2016高中数学精讲优练课型第一章集合与函数的概念1(精)

若f x f x ，则函数为奇函数； (ⅱ)对称 若f x f x ，则函数为偶函数； 若f x 与f x 无上述关系，则函数为非奇非偶函数.
(2)图象法: 画出函数的图象,直接利用图象的对称性判断函数的奇偶性.
【拓展延伸】性质法判断函数的奇偶性 (1)偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数. (2)奇函数的和、差仍为奇函数. (3)奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数. (4)一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数.
2.(变换条件)若把本例中的奇函数改为偶函数,其他条件不变,则结果 又是什么?
【解析】由于f(x)为偶函数,y轴右侧图象已知,结合偶函数图象关于y 轴对称,作出y轴左侧图象,如图所示,
由图象知,当x∈(-5,-2)时,f(x)<0;当x∈(2,5)时,f(x)<0,所以使 f(x)<0的x的取值集合为(-5,-2)∪(2,5).
可求解.
【变式训练】(2015·广州高一检测)已知函数f(x)= 是R上的奇函数.
xa 1 x2
(1)求a的值.
(2)用定义证明该函数在[1,+∞)上的单调性.
【解题指南】(1)利用函数是奇函数,由f(0)=0即可得到a的值.
(2)利用函数单调性的定义进行判断即可得到结论 .
【解析】(1)因为f(x)= x a 是R上的奇函数,所以f(0)=0,解得a=0, 此时f(x)=
1 . 2 1 x
1 b 4 f( ) ， 1 2 1 5 4
【方法技巧】利用奇偶性求参数的常见类型及策略 (1)定义域含参数:奇、偶函数f(x)的定义域为[a,b],根据定义域关 于原点对称,利用a+b=0求参数.
(2)解析式含参数:根据f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)列式,比较系数即
3 ,易得b=0. 结合偶函数图象的特点
答案: 0
3
1 3
2.因为f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数，所以f(0)=0，即 0 b
所以b=0.
1 0
2
0，
1 a 1 2 x 2 又因为f ( ) ，所以a 1，所以f x . 2 1 2 1 5 1 x 4
x 是奇函数. 2 1 x (2)设x1,x2是[1,+∞)上的任意两个数,且1≤x1<x2,则f(x1)-f(x2)=
1 x2
x 2 x1 x1x 2 1 x1 x2 ， 2 2 2 2 1 x1 1 x x1 -x x 2 x -1>0, 1 x 1 2 ,所以 因为1≤x <x >0,x
由图象可知,当x∈(-2,0)时,f(x)<0, 当x∈(2,5)时,f(x)<0, 故使f(x)<0的x的取值集合为(-2,0)∪(2,5).
【延伸探究】 1.(改变问法)本例条件不变,试比较f(-1)与f(-3)的大小. 【解析】由图象可知,f(1)>0,f(3)<0,所以f(1)>f(3). 又因为函数f(x)为奇函数,所以f(-1)=-f(1),f(-3)=-f(3), 故f(-1)<f(-3).
1.3.2 奇
偶 性
第1课时 函数奇偶性的概念
【知识提炼】 函数奇偶性的概念
偶函数 条件 定 义 结 论 f(-x)=_____ f(x) 函数f(x)叫做偶函数 图象关于y轴对称
奇函数
对于函数f(x)定义域内任意一个x,都有 f(-x)=______ -f(x) 函数f(x)叫做奇函数 图象关于原点对称
【方法技巧】
1.巧用奇偶性作函数图象的步骤
(1)确定函数的奇偶性.
(2)作出函数在[0,+∞)(或(-∞,0])上对应的图象. (3)根据奇(偶)函数关于原点(y轴)对称得出在(-∞,0](或[0,+∞)) 上对应的函数图象.
2.奇偶函数图象的应用类型及处理策略 (1)类型:利用奇偶函数的图象可以解决求值、比较大小及解不等式问 题. (2)策略:利用函数的奇偶性作出相应函数的图象,根据图象直接观察.
【典例】奇函数f(x)的定义域为[-5,5],其y轴右侧图象如图,画出左 侧图象,并写出f(x)<0的x的取值集合.
【解题探究】本例中函数f(x)是奇函数,其左侧图象与右侧图象有什 么关系? 提示:因为奇函数的图象关于原点对称,所以本例中函数的左侧图象与 右侧图象是关于原点对称的.
【解析】因为奇函数的图象关于原点对称 ,所以可得到此函数在y轴左 侧的图象如图所示.
【解析】选C.因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,又
f(-3)=-f(3)=-2,所以f(3)=2,所以f(3)+f(0)=2.
4.函数f(x)=x在定义域R上是
函数(填“奇”或“偶”).
