2.2.1 双曲线及其标准方程 (第1课时)
2.2.1双曲线及其标准方程(1)
F2( c , 0 ) X
问题
我们已经知道， 我们已经知道 ， 与两定点的距离的 为常数的点的轨迹是椭圆， 那么与两 和 为常数的点的轨迹是椭圆 ， 那么 与两 定点的距离的差 定点的距离的 差 为非零常数的点的轨迹 是怎样的曲线呢？ 是怎样的曲线呢？
试验
思考? 类比椭圆的定义,你能给出双曲 思考? 类比椭圆的定义 你能给出双曲
y M
2. 设 点 设 M （ x,y ） 是 双 O F2 x F1 曲线上任意一点，双 曲 线 的 焦 距 为 2c(c>0) ， 那么， 那么，. 焦点F 的坐标分别是(－ 焦点 1、F2的坐标分别是 － c,0)、(c,0).又设 与F1、F2的距离的差的绝 又设M与 、 又设 对值等于常数2a.由定义可知 由定义可知， 对值等于常数 由定义可知，双曲线就是集 合
线的定义吗? 线的定义吗
双曲线的定义
我们把平面内与两个定点 F1 、 F2 的 距离的差的绝对值等于常数（ 距离的差的绝对值等于常数（小于F1 F2 ） 的点的轨迹叫做双曲线 双曲线. 的点的轨迹叫做双曲线
M
说明
①常数小于 F1 F2 ； ②这两个定点叫做双曲线的焦点； 这两个定点叫做双曲线的焦点； 焦点
双曲线及其标准方程 (第一课时)
y
M
F 1
o
F 2
x
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复习
椭圆的定义：
我们把平面内与两个定点F1、F2的距离的和等 于常数（大于∣ F1F2∣）的点的轨迹叫椭圆. 这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫 椭圆的焦距.
Y
M (x, y)
F1 (− c , 0 )
O
2.类比椭圆标准方程的建立过程 你能建 类比椭圆标准方程的建立过程,你能建 类比椭圆标准方程的建立过程 立双曲线的标准方程吗? 立双曲线的标准方程吗
双曲线及其标准方程教案
2.2.1双曲线的标准方程（1）【教学目标】: 1.知识与技能掌握双曲线的定义,标准方程,并会根据已知条件求双曲线的标准方程. 2.过程与方法教材通过具体实例类比椭圆的定义,引出双曲线的定义,通过类比推导出双曲线的标准方程. 3.情感、态度与价值观通过本节课的学习,可以培养我们类比推理的能力,激发我们的学习兴趣,培养学生思考问题、分析问题、解决问题的能力.【教学重点】: 双曲线的定义、标准方程及其简单应用 【教学难点】: 双曲线标准方程的推导 【授课类型】：新授课 【课时安排】：1课时【教 具】：多媒体、实物投影仪 【教法学法】（一）教学方法 引导探索、发现法 （二）学习方法 自主探索、合作交流 ． （三） 教学手段 多媒体辅助教学． 【教学过程】 一.情境设置(1)图片展示、引入课题 (2)复习提问：(由一位学生口答，教师利用多媒体投影) 问题 1：椭圆的定义是什么？问题 2：椭圆的标准方程是怎样的？问题3：如果把上述椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会发生什么变化？它的方程又是怎样的呢？教师指出：为探究双曲线的定义，先回顾椭圆的定义，即： 椭圆上动点M 满足：a MF MF 221=+(a >0)引导一：若将上式改为a MF MF 221=-(a >0)，动点M 的轨迹是怎样的曲线呢？ [解决方法]课件演示作图过程，指出这一条曲线(图1)就是满足：集合｝，＝｛ a a MF MF M P 02211>-=的动点M 的轨迹.若将上述集合改为｝，＝｛ a a MF MF M P 02122>-= ，比较两集合的关系，取a FF 21=，同理可画出此时动点M 的轨迹(图2).观察、比较，归纳： 上面两条曲线合起来叫做双曲线，每一条叫做双曲线的一支. 其中右边一支满足：21MF MF > ，左边一支满足：21MF MF <引导二：（1）在纸板上作图说明了什么？（2）根据上述绘图原理，双曲线上的动点M 应满足什么条件？ （3）常数2a 与21F F 有什么关系？ 教师引导学生观察、分析，并归纳结论：（1）平面内（2）动点M 与两个定点F 1 ， F 2的差的绝对值等于常数. （3）2120F F a <<并鼓励学生根据上述三点结论大胆归纳出双曲线的定义即为：平面内与两个定点21F F 、的差的绝对值等于常数(小于21F F )的点的轨迹叫做双曲线. 并引入双曲线焦点和焦距的概念：这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距.引导三：如果改变常数a 2的范围（2a =21F F ，2a =0， 2a ＞21F F ），动点 的轨迹会发生什么变化呢？[解决方法]教师让学生相互讨论 ，鼓励学生大胆阐述自己的结论，并运用课件进行演示，归纳出：常数2 a 动点M 的轨迹 (1) a MF MF 221±=- (0＜2a ＜21F F ) 双曲线 (2) 21212F F a ＝MF MF =- 线段F 1 F 2的延长线上以F 2为端点的一条射线21122F F a ＝MF MF =- 段F 2F 1的延长线上以F 1为端点的一条射线(3) 2 a = 0 段F 1 F 2的中垂线 (4) 212F F a > (违背了三角形三边长的关系) 不存在 （三）类比探究 建立方程引导四：怎样建立双曲线的标准方程呢？第一步 建系：建立直角坐标系xOy ，使x 轴经过点21F F 、，并且点O 与线段21F F 的中点重合.（在回顾椭圆标准方程推导时如何建立坐标系后， 建立起双曲线标准方程推导时的坐标系.）第二步 设点： 设),(y x M 是双曲线上任意一点，双曲线的焦距为)0(2>c c ，那么，焦点21F F 、的坐标分别是(0,c -)、(0,c ).又设点M 与21F F 、的距离的差的绝对值等于常数2 a.第三步 写点集：根据定义写出M 点的轨迹构成的点集：P = { M | |MF 1 | — |MF 2 | =± 2 a }第四步 列方程：用坐标法表示条件P （M ），列出方f(x ，y)=0，即：a y c x y c x 2)()(2222±=+--++ ①第五步 化简：化方程f(x ，y)=0为最简形式.将方程①化简，得)(2)(2222222a c y a x a c -=-- ②由双曲线的定义可知，a c 22>，即a c >，所以022>-a c .令222b a c =-， 其中0>b ，代入上式，得222222b a y a x b =- 两边除以22b a ，得出：图3对此方程要强调：它是双曲线的焦点在x 轴上的标准方程，焦点是： F 1 (0,c -)、F 2 (0,c )，焦距c 2.注 意：区别双曲线和椭圆的标准方程中c b a ,,的关系：双曲线：222b a c +=（0,0>>b a ，没有确定的大小关系与b a ） 椭 圆：222ba c －=（0>>b a ）引导五：焦点在y 轴上，并且点O 与线段21F F 的中点重合，c b a ,,的意义同上，双曲线的方程又如何呢 ？图4[解决方法]先让学生作出图4，引导学生观察、比较图3与图4，并根据椭圆的焦点在y 轴上的标准方程的推导方法，鼓励学生大胆猜想，归纳出：只需将上述标准方程中的 x 、y 互换，即：引导六：观察上述两个不同的标准方程，思考：（1）双曲线的标准方程有何特点?（2）22,y x 项的符号与该双曲线的焦点所在位置有什么关系？[解决方法] 由学生小组交流，教师对学生的回答进行必要的点评，一定要让学生 对上述问题的解答都有明确的认识.