(学案10新) 函数的图像及其变换(二)对称
函数的对称与平移变换
函数的对称与平移变换在数学中，函数的对称和平移变换是一种常见的数学概念。
通过对函数进行对称和平移操作，我们可以改变其形状、位置和性质，从而更好地理解和分析函数的特点。
本文将介绍函数的对称和平移变换的基本概念、性质及其在数学中的应用。
一、对称变换对称变换是指将函数绕某个轴线进行镜像翻转，使得函数在轴线两侧呈现完全对称的形状。
常见的对称轴包括x轴、y轴和原点。
1. 沿x轴对称：当函数关于x轴对称时，称之为沿x轴对称函数。
这意味着当函数中的任意一点(x, y)在曲线上时，点(x, -y)也在曲线上。
沿x轴对称的函数形状上下对称。
2. 沿y轴对称：当函数关于y轴对称时，称之为沿y轴对称函数。
这意味着当函数中的任意一点(x, y)在曲线上时，点(-x, y)也在曲线上。
沿y轴对称的函数形状左右对称。
3. 原点对称：当函数关于原点对称时，称之为原点对称函数。
这意味着当函数中的任意一点(x, y)在曲线上时，点(-x, -y)也在曲线上。
原点对称的函数形状在四个象限上对称。
对称变换不仅能够反映函数的对称性，还能够帮助我们简化函数的分析。
通过观察函数的对称轴和对称点，我们可以得到关于函数的重要信息，如函数的奇偶性、极值点和图像的对称性。
二、平移变换平移变换是指将函数沿着坐标轴的方向上平移一定的距离，从而改变函数的位置和形状。
平移变换可以是水平方向的平移（横向平移）或垂直方向的平移（纵向平移）。
1. 横向平移：当我们将函数沿着x轴的方向上移动a个单位，函数的数学表达式变为f(x-a)。
这个平移过程会改变函数图像在水平方向上的位置。
如果a为正数，函数图像会向右移动；如果a为负数，函数图像会向左移动。
2. 纵向平移：当我们将函数沿着y轴的方向上移动b个单位，函数的数学表达式变为f(x)+b。
这个平移过程会改变函数图像在垂直方向上的位置。
如果b为正数，函数图像会向上移动；如果b为负数，函数图像会向下移动。
平移变换不改变函数的形状，只是改变了函数图像在平面坐标系上的位置。
(整理版)第四讲函数图象的对称性与变换
第四讲：函数图象的对称性与变换一、 两个函数的图象的对称性：1、y=f 〔x 〕与y=-f 〔x 〕关于x 轴对称。
2、y=f 〔x 〕与y=f 〔－x 〕关于y 轴对称。
3、 y=f 〔x 〕与y=－f 〔－x 〕关于原点对称。
4、y=f 〔x 〕与y=f 1-〔x 〕关于直线y=x 对称,〔或y=f 〔x 〕与x=f 〔y 〕关于直线y=x 对称〕。
5、y=f 〔x 〕与y=f 〔2a －x 〕｛注：y=f 〔a+x 〕与y=f 〔a －x 〕关于直线x=0对称｝关于直线x=a 对称。
6、y=f 〔x 〕与y=－f 〔2a －x 〕+2b 关于点〔a,b 〕对称.二、 一个函数的图象的对称性：1、关于直线x=a 对称时，f 〔x 〕=f 〔2a －x 〕或f 〔a －x 〕=f 〔a+x 〕,特例：a=0时，关于y 轴对称，此时 f 〔x 〕=f 〔－x 〕为偶函数。
2、y=f 〔x 〕关于〔a,b 〕对称时,f 〔x 〕=2b －f 〔2a －x 〕，特别a=b=0时， f 〔x 〕=－f 〔－x 〕，即f 〔x 〕关于原点对称，f 〔x 〕为奇函数。
3、y=f 〔x 〕关于直线y=x+b 对称时,由上面知y=f 〔x 〕关于直线y=x+b 对称的函数的解析式是y=f 1-〔x+b 〕+b 。
它与y=f 〔x 〕应是同一函数，所以：f 〔x 〕＝f1-〔x+b 〕+b 。
特别当b ＝0时，f 〔x 〕＝f 1-〔x 〕，即一个函数关于直线y=x 对称时，它的反函数就是它本身。
4、类似4有y=f 〔x 〕关于直线y=－x+b 对称时, f 〔x 〕＝b －f 1-〔b －x 〕。
特别当b ＝0时，f 〔x 〕＝－f 1-〔－x 〕, f 〔x 〕关于直线y=－x 对称.5、假设f(a+x)=f(b-x)，那么f(x)的图像关于直线2b a x +=对称， 三：图象平移与伸缩变换、翻折变换。
1、平移变换〔向量平移法那么〕：y=f 〔x 〕按a ＝〔h,k 〕平移得y=f 〔x －h 〕+k,即F 〔x,y 〕=0按a ＝〔h,k 〕平移得F 〔x －h,y －k 〕=0,当m>0时,向右平移，m<0时,向左平移。
学案 函数图像的对称变换
学案7 函数图像的对称变换一、课前准备： 【自主梳理】1、（1）函数()y f x =-与()y f x =的图像关于 对称； （2）函数()y f x =-与()y f x =的图像关于 对称； （3）函数()y f x =--与()y f x =的图像关于 对称．2、奇函数的图像关于 对称，偶函数图像关于 对称．3、（1）若对于函数()y f x =定义域内的任意x 都有()()f a x f b x +=-，则()y f x =的图像关于直线 对称．（2）若对于函数()y f x =定义域内的任意x 都有()2()f a x b f a x +=--，则()y f x =的图像关于点 对称．4、对0a >且1a ≠，函数xy a =和函数lo g a y x =的图象关于直线 对称． 5、要得到()y f x =的图像，可将()y f x =的图像在x 轴下方的部分以 为轴翻折到x 轴上方，其余部分不变．6、要得到()y f x =的图像，可将()y f x =，[)0,x ∈+∞的部分作出，再利用偶函数的图像关于 的对称性，作出(),0x ∈-∞时的图像． 【自我检测】23、函数xy e =-的图象与函数 的图象关于坐标原点对称． 4、将函数1()2x f x +=的图象向右平移一个单位得曲线C ，曲线C '与曲线C 关于直线y x=对称，则C '的解析式为 ．5、设函数()y f x =的定义域为R ，则函数(1)y f x =-与(1)y f x =-的图像的关系为关 于 对称．6、若函数()f x 对一切实数x 都有(2)(2)f x f x +=-，且方程()0f x =恰好有四个不同实根，求这些实根之和为 ．二、课堂活动： 【例1】填空题：（1（2）对于定义在R 上的函数()f x ，有下列命题，其中正确的序号为 ． ①若函数()f x 是奇函数，则(1)f x -的图象关于点(1,0)A 对称；②若对x R ∈，有(1)(1)f x f x +=-，则()y f x =的图象关于直线1x =对称；③若函数(1)f x -的图象关于直线1x =对称，则函数()f x 是偶函数；④函数(1)y f x =+与函数(1)y f x =-的图象关于直线1x =对称．