况下，可以更准确地预测期权价格。
需要注意的是，期权定价理论是基于一系列假设和前提条件建立的。
市场实际情况中可能存在不符合这些假设的情况，因此实际期权价格可能与模型计算结果存在一定的差异。
此外，期权定价也受到市场供求关系、交易量以及市场情绪等因素的影响。
总之，期权定价理论是一种基于数学模型的方法，用于评估期权合约的合理价格。
布莱克-斯科尔斯模型是最著名的期权定价模型之一，通过构建相对冲抗风险的组合来确定期权价格。
然而，需要注意实际市场中的差异和其他影响因素。
期权定价理论是金融衍生品定价的核心理论之一，它对金融市场的有效运行和风险管理起着重要作用。
期权是一种约定，赋予期权持有人在未来某个特定时间以特定价格买入或卖出某个标的资产的权利，而不是义务。
期权估价答题练习
期权估价答题练习一、单项选择题1.以下关于期权的表达，不正确的选项是〔〕。
A.投资人购买期权合约必须支付期权费，作为不承担义务的代价B.期权属于衍生金融工具C.一个公司的股票期权在市场上被交易，说明该公司从期权市场上筹集了资金D.期权出售人不一定拥有标的资产，期权购买人也不一定确实想购买标的资产2.某公司股票看涨期权和看跌期权的执行价格均为30元，期权均为欧式期权，期限1年，目前该股票的价格是20元，期权费〔期权价格〕为2元。
假如在到期日该股票的价格是15元，那么购进股票、购进看跌期权与购进看涨期权组合的到期收益为〔〕元。
A. 13B. 6C. －5D. －23.假设E公司股票目前的市场价格为10元，半年后股价有两种可能：上升33.33％或者降低25％。
现有1股以该股票为标的资产的看涨期权，执行价格为11元，到期时刻为6个月，那么套期保值比率为〔〕。
A. 0.5B. 0.4C. 0.8D. 0.34.以下不属于期权估价原理的是〔〕。
A.复制原理B.风险中性原理C.风险回避原理D.套期保值原理5.二叉树期权定价模型建立的假设，不包括〔〕。
A.市场投资没有交易成本B.投资者差不多上价格的同意者C.承诺以市场利率借入或贷出款项D.以后股票的价格将是两种可能值中的一个6.某股票期权距到期日的时刻为6个月，假如该股票收益率的方差为0.04，那么采纳多期二叉树模型运算该股票期权时，股价上升百分比为〔〕。
A.15.19％B.10.88％C.20.66％D. 21.68％7.以下关于期权定价方法的说法不正确的选项是〔〕。
A.单期二叉树模型假设以后股票的价格将是两种可能值中的一个B.在二叉树模型下，不同的期数划分，能够得到不同的结果C.在二叉树模型下，期数的划分不阻碍期权估价的结果D.在二叉树模型下，划分的期数越多，期权估价的结果与B－S模型越接近8.布莱克—斯科尔斯模型的参数—无风险利率，能够选用与期权到期日相同的国库券利率。
第六章布莱克舒尔斯期权定价模型
第六章 布莱克-舒尔斯期权定价模型一、 影响期权价值的主要因素由前面的分析知道决定期权价值（价格）的因素是到期的股票市场价格和股票的执行价格X 。
但是到期是未知的，它的变化还要受价格趋势和时间价值等因素的影响。
1)标的股票价格与股票执行价格的影响。
标的股票市场价格越高，则买入期权的价值越高，卖出期权的价值越低；期权的执行价越高，则买入的期权价值越低，卖出期权的价值越高。
2）标的股票价格变化范围的影响。
在标的股票价格变动范围增大的，虽然正反两方面的影响都会增大，但由于期权持有者只享受正向影响增大的好处，因此，期权的价值随着标的股价变动范围的增大而升高。
如下图：)(s f )(1s f)(2s fx s股票的价格由密度函数)(1s f 变为)(2s f ，S>X 的可能性增大，买入期权的价值增大，对卖出期权的价值则相反。
3）到期时间距离的影响。
距离愈长，股价变动的可能性愈大。
由于期权持有者只会在标的股价变动中受益，因此，距离期权到期的时间越长，期权的价值就越高。
4）利率的影响。
利率越高，则到期的现值就越低，使得买入期权价值提高，而卖出期权价值降低。
5）现金股利的影响。
股票期权受到股票分割或发放股票股利的保护，期权数量也适应调整，而不受影响，但是期权不受现金股利的保护，因此当股票的价格因公司发放现金股利而下降时，买入期权的价值下降，卖出期权的价值便上升。
