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数学必修2试题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题 共60分)答题表题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1．下列推理不．正确的是( ) A ．A ∈b ，A ∈β，B ∈b ，B ∈β⇒b ⊂βB ．M ∈α，M ∈β，N ∈α，N ∈β⇒α∩β＝直线MNC ．直线m 不在α内，A ∈m ⇒A ∉αD ．A 、B 、C ∈α，A 、B 、C ∈β，且A 、B 、C 不共线⇒α与β重合解析：由空间中点、线、面的位置关系知选C. 答案：C2．直线3ax －y －1＝0与直线⎝ ⎛⎭⎪⎫a －23x ＋y ＋1＝0垂直，则a 的值是( )A ．－1或13B ．1或13C ．－13或－1D ．－13或1解析：由题意得3a ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －23＋(－1)＝0.∴a ＝1或a ＝－13.答案：D3．在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝1．5，∠ABC ＝120°(如图)，若将△ABC 以直线BC 为轴旋转一周，则所形成的旋转体的体积是( )A.92πB.72πC.52πD.32π 解析：如图，易得OA ＝3，OB ＝1，所求旋转体的体积为V 圆锥CO －V 圆锥BO＝13π·OA 2·OC －13π·OA 2·OB ＝52π－π＝32π.答案：D4．在棱长为1的正方体AC 1中，对角线AC 1在六个面上的正投影长度总和为( )A ．6 3B ．6 2C ．6D ．3 6解析：对角线AC 1在各面上的正投影长度相等，均为 2.所以AC 1在六个面上的正投影长度总和为6 2.答案：B5．已知圆锥的母线长为20，母线与轴的夹角为30°，则圆锥的体积是( )A ．10003π B.10033πC.1000π3D.10003π3解析：圆锥高为103，底半径为10， ∴V ＝π3×102×103＝10003π3.答案：D6．关于直线a 、b 和平面α、β，有四个命题： ①当a ＝α∩β，a ∥b 时，b ∥α且b ∥β； ②若a 、b ⊂α，且a ∥β、b ∥β，则α∥β； ③当m ⊥n ，m ＝α∩β时，则n ⊥α或n ⊥β； ④若a ∥α，b ⊂α，则a ∥b . 其中正确的个数是( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个解析：①②③④都不对．答案：A7．(2010·北京卷)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，动点E，F在棱A1B1上，动点P，Q分别在棱AD，CD上．若EF ＝1；A1E＝x，DQ＝y，DP＝z(x，y，z大于零)，则四面体PEFQ的体积()A．与x，y，z都有关B．与x有关，与y，z无关C．与y有关，与x，z无关D．与z有关，与x，y无关解析：由于点Q到直线A1B1的距离为22，EF＝1，故△EFQ 的面积为定值，所以这个三角形的面积与x，y无关，由于点P到平面EFQ的距离等于点P到平面A1B1CD的距离，这个距离等于点P到直线A1D的距离，等于22z，故四面体PEFQ的体积为13×12×1×22×22z＝13z，故四面体PEFQ的体积只与z有关，与x，y无关．答案：D8．一圆过圆x2＋y2－2x＝0和直线x＋2y－3＝0的交点，且圆心在y轴上，则这个圆的方程是()A ．x 2＋y 2－4x －4y ＋6＝0B ．x 2＋y 2＋4y －6＝0C ．x 2＋y 2－2x ＝0D ．x 2＋y 2＋4x －6＝0解析：设所求圆方程为x 2＋y 2－2x ＋λ(x ＋2y －3)＝0， ∴x 2＋(λ－2)x ＋y 2＋2λy －3λ＝0.圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫2－λ2，－λ且圆心在y 轴上， ∴λ＝2，∴x 2＋y 2＋4y －6＝0即为所求方程． 答案：B9．过点M (2,1)的直线与x 轴、y 轴分别交于P 、Q 两点，且|MP |＝|MQ |，则l 的方程是( )A ．x －2y ＋3＝0B ．2x －y －3＝0C ．2x ＋y －5＝0D ．x ＋2y －4＝0解析：l 过M (2,1)且|MP |＝|MQ |，则k l ＝－12，由直线的点斜式方程得l ：y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0.答案：D10．圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey －3＝0的半径为2，圆心在坐标轴上，则当D ＞E 时，D 的值是( )A ．2B ．0C ．2或0D ．