2015届湘教版中考数学复习课件(第5课时_数的开方与二次根式)
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湖南省中考数学总复习第一单元数与式课时05数的开方与二次根式课件
1 2
x≥2且x≠3 -3
. .
拓展 2 [2017·鄂州] 若 y= ������- +
-������-6,则 xy=
课堂互动探究
探究二
二次根式的性质与化简
【答案】D
例 2 [2018·桂林] 若 3������-2������-1 + ������ + ������-2=0,则 x,y 的值为( ������ = 1, ������ = 4 ������ = 0, C. ������ = 2 A. ������ = 2, ������ = 0 ������ = 1, D. ������ = 1 B.
作最简二次根式: (1)被开方数中不含能开得尽方的因数(或因式); (2)被开方数不含分母.
课前考点过关
考点二 平方根、算术平方根与立方根
概念 平方根 若 r2=a,则 r 叫做 a 的平方根. 容 易得出( ������) =(- ������) =① a
2 2
表示法 ± ������
性质 正数有两个平方根,它们互为② 相反数 ,0 的平方根是 0,③ 负数 没有平方根
的结果是
.
【答案】4 5 【解析】6 5-10 =4 5.
1 5
=6 5-10× =6 5-2 5
5
5
课堂互动探究
探究五
例5
二次根式的大小比较
[2018·重庆 B 卷] 估计 5 6- 24的值应在 ( C ) B. 6 和 7 之间 D. 8 和 9 之间
A. 5 和 6 之间 C. 7 和 8 之间
3
0
.
课前考点过关
命题点六 二次根式的应用
7. [2017·邵阳] 我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中,给出了著名的秦九韶公式,也 叫三斜求积公式,即如果一个三角形的三边长分别为 a,b,c,则该三角形的面积为 S= 现已知△ABC 的三边长分别为 1,2, 5,则△ABC 的面积为
x≥2且x≠3 -3
. .
拓展 2 [2017·鄂州] 若 y= ������- +
-������-6,则 xy=
课堂互动探究
探究二
二次根式的性质与化简
【答案】D
例 2 [2018·桂林] 若 3������-2������-1 + ������ + ������-2=0,则 x,y 的值为( ������ = 1, ������ = 4 ������ = 0, C. ������ = 2 A. ������ = 2, ������ = 0 ������ = 1, D. ������ = 1 B.
作最简二次根式: (1)被开方数中不含能开得尽方的因数(或因式); (2)被开方数不含分母.
课前考点过关
考点二 平方根、算术平方根与立方根
概念 平方根 若 r2=a,则 r 叫做 a 的平方根. 容 易得出( ������) =(- ������) =① a
2 2
表示法 ± ������
性质 正数有两个平方根,它们互为② 相反数 ,0 的平方根是 0,③ 负数 没有平方根
的结果是
.
【答案】4 5 【解析】6 5-10 =4 5.
1 5
=6 5-10× =6 5-2 5
5
5
课堂互动探究
探究五
例5
二次根式的大小比较
[2018·重庆 B 卷] 估计 5 6- 24的值应在 ( C ) B. 6 和 7 之间 D. 8 和 9 之间
A. 5 和 6 之间 C. 7 和 8 之间
3
0
.
课前考点过关
命题点六 二次根式的应用
7. [2017·邵阳] 我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中,给出了著名的秦九韶公式,也 叫三斜求积公式,即如果一个三角形的三边长分别为 a,b,c,则该三角形的面积为 S= 现已知△ABC 的三边长分别为 1,2, 5,则△ABC 的面积为
精选-中考数学总复习第一单元数与式第05课时数的开方与二次根式课件湘教版
+
1)
������
2
=
a-���1���
-
a+���1���
=a-���1��� -
-a-���1���
=2a.
最新
精选中小学课件
12
课堂考点探究
例 2(2)[2018·广州] 如图 5-1,数轴上点 A 表示的数为 a,化简:a+
������2-4������ + 4=
.
图 5-1
[答案] 2 [解析] 由二次根式的性质“ ������2=|a|”可 得 a+ ������2-4������ + 4=a+ (������-2)2=a+|a-2|, 而 0<a<2,则 a-2<0,所以原式=a+2-a=2.
例 2(1)[2018·凉山州] 当-1<a<0 时,
������ + 1
������
2
-4-
������-
1 ������
2
+ 4=
.
