第4章 恒定电场
恒定电场的形成
恒定电场的形成恒定电场是指在空间中电场强度大小和方向都保持不变的电场。
恒定电场的形成是由于电荷的存在和电荷之间的相互作用。
电荷是电场的源，具有正电荷和负电荷两种属性。
正电荷和负电荷之间会相互吸引，同种电荷之间会相互排斥。
在空间中，当存在一个或多个电荷时，其周围会形成一个电场。
电场是一个由电荷引起的物理量，它描述了电荷在周围空间中的影响力。
在恒定电场中，电荷不随时间变化，因此电场强度也保持不变。
在一个恒定电场中，电荷会受到电场力的作用。
电场力的大小与电场强度和电荷量有关。
电场力的方向与电荷性质和电场方向有关。
正电荷在电场中受到的电场力方向与电场方向相同，负电荷受到的电场力方向与电场方向相反。
恒定电场的形成有以下几种情况：1. 单个电荷产生的电场：当只存在一个电荷时，其周围会形成一个呈球对称的电场。
电荷的正负性决定了电场线的起始和结束位置，电场线从正电荷流向负电荷。
电场强度随着距离电荷的远近而减小。
2. 电荷对之间的电场：当存在多个电荷时，每个电荷都会产生电场，并且相互之间会相互影响。
在这种情况下，可以将每个电荷产生的电场叠加起来，得到总电场。
根据电场叠加原理，每个电荷受到的总电场力等于其他电荷产生的电场力的矢量和。
3. 平行板电容器：平行板电容器是一种常见的恒定电场形成的例子。
它由两个平行的金属板组成，之间填充了绝缘介质。
当平行板电容器接通电源时，正电荷会聚集在一个金属板上，负电荷会聚集在另一个金属板上。
这样，在两个金属板之间就形成了一个恒定电场。
4. 点电荷环：点电荷环是由一些电荷按特定形状排列而成的结构。
在点电荷环的中心区域，电场强度是恒定的。
这是因为电荷环对称，对于任何一点来说，来自电荷环的电场力大小和方向都是相同的。
恒定电场的形成是由电荷的存在和电荷之间的相互作用所决定的。
通过了解恒定电场的形成过程，我们可以更好地理解电场的特性和作用，进一步应用于相关领域的研究和实践中。
电磁学第四章恒定电流和电路
电磁学第四章恒定电流和电路前三章讨论了静电场，场源电荷相对于观察者是静止不动的。
从本章起讨论电荷运动时引起的有关现象。
若电荷作有规则的定向运动就会形成电流，要维持电流的存在，必须要有相应的电场，所以本章主要讨论恒定电流和电场，并引入许多重要的物理概念。
§ 4.1恒定电流一、电流、电流强度、电流密度导体放在静电场中时，导体中的自由电子在外电场作用下发生定向运动，当导体内部场强为零时，定向运动停止。
若能使内部场强不为零，定向运动就会持续下去，这时，在导体中就有电流产生。
1、电流（1）定义：带电粒子（在外电场作用下）作宏观的定向运动便形成电流（叫做电流）本章只讨论：导体内部的电流。
（2）载流子：导体中的能在电场力作用下发生定向运动的带电粒子叫做该导体的载流子，它们是形成电流的内在因素。
不同性质的导体有不同的载流子：金属导体的载流子是自由电子，酸、碱、盐的水溶液中的载流子：是正负离子等。
（3）电流的方向正电荷运动的方向为电流的方向。
结论:A :导体中电流的方向总是沿着电场方向，从高电势处指向低电势处；B :导体中的载流子为负电荷（自由电子），此时可以把电流等效为等量的正电荷沿负电荷的反方向运动形成。
2、电流强度描述，电流的大小（1）定义：单位时间内通过导体任一横截面的电荷量，叫做该截面的电流强度。
（这里的截面可以推广到任意曲面）Aq表示为：I 二lim t >0-△t（2）电流强度I是反映导体中某一截面整体特征的标量。
A qI就某S面：1=三：平均地反映了S面的电流特征。
3、电流密度J（1）定义：导体中每一点的J的方向是该点正电荷运动方向（电场方向），J的大小等于过该点并与电流方向（正电荷运动方向）垂直的单位面积上的电流强度，写为：(2) J与I有不同：I是一个标量，描写导体中的一个面;J是矢量点函数，描写导体中的一个点。
(3) J与I的普遍关系只反映了J与I的特殊关系（要求面元与J垂直），下面推dS_导J与I的一般关系nJ在导体中某点处取一任意面元dS （dS与J并非垂直），面元dS的法线方向n?与该点的J夹角为二，则dS在与J垂直的平面上的投影为：dS〕二dScos^而dl 二JdS = JdScos^ （标量）二J r?d^ = J dS（二矢量点乘仍为标量）所以通过导体中任意曲面S的电流强度I与J的关系为：I 二J dSS此式说明：一曲面上的I是J对该曲面的通量（J通量）。
