上海市南模中学2015届高三上学期期中考试数学理试题 Word版含答案

南模中学2015届高三第一学期期中考试 数学学科（理）试卷
一、填空题：(每题4分) 1.函数23
()(0)f x x
x -=<的反函数是1()f x -=___________.
2. 已知1sin cos 2αα=
+，且0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos 2sin()4
απα-的值为
3.
函数3()sin())2f x x x ππ=
-++,方程()0f x k -=在[0,]x π∈上有两个不等的实根,则实数k 的取值范围为 .
4.关于函数()sin 2cos 2f x x x =-有下列命题： ①函数()y f x =的最小正周期为π； ②直线4
x π
=是()y f x =的一条对称轴；
③点(
,0)8
π
是()y f x =的图象的一个对称中心；
④将()y f x =的图象向左平移
4
π
个单位，可得到2y x 的图象． 其中真命题的序号是 .
5. 某船在A 处看灯塔S 在北偏东30°方向，它以每小时18海里的速度向正北方向航行，经过
40分钟航行到B 处，看灯塔S 在北偏东75°方向，则此时该船到灯塔S 的距离约为 海里.
6. 设A 是自然数集的一个非空子集，对于k A ∈,如果2
k A ∉
A 那么k 是A 的一个“酷元”,给定集合{
}
2
lg(36),S x y x x N ==-∈,设集合M 由集合S 中的两个元素构成，且集合M 中的两个元素都是“酷元”，那么这样的集合M 有 个． 7.某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别是
32和5
3
. 现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B. 设甲、乙两组的研发相互独立. 若新产品A 研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B 研发成功，预计企业可获得利润100万元. 则该企业可获利润的数学期望为 万元.
8. .设函数()sin f x x x π=+,则
1240264027(
)()()()2014201420142014
f f f f ++++=L .
9.对于函数()f x ,若在定义域内存在实数x ,满足()()f x f x -=-,则称()f x 为“局部奇函数”．若 ()2x f x m =+是定义在[1,1]-上的“局部奇函数”，则实数m 的取值范围是 .
10.若不等式23log 0a x x -<在1
(0,)3
x ∈内恒成立， 则a 的取值范围是 ． 11.设18
0,0,102y x y x x y
>>+
++=，则2x y +的最大值为 . 12. 已知偶函数()f x 满足对任意的x R ∈均有(1)(3)f x f x +=-,且
2(1)[0,1]
()1(1,2]
m x x f x x x ⎧-∈=⎨
-∈⎩,若方程3()f x x =恰有5个实数解,则实数m 的取值范围是 .
13.已知函数2()22(4)1f x mx m x =--+, ()g x mx =,若对于任一实数x ()f x 与()g x 至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是 . 14.已知函数()(2)f x x a x =+,且关于x 的不等式()()f x a f x +< 的解集为A ,若11
[,]22
A -
⊆,则实数a 的取值范围是 .
二、选择题: (每题5分)
15. 如果对于任意实数x ，[]x 表示不超过x 的最大整数. 例如 []3.273=，[]0.60=.那么“[][]x y =”是“1x y -<”的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
16.下列函数中，既是偶函数，又在区间()
1,2内是增函数的为
（ ） A. 2
2log 2x
y x
-=+ B. cos 2y x =
C. 222
x x
y --= D. 2log y x =
17. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别a ，b ，c ，给出下列命题：①A ＞B ＞C ，则sinA ＞sinB ＞sinC ； ②必存在A ，B ，C ，使tanAtanBtanC ＜tanA+tanB+tanC 成立； ③若tanAtanB ＞1，则△ABC 一定是钝角三角形； ④若a=40，b=20，B=25°，△ABC 必有两解． 其中真命题个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
18.已知函数2212(1),,1,12()111,0,.
3
62x x x x f x x x ⎧⎛⎤
-+-∈ ⎪⎥+⎪⎝⎦
=⎨⎡⎤⎪-+∈⎢⎥⎪⎣⎦⎩
函数π
()sin(
)22(0)6
g x a x a a =-+>,若存在[]12,0,1x x ∈, 使得12()()f x g x =成立,则实数a 的取值范围是（ ） A ．14,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ C ．24,33⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
D ．
1,12⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
南模中学
2015届高三第一学期期中考试
数学学科（理）答题卷
一、填空题（每题4分）
1． 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 二、选择题（每题5分）
15. 16. 17. 18.
三、解答题：
19. （本题12分） 函数22()l o g
1
x f x x -=-的定义域为集合A,关于x 的不等式2212()()2
ax a x a R +<∈的解集为B,求使A B B ⋃=的实数a 的取值范围.
20、（本题14分）已知函数21
()2cos 22
f x x x =--, （1）求函数()f x 在[0,
]2
π
的最大值和最小值,并给出取得最值时的x 值;
（2）设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，
c ，且c =()0f C =，若s i n 2s i n B A =，
求a ，b 的值．
21、（本题14分）已知函数22()()()6x x f x e a e a -=-+-- , x R ∈ (1)求()f x 的最小值; (2)若函数()f x 在R 上存在零点,求实数a 的取值范围.
22. （本题16分）已知函数()22f x x a x x =-+,a R ∈ (1)若0a =,判断函数()y f x =的奇偶性，并说明理由； (2）若函数()f x 在R 上是增函数，求实数的取值a 范围；
(3）若存在实数[2,2]a ∈-,使得关于x 的方程()(2)0f x tf a -=有三个不相等的实数根，求实数t 的取值范围．
23.（本题18分）已知函数()y f x =，x D ∈，如果对于定义域D 内的任意实数x ，对于给定的非零常数m ，总存在非零常数T ，恒有()()f x T mf x +>成立，则称函数()y f x =是D 上的m 级类增周期函数，周期为T ．若恒有()()f x T mf x +=成立，则称函数()f x 是D 上的m 级类周期函数,周期为T ．
(1)已知函数2
()f x x ax =-+是[3,)+∞上的周期为1的2级类增周期函数，求实数a 的取值范围； (2)已知T=1，()y f x =是[0,)+∞上m 级类周期函数，且()y f x =是 [0,)+∞上的单调递增函数,当[0,1)x ∈时,()2x
f x =，求实数m 的取值范围；
(3)是否存在实数k ，使函数()cos f x kx =是R 上的周期为T 的T 级类周期函数，若存在，求出实数k 和T 的值，若不存在，说明理由．
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2015届高三第一学期期中考试
数学学科（理）答案
1. -32
(0)x
x -> 2. 2-
3.[2
4. ①③
5. 6. 5 7. 140 8. 4027
9. 5[,1]4-
- 10. 1
[,1)27 11. 18
12. (⋃
13. (0,8) 14. （-1,0） 15.A 16.D 17.C 18. A
19.
20．
，∴
在（
，
∴
在
；
＜。