高等计算流体力学讲义(2)

高等计算流体力学讲义（2）

第二章 可压缩流动的数值方法

§1. Euler 方程的基本理论 0 概述

在计算流体力学中，传统上，针对可压缩Navier －Stokes 方程的无粘部分和粘性部分分别构造数值方法。其中最为困难和复杂的是无粘部分的离散方法；而粘性项的离散相对简单，一般采用中心差分离散。所以，本章主要研究无粘的Euler 方程的解法。在推广到Navier －Stokes 方程时，只需在Euler 方程的基础上，加上粘性项的离散即可。Euler 方程是一种典型的非线性守恒系统。下面我们将讨论一般的非线性守恒系统以及Euler 方程的一些数学理论，作为研究数值方法的基础。

1非线性守恒系统和Euler 方程

一维一阶非线性守恒系统(守恒律)可写为下列一般形式

=∂∂+∂∂x

F t

U ，0,>∈t R x

（1）

其中U 称为守恒变量，是有m 个分量的列向量，即T m u u u U ),...,(21=。T m f f f F ),...,(21=称为通量函数，是U 的充分光滑的函数，且满足归零条件，即：

0)(lim

=→U F U

即通量是对守恒变量的输运，守恒变量为零时，通量也为零。

守恒律的物理意义

设U 的初始值为：0(,0)(),U x U x x =∈R 。如果0()U x 在x ∈R 中有紧支集（即0U 在有限区域以外恒为零），则0(,)()U x t dx U x dx =⎰⎰R

R

。即此时虽然(,)U x t 的分布可以随时

间变化，但其总量保持守恒。

多维守恒律可以写为

)(=++∙∇+∂∂k H j G i F t

U

（2）

守恒律的空间导数项可以写为散度形式。

守恒系统（1）可以展开成所谓拟线性形式

)

(=∂∂+∂∂x

U U A t

U （3）

A 是m m ⨯矩阵，称为系数矩阵或Jacobi 矩阵，其具体形式为

111122

221

21

2......

...m m m m m

m f f f u u u f f f u u u A f f f u u u ∂∂∂⎡⎤

⎢⎥

∂∂∂⎢⎥∂∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂∂=⎢⎥⎢⎥⎢⎥∂∂∂⎢⎥∂∂∂⎢⎥⎣⎦

（4）

，容易验证：

F U A

x

x

∂∂=∂∂，通常也记F A U

∂=∂。流体力学无粘流动的Euler 方程是典型的

非线性守恒律，可以写为

=∂∂+∂∂x

F t

U （5）

其中：

T

T

uH p u u F E u U )

,,()

,,(2

ρρρρρρ+== （6）

这里ρ，u ，p ，E ，H 分别为密度、速度、压力、总能和总焓。对于完全气体，2

2

1u e E +=，2

2

1u

h H +

=，ρ

γ)1(-=

p e 为内能，ρ

p

e h +

=为焓。γ为比热比，对于空气，γ=1.4。

把（5）式写成拟线性形式，其Jacobi 矩阵为：

⎪

⎪⎪⎪

⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛--------=u u

E uE u u

u

A γγγγγγγγ2

3

2

2

1

3

)1(1)3(2)

3(0

10

（7）

守恒型方程和非守恒型方程。 原始变量对应的非守恒型Euler 方程

()0t x W A W W +=

2

0()0

1/0u W u A W u

p a

u ρρρρ⎧⎫⎡⎤

⎪⎪⎢

⎥==⎨⎬

⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎩⎭

⎣

⎦

为什么要研究守恒型方程？

使用非守恒型方程计算有激波间断的流动，激波位置或激波速度可能不对。

2．双曲型方程的定义

令Jacobi 矩阵的特征值为m

k

k ,,2,1,)( =λ，则如果A 的所有特征值均为实数且A 可以

对角化（即有m 个线性无关的特征向量），则（3）式（以及（1）式）称为双曲系统。如果A 的所有特征值为互异实数，则（3）式称为严格双曲系统。 矩阵A 的特征值λ，由下式定义：

0=-I A λ

（8）

显然，对于m m ⨯阶矩阵，（8）式有m 个根m

k

k ,,2,1,)( =λ。

对于一维Euler 方程，有：

a

u u a u +==-=)

3()2()1(λ

λλ （9）

其中ρ

γp a =

为音速。显然Euler 方程为双曲型方程。

双曲型系统有m 个独立的特征向量，设m l l l ,,21为左特征向量，则

m

k l A l k k k ,2,1,)

(==λ

（10）

左特征向量为行向量。设左特征向量组成的矩阵

⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=m

l l l

L 2

1 （11）

则：

L LA Λ= （12）

其中：

(1)

(2)

()

(,,,)m diag λλ

λ

Λ= (13)

设m r r r ,,21为右特征向量，则

k

k k r r A )

(λ

= （14）

右特征向量为列向量。设右特征向量组成的矩阵为 ()m

r r r R

,,,21 = （15）