八年级上册数学-二次根式的化简8
人教版八年级数学 竞赛专题：二次根式的化简与求值(含答案)
人教版八年级数学 竞赛专题：二次根式的化简与求值（含答案）【例1】 化简（1(ba b ab b -÷--（2（3（4解题思路：若一开始把分母有理化，则计算必定繁难，仔细观察每题中分子与分母的数字特点，通过分解、分析等方法寻找它们的联系，问题便迎刃而解.思想精髓：因式分解是针对多项式而言的，在整式，分母中应用非常广泛，但是因式分解的思想也广泛应用于解二次根式的问题中，恰当地作类似于因式分解的变形，可降低一些二次根式问题的难度.【例2】 比6大的最小整数是多少？解题思路：直接展开，计算较繁，可引入有理化因式辅助解题，即设x y ==想一想：设x =求432326218237515x x x x x x x --++-++的值.的根式为复合二次根式，常用配方，引入参数等方法来化简复合二次根式.【例3】 设实数x ，y 满足(1x y =，求x ＋y 的值.解题思路：从化简条件等式入手，而化简的基本方法是有理化.【例4】 （1的最小值.（2的最小值.解题思路：对于（1）的几何意义是直角边为a ，b 的直角三角形的斜边长，从构造几何图形入手，对于（2），设y =，设A （x ，0），B (4，5)，C (2，3)相当于求AB ＋AC 的最小值，以下可用对称分析法解决.方法精髓：解决根式问题的基本思路是有理化，有理化的主要途径是乘方、配方、换元和乘有理化因式.【例5】 设2)m a =≤≤，求1098747m m mm m +++++-的值.解题思路：配方法是化简复合二次根式的常用方法，配方后再考虑用换元法求对应式子的值.能力训练A级1.若满足0＜x＜y=x，y）是_______2.2x－3，则x的取值范围是（）A.x≤1B. x≥2C. 1≤x≤2D. x＞03）A．1B C. D. 54、有下列三个命题甲：若α，β是不相等的无理数，则αβαβ+-是无理数；乙：若α，β是不相等的无理数，则αβαβ-+是无理数；丙：若α，β其中正确命题的个数是（）A.0个B.1个C.2个D.3个5、化简：（1（2（3（4（56、设x =(1)(2)(3)(4)x x x x ++++的值.77x =，求x 的值.B 级1.已知3312________________x y x xy y ==++=则.2.已知42______1x x x ==++2x 那么.3.a =那么23331a a a++＝＿＿＿＿＿.4. a ，b 为有理数，且满足等式14a +=++则a ＋b ＝（ ）A .2B . 4C . 6D . 85． 已知1,2a b c ===，那么a ，b ，c 的大小关系是（ ）.Aa b c << B . b ＜a ＜c C . c ＜b ＜c D . c ＜a ＜b6.=） A . 1a a -B .1a a - C . 1a a+ D . 不能确定 7. 若[a ]表示实数a 的整数部分，则等于（ ）A .1B .2C .3D . 48． 把(1)a - ）A .B C. D .9、化简：（110099+（2（310、设01,x << 1≤<.12、已知a, b, c为有理数，证明：222a b ca b c++++为整数.参考答案例1 (1)⎤(2)+5．(3)3-；（4-++＝-．例2 x＋y＝，xy＝1，于是x2＋y2＝(x＋y)2－2xy＝22，x3＋y3＝(x＋y)(x2－xy＋y2)＝，x6＋y6＝(x3＋y3)2－2x3y3＝10582 ．∵01，从而0＜6＜1，故10 581＜6＜10 582．例 3 x＝－y…①；同理，y＝x…②．由①＋②得2x＝－2y，x＋y＝0．例4 (1)构造如图所示图形，P A PB．作A关于l的对称点A'，连A'B交l于P，则A'B13为所求代数式的最小值．(2)设yA(x，0)，B(4，5)，C(2，3)．作C关于x轴对称点C1，连结BC1交x轴于A点．A即为所求，过B作BD⊥CC1于D点，∴AC＋AB＝C1B＝例 5 m＝＋＝．∵1≤a≤2，∴01，∴－11≤0，∴m＝2．设S＝m10＋m9＋m8＋…＋m－47＝210＋29＋28＋…＋2－47 ①，2S＝211＋210＋29＋…＋22－94 ②，由②－①，得S＝211－2－94＋47＝1 999．A级1．(17，833)，(68，612)，( 153，420) 2．B 3．C4．A 5．(1)()2x yx y+-(2)22-(4) 6．48提示：由已知得x2＋5x＝2，原式＝(x2＋5x＋4)(x2＋5x＋6)．7．由题设知x＞0，(＋)(－)＝14x．∴－＝2，∴2＝7x＋2，∴21x2－8x－48＝0．其正根为x＝127．B级1．642．9553．1提示：∵－1)a＝2－1，即1a－1．4．B提示：由条件得a＋3＋a＝3，b＝1，∴a＋b＝4．5．B提示：a－b－11＝0．同理c－a＞0 6．B 7．B 8．D提示：注意隐含条件a－1＜0．9．(1)910提示：考虑一般情形＝－(2)原式＝8153+＝2+(3)210．构造如图所示边长为1的正方形ANMD，BCMN．设MP＝x，则CPAP，AC，AM AC≤PC＋P A＜AM＋MC，，则≤＋＜1＋11．设y＝－＝，设A(4，5)，B(2，3)，C(x，0)，易求AB的解析式为y＝x＋1，易证当C在直线AB上时，y有最大值，即当y＝0，x＝－1，∴C(－1，0)，∴y＝12b c+-＝)22233ab bc b acb c-+--为有理数，则b2 －ac＝0．又a2＋b2＋c2＝(a＋b＋c)2－2(ab＋bc＋ac)＝(a＋b＋c)2－2(ab＋bc＋b2)＝()2cba++－2b（a＋b＋c）＝（a＋b＋c）（a－b＋c），∴原式＝a－b＋c为整数．。
北师大版数学八年级上册 二次根式的运算
的值. 解：由题意得 32mn21n2，3， 解得
m
n
4, 3 1, 2
即 mn 4 1 6 .
32 3
归纳 确定可以合并的二次根式中字母取值的方法：利 用被开方数相同，指数都为 2 ，列关于待定字母的方 程求解即可.
【变式题】如果最简二次根式 2 3a 8与 17 2a 可以合
并，那么要使式子 4a 2x 有意义，求 x 的取值范围.
3. 下列二次根式，不能与 12 合并的是__②__⑤___ (填
序号）.
① 48 ；②- 125 ；③ 11 ；④ 3 ；⑤ 18.
3
2
例7
已知 a，b，c 满足 a
2
8
b5 c3
2 0.
(1) 求 a，b，c 的值；
(2) 以 a，b，c 为三边长能否构成三角形？若能构成
三角形，求出其周长；若不能，请说明理由. 解分：析(：1)(1由)若题几意个得非a 负 式8 的 2和2为，零b ， 5则，这c 几3个2非. 负式 (必2)然能都. 理为由零如；下(2：)根∵据2三2角＜3形2的＜三5，边即关a＜系c来＜判b.断.
又∵ a c 5 2 5，∴ a + c＞b.
∴ 能够成三角形，周长为 a b c 5 2 5.
【变式题】有一个等腰三角形的两边长分别为
5 2，2 6，求其周长. 解：当腰长为 5 2 时， ∵ 5 2 5 2 10 2＞2 6， ∴ 此时能构成三角形，周长为 10 2+2 6； 当腰长为 2 6 时， ∵ 2 6 2 6 4 6＞5 2， ∴ 此时能构成三角形，周长为 5 2+4 6.
