1.3概率的古典概型与几何概型(课件)
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古典概率和几何概型
第一章 §1.3 古典概型和几何概型
第 1页
§1.3 古典概率和几何概型
1.3.1 古典概型
1.3.2 几何概型
第一章 §1.3 古典概型和几何概型
第 2页
1.3.1 古典概型
1. 古典概型 若试验E具有以下两个特征： (1) 所有可能的试验结果(基本事件)为有限个， 即Ω={ω1，ω2，…，ωn}； (2) 每个基本事件发生的可能性相同， 即 P(ω1)=P(ω2)=…=P(ωn)。 则称这类试验的数学模型为等可能概型（古典概型）。 ２. 古典概型中事件概率的计算公式 设随机试验E为古典概型，其样本空间Ω及事件A分别为： Ω={ω1，ω2，…，ωn} A={ωi1，ωi2，…，ωik} 则随机事件 A 的概率为：
10 1 P ( A) 40 4
第一章 §1.3 古典概型和几何概型
例2 在110这10个自然数中任取一数，求： （1）取到的数能被2或3整除的概率，
第 5页
（2）取到的数即不能被2也不能被3整除的概率，
（3）取到的数能被2整除而不能被3整除的概率。 解: 设 A =“取到的数能被2整除”; B =“取到的数能被3整除” 1 3 1 P ( A) P(B) P ( AB ) 2 10 10 故 (1) P ( A
(2) P( A B) 1 P( A B)
7 B) P( A) P( B) P ( AB) 10
3 10
2 (3) P ( A B) P ( A) P ( AB) 5
第一章 §1.3 古典概型和几何概型
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例3 设有n个人，每个人都等可能地被分配到N个房间的任意 一间去住（n≤N），求下列事件的概率． （1）指定的n个房间各住1人； （2）恰好有n个房间，其中各住1人 解 因为每一个人有N个房间可供选择，所以n个人住在N个房 间的方式共有Nn种，它们是等可能的． （1）指定的n个房间各住1人，其可能总数为n的全排列n!，于 是，所求概率为 P n! 1 Nn n （2）n个房间可以在N个房间中任意选取，其选法总数有 C N 种， 对每一选定的n个房间，按（1）的讨论可知又有n!种分配方式， n 所以恰有n个房间其中各住1人的住法数为 C N n!， 故所求概率 n CN n! 为 P2 Nn 这个例子常称为“分房问题”．
第 1页
§1.3 古典概率和几何概型
1.3.1 古典概型
1.3.2 几何概型
第一章 §1.3 古典概型和几何概型
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1.3.1 古典概型
1. 古典概型 若试验E具有以下两个特征： (1) 所有可能的试验结果(基本事件)为有限个， 即Ω={ω1，ω2，…，ωn}； (2) 每个基本事件发生的可能性相同， 即 P(ω1)=P(ω2)=…=P(ωn)。 则称这类试验的数学模型为等可能概型（古典概型）。 ２. 古典概型中事件概率的计算公式 设随机试验E为古典概型，其样本空间Ω及事件A分别为： Ω={ω1，ω2，…，ωn} A={ωi1，ωi2，…，ωik} 则随机事件 A 的概率为：
10 1 P ( A) 40 4
第一章 §1.3 古典概型和几何概型
例2 在110这10个自然数中任取一数，求： （1）取到的数能被2或3整除的概率，
第 5页
（2）取到的数即不能被2也不能被3整除的概率，
（3）取到的数能被2整除而不能被3整除的概率。 解: 设 A =“取到的数能被2整除”; B =“取到的数能被3整除” 1 3 1 P ( A) P(B) P ( AB ) 2 10 10 故 (1) P ( A
(2) P( A B) 1 P( A B)
7 B) P( A) P( B) P ( AB) 10
3 10
2 (3) P ( A B) P ( A) P ( AB) 5
第一章 §1.3 古典概型和几何概型
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例3 设有n个人，每个人都等可能地被分配到N个房间的任意 一间去住（n≤N），求下列事件的概率． （1）指定的n个房间各住1人； （2）恰好有n个房间，其中各住1人 解 因为每一个人有N个房间可供选择，所以n个人住在N个房 间的方式共有Nn种，它们是等可能的． （1）指定的n个房间各住1人，其可能总数为n的全排列n!，于 是，所求概率为 P n! 1 Nn n （2）n个房间可以在N个房间中任意选取，其选法总数有 C N 种， 对每一选定的n个房间，按（1）的讨论可知又有n!种分配方式， n 所以恰有n个房间其中各住1人的住法数为 C N n!， 故所求概率 n CN n! 为 P2 Nn 这个例子常称为“分房问题”．
1.3 等可能概型、几何概型
2013年7月29日星期一 中央财经大学《概率统计》课件--孙 博 第一章 第三节 --第26页--
人们在长期的实践中总结得到“概率 很小的事件在一次实验中几乎是不发生的” （称之为实际推断原理）。这样小概率的 事件在一次抽卡的试验中就发生了，人们 有比较大的把握怀疑这是魔术. 具体地说，可以99.9%的把 握怀疑这是魔术.
2013年7月29日星期一
中央财经大学《概率统计》课件--孙 博
第一章 第三节 --第3页--
例如，一个袋子中装有 10个大小、形状完全相同 的球. 将球编号为1－10 . 把球搅匀，蒙上眼睛，从 中任取一球.
8 5 1 9 4 6 7 2 3 10
2013年7月29日星期一
中央财经大学《概率统计》课件--孙 博
i 1, 2,, n .
中央财经大学《概率统计》课件--孙 博
其中
2013年7月29日星期一
n
第一章 第三节 --第6页--
古典概型的概率计算（概率的古典定义）
确定试验的基本事件总数
设试验结果共有n个基本事件ω1，ω2，...，ωn ， 而且这些事件的发生具有相同的可能性
确定事件A包含的基本事件数
P ( A1 A2 Ak ) P ( A1) P ( A2 ) P ( Ak ) 可列可加性
排列组合是计算古典概率的重要工具 .