（3）将曲线lg y x =向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到曲线C ．如果曲线C '与C 关于原点对称，则曲线C '所对应的函数式是 ．（4）当1a >时，已知1x ，2x 分别是方程1xx a +=-和lo g 1a x x +=-解，则12x x +的值为 ．【例2】作出下列函数的图象：（1）12lo g ()y x =-；（2）12xy ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（3）2log y x =；（4）21y x =-．【例3】（1）将函数12lo g y x =的图象沿x 轴向右平移1个单位，得图象C ，图象C '与C 关于原点对称，图象C ''与C '关于直线y x =对称，求C ''对应的函数解析式； （2）已知函数()y f x =的定义域为R ，并且满足(2)(2)f x f x +=-．①证明函数()y f x =的图象关于直线2x =对称；②若()f x 又是偶函数，且[]0,2x ∈时，()21f x x =-,求[]4,0x ∈-时()f x 的表达式．三、课后作业1、函数3(1)1y x =++的对称中心是 ．2、如果函数()y f x =的图象与函数32y x =-的图象关于坐标原点对称，则()f x = ．3、设()3x af x +=，若要使()f x 的图象关于y 轴对称，则a = ．4、已知函数()sin 2c o s 2 ()f x a x x a R =+∈图象的一条对称轴方程为12x π=，则a =．5、已知函数2()f x x b x c =-+，(0)3f =，且(1)(1)f x f x +=-，则()xf b 与()xf c 的大小关系为 ． 6、函数321x y x +=-+在(),a -∞上单调递减，则实数a 的范围为 ．7、若函数()y f x =的图象过点()1,1，则(4)f x -的图象一定过点 ． 8、定义在R 上的函数()f x 的图象关于点3,04⎛⎫-⎪⎝⎭成中心对称，对任意实数x 都有3()()02f x f x ++=且(1)1f -=，(0)2f =-，则(0)(1)(2)(2009)f f f f ++++= ．9、设函数2()sin ()2c o s1468xxf x πππ=--+．（1）求()f x 的最小正周期；（2）若函数()y g x =与()y f x =的图像关于直线1x =对称，求当4[0,]3x ∈时()y g x =的最大值．10、设曲线C 的方程是3y x x =-，将C 沿x 轴、y 轴正方向分别平移t 、s (0)t ≠个单位长度后得到曲线1C ． （1）写出曲线1C 的方程；（2）证明曲线C 与1C 关于点(,)22t sA 对称；（3）如果曲线C 与1C 有且仅有一个公共点，证明：34ts t =-．学案7 函数图像的对称变换参考答案【自我检测】1．原点 2．x 轴 3．xy e-= 4．2lo g y x = 5．直线1x = 6．8【例1】（1）必要不充分条件 （2）①③ （3）lg (1)2y x =--++ （4）1- 【例2】（1）作12lo g y x =的图象关于y 轴的对称图形．（2）作12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象关于x 轴的对称图形．（3）作2lo g y x =的图象及它关于y 轴的对称图形．（4）作21y x =-的图形，并将x 轴下方的部分翻折到x 轴上方．（图略） 【例3】（1）21x y =--（2）①证明：设()00,P x y 是函数()y f x =的图象上任意一点，则00()y f x =．点P 关于直线2x =的对称点P '的坐标应为()004,x y -． ∵[][]00000(4)2(2)2(2)()f x f x f x f x y -=+-=--==． ∴点P '也在函数()y f x =的图象上． ∴函数()y f x =的图象关于直线2x =对称．②解析：由()21f x x =-，[]0,2x ∈及()f x 为偶函数，得()()21f x f x x =-=--，[]2,0x ∈-；当[]2,4x ∈时，由()f x 图象关于2x =对称，用4x -代入()21f x x =-，得()(4)()24127f x f x x x -==--=-+，[]2,4x ∈，再由()f x 为偶函数，得()27f x x =+，[]4,2x ∈--．故[](]27 , 4,2()21 , 2,0x x f x x x +∈--⎧⎪=⎨--∈-⎪⎩．课后作业：1．()1,1- 2．23x -- 3．0 4．35．()()xxf b f c ≤ 6．(],1-∞- 7．()3,1 8．09．解：（1）()f x =sinc o sc o ssinc o s46464x x x πππππ--3inc o s2424x x ππ-in ()43x ππ-故()f x 的最小正周期为T =24ππ=8．(2)在()y g x =的图象上任取一点(,())x g x ，它关于1x =的对称点(2,())x g x - ． 由题设条件，点(2,())x g x -在()y f x =的图象上，从而()(2)in [(2)]43g x f x x ππ=-=--[]243x πππ--o s ()43x ππ+当304x ≤≤时，23433x ππππ≤+≤，因此()y g x =在区间4[0,]3上的最大值为maxc o s 32g π==10．解：（1）曲线1C 的方程为3()()y x t x t s =---+；（2）证明：在曲线C 上任意取一点111(,)B x y ，设222(,)B x y 是1B 关于点A 的对称点， 则有1212,2222x x t y y s ++==，∴1212,x t x y s y =-=-代入曲线C 的方程，得22,x y 的方程：3222()()s y t x t x -=---即3222()()y x t x t s =---+，可知点222(,)B x y 在曲线1C 上． 反过来，同样证明，在曲线1C 上的点A 的对称点在曲线C 上． 因此，曲线C 与1C 关于点A 对称．（3）证明：因为曲线C 与1C 有且仅有一个公共点，∴方程组33()()y x xy x t x t s⎧=-⎪⎨=---+⎪⎩有且仅有一组解， 消去y ，整理得22333()0tx t x t t s -+--=，这个关于x 的一元二次方程有且仅有一个根，∴43912()0t t t t s ∆=---=，即得3(44)0t t t s --=， 因为0t ≠，所以34ts t =-．。
