波函数补充习题
第三、四章补充习题
第三章 化学反应速率一、选择题1. 反应 A 2 + 2B →2D 的速率方程式为υ= k c (A 2) c 2(B)，则该反应（ ）。
（A ）一定是基元反应 （B ）一定是非基元反应（C ）不能确定是否基元反应 （D ）反应为二级反应2. 某化学反应进行20min ，反应完成40%，进行50min 反应完成100%，则该反应是（ ）。
（A ）零级反应 （B ）一级反应 （C ）二级反应 （D ）三级反应3. 质量作用定律适用于（ ）。
（A ）任意反应 （B ）复杂反应 （C ）基元反应 （D ）吸热反应 4. 某反应的速率常数k = 1.48×10-2 L ·mol -1·s -1，则该反应级数为（ ）。
（A ）0级 （B ）一级 （C ） 二级 （D ） 三级5. 反应A (g) + 2B(g) →2D(g)的速率方程为υ= k c (A) c 2(B)，若使密闭的反应容器体积增大一倍，则反应速率为原来的（ ）。
（A ）8倍 （B ）6倍 （C ）18倍 （D ）16倍6. 反应A(g)+ B 2(g)→AB 2(g)，r m 0H ΘΔ<，欲增大正反应速率，下列操作无用的是( )。
（A ）增加B 2的分压 （B ）加入催化剂（C ）升高温度 （D ）减小AB 2的分压 7. 升高温度可以增大反应速率，其主要原因是（ ）。
（A ）活化分子百分数增大 （B ）反应的活化能降低（C ）反应的摩尔吉布斯自由能减小 （D ）反应的速率常数减小 8. 关于化学反应速率，下列叙述正确的是（ ）。
（A ）反应的r m G ΘΔ越小，反应速率越快 （B ）反应的r mH ΘΔ越小，反应速率越快 (C) 反应的E a 越小，反应速率越快 (D) 反应的r m S ΘΔ越小，反应速率越快 9. 在恒温下反应物浓度增大，反应速率加快的原因是（ ）。
（A ）反应的速率常数增大 （B ）反应的活化能增大 （C ）活化分子百分数增大 （D ）活化分子的数目增多10. 有两个相同类型的基元反应，均为A + B = D 2型。
(优选)固体物理习题
b
mω2
b2
x2
i
e
2π a
x
dx
4b b 2
2 1 4b
b mω2 b 2
b2 x2 cos π x dx 2b
8mω2b2 π3
第二禁带宽度为
Eg2 2V2
21 a
a2
V
a 2
i 4π x
x e a dx
2 1
b
mω2
b2
x2
i π
eb
x
dx
4b b 2
2 1 4b
1
eα x ,α为正的常数。
α
（1）试写出该晶体的紧束缚近似波函数；
（2）证明上面写出的紧束缚近似波函数具有布洛赫波函数 的性质；
（3）对比说明孤立原子的电子和晶体中的电子的波函数及 能量的特征。
解：（1）按紧束缚近似，三维晶体电子的波函数为
ψat k,r
1 N
e ikRl aαt
ห้องสมุดไป่ตู้Rl
k Rl
能带中的能量取最小值
Emin E0 A 8J
当 kx 1 a ,k y 1 a ,kz 1 a 时，
能量取最大值
Emax E0 A 8J
因而能带的宽度为
ΔE Emax Emin 16J
5.5由N格原子组成的三维晶体（简单晶格),其孤立原子中的
电子基态波函数为at x
V(x) 解：
x
O
a
2a
3a
如图所示，由于势能具有周期性，因此只在一个周期内求平均
即可，于是得
V 1 a 2 V xdx 1 2b V xdx
a a 2
4b 2b
1 b 1mω2 b2 x2 dx 4b b 2
习题-量子力学
2
me e 4 E(a0 ) 2 2 E1 2(4π 0 )
6、求氢原子处于基态时 ，电子离核的平均距离 r 及 库仑势能的平均值。
解： r1 r R10
0 2 3 3 r 2 r / a0 2 r dr 3 4 e dr a 0 2 a 0 0
2 2 ( 2) r dr sin dd 所求 0
2、设一维运动的粒子在 ( x) Axe x ( x 0)， ( x) 0( x 0) 的状态，其中 0，求： (1)归一化因子； (2)粒子的概率密度分布； (3)在何处找到粒子的概率 最大; (4) x和x 2的平均值。
2 A 解：(1) ( x) 2 dx 1 A 2 x 2 e 2 x dx 查积分表，上述积分 3 4 0
A2 3 1 归一化因子为 A 2 3 4
( 2) ( x ) 43 x 2e 2x ( x 0)
2 2
(3)
d ( x)
0
3、粒子在一维无限深势 阱中运动，能量量子数 为n，求：
（ 1 ）距势阱内壁四分之一 宽度以内发现粒子的概 率；
（2）n为何值时，上述的概率 最大；
(1) P n ( x) dx 解： 1/ 4
2 0 a/4 a/4
（3）n 时，该概率的极限如何 及物理意义。
3a / 4
2
( x) 0
2
( x 0)
3 3 2 x
dx x 0或x 1 /
0
3 ( 4) x ( x) xdx 4 x e dx 2 0 2 2 3 2 3 4 2 x x ( x) x dx 4 x e dx 2
结构第一章练习
结构化学第一章练习题一、判断正误1.( ) “波函数本身是连续的，由它推求的体系力学量也是连续的。
”是否正确2.( ) “波函数平方有物理意义， 但波函数本身是没有物理意义的”。
3.( ) 任何波函数ψ (x ， y ， z ， t )都能变量分离成ψ (x ， y ， z )与ψ (t )的乘积，对否？4.( ) 下列说法对否:”ψ=cos x ， p x 有确定值， p 2x 没有确定值，只有平均值。
”5.( ) 一维势箱中的粒子，势箱长度为l ， 基态时粒子出现在x =l /2处的概率密度最小。
二、选择1. 下列算符哪些可以对易：(A) x ˆ 和 y ˆ (B) x∂∂ 和y ∂∂ (C) p ˆx 和x ˆ (D) p ˆx 和y ˆ 2. 任一自由的实物粒子，其波长为λ，今欲求其能量，须用下列哪个公式 ( ) (A) λch E = (B) 222λm h E = (C) 2) 25.12 (λe E = (D) A ，B ，C 都可以 3. 下列算符中，哪些不是线性算符( )A) ∇2 B) d dx C) 3 D) xy 4. 首先提出能量量子化假定的科学家是：( )(A) Einstein (B) Bohr(C) Schrodinger (D) Planck5. 立方势箱中的粒子，具有E =22812ma h 的状态的量子数。
n x n y n z 是( ) (A) 2 1 1 (B) 2 3 1 (C) 2 2 2 (D) 2 1 36. 在一立方势箱中，2247ml h E ≤的能级数和状态数分别是(势箱宽度为l ， 粒子质量为m )：--------( )(A) 5，11 (B) 6，17 (C) 6，6 (D) 5，14 (E) 6，147. 一个在一维势箱中运动的粒子，(1) 其能量随着量子数n的增大：( )(A) 越来越小 (B) 越来越大 (C) 不变(2) 其能级差E n+1-E n随着势箱长度的增大： ( )(A) 越来越小 (B) 越来越大 (C) 不变8. 首先提出微观粒子的运动满足测不准原理的科学家是：( )(A) 薛定谔 (B) 狄拉克(C) 海森堡 (D) 波恩9. 下列哪几点是属于量子力学的基本假设(多重选择)：(A) 电子自旋(保里原理)(B) 微观粒子运动的可测量的物理量可用线性厄米算符表征(C) 描写微观粒子运动的波函数必须是正交归一化的(D) 微观体系的力学量总是测不准的，所以满足测不准原理10. 描述微观粒子体系运动的薛定谔方程是：.(A) 由经典的驻波方程推得(B) 由光的电磁波方程推得(C) 由经典的弦振动方程导出(D) 量子力学的一个基本假设三、简答1. 作为合理波函数的条件是什么?2. 写出联系实物微粒波动性和粒子性的关系式。
量子力学练习题
量子力学练习题随着科学技术的不断进步，量子力学作为近代物理学的基石，在我们生活中扮演着越来越重要的角色。
量子力学的概念和理论模型不仅用于解释微观世界的现象，还应用于信息处理、材料科学等领域。
为了加深对量子力学的理解，本文将为读者提供一些量子力学练习题，请认真思考并尽力解答。
题目一：平面上的单粒子态考虑一个二维平面上的单粒子，其波函数为Ψ(x, y)。
假设该波函数可以展开为以下形式：Ψ(x, y) = A(xe^(-λx) + ye^(-λy))其中，A和λ均为实常数。
1. 请计算波函数Ψ(x, y)的归一化常数A。
2. 求解波函数Ψ(x, y)对应的概率密度函数|Ψ(x, y)|^2。
3. 计算算符x和y对该波函数的期望值<x>和<y>。
题目二：自旋1/2粒子的测量考虑一个自旋1/2粒子，其自旋算符的本征态为|+⟩和|-⟩，对应自旋向上和向下的状态。
现在进行如下测量：1. 如果对该粒子的自旋以z方向为测量方向，求测量得到自旋向上状态的概率。
2. 假设在z方向上测量得到自旋向上状态后，立即进行对z方向自旋的再次测量，求再次测量得到自旋向上状态的概率。
3. 如果对该粒子的自旋以任意方向为测量方向，求测量得到自旋向上状态的概率。
题目三：简谐振子的能量本征态考虑一个一维简谐振子，其能量本征态可由波函数Ψ_n(x)表示，n 为非负整数。
波函数Ψ_n(x)的表达式为：Ψ_n(x) = N_n H_n(x) e^(-x^2/2)其中，N_n为归一化常数，H_n(x)为Hermite多项式。
1. 请计算波函数Ψ_0(x)的归一化常数N_0。
2. 求解波函数Ψ_1(x)对应的薛定谔方程解，并给出其归一化常数N_1。
3. 计算简谐振子的能量本征值E_n，其中n = 0, 1, 2。
题目四：双缝干涉实验考虑一个双缝干涉实验，光源发射频率为f，波速为v。
光通过双缝后形成干涉条纹，条纹之间的间距为d。
量子力学习题集 NJU
∂x
因此，
∫
+∞
dxj(x) =
1
∫
+∞ dxψ∗(x, t)(−ih¯ ∂
)ψ(x, t) = ⟨pˆ⟩ .