恒定电场的特点
恒定电场的特点
1. 嘿，你知道吗，恒定电场那可是相当稳定啊！就好比你走在一条直直的路上，不用担心突然有什么大的波动。
比如说电池提供的电场，那可一直稳稳的呢，这多可靠啊！
2. 哎呀呀，恒定电场还有个特点呢，它的电场强度是恒定的呀！这就好像是你的好朋友，一直那么靠谱，始终保持一个样。
比如在一个稳定运行的电路中，电场强度就是不变的哟，厉害吧？
3. 恒定电场还有一点很牛哦，电流密度是均匀分布的呢！想想看，就像把糖果平均分给小朋友们一样，多公平呀。
就像在一个均匀的导体中，电流就是这样均匀分布的，是不是很神奇？
4. 嘿哟，恒定电场里电荷的分布也是很有规律的呀！这简直就像是士兵排队一样整齐。
比如在一个电容器中，电荷就会有规律地分布呢，这简直太妙啦！
5. 哇塞，恒定电场可是一直持续不间断的哟！简直就像是永不停歇的小火车。
就比如家里一直通电的电线，那电场可是一直都在呀，是不是很厉害？
6. 还有啊，恒定电场基本不受时间影响哦！这就好似时间在它面前都没啥作用。
好比一个古老的钟表，自顾自地走着，一直保持稳定。
你说说，恒定电场是不是很特别呀？
结论：恒定电场有着诸多独特又稳定的特点，这些特点让其在各种电学现象和应用中发挥着重要作用，真的是很了不起呢！。
第4章 恒定电场与恒定磁场讲解
不同点： 源不同。静电场的源为静止电荷，恒定电场的源为 运动电荷
存在区域不同。静电场只能存在于导体外，恒定电 场可以存在于非理想导体内
4
l E dl 0
l E dl 0
S J dS 0
E 0
S D dS 0
E 0
J 0
D 0
J E
21
2 2
I
21 2U0
2 ln(b / a) 1 ln(c / b)
J
1 2U0
(a r c)
[ 2 ln(b / a) 1 ln(c / b)]r
E1
J
1
[ 2
ln(b /
2U0 a) 1
ln(c / b)]r
er
(a r b)
DE
2 0
2 0
E1t E2t
J1n J2n
1 2
2
2
n
1
1
n
E1t E2t
D1n D2n
1 2
2
2
n
1
1
n
5
C q
U
D dS E dS
S 2
S 2
E dl
E dl
1
，设同轴线内外导体电压为U。
求：(1)导体间的 E ，J ， ；
(2)分界面上自由电荷分布。
解：这是一个恒定电场边值问题。不能直接应用 高斯定理求解。
由边界条件，边界两边电流连续。
设单位长度内从内导体流向外导体电流为I。 E J
则：
J
I S
er
I
2 r er
EM04恒定电流场概述
第四章 恒定电流场
武 汉 科 技 大 学 信 息 科 学 与 工 程 学 院
1
本章要点
1、电流
2、电动势
3、恒定电流场 4、恒定电流场的边界条件 5、导电介质的能量损耗 6、恒定电流场与静电场的比拟 7、恒定电流场的应用
2
1、电流 恒定电流场：导体中的电子维持连续不断的定 向移动，并具有恒定的电场强度。
J E
1、电流
有些金属具有很大的σ数值，导电性很好， 被称为良导体。在很多情况下良导体中的电场 强度非常小，可以近似被看作是理想导体。 某些绝缘体的σ数值非常小，它们的导电性 能非常差，有时候可以近似被看作是理想介质。
9
1、电流
运流电流的电流密度并不与电场强度成正比， 而且电流密度的方向与电场强度的方向也可能 不同。可以证明运流电流的电流密度J与运动速 度v的关系为
b
b
U
0
R
I
2 L
13
2、电动势 首先讨论开路情况下外源内部的作用过程。
在外源中非静电力作用下，正电荷不断地移向正极 板P，负电荷不断地移向负极板N。 极板上的电荷在外源中形成电场 E ，其方向由正极 板指向负极板。 极板上电荷产生的电场力阻止 电荷移动，一直到该电场力等于非 静电力时，电荷运动方才停止，极 板上的电荷也就保持恒定。 既然外源中的非静电力表现为 对于电荷的作用力，因此，这种非 静电力是由外电场产生的，以 E′ 当 E =-E′ 时 ， 表示。
恒定电流场中的电场强度由外加电压产生， 可以存在于导体中。
静电场中的电场强度由静止电荷产生，不可以 存在于导体中。
3
1、电流 电流的分类：
《电磁场理论》第四章 恒定电场1