C. 2 3 5
D. 4 5 5 5 20 5
3. 计算：
8、二次根式的化简求值-培优 数学张老师
8、二次根式的化简求值用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式．有理式(rational expression)和无理式(irrational expression)统称代数式，整式和分式统称有理式．有条件的二次根式的化简求值问题是代数式的化简求值的重点与难点．这类问题包容了有理式的众多知识，又涉及最简根式、同类根式、有理化等二次根式的重要概念，同时联系着整体代入、分解变形、构造关系式等重要的技巧与方法，解题的关键是，有时需把已知条件化简，或把已知条件变形；有时需把待求式化简或变形；有时需把已知条件和待求式同时变形．【例l 】 已知,21=+xx 那么191322++++x x x x x x 的值等亍(河北省初中数学创新与知识应用竞赛题)思路点拨通过平方或分式性质，把已知条件和待求式的被开方数都用x+x1的代数式表示．【例2】满足等式2003200320032003=+--+xy y x y x y x 的正整数对(x ，y)的个数是( )．A ．1B ．2C ．3D ．4(全国初中数学联赛题) 思路点拨对条件等式作类似于因式分解的变形，将问题转化为求不定方程的正整数解．【例3】 已知a 、b 是实数，且,1)1)(1(22=++-+b b Fa a 问a ，b 之间有怎样的关系?请推导． (第20届俄罗斯数学奥林匹克竞赛题改编) 思路点拨 由特殊探求一般，在证明一般性的过程中，由因导果，从化简条件等式人手，而化简的基本方法是有理化．【例4】 有这样一道题，计算222224444x x x x x x x x x -++--+---+的值，其中x=1005，某同学把“x=1005”错抄成“x=1050”，但他的计算结果是正确的．请回答这是怎么回事?试说明理由． (2005年辽宁省中考题)思路点拨解题的关键是正确化简待求式．【例5】(1)设a 、b 、c 、d 为正实数，a<b ，c<d ，bc>ad ，有一个三角 形的三边长分别为,)()(,,222222c d a b d b c a -+-++求此三角形的面积；(第12届“五羊杯”竞赛题)(2)已知a ，b 均为正数，且a+b=2，求1422+++=b a u 的最小值．(北京市竞赛题)思路点拨 (1)显然不能用面积公式求三角形面积(为什么?)，22c a +的几何意义是以a 、c 为直角边的直角三角形的斜边，从构造图形人手，将复杂的根式计算转化为几何问题加以解决；(2)用代数的方法求U 的最小值较繁，运用对称分析，借助图形求U 的最小值．1．已知a<0，化简=-++-22)1(4)1(4aa a a(2004年宁波市中考题)2．若),10(41<<=+a aa 则=-aa 13．．当215,215-=+=b a 时，代数式22222b a bab a -+-的值是(2005年河南省竞赛题)4．已知a 是4一捂的小数部分，那么代数式)4).(2442(222aa aa a a a a a -++++-+的值为5．若x ，y 为有理数，且,42112=+-+-y x x 则xy 的值为( )．0.A 21.B 2.CD ．不能确定(2004年广西竞赛题)6．已知实数a 满足,2001|2000|a a a =-+-那么a-20002的值是( )．A ．1999B ．2000C ．2001D ．2002 7．设10002,9991001,9971003=+=+=c b a 则a 、b 、C 之间的大小关系是( )．A ．a<b<cB ．c<b<aC ．c<a<bD ．a<c<b 8．若,1a ax -=则24x x u +=的值为( )．aa A 1.- a aB -1. a aC 1.+D ．不能确定9．有一道题：“先化简，再求值：,41)4422(22-÷-++-x x x x x 其中.3-=x ”小玲做题时把“3-=x ”错抄成了“,3=x ”但她的计算结果是正确的，请你解释这是怎么回事．(2005年南通市中考题)10. 已知x x x x x x +++-+=--4141,)1(1222化简11.=---+++=214121,312x x x x 那么已知12．已知=-=-++a 26,514则a a13．代数式9)12(422+-++x x 的最小值为(“希望杯”邀请赛试题)14．已知(x2002)2002()200222=+++y y x 则+----y x y xy x 664322=58(第17届江苏省竞赛题)15．如果,||,22002,220023333c b c b b a b a -=+-=-+=+那么333c b a -的值为( )．20022002.A 2001.B 1.C 0.D(武汉市选拔赛试题)16．化简24066312305941--++ 的结果是( )．A ．无理数B ．真分数C ．奇数D ．偶数(2005年全国初中数学联赛题)17．a 、b 为有理数，且满足等式,3241.63+=+b a 则a+b 的值为( )．A ．2B ．4C ．6D ．8(2006年全国初中数学联赛题)18．设)1(1,111,111,4++=+-=+-=≥r r r c r r b r r a r 则下列各式中，一定成立的是( )．c b a A >>. a c b B >>. b a c C >>. a b c D >>.(2005年全国初中数学联赛试题)19．已知,1313,1313-+=+-=y x 求44y x +的值．(2004年天津市竞赛题)20．已知20052+a 是整数，求所有满足条件的正整数a的和．(2005年“CASl0杯”武汉市竞赛题)21．已知),0(12>+=a a ax 化简：⋅-++--+2222x x x x22．已知,713572x x x =+-+求x 的值．(2005年全国初中数学竞赛题)答案：。
2.7.1二次根式的化简课件2021－2022学年北师大版八年级数学上册
2．式子 x2－x 1在实数范围内有意义的条件是
( B)
A．x≥1
B．x＞1
C．x＜0
D．x≤0
知识点 2 二次根式的性ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ ab＝ a· b(a≥0，b≥0)； ab＝ ab(a≥0，b＞0)．
3．(例 2)下列各式正确的是
A． －4×－9＝ －4× －9
B． 4×9＝ 4× 9
C．
449＝ 4×
A．最大值是23
B．最小值是23
C．最大值是32
D．最小值是23
6 6．将 12－13化简成最简二次根式为__6___.
(A )
7．化简：
(1) 9×16；(2) －16×－81；(3)
634；(4)
16×25 81 .
解：(1) 9×16＝ 9× 16＝3×4＝12．
(2) －16×－81＝ 16×81＝ 16× 81＝4×9＝36．
1．下列式子一定是二次根式的是
A． －5
B． x
C．3 4
2．下列根式中是最简二次根式的是
A．
2 3
B． 3
C．
4 2
D． 7 D． 8
( D) ( B)
3．式子 x＋1有意义的 x 的取值范围是
A．x≠－1
B．x≥－1
C．x>－1
D．x≥0
4．化简 π－32＝__π_－__3__．
(B )
5．要使代数式 2－3x有意义，则 x 的
2.7 二次根式
第1课时 二次根式的化简
学习 目标
1．认识二次根式和最简二次根式的概念． 2．探索二次根式的性质，并能利用二次根式的性质将二次根式 化为最简二次根式的形式.
知识点 1 二次根式的概念 一般地，形如___a_(a≥0)的式子叫做二次根式，a 叫做__被__开__方__数___.
北师大版八年级数学上册第二章 二次根式的计算
18
解：(1)
＝
3
(3)
1
35÷
3
15；
18
＝
6.
3
32
32
(2)
＝
＝
4＝2.
8
8
1
3
16 5
(3) 35÷ 15＝
5 ×8＝ 2.
3 ab3 3
(4)
2＝
2 ab 2
ab3 3
ab2＝2 b.
3 ab3
(4)
.
2 ab2
题型二
二次根式的加减
5 2
例 2：计算 8＋ 18的结果是________．
1
－ 2
变式 1：计算 8－6
的结果是__________．
2
变式 2：计算：(1)( 3＋ 2)－ 2； (2)2 3＋3 2－5 3－3 2；
(3)( 8＋ 12)－(2 3－ 2)．
解：(1)原式＝ 3＋ 2－ 2＝ 3.
(2)原式＝(2 3－5 3)＋(3 2－3 2)＝－3 3.
