多元复合函数微分法w

函数可微
复 合 函 数 微 分 法
偏导数连续 3．多元函数全微分的求
小结
练习
π 求 函 数 z = y cos( x − 2 y ) ， 当 x = ， y = π ， 4
dx =
解
π
4
， dy = π 时的全微分.
复 合 函 数 微 分 法
∂z = − y sin( x − 2 y ), ∂x ∂z = cos( x − 2 y ) + 2 y sin( x − 2 y ), ∂y dz ( π , π )
多元函数经复合运算后，一般仍 是多元函数，也可能成为一元函数。 按前面关于多元函数的讨论方法，复 合函数求导法则的研究可从复合后成 为一元函数的情况开始。
复 合 函 数 微 分 法
这就是全导数问题。
例
dt 2 x ∂zxdy 2 = ∂z sin t ) 2 (bdz t ) 2 dy z= 解 = cos 解 + (a ∂x1d t ∂y d t dt 2 2 2 = a b sin 2t 2 2 =4 xy ⋅ a cos t + 2 x y ⋅ (−b sin t ) 2 dz 1 2 2 = 1a b 2 sin 2t cos 2t ⋅ 2 复 故 2 2 合 d t = 4 a b sin 4t (将x, y 的表达式带入) 函 2 数 1 2 2 微 = a b sin 4t 分 2 法
( 2 , 2 ,1) w
=4
z
∂u ∂y
( 2 , 2 ,1)
∂ yz = ( x ) ( 2 , 2 ,1) ∂y
= x ln x ⋅ zy
将 x，z 看成常数
复 合 函 数 微 分 法
yz
z −1
∂u ∂z
( 2 , 2 ,1)
∂ yz = ( x ) ( 2 , 2 ,1) ∂z
yz z
u=x , w= y
4
∂z ∂z 2 = dy = dx + π( 4 − 7 π ). ∂y ( π , π ) ∂x ( π , π ) 8
4 4
第七章
多元函数微分
第四节
复 合 函 数 微 分 法
多元复合函数微分法
第四节 多元复合函数的求导法则
1、全导数
2、链式法则 复 合 函 数 微 分 法
3、全微分形式的不变性
假设所有出现的函数求导运算 z u ∂∂z ∂∂z∂∂u ∂zz ∂vv ∂zz ∂w z == + ∂ ∂ + ∂ ∂w + + 均成立，试想一下如何求下面 y ∂∂x ∂∂u∂∂x ∂vv∂yx ∂w ∂∂x u y ∂ ∂ ∂w y 的导数：
z = f (u, v, w) , u = u ( x, y ) , v = v ( x, y ) , w = w( x, y ) , ∂z ∂z 。 , 求 ∂x ∂y
例 设 u = x ， du 求
yz
( 2 , 2 ,1)
。
∂u ∂u ∂u 解 du = d x + d y + d z ∂x ∂y ∂z
将 y，z 看成常数
复 合 函 , 2 ,1)
∂ yz = ( x ) ( 2 , 2 ,1) ∂x
=y x
z
y z −1
u=x , w= y
复 合 函 数 微 分 法
在点(0, 0)有有界的偏导数，但不连续。 故不可微。
定理（可微的充分条件）
设 z = f ( X ) 在 U( X 0 ) 内有定义, 且
∂z ∂z 可偏导。 若 ， 在点 X 0 连续， ∂y ∂x
复 合 函 数 微 分 法
则函数 f ( X ) 在点 X0 处可微。
变而对 x 的偏导数
例
设 z = e sin v , u = x y , v = x − y, x u ∂z ∂z 。 z , 求 y v ∂x ∂y ∂z ∂z ∂u ∂z ∂v = + 解 ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x
u
2
2
复 合 函 数 微 分 法
= e sin v ⋅ 2 xy + e cos v ⋅1
1.可微及全微分的概念 可微（二元函数）
Δ z = a Δ x + b Δy + o( Δx + Δy )
2 2
全微分
d z = aΔx + bΔy = d x z + d y z
复 合 函 数 微 分 法
Δ
三元和三元以上的函数的类似定义 小结
2. 多元函数连续、可导、可微的关系 函数连续 函数可导
u = f (ϕ1 ( x) , L, ϕ m ( x)) 在点 x 处可偏导，且
复 合 函 数 微 分 法
