广州市执信中学2014届高三数学(理)三模

广州市执信中学2014届高三数学（理）三模一、选择题：1.已知全集U=R ，则正确表示集合M= { x |x 2+2x>0}和 N= {-2，－1，0}关系的韦恩（Venn ）图是（ ）2. 已知(1,),(,4)a k b k == ，那么“2k =-”是“,a b共线”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．非充分非必要条件D ．充要条件 3. 对任意的实数k ，直线1y kx =+与圆222=+y x 的位置关系是（ ） A.相离 B.相切 C.相交 D.随k 的变化而变化 4.复数21z i=-+的共轭复数．．．．对应的点在（ ） A.第一象限 .B 第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5. 若log 1m n =-，则3m n +的最小值为( )A. B. 2C. D. 526. 已知数列{}n a 满足()1112,1n n a a n N a +-==∈+ ,则2014a = ( ) A. 2 B. 13-C. 32-D. 237. 用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为( )A.38π B. 328πC. π28D. 332π 8. 若函数()f x 的零点与()422xg x x =+-的零点之差的绝对值不超过0.25， 则()f x 可以是( ) A. ()41f x x =- B. ()2(1)f x x =- C. ()1xf x e =- D. ()12f x In x ⎛⎫=-⎪⎝⎭二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． 9. 将容量为n 的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图.若第一组至第六组数据的频率之比为2：3：4：6：4：1，且前三组数据的频数之和等于27，则n 等于 * .10.从5男4女中选4位代表，其中至少有2位男生，且至少有1位女生，分配到四个不同的工厂调查，不同的分派方法有 * .11.函数1()sin 2f x x =([0,]x π∈)的图像如图，其中B 为顶点，若在()f x 的图像与x 轴所围成的区域内任意投进一个点P ，则点P 落 在⊿ABO 内的概率为 * .12.若双曲线22116y x m -=的离心率e=2，则它的焦点坐标为 * . 13．不等式组2230204x y x y x y +≥⎧⎪-≥⎨⎪+≤⎩所确定的平面区域D 的面积是 * .（二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）14. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，曲线1C ：cos sin ρθθ+（）=1与曲线2C ：a ρ=(0)a >的一个交点在极轴上，则a = * .15. （几何证明选讲选做题）过半径为2的⊙O 外一点A 作一条直线与⊙O 交于C ，D 两点，AB 切⊙O 于B ．已知AC =4，AB=tan DAB ∠= * .三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题12分）已知函数1()cos cos 2().2f x x x x x R ⋅-∈（1）求函数()f x 的最小值和最小正周期；（2）设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别a 、b 、c，且()1c f C ==， 求三角形ABC 的外接圆面积.17．（本小题满分13分）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，且1212112()a a a a +=+， 34534511164()a a a a a a ++=++. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设21()n n nb a a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T . 18．（本小题13分）如图，已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，AA 1＝AB ＝AC ＝1，AB ⊥AC ，M 、N 分别是CC 1，BC 的中点，点P 在线段A 1B 1上，且A 1P →＝λA 1B 1→（1）证明：无论λ取何值，总有AM ⊥PN ；（2）当λ＝12时，求直线PN 与平面ABC 所成角的余弦值．19．（本小题满分14分）甲乙两人进行围棋比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满8局时停止．设甲在每局中获胜的概率为1()2p p >，且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为59． （1）求p 的值；（2）设ξ表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量ξ的分布列和数学期望E ξ．20. (本小题满分14分)已知点F 是椭圆22211x y a+=+(0a >)的右焦点，，动点P 到点F 的距离等于到直线x a =-的距离．（1）求点P 的轨迹C 的方程；（2）设过点F 任作一直线与点P 的轨迹交于A 、B 两点，直线OA 、OB 与直线x a =-分别交于点S 、T （O 为坐标原点），试判断FS FT ⋅是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．21．