初中数学教案 函数的图像与变换
初中数学教案函数的图像与变换初中数学教案函数的图像与变换【引言】在初中数学中，我们学习了很多重要的数学概念和知识，其中函数是一个非常重要的部分。
函数是现实生活中的很多问题的数学描述，它可以帮助我们理解和解决实际问题。
本教案将重点介绍函数的图像和函数图像的变换，帮助同学们更好地理解函数的概念和性质。
【1. 函数的图像】1.1 函数图像的定义函数的图像是指函数在坐标系中通过其各个点所形成的曲线或曲线段。
函数图像展示了函数的各种特性和性质，帮助我们更好地理解和研究函数。
1.2 函数图像的绘制方法绘制函数图像的方法可以分为以下几个步骤：（1）确定函数的定义域和值域；（2）寻找函数的关键点，例如零点、极值点、拐点等；（3）根据给定函数的性质和特点，画出函数的曲线或曲线段。
【2. 函数图像的变换】2.1 平移变换平移是函数图像的常见变换之一，它可以使函数图像在坐标系中沿横轴或纵轴方向上移动。
平移变换的规律如下：（1）沿横轴方向平移：对于函数y = f(x)，平移后的函数为y = f(x - a)，其中a为平移的量；（2）沿纵轴方向平移：对于函数y = f(x)，平移后的函数为y = f(x) + b，其中b为平移的量。
2.2 伸缩变换伸缩变换是指函数图像在坐标系中沿横轴或纵轴方向上的拉伸或压缩。
伸缩变换的规律如下：（1）沿横轴方向伸缩：对于函数y = f(x)，伸缩后的函数为y = f(kx)，其中k为伸缩的比例因子，若k > 1，则为拉伸；若0 < k < 1，则为压缩；（2）沿纵轴方向伸缩：对于函数y = f(x)，伸缩后的函数为y = kf(x)，其中k为伸缩的比例因子，若k > 1，则为拉伸；若0 < k < 1，则为压缩。
2.3 翻折变换翻折变换是指函数图像在坐标系中关于某条直线对称翻转。
常见的翻折变换包括关于x轴、y轴和原点的翻折变换。
翻折变换后的函数表示如下：（1）关于x轴翻折：对于函数y = f(x)，翻折后的函数为y = -f(x)；（2）关于y轴翻折：对于函数y = f(x)，翻折后的函数为y =f(-x)；（3）关于原点翻折：对于函数y = f(x)，翻折后的函数为y = -f(-x)。
高中数学《函数图象的变换》教案
高中数学《函数图象的变换》精品教案第一章：函数图象的变换概述1.1 教学目标了解函数图象变换的概念和基本方法。
理解函数图象变换的实质和作用。
1.2 教学内容函数图象的平移变换：水平方向的平移和垂直方向的平移。
函数图象的缩放变换：横向缩放和纵向缩放。
函数图象的旋转变换。
1.3 教学方法采用多媒体演示和实际操作相结合的方式，让学生直观地理解函数图象的变换。
通过例题和练习题，让学生巩固所学内容。
1.4 教学评估通过课堂讲解和练习题，评估学生对函数图象变换概念的理解程度。
通过实际操作和练习题，评估学生对函数图象变换方法的掌握程度。
第二章：函数图象的平移变换2.1 教学目标掌握函数图象的水平方向和垂直方向的平移变换方法。
能够运用平移变换方法改变函数图象的位置。
2.2 教学内容水平方向的平移变换：左加右减的原则。
垂直方向的平移变换：上加下减的原则。
实际操作示例：通过几何画板或函数图象软件，演示函数图象的平移变换过程。
2.3 教学方法通过多媒体演示和实际操作，让学生直观地理解函数图象的平移变换方法。
通过例题和练习题，让学生巩固所学内容。
2.4 教学评估通过课堂讲解和练习题，评估学生对函数图象平移变换方法的理解程度。
通过实际操作和练习题，评估学生对函数图象平移变换的掌握程度。
第三章：函数图象的缩放变换3.1 教学目标掌握函数图象的横向缩放和纵向缩放变换方法。
能够运用缩放变换方法改变函数图象的大小。
3.2 教学内容横向缩放变换：横坐标的乘以一个非零常数。
纵向缩放变换：纵坐标的乘以一个非零常数。
实际操作示例：通过几何画板或函数图象软件，演示函数图象的缩放变换过程。
3.3 教学方法通过多媒体演示和实际操作，让学生直观地理解函数图象的缩放变换方法。
通过例题和练习题，让学生巩固所学内容。
3.4 教学评估通过课堂讲解和练习题，评估学生对函数图象缩放变换方法的理解程度。
通过实际操作和练习题，评估学生对函数图象缩放变换的掌握程度。
高中数学中的函数与图像对称性质与图形变换
高中数学中的函数与图像对称性质与图形变换在高中数学中，函数与图像的对称性质以及图形的变换是非常重要的概念。
这些概念不仅有助于我们理解数学中的抽象概念，还有助于我们解决实际问题。
本文将探讨函数与图像的对称性质以及图形的变换，并分析其在数学中的应用。
函数与图像的对称性质是指函数图像在某个特定操作下的不变性。
常见的对称性质包括轴对称和中心对称。
轴对称是指函数图像关于某条直线对称，而中心对称是指函数图像关于某个点对称。
这些对称性质在数学中的应用非常广泛。
例如，在解方程时，我们可以利用函数图像的对称性质来简化问题。
另外，在几何学中，对称性质也是研究图形性质的重要工具。
图形的变换是指将一个图形按照一定规则进行移动、旋转、翻转等操作，从而得到一个新的图形。
常见的图形变换包括平移、旋转和翻转。
平移是指将图形沿着平行于坐标轴的方向进行移动，旋转是指将图形按照一定角度进行旋转，翻转是指将图形关于某条直线进行镜像。
这些图形变换在数学中有着广泛的应用。
例如，在几何学中，我们可以利用图形变换来证明两个图形是否全等。
此外，在计算机图形学中，图形变换也是生成动画和模拟现实世界的重要工具。
函数与图像的对称性质和图形变换之间存在着密切的联系。
例如，我们可以利用函数图像的对称性质来进行图形变换。
具体而言，如果一个函数图像关于某条直线对称，那么我们可以通过将函数图像沿着该直线进行翻转来得到一个新的函数图像。
同样地，如果一个函数图像关于某个点对称，那么我们可以通过将函数图像沿着该点进行旋转180度来得到一个新的函数图像。
这些图形变换不仅可以帮助我们理解函数与图像的对称性质，还可以帮助我们解决实际问题。
除了函数与图像的对称性质和图形变换，高中数学中还涉及到其他一些与对称性质和图形变换相关的概念。