−∞
m −∞
∂x
m
3. 设一维自由运动粒子（能量的本征态为平面波）的初态（t = 0）为ψ(x, 0) = δ(x)，
求ψ(x, t)。
【提示：∫ +∞
−∞
dx
cos(αx2)
=
∫ +∞
−∞
(k + k′)2 2E − V0 + 2 E(E − V0)
T=
jt ji
=
ψt∗(x)pˆψt(x) − ψt(x)pˆψt∗(x) ψi∗(x)pˆψi(x)√− ψi(x)pˆψi∗(x)
ห้องสมุดไป่ตู้
4kk′
=
=
4 E(E√− V0)
.
(k + k′)2 2E − V0 + 2 E(E − V0)
7. 质量为m的粒子在如下一维势场中运动， ∞,
]
4. 设粒子处于二维无限深势井中， 0,
V (x) = ∞,
0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b; 其它情况.
求粒子的能量本征值和本征函数，并讨论简并性。
参考答案：由于势阱无限深，在势阱外找到粒子的概率应该为零，因此势阱外的波函数为
ψ(x, y) = 0.
在势井内部，定态薛定谔方程为
− h¯2 ∇2ψ(x, y) 2µ
∫ A2
0
∞ e−x(1−e−x)pˆ[e−x(1 − e−x)] dx
∫ = A2
12
∞
(
第二章-波函数与薛定谔方程-习题答案
第二章 波函数与薛定谔方程 1．计算n=4时，所对应经典线性振子的振幅4A =？[解]：由线性谐振子能量公式 1()2E w n =+α=4n =时，2q E w ∴=又2212E w A μ=A A x ∴===即振幅4A =2. 证明在定态中，几率流密度与时间无关2 **()()() () ()，iEtr t r f t r e iJ mψψ-ψ===ψ∇ψ-ψ∇ψ22**** [()()()()] [()()()()]（）（）i i i i Et Et Et Et i r e r e r e r e m ir r r r mψψψψψψψψ----=∇-∇=∇-∇可见t J 与无关。
3. 由下列两定态波函数计算几率流密度ikr ikr e re r -==1)2( 1)1(21ψψ 从所得结果说明ψ1表示向外传播的球面波，ψ1表示向内（即向原点）传播的球面波。
解：分量只有和r J J 21在球坐标中ϕθθϕθ∂∂+∂∂+∂∂=∇sin r 1e r 1e r r 0**111110(1) ()21111 [()()]2ikr ikr ikr ikriJ mi e e e e r m r r r r r rψψψψ--=∇-∇∂∂=-∂∂022023111111[()()]2 i ik ik r m r r r r r rk kr r mr mr=----+==r J 1与同向。
表示向外传播的球面波。
rmrk r mr k r )]r 1ik r 1(r 1)r 1ik r 1(r 1[m 2i r )]e r 1(r e r 1)e r 1(r e r 1[m 2i )(m2i J )2(3020220ikr ikr ikr ikr *2*222-=-=---+-=∂∂-∂∂=∇-∇=--ψψψψ可见，r J与2反向。
表示向内(即向原点) 传播的球面波。
4．求自由粒子的几率流密度J =？[解]自由粒子波函数()()iEx v Ax r e-=2*()()ii Et EtA x r x r ee--∇2*2*[()()()()]2iA x r x r A x r x r M=∇-∇ 对于自由粒子 ()i p rx r e ⋅= ()ip rix r pe⋅∇=*()i p rx r e-⋅=*()i p rix r pe-⋅∇=-22[()]2i i J A P x r M∴=- 5． 下列波函数中，哪些是定态？哪些是非定态？]（1）1()()()i i ix ETix ETx x xt u eU x e ---=+（2）122()()()i i E T E Thx x xt u e u x e--=+ 12()E E ≠（3）3()()i iETETx x xt u eu x e-=+[解]：（1）是定态，（2）（3）是非定态。
量子力学练习八：题+答案
量子力学练习八：题+答案班级 姓名 学号1．对于考虑自旋态系统，一般用旋量波函数来描述，()()(),/2,,/2z r r s r ψψψ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则()2,/2r ψ的物理意义为 电子自旋向上()/2z s = ，位置在r处的几率密度 。
2．在ˆz s表象中，表示自旋向上的态α＝ ，对应的本征值为 ，对应的量子数s m = ，ˆx sα= ，ˆy s α= 。
10⎛⎫ ⎪⎝⎭2 12 2β 2i β3．由于自旋在空间任何方向的投影只取/2± ，因此222ˆˆˆx y z s s s== 2/4 。
4．Pauli 矩阵σ满足反对易关系，写出三个分量的反对易关系式为， ， 。
0x y y x σσσσ+= 0x z z xσσσσ+= 0y z z yσσσσ+=5．两个电子组成体系的自旋态要涉及自旋的相互作用，设两个电子的自旋为1ˆs 和2ˆs ，则自旋之和为ˆs ＝1ˆs＋2ˆs，为了求解问题，常选两种表象，非耦合表象中力学量完全集为 ，对应的本征态共有4个，分别为 ， ， ，。
而在耦合表象中力学量完全集为 ，对于自旋单态，量子数s = ，量子数s m = ，对应的波函数为 。
()12ˆˆ,z z s s ()()11αβ ()()12αα ()()11ββ ()()12βα ()2ˆ,zs s 6．（1）在z σ表象中，求x σ的本征态。
（2）求z σ表象到x σ表象的变换矩阵S（3）计算1x S S σ- 解：（1）在z σ表象中，0110x σ⎛⎫=⎪⎝⎭其本征方程为 0110101a a ab b b λλλ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⇒=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭有非零解的条件为1011λλλ-= ⇒ =±-当1λ=时，则01a b a b -=⇒==111φ⎫=⎪⎭当1λ=-时，则01a b a b +=⇒=-=111φ-⎛⎫=⎪-⎭（2）z σ（11φφ-⎛⎫⎪⎝⎭基矢为：）表象到xσ（111110,01φφφφ--'⎛⎫⎛⎫⎛⎫''== ⎪ ⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭基矢为：，）表象的变换矩阵为1111111111,,,11S S S S φφφφφφφφ+----''⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪''-⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以 （3）11101111011101101x s s σ-⎫⎛⎫⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎪ ⎪---⎭⎝⎭⎭⎝⎭ 7．（1）在z σ表象中，求n σ的本征态，已知sin cos sin sin cos x y z x x y y z z n e e e n e n e n e θϕθϕθ=++=++（2）在ˆz s本征态1/2χ下，求n σ的可能测值及相应的几率。
波函数补充习题
n2
i
n3
图
1
波函数习题
• 如图所示，一束振动方向垂直于入射面的简谐平面 波Ei以入射角 θi射向折射率分别为n1和 n2两种均匀 各向同性介质的界面。设入射面为（x, y）坐标平面， 入射波Ei的振幅E0 = 10(v/m)，光波长λ=0.5*10-6(m)， 在O点的初位相 φ0 = 0，入射角 θ i= 60， n1 = 1 ， n2 =1.732。
•
波函数习题
• 已知一个复杂波的复振幅 2 E ( x ) sin( 2 x ) sin (2x) ，将其分解为 为 一系列简谐平面波的线性叠加。给出各个 简谐平面波成分的振幅、空间频率和初位 相。
波函数习题
• 一束自然光以入射角θi 从折射率为n1媒质射向 折射率为n1和n2的两种 媒质界面(n1 n2)，试 从振幅、位相和偏振态 几个方面定性地描述当 入射角从0˚变化到90˚ 时，反射波相对于入射 波的变化。
Hale Waihona Puke 波函数习题• 在( x, y, z )的直角坐标系中一个三维简谐 平面波的复振幅为：
3 E ( x, y, z ) j 2exp j 2 10 ( x y 2 z )