±2解析：由题意知2＝D 2＋E 2＋122，即D 2＋E 2＝4，当D ＝0时，E ＝－2，当E ＝0时，D ＝2，故选C.答案：C11．常数c ≠0，则圆x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋c ＝0与直线2x ＋2y ＋c ＝0的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．随c 值变化解析：d ＝|－2－2＋c |4＋4＝|c －4|22，r ＝4＋4－4c2＝2－cd 2－r 2＝(c －4)28－(2－c )＝c28>0，∴d >r ，相离，故选C.答案：C12．已知ab ≠0，M (a ，b )是圆O ：x 2＋y 2＝r 2内一点，直线m 是以M 为中点的弦所在的直线，直线l 的方程是ax ＋by ＝r 2，则下列结论正确的是( )A ．m ∥l ，且l 与圆相交B ．l ⊥m ，且l 与圆相切C ．m ∥l ，且l 与圆相离D ．l ⊥m ，且l 与圆相离 解析：∵k OM ＝b a ，∴k m ＝－ab ， ∴直线m 为y －b ＝－ab (x －a )，即ax ＋by －b 2－a 2＝0，其斜率k m ＝－ab ＝k l .∴m ∥l .又∵d ＝r 2a 2＋b 2>r (a 2＋b 2<r 2)， ∴l 与圆相离． 答案：C第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，请把答案填写在题中横线上)13．圆柱的侧面展开图是长12cm、宽8cm的矩形，则这个圆柱的体积为____________________．解析：设半径为r，当长为12 cm的边是底面周长时，则2πr＝12 cm，∴r＝6πcm.V＝πr2×8＝8π×36π2＝288πcm3.当长为8cm的边是底面周长时，则2πr＝8cm，∴r＝4πcm，V＝πr2×12＝π×16π2×12＝192πcm3.答案：192πcm3或288πcm314．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，若D(0,0,0)，A(4,0,0)，B(4,2,0)，A1(4,0,3)，则对角线AC1的长为________．解析：由已知易求得C1(0,2,3)，所以|AC1|＝42＋22＋32＝29.答案：2915．(2010·四川卷)直线x－2y＋5＝0与圆x2＋y2＝8相交于A、B两点，则|AB|＝________.解析：圆心到直线x－2y＋5＝0的距离为d＝51＋4＝5，则|AB|＝28－5＝2 3.答案：2 316．已知m、l是直线，α、β是平面，给出下列命题：①若l 垂直于α内的两条相交直线，则l ⊥α； ②若l 平行于α，则l 平行α内所有直线； ③若m ⊂α，l ⊂β，且l ⊥m ，则α⊥β； ④若l ⊂β，且l ⊥α，则α⊥β； ⑤若m ⊂α，l ⊂β，且α∥β，则m ∥l .其中正确命题的序号是________(把你认为正确的命题的序号都填上)．解析：通过正方体验证． 答案：①④三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)已知△ABC 三边所在直线方程为AB ：3x ＋4y ＋12＝0，BC ：4x －3y ＋16＝0，CA ：2x ＋y －2＝0.求AC 边上的高BD 所在的直线方程．解：由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y ＋12＝04x －3y ＋16＝0，解得交点B (－4,0)，∵BD ⊥AC ，∴k BD ＝－1k AC ＝12，∴AC 边上的高线BD 的方程为 y ＝12(x ＋4)，即x －2y ＋4＝0. 18．(本小题满分12分)据说伟大的阿基米德死了以后，敌军将领马塞拉斯给他建了一块墓碑，以此纪念．在墓碑上刻了一个球内切于圆柱的图案，还在图案中刻了一个圆锥(如图所示)．这样，圆柱的底面直径与其高度相等，也与圆锥的高度相等．试计算出图形中圆锥、球、圆柱的体积比．解：设圆柱的底面半径为r ，高为h ，则V 圆柱＝πr 2h ， 图中圆锥的底面半径为r ，高为h ，则V 圆锥＝13πr 2h ，球的半径为r ，且h ＝2r ，所以V 球＝43πr 3，所以V 圆锥∶V 球∶V 圆柱＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13πr 2h ∶⎝ ⎛⎭⎪⎫43πr 3∶(πr 2h )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23πr 3∶⎝ ⎛⎭⎪⎫43πr 3∶(2πr 3)＝1∶2∶3. 19．(本小题满分12分)求以圆C 1：x 2＋y 2－12x －2y －13＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋12x ＋16y －25＝0的公共弦为直径的圆的方程．