2009-随机信号2.4

则说它是白噪声过程，简称白噪声． 白噪声：服从一定分布的随机过程 特点： 功率谱密度为常数
白噪声的自相关函数具有冲激函数的形式
R (τ ) = N 2
0
N
δ (τ )
白噪声的相关系数
1 r N (τ ) = 0
τ = 0 τ ≠ 0
白噪声的的平均功率是无限的，即
1 Q 平稳，w = 2π N0 S N (ω )d ω = ∫ 4π −∞
如果高斯过程Ｘ（ｔ）是宽平稳的，应该满足
E[ X (t )] = m RX (t, t + τ ) = RX (τ )
σ
f
X
2
= R X (0 ) − m
1 2π σ e
2
(x,t) =
( x − m ) − 2σ 2
2
fX (x1, x2,t,t +τ) =
1 2πσ 1−2r (τ )
2 2
e
f (x ) =
'
1 2 πσ
2
−x 2σ2Fra bibliotek'2
X
'
r (0)
''
e
r '' ( 0 )
（６）平稳高斯过程导数的二维概率密度也是高斯分布的， 平稳高斯过程与其导数的联合概率密度也是高斯分布
２．４．２ 噪声 １ 白噪声 平稳过程Ｎ（ｔ）：数学期望为零，并在整个频率范围内 的功率谱为常数
SN N0 (ω ) = , −∞ < ω < ∞ 2
∞ ∞
−∞
∫ dω → ∞
２ 工程实际 白噪声： 理想化数学模型，模拟系统中不可能存在， 系统带宽有限，白噪声的平均功率无限 而实际系统中的白噪声的平均功率不可能是无限的． 工程中，白噪声模型存在的条件： 只要平稳过程功率谱带宽比所关心的带宽宽很多，且 比较均匀－－－－－－假定为白噪声（限带白噪声） 理想限带白噪声： 平稳过程在有限频带上功率谱密度为常数，在频带之外为０
j
，因
f X ( x1 , x2 ,L, xn ; t1 , t2 , L, tn ) = ∏
i =1
n
1 e 2π σ
( xi −m ) 2 − 2σ 2
=
f X1 ( x1 ) f X 2 ( x2 ) L f X n ( xn )
即ｎ维概率密度等于ｎ个一维概率密度的乘积，这说明任 何时刻都不相关的高斯过程一定是独立高斯过程．
２．４ 高斯过程与白噪声
２．４．１ 高斯过程 如果对于任意时刻 t i ( i = 1, 2 , L , n ) ，随机过 程的任意ｎ维随机变量
X i = X ( t i )( i = 1, 2 , L , n )
服从高斯分布，则Ｘ（ｔ）就是高斯过程
特殊性质 性质 １ 宽平稳高斯过程一定是严平稳过程．
S N (ω)
Pπ ∆ω
∆ω
−ω ω0
0
ω0
( a ) 功率谱密度
自相关函数：
sin( ∆ωτ / 2) RN (τ ) = P cos(ω0τ ) = a(τ ) cos(ω0τ ) ∆ωτ / 2
a (τ )
ａ（τ）是带 通白噪声自 相关函数的 包络． 平均功率： R ( 0 ) = P N 低通和带通白噪声带宽相同
高斯过程
结论：
（１）高斯过程的宽平稳性和严平稳性是等价的 （２）不相关性和独立性也是等价的． （３）平稳高斯过程与确定时间信号之和也是高斯过程， 确定的时间信号可认为是高斯过程的数学期望． 若确定信号是不随时间变化的，则和是高斯平稳 过程，否则不是平稳过程
（４）如果高斯过程的积分存在，它也将是高斯分布的 随机变量或随机过程． （５）平稳高斯过程导数的一维概率密度也是高斯分布 σ 2 r '' ( 0 ) 的，数学期望为零，方差为 ，
( x1−m)2 −2r(τ )(x1−m)(x2 −m)+(x2 −m)2 − 2σ2 1−r2 (τ )
[
]
二维概率密度与时间无关，只与时间差τ有关．
同理也可证明Ｘ（ｔ）的高维概率密度与ｔ无关， 宽平稳高斯过程一定是严平稳过程．
性质 ２ 若平稳高斯过程在任意两个不同时刻 t i , t 是不相关的，那么也一定是互相独立的． 由不相关性，对任意的 t i , t j ，有 r ( t i , t j ) = 0 此ｎ维高斯分布满足
① 低通白噪声
功率谱密度：集中在低频端，且分布均匀．
Pπ ∆ω
S N (ω)
RN (τ )
P
ω
τ
− ∆ω
0
∆ω
0
( a )功率谱密度
π ∆ω
2π ∆ω
3π ∆ω
( b )自相关函数
S
N
Pπ (ω ) ∆ ω 0
ω
≤ ∆ω 其它
sin( ∆ ωτ ) R N (τ ) = P ∆ ωτ
低通白噪声的平均功率
RN (0) = P
功率谱密度为有限宽时，平均功率也是有限的， 自相关函数则由于功率谱宽度缩小而展宽了．
② 带通白噪声
如果Ｎ（ｔ）的功率谱密度在 ± ω0 附近是常数
Pπ S N (ω ) ∆ ω 0
则称Ｎ（ｔ）是带通 限带白噪声
∆ω ∆ω ω0 − < ω ≤ ω0 + 2 2 其它
P
τ
0
( b )自相关函数的包络
2π ∆ω
4π ∆ω
6π ∆ω
③ 色噪声
功率谱特点：各个频率分量的大小不同 高斯状色噪声： 功率谱密度形状是高斯形的， 分布是任意的