并归纳出：由双曲线标准方程确定焦点位置的方法：双曲线的焦点应在系数为正的那一项所对应的坐标轴上(正项定焦轴).(四) 实践探索 形成能力1 例题剖析，初步应用例1 已知双曲线两焦点的坐标为)0,5(),0,5(21F F -，双曲线上一点P 到1F 、2F 的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程.[解决方法] 课本例题，难度不大，但能起到及时对所学概念进行巩固训练的作用.教学中紧扣定义和标准方程的知识.由学生合作完成，再由学生代表发言，叙述解题过程，教师点评，板书规范的解题步骤.并指出：上述例题的求解运用了求曲线方程的基本方法之一： 待定系数法.变式1．已知双曲线的焦点为F 1(0,-5), F 2(0,5)，双曲线上一点P 到F 1、 F 2的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程.变式2．已知|12F F |＝10, 126PFPF -=，求点Ｐ轨迹的标准方程. （五）知识小结，纳入系统1 知识点：(1)双曲线的定义，焦点，焦距的概念。
双曲线及其标准方程(第一课时)
【自学导引】1．我们把平面内与两个定点F 1、F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．2．双曲线的标准方程有两种情形．(1)焦点在x 轴上，标准方程为)0,0(12222>>=-b a b y a x ，焦点F 1 (－c ，0)、F 2 (c ，0)，这里有c 2＝a 2＋b 2．(2)焦点在y 轴上，标准方程为)0,0(12222>>=-b a b x a y ，焦点F 1 (0，－c )、F 2 (0，c )，这里有c 2＝a 2＋b 2．【思考导学】1．双曲线的定义应注意差的绝对值和2a <|F 1F 2|．2．在双曲线的定义中，P 为动点．(1)若|PF 1|－|PF 2|＝2a 时，曲线只表示焦点F 2所对应的一支双曲线．(2)若|PF 1|－|PF 2|＝－2a 时，曲线只表示焦点F 1所对应的一支双曲线．(3)若|F 1F 2|＝2a 时，动点的轨迹不再是双曲线，而是以F 1、F 2为端点向外的两条射线．(4)若|F 1F 2|<2a 时，动点的轨迹不存在．3．判定双曲线的焦点在哪条轴上，不像椭圆比较x 2、y 2的分母的大小而是看x 2、y 2的系数的符号，焦点在系数为正的那条轴上．【典例剖析】［例1］已知双曲线的一个焦点坐标为F 1(0，－13)，双曲线上一点P 到两焦点距离之差的绝对值为24，求双曲线的标准方程．解：因为双曲线的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为2222b x a y -＝1(a ＞0，b ＞0) ∵2a ＝24，c ＝13，∴a ＝12，c ＝13，∴b 2＝c 2－a 2＝132－122＝25． 所以所求双曲线的标准方程为2514422x y -＝1． 点评：本例是运用待定系数法求双曲线的标准方程，即：求双曲线的标准方程就是求a 、b 的值．同时还考查了如何判断焦点所在的坐标轴及a 、b 、c 间的关系：c 2＝a 2＋b 2．［例2］在△MNG 中，已知NG ＝4．当动点M 满足条件sin G －sin N ＝21sin M 时，求动点M 的轨迹方程．解：以NG 所在的直线为x 轴，以线段NG 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系．∵sin G －sin N ＝21sin M∴由正弦定理，得|MN |－|MG |＝21×4∴由双曲线的定义知，点M 的轨迹是以N 、G 为焦点的双曲线的右支(除去与x 轴的交点)∴2c ＝4，2a ＝2，即c ＝2，a ＝1∴b 2＝c 2－a 2＝3．∴动点M 的轨迹方程为x 2－32y ＝1(x ＞0，且y ≠0)点评：求轨迹方程时，如果没有直角坐标系，应先建立适当的直角坐标系，动点M 的轨迹是双曲线的一支并且去掉一个点．这种情况一般在求得方程的后面给以说明，并把说明的内容加上括号． ［例3］已知双曲线的两个焦点坐标为F 1(－2，－2)、F 2(2，2)，双曲线上一点P 到F 1、F 2的距离的差的绝对值等于22，求双曲线的方程． 解：设P 点的坐标为(x ，y )∵|PF 1|＝22)2()2(+++y x ，|PF 2|＝22)2()2(-+-y x ，|PF 1|－|PF 2|＝±22， ∴22)2()2(+++y x －22)2()2(-+-y x ＝±22．将这个方程移项后，两边平方，得(x ＋2)2＋(y ＋2)2 ＝8±4222)2()2(-+-y x ＋(x －2)2＋(y －2)2，x ＋y －2＝±22)2()2(-+-y x ，两边再平方，得x 2＋y 2＋2＋2xy －22x －22y ＝x 2－22x ＋2＋y 2－22y ＋2，整理得xy ＝1为所求曲线的方程．点评：在初中我们知道函数y ＝x 1的图象是双曲线，为什么是双曲线并不清楚．通过本例知道y ＝x 1的图象满足双曲线的定义，因此它是双曲线．由于本例中的双曲线的焦点F 1(－2，－2)、F 2(2，2)不在坐标轴上，所以求得的双曲线方程不是标准方程．【随堂训练】1．在双曲线标准方程中，已知a ＝6，b ＝8，则其方程是( )A ．643622y x -＝1B ．366422y x -＝1C ．643622x y -＝1D ．643622y x -＝1或643622x y -＝1解析：∵双曲线的标准方程是2222b y a x -＝1或2222b x a y -＝1 ∴双曲线的方程是1643622=-y x 或643622x y -＝1．答案：D2．已知方程k y k x --+1122＝1表示双曲线，则k 的取值范围是( )A ．－1＜k ＜1B ．k ＞0C ．k ≥0D ．k ＞1或k ＜－1解析：∵方程k y k x --+1122＝1表示双曲线，∴(1＋k )(1－k )＞0∴－1＜k ＜1．答案：A3．双曲线k y m x --+112222＝1的焦距是( )A ．4B ．22C ．8D ．与m 有关解析：c 2＝a 2＋b 2＝m 2＋12＋(4－m 2)＝16，c ＝4，焦距2c ＝8．答案：C4．已知定点F 1(－2，0)，F 2(2，0)在满足下列条件的平面内动点P 的轨迹中，为双曲线的是( )A ．|PF 1|－|PF 2|＝±3B ．|PF 1|－|PF 2|＝±4C ．|PF 1|－|PF 2|＝±5D ．|PF 1|2－|PF 2|2＝±4答案：A5．k ＞9是方程4922-+-k y k x ＝1表示双曲线的________条件． 解析：当k ＞9时，9－k ＜0，k －4＞0．方程表示双曲线．当k ＜4时，9－k ＞0，k －4＜0．方程也表示双曲线．∴k ＞9是方程4922-+-k y kx ＝1表示双曲线的充分不必要条件． 答案：充分不必要6．已知双曲线16922y x -＝1上的一点P 到双曲线的一个焦点的距离为3，则点P 到另一个焦点的距离为________．解析：设双曲线的左、右焦点分别为F 1、F 2，则||PF 1|－|PF 2||＝6．设|PF 2|＝3，由3＜5知P 在右支上．∴|PF 1|＝6＋3＝9．答案：9【强化训练】1．已知点F 1(－4，0)、F 2(4，0)，曲线上的动点P 到F 1、F 2的距离之差为6，则曲线的方程为( )A ．7922y x -＝1(x ＞0) B ．7922y x -＝1 C ．7922x y -＝1(y ＞0) D ．