构造函数法在解题中的应用导学案
构造函数在高中数学解题中的应用
构造函数在高中数学解题中的应用魏春华(福建省福州格致中学鼓山校区㊀３５００１４)摘㊀要:构造函数在高中数学解题中应用广泛ꎬ但其对学生分析问题的能力要求较高.教学中为使学生掌握构造函数的相关思路与技巧ꎬ并在解题中灵活应用ꎬ促进学生解题能力更好的提升ꎬ应注重结合相关例题ꎬ为学生展示构造函数的具体应用.关键词:构造函数ꎻ高中数学ꎻ解题ꎻ应用中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２２)１５－００１７－０３收稿日期:２０２２－０２－２５作者简介:魏春华(１９８１.３－)ꎬ女ꎬ福建省福州人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀函数是高中的重要内容ꎬ也是学生学习的一个难点ꎬ它贯穿于整个高中学习过程ꎬ数学中的构造函数是指基于对数学问题的合理抽象㊁深入理解ꎬ以及对初高中所学过的基本初等函数的认识ꎬ运用一个新的函数对原函数进行转化ꎬ以达到顺利求解问题的一种方法.构造函数是高中数学的重点与难点ꎬ对于学生的分析问题和解决问题的能力要求比较高ꎬ许多学生对题目理解困难ꎬ找不到破题之处ꎬ为使学生更好的掌握这一方法ꎬ既要做好相关理论知识的讲解ꎬ提高学生运用构造函数解题的意识ꎬ又要注重为学生展示其在解题中的具体应用过程ꎬ使学生更好的把握相关的应用细节与应用技巧ꎬ在这个过程中需要渗透构造的数学思维ꎬ并且需提升学生的运算能力.例１㊀(２０２０年全国数学高考一卷的２１题)已知函数的ｆ(ｘ)＝ａｅｘ－１－ｌｎｘ＋ｌｎａ(１)当ａ＝ｅ时ꎬ求曲线ｙ＝ｆ(ｘ)在点(１ꎬｆ(１))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积ꎻ(２)若ｆ(ｘ)ȡ１ꎬ求ａ的取值范围.此题的第二小题ꎬ很多学生在考试时候ꎬ由于题干十分的简单ꎬ不知该如何下手ꎬ直接求解不等式ꎬ似乎很难作答ꎬ然而如果尝试移项方式转化成恒成立问题ꎬ通过解决最值问题ꎬ就简化了求解的思路ꎬ进而可以快速的解出问题的答案.解析㊀方法一:若ｆ(ｘ)ȡ１ꎬ则ｆ(ｘ)－１ȡ０ꎬ即ａｅｘ－１－ｌｎｘ＋ｌｎａ－１ȡ０恒成立ꎬ令ｇ(ｘ)＝ａｅｘ－１－ｌｎｘ＋ｌｎａ－１ꎬ则ｇᶄ(ｘ)＝ａｅｘ－１－１ｘ(ａ>０ꎬｘ>０)ꎬｇᵡ(ｘ)＝ａｅｘ－１＋１ｘ２ꎻʑｇᵡ(ｘ)>０ꎬｇᶄ(ｘ)在(０ꎬ＋ɕ)上递增ꎬ当ｘң０时ꎬｇᶄ(ｘ)ң－ɕꎬ当ｘң＋ɕ时ꎬｇᶄ(ｘ)ң＋ɕꎬʑ存在唯一的ｘ０使得ｇᶄ(ｘ０)＝０ꎬ即在(０ꎬｘ０)上ｇᶄ(ｘ)<０ꎬ(ｘ０ꎬ＋ɕ)上ｇᶄ(ｘ)>０ʑｇ(ｘ)ｍｉｎ＝ｇ(ｘ０)＝ａｅｘ０－１－ｌｎｘ０＋ｌｎａ－１由ｇᶄ(ｘ０)＝ａｅｘ０－１－１ｘ０＝０ꎬ得ａｅｘ０－１＝１ｘ０ꎬ得ｌｎａ＋ｘ０－１＝－ｌｎｘ０ꎬ代入ｇ(ｘ０)得ｇ(ｘ０)＝１ｘ０＋ｘ０＋２ｌｎａ－２ȡ２＋２ｌｎａ－２＝２ｌｎａȡ０ꎬʑａȡ１方法二:ȵｆ(ｘ)＝ａｅｘ－１－ｌｎｘ＋ｌｎａꎬʑｆ(ｘ)＝ｅｌｎａｅｘ－１－ｌｎｘ＋ｌｎａ＝ｅｌｎａ＋ｘ－１－ｌｎｘ＋ｌｎａȡ１ʑｅｌｎａ＋ｘ－１＋ｌｎａ＋ｘ－１ȡｌｎｘ＋ｘ＝ｅｌｎｘ＋ｌｎｘꎬ令７１ｇ(ｘ)＝ｅｘ＋ｘꎬ即ｇ(ｌｎａ＋ｘ－１)ȡｇ(ｌｎｘ)显然ｇ(ｘ)单调递增ꎬ所以ｌｎａ＋ｘ－１ȡｌｎｘꎬ即ｌｎａȡｌｎｘ－ｘ＋１ꎬ令ｈ(ｘ)＝ｌｎｘ－ｘ＋１ꎬｈᶄ(ｘ)＝１ｘ－１＝０ꎬｘ＝１ꎬ得到ｘɪ(０ꎬ１)时ꎬｈᶄ(ｘ)>０ꎬｈ(ｘ)递增ꎻｘɪ(１ꎬ＋ɕ)时ꎬｈᶄ(ｘ)<０ꎬｈ(ｘ)递减ꎻʑｈ(ｘ)ｍａｘ＝ｈ(１)＝０ꎬｌｎａȡ０ꎬａȡ１.构造函数问题很具有挑战性ꎬ需要学生细心的观察能力和运算的能力ꎬ找到问题的突破口ꎬ构造出合理的函数从而解决问题.构造函数的问题应用十分的广泛ꎬ构造函数是对所学函数知识的综合应用ꎬ所有的基本初等函数都是构造问题的基础.构造满足条件的函数ꎬ要求对所有的基本初等函数的性质有深刻的理解ꎬ并能灵活的运用ꎬ常见的有以下几种情况:１利用构造函数分析极值点极值点问题是高中数学函数部分的常见问题.运用构造函数分析极值点问题时需要明确原函数与导函数之间的关系ꎬ通过求导进行合理的转化ꎬ众所周知ꎬ一些原函数通过求导往往可转化成二次函数ꎬ而二次函数的根与函数的极值点相对应ꎬ认识到这一点也就不难分析出原函数极值点个数㊁极值点分布以及相关参数的范围.例２㊀设函数ｆ(ｘ)＝ｘ２＋ｍｌｎ(１＋ｘ)有两个极值点ꎬ则实数ｍ的取值范围是(㊀㊀).Ａ.(－１ꎬ１２)㊀㊀㊀Ｂ.(０ꎬ１２)Ｃ.(０ꎬ１２]㊀Ｄ.(－１ꎬ１２]分析㊀解答该题可按照如下思路进行:两个极值点ң导函数在定义域内存在不同的两根ң构造函数ң结合函数性质进行解答.解析㊀ｆ(ｘ)的定义域为(－１ꎬ＋ɕ)ꎬ设两个极值点分别为ｘ１ꎬｘ２ꎬ且－１<ｘ１<ｘ２ꎬ则由ｆᶄ(ｘ)＝０ꎬ得２ｘ２＋２ｘ＋ｍ＝０ꎬ令ｇ(ｘ)＝２ｘ２＋２ｘ＋ｍꎬ要想满足题意ꎬ应满足ｇ(－１)>０ꎬｇ(－１２)<０ꎬ从而解得０<ｍ<１２ꎬ选择Ｂ项.２利用构造函数研究函数性质研究函数的性质有两种思路:思路一ꎬ将函数转化为基本函数ꎻ思路二ꎬ构造新的函数ꎬ运用导数进行研究.高中数学中ꎬ有些题目并未给出函数的具体表达式ꎬ对于这种抽象函数ꎬ需要学生运用所学ꎬ通过认真审题ꎬ借助构造函数巧妙的切入ꎬ在此基础上借助导函数的相关性质ꎬ分析原函数的单调性㊁极值情况.例３㊀已知定义在(－π２ꎬπ２)上的函数ｆ(ｘ)的导函数为ｆᶄ(ｘ)ꎬ若ｆᶄ(ｘ)＝ｔａｎｘ [ｆ(ｘ)＋ｘ]ꎬ且ｆ(０)＝０ꎬ则下列结论正确的是(㊀㊀).Ａ.ｆ(ｘ)是增函数㊀Ｂ.ｆ(ｘ)是减函数Ｃ.ｆ(ｘ)有极大值㊀Ｄ.ｆ(ｘ)有极小值分析㊀此题为抽象函数问题ꎬ题中没有明确的函数解析式ꎬ需要学生认真审题ꎬ对已知条件进行等价转换ꎬ运用求导的逆运算ꎬ确定原函数以及导函数的具体表达式ꎬ通过计算㊁比较其与零的大小关系ꎬ确定其是递增的还是递减的以及是否存在极值.解析㊀ȵｆᶄ(ｘ)＝ｔａｎｘ [ｆ(ｘ)＋ｘ]ꎬｘɪ(－π２ꎬπ２)ꎬʑｆᶄ(ｘ)ｃｏｓｘ－ｆ(ｘ)ｓｉｎｘ＝ｘｓｉｎｘꎬʑ[ｆ(ｘ)ｃｏｓｘ]ᶄ＝ｘｓｉｎｘ.令ｆ(ｘ)ｃｏｓｘ＝ｓｉｎｘ－ｘｃｏｓｘ＋Ｃꎬȵｆ(０)＝０ꎬʑＣ＝０ꎬʑｆ(ｘ)ｃｏｓｘ＝ｓｉｎｘ－ｘｃｏｓｘꎬｆ(ｘ)＝ｓｉｎｘ－ｘｃｏｓｘｃｏｓｘꎬʑｆᶄ(ｘ)＝ｔａｎｘ [ｆ(ｘ)＋ｘ]＝ｔａｎｘ[ｓｉｎｘ－ｘｃｏｓｘｃｏｓｘ＋ｘ]＝ｔａｎ２ｘȡ０ꎬʑ函数ｆ(ｘ)在(－π２ꎬπ２)上单调递增ꎬ选择Ａ项.３利用构造函数求解或证明参数范围求解参数范围是高中数学的热门题型.不同习题的解题思路不尽相同ꎬ需要学生深入的理解给出的已知条件ꎬ通过构造新的函数化陌生为熟悉.其中８１对于题干中形式相同的已知条件ꎬ往往需要采用 同构 的思路进行分析.通过对已知条件进行变形ꎬ构建新的函数ꎬ通过对新函数性质的研究ꎬ得出要求解的参数范围.例４㊀已知函数ｆ(ｘ)＝ｘ(１－ｌｎｘ)ꎬ设ａꎬｂ为两个不相等的正数ꎬｂｌｎａ－ａｌｎｂ＝ａ－ｂꎬ证明:２<１ａ＋１ｂ<ｅ.分析㊀本题的难点是要找到１ａꎬ１ｂ与ｆ(ｘ)之间的关系ꎬ通过对已知条件的变形整理ꎬ观察ꎬ从而设１ａ＝ｘ１ꎬ１ｂ＝ｘ２ꎬ原不等式转化为２<ｘ１＋ｘ２<ｅꎬ前者的证明可以构建新函数ꎬ利用极值点偏移得证.