其中x，y，z的单位为(mm)。 (1)求平面波的振幅E0，原点处的初相位φ0及 光波波长λ； (2)求此平面波沿( x, y, z )坐标轴的空间频率 ( fx, fy, fz )，以及波矢k的方向角( α, β, γ )； (3)定量分析此平面波由z = 0平面传播到z = d 平面时，其复振幅有何变化？
波函数习题
• 一个三维简谐平面波在折射率 n = 1.2的均匀透 明媒质中传播，已知波的振幅为E0，媒质中的波 长 λ=0.5*10-6(m) ，波矢k垂直于y轴，且与z轴的 夹角 θ = 30 ，初位相 φ0 = ，光波在真空中速 度 c=3*108(m/s) 。
补充习题——精选推荐
补充习题补充习题第⼀章1. 若⾃变量x的取值范围是[0, 2p]，函数是否满⾜合格波函数的条件？将该函数归⼀化，求出常数A。
2. 求出Li2+离⼦处于波函数为的状态，该状态的能量，并回答该状态的简并度是⼏？⾓动量是多少？有⼏个⾓度节⾯，⼏个径向节⾯？画出该波函数的径向分布及⾓度分布⽰意图。
3. 写出B4+离⼦a.u.单位中的薛定谔⽅程，并求出在a.u.单位中该离⼦状态的能量及⾓动量；若B+离⼦的电⼦处于基态，写出B+离⼦的Slater⾏列式。
若B3+离⼦的电离能为192eV，试求B3+离⼦中两个电⼦之间的排斥能。
4. 将球谐函数的波函数及电⼦云分布⽰意图画在同⼀幅图中，并求出该函数⾓动量与Z轴之间的夹⾓。
5. 碳原⼦的基态电⼦排布是，其微观状态有多少个？求出该电⼦排布所有的光谱项，并求出其基谱⽀项。
6. 描述多电⼦原⼦⼀个微观状态需要哪⼏个量⼦数？原⼦的电⼦组态分裂成不同光谱项的原因是什么？光谱项分裂成不同光谱⽀项是什么作⽤造成的？光谱⽀项包含多少个微观状态？下列光谱⽀项之间的跃迁哪些是允许的？(a) ; (b) ; (c) ; (d) ; (e) 。
7. 单个电⼦的⾃旋量⼦数是多少？其⾃旋⾓动量是多少？⾃旋⾓动量与Z轴的夹⾓是多少？若电⼦的⾃旋量⼦数是，⼀个⾓量⼦数为l的亚层上最多可以填充多少个电⼦？8. 下列每⼀种情况中, 状态的简并度分别是多少？(a)氢原⼦主量⼦数为n的壳层；(b)氧原⼦主量⼦数为n和l的⽀壳层；(c)⽴⽅势箱(⽴⽅势箱的边长为a)中能量为的能级；(d)苯分⼦的HOMO。
第⼆章1. 试确定下列分⼦所属点群：CH4, NH3, NH2F, H2C=C=CH2, SF6, P4, 苯分⼦, 萘分⼦, C60, 全重叠式⼄烷，全交错式⼄烷，椅式环⼰烷。
2. 写出环丁⼆烯的休克尔⾏列式，并求出其p分⼦轨道的能量及该分⼦的p电⼦离域能。
3. 在XY平⾯上的三个等性sp2杂化轨道,⼀个极⼤值在X坐标轴上, 试求出这三个杂化轨道波函数的具体形式.4. 试画出环丙烯基正离⼦的分⼦图。
第四章习题及小结
b
2
−i
2π x a
dx
1 mW 2 2 π 2 =2 ∫b 2 [b − x ]cos 2b x dx 4b − = 8mW 2b 2
π3
4π x −i 1 a = 2 V2 = 2 ∫ V ( x 2
Eg 2
1 mW =2 [b 2 − x 2 ]e ∫ 4b −b 2
= −∫ ϕ a ( x − n′a)[−∑ Aδ ( x − na) + Aδ ( x − n′a)]ϕa ( x − n′a)dx = −∫ ϕ a ( x − n′a)[− ∑ Aδ ( x − na) +]ϕa ( x − n′a)dx
* Na n ≠ n′
根据 δ 函数的性质，上式的值为0。而积分
能带底即
Es (k ) 的最小值对应的k为 ( 0, 0, 0 ) 可得在能带低的有效质量为
η2 η2 * mxx = 2 = ∂ E 2 J 1a 2 ∂k 2 xx k
i =0
m* = yy
* mzz =
η2
2 J 1a 2
η2
2 J 1a 2
其它交叉项的倒数全部为0。
试画出此晶体的第一、第二、第三布里渊区。
解： 取单位矢量
→
k
垂直于
→
i
和
→
j
则a1 、 2 和 k a
→
→
→
构成的体积为 Ω＝ 3 a 2
2
所以倒格子原胞的基失为
2π (a2 × k ) 2π → 2π → b1 = = i+ j Ω a 3a → 2π (k × a1 ) 2π → 2π → b2 = =− i+ j Ω a 3a 2π 可见倒格子原胞基矢的夹角是 3
结构化学第一章习题
《结构化学》第一章习题1001首先提出能量量子化假定的科学家是：---------------------------( ) (A) Einstein (B) Bohr (C) Schrodinger (D) Planck 1002光波粒二象性的关系式为_______________________________________。
1003 德布罗意关系式为____________________；宏观物体的λ值比微观物体的λ值_______________。
1004在电子衍射实验中，│ψ│2对一个电子来说，代表___________________。
1005求德布罗意波长为0.1 nm 的电子的动量和动能。
1006波长λ=400 nm 的光照射到金属铯上，计算金属铯所放出的光电子的速率。
已知铯的临阈波长为600nm 。
1007光电池阴极钾表面的功函数是2.26 eV 。
当波长为350 nm 的光照到电池时，发射的电子最大速率是多少？(1 eV=1.602×10-19J ， 电子质量m e =9.109×10-31 kg) 1008计算电子在10 kV 电压加速下运动的波长。
1009任一自由的实物粒子，其波长为λ，今欲求其能量，须用下列哪个公式---------------( )(A)λchE = (B)222λm h E =(C) 2) 25.12 (λe E = (D) A ，B ，C 都可以1010对一个运动速率v<<c 的自由粒子，有人作了如下推导 ：mv v E v h hp mv 21=====νλA B C D E 结果得出211=的结论。
问错在何处？ 说明理由。
1011测不准关系是_____________________，它说明了_____________________。
1013测不准原理的另一种形式为ΔE ·Δt ≥h /2π。
量子力学补充习题
量子力学补充习题集物理系理论物理教研室2010年3月第一章 量子力学的实验基础1-1 求证：﹙1﹚当波长较短(频率较高)。
温度较低时，普朗克公式简化为维恩公式；﹙2﹚当波长较长(频率较低)，温度较高时，普朗克公式简化为瑞利—金斯公式。
1-2 单位时间内太阳辐射到地球上每单位面积的能量为1324J.m -2.s -1，假设太阳平均辐射波长是5500A，问这相当于多少光子？1-3 一个质点弹性系统，质量m=1.0kg ，弹性系数k=20N.m -1。
这系统的振幅为0.01m 。
若此系统遵从普朗克量子化条件，问量子数n 为何？若n 变为n +1，则能量改变的百分比有多大？1-4 用波长为2790A和2450A 的光照射某金属的表面，遏止电势差分别为0.66v 与1.26v 。
设电子电荷及光速均已知，试确定普朗克常数的数值和此金属的脱出功。
1-5 从铝中移出一个电子需要4.2ev 能量，今有波长为2000A 的光投射到铝表面，试问：（1）由此发射出来的光电子的最大动能是多少？（2）铝的红限波长是多少？1-6 康普顿实验得到，当x 光被氢元素中的电子散射后，其波长要发生改变，令λ为x 光原来的波长，λ'为散射后的波长。
试用光量子假说推出其波长改变量与散射角的关系为2sin 42θπλλλmc =-'=∆ 其中m 为电子质量，θ为散射光子动量与入射方向的夹角（散射角）1-7 根据相对论，能量守恒定律及动量守恒定律，讨论光子与电子之间的碰撞：（1）证明处于静止的自由电子是不能吸收光子的；（2）证明处于运动状态的自由电子也是不能吸收光子的。
1-8 能量为15ev 的光子被氢原子中处于第一玻尔轨道的电子吸收而形成一光电子。
问此光电子远离质子时的速度为多大？它的德布罗意波长是多少？1-9 两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对，如果两个光子的能量相等，问要实现这种转化光子的波长最大是多少？1-10 试证明在椭圆轨道情况下，德布罗意波长在电子轨道上波长的数目等于整数。
基本习题及答案_量子力学