[答案] 2a [解析] 当-1<a<0 时,
(������
+
1)
������
2
-4-
(������-
1)
������
2
+
4=
(������-
1)
������
2
-
(������
第 5 课时 数的开方与二次根式
最新
精选中小学课件
1
课前双基巩固
考点聚焦
考点一 平方根、算术平方根与立方根
概念
表示法
性质
湘教版八年级数学上册第五章《 二次根式》课件
本本节课内内容容
第五章
二次根式小结与复习
小结与复习
1. 二次根式 a 在实数范围内有意义 的条件是什么？
2. 二次根式有哪些性质？
3. 举例说明什么叫最简二次根式，试写 出一个二次根式并将它化简.
4. 如何进行二次根式的加、减、乘、 除运算？
最简二次根式
(
2.(2005.青岛) a 4+ 4 a 有意义的条件是(a=4)
3.求下列二次根式中字母的取值范围
x 5 1 3x 说明：二次根式被开方
解：x 5 0 ① 3- x 0 ②
数不小于0，所以求二次 根式中字母的取值范围 常转化为不等式（组）
解得 - 5≤x＜3
题型2:二次根式的非负性的应用.
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
3. 积与商的算数平方根性质公式从右至左地 使用，可以进行二次根式的乘、除运算.
4. 实数的运算律在二次根式的加、减、乘、 除运算中仍然成立.
二次根式的概念
１．二次根式的定义：
形如 a （a 0）的式子叫做二次根式
２．二次根式的识别：
（１）．被开方数 a 0
（２）．根指数是２
例．下列各式中那些是二次根式？ 那些不是？为什么？
4.已知：x 4 + 2x y =0,求 x-y 的值.
解：由题意，得 x-4=0 且 2x+y=0 解得 x=4,y=-8
∴x-y=4-(-8)= 4+ 8 =12
5.(2005.湖北黄冈市)已知x,y为实数,且
x 1 + 3(y-2)2 =0,则x-y的值为( D )
A.3 B.-3 C.1 D.-1
a a ≥
第五章
二次根式小结与复习
小结与复习
1. 二次根式 a 在实数范围内有意义 的条件是什么？
2. 二次根式有哪些性质？
3. 举例说明什么叫最简二次根式，试写 出一个二次根式并将它化简.
4. 如何进行二次根式的加、减、乘、 除运算？
最简二次根式
(
2.(2005.青岛) a 4+ 4 a 有意义的条件是(a=4)
3.求下列二次根式中字母的取值范围
x 5 1 3x 说明：二次根式被开方
解：x 5 0 ① 3- x 0 ②
数不小于0，所以求二次 根式中字母的取值范围 常转化为不等式（组）
解得 - 5≤x＜3
题型2:二次根式的非负性的应用.
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
3. 积与商的算数平方根性质公式从右至左地 使用，可以进行二次根式的乘、除运算.
4. 实数的运算律在二次根式的加、减、乘、 除运算中仍然成立.
二次根式的概念
１．二次根式的定义：
形如 a （a 0）的式子叫做二次根式
２．二次根式的识别：
（１）．被开方数 a 0
（２）．根指数是２
例．下列各式中那些是二次根式？ 那些不是？为什么？
4.已知：x 4 + 2x y =0,求 x-y 的值.
解：由题意，得 x-4=0 且 2x+y=0 解得 x=4,y=-8
∴x-y=4-(-8)= 4+ 8 =12
5.(2005.湖北黄冈市)已知x,y为实数,且
x 1 + 3(y-2)2 =0,则x-y的值为( D )
A.3 B.-3 C.1 D.-1
a a ≥
中考数学复习第一单元数与式数的开方与二次根式课件
4.把分母中的根号化去的方法
(1) 1??= ??·????= ????;
(2)
1 ??-
??= (
??-
??+ ?? ??)( ??+
=
??)
???+?-????.
考点四 二次根式的估算 1.一般先对根式进行平方 ,如( 7)2=7; 2.找出与平方后所得数相邻的两个完全平方数,如4< 7< 9; 3.对以上两个整数开方 ,如 4=2, 9= 3; 4.这个根式的值在这两个相邻整数之间 ,如 2< 7<3.
第 5 课时
数的开方与二次根式
考点一 平方根、算术平方根与立方根 1.平方根、算术平方根 :实数 a(a≥0)的平方根为± ??,其中 ??为 a 的算术平方根, 正数的平方根有两个 ,互为① 相反数 ,算术平方根只有一个且为 ② 正数 ,0 的平方根是 0. 2.立方根:实数 a 的立方根为 3 ??(a 为任意实数),立方根只有一个,符号与被开方 数③ 相同 ,立方根等于本身的数为 ±1,0.