证明:通过对条件ｂｌｎａ－ａｌｎｂ＝ａ－ｂ的变形ꎬ得到ｂ(ｌｎａ＋１)＝ａ(ｌｎｂ＋１)ꎬ即ｌｎａ＋１ａ＝ｌｎｂ＋１ｂꎬ即１ａ(１－ｌｎ１ａ)＝１ｂ(１－ｌｎ１ｂ)ꎬ故ｆ(１ａ)＝ｆ(１ｂ)ꎬ所以可以设１ａ＝ｘ１ꎬ１ｂ＝ｘ２ꎬ不妨设０<ｘ１<１ꎬｘ２>１原不等式转化为２<ｘ１＋ｘ２<ｅꎬ证明ｘ１＋ｘ２>２时ꎬ若ｘ２>２ꎬ不等式恒成立ꎻ若１<ｘ２<２ꎬ要证ｘ１＋ｘ２>２ꎬ即证ｘ１>２－ｘ２ꎬ而０<２－ｘ２<１ꎬ根据ｆ(ｘ)在(０ꎬ１)上递增ꎬ即证ｆ(ｘ１)>ｆ(２－ｘ２)ꎬ即证ｆ(ｘ２)－ｆ(２－ｘ２)>０在１<ｘ２<２上恒成立ꎬ令ｇ(ｘ)＝ｆ(ｘ)－ｆ(２－ｘ)ꎬｇᶄ(ｘ)＝ｆᶄ(ｘ)－ｆᶄ(２－ｘ)＝－ｌｎｘ－ｌｎ(２－ｘ)＝－ｌｎ[ｘ(２－ｘ)]ꎬ因为１<ｘ<２ꎬ故０<ｘ(２－ｘ)<１ꎬ故－ｌｎ[ｘ(２－ｘ)]>０ꎬ所以ｇᶄ(ｘ)>０ꎬ故ｇ(ｘ)在(１ꎬ２)上为增函数ꎬ所以ｇ(ｘ)>ｇ(１)＝０ꎬ故ｆ(ｘ２)－ｆ(２－ｘ２)>０ꎬ所以ｘ１＋ｘ２>２得以证明.４利用构造函数计算变量的值计算变量的值在高中数学中较为常见.解答该类型题常常需要借助函数的单调性ꎬ因此ꎬ灵活运用多种手段正确的判断函数在定义域内的单调性是解题的关键.其中对于较为复杂的数学习题需要构建新的函数ꎬ以降低解决问题的难度.例５㊀已知实数ｘꎬｙ满足ｌｎ(４ｘ＋３ｙ－６)－ｅｘ＋ｙ－２ȡ３ｘ＋２ｙ－６ꎬ则ｘ＋ｙ的值为(㊀㊀).Ａ.０㊀㊀㊀Ｂ.１㊀㊀㊀Ｃ.２㊀㊀㊀Ｄ.３分析㊀该题干虽然较为简单ꎬ但却是指数与对数的综合ꎬ难度较大ꎬ如思路不正确难以得出正确答案.解答该题需要对已知的条件进行变形ꎬ由不同到相同ꎬ从无形到形似ꎬ构建出两个新的函数ꎬ通过对两个新函数单调性的分析ꎬ找到两个函数特殊的点ꎬ问题便迎刃而解.解析㊀ȵｌｎ(４ｘ＋３ｙ－６)－ｅｘ＋ｙ－２ȡ３ｘ＋２ｙ－６ꎬʑｌｎ(４ｘ＋３ｙ－６)ȡｅｘ＋ｙ－２＋３ｘ＋２ｙ－６ʑｌｎ(４ｘ＋３ｙ－６)－(４ｘ＋３ｙ－６)ȡｅｘ＋ｙ－２－(ｘ＋ｙ－２)－２令ｆ(ｘ)＝ｌｎｘ－ｘꎬｘ>０ꎬｇ(ｘ)＝ｅｘ－ｘ－２.ｆᶄ(ｘ)＝１－ｘｘꎬ当０<ｘ<１时ꎬｆᶄ(ｘ)>０ꎬ函数ｆ(ｘ)递增ꎻ当ｘ>１时ꎬｆᶄ(ｘ)<０ꎬ函数ｆ(ｘ)递减ꎬ则ｆ(ｘ)ｍａｘ＝ｆ(１)＝－１ꎻｇᶄ(ｘ)＝ｅｘ－１ꎬ当ｘ<０时ｇᶄ(ｘ)<０ꎬｇ(ｘ)单调递减ꎻ当ｘ>０时ꎬｇᶄ(ｘ)>０ꎬｇ(ｘ)单调递增ꎬｇ(ｘ)ｍｉｎ＝ｇ(０)＝－１ꎬ又ȵｆ(ｘ)ȡｇ(ｘ)ꎬʑｆ(ｘ)＝ｇ(ｘ)＝－１ꎬ此时４ｘ＋３ｙ－６＝１ꎬｘ＋ｙ－２＝０ꎬ解得ｘ＝１ꎬｙ＝１ꎬ则ｘ＋ｙ＝２ꎬ选择Ｃ项.高中数学构造函数思路灵活多变ꎬ难度较大ꎬ在构建函数过程中ꎬ需要对问题仔细的分析ꎬ对函数的表达式认真的观察ꎬ明确解题的思路和方向ꎬ从而有效的解决数学问题.构造函数法是高中数学解题中的一种重要方式ꎬ教师教学中既要注重不同构造思路的讲解ꎬ也要在平时的教学过程中让学生亲身体会构造函数的具体应用过程.同时ꎬ鼓励学生做好解题的总结与反思ꎬ使其在训练中吸取经验教训ꎬ不断的提高构造函数的应用水平ꎬ使学生在提高解题能力的同时ꎬ发展其数学核心素养ꎬ从而实现综合能力的提升.参考文献:[１]王晶珍.构造法在高中数学解题中的应用研究[Ｊ].中学数学ꎬ２０２１(０５):４７－４８.[２]章君.解析构造函数在高中数学解题中的应用[Ｊ].中学课程辅导(教师通讯)ꎬ２０２０(２４):７６－７７.[责任编辑:李㊀璟]９１。
202新数学复习第二章函数导数及其应用2.2.2利用导数证明不等式学案含解析
第2课时利用导数证明不等式构造函数证明不等式：构造法证明不等式是指在证明与函数有关的不等式时，根据所要证明的不等式,构造与之相关的函数，利用函数单调性、极值、最值加以证明．常见的构造方法有:(1）直接构造法:证明不等式f(x）〉g(x)（f（x)<g(x))转化为证明f(x)－g（x）>0（f（x）－g(x）〈0），进而构造辅助函数h（x）＝f(x）－g(x)；(2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩,二是利用常见的放缩结论，如ln x≤x－1，e x≥x＋1，ln x〈x<e x（x〉0),错误!≤ln（x＋1)≤x（x>－1）；(3)特征分析构造法：稍作变形再构造，对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数，把不等式转化为左、右两边是相同结构的式子的形式，根据“相同结构"构造辅助函数；(4）构造双函数:若直接构造函数求导难以判断符号，导函数零点也不易求得，因此函数单调性与极值点都不易获得，则可构造函数f（x)和g(x)，利用其最值求解．方法1直接构造差函数法【例1】已知函数f(x)＝1－错误!,g(x)＝错误!＋错误!－bx(e为自然对数的底数），若曲线y＝f(x)与曲线y＝g（x）的一个公共点是A（1,1）,且在点A处的切线互相垂直．(1）求a，b的值；(2)求证：当x≥1时,f（x）＋g(x)≥错误!.【解】（1）因为f（x)＝1－ln x x，所以f′（x)＝错误!，f′（1)＝－1。
因为g(x)＝错误!＋错误!－bx，所以g′(x）＝－错误!－错误!－b。
因为曲线y＝f(x）与曲线y＝g(x）的一个公共点是A(1，1)，且在点A处的切线互相垂直，所以g（1）＝1，且f′（1)·g′(1)＝－1，即g(1）＝1＋a－b＝1，g′（1）＝－a－1－b＝1，解得a＝－1，b＝－1。
（2)证明：由(1)知,g（x）＝－错误!＋错误!＋x,则f(x)＋g（x)≥2x⇔1－错误!－错误!－错误!＋x≥0.令h(x)＝1－错误!－错误!－错误!＋x(x≥1),则h′(x)＝－错误!＋错误!＋错误!＋1＝错误!＋错误!＋1.因为x≥1，所以h′(x)＝ln xx2＋错误!＋1>0，所以h(x）在[1，＋∞)上单调递增，所以h（x)≥h（1)＝0,即1－错误!－错误!－错误!＋x≥0,所以当x≥1时,f(x)＋g(x）≥错误!。
导数大题10种主要题型导学案含详解
导数大题10种主要题型（一）预习案题型一：构造函数1.1 “比较法”构造函数例1．已知函数f（x）＝e x﹣ax（e为自然对数的底数，a为常数）的图象在点（0，1）处的切线斜率为﹣1.（1）求a的值及函数f（x）的极值；（2）求证：当x＞0时，x2＜e x．1.2 “拆分法”构造函数例2．设函数f（x）＝ae x lnx+，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线为y＝e（x﹣1）+2．（Ⅰ）求a，b；（Ⅱ）证明：f（x）＞1．1.3 “换元法”构造函数例3．已知函数f（x）＝ax2+xlnx（a∈R）的图象在点（1，f（1））处的切线与直线x+3y＝0垂直．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）求证：当n＞m＞0时，lnn﹣lnm＞﹣；（Ⅲ）若存在k∈Z，使得f（x）＞k恒成立，求实数k的最大值．1.4 “二次（甚至多次）”构造函数例4．已知函数f（x）＝e x+m﹣x3，g（x）＝ln（x+1）+2．（1）若曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为1，求实数m的值；（2）当m≥1时，证明：f（x）＞g（x）﹣x3．题型二：隐零点问题例1．已知函数f（x）＝e x﹣ln（x+m）．（Ⅰ）设x＝0是f（x）的极值点，求m，并讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）当m≤2时，证明f（x）＞0．例2．（Ⅰ）讨论函数f（x）＝e x的单调性，并证明当x＞0时，（x﹣2）e x+x+2＞0；（Ⅱ）证明：当a∈[0，1）时，函数g（x）＝（x＞0）有最小值．