二、布莱克-舒尔斯期权定价模型的假设条件B-S 模型是反映欧式不分红的买入期权定价模型，它的假定条件，除了市场无摩擦（例如无税、无交易成本、可以无限制自由借贷等）以外，还有：1． 股票价格是连续的随机变量，所以股票可以无限分割。
2． T 时期内各时段的预期收益率r i 和收益方差σi 保持不变。
3． 在任何时段股票的复利收益率服从对数正态分布，即在t 1-t 2时段内有： ()()()2221211()ln ,()S t N t t t t S t μσ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 因为股票的价格可以用随机过程{},...2,1)(=t t S 表示，其中S （t ）表示第t 日股票的价格，它是一个随机变量. 则第t 日股票的收益率（年收益率）为R t ：3651)1()(t R t S t S +=-股票的年收益率（单利）R 应该是：)3651()3651)(3651()364()365()1()0()2()1()0()365(136521R R R S S S S S S S S R +++===+ 为了简化计算两边同时取自然对数可得：∑=+=+3651)3651()1(t t R In R In 设r ，r 1，r 2，…，r 365为和R ，R 1，R 2，…，R 365相对应的连续复利。
布莱克舒尔斯期权定价模型
第六章 布莱克-舒尔斯期权定价模型一、 影响期权价值的主要因素由前面的分析知道决定期权价值（价格）C V 的因素是到期的股票市场价格m S 和股票的执行价格X 。
但是到期m S 是未知的，它的变化还要受价格趋势和时间价值等因素的影响。
1)标的股票价格与股票执行价格的影响。
标的股票市场价格越高，则买入期权的价值越高，卖出期权的价值越低；期权的执行价越高，则买入的期权价值越低，卖出期权的价值越高。
2）标的股票价格变化范围的影响。
在标的股票价格变动范围增大的，虽然正反两方面的影响都会增大，但由于期权持有者只享受正向影响增大的好处，因此，期权的价值随着标的股价变动范围的增大而升高。
如下图： )(s f )(1s f)(2s fx s股票的价格由密度函数)(1s f 变为)(2s f ，S>X 的可能性增大，买入期权的价值增大，对卖出期权的价值则相反。
3）到期时间距离的影响。
距离愈长，股价变动的可能性愈大。
由于期权持有者只会在标的股价变动中受益，因此，距离期权到期的时间越长，期权的价值就越高。
4）利率的影响。
利率越高，则到期m S 的现值就越低，使得买入期权价值提高，而卖出期权价值降低。
5）现金股利的影响。
股票期权受到股票分割或发放股票股利的保护，期权数量也适应调整，而不受影响，但是期权不受现金股利的保护，因此当股票的价格因公司发放现金股利而下降时，买入期权的价值下降，卖出期权的价值便上升。
二、布莱克-舒尔斯期权定价模型的假设条件B-S 模型是反映欧式不分红的买入期权定价模型，它的假定条件，除了市场无摩擦（例如无税、无交易成本、可以无限制自由借贷等）以外，还有：1． 股票价格是连续的随机变量，所以股票可以无限分割。
2． T 时期内各时段的预期收益率r i 和收益方差σi 保持不变。
3． 在任何时段股票的复利收益率服从对数正态分布，即在t 1-t 2时段内有：()()()2221211()ln ,()S t N t t t t S t μσ⎛⎫-- ⎪⎝⎭因为股票的价格可以用随机过程{},...2,1)(=t t S 表示，其中S （t ）表示第t 日股票的价格，它是一个随机变量. 则第t 日股票的收益率（年收益率）为R t ：3651)1()(t R t S t S +=-股票的年收益率（单利）R 应该是：)3651()3651)(3651()364()365()1()0()2()1()0()365(136521R R R S S S S S S S S R +++===+为了简化计算两边同时取自然对数可得：∑=+=+3651)3651()1(t tR In R In设r ，r 1，r 2，…，r 365为和R ，R 1，R 2，…，R 365相对应的连续复利。