A.4
B.8
C.±4
D.±8
2.3 8的算术平方根是 ( C )
A.2 C. 2
B.±2 D.± 2
3.[2019·大庆]有理数-8的立方根为 ( A )
A.-2
B.2
C.±2
D.±4
4. (1)化简:- 9=
-3
,-
2
1
4=
-???? , (-2)2 =
2
.
(2)25 的平方根是 ±5 ,(-4)2 的算术平方根是 4 , 16 的算术平方根
图5-1
而 0<a< 2,则 a-2<0,所以原式=a +2-a= 2.
第一单元 数与式 第5课时 数的开方及二次根式
第一单元 数与式第5课时 数的开方及二次根式考点知识清单考点一 数的开方1.算术平方根：非负数x 满足x 2=a(a ≥0)，则x 叫做a 的算术平方根，记作①____________。
2.平方根：若x 2=a(a ≥0)，则x 叫做a 的平方根，记作②_____________。
3.立方根：如果x 3=a ，那么x 叫做a 的立方根（或三次方根），记作③_____________。
【温馨提示】1.一个正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根与算术平方根都是0本身，负数没有平方根。
2.一个正数有一个正的立方根，一个负数有一个负的立方根，0的立方根是0.考点二 二次根式的有关概念1.二次根式：式子a （④__________）叫做二次根式。
【温馨提示】a （a ≥0）其实就是a 的算术平方根。
2.最简二次根式：同时满足以下两个条件：被开方数都不含⑤___________，也不能含能开得尽方的因数或因式。
【温馨提示】分母中含有根式的不是最简二次根式。
如21的最简形式应为22。
考点三 二次根式的性质三个重要性质（1）a （a ≥0）是⑥_______________；（2）=2)(a ⑦______________（a ≥0）;（3）=2a ⑧________________。
积的算术平方根 )0,0(≥≥⋅=b a b a ab商的算术平方根 ).0,0(≥>=b a ab a b【温馨提示】2)(a 与2a 的被开方数的取值范围是不相同的，前者a ≥0，后者a 为任意实数。
考点四 二次根式的运算【温馨提示】二次根式运算的结果必须是最简二次根式，若含有分母，则分母中不能含有根号。
题型归类探究类型一 数的开方与估算（易错点）【典例1】（1）（2018·安顺）4的算术平方根是（ ） A.2±B.2C.±2D.2（2）（2018·昆明）黄金分割数215-是一个很奇妙的数，大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面。
湘教版2015年中考总复习第5课时二次根式
A、 －5 ＝－5
2
）
2 B、 （ -4） ＝4
C、 a a
D、a2 b2 a b
当堂练习
3.直接写出下列各题的计算结果：
( 1 2 )
2=
1 ；
( 16 ) ( 9 ) 12
(3+ 1 0
.
)2011· (3
10
)2010=
3+ 10
观察下列各式：
a 1 a2 4 (2)( 2 2 ) ( 1) a 4a 4 a 2a a 其中：a 2 3
检测
1．下列二次根式中，最简二次根式是( ) 1 A. B. 4 C. 6 D. 8 2 2．下列二次根式中，与 3是同类二次根式的是( 2 3 A. 18 B. 27 C. D. 3 2 3．下列计算正确的是( ) A. 2＋ 3＝ 5 B. 2· 3＝ 6 C. 8＝4 D. －32＝－3
怎样化去分母中的根号呢？
a a b b b b
(a≥0，b>0)
ab b
2
2
1 2
2
9 2
3 4
2
2 1
3 2
3 2
1、二次根式 2、二次根式
x 1 有意义，则x的取值范围是 x≥-1
(3) 2
的值是（
D
）
A、-3
3、 a 4 4.在函数
B、3或-3
+
1 1 3 4 5 5
1 1 1 1 1 2 , 2 3 , 3 3 4 4
请你将猜想到的规律用含自然数
n(n≥1)的代数式表示出来：
1 1 n ( n 1) n 2 n 2
已知x 2 5, y 2 5, 求x xy y 的值
2
）
2 B、 （ -4） ＝4
C、 a a
D、a2 b2 a b
当堂练习
3.直接写出下列各题的计算结果：
( 1 2 )
2=
1 ；
( 16 ) ( 9 ) 12
(3+ 1 0
.