(3)原式＝(2 2＋2 3)－(2 3－ 2)＝2 2＋2 3－2
小组展示
越展越优秀
提疑惑：你有什么疑惑？
知识点1：二次根式的乘除(重点)
1．乘法法则： a· b＝ ab
(a≥0，b≥0)，即两个二次根式相乘，
根指数不变，只把被开方数相乘．
注意：(1)在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要
注意：公式中a，b都必须是非负数；
(2)该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算：
8＋ 18
8
18
(5)
＝ ＋＝ 4＋ 9＝2＋源自＝5222
问题1：你能直接写出下列式子的结果吗？
北师大版八年级上册数学《二次根式》实数说课教学课件复习提高
xy
x
xy ( 1 1 ) xy
xy ( x y ), xy
把 x+y=-4,xy=2 代入上式，得原式= 2 4 2 2. 2
通过本课时的学习，需要我们掌握：
1. a· b ab（a≥0,b≥0）
2.化简二次根式的步骤：
(1)将被开方数尽可能分解成几个平方数.
(2)应用 ab a b (a 0, b 0).
计算下列各式，观察计算结果，能发现什么规律？
(1)
4 ( 9
2 3
),
4 ( 2 ) 93
4 4 99
2
16 (
4
),
49 7
16 ( 49
4 7)
16 16 49 49
用你发现的规律填空，并用计算器进行验算：
(1) 2 = 2
3
3
2 2 = 2
5
5
二次根式除法法则:
注意：a≥0 ，b＞0 ！ 两个二次根式相除，将它们的被开方数相除的商作为
2.掌握二次根式的除法运算法则，并能够应用除法法则进行 计算.
1.最简二次根式的定义
2. ab a· b (a 0, b 0)
3.
a b
a b
a 0,b 0
计算下列各式， 观察计算结果，你发现什么规律？
1. 4 × 9 = _6_
4 9 _6_
2. 16 25 20
16 25 20
32 2 50 10
16 4. 5.
1.在括号中填写适当的数或式子使等式成立.
（1） 8 （ 2）＝ 4
（2）2 5 （ 5）＝10
（3） a－1 •（ a－）1＝ a－1
（4）3
2 3
2018-2019学年最新冀教版八年级数学上册专训2常见二次根式化简求值的八种技巧及答案-精编试题
专训2 常见二次根式化简求值的八种技巧名师点金：在有理数中学习的法则、性质、运算律、公式等在二次根式内仍然适用，在运算的最后注意结果要化简到最简形式．在进行化简时，一定要注意所给出的条件或题中的隐含条件，根据题目的特点，选取适当的解题方法．估算法1．估计32×14＋18的运算结果应在( )A．5到6之间B．6到7之间C．7到8之间D．8到9之间2．若将三个数－3，7，11表示在数轴上，则这三个数中被如图所示的墨汁覆盖的数是________．(第2题)公式法3．计算：(5＋6)×(52－23)．拆项法4．计算：6＋43＋32（6＋3）（3＋2）.[提示：6＋43＋32＝(6＋3)＋3(3＋2)]取倒法5．化简6＋3＋2＋23＋22＋1.约分法6．计算：2＋32＋6＋10＋15.配方法7．化简23－22＋17－12 2.平方法8．化简10＋3＋10－310＋1.换元法9．化简2＋5－3230－62＋43.答案1．C 点拨：原式＝42×12＋32＝22＋32＝5 2. 因为2≈1.414，所以52≈7.07.因为7＜7.07＜8，所以选C. 2.7 点拨：因为－3＜0，2＜7＜3，3＜11＜4，所以被墨汁覆盖的数为7.3．解：原式＝(5＋6)×[52－2×6] ＝(5＋6)×[2×(5－6)]＝2×(5＋6)×(5－6)＝2×(25－6)＝19 2.4．解：原式＝（6＋3）＋3（3＋2）（6＋3）（3＋2）＝6＋3（6＋3）（3＋2）＋3（3＋2）（6＋3）（3＋2）＝13＋2＋36＋3 ＝3－2＋6－ 3＝6－ 2.5．解：设原式＝（3＋2）（2＋1）（3＋2）＋（2＋1）＝x ， 则1x ＝13＋2＋12＋1＝3－2＋2－1＝3－1.所以原式＝13－1＝3＋12. 6．解：原式＝2＋32（2＋3）＋5（2＋3）＝2＋3（2＋3）（2＋5）＝12＋5 ＝5－23. 7．解：23－22＋17－12 2＝22－2× 2×1＋1＋9－2×3×2 2＋8 ＝2（2－1）2＋（3－22）2＝22－2＋3－22＝1.8．解：设原式＝x(x ＞0)，则x 2＝210＋210＋1＝2， 所以原式＝ 2.9．解：设a＝2，b＝5，c＝3，则原式＝a＋b－c2（abc－ac2＋a2c）＝a＋b－c2ac（b－c＋a）＝12ac＝126＝612.。
八年级上册数学二次根式
本章知识
1.二次根式的概念：
形如 a（a 0）的代数式叫做二次根式.
（即一个 非负数 的算术平方根叫做二次根式）
本章知识 2.二次根式的性质：
1 .a( )2a
2 . a2 a
( a 0 )
a （a 0）
0 （a 0）
a （a 0）
3a . bab ( a 0b 0)
4 .a b
如图是由两个等腰直角三角形拼成的四边形， 已知：AB=2cm，求四边形ABCD的面积。
要使人造地球卫星能绕地球运转，必须使它的 速度超过一定的数值才能摆脱地球万有引力的 束缚，这个速度我们称为第一宇宙速度。计算 这一速度的公式是，其中g为重力加速度，取值 为9.8m/，R为地球半径约是米，请你尝试着计 算第一宇宙速度（结果用科学记数法表示，保 留两个有效数字）。
）仍然适用.