7922x y -＝1 解析：∵c ＝4，a ＝3，∴b 2＝c 2－a 2＝7．∴P 点的坐标应满足方程7922y x -＝1．∵|PF 1|－|PF 2|＝6．∴P 点的横坐标应大于0．答案：A2．在方程mx 2－my 2＝n 中，若mn ＜0，则方程的曲线是( )A ．焦点在x 轴上的椭圆B ．焦点在x 轴上的双曲线C ．焦点在y 轴上的椭圆D ．焦点在y 轴上的双曲线解析：把方程mx 2－my 2＝n 写成标准方程m ny mn x 22-＝1 ∵mn ＜0，∴m n ＜0，－m n＞0．∴方程表示焦点在y 轴上的双曲线．答案：D3．双曲线91622y x -＝1上的点P 到点(5，0)的距离为15，则P 到点(－5，0)的距离是( ) A ．7B ．23C ．25或7D ．7或23解析：∵a 2＝16，b 2＝9，∴c 2＝25∴点(5，0)、(－5，0)是双曲线的焦点F 2、F 1．∵|PF 2|＝15，∴|PF 1|＝±8＋15即|PF 1|＝23或|PF 1|＝7．答案：D4．已知双曲线的方程为2222b y a x -＝1，点A 、B 在双曲线的右支上，线段AB 经过双曲线的右焦点F 2，|AB |＝m ，F 1为另一焦点，则△ABF 1的周长为( )A ．2a ＋2mB ．4a ＋2mC ．a ＋mD ．2a ＋4m解析：∵A 、B 在双曲线的右支上，∴|BF 1|－|BF 2|＝2a ，|AF 1|－|AF 2|＝2a ，∴|BF 1|＋|AF 1|－(|BF 2|＋|AF 2|)＝4a∴|BF 1|＋|AF 1|＝4a ＋m∴△ABF 1的周长为4a ＋m ＋m ＝4a ＋2m ．答案：B5．F 1、F 2是双曲线16922y x -＝1的两个焦点，P 在双曲线上且满足|PF 1|·|PF 2|＝32．则∠F 1PF 2＝_________解析：设∠F 1PF 2＝α，|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2． 在△F 1PF 2中，由余弦定理得(2c )2＝r 12＋r 22－2r 1r 2cos α，∴cos α＝21221221242)(r r c r r r r -+-＝641006436-+＝0∴α＝90°答案：90°6．已知双曲线42x －y 2＝1的两个焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线上且满足∠F 1PF 2＝90°．则△F 1PF 2的面积是________．解析：设P 为左支上的点，F 1为左焦点，|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2．则②－①2得r 1r 2＝2∴21PF F S ∆＝21r 1r 2＝1．答案：17．双曲线2x 2－y 2＝k 的焦距是6，求k 的值．解：把双曲线的方程写成标准形式，ky k x 222-＝1．当k ＞0时，a 2＝2k ，b 2＝k ，由题知2k＋k ＝9即k ＝6．当k ＜0时，a 2＝－k ，b 2＝－2k ，－k －2k＝9即k ＝－6综上所述k ＝±6为所求．8．已知定点A (3，0)和定圆C ：(x ＋3)2＋y 2＝16，动圆和圆C 相外切，并且过点A ，求动圆圆心P 的轨迹方程．解：设P 的坐标为(x ，y )∵圆C 与圆P 外切且过点A ，∴|PC |－|PA |＝4∵|AC |＝6＞4，∴点P 的轨迹是以C 、A 为焦点，2a ＝4的双曲线的右支．∵a ＝2，c ＝3，∴b 2＝c 2－a 2＝5．∴5422y x -＝1(x ＞0)为动圆圆心P 的轨迹方程．9．过双曲线2514422y x -＝1的一个焦点作x 轴的垂线，求垂线与双曲线的交点到两焦点的距离． 解：∵双曲线方程为2514422y x -＝1 ∴c ＝25144+＝13，于是焦点F 1(－13，0)、F 2(13，0)，设过点F 1的垂直于x 轴的直线l 交双曲线于A (－13，y )(y >0)． ∴144251144132522=-=y ，∴y ＝1225，即|AF 1|＝1225 又∵|AF 2|－|AF 1|＝2a ＝24，∴|AF 2|＝24＋|AF 1|＝24＋1225＝12313故垂线与双曲线的交点到两焦点的距离为1225或12313．【学后反思】1．如果双曲线的焦点在坐标轴上，并且关于原点对称，那么双曲线的方程是标准的，否则是不标准的．求双曲线的标准方程就是求a 、b ，并且判断焦点所在的坐标轴．a 、b 、c 之间的关系是a 2＋b 2＝c 2．2．当P 满足0＜|PF 1|－|PF 2|＜|F 1F 2|时，点P 的轨迹是双曲线的一支；当0＜|PF 2|－|PF 1|＜|F 1F 2|时，点P 的轨迹是双曲线的另一支；当|PF 1|－|PF 2|＝±|F 1F 2|时，点P 的轨迹是两条射线，||PF 1|－|PF 2||不可能大于|F 1F 2|．3．已知|PF 1|求|PF 2|可以利用|PF 1|－|PF 2|＝±2a ．已知∠F 1PF 2时，往往利用余弦定理，并且对|PF 1|－|PF 2|＝±2a 进行平方．。
2.2.1 双曲线及其标准方程
2.2.1 双曲线及其标准方程徐成金 2011/5/7一、教学目标：1、知识与技能目标：理解和掌握双曲线的定义、标准方程及其求法。
2、过程与方法目标：掌握双曲线的定义、标准方程及其推导方法，培养学生动手能力，分类讨论、类比的数学思想方法。
3、情感态度与价值观目标：通过对双曲线定义与椭圆定义的比较，是学生认识到比较法是认识事物掌握其实质的一种有效方法。
二、教学重点与难点重点：双曲线的定义，求双曲线标准方程教学难点：推导双曲线的标准方程，领悟解析法思想三、教学过程1、课题引入想一想：A、B两地相距800m，在A、B两地同时听到炮弹的爆炸声，那么炮弹爆炸点应在什么位置？（我们在一个平面上考虑问题）解：A、B两地同时听到炮弹的爆炸声，说明爆炸点与A、B两处的距离相等，因此炮弹爆炸点应在线段AB的垂直平分线上。
想一想：A 、B 两地相距800m ，在A 、B 两地同时听到炮弹的爆炸声的时间之和为4s ，求炮弹爆炸点的轨迹方程？（我们在一个平面上考虑问题，声速为s m /340）分析:经过前面椭圆的学习，我们知道炮弹爆炸点的轨迹是椭圆，我们根据已知条件可以求出椭圆的方程。
解：首先建立平面直角坐标系xoy ，以A 、B 两定点连线为x 轴，两定点的垂直平分线为y 轴，则，)0,400(),0,400(B A -，设),(y x p ，由已知：116000046240030240016000046240040080028006801360221360340422222=+⇒=-=-=⇒=⇒=⇒==⇒=⇒==⨯=+y x c a b c c AB a a a PB PA 为炮弹爆炸点的轨迹方程想一想：那么，如果A 、B 两地相距800m ，在A 、B 两地同时听到炮弹的爆炸声的时间之差为2s ，求炮弹爆炸点的轨迹方程？（我们在一个平面上考虑问题，声速为s m /340）分析：我这里把“时间之和”改为“时间之差”，那么炮弹爆炸点的轨迹方程是什么呢？下面我们来学习《2.2.1 双曲线及其标准方程》 2、讲授新课椭圆的定义是什么？平面内与两个定点21F 、F 的距离之和等于常数（大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆。
北师大高中数学选择性必修第一册2.2.1 双曲线及其标准方程【课件】
以b2＝c2－a2＝5，则 ＋(－3) − ＋(＋) ＝4表示的曲线方程为
− ＝1(y≤－2)，故选C.
