安徽省宿松县高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.4 平面与平面垂直的性质教案 新

2.3.4 平面与平面垂直的性质
教学
目标
1.探究平面与平面垂直的性质定理，进一步培养学生的空间想象能力.
2.面面垂直的性质定理的应用，培养学生的推理能力.
3.通过平面与平面垂直的性质定理的学习,培养学生转化的思想.
教学
重、
难点
教学重点:平面与平面垂直的性质定理.
教学难点:平面与平面性质定理的应用.
教学
准备
多媒体课件
教学过
程
复习
（1）面面垂直的定义.
如果两个相交平面所成的二面角为直二面角，那么这两个平面互相垂直.
（2）面面垂直的判定定理.
两个平面垂直的判定定理：
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.
两个平面垂直的判定定理符号表述为：⇒
⎭
⎬
⎫
⊂
⊥
α
β
AB
AB
α⊥β.
两个平面垂直的判定定理图形表述为：
图1
如图2，长方体ABCD—A′B′C′D′中，平面A′ADD′与平面ABCD垂直,
直线A′A垂直于其交线AD.平面A′ADD′内的直线A′A与平面ABCD垂
直吗？
图2
提出问题
①如图3,若α⊥β,α∩β=CD,AB⊂α,AB⊥CD,AB∩CD=B.
请同学们讨论直线AB与平面β的位置关系.
图3
②用三种语言描述平面与平面垂直的性质定理，并给出证明.
③设平面α⊥平面β,点P∈α,P∈a,a⊥β,请同学们讨论直线a与平面α的关系.
④分析平面与平面垂直的性质定理的特点，讨论应用定理的难点.
⑤总结应用面面垂直的性质定理的口诀.
活动:问题①引导学生作图或借助模型探究得出直线AB与平面β的关系. 问题②引导学生进行语言转换.
问题③引导学生作图或借助模型探究得出直线a与平面α的关系.
问题④引导学生回忆立体几何的核心，以及平面与平面垂直的性质定理的特点.
问题⑤引导学生找出应用平面与平面垂直的性质定理的口诀.
讨论结果：①通过学生作图或借助模型探究得出直线AB与平面β垂直,如图3.
②两个平面垂直的性质定理用文字语言描述为：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一平面.
两个平面垂直的性质定理用图形语言描述为：如图4.
图4
两个平面垂直的性质定理用符号语言描述为：⇒
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎪
⎬
⎫
=
⋂
⊥
=
⋂
⊂
⊥
B
CD
AB
CD
AB
CD
AB
β
α
α
β
α
AB⊥β.
两个平面垂直的性质定理证明过程如下：
图5
如图5，已知α⊥β,α∩β=a,AB⊂α，AB⊥a于B.
求证：AB⊥β.
证明：在平面β内作BE⊥CD垂足为B,则∠ABE就是二面角αCDβ的平面角.
由α⊥β,可知AB⊥BE.又AB⊥CD，BE与CD是β内两条相交直线,∴AB⊥β.
③问题③也是阐述面面垂直的性质，变为文字叙述为：
求证：如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内.下面给出证明.
如图6,已知α⊥β，P∈α，P∈a，a⊥β.求证：a⊂α.
图6
证明：设α∩β=c，过点P在平面α内作直线b⊥c，
∵α⊥β,∴b⊥β.而a⊥β，P∈a,
∵经过一点只能有一条直线与平面β垂直,∴直线a应与直线b重合.那么a⊂α.
利用“同一法”证明问题，主要是在按一般途径不易完成问题的情形下所采用的一种数学方法，这里要求做到两点.一是作出符合题意的直线b，不易想到，二是证明直线b和直线a重合，相对容易些.点P的位置由投影所给的图及证明过程可知，可以在交线上，也可以不在交线上.
④我认为立体几何的核心是：直线与平面垂直，因为立体几何的几乎所有问题都是围绕它展开的，例如它不仅是线线垂直与面面垂直相互转化
的桥梁，而且由它还可以转化为线线平行，即使作线面角和二面角的平面角也离不开它.两个平面垂直的性质定理的特点就是帮我们找平面的垂线，因此它是立体几何中最重要的定理.
⑤应用面面垂直的性质定理口诀是：“见到面面垂直，立即在一个平面内作交线的垂线”.
应用示例
例1 如图7，已知α⊥β，a⊥β,a⊄α,试判断直线a与平面α的位置关系.