2013年7月29日星期一 中央财经大学《概率统计》课件--孙 博 第一章 第三节 --第8页--
“等可能性”是一种假设，在实际应用中， 需要根据实际情况去判断。在许多场合， 由对称性和均衡性，我们就可以认为基本 事件是等可能的并在此基础上计算事件的 概率.
2013年7月29日星期一 中央财经大学《概率统计》课件--孙 博 第一章 第三节 --第10页--
人们在长期的实践中总结得到“概率 很小的事件在一次实验中几乎是不发生的” （称之为实际推断原理）。这样小概率的 事件在一次抽卡的试验中就发生了，人们 有比较大的把握怀疑这是魔术. 具体地说，可以99.9%的把 握怀疑这是魔术.
2013年7月29日星期一
中央财经大学《概率统计》课件--孙 博
第一章 第三节 --第3页--
例如，一个袋子中装有 10个大小、形状完全相同 的球. 将球编号为1－10 . 把球搅匀，蒙上眼睛，从 中任取一球.
8 5 1 9 4 6 7 2 3 10
2013年7月29日星期一
中央财经大学《概率统计》课件--孙 博
i 1, 2,, n .
中央财经大学《概率统计》课件--孙 博
其中
2013年7月29日星期一
n
第一章 第三节 --第6页--
古典概型的概率计算（概率的古典定义）
确定试验的基本事件总数
设试验结果共有n个基本事件ω1，ω2，...，ωn ， 而且这些事件的发生具有相同的可能性
确定事件A包含的基本事件数
P ( A1 A2 Ak ) P ( A1) P ( A2 ) P ( Ak ) 可列可加性
排列组合是计算古典概率的重要工具 .
2013年7月29日星期一 中央财经大学《概率统计》课件--孙 博 第一章 第三节 --第8页--
“等可能性”是一种假设，在实际应用中， 需要根据实际情况去判断。在许多场合， 由对称性和均衡性，我们就可以认为基本 事件是等可能的并在此基础上计算事件的 概率.
2013年7月29日星期一 中央财经大学《概率统计》课件--孙 博 第一章 第三节 --第10页--
1.3古典概型与几何概型
m 排列 数为 Pn =
n! = n(n − 1)L(n − m + 1) (n − m)!
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ组合： 个不同元素中任取m个组成一组 组合：从n个不同元素中任取 个组成一组 其不同的 个不同元素中任取 个组成一组,
m Pn n(n −1)L(n − m + 1) n! 组合 数为 C = = = m! m! m!(n-m)! m n
概率统计（ZYH）
袋内有a个白球与 个黑球, 每次从袋中任取一 个白球与b个黑球 例3 袋内有 个白球与 个黑球 每次从袋中任取一 个 取出的球不再放回去, 个球, 求第k次 球, 取出的球不再放回去 接连取 k (k≤a+b) 个球 求第 次 取得的是白球的概率. 取得的是白球的概率
Pak+ b , 第 k 个球 这时取球是有顺序的, 解 这时取球是有顺序的 样本点总数为
L 解 P ( A) = n( n − 1)n 2 ⋅ 1 = n!n N C n ⋅ n! P( B) = N n N N
1 2 3Ln
抓人分房 N n
C m ( N − 1) n− m P (C ) = n Nn
概率统计（ZYH）
1
2
···
N
二、几何概型
回忆1.1节的试验， 共同特性是 回忆 节的试验，E7, E8 的共同特性是： 节的试验 按测度的有限性）试验的样本空间Ω中是可测的 中是可测的, ① （ 按测度的有限性 ） 试验的样本空间 中是可测的 且测度m(Ω)有限： 0 < m(Ω ) < +∞ 有限： 且测度 有限 按测度等可能性） ② （ 按测度等可能性 ） 同测度的事件发生的可能性相 同, 即 若 m ( A ) = m ( B ), 则 P ( A ) = P ( B ) 具有以上两个特性的试验大量存在. 具有以上两个特性的试验大量存在 我们把满足上述两个 特性的试验称为按测度等可能试验 这种试验在概率论发展 特性的试验称为按测度等可能试验. 按测度等可能试验 史上也是主要的研究对象, 由于它与试验的几何特征有关， 史上也是主要的研究对象 由于它与试验的几何特征有关， 故被称为几何概型 几何概型. 故被称为几何概型
n! = n(n − 1)L(n − m + 1) (n − m)!
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ组合： 个不同元素中任取m个组成一组 组合：从n个不同元素中任取 个组成一组 其不同的 个不同元素中任取 个组成一组,
m Pn n(n −1)L(n − m + 1) n! 组合 数为 C = = = m! m! m!(n-m)! m n
概率统计（ZYH）
袋内有a个白球与 个黑球, 每次从袋中任取一 个白球与b个黑球 例3 袋内有 个白球与 个黑球 每次从袋中任取一 个 取出的球不再放回去, 个球, 求第k次 球, 取出的球不再放回去 接连取 k (k≤a+b) 个球 求第 次 取得的是白球的概率. 取得的是白球的概率
Pak+ b , 第 k 个球 这时取球是有顺序的, 解 这时取球是有顺序的 样本点总数为
L 解 P ( A) = n( n − 1)n 2 ⋅ 1 = n!n N C n ⋅ n! P( B) = N n N N
1 2 3Ln
抓人分房 N n
C m ( N − 1) n− m P (C ) = n Nn
概率统计（ZYH）
1
2
···
N
二、几何概型
回忆1.1节的试验， 共同特性是 回忆 节的试验，E7, E8 的共同特性是： 节的试验 按测度的有限性）试验的样本空间Ω中是可测的 中是可测的, ① （ 按测度的有限性 ） 试验的样本空间 中是可测的 且测度m(Ω)有限： 0 < m(Ω ) < +∞ 有限： 且测度 有限 按测度等可能性） ② （ 按测度等可能性 ） 同测度的事件发生的可能性相 同, 即 若 m ( A ) = m ( B ), 则 P ( A ) = P ( B ) 具有以上两个特性的试验大量存在. 具有以上两个特性的试验大量存在 我们把满足上述两个 特性的试验称为按测度等可能试验 这种试验在概率论发展 特性的试验称为按测度等可能试验. 按测度等可能试验 史上也是主要的研究对象, 由于它与试验的几何特征有关， 史上也是主要的研究对象 由于它与试验的几何特征有关， 故被称为几何概型 几何概型. 故被称为几何概型
概率的两种模型(高三数学精品课件)
19世纪法国著名数学家拉普拉斯说：“对于生活中的大 部分，最重要的问题实际上只是概率问题。你可以说几 乎我们所掌握的所有知识都是不确定的，只有一小部分 我们能确定地了解。甚至数学科学本身，归纳法、类推 法和发现真理的首要手段都是建立在概率论的基础之上。 因此，整个人类知识系统是与这一理论相联系的……”
5
题型一 古典概型问题
设计游戏1：
一个不透明的箱子中有6个除了颜色不同无其他区别的小球， 其中4个蓝球，2位红球。
试设计一时训练 1：
9.在长为 1 的线段上任取两点，则这两点之间的距离小于 1 的概率为（ ） 2
A、 1 B、 1 C、 3 D、 7
题型三 古典概型与几何概型的综合问题
已知关于x的一元二次方程9x2＋6ax－b2＋4＝0，a，b∈R. (1)若a是从1,2,3三个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数 中任取的一个数，求已知方程有两个不相等实根的概率；
(2)若a是从区间[0,3]内任取的一个数，b是从区间[0,2]内任 取的一个数，求已知方程有实数根的概率.