第二`三篇实验六股票期权定价问题
设期初机会合约价格为f，则由资产组合在期初
的价值知：
3.57=20×k-f=20×0.4-f
所以
f=4.43
这说明：在无套利条件下，该机会合约的价 格为4.43元，它是一种均衡价格，当卖出合约的 价格低于或高于该价格时，都会出现套利。 人们常称机会合约为选择权即期权（options）, 也称为以股票为基础资产的衍生产品。 以上计算方法是从期末开始向期初倒推，称为后 向式动态规划。其Matlab程序为：
30k-8=10k-0 得k=0.4。 即股价上升时，投资组合的价值=30×0.4-8=4 股价下跌时，投资组合的价值=10×0.4-0=4
表明：构造上述投资组合以后，无论股票价格是 上涨还是下迭，投资者总可以获得不变的组合价 值。即该投资组合的收益率应该等于将钱存入银 行而获得的无风险利率，因此可以计算出将期末 的4元折回到期初的价值为
1 r d (u d ) fu fd fu fu 1 r d fd 1 1 r d
ud
1 r 1 r 1 r u d 1 r u d
fu p fd (1 p) (1 r)
其中 p 1 r d ，而
ud
fu p f d (1 p)
恰好是期末的期望收益，且期望收益的折现
2.计算简单二项式模型的机会价值
某股票现行价格为20元，根据某些信息预知，一 年后该股票的价格或者升到30元，或者下迭到10 元，假设一年期间该公司股票不支付任何红利。 现在有一个机会，可以签订一个合同，合同规定： 购买该合同的一方在一年后有权以22元的协定价 格购买一定数量的该公司的股票，但没有义 务非购买不可。也就是说，一年后当股票价格上 升为30元时，他可以只用22元购买，但是当股票 价格下迭到10元时，他可以放弃购买（不赔钱， 但损失购买机会合同的成本），问：合同的卖出 方，如何给合同定价？
6_期权定价的连续模型及BS公式
Black-Scholes方程的结果认为，由于在方程中消掉 了漂移项 ，而漂移项代表人们对证券价格未来变化的预期， 也即证券的风险期望收益率。因此，这意味着期权的价格与 人们对证券价格未来变化的预测无关，投资者的风险偏好并 不影响期权价格。
2020/11/28
36
从BS微分方程中我们可以发现：衍生证券的价值决定公式中出 现的变量为标的证券当前市价（S）、时间（t）、证券价格的 波动率（σ）和无风险利率r，它们全都是客观变量，独立于主 观变量——风险收益偏好。而受制于主观的风险收益偏好的标 的证券预期收益率并未包括在衍生证券的价值决定公式中。
38
应该注意的是： 实际期权交易中，很多看涨期权是通过竞价市场而非
理论公式定价。
2020/11/28
39
习题： 若某日某股票的相关数据如下，求V
S0 80 X 100
0.8
r 0.05
期权定价模型第6章(数学建模相关习题)
其中 ρ = e rT
另一方面，如前面分析， 这组合的在期权满日价格
αSu Vu ΠT =αST VT = αSd Vd
(股价上涨时) (股价下落时)
由于组合无风险，故
αSu Vu =αSd Vd
d u ΠT = Vd Vu u d u d
Vu Vd α = S(u d) 1 ρ d uρ V = ρ [ u d Vu + u d Vd ]
将数据代入 r=e0.1×0.5, u = 1.1,d = 0.9,得到
V = 4.454
再作分析
1 ρ d uρ 公式V = [ Vu + Vd ] ρ u d u d
记 p=
ρ d
u d
uρ 那么 1 p = u d
注意 p 正是股票价格上扬的概率,1- p 是 股票价格上扬的概率，于是 1 V = [ pVu + (1 p)Vd ]
ρ
Black - Scholes方程
利用股票价格的波动遵循几何布朗运动可以 导出 V 1 2 2 2V V + σ S 2 2 + rS rV = 0 t 2 S S 对于欧式期权，这个方程可以求出解的公式 Black-Scholes方程虽然影响巨大,但是它的 数学推导和求解过程在金融界较难被广泛接受和 掌握.尤其令人遗憾的是:对于美式期权,由于方 程的定解问题更为复杂,不可能求出解的表达式.