例如，我们可以通过函数的奇偶性来判断函数图像的对称性质。
具体而言，如果一个函数满足$f(-x)=-f(x)$，那么它是奇函数，其图像关于原点对称；如果一个函数满足$f(-x)=f(x)$，那么它是偶函数，其图像关于y轴对称。
函数的对称性与函数的图象变换课件
轴对称
点对称
如果函数$f(x)$满足$f(k-x) = f(k+x)$ ，则称函数$f(x)$具有点对称性。
如果函数$f(x)$满足$f(-x) = f(x)$， 则称函数$f(x)$具有轴对称性。
函数对称性的分类
01
02
03
偶函数
如果对于定义域内的任意 $x$，都有$f(-x) = f(x)$ ，则称函数$f(x)$为偶函 数。
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详细描述
在平面坐标系中，顺时针旋转函数图像意味 着将每个点按照顺时针方向移动一定的角度 。具体来说，如果一个点在坐标系中的坐标 为(x, y)，经过顺时针旋转θ角度后，其新的 坐标变为(x', y')，其中x' = x cosθ - y sinθ ，y' = x sinθ + y cosθ。
逆时针旋转
一个函数如果既是奇函数又是偶函数，则被称为既奇又偶函 数。其定义是对于所有x，有f(-x) = -f(x)当且仅当f(-x) = f(x) 。例如，函数y = sin(x)是一个既奇又偶函数，其图像关于原 点对称。
04
函数图象的翻折变换
沿x轴翻折
总结词
当函数图像沿x轴翻折时，图像在x轴 两侧对称。
$y$轴。
对称中心的性质
如果函数$f(x)$具有点 对称性，则其对称中心
为$(k,0)$。
偶函数的性质
偶函数的图像关于$y$ 轴对称。
奇函数的性质
奇函数的图像关于原点 对称。
02
函数图象的平移
向左平移
总结词
当函数图像向左平移时，图像上 的每一个点都沿着x轴负方向移动 。
详细描述
对于函数$y = f(x)$，若图像向左 平移$a$个单位，则新的函数解析 式为$y = f(x + a)$。
高中数学教案：函数图像的变换及性质
高中数学教案：函数图像的变换及性质一、引言在高中数学教学中，函数图像的变换及性质是学习函数的重要内容之一。
理解函数图像的变换规律和性质，有助于学生更好地理解函数的概念、掌握函数的运算和图像的变化规律，进一步提高数学思维和解题能力。
本教案将介绍函数图像的平移、伸缩和翻转等变换，并探究函数的奇偶性、周期性和单调性等性质。
二、函数图像的平移1. 平移的概念与特点平移是指保持图形形状不变，仅仅改变位置的变换方式。
在函数图像中，平移可以通过改变函数的自变量（x）和因变量（y）的关系来实现。
平移有平行于x轴的水平平移和平行于y轴的垂直平移两种形式。
2. 平移的公式与例题水平平移的公式为f(x ± a)，其中a表示平移的距离和方向。
垂直平移的公式为f(x) ± a，其中a表示平移的距离和方向。
例如，对于函数y = x²-1，向右平移2个单位的函数表达式为y = (x-2)²-1。
三、函数图像的伸缩1. 伸缩的概念与特点伸缩是指通过改变图形的尺寸，保持图形形状与轴线关系不变的变换方式。
在函数图像中，伸缩可以通过改变函数的自变量（x）或因变量（y）的比例系数来实现。
伸缩有水平方向的横向伸缩和垂直方向的纵向伸缩两种形式。
2. 伸缩的公式与例题横向伸缩的公式为f(kx)，其中k表示伸缩的比例系数。
纵向伸缩的公式为kf(x)，其中k表示伸缩的比例系数。
例如，对于函数y = x²-1，横向伸缩2倍的函数表达式为y = (1/2)x²-1，纵向伸缩2倍的函数表达式为y = 2(x²-1)。
四、函数图像的翻转1. 翻转的概念与特点翻转是指通过改变图形的方向，保持图形形状不变的变换方式。
在函数图像中，翻转可以通过改变函数的自变量（x）或因变量（y）的正负号来实现。
翻转有水平方向的左右翻转和垂直方向的上下翻转两种形式。
2. 翻转的公式与例题左右翻转的公式为f(-x)，即将函数关于y轴翻转。
初二数学函数图像对称变换分析
初二数学函数图像对称变换分析函数图像对称变换是数学中常见的基本概念，它能够帮助我们更好地理解函数的性质和变化。
在这篇文章中，我们将详细分析初二数学中函数图像的对称变换，包括关于x轴、y轴和原点的对称变换。
1. x轴对称变换当函数图像关于x轴对称时，我们可以观察到以下特点：首先，对于函数图像上任意一点P(x, y)，其对称点P'关于x轴，其y坐标为-P的y坐标。
也就是说，如果点P的坐标为(x, y)，则其对称点P'的坐标为(x, -y)。
其次，对于函数的方程，如果原方程为y=f(x)，经过x轴对称变换后，新方程为y=-f(x)。
例如，如果原函数为y=x^2，经过x轴对称变换后新函数为y=-x^2。
2. y轴对称变换当函数图像关于y轴对称时，我们可以观察到以下特点：首先，对于函数图像上任意一点P(x, y)，其对称点P'关于y轴，其x坐标为-P的x坐标。
也就是说，如果点P的坐标为(x, y)，则其对称点P'的坐标为(-x, y)。
其次，对于函数的方程，如果原方程为y=f(x)，经过y轴对称变换后，新方程为y=f(-x)。
例如，如果原函数为y=x^2，经过y轴对称变换后新函数还是y=x^2。
3. 原点对称变换当函数图像关于原点对称时，我们可以观察到以下特点：首先，对于函数图像上任意一点P(x, y)，其对称点P'关于原点，其坐标为(-P的x坐标, -P的y坐标)。
也就是说，如果点P的坐标为(x, y)，则其对称点P'的坐标为(-x, -y)。
其次，对于函数的方程，如果原方程为y=f(x)，经过原点对称变换后，新方程为y=-f(-x)。
例如，如果原函数为y=x^2，经过原点对称变换后新函数为y=-x^2。
通过对函数图像的对称变换分析，我们可以更好地理解函数的性质和变化。
这种对称变换在数学和实际问题中都有广泛的应用。
例如，在几何中，我们可以利用对称变换来证明图形的性质；在物理中，对称变换可以帮助我们分析物体的运动轨迹。
函数与像的对称性与变换
函数与像的对称性与变换函数与像的对称性与变换是数学中一个重要的概念和技巧，它主要用于研究函数图像的性质与特点。
通过对函数的变换和对称性的研究，可以更深入地了解函数的行为和特性，从而解决一些实际问题。
一、函数的对称性函数的对称性是指函数图像在某些操作下表现出的某种规律性。
常见的函数对称性有：奇函数、偶函数、周期函数和一般函数。