第 36 练 概率的两类模型
火眼真睛（区分古典概型和几何概型）
1、古典概型（classical probability model)
一次试验中可能出现的每一 个基本结果称为基本事件
(elementary event).
（1）所有基本事件只有有限个； （2）每个基本事件的发生都是等可能的。
满足上面两个条件的随机实验的概率模 型称为古典概型
2、古典概型的概率计算公式
P( A) m n
其中n是试验中所有基本事件的个数，m是事件A 包含的基本事件的个数（m n).
利用几何概型求概率:
1.几何概型适用条件： (1)基本事件有无限多个（无限性）； (2)事件都是等可能发生的（等可能性）. 2.适用情况：
1.3_古典概型与几何概型
k n k n
种取法.
摸球模型 (1) 无放回地摸球 问题1 设袋中有4 只白球和 2只黑球, 现从 袋中无放回地依次摸出2只球,求这2只球都 是白球的概率. 解 设 A = {摸得 2 只球都是白球}, 基本事件总数为 6×5 A 所包含基本事件的个数为 4 × 3 4×3 2 故 P( A) = = . 6×5 5
5 8 1 4 6 9 3 10 7
设 随机试验E 具有下列特点： 概率的 基本事件的个数有限 古典定义 每个基本事件等可能性发生 则称 E 为 古典(等可能)概型
古典概型中事件概率的计算
摸到2号球 记 A={摸到 号球 摸到 号球} P(A)=?
2
P(A)=1/10
摸到红球} 记 B={摸到红球 摸到红球 P(B)=?
2、许多表面上提法不同的问题实质上属于同 、 一类型： 一类型： 某城市每周发生7次车祸， 某城市每周发生 次车祸，假设每天发生 次车ห้องสมุดไป่ตู้ 车祸的概率相同. 车祸的概率相同. 求每天恰好发生一次车祸 的概率. 的概率 车祸 天
几何概型 (等可能概型的推广)
如果一个随机试验的样本空间 Ω 是一个大小 可以度量的几何区域。向区域内任意投一点， 落在区域内任意点处都是“等可能的”，则 称这类随机试验为几何概型。
2、许多表面上提法不同的问题实质上属于同 、 一类型： 一类型： 个人， 有n个人，设每个人的生日是任一天的概 个人 率为1/365. 求这n (n ≤365)个人的生日互不相 率为 求这 个人的生日互不相 同的概率. 同的概率 人 任一天
2、许多表面上提法不同的问题实质上属于同 、 一类型： 一类型： 个旅客， 个车站 有n个旅客，乘火车途经 个车站，设每 个旅客 乘火车途经N个车 个人在每站下车的概率为1/ 个人在每站下车的概率为 N(N ≥ n) ，求指 定的n个站各有一人下车的概率 定的 个站各有一人下车的概率. 个站各有一人下车的概率 旅客 车站
种取法.
摸球模型 (1) 无放回地摸球 问题1 设袋中有4 只白球和 2只黑球, 现从 袋中无放回地依次摸出2只球,求这2只球都 是白球的概率. 解 设 A = {摸得 2 只球都是白球}, 基本事件总数为 6×5 A 所包含基本事件的个数为 4 × 3 4×3 2 故 P( A) = = . 6×5 5
5 8 1 4 6 9 3 10 7
设 随机试验E 具有下列特点： 概率的 基本事件的个数有限 古典定义 每个基本事件等可能性发生 则称 E 为 古典(等可能)概型
古典概型中事件概率的计算
摸到2号球 记 A={摸到 号球 摸到 号球} P(A)=?
2
P(A)=1/10
摸到红球} 记 B={摸到红球 摸到红球 P(B)=?
2、许多表面上提法不同的问题实质上属于同 、 一类型： 一类型： 某城市每周发生7次车祸， 某城市每周发生 次车祸，假设每天发生 次车ห้องสมุดไป่ตู้ 车祸的概率相同. 车祸的概率相同. 求每天恰好发生一次车祸 的概率. 的概率 车祸 天
几何概型 (等可能概型的推广)
如果一个随机试验的样本空间 Ω 是一个大小 可以度量的几何区域。向区域内任意投一点， 落在区域内任意点处都是“等可能的”，则 称这类随机试验为几何概型。
2、许多表面上提法不同的问题实质上属于同 、 一类型： 一类型： 个人， 有n个人，设每个人的生日是任一天的概 个人 率为1/365. 求这n (n ≤365)个人的生日互不相 率为 求这 个人的生日互不相 同的概率. 同的概率 人 任一天
2、许多表面上提法不同的问题实质上属于同 、 一类型： 一类型： 个旅客， 个车站 有n个旅客，乘火车途经 个车站，设每 个旅客 乘火车途经N个车 个人在每站下车的概率为1/ 个人在每站下车的概率为 N(N ≥ n) ，求指 定的n个站各有一人下车的概率 定的 个站各有一人下车的概率. 个站各有一人下车的概率 旅客 车站
13古典概型与几何概型
所有这些概率都是在假定每个人的生日在 365天的任何一 天是等可能的前提下计算出来的.实际上,这个假定并不完全成 立，有关的实际概率比表中给出的还要大 .当人数超过23时， 打赌说至少有两人同生日是有利的.