[例 2]
根据下列条件求双曲线的标准方程.
2
2
(1)求以椭圆 ＋ ＝1 的短轴的两个端点为焦点，且过点
＝1(y≥2)
解析： ＋(－3) 的几何意义为点M(x，y)到点F1(0，3)的距离，
＋(＋) 的几何意义为点M(x，y)到点F2(0，－3)的距离，则
＋(－3) − ＋(＋) ＝4表示点M(x，y)到点F1(0，3)的距离与
到点F2(0，－3)的距离的差为4，且4＜|F1F2|，所以点M的轨迹是以F1，
焦点 F2 的距离|PF2|.
[解析]
(1)利用椭圆和双曲线的定义列出关于|PF1|，|PF2|的方程组，
分别求出|PF1|，|PF2|的值，从而得到|PF1|·|PF2|的值.
由椭圆和双曲线的对称性可知，不妨设点P在第一象限，由椭圆和双曲
| |＋| |＝ ，
线的定义得൝
| |－| |＝ ，
2
2
＝1(a＞0，b＞
2
2
0)，其焦点坐标为 F1(－c，0)，F2(c，0) ，其中 c2＝a ＋b .
2
2. 如果焦点 F1，F2 在 y 轴上，双曲线的标准方程为
2
−
2
2
2 a2＋b2
F
(0，－c)，F
(0，c)
1
2
0)，其焦点坐标为
，其中 c ＝
.
＝1(a＞0，b＞
1. 定义中为何规定到定点 F1，F2 的距离之差的绝对值等于常数，且该常数的
双曲线及其标准方程教案
《双曲线及其标准方程》教案课时 1 主备教师 襄阳九中 杨俊一、课题 §2.2.1双曲线及其标准方程二、学习目标：1. 理解和掌握双曲线的定义，以及双曲线标准方程的推导；2．会根据所给的条件画出双曲线的草图并求出双曲线的标准方程。
三、学习重点和难点：学习重点：双曲线的定义及其标准方程，以及根据条件画出双曲线的草图并求出双曲线的标准方程；学习难点：双曲线的定义及标准方程的推导。
四、学习方法指导：类比椭圆及其标准方程的学习方法，通过动手实验、动手画双曲线的过程，揭示双曲线上的点所要满足的条件，掌握双曲线的本质特性，得出双曲线的定义，以自主探究、小组合作、大胆想象、总结规律主线，从而完成本节课的学习。
五、学前准备：1.椭圆的定义是什么？椭圆的标准方程是什么？2.在椭圆的标准方程22221x y a b+= 中， 有,,a b c 何关系？若5,3,a b ==则?c =写出符合条件的椭圆标准方程．3.预习教材4548P P ~，找出疑惑之处。
六、学习过程：（一）问题探究：1、把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎样？2、动手实验。
（找三位同学，边演示、边说明。
）定点1F 、2F 是两个按钉，MN 是一个细套管，两条细绳分别拴在按钉上且穿过套管，点M 移动时，|1MF |-|2MF |和|2MF |-|1MF |是常数。
3、针对上面问题和实验思考：1).在运动中，这条曲线上的点所满足的几何条件是什么？2).能否说，这条曲线是平面上一个动点到两个定点的距离之差等于定长的点的轨迹呢？3).应该如何描述动点M 所满足的几何条件？4).还有其它约束条件吗？4、上面的思考中我们可以总结为：平面内与两定点1F 、2F 的距离 的 是常数( 于|12F F |)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点1F 、2F 叫做双曲线的 ，两个焦点之间的距离叫做 ．5、类比椭圆标准方程的建立过程，怎样选择坐标系，建立双曲线的标准方程呢？1).建系设点:取过焦点1F 、2F 的直线为 轴，线段|12F F |的 为y 轴, 建立直角坐标系设(,)M x y 为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是 (c ＞0)，那么1F 、2F 的坐标分别是( ， )、( ， )．又设点M 与1F 、2F 的距离的差的绝对值等于常数 ． 2).点的集合:由定义可知，双曲线就是集合P { }.3).代数方程: |1MF |=|2MF |=4).化简(类比建立椭圆标准方程的化简过程.)化简得 6、类比焦点在y 轴上的椭圆标准方程,那们得到焦点在y 轴双曲线的标准方程为。
【数学】2.2.1 双曲线及其标准方程 课件1(人教A版选修1-1)
( x c ) 2 y 2 ( x c ) 2 y 2 2a
( x c)
2
2Hale Waihona Puke 2y2 2a
2
( x c) y
2
2
2
cx a a ( x c) y
2
2 2 2 2 2 2
2
(c a ) x a y a (c a )
2 2
(4) 4 x 3 y 1
2 2
x2 y2 1 9 16
x y (5) 2 2 1(m 0) m m 1
2
2
请求出下列双曲线的 a、b、c和它们的焦点坐标。
x2 y 2 (1) 1 3 2
a 3, b 2, c 5 F1 ( 5, 0), F2 ( 5, 0)
（1）a=3,b=4，焦点在x轴上；
解： 焦点在x轴上.
x2 y 2 可设所求双曲线方程为 2 2 1 a b
由题意得
a=3,b=4
x2 y 2 所求双曲线方程为 1 9 16
(2)求适合下列条件的双曲线的标准方程： a 2 5, 经过点A(2, 5), 焦点在y轴上；
解： 焦点在y轴上.