u r r u r J (r ) d S
S
（4.4）
上述电流密度 J 用来描述电流在某体积内流动的情况，所以称为体电流密度。 如果电流仅仅分布在导体表面的一个薄层内，如图4.1.2所示，则称为面电流。任意 一点面电流密度的方向是该点正电荷运动的方向，大小等于通过垂直与电流方向的单位
u r
1
1 n 2
2
n
（4.21） （4.22）
u r
1 2
若界面为电介质和导体的交界面，因介质中各点 J ＝ 0 ，由 J n 的连续性，则在导体一 侧，有
Jn 0
（4.23） (4.24)
n
0
120
设分界面两侧的电场线与法线 n 的夹角分别为 1 , 2 ， 如图4.4.1， 由 （4.19） 和 （4.20） 可得
i ( t ) lim q t dq dt
（4.1）
t 0
电流的单位为 A （安培） 。若电荷流动的速度不随时间改变，则有
t 0
lim
q t
dq dt
I (恒 定 值 )
（4.2）
这种情况下的电流称为恒定电流。 电流在穿过任一截面时，在该截面上有确定的分布和方向，电流强度并不能描述电 流在电流场中的分布情况，而电流产生的场 与电流的分布有关。从场的观点来看，电流 是一个通量，它并没有说明电流在导体内某 一点的分布情况，为了研究导体内不同点的 电荷运动情况，需引入电流密度的概念。 如图4.1.4所示，在垂直于电荷流动的方 向取一个面积元 S ，若流过 S 的电流为
J 0
（4.11）
这表明从任意封闭面穿出的恒定电流为 0，或者说恒定电流场是一个无散场。
第四章作业解答
ρS
J1n = J 2 n
σ 1 E1n = σ 2 E2 n
ε1 ε 2 ε1 ε2 ρ S = D1n − D2 n = ε 1 E1n − ε 2 E2 n = J1n − J 2 n = − J n σ σ σ1 σ2 2 1
特殊情况
ε1 ε 2 − =0 σ1 σ 2
v ∇× E = 0 v ∇⋅D = 0 v v D = εE
v ∇× E = 0 r ∇• J = 0 r r J = σE
E1t = E2t
D1n = D2 n
E1t = E2t
J1n = J 2 n
ε ⇔σ
of Information
r r E⇔E
r r D⇔J
Nanjing University
推广
r r J = σE
Nanjing
University
of
Information
Science
&
Technology
第四章 恒定电场与恒定磁场 电导率为无限大的导体称为理想导电体。由上式可见， 电导率为无限大的导体称为理想导电体。由上式可见，在理想 理想导电体 导电体中是不可能存在恒定电场的，否则，将会产生无限大的电流， 导电体中是不可能存在恒定电场的，否则，将会产生无限大的电流， 从而产生无限大的能量。但是，任何能量总是有限的。 从而产生无限大的能量。但是，任何能量总是有限的。 电导率为零的媒质，不具有导电能力，这种媒质称为理想介质。 电导率为零的媒质，不具有导电能力，这种媒质称为理想介质。 理想介质 媒 质 电导率(S/m) 电导率 媒 质 电导率(S/m) 电导率 4
第四章 恒定电场与恒定磁场
第四章 恒定电场与恒定磁场
电磁学第四章恒定电流和电路
dq en dS u dt
J enu
铜导线一般 n～1028m-3 ，u～0.15mm/sec 所以，电流密度大小为J～104 库/秒米2。
6
4. I 与 J 的关系：
通过导体中任意截面 S的电流 强度为：
I
导体中各点的 J 可以有不同的量值和方向，它是空
电流密度矢量的通量等于该面内 电荷量的减少率. 物理实质：电荷守恒定律. 3.恒定电流和恒定电场
S
要在导体中维持恒定电流，必须在导体内建立 dq 一个不随时间变化的恒定电场.这就要求激发 dt 0 电场的电荷分布不随时间变化，即
9
电流稳恒条件
J dS 0
S
上式表明，形成恒定电流时，在导体内从任一闭合 曲面流入的电荷量等于流出的电荷量. 恒定电场 激发电场的电荷分布不随时间变化，所建立 起的电场也不随时间变化，称为恒定电场. 讨论: ①稳恒的含义是指物理量不随时间改变. 稳恒条件可说成电荷分布不随时间变化，而并不意 味着电荷不能运动. 形成恒定电流的电荷处于宏观的定向运动状态之中.