d u m ∂u d vi =∑ d x i =1 ∂vi d x
链式法则
例
解
设 z=x
sin x
dz 求 。 dx
令 z = x , y = sin x , 则
y
d z ∂z ∂z d y = + d x ∂x ∂y d x
y 例 例 3 计算函数u = x + sin + e yz 的全微分. 2
解
∂u = 1, ∂x
∂u 1 y yz = cos + ze , ∂y 2 2
∂u = ye yz , ∂z
复 合 函 数 微 分 法
所求全微分
y 1 du = dx + ( cos + ze yz )dy + ye yz dz . 2 2
复 合 函 数 微 分 法
2 d z ∂z d x1 ∂z d x2 ∂z d xi + = =∑ d t ∂x1 d t ∂x2 d t i =1 ∂xi d t
定理 (全导数)
因为 vi = ϕi (x)可导，
设函数 u = f (v1 , L , vm ) ,vi = ϕ i (x) (i = 1, L, m) 可复合成 u = f (ϕ1 ( x) , LL, ϕ m ( x)) 。 若 ϕ i (x) 在点 x 处可微，函数 f (v1 , L , vm ) , 在相应于 x 的点 (v1 , L , vm ) 处可微，则复合函数
可微 ? 连续
复 合 函 数 微 分 法
? 可导
?
在多元函数中，三者的关系如何？
可微： Δ z = a Δ x + b Δy + o( Δx + Δy )
2 2
复 合 函 数 微 分 法
连续： lim Δ z = 0
Δ x →0 Δ y →0
可微的必要条件
函数 f ( X ) 在点 X0 处可微， 则必在点 X0 处连续。
u
x
y
复 合 函 数 微 分 法
z
v
w
例如
z = f ( u, x , y ) 其中 u = φ ( x , y )
w = y,
即 z = f [φ ( x , y ), x , y ], 令 v = x ,
∂v = 1, ∂x
∂w = 0, ∂x
∂v = 0, ∂y
∂w = 1. ∂y
∂z ∂f ∂u ∂f = ⋅ + , ∂ x ∂u ∂x ∂ x
u 2
u
=e
x2 y2
( 2 xy sin( x − y ) + cos( x − y ) )
2
例
设 z = e sin v , u = x y , v = x − y, x u ∂z ∂z 。 z , 求 y v ∂x ∂y ∂z ∂z ∂u ∂z ∂v = + 解 y ∂x ∂u ∂y ∂v ∂x x y
x 设 z = x y , x = a sin t , y = b cos t , z dz + t 。 y 求
2 2
z = f ( x, y ) , x = x(t ) , y = y (t ) ,
d z ∂z d x ∂z d y = + d t ∂x d t ∂y d t
z = f ( x1 , x2 ) , x1 = x1 (t ) , x2 = x2 (t ) ,
函数 z = x y + y 是否可微？ 例 若可微，求其全微分。 ∂z ∂z 2 = x + 2y = 2 xy 解 ∂y ∂x 2 易知这两个偏导数在 R 中连续， 2 2 z = x y + y 在 R 2 中可微。 故
2 2
复 合 函 数 微 分 法
∂z ∂z d z = d x + d y = 2 xy d x + ( x 2 + 2 y ) d y ∂x ∂y
∂ z ∂f ∂u ∂f = ⋅ + . ∂ y ∂u ∂ y ∂y
区 别 类 似
两者的区别
复 合 函 数 微 分 法
把 z = f ( u, x , y )
把 复 合 函 数 z = f [φ ( x , y ), x , y ] 中 的 u 及 y 看 作 不 中的 y 看作不变而对 x 的偏导数
x
写出二元和三元函数的全导数公式
d z ∂z d x ∂z d y z = f ( x, = ) , x = x(t ) , y = y (t ) y + d t ∂x d t ∂y d t
复 合 函 数 微 分 法
d u ∂u d x ∂u d y ∂u d z u = f ( x, = , z ) , x =+x(t ) , y =+y(t ) , z = z (t ) y d t ∂x d t ∂y d t ∂z d t
复 合 函 数 微 分 法
x
z y
x