设g（x）的最小值为h（a），求函数h（a）的值域．导数大题10种主要题型（一）预习案答案例1． 解：（1）f ′（x ）＝e x ﹣a ，∵f ′（0）＝﹣1＝1﹣a ，∴a ＝2．∴f （x ）＝e x ﹣2x ，f ′（x ）＝e x ﹣2．令f ′（x ）＝0，解得x ＝ln 2．当x ＜ln 2时，f ′（x ）＜0，函数f （x ）单调递减；当x ＞ln 2时，f ′（x ）＞0，函数f （x ）单调递增．∴当x ＝ln 2时，函数f （x ）取得极小值，为f （ln 2）＝2﹣2ln 2，无极大值．（2）证明：方法一（作差法）令g （x ）＝e x ﹣x 2，则g ′（x ）＝e x ﹣2x ，由（1）可得：g ′（x ）＝f （x ）≥f （ln 2）＞0，∴g （x ）在R 上单调递增，因此：x ＞0时，g （x ）＞g （0）＝1＞0，∴x 2＜e x ．方法二（作商法）：即可只需证1)(,2)(<=x h e x x h x例2． 解：（Ⅰ） 函数f （x ）的定义域为（0，+∞），， 由题意可得f （1）＝2，f '（1）＝e ，故a ＝1，b ＝2.（Ⅱ）证明：方法一（凹凸反转法）由（Ⅰ）知，，从而f （x ）＞1等价于，设函数g （x ）＝xlnx ，则g '（x ）＝1+lnx ，所以当时，g '（x ）＜0， 当时，g '（x ）＞0，故g （x ）在单调递减，在单调递增，从而g （x ）在（0，+∞）的最小值为．设函数，则h '（x ）＝e ﹣x （1﹣x ），所以当x ∈（0，1）时，h '（x ）＞0，当x ∈（1，+∞）时，h '（x ）＜0，故h （x ）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减，从而h （x ）在（0，+∞）的最大值为．综上：当x ＞0时，g （x ）＞h （x ），即f （x ）＞1．方法二（放缩法）例3． 解：（Ⅰ）∵f （x ）＝ax 2+xlnx ，∴f ′（x ）＝2ax +lnx +1，∵切线与直线x +3y ＝0垂直，∴切线的斜率为3，∴f ′（1）＝3，即2a +1＝3，故a ＝1； （Ⅱ）由（Ⅰ）知f （x ）＝x 2+xlnx ，x ∈（0，+∞），f ′（x ）＝2x +lnx +1，x ∈（0，+∞）， ∵f ′（x ）在（0，+∞）上单调递增，∴当x ＞1时，有f ′（x ）＞f ′（1）＝3＞0，∴函数f （x ）在区间（1，+∞）上单调递增，∵n ＞m ＞0，∴，∴f （）＞f （1）＝1即，∴lnn ﹣lnm ＞； （Ⅲ）由（Ⅰ）知f （x ）＝x 2+xlnx ，x ∈（0，+∞），f ′（x ）＝2x +lnx +1，x ∈（0，+∞）， 令g （x ）＝2x +lnx +1，x ∈（0，+∞），则，x ∈（0，+∞），由g ′（x ）＞0对x ∈（0，+∞），恒成立，故g （x ）在（0，+∞）上单调递增， 又∵011121)1(222<-=+-=e e e g ，而＞0， ∴存在x 0∈，使g （x 0）＝0 ∵g （x ）在（0，+∞）上单调递增，∴当x ∈（0，x 0）时，g （x ）＝f ′（x ）＜0，f （x ）在（0，x 0）上单调递减；当x ∈（x 0，+∞）时，g （x ）＝f ′（x ）＞0，f （x ）在（x 0，+∞）上单调递增；∴f （x ）在x ＝x 0处取得最小值f （x 0）∵f （x ）＞k 恒成立，所以k ＜f （x 0）由g （x 0）＝0得，2x 0+lnx 0+1＝0，所以lnx 0＝﹣1﹣2x 0，∴f （x 0）＝＝＝﹣＝﹣，又，∴f （x 0）∈， ∵k ∈Z ，∴k 的最大值为﹣1．例4． 解：（1）函数f （x ）＝e x +m ﹣x 3的导数为f ′（x ）＝e x +m ﹣3x 2，在点（0，f （0））处的切线斜率为k ＝e m ＝1，解得m ＝0；（2）证明：f （x ）＞g （x ）﹣x 3即为e x +m ＞ln （x +1）+2．由y ＝e x ﹣x ﹣1的导数为y ′＝e x ﹣1，当x ＞0时，y ′＞0，函数递增；当x ＜0时，y ′＜0，函数递减．即有x ＝0处取得极小值，也为最小值0．即有e x ≥x +1，则e x +m ≥x +m +1，由h（x）＝x+m+1﹣ln（x+1）﹣2＝x+m﹣ln（x+1）﹣1，h′（x）＝1﹣，当x＞0时，h′（x）＞0，h（x）递增；﹣1＜x＜0时，h′（x）＜0，h（x）递减．即有x＝0处取得最小值，且为m﹣1，当m≥1时，即有h（x）≥m﹣1≥0，即x+m+1≥ln（x+1）+2，则有f（x）＞g（x）﹣x3成立．例5．（Ⅰ）解：∵，x＝0是f（x）的极值点，∴，解得m＝1．所以函数f（x）＝e x﹣ln（x+1），其定义域为（﹣1，+∞）．∵．设g（x）＝e x（x+1）﹣1，则g′（x）＝e x（x+1）+e x＞0，所以g（x）在（﹣1，+∞）上为增函数，又∵g（0）＝0，所以当x＞0时，g（x）＞0，即f′（x）＞0；当﹣1＜x＜0时，g（x）＜0，f′（x）＜0．所以f（x）在（﹣1，0）上为减函数；在（0，+∞）上为增函数；（Ⅱ）证明：当m≤2，x∈（﹣m，+∞）时，ln（x+m）≤ln（x+2），故只需证明当m＝2时f（x）＞0．当m＝2时，函数在（﹣2，+∞）上为增函数，且f′（﹣1）＜0，f′（0）＞0．故f′（x）＝0在（﹣2，+∞）上有唯一实数根x0，且x0∈（﹣1，0）．当x∈（﹣2，x0）时，f′（x）＜0，当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0，从而当x＝x0时，f（x）取得最小值．由f′（x0）＝0，得，ln（x0+2）＝﹣x0．故f（x）≥＝＞0．综上，当m≤2时，f（x）＞0．例6．解：（1）证明：f（x）＝f'（x）＝e x（）＝∵当x∈（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，+∞）时，f'（x）≥0∴f（x）在（﹣∞，﹣2）和（﹣2，+∞）上单调递增∴x＞0时，＞f（0）＝﹣1即（x﹣2）e x+x+2＞0（2）g'（x）＝＝＝＝，a∈[0，1），由（1）知，f（x）+a单调递增，对任意的a∈[0，1），f（0）+a＝a﹣1＜0，f（2）+a＝a≥0，因此存在唯一的t∈（0，2]，使得f（t）+a＝0，当x∈（0，t）时，g'（x）＜0，g（x）单调减；当x∈（t，+∞），g'（x）＞0，g（x）单调增；h（t）＝＝＝记k（t）＝，在t∈（0，2]时，k'（t）＝＞0，故k（t）单调递增，所以h（a）＝k（t）∈（，]．导数大题10种主要题型（二）预习案题型三：恒成立、存在性问题3.1 单变量恒成立、存在性问题例1．已知函数f （x ）＝xlnx ，g （x ）＝﹣x 2+ax ﹣3．（1）求函数f （x ）在[t ，t +2]（t ＞0）上的最小值；（2）若存在x 0∈[，e ]（e 是自然对数的底数，e ＝2.71828…），使不等式2f （x 0）≥g （x 0）成立，求实数a 的取值范围．3.2 双变量恒成立、存在性问题极值点偏移问题：由于函数左右增减速率不同导致函数图像失去对称性。
高中数学新教材必修第一册《3.1.2函数的表示法》导学案
高中数学新教材必修第一册《3.1.2函数的表示法》导学案
学习目标
1. 了解函数的表示方法；
2. 掌握函数解析式的多种求法.