例1 求下列二次根式中字母的取值范围
（1）
x 5
1 3x
（2） (x - 2)2
说明：二次根式被开方数不小于0，所以求二次根式中 字母的取值范围常转化为不等式（组）
练习：求下列二次根式中字母的取值范围
5a
2
1-a
当a_____时， 5 2a 有意义，
当a_____时， 2a 5 有意义，
当a_____时，5 2a 2a 5 有意义。
计算或化简：
1
6 216
—6——
计算或化简：
52 42 __3______
化简下列各式
(3)2 (3 2)2
计算或化简：
2 7362
计算 (2 3 6)2
(22 33 )3 (3 22 )
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二次根式的化简及材料分析(五大类型)(原卷版)—2024-2025学年八年级数学上册压轴题(沪教版)
二次根式的化简及材料分析目录解题知识必备 (1)压轴题型讲练 (2)类型一、利用二次根式的性质化简 (2)类型二、复合二次根式的化简 (4)类型三、二次根式的混合运算 (7)类型四、新定义问题 (11)类型五、材料探究题 (16)压轴能力测评（12题） (21)2.二次根式有意义的条件:被开方数大于或等于03.最简二次根式的条件：①被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数中不含分母；③分母中不含根号二次根式的性质1.双重非负性:如0a ³³ 2.22(0)a a =³(0)||(0)a aa a a ³ì==í-<î，，0,0)a b =³³0,0)a b ³³类型一、利用二次根式的性质化简【例121=-，则a 的取值范围是 ．【例2】已知 5x y +=-，4xy =，求的值．【变式训练1】已知01x <<，且111x x +=的值为 ．【变式训练2】若0xy >，则二次根式化简的结果为 ．【变式训练3】先化简再求值：当3a =-时，求a 的值．甲、乙两人的解答如下：甲：原式()11a a a ==+-=；乙：原式()1217a a a a ==+-=-=-．(1)______的解答是错误的，错误的原因是______；(2)若9a =-，计算a 的值．类型二、复合二次根式的化简【例3】已知a 、b 为有理数，且满足a +=a b -等于（ ）A ．2-B ．4-C ．2D ．4【例4】阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：(2231211+=++=++=这样小明就找到了一种把部分a +方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：(1)试着把7+化成一个完全平方式．(2)若a 是216的立方根，b 是16．【变式训练1】观察下列各式：2225(23)+=++=++=+，2228(17)121(1+=++=++´=，……．请运用以上的方法化简= ．【变式训练2的整数部分为a ，小数部分为b ，则334a b a b+=++- 【变式训练3】先阅读材料，然后回答问题(1)肖战同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题，肖战解决这个问题的过程如下，=①②=在上述化简过程中，第______步出现了错误，化简的正确结果为_____________(2)类型三、二次根式的混合运算【例5a b ，则()63a a b +-=．【例6】小明在解决问题：已知a =2281a a -+的值．他是这样分析与解答的：因为2a ===2a -=．所以2(2)3a -=，即2443a a -+=．所以241a a -=-．所以()222812412(1)11a a a a -+=-+=´-+=-．请根据小明的分析过程，解决如下问题：(1)=_______；(2)若a =2481a a -+的值：(3)+×××．【变式训练1】已知，2a =，2b =，求，(1)ab =_____________；22a b ab +-=_____________；(2)若m 为a 整数部分，n 为b 小数部分，求m n的值.【变式训练2】在二次根式的计算和比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果，例如，比较a =和b =a 和b 分别平方，∵221218a b ==，，则22a b <，∴a b <．请利用“平方法”解决下面问题：(1)比较c =d =c d （填写＞，＜或者＝）．(2)猜想 m =n =之间的大小，并证明．(3)= （直接写出答案）．【变式训练3】阅读下面材料：将边长分别为a ，a ，a +a +……的正方形面积分别记为1S ，2S ，3S ，4S ，……．则2221([(][(]S S a a a a a a -=-=+×-(22a b ==+；2232(([(((S S a a a a a a -=+-=+++-(232a b =++……根据以上材料解答下列问题：(1)根据材料中的规律可得面积记为n S 的正方形边长是 ；(2)猜想1n n S S +-的结果，并证明你的猜想；(3)令121t S S =-，232t S S =-，343t S S =-，…，1n n n t S S +=-，且12n T t t t =+++ ，求T 的值．类型四、新定义问题【例7】我们规定用(),a b 给出如下定义：记m =n =，其中（0a >，0b >），将(),m n与(),n m 称为数对(),a b 的一对“对称数对”．若数对(),a b 的一个“对称数对”是，则ab 的值是 ．【例8】任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数f m T n <<∶，（其中m 为满足不等式的最大整数，n 为满足不等式的最小整数），则称无理数T 的“麓外区间”为(),m n ，如12<<区间为()1,2．(1)“麓外区间”是 ；(2)若b =b 的“麓外区间”；(3)实数x y n ，，=+，求n 的算术平方根的“麓外区间”．【变式训练1】对于任意两个非零实数a 、b ，定义运算Ä如下：()()00a a a b bab a ì>ïÄíï<î＝如：2255Ä=，()252510-Ä=-´=-．根据上述定义，解决下列问题：=______，(1Ä(1=______；(2)若()()112x x -Ä+=，求x 的值．【变式训练2】数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如()2222a ab b a b ±+=±||a b ±．如何将双5±转化为222±+=完全平方的形式，因=±材料二：在直角坐标系xOy 中，对于点(),P x y 和(),Q x y ¢给出如下定义：若(0)(0)y x y y x ³ì=í-<¢î，则称点Q 为点P 的“横负纵变点”．例如：点(3,2)的“横负纵变点”为(3,2)，点()2,5-的“横负纵变点”为()2,5--．请选择合适的材料解决下面的问题：(1)点的“横负纵变点”为______________________，点()2--的“横负纵变点”为______________________；(2)(3)已知a 为常数()12a ££，点()M m且m =，点M ¢是点M 的“横负纵变点”，则点M ¢的坐标是_________________________．【变式训练3】任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数:T m T n <<，（其中m 为满足不等式的最大整数，n 为满足不等式的最小整数），则称无理数T 的“行知区间”为(),m n ，如12<<的行知区间为()1,2．(1)的“行知区间”是________；(2)若a ，求a 的“行知区间”；(3)实数x ，y ，n =n 的算术平方根的“行知区间”．类型五、材料探究题【例9】阅读以下材料：如果两个正数a b ､，即00a b >>､，由完全平方式的非负数性质可得：20³Q =即a b =时，取等号），0a b \-+³a b \+³a b =时取等号）结论：对任意两个正数,a b ，都有a b +³；上述不等式当且仅当a b =时等号成立．当这两个正数,a b 的积为定值（常数）时，可以利用这个结论求两数,a b 的和的最小值．例如：当x 为正数时，两数x 和4x 均为正数，且44x x ×=（常数），则有424x x +³==当且仅当4x x =即2x =时取等号\当2x =时，4x x +有最小值，最小值为4.利用以上结论完成下列问题：(1)已知m 为正数，即0m >，则当m = 时，1m m+取到最小值，最小值为 ；(2)当y x ､均为正数，即0,0y x >>时，求函数41y x x =++的最小值；(3)如图，四边形ABCD 的对角线AC BD ､相交于点,O AOB COD V V ､的面积分别是4和9，求四边形ABCD 面积的最小值．【变式训练1】【阅读材料】（材料一）细心观察图形，认真分析各式，总结其中蕴含的规律．22212OA =+=，112S =（1S 是12Rt A A O △的面积）；22313OA =+=，2S =2S 是23Rt A A O △的面积）；22414OA=+=，3S =3S 是34Rt A A O △的面积）；．