可设所求双曲线方程为
a 2 5 由题意得： 25 4 2 2 1 b a
所求双曲线方程为
2
y2 x2 2 1 2 a b
解得 b 2 16
y x 1 20 16
2
（3）若a=6，c=10，焦点在坐标轴上。
解：
a 6, c 10 b c a 64
第二章 圆锥曲线与方程 2.2.1 双曲线及其标准方程
《双曲线及其标准方程》第一课时示范公开课教学设计
《双曲线及其标准方程》教学设计第1课时“双曲线及其标准方程”是在讲完了“圆的方程”“椭圆及其标准方程”之后，学习的又一类圆锥曲线知识，也是中学解析几何的学习中最重要的内容之一，它在社会生产、日常生活和科学技术等领域有着广泛的应用，也是大纲中明确要求学生必须熟练掌握的重要内容．双曲线的定义、标准方程与椭圆类似，教科书的处理方法也相仿，也就是说，本小节在数学思想和方法上没有新内容，因此，这一小节的教学可以参照第2.2.1节进行．教学中要着重对比椭圆与双曲线的相同点和不同点，特别是它们的不同点．课时分配本节内容分两课时完成．第1课时讲解双曲线的定义，要求学生类比椭圆标准方程的推导过程推导双曲线的标准方程；第2课时讲解运用双曲线的定义及其标准方程解题．1．使学生掌握双曲线的定义，理解双曲线标准方程的推导过程，能根据条件确定双曲线的标准方程．2．在与椭圆的类比中，掌握双曲线的标准方程的推导方法，增强合作学习能力和运用所学知识解决实际问题的能力；培养学生运用类比、数形结合思想解决问题的能力．教学重点：双曲线的定义和双曲线的标准方程．教学难点：双曲线标准方程的推导．复习引入1．椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．2．椭圆的标准方程（1）焦点在x 轴x 2a 2＋y 2b 2＝1，（a >b >0）；（2）焦点在y 轴y 2a 2＋x 2b 2＝1，（a >b >0）．3．a 、b 、c 之间有何种关系？ a 2＝c 2＋b 2． 探究新知探究：如果把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会发生什么变化？用几何画板演示拉链的轨迹：（A ） （B ）活动成果：以上两条曲线合起来叫做双曲线，每一条叫做双曲线的一支． 下面请同学们思考以下问题：设问：①定点与动点不在同一平面内，能否得到双曲线？ ②两条曲线中到“两定点的距离的差”有什么关系？③这个常数是否会大于或等于两定点间的距离？（几何画板演示当常数等于|F 1F 2|及常数大于|F 1F 2|时的点的轨迹，帮助学生理解）请学生回答：1．不能．指出必须“在平面内”．2．到两定点的距离的差的绝对值相等，否则只表示双曲线的一支，且到两定点的距离的差的绝对值为一个常数，即||MF 1|－|MF 2||＝2a ．3．应小于两定点间距离且大于零．当常数等于|F 1F 2|时，轨迹是以F 1、F 2为端点的两条射线；当常数大于|F 1F 2|时，无轨迹．活动设计：小组讨论，实验演示，通过提出问题，让学生讨论问题，并尝试解决问题．让学生了解双曲线的前提条件，并培养学生的全面思考能力．感受曲线，解读演示得到的图形是双曲线（一部分）．提出问题：类比椭圆的定义，给出双曲线的定义．活动设计：学生先独立思考，教师加以引导，与椭圆有一个类比，允许学生自愿合作、讨论、交流．学情预测：学生的回答可能不全面、不准确，我们可以用几何画板演示学生的回答，让他们发现问题，然后不断补充、纠正，趋于完善．活动成果：师生共同概括出双曲线的定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．（在归纳定义时强调定义要满足三个条件：在平面内、任意一点到两个定点的距离的差的绝对值等于常数、常数小于|F1F2|且大于零）下面我们类比椭圆方程的推导，选择适当的坐标系，建立双曲线方程．为今后通过方程研究双曲线的性质做好准备．提出问题：求椭圆方程的步骤是什么？活动结果：建系、设点、列式、化简．（学生回答，教师板书）提出问题：和椭圆类似，我们应如何建立坐标系，使求出的方程更为简单？活动设计：学生先独立思考，类比椭圆找到两种简单的建系方法，并找学生到黑板板演，教师巡视指导其他学生，必要时给板演的学生给予指导．（推导过程以焦点在x轴上为例）学生板演，先请学生评讲，教师再评讲．以线段F1F2的中点为原点，直线F1F2为x轴，建立直角坐标系．设P（x，y）是双曲线上任意一点，双曲线的焦距为2c（c>0），那么，焦点F1，F2的坐标分别是（－c，0），（c，0），又设点P与F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a．则有：x－c2＋y2－x＋c2＋y2＝±2a，①移项，得x＋c2＋y2＝x－c2＋y2±2a．两边平方，得x－c2＋y2＝|a－ca x|．②②式再两边平方并整理得（c2－a2）x2－a2y2＝a2（c2－a2），（※）根据双曲线的定义c＞a，c2－a2＞0．设b2＝c2－a2，代入上式，得x2a2－y2b2＝1．这个方程叫做双曲线的标准方程，它所表示的双曲线的焦点在x轴上，焦点坐标是F1（－c，0）、F2（c，0）．学情预测：一般情况下，得到方程（※）后，学生会类比椭圆设b2＝c2－a2，但要注意证明的严密性，帮助学生在证明过程中完善步骤．提出问题：设此方案中的双曲线与x 轴的交点分别为A 1，A 2，同学们都知道a ，c 的含义，你能从图形中找到长度分别等于a ，c 的线段吗？学情预测：估计得出c ＝|F 1F 2|2＝|OF 1|＝|OF 2|，a ＝|A 1A 2|2＝|OA 1|＝|OA 2|应当不会有问题．提出问题：你能在y 轴上找一点B ，使得|OB |＝b 吗？学情预测：学生会发现在y 轴的正负半轴上各有一个这样的点，我们分别设为B 1，B 2，则|B 2A 1|＝|B 2A 2|＝c ＝|B 1A 1|＝|B 1A 2|．这样，因为△B 2OA 2为直角三角形，且|B 2A 2|＝c ，|OA 2|＝a ，所以，c 2－a 2＝|OB 2|2．因此，方程（※）中的c 2－a 2有明显的几何意义．提出问题：如果以F 1，F 2所在直线为y 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为x 轴，建立直角坐标系，焦点是F 1（0，－c ），F 2（0，c ），双曲线的方程又如何呢？类比椭圆，如果双曲线的焦点在y 轴上，把方程x 2a 2－y 2b 2＝1中的x 、y 互换，得到它的方程为y 2a 2－x 2b2＝1，这也是双曲线的标准方程．双曲线的标准方程有两个．教师应指出：我们所得的两个方程x 2a 2－y 2b 2＝1和y 2a 2－x 2b 2＝1（a >0，b >0）都是双曲线的标准方程．提出问题：已知双曲线标准方程，如何判断焦点位置？活动设计：学生先独立思考，当然，学生自愿合作讨论的也允许． 活动结果：看x 2，y 2的系数，哪个系数为正就在哪一条轴上． 练习：写出以下双曲线的焦点坐标．1．x 216－y 29＝1 2．x 29－y 216＝1 F （±5，0） 3．y 216－x 29＝1 4．y 29－x 216＝1 F （0，±5） 理解新知1．观察双曲线的图形及其标准方程，师生共同总结归纳：（1）双曲线标准方程对应的双曲线中心在原点，以焦点所在轴为坐标轴； （2）双曲线标准方程形式：左边是两个分式的平方差，右边是1；（3）双曲线标准方程中三个参数a ，b ，c 的关系：c 2＝a 2＋b 2（a >0，b >0）； （4）双曲线焦点的位置由标准方程中x 2，y 2的系数的正负确定； （5）求双曲线标准方程时，可运用待定系数法求出a ，b 的值．