实验任务
取 t =1/360, 求上一问题美式 期权价格
谢谢各位！
期权价格
在股票价格为$46.2时,客户必定以敲定价格 $40购进股票.这时期权的价格应为 Vu = Su - X = 46.2-40 = 6.2(美元) 在股票价格为$37.8时,客户必定放弃这约 定的股票购买权,这时期权的价格应为 Vd = 0(美元) Vu (6.2) 在期满日T时,期权 V? 价格为 Vd (0) VT = max (ST - X ) 反问题：由VT 求 V
现代金融经济学-期权定价模型
10.3
期权定价公式的应用
期权定价公式的一个比较典型的应用是对于有风险 的公司债券的定价研究。
前提假设
假设公司j 有１个单位的普通股股票和一支面值为k 的贴现 债券在外流通。 股票和债券的价格分别为Sj和Dj，贴现公债在时期１到期。 ~ ~ 公司j 在时期１的总收入为 x j ，我们假设 x j与时期１的总 ~ 消费 C 构成联合对数正态分布，并且这个分部的参数和我 们上一节的讨论相同。 ~ x j 的现值是该公司在时期０的价值，我们用Vj来表示，因 此，Vj = Sj+Dj。
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利用效用函 数的特点
E[rj rf ] (1 rf )Cov(rj , u1 ' (C ) / u0 ' (C0 ))
~ E[rj rf ] (1 rf )Cov(rj , u1 ' ( M ) / u0 ' (C0 ))
依据第7章的讨论我们知道可以利用这些期权价格对任何复合证券进行定k在不同的k之下的结构提取一些信息以上分析表明用布莱克舒尔斯期权定价公式对以总消费量为标的的欧式看涨期权进行正确定价的充分条件是时期1的总消费量服从对数正态分布并且代表性经济行为主体的相对风险厌恶是固定的
《现代金融经济学》
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《现代金融经济学》
谢
谢 ！
运用关系式（10.3）计算Dj 可得：
~ B C ~ D j E min[x , k ] C 0
同时，我们也可以用布莱克-舒尔斯期权定价公式 以一种更直接和直观的方式来计算Dj
期权定价模型与应用考试
期权定价模型与应用考试（答案见尾页）一、选择题1. 期权定价模型中，哪个模型被认为是Black-Scholes模型的基石？A. 二叉树模型B. 布莱克-斯科尔斯模型C. 蒙特卡洛模拟D. 差分方程模型2. 在Black-Scholes模型中，哪个参数代表了期权的行权价格？A. SB. KC. TD. σ3. 在Black-Scholes模型中，哪个参数代表了标的资产的波动率？A. SB. KC. TD. σ4. 根据Black-Scholes模型，当标的资产价格趋于无穷大时，期权的理论价格将趋近于哪个值？A. S - KB. KC. 0D. 无穷大5. 在Black-Scholes模型中，哪个公式用于计算期权的理论价格？A. C = S * N(d1) - K * e^(-rT) * N(d2)B. C = S * N(-d1) + K * e^(-rT) * N(d2)C. C = K * e^(-rT) * N(d2) - S * N(d1)D. C = S * N(d2) - K * e^(-rT) * N(-d1)6. 在Black-Scholes模型中，哪个变量代表了期权到期时间？A. SB. KC. TD. σ7. 根据Black-Scholes模型，哪个参数代表了无风险利率？A. SB. KC. TD. σ8. 在Black-Scholes模型中，哪个公式用于计算d的值？A. d1 = (ln(S/K) + (r + σ^2/2) * T) / (σ * sqrt(T))B. d1 = (ln(S/K) - (r + σ^2/2) * T) / (σ * sqrt(T))C. d1 = (ln(K/S) + (r + σ^2/2) * T) / (σ * sqrt(T))D. d1 = (ln(K/S) - (r + σ^2/2) * T) / (σ * sqrt(T))9. 在Black-Scholes模型中，哪个公式用于计算d的值？A. d2 = d1 - σ * sqrt(T)B. d2 = d1 + σ * sqrt(T)C. d2 = (ln(S/K) + (r - σ^2/2) * T) / (σ * sqrt(T))D. d2 = (ln(K/S) + (r - σ^2/2) * T) / (σ * sqrt(T))10. 在实际应用中，Black-Scholes模型通常用于哪种类型的期权定价？A. 股票期权B. 利率期权C. 商品期权D. 外汇期权11. 