=【问题解决】利用你总结的规律，解答下面的问题：(1)填空：100S = _________，11OA = _________；(2)求122334455611111S S S S SS S S S S +++++++++的值．【变式训练2】阅读下列材料，解答后面的问题：在二次根式的学习中，我们不仅要关注二次根式本身的性质、运算，还要用到与分式、不等式相结合的一些运算．如：有意义，则需20a -³，解得：2a ³；()221111n n +++，而()221111n n +++()()()222222111n n n n n n ++++=+()()2222221211n n n n n n n +++++=+()()2222212211n n n n n n ++++=+=()()()1111111111n n n n n n n n ++==+=+-+++．(1)=成立，求a 的取值范围；(2)利用①中的提示，请解答：如果1b =，求a b +的值；(3)利用②中的结论，【变式训练3】阅读材料：小青在学习了二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的完全平方，如：(231+=+，善于思考的小青进行了以下探索：设(2a m +=+（为方便探究规律．设a ，b ，m ，n 均为正整数），则有2222a m n +=++∴222a m n =+，2b mn =．这样小青就找到了一种把部分形如a +下列问题：当a ，b ，m ，n 均为正整数时，(1)若(2a m +=+，用含m ，n 的式子分别表示a ，b ，得=a __________，b =__________；(2)①若(27m +=+，则m =__________，n =__________；②若(2a m +=+，且m n >，求a 的值．1．已知a =b =ab 的值应在（ ）A ．2和3之间B ．3和4之间C ．4和5之间D ．5和6之间2．已知14a -<<的结果是（ ）A ．3-B ．3C ．23a -D ．32a -3．已知=a =b c a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c b a <<D ．b<c<a4．若,a b ,a a b ==-的有理化因式”互称为“有理化因式”．令()F x =结论：（ ）=②若()()()()44334b c F F F F -=+-+（其中,b c 为有理数）则3b c =；③若()()43114F m F m ---=，则()()43118F m F m -+-=；④()()()()()()()()11111212322343342024202320232024F F F F F F F F +++¼+=++++以上结论正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律：特例1==例2===特例3===应用发现的运算规律求）A ．2024B ．C ．2023D ．6．化简的结果是．7===…，则第7个等式是 ．8．非零实数x ，y 满足)32024x y -=，则2222232x xy y x y ++=+ ．三、解答题9．无理数是无限不循环小数，但它可以用一个整数与小数的和来表示．如：π的整数部分是3，小数部分是3p -．请回答下列问题：(1)2的整数部分是 ，小数部分是 ；(2)已知x 是5y 是其小数部分，求(5x y -的值．10,m n ，使22m n a +=且mn222a m n mn ±=+±变成2()m n ±例如：化简3-．解：31-===-．仿照上例化简下列各式：11．类比和转化是数学中解决新的问题时最常用的数学思想方法．(1)【回顾旧知，类比求解】2=．解：去根号，两边同时平方得一元一次方程 ，解这个方程，得x = ．经检验，x = 是原方程的解．(2)【学会转化，解决问题】31x =；7？若能，求出x 的值；若不能，请说明理由．12．阅读材料：黑白双雄，纵横江湖；双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比，在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”，如)334=-，1=，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个==7==+中的分母化去，叫分母有理化．解决问题：(1)“>”“<”或“=”填空）；(2)+×××(3)设实数x ，y 满足(2023x y =，求2023x y ++的值．。
八年级二次根式化简题100题
八年级二次根式化简题100题【原创版】目录1.题目背景和要求2.题目分类和解题技巧3.题目示例和解析4.总结和建议正文1.题目背景和要求八年级的数学课程中，二次根式化简是一个重要的知识点。
掌握这个知识点，对于提高数学运算能力和理解后续课程有着重要的意义。
为了帮助同学们更好地学习和掌握这个知识点，这里精选了 100 道八年级二次根式化简题，供大家学习和参考。
2.题目分类和解题技巧这 100 道题目按照难度和题型可以分为几类，包括基础题型、进阶题型和拓展题型。
每类题型都有其独特的解题技巧和方法。
（1）基础题型：主要考察同学们对于二次根式的基本概念和运算法则的掌握。
这类题目相对简单，只要掌握了基本的化简方法，就能轻松解答。
（2）进阶题型：这类题目对于同学们的逻辑思维和运算能力有更高的要求。
需要同学们灵活运用所学的知识，找到化简的关键点，才能顺利解题。
（3）拓展题型：这类题目往往需要同学们结合其他数学知识点，如代数、几何等，进行综合运用。
对于同学们的数学综合能力是一个较大的挑战。
3.题目示例和解析这里选取一道基础题型和一道拓展题型进行示例和解析。
（1）基础题型：化简√(25x^2+25y^2)解析：根据二次根式的性质，√(a^2+b^2) = |a|+|b|，所以原式=|5x|+|5y|。
（2）拓展题型：已知点 A(2, 3)，B(-3, 1)，求 AB 线段的中点 M 的坐标，并化简√((x-2)^2+(y-3)^2)。
解析：首先求出 AB 的中点 M，根据中点公式，M 的坐标为 ((2-3)/2, (3+1)/2)，即 (-1/2, 2)。
然后化简原式，根据二次根式的性质，√((x-2)^2+(y-3)^2) = |x-2|+|y-3|。
4.总结和建议学习二次根式化简，首先要扎实掌握基本概念和运算法则，然后通过不断练习，提高解题技巧。
遇到难题时，不要气馁，要善于总结经验，找到解题方法。
同时，也要学会与其他数学知识点相结合，提高自己的数学综合能力。
八年级数学 暑假同步讲义 第3讲 二次根式的运算(解析版)
二次根式的运算内容分析二次根式的加减法和乘除法是八年级数学上学期第一章第一节内容，是二次根式的加、减、乘、除、乘方、开方的混合运算．它是以二次根式的概念和性质为基础，同时又紧密地联系着整式、分式的运算，也可以说它是运算问题在初中阶段一次总结性、提高性的综合学习．知识结构模块一：二次根式的加减法知识精讲1.二次根式的加法和减法：先把各个二次根式化为最简二次根式，再把同类二次根式分别合并（化简 合并）．班假暑级年八2 / 19【例1】计算：（1）4817543--； （2）11(0.53)(75)38---． 【答案】（1）332；（2）3442+． 【解析】（1）原式43311=533433--=；（2）原式232353234⎛⎫⎛⎫=-⨯-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22235343244=--+=+． 【总结】本题主要考查二次根式的加减运算，注意先化简后合并．【例2】计算：（1）2391634m m +； （2）850()p q p q-+-． 【答案】（1）m 5；（2）()q p q p -⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+225． 【解析】（1）2323916342353434m m m m m m m +=⨯+⨯=+=；（2）82250()52()2()52()p q p q p q p q p q p q p q ⎛⎫-+=-+-=+- ⎪---⎝⎭． 【总结】本题主要考查二次根式的加减运算，注意先化简后合并．【例3】计算：例题解析（1）32832222x x x x x x + （2315032222x x x x x 【答案】（1）x x x 223422⎪⎭⎫ ⎝⎛++；（2）xx 22-【解析】（1）原式22322422224222x x x x x x x x x x ⎛=+=++ ⎝； （2）原式2122422522252222x xx x x x x x x x x x x x =⋅+-==- 【总结】本题主要考查二次根式的加减运算，注意先化简后合并．【例4】如图，长方形内有两个正方形，面积分别为4和2，求阴影部分的面积． 【答案】222-．【解析】阴影部分的宽为22-，长为2．【总结】本题主要考查利用二次根式的运算求几何图形的面积．【例5】 计算： （133244()(0)a b a b a a b a --->；（25072()m n m n--；（3221a b a b a b a b a b -++--(0)a b >>． 【答案】（1）()b a b --2；（2）()n m n m -⎪⎭⎫ ⎝⎛-+256；（3222221b a b b a +--．