预习导学
1. 函数的三种表示方法： 、 、
2. 函数的三种表示法对比：
课堂讲义
一、重难点：函数解析式的多种求法
方法1：待定系数法求函数解析式
.)(14))(()(.1的解析式，求满足如果一次函数例x f x x f f x f -=
变式训练：
1.()(1)()29,()f x f x f x x f x +-=+已知是一次函数，且满足3求的解析式
2.()(0)0,
(1)()2,()f x f f x f x x f x =+-=已知是二次函数，且满足求的解析式
方法2：换元法（或配凑法）求函数解析式
例2.
方法3：构造方程组法求函数解析式
例3. ()()+2(-)=1,()f x f x f x x f x +若满足关系式求的解析式
变式训练：1()3()+2()4,()f x f x f x f x x
=设满足求的解析式
二、规律总结：
求函数解析式的常用方法：
1. 待定系数法：
2. 换元法：
3. 配凑法：
4. 构造方程组法：
三、课堂小结：
这节课主要学习了哪些内容？
四、作业：
变式训练：已知f (x+1)=x 2-3x+2,求f (x )的解析式; 已知f (x －1)=x 2-4x+2,求f (x )的解析式;。
专题25 构造函数法解决导数问题(解析版)-2022年高考数学一轮考点+重点+难点专项复习
专题25 构造函数法解决导数问题【知识总结】若直接求导比较复杂或无从下手时，可将待证式进行变形，构造两个都便于求导的函数，从而找到可以传递的中间量，达到证明的目标。
若直接构造函数，则很难借助导数研究其单调性。
【例题讲解】【例1】已知函数f (x )＝ax 2－x ln x 。
(1)若函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，求实数a 的取值范围； (2)若a ＝e ，证明：当x >0时，f (x )<x e x ＋1e。
【思路点拨】 第(1)小题转化为当x >0时，不等式f ′(x )≥0恒成立，进而应用分离变量法求解；第(2)小题将待证不等式等价变形为e x －e x <ln x ＋1e x，构造函数，进而分别研究构造函数的单调性解决问题。
【解】 (1)由题意知，f ′(x )＝2ax －ln x －1。
因为函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以当x >0时，f ′(x )≥0，即2a ≥ln x ＋1x 恒成立。
令g (x )＝ln x ＋1x (x >0)，则g ′(x )＝－ln xx2，易知g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，则g (x )max ＝g (1)＝1， 所以2a ≥1，即a ≥12。
故实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫12，＋∞。
(2)若a ＝e ，要证f (x )<x e x ＋1e ，只需证e x －ln x <e x ＋1e x ，即e x －e x <ln x ＋1e x 。
令h (x )＝ln x ＋1e x (x >0)，则h ′(x )＝e x －1e x2，易知h (x )在⎝⎛⎭⎫0，1e 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞上单调递增，则h (x )min ＝h ⎝⎛⎭⎫1e ＝0， 所以ln x ＋1e x≥0。
再令φ(x )＝e x －e x ，则φ′(x )＝e －e x ，易知φ(x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，则φ(x )max ＝φ(1)＝0，所以e x －e x ≤0。
高考数学复习考点知识专题讲解课件第67讲 构造法在解决函数、导数问题中的应用
增.由asin a-bsin b=b2-a2-1可得asin a+a2=bsin b+b2-1,即f(a)=f(b)-1,∴f(a)<f(b),
∵f(x)是偶函数,∴f(|a|)<f(|b|),∴|a|<|b|.故选D.
增分微课(一)
❸ 已知函数f(x)的定义域为R,且f(-1)=2.若对任意x∈R,f'(x)>2,则f(x)>2x+4的
2x
2x
=mx+e 成立,构造函数f(x)=mx+e ,x>0,由x≠y,f(x)=f(y),可得函数f(x)在(0,+∞)
上不单调, 易知f'(x)=m+2e2x,可得当x>0时,f'(x)=m+2e2x=0有解,即当x>0时,m=
2x
2x
-2e 有解.因为当x>0时,-2e <-2,所以m<-2,即实数m的取值范围是(-∞,-2).
A.a>2b
B.a<2b
2
C.a>b
2
D.a<b
[思路点拨]将已知等式2a+log2a=4b+2log4b按照“左右形式相当,一边一个变量”
的目的变形,然后逆用函数的单调性求解即可;
[解析]由题知2a+log2a=4b+log2b=22b+log2(2b)-1<22b+log2(2b),又函数
x
y=2 +log
C.(-∞,-1010]
D.(-∞,-1010]∪[1010,+∞)
[解析]设g(x)=f(x)-x,则g'(x)=f'(x)-1,当x∈[0,+∞)时,f'(x)<1,所以g'(x)<0,即函数g(x)
构造函数法在解答高中数学题中的应用
构造函数法在解答高中数学题中的应用作者：任春雷来源：《考试与评价》2021年第03期【摘要】本文简要地就在实际高中数学实际课程解题学习过程中常见的构造函数各种解题算法方式特点进行深入探讨，以期为各种实现构造函数的算法在实际高中数学学习解题过程中的广泛应用提高水平以并提升应用提供合理参考。
【关键词】构造函数法高中数学题应用函数如何构造的方法问题是目前高中数学中普遍应用广泛的一种转化解决思想，其宗旨主将复杂抽象的函数问题形式转化成更为我们熟悉的复杂问题解决形式，从而可以实现更加的复杂问题转化解决。
一、构造函数法之高次函数构造例如在直接进行长度范围内的求解分析问题范围解决时，可以将采用高次微分函数形式构造的这种方法应用来直接进行分析问题范围解决。
问题：当其中存在sin3θ-cos3θ>cosθ-sinθ，而其中θ∈（0，π），则表示该个问题在其中的数值角度以θ的长度取的数值长度范围固定为（）。
解：由于设为sinθ-cosθ>cosθ-sinθ，可直接得出由于sin3θ>cos3θ+cosθ-sinθ。
假设图中存在函数f（x）=x3+x5，而存在f（x）=x3+x5在（-∞，+∞）上的范围内函数属于一个增和加函数，则我们可由此得出不同的等式称为f（sinθ）>f（cosθ），由上等式可知f（sinθ>cosθ，又因为θ∈（0，π），所以称为π4，试题要求：cn>an+bn。
在网上进行该类问题等式解决时首先需要进行已知数的条件函数分析，由于该题等式可知函数a+b=c，可得出构造一个指数的增函数使用f（x）来作为（，+∞）上的一个减和加函数。
然后就对这种情况时的一个函数条件f（n）可以进行直接分析，故只有an+bn<f（n）），从而直接代入原来的条件就这样可以直接得知这个不等式，故cn>an+bn也都成立。
二、函数构造法之一次函数构造在需要进行以下几种问题快速解决时，采用一次解题函数式的构造运算法则可有效率地实现一次解题过程效率的大幅提升。
构造函数法在解答高中数学题中的应用
构造函数法在解答高中数学题中的应用摘要：在高中阶段的数学学习中，具有非常多样的数学思想方法，每种数学思想方法都有与其对应的题型，在解题的过程中对这些思想方法进行合理的利用可以极大的节省时间。
每种数学思想方法都具有灵活性和创造性，构造函数法就是其中非常重要的一个方法之一。
巧妙的利用构造函数法可以打破常规，找到解决问题的捷径。
本文将阐述构造函数法在高中解答数学题过程中的应用。
关键词：构造函数法高中数学题应用函数的思想是高中数学学习中非常重要的思想之一，函数的思想在构造函数法之中就有应用，构造函数法就是将原本的数学问题转化为相应的函数问题的过程。
在一些非常复杂的问题来说，利用传统的解题方法可能根本没有任何思路，但是如果可以利用函数的思想来对问题进行转化，就可以将原本复杂的问题简单化，快速找到解题的思路，是高中解数学题过程中非常常见的一种方法。
可以用来证明不等式、解方程、解不等式等。
1.利用构造函数法证明不等式不等式的证明是很多学生非常不擅长的点，很多学生在解决类似不等式问题的过程中就非常头疼。
证明不等式的方法不仅仅可以利用分析法、比较法、反证法等方法，也可以利用构造函数法来证明不等式。
例：已知函数f(x)=ln(x+1)-x，求证：当x -1时。