在Black-Scholes模型中，哪个参数代表期权的行权价格？A. SB. KC. TD. σ12. 根据Black-Scholes模型，以下哪个因素会降低期权的价值？A. 无风险利率的增加B. 波动率的增加C. 到期日的临近D. 行权价格的降低13. 在期权定价中，哪个概念指的是期权价格对标的资产价格变动的敏感性？A. DeltaB. GammaC. ThetaD. Vega14. 如果一个期权的Delta值为，这意味着当标的资产价格变动个单位时，期权价格将大约变动多少单位？A. 0.5个单位B. 1个单位C. 2个单位D. 0.25个单位15. 在期权交易中，Gamma值对于交易者来说有何重要性？A. Gamma值可以帮助交易者预测和管理标的资产价格的剧烈变动。
期权定价模型在资产价值评估中的应用练习及答案1
期权定价模型在资产价值评估中的应用练习与答案1、三周前你买了一份100股看涨期权合约。
该看涨期权的到期日自今天算起还有五周。
在那天，标的股票的价格将是120元或95元。
两种状态的出现是等可能的。
目前，该股票售价为96元；其执行价格是112元。
你能够购买32股股票。
你能以10%年利率借到钱。
你的看涨期权合约的价值是多少？2、假设戴尔塔运输公司股票在今天算起的一年后到期时只存在两种状态。
到那天戴尔塔公司股票的价格将是60元或40元。
今天戴尔塔股票以55元交易。
看涨期权的执行价格是50元。
你能以9%的利率借款。
你愿意为此看涨期权支付的款额是多少？3、现有计算机普拉斯公司股票的看涨期权。
该期权将于今天起的一年后到期，执行价格是35元。
无风险利率是7%。
计算机普拉斯公司股票正以每股37元出售，而你对股票收益方差的估计值是0.004。
(1)利用布莱克-模型为该看涨期权定价。
(2)你发现方差的估计值应该修改为0.0064。
看涨期权的新价格应是多少？(3)在公布该公司即将关闭其在加利福尼亚的三家工厂后，股票价格跌至35元。
利用(2)中的结果，该期权的新价格应该是多少？4、你已应顾客的要求确定他们将愿意为购买金斯利看涨期权而支付的最高价格。
该期权具有执行价格25元，且在120天后到期。
金斯利股票的现行价格是27元，无风险年利率是7%，股票的估计方差是0.0576。
预期在下六个月期间没有任何股利被宣布。
你的顾客应该支付的最高价格是多少？5、环球不动产合伙有限公司正在进行一个新项目。
若该项目成功，一年后公司的价值将是6.5亿元，但若最终失败，公司将只值2.5亿元。
公司的现有价值是4亿元。
公司已公开发行的一年期债券的总面值为3亿元。
短期国库券利率是7%。
权益的价值是多少？负债的价值是多少？6、假设上一题中的环球不动产合伙有限公司决定实施一项较有风险的项目：一年后公司的价值要么是8亿元，要么是1亿元，这取决于计划是否成功。
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期权价格
在股票价格为$46.2时,客户必定以敲定价格 $40购进股票.这时期权的价格应为 Vu = Su - X = 46.2-40 = 6.2(美元) 在股票价格为$37.8时,客户必定放弃这约 定的股票购买权,这时期权的价格应为 Vd = 0(美元) Vu (6.2) 在期满日T时,期权 V? 价格为 Vd (0) VT = max (ST - X ) 反问题：由VT 求 V
确定有关常数
利用概率论的知识，可以导出
ud =1
a d p= u d
u =e =e
σ t
d =e
rt
σ t
(其中a = e )
股票价格二叉树图
Su4 Su3 Su2 Su S Sd Sd2 Sd3 Sd4 一个T = 4 t 的二叉树图 S Sd Sd2 Su S Su2
计算期权的价格
期权的预期收益率也应该等于无风险利率, 故有
如何定价的思路
基本思路是套期保值 套期保值,即交易者为减少风险而 套期保值 采取的投资组合(portfolio)的策略.假定现在套 利者卖出一份股票期权,价格为V,再以价格S买进 a份这种股票,那么该组合的价格为 Π =αS V 组合的目的是使之不具有风险,从而可获得无 风险利率，那么在期权期满日,组合增值后的价值 为 Π = ρΠ = ρ (αS V)
数学实验
股票期权定价问题 Black-Scholes Black-Scholes方程 和二叉树方法
上海交大数学系 乐经良
实际问题
在世界大多数证券市场上,有一种期权 (option)的交易.例如,某种股票的现价为S=42 美元,该股票的年波动率s=20%,市场的无风险 年利率r=10%;若客户希望拥有在六个月即0.5 年后以约定价格X=40(美元)购进这种股票的权 利,而且届时他也可以放弃这种权利.试问:为拥 有这种购买的选择权,客户该付多少钱? 换言之 ,这种期权的价格为多少?