)2011· (3
10
)2010=
3+ 10
观察下列各式：
a 1 a2 4 (2)( 2 2 ) ( 1) a 4a 4 a 2a a 其中：a 2 3
检测
1．下列二次根式中，最简二次根式是( ) 1 A. B. 4 C. 6 D. 8 2 2．下列二次根式中，与 3是同类二次根式的是( 2 3 A. 18 B. 27 C. D. 3 2 3．下列计算正确的是( ) A. 2＋ 3＝ 5 B. 2· 3＝ 6 C. 8＝4 D. －32＝－3
怎样化去分母中的根号呢？
a a b b b b
(a≥0，b>0)
ab b
2
2
1 2
2
9 2
3 4
2
2 1
3 2
3 2
1、二次根式 2、二次根式
x 1 有意义，则x的取值范围是 x≥-1
(3) 2
的值是（
D
）
A、-3
3、 a 4 4.在函数
B、3或-3
+
1 1 3 4 5 5
1 1 1 1 1 2 , 2 3 , 3 3 4 4
请你将猜想到的规律用含自然数
n(n≥1)的代数式表示出来：
1 1 n ( n 1) n 2 n 2
已知x 2 5, y 2 5, 求x xy y 的值
湘教版数学九年级上册教学课件 一元二次方程的解法(第5课时)
简记歌诀： 右化零 左分解 两因式 各求解
于是得
r1
5 2
1
,
r2
5 1 2
(舍去).
答：小圆形场地的半径是 5 m.
2 1
课堂小结
概念
因 式 分 原理 解 法
步骤
将方程左边 因式分解， 右边=0.
因式分解的方法有
ma+mb+mc=m(a+b+c); a2 ±2ab+b2=(a ±b)2； a2 -b2=(a +b)(a -b).
如果a ·b=0，那么a=0或b=0.
所以原方程的解为x1=8或x2=4.
3.解方程：
1 3x2 6x 3； 2 4x2 121 0.
解：化为一般式为
解：因式分解，得
x2－2x+1 = 0. ( 2x + 11 )( 2x－ 11 ) = 0.
因式分解，得
有 2x + 11 = 0 或 2x － 11= 0，
( x－1 )( x－1 ) = 0. 有 x － 1 = 0 或 x － 1 = 0，
10x-4.9x2 =0 ①
配方法解方程10x-4.9x2=0. 公式法解方程10x-4.9x2=0.
解： x2 100 x 0，
解： 10x-4.9x2=0.
49
x2
100 49
x
50 49
2
0
50 49
2
，
∵ a=4.9,b=-10,c=0. ∴ b2－4ac
x
50 49
2
50 49
x1
11, 2
x2
11. 2
x1=x2=1.
4.把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地 面积增加了一倍，求小圆形场地的半径．
湘教版九年级下册数学精品课件 第1章 二次函数 第5课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
大而减小；当 x > 6 时，函数
值随 x 的增大而增大.
O
（6,3）
5 10 x
归纳总结 二次函数 y = ax2+bx+c的图象和性质
抛物线 y = ax2+bx+c 的顶点坐标是：
b 4ac b2
( ,
).
2a 4a
对称轴是：直线 x b . 2a
二次函数 y = ax2+bx+c的图象和性质
y
x b 2a
O (1)
如果 a＞0，当 x＜ b 时，y 随x
的增大而减小；当
2a
x＞
b
时，
2a
y 随 x 的增大而增大；当 x = b
x
2a
时，函数达到最小值，最小值
为 4ac b2 .
4a
二次函数 y = ax2+bx+c的图象和性质
y x b
2a
O (2)
如果 a < 0，当 x< b 时，y 随 x
(2) y 5x2 80x 319; 直线 x = 8
(3)
y
2
x
1 2
x
2
;
直线 x = 1.25
(4) y x 12 x.
直线 x = 0.5
3, 5
8, 1
5 4
,
9 8
1 2
,
9 4
2. 把抛物线 y＝x2＋bx＋c 的图象向右平移 3 个单位长
度，再向下平移 2 个单位长度，所得图象的解析式为
那么现在你会画这个二次函2 数的图象吗?2
根据顶点式 y 1 (x 6)2 3 确定对称轴，顶点坐标.
第5讲 数的开方及二次根式
ab(a≥0，b≥0) a· b(a≥0，b≥0)
； ； ；
a b(a≥0，b＞0)
a b＝
a (a≥0，b＞0) b
．
5．最简二次根式 运算结果中的二次根式，一般都要化成最简二次根式．最简二次根式， 需满足两个条件： (1)被开方数不含分母； (2)被开方数中不含开得尽方的因数或因式． 6．二次根式的估值 根式估值时，一般先对根式平方，找出与平方后所得数字相邻的两个开 得尽方的整数， 并对其进行开方， 就可以确定这个根式在哪两个整数之间． 例 如，估算 17在哪两个整数之间时，先对 17平方，找出与 17 相邻的两个开 得尽方的整数 16 和 25，因为 16<17<25，所以 16< 17< 25，即 4< 17<5.