匹配问题 从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中
“至少有两只配成一双” 的概率是多少？
解：设A {4只鞋中至少 有2只能配成一双 }
向平面上投点
向一个立方体上投点
P ( A) A的测度/ 的测度
这样算出的概率为 几何概率
例1 某公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车到达，乘客 到达汽车站的时间是任意的，求一个乘客候车时间不 超过3分钟的概率.
解：设A {候车时间不超过 3分钟}
以分钟为单位，乘客候车时间在(0,5)内，则 (0,5)
60 59 30 29 10 9
m 60 59 30 29 10 9 P ( A) 100 99 n
( 2)有放回
n 100
2
m 602 302 102
2 2 2
m 60 30 10 P ( A) 2 n 100
几何概型
先根据题意把试验结果用坐标x或( x , y )或( x , y, z )
来表示，然后根据和A的定义，求出和A中相应
A (2,5)
3 P ( A) 5
例2 甲乙两人约定在6点到7点之间在某处会面，并约 定先到者应等候另一人一刻钟，过时即可离去，求两 人能会面的概率
解：设A {两人能会面 } , 设x , y分别表示甲乙两人
到达时间(与6点之差) . 根据题意有 0 x 60 ,0 y 60 ,
365
解：设A {至少有1人生日在元旦 }
古典概型与几何概型
!
.
若 n = 64， P(A) 0.997.
“分房模型”可应用于很多类似场合
人
“球”可 视为
人 信 钥匙 男舞伴
“盒子” 相应 视为
房子 生日 信封 门锁 女舞伴
例1.3.7 在电话号码簿中人取一个号码（电话号码由7个数 字组成），求取到的号码是由完全不同的数字组成的概率？
3. 随机取数问题
（3）某指定的一个盒子没有球；(m k)
（4）恰有 k 个盒子中各有一球；
（5）至少有两个球在同一盒子中；
（6）每个盒子至多有一个球.
解 n Nk
设 (1) ~ (6)的各事件分别为 A1 A6
则 k A1 k!
kA2 Ckm (N 1)km
P( A1)
k A1 n
k! Nk
P P P
2
n
则称此试验为古典型随机试验，简称为古典概型。
二、概率的古典定义
定义：设古典概型的所有基本事件为：为：
，事
件A含有 其,中,的,k个基本事件 ，则定义事件A的概率为
1
2
n
P( A) k A包含的基本事件数
n 基本事件的总数
种．
(2)多组组合 把 n 个元素分成 k 个不同的组
（组编号），各组分别有 r1, r2,, rk 个元素，
r1 r2 rk n, 不同的分法共有
C C C r1 r2
rk
n nr1
rk
n! r1!r2! rk ! 种．
（3）若 n 个元素中有 n1 个带足标“1”， n2 个带足标“2”，……， nk
PA4 1
C1 7
1.3古典概型、几何概型
P(
A)
=
m( A) m( S )
几何概率显然满足：
（1）对任何事件 A，P( A) ³ 0；
（2）P( S) = 1;
（3）若事件 A1, A2,L , An,L 两两互不相容，则
+?
?
( ) P( U n=1
An )
=
?P
n=1
An
古典概型、几何概型
例 5（约会问题）甲乙二人相约在 0 到T 这段时间内，在预定地 点会面.到达时刻是等可能的，先到的人等候另一人，经过时间
（1）有放回抽样；（2）无放回抽样两种情形下，
第k (k = 1, 2,L , m + n) 次取到红球的概率.
解 设事件 A表示第k次取到红球，
（1）有放回抽样： P( A) = m . m+n
（2）无放回抽样：
P( A)
=
m×Amm++nn--11 Am+n
m+n
=
m(m+ n - 1)! (m+ n)!
概率论与数理统计
Probability and Statistics
— 概率论与数理统计教学组—
第1章 随机事件及其概率
1.3 古典概型、几何概型
学习 要点
古典概型 古典概型的概率计算方法 几何概型 几何概型的概率计算方法
古典概型、几何概型
一、古典概型的引入
掷一颗骰子，问“出现偶数点”“点数大于 4”的概率分别是
针与最近的一条平行线相交的充分必要条件是 x £ l sinq .
l
2a
x •
M
古典概型、几何概型
例 6（比丰投针问题）在平面上画有等距离的平行线，平行线间
概率论课件1-3,武大
μ(G ) G的面积 P ( A) μ( S ) S的面积
b 0 2 sin d a π 2 b 2b . a aπ π 2
π
o
蒲丰投针试验的应用及意义
2b P ( A) aπ 根据频率的稳定性, 当投针试验次数n 很大时 , m 测出针与平行直线相交的次数 m , 则频率值 即可 n 作为 P ( A) 的近似值代入上式, 那么 2bn m 2b π . n aπ am
212 p 12 0.0000003 . 7
小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的 , 从而可 知接待时间是有规定的.
例3 假设每人的生日在一年 365 天中的任一天是等可 能的 , 即都等于 1/365 ,求 64 个人中至少有2人生日相 同的概率.
解
64 个人生日各不相同的概率为
365 364 ( 365 64 1) p1 . 64 365
4.古典概型的基本模型之二:球放入杯子模型
(1)杯子容量无限 问题1 把 4 个球放到 3个杯子中去,求第1、2个 杯子中各有两个球的概率, 其中假设每个杯子可 放任意多个球.