量子力学习题(一) 单项选择题1.能量为100ev 的自由电子的De Broglie 波长是 A. 1.2A 0. B. 1.5A 0. C.2.1A 0. D. 2.5A 0.2. 能量为0.1ev 的自由中子的De Broglie 波长是 A.1.3A 0. B. 0.9A 0. C. 0.5A 0. D. 1.8A 0.3. 能量为0.1ev ，质量为1g 的质点的De Broglie 波长是 A.1.4A 0. B.1.9⨯1012-A 0.C.1.17⨯1012-A 0. D. 2.0A 0.4.温度T=1k 时，具有动能E k T B =32(k B 为Boltzeman 常数)的氦原子的De Broglie 波长是A.8A 0. B. 5.6A 0. C. 10A 0. D. 12.6A 0.5.用Bohr-Sommerfeld 的量子化条件得到的一维谐振子的能量为（ ,2,1,0=n ）A.E n n = ω.B.E n n =+()12ω.C.E n n =+()1 ω.D.E n n =2 ω.6.在0k 附近，钠的价电子的能量为3ev ，其De Broglie 波长是 A.5.2A 0. B. 7.1A 0. C. 8.4A 0. D. 9.4A 0.7.钾的脱出功是2ev ，当波长为3500A 0的紫外线照射到钾金属表面时，光电子的最大能量为A. 0.25⨯1018-J.B. 1.25⨯1018-J.C. 0.25⨯1016-J.D. 1.25⨯1016-J.8.当氢原子放出一个具有频率ω的光子，反冲时由于它把能量传递给原子而产生的频率改变为A. 2μc .B.22μc . C. 222μc . D. 22μc . pton 效应证实了A.电子具有波动性.B. 光具有波动性.C.光具有粒子性.D. 电子具有粒子性. 10.Davisson 和Germer 的实验证实了 A. 电子具有波动性. B. 光具有波动性. C. 光具有粒子性. D. 电子具有粒子性.11.粒子在一维无限深势阱U x x ax x a (),,,=<<∞≤≥⎧⎨⎩000 中运动，设粒子的状态由ψπ()sin x C xa= 描写，其归一化常数C 为A.1a .B.2a .C.12a .D.4a.12. 设ψδ()()x x =，在dx x x +-范围内找到粒子的几率为A.δ()x .B.δ()x dx .C.δ2()x .D.δ2()x dx .13. 设粒子的波函数为 ψ(,,)x y z ，在dx x x +-范围内找到粒子的几率为A.ψ(,,)x y z dxdydz 2.B.ψ(,,)x y z dx 2. C.dx dydz z y x )),,((2⎰⎰ψ. D.dx dy dz x yz ψ(,)⎰⎰⎰2.14.设ψ1()x 和ψ2()x 分别表示粒子的两个可能运动状态，则它们线性迭加的态c x c x 1122ψψ()()+的几率分布为 A.c c 112222ψψ+.B. c c 112222ψψ++2*121ψψc c .C. c c 112222ψψ++2*1212ψψc c .D. c c 112222ψψ++c c c c 12121212****ψψψψ+. 15.波函数应满足的标准条件是A.单值、正交、连续.B.归一、正交、完全性.C.连续、有限、完全性.D.单值、连续、有限. 16.有关微观实物粒子的波粒二象性的正确表述是A.波动性是由于大量的微粒分布于空间而形成的疏密波.B.微粒被看成在三维空间连续分布的某种波包.C.单个微观粒子具有波动性和粒子性.D. A, B, C. 17.已知波函数ψ1=-+u x i Et u x iEt ()exp()()exp() ,ψ21122=-+u x i E t u x iE t ()exp()()exp() ,ψ312=-+-u x i Et u x iEt ()exp()()exp() ,ψ41122=-+-u x i E t u x iE t ()exp()()exp().其中定态波函数是A.ψ2.B.ψ1和ψ2.C.ψ3.D.ψ3和ψ4. 18.若波函数ψ(,)x t 归一化，则A.ψ(,)exp()x t i θ和ψ(,)exp()x t i -δ都是归一化的波函数.B.ψ(,)exp()x t i θ是归一化的波函数，而ψ(,)exp()x t i -δ不是归一化的波函数.C.ψ(,)exp()x t i θ不是归一化的波函数，而ψ(,)exp()x t i -δ是归一化的波函数.D.ψ(,)exp()x t i θ和ψ(,)exp()x t i -δ都不是归一化的波函数.(其中θδ,为任意实数)19.波函数ψ1、ψψ21=c (c 为任意常数)， A.ψ1与ψψ21=c 描写粒子的状态不同.B.ψ1与ψψ21=c 所描写的粒子在空间各点出现的几率的比是1: c .C.ψ1与ψψ21=c 所描写的粒子在空间各点出现的几率的比是2:1c . D.ψ1与ψψ21=c 描写粒子的状态相同.20.波函数ψ(,)(,)exp()x t c p t ipx dp =⎰12π的傅里叶变换式是A. c p t x t ipx dx (,)(,)exp()=⎰12π ψ. B. c p t x t i px dx (,)(,)exp()*=⎰12πψ. C. c p t x t ipx dx (,)(,)exp()=-⎰12πψ. D. c p t x t i px dx (,)(,)exp()*=-⎰12πψ. 21.量子力学运动方程的建立,需满足一定的条件:(1)方程中仅含有波函数关于时间的一阶导数. (2)方程中仅含有波函数关于时间的二阶以下的导数.(3)方程中关于波函数对空间坐标的导数应为线性的. (4) 方程中关于波函数对时间坐标的导数应为线性的.(5) 方程中不能含有决定体系状态的具体参量. (6) 方程中可以含有决定体系状态的能量. 则方程应满足的条件是 A. (1)、(3)和(6). B. (2)、(3)、(4)和(5). C. (1)、(3)、(4)和(5). D.(2)、(3)、(4)、(5)和(6). 22.两个粒子的薛定谔方程是A.∑=ψ∇=ψ21212221),,(2),,(i i t r r t r r t iμ∂∂),,(),,(2121t r r t r r U ψ+B.∑=ψ∇=ψ21212221),,(2),,(i i t r r t r r tμ∂∂),,(),,(2121t r r t r r Uψ+C. ∑=ψ∇=ψ21212221),,(2),,(i i it r r t r r t μ∂∂),,(),,(2121t r r t r r U ψ+D.∑=ψ∇=ψ21212221),,(2),,(i i it r r t r r t i μ∂∂),,(),,(2121t r r t r r Uψ+23.几率流密度矢量的表达式为A.J =∇ψ-2μ()**ψψ∇ψ. B.J i =∇ψ-2μ()**ψψ∇ψ. C.J i =-∇ψ2μ()**ψ∇ψψ. D.J =-∇ψ2μ()**ψ∇ψψ. 24.质量流密度矢量的表达式为A.J =∇ψ-2()**ψψ∇ψ.B.J i =∇ψ-2()**ψψ∇ψ.C. J i =-∇ψ2()**ψ∇ψψ.D.J =-∇ψ2()**ψ∇ψψ.25. 电流密度矢量的表达式为A. J q =∇ψ-2μ()**ψψ∇ψ.B. J iq =∇ψ-2μ()**ψψ∇ψ.C. J iq =-∇ψ2μ()**ψ∇ψψ.D. J q =-∇ψ2μ()**ψ∇ψψ.26.下列哪种论述不是定态的特点A.几率密度和几率流密度矢量都不随时间变化.B.几率流密度矢量不随时间变化.C.任何力学量的平均值都不随时间变化.D.定态波函数描述的体系一定具有确定的能量.27.在一维无限深势阱U x x ax a(),,=<∞≥⎧⎨⎩022中运动的质量为μ的粒子的能级为A.πμ22224 n a ,B.πμ22228 n a ,C.πμ222216 n a ,D.πμ222232 n a. 28. 在一维无限深势阱U x x a x a(),,=<∞≥⎧⎨⎩0中运动的质量为μ的粒子的能级为A.πμ22222 n a , B.πμ22224 n a , C.πμ22228 n a , D.πμ222216 n a . 29. 在一维无限深势阱U x x b x b (),/,/=<∞≥⎧⎨⎩022中运动的质量为μ的粒子的能级为A.πμ22222 n b ,B.πμ2222 n b , C.πμ22224 n b , D.πμ22228 n b . 30. 在一维无限深势阱U x x a x a (),,=<∞≥⎧⎨⎩0中运动的质量为μ的粒子处于基态，其位置几率分布最大处是A.x =0,B.x a =,C.x a =-,D.x a =2.31. 在一维无限深势阱U x x ax a (),,=<∞≥⎧⎨⎩0中运动的质量为μ的粒子处于第一激发态，其位置几率分布最大处是A.x a =±/2,B.x a =±,C.x =0,D.4/a x ±=. 32.在一维无限深势阱中运动的粒子，其体系的 A.能量是量子化的，而动量是连续变化的. B.能量和动量都是量子化的.C.能量和动量都是连续变化的.D.能量连续变化而动量是量子化的. 33.线性谐振子的能级为A.(/),(,,,...)n n +=12123 ω.B.(),(,,,....)n n +=1012ω. C.(/),(,,,...)n n +=12012 ω. D.(),(,,,...)n n +=1123 ω. 34.线性谐振子的第一激发态的波函数为ψαα()exp()x N x x =-122122,其位置几率分布最大处为A.x =0.B.x =±μω. C.x =μω. D.x =±μω.35.