电流线上每一点的切线方向就是 的方向，电流线的疏密表示它 J 的大小。 J 即| | 电流线的疏密度。
根据电荷守恒，在有电流分布的空间作一闭合 曲面，单位时间内穿入、穿出该曲面的电量等于 曲面内电量变化速率的负值。
8
2.电流连续性方程
dq J dS dt S
§4.4 电动势和全电路欧姆定律
4.4.1 非静电力
稳恒电流线必然是闭合的。然而仅有静电场不可能实现稳恒 电流。因为静电场的一个重要性质是
E dl 0
L
即电场力沿闭合回路移动电荷所做的功为0。若电场力将电 荷从一点移到另一点做正功，电势能减小，则从后一位置 回到原来位置电场力做负功，电势能增加。由于导体存在 电阻，电场移动电荷所做的功转化为电阻上消耗的焦耳热， 这就不可能使电荷再返回电势能较高的原来位置，即电流 线不可能是闭合的。结果引起电荷堆积，破坏稳恒条件。
第四章 恒定电场
2 G1 b 1n a
所以
( S / m)
1 1 b R1 1n G1 2 a
( / m)
解法2: 假设同轴电缆内外导体间加一直流电压U, 并考虑轴 对称, 故沿径向流过同一圆柱面的漏电流密度相等, 是
J
I 2 1
b
e
E
J
I 2
e
恒定电场的旋度：
E dl 0
C
E 0
恒定电场是一种保守场
恒定电场的散度： J 0
J E
E 0
稳态下（弛豫时间），均匀导电煤质内部无自由电 荷，电荷只分布在表面。 电荷分布是不变的（与静电场相同）。
☆ 恒定电场的基本方程
积分形式 微分形式
E 0 恒定电场 J 0 J E E 0 静电场 D 0 D E
比拟关系 E E J D I q
电容与电导比拟
例题4.1，比较球形电容器的电导与电容的形式
U l E dl l E dl G I s J ds sE ds R U E dl I J dS E dS l E dl l S S q s D ds s E ds C U E dl E dl
a
dr I 2 r 4a
所以接地电阻是
式中σ是土壤的电导率。
U 1 R () I 4 a
提高级别例题1： 一同轴电缆内导体半径为a, 外导体内半径为b, 内外导体间填充一种介电常数为ε、电导率为σ的电介质材料, 试 计算同轴电缆单位长度的绝缘电阻R1。
恒定电场
Ｋｅ ｙ Ｗ ｏ ｒ ｄ ｓ ： Ｖｏ ｒ ｔ ｅ ｘ Ｅ ｌ ｅ ｃ ｔ ｒ ｉ ｃ Ｆ ｉ ｅ ｌ ｄｆ Ｐ ｏ ｉ ｓ ｓ ｏ ｎ Ｅｑｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎｉ ＥＭＦＩ Ｂｏ ｕ ｎ ｄ ａ ｒ ｙ Ｃ ｏ ｎ ｄ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎｓ
时 变 磁 场 激 发 的恒 定 涡 旋 电 场 与 静 电 使 螺线 管 内 ， 即虚 线 所 围成 的 区域 产 生均 匀
数 学方法应用到研究涡旋电场中 我们从 置 简 单的通电螺线管激发的电场出发， 求解通电螺线管内， 外的涡旋电扬分布函数 ， 其次分析这些函数
描述 的电场是否为保守场， 最后通过 定义假 想电流 ， 祸旋电场矢势， 涡旋 电场标势将恒定电场通过 泊松方程以及边界 条件表达 出来。 关键 词 ： 恒定电场 泊松 方程 电动势 边界条件 中图分类号 ： Ｔ Ｊ ５ １ ０ ． １ 文献标 识码 ： Ａ
２ １
：
学 术 论 坛
Ｓｃ ｉ ｅ ｎｃ ｅ ａ ｎｄ Ｔ ｅｃ ｈｎ ｏｌ ｏｇｙ Ｉ ｎｎ ｏｖａ ｔ ｉ ｏｎ Ｈｅ ｒ ａｌ ｄ
恒 定 电场
秦斐 （ 中国科学技术大学物理学院天 文系 安徽合 肥 ２ ３ ０ ０ ２ ６ ）
摘 要 ： 根据 电动力学我们知道 空间中静 电场的分布情况是可以通过边界条件以及泊松 方程求解 出来 的，且解是唯一的。原则上 ， 只要知道边 界 条件， 我们就可以通过 求解泊松 方程 未解决一切静 电场问题 。 实际上 这种方法还可 以推 广到涡旋电扬中。 谈论文讨论 了 如何 将研究静 电场的
将 描 述 静 电 场 的 这 种 数 理 方 法 推 广 到 涡 旋
根据电磁 感应 定律 “ ，百 将激发 出电场
心 Ｏ为坐 标 原 点 ， 在 该 坐 标 系 中的任 意 一 条 电 场线 上 ， 任 取一 点 ， 该 点位 矢为 ：
习题答案 第4章 恒定电场和恒定磁场
第4 章恒定电场和恒定磁场4.1 / 4.1-1 已知直径2mm 的导线，每100m 长的电阻为2Ω,当导线上通过电流20A 时，求导线中的电场强度及导线的电导率。
[解]m V l IR E /4.0100220=⨯==()S Ea IEJ 72321059.14.010120⨯=⨯⨯⨯===-ππσ 4.2 / 4.1-2在二同心金属球面间加直流电压0U ，外球接地。
二球面间媒质电导率为σ，远小于金属球的电导率。
求该媒质区域恒定电场的电流、电流密度、电场强度及电位。
[解] 24ˆJ rI rπ=ab abU ba U I -=-=04114πσπσ()a b rabU rE -=2ˆ ()()0114U a b r r b a b r Ir d E br--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅=⎰πσφ4.3 / 4.1-3一半径a=0.5m 的铜球深埋在地下，作为电器地线的接地器，如题图4-1所示。