2．在归纳总结的基础上填下表．c2＝a2＋b2c2＝a2＋b2（±c，0）（0，±c）在x轴上在y轴上3．双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有何区别与联系？运用新知例题研讨，变式精析1判断下列方程是否表示双曲线，若是，求出三个量a，b，c的值．①x24－y22＝1，②x22－y22＝1，③x24－y22＝－1，④4y2－9x2＝36．思路分析：双曲线标准方程的形式：平方差，x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上，x2项的分母是a2；y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上，y2项的分母是a2．解：①是双曲线，a＝2，b＝2，c＝6；②是双曲线，a＝2，b＝2，c＝2；③是双曲线，a＝2，b＝2，c＝6；④是双曲线，a ＝3，b ＝2，c ＝13．2已知双曲线的焦点为F 1（－5，0），F 2（5，0），双曲线上一点P 到F 1、F 2的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程．思路分析：巩固双曲线的标准方程，解题思路是寻找两个定值a ，c ．用待定系数法求出双曲线的标准方程．解：∵双曲线的焦点在x 轴上，∴设它的标准方程为 x 2a 2－y 2b 2＝1（a >0，b >0）． 根据题意知2a ＝6，2c ＝10． ∴a ＝3，c ＝5 ∴b 2＝52－32＝16．∴所求双曲线的标准方程为x 29－y 216＝1．点评：焦点定位，a 、b 、c 三者知二定形．变练演编提出问题：请解答下列问题：1．已知双曲线x 216－y 29＝1，你可以得到哪些结论？（把你能得到的结论都写出来）2．已知a ＝2，c ＝4，则你可以得到双曲线的哪些结论？（把你能得到的结论都写出来） 3．已知a ＝4，______________，可以求得双曲线的标准方程为y 216－x 29＝1，则题中横线上需要添加什么样的条件？活动设计：学生先独立探索，允许互相交流成果．然后，全班交流． 学情预测：1．a ＝4，b ＝3，c ＝5，两焦点坐标为（－5，0），（5，0）． 2．b ＝23，双曲线的标准方程为x 24－y 212＝1或y 24－x 212＝1等．3．b ＝3，且焦点在y 轴上；或c ＝5，且焦点在y 轴上；或一个焦点坐标为（0，5）（答案很多）．设计意图：设置本组开放性问题，意在增加问题的多样性、有趣性、探索性和挑战性，训练学生思维的发散性、收敛性、灵活性和深刻性，长期坚持，不仅会加深学生对数学的理解、掌握，而且会潜移默化地学会编题、解题，更会把学生的基础知识巩固得更广、更深．达标检测1．求a ＝4，b ＝3，焦点在x 轴上的双曲线的标准方程．2．求a ＝25，经过点（2，－5），焦点在y 轴上的双曲线的标准方程． 3．证明椭圆9x 2＋25y 2＝225与双曲线x 2－15y 2＝15的焦点相同．4．若方程x 2sinα＋y 2cosα＝1表示焦点在y 轴上的双曲线，则角α所在象限是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 5．设双曲线x 216－y 29＝1上的点P 到点（5，0）的距离为15，则P 点到（－5，0）的距离是…（ ）A ．7B ．23C ．5或23D ．7或23 答案：1．x 216－y 29＝1；2．y 220－x 216＝1； 3.9x 2＋25y 2＝225 x 225＋y 29＝1 F （±4，0）．x 2－15y 2＝15x 215－y 2＝1 F （±4，0）；4．D x 2sinα＋y 2cosα＝1表示焦点在y 轴上的双曲线⎩⎨⎧sinα<0cosα>0α在第四象限，所以选D ．5．D |d －15|＝2a ＝8 d ＝7或23．课堂小结知识整理，形成系统（由学生归纳，教师完善） （1）双曲线的定义（与椭圆的区别） （2）标准方程（两种形式）（3）焦点位置的判断（与椭圆的区别） （4）a 、b 、 c 的关系（与椭圆的区别）让学生对本节课进行总结．目的是帮助他们认清这节课的知识结构， 培养他们的归纳总结能力．作业布置教材习题2.3 A 组第1题，第2（1）题． 补充练习 基础练习 1．填空题：（1） x 252－y 232＝1，则a ＝______________ ，b ＝________________ ；（2）x 242－y 262＝1，则a ＝______________ ，b ＝________________ ；（3）x 29－y 24＝1，则a ＝______________ ，b ＝________________ ．2．求下列椭圆的焦点坐标： ①x 29－y 24＝1；②16x 2－7y 2＝112． 拓展练习已知双曲线的一个焦点坐标为F 1（0，－13），双曲线上一点P 到两焦点距离之差的绝对值为24，求双曲线的标准方程．解：因为焦点坐标为F 1（0，－13）． 所以c ＝13．又双曲线上一点P 到两焦点距离之差的绝对值为24． 所以2a ＝24，即a ＝12． 所以b 2＝c 2－a 2＝169－144＝25．所以所求双曲线的标准方程为y 2144－x 225＝1．1．在“双曲线的标准方程”的引入与推导中，充分利用几何画板演示，并运用“实验——观察——类比——证明——应用”的思想方法，逐步由感性到理性地认识定理．这样安排符合学生的认识规律，揭示了知识的发生、发展过程；也符合现代教育理论中的“要把学生学习知识当作认识事物的过程来进行教学”的观点．2．在教学的过程中始终本着：数学的学习过程是学生自己的“再创造”的原则，通过教师启发引导，让学生通过实验、观察、思考、类比、推理、交流、合作、反思等过程进行探究，构建新知识，真正做到将传授知识和培养能力融为一体，较好地体现“数学教学主要是数学活动的教学”这一教育思想．。
原创1：2.2.1 双曲线及其标准方程
[题后感悟] (1)本题是利用定义求动点的轨迹方程的，当判断出动点的轨 迹是双曲线，且可求出a，b时，就可直接写出其标准方程， 而无需用距离公式写出方程，再通过复杂的运算进行化简．
(2) 由 于 动 点 M 到 两 定 点 C2 ， C1 的 距 离 的 差 的 绝 对 值 为 常 数．因此，其轨迹是双曲线．
由于双曲线过点 A(4，－ 3)，B－3， 25，
4a22－－b232＝1，
∴
－a32 2－
52
2 b2
＝1.
解得ab22＝＝41，. ∴所求双曲线标准方程是x42－y2＝1.
②当焦点在 y 轴上时，设双曲线标准方程为ay22－bx22＝1(a>0，b>0)．
a32－1b62 ＝1， 则
45a2－b92＝1
[题后感悟] 双曲线标准方程的求解步骤：
1.求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)a＝3，c＝4，焦点在 x 轴上． (2)a＝2 5，经过点 A(2，－5)，焦点在 y 轴上． (3)焦点分别为 F1(－10,0)、F2(10,0)，且经过点(3 5，－4)． (4)焦点在 y 轴上，并且双曲线过点(3，－4 2)和94，5. 解析： (1)由题设知，a＝3，c＝4， 由 c2＝a2＋b2 得 b2＝c2－a2＝42－32＝7. 因为双曲线的焦点在 x 轴上， 所以所求双曲线的标准方程为x92－y72＝1.