(本小题满分14分)已知'''*010211(),()(),()(),,()(),x n n f x xe f x f x f x f x f x f x n N -====∈ (1)请写出()n f x 的表达式(不需要证明)，并求()n f x 的极小值；(2)设2()2(1)88n g x x n x n =--+-+， ()n g x 的最大值为a ，()n f x 的最小值为b ， 证明：4a b e --≥；（3）设20()|ln[()]1|,(0)x x a f x x a ϕ=+-->，若3(),[1,)2x a x ϕ≥∈+∞恒成立，求a 的取值范围.广州市执信中学2014届高三数学三模参考答案1-8．CACB CABA 9. 60；10. 2400；11.4π；12.±（0，8）；13.2π；14. 1；15. 4. 1. C 【解析】解得M={}02x x x ><-或，M N ⋂=Φ,所以选C2. A 【解析】“2k =-”可以推导出 “,a b共线”，但反之不成立， 2k =±3.C 【解析】直线1y kx =+过圆内一定点(0,1)所以相交.4. B 【解析】因为i i i i i i z --=--=--+---=+-=12)1(2)1)(1()1(212，共轭复数为i z +-=1，所对应的点在第二象限.5. C 【解析】log 11m n mn =-⇒=，则3m n +≥=6. A 【解析】123420141132,,,2,232a a a a a a ==-=-=∴==7. B 【解析】用与球心距离为1的平面去截球，截面半径为1 328π8. A 【解析】()41f x x =-的零点为x=41,()2(1)f x x =-的零点为x=1, ()1xf x e =-的零点为x=0,()12f x In x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点为x=23.现在我们来估算()422x g x x =+-的零点，因为g(0)= -1,g(21)=1,所以g(x)的零点x ∈(0,21),又函数()f x 的零点与()422x g x x =+-的零点之差的绝对值不超过0.25，只有()41f x x =-的零点适合，故选A.9. 60【解析】设第一组至第六组数据的频率分别为2,3,4,6,4,x x x x x x ，则234641x x x x x x +++++=，解得120x =，所以前三组数据的频率分别是234,,202020，故前三组数据的频数之和等于234202020n n n ++=27，解得n=60. 10. 2400 【解析】2231454544()2400C C C C A +=11. 4π 【解析】11224ABO S ππ=⋅⋅= , 设()f x 的图像与x 轴所围成的区域为S,则S=01sin 12xdx π=⎰ 4P π∴=12. ±（0，8） 【解析】根据双曲线方程：12222=-bx a y 知， m b a ==22,16，在双曲线中有：222c b a =+，∴离心率e=a c =2⇒422=ac =1616m+⇒m=48，所以双曲线的焦点坐标为±（0，8）13.2π 【解析】D 是圆心角为4π，半径为2的扇形，故面积为22=82ππ⋅ 14. 1 【解析】曲线1C 的直角坐标方程是x+y=1，曲线2C 的普通方程是直角坐标方程222x y a +=，因为曲线C 1：sin )1ρθθ+=与曲线C 2：a ρ=(0)a >的一个交点在极轴上，所以1C 与x 轴交点横坐标与a 值相等，由y=0得x=1，知a =1.15.4【解析】由切割线定理232484A B A C A D A D A D C D =⋅∴=⨯∴=∴= ,CD ∴是直径，过O 做AB 的垂线，垂足为B ，tan tan4DAB OAB ∴∠=∠==16.解：(1)11()cos cos 22cos 22f x x x x x x =⋅-=- =sin(2)6x π- ………2分1sin(2)16x R x π∈∴-≤-≤ ()f x ∴的最小值是-1 ………4分22T ππ∴==，故其最小正周期是π ………6分(2) ()1sin(2)00222662f C C C C ππππ=∴-=<<∴-=且,3C π∴=………9分由正弦定理得到：2R=2sin c C ==(R 为外接圆半径)，1R ∴= ………11分 设三角形ABC 的外接圆面积为S,∴S=π ………12分17.（1）2112122(1)(1),02a q q q a a a q a +=+>⇒== ………2分 22263351564(1)(1)64a q q q q a a a q a ++=++⇒== ………4分 11,2a q ∴==⇒12n n a -= ………6分(2) 1211111(2)4224n n n n n b ----=+=++, ………8分 2121111(1444)(1)2444n n n T n --=++++++++++ ………9分1111(1)4(1)1(14)414444221211433314n nn n n n n n n ------=++=++=++--………11 ………12分 ………13分………4分………6分 ………8分………12分直线PN 与平面ABC13分 19.（Ⅰ）依题意，当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛结束．∴有95)1(22=-+p p ． 解得32=p 或31=p ． …………6分 21>p ， 32=∴p ． …………7分（Ⅱ）依题意知，依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6，8． ………… 8分设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为95．若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响． 从而有5(2)9P ξ==， 5520(4)(1)9981P ξ==-=， 55580(6)(1)(1)999729P ξ==--⋅=，55564(8)(1)(1)(1)1999729P ξ==---= ．