【解析】（1）由题可知：0>-b a ，则原式((22a b a b a b a b b a b =----=--（2）原式()()5562()262m n m n m n m n m n ⎛=--=+- --⎝（3）原式2222222222111a b a b a b a b a b a b a b ---⎛=-=--- +--⎝ 222221b a b b a+--． 【总结】本题主要考查二次根式的加减运算，注意先化简后合并．【例6】先化简，再求值：336436y x x xy xy x y y ⎛⎛+- ⎝⎝，其中32x =，27y =． 【答案】2225．【解析】原式364x x y ⎛⎛=+⋅-+ ⎝⎝43x y ⎛==- ⎝当32x =，27y =时，原式=22252723272343=⨯⨯⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-． 【总结】本题主要考查二次根式的化简求值，注意先化简再带值计算．【例7】设直角三角形的两条直角边分别为a b ，，斜边为c ，周长为C ． （1）如果a b ==C ； （2）如果a b ==，求C ． 【答案】（1）230；（2）17058+．【解析】（1）因为2133382885022==+=+=b a c ， 所以2302132122521328850=++=++=C ；（2）因为1701254522=+=+=b a c ，所以170581705553+=++=C ． 【总结】本题主要考查二次根式的化简以及加法运算在几何图形中的运用．【例8】解不等式：24x x +>- 【答案】5125<x ．【解析】由24x x +>24x x >-2x ->x ． 【总结】本题主要考查二次根式的运算在解不等式中的运用，注意判断不等式两边所除的数的符号．1、二次根式的乘法和除法（1）两个二次根式相乘，被开方数相乘，根指数不变； （2）两个二次根式相除，被开方数相除，根指数不变．【例9】计算：（1）1232⨯；（2）4xy y ⋅．【答案】（1）68；（2）x y 2．例题解析知识精讲模块二：二次根式的乘除法师生总结1、二次根式加减法的步骤是什么？【解析】（1（2．【总结】本题主要考查二次根式的乘法运算，注意法则的准确运用．【例10】计算．（1（2；（3（4．【答案】（1）3；（2）y xy 26；（3）y yx 552；（4． 【解析】（13==；（2=；（3= （422=． 【总结】本题主要考查二次根式的除法运算，注意法则的准确运用．【例11】 计算：（1； （2；（3）53； （4【答案】（1）z xyz ；（2）36；（3）a ax 1562；（4）22222222y x y x --．【解析】（113=（2332⎛=÷== ⎝⎭；（3）53536a ax ax ==；（4 【总结】本题主要考查二次根式的乘除运算，注意法则的准确运用．【例12】 计算：（1（2）（3（0,0x y >>）；（4 （0a b >>）．【答案】（1）b b a --2；（2）ab 330；（3）y y x +；（4）cbca cbca ++．【解析】（1）由题意可得：0<b 2a a =⋅-=-；（2）=（3x yy+；（4=．【例13】 计算：（1）；（2）⎛- ⎝【答案】（1）2-2）-【解析】（1）1515288=-=-=-（2）⎛- ⎝332122⎛⎫=-⋅-- ⎪⎝⎭ 【总结】本题主要考查二次根式的乘除运算，注意法则的准确运用以及符号的准确判定．班假暑级年八8 / 19EDCBA【例14】 如图所示，在面积为2a 的正方形ABCD 中，截得直角三角形ABE 的面积为33a ，求BE 的长． 【答案】36a ． 【解析】正方形的边长为a 2，则a AB BE 3321=⋅⋅，则36aBE =． 【总结】本题主要考查二次根式的运算在几何图形中的运用．【例15】 已知2和10是等腰三角形的两条边，其面积为192，求等腰三角形的高． 【答案】腰上的高为：10190；底边上的高为382． 【解析】由题意可得：等腰三角形的三边长为10，10，2， 由2191021=⋅⋅h ，解得：10190=h ，即腰上的高为10190；由119222h ⋅⋅=，解得：382h =，即底边上的高为382． 【总结】本题考查的知识点较多，一方面考查二次根式的乘除运算，另外考查了三角形的三边关系，另一方面此题没有说明是哪条边的高，因此要分类讨论． 【例16】 解方程：32622x -=-． 【答案】324312x +=． 【解析】由32622x -=-，得：26223x =+，则22326x +=，化简，得：324312x +=． 【总结】本题主要考查二次根式的运算在解方程中的运用．随堂检测【习题1】 计算：（1） （2；（3）(⎛- ⎝． 【答案】（1）52511；（2）33172417-；（3）334．【解析】（1）； （2）33172417354233224227581312325.0-=---+=---+；（3）(⎛-== ⎝ 【总结】本题主要考查二次根式的加减运算，注意先化简再合并．【习题2】 计算：（1（2）-． 【答案】（1）26-；（2）12431--．【解析】（1-（2）-+11==． 【总结】本题主要考查二次根式的加减运算，注意先化简再合并．【习题3】 计算：（1）（2）263x ⎛ ⎝；（38a 【答案】（1）y x52+；（2）xy x x 7+；（3）a a 2． 【解析】（1）+= （2）2623x ⎛=+= ⎝； （3822a == 【总结】本题主要考查二次根式的加减运算，注意先化简再合并．【习题4】 计算：（1）(-； （2）⎛- ⎝ ；（3）； （4）(⎛÷ ⎝； 【答案】（1）-108；（2）34-；（3）10；（4）3236+-．【解析】（1）((108-=-=-；（2）(43⎛-=-=- ⎝ ； （3）(=；（4）((18⎛⎛÷=÷=- ⎝⎝⎭【总结】主要考查二次根式的混合运算，注意法则的准确运用以及符号的判定． 【习题5】 计算：（1）(3-；（2）3（3）a ． 【答案】（1）()b ab b a -+；（2）()xy y x +-4；（3）a a a a 2221522+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+．【解析】（1）原式(3232b a ab =+-（2）(34x y -+（3）原式21252522a a a a ⎛=++- ⎝【总结】本题主要考查二次根式的加减运算，注意先化简再合并，另外只有同类二次根式才能合并．【习题6】 计算：（1）(2； （2）（3 （4）32⎛⨯ ⎝ 【答案】（1）61230-；（2）331-；（3）332-．【解析】（1）(2121830=+-=-（2）1-（3）原式223=-=（4）原式271633881=⨯⨯== 【总结】主要考查二次根式的混合运算，注意法则的准确运用以及符号的判定． 【习题7】 计算：（1）（2）（3）3⎛ ⎝； （4）(．【答案】（1）x 365；（2）y x 2108；（3）35；（4）y xy x 2137-+．【解析】（1）155636x÷==；（2）22186108x y x y ==⋅=； （3）533⎛÷= ⎝； （4）(7272x y x y =+=+．【总结】主要考查二次根式的混合运算，注意法则的准确运用以及符号的判定．【习题8】 计算． （1（20)y >； （3(-；（4(-⨯ 【答案】（1）c abc 2；（2）xy 32；（3）a a 434-；（4）x x y 8-．【解析】（12=（2；（3((44233a a --⨯-（4(-⨯=--= 【总结】本题主要考查二次根式的乘法运算，注意法则的准确运用．【习题9】 计算． （1） （20)a b >>； （30)u >；（4）- 【答案】（1）1530；（2）bcac bc ac --；（3）uv uv515；（4）b 15-．【解析】（1）263=；（2=；（3；（4）564-=-⨯-． 【总结】本题主要考查二次根式的除法运算，注意法则的准确运用．【习题10】 计算：（1）3⎛ ⎝；（2()370,0a m ⎛<< ⎝．【答案】（1）0；（2）【解析】（1）原式2230x x y x y ⎛=+=-= ⎝；（2）原式237a m a ⎛=⋅+=- -⎝⎭【总结】本题主要考查二次根式的除法运算，注意法则的准确运用，（2）中要特别注意被开方数的符号．【习题11】 先化简后求值，当149x y ==， 【答案】0．-1y =⋅=-所以当149x y ==，时，原式30=-=．【总结】本题主要考查二次根式的化简求值．班假暑级年八14 / 19【作业1】 计算：（1）1175253108833+--； （2）()2120.12563232⎛⎫+--- ⎪ ⎪⎝⎭；（3） 11484340.533⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （4）121813324312-+-． 【答案】（1）313-；（2）2417631+-；（3）22335+；（4）31123+． 【解析】（1）118875253108853318331333333+--=+--=-；（2）()2122211720.1256326642623232434⎛⎫+---=+--+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭； （3） 1145484340.54333223223333⎛⎫⎛⎫---=--+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （4）1218133333221221124312263-+-=-+-=+． 