3
3
3
3
4个球放到3个杯子的所有放法
3 3 3 3 34 种,
4 种 2
P ( AB ) P ( A B ) 1 P ( A B)
1 { P ( A) P ( B ) P ( AB )}.
333 2000 因为 333 334, 所以 P ( A) , 6 2000
2000 由于 250, 8
250 故得 P ( B ) . 2000
四、小结
最简单的随机现象 古典概型
古典概型与几何概型
B 所含的样本点数为
C82C332 C83C322 C84C312 C85C302
显然这样计算是比较麻烦的．
⑶ 事件 C 所含的样本点数为C85 ．所以
PC
C85 C450
8.5105105 ．
第一章 第三节 古典概型
23
例4
同时掷 5 颗骰子，试求下列事件的概率：
⑴ A 5颗骰子不同点 ；⑵ B 5颗骰子恰有 2个同点； ⑶ C 5颗骰子中有 2个同点，另外 3颗同是另一个点 ．
第一章 第三节 古典概型
7
古典概型中事件概率的计算公式
设 A 是一个随机事件，假设 A 中 含有 m 个样本点，即
， A i1 , i2 , , im
则 PA P i1 , i2 , , im Pi1 Pi2 Pim
1 1 1 m n n n n
m个
第一章 第三节 古典概型
位置放黑球，共有 Caab 种不同的放法．这就是样本点 总数．
先在第 k 个位置上放黑球，有1 种放法；然后在其
余 a b 1个位置上选 a 个位置放白球， b 1 个位置
放黑球，有
Ca a b 1
种不同的放法．因此
P
A
Ca ab1
Caab
a
b
b
．
第一章 第三节 古典概型
20
例3
一批产品共 40 件，其中有 8 件次品，从中取出 5 件．试
则样本点总数为 10． 又一个自然数的平方后的个位数为 1 当且仅当该数
的个位数为 1 或者 9，即随机事件 A 中含有 2 个样本 点．所以，
PA
2 10
0.2
．
第一章 第三节 古典概型
第一章__3_古典概型与几何概型
法，其余两个球可在其余两个位置任意排放，共有2!种排
法，因而C有2*3*2=12种排法，故
12 1 P(C ) 24 2
（3）对于第1号球排在第2号球的右边的每一种排法，交换
第1号球和第2号球的位置便得到第1号球排在第2号球的左边 的一种排法，反之亦然。因而 第1号球排在第2号球的右边 与第1号球排 在第 2号球的左边的排法种数相同，各占总排 法的1/2,故有P(D)=1/2
4、组合
Pnm n! m Cn m ! m !( n m )!
5、抽样与排列组合
工具 顺序 抽样
无放回抽样
（元素不重复）
有放回抽样
（元素可重复）
考虑
P
C
m n
n
m
不考虑
m n
二、古典概率
1.古典概型（最早、最简单的概率模型）
定 义：如果一个随机试验E具有以下特征 1、试验的样本空间中仅含有有限个样本点；
(1)第i次取到的是黑球；(2)第i次才取到黑球；
(3)前i次中能取到黑球；(4)前i次中恰好取到k个黑球
解： 因为所考虑的事件涉及取球的次序，所
以基本事件也应考虑顺序，（a+b）次
取球的总取法为（a+b）!,记上述四个
事件分别为A,B,C,D.
（1）第i次取到的是黑球；
…
1 2 i
…
a+b
Pa1 [(Байду номын сангаас b 1)!] a [(a b 1)!] a P ( A) (a b)! (a b)! ab
C
解:(1)无放回
(2)有放回
CC 7 P(A)= 2 C10 15
古典概型与几何概型ppt课件
0
2 1 2 2 3x |0＝3，故所求概率 P＝3.
3 2
2 答案： 3
有无放回取样的概率计算问题
[例 3]
一个盒子里装有完全相同的十个小球， 分别标上
1,2,3，…，10 这 10 个数字，今随机地取两个小球，如果 (1)小球是不放回的； (2)小球是有放回的． 求两个小球上的数字为相邻整数的概率． 分析：小球放回与不放回时基本事件的总数是不同的．
解析：
b 函数 f(x)＝ax －bx－1 在[ ，＋∞)上为增函数，据已知 2a
2
b 条 件 可 知 ， 2a ≤1 ， ∴ b≤2a ， 如 图 可 知 ， 所 求 概 率 P ＝ 1 2×1＋2×2 3 ＝4. 2×2
3 答案： 4
(理)(2011· 东北三校二模)已知实数 a，b 满足－1≤a≤1， 1 3 －1≤b≤1， 则函数 y＝3x －ax2＋bx＋5 有极值的概率为( 1 A. 4 2 C.3 1 B. 2 3 D.4 )
x 2 y 解析：(1)由题意可得， ＝ ＝ ，所以 x＝1，y＝3. 18 36 54 (2)记从高校 B 抽取的 2 人为 b1，b2，从高校 C 抽取的 3 人为 c1，c2，c3，则从高校 B，C 抽取的 5 人中选 2 人作专题 发言的基本事件有 (b1，b2)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b1，c3)，(b2，c1)，(b2，c2)， (b2，c3)，(c1，c2)，(c1，c3)，(c2，c3)共 10 种．
二、模型化方法 将实际问题转化为对应的概率模型是重要的基本功，要 通过练习学会选择恰当的数学模型(如编号、用平面直角坐标 系中的点及平面区域表示等)来实现实际问题向数学问题的转 化．
[ 例]
一排有 5 个凳子，两人各随机就座，则每人两侧都
概率论 古典概型与几何概型36页PPT
31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
概率论 古典概型与几何概型
21、没有人陪你走一辈子，所以你要 适应孤 独，没 有人会 帮你ห้องสมุดไป่ตู้ 辈子， 所以你 要奋斗 一生。 22、当眼泪流尽的时候，留下的应该 是坚强 。 23、要改变命运，首先改变自己。
24、勇气很有理由被当作人类德性之 首，因 为这种 德性保 证了所 有其余 的德性 。--温 斯顿． 丘吉尔 。 25、梯子的梯阶从来不是用来搁脚的 ，它只 是让人 们的脚 放上一 段时间 ，以便 让别一 只脚能 够再往 上登。
古典概率和几何概型25页PPT
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪
28、知之和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
25
古典概率和几何概型
•
46、寓形宇内复几时，曷不委心任去 留。
•
47、采菊东篱下，悠然见南山。
•
48、啸傲东轩下，聊复得此生。
•
49、勤学如春起之苗，不见其增，日 有所长 。
•
50、环堵萧然，不蔽风日；短褐穿结 ，箪瓢 屡空， 晏如也 。
▪
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
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1 2
二、排列 1. 选排列和全排列 例 用1,2,3,4四个数码,可写出多少个数码不重复 的三位数? 解 共有 4 3 2 24 个
4种 3种
2种
定义 从n个不同元素中任取k个元素 ( k n) 按照 一定顺序排成一列,称为从n个不同元素中取k个的 排列.