[对应训练] 5 －1 2 介于( C ) A．0.4 与 0.5 之间 B．0.5 与 0.6 之间 C．0.6 与 0.7 之间 D．0.7 与 0.8 之间 5．(1)(2015· 南京)估计 (2)(2015· 新疆)估算 27－2 的值( C ) A．在 1 到 2 之间 B．在 2 到 3 之间 C．在 3 到 4 之间 D．在 4 到 5 之间 (3)已知 10的整数部分为 a，小数部分为 b，求 a2－b2 的值．
【点评】 (1)一个正数的算术平方根是正数； (2)一个正数的平方根有两个，它们互为相反数．
[对应训练] 1．(1)(2016· 杭州) 9＝( B ) A．2 B．3 C．4 D．5
3 ． (2)(2016· 宁波)实数－27 的立方根是－ ____ 2 (3)已知一个正数的两个平方根分别是 2a－2 和 a－4，则 a 的值是____ ．
解：原式＝|a＋b＋c|＋|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c－a－b|＝ (a＋b＋c)＋(b＋c－a)＋(c＋a－b)＋(a＋b－c)＝2a＋2b＋2c
中考数学考点总复习课件第5节数的开方与二次根式(共29张PPT(完整版)9
13．(2017·包头)下列说法中正确的是（ D ）
A．8 的立方根是±2
B. 8是一个最简二次根式 C．函数 y＝x－1 1的自变量 x 的取值范围是 x＞1 D．在平面直角坐标系中，点 P(2，3)与点 Q(－2，3)关于 y 轴对称
14．(导学号 65244023)计算 32× A．6 和 7 之间 B．7 和 8 之间
1 9．(2017·呼和浩特)若式子 1 有意义，则 x 的取值范围是 x<___2___．
1－2x
10．计算：
(1)(2017·南京) （－3）2＝__3____； (2)(2017·青岛)( 24＋ 16)× 6＝___1_3___； (3)(2017·黄冈) 27－6－ 13＝___83___3_－_6___．
____n_2_－__2______．(用含 n 的代数式表示)
20．(导学号 65244027)(2016·黄石)观察下列等式：
第 1 个等式：a1＝ 1 ＝ 2－1， 1＋ 2
第 2 个等式：a2＝ 1 ＝ 3－ 2， 2＋ 3
第 3 个等式：a3＝ 1 ＝2－ 3， 3＋2
第 4 个等式：a4＝ 1 ＝ 5－2， 2＋ 5
b，c，则该三角形的面积为 S＝ 1[a2b2－（a2＋b2－c2）2].现已知△ABC 的三边长分别为 1，
4
2
2， 5，则△ABC 的面积为_1___．
19．(导学号65244026)下面是一个按某种规律排列的数阵：
根 据 数 阵排 列 的规 律 ， 第 n(n 是整 数 ，且 n ＞ 3) 行从 左 向右 数 第 n－ 2 个数 是
解：原式＝－1－( 10－3)＋2 5× 22－(2 017＋1－2 2 017) ＝－1＋3－ 10＋ 10－2 018＋2 2 017 ＝－2 016＋2 2 017.
中考数学总复习课件(完整版)
第2讲┃ 归类示例
请解答下列问题：
(1)按以上规律列出第5个等式：a5＝__9×_1_1_1___＝
___12_×__19_－_1_11_______；
(2)用含n的代数式表示第n个等式：an＝ （_2n_－__1_）_×_1_（__2_n＋__1_）__＝_12_×__2_n_1－_1_－__2_n_1＋_1___(n为正整数)；
第1讲 实数的有关概念 第2讲 实数的运算与实数的大小比较 第3讲 整式及因式分解 第4讲 分式 第5讲 数的开方及二次根式
第1讲┃ 实数的有关概念
第1讲┃ 考点聚焦
考点聚焦
考点1 实数的概念及分类
1．按定义分类：
实数
有理数
整数
分数
正整数 零 负整数
正分数 有限小数或 负分数 无限循环小数
________2．
图1－2
第1讲┃ 回归教材
2．[2011·贵阳] 如图1－3，矩形OABC的边OA长为2，
边 AB 长为1，OA 在数轴上，以原点 O 为圆心，对角线 OB
的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是
( D) A ． 2.5
B ． 2√2
C.√3
D.√5
图1－3 [解析] 由勾股定理得 OB＝ OA2＋AB2＝ 22＋12＝ 5.