T
其中 ρ = e rT
另一方面，如前面分析， 这组合的在期权满日价格
αSu Vu ΠT =αST VT = αSd Vd
(股价上涨时) (股价下落时)
由于组合无风险，故
αSu Vu =αSd Vd
d u ΠT = Vd Vu u d u d
Vu Vd α = S(u d) 1 ρ d uρ V = ρ [ u d Vu + u d Vd ]
背景知识
衍生证券 — 期权(option) 约定价格： 看涨期权(call opton)；看跌期权(put option) 欧式(European)期权；美式(American)期权 期权价格：一种未定权益的价格 Black — Scholes 方程
简单分析
股票的现价为S,由于股票价格的波动率,到 期时价格可能上扬为Su,也可能下跌为Sd. 为简 单计,暂且假定涨跌幅均为10％ ,则有u=1+10％ =1.1 ，d =1-10％＝0.9, Su($46.2) S Sd ($37.8) 显然前一情况客户会执行期权，后一情 况会放弃期权
二叉树
在简单分析中.有一个显然的问题,例子中 到期满日股价只有两种可能以及涨跌幅10％的 假为很多小的时间间隔Dt,而在每一个Dt,股 票价格变化由S到Su或Sd.若价格上扬的概率为 p,那么下跌的概率为1- p 如前所述,即股票预期收益率等于无风险利 率,故有 Sert = pSu + (1 p)Sd
实验任务
取 t =1/360, 求上一问题美式 期权价格
谢谢各位！
Ve
rt
= pVu + (1 p)Vd
V = ert [ pVu + (1 p)Vd ]
Vu V Vd
期权的计算将从树图 的末端(T时刻)开始向后 倒推进行.时刻的期权 价值是已知的,可倒推出 前一个时刻的期权价格
计算的实例
59.30 19.39 52.91 13.58 47.14 8.56 42 4.83 44.49 6.51 39.64 2.79 42 4.04 37.42 1.27 49.94 13.58 44.49 6.71 39.64 2.02 35.32 0.34 47.14 7.81 42 3.16 37.42 0.61 33.34 0 56.05 16.39 49.94 10.28 44.49 4.83 39.64 1.11 35.32 0 31.47 0 52.91 16.39 47.14 7.14 42 2 37.42 0 33.34 0 29.70 0
算得期权价格
当 t =1/12, 得到V = $ 483 当然t 越小，可得越精确的结果
实验任务
取 t =1/360, 求期权价格
美式期权的例子
股票现价S＝50(美元),该股票的年波动率 s=40%,市场的无风险年利率r=10%;敲定价格 为X=50(美元),美式看跌期权的有效期为五个 月即T=0.4167(年)意味着期权持有者有权在 五个月内的任何一天执行期权,即他可以用敲 定价格出售股票给期权提供者;当然他也可以 放弃这种权利.那么这种期权的定价应为多少?
ρ
Black - Scholes方程
利用股票价格的波动遵循几何布朗运动可以 导出 V 1 2 2 2V V + σ S 2 2 + rS rV = 0 t 2 S S 对于欧式期权，这个方程可以求出解的公式 Black-Scholes方程虽然影响巨大,但是它的 数学推导和求解过程在金融界较难被广泛接受和 掌握.尤其令人遗憾的是:对于美式期权,由于方 程的定解问题更为复杂,不可能求出解的表达式.
有关数据
若将T 分成五段,每段长度1个月, 则t ＝0.0833(年),利用已知数据可 以求出
u =e
0.4 t
≈1.1224,
1 d = ≈ 0.8909 u
a d ≈ 0.5076 p= u d
a = e0.1t ≈1.0084,
用二叉树计算
79.35 0 62.99 0.63 50 4.48 56.12 2.15 44.55 6.95 50 3.76 39.69 10.35 70.70 0 56.12 1.30 44.55 6.37 35.36 14.64 62.99 0 50 2.66 39.69 10.31 31.50 18.50 89.07 0 70.70 0 56.12 0 44.55 5.45 35.36 14.64 28.07 22.93
将数据代入 r=e0.1×0.5, u = 1.1,d = 0.9,得到
V = 4.454
再作分析
1 ρ d uρ 公式V = [ Vu + Vd ] ρ u d u d
记 p=
ρ d
u d
uρ 那么 1 p = u d
注意 p 正是股票价格上扬的概率,1- p 是 股票价格上扬的概率，于是 1 V = [ pVu + (1 p)Vd ]