恒有1-分析：本题为双边不等式，其右边直接从已知函数证明，左边构造函数，从其导数入手即可证明。
解：。
当-1时。
X的导数大于零。
即f(x)在x 上为增函数，当x时，x的导数小于零，所以f（x）在x（0，+）上为减函数。
所以函数f(x)的单调递增区间为（-1，0），单调递增区间为（0，），为f（0）=0。
因此，当x的于是函数在（-1，+）上的最大值为f（x）max时候，。
即，所以， .令，则 ,当x时。
,当x的时候，，即g（x）在x的时候为减函数，在x的时候为增函数，所以函数在上的最小值为g(0)=0所以，当x的时候，g(x)，即综上所述，当x的时候，有1.利用构造函数法解不等式解不等式是高中数学学习中非常常见的一种题型，很多的不等式看起来非常复杂，但是实际上解决起来并没有想象中那么困难，如果可以利用构造函数法的思想，对不等式进行理解，可能会发现一些更加简便的解决方法，在考试中可以节省更多的时间。
导学案函数的应用教案
教案：导学案函数的应用教案第一章：函数的定义与性质一、教学目标1. 理解函数的定义，掌握函数的基本性质。
2. 学会如何运用函数的性质解决问题。
二、教学内容1. 函数的定义：函数的概念、函数的表示方法。
2. 函数的性质：单调性、奇偶性、周期性。
三、教学步骤1. 引入函数的概念，通过实例让学生理解函数的定义。
2. 介绍函数的表示方法，如解析式、图像等。
3. 讲解函数的单调性、奇偶性、周期性等基本性质。
4. 练习题：运用函数的性质解决问题。
四、作业布置1. 复习函数的定义与性质。
2. 完成练习题。
第二章：一次函数与二次函数一、教学目标1. 掌握一次函数和二次函数的定义及其图像特点。
2. 学会如何运用一次函数和二次函数解决实际问题。
二、教学内容1. 一次函数：定义、图像特点。
2. 二次函数：定义、图像特点、顶点公式。
三、教学步骤1. 引入一次函数的概念，通过实例让学生理解一次函数的定义。
2. 讲解一次函数的图像特点，如直线、斜率等。
3. 引入二次函数的概念，通过实例让学生理解二次函数的定义。
4. 讲解二次函数的图像特点，如抛物线、开口方向等。
5. 介绍二次函数的顶点公式及其应用。
6. 练习题：运用一次函数和二次函数解决问题。
四、作业布置1. 复习一次函数和二次函数的定义及其图像特点。
2. 完成练习题。
第三章：函数的图像与解析式一、教学目标1. 学会如何根据函数的图像确定函数的解析式。
2. 掌握如何运用函数的解析式解决问题。
二、教学内容1. 函数的图像与解析式的关系。
2. 运用解析式解决问题。
三、教学步骤1. 讲解函数的图像与解析式的关系，如直线、抛物线等。
2. 学会如何根据函数的图像确定函数的解析式。
3. 运用函数的解析式解决问题，如实际应用题等。
4. 练习题：运用函数的解析式解决问题。
四、作业布置1. 复习函数的图像与解析式的关系。
2. 完成练习题。
第四章：函数的极限与连续性一、教学目标1. 理解函数极限的概念，掌握极限的计算方法。
高中数学构造问题教案模板
高中数学构造问题教案模板
教学目标：
1. 理解构造问题的基本概念和解题思路。
2. 掌握构造问题的解题方法和技巧。
3. 能够独立解决各类构造问题。
教学内容：
一、构造问题的概念及特点
二、常见构造问题的解题方法
三、综合运用构造问题解题技巧
教学步骤：
一、引入
1. 通过引入一个实际生活中的构造问题，引导学生了解构造问题的概念和特点。
2. 提出构造问题在数学中的重要性及应用价值。
二、讲解
1. 讲解构造问题的定义和分类。
2. 介绍常见构造问题的解题方法，如平面几何中的作图法、空间几何中的几何体相交法等。
三、练习
1. 给学生提供一些练习题目，让他们尝试用所学的方法解决构造问题。
2. 引导学生分析并讨论各种构造问题的解题过程和思路。
四、拓展
1. 鼓励学生自主探索更多的构造问题，并尝试用不同的方法解决。
2. 引导学生应用所学的构造问题解题技巧，解决一些复杂的实际问题。
五、总结
1. 总结构造问题的解题方法和技巧。
2. 引导学生思考如何将所学的知识应用到实际生活中。
教学评估：
1. 教师通过课堂练习、小组讨论和个人表现等方式评估学生对构造问题的理解和掌握程度。
2. 学生通过完成作业和参与课堂讨论等途径检验自己的学习效果。
教学反思：
1. 教师反思教学内容设置和教学方法的有效性，及时调整教学策略。
2. 学生反思学习过程中的不足之处，并积极改进学习方法和态度。
高中数学解题中构造函数的有效应用
高中数学解题中构造函数的有效应用王㊀勇(福建师范大学第二附属中学ꎬ福建福州３５００１５)摘㊀要:在高中数学解题训练中ꎬ教师应帮助学生掌握多种多样的解题方法ꎬ构造函数即为其中之一ꎬ能帮助学生优化解题步骤ꎬ提升解题的正确率.文章针对高中数学解题中如何有效应用构造函数法作探讨ꎬ并罗列部分解题实例.关键词:高中数学解题ꎻ构造函数ꎻ不等式中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)３１－００５０－０３收稿日期:２０２３－０８－０５作者简介:王勇(１９８１.２－)ꎬ男ꎬ福建省永泰人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀构造函数属于构造法的一种ꎬ从本质上来说是对转化思想的运用ꎬ把复杂化㊁抽象化㊁陌生化的数学问题转变成简单化㊁具体化㊁熟悉化的函数问题ꎬ让学生结合函数方面的相关知识进行解题.１有效构造函数ꎬ解答不等式类试题例１㊀请证明不等式｜ａ＋ｂ｜１＋｜ａ＋ｂ｜ɤａ１＋｜ａ｜＋ｂ１＋｜ｂ｜成立.分析㊀通过对题目中的不等式形式与结构认真观察ꎬ发现这三个分式部分的结构比较类似ꎬ据此可以有效应用构造函数的方法ꎬ构造出函数ｆ(ｘ)＝ｘ１＋ｘ.以此为前提ꎬ结合函数的单调性对题设中的不等式进行证明ꎬ最终根据题目的具体类型ꎬ灵活引入构造函数法ꎬ让他们找到明确的解题思路ꎬ借助函数的性质完成对不等式证明类试题的解答[１].解析㊀结合题意可以构造出函数ｆ(ｘ)＝ｘ１＋ｘꎬ通过推理能够得到函数ｆ(ｘ)在区间(－ɕꎬ－１)与(－１ꎬ＋ɕ)上分别呈现出单调递增的性质ꎬ而且根据不等式的性质可知｜ａ＋ｂ｜ɤ｜ａ｜＋｜ｂ｜ꎬ由此能够得到｜ａ＋ｂ｜１＋｜ａ＋ｂ｜ɤ｜ａ｜＋｜ｂ｜１＋｜ａ｜＋｜ｂ｜＝ａ１＋｜ａ｜＋｜ｂ｜＋ｂ１＋｜ａ｜＋｜ｂ｜ɤａ１＋｜ａ｜＋ｂ１＋｜ｂ｜ꎬ从而证明原不等式的成立.２有效构造函数ꎬ解答方程方面试题例２㊀已知方程３ｘ＋４ｘ＋５ｘ＝６ｘꎬ求该方程的解.分析㊀在这道例题中ꎬ题干中给出的方程形式较为特殊ꎬ未知数ｘ位于指数位置ꎬ各个项之间不仅无法合并ꎬ也难以进行分解ꎬ如果纯粹利用方程方面的知识很难求解.此时教师可以提示学生结合方程与函数之间的关系进行分析ꎬ使其根据原方程式构造函数ꎬ基于此找到解题思路[２].解析㊀通过对原方程移项能够转变为３ｘ＋４ｘ＋５ｘ－６ｘ＝０ꎬ两边同时除以６ｘꎬ进一步转化之后可以０５得到(３６)ｘ＋(４６)ｘ＋(５６)ｘ－１＝０.构造函数ｆ(ｘ)＝(３６)ｘ＋(４６)ｘ＋(５６)ｘ－１ꎬ则有ｆ(１)＝１ꎬｆ(２)<１ꎬｆ(３)＝０.由此可以确定原方程有一个解ｘ＝３.由于(３６)ｘꎬ(４６)ｘꎬ(５６)ｘ在Ｒ上均为严格的单调递减ꎬ那么函数ｆ(ｘ)在Ｒ上同样是严格的单调递减ꎬ当ｘ<３时ꎬｆ(ｘ)>ｆ(３)＝０ꎻ当ｘ>３时ꎬｆ(ｘ)<ｆ(３)＝０.综上ꎬ该方程只有一个解ꎬ即为ｘ＝３.３有效构造函数ꎬ解答比较大小试题例３㊀已知θɪ(０ꎬπ６)ꎬａ＝ｌｎ(２ｃｏｓ２θ－１)２(２ｃｏｓ２θ－１)２ꎬｂ＝ｌｎ(ｃｏｓθ－１)２(ｃｏｓθ－１)２ꎬｃ＝ｌｎ(ｓｉｎθ－１)２(ｓｉｎθ－１)２ꎬ那么ａꎬｂꎬｃ之间的大小关系是什么?分析㊀通过观察题干中的式子发现ａꎬｂꎬｃ三个表达式较为一致ꎬ这时可以采用整体思想仔细审视各个表达式ꎬ找出它们特征一样的部分ꎬ然后利用自变量ｘ表示出来ꎬ由此构造出函数.当构造函数完成以后ꎬ就能够把复杂的比较大小问题转变成自变量进行比较的问题[３].解析㊀根据题意可以构造函数ｆ(ｘ)＝ｌｎ(ｘ－１)２(ｘ－１)２ꎬ通过观察可知ｆ(２－ｘ)＝ｆ(ｘ)ꎬ函数ｆ(ｘ)的图象关于ｘ＝１对称.因为ｆᶄ(ｘ)＝２[１－ｌｎ(ｘ－１)２](ｘ－１)３ꎬ当１<ｘ<２时ꎬｆᶄ(ｘ)>０ꎬ函数ｆ(ｘ)呈单调递增ꎬ当０<ｘ<１时ꎬ函数ｆ(ｘ)呈单调递减.㊀根据θɪ(０ꎬπ６)可以得到０<ｓｉｎθ<１２<３２<ｃｏｓθ<１ꎬ所以ｆ(ｃｏｓθ)<ｆ(ｓｉｎθ)ꎬ即为ｃ>ｂ.根据对称性能够得到ｆ(２ｃｏｓ２θ)＝ｆ(２－２ｃｏｓ２θ)ꎬ由于３２<２ｃｏｓ２θꎬ则０<２－２ｃｏｓ２θ<１２.又因为２－２ｃｏｓ２θ－ｓｉｎθ＝２ｓｉｎ２θ－ｓｉｎθ＝ｓｉｎθ(２ｓｉｎθ－１)<０ꎬ即０<２－２ｃｏｓ２θ<ｓｉｎθ<１２.由此可以确定ｆ(２－２ｃｏｓ２θ)>ｆ(ｓｉｎθ)ꎬ即为ａ>ｃ.