湖北省黄冈中学、孝感高中2013届高三上学期期末联考数学文(Word版含解析)
湖北省部分重点中学2013届高三第一次联考纪要文科数学答案
湖北省部分重点中学2013届高三第一次联考高三数学试卷文科参考答案11、(0,8) 1213、21y x =- 14、(,)-∞+∞15、3216、-680 17、2三、解答题18、解：（1）()f x 没有零点，则2440,11a a ∆=-<∴-<<即{|11}A a a =-<<()f x 在区间(,3)m m +上不单调，则3m a m <<+即{|3}B a m a m =<<+ ………………6分 （2）x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，则1,2131m A B m m ≤-⎧⊆∴∴-≤≤-⎨+≥⎩………………12分19、解：（1）2111()cos sin cos cos 2sin 2cos(2)22224f x x x x x x x πωωωωωω=-⋅-=-=+()f x ∴的值域为[, ………………6分（2）由题意2,1,())24T f x x πππωω==∴=∴=+0,22444x x πππππ≤≤∴≤+≤+当244x πππ≤+≤，即308x π≤≤时，()f x 单调递减当224x πππ≤+≤，即3788x ππ≤≤时，()f x 单调递增 当22244x ππππ≤+≤+，即78x ππ≤≤时，()f x 单调递减所以，()f x 的单调递增区间为37[,]88ππ，递减区间为37[0,],[,]88πππ…………12分20、解：（1）1n =时，112,2a S q n ==+≥时，112n n n n a S S --=-=1n ∴=时，11lg lg(2)b a q ==+，2n ≥时，lg (1)lg 2n n b a n ==-要使{}n b 为等差数列，则1lg(2)0,1b q q =+=∴=- ………………6分（2）12,(1)lg 2n n n a b n -==-21102lg 222lg 22(1)lg 2n n T n -∴=⨯+⨯+⨯++⋅- ① 2322lg 222lg 22(1)lg 2n n T n =⋅+⋅++⋅-②①－②得：2312lg 22lg 22lg 22lg 22(1)lg 2n n n T n --=+⋅+⋅++⋅--112(12)lg 2[2(1)]lg 2(222)12n nn n n n -+-=--=-⋅-+- 1(222)lg 2n n n T n +∴=⋅-+⋅ ………………13分21、解：（1）证明：11136ABC ABC S AD S AA ∆∆⋅⋅=⋅⋅112AD AA ∴=，即D 为1A A 的中点 111AC AD A D AC ∴=== 1145CDA C DA ∴∠=∠=︒1C D CD ∴⊥又BC ⊥ 面11A ACC1BC C D ∴⊥，且CD BC C = ， 1C D ∴⊥面BCD ，而1C D ⊂面BDC 1，∴面1BDC ⊥面BDC………………7分（2）存在C 1B 的中点即为所求点E 。
湖北省黄冈市2013届高三年级上学期期末考试文科数学试题
湖北省黄冈市2013届高三年级上学期期末考试文科数学试题湖北省黄冈市2013届高三年级上学期期末考试文科数学一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的．把答案写在答题卡中指定的答题处．1.已知复数11z i z+=-，则z 的虚部为 A ．1 B.－1 C. i D. －i2.命题“所有实数的平方都是正数”的否定为 A ．所有实数的平方都不是正数 B.有的实数的平方是正数C.至少有一个实数的平方是正数D.至少有一个实数的平方不是正数3.若0x 是方程lgx ＋x ＝2的解，则0x 属于区间A 、（0,1）B 、（1,1.5）C 、（1.5山）D 、（2,2。
5）4.已知正项数列｛na ｝中，a l ＝1，a 2＝2，2na 2＝1n a+2＋1n a -2 (n ≥2)，则a 6等于A. 16B. 8C. 22D. 4 5.变量x ，y ，满足约束条件222441x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩，得70分却记成了100分，则更正后平均分和方差分别是 A. 70，50 B.70，75 C.70，72.5 D. 65，70 9.如图，F 1，F 2是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，过F 1的直线l 与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点．若｜AB ｜：｜BF 2｜：｜AF 2｜=3：4：5，则双曲线的离心率为 A.13B.15C.2D.310.在区间［0,1］上任意取两个实数a ，b ，则函数f(x) ＝312xax b+-在区间［-1，1］上有且仅有一个零点的概率为A. 18B. 14C. 34 D 、78二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分．将答案填在答题卡对应题号的位置上·11.已知θ是第二象限角，且4sin 5θ=，则tan()4πθ-的值为＿＿＿ 12.若双曲线221x y k+=的离心率等于2，则k 的值为＿＿＿．13.若关于x 的不等式｜x －a ｜＋｜x ＋l ｜＜2有实数解，则实数a 的取值范围是＿＿＿＿． 14. E 知函数f(x)满足f (x ＋1)＝1()f x ，且f(x)是偶函数，当x ∈［0,1］时，f (x)＝x ，若在区 间［1，3］内，函数g(x) =f(x) －kx －k 有4个零点，则实数k 的取值范围是＿＿＿． 15.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，A ＝60°，c ：b=8：5，△ABC 的面积为 403，则外接圆的半径为＿＿＿＿． 16.已知O为△ABC的外心且32x ＋25y=25，则＿＿＿＿17.给出以下三个命题，其中所有正确命题的序号为＿＿＿＿．①设a ，b 均为单位向量，若｜a ＋b ｜＞1，则2[0,]3πθ∈ ②函数 f (x)＝xsinx+l ，当，且，③已知函数f (x)＝｜x 2－2｜，若f (a) = f (b)，且0<a<b,则动点P(a,b)到直线4x ＋3y －15=0的距离的最小值为1三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．将解答写在答题卡对应题号的位置处．18.（本小题满分12分）已知在△ABC中，三条边a,b、c所对的角分别为A、B,C，向量m= （sinA，cosA），n＝（cosB，sinB），且满足m·n＝sin2C.（1）求角C的大小；(2)若sinA, ainC, sinB成等比数列，且＝18，求C的值．19、（本小题满分12分）某校高一某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：（1)求分数在［50，60)的频率及全班人数； (2)求分数在［80,90)之间的频数，并计算频率分布直方图中［80,90)间的矩形的高； (3)若要从分数在［80，10］之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，求 至少有一份分数在［90，100〕之间的概率．20．（本小题满分12分）a 2，a 5是方程x 2－12x ＋27=0的两根，数列｛na ｝是公差为正数的等差数列，数列｛nb ｝的前n 项和为nT ，且nT ＝1－1(*)2nb n N （1）求数列｛na ｝，｛nb ｝的通项公式；（2)记nc ＝nanb ，求数列｛nc ｝的前n 项和Sn ．19.本小题满分12分）设M 是由满足下列条件的函数f (x)构成的集合：①方程f (x)一x=0 有实根；②函数的导数'()f x 满足0＜'()f x ＜1. (1)若函数f(x)为集合M 中的任意一个元素，证明：方程f(x)一x=0只有一个实根；（2）判断函数ln ()3(1)22x x g x x =-->是否是集合M 中的元素，并说明理由；(3)设函数f(x)为集合M 中的任意一个元素，对于定义域中任意,αβ， 证明：|()()|||f f αβαβ-≤-21．（本小题满分14分）已知椭圆C1：22221(0)x y a b a b+=>>3，直线l : y-＝x ＋2与.以原点为圆心、椭圆C 1的短半轴长为半径的圆O 相切．（1）求椭圆C 1的方程；（ll ）设椭圆C 1的左焦点为F 1，右焦点为F 2，直线l 2过点F 价且垂直于椭圆的长轴，动直线l 2垂直于l 1，垂足为点P ，线段PF 2的垂直平分线交l 2于点M ，求点M 的轨迹C 2的方程； （III ）过椭圆C 1的左顶点A 作直线m ，与圆O 相交于两点R ，S ，若△ORS 是钝角三角形， 求直线m 的斜率k 的取值范围．22.（本小题满分14分）设a R ∈，函数f (x)＝lnx －ax ，g （x ）＝313x ＋x ＋1 （I ）若曲线y ＝g （x ）的切线l 过点A （0，13），求切线l 的方程；（II ）讨论函数h （x ）＝2f （x ）＋g （x ）－313x的单调性；（III)若12,x x 是函数f （x ）的两个相异零点，求证：212()()g x x g e >（e 为自然对数底数）。
湖北省黄冈中学、孝感高中2013届高三上学期期末联合考试(理科)数学参考答案(定稿)
湖北省 2013届高三上学期期末联合考试理科数学参考答案1．D 解析：∵22i (2i)i 2i 112i i 1i z ++-====--，∴选择“D ”． 2．A解析：∵(2,3)()U P A B ∈ð，∴(2,3)P A ∈，且(2,3)P B ∉，∴2230,230,m n ⨯-+>⎧⎨+->⎩得1,5.m n >-⎧⎨<⎩故选择A ．3．A解析：符合条件的点P 落在棱长为3a的正方体内，根据几何概型的概率计算公式得33()1327a P a==．故选A ． 4．B解析：将曲线方程2y x =与直线方程y x =联立方程组，解得0x =或1x =．结合图形可知选项B 正确．5．B解析：方法1：∵(0)10,(1)l g 20f f =-<=>，∴()f x 在(0,1)内必有一个零点．又∵()f x 在(1,)-+∞上为增函数，∴()f x 有且仅有1个零点．方法2：由()0f x =得lg(1)22x x +=-+．作出函数()lg(1)g x x =+与()22x h x =-+的图象，知两函数的图象有且仅有一个交点，即方程()0f x =有且仅有一个根，即函数()f x 有且仅有一个零点．6．C解析：11131223344++=⨯⨯⨯．故选C ． 7．D解析：∵当0x <时，函数()f x 为增函数，∴当0x <时，()0f x '>．又∵当0x >时，随着x 的增大，函数值先递增，再递减，最后又递增，∴选择“D ”．8．C解析：①A 显然正确．②∵22()()||||0+⋅-=-=a b a b a b ，∴()()+⊥-a b a b ，∴B 正确． ③cos ,cos cos sin sin cos()||||αβαβαβ⋅<>==⋅=+=-⋅a ba b a b a b ．当[0,]αβπ-∈时，,αβ<>=-a b ；当[0,]αβπ-∉时，,αβ<>≠-a b ．故C 不正确． ④∵22()()||||||||||||⋅+⋅+=⇔+⋅=⋅+⇔=++a a b b a b a a b a b b a b a b a b ，∴D 正确．故选择“C ”．黄冈中学孝感高中9．A解析：1l ：111110A B x y C C ++=，2l ：222210A B x y C C ++=，两式相减得12121212()()0A A B Bx y C C C C -+-=． ∵点O 、M 的坐标都满足该直线的方程，∴点O 、M 都在该直线上，∴直线OM 的方程为12121212()()0A A B Bx y C C C C -+-=．故选“A ”．10．C解析：该几何体是三棱锥，将该三棱锥视为长方体的一个角，得长方体的体对角线的长为=，∴球的表面积为50π，选择“C ”．11．48解析：设被抽查的男生的人数为n ．∵后两组的频率之和为(0.01250.0375)50.25+⨯=，∴前三组的频率之和为0.75．又∵前三组的频数分别为6,12,18，∴612180.75n++=，得48n =．12．解析：∵对称轴经过函数图象的最高点或最低点，∴()8f π=13．2或3解析：展开式中3x 的系数为3425666216C aC a C -+=-，∴2560a a -+=，得2a =或3．14．[0,6π解析：作出可行域如图所示．直线2x y z +=与y 轴交于点(0,)2z ．设直线2x y z +=与曲线cos (0)2y x x π=≤≤相切于点A ．∵由1sin 2y x '=-=-得6x π=，∴(6A π，代入2x y z+=得6z π=(0,0)O 代入2x y z +=得0z =．故z 的取值范围为[0,6π．15．3解析：∵2AD AE AB =⋅，∴24AD AB AE==．设C D x =，则C B x =．∵222AB BC AC +=，∴2224(2)x x +=+，得3x =，即3CD =．16解析：将极坐标方程化为普通方程，得2221210,:C y C x y a +-=+=．在1C 中，令0y =，得x =，再将代入2C 得a =． 17．解：（1）由()|34|1f x x --≤得|2||34|1x x +--≤，即2,(2)(34)1,x x x <-⎧⎨-++-≤⎩或42,3(2)(34)1,x x x ⎧-≤<⎪⎨⎪++-≤⎩或4,3(2)(34)1,x x x ⎧≥⎪⎨⎪+--≤⎩得解集为35{|,}42x x x ≤≥或．（6分） （2）方法1：在数轴上，设点,,A B M 对应的实数分别为2,,a x -，则“()||1f x x a +->恒成立”⇔“|2|||1x x a ++->恒成立”⇔“||||1MA MB +>恒成立”．∵||||MA MB +的最小值为||AB ，即|2|a +，∴|2|1a +>，得21a +>，或21a +<-，即1a >-，或3a <-．方法2：由绝对值三角不等式得|2||||(2)()||2|x x a x x a a ++-≥+--=+，∴|2|1a +>，得1a >-，或3a <-．（12分） 18．解：（1）∵24()4123T πππ=-=，∴23T πω==，∴()2sin(3)f x x ϕ=+．∵点(,2)12π在图象上，∴2sin(3)212πϕ⨯+=，即sin()14πϕ+=，∴2()42k k ππϕπ+=+∈Z ，即24k πϕπ=+．故()2sin(3)4f x x π=+．（6分）（2）2()2sin(3)cos32(sin 3cos cos3sin )cos33cos3cos 3)444h x x x x x x x x x πππ=+=+=+6cos61)sin(6)4x x x π=++=+．由262()242k x k k πππππ-≤+≤+∈Z 得函数()h x 的单调递增区间为[,]()38324k k k ππππ-+∈Z ．（12分） 19．解：（1）记“在一次游戏中摸出k 个白球”为事件(0,1,2,3)k A k =．① 2132322531()5C C P A C C ==．（3分）②22111323222323225317()()()510C C C C C P A A P A P A C C +=+=+=．（6分）（2）1233973217749(0),(1),(2)10101001010501010100P X P X C P X ==⨯===⨯===⨯=．（9分） ①X 的分布列为②X 的数学期望921497()012100501005E X =⨯+⨯+⨯=．（12分） 【或：∵7(2,)10XB ，∴77()2105E X =⨯=】 20．解：方法1：（1）∵,PC BC PC AB ⊥⊥，∴PC ⊥平面ABC ，∴PC AC ⊥．（2分） （2）取BC 的中点N ，连MN ．∵P M C N =，∴M N P C =，∴MN ⊥平面ABC ．作NH ⊥ AC ，交AC 的延长线于H ，连结MH ．由三垂线定理得AC MH ⊥，∴MHN ∠为二面角M AC B --的平面角．∵直线AM 与直线PC 所成的角为60︒，∴在Rt AMN ∆中，60AMN ∠=︒．在ACN ∆中，AN =．在Rt AMN ∆中，cot 601MN AN AMN =⋅∠=︒=． 在Rt NCH ∆中，sin 1sin 60NH CN NCH =⋅∠=⨯︒=．在Rt M NH ∆中，∵MHcos NH MHN MH ∠=． 故二面角M AC B --（8分） （3）作NE MH ⊥于E ．∵AC ⊥平面MNH ，∴AC NE ⊥，∴NE ⊥平面MAC ，∴点N 到平面MAC的距离为MN NH NE MH ⋅==．∵点N 是线段BC 的中点，∴点B 到平面MAC 的距离是点N 到平面MAC．（12分） 方法2：（1）∵,PC BC PC AB ⊥⊥，∴PC ⊥平面ABC ，∴PC AC ⊥．（2分） （2）在平面ABC 内，过C 作BC 的垂线，并建立空间直角坐标系如图所示．设(0,0,)P z ，则(0,0,)CP z =．13(0,1,),0)(,)22AM z z =--=． ∵2cos 60|cos ,|||||||3AM CP AM CP AM CP⋅︒=<>==⋅且0z >，∴12=，得1z =，∴3(,1)2AM =-．设平面MAC 的一个法向量为(,,1)x y =n ，则由0,0AM CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得310,210,2y y ⎧++=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩得1,x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩∴(1,1)=-n ．平面ABC 的一个法向量为(0,0,1)CP =．21cos ,||CP CP ||CP ⋅<>==⋅n n n ．显然，二面角M AC B --为锐二面角，∴二面角M ACB --（8分） （3）点B 到平面MAC 的距离||||CB d ⋅==n n （12分） 21．解：（1）设1122(,),(,)A x y B x y ，则121212121,1,2y y x x y y x x -+=+==--．∵221121,x y a +=222221x y a +=，∴两式相减得121212122()()()()0x x x x y y y y a +-++-=，即121212212()x x y y y y x x a +-++- 0=，即211(2)0a+⨯-=，得212a =，∴椭圆C 的方程为2221x y +=．（4分） （2）解法1：设3344(,),(,)P x y Q x y ，2:l y kx m =+（∵2l 与y 轴相交，∴2l 的斜率存在）．