4．如图所示，在△ABC 中，已知|AB|＝4 2，且三内角 A，B，C 满足 2sin A＋sin C＝2sin B，建立适当的坐标系，求顶点 C 的轨迹方 程．
解析： 如图所示，以 AB 边所在的直线为 x 轴，AB 的垂直平分 线为 y 轴，建立直角坐标系，则 A(－2 2，0)，B(2 2，0)．
《双曲线及其标准方程》上课课件(课时1)》
x2 y2 1 ( x ≥ 3) . 所以点 P 的轨迹方程为 9 16
2 2
变 式 2: 已 知 双 曲 线 的 焦 点 F1 (5,0) , F2 (5,0) , 点 P(-6, 4 3 )在双曲线上,求此双曲线的方程.
x y 双曲线方程为 1 9 16
2
2
变式 3：求经过点 线的标准方程. 再待定系数法！
15 ( 2 , 3 ), ( , 2) 3
2 2
的双曲
分析：可设标准方程：mx ny 1(mn 0)
y x 1 3
2
2
四、探究发现：
如图， 2.3 5，点A，B的坐标分别是（ 5， 0） （0， 5），直线AM , BM相交与M，且它们斜率 4 之积是 ，试求点M的轨迹方程，并由点 M的 9 轨迹方程判断轨迹的形 状与2.2的例3比较，你 有什么发现？
2 2
9
16
3、已知a=3,b=4,双曲线的标准方程为(
( A) x
2
)
9
2
y
2
2
16
1
( B) x
2
2
9
y
2
2
16
1
2 2
y (C )
9
x
16
1
y x ( D)
9
16
y x 1或
9
16
1
三、典例精析：
例 1(参考课本 P54 例 ) 已 知 两 定 点 F1 (5,0) , F2 (5,0) , 动 点 P 满 足
2.2.1 双曲线及其标准方程
)
x2 y2 4.(双曲线标准方程形式)若方程 =1 表示双曲线,则实数 m 的取 m 1 m 3
值范围是(
C )
(A)m≠1 且 m≠-3 (C)m<-3 或 m>1
(B)m>1 (D)-3<m<1
数学
5.(双曲线标准方程的求法)双曲线两焦点坐标是 F1(0,-5),F2(0,5)且 2a=8, 则双曲线的标准方程为
解:(1)由题设知双曲线的焦点在 x 轴上,且 c=10.
x2 y 2 所以可设它的标准方程为 2 - 2 =1(a>0,b>0). a b x2 y2 从而将双曲线的标准方程化为 - 2 =1,将点(3 5 ,-4)代入并 2 100 b b
化简整理,得 b -39b -1600=0,解得 b =64 或 b =-25(舍去).
PF1 PF2 F1F2 2 PF1 PF2
2 2 2
=
( PF1 PF2 ) 2 2 PF1 PF2 F1F2 2 PF1 PF2
2
,
所以|PF1|·|PF2|=4(c2-a2)=4b2, 所以 SF1 PF2 =
3 1 |PF1|·|PF2|·sin 60°=2b2· = 3 b2, 2 2
数学
题型三 双曲线定义的应用
y2 【例 3】 设 P 为双曲线 x - =1 上的一点,F1,F2 是该双曲线的两个焦点,若 12
2
|PF1|∶|PF2|=3∶2,求△PF1F2 的面积.
解:由已知得 2a=2,又由双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=2, 因为|PF1|∶|PF2|=3∶2,所以|PF1|=6,|PF2|=4.
x2 y 2 所以所求双曲线标准方程为 =1. 12 8
2.2.1双曲线及其标准方程
温故思新 探究新知 对比归纳 综合检测 课堂回望
课后延伸
基础作业：课本P54.A组.2（在作业本上完 成） 预习双曲线的性质 2| | = 2a，若0<2a<2c， 思考：| |MF1| - |MF 点M的轨迹是双曲线。 双曲线是优美的，她的美在于她的对称性； （1）若2a=2c,则点M的轨迹是什么？ 双曲线也是悲伤的，她的悲源于什么？ （2）若2a>2c, 则点M的轨迹是什么？ 请预习下一节的内容——双曲线的性质。 （3）若2a=0, 则点M的轨迹是什么？ 预习双曲线的性质
表示的双曲线焦点在y轴上，
2
2
y F2 o F1 x
焦点为F1(0,-c),F2(0,c)
温故思新
探究新知
对比归纳 综合检测 课堂回望 课后延伸
例1 已知双曲线两个焦点分别为F1（-5，0），F2（5， 0），双曲线上一点P到F1， F2距离差的绝对值等于6， 求双曲线的方程。
解： 双曲线的焦点在x轴上，
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探究新知
对比归纳 综合检测 课堂回望 课后延伸
双曲线定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝 对值等于常数2a（小于︱F1F2︱）的点的轨 迹叫做双曲线.
① 定点F1、F2——双曲线的焦点; ② |F1F2|=2c ——焦距.
M
F1
0<2a<2c
F2
温故思新
探究新知
对比归纳 综合检测 课堂回望 课后延伸
x2 y 2 焦点在x轴上: 2 2 1(a b 0) a b y 2 x2 焦点在y轴上: 2 2 1(a b 0) a b
3. 引出问题 平面内与两定点F1、F2的距离的差等于常数的点 的轨迹是什么呢？
双曲线及其标准方程(1)
双曲线的焦距| F 1 F 2 |= ，双曲线上任意一点 M 到两个焦点的距离差的绝对值= 。 （2）写集合： （3）坐标化（即用点的坐标表示集合中的等式）
（4）化简：
2．若焦点在 y 轴上，两个焦点坐标，则双曲线的标准方程是 注意：两个标准方程中都有������2 =；且 a 0, b 0, c 0 。 典型例题： 例 1：求下列方程中的 a， b， c 的值，并由方程判断焦点所在的坐标轴。
2． 如何画出双曲线的另一支呢？
3．归纳： 双曲线的定义： 双曲线的焦点： ；双曲线的焦距：
【探究案】
探究一：双曲线的定义中几个容易忽略的地方 1．双曲线的定义中几个容易忽略的地方：差，差的绝对值，0 <常数< F1 F2 2．思考： （1）将定义中的“绝对值”去掉,动点轨迹是什么?
(2)将定义中的0 <常数，改为0 =常数,动点轨迹是什么?
2， - 3 )，(
15 ，2 ） 3
4．求证：椭圆 9x 2 25y 2 225 与双曲线 x 2 15y 2 15 的焦点相同
4
y2 x2 1 中 a 2 = b 2 = c 2 =焦点在哪个轴 4. 9 16
归纳提升： 判断焦点所在坐标轴的方法： 。 变式 1.判断下列方程是否表示双曲线？若是，求出 a， b， c 并判断焦点位置.
(1)
x2 y2 1 4 2
(2) x 2 y 2 2
(3)
x2 y2 1 3 4
．
x2 y2 1 中 a 2 = b 2 = c 2 =焦点在哪个轴 1. 16 9
2. 3.