综上可得ａ>ｃ>ｂ.４有效构造函数ꎬ解答最值方面试题例４㊀已知函数ｆ(ｘ)＝ｅ３ｘ－１ꎬｇ(ｘ)＝１３＋ｌｎｘꎬ如果ｆ(ｍ)＝ｇ(ｎ)ꎬ那么ｎ－ｍ的最小值是什么?分析㊀本道题目较为特殊ꎬ通过分析可知要用到逆向推理法ꎬ按照 ｎ－ｍ的最小值㊁确定ｎ与ｍ的表达式㊁构造函数㊁研究函数的单调性㊁计算出最小值 的步骤进行解题.其中确定ｎ和ｍ的表达式时需要结合题意引入新的变量ｔꎬ然后后续解题步骤根据ｔ的取值问题展开ꎬ最终轻松㊁简便地求出ｎ－ｍ的最小值.解析㊀结合题意令ｆ(ｍ)＝ｇ(ｎ)＝ｔ(ｔ>０)ꎬ则１３＋ｌｎｎ＝ｔꎬｌｎｎ＝ｔ－１３ꎬｎ＝ｅｔ－１３ꎻｅ３ｍ－１＝ｔꎬ３ｍ－１＝ｌｎｔꎬｍ＝１３(ｌｎｔ＋１).则ｎ－ｍ＝ｅｔ－１３－１３(ｌｎｔ＋１).构造函数Ｈ(ｔ)＝ｅｔ－１３－１３(ｌｎｔ＋１)(ｔ>０)ꎬ则Ｈᶄ(ｔ)＝ｅｔ－１３－１３ １ｔ.可以得到Ｈᶄ(ｔ)在区间(０ꎬ＋ɕ)上单调递增ꎬ而且当ｔ＝１３时ꎬＨᶄ(ｔ)＝０ꎬ所以ꎬ当０<ｔ<１３时ꎬＨᶄ(ｔ)<０ꎬＨ(ｔ)单调递减ꎻ当ｔ>１３时ꎬＨᶄ(ｔ)>０ꎬＨ(ｔ)单调递增ꎬ即ｔ＝１３时ꎬＨ(ｔ)取得极小值也就是最小值.㊀１５则Ｈ(１３)＝１－１３(ｌｎ１３＋１)＝２＋ｌｎ３３.所以ｎ－ｍ的最小值是２＋ｌｎ３３.５有效构造函数ꎬ解答数列方面试题例５㊀已知函数ｆ(ｘ)＝１＋ｌｎ(ｘ＋１)ｘ(ｘ>０)ꎬｆ(ｘ)>ｋｘ＋１恒成立ꎬ整数ｋ的最大值是３ꎬ请证明(１＋１ˑ２)(１＋２ˑ３)(１＋３ˑ４) [１＋ｎ(ｎ＋１)]>ｅ２ｎ－３.解析㊀根据１＋ｌｎ(ｘ＋１)ｘ>３ｘ＋１ꎬ得ｌｎ(ｘ＋１)>３ｘｘ＋１－１＝２－３ｘ＋１>２－３ｘ.设ｘ＝ｋ(ｋ＋１)ꎬ则ｌｎ[１＋ｋ(ｋ＋１)]>２－３ｋ(ｋ＋１)＝２－３(１ｋ－１ｋ＋１)(其中ｋ＝１ꎬ２ꎬ３ꎬ ꎬｎ).所以ｌｎ{(１＋１ˑ２)(１＋２ˑ３)(１＋３ˑ４) [１＋ｎ(ｎ＋１)]}>２ｎ－３(１－１２＋１２－１３＋ ＋１ｎ－１ｎ＋１)＝２ｎ－３(１－１ｎ＋１)>２ｎ－３ꎬ由此能够得到(１＋１ˑ２)(１＋２ˑ３)(１＋３ˑ４) [１＋ｎ(ｎ＋１)]>ｅ２ｎ－３.６有效构造函数ꎬ解答几何方面试题例６㊀设ｌ是曲线Ｃ:ｙ＝ｌｎｘｘ在点(１ꎬ０)处的切线ꎬ(１)切线ｌ的方程是什么?(２)请证明:除切点(１ꎬ０)以外ꎬ曲线Ｃ位于切线ｌ的下方.分析㊀本题第(１)问比较简单ꎬ这里不多做赘述ꎬ难点在于第(２)问ꎬ从表面上来看是一道解析几何类试题ꎬ其实实质上是一道轨迹方程类问题ꎬ如果仅仅使用几何方法难以顺利解题ꎬ要引入构造函数的方法ꎬ可设函数ｆ(ｘ)＝ｌｎｘｘꎬ为证明曲线Ｃ在切线ｌ的下方ꎬ除切点以外ꎬ只需证明不等式ｘ－１>ｌｎｘｘ成立即可.解析㊀(１)根据ｙ＝ｌｎｘｘ可以得到ｙᶄ＝１－ｌｎｘｘ２.当ｘ＝１时ꎬｙᶄ＝１－ｌｎ１１２＝１ꎬ即曲线Ｃ:ｙ＝ｌｎｘｘ在点(１ꎬ０)处切线的斜率是１ꎬ曲线Ｃ:ｙ＝ｌｎｘｘ在点(１ꎬ０)处的切线方程为ｙ＝ｘ－１.(２)结合题意能够把原问题转变为ｘ－１>ｌｎｘｘ(ｘ>０ꎬ且ｘʂ１)ꎬ也就是ｘ－１－ｌｎｘｘ>０ꎬ此时构造函数ｇ(ｘ)＝ｘ－１－ｌｎｘｘꎬ则ｇᶄ(ｘ)＝ｘ２－１＋ｌｎｘｘ２.当ｘ>１时ꎬｘ２－１>０ꎬｌｎｘ>０ꎬ则ｇᶄ(ｘ)>０ꎬ故ｇ(ｘ)呈单调递增.由于ｘ>１ꎬ所以ｇ(ｘ)>ｇ(１)＝０.当０<ｘ<１时ꎬｘ２－１<０ꎬｌｎｘ<０ꎬ则ｇᶄ(ｘ)<０ꎬ故ｇ(ｘ)呈单调递减ꎬ所以ｇ(ｘ)>ｇ(１)＝０.综上可得ꎬ恒有ｇ(ｘ)>０(ｘʂ１)ꎬ所以除切点以外ꎬ整个曲线Ｃ都位于切线ｌ的下方.总而言之ꎬ在高中数学解题教学活动中ꎬ构造函数有着极为广阔的运用空间ꎬ适用于不少类型的试题.教师应以学生透彻理解并牢固掌握函数概念㊁性质等理论知识为前提ꎬ结合实际题目内容选择合适的函数形式进行构造ꎬ使其灵活借助构造函数的优势简化解题步骤ꎬ降低试题难度ꎬ不断增强学生有效应用构造函数的意识ꎬ同时积累更多的解题经验.参考文献:[１]魏春华.构造函数在高中数学解题中的应用[Ｊ].数理化解题研究ꎬ２０２２(１５):１７－１９.[２]张远.构造函数在高中数学解题中的应用分析[Ｊ].数理化解题研究ꎬ２０２０(２１):８－９.[３]李鸣.论高中数学解题中构造函数的有效应用[Ｊ].数理化解题研究ꎬ２０２０(３１):６６－６７.[责任编辑:李㊀璟]２５。
高中构造函数教案模板设计
---一、教案基本信息1. 课题：构造函数2. 学科：高中数学3. 适用年级：高一年级4. 教学时间：2课时二、教材简析与学生分析教材简析：本节课基于高中数学课程中关于函数概念的学习，旨在帮助学生理解函数的构造方法，掌握通过具体问题构造函数的基本技能。
学生分析：高一年级学生对函数概念已有初步了解，但构造函数的能力相对较弱。
本节课将结合实际问题，引导学生通过观察、分析、归纳等方法，提高构造函数的能力。
三、教学目标1. 知识与技能：（1）理解函数构造的基本思想和方法；（2）能够根据实际问题构造出相应的函数；（3）掌握函数图像的绘制方法。
2. 过程与方法：（1）通过观察、分析、归纳等过程，培养学生的逻辑思维能力；（2）通过小组合作，提高学生的团队协作能力；（3）通过实际问题解决，提高学生的应用能力。
3. 情感态度与价值观：（1）激发学生对数学学习的兴趣，培养学生对数学的热爱；（2）培养学生严谨的数学态度和求真务实的精神；（3）增强学生的社会责任感和创新意识。
四、教学重难点1. 教学重点：（1）函数构造的基本思想和方法；（2）根据实际问题构造函数。
2. 教学难点：（1）函数构造的灵活性和多样性；（2）函数图像的绘制与理解。
五、教学准备1. 教师准备：（1）多媒体课件；（2）相关教学案例；（3）教具准备。
2. 学生准备：（1）预习相关教材内容；（2）准备好笔记本和笔。
六、教学过程第一课时1. 导入新课（1）回顾函数的基本概念；（2）提出本节课的学习目标。
2. 新授课程（1）讲解函数构造的基本思想和方法；（2）通过案例演示，引导学生掌握构造函数的步骤；（3）分组讨论，让学生尝试构造简单的函数。
3. 练习巩固（1）布置课后练习题；（2）教师巡视指导。
4. 课堂小结（1）总结本节课的学习内容；（2）强调重点和难点。
第二课时1. 复习导入（1）回顾上节课的学习内容；（2）提出本节课的学习目标。
2. 新授课程（1）讲解函数图像的绘制方法；（2）通过案例演示，引导学生掌握绘制函数图像的技巧；（3）分组讨论，让学生尝试绘制函数图像。
湖南省宁乡县一中人教版高三数学一轮复习 构造函数法解一类小题 学案(无答案)
导学案 构造函数法解一类小题一、考点分析：通过对近几年的高考命题的分析，发现高考对导数的考查常以函数为依托，将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性、方程根的分布等有机的结合在一起，设计综合试题,从而考查函数、导数的基础知识和基本方法。
解决这类有关的问题，需要借助构造函数，那么怎样合理的构造函数就是问题的关键，这里我们来一起探讨一下这方面问题。
二、复习回顾导数的运算法则：已知)(),(x g x f 的导数存在，则：（1）_______________])()([='±x g x f（2）__________________])()([='⋅x g x f （3）='])()([x g x f ____________________ 三、例题例1：设()()f x g x 、是R 上的可导函数，()()''f x g x 、分别为()()f x g x 、的导函数，且满足()()()()''+0f x g x f x g x <，则当a x b <<时，有（ ）A ．()()()()>f x g b f b g xB ．()()()()>f x g a f a g xC ．()()()()>f x g x f b g bD ．()()()()>f x g x f b g a例2：设()()f x g x 、是定义在R 上恒大于零的可导函数，()()''f x g x 、分别为()()f x g x 、的导函数，且满足()()()()''0f x g x f x g x ->，则当a x b <<时，有（ ）A ．()()()()>f x g b f b g xB ．()()()()>f x g a f a g xC ．()()()()>f x g x f b g bD ．()()()()>f x g x f a g a例3：已知()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x <时，()()'0f x xf x +<，且()4=0f -，则不等式()0xf x >的解集为（ ）A ．()()4,04,-⋃+∞B ．()()4,00,4-⋃C ．()(),44,-∞-⋃+∞D ．