由,4PM MQ OP OQ OM λλ⎧=⎪⎨+=⎪⎩得33443434(,)(,),(,)(0,4),x m y x y m x x y y m λλλ--=-⎧⎨++=⎩得3434,4,x x y y m λλ-=⎧⎨+=⎩即3434,()()4,x x kx m kx m m λλ=- ⎧⎨+++= ⎩①②将①代入②得(3)0m λ-=，∵0m ≠，∴3λ=．解法2：∵PM MQ λ=，∴()OM OP OQ OM λ-=-，∴(1)OP OQ OM λλ+=+，又∵OP OQ λ+=4OM ，∴(1)4OM OM λ+=，∴(3)OM λ-=0，又∵OM ≠0，∴3λ=．（8分）（3）将y kx m =+代入2221x y +=得222(2)2(1)0k x kmx m +++-=．∵3λ=， ∴由3434223423,2,212x x km x x k m x x k ⎧⎪=-⎪-⎪+=⎨+⎪⎪-=⎪+⎩消去3x 、4x 得2222(1)41m k m -=-．由0∆>得222(1)k m >-，即222(1)41m m ->- 22(1)m -，即222(1)041m m m -<-，即(1)(1)0(21)(21)m m m m +-<+-，得112m -<<-，或112m <<．（13分） 22．解：（1）方法1：∵*13()n n S n n S n++=∈N ，且111S a ==，∴当2n ≥时， 3211214562(1)(2)112316n n n S S S n n n n S S S S S n -+++=⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯⨯=-，且11S =也适合． 当2n ≥时，1(1)2n n n n n a S S -+=-=，且11a =也适合，∴*(1)()2n n n a n +=∈N ． 方法2：∵1(3)0n n nS n S +-+=，∴1(1)(2)0n n n S n S ---+=，两式相减，得 11()(2)()n n n n n S S n S S +--=+-，即1(2)n n na n a +=+，即12(2)n n a n n a n++=≥． 又∵可求得23a =，∴213a a =也适合上式．综上，得*12()n n a n n a n++=∈N ． 当2n ≥时，3211213451(1)112312n n n a a a n n n a a a a a n -++=⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯⨯=-，且11a =也适合， ∴*(1)()2n n n a n +=∈N ．（4分） （2）2(1)n b n =+．设2(1)(1)(1)n n n n c b n =-=-+．当n 为偶数时，∵1221(1)(1)(1)21n n n n c c n n n --+=-⋅+-⋅+=+，12341[5(21)](3)2()()()5913(21).22n n n nn n n T c c c c c c n -+++=++++++=+++++==∴当n 为奇数（n ≥3）时，221(1)(2)34(1)22n n n n n n n T T c n --+++=+=-+=-，且114T c ==-也适合上式．综上：得234(),2(3)().2n n n n T n n n ⎧++- ⎪⎪=⎨+⎪ ⎪⎩为奇数为偶数（9分） （3）令()ln(1)f x x x =-+．当0x >时，∵1()101f x x'=->+，∴()f x 在(0,)+∞上为增函数，∴当0x >时，()(0)0f x f >=，得ln(1)x x +<．令1(1,2,,)ix i n a ==，得11211ln(1)2()(1)1i i a a i i i i +<==-++， ∴11111111ln(1)2[(1)()()]2(1)222311ni i a n n n =+<-+-++-=-<++∑， 即12111ln[(1)(1)(1)]2n a a a +++<，即21212111e 9nna a a a a a +++<<．（14分）。
湖北省 黄冈中学 孝感高中 2013届高三上学期期末联合考试
湖北省2013届高三上学期期末联合考试黄冈中学英语试卷二部分：词汇知识运用（共两节，满分30分）第一节多项选择（共10小题；每小题1分，满分10分）从A、B、C、D四个选项中，选出可以填入空白处的最佳选项，并在答题卡上将该项涂黑。
21. There is always a pleasant _______ of calm at night in the small mountainous village, differentfrom the noise in the city.A. atmosphereB. environmentC. observationD. consideration22. With a kind of delight, based on fattened hope resting on the pills, she unpacked the packageand read the ________.A. introductionsB. constructionsC. descriptionsD. directions23. As teachers, we should _______ our students boldly to anything complicated and profound toenhance their curiosity about the world.A. devoteB. applyC. contributeD. expose24. Young people should constantly _______ their own state of mind so as to adapt to thecircumstances in which fierce competition is going on.A. enterB. adjustC. achieveD. enjoy25. During the 65th Festival De Cannes in 2012, the Chinese actress Fan Bingbing _______ as achina girl, attracting plenty of interest.A. kept upB. gave upC. dressed upD. turned up26. The airplane landed hard during the storm and _______ flames at the airport, killing nearlytwo hundred people on board.A. turned intoB. burst intoC. let outD. burst out27. Credit cards give their owners automatic credit in stores, restaurants, and hotels, at home, andeven abroad, and they make various banking services _______ as well.A. sustainableB. availableC. reliableD. valuable28. When dealing with students, teachers are supposed to adopt _______ and caring approaches,as they are unique young individuals of different personalities.A. abstractB. efficientC. flexibleD. effective29. No one could imagine that the _______ well-behaved business man should be really a criminalwhen he was caught by the police last week.A. conventionallyB. eventuallyC. apparentlyD. controversially30. His remark was considered to be quite _______, because it deepened the gap between twoparties and caused more conflicts.A. out of placeB. out of mindC. out of questionD. out of order第二节完形填空（共20小题，每小题1分，满分20分）阅读下面短文，从短文后所给各题的四个选项（A、B、C和D）中，选出可以填入空白处的最佳选项，并在答题卡上将该项涂黑。
湖北省孝感市2013届高三第二次统一考试数学文-含答案
孝感市2012-2013学年度高中三年级第二次统一考试数学试卷(文科)本试卷满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，请考生务必将自己的姓名、准考证号填写(涂)在试题卷和答题卡上．2．考生答题时,选择题请用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请按照题号顺序在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效．3. 考试结束,请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1.已知集合}02|{},034|{2>-=<+-=x xx N x x x M ，则N M =（ ） A ．}31|{<<x x B ．}21|{<<x x C ．}3|{<x x D ．}32|{<<x x2.已知复数ii z +=12013，则复数z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3. “1=a ”是“函数a x x f -=)(在区间),1[+∞上为增函数”的（ ）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件 4.在等比数列{}n a 中，若4a ，8a 是方程0342=+-x x 的两根，则6a 的值是（ ）D ．3± 5.函数),2||,0(),sin()(R x x A x f ∈<>+=πϕωϕω的部分图象如图所示，则)(x f 的解析式为（ ）A ．)48sin(4)(ππ--=x x fB ．)48sin(4)(ππ+-=x x fC ．)48sin(4)(ππ-=x x f D ．)48sin(4)(ππ+=x x f6.已知直线m 、n 、l 不重合，平面α、β不重合，下列命题正确的是（ ）A ．若ββ⊂⊂n m ,，α//m ，α//n ，则βα//B ．若ββ⊂⊂n m ,，n l m l ⊥⊥,，则β⊥lC ．若βαβα⊂⊂⊥n m ,,，则n m ⊥D ．若n m m //,α⊥，则α⊥n7.若方程xx 2)1ln(=+的根在区间))(1,(Z k k k ∈+上，则k 的值为（ ） A ．1- B ．1 C ．1-或2 D ．1-或18.已知函数c bx ax x x f +++=232131)(在1x 处取得极大值,在2x 处取得极小值,满足)0,1(1-∈x ，)1,0(2∈x ，则242+++a b a 的取值范围是（ ）A ．)2,0(B ．)3,1(C ．]3,0[D ．]3,1[9.已知点P 是双曲线116922=-y x 的右支上一动点，M ，N 分别是圆4)5(22=++y x 和1)5(22=+-y x 的动点，则PN PM -的最大值为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．910.定义函数()D x x f y ∈=,，若存在常数C ，对任意的D x ∈1，存在唯一的D x ∈2，使得()()C x f x f =21，则称函数()x f 在D 上的几何平均数为C .已知()[]4,2,∈=x x x f ，则函数()x x f =在[]4,2上的几何平均数为（ ）A ．2B ．2C ．22D ．4二、填空题：（本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．）11.某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如下图所示，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83，则x +y 的值为 .12.如上图，矩形ORTM 内放置5个大小相同的正方形，其中A ，B ，C ，D 都在矩形的边上，若向甲 乙 9 8 7 65 x 0 8 1 1 y6 2 9 1 1 6 （第11题图） TDME FROCAB（第12题图）量y x +=，则=+22y x .13.一个几何体的三视图如下图所示，其中正视图和侧视图均是腰长为6的等腰直角三角形，则它的体积为 .14.右图是一个算法的流程图，则输出S 的值是 . 15．若0,0>>b a ,且点）（b a ,在过点)1,1(-、)3,2(-的直线上，则2242b a ab S --=的最大值是 .16.蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图，其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以)(n f 表示第n 个图的蜂巢总数，则)(n f 的表达式为 .17.欧阳修《卖油翁》中写到：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为4cm 的圆面，中间有边长为1cm 的正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油（油滴不出边界），则油滴整体（油滴是直径为0.2cm 的球）正好落入孔中的概率是 .(不作近似计算)三、解答题：(本大题共5小题，满分65分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.) 18.（本题满分12分）已知ABC ∆的三个内角C B A ,,所对的边分别为a ，b ，c ，向量),(a b c a -+=，),(b c a -=,且⊥． (Ⅰ)求角C 的大小；(Ⅱ)若向量)1,0(-=,)2cos2,(cos 2BA =,+的取值范围．… （第16题图）正视图侧视图 俯视图 （第13题图）（第14题图）19.（本题满分12分）已知数列{}n a 中，当2≥n 时，总有nn n a a 221+=-成立，且41=a ．(Ⅰ)证明：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n a 2是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式； (Ⅱ)求数列{}n a 的前n 项和n S ．20.（本小题满分13分）已知正方体1111ABCD A B C D -， O 是底ABCD 对角线的交点． 求证：(Ⅰ)1C O ∥面11AB D ；(Ⅱ)1AC ⊥面11AB D ．21.（本题满分14分）设F 是椭圆22221,(0)x y a b a b +=>>的左焦点，直线l 方程为ca x 2-=，直线l与x 轴交于P 点，M 、N 分别为椭圆的左右顶点，已知22=MN ，且MF PM 2=．(Ⅰ)求椭圆的标准方程； (Ⅱ)过点P 且斜率为66的直线交椭圆于A 、B 两点，求三角形ABF 面积．22.（本小题满分14分）已知函数x a x g b x x x f ln )(,)(23=++-=． (Ⅰ)若)(x f 在⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∈1,21x 上的最大值为83，求实数b 的值；(Ⅱ)若对任意[]e x ,1∈，都有x a x x g )2()(2++-≥恒成立，求实数a 的取值范围； (III)在(Ⅰ)的条件下，设()()⎩⎨⎧≥<=1,1,)(x x g x x f x F ，对任意给定的正实数a ，曲线)(x F y = 上是否存在两点Q P ,，使得POQ ∆是以O （O 为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y 轴上？请说明理由．A（第20题图）D 1C 1B 1A1ODCB孝感市2012-2013学年度高中三年级第二次统一考试数学(文科)参考答案一、选择题（每小题5分，共50分）1. D2. A3. C4.C5.B6. D7. D8. B9. D 10. C 二、填空题（每小题5分，共35分）11.8 12. 13 13.72 14.7500 15.21-2 16.1332+-n n 17.π36164 三、解答题（共5大题，共65分）（非参考答案的正确解答酌情给分） 18．解：(Ⅰ)由题意得0),)(,(222=-+-=--+=⋅ab b c a b c a a b c a ，即ab b a c -+=222. ……………3分由余弦定理得212cos 222=-+=ab c b a C , 3,0ππ=∴<<C C . ……………6分（Ⅱ）∵ )cos ,(cos )12cos2,(cos 2B A BA =-=+， ……………7分)32(cos cos cos cos 2222A A B A -+=+=+π1)62sin(21+--=πA . ……9分∵ 320π<<A ，∴67626πππ<-<-A ，∴1)62sin(21≤-<-πA .∴ 4521<+≤，故2522<+≤. ……………12分 19．解：（Ⅰ） 当2≥n 时， nn n a a 221+=-，即12211=---n n n n a a ， 又221=a .∴数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n a 2是以2为首项，1为公差的等差数列. ……………4分 ∴11)1(22+=⨯-+=n n a n n，故n n n a 2)1(+=. ……………6分 （Ⅱ）∵n n n a 2)1(+=，nn n n n S 2)1(22322121⨯++⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯=∴-，1322)1(223222+⨯++⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯=n n n n n S ，两式相减得：11113222)1(21)21(442)1()222(4++-+⨯-=⨯+---+=⨯+-+⋅⋅⋅+++=-n n n n n n n n n S∴ 12+⋅=n n n S ……………12分20．