大地土壤的电导率为m S 110-=σ，求铜球的接地电阻（漏电阻）R 。
Ω=⨯⨯====-6.15.010414111ππσσεa C GR 4.4 / 4.1-4一扇形电阻片如题图4-2所示，其电导率为σ，请计算A 、B 面之间的电阻。
ab h GR ln1σα==4.5 / 4.1-5 试用两种方法计算上题扇形电阻片在两圆弧面之间的电阻。
[解1] ab h h d A lR baln1ασαρσρσ===⎰[解2] ab h Id h I d Jd E U bababaln1ασραρσρσρ===⋅=⎰⎰⎰ab h IUR ln 1ασ==[解3] 采用静电比拟法：ab d l d E U E s bas lS lnˆεαρρεαρρεαρρ==⋅==⎰⎰a b hUhC s ln εαρ==故 ab h GR ln11ασ==4.6 / 4.1-6 平行板电容器由厚度分别为1d 和2d 的两层非理想介质绝缘，它们的电参数分别为1ε、1σ和2ε、2σ，极板面积为0A 。
电磁场与电磁波课件之恒定电场分析
1 2
1
1
n
2
2
n
相当J 于静电场的电场强度 ，
第五页，共二十五页。
因此，当恒定电流场与静电场(diàn chǎng)的边界条件相同时，电流密度的分布与 电场(diàn chǎng)强度的分布特性完全相同。
• 对应关系：
E恒 E静 J D
σε
恒 静 I q
根据这种类似性，可以利用已经获得的静电场的结果直接求解恒定电场。
设两个端面之间的电位差为u且令当角度时电位当角度时电位仅与角度有关因此电位满足的方程式为那么由的端面流进该导电媒质的电流同轴电缆屏蔽室接地电阻深度20米高压大厅网状接地电阻深度1米恒定电流场的能量损耗在导电媒质中自由电子移动时要与原子晶格发生碰撞结果产生热能这是一种不可逆的能量转换
§3.2 导体媒质中的恒定(héngdìng)电场分析
率
单位(dānwèi)体积中的功率损失为pl
EJ
E2
J2
当 J 和 E 的方向不同时，上式可以表示为下面一般(yībān)形式
pl E J
此式称为焦耳定律的微分形式，它表示某点的功率损耗等于该点的电场强度与
电流密度的标积。
设圆柱体两端的电位差为U，则 E U，又知 J ，I 那么单
dl
dS
E
l
dl
0
E 0
S
J
dS
0
J 0
J σE
静电场 ( 0)
E
l
dl
0
E 0
S
D
dS
0
D 0
D εE
位函数方程
2 0
2 0
边界条件
E1t E2t J1n J 2n
第四章 恒定电场
= q ∫ E ′ ⋅ dl = q ∫ E ′ ⋅ dl
C1 C
= qξ
在引入外部电动势的情况下， 欧姆定律可写为 在引入外部电动势的情况下，
∇ ⋅ J = ∇ ⋅ [σ ( E + E ′)] = 0 ⇒ ∇ ⋅ (σE ) = −∇ ⋅ (σE ′)
11
J = σ ( E + E ′) ⇒
∇⋅B = 0 ∇ × H = J
J =σE
and
D = εE
4
可知： 由 ∇⋅ J = 0可知：
D ∇ ⋅ J = 0 ⇒ ∇ ⋅ (σ E ) = 0 ⇒ ∇ ⋅ σ = 0 ε
σ ⇒ ρ = 0 ⇒ ρ = 0 ε
∴选择 J 代替 D ，则方程变成
∇ ⋅ D = ρ and ∇ × E = 0
9
三、电流稳定分布的必要条件
恒定电流体系最为重要的特点是内部会不断产 焦耳热，即电磁能将不断损耗。因而， 生焦耳热，即电磁能将不断损耗。因而，体系 保证电流稳定流动 必要条件 必须有 电流稳定流动的 条件是 要保证电流稳定流动的必要条件是必须有外来 电动力， 外来电动 电动势 的电动力，即外来电动势。
I = ∫ J ⋅ dS 为一常数，此种情况称为恒定电流。 为一常数，
S
恒定电流可分为 导电媒质 中的自由电子运动所形成的 传导电流和真空中电子或离子运动所形成的运流电流。
2
电流密度可表示为： 电流密度可表示为：ห้องสมุดไป่ตู้
J = ρυ 或 J = ∑ J i = ∑ ρυ
由电荷守恒定律可知
由于 ∇ ⋅ J = 0 ，则体电荷密度 ρ
dQ ∂ρ ∫SJ ⋅ dS = − dt ⇒ ∫V∇ ⋅ JdV = −∫V ∂t dV ∂ρ ⇒ ∇⋅ J = − ∂t
第4章 恒定电场和恒定磁场汇总
第4章 恒定电场和恒定磁场
例1 一个填充有两层导电媒质的平行板电容器，媒质参数分别为 1、1 和 2、2 ，外加电压U。求介质分界面上的自由电荷密度。 解 ：极板是理想导体， o 为等位面，电流沿z 方向。 U 1 , 1 d1 由 J1n J 2n J1 J 2 Jz ˆ d2 2 ,2 z J1 J1 J2 J2 ˆ, E2 ˆ E1 z z 1 1 2 2 d1 d 2 d1 d 2 J U ( ) U U1 U 2 E1d1 E2 d 2 ( ) J
tan 1 1 tan 2 2
电流由良导体进入不良导体时,在不良导体里的电流线近似与良导 体表面垂直，即良导体表面可以近似地看作等位面.