………12分∴随机变量ξ的分布列为：………… 12分故520806425222468981729729729E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． ……………… 14分 20、解：（1） 椭圆22211x y a+=+右焦点F 的坐标为(,0)a ，………………1分 由抛物线定义知，点P 的轨迹C 是以点F 为焦点、直线x a =-为准线的抛物线，……3分C 的方程为24y ax =． ………5分（2）(法一)设直线AB 的方程为x ty a =+，211(,)4y A y a 、222(,)4y B y a， 则x y a y l OA 14:=，x y ay l OB 24:=．…………6分 由⎪⎩⎪⎨⎧-==a x x y a y ,41，得214(,)a S a y --， 同理得224(,)a T a y --．…………………………8分214(2,)a FS a y ∴=-- ，224(2,)a FT a y =-- ，则4212164a FS FT a y y ⋅=+． ………9分 由⎩⎨⎧=+=axy a ty x 4,2，得04422=--a aty y ，2124y y a ∴=-． ……………………11分则044)4(16422242=-=-+=⋅a a a a a FT FS ． …………………………13分 因此，FS FT ⋅的值是定值，且定值为0． …………………………………14分 (法二)①当AB x ⊥时， (,2)A a a 、(,2)B a a -，则:2OA l y x =， :2OB l y x =-．由2,y x x a =⎧⎨=-⎩得点S 的坐标为(,2)S a a --，则(2,2)FS a a =-- ．由2,y x x a =-⎧⎨=-⎩ 得点T 的坐标为(,2)T a a -，则(2,2)FT a a =- ． (2)(2)(2)20FS FT a a a a ∴⋅=-⨯-+-⨯=． ………………………………………7分②当AB 不垂直x 轴时，设直线AB 的方程为()(0)y k x a k =-≠，),4(121y a y A 、),4(222y ayB ，同解法一，得4212164a FS FT a y y ⋅=+ ． …………………………………10分由2(),4y k x a y ax=-⎧⎨=⎩，得22440ky ay ka --=，2124y y a ∴=-．……………………11分则044)4(16422242=-=-+=⋅a a a a a ． …………………………13分 因此，FS FT ⋅的值是定值，且定值为0． …………………………………14分 21.解：(1)f n (x )＝(x ＋n )·e x (n ∈N *)． …………2分因为f n (x )＝(x ＋n )·e x ，所以f ′n (x )＝(x ＋n ＋1)·e x.因为x ＞－(n ＋1)时，f ′n (x )＞0；x ＜－(n ＋1)时，f ′n (x )＜0， …………3分所以当x ＝－(n ＋1)时，f n (x )取得极小值f n (－(n ＋1))＝－e －(n ＋1) ． ………4分 (2)由题意 b ＝f n (－(n ＋1))＝－e －(n ＋1)，又a ＝g n (－n ＋1)＝(n －3)2，………5分 所以a －b ＝(n －3)2＋e －(n ＋1)．令h (x )＝(x －3)2＋e －(x ＋1)(x ≥0)， 则h ′(x )＝2(x －3)－e －(x ＋1)，又h ′(x )在区间[0，＋∞)上单调递增， 所以h ′(x )≥h ′(0)＝－6－e －1.又h ′(3)＝－e －4＜0，h ′(4)＝2－e －5＞0，所以存在x 0∈(3，4)使得h ′(x 0)＝0. …………6分 所以当0≤x ＜x 0时，h ′(x )＜0；当x ＞x 0时，h ′(x )＞0.即h (x )在区间[x 0，＋∞)上单调递增，在区间[0，x 0)上单调递减，………7分 所以h (x )min ＝h (x 0)．又h (3)＝e －4，h (4)＝1＋e －5，h (4)＞h (3)，所以当n ＝3时，a －b 取得最小值e －4，即a －b ≥e －4. …………8分（3）.由条件可得2()|ln 1|x x a x ϕ=+-,【以下所有f 换成ϕ】①当e x ≥时，a x a x x f -+=ln )(2，xax x f +='2)(，0>a ，0)(>∴x f 恒成立, )(x f ∴在),[+∞e 上增函数,故当e x =时，2min)(e e f y == …………9分②当e x <≤1时，2()ln =-+f x x a x a ，)2)(2(22)(a x a x x x a x x f -+=-='，（i ）当,12≤a即20≤<a 时，)(x f '在),1(e x ∈时为正数，所以)(x f 在区间),1[e 上为增函数,故当1=x 时，a y +=1min ，且此时)()1(e f f <2=e …………10分(ii)当e a <<21,即222e a <<时，)(x f '在)2,1(a x ∈时为负数，在间),2(e a x ∈ 时为正数,所以)(x f 在区间)2,1[a 上为减函数，在],2(e a 上为增函数,故当2ax =时，2ln 223min a a a y -=，且此时)()2(e f af <2=e …………11分(iii)当e a≥2,即 22e a ≥时，)(x f '在),1(e x ∈时为负数，所以)(x f 在区间[1,e]上为减函数，故当e x =时，2min )(e e f y == …………12分综上所述，函数)(x f y =的最小值为⎪⎩⎪⎨⎧>≤<-≤<+=222min2,22,2ln 22320,1e a e e a aa a a a y …………13分 所以当312a a +≥时,得02a <≤; 当33ln 2222a a a a -≥(222a e <<)时,无解； 当232e a ≥ （22a e ≥）时,得a ≤不成立.综上,所求a 的取值范围是02a <≤. ………14分。