图7
解:在α内作垂直于α与β交线的垂线b,
∵α⊥β,∴b⊥β.∵a⊥β,∴a∥b.∵a⊄α,∴a∥α.
变式训练
如图8,已知平面α交平面β于直线a.α、β同垂直于平面γ，又同平行于直线b.求证：(1)a⊥γ；(2)b⊥γ.
图8 图9
证明：如图9,
(1)设α∩γ=AB，β∩γ=AC.在γ内任取一点P并在γ内作直线PM⊥AB，PN⊥AC.
∵γ⊥α，∴PM⊥α.而a⊂α，∴PM⊥a.
同理,PN⊥a.又PM⊂γ，PN⊂γ，∴a⊥γ.
(2)在a上任取点Q，过b与Q作一平面交α于直线a1，交β于直线a2.∵b∥α，∴b∥a1.同理,b∥a2. ∵a1、a2同过Q且平行于b，∴a1、a2重合.
又a 1⊂α，a 2⊂β，∴a 1、a 2都是α、β的交线，即都重合于a. ∵b∥a 1，∴b∥a.而a⊥γ，∴b⊥γ.
点评：面面垂直的性质定理作用是把面面垂直转化为线面垂直，见到面面垂直首先考虑利用性质定理，其口诀是：“见到面面垂直，立即在一个平面内作交线的垂线”.
例2 如图10，四棱锥P —ABCD 的底面是AB=2，BC=2的矩形，侧面PAB 是等边三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD.
图10 图11
（1）证明侧面PAB⊥侧面PBC ；
（2）求侧棱PC 与底面ABCD 所成的角；
（3）求直线AB 与平面PCD 的距离.
（1）证明：在矩形ABCD 中，BC⊥AB, 又∵面PAB⊥底面ABCD,侧面PAB∩底面ABCD=AB,∴BC⊥侧面PAB. 又∵BC ⊂侧面PBC,∴侧面PAB⊥侧面PBC.
（2）解：如图11,取AB 中点E ，连接PE 、CE,又∵△PAB 是等边三角形,∴PE⊥AB.
又∵侧面PAB⊥底面ABCD ，∴PE⊥面ABCD.
∴∠PCE 为侧棱PC 与底面ABCD 所成角.
PE=2
3BA=3,CE=22BC BE +=3, 在Rt△PEC 中，∠PCE=45°为所求.
（3）解：在矩形ABCD 中，AB∥CD,
∵CD ⊂侧面PCD ，AB ⊄侧面PCD ，∴AB∥侧面PCD.
取CD 中点F ，连接EF 、PF ，则EF⊥AB.
又∵PE⊥AB,∴AB⊥平面PEF.又∵AB∥CD,
∴CD⊥平面PEF.∴平面PCD⊥平面PEF.
作EG⊥PF，垂足为G ，则EG⊥平面PCD.
在Rt△PEF 中，EG=
5
30=•PF EC PE 为所求. 变式训练
如图12，斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的棱长都是a ，侧棱与底面成60°角，侧面BCC 1B 1⊥面ABC.求平面AB 1C 1与底面ABC 所成二面角的大小.
图12
活动:请同学考虑面BB 1C 1C⊥面ABC 及棱长相等两个条件，师生共同完成表述过程，并作出相应辅助线.
解：∵面ABC∥面A 1B 1C 1，则面BB 1C 1C∩面ABC=BC,
面BB 1C 1C∩面A 1B 1C 1=B 1C 1,∴BC∥B 1C 1，则B 1C 1∥面ABC.
设所求两面交线为AE ，即二面角的棱为AE,
则B 1C 1∥AE，即BC∥AE.
过C 1作C 1D⊥BC 于D ，∵面BB 1C 1C⊥面ABC,
∴C 1D⊥面ABC ，C 1D⊥BC.
又∠C 1CD=60°,CC 1=a,故CD=2
a ,即D 为BC 的中点. 又△ABC 是等边三角形,∴BC⊥AD.
那么有BC⊥面DAC 1,即AE⊥面DAC 1.
故AE⊥AD，AE⊥AC 1,∠C 1AD 就是所求二面角的平面角.
∵C 1D=23a ，AD=2
3a ，C 1D⊥AD,故∠C 1AD=45°. 点评:利用平面与平面垂直的性质定理,找出平面的垂线是解决问题的关键.
课堂小结
知识总结：利用面面垂直的性质定理找出平面的垂线，然后解决证明垂直。