《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版选修1-1【配套备课资源】3-2-3导数的四则运算法则

( B ) 2 C.－ 2 2 D. 2
cos xsin x＋cos x－sin xcos x－sin x 解析 y′＝ sin x＋cos x2
1 ＝ 2， sin x＋cos x
1 故 y′| x 4 ＝ ， 2 π 1 ，0 处的切线的斜率为 . ∴曲线在点 M 2 4
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的导数， 那么怎样求 f(x)与 g(x)的和、 积、 差、 商的导数呢？
答案 利用导数的运算法则.
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问题 2 应用导数的运算法则求导数有哪些注意点？
3.2.3
答案 (1)要准确判断函数式的结构特点，选择合适的公式 和法则；
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3.2.3
3.2.3 导数的四则运算法则
【学习要求】
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1.理解函数的和、差、积、商的求导法则. 2.理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运 算法则求函数的导数. 【学法指导】 应用导数的四则运算法则和已学过的常用函数的导数公式 可迅速解决一类简单函数的求导问题.要透彻理解函数求 导法则的结构内涵，注意挖掘知识的内在联系及其规律， 通过对知识的重新组合，达到巩固知识、提升能力的目的.
填一填·知识要点、记下疑难点
3.2.3
导数的运算法则
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设两个可导函数分别为 f(x)和 g(x) 两个函数的 和的导数 两个函数的 差的导数 [f (x)＋g(x)]′＝ f′(x)＋g′(x) [f (x)－g(x)]′＝ f′(x)－g′(x)
填一填·知识要点、记下疑难点
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积、商，再利用运算法则求导数.在求导过程中，要仔细 分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联 系基本函数的导数公式.对于不具备导数运算法则结构 形式的要适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式， 再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题.
∴f′(－1)＝3a－6＝4，
10 ∴a＝ 3 .
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3.2.3
1 3 4.已知 f(x)＝ x ＋3xf′(0)，则 f′(1)＝________. 3
解析 f′(x)＝x2＋3f′(0)，令 x＝0，
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则 f′(0)＝0，
∴f′(1)＝12＋3f′(0)＝1. 答案 1
0
时速度是位移函数 s(t)对时间 t 的导数，即 v＝s′| t t .
0
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3.2.3
π sin x 1 跟踪训练 2 (1)曲线 y＝ － 在点 M ，0处的切 sin x＋cos x 2 4
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线的斜率为 1 1 A.－ B. 2 2
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3.2.3
5.已知抛物线 y＝ax2＋bx＋c 过点(1,1)，且在点(2，－1)处与 直线 y＝x－3 相切，求 a、b、c 的值.
解 因为 y＝ax2＋bx＋c 过点(1,1)， 所以 a＋b＋c＝1.
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y′＝2ax＋b，曲线在点(2，－1)的切线的斜率为 4a＋b＝1.
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3.2.3
小结
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本题应用导数的运算法则进一步强化导数的物理意
义及几何意义： 函数 y＝f(x)在点 x0 处的导数就是曲线 y＝f(x) 在点 P(x0，y0)处的切线的斜率，即 k＝y′| x x ＝f′(x0)；瞬
3.2.3
两个函数的
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积的导数
[f(x)g(x)]′＝ f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
f′xgx－fxg′x (g(x)≠0) 两个函数的 fx [gx]2 [ ]′＝ gx 商的导数
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3.2.3
探究点一 导数的运算法则 问题 1 我们已经会求 f(x)＝5 和 g(x)＝1.05x 等基本初等函数
∴切线方程为 y＋1＝2(x＋1)，
即 y＝2x＋1.
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3.2.3
3.已知 f(x)＝ax3＋3x2＋2， f′(－1)＝4， a 的值是( D ) 若 则 19 16 13 10 A. B. C. D. 3 3 3 3
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解析 ∵f′(x)＝3ax2＋6x，
x 2.曲线 y＝ 在点(－1，－1)处的切线方程为 x＋2 A.y＝2x＋1 C.y＝－2x－3
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3.2.3
( A )
B.y＝2x－1 D.y＝－2x＋2
x′x＋2－xx＋2′ 2 解析 ∵y′＝ ＝ 2 2， x＋2 x＋2 2 ∴k＝y′|x＝－1＝ ＝2， －1＋22
又曲线过点(2，－1)， 所以 4a＋2b＋c＝－1.
a＋b＋c＝1， 由4a＋b＝1， 4a＋2b＋c＝－1， a＝3， 解得b＝－11， c＝9.