【解析】由于f(-x)= -x = -f(x),故该函数是奇函数. 答案:奇
【知识探究】 知识点1 函数的奇偶性
观察如图所示内容,回答下列问题:
问题1:奇函数、偶函数的定义域有什么特征? 问题2:奇函数、偶函数的对应关系有哪些形式?
【总结提升】 1.函数具有奇偶性时定义域与对应关系的特点 (1)定义域:由于f(-x)与f(x)都有意义,故-x和x同时属于定义域,所
以奇、偶函数的定义域关于原点对称.换言之,若函数的定义域不关于
奇偶函数的关系时,此函数也不具有奇偶性.
2.已知函数f(x)为定义在区间[3-a,5]上的奇函数,则a= A.-2 B.3 C.8 D.无法确定
(
)
【解析】选C.因为f(x)为奇函数,所以其定义域[3-a,5]关于原点对
称,所以3-a+5=0,所以a=8.
3.设函数f(x)是定义在R上的奇函数,且f(-3)=-2,则f(3)+f(0)= ( A.3 B.-3 C.2 D.7 )
2.函数的奇偶性与单调性的关系
奇函数在关于原点对称的区间内单调性一致,偶函数在关于原点对称
的区间内单调性相反.
【题型探究】 类型一 函数奇偶性的判断 ( ) 【典例】1.(2015·南宁高一检测)函数f(x)=|x|+1是
A.奇函数
C.既是奇函数又是偶函数 2.判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=x3+ (3)f(x)=x4+x. 1
1 2 2 1 1 2
所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),所以函数f(x)在[1,+∞)上是减函
【延伸探究】(变换条件)若把本例2中的奇函数改为偶函数，
1 2 1 4 其他条件不变，则此时函数的解析式又是什么？ f ( ) 改为f ( ) ， 2 5 2 5 【解析】因为 f(x) 是定义在(-1，1)上的偶函数，
所以f(-x)=f(x)，即 所以a=0，又因为 所以f(x)=
a x b ax b ， 2 2 x b=1， 所以 1 x 1
类型三
利用函数奇偶性求值或求参数
【典例】1.若函数f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数,且定义域为[a-1,2a], 则a= ,b= .
2.(2015·连云港高一检测)若已知函数f(x)=
上的奇函数,且
1 2 f( ) ， 2 5
ax b 求函数f(x)的解析式. 1 x2
是定义在(-1,1)
【补偿训练】如图,给出了偶函数y=f(x)的局部图象,试求f(-2)的值.
【解析】由图象可知,f(2)= 因此f(-2)=f(2)= .
,又因为偶函数的图象关于y轴对称,
3 2
3 2
【延伸探究】
1.(改变问法)本题条件不变,试画出此函数在y轴左侧的图象,并写出 f(x)>0的x的取值集合.
【解析】因为偶函数的图象关于y轴对称,所以可得到此函数在y轴左 侧的图象如图所示,
原点对称,则这个函数一定不具有奇偶性.
(2)对应关系:①奇函数有f(-x)=-f(x)⇔f(-x)+f(x)=0⇔
=-1(f(x)≠0); ②偶函数有f(-x)=f(x)⇔f(-x)-f(x)=0⇔
f x
=1(f(x)≠0).
f x
f x f x
2.函数奇偶性的四个关注点 (1)与函数的最值相同,函数的奇偶性也是函数的整体性质. (2)若奇函数在原点处有定义,则必有f(0)=0.有时可以用这个结论来 否定一个函数为奇函数. (3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型,即f(x)=0,x∈D,其 中定义域D是关于原点对称的非空集合. (4)函数根据奇偶性可分为奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非
【补偿训练】判断下列函数的奇偶性：
x 2 2, x 0, 1 f x 0, x 0, x 2 2, x 0. x x 2 , x 0, 2 f x x x 2 , x 0.
由图象可知当x∈(-∞,0)时,f(x)>0;当x∈(0,+∞)时,f(x)>0;故使
f(x)>0的x的取值集合为(-∞,0)∪(0,+∞).
2.(变换条件)若把本题中的偶函数改为奇函数,其他条件不变,试比较 f(-1)与f(-2)的大小. 【解析】由图象可知f(2)>f(1).又函数f(x)为奇函数,所以f(-1)= -f(1),f(-2)=-f(2),故f(-2)<f(-1).
偶函数.
知识点2
奇、偶函数图象的特征
观察图形,回答下列问题:
问题1:以上两个函数图象有什么特征?它们的奇偶性分别是什么?
问题2:奇、偶函数关于原点对称的区间上的单调性有什么特点?
【总结提升】 1.奇、偶函数图象的特征 (1)奇函数:图象关于原点对称,反之,若一个函数的图象关于原点对称, 则这个函数是奇函数. (2)偶函数:图象关于y轴对称,反之,若一个函数的图象关于y轴对称, 则这个函数是偶函数.