定义 从n个不同元素中任取k个元素 ( k n) 按照 一定顺序排成一列,称为从n个不同元素中取k个的 排列. 定义中n个元素是相异的， 不允许有相同的元素; 取出的k个元素 也是相异的,不允许重复使用元素. 如果 k n, 称上述定义的排列为选排列;如果k=n 则称之为全排列. 从n个不同元素中 取k个 的选排列的个数为
显然该试验为古典概型。
3 事件A1 ={ HHT, HTH }, , THH 故P(A1) 8 事件 A2 { HHH}, 故P(A2) 1 P( A2 ) 1 1 7 8 8
在计算古典概型时,所使用的基本工具是排列 组合的计算方法.
一、两个基本原理 1. 加法原理 例 从甲地到乙地, 可以乘飞机 或者乘火车或 汽车,从甲地到乙地,每天有飞机一班、 火车六班、 1 汽车三班,问一天中乘飞机 6 或不同班次的火车、汽车, 有几种不同的选择方法? 3 解 共有 1 6 3 10 种
...
(二)样本空间的点数以组合计算
例 一只箱子里装有100件某产品， 其中有8件次品, 其余为正品, 从中任取5件,求(1) A : 至多一件次品
(2) B : 至少二件次品 的概率.
解 基本事件总数为 C
5 100
8
92
设 X 表示取出的5件中次品的数量 P ( A) P{ X 0 或 X 1 } P{ X 0} P{ X 1}
n 或 k
k P n( n 1)( n 2)...( n k 1) n k Cn k! k! 个 k n个 k k k n k C n k ! Pn Cn Cn
(一)样本空间的点数 以排列计算
例 设有n个人, 每个人以同样的概率分配到N间 房中, ( n N ) 求 (1)指定的n间房中各有一人的概率. (2) 每个房间最多一人的概率.
[ 0, 60 ) S ( A)
n n n ... n n k
n种 n种 n种 n种 n种
三、组合 例 从7,8,9三个数里,任意取出两个相乘, 可得到 多少个不同的积? 2 P 解 78 8 9 共有 3 3 2 3 79 个 2 2 8 7 9 7 9 8 定义 从n个不同元素中, 任取k个 ( k n)不管怎样的 顺序并成一组,称为从n个不同元素中每次取出k个 元素的组合. k ( k n ) C 从n个不同元素中任取k个 的组合数记为 n
3 A 2,4,6 P A m 3 表示“出现偶数点” 设
例 把一颗骰子掷两次, A表示 “点数之和为8”,
6
, P(A),P(B) B表示 “第一次出奇数点”求 解 样本空间为(1,1),..,(1,6), (2,1),..,(2,6), (3,1),..,(3,6),
S ( A) P ( A) S ( )
[
0
x 1
]
S ( )
M
定义 设Ω为欧氏空间的一个区域， 用 S ( ) 表示
Ω的度量 A A是Ω中一个可以度量的子集, 定义
S ( A) P ( A) S ( )
为事件A发生的概率, 称为区域Ω上的 几何概率.
例 设电台每到整点报时, 某人午觉醒来, 他打开 收音机, 求他等待时间不超过10分钟 就听到报时 的概率. 解 以分钟为单位, 设上一次报时时刻为0, 下一次 报时时刻为60,此人打开收音机的时间在 [ 0, 60 ) 内
§1.3 古典概型与几何概型 一、古典概型
即样本空间 (ⅰ) 试验的全部可能的结果 是有限个, 是个有限集;
(ⅱ) 每次试验中, 各样本点出现的可能性相同, 即每个基本事件 发生的概率相等.
一、古典概型： 1.有限性 试验的所有基本事件总数有限. 2.等可能性 每次试验中, 各个基本事件出现的可能 性 都相同. 即 (ⅰ)样本空间 是个有限集: 1 , 2 , ..., n (ⅱ)每个基本事件 的概率相同.
1 (ⅱ) P 1 P 2 ... P n n
并设A中含有m个样本点 设A是任一事件，
A i1 , i2 , ... , im 1 , 2 , ..., n
P ( A) P i1 , i2 , ... , im
例 设有n个人, 每个人以同样的概率分配到N间 房中, ( n N ) 求 (3)某指定的房间不空的概率. (4)某指定的房间 恰有k个人的概率. ( k n )
n N 解 总的分法有 N N ... N
(3) C “某指定的房间不空”
C “某指定的房间是空的.” ******** ( N 1)n P C 1 P C 1 Nn nk (4) D “ 某指定的房间恰有k个人” k C n ( N 1) P D Nn
1 P ( ) P 1 , 2 , ..., n P 1 P 2 ... P n
1 例如 掷一枚均匀的骰子,每一面出现的概率都是 6
1 P 1 P 2 ... P n n
古典概型： (ⅰ)样本空间 是个有限集: 1 , 2 , ..., n
3
二、几何概型 1. 计算机在区间[0,1]上 任意打一个数 x , 求
1 x 小于 的概率. 3
0
1 x 3
1
2. 随机地在单位圆内任掷一点M,
1 求点M到原点的距离小于 2 的概率.