证明：（Ⅰ）连结11C A ，设11111O D B C A = ，连结1AO ，1111D C B A ABCD - 是正方体, 11ACC A ∴是平行四边形,AC ∴//11C A , 又1O ,O 分别是11C A ,AC 的中点，AO ∴//11C O , 11O AOC ∴是平行四边形,11//AO O C ∴ ……………4分111D AB AO 平面⊂ ，111D AB O C 平面⊄111//D AB O C 平面∴． ……………6分（Ⅱ）11111D C B A CC 平面⊥ ,111D B CC ⊥∴,又1111D B C A ⊥，C C A D B 1111平面⊥∴,111D B C A ⊥∴, ……………10分 同理可证11AB C A ⊥, ……………11分又1111B AB D B = ,111D AB C A 平面⊥∴ , ……………13分(其它解答酌情给分)21．解：（Ⅰ）∵222===a MN ，∴2=a ，又∵MF PM 2=，∴22=e ，∴1=c ，1222=-=c a b ， ∴椭圆的标准方程为1222=+y x ……………6分 (Ⅱ)由题知：)0,1(-F ，)0,2(-P ，AB l ：)2(66+=x y ，),(11y x A ，),(22y x B ， 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==+)2(661222x y y x 消y 得：01222=-+x x ， ……………9分 ∴ 2144)(61121221=-++=x x x x AB ． 点F 到直线AB 的距离：71=d ， ……………12分∴427121421=⨯⨯=∆ABF S ，即三角形ABF 面积为42． ……………14分22．解：（Ⅰ）由b x x x f ++-=23)(，得)23(23)(2--=+-='x x x x x f ，令0)(='x f ，得0=x 或32． 当x 变化时，)(x f '及)(x f 的变化如下表：由b f +=-8)2(，b f +=27)3(，)3()2(f f >-∴，即最大值为8383)21(=+=-b f ，0=∴b ． ……………4分（Ⅱ）由x a x x g )2()(2++-≥，得x x a x x 2)ln (2-≤-．x x e x ≤≤∴∈1ln ],,1[ ，且等号不能同时取，x x <∴ln ，即0ln >-x x x x x x a ln 22--≤∴恒成立，即min 2)ln 2(x x xx a --≤． ……………6分 令]),1[(,ln 2)(2e x x x x x x t ∈--=，求导得，2)ln ()ln 22)(1()(x x x x x x t --+-='， 当],1[e x ∈时，0ln 22,1ln 0,01>-+≤≤≥-x x x x ，从而0)(≥'x t ，)(x t ∴在],1[e 上为增函数，1)1()(min -==∴t x t ，1-≤∴a ． ……………8分（Ⅲ）由条件，⎩⎨⎧+-=,ln ,)(23x a x x x F 11≥<x x ，假设曲线)(x F y =上存在两点P ，Q 满足题意，则P ，Q 只能在y 轴两侧， 不妨设)0))((,(>t t F t P ，则),(23t t t Q +-，且1≠t ．POQ ∆ 是以O 为直角顶点的直角三角形，0=⋅∴OQ OP ， 0))((232=++-∴t t t F t )(*⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅，是否存在P ，Q 等价于方程)(*在0>t 且1≠t 时是否有解． ……………10分 ①若10<<t 时，方程)(*为()()232320t t t t t -+-++=，化简得4210t t -+=，此方程无解； ②若1>t 时，方程)(*为()232ln 0t a t t t -+⋅+=，即()11ln t t a=+， 设()()()1ln 1h t t t t =+>，则()1ln 1h t t t '=++，显然，当1t >时，()0h t '>， 即()h t 在()1,+∞上为增函数，()h t ∴的值域为()()1,h +∞，即()0,+∞，∴当0a >时，方程()*总有解．∴对任意给定的正实数a ，曲线)(x F y = 上总存在两点P ，Q ，使得POQ ∆是以O （O 为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y 轴上． ……………14分。
黄冈市2013年秋季高三年级期末考试文科数学
2013年秋季高三期末考试数学参考答案（文科）二．填空题11.i 12. 45,45. 13. 18 14.15. (),0-∞ 16. 02222=---+y x y x 17. 16三．解答题18、解：(1)f (x )的最正周期为2π，对称抽…………6分 （2）依题意得()sin()6f x x π=-，由[0,]2x π∈得：663x πππ-≤-≤，sin()06x π-=>，从而可得cos()6x π-=cos cos[()]cos cos()sin sin()66666626x x x x ππππππ=-+=---=-……12分19、解：（1）依题意则有n=16000.32=5000,x=5000-(800+2000+1600+200)=400,y=5000×0.40=2000,z=5000×0.04=200,s=4005000=0.08,t =4005000=0.16……………………4分 (2)依题意则有S ＝22.5×0.08+27.5×0.16+32.5×0.40+37.5×0.32+42.5×0.04=32.9; ………………………………5分 S 的统计意义即是指参加调查者的平均年龄。
………………………………6分（3）∵[20,25)年龄段与[25,30)年龄段人数的比值为40018002=，………………8分 ∴采用分层抽样法抽取6人中年龄在[20,25)岁的有2人，年龄在[25,30)岁的有4人，设在[25,30)岁的4人分别为a,b,c,d,在[20,25)岁中的2人为m,n ；选取2人作为代表发言的所有可能情况为（a,b ）,(a,c),(a,d),(a,m),(a,n),(b,c),(b,d),(b,m),(b,n),(c,d),(c,m),(c,n),(d,m),(d,n),(m,n)共有15种，其中恰有1人在年龄[25,30)岁的代表有（a,m ）,(a,n),(b,m),(b,n),(c,m),(c,n) (d,m),(d,n),共8种，故概率8P =………………………………12分20.【答案】（1）.n a n =（2）1(1)22n n S n +=-⋅+（3【解析】 (Ⅰ分 （Ⅱ）∵22n a n n n b a n =⋅=⋅ ∴231222322n n S n =⨯+⨯+⨯++⋅23121222(1)22n n n S n n +=⨯+⨯++-⋅+⋅ 相减，得23122222n n n S n +-=++++-⋅∴1(1)22n n S n +=-⋅+． (8)分（Ⅲ）则分21.【答案】（1（2时FA FB × 的最大值为9【解析】（1）设双曲线2C 的标准方程为：双曲线2C 的标准方程为：（2）将22(0)y px p =>代入到中并整理得：22360x px -+=设11221212(,),(,)0,0,0,0A x y B x y x x y y >>>>其中则∴当且仅当时FA FB × 的最大值为922.【答案】（Ⅰ）112b a c a=-⎧⎨=-⎩ （II (Ⅲ)见解析 【解析】（Ⅰ） ，则有⎩⎨⎧=-==++=1)1(0)1(/b a f c b a f ，解得112b a c a =-⎧⎨=-⎩…3分分(故()ln f x x ≥在[)1,+∞上不恒成立. …………6分(ⅱ) 若1x >,则()0g x '>,()g x 是增函数,所以()()10g x g >=即()ln f x x >,故当1x ≥时,()ln f x x ≥. …………8分综上所述,所求a 的取值范围为分(Ⅲ由(Ⅱ)知,,有()ln f x x ≥, (1x ≥)且当1x >时, 分123k ,,,,n = …………12分将上述n 个不等式依次相加得分命题人：黄梅一中 聂勇 胡柳忠 胡浪 熊习锋 审题人：黄州区一中 童云霞。
湖北省黄冈中学、孝感高中2013届高三上学期期末联考数学理试题(Word版含解析)
湖北省黄冈中学、孝感高中2013届高三（上）期末联考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设i为虚数单位，复数z满足zi=2+i，则z等于（）A．2﹣i B．﹣2﹣i C．1+2i D．1﹣2i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：将zi=2+i变形，可求得z，再将其分母实数化即可．解答：解：∵zi=2+i，∴z====1﹣2i，故选D．点评：本题考查复数代数形式的乘除运算，将其分母实数化是关键，属于基础题．2．（5分））设集合U={（x，y）|x∈R，y∈R}，A={（x，y）|2x﹣y+m＞0}，B={（x，y）|x+y﹣n≤0}，那么点P（2，3）∈A∩（∁U B）的充要条件是（）A．m＞﹣1，n＜5 B．m＜﹣1，n＜5 C．m＞﹣1，n＞5 D．m＜﹣1，n＞5考点：集合的包含关系判断及应用．专题：压轴题．分析：由P（2，3）∈A∩（∁U B）则点P既适合2x﹣y+m＞0，也适合x+y﹣n＞0，从而求得结果．解答：解：∁U B={（x，y）|x+y﹣n＞0}∵P（2，3）∈A∩（∁U B）∴2×2﹣3+m＞0，2+3﹣n＞0∴m＞﹣1，n＜5故选A点评：本题主要考查元素与集合的关系．3．（5分）在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中随机地取一点P，则点P与正方体各表面的距离都大于的概率为（）A．B．C．D．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：根据点P与正方体各表面的距离都大于，则所在的区域为以棱长为的正方体内，则概率为两正方体的体积之比．解答：解：符合条件的点P落在棱长为的正方体内，根据几何概型的概率计算公式得．故选A．点评：本题主要考查几何概型中的体积类型，基本方法是：分别求得构成事件A的区域体积和试验的全部结果所构成的区域体积，两者求比值，即为概率．4．（5分）（2012•湘潭三模）求曲线y=x2与y=x所围成图形的面积，其中正确的是（）A．B．C．D．考点：定积分的简单应用．分析：画出图象确定所求区域，用定积分即可求解．解答：解：如图所示S=S△ABO﹣S曲边梯形ABO，故选B．点评：用定积分求面积时，要注意明确被积函数和积分区间，本题属于基本运算．5．（5分）函数f（x）=2x+x3﹣2的零点个数是（）个．A．0B．1C．2D．3考点：函数的零点．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数f（x）=2x+x3﹣2在R上单调递增，f（0）f（1）＜0，可得函数在区间（0，1）内有唯一的零点，从而得出结论．解答：解：由于函数f（x）=2x+x3﹣2在R上单调递增，又f（0）=﹣1＜0，f（1）=1＞0，所以f（0）f（1）＜0，故函数f（x）=2x+x3﹣2在区间（0，1）内有唯一的零点，故函数f（x）=2x+x3﹣2在R上有唯一零点．故选B．点评：本题考查函数零点的定义以及函数零点判定定理的应用，属于基础题．6．（5分）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的结果是（ ）A ．B ．C ．D ．考点： 程序框图． 专题： 图表型．分析：由题意可知，该程序的作用是求解n=的值，然后利用裂项求和即可求解解答：解：由题意可知，该程序的作用是求解n=的值，而．故选C ． 点评： 本题考查了程序框图中的循环结构的应用，解题的关键是由框图的结构判断出框图的计算功能 7．（5分）设函数y=f （x ）在定义域内的导函数为y=f ′（x ），y=f （x ）的图象如图1所示，则y=f ′（x ）的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．考点： 函数的单调性与导数的关系．专题：数形结合．分析：先从f（x）的图象判断出f（x）的单调性，根据函数的单调性与导函数的符号的关系判断出导函数的符号，判断出导函数的图象．解答：解：由f（x）的图象判断出f（x）在区间（﹣∞，0）上递增；在（0，+∞）上先增再减再增∴在区间（﹣∞，0）上f′（x）＞0，在（0，+∞）上先有f′（x）＞0再有f′（x）＜0再有f′（x）＞0故选D点评：解决函数的单调性问题，一般利用单调性与导函数符号的关系：导函数大于0函数递增；导函数小于0函数递减．8．（5分）已知两不共线向量=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），则下列说法不正确的是（）A．||=||=1 B．（+）⊥（﹣）C．与的夹角等于α﹣βD．与在+方向上的投影相等考点：平面向量数量积的运算；向量的模；数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：由模长公式可得==1，故A正确；由数量积为0可得向量垂直，故B正确；由夹角公式可得向量夹角的余弦值，但角的范围不一定，故C错误；而D由投影相等可与模长相等等价，结合A可知正确，故可得答案．解答：解：由模长公式可得==1，==1，即=，故A正确；∵（）•（）=||2﹣||2=0，∴（）⊥（），故B正确；由夹角公式可得．当α﹣β∈[0，π]时，＜＞=α﹣β；当α﹣β∉[0，π]时，＜＞≠α﹣β，故C不正确；由投影相等可得，故D正确．故选C点评：本题考查向量的数量积的运算，涉及向量的模长和投影及夹角，属中档题．9．（5分）已知直线：A1x+B1y+C1=0（C1≠0）与直线l2：A2x+B2y+C2=0（C2≠0）交于点M，O为坐标原点，则直线OM的方程为（）A．B．C．D．考点：两条直线的交点坐标；直线的一般式方程．专题：综合题；直线与圆．分析：将两直线的一般式中的常数项均变为1，验证O、M的坐标是否均满足该直线的方程即可判断．解答：解：x+y+1=0，l2：x+y+1=0，两式相减得（﹣）x+（﹣）y=0．∵点O、M的坐标都满足该直线的方程，∴点O、M都在该直线上，∴直线OM的方程为（﹣）x+（﹣）y=0．故选A．点评：本题考查两条直线的交点坐标，考查转化思想与分析验证能力，属于难题．10．（5分）若某几何体的三视图是如图所示的三个直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为（）A．10πB．25πC．50πD．100π考点：球的体积和表面积；球内接多面体．专题：计算题．分析：几何体复原为底面是直角三角形，一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥，扩展为长方体，长方体的对角线的长，就是外接球的直径，然后求其的表面积．解答：解：由三视图复原几何体，几何体是底面是直角三角形，一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥；扩展为长方体，其外接与球，它的对角线的长为球的直径，得长方体的体对角线的长为，∴长方体的外接球的半径为，∴球的表面积为50π，故选C．点评：本题考查三视图，几何体的外接球的表面积，考查空间想象能力，计算能力，是基础题．二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．（一）必考题（11～14题）（二）选考题（请考生在15、16两题中任选一题作答．如果全选，则按第15题作答结果计分）11．（5分）（2012•临沂二模）为了了解高三学生的身体状况，抽取了部分男生的体重，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图）．已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，第2小组的频数为12，则抽取的男生人数是48．考点：频率分布直方图．专题：常规题型．分析：根据前3个小组的频率之比为1：2：3，可设前三组的频率为x，2x，3x，再根据所以矩形的面积和为1建立等量关系，求出x，最后根据样本容量等于频数除以频率求出所求．解答：解：由题意可设前三组的频率为x，2x，3x，则6x+（0.0375+0.0125）×5=1解可得，x=0.125所以抽取的男生的人数为故答案为：48．点评：频率分布直方图：小长方形的面积=组距×，各个矩形面积之和等于1，样本容量等于频数除以频率等知识，属于基础题．12．（5分）若是函数f（x）=asinx+bcosx（a、b均为常数）图象的一条对称轴，则的值为．考点：正弦函数的对称性；函数的值．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：由辅助角公式可得f（x）=asinx+bcosx=（θ为辅助角），结合对称轴经过函数图象的最高点或最低点可求解答：解：∵f（x）=asinx+bcosx=（θ为辅助角）∵x=是函数的对称轴且对称轴经过函数图象的最高点或最低点，∴．故答案为：点评：本题考查了正弦函数的性质的应用，利用辅助角公式化简函数y=asinx+bcosx为一个角的一个三角函数的形式是求解问题的关键13．（5分）（2011•河南模拟）（1﹣ax）2（1+x）6的展开式中，x3项的系数为﹣16，则实数a的值为2或3．考点：二项式系数的性质．专题：计算题．分析：利用完全平方公式将第一个因式在看；利用二项展开式的通项公式求出第二个因式的x3，x2，x项的系数；求出（1﹣ax）2（1+x）6的展开式中，x3项的系数，列出方程求出a的值．解答：解：∵（1﹣ax）2=1﹣2ax+a2x2，又（1+x）6展开式的通项为T r+1=C6r x r，所以（1+x）6展开式中含x3，x2，x项的系数分别是C63；C62；C61．所以（1﹣ax）2（1+x）6的展开式中，x3项的系数为C63﹣2aC62+a2C61∴C63﹣2aC62+a2C61=﹣16解得a=2或a=3．故答案为：2或3．点评：本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题、考查等价转化的能力．14．（5分）若z=x+2y，则z的取值范围是．考点：简单线性规划的应用．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图所示的阴影部分．将直线l：z=x+2y进行平移并加以观察，可得当直线ly经过原点时，z达到最小值0；当直线l与余弦曲线相切于点A 时，z达到最大值，用导数求切线的方法算出A的坐标并代入目标函数，即可得到z的最大值．由此即可得到实数z的取值范围．解答：解：作出可行域如图所示，可得直线l：z=x+2y与y轴交于点．观察图形，可得直线l：z=x+2y经过原点时，z达到最小值0直线l：z=x+2y与曲线相切于点A时，z达到最大值．∵由得，∴代入函数表达式，可得，由此可得z max==．综上所述，可得z的取值范围为．故答案为：点评：本题给出约束条件，求目标函数z=x+2y的取值范围．