而应从最后结果去判断．一般来说，用根号表示
的数不一定就是无理数，如
是有理数，
用三角函数符号表示的数也不一定就是无理数，
如sin30°、tan45°也不是无理数，一个数是不
是无理数关键在于不同形式表示的数的最终结果
是不是无限不循环小数．
第1讲┃ 归类示例
► 类型之二 实数的有关概念
湘教版八年级上册数学精品教学课件 第5章 二次根式 第2课时 二次根式的除法
站在水平高度为 h 米的地方看到可见的水平距离为 d 米，
它们近似地符合公式 d 8 h .
问题1
5
某一登山者爬到海拔
100
米处，即
h
20 时，他
5
看到的水平线的距离 d1 是多少？
解：d1 8 20 16 5.
问题2 该登山者接着爬到海拔 200 米的山顶，即 h 40
5
时，此时他看到的水平线的距离 d2 是多少？ 解：d2 8 40 16 10.
问题3 他从海拔 100 米处登上海拔 200 米高的山顶， 那么他看到的水平线的距离是原来的多少倍？
解：d2 16 10 .
d1 16 5
二次根式相除该 怎样算呢？
思考 乘法法则是如何得出的？除法有没有类似的法则？
观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式：
(1) 4 = 4； 99
(2) 16 = 16； 特殊 25 25
100
(2) 75 ; 27
解: (1) 3
100
3 100
3. 10
(2) 75 27
52 3 32 3
52 5 . 32 3
还有其他 解法吗?
补充解法：
75 27
75 5 3 5 . 27 3 3 3
(3) 2 7 ; 9
(4)
81 25x2
x
0;
(5) 0.09 169 . 0.64 196
t1 2 50 10
答：是到落地所需时间 t1 的 2 倍. 10
例7 电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波传播得越远， 从而能接收到电视节目信号的区域就越广. 已知电视塔 高 h (km)与电视节目信号的传播半径 r (km)之间满足 r 2Rh (其中 R 是地球半径). 现有两座高分别为 h1 = 400 m， h2 = 450 m 的电视塔， 问它们的传播半径之比等于多少？
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例 1 [2014· 南京] 8 的平方根是( D ) A. 4 C. 2 2 B. ±4 D. ±2 2
考点聚焦
归类探究
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第5课时┃ 数的开方与二次根式
例 2 [2014· 黄冈] －8 的立方根是( A ) A. －2 B. ±2 C. 2 D. － 1 2
例 3 [2013· 东营] A. ±4 B. 4
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第5课时┃ 数的开方与二次根式
探究二 二次根式的有关概念
命题角度： 1.二次根式的概念； 2.最简二次根式的概念． 例4 A. －2 [2014· 株洲] x 取下列各数中的哪个数时，二次根 B. 0 C. 2 D. 4
式 x－3有意义( D )
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回归教材第ຫໍສະໝຸດ 课时┃ 数的开方与二次根式b ＝ a b >0 ≥0 a(a________，b________)
如： 要估算 7在哪两个相邻的整数之间， 先将 7
式的估算 平方．因为 4＜7＜9，所以 2＜ 7＜3
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第5课时┃ 数的开方与二次根式
归 类 探 究
探究一 求平方根、算术平方根与立方根
命题角度： 1. 平方根、算术平方根与立方根的概念； 2. 求一个数的平方根、算术平方根与立方根．
16的算术平方根是( D ) C. ±2 D. 2
解 析
16＝4，4 的算术平方根为 2，故选 D.
考点聚焦
归类探究
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第5课时┃ 数的开方与二次根式
【方法点析】 (1)一个正数的平方根有两个，它们互为相反数； (2)平 方根等于本身的数是 0， 算术平方根等于本身的数是 1 和 0， 立方根等于本身的数是 1，－1 和 0；(3)一个数的立方根与 它同号．
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第5课时┃ 数的开方与二次根式
考点3 二次根式的性质
( a)2＝a(a________) ≥0 ； a＝a
2
两个重要 的性质 二次 根式 的性 积的算术 平方根 质 商的算术 平方根
＝
a （ a≥ 0） ， －a （a<0）
≥0 ab＝ a· b(a________ ≥0 ，b________)
考点聚焦 归类探究 回归教材
第5课时┃ 数的开方与二次根式
考点2 二次根式的有关概念
定义 二次根式 防错提醒
形如 a的式子叫作二次根式
≥ a中的 a 可以是数或式， 且 a________0
最简二 次根式
同时满足下列两个条件的二次根式叫作最简二次 根式： (1)被开方数中不含能开得尽方的因数(或因式)； (2)被开方数不含分母
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第5课时┃ 数的开方与二次根式
解
a b － 1 ÷ a－b a2－b2 a a－b b － ＝ ÷ a－b a－b （a＋b）（a－b）
a－a＋b （a＋b）（a－b） ＝ × ＝a＋b. b a－b ∵a＝ 3＋1，b＝ 3－1， ∴原式＝ 3＋1＋ 3－1＝2 3.