பைடு நூலகம்
1 2
这两个随机试验 的样本空间Ω,都是欧氏空间的 一个区域, 样本点落在区域内的每一点的机会 都 均等. 设区域 A , 如果样本点落在A中, A 就说事件A发生了. “机会均等” 的确切含义是: 点落在A中的可能性的大小 P ( A) 与A的面积 S ( A) 成正比, 而与A的位置形状无关. 1 P ( A) t S ( A ) 由 1 P ( ) t S ( ) t
(4,1),..,(4,6), (5,1),..,(5,6), (6,1), ..,(6, 6)
共有36个样本点. A (2,6) ,(3,5) ,(4,4) ,(5,3) ,(6,2)
B (1,1),...,(1,6), (3,1),...,(3,6), (5,1),...,(5,6) P A 5 P B 18 0.5 36 36
加法原理: 如果完成某件事有 k 种方式,第一种方式中有n1
个方法,第二种方式中有n2个方法, ... 第 k 种方式 中有nk个方法,不论用哪一种方式中的哪一个方法, 都能达到完成该事件的目的,那么完成这件事共有
n1 n2 ... nk 种不同的方法.
n1 n2
nk
2.乘法原理 例 从甲地到丙地,必须经过乙地,甲地到乙地的 交通线路有铁路、 公路和水路;从乙地到丙地的 交通线路只有公路和水路.一旅客从甲地经过乙地 到丙地,有几种不同的途径? 甲 乙 丙 解 有 3 2 6 种 乘法原理: 如果完成某件事分k个步骤,第一步有n1种方法, ...,第k步有nk种方法,各个步骤 第二步有n2种方法, 依次连续完成,该事件才算完成, 则完成这件事共有 n1n2 ...nk 种不同的方法. nk n n
P ( B1 )
602
0.36
100
2
P ( B2 )
302
0.09
1002
2 10 P ( B3 ) 2
100
0.01
由概率的可加性，得 3 P ( B ) P ( Ai ) 0.36 0.09 0.01 0.46
i 1
例 假设有100件产品，其中有60件一等品，30件 二等品，10件三等品，如果随机地抽取一件， 连续两次，分有放回和无放回，求两次取到 的产品等级相同的概率。 解： 设事件Bi " 取到两个 i 等品"，i 1, 2, 3. 事件B " 取到两个 等级相同" , 显然 B1 , B2 , B3 互不相容，且 B B1 B2 B3 2.不重复抽样(无放回)
n! (1) A “指定的n间房中 各有一人.” P A N n A中包含的基本事件数为 n !
(2) B “每个房间最多一人.”
解
n N N N ... N 总的分法有
...
n N ( N 1)( N 2)...( N n 1) PN ******** P B n N Nn
5 C 92
C
5 100
4 1 C 92 C8
C
5 100
0.95
P ( B ) P ( A) 1 P ( A) 0.05
例 箱中有m个白球, n个黑球,从中任取 p q 个,
( p m , q n) 求取到的球中恰有 p 个白球,q 个黑球
的概率.
pq 解 基本事件总数为 C m n
29 30 29 60 59 59 10 9 P ( B3 ) P ( B1 ) P ( B ) 2 100 99 165 100 99 330 100 99 1 由概率的可加性，得 110
59 29 1 5 P ( B ) P ( Ai ) 165 330 110 11 i 1
二、排列 1. 选排列和全排列 例 用1,2,3,4四个数码,可写出多少个数码不重复 的三位数? 解 共有 4 3 2 24 个
4种 3种
2种
定义 从n个不同元素中任取k个元素 ( k n) 按照 一定顺序排成一列,称为从n个不同元素中取k个的 排列.
定义 从n个不同元素中任取k个元素 ( k n) 按照 一定顺序排成一列,称为从n个不同元素中取k个的 排列. 定义中n个元素是相异的， 不允许有相同的元素; 取出的k个元素 也是相异的,不允许重复使用元素. 如果 k n, 称上述定义的排列为选排列;如果k=n 则称之为全排列. 从n个不同元素中 取k个 的选排列的个数为
显然该试验为古典概型。
3 事件A1 ={ HHT, HTH }, , THH 故P(A1) 8 事件 A2 { HHH}, 故P(A2) 1 P( A2 ) 1 1 7 8 8
在计算古典概型时,所使用的基本工具是排列 组合的计算方法.
一、两个基本原理 1. 加法原理 例 从甲地到乙地, 可以乘飞机 或者乘火车或 汽车,从甲地到乙地,每天有飞机一班、 火车六班、 1 汽车三班,问一天中乘飞机 6 或不同班次的火车、汽车, 有几种不同的选择方法? 3 解 共有 1 6 3 10 种
...
(二)样本空间的点数以组合计算
例 一只箱子里装有100件某产品， 其中有8件次品, 其余为正品, 从中任取5件,求(1) A : 至多一件次品
(2) B : 至少二件次品 的概率.
解 基本事件总数为 C
5 100
8
92
设 X 表示取出的5件中次品的数量 P ( A) P{ X 0 或 X 1 } P{ X 0} P{ X 1}
n 或 k
k P n( n 1)( n 2)...( n k 1) n k Cn k! k! 个 k n个 k k k n k C n k ! Pn Cn Cn
(一)样本空间的点数 以排列计算
例 设有n个人, 每个人以同样的概率分配到N间 房中, ( n N ) 求 (1)指定的n间房中各有一人的概率. (2) 每个房间最多一人的概率.