1. 奇函数：若对于任意x，有f(x)=-f(-x)，则函数f(x)为奇函数。
奇函数的图像以原点为对称中心，即左右对称。
2. 偶函数：若对于任意x，有f(x)=f(-x)，则函数f(x)为偶函数。
偶函数的图像以y轴为对称轴，即左右对称。
3. 周期函数：若存在正数T，对于任意x，有f(x+T)=f(x)，则函数f(x)为周期函数。
周期函数的图像呈现出某种规律的重复性。
4. 一般函数：既不满足奇函数也不满足偶函数性质的函数称为一般函数，它的图像没有明显的对称性。
二、函数的变换函数的变换是指通过一系列的操作，改变函数图像的位置、形状、大小等特征。
常见的函数变换操作包括平移、伸缩、翻转和旋转等。
1. 平移：函数的平移是指将整个函数图像沿着坐标轴的方向移动一定的距离。
平移有水平平移和垂直平移两种情况，分别用平移量a和b 来表示。
2. 伸缩：函数的伸缩是指将整个函数图像在坐标轴的方向上进行拉伸或压缩。
伸缩有水平伸缩和垂直伸缩两种情况，分别用伸缩因子k 和h来表示。
3. 翻转：函数的翻转是指将整个函数图像关于某一直线对称。
翻转有水平翻转和垂直翻转两种情况，分别用翻转轴x=a和y=b来表示。
4. 旋转：函数的旋转是指将整个函数图像绕坐标原点或者某一点旋转一定的角度。
旋转用旋转中心和旋转角度来表示。
三、应用实例函数与像的对称性与变换在实际问题中有着广泛的应用。
以下举几个例子进行说明。
1. 对称轴的求解：利用函数的对称性，可以通过观察函数的图像来推断函数的对称轴，并进一步求解问题。
例如，通过观察一条曲线图像在x轴的对称性，可以得出该函数是偶函数，进而得到函数的性质和解析式。
函数图象的对称性教学设计
函数图象的对称性教学设计导语：在数学的学习中，函数图象的对称性是一个重要的概念。
通过对函数图象的对称性进行教学，不仅可以帮助学生更好地理解函数的性质，还可以培养学生的观察与分析能力。
本文将提供一种针对函数图象的对称性的教学设计，旨在帮助教师通过富有趣味和互动性的活动，引导学生深入理解函数图象的对称性。
一、教学目标1. 知识目标：了解函数图象的对称性的概念，掌握函数关于原点对称、关于y轴对称和关于x轴对称的判定方法。
2. 能力目标：通过观察函数图象，能够判断函数关于不同轴的对称性。
3. 情感目标：培养学生对数学的兴趣，培养学生观察和分析问题的能力。
二、教学重点与难点1. 教学重点：理解函数图象的对称性的概念，掌握函数关于原点对称、关于y轴对称和关于x轴对称的判定方法。
2. 教学难点：通过观察函数图象判断函数关于不同轴的对称性。
三、教学准备1. 教师准备：课件、黑板、彩色粉笔、直尺、教学实例。
2. 学生准备：课本、笔记本。
四、教学过程步骤一：导入新知（10分钟）教师通过提问和引入相关实例，引起学生对函数图象的对称性的兴趣。
例如，教师可以给学生展示一些有趣的图片，让学生观察并思考其中的对称性。
然后，教师引导学生定义函数图象的对称性。
步骤二：讲解理论知识（20分钟）1. 函数关于原点对称的判定方法。
教师通过讲解函数关于原点对称的概念，引导学生发现函数图象中关于原点对称的规律，并总结出函数关于原点对称的判定方法。
2. 函数关于y轴对称的判定方法。
教师通过讲解函数关于y轴对称的概念，引导学生发现函数图象中关于y轴对称的规律，并总结出函数关于y轴对称的判定方法。
3. 函数关于x轴对称的判定方法。
教师通过讲解函数关于x轴对称的概念，引导学生发现函数图象中关于x轴对称的规律，并总结出函数关于x轴对称的判定方法。
步骤三：教学实践（50分钟）1. 学生练习判断函数图象的对称性。
教师出示一些具体函数的图象，在黑板上标出函数图象的对称中心，并带领学生一起判断函数关于原点、y轴和x轴的对称性。
高中数学图像对称转化教案
高中数学图像对称转化教案
教学重点：图像关于直线对称、点对称和原点对称的转化方法。
教学难点：结合具体例题，灵活运用对称转化方法解决问题。
教学准备：教学课件、黑板、彩色粉笔、教学素材（包括图形等）。
教学过程：
1.导入
通过展示一些简单的图形，让学生复习图形的基本知识，并回顾图形的对称性质，引出本
节课的主题。
2.讲解
（1）直线对称：通过介绍直线对称的概念和性质，让学生了解图形关于直线对称的转化
方法，并用具体例题进行讲解。
（2）点对称和原点对称：介绍点对称和原点对称的概念和性质，让学生掌握图像关于点
对称和原点对称的转化方法，并进行实例讲解。
3.练习
让学生在课堂上进行练习，通过图形变换的方式巩固和提高对称转化方法的理解和运用能力。
4.总结
回顾本课的重点和难点内容，强化学生的记忆和理解，提醒学生注意对称转化方法的应用。
5.作业
布置相关练习题，让学生巩固所学知识，做到熟练应用。
教学反思：
本节课通过引入图形对称转化的知识，加深了学生对图形对称性质的理解，提高了学生的
解题能力和逻辑思维能力。
通过丰富的例题讲解和实践练习，学生对对称转化方法有了更
深入的理解，掌握了相关的解题技巧。
在后续的教学中，可以通过更多的实例和练习，帮
助学生巩固所学知识，提高解题能力。
同时，也可以引入更多的实际问题，让学生运用对
称转化方法解决具体问题，进一步提高学生的数学建模能力。
函数的对称性与函数的图象变换
(1)y=2-x (2)y=-2x (3)y=-2-x
y
y
y
1 Ox
1
O
-1
x
1
O
-1
x
函数图象对称变换的规律:
1.函数y=f(-x)与函数y=f(x)的图像关于y轴对称 2.函数y=-f(x)与函数y=f(x)的图像关于x轴对称 3.函数y=-f(-x)与函数y=f(x)的图像关于原点对称 4.函数y=f(x)与函数y=f(2a-x)的图像关于直线 x=a
,0
) 对称
(2)若y=f(x)满足f(a-x)=2c-f(b+x),
则函数图像关于点 (
a+b 2
,C
) 对称
轴对称 函数图像关于直线x=0对称
中心对称性 函数图像关于(0,0)中心对称
-x
x
f(-x)=a对称
函数图像关于(a,0)中心对称
x=a
y=f(x)图像关于(0,0)中心对称
f(-x)=-f(x)
y
-x
o xa
x
类比探究
中心对称性
从”形”的角度看，
从”数”的角度看，
y=f(x)图像关于(a,0)中心对称
f(x)=-f(2a-x)
y
2a-x o
a
xx
类比探究
中心对称性
从”形”的角度看，
从”数”的角度看，
y=f(x)图像关于(a,0)中心对称
②若函数f(x)关于直线x=1对称,则函数f(x-4)-2
关于直线 x=5 对称.