()(),40,4-∞-⋃四、高考体验：（2015全国二卷12题）设函数()'f x 是奇函数()f x ()x R ∈的导函数，()10f -=，当0x >时()()'0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ）A ．()()1,01,-⋃+∞B ．()()0,11,+⋃∞C ．()(),11,0-∞-⋃-D ．()(),10,1-∞-⋃五、构造原理：1、关系式为“加”型2、关系式为“减”型（1）)()()()(x g x f x g x f '+'>0（<0）构造_____ （1）)()()()(x g x f x g x f '-'>0（<0）构造_______（2）)()(x f x f x +'>0（<0） 构造__________（2）)()(x f x f x -'>0 构造___________（3）()()'0f x f x +> 构造____________ （3）()()'0f x f x -> 构造___________拓展)()(x f x f x +'> k （<0） 构造__________()()'f x f x k +> 构造____________()()'0f x kf x +>构造()kx y e f x = ()()'0f x kf x ->构造()kx f x y e= ()()'0x f x n f x +>构造()n y x f x = ()()'0xf x nf x ->构造()n f x y x =六、练习1、已知函数()f x 为定义在R 上的可导函数，且0)()(<'-x f e x f e x x 对于任意x R ∈恒成立，e 为自然对数的底数，则（ ）2013.(1)(0)(2013)(0)A f e f f e f >⋅<⋅、 2013.(1)(0)(2013)(0)B f e f f e f <⋅>⋅、2013.(1)(0)(2013)(0)C f e f f e f >⋅>⋅、 2013.(1)(0)(2013)(0)D f e f f e f <⋅<⋅、2．已知定义在R 上的函数()(),'f x f x 是其导数，且满足()()()'2,124f x f x ef e +>=+，则不等式 ()42x xe f x e >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为 （ ） A. ()1,+∞ B. ()(),01,-∞⋃+∞ C. ()(),00,-∞⋃+∞ D. (),1-∞3．已知是函数()的导函数，当时，，记，则（ ）A. B. C. D.4．设()f x 、()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当0x <时， ()()()()0f x g x f x g x ''+>.且()30g =.则不等式()()0f x g x <的解集是（ ）A. ()(),30,3-∞-⋃B. ()()3,00,3-⋃C. ()(),33,-∞-⋃+∞D. ()()3,03,-⋃+∞5、设函数()f x 在R 上的导函数为'()f x ，且22()'()f x xf x x +>，下面的不等式在R 内恒成立的是（ ）.()0A f x > .()0B f x < .()C f x x > .()D f x x < 6．已知函数()ln f x a x bx =+（,a b R ∈）在点(1,(1))f 处的切线方程为220x y --=．（1）求a 、b 的值；（2）当1x >时，()0k f x x+<恒成立，求实数k 的取值范围7．已知函数f(x)＝ln x＋ax(a∈R)．(1)求f(x)的单调区间；(2)设g(x)＝x2－4x＋2，若对任意x1∈(0，＋∞)，均存在x2∈[0,1]，使得f(x1)＜g(x2)，求a的取值范围．。
构造函数在导数解证不等式中的应用
构造函数在导数解证不等式中的应用构造函数在导数解证不等式中的应用汕头市潮南区胪溪中学胡小霞解决不等式问题是中学数学中的一个难点有些不等式问题采用常规方法难以解决若能巧妙地构造函数将不等式问题转化为函数问题使问题获得较解决。
本就近几年高考题中与不等式有关的几道试题予以简要剖析以此体会导数法解决不等式证明问题及恒成立问题有效性.通过构造新函数成为解证不等式的良“载体”以下通过具体实例加以说明。
一、利用导数证明不等式根据不等式的特点构造函数通过新函数的导数来证明单调性,然后再利用新函数的最值达到证明不等式的目的。
即把证明不等式问题转化为函数问题。
具体有如下几种形式：1、直接作差”;构造函数”证明不等式题目：已知函数求证：当时恒有分析：本题是双边不等式其右边直接从已知函数证明左边构造函数从其导数入手即可证明。
证明：∴当时即在上为增函数；当时即在上为减函数故函数的单调递增区间为单调递减区间。
于是函数在上的最大值为。
因此当时即∴ （右边得证）现证左面构造新函数时；时。
即在上为减函数在上为增函数故函数在上的最小值为∴当时即∴（左边得证）综上可知当本题首先根据题意作差“构造函数”通过导数判断新函数的单调性利用最值从而达到证明不等式的目的。
2、适当放缩后再”;构造函数”证明不等式题目：已知函数其中n∈N_,为常数.当时证明：当n为奇数时,当时有.分析：对当n为奇数时的进行放缩处理再移项作差“构造函数”利用导数判断其单调性。
证明：因为a=1,所以因为n为奇数时＜0要证, 所以只需证,令,,所以当时单调递增又所以当时恒有,即命题成立. 综上所述当n为奇数时,当时有.本题与直接”;构造函数”不同在当n为奇数时,先进行了适当放缩后再进行构造使本来复杂的函数变得简单容易处理较为简捷；但放缩要注意恰到处。
3、利用式子的相似来“构造函数”证明不等式题目：对任意实数a和b,成立不等式分析：根据不等式中式子的结构特点,形状相似于函数在相应几个点的函数值证明：构造函数所以内严格递增。
构造法求通项公式导学案
中学数学科导学案2015—2016学年度第二学期高(一)年级编号：主备人：审核人：审批人：_ __ ___使用时间：_2016年______课题：构造法求数列通项公式举例班级：学生姓名：【三维目标】知识与技能目标1.在已有知识的基础上强化数列通项公式的求法。
2.能对已知条件进行必要的变形，相应地构造出等差或等比数列以解决问题。
.过程与方法目标通过探索、研究、发现、总结等方式，，让学生了解数学表达式的一些简单变化方法，从而构造出等差或等比数列来解决问题。
培养学生发散思维能力，充分挖掘学生的创新思维能力。
情感、态度与价值观通过探究学习培养学生互助合作的学习习惯，形成良好的思维方式和锲而不舍的钻研精神。
并在展示自己的同时培养学生的数学兴趣，增强学习数学的自信心。
【重点难点】重点：构造法求数列通项的几种常见题型。
难点：发现已知条件中递推公式的特点与所用方法的关系，并能较灵活应用。
环节一：【问题导学】（所用时间：分钟）1、我们学过那些求数列通项的方法，适当举例加以说明。
2、{}{}nnnnnaaaaaa）求是等比数列，（）求数列（满足数列211,12,111++==+环节二：【合作探究】（所用时间：分钟）例1练习：{}nnnnaaaaa求中，已知数列,23,211+==+规律总结：例2：已知数列{},33,3:111+++==nnnnaaaa满足{}111,2 1 .n n n na a a a a+==+数列满足,求{}的通项公式。
求数列na变式1：若上题1132+++=n n n a a ，其他条件不变，你能求出通项公式吗？规律总结：练习： （1） 设n n na ab 21-=+，证明数列{}n b 是等比数列。
（2）环节三：【归纳小结】（所用时间：分钟 ）环节四：【当堂检测】（所用时间： 15分钟 ）1.则它的通项公式n a =2. 则它的通项公式n a =3、已知数列{}n a 中满足4212=+-++n n n a a a 且,11=a 32=a ，求=n a{}24,111+==+n n n a s a a 满足若数列{}的通项公式。
第4讲构造函数在解题中的应用
第4讲 构造函数在导数题中的应用第5讲一、导数问题中构造函数的思路歌：利用导数造函数，积商特征看正负； 函数导数有特征，牢记模型觅思路。