线性谐振子的A.能量是量子化的,而动量是连续变化的.B.能量和动量都是量子化的.C.能量和动量都是连续变化的.D.能量连续变化而动量是量子化的. 36.线性谐振子的能量本征方程是A.[]-+= 222222212μμωψψd dx x E . B.[]--= 22222212μμωψψd dx x E . C.[] 22222212μμωψψd dx x E -=-. D.[] 222222212μμωψψd dx x E +=-. 37.氢原子的能级为A.- 2222e n s μ.B.-μ22222e n s .C.242ne sμ -. D. -μe n s 4222 . 38.在极坐标系下,氢原子体系在不同球壳内找到电子的几率为A.r r R nl )(2.B.22)(r r R nl .C.rdr r R nl )(2.D.dr r r R nl 22)(.39. 在极坐标系下,氢原子体系在不同方向上找到电子的几率为 A.),(ϕθlm Y . B. 2),(ϕθlm Y . C. Ωd Y lm ),(ϕθ. D. Ωd Y lm 2),(ϕθ.40.波函数ψ和φ是平方可积函数,则力学量算符 F为厄密算符的定义是 A.ψφτφψτ*** Fd F d =⎰⎰. B.ψφτφψτ**( )F d F d =⎰⎰. C.( ) **F d F d ψφτψφτ=⎰⎰.D. ***F d F d ψφτψφτ=⎰⎰. 41. F和 G 是厄密算符,则 A. FG必为厄密算符. B. FG GF -必为厄密算符. C.i FGGF ( )+必为厄密算符. D. i FGGF ( )-必为厄密算符. 42.已知算符 x x =和 pi xx =- ∂∂,则 A. x 和 p x 都是厄密算符. B. xp x 必是厄密算符. C. xp p x x x +必是厄密算符. D. xp p x x x -必是厄密算符.43.自由粒子的运动用平面波描写,则其能量的简并度为 A.1. B. 2. C. 3. D. 4.44.二维自由粒子波函数的归一化常数为(归到δ函数)A.1212/()/π .B.12/()π .C.1232/()/π .D.122/()π45.角动量Z 分量的归一化本征函数为A.12πϕ exp()im . B. )exp(21r k i ⋅π. C.12πϕexp()im . D. )exp(21r k i⋅π. 46.波函数)exp()(cos )1(),(ϕθϕθim P N Y m l lm m lm -=A. 是 L2的本征函数,不是 L z的本征函数. B. 不是 L 2的本征函数,是 L z 的本征函数. C. 是 L2、 L z的共同本征函数. D. 即不是 L 2的本征函数,也不是 L z的本征函数. 47.若不考虑电子的自旋,氢原子能级n=3的简并度为 A. 3. B. 6. C. 9. D. 12. 48.氢原子能级的特点是A.相邻两能级间距随量子数的增大而增大.B.能级的绝对值随量子数的增大而增大.C.能级随量子数的增大而减小.D.相邻两能级间距随量子数的增大而减小.49一粒子在中心力场中运动,其能级的简并度为n 2,这种性质是 A. 库仑场特有的. B.中心力场特有的. C.奏力场特有的. D.普遍具有的.50.对于氢原子体系,其径向几率分布函数为W r dr R r dr 323222()=,则其几率分布最大处对应于Bohr 原子模型中的圆轨道半径是 A.a 0. B. 40a . C. 90a . D. 160a .51.设体系处于ψ=--123231102111R Y R Y 状态,则该体系的能量取值及取值几率分别为A.E E 321434,;,.B.E E 321232,;,-.C.E E 321232,;,. D.E E 323414,;,.52.接51题,该体系的角动量的取值及相应几率分别为 A.21 , . B. ,1. C.212 ,. D.212 ,.53. 接51题,该体系的角动量Z 分量的取值及相应几率分别为A.01434,;,- .B. 01434,;, .C.01232,;, -. D. 01232,;,-- .54. 接51题,该体系的角动量Z 分量的平均值为A.14 .B. -14 .C. 34 .D. -34 .55. 接51题,该体系的能量的平均值为A.-μe s 4218 .B.-3128842μe s .C.-2925642μe s .D.-177242μe s.56.体系处于ψ=C kx cos 状态,则体系的动量取值为A. k k ,-.B. k .C. - k .D. 12k .57.接上题,体系的动量取值几率分别为A. 1,0.B. 1/2,1/2.C. 1/4,3/4/ .D. 1/3,2/3. 58.接56题, 体系的动量平均值为A.0.B. k .C. - k .D. 12k .59.一振子处于ψψψ=+c c 1133态中,则该振子能量取值分别为A.3252 ωω,.B. 1252 ωω,.C. 3272 ωω,.D. 1252ωω,.60.接上题,该振子的能量取值E E 13,的几率分别为A.2321,c c . B. 232121c c c +,232123c c c +.C.23211c c c +,23213c c c +. D. 31,c c .61.接59题,该振子的能量平均值为 A.ω 232123215321c c c c ++. B. 5 ω.C. 92 ω. D. ω 232123217321c c c c ++. 62.对易关系[ ,()]pf x x 等于(f x ()为x 的任意函数)A.i f x '().B.i f x ().C.-i f x '().D.-i f x ().63. 对易关系[ ,exp()]piy y 等于 A.)exp(iy . B. i iy exp().C.- exp()iy .D.-i iy exp().64.对易关系[, ]x px 等于 A.i . B. -i . C. . D. - .65. 对易关系[, ]L yx 等于 A.i z. B. z . C.-i z . D.- z . 66. 对易关系[, ]L zy 等于 A.-i x. B. i x . C. x . D.- x . 67. 对易关系[, ]L zz 等于 A.i x. B. i y . C. i . D. 0. 68. 对易关系[, ]x py 等于 A. . B. 0. C. i . D. - .69. 对易关系[ , ]pp y z 等于 A.0. B. i x . C. i p x . D. p x . 70. 对易关系[ , ]LL xz等于 A.i L y . B. -i L y . C. L y . D. - L y . 71. 对易关系[ , ]LL zy等于 A.i L x . B. -i L x . C. L x . D. - L x . 72. 对易关系[ , ]LL x2等于 A. L x . B. i L x . C. i L L z y ( )+. D. 0. 73. 对易关系[ , ]LL z2等于 A. L z . B. i L z . C. i L L x y( )+. D. 0. 74. 对易关系[, ]L px y 等于 A.i L z. B. -i L z . C. i p z . D. -i p z . 75. 对易关系[ , ]p L z x等于 A.-i py. B. i p y. C.-i L y . D. i L y. 76. 对易关系[ , ]L p zy 等于 A.-i p x . B. i p x . C. -i L x . D. i L x. 77.对易式[ , ]L x y等于 A.0. B. -i z . C. i z . D. 1. 78. 对易式[ , ]FF m n 等于(m,n 为任意正整数) A. Fm n +. B. F m n -. C. 0. D. F . 79.对易式[ , ]FG 等于 A. FG. B. GF . C. FG GF -. D. FG GF +. 80. .对易式[ ,]Fc 等于(c 为任意常数) A.cF. B. 0. C. c . D. F ˆ. 81.算符 F和 G 的对易关系为[ , ] F G ik =,则 F 、 G 的测不准关系是A.()()∆∆F G k 2224≥. B. ()()∆∆F G k 2224≥. C. ( )( )∆∆F G k 2224≥. D. ( )( )∆∆F G k 2224≥. 82.已知[ , ]xp i x = ,则 x 和 p x 的测不准关系是 A.( )( )∆∆x p x 222≥ . B. ( )( )∆∆x p 2224≥ .C. ( )( )∆∆x p x 222≥ . D. ( )( )∆∆x p x 2224≥ .83. 