问题2. 设f(x)= 1 (x>0)，求函数y=-f(x)、y=f(-x)、
x
y=-f(-x)的解析式及其定义域，并分别作出它们的图象。
《函数图像变换――对称与翻折》教学案例
《函数图像变换――对称与翻折》教学案例教学设计思想1．相对于初中而言，在高中我们要提高学生的抽象思维能力。
这就需要我们结合学生的能力基础和教材的特点（难易度）设计有层次、有价值的问题以帮助学生在这方面得到提高。
这节课的内容虽然是补充的，但是对学生后期的学习和应用作用很大。
内容比较抽象，但不是很难。
通过这个内容的教学，继续告诉学生如何处理一般的比较抽象的问题――由特殊到一般。
2．我们一直希望能让学生从只参与微观的例习题的解题探究上升到让学生参与知识的探究，渗透给学生独立探求新知识的能力以及科学的、系统的、严谨的研究问题的方法，使学生由学会向会学转变。
3．我们正在进行TI图形计算器与数学教学整合实验，我们的目的不仅仅是让学生会操作TI跟着老师做些东西，更要培养学生自觉借助工具来帮助自己获得信息的意识。
4．建构学习是基于学生的问题和探索，通常由学生自己来设计和评定的。
我们在高一函数学习中的教学指导思想是：在让学生掌握知识的同时一定要让学生体验“会学”，并尽量地“会学”。
本节课继续告诉学生如何处理一般的比较抽象的问题――由特殊到一般。
教学目标确定1.这部分内容对学生学习和应用函数知识比较重要，因此从知识点方面希望能让学生理解并掌握y=f(－x)、y=－f(x)、y=f(|x|)、y=|f(x)|的图像分别与y=f(x)的图像之间的关系。
2.对于比较抽象的知识，我们一般的解决思想是由特殊到一般。
本节课的做法是：让学生先独立进行探索，充分借助TI图形计算器强大的作图功能来研究一些具体的函数，从中发现并归纳相应的规律，然后就近组合进行交流讨论，并尝试说明出现这种结论的原因。
这部分内容是渗透数形结合思想很好的载体，从能力训练方面希望能让学生继续体会由特殊到一般的归纳的思想和数形结合的思想。
3.我们一直提倡学生在学习中既要独立研究，也要与人合作，善于交流是合作基础之一。
通过本节课希望能在培养学生合作交流的能力和习惯方面起到一定的作用。
函数的图像变换以及对称性
函数的图像变换以及对称性1、平移变换函数y ＝f（x）的图像向右平移a个单位得到函数y ＝f（x - a）的图像；向上平移b个单位得到函数y ＝f（x）+ b 的图像；左平移a个单位得到函数y ＝f（x + a）的图像；向下平移b个单位得到函数y ＝f（x）- b 的图像（a ，b＞0）。
2、伸缩变换函数 y ＝f（x）的图像上的点保持横坐标不变纵坐标变为原来的k倍（0＜k＜1时，缩；k＞1时，伸）得到函数 y ＝ k f（x）的图像；函数 y ＝f（x）的图像上的点保持纵坐标不变横坐标变为原来的1/k倍（0＜k＜1时，伸；k＞1时，缩）得到函数y ＝f（k x）的图像（k＞0，且k ≠1）。
3、对称变换（1）函数y＝f（x）的图象关于y轴对称的图像为y＝f（－x）；关于x轴对称的图像为y＝－f（x）；关于原点对称的图像为y＝－f（－x）。
（2）函数y ＝f（x）的图象关于x=a对称的图像为y＝f（2a－x）；关于y=b对称的图像为y＝2b－f（x）；关于点（a，b)中心对称的图像为y＝2b－f（2a－x）。
（3）绝对值问题①函数 y ＝f（x）x轴及其上方的图像保持不变，把下方图像关于x轴对称的翻折到上方，再把下方的图像去掉得到函数y ＝| f（x）|的图像；②函数 y ＝f（x）y轴及其右侧的图像保持不变，把左侧图像去掉，再把右侧图像关于y轴对称的翻折到左侧得到函数y ＝f（| x|）的图像；③函数y＝f（x）先用第②步的方法得到函数y ＝f（| x|）的图像，再平移a个单位得到函数y＝f（|x－a|）图象。
我们还可以得到下面的结论：（1）函数y＝f（x）与y＝f（2a－x）图象关于直线x= a对称；（2）函数y＝f（x）与y＝2b－f（x）图象关于直线y = b对称；（3）函数y＝f（x）与y＝2b－f（2a－x）图象关于点（a，b）对称；附注：下面是有关函数图象自身的对称性的一些结论，我们把它放在这里来对比一下：（1）若函数f（x）满足：对任意的实数x，都有f（a + x）＝f （a －x）成立，则函数f（x）的图像关于x=a对称；（2）若函数f（x）满足：对任意的实数x，都有f（bx）＝f（2a －bx）成立，则函数f（x）的图像关于x=a对称；（b≠0）（3）若函数f（x）满足：对任意的实数x，都有f（a + x）＝－f （a －x）成立，则函数f（x）的图像关于点(a,0）对称；（4）若函数f（x）满足：对任意的实数x，都有f（bx）＝－f （2a －bx）成立，则函数f（x）的图像关于(a,0）对称；（b≠0）（5）若函数f（x）满足：对任意的实数x，都有f（a + x）＝2b －f（a －x）成立，则函数f（x）的图像关于点(a,b）对称；（6）若函数f（x）满足：对任意的实数x，都有f（x）＝2b －f （2a －x）成立，则函数f（x）的图像关于(a,b）对称。
函数的对称性及其图像变换
函数的对称性及其图像变换介绍对称性之前⾸先介绍下抽象函数f(x)，这个含义是：将映射关系f作⽤于括号内的东西，这⾥就是x。
强调⼀下，f作⽤的对象是括号内的全体，所以不管括号内的式⼦长什么样⼦，需要整体看待。
⼀个映射关系f就对应⼀个⾃变量为x的函数图像，作⽤的结果就是函数值。
举个例⼦：f(x),f(x+10) 有相同的映射关系f，但这个映射关系作⽤的对象不同，前者直接作⽤于⾃变量x，后者作⽤于x+10，所以两者得到的函数式是不同的，因为函数图像是函数值和⾃变量x之间的关系，并不是函数值和所作⽤对象之间的关系，所以f(x),f(x+10) 两者的图像不⼀样。
1. 函数的变换之所以会存在这样⼀个变换，是由于两个函数之间存在⼀个相同的映射关系f，只是作⽤的对象不⼀样，导致图像不⼀样，但因为映射关系相同，所以可以找到它们图像之间的联系，或者说：找能使它们函数值相等的⾃变量之间的关系。
1）平移变换⽐如：f(x),f(x+10)，这两个图像有什么位置联系呢？由于映射关系相同，所以f作⽤于相同的⼀个值，那函数值必然相同，观察可得：只要函数f(x+10) 代⼊的⾃变量x⽐代⼊函数f(x) 的⾃变量⼩ 10，那它们的函数值就⼀样，对于它们的⾃变量全体都有这样的特点，于是可以得到它们图像的特点：图像f(x+10) 右移 10 个单位就是图像f(x)。
更通俗来讲：因为f(x+10) 本⾝⾃带了⼀个增量，所以⾃变量可以少⼀点，⽽f(x) 本⾝没有增量，所以⾃变量要多，两者才能相等。
总之：针对同⼀个x，函数f(x) 代⼊x，函数f(x+10) 代⼊x−10，两者函数值相等。
2）对称变换⽐如：f(−x+k) 和f(x+k)，这两个图像有什么位置关系呢？它们的⾃变量之间存在怎样的关系，才会使函数值相同呢？针对同⼀个x，可以发现这两个函数的作⽤对象 −x+k和x+k关于直线x=k对称，所以函数f(−x+k) 代⼊x，⽽函数f(x+k) 代⼊x关于直线x=k的对称点 2k−x(对称的对称，所以作⽤对象就相同)，两者就有相同的函数值。
[讲解]函数图象的对称变换
![[讲解]函数图象的对称变换](https://img.taocdn.com/s3/m/5b798d2366ec102de2bd960590c69ec3d5bbdb6d.png)