着重考查了简单线性规划和运用导数求函数图象的切线的知识，属于中档题．15．（选修4﹣1：几何证明选讲）如图，已知在△ABC中，∠B=90°．O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D，AD=2，AE=1，则CD的长为3．考点：圆的切线的判定定理的证明．专题：选作题．分析：利用圆的切线性质、切割线定理、勾股定理即可得出．解答：解：由AD与圆O相切于点D，根据切割线定理可得AD2=AE•AB，又AD=2，AE=1，∴．由CD，CB都是圆O的切线，根据切线长定理可得，设CD=x，则CB=x．由切线的性质可得：AB⊥BC，∴AB2+BC2=AC2，∴42+x2=（x+2）2，得x=3，即CD=3．故答案为3．点评：熟练掌握圆的切线性质、切割线定理、勾股定理是解题的关键．16．（5分）（2012•湖南）在极坐标系中，曲线C1：ρ（cosθ+sinθ）=1与曲线C2：ρ=a（a＞0）的一个交点在极轴上，则a=．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：计算题．分析：根据ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2将极坐标方程化成普通方程，利用交点在极轴上进行建立等式关系，从而求出a的值．解答：解：∵曲线C1的极坐标方程为：ρ（cosθ+sinθ）=1，∴曲线C1的普通方程是x+y﹣1=0，∵曲线C2的极坐标方程为ρ=a（a＞0）∴曲线C2的普通方程是x2+y2=a2∵曲线C1：ρ（cosθ+sinθ）=1与曲线C2：ρ=a（a＞0）的一个焦点在极轴上∴令y=0则x=，点（，0）在圆x2+y2=a2上解得a=故答案为：点评：本题主要考查了简单曲线的极坐标方程与普通方程的转化，同时考查了计算能力和分析问题的能力，属于基础题．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知函数f（x）=|x+2|．（1）解关于x的不等式f（x）﹣|3x﹣4|≤1；（2）若f（x）+|x﹣a|＞1恒成立，求实数a的取值范围．考点：绝对值不等式的解法．专题：计算题．分析：（1）依题意|x+2|﹣|3x﹣4|≤1，通过分类讨论去掉绝对值符号，再解，最后取其并集即可；（2）方法1：在数轴上，设点A，B，M对应的实数分别为﹣2，a，x，利用绝对值的几何意义得|MA|+|MB|≥|AB|即可；方法2：由绝对值三角不等式得|x+2|+|x﹣a|≥|（x+2）﹣（x﹣a）|=|a+2|，即可求得实数a的取值范围．解答：解：（1）由f（x）﹣|3x﹣4|≤1得|x+2|﹣|3x﹣4|≤1，即或或得解集为{x|x≤，或x≥}．（6分）（2）方法1：在数轴上，设点A，B，M对应的实数分别为﹣2，a，x，则“f（x）+|x﹣a|＞1恒成立”⇔“|x+2|+|x﹣a|＞1恒成立”⇔“|MA|+|MB|＞1恒成立”．∵|MA|+|MB|的最小值为|AB|，即|a+2|，∴|a+2|＞1，得a+2＞1，或a+2＜﹣1，即a＞﹣1，或a＜﹣3．方法2：由绝对值三角不等式得|x+2|+|x﹣a|≥|（x+2）﹣（x﹣a）|=|a+2|，∴|a+2|＞1，解得a＞﹣1，或a＜﹣3．（12分）点评：本题考查绝对值不等式的解法，考查分类讨论思想与绝对值不等式的几何意义，考查推理与运算能力，属于难题．18．（12分）已知定义域为R的函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的一段图象如图所示．（1）求f（x）的解析式；（2）若g（x）=cos3x，h（x）=f（x）•g（x），求函数h（x）的单调递增区间．考点：三角函数中的恒等变换应用；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；复合三角函数的单调性．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：（1）由图可求得其周期T，继而可求得ω，再利用点（，2）在图象上可求得φ，从而可求得其解析式；（2）利用三角函数间的关系及倍角公式，辅助角公式可求得h（x）=sin（6x+）+，利用正弦函数的单调性即可求得h（x）的单调递增区间．解答：解：（1）∵T=（﹣）=，∴ω==3，∴f（x）=2sin（3x+φ）．∵点（，2）在图象上，∴2sin（3×+φ）=2，即sin（φ+）=1，∴φ+=2kπ+（k∈Z），即φ=2kπ+．故f（x）=2sin（3x+）．（6分）（2）h（x）=2sin（3x+）cos3x=2（sin3xcos+cos3xsin）cos3x=（six3xcos3x+cos23x）=（sin6x+cos6x+1）=sin（6x+）+．由2kπ﹣≤6x+≤2kπ+（k∈Z）得函数h（x）的单调递增区间为[﹣，+]（k∈Z）．（12分）点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查三角函数中的恒等变换应用及正弦函数的单调性，考查化归思想与综合运算能力，属于难题．19．（12分）某单位进行这样的描球游戏：甲箱子里装有3个白球，2个红球，乙箱子里装有1个白球，2个红球，这些球除颜色外完全相同．每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个则获奖（每次游戏结束后将球放回原箱）．（1）求在1次游戏中①摸出3个白球的概率；②获奖的概率；（2）求在2次游戏中获奖次数X的分布列及数学期望EX．考点：离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．专题：综合题．分析：（1）①求出基本事件总数，计算摸出3个白球事件数，利用古典概型公式，代入数据得到结果；②获奖包含摸出2个白球和摸出3个白球，且它们互斥，根据①求出摸出2个白球的概率，再相加即可求得结果；（2）确定在2次游戏中获奖次数X的取值是0、1、2，求出相应的概率，即可写出分布列，求出数学期望．解答：解：（1）①设“在一次游戏中摸出i个白球”为事件A i（i=，0，1，2，3），则P（A3）=•=②设“在一次游戏中获奖”为事件B，则B=A2∪A3，又P（A2）=•+•=且A2、A3互斥，所以P（B）=P（A2）+P（A3）=+=（2）由题意可知X的所有可能取值为0，1，2．P（X=0）=（1﹣2=，P（X=1）=C21×（1﹣）=，P（X=2）=（2=，所以X的分布列是X的数学期望E（X）=0×+1×+2×=．点评：本题考查古典概型及其概率计算公式，离散型随机变量的分布列数学期望、互斥事件和相互独立事件等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力．20．（12分）如图，四边形PCBM是直角梯形，∠PCB=90°，PM∥BC，PM=1，BC=2．又AC=1，∠ACB=120°，AB⊥PC，直线AM与直线PC所成的角为60°．（1）求证：PC⊥AC；（2）求二面角M﹣AC﹣B的余弦值；（3）求点B到平面MAC的距离．考点：用空间向量求平面间的夹角；点、线、面间的距离计算．专题：计算题；证明题；空间位置关系与距离．分析：方法1：（1）通过证明PC⊥平面ABC，然后证明PC⊥AC．（2）取BC的中点N，连MN，证明MN⊥平面ABC．作NH⊥AC，交AC的延长线于H，连接MH，说明∠MHN为二面角M﹣AC﹣B的平面角．利用．求出二面角M﹣AC﹣B的余弦值．（3）先证明NE⊥平面MAC，通过解三角形求出点N到平面MAC的距离，利用点N是线段BC的中点，推出点B到平面MAC的距离是点N到平面MAC的距离的两倍．方法2：（1）同方法一；（2）在平面ABC内，过C作BC的垂线，并建立空间直角坐标系如图所示．设P（0，0，z），求出有关点的坐标，利用，求出设平面MAC的一个法向量为，求出平面ABC的一个法向量为．利用．得到二面角M﹣AC﹣B的余弦值．（3）利用点B到平面MAC的距离．解答：解：方法1：（1）证明：∵PC⊥BC，PC⊥AB，∴PC⊥平面ABC，∴PC⊥AC．（2分）（2）取BC的中点N，连MN．∵PM=∥CN，∴MN=∥PC，∴MN⊥平面ABC．作NH⊥AC，交AC的延长线于H，连接MH．由三垂线定理得AC⊥MH，∴∠MHN为二面角M﹣AC﹣B的平面角．∵直线AM与直线PC所成的角为60°，∴在Rt△AMN中，∠AMN=60°．在△ACN中，．在Rt△AMN中，．在Rt△NCH中，．在Rt△MNH中，∵，∴．故二面角M﹣AC﹣B的余弦值为．（8分）（3）作NE⊥MH于E．∵AC⊥平面MNH，∴AC⊥NE，∴NE⊥平面MAC，∴点N到平面MAC的距离为．∵点N是线段BC的中点，∴点B到平面MAC的距离是点N到平面MAC的距离的两倍为．（12分）方法2：（1）证明：∵PC⊥BC，PC⊥AB，∴PC⊥平面ABC，∴PC⊥AC．（2分）（2）在平面ABC内，过C作BC的垂线，并建立空间直角坐标系如图所示．设P（0，0，z），则．．∵，且z＞0，∴，得z=1，∴．设平面MAC的一个法向量为=（x，y，1），则由得得∴．平面ABC的一个法向量为．．显然，二面角M﹣AC﹣B为锐二面角，∴二面角M﹣AC﹣B的余弦值为．（8分）（3）点B到平面MAC的距离．（12分）点评：本题考查直线与平面的垂直的判定定理的应用，二面角的求法，点到平面的距离的求法，几何法与向量法的区别与联系，考查空间想象能力与计算能力．21．（13分）已知斜率为﹣2的直线与椭圆交于A，B两点，且线段AB的中点为．直线l2与y轴交于点M（0，m）（m≠0），与椭圆C交于相异两点P，Q，O 为坐标原点，且．（1）求椭圆C的方程；（2）求λ的值；（3）求m的取值范围．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题；方程思想；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）平方差法：设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程作差，据中点坐标公式、直线斜率公式即可求得a2值；（2）设P（x3，y3），Q（x4，y4），l2：y=kx+m，由，用横坐标表示出来即可求得λ值；（3）将直线l2的方程与椭圆方程联立消y，由（2）的结论及韦达定理可得k，m的关系式，再由△＞0消掉k即可求得m的取值范围；解答：解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），则．∵，，∴两式相减得，即=0，即，得，所以椭圆C的方程为2x2+y2=1．（2）设P（x3，y3），Q（x4，y4），l2：y=kx+m（∵l2与y轴相交，∴l2的斜率存在）．由，得，得，即，将①代入②得（λ﹣3）m=0，∵m≠0，∴λ=3．（3）将y=kx+m代入2x2+y2=1，得（k2+2）x2+2kmx+（m2﹣1）=0．∵λ=3，∴由消去x3、x4得，．由△＞0得k2＞2（m2﹣1），即2（m2﹣1），即，即，解得，或．所以m的取值范围为，或．点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查学生综合运用所学知识分析问题解决问题的能力，弦长公式、韦达定理、判别式是解决该类问题的基础知识，应熟练掌握，涉及弦中点问题常考虑“平方差法”．22．（14分）在数列中，a1=1，前n项和S n满足nS n+1﹣（n+3）S n=0．（1）求{a n}的通项公式；（2）若，求数列{（﹣1）n b n}的前n项和T n；（3）求证：．数列与不等式的综合；数列的求和；数列递推式．考点：等差数列与等比数列．专题：分析：（1）方法一：由已知变形得，利用“累乘求积”即可得出；方法二：利用得到a n的关系式，再利用“累乘求积”即可得出；（2）根据所求的数列的通项公式的特点，利用等差数列的前n项和公式，可先求出当n为偶数时的T n，进而即可得出n为奇数时的T n；（3）通过构造函数，利用函数的单调性及裂项求和即可证明．解答：解：（1）方法1：∵，且S1=a1=1，∴当n≥2时，，且S1=1也适合．当n≥2时，，且a1=1也适合，∴．方法2：∵nS n+1﹣（n+3）S n=0，∴（n﹣1）S n﹣（n+2）S n﹣1=0，两式相减，得n（S n+1﹣S n）=（n+2）（S n﹣S n﹣1），即na n+1=（n+2）a n，即．又∵可求得a2=3，∴也适合上式．综上，得．当n≥2时，，且a1=1也适合，∴．（2）．设．当n为偶数时，∵，∴．当n为奇数（n≥3）时，，且T1=c1=﹣4也适合上式．综上：得．（3）令f（x）=x﹣ln（1+x）．当x＞0时，∵，∴f（x）在（0，+∞）上为增函数，∴当x＞0时，f（x）＞f（0）=0，得ln（1+x）＜x．令，得，∴，∴，∴．点数列掌握数列的通项公式、等差数列的前n项和公式、通项公式与前n项和的关系评：、“累乘求积”、构造函数并利用函数的单调性及裂项求和是解题的关键．。
湖北省黄冈中学、孝感高中2013届高三上学期期末联合考试(理科)数学试题(定稿)
湖北省 2013届高三上学期期末联合考试理科数学命题学校：黄冈中学 命题人：李新潮 审稿人：王宪生考试时间：2013年1月30日15:00——17:00 试卷满分：150分一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设i 为虚数单位，复数z 满足i 2i z =+，则z 等于（ ） A ．2i - B ．2i -- C ．12i + D ．12i -2．设集合{(,)|,},{(,)|20},{(,)|0}U x y x y A x y x y m B x y x y n =∈∈=-+>=+-≤R R ，那么点(2,3)()U P A B ∈ð的充要条件是（ ）A ．1m >-且5n <B ．1m <-且5n <C ．1m >-且5n >D ．1m <-且5n >3．在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中随机地取一点P ，则点P 与正方体各表面的距离都大于3a的概率为（ ） A ．127B ．116C ．19D ．134．设曲线2y x =与直线y x =所围成的封闭区域的面积为S ，则下列等式成立的是( ) A ．120()d S x x x =-⎰B ．120()d S x x x =-⎰C ．120()d S y y y =-⎰D．1(S y y =⎰5．函数()2lg(1)2x f x x =++-的零点的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．36．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的结果 是（ ）A ．12B ．23C ．34D ．457．设函数()y f x =在定义域内的导函数为()y f x '=，若()y f x =的图象如图1所示，则()y f x '=的图象可能为（ ）黄冈中学孝感高中8．已知两不共线向量(cos ,sin ),(cos ,sin )ααββ==a b ，则下列说法不．正确．．的是（ ） A ．||||1==a b B ．()()+⊥-a b a b C ．a 与b 的夹角等于αβ- D ．a 与b 在+a b 方向上的投影相等9．已知直线1l ：11110(0)A x B y C C ++=≠与直线2l ：22220(0)A x B y C C ++=≠交于点M ，O 为坐标原点，则直线OM 的方程为（ ）A ．12121212()()0A A B Bx y C C C C -+-=B ．12121212()()0A A B Bx y C C C C ---= C ．12121212()()0C C C Cx y A A B B -+-= D ．12121212()()0C C C Cx y A A B B ---= 10．若某几何体的三视图是如图所示的三个直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A ．10πB ．25πC ．50πD ．100π二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分． （一）必考题（11～14题）11．为了了解某校高三男生的身体状况，抽查了部分男生的体重，将所得数据整理后，画出了频率分布直方图（如右图）．已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1﹕2﹕3，第2小组的频数为12，则被抽查的男生的人数是 ．12．若8x π=是函数()sin cos f x a x b x=+（a 、b 均为常数）图象的一条对称轴，则()8f π的值为 ．13．在26(1)(1)ax x -+的展开式中，3x 项的系数为16-，则实数a 的值为 ．14．若0,2sin cos ,x x y x π⎧≤≤⎪⎨⎪≤≤⎩2z x y =+，则z 的取值范围是 ． （二）选考题（请考生在15、16两题中任选一题作答．如果全选，则按第15题作答结果计分）15．（选修4－1：几何证明选讲）如图，已知在△ABC 中，90B ∠=︒．O 是AB 上一点，以O 为圆心，OB 为半径的圆与AB 交于点E ，与AC 切于点D ，2,1AD AE ==，则CD 的长为 ． 16．（选修4－4：坐标系与参数方程）在极坐标系中，曲线1:sin )1C ρθθ+=与曲线2:(0)C a a ρ=>的一个交点在极轴上，则a 的值为 ．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） 已知函数()|2|f x x =+．（1）解关于x 的不等式()|34|1f x x --≤；（2）若()||1f x x a +->恒成立，求实数a 的取值范围．18．（本小题满分12分）已知定义域为R 的函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的一段图象如图所示． （1）求()f x 的解析式；（2）若()cos3,()()()g x x h x f x g x ==，求函数()h x 的单调递增区间．19．（本小题满分12分）在公园游园活动中有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球和2个黑球，乙箱子里装有1个白球和2个黑球，这些球除颜色外完全相同；每次游戏都从这两个箱子里各随机地摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱）（1）在一次游戏中：①求摸出3个白球的概率；②求获奖的概率；（2）在两次游戏中，记获奖次数为X ：①求X 的分布列；②求X 的数学期望． 20．（本小题满分12分） 如图，四边形PCBM 是直角梯形，90PCB ∠=︒，PM ∥BC ，1,2PM BC ==．又1AC =，120,ACB AB PC ∠=︒⊥，直线AM 与直线PC 所成的角为60︒．（1）求证：PC AC ⊥；（2）求二面角M AC B --的余弦值； （3）求点B 到平面MAC 的距离．21．（本小题满分13分）已知斜率为2-的直线1l 与椭圆222:1(0)x C y a a+=>交于,A B 两点，且线段AB 的中点为11(,)22E ．直线2l 与y 轴交于点(0,)(0)M m m ≠，与椭圆C 交于相异两点,P Q ，O 为坐标原点，且,4,PM MQ OP OQ OM λλλ=+=∈R ．（1）求椭圆C 的方程； （2）求λ的值；（3）求m 的取值范围． 22．（本小题满分14分）在数列*{}()n a n ∈N 中，11a =，前n 项和n S 满足1(3)0n n nS n S +-+=． （1）求{}n a 的通项公式； （2）若24()n n a b n=，求数列{(1)}n n b -的前n 项和n T ； （3）求证：12121119nna a a a a a +++<．。