算符 L x 和 L y 的对易关系为[ , ] L L i L x y z = ,则 L x 、 L y的测不准关系是 A.( )( ) ∆∆L L L x y z 22224≥ .B.( )( ) ∆∆L L L x y 22224≥ . C.( )( ) ∆∆FG L z 22224≥ . D.( )( ) ∆∆FG L 22224≥ . 84.电子在库仑场中运动的能量本征方程是A.[]-∇+= 2222μψψze rE s.B. []-∇+= 22222μψψze r E s.C.[]-∇-= 2222μψψze rE s.D.[]-∇-= 22222μψψze rE s.85.类氢原子体系的能量是量子化的,其能量表达式为A.-μz e n s 22222. B. -μ224222z e n s .C.-μze n s 2222 .D. -μz e ns 24222 .86. 在一维无限深势阱U x x ax x a (),,,=<<∞≤≥⎧⎨⎩000中运动的质量μ为的粒子,其状态为ψππ=42aa x a x sin cos ,则在此态中体系能量的可测值为A.22222229,2a a μπμπ , B. πμπμ2222222 a a , ,C.323222222πμπμ a a ,,D.524222222πμπμ a a, . 87.接上题,能量可测值E 1、E 3出现的几率分别为 A.1/4,3/4. B. 3/4,1/4. C.1/2, 1/2. D. 0,1. 88.接86题,能量的平均值为A.52222πμ a ,B.2222πμ a ,C.72222πμ a ,D.5222πμ a. 89.若一算符 F的逆算符存在,则[ , ]F F -1等于 A. 1. B. 0. C. -1. D. 2.90.如果力学量算符 F和 G 满足对易关系[ , ]F G =0, 则 A. F和 G 一定存在共同本征函数,且在任何态中它们所代表的力学量可同时具有确定值. B. F和 G 一定存在共同本征函数,且在它们的本征态中它们所代表的力学量可同时具有确定值.C. F和 G 不一定存在共同本征函数,且在任何态中它们所代表的力学量不可能同时具有确定值.D. F和 G 不一定存在共同本征函数,但总有那样态存在使得它们所代表的力学量可同时具有确定值.91.一维自由粒子的能量本征值 A. 可取一切实数值. B.只能取不为负的一切实数. C.可取一切实数,但不能等于零. D.只能取不为正的实数.92.对易关系式[ , ()]pp f x x x 2等于 A.-i pf x x '()2. B. i p f x x '()2 . C.-i pf x x ()2. D. i p f x x ()2. 93.定义算符yx L i L L ˆˆˆ±=±, 则[ , ]L L +-等于 A.zLˆ . B.2 L z. C.-2 L z. D.zL ˆ -. 94.接上题, 则[ , ]L L z+等于 A. L +. B. L z . C. -+L . D. - L z . 95. 接93题, 则[ , ]LL z-等于 A. L -. B. L z . C. --L . D. - L z . 96.氢原子的能量本征函数ψθϕθϕnlm nl lm r R r Y (,,)()(,)=A.只是体系能量算符、角动量平方算符的本征函数,不是角动量Z 分量算符的本征函数.B.只是体系能量算符、角动量Z 分量算符的本征函数,不是角动量平方算符的本征函数.C.只是体系能量算符的本征函数,不是角动量平方算符、角动量Z 分量算符的本征函数.D.是体系能量算符、角动量平方算符、角动量Z 分量算符的共同本征函数. 97.体系处于ψ=+c Y c Y 111210态中,则ψA.是体系角动量平方算符、角动量Z 分量算符的共同本征函数.B.是体系角动量平方算符的本征函数,不是角动量Z 分量算符的本征函数.C.不是体系角动量平方算符的本征函数,是角动量Z 分量算符的本征函数.D.即不是体系角动量平方算符的本征函数,也不是角动量Z 分量算符的本征函数.98.对易关系式[ , ]FGH 等于 A.[ , ] [ , ]FH G F G H +. B. [ , ] F H G C. [ , ]FG H . D. [ , ] [ , ]F H G F G H -. 99.动量为p '的自由粒子的波函数在坐标表象中的表示是)'e x p (21)('x p ix Pπψ=,它在动量表象中的表示是A.δ(')p p -.B.δ(')p p +.C.δ()p .D.δ(')p .100.力学量算符 x对应于本征值为x '的本征函数在坐标表象中的表示是 A.δ(')x x -. B.δ(')x x +. C.δ()x . D.δ(')x . 101.一粒子在一维无限深势阱中运动的状态为)(22)(22)(21x x x ψψψ-=,其中ψ1()x 、ψ2()x 是其能量本征函数,则ψ()x 在能量表象中的表示是A.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 02/22/2.B.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛- 02/22/2.C.222200//⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪.D.222200//-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪. 102.线性谐振子的能量本征函数ψ1()x 在能量表象中的表示是A.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 001.B. ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 010. C. 1000⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪. D. 0100⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪. 103. 线性谐振子的能量本征函数)()(10x b x a ψψψ+=在能量表象中的表示是A.⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++ 0//2222b a b b a a .B. ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++0//02222b a b b a a .C. ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 0b a . D. 00a b ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪.104.在( , L L z 2)的共同表象中,波函数φ=⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪22101,在该态中 L z 的平均值为 A. . B. - . C. 2 . D. 0.105.算符 Q只有分立的本征值{}Q n ,对应的本征函数是{()}u x n ,则算符 (,)F x i x∂∂在 Q表象中的矩阵元的表示是 A.F u x F x i x u x dx mn n m =⎰*()(,)() ∂∂. B.F u x F x i x u x dx mn m n =⎰*()(,)() ∂∂. C.F u x F x i x u x dx mn n m =⎰()(,)()*∂∂. D.F u x F x i xu x dx mn m n =⎰()(,)()*∂∂. 106.力学量算符在自身表象中的矩阵表示是 A. 以本征值为对角元素的对角方阵. B. 一个上三角方阵. C.一个下三角方阵. D.一个主对角线上的元素等于零的方阵.107.力学量算符x ˆ在动量表象中的微分形式是 A.-i p x ∂∂. B.i p x∂∂. C.-i p x 2∂∂. D.i p x 2∂∂.108.线性谐振子的哈密顿算符在动量表象中的微分形式是A.p p 22222212μμω∂∂+ .B.p p 2222212μμω∂∂-. C.22222212pp ∂∂μωμ -. D.--p p 2222212μμω∂∂. 109.在 Q 表象中F =⎛⎝ ⎫⎭⎪0110,其本征值是A. ±1.B. 0.C. ±i .D. 1±i . 110.