第5课时 数的开方与二次根式
第5课时┃ 数的开方与二次根式
考 点 聚 焦
考点1
名称
2
平方根、算术平方根与立方
举例 (± 3) ＝9，故± 3 叫作 9 的平方根 (± 3)2＝9，故 3 叫 性质 正数的平方根有两个，它们
平方根
互为相反数 ；________ 负数 没有平方 ______________
解 析
法一：把选项中各数分别代入被开方式中，当 x
＝－2 时，x－3＝－5＜0；0－3＝－3＜0；2－3＝－1＜0；4 －3＝1＞0，故选择 D. 法二：要使二次根式有意义，需 x－3≥0，求得 x≥3， 比较选项，故选 D.
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第5课时┃ 数的开方与二次根式
【方法点析】 此类有意义的条件问题主要是根据： ①二次根式的被 开方数大于或等于零； ② 分式的分母不为零等列不等式 (组)，转化为求不等式(组)的解集．
原式＝5＋1－3－2
归类探究
3＝3－2
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3.
第5课时┃ 数的开方与二次根式
【方法点析】 在中考中，二次根式常与零指数、负整数指数幂结合 在一起考查．
a b － 1 先化简， 再求值： ÷ a－b a2－b2，
例 6 [2014· 成都]
其中 a＝ 3＋1，b＝ 3－1.
根；0 的平方根是 0
非负数 才有算术平方根，而且 只有________ 算术平方根 作 9 的算术平方 非负数 算术平方根都是________ 根 正的 立方根； 正数有一个______ 3 3 ＝27，故 3 叫 0 ； 立方根 0 的立方根是______ 作 27 的立方根 负的立方根 负数有一个______
b b ≥0 >0 ，b________) ＝ ( a ________ a a
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第5课时┃ 数的开方与二次根式
考点4 二次根式的运算
二次根式 先化为最简二次根式， 再将被开方数相同的二次 的加减 二次根式 的乘法 二次根式 的除法 二次根 根式进行合并
≥0 ，b________) a· b＝ ab(a________ ≥0
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第5课时┃ 数的开方与二次根式
探究三 二次根式的化简与计算
命题角度： 1. 二次根式的性质：两个重要公式，积的算术平 方根，商的算术平方根； 2. 二次根式的加减乘除运算．
例 5 [2013· 大连]
1－1 计算：5 ＋(1＋
3)×(1－ 3)－ 12.
解
考点聚焦
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第5课时┃ 数的开方与二次根式
探究四 二次根式的估算
命题角度： 1. 二次根式的大小比较方法； 2. 二次根式的估算． 例 7 [2014· 邵阳] A. －1 和 0 之间 C. 1 和 2 之间
解 析
2介于( C ) B. 0 和 1 之间 D. 2 和 3 之间
∵1＜( 2)2＜4，∴ 1＜ 2＜ 4，
∴1＜ 2＜2，∴ 2介于 1 和 2 之间，故选 C.
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第5课时┃ 数的开方与二次根式
【方法点析】 无理数的估算的一般步骤是：首先将原数平方，看其在哪两 个相邻的平方数之间， 运用这种方法可以估计一个带根号的数的 整数部分，从而估计其范围．
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第5课时┃ 数的开方与二次根式
例 2 [2014· 黄冈] －8 的立方根是( A ) A. －2 B. ±2 C. 2 D. － 1 2
例 3 [2013· 东营] A. ±4 B. 4
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探究二 二次根式的有关概念
命题角度： 1.二次根式的概念； 2.最简二次根式的概念． 例4 A. －2 [2014· 株洲] x 取下列各数中的哪个数时，二次根 B. 0 C. 2 D. 4
式 x－3有意义( D )
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如： 要估算 7在哪两个相邻的整数之间， 先将 7
式的估算 平方．因为 4＜7＜9，所以 2＜ 7＜3
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第5课时┃ 数的开方与二次根式
归 类 探 究
探究一 求平方根、算术平方根与立方根
命题角度： 1. 平方根、算术平方根与立方根的概念； 2. 求一个数的平方根、算术平方根与立方根．
16的算术平方根是( D ) C. ±2 D. 2
解 析
16＝4，4 的算术平方根为 2，故选 D.