湖北省黄冈中学等八所著名高中2013届高三第一次联考理科数学试题以及答案详解
湖北省 鄂南高中、荆州中学、华师一附中、孝感高中、黄冈中学、襄阳四中、黄石二中、襄阳五中八所校2013届高三第一次联考数学试题（理）考试时间：2012年12月21日下午15:00——17:00 试卷满分：150分一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合一目要求的.1.集合A={}1610-2-+=x x y x ，集合B ={}A x x y y ∈=,log 2，则=⋂B C A R ( )A .[]32，B .(]21，C .[]83， D.(]83， 2.若命题p:[]012,3,3-0200≤++∈∃x x x ，则对命题p 的否定是（ ）A []012,3,3-0200>++∈∀x x xB ()()012,,33-,-0200>+++∞∞∈∀x x xC . ()()012,,33-,-0200≤+++∞∞∈∃x x x D. []012,3,3-0200<++∈∃x x x 3.某实心机器零件的三视图如图所示，该机器零件的体积为（ ）A .π236+B .π436+C .π836+D .π1036+4.等比数列{}n a 各项为正，453-,,a a a 成等差数列.n S 为{}n a 的前n 项和，则36S S =（ ） A .2 B .87 C .89 D .45 5.如图MN 是半圆O 的直径，MN=2，等边三角形OAB 的顶点A 、B 在半圆弧上，且AB//MN ，点P 半圆弧上的动点，则PB PA ⋅的取值范围是（ ）A .⎥⎦⎤⎢⎣⎡+32323，B .⎥⎦⎤⎢⎣⎡233-23，C .⎥⎦⎤⎢⎣⎡+3233-23，D .⎥⎦⎤⎢⎣⎡2323-3， 6.若双曲线1222=+m y x 的一条渐近线的倾斜角⎪⎭⎫ ⎝⎛∈30πα，，则m 的取值范围是（ ） A .()0,3- B .()0,3- C .()3,0 D .）（0,33- 7.在ABC ∆中，,3,23sin )(sin AC BC C B A ==+-则=∠B （ ）A .3πB .6πC .36ππ或 D.2π 8.已知R c b a ∈,,，则1632222=++c b a 是[]1,1-∈++c b a 的（ ）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件9.若实数y x ,满足：⎩⎨⎧-≤≥-2502x y x y ，则y x 2+的最大值是（ ）A .3B .52C .5D 5510.已知函数⎩⎨⎧<≥=)0()-(log )0(3)(3x x x x f x ，函数)()()()(2R t t x f x f x g ∈++=.关于)(x g 的零点，下列判断不正确．．．的是（ ） A .若)(,41x g t =有一个零点 B .若)(,412-x g t <<有两个零点 C .若)(,2-x g t =有三个零点 D .若)(,2-x g t <有四个零点二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.（一）必做题（11-14题）11.已知复数i i i z ),43()21(-÷+=为虚数单位，则z 的共轭复数是 .12.函数x x x f ln )(=，)41(),31(),2(f c f b f a ===，则c b a ,,从小到大的排列是 .13.阅读如图所示程序框图，运行相应程序，输出结果n = .14.如图把函数 ,6)(,)(321x x x f x x f -==,50401206)(,1206)(7534533x x x x x f x x x x f -+-=+-=36288050401206)(97535x x x x x x f +-+-=，依次称为x x f sin )(=在[]π，0上的第1项、2项、3项、4项、5项多项式逼近函数.以此类推，请将x x f sin )(=的n 项多项式逼近函数)(x f n 在横线上补充完整：∑-==121)(n k n x f ( ) ）（+∈N k n ,. （二）选做题（请考生在15、16两题中任选一题作答.如果全选，则按第15题作答结果计分）15.（选修4-1：几何证明选讲）如图过点A 作圆O 的一条切线AB ，切点为B ，OA 交圆O 于点C .若1,==BC CA OC ,则=AB .16.(选修4-4：坐标系与参数方程）曲线C 的极坐标方程为：θθρsin cos -=，化成普通方程为 .三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A ．（本小题满分12分）函数1)sin()(-+=ϕwx A x f ,00>>w A ，（ϕ)2π<的最大值为2，其图像相邻两个对称中心之间的距离为2π，且经过点)121,12-π（. (1)求函数)(x f 的单调递增区间；(2)若57)(=αf ，且∈α⎥⎦⎤⎢⎣⎡412ππ，，求)62(πα+f 的值.18.（本小题满分12分）已知数列}{n a 满足：，32-1=a 4332-1+-=+n n n a a a ）（+∈N n . （1）证明数列}11{+n a 是等差数列，并求{}n a 的通项公式； 第一次八校联考数学（理）试题 第3页 （共5页）（2）数列}{n b 满足：13+=n nn a b ）（+∈N n ，求}{n b 的前n 项和n S .19.（本小题满分12分）如图I ，平面四边形ABCD 中，，，，421506000====∠=∠BC AD AB ABC A 把ABD ∆沿直线BD 折起，使得平面⊥ABD平面BCD ，连接AC 得到如图II 所示四面。
湖北省黄冈中学、孝感高中2013届高三上学期期末联考数学文(Word版含解析)
湖北省黄冈中学、孝感高中2013届高三（上）期末联考数学试卷（文科）一、选择题：大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U=R，集合A={x|＜0}，B={x|x≥1}，则集合{x|x≤0}等于（）A．A∩B B．A∪B C．C U（A∩B）D．C U（A∪B）考点：交、并、补集的混合运算．专题：计算题．分析：先解分式不等式化简集合A，求出集合A与集合B的并集，观察得到集合{x|x≤0}是集合（A∪B）在实数集中的补集．解答：解：由，得x（x﹣1）＜0，解得：0＜x＜1．所以A={x|＜0}={x|0＜x＜1}，又B={x|x≥1}，则A∪B={x|0＜x＜1}∪{x|x≥1}={x|x＞0}，所以，集合{x|x≤0}=C U（A∪B）．故选D．点评：本题考查了分式不等式的解法，求解分式不等式时，可以转化为不等式组或整式不等式求解，考查了交、并、补集的混合运算．此题是基础题．2．（5分）已知是虚数单位，则（）2013的值是（）A．i B．﹣i C．1D．﹣1考点：复数代数形式的乘除运算；虚数单位i及其性质．专题：计算题．分析：利用=i，再利用i的幂的性质即可求得答案．解答：解：∵=i，i1=i，i2=﹣1，i3=﹣i，i4=1，即i n的值是以4为周期出现的，故=•=i2012•i=i．故选A．点评：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查虚数单位i及其性质，属于中档题．3．（5分）某高中高一、高二、高三年级的学生人数之比是8：7：10，用分层抽样的方法从三个年级抽取学生到剧院观看演出，已知高一抽取的人数比高二抽取的人数多2人，则高三观看演出的人数为（）A．14 B．16 C．20 D．25考点：分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：根据三个年级的人数比，结合高一抽取的人数比高二抽取的人数多2人，得到要抽取的高三的人数．解答：解：∵高中高一、高二、高三年级的学生人数之比是8：7：10，且已知高一抽取的人数比高二抽取的人数多2人，∴高三年级观看演出的人数为=20，故选C．点评：本题考查分层抽样方法，本题解题的关键是看出三个年级中各个年级所占的比例，这就是在抽样过程中被抽到的概率，本题是一个基础题．4．（5分）已知命题p：∃x∈R，使2x+2﹣x=1；命题q：∀x∈R，都有lg（x2+2x+3）＞0．下列结论中正确的是（）A．命题“p∧q”是真命题B．命题“p∧﹣q”是真命题C．命题“﹣p∧q”是真命题D．命题“﹣pv﹣q”是假命题考点：命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用．分析：根据指数函数的图象和性质及基本不等式可判断命题p的真假；根据二次函数的图象和性质及对数函数的单调性，可判断命题q的真假，进而复合命题真假判断的真值表可判断四个答案的正误．解答：解：∵2x＞0，2﹣x＞0，则由基本不等式可得2x+2﹣x≥2故命题p：∃x∈R，使2x+2﹣x=1为假命题；∵x2+2x+3=（x+1）2+2≥2，故lg（x2+2x+3）≥lg2＞lg1=0故命题q：∀x∈R，都有lg（x2+2x+3）＞0为真命题故命题“p∧q”是假命题命题“p∧﹣q”是假命题命题“﹣p∧q”是真命题命题“﹣pv﹣q”是真命题故选C点评：本题以命题真假判断为载体考查了指数函数对数函数及二次函数的图象和性质，其中根据函数的图象和性质判断出两个简单命题的真假是解答的关键．5．（5分）已知平面向量、满足||=2，||=1，且2﹣5与+垂直，则与的夹角是（）A．B．C．D．考点：平面向量数量积的运算；数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：利用向量垂直与数量积的关系及向量的夹角公式即可得出．解答：解：∵，∴，化为，∵||=2，||=1，∴2×22﹣=0，∴．∴===．又．∴．故选B．点评：熟练掌握向量垂直与数量积的关系及向量的夹角公式是解题的关键．6．（5分）已知a∈R，x＞0，y＞0，且x+y=1，则“a≤8”是“+≥a恒成立”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：不等式的解法及应用．分析：利用基本不等式可得“+≥a恒成立”等价于a≤9，再根据{a|a≤8}⊊{a|a≤9}，从而得出结论．解答：解：∵已知a∈R，x＞0，y＞0，且x+y=1，∴+=（x+y）（+）=5++≥9，当且仅当x=且y=时，取等号．故“+≥a恒成立”等价于a≤9．而{a|a≤8}⊊{a|a≤9}，故“a≤8”是“+≥a恒成立”的充分不必要条件，故选A．点评：本题主要考查充分条件、必要条件、充要条件的定义，基本不等式的应用，体现了等价转化的数学思想，属于基础题．7．（5分）过点M（1，2）的直线l与圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=25交于A、B两点，C为圆心，当∠ACB最小时，直线l的方程是（）A．2x+y﹣3=0 B．x﹣y+1=0 C．x+y﹣3=0 D．2x﹣y+3=0。
湖北省黄冈中学、孝感高中2013届高三上学期期末联合考试数学(理)试题
湖北省 2013届高三上学期期末联合考试理科数学命题学校：黄冈中学考试时间：2013年1月30日15:00——17:00试卷满分：150分一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设i 为虚数单位，复数z 满足i 2i z =+，则z等于（ ）A ．2i -B ．2i --C ．12i +D ．12i - 2．设集合{(,)|,},{(,)|20},{(,)|0U x y x y A x y x y m B x y x y n =∈∈=-+>=+-≤R R ，那么点(2,3)()U P A B ∈ ð的充要条件是（ ）A ．1m >-且5n <B ．1m <-且5n <C ．1m >-且5n >D ．1m <-且5n > 3．在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中随机地取一点P ，则点P 与正方体各表面的距离都大于3a 的概率为（ ）A ．127B ．116C ．19D ．134．设曲线2y x=与直线y x=所围成的封闭区域的面积为S ，则下列等式成立的是( )A ．12()d S x x x=-⎰ B ．12()d S x x x=-⎰C ．12()d Sy y y=-⎰D．10(Sy y=-⎰5．函数()2lg(1)2xf x x =++-的零点的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．36．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的结果 是（ ）A ．12B ．23C ．34D ．457．设函数()y f x =在定义域内的导函数为()y f x '=，若()y f x =的图象如图1所示，则()y f x '=的图象可能为（ ）黄冈中学 孝感高中8．已知两不共线向量(cos ,sin ),(cos ,sin )ααββ==a b ，则下列说法不．正确．．的是（ ） A ．||||1==a b B ．()()+⊥-a b a b C ．a 与b 的夹角等于αβ- D ．a 与b 在+a b 方向上的投影相等9．已知直线1l ：11110(0)A x B y C C ++=≠与直线2l ：22220(0)A x B y C C ++=≠交于点M ，O 为坐标原点，则直线OM 的方程为（ ）A ．12121212()()0A AB B x yC C C C -+-= B ．12121212()()0A AB B x yC C C C ---= C ．12121212()()0C C C C x y A A B B -+-=D ．12121212()()0C C C C x y A A B B ---=10．若某几何体的三视图是如图所示的三个直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A ．10πB ．25πC ．50πD ．100π二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分． （一）必考题（11～14题）11．为了了解某校高三男生的身体状况，抽查了部分男生的体重，将所得数据整理后，画出了频率分布直方图（如右图）．已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1﹕2﹕3，第2小组的频数为12，则被抽查的男生的人数是 ．12．若8x π=是函数()s i n c o s f x a x b x=+（a 、b 均为常数）图象的一条对称轴，则()8f π的值为 ．13．在26(1)(1)ax x -+的展开式中，3x 项的系数为16-，则实数a 的值为 ．14．若0,2sin cos ,x x y x π⎧≤≤⎪⎨⎪≤≤⎩2z x y =+，则z 的取值范围是 ．（二）选考题（请考生在15、16两题中任选一题作答．如果全选，则按第15题作答结果计分）15．（选修4－1：几何证明选讲）如图，已知在△ABC 中，90B ∠=︒．O 是AB 上一点，以O 为圆心，OB 为半径的圆与AB 交于点E ，与AC 切于点D ，2,1AD AE ==，则CD 的长为 ．16．（选修4－4：坐标系与参数方程）在极坐标系中，曲线1:sin )1C ρθθ+=与曲线2:(0)C a a ρ=>的一个交点在极轴上，则a 的值为 ．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） 已知函数()|2|f x x =+．（1）解关于x 的不等式()|34|1f x x --≤；（2）若()||1f x x a +->恒成立，求实数a 的取值范围．18．（本小题满分12分）已知定义域为R 的函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的一段图象如图所示． （1）求()f x 的解析式；（2）若()cos 3,()()()g x x h x f x g x == ，求函数()h x 的单调递增区间．19．（本小题满分12分）在公园游园活动中有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球和2个黑球，乙箱子里装有1个白球和2个黑球，这些球除颜色外完全相同；每次游戏都从这两个箱子里各随机地摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱）（1）在一次游戏中：①求摸出3个白球的概率；②求获奖的概率；（2）在两次游戏中，记获奖次数为X ：①求X 的分布列；②求X 的数学期望．20．（本小题满分12分） 如图，四边形PCBM 是直角梯形，90PCB∠=︒，PM ∥BC ，1,2PMBC ==．又1AC=，120,AC B AB PC∠=︒⊥，直线AM 与直线PC 所成的角为60︒．（1）求证：PCAC ⊥；（2）求二面角M AC B--的余弦值；（3）求点B 到平面MAC 的距离．21．（本小题满分13分） 已知斜率为2-的直线1l 与椭圆222:1(0)x Cy a a+=>交于,A B 两点，且线段AB 的中点为11(,)22E ．直线2l 与y 轴交于点(0,)(0)M m m ≠，与椭圆C 交于相异两点,P Q ，O 为坐标原点，且,4,PM MQ OP OQ OM λλλ=+=∈R．（1）求椭圆C 的方程；（2）求λ的值； （3）求m 的取值范围．22．（本小题满分14分）在数列*{}()n a n ∈N 中，11a =，前n 项和n S 满足1(3)0n n nS n S +-+=． （1）求{}n a 的通项公式； （2）若24()n na b n =，求数列{(1)}n n b -的前n 项和n T ；（3）求证：12121119n na a a a a a +++< ．湖北省 2013届高三上学期期末联合考试 理科数学参考答案1．D 解析：∵22i (2i)i 2i 112ii1iz ++-====--，∴选择“D ”．2．A解析：∵(2,3)()U P A B ∈ ð，∴(2,3)P A ∈，且(2,3)P B ∉，∴2230,230,m n ⨯-+>⎧⎨+->⎩得1,5.m n >-⎧⎨<⎩故选择A ．3．A解析：符合条件的点P 落在棱长为3a 的正方体内，根据几何概型的概率计算公式得33()1327a P a==．