课题：函数图像的对称变换（2课时）学情分析：相对于函数图象的平移变换，对称变换是学生的难点，对于具体函数，学生还有一定的思路，但结论性的结果，学生掌握的不是很好。
教学目标：（1）通过具体实例的探讨与分析，得到一些对称变换的结论。
（2）通过一定的应用，加强学生对对称变换结论的理解。
（3）能数形结合解决想过题目。
教学过程：欣赏图片，感受对称一、师生共同分析讨论完成下列结论的形成。
1、（1）函数()y f xy f x=的图像关于对称；=-与()（2）函数()y f x=的图像关于对称；=-与()y f x（3）函数()=的图像关于对称．y f xy f x=--与()2、奇函数的图像关于 对称，偶函数图像关于 对称．3、（1）若对于函数()y f x =定义域内的任意x 都有()()f a x f b x +=-，则()y f x =的图像关于直线 对称．（2）若对于函数()y f x =定义域内的任意x 都有()2()f a x b f a x +=--，则()y f x =的图像关于点 对称．4、对0a >且1a ≠，函数x y a =和函数log a y x =的图象关于直线 对称．5、要得到()y f x =的图像，可将()y f x =的图像在x 轴下方的部分以 为轴翻折到x 轴上方，其余部分不变．6、要得到()y f x =的图像，可将()y f x =，[)0,x ∈+∞的部分作出，再利用偶函数的图像关于 的对称性，作出(),0x ∈-∞时的图像．二、学生先独立完成，再分析点评2称．3、函数x y e =-的图象与函数 的图象关于坐标原点对称．4、将函数1()2x f x +=的图象向右平移一个单位得曲线C ，曲线C '与曲线C 关于直线y x =对称，则C '的解析式为 ．5、设函数()y f x =的定义域为R ，则函数(1)y f x =-与(1)y f x =-的图像的关系为关于 对称．6、若函数()f x 对一切实数x 都有(2)(2)f x f x +=-，且方程()0f x =恰好有四个不同实根，求这些实根之和为 ．二、典例教学【例1】填空题：（1（2）对于定义在R 上的函数()f x ，有下列命题，其中正确的序号为 ．①若函数()f x 是奇函数，则(1)f x -的图象关于点(1,0)A 对称；②若对x R ∈，有(1)(1)f x f x +=-，则()y f x =的图象关于直线1x =对称；③若函数(1)f x -的图象关于直线1x =对称，则函数()f x 是偶函数；④函数(1)y f x =+与函数(1)y f x =-的图象关于直线1x =对称．（3）将曲线lg y x =向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到曲线C ．如果曲线C '与C 关于原点对称，则曲线C '所对应的函数式是 ．（4）当1a >时，已知1x ，2x 分别是方程1x x a +=-和log 1a x x +=-解，则12x x +的值为 ．【例2】作出下列函数的图象：（1）12log ()y x =-；（2）12xy ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（3）2log y x =；（4）21y x =-．【例3】（利用图象的变换解决相应的问题）设函数)(x f y =图象进行平移变换得到曲线C ，这时)(x f y =图象上一点)1,2(-A 变为曲线C 上点)3,3('-A ，则曲线C 的函数解析式为（ ）A.2)1(+-=x f y B. 2)1(++=x f y C. 2)1(--=x f y D.2)1(-+=x f y【例4】（有关图象问题的综合应用）1．若函数)10(1≠>-+=a a b a y x 且的图象经过第二、三、四象限，则一定有 ．2．函数b x a x f -=)(的图象如图，其中a 、b 为常数，则下列结论正确的是（ ）A ．0,1<>b aB ．0,1>>b aC ．0,10><<b aD ．0,10<<<b a3．关于x 的方程x a x x =-+-342有三个不相等的实数根，则实数a 的值是多少？四、归纳小结 图象的对称变换①)(x f y =与)(x f y -=的图象关于y 轴对称②)(x f y =与)(x f y -=的图象关于x 轴对称③)(x f y =与)(x f y --=的图象关于原点对称④)(x f y =的图象是保留)(x f y =的图象中位于上半平面内的部分，及与x 轴的交点，将的)(x f y =图象中位于下半平面内的部分以x 轴为对称翻折到上半面中去而得到。
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学案10 函数图像的对称变换一、课前准备： 【自主梳理】1．（1）函数()y f x =-与()y f x =的图像关于 对称； （2）函数()y f x =-与()y f x =的图像关于 对称； （3）函数()y f x =--与()y f x =的图像关于 对称． 2．奇函数的图像关于 对称，偶函数图像关于 对称．3．（1）若对于函数()y f x =定义域内的任意x 都有()()f a x f b x +=-，则()y f x =的图像关于直线 对称．（2）若对于函数()y f x =定义域内的任意x 都有()2()f a x b f a x +=--，则()y f x =的图像关于点 对称．4．对0a >且1a ≠，函数xy a =和函数log a y x =的图象关于直线 对称． 5．要得到()y f x =的图像，可将()y f x =的图像在x 轴下方的部分以 为轴翻折到x 轴上方，其余部分不变．6．要得到()y f x =的图像，可将()y f x =，[)0,x ∈+∞的部分作出，再利用偶函数的图像关于 的对称性，作出(),0x ∈-∞时的图像． 【自我检测】1．函数3()2f x x =的图象关于 对称．2．在同一坐标系中，函数3log y x =与13log y x =的图象关于 对称．3．函数xy e =-的图象与函数 的图象关于坐标原点对称． 4．将函数1()2x f x +=的图象向右平移一个单位得曲线C ，曲线C '与曲线C 关于直线y x =对称，则C '的解析式为 ．5．设函数()y f x =的定义域为R ，则函数(1)y f x =-与(1)y f x =-的图像的关系为关 于 对称．6．若函数()f x 对一切实数x 都有(2)(2)f x f x +=-，且方程()0f x =恰好有四个不同实根，求这些实根之和为 ．二、课堂活动： 【例1】填空题：（1）对于函数()y f x =，x R ∈，“()y f x =的图象关于y 轴对称”是“()y f x =是奇函数”的 ．（2）对于定义在R 上的函数()f x ，有下列命题，其中正确的序号为 ． ①若函数()f x 是奇函数，则(1)f x -的图象关于点(1,0)A 对称；②若对x R ∈，有(1)(1)f x f x +=-，则()y f x =的图象关于直线1x =对称；③若函数(1)f x -的图象关于直线1x =对称，则函数()f x 是偶函数；④函数(1)y f x =+与函数(1)y f x =-的图象关于直线1x =对称．（3）将曲线lg y x =向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到曲线C ．