【总结】本题主要考查二次根式的加减运算，注意先化简后合并．【作业2】 计算． （1）233835082aa a a a a +-； （2）323272750.755c c c c c+-；（3）22218638xx x x x x ++； 课后作业（4）34⎛⎛- ⎝⎝()00x y >>，． 【答案】（1）a a 2162；（2）c c 33；（3）x x229；（4）xy y 8．【解析】（1）32152162aa a a a ⋅（2）原式225c c =⋅-=（3）原式22623x x x =⋅+=（4）原式7834x x ⎛⎛=--⋅ ⎝⎭⎝88==【总结】本题主要考查二次根式的加减运算，注意先化简后合并．【作业3】 计算．（10.6； （2（3（4） 【答案】（1）205；（2）8；（3）23；（4）35【解析】（110.60.63==；（28；（33122==；（4）1135+6326==-=． 【总结】本题主要考查二次根式的乘除混合运算，注意法则的准确运用．【作业4】 计算：（1）22--；（2）(；（3）(⎛⨯ ⎝； （4）62x 【答案】（1）158；（2）-6；（3）25+-a a ；（4）x 3- 【解析】（1）((22512512-=++-+-=；（2）(12186=-=-；（3）(552a ⎛⨯=+=- ⎝； （4）原式(2233x =-=-．【总结】本题主要考查二次根式的混合运算，注意法则的准确运用．【作业5】 计算．（1(；（2）1(102(0)3m m >；（3(-()00x y >>，． 【答案】（1）ab b a 29；（2）m m ；（3）x xy8-． 【解析】（1）原式22223(992b a b a b =⋅-=-=-；（2）原式21(102223m m m =⋅==；（3）原式16(483y x =-⋅=- 【总结】本题主要考查二次根式的混合运算，注意法则的准确运用． 【作业6】 化简：（1（2)20x y >>．【答案】（1）ab b ；（2）xy ．【解析】（1）原式2222b b a b a b =++（2）原式22y y x y x y ===-- 【总结】本题主要考查二次根式的混合运算，注意法则的准确运用．【作业7】 若直角三角形的面积是2，求另一条直角边长及斜边上的高线长．【答案】62；632．【解析】另一条直角边长为：623182=÷；斜边上的高为：63233362=÷⋅． 【总结】本题一方面考查二次根式的化简，另一方面考查等积法的运用．【作业8】 化简：2(0,0)a a b m n ÷>>． 【答案】2221ba ab a +-．【解析】原式2221(n a m a b =⋅222222111a ab a ab m m m a b a b ⎛-+=-+= ⎝．【总结】本题主要考查二次根式的混合运算，注意法则的准确运用． 【作业9】已知3a =+3b =-22a b ab -的值． 【答案】544-．【解析】由题意有：11-=ab ，54=-b a ，所以()2211ab a b a b ab =-=⨯=--- 【总结】本题主要考查利用整体代入的思想求代数式的值．【作业10】 解关于x 的不等式：（11>；（2）())211x x +-．【答案】（1）2332--<x ；（2）52362+-->x ． 【解析】（11>+，1x >，则1x >⎝⎭，1>，解得：x <-；（2）由())211x x +-，得：)22x >则x ，所以5x >．【总结】本题主要考查二次根式在解不等式中的运用，注意判定不等式两边所除的二次根式的符号．【作业11】 已知：3a b +=-，23ab =，求+的值．【答案】6623-． 【解析】由题意可得：0<a ，0<b ，则=+== 代入3a b +=-，23ab =，得原式==． 【总结】本题主要考查二次根式的化简求值，解题时注意判定a 、b 的符号，最后利用整体代入的思想求值．【作业12】 求下列式子的值：22x xy y -+，其中x y == 【答案】22．【解析】由题意有：72=+y x ，2=xy ，∴()(222233222x xy y x y xy -+=+-=-⨯=．【总结】本题主要考查利用整体代入的思想求多项式的值．。
八年级数学二次根式及其化简
课堂小结
二次根式的定义：形如 a （a≥0）的式子
二次根式
二次根式的性质
最简二次根式
课后作业
见《学练优》本课时练习
①是二次根式；
②被开方数中不含分母； ③被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
例2：化简：(1) 50；
(2)
2 ； 7
(3)
1 . 3
解: (1) 50 25 2 25 2 5 2;
2 2 2 7 1 (2) 14; 7 7 7 7 7 1 1 3 1 (3) 3. 3 3 3 3
当堂练习
1.（自贡· 中考）已知n是一个正整数， 135n 是整数，则 n的最小值是（ C ） A．3 B．5 C．15 D．25
【解析】因为135＝15×9 , 所以要使 数n的最小值为15.
135n 是整数，正整
2.（淮安·中考）计算： 9 11 3 .
解:原式= 32 +1-3
=3+1-3=1.
3. 设 a 0 ， b 0 ，化简下列二次根式.
1
解： 1
或
72;
2
8a 2 b 3 .
72 9 8 32 2 2 2 3 2 2 6 2
72 36 2 6 2 2 6 2;
2
8a 2 b 3 2 2 2 a 2 b 2 b 2ab 2b.
一般地，形如
a叫做被开方数.
a (a≥0)的式子叫做二次根式;
例1：判断下列式中哪些是二次根式. ⑴
1 2，
⑵ 16 , ， (4) (m 3) 2 .
(3)
x ( x 0)
解：(1)、(3)、(4)是二次根式，（2）不是二次根式.
八年级数学上册 二次根式及其化简
当_x_≥__-_3_且__x_≠__-_1_时，
x
3
1 x 1
在实数范围内有意义.
解析：要在实数范围内有43; 3≥0 和分母 x + 1 ≠ 0，解得 x≥-3 且 x ≠ -1.
方法总结：使一个式子有意义的未知数的取值范围 通常要考虑三种情况：一是分母不为零，二是偶次方 根的被开方数是非负数，三是零次幂的底数不为零．
前者 x 为全体实数，后者 x 为非负数.
问题2 二次根式 a 的被开方数 a 的取值范围是什么？ 它本身的取值范围又是什么？
当 a＞0 时， a 表示 a 的算术平方根，因此 a ＞0； 当 a = 0时， a 表示 0 的算术平方根，因此 a = 0. 这就是说，当 a≥0 时， a ≥0.
归纳总结
我们知道，负数没有平方根. 因此，在实数范围 内开平方时，被开方数只能是非负数.
思考 用带根号的式子填空，这些结果有什么特点？ (1)如图的海报为正方形，若面积为2 m2，则边长
为___2__m；若面积为 S m2，则边长为___S__m．
图
图
(2)如图的海报为长方形，若长是宽的 2 倍，面积
为 6 m2，则它的宽为___3__m．
解：由题意得
3 a≥0， 2a 6≥0，
∴ a = 3. ∴ b = 4.
当 a 为腰长时，三角形的周长为 3 + 3 + 4 = 10；
当 b 为腰长时，三角形的周长为 4 + 4 + 3 = 11．
归纳 若 y a a b ，则根据被开方式大于或等于 0，可得 a = 0，y = b.
(3) 一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t
（单位：s）与开始落下的高度 h（单位：m）满足关系 h =5t2，如果用含有 h 的式子表示 t，那么 t 为 h ．
北师版八年级数学上册2.7 第1课时 二次根式及其化简
2 二次根式的双重非负性
新课讲解
【思考】 二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算
术平方根.对于任意一个二次根式 a ，我们知道：
（1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a≥0； （2） a 表示一个数或式的算术平方根，可知 a ≥0.
二次根式的被开方数非负 二次根式的值非负
9
93
新课讲解
最简二次根式： 一般地，被开方数不含分母，也不含能开
得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做 最简二次根式.
新课讲解
【例5】化简： (1) 50； (2) 2 ； (3) 1 .
7
3
解: (1) 50 25 2 25 2 5 2. (2) 2 2 2 7 1 14. 7 7 7 7 7 (3) 1 1 3 1 3. 3 3 3 3
★商的算术平方根等于算术平方根的商
a a bb
（a≥0， b＞0）．
新课讲解
【例4】化简：
5
（1） 81 64；（2） 25 6 ；（3） 9 .
解：(1) 81 64 81 64 98 72.
(2) 25 6 25 6 5 6.
(3) 5 5 5 .
不是
(6) a2 1 , (7) 3 5
是
不是
根指数是3
非负数+正数 恒大于零
新课讲解
【例2】(1)当x取何值时, x 2 在实数范围内有意义?
解：由x-2≥0，得 x≥2. 当x≥2时， x 2 在实数范围内有意义. （2）当x=0，9时，求二次根式 x 2 的值. 解：当x=0时，x-2=-2＜0，此时二次根式无意义； 当x=9时， x 2 9 2 7.