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第5课时┃ 数的开方与二次根式
【方法点析】 (1)一个正数的平方根有两个，它们互为相反数； (2)平 方根等于本身的数是 0， 算术平方根等于本身的数是 1 和 0， 立方根等于本身的数是 1，－1 和 0；(3)一个数的立方根与 它同号．
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考点3 二次根式的性质
( a)2＝a(a________) ≥0 ； a＝a
2
两个重要 的性质 二次 根式 的性 积的算术 平方根 质 商的算术 平方根
＝
a （ a≥ 0） ， －a （a<0）
≥0 ab＝ a· b(a________ ≥0 ，b________)
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第5课时┃ 数的开方与二次根式
考点2 二次根式的有关概念
定义 二次根式 防错提醒
形如 a的式子叫作二次根式
≥ a中的 a 可以是数或式， 且 a________0
最简二 次根式
同时满足下列两个条件的二次根式叫作最简二次 根式： (1)被开方数中不含能开得尽方的因数(或因式)； (2)被开方数不含分母
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第5课时┃ 数的开方与二次根式
解
a b － 1 ÷ a－b a2－b2 a a－b b － ＝ ÷ a－b a－b （a＋b）（a－b）
a－a＋b （a＋b）（a－b） ＝ × ＝a＋b. b a－b ∵a＝ 3＋1，b＝ 3－1， ∴原式＝ 3＋1＋ 3－1＝2 3.
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考 点 聚 焦
考点1
名称
2
平方根、算术平方根与立方
举例 (± 3) ＝9，故± 3 叫作 9 的平方根 (± 3)2＝9，故 3 叫 性质 正数的平方根有两个，它们
平方根
互为相反数 ；________ 负数 没有平方 ______________
解 析
法一：把选项中各数分别代入被开方式中，当 x
＝－2 时，x－3＝－5＜0；0－3＝－3＜0；2－3＝－1＜0；4 －3＝1＞0，故选择 D. 法二：要使二次根式有意义，需 x－3≥0，求得 x≥3， 比较选项，故选 D.
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第5课时┃ 数的开方与二次根式
【方法点析】 此类有意义的条件问题主要是根据： ①二次根式的被 开方数大于或等于零； ② 分式的分母不为零等列不等式 (组)，转化为求不等式(组)的解集．
原式＝5＋1－3－2
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3＝3－2
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3.
第5课时┃ 数的开方与二次根式
【方法点析】 在中考中，二次根式常与零指数、负整数指数幂结合 在一起考查．
a b － 1 先化简， 再求值： ÷ a－b a2－b2，
例 6 [2014· 成都]
其中 a＝ 3＋1，b＝ 3－1.
根；0 的平方根是 0
非负数 才有算术平方根，而且 只有________ 算术平方根 作 9 的算术平方 非负数 算术平方根都是________ 根 正的 立方根； 正数有一个______ 3 3 ＝27，故 3 叫 0 ； 立方根 0 的立方根是______ 作 27 的立方根 负的立方根 负数有一个______
b b ≥0 >0 ，b________) ＝ ( a ________ a a
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第5课时┃ 数的开方与二次根式
考点4 二次根式的运算
二次根式 先化为最简二次根式， 再将被开方数相同的二次 的加减 二次根式 的乘法 二次根式 的除法 二次根 根式进行合并
≥0 ，b________) a· b＝ ab(a________ ≥0
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第5课时┃ 数的开方与二次根式
探究三 二次根式的化简与计算
命题角度： 1. 二次根式的性质：两个重要公式，积的算术平 方根，商的算术平方根； 2. 二次根式的加减乘除运算．
例 5 [2013· 大连]
1－1 计算：5 ＋(1＋
3)×(1－ 3)－ 12.
解
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归类探究
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第5课时┃ 数的开方与二次根式
探究四 二次根式的估算
命题角度： 1. 二次根式的大小比较方法； 2. 二次根式的估算． 例 7 [2014· 邵阳] A. －1 和 0 之间 C. 1 和 2 之间
解 析
2介于( C ) B. 0 和 1 之间 D. 2 和 3 之间
∵1＜( 2)2＜4，∴ 1＜ 2＜ 4，
∴1＜ 2＜2，∴ 2介于 1 和 2 之间，故选 C.
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第5课时┃ 数的开方与二次根式
【方法点析】 无理数的估算的一般步骤是：首先将原数平方，看其在哪两 个相邻的平方数之间， 运用这种方法可以估计一个带根号的数的 整数部分，从而估计其范围．