电磁场
第4章 恒定电场和恒定磁场
例如:
同轴线的内外导体通常由电导率很高(107数量级)的铜或铝制成, 而
填充在两导体间的材料不可能是理想的绝缘电介质, 总有很小的漏
恒定磁场
推论2: 当恒定电流通过电导率不同的两导电媒质时,其电流密度和
电场强度要发生突变。故分界面上必有电荷分布ρs 。
如: 两种导电媒质的分界面上, 根据D1n-D2n=ρs, 则得
J1n J 2n 1E1n 2 E2n
s E1n E2 n 0
第4章 恒定电场和恒定磁场
三、恒定电场的边界条件
• 场矢量的边界条件
J dS 0
S
ˆ ( J1 J 2 ) 0 即 J1n J 2n n
ˆ ( E1 E2 ) 0 即 E1t E2t n
ˆ n
1
E1
C
E dl 0
场矢量的折射关系
媒质1 媒质2
4恒定电场
U
x b
x
1 dr ( ) 2r 2 2 r x
I
I
xb
bI 2x( x b)
为保护人畜安全起见 U UO （危险电压取40V) 相应 X 0
Ib 2U 0
为危险区半径
图2.5.7 半球形接地器的危险区
在电力系统的接地体附近，要注意危险区。
目
录
一．恒定电场的基本方程 二．恒定电场的边值问题 三．静电比拟 四．接地电阻和跨步电压
一、恒定电场的基本方程
J 0 E 0
s J dS 0 C E dl 0
J E
e n ( E 2 E1 ) 0 en (J 2 J1 ) 0
那么由
2
的端面流进该导电媒质的电流 I 为
2Ut b dr 2Ut b 2U I J dS e ( e tdr ) a r π ln a S S πr π
因此该导电块的两个端面之间的电阻 R 为
y U t r 0 (r,)
【解】 显然，必须选用圆柱坐标系。设两个端面之 间的电位差为U，且令 ： 当角度 0 时，电位 1 0 。
0 x
a
b
当角度 时，电位 2 U 。 2
那么，由于导电媒质中的电位 仅与角度 有关，因此电位满足的方程式为
0
2
R
U π I 2t lnb / a
三、静电比拟
均匀导电媒质中的恒定电场 （电源外部）
E dl 0•
C
均匀电介质中的静电场 （ρ＝0的区域）
E dl 0•
恒定电场知识点总结
恒定电场知识点总结首先，我们需要了解什么是电场。
电场是一种物理场，描述了电荷之间相互作用的力。
在空间中的任意一点，如果放置一个试验电荷，它会受到电场力的作用。
电场可以由其他电荷所产生，也可以通过外部装置如电容器、电偶极子等来产生。
在典型的静电学问题中，我们经常研究恒定电场，也就是描述电场中的电荷分布是不随时间变化的。
在恒定电场中，我们能够推导出一些重要的规律和定律来描述电场中电荷的受力和运动。
下面，我们将在本文中详细探讨恒定电场的知识点，并且总结其重要的概念和定律。
1. 电场强度电场强度是描述某一点上电场强度大小和方向的物理量。
在恒定电场中，电场强度是一个常矢量，表示了电场在该点上对单位正电荷的力。
当我们插入一个试验电荷到电场中，该电荷所受到的电场力就是电场强度的矢量乘以电荷的大小。
电场强度的方向指向电场力的方向，大小则表示了单位正电荷所受到的电场力。
电场强度可以用数学公式来表示，在恒定电场中，它通常可以由电场势能的梯度来描述。
在直角坐标系中，电场强度的三个分量可以表示为：\[ \vec{E} = -\nabla V \]其中，E是电场强度的矢量，V是电场的电势。
这个公式用数学上的梯度运算符$\nabla$来表示，表明了电场强度和电势之间的关系。
通过计算电场势能在某点上的梯度，我们可以得到该点上的电场强度。
2. 超定定电场在超定定电场中，电场强度不仅与电场势能有关，而且还与场中存在的其他电荷分布有关。
在这种情况下，电场强度的计算要考虑到所有的电荷对于某一点上的贡献。
一般来说，我们会利用库仑定律来描述这种超定定电场下的电场强度。
库仑定律给出了两个电荷之间的电场强度与它们之间距离平方的关系：\[ \vec{E} = \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0} \dfrac{q}{r^2} \hat{r} \]其中，$\vec{E}$是电场强度，q是电荷大小，r是电荷之间的距离，$\epsilon_0$是真空中的介电常数(8.85×10^-12 F/m)。
4 恒定电流场
恒定电场产生恒定磁场的源是恒定电流 而产生恒定电场的源只能是外加电源。