[ 0, 60 ) S ( A)
n n n ... n n k
n种 n种 n种 n种 n种
三、组合 例 从7,8,9三个数里,任意取出两个相乘, 可得到 多少个不同的积? 2 P 解 78 8 9 共有 3 3 2 3 79 个 2 2 8 7 9 7 9 8 定义 从n个不同元素中, 任取k个 ( k n)不管怎样的 顺序并成一组,称为从n个不同元素中每次取出k个 元素的组合. k ( k n ) C 从n个不同元素中任取k个 的组合数记为 n
3 A 2,4,6 P A m 3 表示“出现偶数点” 设
例 把一颗骰子掷两次, A表示 “点数之和为8”,
6
, P(A),P(B) B表示 “第一次出奇数点”求 解 样本空间为(1,1),..,(1,6), (2,1),..,(2,6), (3,1),..,(3,6),
S ( A) P ( A) S ( )
[
0
x 1
]
S ( )
M
定义 设Ω为欧氏空间的一个区域， 用 S ( ) 表示
Ω的度量 A A是Ω中一个可以度量的子集, 定义
S ( A) P ( A) S ( )
为事件A发生的概率, 称为区域Ω上的 几何概率.
例 设电台每到整点报时, 某人午觉醒来, 他打开 收音机, 求他等待时间不超过10分钟 就听到报时 的概率. 解 以分钟为单位, 设上一次报时时刻为0, 下一次 报时时刻为60,此人打开收音机的时间在 [ 0, 60 ) 内
§1.3 古典概型与几何概型 一、古典概型
即样本空间 (ⅰ) 试验的全部可能的结果 是有限个, 是个有限集;
(ⅱ) 每次试验中, 各样本点出现的可能性相同, 即每个基本事件 发生的概率相等.
一、古典概型： 1.有限性 试验的所有基本事件总数有限. 2.等可能性 每次试验中, 各个基本事件出现的可能 性 都相同. 即 (ⅰ)样本空间 是个有限集: 1 , 2 , ..., n (ⅱ)每个基本事件 的概率相同.
1 (ⅱ) P 1 P 2 ... P n n
并设A中含有m个样本点 设A是任一事件，
A i1 , i2 , ... , im 1 , 2 , ..., n
P ( A) P i1 , i2 , ... , im
例 设有n个人, 每个人以同样的概率分配到N间 房中, ( n N ) 求 (3)某指定的房间不空的概率. (4)某指定的房间 恰有k个人的概率. ( k n )
n N 解 总的分法有 N N ... N
(3) C “某指定的房间不空”
C “某指定的房间是空的.” ******** ( N 1)n P C 1 P C 1 Nn nk (4) D “ 某指定的房间恰有k个人” k C n ( N 1) P D Nn
1 P ( ) P 1 , 2 , ..., n P 1 P 2 ... P n
1 例如 掷一枚均匀的骰子,每一面出现的概率都是 6
1 P 1 P 2 ... P n n
古典概型： (ⅰ)样本空间 是个有限集: 1 , 2 , ..., n
3
二、几何概型 1. 计算机在区间[0,1]上 任意打一个数 x , 求
1 x 小于 的概率. 3
0
1 x 3
1
2. 随机地在单位圆内任掷一点M,
1 求点M到原点的距离小于 2 的概率.
பைடு நூலகம்
1 2
这两个随机试验 的样本空间Ω,都是欧氏空间的 一个区域, 样本点落在区域内的每一点的机会 都 均等. 设区域 A , 如果样本点落在A中, A 就说事件A发生了. “机会均等” 的确切含义是: 点落在A中的可能性的大小 P ( A) 与A的面积 S ( A) 成正比, 而与A的位置形状无关. 1 P ( A) t S ( A ) 由 1 P ( ) t S ( ) t
(4,1),..,(4,6), (5,1),..,(5,6), (6,1), ..,(6, 6)
共有36个样本点. A (2,6) ,(3,5) ,(4,4) ,(5,3) ,(6,2)
B (1,1),...,(1,6), (3,1),...,(3,6), (5,1),...,(5,6) P A 5 P B 18 0.5 36 36
加法原理: 如果完成某件事有 k 种方式,第一种方式中有n1
个方法,第二种方式中有n2个方法, ... 第 k 种方式 中有nk个方法,不论用哪一种方式中的哪一个方法, 都能达到完成该事件的目的,那么完成这件事共有
n1 n2 ... nk 种不同的方法.
n1 n2
nk
2.乘法原理 例 从甲地到丙地,必须经过乙地,甲地到乙地的 交通线路有铁路、 公路和水路;从乙地到丙地的 交通线路只有公路和水路.一旅客从甲地经过乙地 到丙地,有几种不同的途径? 甲 乙 丙 解 有 3 2 6 种 乘法原理: 如果完成某件事分k个步骤,第一步有n1种方法, ...,第k步有nk种方法,各个步骤 第二步有n2种方法, 依次连续完成,该事件才算完成, 则完成这件事共有 n1n2 ...nk 种不同的方法. nk n n
P ( B1 )
602
0.36
100
2
P ( B2 )
302
0.09
1002
2 10 P ( B3 ) 2
100
0.01
由概率的可加性，得 3 P ( B ) P ( Ai ) 0.36 0.09 0.01 0.46
i 1
例 假设有100件产品，其中有60件一等品，30件 二等品，10件三等品，如果随机地抽取一件， 连续两次，分有放回和无放回，求两次取到 的产品等级相同的概率。 解： 设事件Bi " 取到两个 i 等品"，i 1, 2, 3. 事件B " 取到两个 等级相同" , 显然 B1 , B2 , B3 互不相容，且 B B1 B2 B3 2.不重复抽样(无放回)
n! (1) A “指定的n间房中 各有一人.” P A N n A中包含的基本事件数为 n !
(2) B “每个房间最多一人.”
解
n N N N ... N 总的分法有
...
n N ( N 1)( N 2)...( N n 1) PN ******** P B n N Nn
5 C 92
C
5 100
4 1 C 92 C8
C
5 100
0.95
P ( B ) P ( A) 1 P ( A) 0.05
例 箱中有m个白球, n个黑球,从中任取 p q 个,
( p m , q n) 求取到的球中恰有 p 个白球,q 个黑球
的概率.
pq 解 基本事件总数为 C m n
29 30 29 60 59 59 10 9 P ( B3 ) P ( B1 ) P ( B ) 2 100 99 165 100 99 330 100 99 1 由概率的可加性，得 110
59 29 1 5 P ( B ) P ( Ai ) 165 330 110 11 i 1