接上题, F 的归一化本征态分别为A.22112211⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪,. B. 1111⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪,.C.12111211⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪,. D.22102201⎛⎝ ⎫⎭⎪⎛⎝ ⎫⎭⎪,.111.幺正矩阵的定义式为A.S S +-=.B.S S +=*.C.S S =-.D.S S *=-. 112.幺正变换A.不改变算符的本征值,但可改变其本征矢.B.不改变算符的本征值,也不改变其本征矢.C.改变算符的本征值,但不改变其本征矢.D.即改变算符的本征值,也改变其本征矢.113.算符 ()( )/ax i p =+μωμω212 ,则对易关系式[ , ]a a +等于 A. [ , ]aa +=0. B. [ , ]a a +=1. C. [ , ]a a +=-1. D. [ , ]a a i +=.114.非简并定态微扰理论中第n 个能级的表达式是(考虑二级近似) A.E H H E E nnn mn nmm()()()''0200++-∑. B. E H H E E n nn mn nmm()()()'''0200++-∑.C.E H H E E nnn mn m nm()()()'''0200++-∑. D.E H H E E nnn mnmnm()()()''0200++-∑.115. 非简并定态微扰理论中第n 个能级的一级修正项为 A.H mn '. B.H nn '. C.-H nn '. D.H nm '.116. 非简并定态微扰理论中第n 个能级的二级修正项为 A.H E E mn nmm'()()200-∑. B. ''()()H EE mnnmm200-∑. C.''()()H EE mnmnm200-∑. D.H EE mnmnm'()()200-∑.117. 非简并定态微扰理论中第n 个波函数一级修正项为A.H E E mn nm m m '()()()000-∑ψ.B. ''()()()H E E mn nm m m 000-∑ψ.C. ''()()()H E E mn mn m m 000-∑ψ.D. H E E mn mn m m '()()()000-∑ψ.118.沿x 方向加一均匀外电场ε,带电为q 且质量为μ的线性谐振子的哈密顿为A. H d dx x q x =-++ 22222212μμωε.B. H d dx x q x =-++ 2222212μμωε.C. H d dx x q x =-+- 2222212μμωε.D. H d dx x q x =-+- 22222212μμωε. 119.非简并定态微扰理论的适用条件是 A.H E E mk km'()()001-<<. B.H E E mk km'()()001+<<.C. H mk '<<1.D. E E k m ()()001-<<.120.转动惯量为I ，电偶极矩为 D 的空间转子处于均匀电场ε中,则该体系的哈密顿为A.ε ⋅+=D IL H 2ˆˆ2. B. ε ⋅+-=D I L H2ˆˆ2. C. ε ⋅-=D IL H 2ˆˆ2. D. ε ⋅--=D I L H 2ˆˆ2. 121.非简并定态微扰理论中,波函数的一级近似公式为A.ψψψn n nm nm m m H E E =+-∑()()()()''0000.B.ψψψn n mn nm m m H E E =+-∑()()()()''0000.C.ψψψn n mn mn m m H E E =+-∑()()()()''0000.D.ψψψn n nm mn m m H E E =+-∑()()()()''0000.122.氢原子的一级斯塔克效应中,对于n =2的能级由原来的一个能级分裂为 A. 五个子能级. B. 四个子能级. C. 三个子能级. D. 两个子能级.123.一体系在微扰作用下,由初态Φk 跃迁到终态Φm 的几率为A.22' )'exp('1⎰tmk mkdt t i H ω .B. 20 ' )'exp('⎰tmk mkdt t i H ω.C.22')' exp(1⎰t mk mkdt t i Hω .D.2' )'exp(⎰tmk mkdt t i Hω.124.用变分法求量子体系的基态能量的关键是 A. 写出体系的哈密顿. B. 选取合理的尝试波函数.C. 计算体系的哈密顿的平均值.D. 体系哈密顿的平均值对变分参数求变分. 125.Stern-Gerlach 实验证实了A. 电子具有波动性.B.光具有波动性.C. 原子的能级是分立的.D. 电子具有自旋.126. S 为自旋角动量算符,则[ , ]SS yx等于 A.2i . B. i . C. 0 .D. -i S z . 127. σ为Pauli 算符,则[ , ]σσx z 等于 A.-i y σ. B. i y σ. C.2i y σ. D.-2i y σ.128.单电子的自旋角动量平方算符 S2的本征值为 A.142 . B.342 . C.322 . D.122 .129.单电子的Pauli 算符平方的本征值为 A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. 130.Pauli 算符的三个分量之积等于 A. 0. B. 1. C. i . D. 2i .131.电子自旋角动量的x 分量算符在 S z表象中矩阵表示为 A. S x =⎛⎝ ⎫⎭⎪ 21001. B. S i i x =-⎛⎝ ⎫⎭⎪ 200.C. S x=⎛⎝ ⎫⎭⎪ 20110. D. S x =-⎛⎝ ⎫⎭⎪ 21001. 132. 电子自旋角动量的y 分量算符在 Sz表象中矩阵表示为 A. S y =⎛⎝ ⎫⎭⎪ 21001. B. S i y=-⎛⎝ ⎫⎭⎪ 20110. C. S i i i y =-⎛⎝ ⎫⎭⎪ 200. D. S i i y =⎛⎝ ⎫⎭⎪ 200. 133. 电子自旋角动量的z 分量算符在 Sz表象中矩阵表示为 A. S z=⎛⎝ ⎫⎭⎪ 21001. B. S z =-⎛⎝ ⎫⎭⎪ 20110. C. S z =-⎛⎝ ⎫⎭⎪ 21001. D. S i z =-⎛⎝ ⎫⎭⎪ 21001.134. , J J 12是角动量算符, J J J =+12,则[ ,] J J 212等于A. J 1.B. -J 1. C. 1 . D. 0 .135.接上题, [ ,] J J z 12等于A. i J J x y( )11+. B.i J z 1. C. J z 1. D. 0. 136.接134题, ]ˆ,ˆ[12z J J 等于A. i JJ xy( )11+. B.i J z1. C. J z1. D. 0. 137.一电子处于自旋态χχχ=+-a s b s z z 1212//()()中,则s z 的可测值分别为A.0, .B. 0,- .C. 22,.D.22,-.138.接上题,测得s z 为22,-的几率分别是A.a b ,.B. a b 22,.C.a b 2222/,/. D. a a b b a b 222222/(),/()++. 139.接137题, s z 的平均值为A. 0.B. )(222b a - .C. )22/()(2222b a b a +- . D. .140.在s z 表象中,χ=⎛⎝ ⎫⎭⎪3212//,则在该态中s z 的可测值分别为A. ,-.B. /,2.C. /,/22-.D. ,/-2. 141.接上题,测量s z 的值为 /,/22-的几率分别为A.3212/,/.B.1/2,1/2.C.3/4,1/4.D.1/4, 3/4. 142.接140题,s z 的平均值为A. /2.B. /4.C.- /4.D.- /2. 143.下列有关全同粒子体系论述正确的是A.氢原子中的电子与金属中的电子组成的体系是全同粒子体系.B.氢原子中的电子、质子、中子组成的体系是全同粒子体系.C.光子和电子组成的体系是全同粒子体系.D.α粒子和电子组成的体系是全同粒子体系.144.全同粒子体系中,其哈密顿具有交换对称性,其体系的波函数 A.是对称的. B.是反对称的. C.具有确定的对称性. D.不具有对称性.145.分别处于p 态和d 态的两个电子,它们的总角动量的量子数的取值是A. 0,1,2,3,4.B.1,2,3,4.C. 0,1,2,3.D.1,2,3.(二) 填空题pton 效应证实了 。
结构第一章练习
结构化学第一章练习题一、判断正误1.( > “波函数本身是连续的，由它推求的体系力学量也是连续的。
”是否正确2.( > “波函数平方有物理意义，但波函数本身是没有物理意义的”。
3.( > 任何波函数 (x，y，z，t>都能变量分离成 (x，y，z>与 (t>的乘积，对否？4.( > 下列说法对否:”=cosx，px有确定值，p2x没有确定值，只有平均值。