八年级数学化简二次根式分式
八年级数学化简二次根式分式二次根式是数学中常见的一个概念，它是由一个根号（√）和一个含有未知数的二次式组成的。
在化简二次根式分式时，我们主要通过有理化的方法来进行简化。
有理化是利用一些运算的性质对二次根式分式进行转化，使得分子和分母中不再含有二次根式。
下面我们将介绍一些常见的化简二次根式分式的方法。
1.提取公因式法：对于类似于(a√b + c) / (d√e + f)的二次根式分式，我们可以提取公因式，先化简分子，再化简分母。
例如：(2√3 + 1) / (√2 + 3)可以先提取出公因式，得到(√3 + 1/2) / (√2 + 3)，然后再进行化简。
2.分子有理化法：对于分子中含有二次根式的分式，我们可以利用有理化的方法将分母的二次根式去掉。
例如：(2√3 + √2) / √3可以通过乘以分子分母的共轭形式来实现有理化，即(2√3 + √2) / √3乘以(√3 -√2) / (√3 - √2)，将分子有理化得到(2√3 + √2)(√3 - √2) / (3 - 2)，进一步化简得到(2√3√3 - √23 + √2√3 - 2) / 1，最后得到4√3 - √2 - 2。
3.分母有理化法：对于分母中含有二次根式的分式，我们也可以利用有理化的方法将分母的二次根式去掉。
例如：√2 / (2√3 + √2)可以通过乘以分子分母的共轭形式来实现有理化，即√2 / (2√3 + √2)乘以(√2 - 2√3) / (√2 - 2√3)，将分母有理化得到√2(√2 - 2√3) / (4 - 12)，进一步化简得到(√23 - 2√2) / (-8)，最后得到(2√2 - √3) / 8。
4.平方差公式：对于形如(√a - √b)的二次根式，我们可以利用平方差公式进行化简。
平方差公式是(a - b)(a + b) = a^2 - b^2的特殊形式，在二次根式的化简中非常有用。
例如：√5 - √2可以利用平方差公式进行化简，得到(√5 - √2)(√5 + √2) / (√5 + √2)，然后进行有理化得到(√5√5 - √22) / (5 - 2)，最后得到5 - √2。
八年级上册数学实数计算题讲解
八年级上册数学实数计算题讲解一、平方根计算类。
1. 计算√(169)- 解析：因为13^2 = 169，所以√(169)=13。
2. 计算√(0.09)- 解析：因为0.3^2=0.09，所以√(0.09) = 0.3。
3. 计算√(frac{9){25}}- 解析：因为((3)/(5))^2=(9)/(25)，所以√(frac{9){25}}=(3)/(5)。
4. 计算√(1frac{9){16}}- 首先将带分数化为假分数，1(9)/(16)=(25)/(16)。
- 因为((5)/(4))^2=(25)/(16)，所以√(1frac{9){16}}=(5)/(4)。
5. 计算√((-4)^2)- 先计算(-4)^2 = 16，然后√(16)=4。
二、立方根计算类。
6. 计算sqrt[3]{27}- 解析：因为3^3 = 27，所以sqrt[3]{27}=3。
7. 计算sqrt[3]{ - 64}- 解析：因为(-4)^3=-64，所以sqrt[3]{-64}=-4。
8. 计算sqrt[3]{(8)/(125)}- 解析：因为((2)/(5))^3=(8)/(125)，所以sqrt[3]{(8)/(125)}=(2)/(5)。
9. 计算sqrt[3]{ - 1}- 解析：因为(-1)^3=-1，所以sqrt[3]{-1}=-1。
三、实数混合运算类。
10. 计算√(4)+sqrt[3]{ - 8}- 解析：√(4)=2，sqrt[3]{-8}=-2，则√(4)+sqrt[3]{-8}=2+(-2)=0。
11. 计算√(9)-sqrt[3]{27}+√(16)- 解析：√(9) = 3，sqrt[3]{27}=3，√(16)=4。
- 所以√(9)-sqrt[3]{27}+√(16)=3 - 3+4=4。
12. 计算2√(3)+3√(3)- 解析：因为同类二次根式可以合并，2√(3)+3√(3)=(2 + 3)√(3)=5√(3)。
数学2020年春季人教版教案 八年级-2 二次根式的化简求值
(1)4+的有理化因式是________.
(2)计算:.
(3)计算:.
(4)已知a=,b=,求的值.
答案：(1)4-.
(2)解：=+3-6×
=+3-6×
=2-+3-2
=2.
(3)解：原式=（）（）
例1、例2、例3对二次根式的混合运算、分母有理化、二次根式值的比较的考察，适合学生独自解答或师生互动的教学方式.例4、例5、例6主要对与二次根式相关的变形、化简、计算等的考察，适合生生互动的教学方式.
根据学生情况，教师可自行选择是否讲解拓展延伸题目.
教学目标
知识技能
1.熟练掌握二次根式的运算技巧，能够对复杂的二次根式进行化简求值；
3.汇报讨论结果
生：通过对①、②分母有理化后进行消元可求解x与y值.
分母有理化①得
分母有理化②得
两式相加得，即x2=y2=2012.
代入上式可得x=y，进而可求3x2-2y2+3x-3y-2011的值.
三、巩固拓展
类似性问题
4.设a=-1，则3a3+12a2-6a-12=（）
A. 24 B. 25 C.D.
1.D
2.C
3.A
4.A
5.
6.解：原式=
==，
当x=+，y=-时，x-y=2，xy=1，
∴原式==.
手册答案
1.D
2.B
【解析】=+4××=1+4××.又∵=+1＞0，∴a>0，∴=a，
∴=1+4××=5，∴+=.
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例题精讲
（3）化简 解：
2
9a b
3
2
3
(a≥0,b≥0)
9a b
找出根号下的平方因子 用积的算术平方根的 根号下是积运算 性质把根号下的平方 因子和非平方因子分 平方因子挑出来 离开来
3 a ab
二次根式要化简
直接把根号下的每 2 2 一个平方因子去掉平方 3 a ab 号以后移到根号外面
3a ab
2 去掉平方移外面 用a a(a 0) 把根号下 的平方因子去掉平方号以 后移到根号的外面
例题精讲
例2：设a≥0,b≥o,化简下列二次根式：
(1) 72
4
(2) 8a b
2 2
2 2 2 2 2
2 3
(3) a a b
解： (3)
4
a a b a (a b ) a a b
2
2
积的算术平方根的特点是： 根号下的被开方数是积的形式，如 果是多项式的形式，要利用因式分解的 方法化成积的形式然后再进行化简。
巩固练习
练一练
1、设a≥0,b≥0,化简下列二次根式
(1) 24
(3) 4ab
18 (1) 25
2
(2) 32
(4) 27a b
9 2 (2) ab 4
2
5 3
2、设a≥0,b≥0,化简下列二次根式
例题精讲
例1：化简下列二次根式
(1) 18
2
(2) 20
平 方 因 子
解: (1) 18 9 2 9 2 3 2
3 2 (2) 20 4 5 4 5 2 5
2 5
2
200= 102×2
3 5 2
54= 32×6
2 2
5x y 5x x ( y ) y
(3) a 2a
4
(4) a 2ab b
2
2
拓展延伸
你觉得 10 能化简吗？为什么呢？
如果一个二次根式不能再化简了， 这样的二次根式又叫什么呢？
最简二次根式
总结归纳
这节课你学会了什么呢？
你最大的收获是什么呢？
(a≥0,b≥0,c≥0)
解读探究
ab a b
(a≥0,b≥0)
8 4 2 4 2 2 2
想一想，下列等式成立吗？为什么？
(1) (9) (4) 9 4 (2) 9 4 9 4 (3) 9 4 9 4
不成立) （
不成立) （ 不成立) （
8 2 2
2 2
4 2 4 2
2
8
一般地,当a≥0,b≥0时,由于
解读探究
( a b) ( a ) ( b)
2
( ab)
2
ab
2
2
ab
积的算术平方根的性质
所以
ab a b
(a≥0,b≥0)
积的算术平方根等于积中 各因式的算术平方根的积
abc a b c
二次根式的化简
同学们，来个热身活动吧！
x 1 1、二次根式 x 1, x的范围_____
2 2、 ( 2) _____
2
a
2
a a 0
2 6 6 36 ( ) ___
a 2 aa 0
3 、
8
成4个大小相同 的小正方形， （1）每个小正方形的面积是 2 ， 2 （2）每个小正方形的边长是 ， （3）大正方形的边长是小正方形边长的 2 倍。