故选A ．4．B解析：将曲线方程2y x=与直线方程y x=联立方程组，解得0x=或1x=．结合图形可知选项B 正确．5．B解析：方法1：∵(0)10,(1)l g20f f =-<=>，∴()f x 在(0,1)内必有一个零点．又∵()f x 在(1,)-+∞上为增函数，∴()f x 有且仅有1个零点．方法2：由()0f x =得lg(1)22xx +=-+．作出函数()lg(1)g x x =+与()22xh x =-+的图象，知两函数的图象有且仅有一个交点，即方程()0f x =有且仅有一个根，即函数()f x 有且仅有一个零点．6．C解析：11131223344++=⨯⨯⨯．故选C ．7．D解析：∵当0x<时，函数()f x 为增函数，∴当0x<时，()0f x '>．又∵当0x>时，随着x 的增大，函数值先递增，再递减，最后又递增，∴选择“D ”．8．C解析：①A 显然正确． ②∵22()()||||0+⋅-=-=a b a b a b ，∴()()+⊥-a b a b ，∴B 正确．③cos ,cos cos sin sin cos()||||αβαβαβ⋅<>==⋅=+=-⋅a b a b a b a b ．当[0,]αβπ-∈时，,αβ<>=-a b ；当[0,]αβπ-∉时，,αβ<>≠-a b ．故C 不正确．④∵22()()||||||||||||⋅+⋅+=⇔+⋅=⋅+⇔=++a a b b a b a a b a b b a b a b a b ，∴D正确．故选择“C ”． 9．A黄冈中学孝感高中解析：1l ：111110A B x y C C ++=，2l ：222210A B x y C C ++=，两式相减得12121212()()0A AB B x yC C C C -+-=．∵点O 、M 的坐标都满足该直线的方程，∴点O 、M 都在该直线上，∴直线OM 的方程为12121212()()0A AB B x yC C C C -+-=．故选“A ”．10．C解析：该几何体是三棱锥，将该三棱锥视为长方体的一个角，得长方体的体对角线的长为=，∴三棱锥的外接球，即长方体的外接球的半径为2，∴球的表面积为50π，选择“C ”．11．48解析：设被抽查的男生的人数为n ．∵后两组的频率之和为(0.01250.0375)50.25+⨯=，∴前三组的频率之和为0.75．又∵前三组的频数分别为6,12,18，∴612180.75n++=，得48n =．12．解析：∵对称轴经过函数图象的最高点或最低点，∴()8f π=．13．2或3解析：展开式中3x 的系数为3425666216C aC a C -+=-，∴2560a a -+=，得2a=或3．14．[0,6π+解析：作出可行域如图所示．直线2x yz+=与y 轴交于点(0,)2z．设直线2x y z+=与曲线cos (0)2yx x π=≤≤相切于点A ．∵由1sin 2y x '=-=-得6xπ=，∴(62A π，代入2x yz+=得6zπ=+(0,0)O 代入2x y z+=得0z=．故z 的取值范围为[0,6π+．15．3 解析：∵2AD AE AB=⋅，∴24ADABAE==．设CD x =，则CBx=．∵222AB BCAC+=，∴2224(2)x x +=+，得3x =，即3C D =．162解析：将极坐标方程化为普通方程，得2221210,:C y C x y a +-=+=．在1C 中，令y =，得2x=，再将0)2代入2C 得2a =．17．解：（1）由()|34|1f x x --≤得|2||34|1x x +--≤，即2,(2)(34)1,x x x <-⎧⎨-++-≤⎩或42,3(2)(34)1,x x x ⎧-≤<⎪⎨⎪++-≤⎩或4,3(2)(34)1,x x x ⎧≥⎪⎨⎪+--≤⎩得解集为35{|,}42x x x ≤≥或．（6分）（2）方法1：在数轴上，设点,,A B M 对应的实数分别为2,,a x -，则“()||1f x x a +->恒成立”⇔“|2|||1x x a ++->恒成立”⇔“||||1MA MB +>恒成立”．∵||||MA MB +的最小值为||AB ，即|2|a +，∴|2|1a +>，得21a +>，或21a +<-，即1a >-，或3a <-．方法2：由绝对值三角不等式得|2||||(2)()||2|x x a x x a a ++-≥+--=+，∴|2|1a +>，得1a >-，或3a <-．（12分）18．解：（1）∵24()4123T πππ=-=，∴23Tπω==，∴()2sin(3)f x x ϕ=+．∵点(,2)12π在图象上，∴2sin(3)212πϕ⨯+=，即sin()14πϕ+=，∴2()42k k ππϕπ+=+∈Z ，即24k πϕπ=+．故()2sin(3)4f x x π=+．（6分）（2）2()2sin(3)cos 32(sin 3coscos 3sin)cos 33cos 3cos 3)444h x x x x x x x x x πππ=+=+=+6cos 61)sin(6)242x x x π=++=++262()242k x k k πππππ-≤+≤+∈Z 得函数()h x 的单调递增区间为[,]()38324k k k ππππ-+∈Z ．（12分）19．解：（1）记“在一次游戏中摸出k 个白球”为事件(0,1,2,3)k A k =． ①2132322531()5C C P A C C==．（3分）②22111323222323225317()()()510C C C C C P A A P A P A C C +=+=+=．（6分）（2）1233973217749(0),(1),(2)10101001010501010100P XP X C P X ==⨯===⨯===⨯=．（9分）①X②X 的数学期望921497()012100501005E X =⨯+⨯+⨯=．（12分）【或：∵7(2,)10XB ，∴77()2105E X =⨯=】 20．解：方法1：（1）∵,PCBC PC AB⊥⊥，∴PC ⊥平面ABC ，∴PCAC⊥．（2分）（2）取BC 的中点N ，连MN ．∵P MC N =，∴M NP C=，∴M N⊥平面ABC ．作N H ⊥AC ，交AC 的延长线于H ，连结MH ．由三垂线定理得AC MH ⊥，∴M HN ∠为二面角MAC B --的平面角．∵直线AM 与直线PC 所成的角为60︒，∴在Rt AM N ∆中，60AM N ∠=︒． 在AC N ∆中，AN ==在Rt AM N ∆中，cot 601MN AN AMN =⋅∠=︒=． 在Rt NCH ∆中，sin 1sin 602N HC N N C H =⋅∠=⨯︒=．在Rt M NH ∆中，∵2M H ==，∴cos 7N H M H NM H∠==．故二面角M AC B --7（8分）（3）作NEM H⊥于E ．∵AC ⊥平面MNH ，∴ACN E⊥，∴NE ⊥平面MAC ，∴点N 到平面MAC的距离为7M N N H N E M H⋅==N 是线段BC 的中点，∴点B 到平面MAC 的距离是点N 到平面MAC7（12分）方法2：（1）∵,PC BC PC AB ⊥⊥，∴PC ⊥平面ABC ，∴PC AC ⊥．（2分）（2）在平面ABC 内，过C 作BC 的垂线，并建立空间直角坐标系如图所示．设(0,0,)P z ，则(0,0,)CP z =．13(0,1,),0)(,)2222AM z z =--=- ．∵2cos 60|cos ,|||||||AM C PAM C P AM C P ⋅︒=<>==⋅且z >，∴12=，得1z =，∴3(,1)22AM =-．设平面MAC 的一个法向量为(,,1)x y =n ，则由0,0AM C A ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n得310,2210,22y y ⎧-++=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩得31,x y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩∴(1,1)3=-n ．平面ABC的一个法向量为(0,0,1)CP =．cos ,7||CP CP ||CP ⋅<>==⋅ n n n ．显然，二面角MAC B--为锐二面角，∴二面角MAC B--7（8分）（3）点B 到平面MAC的距离||||7C B d⋅==n n ．（12分）21．解：（1）设1122(,),(,)A x y B x y ，则121212121,1,2y y x x y y x x -+=+==--．∵221121,x y a+=222221x y a+=，∴两式相减得121212122()()()()0x x x x y y y y a+-++-=，即121212212()x x y y y y x x a+-++-=，即211(2)0a+⨯-=，得212a =，∴椭圆C 的方程为2221x y +=．（4分）（2）解法1：设3344(,),(,)P x y Q x y ，2:l y kx m =+（∵2l 与y 轴相交，∴2l 的斜率存在）．由,4PM M Q O P O Q O Mλλ⎧=⎪⎨+=⎪⎩得33443434(,)(,),(,)(0,4),x m y x y m x x y y m λλλ--=-⎧⎨++=⎩得3434,4,x x y y m λλ-=⎧⎨+=⎩即3434,()()4,x x kx m kx m m λλ=- ⎧⎨+++= ⎩①②将①代入②得(3)0m λ-=，∵0m≠，∴3λ=．解法2：∵PM M Q λ= ，∴()OM OP OQ OM λ-=-，∴(1)OP OQ OM λλ+=+，又∵OP OQ λ+= 4OM ，∴(1)4OM OMλ+=，∴(3)OM λ-=0，又∵OM ≠0，∴3λ=．（8分）（3）将y kx m =+代入2221x y +=得222(2)2(1)0k x kmx m +++-=．∵3λ=，∴由3434223423,2,212x x km x x k m x x k ⎧⎪=-⎪-⎪+=⎨+⎪⎪-=⎪+⎩消去3x 、4x 得2222(1)41m km -=-．由0∆>得222(1)k m >-，即222(1)41m m ->-22(1)m -，即222(1)041m m m -<-，即(1)(1)0(21)(21)m m m m +-<+-，得112m -<<-，或112m <<．（13分）22．解：（1）方法1：∵*13()n n S n n S n ++=∈N ，且111S a ==，∴当2n≥时，3211214562(1)(2)112316n n n S S S n n n n S S S S S n -+++=⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯⨯=- ，且11S =也适合．当2n≥时，1(1)2n n n n n a S S -+=-=，且11a =也适合，∴*(1)()2nn n a n +=∈N ．方法2：∵1(3)0n n nS n S +-+=，∴1(1)(2)0n n n S n S ---+=，两式相减，得11()(2)()n n n n n S S n S S +--=+-，即1(2)n nna n a +=+，即12(2)n na n n a n++=≥． 又∵可求得23a =，∴213a a =也适合上式．综上，得*12()n na n n a n++=∈N ．当2n≥时，3211213451(1)112312n n n a a a n n n a a a a a n -++=⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯⨯=- ，且11a =也适合，∴*(1)()2nn n a n +=∈N ．（4分）（2）2(1)nb n =+．设2(1)(1)(1)nnnn c b n =-=-+．当n 为偶数时，∵1221(1)(1)(1)21n n n n c c n n n --+=-⋅+-⋅+=+，12341[5(21)](3)2()()()5913(21).22n n n nn n n T c c c c c c n -+++=++++++=+++++==∴当n 为奇数（n ≥3）时，221(1)(2)34(1)22nn n n n n n T T c n --+++=+=-+=-，且114T c ==-也适合上式．综上：得234(),2(3)().2n n n n T n n n ⎧++-⎪⎪=⎨+⎪ ⎪⎩为奇数为偶数（9分）（3）令()ln(1)f x x x =-+．当0x >时，∵1()101f x x'=->+，∴()f x 在(0,)+∞上为增函数，∴当0x>时，()(0)0f x f >=，得ln(1)x x +<．令1(1,2,,)ixi n a == ，得11211ln(1)2()(1)1iia a i i i i +<==-++，∴11111111ln(1)2[(1)()()]2(1)222311ni ia nn n =+<-+-++-=-<++∑ ，即12111ln[(1)(1)(1)]2na a a +++< ，即21212111e 9n na a a a a a +++<< ．（14分）。
2013届湖北省部分重点中学高三第一次联考数学文试卷(word版)
湖北省部分重点中学 2013届高三第一次联考数学（文）试题命题：武汉三中 鄢小彬试卷满分：150分注意事项：1．本卷1-10题为选择题，共50分，11—21题为非选择题，共100分，全卷共4页，考试结束，监考人员将答题卷收回。
2．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在试题卷和答题卷指定位置。
3．选择题的作答：选出答案后，用2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。
4．非选择题的作答：用0 5毫米黑色墨水的签字笔直接答在答题卷上的每题所对应的答题区域内。
答在指定区域外无效。
第一部 分选择题一、选择题：本大题共有10小题，每小题5分。
共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的请把它选出后在答题卡上规定的位置上用铅笔涂黑 1．已知全集=|0,1,2,3||1A = ，，2|,B =|3，4|,则)U A B = (C （ ） A. |0| B ．|1| C ．|2| D ．|3|2．命题“存在实数x ，使x<l ”的否定是（ ） A ．对任意实数x ，都有x<1 B ．对任意实数x ，都有1x ≥ C ．不存在实数X ，使x ≥l D ．存在实数x ，使x ≥l3．函数11(1)y n x =++的定义域为（ ）A ．[－3，3]B ．（－1，3）C ．（0，3）D ．（－1，0） (0，3]4．已知 1.10.651(),2,2122a b c og -===，则a 、b 、c 的大小关系为（ ） A ．c b a <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．b c a <<5．已知l 是直线，α、β是两个不同的平面，命题:p l ∥,,l αβ⊥则αβ⊥；命题:,q l αββ⊥⊥则l ∥α；命题:,r l αβ⊥∥α，则l β⊥，则下列命题中，真命题是（ ）A ．p q ∧B ．q r ∨C ．p q ∨D ．p ⌝6．等腰△ABC 中，底边BC=4，则AB ·BC =（ ） A ．6B ．－6C ．8D ．－87．设函数()f x 是定义在R 上周期为2的偶函数，当[0,1]x ∈时，()1,f x x =-+则(1.5)f =（ ）A ．12-B ．12C ．32D ．528．某日，我渔政船在东海某海域巡航，已知该船正以1)-海里／时的速度向正北方向航行，该船在A 点处发现北偏东30°方向的海面上有一个小岛，继续航行20分钟到达B 点，发现该小岛在北偏东45°方向上，若该船向北继续航行，船与小岛的最小距离可以达到( )海里 A ． 6 B ．8 C ． 10 D ． 12 9．等比数列{a n }为递增数列的一个充要条件是（ ） A ．前三项递增 B ．所有奇数项递增C ．前n 项和数列S n 为递增数列D ．首项为正数，且公比大于1 10．用若干个棱长为l 的单位正方体堆放在一起，拼成一个几何体，若这个几 何体的正视图和左视图都是如图所示的图形，则这个几何体的体积的最 大值与最小值的差为 （ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7第二部分 非选择题二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分35分11．已知对任意x ∈R ，都有220x ax a -+>恒成立；则a 的取值范围为 。
湖北黄冈2013高三上学期期末考试-文综(word版)
湖北省黄冈市2013届高三第一学期期末考试文科综合试题考生注意：1．本试卷分为第I卷和第Ⅱ卷，第I卷为选择题，第Ⅱ卷为非选择题。
2．本试卷满分300分，其中第I卷140分，第Ⅱ卷160分。
考试时间150分钟。
3．请将第I卷和第Ⅱ卷的答案填写答题卡上。
答案写试题卷上无效。
第I卷选择题（共35题140分）一、选择题：本大题共35小题．每小题4分。
共计140分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。
我国1000多年前的古文字留下这样的记载：古人把财宝藏于“右岸，自飞瀑右行八百步”（注：这里的八百步相当于现在1108米。
据《孙子算经》）。
经现代考证该地岩石为比较容易被侵蚀的砂岩组成。
图1为目前该瀑布位置示意图，读图完成1～2题。
1．图示区域地势A．东南高、西北低B．西北高、东南低C．东北高、西南低D．西南高、东北低2．宝藏最可能埋藏的地点是A．①B．②C．③D．④图2为同一经线上①②③三地6月22日一天中相同高度旗杆（杆长为2m）影子朝向和长度变化示意图。
读图完成3～4题。
3．此图，①②③三地昼长由短到长的顺序是A．①②③B．①③②C．③②①D．③①②4．③地日出时间为一年中最早的季节时A．北极进入最佳考察时期B．直布罗陀海峡盛行西风C．潘帕斯草原草木枯黄D．江淮地区出现伏旱天气图3为一山坡地的地质剖面图，某营建商将部分的坡地削平准备盖房子出售。
该地区潮湿多雨，地层有滑移的潜在危险。
读图回答5～6题。
5．上图所示甲、乙、丙三块营建基地中哪处危险性最高，其理由是A．甲基地最危险，因其位于顺向坡地B．甲基地最危险，因其位于逆向坡地C．乙基地最危险，因其位于山顶D．丙基地最危险，因其位于顺向坡地6．开挖甲基地所出露的岩石在古时代是如何生成的A．由岩浆冷却凝固形成B．由生物遗骸堆积形成C．经沉积作用固结形成D．在高温高压下变质形成阅读下列洋流名称，回答第7题。
①墨西哥湾暖流②本格拉寒流③千岛寒流④拉布拉多寒流⑤北大西洋暖流⑥阿拉斯加暖流⑦加那利寒流⑧北赤道暖流7．若由你率领船队沿当年哥伦布航线从西班牙前往西印度群岛并返回，为节省时间，顺次经过的洋流是A．⑦→⑧→①→⑤B．⑧→⑥→⑤→④C．⑤→②→⑥→⑧D．①→⑤→②→③图4为我国各大农业区分布示意图。
湖北省黄冈中学、孝感高中2013届高三上学期期末联合考试数学.