例1、()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x >时，()()0f x xf x '+<，且(4)0f -=，则不等式()0xf x >的解集是 ．变式1：设()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x <时，()()0xf x f x '->，且(1)0f =，则不等式()0f x >的解集是 ．变式2：设()f x 是定义在R 上的可导函数，已知()()()xf x f x f x ''+<-，且1(2)3f =，则不等式1(2)01x xf e e --<-的解集是 ．常用函数的导数模型：11(),(),(ln ),(sin )cos ,(cos )sin n n x x x nx e e x x x x x x-'''''=====-[][]1(())()(),(())()()n n x x x f x x nf x xf x e f x e f x f x -''''=+=+1()()()()()()()()()(),(),()n n x x nx nxf x xf x nf x f x f x f x f x f x nf x x x e e e e-'''---'''=== 2()()sin ()cos (sin ())cos ()sin (),()sin sin f x f x x f x xxf x xf x xf x x x '-'''=+=2()()cos ()sin (cos ())cos ()sin (),()cos cos f x f x x f x xxf x xf x xf x x x '+''''=-=例2、设()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，2()()()f x xf x xf x '+>，则()f x 在[]1,1-上有 个零点.例3、()f x 满足322()3(),(3)81x e e x f x xf x f x '+==，则当0x >时，()f x （ ）A ．有极大值，无极小值B ．有极小值，无极大值C ．既有极大值，又极小值D ．既无极大值，又无极小值例4、设()f x 是定义在R 上的可导函数，导函数为()f x '，满足[]22(1)()()0,(2)()x x f x f x f x f x e -'-->-=，则下列判断正确的是（ ）A ．(1)(0)f f <B ．2(2)(0)f e f <C ．3(3)(0)f e f > D ．4(4)(0)f e f <二、构造函数的技巧 1、奇偶共存例5、定义在R 上的函数()f x 满足()()cos f x f x x -+=，当0x ≤时，1()2f x '≥，若()())24f t f t t ππ≥-++，则实数t 的取值范围是 ．变式1：定义在R 上的函数()f x 存在导函数()f x '，在()0,+∞上()sin 2f x x '≤，且对任意的实数x ，有2()2sin ()f x x f x =--，则以下大小关系一定正确的是（ ） A. 54()()63f f ππ< B. ()()4f f ππ< C. 54()()63f f ππ-<- D. ()()4f f ππ-<- 变式2：定义在R 上的函数()f x 存在导函数()f x '，在()0,+∞上()()2cos f x f x x +-=，()1f x '≥，则不等式1(2)()cos 22sin 322f x f x x x x ππ-<++++的解集为 ．变式3：定义在R 上的函数()f x 存在导函数()f x '，满足对任意的实数x ，2()()3f x f x x +-=，且当(),0x ∈-∞，1()32f x x '+<， 若27(3)()92f m f m m +--≤+，则实数m 的取值范围是 ．2、构造指数型函数例6、设定义在()0,+∞上上的函数()f x 的导函数为()f x '，若()()1f x f x '-<，(0)2016f =，则不等式()20151x f x e >+的解集是 ．变式4： 设函数是函数()f x ，x R ∈的导函数，，且()()33f x f x '=-，则()()4f x f x '>的解集是（ ） A. B. C. D.变式5：设定义在()0,+∞上上的函数()f x 的导函数为()f x '，且满足2()()2()xf x f x x f x e '-+<+，(1)f e =，则不等式2()x f x xe >的解集是 ．3、构造幂函数型函数例7、定义在上的函数满足：函数的图象关于直线对称，且当时，()()0x f x f x '+<（是函数的导函数）成立．若11sin sin 22a f ⎛⎫=∙ ⎪⎝⎭，()ln 2ln 2b f =∙，112211log log 44c f ⎛⎫=∙ ⎪⎝⎭，则，，的大小关系是（ ）A ．B ．C ．D ．例8设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有()()22x f x f x x '+>，则不等式()()()220162016420x f x f ++-->的解集为（ ）A ．B ．C ．D ．变式6：设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有()()20xf x f x '+>，则不等式()()()220142014420x f x f --->的解集为（ ）A ．B ．C ．D ．变式7：函数是定义在区间上可导函数，其导函数为，且满足()()20xf x f x '+>，则不等式()()()()201620165552016x f x f x ++<+的解集为（ ）A ．B ．C ．D ．)(x f '1)0(=f ),34ln (+∞),32ln (+∞),23(+∞),3(+∞e R ()y f x =()1y f x =+1x =-(),0x ∈-∞()f x '()f x a b c a b c ＞＞b a c ＞＞c a b ＞＞a c b ＞＞()f x (,0)-∞'()f x (2018,0)-(2016,0)-()f x ()0,+∞()f x '()2012,+∞()0,2012()0,2016()2016,+∞()f x ()0,+∞()'fx变式8：已知定义在上的函数满足()()0xf x f x '->，当01m n <<<时，下面选项中最大的一项是（ ）A ．B ．()log log m n n f m ∙C ．D ． ()log log n m m f n ∙变式9：若定义在R 上的函数()f x 满足()01f =-，其导函数()f x '满足()1f x k '>>，则下列结论中一定错误的是（ ） A.11f k k ⎛⎫> ⎪⎝⎭ B.111f k k ⎛⎫> ⎪-⎝⎭ C.1111f k k ⎛⎫< ⎪--⎝⎭ D.111k f k k ⎛⎫> ⎪--⎝⎭变式10：已知奇函数定义域为()(),00,-∞⋃+∞，()f x '为其导函数,且满足以下条件①时, ()()3f x f x x '<；③()()22f x f x =,的解集为 .变式11：设定义在()0,+∞上上的函数()f x 的导函数为()f x '，且恒有2()()3(f x x f x f x'<<，则(2)(1)f f 的取值范围是 ． 4、 构造三角函数例8、已知函数的定义域为,为函数的导函数，当时，()2sin cos 0x x f x '->且，()()cos21f x f x x -++=.则下列说法一定正确的是（ ） A.B.C. D.变式12：，是它的导函数，且恒有()()tan f x f x x '<∙成立，则（ ）R ()f x ()n n f m m ()m mf n n ()f x 0x >()f x R ()'fx ()f x [)0,x ∈+∞x R ∀∈)(x f ()'f xA.B.C. D.变式13：已知函数对任意的,22x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭满足()()cos sin 0f x x f x x '∙+∙>（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（ ） A ．B ．C ．D ．5、构造对数函数例9、已知定义在实数集R 的函数满足()14f =,且导函数，则不等式()ln 3ln 1f x x >+的解集为（ ）A. B. C. D. 变式14：设为自然对数的底数.若，则（ ） A ． B ． C ． D ．变式15：定义在()()1,00,1-上的偶函数()f x 满足1()02f =，当0x >时都有21()()ln(1)2()x f x x f x x'-∙->恒成立，则()0f x <的解集是 ．)(x f y =)('x f )(x f ()f x ()f x ()3f x '<(1,)+∞(,)e +∞(0,1)(0,)e。