电流密度电流密度定义电流密度与电 荷密度及电荷 运动速度的关 系欧姆定律的微 分形式恒定电流场电流场方程电荷守恒定律 电流连续性 原理静电比拟 功率损耗 电阻计算 边界条件基本概念：• 电介质中的静电场• 通有直流电流的导电媒质中的恒定电场• 通有直流电流的导电媒质周围电介质中的静态电 场• 恒定电流场与恒定电场相互依存，电流J与电场E方向一致恒定电 源恒定电 荷恒定电 场恒定电 流• 首先介绍维持恒定电场的电源及其局外场强； • 然后重点讨论电源外导电媒质中恒定电流场的基 本方程微分形式∇×E=0和∇⋅J=0； • 引入恒定电场电位及其拉普拉斯方程∇2ϕ=0； • 通过静电比拟的方法介绍镜像法、部分电导和接 地电阻。
4.1 导电媒质中的电流电流 —— 电荷的定向运动而形成，用i 表示，其大小定义为： 单位时间内通过某一横截面S的电荷量，即i = lim (Δq Δt) = dq dt Δt → 0单位: A （安培） 电流方向: 正电荷的流动方向形成电流的条件： • 存在可以自由移动的电荷 • 存在电场说明：电流通常是时间的函数，不随时间变化的电流称为恒定 电流，用I 表示。
一般情况下，在空间不同的点，电流的大小和方向往往是不 同的。
在电磁理论中，常用体电流、面电流和线电流来描述电流 的分别状态。
1. 体电流(Volume Current)ΔS电荷在某一体积内定向运动所形en成的电流称为体电流，用电流密度矢量 J 来描述。
J=enΔi lim ΔS →0 ΔS=endi dSJ体电流密度矢量单位：A/m2 。
正电荷运动的方向流过任意曲面S 的电流为电流是积分量i = ∫S J ⋅ dS2. 面电流(Surface Current)电荷在一个厚度可以忽略的 薄层内定向运动所形成的电流称en et JS为面电流，用面电流密度矢量 JS来描述其分布JS=etlimΔl →0Δi Δl=etdi dlΔldh0→0面电流密度矢量单位：A/m。
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C
——书§4.2
S
J 0
E 0
欧姆定律
导电媒质的本征方程：
J E
电导率(Conductivity), 单位 A/(v.m) 或 S/m
注意: 电阻率(Resistivity)
电磁场与电磁波
1
m
4
（1）电流连续性方程
物体带电和电流等现象是电荷迁移的过程。 电荷守恒定律: 单位时间内流出任意闭合面的 电量等于该封闭面内总电量的减少率。
E1
E2
J1n J 2 n
1 E1n 2 E2 n
切向 做一个 “闭合回路” 利用势能守恒定理
E dl 0
C
1
E1t E2t
电磁场与电磁波
J 1t / 1 J 2t / 2
a2n
2
12
媒质的边界条件-应用
J1n J 2 n
J 1t / 1 J 2t / 2
q SJ dS t q dV SJ dS V J dV t t V J 对任意电流都成立. t
电磁场与电磁波
5
q SJ dS t
J t
1
1
J 1 cos1 J 2 cos 2 2 J 1 sin1 1 J 2 sin 2
tg1 1 所以…… tg 2 2 tg 1 1 tg 2 2
J1
J 2 2
2
对比: 静电场介质边界 静磁场介质边界
电磁场与电磁波
静电位
对偶量
m
Jm p J ms ps
Pm P
H E
BD
电磁场与电磁波
18
对偶原理
概念：如果描述两种 物理现象的方程具有 相同的数学形式，并 具有对应的边界条件 ，那么它们解的数学 形式也将是相同的， 这就是对偶原理，亦 称为二重性原理。具 有同样数学形式的两 个方程称为对偶方程 ，在对偶方程中，处 于同等地位的量称为 对偶量。
恒定电场
静电场
电磁场与电磁波
15
线性、各向同性媒质中恒定磁场与静电场的比较
恒定磁场 静电场 对偶量
H J
B 0 H Pm H
B 0
E 0 D
an (D2 D1 ) s an (E2 E1 ) 0
2
安 面电流密度 J S S v ( 米)
ΔI J S lim Δl 0 Δ l (安米)
欧姆定律
电磁场与电磁波
J E
微分形式的欧姆定律，实验定律
3
2. 恒定电场的基本方程
积分形式 微分形式
电流连续性方程： J dS 0
电场保守性方程： E dl 0
A 4
B 0 B A
E 0 E
2
A1 A2
2
V源
JdV R源场
1 4
dV
R
1 2
2 1 2 1 s n n
17
1 1 an ( A1 A2 ) J sFree
均匀导电媒质中恒定电场的散度和旋度为 0, 则电位如何？
——满足拉普拉斯方程
电磁场与电磁波
0
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
9
微分形式 J E
（3）欧姆定律
I J dS JS
S
设媒质的某区域中电流为I， 两端电压为U，从”微分形式” 出发，推导U与I之间的关系.