湖北省 2013届高三上学期期末联合考试文科数学一、选择题:大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知全集R U =,集合10x A x x ⎧⎫-=<⎨⎬⎩⎭,{}1B x x =≥,则集合{}0x x ≤等于(A .AB B .A BC .(U A B ðD .(U A B ð【答案】:D【提示】:{}01A x x =<<,{}1B x x =≥,则{}0x x =≤(U A B ð.2.已知i 是虚数单位,则201311i i +⎛⎫⎪-⎝⎭的值是(A .iB .i -C .1D .1- 【答案】:A 【提示】:11ii i +=-,而123411,,,i i i i i i ==-=-=,即n i 的值是以4为周期出现的,故2013111i i i i +⎛⎫== ⎪-⎝⎭3.某高中高一、高二、高三年级的学生人数之比是8710∶∶,用分层抽样的方法从三个年级抽取学生到剧院观看演出,已知高一抽取的人数比高二抽取的人数多2人,则高三观看演出的人数为( A .14B .16 C .20D .25 【答案】:C【提示】:高三年级观看演出的人数为2102087⨯=-. 4.已知命题:R p x ∃∈,使221x x -+=;命题:R q x ∀∈,都有(2lg 230x x ++>.下列结论中正确的是(A .命题“p q ∧”是真命题B .命题“p q ∧⌝”是真命题C .命题“p q ⌝∧”是真命题D .命题“p q ⌝∨⌝”是假命题【答案】:C黄冈中学孝感高中【提示】:由判断有:p 假q 真,故命题“p q ⌝∧”是真命题.5.已知平面向量a 、b 满足2a =,1b = ,且25a b - 与a b + 垂直,则a 与b 的夹角是( A .4πB .3πC .2πD .23π【答案】:B【提示】:由25a b - 与a b + 垂直得:((250a b a b -⋅+= ,即1a b ⋅= ,故1cos 2,a b a b a b ⋅= <>=,3,a b π<>=.6.已知R a ∈,0x >,0y >,且1x y +=,则“8a ≤”是“14a x y+≥恒成立”的( A .充分不必要条件B .必要不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件【答案】:A【提示】:当1x y +=时,(14144559y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=+++ ⎪⎝⎭≥,当1323x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时取等号,因此,14a x y+≥恒成立9a ⇔≤,而{}{}89a a a a ⊆≤≤, 故“8a ≤”是“14a x y+≥恒成立”的充分不必要条件. 7.过点(1,2M 的直线l 与圆C :22(3(425x y -+-=交于A 、B 两点,C 为圆心,当ACB ∠最小时,直线l 的方程是(A .230x y +-=B .10x y -+=C .30x y +-=D .230x y -+=【答案】:C 【提示】:当且仅当AB 最小时ADB ∠最小,而此时直线AB 与直线MC 垂直,直线MC 的斜率为1,则求得直线l 的方程是30x y +-=. 8.定义在D 上的函数(f x ,如果满足:对x D ∀∈,存在常数0M >,都有|(|f x M ≤成立,则称(f x 是D 上的有界函数.则下列定义在R 上的函数中,不是有界函数的是(A .(2sin f x x =B .(f x =C .(12xf x -=-D .((2log 1f x x =-+【答案】:D【提示】:对于A :(f x ≤1;对于B :(1f x ≤;对于C :(2f x ≤;对于D :((2log 10f x x =+≥,故((2log 1f x x =-+为无界函数.9.设数列{}n a 的前n 项和为n S ,11a =,且对任意正整数n ,都有点(1,n n a S +在直线220x y +-=上.若数列2n n S n λλ⎧⎫++⎨⎬⎩⎭为等差数列,则λ的值为(A .12B .12- C .2 D .2-【答案】:C【提示】:由题意可得:①当2n ≥时,②①─②得:,,∴{}n a 是首项为,公比为12的等比数列,∴112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭.解法一:1111221212nn n S --==--,则112222222n n n n n S n n n λλλλλλ--++=-++=++, 记222n n b n λλ-=++,则1312b λ=+,23924b λ=+,372548b λ=+,则123,,b b b 成等差数列,即3937252124248λλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 解得2λ=,当时,,显然成等差数列,故存在实数,使得数列成等差数列. 解法二:1111221212n n n S --==--,112222222n n n n n S n n n λλλλλλ--++=-++=++, 欲使成等差数列,只须,便可,故存在实数,使得数列成等差数列.10.规定[]x 表示不超过x 的最大整数,(([][22,,0,0,xx f x x x x -⎧-∈-∞⎪=⎨-∈+∞⎪⎩,若方程(1f x ax =+ .0221=-++n n S a .0221=-+-n n S a (22102211≥=⇒=+-++n a a a a a n n n n n 2122,12121=⇒=+=a a a a 12=λ222 22+=++n n S n n {}22+n 2=λ⎭⎬⎫⎩⎨⎧++n n n S 2λλ⎭⎬⎫⎩⎨⎧+⋅+nn n S 2λλ02=-λ2=λ2=λ⎭⎬⎫⎩⎨⎧++n n n S 2λλ有且仅有四个实数根,则实数a 的取值范围是(A .11,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ B .11,23⎡⎫--⎪⎢⎣⎭C .11,34⎡⎫--⎪⎢⎣⎭D .11,45⎡⎫--⎪⎢⎣⎭【答案】:B【提示】:当[0,x ∈+∞时,(f x 是以1为周期的函数,且([(,,1f x x k x k k k N =-∈+∈, 故图像为二、填空题:本大题共7小题,每小题5分,共35分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上,答错位置,书写不清,模棱两可均不得分.11.若变量x 、y 满足约束条件421x y x y x +⎧⎪-⎨⎪⎩≤≤≥,则目标函数2z x y =+的最小值是.【答案】:1 【提示】:如图,在(1,1A -处目标函数达到最小值1. 12.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是.【答案】:643【提示】:由三视图知,直观图如图所示:正视图侧视图1164484323.V =⨯⨯⨯⨯=13.已知如图所示的程序框图,当输入99n =时,输出S 的值是. 【答案】: 99100【提示】:由程序框图有:111112233499100S =+++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯⨯ 1111199122399100100.=-+-+⋅⋅⋅+-=14.已知圆224:M x y +=,在圆M 上随机取一点P ,则P 到直线2x y += 的距离大于【答案】:14【提示】:由计算得O 到直线2x y +=,故到直线2x y +=距离为2x y +=关于原点对称的直线2x y +=-上,故概率是14 .15.已知函数((2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭,它的图像的相邻两条对称轴之间的距离是2π,当函数(f x 的图像向右平移6π个单位时,得到函数(g x 的图像,并且(g x 是奇函数,则ϕ=. 【答案】:3π【提示】:22T ππ=⨯=,则22Tπω==,所以((2sin 2f x x ϕ=+,故(6g x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭2sin 22sin 263x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+- ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦,结合(g x 是奇函数有:(3k k Z πϕπ-=∈,解得:3.πϕ=16.已知抛物线(220y px p =>的焦点为F ,准线为l ,经过F 且斜率为(0k k >的直线与抛物线交于A 、B 两点(点A 在x 轴的上方,与准线交于C 点,若2BC BF =,且8AF =,则p =.【答案】:4【提示】:作,,BD l AE l FM AE ⊥⊥⊥,则 BD BF =,8AF AE ==,故在Rt BCD ∆中,12BDsin BCD BC ∠==,6BCD π∠=,所以 6AFM π∠=,4AM =,4EM =,故4.p =17.已知数列{}n a 、{}n b ,且通项公式分别为32n a n =-,2n b n =,现抽出数列{}n a 、{}n b 中所有相同的项并按从小到大的顺序排列成一个新的数列{}n c ,则可以推断: (150c =(填数字; (221k c -=(用k 表示.【答案】:(15476;(2(22132.k c k -=-【提示】:22132,231,2n n n c n n ⎧+⎛⎫⋅-⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎪⎛⎫⋅- ⎪⎪⎝⎭⎩为奇数为偶数(1225050317454762c ⎛⎫=⨯-== ⎪⎝⎭;(2(2221232322.k k c k -⎛⎫=⋅-=- ⎪⎝⎭三、解答题:本大题共5小题,共65分。
湖北省黄冈中学孝感高中2013届高三上学期期末联合考试
湖北省黄冈中学孝感高中2013届高三上学期期末联合考试理科综合能力测试命题人：饶建刚李姣娥杨斌审题人：胡涛柳亚鹏丁娟★祝考试顺利★注意事项：1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。
答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。
2．回答第I卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第II卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
可能用到的相对原子质量数据：H- 1 C-12 N-14 O-16 S-32 Cu-64 Fe-56第I卷一、选择题：本题共13小题，每小题6分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列关于生物体内元素及其化合物的作用表述错误的是（）A．人体严重缺铁会导致乳酸中毒B．人体内血钙含量过低会发生肌无力，血钙含量过高则会发生抽搐C．蛋白质中的N主要存在于肽键中，核酸中的N主要存在于碱基中D．C、H、O、N、P可构成细胞中的RNA，RNA具备的生物功能不少于三种2．下面为动物机体的细胞凋亡及清除示意图。
据图分析，不正确的是（）A．①过程中的受体到达细胞膜需要高尔基体的参与B．癌变的细胞不能正常凋亡有可能与②过程受阻有关C．③过程中凋亡细胞被吞噬，不表明细胞凋亡是细胞被动死亡过程D．人的红细胞发育成熟后，开始启动上述凋亡过程3．下列关于单倍体、二倍体及染色体组的表述正确的是（）A．单倍体生物的体细胞内都无同源染色体B．21三体综合症患者的体细胞中有三个染色体组C．人的初级卵母细胞中的一个染色体组中可能存在等位基因D．用秋水仙素处理二倍体西瓜幼苗的芽尖后，芽尖的细胞中都有含4个染色体组4．下图甲的A、B、C表示人体细胞间信息传递过程；图乙表示信号分子对靶细胞作用的方式。
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湖北省黄冈中学、孝感高中2013届高三（上）期末联考数学试卷（文科）一、选择题：大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U=R，集合A={x|＜0}，B={x|x≥1}，则集合{x|x≤0}等于（）A．A∩B B．A∪B C．C U（A∩B）D．C U（A∪B）考点：交、并、补集的混合运算．专题：计算题．分析：先解分式不等式化简集合A，求出集合A与集合B的并集，观察得到集合{x|x≤0}是集合（A∪B）在实数集中的补集．解答：解：由，得x（x﹣1）＜0，解得：0＜x＜1．所以A={x|＜0}={x|0＜x＜1}，又B={x|x≥1}，则A∪B={x|0＜x＜1}∪{x|x≥1}={x|x＞0}，所以，集合{x|x≤0}=C U（A∪B）．故选D．点评：本题考查了分式不等式的解法，求解分式不等式时，可以转化为不等式组或整式不等式求解，考查了交、并、补集的混合运算．此题是基础题．2．（5分）已知是虚数单位，则（）2013的值是（）A．i B．﹣i C．1D．﹣1考点：复数代数形式的乘除运算；虚数单位i及其性质．专题：计算题．分析：利用=i，再利用i的幂的性质即可求得答案．解答：解：∵=i，i1=i，i2=﹣1，i3=﹣i，i4=1，即i n的值是以4为周期出现的，故=•=i2012•i=i．故选A．点评：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查虚数单位i及其性质，属于中档题．3．（5分）某高中高一、高二、高三年级的学生人数之比是8：7：10，用分层抽样的方法从三个年级抽取学生到剧院观看演出，已知高一抽取的人数比高二抽取的人数多2人，则高三观看演出的人数为（）A．14 B．16 C．20 D．25考点：分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：根据三个年级的人数比，结合高一抽取的人数比高二抽取的人数多2人，得到要抽取的高三的人数．解答：解：∵高中高一、高二、高三年级的学生人数之比是8：7：10，且已知高一抽取的人数比高二抽取的人数多2人，∴高三年级观看演出的人数为=20，故选C．点评：本题考查分层抽样方法，本题解题的关键是看出三个年级中各个年级所占的比例，这就是在抽样过程中被抽到的概率，本题是一个基础题．4．（5分）已知命题p：∃x∈R，使2x+2﹣x=1；命题q：∀x∈R，都有lg（x2+2x+3）＞0．下列结论中正确的是（）A．命题“p∧q”是真命题B．命题“p∧﹣q”是真命题C．命题“﹣p∧q”是真命题D．命题“﹣pv﹣q”是假命题考点：命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用．分析：根据指数函数的图象和性质及基本不等式可判断命题p的真假；根据二次函数的图象和性质及对数函数的单调性，可判断命题q的真假，进而复合命题真假判断的真值表可判断四个答案的正误．解答：解：∵2x＞0，2﹣x＞0，则由基本不等式可得2x+2﹣x≥2故命题p：∃x∈R，使2x+2﹣x=1为假命题；∵x2+2x+3=（x+1）2+2≥2，故lg（x2+2x+3）≥lg2＞lg1=0故命题q：∀x∈R，都有lg（x2+2x+3）＞0为真命题故命题“p∧q”是假命题命题“p∧﹣q”是假命题命题“﹣p∧q”是真命题命题“﹣pv﹣q”是真命题故选C点评：本题以命题真假判断为载体考查了指数函数对数函数及二次函数的图象和性质，其中根据函数的图象和性质判断出两个简单命题的真假是解答的关键．5．（5分）已知平面向量、满足||=2，||=1，且2﹣5与+垂直，则与的夹角是（）A．B．C．D．考点：平面向量数量积的运算；数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：利用向量垂直与数量积的关系及向量的夹角公式即可得出．解答：解：∵，∴，化为，∵||=2，||=1，∴2×22﹣=0，∴．∴===．又．∴．故选B．点评：熟练掌握向量垂直与数量积的关系及向量的夹角公式是解题的关键．6．（5分）已知a∈R，x＞0，y＞0，且x+y=1，则“a≤8”是“+≥a恒成立”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：不等式的解法及应用．分析：利用基本不等式可得“+≥a恒成立”等价于a≤9，再根据{a|a≤8}⊊{a|a≤9}，从而得出结论．解答：解：∵已知a∈R，x＞0，y＞0，且x+y=1，∴+=（x+y）（+）=5++≥9，当且仅当x=且y=时，取等号．故“+≥a恒成立”等价于a≤9．而{a|a≤8}⊊{a|a≤9}，故“a≤8”是“+≥a恒成立”的充分不必要条件，故选A．点评：本题主要考查充分条件、必要条件、充要条件的定义，基本不等式的应用，体现了等价转化的数学思想，属于基础题．7．（5分）过点M（1，2）的直线l与圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=25交于A、B两点，C为圆心，当∠ACB最小时，直线l的方程是（）A．2x+y﹣3=0 B．x﹣y+1=0 C．x+y﹣3=0 D．2x﹣y+3=0考点：直线与圆相交的性质．专题：直线与圆．分析：由直线和圆相交的性质可得当∠ACB最小时，直线AB与直线MC垂直，根据两条直线垂直的性质，求得直线l 的斜率，再用点斜式求得直线l 的方程．解答：解：由于点M（1，2）在圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=25的内部，由直线AB和圆相交的性质可得，当∠ACB最小时，圆心C到直线AB的距离最大，此时，直线AB与直线MC垂直．由于直线MC的斜率为=1，则所求直线l的斜率为﹣1，由点斜式求得直线l的方程是y﹣2=﹣1（x﹣1），即x+y﹣3=0，故选C．点评：本题主要考查直线和圆相交的性质，两条直线垂直的性质，用点斜式求直线的方程，属于中档题．8．（5分）定义在D上的函数f（x），如果满足：对∀x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数．则下列定义在R上的函数中，不是有界函数的是（）C．f（x）=﹣21﹣|x|D．f（x）=﹣log2（|x|+1）A．f（x）=sinx2B．f（x）=考点：函数的值域．专题：计算题；新定义．分析：利用基本初等函数的性质，对A，B，C，D四个选项逐一判断即可．解答：解：对于A：|f（x）|=|sinx2|≤1；对于B：∵x2≥0，∴x2+1≥1，于是≤1，∴|f（x）|=≤1；对于C：∵|x|≥0，∴1﹣|x|≤1，∴21﹣|x|≤21=2，|f（x）|=|﹣21﹣|x||=|21﹣|x||=21﹣|x|≤2；对于D：|f（x）|=log2（|x|+1）≥0，故f（x）=﹣log2（|x|+1）为无界函数．故选D．点评：本题考查函数的值域，考查基本初等函数的性质，属于中档题．9．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，且对任意正整数n，都有点（a n+1，S n）在直线2x+y ﹣2=0上．若数列{S n+}为等差数列，则λ的值为（）A．B．﹣C．2D．﹣2考点：等差关系的确定；数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：利用通项a n与其前n项和之间S n之间的关系即可得出S n，再利用等差数列的定义即可得出λ的值．