x2 y2 1 中 a 2 = b 2 = c 2 =焦点在哪个轴 9 16 y2 x2 1 中 a 2 = b 2 = c 2 =焦点在哪个轴 16 9
双曲线及其标准方程教案
双曲线及其标准方程（第一课时）南昌十中刘丽华一、教学目标㈠知识点①双曲线及其焦点,焦距的定义。
②双曲线的标准方程及其求法。
③双曲线中a，b，c的关系。
④双曲线与椭圆定义及标准方程的异同。
㈡能力要求①使学生掌握双曲线的定义和标准方程的推导方法。
②由双曲线的标准方程知它的图形特征及焦点位置。
③掌握a，b，c之间的关系。
二、教学重点①双曲线的定义。
②双曲线的标准方程。
③掌握a，b，c之间的关系。
三、教学难点双曲线的标准方程。
四、教学方法类比归纳法。
（通过前面所学的椭圆进行联想，类比推出双曲线的定义及其标准方程，从而进行归纳总结）五、教学过程前面我们学习过椭圆，知道“平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆”。
下面我们来考虑这样一个问题？平面内与两定点F1，F2的距离差为常数的点的轨迹是什么？我们在平面上固定两个点F1，F2，平面上任意一点为M，假设|F1F2|=100,|MF1|＞|MF2|且|MF1|－|MF2|=50不断变化|MF1|和|MF2|的长度，我们可以得出它的轨迹为一条曲线。
若我们交换一下长度，|MF1|＜|MF2|且|MF1|－|MF2|=－50时，可知它的轨迹也是一条曲线那么由这个实验我们得出一个结论：“平面内两个定点F1，F2的距离的差的绝对值为常数的点的轨迹是双曲线。
”但大家思考一下这个结论对不对呢？我们知道在椭圆定义里，到两定点的距离和为一个常数，这个常数（必须大于|F1F2|）那么这里差的绝对值为一个常数，这个常数和|F1F2|有什么关系呢？下面我们来看一个试验，当|MF1|－|MF2|=0时，M点的轨迹为F1，F2的中垂线；随着|MF1|-|MF2|的不断变化，呈现出一系列不同形状的双曲线；当|F1F2|即和|F1F2|长度相等时，点的轨迹为以F1，F2为端点的两条射线；若|MF1|-|MF2|＞100 时，就不存在点M。
那么由以上的一些试验我们可以得出双曲线的准确定义：定义：平面内与两定点F1，F2的距离差的绝对值为非零常数（小于|F1F2|）的点的轨迹是双曲线。
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o
F1 o F2 x F1
x
位置特征：焦点在x轴上 F ( c, 0) 焦点坐标 1
F2 (c, 0)
2 2 2 c a b （ a, b, c 0) 数量特征：
焦点在y轴上
F1 (0, c ) F2 (0, c )
MF1 MF2 2a F1 F2 2c
F
1
M
o
F
2
师生互动
二、双曲线的标准方程
如何求这条优美曲线的方程呢？ y
P
(c,0)
(-c,0) F1
o
2C
F2
建系 以F1,F2所在的直线为X轴， 线段F1F2的中垂线为 y轴 建立直角坐标系,则F1(C,0),F2(C,0)
设点 列条件
P(x，y)
PF1 PF2 2a
化简 ( x c)2 y 2 ( x c)2 y 2 2a
x2 y 2 (2) 1 4 4
a b 2, c 2 2 F1 (0, 2 2 ), F2 (0, 2 2 )
(3)16 x 9 y 144
2 2
x c 5 F1 (5, 0), F2 (5, 0)
例1、 已知双曲线的焦点为F1(-5,0),F2(5,0)，双曲线上 一点P到F1、F2的距离的差的绝对值等于6，求双曲线 的标准方程. 解: 根据双曲线的焦点在 x 轴上，设它的标准方程为：
b2 c 2 a 2 ( c a)
b 2 x 2 a 2 y 2 a 2b 2
x2 y2 2 1(a 0, b 0) 2 a b
焦点在y轴上时
F1（0，-c),F2(0,c)
P
a,b意义不变，
此时双曲线的标准方程是：
y x 2 1(a 0, b 0) 2 a b
2
2
定义 图象
| PF1 PF2 | 2a 0 2a 2c
P
方程
x y 2 1 2 a b
F1 (c,0) F2 (c,0)
2 2 2
2
2
y x 2 1 2 a b
F1 (0,c) F2 (0, c)
2
2
焦点 a.b.c 的关系
c a b ，（a不一定大于b)
2
2
(a>b>0) (a>b>0)
探究新知
思考：
平面内M与两定点F1、F2的距离的差等于非零常数 2a的点的轨迹是什么图形？
一、双曲线的定义
y
x
平面内与两定点F1、F2 的距离的差的绝对值是 常数2a(0<2a<| F1F2|) 的点的轨迹叫做双曲 线．这两个定点F1、F2 叫做双曲线的焦点，两 个焦点之间的距离叫做 焦距2c．
1、动点P到点M(1,0),N(-1,0)的距离 之差的绝对值为2，则点P的轨迹是 (C)
(A)、双曲线 (C)、两条射线 （B)、双曲线的一支 （D）、一条射线
注意
1、 2a < |F1F2 |
双曲线 2 、2a= |F1F2 | 以F1、F2为端点的两 条射线 3、2a> |F1F2 | 不表示任何图像
（1）a=3,b=4，焦点在x轴上；
解： 焦点在x轴上.
x2 y 2 可设所求双曲线方程为 2 2 1 a b
由题意得
a=3,b=4
x2 y 2 所求双曲线方程为 1 9 16
(2)求适合下列条件的双曲线的标准方程： a 2 5, 经过点A(2, 5), 焦点在y轴上；
( x c ) 2 y 2 ( x c ) 2 y 2 2a
( x c)
2
2
2
y
2
2a
2
( x c) y
2
2
2
cx a a ( x c) y
2
2 2 2 2 2 2
2
2
(c a ) x a y a ( c a )
P
x2
x y 2 1 2 a b
2
2
y x 1 2 2 a b
2
2
如果x2的系数是正时，那么焦点在x轴上
如果y2的系数是正时，那么焦点在y轴上
反馈检测
练习：请判断下列方程哪些表示双曲线？
x y (1) 1 3 2
2
2
x y (2) 1 4 4
2
2
(3)16 x 9 y 144
x y 2 1 (a 0, b 0) 2 a b ∵ 2a = 6, 2c=10 ∴ a = 3, c = 5
∴ b2 = 52 - 32 =16
x y 1 所以所求双曲线的标准方程为： 9 16
2 2
2
2
小结：求标准方程要做到先定型，后定量。
例2、求适合下列条件的双曲线的标准方程：
解： 焦点在y轴上.
可设所求双曲线方程为
a 2 5 由题意得： 25 4 2 2 1 b a
所求双曲线方程为
2
y2 x2 2 1 2 a b
解得 b 16
2
2
y x 1 20 16
（3）若a=6，c=10，焦点在坐标轴上。
解：
a 6, c 10 b c a 64
2.2.1 双曲线及其标准方程 第一课时
复习引入
1、椭圆的定义是什么？请用数学式子表达。
平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数2a(2a 大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．
PF1 PF2 2a(2a F1 F2 )
2、椭圆的标准方程是怎样的？ 焦点在x轴上 焦点在y轴上
x y 2 1 2 a b y2 x2 2 1 2 a b
x y (2) 1 2 2
(4)4 y 9 x 36
2 2
2
2
学习了上面的内容，同学们一定能很快解 答问题
2、请求出下列双曲线的 a、b、c和它们的焦点坐标。
x2 y 2 (1) 1 3 2
a 3, b 2, c 5 F1 ( 5, 0), F2 ( 5, 0)
2 2
(4) 4 x 3 y 1
2 2
x2 y2 1 9 16
x y (5) 2 2 1(m 0) m m 1
2
2
三、标准方程应用
1、判断下列方程是否表示双曲线，若是，求 出其焦点的坐标
x y (1) 1 4 2
x y (3) 1 4 2
2 2
2
2
2 2 2
所以双曲线的标准方程为： 当焦点在x轴上时
x2 y 2 1 36 64
当焦点在y轴上时
y x 1 36 64
2
2
归纳小结
x2 y 2 方程形式： 2 2 1(a 0, b 0) a b
y
y 2 x2 2 1(a 0, b 0) 2 a b
y F2