”5.( > 一维势箱中的粒子，势箱长度为l，基态时粒子出现在x=l/2处的概率密度最小。
二、选择1. 下列算符哪些可以对易：(A> 和 (B> 和 (C> x 和 (D> x 和2.任一自由的实物粒子，其波长为λ，今欲求其能量，须用下列哪个公式( >(A> (B>(C> (D> A，B，C都可以3. 下列算符中，哪些不是线性算符( >A> 2 B> C> D> xy4. 首先提出能量量子化假定的科学家是：( >(A> Einstein (B> Bohr(C> Schrodinger (D> Planck5. 立方势箱中的粒子，具有E=的状态的量子数。
nx ny nz是( >(A> 2 1 1 (B> 2 3 1 (C> 2 2 2 (D> 2 13b5E2RGbCAP6. 在一立方势箱中，的能级数和状态数分别是(势箱宽度为l，粒子质量为m>：--------( > p1EanqFDPw(A> 5，11 (B> 6，17 (C> 6，6 (D> 5，14(E> 6，14 DXDiTa9E3d7. 一个在一维势箱中运动的粒子，(1> 其能量随着量子数n的增大：( >(A> 越来越小 (B> 越来越大 (C> 不变(2> 其能级差 En+1-En随着势箱长度的增大： ( >(A> 越来越小 (B> 越来越大 (C> 不变8. 首先提出微观粒子的运动满足测不准原理的科学家是：( >(A> 薛定谔 (B> 狄拉克(C> 海森堡 (D> 波恩9. 下列哪几点是属于量子力学的基本假设(多重选择>：(A>电子自旋(保里原理>(B>微观粒子运动的可测量的物理量可用线性厄M算符表征(C>描写微观粒子运动的波函数必须是正交归一化的(D>微观体系的力学量总是测不准的，所以满足测不准原理10. 描述微观粒子体系运动的薛定谔方程是：.(A> 由经典的驻波方程推得(B> 由光的电磁波方程推得(C> 由经典的弦振动方程导出(D> 量子力学的一个基本假设三、简答1. 作为合理波函数的条件是什么?2. 写出联系实物微粒波动性和粒子性的关系式。
物质结构补充习题
物质结构补充习题A-01 下列函数那些是品优的，那些不是品优的，并说明理由(1) ψ = x 2 (2) ψ = e −x (3) ψ = e −|x | (4) ψ = cos x (5) ψ = sin |x | (6) 2x e ψ−=A-02 能否将e ax 型波函数选为自由粒子的波函数？函数x /|x |是否可以？将一个粒子限制在一个园环上运动，设波函数为im e φ，试问m 的取值必须加上什么限制？A-03 长度为L 的一维势箱中粒子，在箱的左边1/4范围内找到粒子的概率是多少？当量子数n 为何取值时，这个概率有最大值？当n →∞时，这个概率的极限是多少，这个结果能说明什么。
A-04 将下列函数归一化：(1)一个函数在x =0到x =L 的范围内等于常数a(2)同样的范围内的函数sin kx(3)在一个圆周上的函数im e φ(4)在整个三维空间的函数0/r a e −(球坐标下归一化2*2000(,,)(,,)sin 1nlm nlm r r r drd d ππψθφψθφθθφ∞=∫∫∫)A-05 下列算符那些是线性算符(1) ˆAuu λ= λ为常数 (2) ˆBu u ∗= (3) 2ˆCu u = (4)ˆDu du dx = (5)ˆ1Euu = A-06 在0 ≤ φ ≤ 2π 区域内考察函数im e φ，证明m 取不同整数值的函数是正交的。
A-07 下面哪个函数是算符d /dx 的本征函数，那些是算符d 2/dx 2的本征函数，并求出相应的本征值(1) e ax (2) ax 2 (3) sin ax (4) sin ax +cos ax (5)2ax e (6) ln axA-08 验证22x e −和22x xe −是否是算符222ˆd A x dx=−+的本征函数 A-09 已知与角动量在z 轴上的分量相对应的算符是i φ∂−∂=，若你已经知道体系的态是由函数(,)im f r e φθ表示，请你预测会得到什么样的实验结果？若态是f (r ,θ)cos m φ，实验结果是什么？。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
n2
i
n3
图
1
波函数习题
• 如图所示，一束振动方向垂直于入射面的简谐平面 波Ei以入射角 θi射向折射率分别为n1和 n2两种均匀 各向同性介质的界面。设入射面为（x, y）坐标平面， 入射波Ei的振幅E0 = 10(v/m)，光波长λ=0.5*10-6(m)， 在O点的初位相 φ0 = 0，入射角 θ i= 60， n1 = 1 ， n2 =1.732。
A I0 45 45 Io
B
C
波函数习题
• 图为一光导纤维示意图。设空气折射率n1 = 1， 包层折射率为n2，芯线折射率为n3。
① 为保证入射角α在0～90范 围内变化时，光波都能在n2/ n3 界面上发生全反射，导出n2和 n3必须满足的关系式。当n1 = n1 1.5时，求n3的范围。 ② 设n2 = 1.5，n3 = 1.7，求此光 纤的接纳角α。 加:设n2 = 1.1，n3 = 1.3，自然 光入射，α=?时，光纤出射光波 是线偏振波。
Ei
（1）试描述反射波 Er 和折射波 Et 的性质。 （2）写出入射波 Ei 、 反射波 Er 和折射波 Et 的波函数。
i
n1 n2 O x
z
波函数习题
• 一束光从真空中射入折射率n1=1.5的均匀各 向同性透明介质，设该光波在真空中的波 长λ0=510nm，光速c=3108m/s。求光波在 介质中的波长λ1、时间频率ν和传播速度V。
•
波函数习题
• 已知一个复杂波的复振幅 2 E ( x ) sin( 2 x ) sin (2x) ，将其分解为 为 一系列简谐平面波的线性叠加。给出各个 简谐平面波成分的振幅、空间频率和初位 相。
波函数习题
• 一束自然光以入射角θi 从折射率为n1媒质射向 折射率为n1和n2的两种 媒质界面(n1 n2)，试 从振幅、位相和偏振态 几个方面定性地描述当 入射角从0˚变化到90˚ 时，反射波相对于入射 波的变化。
波函数习题
• 什么是光波的波面？什么是平面波？什么是球面 波？请写出三维简谐平面波和球面波的波函数表 达式；并给出平面波沿坐标轴x，y，z的空间频 率分量fx，fy，fz与波矢k的关系。 单色自然光从折射率为n1的透明介质1射入折射 率为n2的透明介质2中，在两介质的分界面上， 将发生折反射现象，反射光波成为线偏振光的条 件是 ，此时反射光波的振动方向 为 ；当满足 时将发生全反射， 全反射临界角可表示为 。
波函数习题
•
• •
•
写出三维简谐平面波波函数的表达式，指出其中 各空间参量和时间参量的物理意义及相互关系。 说明三维简谐平面波空间频率的物理意义，平面 波沿坐标轴x，y，z的空间频率分量fx，fy，fz与 波矢的关系是什么？ 已知真空介电常数为ε0，磁导率为μ0；非铁磁性 媒质的介电常数为ε，磁导率μ = μ0，写出电磁波 在真空和媒质中的传播速度c和v，以及媒质折射 率n的表达式。 什么是布儒斯特定律？什么是布儒斯特角？利用 布儒斯特定律产生线偏振光的原理是什么？如何 尽量增大反射线偏振光的强度？
波函数习题
• 在( x, y, z )的直角坐标系中一个三维简谐 平面波的复振幅为：
3 E ( x, y, z ) j 2exp j 2 10 ( x y 2 z )
其中x，y，z的单位为(mm)。 (1)求平面波的振幅E0，原点处的初相位φ0及 光波波长λ； (2)求此平面波沿( x, y, z )坐标轴的空间频率 ( fx, fy, fz )，以及波矢k的方向角( α, β, γ )； (3)定量分析此平面波由z = 0平面传播到z = d 平面时，其复振幅有何变化？
波函数习题
• 一个三维简谐平面波在折射率 n = 1.2的均匀透 明媒质中传播，已知波的振幅为E0，媒质中的波 长 λ=0.5*10-6(m) ，波矢k垂直于y轴，且与z轴的 夹角 θ = 30 ，初位相 φ0 = ，光波在真空中速 度 c=3*108(m/s) 。
(1) 求出此简谐平面波的时间频率，沿k方向和沿 x，y，z坐标轴方向的空间频率。 (2) 用空间频率和时间频率参量写出此简谐平面 波的波函数，并画图表示出该平面波的传播方 向及原点附近的一系列波阵面。 (3) 求该简谐平面波在媒质中沿k方向的位相速 度v和在真空中的波长0。
波函数习题
• 图所示等腰棱镜ABC的顶角A = 45 ，折射率n = 1.5163。强度为I0的激光束从侧面AB垂直入射， 经三次反射后从另一侧面AC垂直出射。设入射 激光为线偏振光，振动方位角（振动方向与入 射面的夹角）β＝ 45。 (1)若不考虑玻璃的吸 收，且棱镜表面不镀 膜，求出射光的强度 I o； (2)求出射光的s分量 和p分量之间的位相 差Δφsp。