如果曲线C '与C 关于原点对称，则曲线C '所对应的函数式是 ．（4）当1a >时，已知1x ，2x 分别是方程1xx a +=-和log 1a x x +=-解，则12x x +的值为 ．【例2】作出下列函数的图象：（1）12log ()y x =-；（2）12xy ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（3）2log y x =；（4）21y x =-．【例3】（1）将函数12log y x =的图象沿x 轴向右平移1个单位，得图象C ，图象C '与C 关于原点对称，图象C ''与C '关于直线y x =对称，求C ''对应的函数解析式； （2）已知函数()y f x =的定义域为R ，并且满足(2)(2)f x f x +=-．①证明函数()y f x =的图象关于直线2x =对称；②若()f x 又是偶函数，且[]0,2x ∈时，()21f x x =-,求[]4,0x ∈-时()f x 的表达式．课堂小结三、课后作业1．函数3(1)1y x =++的对称中心是 ．2．如果函数()y f x =的图象与函数32y x =-的图象关于坐标原点对称，则()f x = ． 3．设()3x af x +=，若要使()f x 的图象关于y 轴对称，则a = ．4．已知函数()sin2cos2 ()f x a x x a R =+∈图象的一条对称轴方程为12x π=，则a = ．5．已知函数2()f x x bx c =-+，(0)3f =，且(1)(1)f x f x +=-，则()xf b 与()xf c 的大小关系为 ． 6．函数321x y x +=-+在(),a -∞上单调递减，则实数a 的范围为 ． 7．若函数()y f x =的图象过点()1,1，则(4)f x -的图象一定过点 ． 8．定义在R 上的函数()f x 的图象关于点3,04⎛⎫-⎪⎝⎭成中心对称，对任意实数x 都有3()()02f x f x ++=且(1)1f -=，(0)2f =-，则 (0)(1)(2)(2009)f f f f ++++= ．解答:由f(x+3/2)=-f(x)，得f(x+3)=f((x+3/2)+3/2)=-f(x+3/2)=f(x)，则有周期T ＝3。
又f(x)的图像关于点(-3/4，0)成中心对称,即f(-3/4+x)=-f(-3/4-x)，令x=1/4，得f(-1/2)=f(-1)，即f(-2+3/2)=-f(-2)=1，则有f(1+3k)=f(-2)=-1，f(2+3k)=f(-1)=1,f(3+3k)=f(0)=-2,其中k 是任意整数。
则原式=(2007/3)(f(1)+f(2)+f(3))+f(2008)=669*(-2)+(-1)=-1339.9．设函数2()sin()2cos 1468x xf x πππ=--+． （1）求()f x 的最小正周期；（2）若函数()y g x =与()y f x =的图像关于直线1x =对称，求当4[0,]3x ∈时()y g x =的最大值．10．设曲线C 的方程是3y x x =-，将C 沿x 轴、y 轴正方向分别平移t 、s (0)t ≠个单位长度后得到曲线1C ．（1）写出曲线1C 的方程；（2）证明曲线C 与1C 关于点(,)22t s A 对称；（3）如果曲线C 与1C 有且仅有一个公共点，证明：34t s t =-．．四、纠错分析错题卡 题 号 错 题 原 因 分 析参考答案【自我检测】1．原点 2．x 轴 3．xy e-= 4．2log y x = 5．直线1x = 6．8【例1】（1）必要不充分条件 （2）①③（3）lg(1)2y x =--++ （4）1-【例2】（1）作12log y x =的图象关于y 轴的对称图形．（2）作12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象关于x 轴的对称图形．（3）作2log y x =的图象及它关于y 轴的对称图形．（4）作21y x =-的图形，并将x 轴下方的部分翻折到x 轴上方．（图略） 【例3】（1）21xy =--（2）①证明：设()00,P x y 是函数()y f x =的图象上任意一点，则00()y f x =．点P 关于直线2x =的对称点P '的坐标应为()004,x y -． ∵[][]00000(4)2(2)2(2)()f x f x f x f x y -=+-=--==． ∴点P '也在函数()y f x =的图象上． ∴函数()y f x =的图象关于直线2x =对称．②解析：由()21f x x =-，[]0,2x ∈及()f x 为偶函数，得()()21f x f x x =-=--，[]2,0x ∈-；当[]2,4x ∈时，由()f x 图象关于2x =对称，用4x -代入()21f x x =-， 得()(4)()24127f x f x x x -==--=-+，[]2,4x ∈，再由()f x 为偶函数， 得()27f x x =+，[]4,2x ∈--．故[](]27 , 4,2()2 1 , 2,0x x f x x x +∈--⎧⎪=⎨--∈-⎪⎩．课后作业：1．()1,1- 2．23x -- 3．0 4．335．()()xxf b f c ≤ 6．(],1-∞- 7．()3,1 8．09．解：（1）()f x =sincoscossincos46464x x x πππππ--=33sin cos 2424x x ππ- =3sin()43x ππ-故()f x 的最小正周期为T =24ππ=8．(2)在()y g x =的图象上任取一点(,())x g x ，它关于1x =的对称点(2,())x g x - ． 由题设条件，点(2,())x g x -在()y f x =的图象上，从而 ()(2)3sin[(2)]43g x f x x ππ=-=--=3sin[]243x πππ--=3cos()43x ππ+ 当304x ≤≤时，23433x ππππ≤+≤，因此()y g x =在区间4[0,]3上的最大值为ma x33c o s 32g π==． 10．解：（1）曲线1C 的方程为3()()y x t x t s =---+；（2）证明：在曲线C 上任意取一点111(,)B x y ，设222(,)B x y 是1B 关于点A 的对称点，则有1212,2222x x t y y s ++==，∴1212,x t x y s y =-=-代入曲线C 的方程， 得22,x y 的方程：3222()()s y t x t x -=---即3222()()y x t x t s =---+，可知点222(,)B x y 在曲线1C 上． 反过来，同样证明，在曲线1C 上的点A 的对称点在曲线C 上． 因此，曲线C 与1C 关于点A 对称．（3）证明：因为曲线C 与1C 有且仅有一个公共点，∴方程组33()()y x xy x t x t s⎧=-⎪⎨=---+⎪⎩有且仅有一组解， 消去y ，整理得22333()0tx t x t t s -+--=，这个关于x 的一元二次方程有且仅有一个根，∴43912()0t t t t s ∆=---=，即得3(44)0t t t s --=，因为0t ≠，所以34t s t =-．。