解答：解：由题意可得：2a n+1+S n﹣2=0，而a n+1=S n+1﹣S n，∴2（S n+1﹣S n）+S n﹣2=0，可化为2（S n+1﹣2）=S n﹣2，∵a1=1，∴S1﹣2=﹣1≠0，∴，∴数列{S n﹣2}是以﹣1为首项，为公比的等比数列，∴，即S n=．∴==2+λn+．，则，，．∵b1，b2，b3成等差数列，∴2b2=b1+b3，即，解得λ=2．当λ=2时，S n=2n+2，数列{S n}是以4为首项，2为公差的等差数列．故存在实数λ=2，使得数列{}成等差数列．点评：熟练掌握等差数列的定义及关系是解题的关键．10．（5分）规定[x]表示不超过x的最大整数，f（x）=，若方程f （x）=ax+1有且仅有四个实数根，则实数a的取值范围是（）A．[﹣1，﹣）B．[﹣．﹣）C．[﹣，﹣）D．[﹣，﹣）考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：分析函数的特点，作出函数的图象，把问题转化为两函数让图象的交点问题，结合图象由斜率公式可得答案．解答：解：当x∈[0，+∞）时，f（x）是以1为周期的函数，且f（x）=x﹣k，x∈[k，k+1）（k∈N），当x∈（﹣∞，0）时，f（x）是指数型函数，而y=ax+1为过定点（0，1）斜率为a的直线，在同一个坐标系中作出它们的图象为：由图象可知，当直线介于两红色线之间时，符合题意，而它们的斜率分别为，，故实数a的取值范围为：[，]，故选B点评：本题考查根的存在性及个数的判断，数形结合是解决问题的关键，属中档题．二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11．（5分）若变量x、y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最小值是1．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：画出满足约束条件的可行域，并求出可行域各个角点的坐标，分别代入目标函数，计算目标函数的值，比照后可得最优解．解答：解：满足约束条件的可行域如下图所示∵目标函数z=2x+y∴z A=1，z B=7，z C=5，故在A（1，﹣1）处目标函数达到最小值1．故答案为：1点评：本题考查的知识点是简单线性规划，角点法是解答此类问题最常用的方法，熟练掌握其解答过程和步骤是解答的关键．12．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：通过三视图判断几何体的图形形状，利用三视图的数据，求出几何体的体积即可．解答：解：：由三视图知，直观图如图所示：底面是直角三角形，直角边长为4，8，三棱锥的一个后侧面垂直底面，并且高为4，所以棱锥的体积为：=．故答案为：．点评：本题考查三视图与几何体的关系，考查学生的视图能力判断能力，以及空间想象能力．13．（5分）已知如图所示的程序框图，当输入n=99时，输出S的值是．考点：程序框图．专题：计算题．分析：由图知，每次进入循环体后，新的S值是原来的S加上得到的，故由此运算规律进行计算，当i=99时输出的结果即可．解答：解：由程序框图有：每次进入循环体后，新的S值是原来的S加上得到的，当i=99时S===．故答案为：点评：本题考查循环结构，通过运算规则求解最后运算结果，是算法中一种常见的题型．14．（5分）已知圆M：x2+y2=4，在圆M上随机取一点P，则P到直线x+y=2的距离大于2的概率为．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：利用点到直线的距离公式求出满足条件的点的弧长、几何概型的计算公式即可得出．解答：解：由点到直线的距离公式得点O到直线x+y=2的距离为，故到直线x+y=2距离为的点在直线x+y=2关于原点对称的直线AB：x+y+2=0上，满足P到直线x+y=2的距离大于2的点位于劣弧AB上，且∠AOB=90°．故概率P=．故答案为．点评：熟练掌握点到直线的距离公式及几何概型的计算公式是解题的关键．15．（5分）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜），它的图象的相邻两条对称轴之间的距离是，当函数f（x）的图象向右平移个单位时，得到函数g（x）的图象，并且g（x）是奇函数，则φ=．考点：y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：由函数y=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的图象相邻两条对称轴之间的距离是，求出函数的周期，即可求出ω，通过函数的图象的平移，求出新函数，通过函数的奇偶性，求出φ即可．解答：解：函数y=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的图象相邻两条对称轴之间的距离是，所以函数的周期为：T=，则ω==2，所以函数y=2sin（2x+φ），故函数f（x）的图象向右平移个单位时，得到函数g（x）=f（x﹣）=2sin[2（x﹣）+φ]=2sin（2x+φ﹣），函数是奇函数有：φ﹣=kπ，k∈Z，|φ|＜解得：φ=．故答案为：．点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，由题意求得函数y=2sin（ωx+φ）的解析式是关键，属于中档题．16．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为，经过F且斜率为k（k＞0的直线与抛物线交于A、B两点（点A在x轴的上方），与准线交于C点，若|BC|=2|EF|，且|AF|=8，则P=4．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：题干错误：|BC|=2|EF|，应该是：|BC|=2|BF|，请给修改，谢谢．作辅助线如图，则由抛物线的定义可得|BD|=|BF|，|AF|=|AE|=8，在直角三角形BCD中，求得sin∠BCD 的值，可得∠BCD 的值，从而得到∠AFM 的值以及|AM|和|EM|的值，从而求得p的值．解答：解：作BD⊥l，AE⊥l，FM⊥AE，则由抛物线的定义可得|BD|=|BF|，|AF|=|AE|=8，|BD|=BF|．故在直角三角形BCD中，由|BC|=2|BF|，可得|BC|=2|ED|，故有sin∠BCD==，∴∠BCD=，∴∠AFM=，∴|AM|=4，|EM|=4，∴p=|EM|=4，故答案为4．点评：本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及抛物线的几何性质，过焦点的弦的弦长关系，转化化归的思想方法，属于中档题．17．（5分）已知数列{a n}、{b n}，且通项公式分别为a n=3n﹣2，b n=n2，现抽出数列{a n}、{b n}中所有相同的项并按从小到大的顺序排列成一个新的数列{c n}，则可以推断：（1）c50=5476（填数字）；（2）c2k﹣1=（3k﹣2）2（用k表示）．考点：数列与三角函数的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：由a n=3n﹣2，b n=n2，数列{a n}、{b n}中所有相同的项并按从小到大的顺序排列成一个新的数列{c n}，可得数列{c n}的通项公式满足：当n为奇数时，c n=（3•﹣2）2，当n为偶数时，c n=（3•﹣1）2，分别代入可得答案．解答：解：∵a n=3n﹣2，b n=n2，数列{c n}为数列{a n}、{b n}中所有相同的项并按从小到大的顺序排列成一个新的数列则c n中各项应满足：①比三的倍数多1；②是一个完全平方数当n为奇数时，c n=（3•﹣2）2，当n为偶数时，c n=（3•﹣1）2，（1）∵50为偶数故c50=（3•﹣1）2=742=5476（2）∵2k﹣1为奇数∴c2k﹣1=（3•﹣2）2=（3k﹣2）2故答案为：5476，（3k﹣2）2点评：本题考查的知识点是数列的通项公式，本题难度较大，其中解答的关键是根据已知两个数列{a n}、{b n}的通项公式，求出数列{c n}的通项公式．三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（12分）已知函数f（x）=sin2x+2sinxcosx+3cos2x．（1）求函数f（x）的单调增区间；（2）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若f（C）=3，且c=，a=2，求b的值．考点：二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；正弦定理．专题：三角函数的图像与性质；解三角形．分析：（1）利用两角和差的正弦公式、二倍角公式化简函数f（x）的解析式为sin（2x+）+2，由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈z，求得x的范围，即可求得f（x）的单调增区间．（2）在△ABC中，由f（C）=3 求得sin（2C+）=，由此求得C的值，再由正弦定理求得sinA=1，可得A的值，可得B=C=，可得b=c．解答：解析：（1）函数f（x）=sin2x+2sinxcosx+3cos2x=（1﹣cos2x）+sin2x+（1+cos2x）=sin（2x+）+2，由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈z，可得kπ﹣≤x≤kπ+，∴函数f（x）的单调增区间是[kπ﹣，kπ+]，k∈z．（2）在△ABC中，∵f（C）=sin（2C+）+2=3，∴sin（2C+）=，∴C=．由c=，a=2 以及正弦定理得：，解得sinA=1，A=，故B=C=，故b=c=．点评：本题主要考查两角和差的正弦公式、二倍角公式、正弦定理的应用，已知三角函数值求角的大小，复合三角函数的单调性，属于中档题．19．（12分）为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力，按视力情况分成8组，得到如图所示的频率分布直方图，但不慎将部分数据丢失，只知道前6组的频数从左到右依次是等比数列{a n}的前六项，后3组的频数从左到右依次是等差数列{b n}的前三项．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）设数列{c n}满足c n=，求数列{c n}的前n项和S n．考点：数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；频率分布直方图．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：（1）依题意可求得a1，a2，从而可求得等比数列{a n}的公比，继而可求得其通项公式，同理可求得b1及其公差d，继而可求得其通项公式；（2）由于c n=（3n﹣2）•，可列出S n的表示式，利用错位相减法求和即可．解答：解：（1）由题意知：a1=0.05×0.2×100=1，a2=0.1×0.2×100=2．因此，数列{a n}是一个首项为1，公比为2的等比数列，所以a n=2n﹣1．b1=a6=32，b1+b2+b3=100﹣（a1+a2+…+a5）=69，所以3b1+d=69，解得d=﹣9，因此，数列{b n}是一个首项为32，公差为﹣9的等差数列，所以b n=﹣9n+41．（2）c n===（3n﹣2）•，则S n=1×+4×+7×+…+（3n﹣2）×①S n=1×+4×+7×+…+（3n﹣5）×+（3n﹣2）×②故①﹣②得：S n=1+3×+3×+3×+…+3×﹣（3n﹣2）×∴S n=1+3×﹣（3n﹣2）×=4﹣，∴S n=8﹣．点评：本题考查数列求和，着重考查等差数列与等比数列的通项公式，错位相减法求和，考查观察、分析与运算能力，属于难题．20．（13分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，且AB=2，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E是BC的中点．（1）求证：AE⊥PD；（2）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成的最大角的正切值为．①求PA的长度；②当H为PD的中点时，求异面直线PB与EH所成角的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角；点、线、面间的距离计算．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）利用菱形的性质、线面垂直的判定定理即可证明；（2）①利用（1）的结论和线面角的定义即可得出；②利用三角形的中位线定理、平行四边形的性质、余弦定理、异面直线所成的角即可得出．解答：（1）证明：由四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，可得△ABC为正三角形．∵E为BC的中点，∴AE⊥BC．又BC∥AD，∴AE⊥AD．∵PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，∴PA⊥AE．而PA∩AD=A，∴AE⊥平面PAD．又PD⊂平面PAD，∴AE⊥PD．（2）解：①连接EH．由（1）知AE⊥平面PAD，∴∠EHA为EH与平面PAD所成的角．在Rt△EAH中，AE=，而，∴当AH最短时，∠EHA最大，即当AH⊥PD时，，因此AH=．又AD=2，∴∠ADH=45°，∴PA=AD=2．②取PA中点F，连BF，HF，则HF∥AD，且，而BC∥AD，BC=AD，∴BE=HF，BE∥HF．故四边形BEHF是平行四边形，则EH∥BF，所以异面直线PB与EH所成的角是∠PBF或其补角．由计算得：，BF=，PF=1，故cos∠PBF==，故异面直线PB与EH所成角的余弦值是．点评：熟练掌握线面垂直的判定定理、异面直线所成的角、线面角的定义、菱形的性质、三角形的中位线定理、平行四边形的性质、余弦定理是解题的关键．21．（14分）已知线段MN的两个端点M、N分别在x轴、y轴上滑动，且|MN|=4，点P在线段MN 上，满足=m（0＜m＜1），记点P的轨迹为曲线W．（1）求曲线W的方程，并讨论W的形状与m的值的关系；（2）当m=时，设A、B是曲线W与x轴、y轴的正半轴的交点，过原点的直线与曲线W交于C、D两点，其中C在第一象限，求四边形ACBD面积的最大值．考点：曲线与方程；椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）设M（a，0）、N（0，b）、P（x，y），根据=m的坐标关系列式，解出用x、y表示a、b的式子，结合a2+b2=16代入并化简整理即可得到曲线W的方程为．再根据m值与的大小关系进行讨论，即可得到各种情况下曲线W的形状；（2）由（1）得当m=时，曲线W表示椭圆：，可得A、B两点的坐标．设C（x1，y1），D（﹣x1，﹣y1），结合图形将四边形ACBD面积表示成四个三角形面积之和，代入数据得到S四边形ACBD=x1+3y1，最后根据椭圆方程并利用基本不等式，算出当且仅当x1=且y1=时，四边形ABCD面积有最大值3．解答：解：（1）设M（a，0），N（0，b），P（x，y），则a2+b2=|MN|2=16，而由=m有：（x﹣a，y）=m（﹣a，b），解得：，代入得：．当0时，曲线W的方程为，表示焦点在x轴上的椭圆；当时，曲线W的方程为x2+y2=4，W为以原点为圆心、半径为2的圆；当时，曲线W的方程为，表示焦点在y轴上的椭圆．（2）由（1）当m=时，曲线W的方程是，可得A（3，0），B（0，1）．设C（x1，y1），则x1＞0，y1＞0，由对称性可得D（﹣x1，﹣y1）．因此，S四边形ACBD=S△BOC+S△BOD+S△AOC+S△AOD=|BO|（x1+x1）+|AO|（y1+y1），即S四边形ACBD=x1+3y1，而，即，所以S四边形ACBD=x1+3y1≤2=3当且仅当时，即x1=且y1=时取等号，故当C的坐标为（，）时，四边形ABCD面积有最大值3点评：本题给出动点P，求点P的轨迹方程并讨论相应曲线的形状，探索了四边形面积的最大值．着重考查了轨迹方程的求法、椭圆的简单几何性质和基本不等式求最值等知识，属于中档题．22．（14分）已知函数f（x）=ax2+2lnx．（1）求f（x）的单调区间；（2）若f（x）在（0，1]上的最大值是﹣2，求a的值；（3）记g（x）=f（x）+（a﹣1）lnx+1，当a≤﹣2时，求证：对任意x1，x2∈（0，+∞），总有|g（x1）﹣g（x2）|≥4|x1﹣x2|考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值；不等式的证明．专题：导数的综合应用．分析：（1）求出函数的导函数，对a≥0和a＜0进行分类，当a≥0时，导函数恒大于0，当a＜0时，由导函数的零点对定义域分段，根据导函数在各区间段内的符号，判断出原函数的单调性；（2）根据（1）中求出的单调区间，判断出函数在（0，1]上的单调性，进一步求出函数在（0，1]上的最大值，由最大值等于﹣2求解a的值，符合条件保留，否则舍去；（3）把函数f（x）的解析式代入g（x）=f（x）+（a﹣1）lnx+1，求出函数g（x）的导函数后，由a≤﹣2可知其导函数小于0，得到函数g（x）为定义域上的减函数，不妨规定x1和x2的大小，把要证的不等式取绝对值移向变形，使问题转化成证明一个函数的单调性问题，最后利用函数的导函数证明函数单调性．解答：解析：（1）f（x）的定义域是（0，+∞）．．当a≥0时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）上是增函数；当a＜0时，令f′（x）=0，则2ax2+2=0，所以，，（舍去）．当时，f′（x）＞0，故f（x）在上是增函数；当时，f′（x）＜0，故f（x）在上是减函数．故当a≥0时，f（x）的增区间是（0，+∞）；当a＜0时，f（x）的增区间是，减区间是．（2）①当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上是增函数，故在（0，1]上的最大值为f（1）=a+2ln1=a=﹣2，显然不合题意；②若，即﹣1≤a＜0时，（0，1]⊆，则f（x）在（0，1]上是增函数，故在（0，1]上最大值为f（1）=a=﹣2，不合题意，舍去；③若，即a＜﹣1时，f（x）在上是增函数，在上为减函数，故在（0，1]上的最大值是，解得：a=﹣e，符合．综合①、②、③得：a=﹣e．（3）由g（x）=f（x）+（a﹣1）lnx+1，则g（x）=（a+1）lnx+ax2+1，则，当a≤﹣2时，g′（x）＜0，故当a≤﹣2时，g（x）在（0，+∞）上为减函数．不妨设x2≥x1＞0，则g（x2）≤g（x1），故|g（x1）﹣g（x2）|≥4|x1﹣x2|等价于g（x1）﹣g（x2）≥4（x2﹣x1），即g（x1）+4x1≥g（x2）+4x2．记h（x）=g（x）+4x，下面证明当x2≥x1＞0时，h（x1）≥h（x2）由h（x）=g（x）+4x=（a+1）lnx+ax2+4x+1得：=≤0，从而h（x）在（0，+∞）上为减函数，故当x2≥x1＞0时，h（x1）＞h（x2），即有：g（x1）+4x1≥g（x2）+4x2，故当a≤﹣2时，对任意x1，x2∈（0，+∞），总有|g（x1）﹣g（x2）|≥4|x1﹣x2|．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，利用函数的导函数分析函数在闭区间上的最值，考查了分类讨论的数学思想和数学转化思想，在（3）的证明过程中，构造函数是该题的难点．属难度较大的题目．。