I
S
l
J I /S
恒定电场是一种保守场：
恒定电场驱动电荷克服阻力(电阻)迁移, 电场力做功， 电能减少变为热能。 这种电场力做功的性质与静电场中的情况相似，恒 定电场是一种保守场。
电磁场与电磁波
CE dl 0 E 80
媒质表面的恒定电场又如何？
为了维持电流沿导体（切向）的流动，导体表 面的切向电场不再为零。 但由于良导体 >>1，极小电场就能驱动很大的 电流。 因此通常情况下导体表面的切向电场极小， 电力线近似垂直于导体的表面。
静电场中
导体内部场强为0, 导体是等势体, 表面是等势面;
恒定电场中
导体内有恒定电场, 导体不是等势体, 表面不是等势面; 但电荷分布是不变的, 因此电场特性与静电场相似。
电磁场与电磁波
2
1. 电流密度和欧姆定律
体电流密度
ΔI J lim A ) ( J v m ΔS 0 ΔS
J 0
J E
欧姆定律
(E) E E 0
E E
对于均匀媒质 0
E 0
电磁场与电磁波
7
这种电场的旋度 （定性分析）
电源：导电媒质中的恒定电流依靠外电源维持
电源就是外加能量的装置，把其它形式能量转换为 电能以维持恒定电流。 在稳定条件下，电源正负极积累的电荷量以及它们 产生的电场都不随时间变化，在这种动态平衡下， 由不变电荷产生的电场同静止电荷产生电场相同。
静电场(无源区域)
E 0
D 0
D E
q
S
恒定磁场(无源区域)
H 0
B 0
B H
qm
S
D dS
B dS
2 0
2m 0
静电场与恒定磁场：对偶方程；对偶量 另外，电偶极子和磁偶极子同样具有对偶关系
映射
E 0 D 0 D E
恒定电场
静电场
电磁场与电磁波
14
比拟关系 E E J D
I q
E 0 J 0 J E E 0 D 0 D E
1
电磁场与电磁波
标量磁位与静电位的比较
标量磁位
H m
H 0
J m Pm J ms Pm an
B 0
p P ps P an
E 0 E D
第四章 恒定电场
主要内容
电流密度 基本方程
电流连续性方程、散度方程 电场保守性方程、旋度方程 本征方程、欧姆定律
边界条件 恒定电场与静电场的比拟
电磁场与电磁波
1
概 念
什么是“恒定电场”？
由电源产生的存在于恒定电流空间的电场。
恒定电流空间有两种：
导电媒质(导体)——对应传导电流——本章研究 真空——对应运流电流(6.3.3)——真空中离子运动
电磁场与电磁波
19
恒定电流： 所以，恒定电场——
0 t
J dS 0
S
散度定理
J 0
如果封闭面包围的是电路中的节点，上式就是电 路理论的基尔霍夫电流定律，即在任意时刻，流入一 个节点的电流的代数和为零。
电磁场与电磁波
E ?
6
（2）导电媒质中的恒定电场
这种电场的散度：
tg1 1 tg 2 2
13
4. 恒定电场与静电场的比拟
由于导电媒质内恒定电场的基本方程与无电荷 区域内电介质的静电场的基本方程在形式上一 样，边界条件也一致，故两种情况可以比拟。 即可以此一种情况的解导出另一种情况的解。
E 0 J 0 J E
J E
l R S
电磁场与电磁波
l U I S
E U /l U E dl El
l
10
电导率具体数值举例
导体：良导体 ( 10 ) 理想导体 ( )
7
银： 6.17107 (S / m) 铜： 5.8 107 (S / m)
D 0 E P E
H E
Pm P
BD
an (H2 H1 ) J sFree
an (B2 B1 ) 0
电磁场与电磁波
16
矢量磁位与静电位的比较
矢量磁位 静电位
2 A J
介质：理想介质 ( 0) 有漏电的介质 ( 0) 海水： 5 ( S / m) 橡胶： 11015 (S / m)
电磁场与电磁波
11
3. 恒定电场的边界条件
法向 做一个 “扁盒子” 利用Gauss定理
J dS 0
S
1
2
a1n
J1
J2