所以 a、b、c 的值分别为 3、－11、9.
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3.2.3

求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、
3.2.3
1.设 y＝－2exsin x，则 y′等于
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( D )
A.－2excos x C.2exsin x
B.－2exsin x D.－2ex(sin x＋cos x)
解析 y′＝－2(exsin x＋excos x)＝－2ex(sin x＋cos x).
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1 3 a 2 由切点 P(0，f(0))既在曲线 f(x)＝3x －2x ＋bx＋c 上又在切线 y＝1
f′0＝0 上知 f0＝1
，
02－a· 0＋b＝0 即1 3 a 2 ， 0＋c＝1 3×0 －2×0 ＋b·
故 b＝0，c＝1.
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例 1 求下列函数的导数： (1)y＝3x－lg x； (2)y＝(x2＋1)(x－1)； x5＋ x7＋ x9 (3)y＝ . x
3.2.3
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解 (1)函数 y＝3x－lg x 是函数 f(x)＝3x 与函数 g(x)＝lg x 的差.
1 由导数公式表分别得出 f′(x)＝3 ln 3，g′(x)＝ ， xln 10
x
利用函数差的求导法则可得 1 (3 －lg x)′＝f′(x)－g′(x)＝3 ln 3－ . xln 10
x x
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(2)y＝(x2＋1)(x－1)＝x3－x2＋x－1
3.2.3
∴y′＝(x3)′－(x2)′＋(x)′
＝3x2－2x＋1.
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x5＋ x7＋ x9 2 3 4 (3)∵y＝ ＝x ＋x ＋x ， x
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解 (1)f′(x)＝(x· tan
xsin x ′ x)′＝ cos x
3.2.3
xsin x′cos x－xsin xcos x′ ＝ cos2x
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sin x＋xcos xcos x＋xsin2x ＝ cos2x sin xcos x＋x ＝ . cos2x (2)因为 f(x)＝2－2sin 2＝1＋cos x， 所以 f′(x)＝－sin x.
即 y＝3x＋1.
答案 3x－y＋1＝0
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3.2.3
(2)在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 在曲线 C：y＝x3－10x＋ 3 上，且在第二象限内，已知曲线 C 在点 P 处的切线斜率为 2，则点 P 的坐标为________.
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解析 设 P(x0，y0)(x0<0)，由题意知，y′| x x ＝3x02－10＝2，
0
∴x02＝4. ∴x0＝－2， ∴y0＝15. ∴P 点的坐标为(－2,15). 答案 (－2,15)
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3.2.3
t－1 (3)已知某运动着的物体的运动方程为 s(t)＝ 2 ＋2t2(位移单 t 位：m，时间单位：s)，求 t＝3 s 时物体的瞬时速度.
t－1 t 1 1 2 2 1 解 ∵s(t)＝ 2 ＋2t ＝ 2－ 2＋2t ＝ － 2＋2t2， t t t t t 1 1 ∴s′(t)＝－ 2＋2· ＋4t， t t3 1 2 323 ∴s′(3)＝－9＋27＋12＝ 27 ， 323 即物体在 t＝3 s 时的瞬时速度为 27 m/s.
(2)求导前可以先对解析式适当化简变形，以利于求导；
(3)在两个函数积与商的导数运算中，不要出现[f(x)· g(x)]′
fx f′x ＝f′(x)· g′(x)以及 ′＝ 的错误； gx g′x
(4)注意区分两个函数积与商的求导公式中符号的异同，积 的导数 公式 中是 “＋ ”， 而商 的导 数公 式中 分子上是 “－”.
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探究点二 导数的应用 例 2
3.2.3
(1)曲线 y＝xex ＋2x＋1 在点(0,1)处的切线方程为
________________.
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解析 y′＝ex＋xex＋2， 则曲线在点(0,1)处的切线的斜率为 k＝e0＋0＋2＝3，
所以所求切线方程为 y－1＝3x，
∴y′＝(x2)′＋(x3)′＋(x4)′＝2x＋3x2＋4x3.
小结 本题是基本函数和(差)的求导问题，求导过程要紧扣求导 法则，联系基本函数求导法则，对于不具备求导法则结构形式的 可先进行适当恒等变形转化为较易求导的结构形式再求导数.