解：联立两圆方程得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－12x －2y －13＝0x 2＋y 2＋12x ＋16y －25＝0， 相减得公共弦所在直线方程为4x ＋3y －2＝0.再由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－12x －2y －13＝04x ＋3y －2＝0，解得两圆的交点坐标A (－1,2)、B (5，－6)． ∵所求圆以AB 为直径，∴所求圆的圆心是AB 的中点M (2，－2)，圆的半径为r ＝12|AB |＝5.于是所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝25.20．(本小题满分12分)某几何体的三视图如图所示，P是正方形ABCD对角线的交点，G是PB的中点．(1)根据三视图，画出该几何体的直观图；(2)在直观图中，①证明：PD∥面AGC.②证明：平面PBD⊥平面AGC.解：(1) 几何体的直观图如图所示．(2)证明：如图，①连接AC，BD交于点O，连接OG，因为G 为PB的中点，O为BD的中点，所以OG∥PD.又OG⊂平面AGC，PD⊄平面AGC，所以PD∥平面AGC.②连接PO，由三视图，PO⊥平面ABCD，所以AO⊥PO.又AO⊥BO，BO∩PO＝O，所以AO⊥平面PBD.因为AO⊂平面AGC，所以平面PBD⊥平面AGC.21．(本小题满分12分)如图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点．(1)求证：MN∥平面PAD；(2)求证：MN⊥CD；(3)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.解：(1)要证明MN∥平面PAD，需证MN平行于平面PAD内某一条直线．如图所示，注意到M，N分别为AB，PC的中点，可取PD的中点E，从而只需证明MN∥AE即可，证明如下：取PD的中点E，连接AE、EN，则EN綊12CD，因为CD綊AB，M为AB的中点，AM＝12AB，所以EN綊AM，故四边形AMNE为平行四边形，所以MN∥AE. 因为AE⊂平面PAD，MN⊄平面PAD，所以MN∥平面PAD.(2)要证MN⊥CD，可证MN⊥AB.由(1)知，需证AE⊥AB.因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AB，又因为AD⊥AB，AD∩PA＝A，所以AB⊥平面PAD，所以AB⊥AE，即AB⊥MN.又因为CD∥AB，所以MN⊥CD.(3)由(2)知，MN⊥CD，即AE⊥CD，再证AE⊥PD即可．因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AD.又因为∠PDA＝45°，E为PD的中点，所以AE⊥PD，即MN⊥PD.又因为MN⊥CD，CD∩PD＝D，所以MN⊥平面PCD.22．(本小题满分14分)已知半圆x2＋y2＝4(y≥0)，动圆与此半圆相切且与x轴相切．(1)求动圆的圆心的轨迹方程，并画出其轨迹图形；(2)是否存在斜率为14的直线l，它与(1)中所得的轨迹图形从左到右顺次交于A、B、C、D四点，且满足|AD|＝53|BC|.若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由．解：(1)设动圆的圆心坐标为M(x，y)，作MN⊥x轴交x轴于N，①如图(1)若动圆与半圆外切，则|MO|＝|MN|＋2.∴x 2＋y 2＝y ＋2，整理得y ＝14x 2－1(y >0)；②如图(2)若动圆与半圆内切， 则|MO |＝2－|MN |. ∴x 2＋y 2＝2－y ， 整理得y ＝－14x 2＋1(y >0)，综上①和②可得动圆的圆心的轨迹方程是： y ＝14x 2－1(y >0)及y ＝－14x 2＋1(y >0)． 图象为两条抛物线位于x 轴上方的部分．(2)假设直线l 存在，则设直线l 的方程为 y ＝14x ＋b 依题意可得直线l 与曲线y ＝14x 2－1(y >0)交于A 、D 点，与曲线y ＝－14x 2＋1(y >0)交于B 、C 点，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝14x ＋by ＝14x 2－1与⎩⎪⎨⎪⎧y ＝14x ＋by ＝－14x 2＋1，∴x 2－x －4b －4＝0与x 2＋x ＋4b －4＝0. ∴|AD |＝1＋k 2|x A －x D |＝17417＋16b |BC |＝1＋k 2|x B －x C |＝17417－16b∵|AD |＝53|BC |∴17417＋16b ＝53·17417－16b 解得b ＝12.将b ＝12代入x 2－x －4b －4＝0得x A ＝－2，x D ＝3∵曲线y ＝14x 2－1(y >0)中横坐标x 的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)∴这样的直线l 不存在．。